Kümeler ve Fonksiyonlar

Question 221Question →

Bir bakanlık denetimi sırasında incelenen $42$ adet dosyanın tamamı "Mali Mevzuat" veya "İdari Prosedür" hatalarından en az birini içermektedir. Sadece Mali Mevzuat hatası içeren dosyaların sayısı, sadece İdari Prosedür hatası içeren dosyaların sayısının $2$ katıdır. Her iki hata türünü de barındıran dosya sayısı $6$ olduğuna göre, Mali Mevzuat hatası içeren toplam dosya sayısı kaçtır?

12

18

24

30

36

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Mali Mevzuat hatası içeren toplam dosya sayısı 30'dur.

İdari Prosedür hatası içeren bölgeye

x

dendiğinde, Mali Mevzuat hatası içeren bölge

2x

olur. Kesişimle beraber toplam

3x+6=42

eşitliğinden

x=12

bulunur. Mali Mevzuat kümesi

2x+6

elemandan oluştuğu için sonuç

30

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin atanması

Sadece İdari Prosedür hatası içeren dosya sayısına

x

denilirse, sadece Mali Mevzuat hatası içeren dosya sayısı

2x

olur.

Problemde bu iki grup arasında bire iki oran olduğu belirtilmiştir.

2

Küme birleşim denkleminin kurulması

2x + x + 6 = 42

Dosyaların tamamı en az bir hata içerdiği için, sadece ilk tür hatayı içerenler, sadece ikinci tür hatayı içerenler ve her iki hatayı da içerenlerin toplamı genel toplamı verir.

3

Denklemin çözülmesi

3x + 6 = 42 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12

Değişkenin değerini bulmak için aritmetik işlemler uygulanır.

4

İstenen değerin hesaplanması

Mali Mevzuat toplamı =

2x + 6 = 2(12) + 6 = 24 + 6 = 30

Toplam Mali Mevzuat kümesi, sadece bu hatayı içerenler ile her iki hatayı birden içerenlerin birleşimidir.

Key Concept

Kümelerde Problemler ve Venn Şeması Uygulamaları

Hints

1

İki kümeyi temsil eden bir Venn şeması çizmeyi ve kesişim bölgesine

6

yazmayı deneyin.

2

"Sadece" kelimesinin geçtiği kısımları değişkenlerle (

x

ve

2x

) şemaya yerleştirin.

3

Tüm bölgelerin toplamını

42

'ye eşitleyerek

x

değerini bulun ve sonra Mali Mevzuat dairesinin içindeki tüm sayıları toplayın.

Practice More

Kesişimi bilinmeyen veya hiç hata içermeyen (dış bölge) dosyaların da olduğu daha karmaşık küme problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Kümelerin eleman sayısı formülü kullanılabilir:

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

. Burada

42 = 2x + x + 6

yazılarak doğrudan bölge elemanları üzerinden gidilebilir.

Estimated Time:1m 15s

Question 222Question →

Aşağıdaki grafikte $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin elemanları koordinat düzleminde noktalarla gösterilmiştir.

Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

4

5

6

8

9

Show answer & explanation

Answer: $6$

Answer

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı

6

olarak bulunur.

Grafik incelendiğinde yatay eksende

1, 2

ve

4

değerleri, düşey eksende ise

2

ve

3

değerleri işaretlenmiştir. Bu durum

s(A)=3

ve

s(B)=2

olduğunu gösterir. Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülü gereği

3 \times 2 = 6

elde edilir. Ayrıca grafikteki toplam nokta sayısı sayıldığında da

6

noktaya ulaşıldığı görülür.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını belirle

A = \{1, 2, 4\}

ve

s(A) = 3

Kartezyen çarpımın birinci bileşenleri yatay eksende (

A

ekseni) gösterilir.

2

B

kümesinin elemanlarını belirle

B = \{2, 3\}

ve

s(B) = 2

Kartezyen çarpımın ikinci bileşenleri düşey eksende (

B

ekseni) gösterilir.

3

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula

s(A \times B) = 3 \times 2 = 6

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

formülü, toplam nokta sayısını verir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir ve grafikteki toplam nokta sayısını temsil eder.

Hints

1

Grafikteki yatay eksen

A

kümesini, düşey eksen ise

B

kümesini temsil eder.

2

Her bir nokta bir sıralı ikiliyi temsil eder. Toplam nokta sayısını bulmak için her eksendeki işaretli sayıların adedini çarpmalısın.

3

Yatay eksende 3, düşey eksende 2 farklı değer işaretlenmiştir.

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

formülünü hatırla.

Practice More

Farklı eleman sayılarına sahip kümelerin kartezyen çarpım grafiklerini çizerek nokta sayısını kontrol edebilirsin.

Estimated Time:45s

Question 223Question →

Bir kamu kurumunda yapılan denetimde, personelin sahip olduğu üç farklı yetkinlik belgesi incelenmiştir: 'Analitik Düşünme (A)', 'Bilgisayar İşletmenliği (B)' ve 'C Düzeyi Yabancı Dil (C)'.

Bu denetimle ilgili şu bilgiler verilmiştir:
* Kurumda toplam 60 personel bulunmaktadır ve her personel en az bir belgeye sahiptir.
* C Düzeyi Yabancı Dil (C) belgesine sahip olan her personelin, Bilgisayar İşletmenliği (B) belgesi de bulunmaktadır.
* Analitik Düşünme (A) belgesi olan 35, Bilgisayar İşletmenliği (B) belgesi olan 40 ve C Düzeyi Yabancı Dil (C) belgesi olan 15 kişi vardır.
* Yalnızca bir çeşit belgeye sahip olan personellerin toplam sayısı, her üç belgeye de sahip olanların sayısının 4 katıdır.

Buna göre, sadece Analitik Düşünme ve Bilgisayar İşletmenliği belgelerine sahip olup Yabancı Dil belgesi olmayan personel sayısı kaçtır?

5

10

15

20

25

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Sadece A ve B belgelerine sahip olup C belgesi olmayan personel sayısı 5'tir.

Verilen

C \subset B

koşulu, C kümesinin B kümesinin tamamen içinde olduğunu gösterir. Denklemler kurulduğunda, her üç belgeye sahip kişi sayısı (

x

) 10 olarak bulunur. Soruda istenen 'Sadece A ve B'ye sahip' bölge (

z

) ise

15 - x

bağıntısından 5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve verilenleri tanımla.

C ⊂ B olduğu için C kümesi B'nin içindedir. A kümesi her ikisiyle kesişebilir. Bölgeler: Yalnız A (a), Yalnız B (b), Sadece A ve B (z), Sadece B ve C (y), Hepsi (x).

Alt küme ilişkisi (C ⊂ B), Venn şemasındaki bölge sayısını azaltır ve denklemleri basitleştirir.

2

Verilen sayıları denklemlere dök.

1) x + y = 15 (C kümesi)
2) b + z + x + y = 40 (B kümesi)
3) a + z + x = 35 (A kümesi)
4) a + b + z + y + x = 60 (Toplam)
5) a + b = 4x (Yalnız bir belge şartı)

Problemi çözmek için her bölgeyi temsil eden bilinmeyenlerle matematiksel model oluşturulmalıdır.

3

Denklemleri çözerek x (hepsi) ve z (istenen) değerlerini bul.

x + y = 15 ve b + z + 15 = 40 ise b + z = 25.
Toplam denkleminden: 35 (A) + b + y = 60 => b + y = 25.
Buradan z = y sonucu çıkar. y = 15 - x olduğu için z = 15 - x.
b + y = 25 denkleminde y yerine 15-x koyarsak: b = x + 10.
a + b = 4x denkleminde b yerine x+10 koyarsak: a = 3x - 10.
A kümesi denkleminde (a + z + x = 35) yerine koyalım: (3x - 10) + (15 - x) + x = 35 => 3x + 5 = 35 => 3x = 30 => x = 10.
İstenen z = 15 - 10 = 5.

Bilinmeyenleri birbirine bağlayarak ve yerine koyma metodunu kullanarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Alt Küme ve Kesişim Problemleri

Hints

1

C kümesi B kümesinin alt kümesi olduğu için (

C \subset B

), Venn şemasında C dairesini B dairesinin içine çizmelisin.

2

Bilinmeyenleri azaltmak için bölgelere harf ver: Her üçü

x

, sadece B ve C

y

, sadece A ve B

z

olsun.

x + y = 15

bilgisini kullan.

3

Toplam formülü

A \cup B = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

mantığını burada bölgeleri toplayarak uygula.

a+b+z+y+x = 60

ve

a+b = 4x

denklemlerini birleştir.

Estimated Time:2m 30s

Question 224Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu

f(x) = x^2 - ax + 5

biçiminde tanımlanıyor.

f(1) = f(3)

olduğuna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

1

2

4

5

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Doğru cevap 1'dir.

Fonksiyonun verilen iki farklı noktadaki değerlerinin eşitliği (

f(1)=f(3)

) kullanılarak fonksiyonun bilinmeyen katsayısı olan

a

değeri 4 olarak bulunur. Bu katsayı yerine yazıldığında fonksiyonun tam kuralı

f(x) = x^2 - 4x + 5

olur. İstenen

f(2)

değeri ise

2^2 - 4(2) + 5 = 1

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

f(1)

ve

f(3)

değerlerini fonksiyon kuralında yerine yazarak birbirine eşitleyin.

1^2 - a(1) + 5 = 3^2 - a(3) + 5 \Rightarrow 6 - a = 14 - 3a

f(1) = f(3)

eşitliğini kullanarak bilinmeyen

a

katsayısını bulmak gerekir.

2

Oluşan birinci dereceden denklemi çözerek

a

değerini bulun.

3a - a = 14 - 6 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4

Fonksiyonun tam kuralını belirlemek için katsayıyı bulmak zorunludur.

3

a = 4

değerini fonksiyonda yerine yazarak

f(2)

değerini hesaplayın.

f(x) = x^2 - 4x + 5 \Rightarrow f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1

Soruda istenen hedef değere ulaşmak için değişken yerine 2 yazılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma ve bilinmeyen katsayıyı belirleme

Hints

1

Önce

f(1)

ve

f(3)

ifadelerini açıkça yazıp birbirine eşitleyerek işe başlayın.

2

6 - a = 14 - 3a

denklemini çözerek bilinmeyen

a

katsayısını bulun.

3

Bulduğunuz

a = 4

değerini

f(x) = x^2 - 4x + 5

kuralında yerine yazıp

x = 2

için sonucu hesaplayın.

Practice More

Benzer şekilde bir fonksiyonun bir sabit değere eşit olduğu durumlarda katsayı bulma soruları çözerek pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternative Method

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) grafiği simetriktir.

f(1) = f(3)

ise fonksiyonun simetri ekseni

x = (1+3)/2 = 2

doğrusudur. Bu durumda

f(2)

değeri parabolün tepe noktasının ordinatıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 225Question →

$A$ ve $B$ kümeleri için; $A$ kümesinin alt küme sayısı $B$ kümesinin alt küme sayısının 64 katıdır. Ayrıca $A$ kümesinin eleman sayısı, $B$ kümesinin eleman sayısının 3 katından 2 fazladır.

Buna göre, $A$ kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır?

63

127

255

256

511

Show answer & explanation

Answer: 255

Answer

Doğru cevap 255'tir.

Sorudaki ifadeler denkleme döküldüğünde;

s(B)=n

ise

s(A)=3n+2

olur. Alt küme sayısı ilişkisi

2^{3n+2} = 64 \times 2^n

şeklindedir.

64 = 2^6

olduğundan, eşitlik

2^{3n+2} = 2^{n+6}

haline gelir. Üsler eşitlendiğinde

3n+2 = n+6

olur ve buradan

n=2

bulunur.

A

kümesinin eleman sayısı

s(A)=3(2)+2=8

'dir. Öz alt küme sayısı ise

2^8 - 1 = 255

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin eleman sayılarını değişkenlerle ifade etme

s(B) = n

olsun. Bu durumda

s(A) = 3n + 2

olur.

Soruda verilen '3 katından 2 fazla' ilişkisini matematiksel denkleme çevirmek için.

2

Alt küme sayıları arasındaki ilişkiyi kurma

2^{s(A)} = 64 \times 2^{s(B)} \Rightarrow 2^{3n+2} = 2^6 \times 2^n

Alt küme sayısı formülü

2^k

'dır. '64 katı' ifadesi çarpma işlemi gerektirir.

3

Üslü sayı denklemini çözme

2^{3n+2} = 2^{n+6} \Rightarrow 3n + 2 = n + 6 \Rightarrow 2n = 4 \Rightarrow n = 2

Üslü sayılarda tabanlar aynıysa (burada taban 2), üsler de eşit olmalıdır.

4

A kümesinin eleman sayısını ve öz alt küme sayısını hesaplama

s(A) = 3(2) + 2 = 8

. Öz alt küme sayısı =

2^8 - 1 = 256 - 1 = 255

.

Bulunan

n

değerini yerine koyup öz alt küme formülünü (

2^k - 1

) uygulamak için.

Key Concept

Alt küme sayısı ile eleman sayısı arasındaki üstel ilişki ve denklem kurma.

Hints

1

Bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülü ile bulunur. 64 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazmayı deneyin.

2

s(B) = x

derseniz,

s(A) = 3x + 2

olur. Alt küme sayıları arasındaki ilişkiyi üslü denklem olarak yazın.

3

2^{3x+2} = 2^6 \times 2^x

eşitliğinden tabanlar aynı olduğu için üsleri eşitleyerek

x

'i bulun.

Estimated Time:2m 30s

Question 226Question →

A, B

ve

C

boş kümeden farklı kümeler olmak üzere;

s(A \times A) = 144

s(A \times (B \cap C)) = 36

s((A \times B) \cup (A \times C)) = 204

eşitlikleri veriliyor.

$s(B) \neq s(C)$ olduğu bilindiğine göre, $s(B \times C)$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

51

91

96

99

100

Show answer & explanation

Answer: 99

Answer

İstenen en büyük değer 99'dur.

Soruda verilen kartezyen çarpım eşitliklerinden

s(A)=12

,

s(B \cap C)=3

ve

s(B \cup C)=17

değerlerine ulaşılır. Kümelerin birleşim formülü kullanılarak

s(B) + s(C) = 20

elde edilir. İstenen

s(B \times C) = s(B) \cdot s(C)

çarpımının en büyük olması için, toplamları sabit olan

s(B)

ve

s(C)

değerleri birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmelidir.

s(B) \neq s(C)

koşulu verildiği için 10 ve 10 seçilemez; bu nedenle en yakın tam sayılar olan 9 ve 11 seçilir. Sonuç

9 \cdot 11 = 99

olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin eleman sayısını bulmak için birinci eşitliği kullan.

s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = 144 \Rightarrow s(A) = 12

Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı:

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

.

2

B ve C kümelerinin kesişiminin eleman sayısını bul.

s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 36 \Rightarrow 12 \cdot s(B \cap C) = 36 \Rightarrow s(B \cap C) = 3

Bulunan

s(A)

değerini yerine koyarak bilinmeyeni yalnız bırakma.

3

Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliğini kullanarak B ve C birleşiminin eleman sayısını bul.

s((A \times B) \cup (A \times C)) = s(A \times (B \cup C)) = s(A) \cdot s(B \cup C) = 204 \Rightarrow 12 \cdot s(B \cup C) = 204 \Rightarrow s(B \cup C) = 17

Dağılma özelliği:

(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C)

.

4

B ve C kümelerinin eleman sayıları toplamını hesapla.

s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) \Rightarrow 17 = s(B) + s(C) - 3 \Rightarrow s(B) + s(C) = 20

Kümelerde birleşim formülü.

5

Çarpımın en büyük değerini bulmak için optimizasyon yap.

Toplamları 20 olan ve birbirinden farklı (

s(B) \neq s(C)

) iki sayının çarpımı en çok

9 \cdot 11 = 99

olur.

Toplamı sabit iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir. Eşitlik durumu (

10, 10

) sorudaki şart nedeniyle elenir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın dağılma özelliği ve eleman sayısı problemleri ile temel eşitsizlik mantığı.

Hints

1

Önce

s(A \times A)

bilgisinden A kümesinin eleman sayısını bulunuz. Ardından dağılma özelliğini hatırlayarak

(A \times B) \cup (A \times C)

ifadesini sadeleştiriniz.

2

Bulduğunuz değerlerle

s(B) + s(C)

toplamını elde etmek için birleşim kümesi formülünü (

s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C)

) kullanınız.

3

Toplamları 20 olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine yakın olması gerekir. Ancak sorudaki

s(B) \neq s(C)

şartına dikkat ediniz.

Alternative Method

Doğrudan

s(A \times B) + s(A \times C) - s((A \times B) \cap (A \times C)) = 204

formülü kullanılarak

12s(B) + 12s(C) - 36 = 204

denklemi kurulup

s(B)+s(C)

bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 227Question →

Gerçel sayılar kümesi ( $\\mathbb{R}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \le 4 \}

B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 2x - 8 < 0 \}

Buna göre, $A$ kümesinde bulunup $B$ kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu $A \setminus B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{ -2 \} \cup [4, 6]

[4, 6]

(-2, 4)

(-2, 6]

[2, 6]

Show answer & explanation

Answer: \{ -2 \} \cup [4, 6]

Answer

\{-2\} \cup [4, 6]

kümesi doğru cevaptır.

Doğru cevap,

A

kümesinin

[-2, 6]

kapalı aralığı ve

B

kümesinin

(-2, 4)

açık aralığı olarak bulunmasıyla elde edilir.

A \setminus B

işlemi,

[-2, 6]

aralığından

(-2, 4)

aralığının çıkarılmasıdır.

-2

noktası

B

kümesine dahil olmadığı için (açık aralık), fark kümesinde kalır. Benzer şekilde

4

noktası

B

kümesine dahil olmadığı için fark kümesinde kalır.

4

ile

6

arasındaki tüm sayılar da

B

'de olmadığı için kalır. Sonuç olarak

\{-2\}

tekil elemanı ve

[4, 6]

kapalı aralığı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin aralığını belirle.

|x - 2| \le 4 \Rightarrow -4 \le x - 2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 6

. Yani

A = [-2, 6]

.

Mutlak değer eşitsizliği

-a \le u \le a

kuralına göre açılır.

2

B kümesinin aralığını belirle.

x^2 - 2x - 8 < 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 2) < 0

. Kökler

x=4

ve

x=-2

. İşaret tablosuna göre negatif olduğu aralık

(-2, 4)

. Yani

B = (-2, 4)

.

İkinci dereceden eşitsizliklerde kökler arası (katsayı pozitif ise) negatif bölgedir.

3

A \ B fark kümesini hesapla (A'da olan ama B'de olmayanlar).

Sayı doğrusunda

[-2, 6]

aralığından

(-2, 4)

açık aralığı çıkarılır.
1.

-2

elemanı

A

'da vardır,

B

'de yoktur (B açık aralık). O halde

-2

fark kümesine dahildir.
2.

(-2, 4)

aralığı hem

A

'da hem

B

'de vardır, atılır.
3.

4

elemanı

A

'da vardır,

B

'de yoktur (B açık aralık). O halde

4

fark kümesine dahildir.
4.

(4, 6]

aralığı

A

'da vardır,

B

'de yoktur. Dahildir.

Fark işlemi tanımı:

x \in A

ve

x \notin B

. Sınır noktalarına dikkat edilmelidir.

Key Concept

Gerçel sayı aralıklarında fark işlemi yapılırken, çıkarılan kümenin sınır noktalarının dahil olup olmadığına (açık/kapalı parantez) dikkat edilmelidir. Açık aralık çıkarıldığında, sınır noktası fark kümesinde kalır.

Hints

1

Önce verilen eşitsizlikleri çözerek A ve B kümelerini aralık notasyonu ile (köşeli veya normal parantez kullanarak) yazınız.

2

A kümesi [-2, 6] kapalı aralığı, B kümesi ise (-2, 4) açık aralığıdır. Sayı doğrusu çizerek A kümesini boyayın, ardından B kümesinin kapladığı yeri silin.

3

B kümesi (-2, 4) açık aralığıdır, yani -2 ve 4 sayılarını İÇERMEZ. Bir kümeden B'yi çıkardığınızda, B'de olmayan bu sınır noktaları (eğer ana kümede varsa) geriye kalan parçada durmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu tam sayı kısıtlaması altında çözün:

A \cap \mathbb{Z}

ve

B \cap \mathbb{Z}

kümelerinin farkının eleman sayısı kaçtır?

Alternative Method

Sayı doğrusu çizmek yerine kümeleri özelliklerine göre yazın: A kümesi -2 ile 6 arasındaki (dahil) sayılar. B kümesi -2 ile 4 arasındaki (hariç) sayılar. Fark kümesi için A'nın şartını sağlayan (-2 <= x <= 6) ama B'nin şartını sağlamayan (x <= -2 veya x >= 4) sayıları arayın. Kesişim: x = -2 veya 4 <= x <= 6.

Estimated Time:3m 0s

Question 228Question →

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ birim fonksiyon ve $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sabit fonksiyondur.

f(2m - 1) = 7

g(m) = m^2 + 1

olduğuna göre, $g(5) + f(3)$ toplamının değeri kaçtır?

13

17

20

24

29

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Doğru yanıt 20'dir.

Birim fonksiyon tanımına göre

f(x) = x

olmalıdır, bu yüzden

f(2m-1) = 7

ifadesinden

2m-1=7

ve

m=4

elde edilir. Sabit fonksiyon tanımına göre ise fonksiyonun değeri her yerde aynıdır;

g(4) = 4^2+1 = 17

ise

g(5)

de

17

olmalıdır. Son olarak birim fonksiyon özelliğinden

f(3)=3

bulunur ve toplam

17+3=20

olur.

Step-by-Step Solution

1

Birim fonksiyon özelliğini kullanarak

m

değerini bulma

f(x) = x

olduğundan

2m - 1 = 7 \Rightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4

Birim fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur.

2

Sabit fonksiyonun değerini belirleme

g(x) = c

olduğundan

g(m) = 4^2 + 1 = 17

. Yani

g(x) = 17

.

Sabit fonksiyonun tüm değerleri aynı sayıya eşittir.

3

İstenen değerleri hesaplama ve toplama

g(5) = 17

ve

f(3) = 3

. Toplam:

17 + 3 = 20

.

Soruda istenen iki fonksiyon değerinin toplamı sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Birim fonksiyon içi dışı bir olan fonksiyondur; sabit fonksiyon ise her zaman aynı sonuca giden fonksiyondur.

Hints

1

Birim fonksiyonun kuralı

f(x) = x

şeklindedir; yani 'içi neyse dışı da odur'.

2

Sabit fonksiyon her sayıyı aynı sonuca götürür.

g(m)

değerini bulduğunda bu değer tüm x'ler için geçerlidir.

3

Önce

f(2m-1)=7

eşitliğinden

m

harfini bul, sonra bu

m

değerini

g

fonksiyonunun sabit değerini bulmak için kullan.

Practice More

Değişkenlerin yer aldığı daha karmaşık sabit fonksiyon soruları için

f(x) = (ax+b)/(cx+d)

formundaki katsayı oranlarını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 229Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

ve

y

gerçel sayısı için

f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy

eşitliğini sağlamaktadır.

f(3) = 18

olduğuna göre,

f(1)

değeri kaçtır?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4

Verilen fonksiyonel denklemde değişkenlere sırasıyla değerler verilerek istenen sonuca adım adım ulaşılır. Önce x=1, y=1 alınarak f(2) değeri f(1) cinsinden bulunur (

2f(1)+2

). Daha sonra x=2, y=1 alınarak f(3) değeri f(2) ve f(1) cinsinden yazılır. Elde edilen denklem çözüldüğünde f(1)=4 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

f(2) değerini f(1) cinsinden ifade etmek için denklemde x = 1 ve y = 1 değerlerini yerine yazın.

f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2f(1) + 2

Bilinmeyen f(1) değerinden f(3)'e ulaşmak için ara basamak olan f(2)'yi bulmamız gerekir.

2

f(3) değerini f(2) ve f(1) cinsinden ifade etmek için x = 2 ve y = 1 değerlerini kullanın.

f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) + 2 \cdot 2 \cdot 1 = f(2) + f(1) + 4

Verilen f(3) değerini kullanabilmek için denklemi genişletiyoruz.

3

Bulunan f(2) ifadesini f(3) denkleminde yerine yazarak f(1)'e bağlı bir denklem elde edin.

f(3) = (2f(1) + 2) + f(1) + 4 = 3f(1) + 6

Tek bilinmeyenli bir denklem elde ederek f(1) değerini çözebiliriz.

4

f(3) = 18 eşitliğini kullanarak denklemi çözün.

3f(1) + 6 = 18 \Rightarrow 3f(1) = 12 \Rightarrow f(1) = 4

Sonuç değeri.

Key Concept

İki Değişkenli Fonksiyonel Denklemler

Hints

1

Önce

f(2)

değerini

f(1)

cinsinden bulmak için denklemde

x=1

ve

y=1

yazmayı deneyin.

2

f(2) = 2f(1) + 2

eşitliğini bulduktan sonra,

f(3)

değerine ulaşmak için

x=2

ve

y=1

değerlerini kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla

f(xy) = f(x) + f(y)

logaritmik fonksiyon özelliğini test eden sorular çözülebilir.

Alternative Method

Bu tür denklemlerde genel kural

f(x) = ax^2 + bx

formatında olabilir.

f(x) = x^2 + kx

varsayımıyla

f(3) = 9 + 3k = 18 \Rightarrow k=3

bulunur. Buradan

f(1) = 1^2 + 3(1) = 4

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 230Question →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

ve

y

değeri için

f(x \cdot y) = f(x) + f(y) + f(x) \cdot f(y)

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(2) = 2$ olduğuna göre, $f(16)$ değeri kaçtır?

8

16

26

64

80

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

80

Verilen fonksiyonel eşitlik

f(x \cdot y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)

şeklindedir.

f(16)

değerine ulaşmak için adım adım ilerlenmelidir. Önce

x=2, y=2

alınarak

f(4)

bulunur:

f(4) = 2+2+2\cdot2 = 8

. Daha sonra

x=4, y=4

alınarak

f(16)

hesaplanır:

f(16) = 8+8+8\cdot8 = 80

.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitlikte

x

ve

y

yerine 2 değerini koyarak

f(4)

değerini hesapla.

f(4) = f(2 \cdot 2) = f(2) + f(2) + f(2) \cdot f(2)

f(16)

değerine ulaşmak için önce ara değer olan

f(4)

'ün bulunması gerekir.

2

f(2)=2

değerini yerine yaz.

f(4) = 2 + 2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8

Fonksiyonun tanımı gereği değerleri yerine koyarak işlem yapılır.

3

Bulunan

f(4)

değerini kullanarak

f(16)

değerini hesapla (x=4, y=4).

f(16) = f(4 \cdot 4) = f(4) + f(4) + f(4) \cdot f(4)

Hedeflenen

f(16)

değerine ulaşmak için

16 = 4 \cdot 4

eşitliği kullanılır.

4

f(4)=8

değerini yerine yazıp sonucu bul.

f(16) = 8 + 8 + 8 \cdot 8 = 16 + 64 = 80

Son hesaplama ile doğru cevaba ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonel Eşitlikler

Hints

1

f(16)

değerini bulmak için doğrudan 16'yı çarpanlarına ayırmayı deneyin (örneğin

4 \cdot 4

veya

8 \cdot 2

).

2

Önce

f(4)

değerini bulmak için verilen eşitlikte

x=2

ve

y=2

yazın.

3

f(4)

değerini 8 olarak bulduktan sonra, eşitliği tekrar kullanarak

f(16) = f(4 \cdot 4)

işlemini yapın.

Practice More

Benzer bir mantıkla

f(xy) = f(x) + f(y)

eşitliğini sağlayan logaritmik fonksiyon sorularını inceleyin.

Alternative Method

Alternatif olarak

f(x)+1

ifadesine odaklanılabilir. Eşitliğin her iki tarafına 1 eklenirse

f(xy)+1 = (f(x)+1)(f(y)+1)

elde edilir.

f(2)+1=3

olduğundan

f(16)+1 = (f(2)+1)^4 = 3^4 = 81

ve buradan

f(16)=80

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 231Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ kümesinin alt kümeleri arasından, içerisinde ardışık iki tam sayı bulunmayanlar bir $S$ sınıfı oluşturmaktadır.

Buna göre, $S$ sınıfına ait alt kümelerin kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunur?

21

25

26

34

120

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

İstenen şartları sağlayan 26 farklı alt küme vardır.

Soruda iki kısıtlama vardır: (1) Ardışık sayı içermeme, (2) En az bir asal sayı içerme.
Çözüm için 'Tüm Ardışık Olmayanlar' sayısından 'İçinde Asal Bulunmayan Ardışık Olmayanlar' sayısı çıkarılır.

1. Tüm Ardışık Olmayanlar: 7 elemanlı bir küme için bu sayı 34'tür (Fibonacci ilişkisi veya kombinasyon hesabı ile).
2. İstenmeyen Durum (Hiç Asal Yok): Kümedeki asal olmayanlar

\{1, 4, 6\}

'dır. Bu sayıların hiçbiri ardışık olmadığı için, bu kümenin tüm alt kümeleri (8 adet) ardışık olmama kuralına uyar.
3. Sonuç:

34 - 8 = 26

.

Step-by-Step Solution

1

Problemi iki aşamaya ayır: Önce ardışık sayı içermeyen tüm alt kümelerin sayısını bul, sonra bunlardan hiç asal sayı içermeyenleri çıkar.

Strateji: Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar

'En az bir' ifadesi genellikle tümleyen mantığı ile (Tümü - Hiçbiri) daha kolay çözülür.

2

A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

kümesinde ardışık eleman içermeyen alt küme sayısını hesapla. Bu sayı

F_{n+2}

Fibonacci sayısıdır veya eleman sayısına göre sayılabilir.

0 elemanlı: 1 (

\emptyset

)
1 elemanlı: 7
2 elemanlı: 15
3 elemanlı: 10
4 elemanlı: 1
Toplam:

1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34

.

Ardışık eleman içermeyen alt küme sayısı hesabı.

3

İstenmeyen durumu belirle: İçinde ardışık sayı bulunmayan VE hiç asal sayı bulunmayan alt kümeler.

Asal olmayan elemanlar kümesi

K = \{1, 4, 6\}

.

A

kümesindeki asallar

\{2, 3, 5, 7\}

, asal olmayanlar

\{1, 4, 6\}

'dır.

4

K = \{1, 4, 6\}

kümesinin alt kümelerinden ardışık eleman içermeyenleri say.

K

kümesinin hiçbir elemanı birbiriyle ardışık değildir (farkları 1 değildir). Bu nedenle

K

'nın TÜM alt kümeleri şarta uyar.

2^3 = 8

.

1, 4 ve 6 sayıları arasında ardışıklık ilişkisi yoktur, dolayısıyla ek bir elemeye gerek kalmaz.

5

Tüm geçerli durumlardan istenmeyen durumu çıkar.

34 - 8 = 26

.

Sonuç bulma.

Key Concept

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Sayımı

Hints

1

'En az bir asal sayı bulunur' şartını doğrudan saymak yerine, tüm geçerli durumlardan hiç asal sayı bulunmayanları çıkarmayı deneyin.

2

Önce

A

kümesinin, içinde ardışık sayı bulunmayan kaç alt kümesi olduğunu hesaplayın. (Bunu eleman sayılarına göre gruplayarak yapabilirsiniz: 0 elemanlı, 1 elemanlı, vb.)

3

Ardışık sayı içermeyen toplam alt küme sayısı 34'tür. Şimdi sadece asal olmayan

\{1, 4, 6\}

elemanlarıyla oluşturulabilecek ardışık sayı içermeyen alt kümeleri bulup 34'ten çıkarın.

Practice More

Benzer mantığı pekiştirmek için, ardışık sayı içermeyen alt kümelerin kaç tanesinde 'çift sayı bulunmaz' sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Doğrudan Sayma Yöntemi: İçinde en az bir asal bulunan ardışık olmayan kümeleri; 1 asal içerenler, 2 asal içerenler vb. şeklinde gruplayarak da sayabilirsiniz, ancak bu yöntem çok daha fazla işlem gerektirir.

Estimated Time:4m 0s

Question 232Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde çalışan $40$ personelin tamamı C++ veya Python programlama dillerinden en az birini bilmektedir. Bu personellerden $25$ 'i C++, $23$ 'ü ise Python bilmektedir.

Buna göre, her iki programlama dilini de bilen personel sayısı kaçtır?

2

8

15

17

48

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Her iki dili de bilen personel sayısı 8'dir.

Toplam personel sayısı, her bir dili bilenlerin toplamından her iki dili bilenlerin (kesişim) çıkarılmasına eşittir. Matematiksel olarak

40 = 25 + 23 - x

denklemi kurulur. Buradan

40 = 48 - x

ve

x=8

bulunur. Yani 8 kişi her iki dili de bilmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri küme notasyonu ile tanımla.

Evrensel küme (toplam personel)

s(A \cup B) = 40

. C++ bilenler

s(A) = 25

. Python bilenler

s(B) = 23

. Bizden istenen

s(A \cap B)

değeridir.

Problemi matematiksel formüle dökmek için verileri ayrıştırmak gerekir.

2

Birleşim kümesi formülünü kullan.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülü kullanılır.

İki kümenin birleşimi, eleman sayılarının toplamından kesişimin çıkarılmasıyla bulunur.

3

Değerleri yerine koyarak denklemi çöz.

40 = 25 + 23 - s(A \cap B) \Rightarrow 40 = 48 - s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 8

.

Bilinmeyen kesişim değerini bulmak için işlem yapılır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim Formülü:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

Hints

1

C++ bilenler ile Python bilenlerin toplamını bulup, bu toplamın mevcut personel sayısından (40) ne kadar fazla olduğuna bakabilirsiniz.

2

Toplam sayı (

25 + 23 = 48

) mevcut kişi sayısından (

40

) fazladır. Bu fazlalık, her iki grupta da sayılan kişileri (kesişimi) gösterir.

3

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülünde

40 = 25 + 23 - x

eşitliğini çözmelisiniz.

Practice More

Benzer bir soruda 'sadece bir dili bilenler' sorulduğunda nasıl bir yol izleneceği üzerine çalışılabilir.

Estimated Time:45s

Question 233Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde $1$ veya $2$ elemanı bulunur, ancak $3$ elemanı bulunmaz?

8

16

24

32

48

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap 24'tür.

Soruda iki koşulun aynı anda sağlanması istenmektedir: (1) 3 elemanı bulunmayacak, (2) 1 veya 2 elemanlarından en az biri bulunacak. Öncelikle '3 bulunmaz' koşulu için 3'ü kümeden atarız; geriye

\{1, 2, 4, 5, 6\}

olmak üzere 5 eleman kalır. Bu 5 elemanla yazılabilecek tüm alt kümelerin sayısı

2^5 = 32

'dir. Bu 32 alt kümenin içinden, '1 veya 2 bulunur' koşulunu sağlamayanları (yani 1 ve 2'nin hiç bulunmadığı durumları) çıkarırız. 1 ve 2'yi de atarsak geriye

\{4, 5, 6\}

kalır ve bunlarla

2^3 = 8

alt küme yazılabilir. Sonuç olarak,

32 - 8 = 24

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

'3 elemanı bulunmaz' şartını sağlayan kümeyi belirle.

A

kümesinden

3

elemanını atarız. Geriye kalan küme

A' = \{1, 2, 4, 5, 6\}

olur. Bu kümenin eleman sayısı

n=5

'tir.

İstenmeyen eleman (3) kümeden çıkarılarak alt küme oluşumu sınırlandırılır.

2

A'

kümesinin tüm alt kümelerinin sayısını hesapla.

2^5 = 32

tane alt küme vardır.

Bu sayı, içinde 3 bulunmayan tüm olası alt kümelerin sayısıdır.

3

'1 veya 2 bulunur' şartının tersini (tümleyenini) düşün.

Tersi: '1 ve 2'nin hiçbiri bulunmaz'. Yani

A'

kümesinden 1 ve 2'yi de çıkarırsak geriye

\{4, 5, 6\}

kalır.

'Veya' bağlacını doğrudan hesaplamak yerine, tüm durumlardan 'hiçbiri' durumunu çıkarmak daha pratiktir.

4

İstenmeyen durum sayısını hesapla.

\{4, 5, 6\}

kümesinin alt küme sayısı

2^3 = 8

'dir.

Bu 8 alt kümede ne 1, ne 2, ne de 3 vardır.

5

Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkar.

32 - 8 = 24

.

Geriye kalan 24 alt kümede 3 yoktur ve (1 veya 2'den en az biri) vardır.

Key Concept

Alt küme hesaplarında koşullu sayma ve tümleyen (complement) yöntemi.

Hints

1

Önce '3 elemanı bulunmaz' şartını sağlamak için 3'ü kümeden tamamen çıkarıp düşünün.

2

'1 veya 2 bulunur' şartını hesaplarken, tüm durumlardan '1 ve 2'nin hiç bulunmadığı' durumları çıkarmak daha kolaydır.

3

3'ün olmadığı 5 elemanlı kümenin toplam alt küme sayısından (32), içinde ne 1'in ne de 2'nin olduğu alt kümeleri (8) çıkarın.

Alternative Method

Kümelerle Birleşim Formülü:

s(K_1 \cup K_2) = s(K_1) + s(K_2) - s(K_1 \cap K_2)

. Burada

K_1

: 1'in olduğu (ve 3'ün olmadığı) kümeler (

2^4=16

),

K_2

: 2'nin olduğu (ve 3'ün olmadığı) kümeler (

2^4=16

). Kesişim: Her ikisinin olduğu kümeler (

2^3=8

). Sonuç:

16 + 16 - 8 = 24

.

Estimated Time:2m 0s

Question 234Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde $A = \{x : |x - 2| \le 1\}$ ve $B = \{y : |y + 1| \le 2\}$ kümeleri tanımlanıyor.

Analitik düzlemde $A \times B$ kartezyen çarpımının grafiğini oluşturan tüm noktaları içine alan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?

2

\sqrt{5}

3

2\sqrt{5}

5

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{5}$

Answer

En küçük çemberin yarıçapı

\sqrt{5}

birimdir.

Doğru cevap,

A \times B

kümesinin oluşturduğu dikdörtgenin köşegen uzunluğunun yarısıdır. A kümesi x ekseninde 2 birim, B kümesi y ekseninde 4 birim uzunluğunda bir aralık belirtir. Pisagor bağıntısı ile köşegen

\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

bulunur. Yarıçap bunun yarısı olan

\sqrt{5}

'tir.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını ve analitik düzlemdeki sınırlarını belirle.

|x - 2| \le 1 \Rightarrow -1 \le x - 2 \le 1 \Rightarrow 1 \le x \le 3

. A kümesinin uç noktaları

x=1

ve

x=3

'tür.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x koordinatlarının aralığını bulmak gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını ve analitik düzlemdeki sınırlarını belirle.

|y + 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le y + 1 \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1

. B kümesinin uç noktaları

y=-3

ve

y=1

'dir.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek y koordinatlarının aralığını bulmak gerekir.

3

A \times B

kümesinin oluşturduğu geometrik şekli ve boyutlarını analiz et.

Noktalar

x \in [1, 3]

ve

y \in [-3, 1]

aralığında bir dikdörtgensel bölge oluşturur. Genişlik

= 3-1=2

birim, Yükseklik

= 1-(-3)=4

birimdir.

Kartezyen çarpım grafiği, belirtilen aralıklardaki tam sayı noktalarından oluşan bir ızgaradır.

4

Bu noktaları kapsayan en küçük çemberin yarıçapını hesapla.

Çemberin çapı, dikdörtgenin köşegenine eşittir. Köşegen

d = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

birimdir. Yarıçap

r = \frac{d}{2} = \sqrt{5}

birimdir.

Bir dikdörtgeni içine alan en küçük çember, o dikdörtgenin çevrel çemberidir ve çapı dikdörtgenin köşegenidir.

Key Concept

Kartezyen çarpım grafiğinin geometrik yorumu ve çevrel çember hesabı.

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek analitik düzlemde hangi aralıklara karşılık geldiklerini bulunuz.

2

A \times B

kümesinin elemanları analitik düzlemde bir dikdörtgenin köşeleri ve içindeki tam sayı noktalarıdır. Bu dikdörtgenin boyutlarını (en ve boy) hesaplayınız.

3

Noktaları içine alan en küçük çember, bu dikdörtgenin köşelerinden geçen çemberdir. Bu çemberin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir.

Practice More

Benzer bir soruda kümelerin kesişim bölgesinin alanı veya eleman sayısı sorulabilir.

Alternative Method

Çemberin merkezi dikdörtgenin ağırlık merkezidir. x orta noktası

(1+3)/2 = 2

, y orta noktası

(-3+1)/2 = -1

. Merkez

M(2, -1)

ile en uzak nokta olan

(3, 1)

arasındaki uzaklık formülüyle

r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 235Question →

$K = \{1, 2, 3, 4\}$ ve $L = \{a, b, c\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki şemada $K$ kümesinden $L$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonunun eşleşmeleri gösterilmiştir.

Buna göre, bu $f$ fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit fonksiyon

Birim fonksiyon

Birebir fonksiyon

Örten fonksiyon

Parçalı fonksiyon

Show answer & explanation

Answer: Sabit fonksiyon

Answer

Verilen şemada tanım kümesinin tüm elemanları değer kümesindeki aynı elemanla eşleştiği için bu bir sabit fonksiyondur.

Şemada görüldüğü üzere

K

kümesinin bütün elemanları (1, 2, 3 ve 4) oklarla

L

kümesindeki yalnızca 'b' elemanına yönlendirilmiştir. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü aynı olduğundan bu fonksiyon sabit fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1

Tanım kümesindeki (

K

) elemanların hangi elemanlarla eşleştiğini inceleyin.

1, 2, 3 ve 4 elemanlarının tamamı

b

elemanına gitmektedir.

Fonksiyonun çeşidini belirlemek için tanım ve değer kümeleri arasındaki ilişkiyi anlamak gerekir.

2

Elde edilen eşleşme kuralını fonksiyon tanımlarıyla karşılaştırın.

f(1)=b, f(2)=b, f(3)=b, f(4)=b

durumu görülmektedir.

Tüm giriş değerleri için tek bir çıkış değeri varsa bu 'sabitlik' özelliğidir.

3

Sonucu isimlendirin.

Bu özellik 'sabit fonksiyon' tanımına tam olarak uymaktadır.

f(x) = c

(sabit) biçimindeki fonksiyonlara sabit fonksiyon denir.

Key Concept

Sabit Fonksiyon Tanımı

Hints

1

Tanım kümesinden çıkan tüm okların nereye gittiğine dikkat edin.

2

Eğer bütün oklar değer kümesinde tek bir noktada toplanıyorsa, bu özel bir isim alır.

3

f(1)=b, f(2)=b, f(3)=b, f(4)=b

ise sonuç hiç değişmiyor demektir.

Practice More

Birim fonksiyonu anlamak için tanım kümesindeki elemanların tam olarak aynısının değer kümesinde de olduğu ve her elemanın kendine gittiği şemaları inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 236Question →

Bir kamu kurumunun ihale komisyonu tarafından incelenen 80 adet hizmet alım dosyasında; "Teminat Mektubu", "İş Bitirme Belgesi" ve "Personel Taahhüdü" olmak üzere üç farklı eksiklik türü tespit edilmiştir.

Eksikliklerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Personel taahhüdü eksikliği bulunan her dosyada, aynı zamanda İş bitirme belgesi eksikliği de bulunmaktadır.
* Teminat mektubu eksikliği bulunan dosyaların hiçbirinde Personel taahhüdü eksikliği yoktur.
* Sadece tek tür eksikliği bulunan dosya sayısı, tam olarak iki tür eksikliği bulunan dosya sayısının 3 katıdır.
* Teminat mektubu eksikliği bulunan toplam dosya sayısı, İş bitirme belgesi eksikliği bulunan toplam dosya sayısına eşittir.

Sadece İş bitirme belgesi eksikliği olan dosya sayısı, Personel taahhüdü eksikliği olan dosya sayısından 12 fazladır.

Buna göre, sadece Teminat mektubu eksikliği bulunan dosya sayısı kaçtır?

12

24

36

44

48

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Sadece Teminat mektubu eksikliği bulunan dosya sayısı 36'dır.

Verilen koşullara göre, Personel taahhüdü eksikliği (P) İş bitirme belgesi eksikliğinin (İ) alt kümesidir (

P \subset İ

). Teminat mektubu (T) ile P ayrıktır. Bu yapı kurulup denklem sistemi çözüldüğünde, sadece Teminat mektubu eksikliği olan dosya sayısı (

x

) 36 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bölgeleri harflendir.

T: Teminat, İ: İş Bitirme, P: Personel.
Sadece T olanlar:

x

Sadece İ olanlar:

y

Sadece P olanlar:

\emptyset

(P, İ'nin alt kümesi olduğu için P'deki her eleman aynı zamanda İ'dedir, yani 2 eksikliği vardır)
T ve İ kesişimi (sadece):

z

P kümesi (P ve İ kesişimi):

t

Problemdeki 'alt küme' ve 'ayrık küme' ilişkilerini matematiksel modele dökmek için.

2

Verilen ilişkileri denklemlere dönüştür.

1. Toplam dosya:

x + y + z + t = 80

2. Tek tür eksiklik (

x+y

) = 3 * İki tür eksiklik (

z+t

)
3.

n(T) = n(İ) \Rightarrow x + z = y + z + t \Rightarrow x = y + t

4.

y = t + 12

Sözel ifadeleri cebirsel eşitliklere çevirmek.

3

Denklem sistemini çöz.

(x+y) = 3(z+t)

ve toplam 80 ise

\Rightarrow 4(z+t) = 80 \Rightarrow z+t=20

.
Bu durumda

x+y=60

.

x = y+t

denklemini

x+y=60

'ta yerine koy:

(y+t) + y = 60 \Rightarrow 2y + t = 60

.

Bilinmeyen sayısını azaltarak çözüme gitmek.

4

İki bilinmeyenli denklemi çözerek

x

'i bul.

2y + t = 60

ve

y - t = 12

.
Taraf tarafa topla:

3y = 72 \Rightarrow y = 24

.

t = 12

.

x = y + t = 24 + 12 = 36

.

Soruda istenen 'Sadece Teminat mektubu eksikliği' (

x

) değerini hesaplamak.

Key Concept

Kümelerde Alt Küme ve Ayrık Küme Problemleri

Hints

1

Kümeleri çizerken 'Personel' kümesini 'İş Bitirme' kümesinin içine çizin. 'Teminat' kümesi ile 'Personel' kümesinin kesişmediğine dikkat edin.

2

Toplam dosya sayısını bölgelere ayırın: Sadece T (

x

), Sadece İ (

y

), T ve İ kesişimi (

z

), P kümesi (

t

). P kümesindeki elemanların hem P hem İ özelliğine sahip olduğunu (yani 2 eksiklik sayıldığını) unutmayın.

3

x+y = 3(z+t)

ve

x+y+z+t=80

denklemlerini kullanarak önce

x+y

ve

z+t

toplamlarını bulun.

Practice More

Benzer bir soruyu, 'Her üç eksikliğin de bulunduğu' bir durum ekleyerek ve toplam sayıyı değiştirerek çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Toplam 80 dosya var. Tek tür eksiklik (

A

) ve iki tür eksiklik (

B

) olsun.

A = 3B

ve

A+B=80

ise

4B=80 \Rightarrow B=20, A=60

.

n(T)=n(İ)

olduğundan ve simetriden yola çıkarak, fark denklemiyle (

y-t=12

) yerine koyma yapılabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 237Question →

A ve B, boş kümeden farklı ve ayrık iki kümedir.

s((A \cup B) \times A) = 40

olduğuna göre, s(B) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

27

57

63

66

90

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

s(B) değerlerinin toplamı 66'dır.

Verilen eşitlik

s(A) \cdot (s(A) + s(B)) = 40

şeklinde düzenlendiğinde,

s(A)

sayısı 40'ın çarpanı olmalıdır. Ancak

s(B) \ge 1

olduğu için

s(A) < s(A)+s(B)

eşitsizliği, yani

s(A)^2 < 40

şartı sağlanmalıdır. Bu şartı sağlayan

s(A)

değerleri 1, 2, 4 ve 5'tir. Bu değerlere karşılık gelen

s(B)

değerleri sırasıyla 39, 18, 6 ve 3 bulunur. Toplamları 66 eder.

Step-by-Step Solution

1

Kartezyen çarpım eleman sayısı formülünü ve ayrık küme özelliğini denkleme uygula.

s((A \cup B) \times A) = s(A \cup B) \cdot s(A) = 40

A ve B ayrık olduğu için

s(A \cup B) = s(A) + s(B)

olur. Denklem

(s(A) + s(B)) \cdot s(A) = 40

halini alır.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

2

Değişken ataması yaparak s(A) için olası tam sayı değerlerini belirle.

s(A) = a

ve

s(B) = b

olsun.

a \cdot (a+b) = 40

denkleminde, kümeler boş kümeden farklı olduğu için

b \ge 1

olmalıdır. Bu durumda

a+b > a

şartı sağlanmalıdır.

a

, 40'ın

a^2 < 40

şartını sağlayan pozitif çarpanları olmalıdır.

Kümelerin eleman sayıları doğal sayı olmak zorundadır ve b'nin varlığı a çarpanını sınırlar.

3

Olası 'a' değerleri için 'b' değerlerini hesapla.

-

a=1

için:

1 \cdot (1+b) = 40 \Rightarrow 1+b=40 \Rightarrow b=39

-

a=2

için:

2 \cdot (2+b) = 40 \Rightarrow 2+b=20 \Rightarrow b=18

-

a=4

için:

4 \cdot (4+b) = 40 \Rightarrow 4+b=10 \Rightarrow b=6

-

a=5

için:

5 \cdot (5+b) = 40 \Rightarrow 5+b=8 \Rightarrow b=3

(Not:

a=8

denenirse

8(8+b)=40 \Rightarrow 8+b=5 \Rightarrow b=-3

olur, bu imkansızdır.)

Her bir geçerli s(A) değeri için s(B)'yi tek tek bulmak gerekir.

4

Bulunan farklı s(B) değerlerini topla.

39 + 18 + 6 + 3 = 66

Soruda alabileceği değerlerin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Kartezyen Çarpım ve Küme Problemleri

Hints

1

Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı olan

s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y)

eşitliğini kullanın.

2

A ve B ayrık kümeler olduğu için

s(A \cup B)

yerine

s(A) + s(B)

yazarak denklemi

s(A)

ve

s(B)

cinsinden ifade edin.

3

a \cdot (a+b) = 40

denkleminde

a

(yani

s(A)

), 40'ın bir çarpanıdır ve

b \ge 1

olduğu için

a < \sqrt{40}

olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla

s(A \cap B) \neq 0

olan durumları inceleyen sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 238Question →

$A = \{a, b, c, d\}$ ve $B = \{1, 2, 3\}$ kümeleri veriliyor. $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlanabilecek fonksiyonların kaç tanesi örten fonksiyondur?

24

36

48

64

81

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

36 farklı örten fonksiyon tanımlanabilir.

4 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir kümeye tanımlanan örten fonksiyonlarda, değer kümesindeki bir eleman mutlaka iki kez, diğerleri birer kez görüntülenir.

\binom{3}{1} \times \binom{4}{2} \times 2! = 36

işlemiyle doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Örten fonksiyon tanımını hatırla

Görüntü kümesi (B), değer kümesine eşit olmalıdır. Yani B kümesindeki her elemana en az bir ok gelmelidir.

Örten fonksiyonun şartı, değer kümesinde boşta eleman kalmamasıdır.

2

Eleman dağılımı yapısını belirle

4 elemanlı A kümesinden 3 elemanlı B kümesine örten olması için, B'deki bir elemana 2 ok, diğer iki elemana 1'er ok gelmelidir (2+1+1 yapısı).

Değer kümesindeki 3 elemanın hepsi kullanılmalı ve toplam 4 tanım kümesi elemanı dağıtılmalıdır.

3

2 ok alacak elemanı ve bu elemana gidecek ikiliyi seç

B kümesinden 2 ok alacak eleman

\binom{3}{1} = 3

farklı şekilde, A kümesinden bu elemana gidecek ikili

\binom{4}{2} = 6

farklı şekilde seçilir.

Hangi çıktının iki kez kullanılacağını ve hangi girdilerin buna eşleşeceğini belirlemek gerekir.

4

Kalan elemanları dağıt (sırala)

A'da kalan 2 eleman, B'de kalan 2 elemana

2! = 2

farklı şekilde eşleşir.

Kalan elemanlar birebir eşleşmelidir.

5

Tüm durumları çarp

3 \times 6 \times 2 = 36

Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği bağımsız seçim sayıları çarpılır.

Key Concept

Örten Fonksiyon Sayısı (Parçalanış Yöntemi)

Hints

1

Örten fonksiyon olması için B kümesindeki (1, 2, 3) elemanlarının her biri en az bir kez kullanılmalıdır.

2

A kümesinde 4 eleman, B kümesinde 3 eleman var. Bu durumda B'deki bir elemana A'dan kesinlikle iki ok gelmek zorundadır.

3

B kümesinden 2 ok alacak elemanı seçin (3 seçenek). A'dan bu elemana gidecek 2 elemanı seçin (

\binom{4}{2}

). Kalanları sıralayın.

Practice More

A={1,2,3,4,5} ve B={1,2,3} kümeleri için örten fonksiyon sayısı kaçtır?

Alternative Method

İçerme-Dışarma Prensibi: Toplam fonksiyon sayısı - (Örten olmayanlar). Tüm fonksiyonlar

3^4=81

. 1 elemanın boşta kaldığı durumlar:

\binom{3}{1} \cdot 2^4 = 48

. 2 elemanın boşta kaldığı (görüntü kümesinin 1 elemanlı olduğu) durumlar:

\binom{3}{2} \cdot 1^4 = 3

. Sonuç:

81 - 48 + 3 = 36

.

Estimated Time:2m 30s

Question 239Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 2\}

B = \{y \in \mathbb{Z} : 1 < y \le 5\}

Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesi $y = x^2 + 1$ eşitliğini sağlar?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Şartı sağlayan 4 eleman vardır.

Soruda istenen eleman sayısı,

A

kümesindeki

x

değerlerinden yola çıkılarak hesaplanan

y=x^2+1

değerlerinin

B

kümesi içinde kalma durumuna göre belirlenir.

A=\{-2,-1,0,1,2\}

ve

B=\{2,3,4,5\}

olarak bulunur.

x=0

için elde edilen

y=1

değeri

B

kümesine dahil değildir. Diğer 4 değer (

-2, -1, 1, 2

) için elde edilen sonuçlar

B

kümesindedir.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

|x| \le 2

eşitsizliğini sağlayan tam sayılar:

\{-2, -1, 0, 1, 2\}

.

Mutlak değer eşitsizliği

-2 \le x \le 2

şeklinde açılır.

2

B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

1 < y \le 5

eşitsizliğini sağlayan tam sayılar:

\{2, 3, 4, 5\}

.

1

dahil değildir (küçüktür),

5

dahildir (küçük eşittir).

3

A kümesindeki her

x

değeri için

y = x^2 + 1

değerini hesapla ve sonucun B kümesinde olup olmadığını kontrol et.

Değerler kontrol ediliyor...

Bir sıralı ikilinin

(x,y) \in A \times B

olabilmesi için

x \in A

ve

y \in B

olmalıdır.

4

Hesaplamaları ve kontrolleri yap.

1.

x = -2 \Rightarrow y = (-2)^2 + 1 = 5

. (

5 \in B

, ✓ Geçerli)
2.

x = -1 \Rightarrow y = (-1)^2 + 1 = 2

. (

2 \in B

, ✓ Geçerli)
3.

x = 0 \Rightarrow y = 0^2 + 1 = 1

. (

1 \notin B

, ✗ Geçersiz - Çünkü

y > 1

olmalı)
4.

x = 1 \Rightarrow y = 1^2 + 1 = 2

. (

2 \in B

, ✓ Geçerli)
5.

x = 2 \Rightarrow y = 2^2 + 1 = 5

. (

5 \in B

, ✓ Geçerli)

Bulunan y değerlerinin B kümesinin tanım aralığına uyup uymadığına bakılır.

5

Geçerli ikilileri say.

Toplam 4 geçerli ikili:

(-2, 5), (-1, 2), (1, 2), (2, 5)

.

Sonuç adımı.

Key Concept

Kartezyen Çarpım Alt Kümesi ve Bağıntı

Hints

1

Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını açık bir şekilde (liste yöntemiyle) yazınız.

2

B kümesinin tanımındaki

1 < y \le 5

ifadesine dikkat edin; 1 sayısı bu kümeye dahil değildir.

3

A kümesindeki her bir elemanı (

x

) denklemde yerine koyun ve çıkan sonucun (

y

) B kümesinde olup olmadığını tek tek kontrol edin.

Practice More

Bağıntının grafiğinin çizilmesi ve kartezyen düzlemde gösterimi ile ilgili sorular çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 240Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı

A

kümesi,

A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \frac{x^2 + 2x + 60}{x + 2} \in \mathbb{Z} \right\}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $A$ kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

-48

-24

0

24

60

Show answer & explanation

Answer: -48

Answer

A kümesinin elemanlarının toplamı -48'dir.

Verilen küme tanımına göre

\frac{x^2+2x+60}{x+2}

ifadesi

x + \frac{60}{x+2}

olarak sadeleşir. Bu ifadenin tam sayı olması için

x+2

'nin 60'ın böleni olması gerekir. 60 sayısının 24 adet tam sayı böleni vardır (

k

). Her bölen için

x = k-2

değeri elde edilir. Bölenlerin toplamı (

\\sum k

) 0 olduğundan, tüm

x

değerlerinin toplamı

0 - 2 \\times 24 = -48

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi polinom bölmesi veya çarpanlara ayırma yöntemiyle basitleştirin.

\frac{x^2 + 2x + 60}{x + 2} = \frac{x(x + 2) + 60}{x + 2} = x + \frac{60}{x + 2}

İfadenin tam sayı olma şartını daha kolay analiz edebilmek için tam kısım ve kesirli kısım ayrılmalıdır.

2

İfadenin tam sayı olması için gereken koşulu belirleyin.

x + \frac{60}{x + 2} \in \mathbb{Z}

olması için,

\frac{60}{x + 2}

ifadesinin tam sayı olması gerekir. Yani

(x + 2)

, 60 sayısının bir tam sayı böleni olmalıdır.

x

bir tam sayı olduğundan, sonucun tam sayı olması için kesirli kısmın da tam sayı olması şarttır.

3

Bölenler kümesini ve

x

değerlerinin toplamını hesaplayın.

x + 2 = k

diyelim, burada

k

, 60'ın bir tam sayı bölenidir. Buradan

x = k - 2

bulunur. İstenen toplam:

\sum x = \sum (k - 2)

.

Her bir bölen değeri için bir

x

değeri üretilecektir. Tüm

x

değerlerinin toplamı istenmektedir.

4

Toplam formülünü uygulayarak sonucu bulun.

60 sayısının tam sayı bölenleri simetriktir (örn.

1

ve

-1

). Bu nedenle

\sum k = 0

olur. 60'ın toplam bölen sayısı 24'tür (Pozitif bölen sayısı 12

\times

2). Toplam

= \sum (k - 2) = \sum k - \sum 2 = 0 - (24 \times 2) = -48

.

Bir sayının tüm tam sayı bölenlerinin toplamı 0'dır. Toplam sembolü dağıtıldığında sabit terim bölen sayısı kadar toplanır.

Key Concept

Bir kümenin ortak özellik yöntemiyle tanımlanması ve tam sayı bölenleri analizi.

Hints

1

İfadeyi

x + \frac{A}{x+2}

şeklinde basitleştirmek çözümünüzü kolaylaştıracaktır.

2

Tam sayılar kümesinde (

\\mathbb{Z}

) çalıştığınızı unutmayın; bölenler negatif de olabilir.

3

x+2

değeri 60'ın tüm tam sayı bölenlerini alır. Bir sayının pozitif ve negatif tüm bölenlerinin toplamı 0'dır, ancak her

x

değeri bu bölenlerden 2 eksiktir.

Practice More

Benzer mantıkla,

B = \{ x \in \mathbb{N} \mid \dots \}

şeklinde tanımlı ve doğal sayı kısıtlaması olan bir kümenin eleman sayısını bulmaya çalışın.

Alternative Method

Tüm bölenleri tek tek listelemek yerine,

60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1

asal çarpanlarını kullanarak pozitif bölen sayısının

(2+1)(1+1)(1+1)=12

olduğunu, toplam bölen sayısının ise

24

olduğunu bulup formül kullanmak zaman kazandırır.

Estimated Time:2m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept