Kümeler ve Fonksiyonlar

Question 241Question →

Bir kamu kurumuna iş başvurusu yapan 45 adaydan her biri "Yüksek Lisans Mezuniyeti" veya "Yabancı Dil Belgesi" kriterlerinden en az birine sahip olabilir; ancak adayların bir kısmında bu özelliklerin hiçbiri bulunmamaktadır.

Bu adaylardan 25'inin yüksek lisans mezuniyeti, 22'sinin yabancı dil belgesi vardır. 8 adayın ise bu iki özelliğe de sahip olmadığı bilinmektedir.

Buna göre, bu adaylardan kaç tanesi sadece bir özelliğe sahiptir?

10

12

15

27

37

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Sadece bir özelliğe sahip olan aday sayısı 27'dir.

Toplam 45 adaydan 8'i hiçbir özelliğe sahip değilse, geriye kalan 37 aday en az bir özelliğe sahiptir. Yüksek lisansı olan 25 kişi ile yabancı dili olan 22 kişinin toplamı 47 eder. Bu toplamın birleşim sayısı olan 37'den fazla olmasının sebebi, her iki özelliğe sahip olanların iki kez sayılmış olmasıdır. Bu fark (47 - 37 = 10) kesişim kümesini verir. Sadece bir özelliği olanlar ise; sadece yüksek lisansı olan (25 - 10 = 15) ve sadece yabancı dili olan (22 - 10 = 12) adayların toplamı olan 27'dir.

Step-by-Step Solution

1

En az bir özelliğe sahip olan aday sayısını (

M \cup L

) hesaplayın.

45 - 8 = 37

Toplam aday sayısından hiçbir özelliğe sahip olmayanları çıkardığımızda, en az bir kritere uyan adayların sayısını buluruz.

2

Her iki özelliğe de sahip olan aday sayısını (

M \cap L

) bulun.

s(M \cup L) = s(M) + s(L) - s(M \cap L) \Rightarrow 37 = 25 + 22 - s(M \cap L) \Rightarrow s(M \cap L) = 10

Birleşim kümesi formülünü kullanarak hem yüksek lisansı hem de dil belgesi olanların sayısını belirleriz.

3

Sadece bir özelliğe sahip olan bölgelerin eleman sayılarını ayrı ayrı hesaplayın.

Sadece Yüksek Lisans:

25 - 10 = 15

; Sadece Yabancı Dil:

22 - 10 = 12

Toplam özellik sayılarından kesişim bölgesini çıkararak sadece ilgili özelliğe sahip olan adaylara ulaşırız.

4

Sadece bir özelliği olan adayların toplamını bulun.

15 + 12 = 27

Soruda istenen 'sadece bir özellik' ifadesi, bu iki bölgenin toplamını temsil eder.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Formülü

Hints

1

Tüm aday sayısından hiçbir özelliğe sahip olmayan 8 kişiyi çıkararak işleme başlayın.

2

Bulduğunuz bu sayı (37), kümelerin birleşimini (

s(M \cup L)

) temsil eder. Şimdi

s(M) + s(L)

toplamından bu birleşimi çıkararak ortak bölgeyi bulun.

3

Kesişim kümesini 10 olarak bulduktan sonra, Venn şeması üzerinde sadece bir daireye ait olan bölgeleri (15 ve 12) toplayın.

Practice More

Üçlü küme problemlerinde benzer mantığı uygulayarak 'en az iki' veya 'en çok bir' kavramlarını çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Soru birleşim kümesinden (

M \cup L

) kesişim kümesini (

M \cap L

) çıkararak da çözülebilir:

37 - 10 = 27

.

Estimated Time:1m 30s

Question 242Question →

Bir ihracat firmasında çalışan $48$ personelin her biri İngilizce veya Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. Bu personellerden İngilizce bilenlerin sayısı, sadece Fransızca bilenlerin sayısının $3$ katıdır. Ayrıca sadece İngilizce bilenlerin sayısı, her iki dili de bilenlerin sayısından $6$ fazladır. Buna göre, bu firmada sadece İngilizce bilen kaç personel vardır?

12

15

18

21

36

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Sadece İngilizce bilen personel sayısı 21'dir.

Toplam personel sayısı

48

'dir. Sadece Fransızca bilenlere

x

dersek, İngilizce bilenlerin tamamı

3x

olur. Toplam sayı

x + 3x = 48

olduğundan

4x=48

ve

x=12

bulunur. İngilizce bilenlerin toplamı

36

'dır. Sadece İngilizce bilenler (

z

), her iki dili bilenlerden (

y

)

6

fazla olduğuna göre ve

y+z=36

ise;

y + (y+6) = 36

denkleminden

2y=30

,

y=15

bulunur. Sadece İngilizce bilenler

z = 15 + 6 = 21

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.

Sadece Fransızca bilenler =

x

, Her ikisini bilenler =

y

, Sadece İngilizce bilenler =

z

. Herkes en az bir dil bildiği için evrensel küme

x + y + z = 48

.

Problemi matematiksel denklemlere dökebilmek için değişken atamak gerekir.

2

Verilen ilişkileri denkleme dök.

İngilizce bilenler (

y+z

) sadece Fransızca bilenlerin (

x

) 3 katıdır:

y + z = 3x

. Sadece İngilizce bilenler (

z

) her iki dili bilenlerden (

y

) 6 fazladır:

z = y + 6

.

Sözel ifadeler matematiksel eşitliklere dönüştürülür.

3

Toplam personel denkleminde yerine koyarak

x

'i bul.

x + (y + z) = 48

denkleminde

(y+z)

yerine

3x

yazılır:

x + 3x = 48 \Rightarrow 4x = 48 \Rightarrow x = 12

.

Tek bilinmeyenli denklemden temel değişkenlerden biri bulunur.

4

Diğer değişkenleri hesapla ve istenen değeri bul.

y + z = 3x = 3(12) = 36

. Ayrıca

z = y + 6

olduğu için

y + (y + 6) = 36 \Rightarrow 2y = 30 \Rightarrow y = 15

. Son olarak

z = 15 + 6 = 21

.

Bulunan

x

değeri ve diğer denklemler kullanılarak sadece İngilizce bilenler (

z

) hesaplanır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

Question 243Question →

Aşağıdaki Venn şeması ile $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonunun eşleşmeleri verilmiştir.

Buna göre, bu $f$ fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit fonksiyon

Birim fonksiyon

Birebir fonksiyon

Örten fonksiyon

Tek fonksiyon

Show answer & explanation

Answer: Sabit fonksiyon

Answer

Verilen şemadaki fonksiyon, tüm tanım kümesi elemanlarını tek bir değere götürdüğü için sabit fonksiyondur.

Şemada görüldüğü üzere

A

kümesinin tüm elemanları (

k, l, m

),

B

kümesindeki tek bir eleman olan

4

ile eşleşmiştir. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü aynı olduğundan bu bir sabit fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1

Tanım kümesindeki elemanların hangi değerlerle eşleştiğini inceleyin.

k \rightarrow 4

,

l \rightarrow 4

ve

m \rightarrow 4

eşleşmeleri görülmektedir.

Fonksiyonun türünü belirlemek için girdi ve çıktı ilişkisine bakılmalıdır.

2

Elde edilen çıktıların (görüntülerin) ortak özelliğini belirleyin.

Tüm çıktıların aynı sayı (

4

) olduğu belirlenmiştir.

Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi fonksiyonun özel bir çeşidini tanımlar.

3

Fonksiyon tanımıyla karşılaştırma yapın.

Tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit değere götüren fonksiyonlar 'Sabit Fonksiyon' olarak adlandırılır.

Matematiksel tanım gereği

f(x) = c

(c bir sabit) formatındaki fonksiyonlar sabittir.

Key Concept

Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her bir elemanın, değer kümesindeki yalnızca bir ve aynı elemanla eşleştiği fonksiyon türüdür.

Hints

1

Okların uçlarının değer kümesinde (sağdaki küme) kaç farklı noktaya değdiğine bakın.

2

Eğer tüm oklar aynı noktada buluşuyorsa, bu durum fonksiyonun 'değişmez' veya 'sabit' bir sonuç ürettiğini gösterir.

3

k

,

l

ve

m

elemanlarının hepsinin görüntüsü

4

'tür. Yani

f(k)=4, f(l)=4, f(m)=4

durumu vardır.

Practice More

Şemadaki okların her birini farklı bir elemana yönlendirerek fonksiyonun nasıl 'birebir' hale gelebileceğini düşünün.

Estimated Time:45s

Question 244Question →

f

gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyon olmak üzere,

f\left(\frac{x+1}{2}\right) = x^2 - x + 4

eşitliği veriliyor. Buna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

6

10

16

24

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Verilen fonksiyon eşitliğinde istenen f(2) değerini bulmak için parantez içindeki ifade 2'ye eşitlenir ve bulunan x değeri sağ taraftaki ifadede yerine yazılır; sonuç 10'dur.

Doğru yanıt olan 10 değeri, fonksiyonun içindeki rasyonel ifadenin 2 olması için gerekli olan x değerinin (x=3) doğru tespit edilip fonksiyon kuralında hatasız uygulanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki ifadeyi hedef değere eşitleyin.

x = 3

f(2)

değerini bulmak için

\frac{x+1}{2} = 2

denklemi çözülür. Buradan

x+1 = 4

ve

x = 3

bulunur.

2

Bulunan

x

değerini fonksiyonun kuralında yerine yazın.

3^2 - 3 + 4

Fonksiyonun çıktısını hesaplamak için

x

yerine 3 yazılmalıdır.

3

İşlemi tamamlayın.

10

9 - 3 + 4 = 6 + 4 = 10

olarak hesaplanır.

Key Concept

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Değişken Dönüşümü)

Hints

1

Fonksiyonun içindeki

\frac{x+1}{2}

ifadesini 2 yapmak için

x

yerine kaç yazmanız gerektiğini düşünün.

2

\frac{x+1}{2} = 2

denklemini çözerek

x

değerini bulun. Bulduğunuz bu değeri sağdaki

x^2 - x + 4

ifadesinde her

x

yerine yazın.

3

x=3

değerini fonksiyonda yerine koyduğunuzda

3^2 - 3 + 4

işleminin sonucuna odaklanın.

Practice More

Benzer şekilde

f(2x-1) = g(x+1)

tarzındaki iki fonksiyonlu eşitliklerde değer bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Değişken dönüşümü yaparak fonksiyonu

f(u)

cinsinden yazabilirsiniz:

x = 2u - 1

dönüşümü yapılırsa

f(u) = (2u-1)^2 - (2u-1) + 4

olur. Burada

u=2

yazılarak da sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 245Question →

$A = \{m, n, p, r\}$ ve $B = \{p, r, s, t\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki Venn şemasında taralı (boyalı) bölge ile gösterilen küme aşağıdakilerden hangisidir?

\{p, r\}

\{m, n, p, r, s, t\}

\{m, n\}

\{s, t\}

\{m, n, s, t\}

Show answer & explanation

Answer: $\{p, r\}$

Answer

Ortak elemanlardan oluşan

\{p, r\}

kümesi.

Venn şemasında iki dairenin kesiştiği (üst üste bindiği) orta bölge, her iki kümenin de ortak elemanlarını barındıran kesişim kümesini temsil eder. Verilen

A

ve

B

kümelerinde ortak olan elemanlar

p

ve

r

harfleridir. Bu nedenle taralı bölge

\{p, r\}

kümesine karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Venn şemasındaki taralı bölgenin hangi işlemi temsil ettiğini belirle.

İki kümenin üst üste bindiği orta bölge, kesişim (

A \cap B

) işlemini temsil eder.

Kesişim işlemi, her iki kümede de aynı anda bulunan ortak elemanları kapsar.

2

A

ve

B

kümelerindeki ortak elemanları listele.

p

ve

r

harfleri her iki kümede de bulunmaktadır.

A = \{m, n, \mathbf{p, r}\}

ve

B = \{\mathbf{p, r}, s, t\}

olduğu için ortak elemanlar belirlenir.

3

Sonucu küme parantezi içinde ifade et.

A \cap B = \{p, r\}

Kesişim kümesi ortak elemanların bir araya getirilmesiyle oluşur.

Key Concept

Kümelerde Kesişim İşlemi (

A \cap B

)

Hints

1

Venn şemasında iki kümenin birbirine geçtiği ortak alana odaklanın.

2

Bu bölge 'kesişim' kümesidir. Sembolü

\cap

şeklindedir ve her iki kümede de bulunan elemanları içerir.

3

A

ve

B

kümelerinin listesine bakarak her ikisinde de yazılı olan harfleri seçin.

Practice More

Aynı kümeler için taralı bölgenin tüm alanı (her iki dairenin tamamı) olması durumunda sonucun ne olacağını düşünün.

Alternative Method

Kümeleri alt alta yazarak aynı olanların altını çizebilirsiniz. Çizdiğiniz elemanlar şemadaki taralı bölgeye yerleşecek olan elemanlardır.

Estimated Time:45s

Question 246Question →

$E$ evrensel kümesinin boş olmayan $A$ ve $B$ alt kümeleri veriliyor.

Buna göre,

\left[ (A \cup B')' \cup (A \cap B) \right]'

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

B'

B

A

A'

\emptyset

Show answer & explanation

Answer: $B'$

Answer

Verilen ifade sadeleştirildiğinde

B'

(B kümesinin tümleyeni) sonucuna ulaşılır.

İfadenin çözümü mantıksal işlem sırasına göre yapıldığında, iç kısımdaki terimler

B

kümesine indirgenir. En dıştaki tümleme işareti nedeniyle sonuç

B

kümesinin tümleyeni (

B'

) olur.

Step-by-Step Solution

1

İlk parantez içindeki

(A \cup B')'

ifadesine De Morgan kuralını uygula.

(A' \cap (B')') = A' \cap B

De Morgan kuralı gereği

(X \cup Y)' = X' \cap Y'

ve

(X')' = X

tir.

2

Elde edilen ifadeyi yerine yaz ve köşeli parantez içindeki birleşim işlemini düzenle.

(A' \cap B) \cup (A \cap B)

İfade ortak çarpan parantezine alınabilir.

3

B

kümesi ortak olduğu için dağılma özelliğini tersine kullan (B parantezine al).

B \cap (A' \cup A)

Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği:

(X \cap Y) \cup (Z \cap Y) = (X \cup Z) \cap Y

.

4

A' \cup A

ifadesinin evrensel kümeye (

E

) eşit olduğunu kullan.

B \cap E = B

Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi verir; evrensel küme ile kesişim kümenin kendisidir.

5

Son olarak, en dıştaki tümleme işlemini uygula.

B'

Köşeli parantezin içi

B

olarak bulundu, dışındaki

'

işareti tümleyeni ifade eder.

Key Concept

De Morgan Kuralları ve Dağılma Özelliği

Hints

1

Önce en içteki parantez olan

(A \cup B')'

ifadesini De Morgan kuralını kullanarak açın.

2

Elde ettiğiniz ifadede

(A' \cap B)

ve

(A \cap B)

terimlerini göreceksiniz. Her iki terimde de ortak olan küme hangisidir?

3

İfadeyi

B

parantezine aldığınızda

(A' \cup A)

oluşur. Bu birleşim evrensel kümeye eşittir. Sonucu bulduktan sonra en dıştaki tümleme işaretini unutmayın.

Alternative Method

Venn şeması çizerek de çözülebilir: İki kesişen küme çizin.

A \cup B'

bölgesi, 'sadece B' bölgesi dışındaki her yerdir. Bunun tümleyeni

(A \cup B')'

ise 'sadece B' bölgesidir (

B \setminus A

).

A \cap B

ise kesişim bölgesidir. Bu ikisinin birleşimi ('sadece B' ve 'kesişim') B kümesinin tamamını verir. B'nin tümleyeni ise

B'

olur.

Estimated Time:2m 0s

Question 247Question →

Pozitif tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}^+$ ) üzerinde $A$ kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{ n \in \mathbb{Z}^+ \mid n \le 120 \text{ ve } \text{EBOB}(n, 12) = \text{EBOB}(n, 18) \}

Buna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

77

80

83

90

107

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

80

Verilen EBOB eşitliği, sayının 4'e ve 9'a tam bölünmemesi gerektiğini gösterir. 1'den 120'ye kadar olan 120 sayıdan, 4'ün veya 9'un katı olanlar çıkarıldığında geriye 80 sayı kalır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitlik koşulunu asal çarpanlar üzerinden analiz etme

EBOB(n, 12) = EBOB(n, 18) koşulu incelenir.

12 = 2^2 \cdot 3^1

ve

18 = 2^1 \cdot 3^2

dir. Eşitliğin sağlanması için n sayısının asal çarpanlarındaki 2 ve 3'ün kuvvetleri sınırlanmalıdır.

EBOB hesabı, asal çarpanların minimum üslerine bağlıdır.

2

Kuvvet sınırlarını belirleme

n sayısındaki 2'nin kuvveti

a

, 3'ün kuvveti

b

olsun.

\min(a, 2) = \min(a, 1)

olması için

a < 2

(yani

a=0

veya

1

) olmalıdır. Benzer şekilde

\min(b, 1) = \min(b, 2)

olması için

b < 2

(yani

b=0

veya

1

) olmalıdır.

Bu koşul, n sayısının

2^2=4

ile ve

3^2=9

ile tam bölünemeyeceği anlamına gelir.

3

İstenmeyen durumları sayma

1 ile 120 aralığında 4'e bölünenler:

120/4 = 30

tane. 9'a bölünenler:

120/9 = 13

tane (tam kısım). Hem 4 hem 9'a (yani 36'ya) bölünenler:

120/36 = 3

tane.

Küme eleman sayısını bulmak için kapsama-dışlama prensibi uygulanır.

4

Kalan eleman sayısını hesaplama

Tüm sayılardan, 4'e veya 9'a bölünenlerin sayısı çıkarılır:

120 - (30 + 13 - 3) = 120 - 40 = 80

.

İstenen küme, 4 ve 9'un katı olmayan sayıları içerir.

Key Concept

EBOB özelliklerini kullanarak küme elemanlarını filtreleme ve kapsama-dışlama prensibi.

Hints

1

12 ve 18 sayılarını asal çarpanlarına ayırarak EBOB hesaplarını üslü ifadeler cinsinden yazmayı deneyin.

2

Bir sayının 12 ile EBOB'unun, 18 ile EBOB'una eşit olması için; o sayının içinde

2^2

(4) ve

3^2

(9) çarpanlarının bulunmaması gerekir.

3

Soruyu '1 ile 120 arasında 4'e veya 9'a bölünmeyen kaç sayı vardır?' şeklinde düşünebilirsiniz.

Practice More

Benzer mantıkla, EKOK(n, 12) = EKOK(n, 18) koşulunu sağlayan n değerleri üzerine bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Tümleyenden gitmek yerine doğrudan sayma: 1-120 aralığında 2 veya 3 çarpanı içermeyenler (kalanlar) + sadece 2 içerenler + sadece 3 içerenler şeklinde gruplandırılabilir, ancak bu yöntem daha uzundur.

Estimated Time:3m 0s

Question 248Question →

E

evrensel kümesinin alt kümeleri olan

A

ve

B

için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

s(A) = 14

s(A') = 20

s(B) = 16

s(A \setminus B) = 8

Buna göre, $s(A' \cap B')$ değeri kaçtır?

6

8

10

12

14

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İstenen kümenin eleman sayısı 10'dur.

Soruyu çözmek için önce evrensel kümenin eleman sayısı bulunur:

s(E) = s(A) + s(A') = 14 + 20 = 34

. Daha sonra

A

kümesinin eleman sayısı formülünden kesişim kümesi elde edilir:

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) \Rightarrow 14 = 8 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 6

. Birleşim kümesi formülü ile

s(A \cup B) = 14 + 16 - 6 = 24

bulunur. Son olarak, De Morgan kuralı gereği

s(A' \cap B') = s((A \cup B)')

olduğundan, bu değer evrensel kümeden birleşim kümesinin çıkarılmasıyla

34 - 24 = 10

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Evrensel kümenin eleman sayısını bulmak için

s(A)

ve

s(A')

değerlerini toplayın.

s(E) = s(A) + s(A') = 14 + 20 = 34

Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi oluşturur.

2

A \cap B

kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak için

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)

eşitliğini kullanın.

14 = 8 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 6

A

kümesi,

A

'nın

B

'den farkı ile kesişimlerinin birleşimidir.

3

A \cup B

birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplayın.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 14 + 16 - 6 = 24

Birleşim formülü: İki kümenin eleman sayıları toplamından kesişimleri çıkarılır.

4

De Morgan kuralını kullanarak

s(A' \cap B')

ifadesini

s((A \cup B)')

olarak yazın ve sonucu bulun.

s((A \cup B)') = s(E) - s(A \cup B) = 34 - 24 = 10

İstenen ifade, birleşim kümesinin tümleyenine eşittir.

Key Concept

De Morgan Kuralları ve Kümelerde Kardinalite Problemleri

Hints

1

Öncelikle

s(E) = s(A) + s(A')

eşitliğini kullanarak evrensel kümenin eleman sayısını bulunuz.

2

s(A \setminus B)

bilgisini kullanarak

s(A \cap B)

değerini hesaplayınız.

3

De Morgan kuralını hatırlayınız:

A' \cap B' = (A \cup B)'

. Bu nedenle önce

s(A \cup B)

değerini bulup evrensel kümeden çıkarınız.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak üç küme içeren veya alt küme bağıntısı verilen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Venn şeması çizerek her bir bölgeye değişken atayınız (x, y, z, t).

x+z=14

,

y+t=20

(A dışı),

z+y=16

(B),

x=8

(A fark B). Bu denklem sistemini çözerek

t

(A' kesişim B') değerini bulabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 249Question →

Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

2f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x - \frac{1}{x}

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

\frac{3}{2}

\frac{5}{2}

\frac{7}{2}

\frac{9}{2}

\frac{11}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{2}$

Answer

Fonksiyonun verilen değeri 7/2'dir.

Verilen eşitlikte

x

ve

1/x

ifadeleri birbirine dönüşebilen ifadelerdir.

x=2

için bir denklem,

x=1/2

için ikinci bir denklem elde edilir. Bu iki denklem,

f(2)

ve

f(1/2)

bilinmeyenlerinden oluşan bir lineer denklem sistemidir. Bu sistem çözüldüğünde doğru değer bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitlikte x yerine 2 yazarak birinci denklemi oluştur.

2f(2) - f(1/2) = 3(2) - 1/2 = 6 - 0.5 = 5.5 = \frac{11}{2}

İstenen f(2) değerini içeren bir denklem elde etmek için.

2

Eşitlikte x yerine 1/2 yazarak ikinci denklemi oluştur.

2f(1/2) - f(2) = 3(1/2) - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2}

Bilinmeyen f(1/2) terimini içeren ikinci bir denklem elde edip sistemi çözebilmek için.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çöz. İkinci denklemi f(2)'yi bulacak şekilde düzenle veya yok etme metodunu kullan.

İkinci denklemden

f(2) = 2f(1/2) + \frac{1}{2}

elde edilir veya denklem 2 ile genişletilip toplanır.

f(2) değerini yalnız bırakmak için.

4

Yok etme metodu uygula: İkinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklem ile topla.

4f(1/2) - 2f(2) = -1

Bu yöntem yerine, birinci denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklemle toplamak f(1/2)'yi yok eder:

4f(2) - 2f(1/2) = 11

2f(1/2) - f(2) = -1/2

Taraf tarafa topla:

3f(2) = 11 - 0.5 = 10.5

3f(2) = \frac{21}{2}

f(1/2) terimlerini yok edip doğrudan f(2)'ye ulaşmak için.

5

Sonucu hesapla.

f(2) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}

Nihai değeri bulmak için.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirerek (x yerine 1/x yazarak) denklem sistemi oluşturma ve çözme.

Hints

1

Eşitlikte önce

x

yerine 2 yazarak

f(2)

ve

f(1/2)

içeren bir denklem elde etmeyi dene.

2

Sadece

x=2

yazmak yetmez; bilinmeyen

f(1/2)

değerini bulmak veya yok etmek için

x

yerine

1/2

yazarak ikinci bir denklem oluştur.

3

Elde ettiğin iki denklemi,

f(2)

ve

f(1/2)

değişkenlerine sahip bir denklem sistemi gibi düşün ve yok etme metodunu kullanarak

f(2)

'yi yalnız bırak.

Practice More

Benzer mantıkla çözülen

f(x) + 2f(-x) = x^2 + 1

tipindeki soruları incele.

Alternative Method

Genel çözüm olarak

x

yerine

1/x

yazıp genel ifadeyi

f(x)

için çözebilirsin:

2f(1/x) - f(x) = 3/x - x

. Bu yeni denklemi ilkiyle beraber çözerek

f(x)

kuralını bulup sonra 2 değerini yerine yazabilirsin.

Estimated Time:2m 30s

Question 250Question →

$A = \{ \emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\} \}$ kümesi veriliyor.

$A$ kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi, aynı zamanda $A$ kümesinin alt kümesi olan en az bir eleman içerir?

4

8

10

12

16

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12

Soruda, A kümesinin alt kümeleri içinde, 'kendisi de A kümesinin bir alt kümesi olan' elemanlardan en az birini barındıranlar sorulmaktadır. Öncelikle hangi elemanların bu şartı sağladığına bakılır:

\emptyset

her kümenin alt kümesi olduğu için şartı sağlar.

\{1\}

kümesinin alt küme olması için

1 \in A

olmalıdır, bu da doğrudur. Ancak

\{1, 2\}

'nin alt küme olması için

2 \in A

olmalıdır ki bu yanlıştır. Böylece şartı sağlayan 2 eleman (

\{ \emptyset, \{1\} \}

) ve sağlamayan 2 eleman (

1, \{1, 2\}

) vardır. Toplam

2^4=16

alt kümeden, şartı sağlayanları hiç içermeyen (sadece sağlamayanlardan oluşan)

2^2=4

alt küme çıkarıldığında cevap 12 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını listele ve her birinin A kümesinin alt kümesi olup olmadığını kontrol et.

Elemanlar:

\emptyset

,

1

,

\{1\}

,

\{1, 2\}

.
1.

\emptyset \subseteq A

mı? EVET (Boş küme her kümenin alt kümesidir).
2.

1 \subseteq A

mı? HAYIR (1 bir sayıdır/elemandır, küme değildir).
3.

\{1\} \subseteq A

mı? EVET (

1 \in A

olduğu için).
4.

\{1, 2\} \subseteq A

mı? HAYIR (Çünkü

2 \notin A

. Sadece

\{1, 2\}

eleman olarak var).

Soruda istenen 'Aynı zamanda alt küme olan elemanları' tespit etmek için.

2

Şartı sağlayan (hedef) ve sağlamayan eleman sayılarını belirle.

Hedef Elemanlar (Hem eleman hem alt küme):

\{\emptyset, \{1\}\}

(2 tane).
Diğer Elemanlar:

\{1, \{1, 2\}\}

(2 tane).

Kombinasyon hesabı için grupları ayırmak gerekir.

3

İstenen durumu hesapla (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar).

Tüm alt kümeler:

2^4 = 16

.
İstenmeyen durum (İçinde HİÇ hedef eleman olmayanlar): Sadece 'Diğer Elemanlar' kullanılarak oluşturulan alt kümelerdir.

2^2 = 4

.
Sonuç:

16 - 4 = 12

.

'En az bir' koşulu içeren sorularda tümleyenden gitmek daha kolaydır.

Key Concept

Alt küme tanımı ile eleman olma (

\{x\} \subseteq A \iff x \in A

) arasındaki farkın analizi.

Hints

1

Önce A kümesinin elemanlarını tek tek inceleyin: Bu elemanlardan hangileri, tek başına bir küme olarak düşünüldüğünde yine A'nın içinde kapsanır? (Not:

\emptyset

her kümenin alt kümesidir,

\{x\} \subseteq A

olması için

x \in A

olmalıdır).

Estimated Time:2m 30s

Question 251Question →

$A = \{ \emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\} \}$ kümesi veriliyor.

$P(A)$ , $A$ kümesinin kuvvet kümesi (tüm alt kümelerinin kümesi) olduğuna göre; $A \cap P(A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

1

2

3

4

16

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

A ve P(A) kümelerinin kesişimi 2 elemanlıdır.

Kesişim kümesinin eleman sayısı 2'dir. Bu elemanlar

\emptyset

ve

\{1\}

'dir.

\emptyset

hem eleman hem de alt kümedir.

\{1\}

hem elemandır hem de içerdiği '1' elemanı A'da olduğu için bir alt kümedir. Diğer elemanlar bu şartı sağlamaz.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını ve P(A) kümesinin tanımını analiz et.

A = {∅, 1, {1}, {1, 2}}. P(A), A'nın alt kümelerinden oluşur. Bir x nesnesinin P(A)'da olması için x ⊆ A (x, A'nın alt kümesi) olmalıdır.

Kesişim kümesini bulmak için hem A'nın elemanı olan hem de A'nın alt kümesi olan nesneleri belirlememiz gerekir.

2

A kümesinin her bir elemanının aynı zamanda A'nın bir alt kümesi olup olmadığını (yani P(A)'nın elemanı olup olmadığını) kontrol et.

Kontrol edilecek elemanlar: ∅, 1, {1}, {1, 2}.

A ∩ P(A) kümesi, A'nın elemanları arasından seçilecektir.

3

1. eleman olan boş kümeyi (∅) kontrol et.

∅ ∈ A (verilmiş). Boş küme her kümenin alt kümesidir (∅ ⊆ A), dolayısıyla ∅ ∈ P(A). SONUÇ: ∅ kesişim kümesindedir.

Boş kümenin özelliklerini uygula.

4

2. eleman olan '1' sayısını kontrol et.

1 ∈ A. Ancak '1' bir küme değildir (bu bağlamda eleman), dolayısıyla alt küme olamaz. SONUÇ: 1 kesişim kümesinde değildir.

Eleman ile küme arasındaki farkı gözet.

5

3. eleman olan '{1}' kümesini kontrol et.

{1} ∈ A. {1} ⊆ A olması için, içerdiği elemanın (yani 1'in) A'da olması gerekir. 1 ∈ A olduğu için {1} ⊆ A'dır. SONUÇ: {1} kesişim kümesindedir.

Alt küme tanımını (x ∈ X ⇒ x ∈ A) uygula.

6

4. eleman olan '{1, 2}' kümesini kontrol et.

{1, 2} ∈ A. {1, 2} ⊆ A olması için, 1 ∈ A VE 2 ∈ A olmalıdır. 1 ∈ A doğru, ancak 2 ∉ A (2 tek başına eleman değil). Dolayısıyla {1, 2} ⊈ A. SONUÇ: {1, 2} kesişim kümesinde değildir.

En kritik ayrım noktası: Bir kümenin eleman olarak bulunması, içindeki sayıların da eleman olduğu anlamına gelmez.

Key Concept

Bir kümenin elemanı olmak (

\in

) ile alt kümesi olmak (

\subseteq

) farklı kavramlardır.

A \cap P(A)

kümesi, A'nın, aynı zamanda A'nın alt kümesi olma özelliğini taşıyan elemanlarını içerir.

Hints

1

Bir

x

nesnesinin

A \cap P(A)

kümesinde olması için iki şartı sağlaması gerekir: 1)

x \in A

olmalı, 2)

x \in P(A)

yani

x \subseteq A

olmalı.

2

A kümesinin 4 elemanını tek tek test edin:

\emptyset

,

1

,

\{1\}

,

\{1, 2\}

. Hangileri aynı zamanda A'nın bir alt kümesidir?

3

Bir kümenin (

K

) A'nın alt kümesi olması için,

K

'nın içindeki TÜM elemanların A'da tek başına bulunması gerekir. Özellikle

\{1, 2\}

için 2'nin A'da olup olmadığına dikkat edin.

Practice More

İç içe geçmiş küme notasyonları (örneğin

\{ \emptyset, \{\emptyset\} \}

) içeren benzer sorularla pratik yapın.

Alternative Method

Venn şeması çizerek veya eleman listeleme yöntemiyle A ve P(A) kümelerinin açık hallerini yazıp ortak olanları işaretleyebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question 252Question →

Bir üniversitenin araştırma merkezinde yürütülen 90 adet proje; 'TÜBİTAK', 'Avrupa Birliği' ve 'Sanayi İşbirliği' olmak üzere üç farklı destek programından en az birinden onay almıştır. Bu projelerin onay durumları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* Sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısı, her üç programdan da onay alan proje sayısının 4 katıdır.
* Sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, en az iki farklı programdan onay alan projelerin toplam sayısının 2 katıdır.

Buna göre, sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısından kaç fazladır?

24

30

36

42

48

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısından 36 fazladır.

Verilen bilgilere göre her üç onayı alanlara

k

dediğimizde, sadece iki onayı alanlar

4k

olur. 'En az iki onay alanlar' bu ikisinin toplamı olan

5k

'dır. Sadece tek onay alanlar ise bunun 2 katı yani

10k

'dır. Toplam proje sayısı

15k = 90

olduğundan

k=6

bulunur. İstenen fark

10k - 4k = 6k = 36

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin eleman sayılarını değişkenlerle ifade et.

Her üç programdan onay alan proje sayısına

k

diyelim. Sadece iki programdan onay alanların sayısı

4k

olur.

Sorudaki birinci koşul kullanılarak değişkenler arasındaki ilişki kurulur.

2

'En az iki' ifadesini matematiksel olarak tanımla.

En az iki programdan onay alanlar = (Sadece iki programdan onay alanlar) + (Her üç programdan onay alanlar) =

4k + k = 5k

.

'En az' kavramı, belirtilen sayı ve üzerini kapsar.

3

Sadece tek bir programdan onay alanların sayısını bul.

Sadece tek programdan onay alanlar, en az iki programdan onay alanların (

5k

) 2 katıdır. Yani

2 \times 5k = 10k

.

Sorudaki ikinci koşul kullanılarak tüm gruplar

k

cinsinden ifade edilir.

4

Toplam proje sayısı üzerinden denklemi kur ve çöz.

Toplam = (Sadece tek) + (Sadece iki) + (Her üçü) =

10k + 4k + k = 15k

.

15k = 90

ise

k = 6

bulunur.

Tüm alt kümelerin birleşimi evrensel kümeyi (toplam proje sayısı) verir.

5

İstenen farkı hesapla.

Sadece tek onay alan (

10k = 60

) - Sadece iki onay alan (

4k = 24

) =

60 - 24 = 36

.

Bulunan

k

değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kümelerle Problem Çözümü (Venn Şeması Mantığı)

Hints

1

Projeleri üç gruba ayırarak düşünün: Sadece 1 onay alanlar, sadece 2 onay alanlar ve 3 onay alanlar.

2

3 onay alanların sayısına

x

(veya

k

) diyerek diğer grupları bu değişken cinsinden yazmaya çalışın. 'En az iki' ifadesinin, 'sadece iki' ve 'üçü birden' gruplarını kapsadığını unutmayın.

3

Toplam proje sayısı (90), şu denkleme eşittir: (Sadece 1 onay) + (Sadece 2 onay) + (3 onay). Değişkenlerinizi yerine koyarak

15k = 90

denklemini çözün.

Practice More

Benzer mantıkla, 'en çok iki' ifadesini içeren ve evrensel kümenin dışında (hiçbiri) eleman bulunan bir problem çözünüz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek her bölgeye değişken atamak (

a

,

b

,

c

gibi) ve verilen sözel ifadeleri bu bölgelerin toplamı olarak yazmak görsel çözüm sağlar.

Estimated Time:2m 30s

Question 253Question →

Bir bakanlıkta görev yapan uzman yardımcılarının Kamu İhale (K), Personel (P) ve Bütçe (B) mevzuatlarına hakimiyet durumları incelenmiştir. Kurumdaki tüm uzman yardımcılarının bu üç mevzuattan en az birine hakim olduğu bilinmektedir.

İnceleme sonuçlarına göre:
- Sadece bir mevzuat türüne hakim olanların sayıları birbirine eşittir.
- Sadece iki mevzuat türüne hakim olanların sayıları birbirine eşittir.
- Sadece iki mevzuat türüne hakim olanların sayısı (herhangi bir kesişim grubu için), her üç mevzuata da hakim olanların sayısının 3 katıdır.
- Her üç mevzuata da hakim olanların sayısı, sadece bir mevzuat türüne hakim olan herhangi bir grubun sayısının yarısıdır.
- En az iki mevzuat türüne hakim olan toplam uzman yardımcısı sayısı 40'tır.

Buna göre, bu grupta yer alan toplam uzman yardımcısı sayısı kaçtır?

48

52

60

64

72

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

Toplam uzman yardımcısı sayısı 64'tür.

Verilen ilişkiler Venn şeması üzerinde modellendiğinde; 'en az iki' şartını sağlayan bölge

3y + z = 40

denklemini verir. Değişkenler

z

cinsinden yazıldığında (

y=3z, x=2z

),

z=4

bulunur. Buradan

y=12

ve

x=8

elde edilir. Toplam uzman sayısı

3x + 3y + z

formülüyle

24 + 36 + 4 = 64

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bölgeleri değişkenlerle ifade et.

Sadece bir mevzuata hakim olan grup sayısı (sadece K, sadece P, sadece B) her biri için

x

olsun. Sadece iki mevzuata hakim olan grup sayısı (sadece K∩P, sadece K∩B, sadece P∩B) her biri için

y

olsun. Üçüne de hakim olanların sayısı

z

olsun.

Problemde verilen eşitlikleri matematiksel denklemlere dökmek için her bölgeye bir değişken atamak gerekir.

2

Verilen ilişkileri denklemlere dök.

1. 'Sadece iki... üçünün 3 katıdır':

y = 3z

. 2. 'Her üçü... sadece birin yarısıdır':

z = x/2 \Rightarrow x = 2z

.

Bilinmeyenleri tek bir cins (z) üzerinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

3

'En az iki' bilgisini kullanarak z değerini bul.

En az iki mevzuat bilenler = (Sadece iki bilenler toplamı) + (Üçünü de bilenler). Yani

3y + z = 40

.

y

yerine

3z

koyarsak:

3(3z) + z = 40 \Rightarrow 9z + z = 40 \Rightarrow 10z = 40 \Rightarrow z = 4

.

Sayısal değeri verilen tek bilgi 'en az iki' olduğu için çözüm buradan başlar.

4

Diğer değişkenleri (x ve y) hesapla.

z = 4

ise,

y = 3 \times 4 = 12

ve

x = 2 \times 4 = 8

.

Toplam sayıyı bulmak için tüm alt bölgelerin değerlerine ihtiyaç vardır.

5

Toplam kişi sayısını hesapla.

Toplam = (3 tane x) + (3 tane y) + (1 tane z) =

3(8) + 3(12) + 4 = 24 + 36 + 4 = 64

.

Evrensel küme, tüm ayrık alt kümelerin toplamına eşittir.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri (Venn Şeması ile Modelleme)

Hints

1

Soruyu çözmek için üç kesişim kümesi olan bir Venn şeması çizin ve bölgeleri harflendirin (sadece bir, sadece iki, hepsi).

2

'Sadece iki mevzuata hakim olanlar' ifadesi Venn şemasında üç farklı yaprak bölgesini temsil eder, bu yüzden denklemde 3y olarak alınmalıdır.

3

En az iki mevzuat bilenler = (3 × Sadece iki bilenler) + (Hepsi). Yani

3y + z = 40

denklemini kurup, diğer değişkenleri

z

cinsinden yazın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, 'en çok bir mevzuat bilenler' sayısının verildiği ve kesişimin istendiği bir soru çözülebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 254Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 3 ile tam bölünür}\}

B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 72, \quad x, \text{ 4 ile tam bölünür}\}

Bu bilgilere göre, $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi olan $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

71

35

73

86

61

Show answer & explanation

Answer: 73

Answer

Doğru cevap 73'tür.

Soruda verilen mutlak değer eşitsizliği

|x| \le 72

, sayıların

-72 \le x \le 72

aralığında olduğunu gösterir. Bu aralıkta 3'e bölünen 49 sayı (

s(A)

), 4'e bölünen 37 sayı (

s(B)

) vardır. Hem 3'e hem 4'e bölünen (12'nin katı) 13 sayı (

s(A \cap B)

) mevcuttur. Birleşim formülü

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

uygulandığında

49 + 37 - 13 = 73

sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(A) = 49

A kümesi, -72 ile 72 arasındaki 3'ün katlarıdır. Terim sayısı formülü: [(Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1. Buradan [72 - (-72)]/3 + 1 = 144/3 + 1 = 48 + 1 = 49 bulunur.

2

B kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(B) = 37

B kümesi, -72 ile 72 arasındaki 4'ün katlarıdır. Terim sayısı: [72 - (-72)]/4 + 1 = 144/4 + 1 = 36 + 1 = 37 bulunur.

3

Kesişim kümesi A ∩ B'nin kuralını ve eleman sayısını belirle.

s(A ∩ B) = 13

Kesişim kümesi, hem 3'e hem 4'e bölünen, yani EKOK(3,4)=12'ye bölünen sayılardır. Aralık [-72, 72]. Terim sayısı: [72 - (-72)]/12 + 1 = 144/12 + 1 = 12 + 1 = 13.

4

Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

s(A ∪ B) = 73

49 + 37 - 13 = 73 olarak hesaplanır.

Key Concept

Kümelerin birleşim eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B). Tam sayılar kümesinde negatif sayıların ve 0'ın da dahil edilmesi unutulmamalıdır.

Hints

1

Önce verilen mutlak değer eşitsizliğini, bir sayı aralığı olarak yazınız (örneğin

-a \le x \le a

).

2

Belirlediğiniz aralıkta 3'ün katı olan ve 4'ün katı olan kaç tane tam sayı olduğunu terim sayısı formülüyle bulunuz. 0 sayısının her iki kümede de olduğunu unutmayınız.

3

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülünü kullanın.

A \cap B

kümesi, hem 3 hem de 4'e bölünen, yani 12'ye bölünen sayıları içerir.

Practice More

Benzer mantıkla, '3'e bölünüp 5'e bölünmeyen' sayıların sayısını soran fark işlemi problemleri çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde düşünerek; 0'dan 72'ye kadar olan pozitif kısım için hesap yapıp (2 ile çarpıp), sonra 0'ı (1 adet) ekleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz. Pozitiflerde: s(A+)=24, s(B+)=18, s(Kes+)=6. Birleşim(Pozitif) = 24+18-6=36. Negatifler için de 36. Toplam: 36 + 36 + 1(Sıfır) = 73.

Estimated Time:2m 30s

Question 255Question →

$A$ ve $B$ kümeleri tam sayılar kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \mid 15 \le x \le 150, \, x = 3k, \, k \in \mathbb{Z}\}

B = \{x \mid 20 < x < 180, \, x = 4m, \, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi olan $s(A \cup B)$ değeri kaçtır?

63

74

75

79

85

Show answer & explanation

Answer: 74

Answer

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 74'tür.

Doğru cevap, kümelerin birleşim formülü olan

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

bağıntısının doğru uygulanmasıyla bulunur. Öncelikle her kümenin eleman sayısı terim sayısı formülüyle [(Son-İlk)/Artış + 1] hesaplanmalıdır. A kümesi için 46, B kümesi için 39 eleman bulunur. Kesişim kümesi ise iki aralığın kesişimi olan (20, 150] aralığında 12'nin katlarıdır ve 11 elemanlıdır. Sonuç

46 + 39 - 11 = 74

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin eleman sayısını (s(A)) hesapla.

46

A kümesi 15 ile 150 arasındaki (sınırlar dahil) 3'ün katlarıdır. Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1 formülünden; (150 - 15) / 3 + 1 = 135/3 + 1 = 45 + 1 = 46.

2

B kümesinin eleman sayısını (s(B)) hesapla.

39

B kümesi 20 ile 180 arasındaki (sınırlar hariç) 4'ün katlarıdır. İlk terim 24, son terim 176'dır. Terim Sayısı = (176 - 24) / 4 + 1 = 152/4 + 1 = 38 + 1 = 39.

3

Kesişim kümesinin (A ∩ B) aralığını ve bölenini belirle.

Aralık: (20, 150], Bölen: 12

Kesişim kümesi her iki aralığın ortak bölgesidir: max(15, 20) < x ≤ min(150, 180) yani 20 < x ≤ 150. Elemanlar hem 3'ün hem 4'ün katı olmalı, yani EKOK(3,4) = 12'nin katı olmalıdır.

4

Kesişim kümesinin eleman sayısını (s(A ∩ B)) hesapla.

11

Aralıktaki ilk terim 24, son terim 144'tür. Terim Sayısı = (144 - 24) / 12 + 1 = 120/12 + 1 = 10 + 1 = 11.

5

Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

74

46 + 39 - 11 = 74.

Key Concept

Birleşim Kümesi Formülü ve Ardışık Sayı Dizileri

Hints

1

Önce her iki kümenin eleman sayılarını ayrı ayrı hesaplayın. 'Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1' formülünü kullanın.

2

Kesişim kümesi (A ∩ B), hem 3'ün hem de 4'ün katı olan sayıları içerir. Yani 12'nin katlarına bakmalısınız. Ayrıca sayı aralığı her iki kümenin de ortak olduğu bölge olmalıdır.

3

Kesişim aralığı 20 < x ≤ 150 olacaktır. Bu aralıktaki 12'nin katlarını bulup, birleşim formülü olan s(A) + s(B) - s(A ∩ B) işlemini uygulayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, 'veya' bağlacı yerine 've' bağlacı kullanarak koşullu olasılık bağlamında çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Venn şeması çizerek sadece A'da olan (A\B), sadece B'de olan (B\A) ve her ikisinde olan (A ∩ B) eleman sayılarını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz: s(A\B)=35, s(B\A)=28, s(A∩B)=11. Toplam = 74.

Estimated Time:2m 30s

Question 256Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 4\}

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

16

25

36

42

49

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Doğru cevap, kesişim kümesinin karesi alınarak bulunan 36 sayısıdır.

İstenen ifade kartezyen çarpımların kesişimidir. Bu işlem, kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına denktir:

(A \cap B) \times (B \cap A)

. Kümelerin kesişimi 6 elemanlı ({-2, -1, 0, 1, 2, 3}) olduğundan, sonuç

6 \times 6 = 36

olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını belirle.

|x - 1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4

.

A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(7 eleman).

Mutlak değerli eşitsizlik çözülerek tam sayı değerleri listelenir.

2

B kümesinin elemanlarını belirle.

|x| < 4 \Rightarrow -4 < x < 4

.

B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

(7 eleman).

Mutlak değer eşitsizliği çözülür, kesin küçüklük olduğu için uç sınırlar (-4 ve 4) dahil edilmez.

3

A ve B kümelerinin kesişimini (

A \cap B

) bul.

A \cap B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

.

s(A \cap B) = 6

.

Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir. (-3 elemanı A'da yok, 4 elemanı B'de yok).

4

İstenen kümenin eleman sayısını kartezyen çarpım özelliklerini kullanarak hesapla.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) = (A \cap B) \times (A \cap B)

. Eleman sayısı:

6 \times 6 = 36

.

Kartezyen çarpımın kesişim özelliği uygulanır:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazınız.

2

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesi,

(A \cap B) \times (B \cap A)

ifadesine eşittir.

3

A ve B kümelerinin ortak elemanlarını bulun (Kesişim Kümesi). Sonuç bu kümenin eleman sayısının karesi olacaktır.

Practice More

Benzer bir soruyu 'birleşim' işlemi için düşünün:

(A \times B) \cup (C \times B) = (A \cup C) \times B

.

Alternative Method

Kümelerin elemanları az sayıda olduğu için, A ve B kümelerinin tüm elemanlarını yazıp, sadece ortak olanları (hem A'da hem B'de olanları) belirleyip, bu sayının karesini alarak da sonuca gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 257Question →

$A = \{x \mid x^2 \leq 10, x \in \mathbb{Z}^+\}$ ve $B = \{1, 2, \{1, 2\}, \{3\}\}$ kümeleri veriliyor. Buna göre, $s(A) + s(B)$ toplamı kaçtır?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Yapılan hesaplamalar sonucunda s(A) = 3 ve s(B) = 4 olarak bulunur, bu iki değerin toplamı 7'dir.

7 sonucu doğrudur çünkü A kümesi karesi 10'dan küçük pozitif tam sayılar olan {1, 2, 3} elemanlarından oluşur (3 eleman). B kümesi ise doğrudan verilen liste yöntemine göre 1, 2, {1, 2} ve {3} elemanlarından oluşur (4 eleman). Toplamları 7 yapar.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazmak.

A = \{1, 2, 3\}

ve

s(A) = 3

x^2 \leq 10

şartını sağlayan pozitif tam sayılar (

x \in \mathbb{Z}^+

) sadece

1, 2

ve

3

'tür (

1^2=1, 2^2=4, 3^2=9

).

2

B kümesinin eleman sayısını belirlemek.

B

kümesinin elemanları

1, 2, \{1, 2\}

ve

\{3\}

şeklindedir, yani

s(B) = 4

Küme içinde süslü parantez ile gösterilen

\{1, 2\}

ve

\{3\}

ifadeleri, kümenin birer bütün elemanıdır ve her biri tek bir eleman olarak sayılır.

3

İki kümenin eleman sayılarını toplamak.

3 + 4 = 7

Soru bizden

s(A) + s(B)

toplamını istemektedir.

Key Concept

Küme eleman sayısı ve gösterim yöntemleri

Hints

1

Öncelikle A kümesindeki

x^2 \leq 10

şartını sağlayan pozitif tam sayıları listeleyin.

2

B kümesinde virgüllerle ayrılmış her bir yapıyı (parantezli olsa bile) tek bir eleman olarak sayın.

3

s(A) = 3

ve

s(B) = 4

olduğunu bulduktan sonra bu iki sayıyı toplayın.

Practice More

Bir kümenin eleman sayısı ile o kümenin alt küme sayısını hesaplama arasındaki farkı inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

B kümesinin eleman sayısını bulurken, en dıştaki süslü parantezlerin hemen içindeki virgülleri sayıp bu sayıya 1 ekleyerek eleman sayısını pratik olarak teyit edebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 258Question →

\mathbb{Z}

tamsayılar kümesi olmak üzere,

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : -1 \le x < 6\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

25

36

42

49

12

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

36

Doğru cevap,

A

ve

B

kümelerinin kesişiminin eleman sayısının karesidir.

A

kümesi

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

ve

B

kümesi

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

elemanlarından oluşur. Ortak elemanlar (kesişim)

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olmak üzere 6 tanedir. Kartezyen çarpımın kesişim özelliği gereği sonuç

6 \times 6 = 36

olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

|x - 1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4

. Buradan

A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olup

s(A) = 7

bulunur.

Mutlak değerli eşitsizliği çözerek tamsayı elemanlarını bulmak gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

-1 \le x < 6

aralığındaki tamsayılar:

B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

olup

s(B) = 7

bulunur.

Verilen aralıktaki tamsayıları eksiksiz listelemek gerekir.

3

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırla ve ilgili kümeyi tespit et.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

özelliğine göre, bizden istenen

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesinin eleman sayısıdır. Çünkü

A \cap B = B \cap A

'dır.

İşlemi kısaltmak için kartezyen çarpımın dağılma özelliğini kullanmak en etkili yoldur.

4

A \cap B

kümesini ve eleman sayısını bul.

A

ve

B

kümelerinin ortak elemanları:

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

. Bu durumda

s(A \cap B) = 6

.

Kesişim kümesinin eleman sayısı sonuca ulaşmak için gereklidir.

5

Sonucu hesapla.

s((A \cap B) \times (A \cap B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 6 \cdot 6 = 36

.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımda kesişim işlemi:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazmayı deneyin.

2

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

özdeşliğini kullanabilirsiniz. Burada C yerine B, D yerine A gelmektedir.

3

Sorulan ifade aslında

(A \cap B) \times (B \cap A)

kümesidir.

A \cap B

kümesinin kaç elemanı olduğunu bulup karesini alın.

Practice More

Kartezyen çarpım grafiğinin çevrelediği alanı soran geometrik soruları inceleyin.

Alternative Method

Kümeleri analitik düzlemde çizip, oluşan karesel bölgenin içindeki tamsayı koordinatlı noktaları sayarak da sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 259Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x) + 2 \cdot f(-x) = 3x + 6

eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

-4

-2

0

4

12

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

Doğru cevap -4 değeridir.

Verilen fonksiyonda hem

f(x)

hem de

f(-x)

terimleri bulunduğu için iki farklı substitution (yerine koyma) yapılarak bir denklem sistemi kurulmalıdır.

x = 2

yazıldığında

f(2) + 2f(-2) = 12

ve

x = -2

yazıldığında

f(-2) + 2f(2) = 0

denklemleri elde edilir. İkinci denklemden

f(-2) = -2f(2)

olduğu görülür. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında

f(2) - 4f(2) = 12

yani

-3f(2) = 12

sonucuna, buradan da

f(2) = -4

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen denklemde

x

yerine

2

yazılır.

f(2) + 2f(-2) = 3(2) + 6 \Rightarrow f(2) + 2f(-2) = 12

f(2)

değerini içeren ilk denklemi oluşturmak için.

2

Verilen denklemde

x

yerine

-2

yazılır.

f(-2) + 2f(2) = 3(-2) + 6 \Rightarrow f(-2) + 2f(2) = 0

f(-2)

terimini yok etmek için gerekli olan ikinci denklemi elde etmek için.

3

İkinci denklemden

f(-2)

yalnız bırakılarak birinci denklemde yerine yazılır.

f(-2) = -2f(2)

ifadesi ilk denklemde yerine yazıldığında:

f(2) + 2(-2f(2)) = 12

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyene indirgeyerek çözüme ulaşmak için.

4

Oluşan cebirsel ifade çözülerek

f(2)

değeri bulunur.

f(2) - 4f(2) = 12 \Rightarrow -3f(2) = 12 \Rightarrow f(2) = -4

Toplama ve bölme işlemlerini tamamlayarak hedef değere ulaşmak için.

Key Concept

Fonksiyonel Denklemler ve Değer Bulma

Hints

1

Denklemde hem

f(x)

hem de

f(-x)

ifadeleri var.

x

yerine

2

ve

-2

yazarak iki farklı eşitlik elde etmeyi deneyin.

2

Elde ettiğiniz denklemleri

f(2)

ve

f(-2)

terimlerini içeren bir sistem gibi düşünerek birini diğeri cinsinden yazın.

3

f(-2) + 2f(2) = 0

olduğu bilgisini kullanarak

f(-2)

yerine

-2f(2)

yazıp ilk denklemdeki bilinmeyen sayısını bire indirin.

Practice More

Değişkenlerin

x

ve

1/x

şeklinde verildiği benzer fonksiyon sistemleri üzerinde pratik yaparak bu yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 260Question →

$f$ bir sabit fonksiyon, $g$ ise bir birim (özdeş) fonksiyondur.

f(x) = \frac{ax + 24}{3x + b}

f(x) = a - 6

olduğuna göre, $g(a + b)$ ifadesinin değeri kaçtır?

15

17

18

21

27

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Birim fonksiyonun özelliği gereği içerideki ifade dışarıya aynen çıkacağından cevap 17'dir.

Sabit fonksiyon özelliğinden faydalanarak

a/3

oranının

a-6

ifadesine eşit olduğu görülür. Buradan

a=9

bulunur. Katsayılar oranı

9/3=3

olduğu için

24/b=3

eşitliğinden

b=8

elde edilir. Birim fonksiyon

g(x)=x

olduğundan,

g(9+8)=g(17)=17

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Sabit fonksiyonun katsayı oranlarını belirle

\frac{a}{3} = \frac{24}{b}

Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydadaki dereceli terimlerin katsayıları orantılı olmalıdır.

2

Sabit değer ile parametre arasındaki denklemi çöz

a = 9

Fonksiyonun sabit değeri katsayı oranına eşittir.

\frac{a}{3} = a - 6 \Rightarrow a = 3a - 18 \Rightarrow 2a = 18 \Rightarrow a = 9

bulunur.

3

b değerini hesapla

b = 8

\frac{a}{3} = \frac{24}{b}

eşitliğinde

a = 9

yazılırsa

\frac{9}{3} = \frac{24}{b} \Rightarrow 3 = \frac{24}{b} \Rightarrow b = 8

olur.

4

Birim fonksiyon özelliğini uygula

g(17) = 17

g(x)

birim fonksiyon ise

g(x) = x

'dir.

g(a+b) = g(9+8) = g(17) = 17

elde edilir.

Key Concept

Sabit fonksiyonda katsayıların orantılı olması ve birim fonksiyonun girdiyi çıktıya aynen dönüştürmesi.

Hints

1

Sabit fonksiyonda

x

'li terimlerin katsayıları oranı ile sabit sayıların oranı birbirine eşittir.

2

Fonksiyonun sonucu her zaman bu orana eşittir, yani

f(x) = a/3

yazabilirsiniz.

3

Birim fonksiyon

g(x)=x

demektir, yani parantez içindeki toplamın kendisini bulmanız yeterlidir.

Practice More

Birebir ve örten fonksiyonların tanım aralıkları ile ilgili soruları inceleyerek fonksiyon çeşitleri konusunu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution