Kartezyen Çarpım Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2

Question 21Question →

Reel sayılar kümesinde $A = (-2, 6]$ ve $B = [1, 9)$ aralıkları veriliyor.

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin elemanlarından kaç tanesinin her iki bileşeni de tam sayıdır?

16

20

25

36

64

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Her iki bileşeni de tam sayı olan 25 farklı nokta vardır.

İstenen küme

(A \cap B) \times (A \cap B)

şeklinde ifade edilebilir.

A \cap B

kümesi

[1, 6)

aralığıdır ve bu aralıkta 5 adet tam sayı (1, 2, 3, 4, 5) bulunur. Bu nedenle oluşan kartezyen çarpım kümesinde

5 \times 5 = 25

adet tam sayı ikilisi vardır.

Step-by-Step Solution

1

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini uygula.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

eşitliği kullanılır.

Kartezyen çarpım işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır ve bu özellik işlemi basitleştirir.

2

A ve B kümelerinin kesişimini bul.

A \cap B = (-2, 6] \cap [1, 9) = [1, 6)

aralığıdır. (Alt sınırların büyüğü, üst sınırların küçüğü alınır).

Kesişim işlemi, her iki kümede de ortak olan elemanları belirler.

3

Kesişim kümesindeki tam sayıları belirle.

[1, 6)

aralığındaki tam sayılar:

\{1, 2, 3, 4, 5\}

. Bu kümenin eleman sayısı

s(A \cap B) = 5

tir.

Soruda bileşenlerin tam sayı olması istendiği için aralıktaki tam sayı değerleri sayılır.

4

Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesapla.

s((A \cap B) \times (A \cap B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 5 \cdot 5 = 25

.

Sonlu kümeler için kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın kesişim özelliği:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

.

Hints

1

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırlayınız:

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesini

(A \cap B) \times (B \cap A)

olarak yazabilirsiniz.

2

Kesişim işleminin değişme özelliği olduğundan, ifade

(A \cap B) \times (A \cap B)

haline gelir. Öncelikle

A

ve

B

aralıklarının kesişimini bulunuz.

3

A \cap B = [1, 6)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların kaç tane olduğunu bulup, kendisiyle çarpınız.

Practice More

Benzer mantıkla,

(A \cup B) \times (A \cap B)

kümesinin eleman sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Grafik çizerek çözüm: Koordinat düzleminde x ekseninde A, y ekseninde B aralığını çizip dikdörtgen oluşturun. Aynısını B ve A için yapın. İki dikdörtgenin kesiştiği kare bölgeyi bulun ve içindeki tam sayı noktalarını sayın.

Estimated Time:1m 30s

Question 22Question →

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ ve $B = \{3, 4, 5, 6\}$ kümeleri veriliyor. Buna göre, $(A \cup B) \times (A \cap B)$ kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

4

8

12

16

36

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 12'dir.

Verilen

A

ve

B

kümeleri için birleşim kümesi

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

olup 6 elemanlıdır. Kesişim kümesi ise ortak olan

\{3, 4\}

elemanlarından oluşur ve 2 elemanlıdır. Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı gereği, bu iki kümenin eleman sayıları çarpıldığında (

6 \times 2

) sonuç 12 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A \cup B

(birleşim) kümesini ve eleman sayısını belirle.

A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

olduğundan

s(A \cup B) = 6

olur.

Birleşim kümesi, her iki kümedeki tüm elemanların (tekrar etmeden) bir araya getirilmesiyle oluşur.

2

A \cap B

(kesişim) kümesini ve eleman sayısını belirle.

A \cap B = \{3, 4\}

olduğundan

s(A \cap B) = 2

olur.

Kesişim kümesi, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur.

3

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula.

s((A \cup B) \times (A \cap B)) = s(A \cup B) \cdot s(A \cap B) = 6 \cdot 2 = 12

.

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır:

s(K \times L) = s(K) \cdot s(L)

.

Hints

1

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısını bulmak için her bir kümenin eleman sayısını bulup çarpmalısın.

2

Önce parantez içindeki

(A \cup B)

ve

(A \cap B)

kümelerini liste yöntemiyle yazmayı dene.

3

s(A \cup B) = 6

ve

s(A \cap B) = 2

olduğunu bulduktan sonra bu değerleri çarparak sonuca ulaşabilirsin.

Practice More

Fark kümesi içeren kartezyen çarpım sorularını (örneğin

(A \setminus B) \times B

) çözerek konuyu pekiştirebilirsin.

Alternative Method

Venn şeması çizerek elemanları yerleştirmek, birleşim ve kesişim bölgelerindeki eleman sayılarını görsel olarak saymayı kolaylaştırabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 23Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 4\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 1| \le 3\}

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

16

25

36

49

63

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

İki kümenin kartezyen çarpımlarının kesişimi, kümelerin kesişiminin karesine eşittir; bu sayı 25'tir.

Soruda istenen

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesi, kartezyen çarpımın dağılma özelliği gereği

(A \cap B) \times (B \cap A)

ifadesine eşittir. Kesişim değişmeli olduğundan bu ifade

(A \cap B) \times (A \cap B)

demektir.

A

ve

B

kümelerinin ortak elemanları

\{-2, -1, 0, 1, 2\}

olmak üzere 5 tanedir. Sonuç

5 \times 5 = 25

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını belirle.

|x - 2| \le 4 \implies -4 \le x - 2 \le 4 \implies -2 \le x \le 6

. A kümesi

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

olup

s(A)=9

'dur.

Mutlak değer eşitsizliğini açarak tam sayı elemanlarını listelemek gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını belirle.

|x + 1| \le 3 \implies -3 \le x + 1 \le 3 \implies -4 \le x \le 2

. B kümesi

\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}

olup

s(B)=7

'dir.

Mutlak değer eşitsizliğini açarak tam sayı elemanlarını listelemek gerekir.

3

Kümelerin kesişimini (

A \cap B

) bul.

Ortak elemanlar

\{-2, -1, 0, 1, 2\}

kümesidir. Dolayısıyla

s(A \cap B) = 5

'tir.

Kartezyen çarpım özelliği için ortak eleman sayısı gereklidir.

4

Kartezyen çarpım özelliğini uygula.

s((A \times B) \cap (B \times A)) = s((A \cap B) \times (A \cap B)) = 5 \times 5 = 25

.

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

kuralı gereği, burada kümeler yer değiştirdiği için sonuç

(A \cap B) \times (B \cap A)

yani

(A \cap B)^2

olur.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

Hints

1

Önce mutlak değer eşitsizliklerini çözerek A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça yazınız.

2

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesi, her iki bileşenin de hem A hem de B kümesinde olmasını gerektirir.

3

Bu ifade

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesine eşittir. Sadece ortak elemanların sayısını bulup karesini almalısınız.

Practice More

Benzer mantıkla

(A \cup B) \times (A \cap B)

eleman sayısını soran bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Elemanları tek tek yazmak yerine sayı doğrusu üzerinde aralıkların kesişimini

[-2, 2]

olarak bulup, bu aralıktaki tam sayı adedini (Son - İlk + 1) formülüyle

2 - (-2) + 1 = 5

olarak hesaplayabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 24Question →

$A = \{1, 2\}$ ve $B = \{a, b, c\}$ kümeleri veriliyor. Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}

\{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}

\{1, 2, a, b, c\}

\{(1, a), (2, b), (1, c)\}

\{(1, 2), (a, b, c)\}

Show answer & explanation

Answer: $\{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}$

Answer

\{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}

elemanlarından oluşan küme doğru cevaptır.

Kartezyen çarpım kümesi oluşturulurken birinci küme olan

A

'nın her bir elemanı (

1

ve

2

), ikinci küme olan

B

'nin her bir elemanı (

a, b, c

) ile sırayla eşleştirilir. Bu işlem sonucunda elde edilen tüm sıralı ikililerin toplandığı küme doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci küme olan

A

kümesinin elemanlarını belirleyin.

A = \{1, 2\}

Kartezyen çarpımda (

A \times B

) sıralı ikililerin birinci bileşenleri

A

kümesinden gelmelidir.

2

İkinci küme olan

B

kümesinin elemanlarını belirleyin.

B = \{a, b, c\}

Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri

B

kümesinden gelmelidir.

3

A

kümesinin her bir elemanını

B

kümesinin tüm elemanlarıyla sırasıyla eşleştirin.

1 için:

(1, a), (1, b), (1, c)

; 2 için:

(2, a), (2, b), (2, c)

Kartezyen çarpım tanımı gereği her iki kümenin elemanları arasında tüm olası eşleşmeler yapılmalıdır.

Key Concept

Kartezyen çarpım

A \times B

, birinci bileşeni

A

'dan ve ikinci bileşeni

B

'den alınan tüm

(a, b)

sıralı ikililerinin kümesidir.

Hints

1

Kartezyen çarpım kümesindeki her eleman bir sıralı ikilidir; yani

(x, y)

formundadır.

2

A \times B

işleminde ilk sayı mutlaka

A

kümesinden, harf ise mutlaka

B

kümesinden seçilmelidir.

3

A

kümesinde

2

,

B

kümesinde

3

eleman olduğu için çarpım kümesinin toplam

2 \times 3 = 6

elemanı olmalıdır.

Practice More

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulmak için kümelerin eleman sayılarını çarpmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 25Question →

A

,

B

ve

C

boş kümeden farklı kümeler olmak üzere,

s[(A \times B) \cap (A \times C)] = 12

s(A) = 4

s(B \cup C) = 11

s(B) = s(C) + 2

eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, $s[B \times (C \setminus B)]$ ifadesinin değeri kaçtır?

16

24

32

40

48

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap 24'tür.

Sorunun çözümü, kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliğinin (

A \times (B \cap C)

) doğru tespit edilmesine ve küme formüllerinin (birleşim ve fark) hatasız uygulanmasına dayanır. Hesaplamalar sonucunda

s(B)=8

ve

s(C \setminus B)=3

bulunduğundan, çarpımları 24 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılır:

(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)

.

s[A \times (B \cap C)] = 12

Kartezyen çarpım özelliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştirmek için.

2

Kartezyen çarpım eleman sayısı formülü ile kesişim kümesinin eleman sayısı bulunur:

s(A) \cdot s(B \cap C) = 12

.

4 \cdot s(B \cap C) = 12 \Rightarrow s(B \cap C) = 3

Bilinmeyen kesişim kümesi değerine ulaşmak için.

3

Birleşim formülü (

s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C)

) kullanılarak

s(B) + s(C)

toplamı bulunur.

11 = s(B) + s(C) - 3 \Rightarrow s(B) + s(C) = 14

Denklem sistemi kurabilmek için gerekli toplamı bulmak.

4

Elde edilen

s(B) + s(C) = 14

ve verilen

s(B) = s(C) + 2

denklemleri ortak çözülür.

(s(C)+2) + s(C) = 14 \Rightarrow 2s(C) = 12 \Rightarrow s(C) = 6

ve

s(B) = 8

B ve C kümelerinin eleman sayılarını belirlemek için.

5

İstenen

s[B \times (C \setminus B)]

değeri için önce

s(C \setminus B) = s(C) - s(B \cap C)

hesaplanır, sonra çarpım yapılır.

s(C \setminus B) = 6 - 3 = 3

ve Sonuç:

8 \cdot 3 = 24

Sorunun nihai cevabına ulaşmak için.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Dağılma Özelliği ve Küme Problemleri

Hints

1

(A \times B) \cap (A \times C)

ifadesini ortak paranteze alır gibi düşünün:

A \times (B \cap C)

.

2

s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C)

formülünü kullanarak

s(B)

ve

s(C)

değerlerini bulmaya çalışın.

3

C \setminus B

kümesinin eleman sayısını bulmak için

s(C)

değerinden

s(B \cap C)

değerini çıkarmayı unutmayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 26Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 5\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}

Buna göre, $A \times B$ kümesinin elemanlarından kaç tanesi $B \times A$ kümesinin bir elemanı değildir?

21

27

36

45

63

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

İstenen kümenin eleman sayısı 27'dir.

Doğru cevap 27'dir. İstenen durum,

(a,b) \in A \times B

iken

(a,b) \notin B \times A

olmasıdır. Bu,

A \times B

kümesinden

(A \times B) \cap (B \times A)

kümesinin çıkarılmasıyla bulunur. Kesişim özelliği gereği bu

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesine eşittir.

s(A)=9

,

s(B)=7

ve

s(A \cap B)=6

olduğundan, sonuç

63 - 36 = 27

olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle.

|x| < 5 \implies -5 < x < 5

.

x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

.

s(A) = 9

.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları listelemek gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle.

|x-2| \le 3 \implies -3 \le x-2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5

.

x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

.

s(B) = 7

.

İkinci mutlak değer eşitsizliğini çözerek B kümesini oluşturmak gerekir.

3

Toplam kartezyen çarpım eleman sayısını (

s(A \times B)

) hesapla.

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 9 \cdot 7 = 63

.

Genel kümenin büyüklüğünü bulmak, çıkarılacak kısmı belirlemek için gereklidir.

4

İki kartezyen çarpımın kesişim kümesini (

(A \times B) \cap (B \times A)

) belirle.

Kesişim,

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesidir.

A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olup

s(A \cap B) = 6

. Kesişim sayısı

6 \cdot 6 = 36

.

B \times A

içinde de olan elemanları bulmak için kümelerin kesişimi kullanılır.

5

Fark kümesinin eleman sayısını hesapla.

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \times B) \cap (B \times A)) = 63 - 36 = 27

.

Toplam eleman sayısından, her iki kümede de bulunan ortak elemanları çıkararak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kartezyen Çarpım ve Küme Farkı

Question 27Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

x

ve

y

değişkenleri için,

|x - 2| \le 3

|y + 1| \le 2

eşitsizlikleri veriliyor.

Bu koşulları sağlayan $(x, y)$ sıralı ikililerinin analitik düzlemde oluşturduğu kapalı bölgenin, $y \le x$ eşitsizliğini sağlayan parçasının alanı kaç birimkaredir?

22

24

12

2

26

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

İstenen bölgenin alanı 22 birimkaredir.

Verilen eşitsizlikler analitik düzlemde köşeleri

(-1, -3)

,

(5, -3)

,

(5, 1)

ve

(-1, 1)

olan bir dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin toplam alanı 24 birimkaredir.

y \le x

koşulu,

y=x

doğrusunun alt tarafını ifade eder. Bu doğru dikdörtgenin sol üst köşesinden bir üçgen keser. Kesilen bu üçgenin (

y > x

olduğu bölge) alanı 2 birimkaredir. Dolayısıyla geriye kalan alan

24 - 2 = 22

birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değer eşitsizliklerini çözerek

x

ve

y

değişkenlerinin sınırlarını belirle.

|x - 2| \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5

ve

|y + 1| \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1

.

Kartezyen çarpım kümesinin (dikdörtgenin) analitik düzlemdeki sınırlarını çizmek için.

2

Oluşan dikdörtgenin toplam alanını hesapla.

Yatay uzunluk

5 - (-1) = 6

birim, dikey uzunluk

1 - (-3) = 4

birim. Toplam Alan =

6 \times 4 = 24

birimkare.

Tüm olasılık uzayının büyüklüğünü bulmak için.

3

y \le x

doğrusunun dikdörtgeni kestiği noktaları ve koşulu SAĞLAMAYAN (

y > x

) bölgeyi tespit et.

Doğru dikdörtgeni

(-1, -1)

ve

(1, 1)

noktalarında keser.

y > x

olan kısım, köşeleri

(-1, -1)

,

(1, 1)

ve

(-1, 1)

olan dik üçgendir.

Çıkarılacak alanı geometrik olarak modellemek için.

4

Dışarıda kalan üçgenin alanını toplam alandan çıkar.

Üçgenin dik kenarları 2'şer birimdir. Alanı =

(2 \times 2)/2 = 2

birimkare. Sonuç =

24 - 2 = 22

.

Sadece istenen koşulu sağlayan bölgenin alanına ulaşmak için.

Key Concept

Kartezyen Çarpım Bölgesi ve Lineer Eşitsizlikler

Hints

1

Öncelikle mutlak değer eşitsizliklerini çözerek

x

ve

y

'nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulun.

2

Bulduğunuz sınırlarla analitik düzlemde bir dikdörtgen çizin ve bu dikdörtgenin toplam alanını hesaplayın.

3

y=x

doğrusunu çizin. Bu doğrunun dikdörtgenin içinde kalan kısmının üzerinde (

y > x

) kalan küçük üçgeni belirleyin ve bu üçgenin alanını toplam alandan çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruyu, kartezyen çarpım kümesi bir daire veya üçgen oluşturacak şekilde kurgulayarak çözün.

Alternative Method

İntegral kullanarak veya yamuk alanı formülüyle de hesaplanabilir:

x=-1

ile

x=1

arasında yamuk,

x=1

ile

x=5

arasında dikdörtgen oluşur.

Estimated Time:2m 30s

Question 28Question →

Bir devlet dairesinde çalışan bir memurun öğleden önce tamamlaması gereken işlerin kümesi $A = \{\text{Dosyalama, Arşiv}\}$ ve öğleden sonra tamamlaması gereken işlerin kümesi $B = \{\text{Yazışma, Onay, Kayıt}\}$ olarak belirlenmiştir. Bu memurun biri öğleden önce, diğeri öğleden sonra olmak üzere (öğleden önceki iş, öğleden sonraki iş) şeklinde oluşturabileceği tüm sıralı ikililerin kümesi olan $A \times B$ kartezyen çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

\{(\text{Dosyalama, Yazışma}), (\text{Dosyalama, Onay}), (\text{Dosyalama, Kayıt}), (\text{Arşiv, Yazışma}), (\text{Arşiv, Onay}), (\text{Arşiv, Kayıt})\}

\{(\text{Yazışma, Dosyalama}), (\text{Onay, Dosyalama}), (\text{Kayıt, Dosyalama}), (\text{Yazışma, Arşiv}), (\text{Onay, Arşiv}), (\text{Kayıt, Arşiv})\}

\{\text{Dosyalama, Arşiv, Yazışma, Onay, Kayıt}\}

\{(\text{Dosyalama, Yazışma}), (\text{Arşiv, Onay})\}

\{(\text{Dosyalama, Arşiv}), (\text{Yazışma, Onay}), (\text{Onay, Kayıt})\}

Show answer & explanation

Answer: $\{(\text{Dosyalama, Yazışma}), (\text{Dosyalama, Onay}), (\text{Dosyalama, Kayıt}), (\text{Arşiv, Yazışma}), (\text{Arşiv, Onay}), (\text{Arşiv, Kayıt})\}$

Answer

Tüm öğleden önceki işlerin öğleden sonraki işlerle sırasıyla eşleştiği sıralı ikililer kümesi olan seçenek doğrudur.

Doğru cevap,

A

kümesindeki her bir işin (Dosyalama ve Arşiv),

B

kümesindeki üç işin (Yazışma, Onay, Kayıt) her biriyle 'önce A'daki iş gelecek şekilde' eşleştirilmesiyle elde edilen 6 elemanlı kümedir.

Step-by-Step Solution

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını belirleyin.

A = \{\text{Dosyalama, Arşiv}\}

ve

B = \{\text{Yazışma, Onay, Kayıt}\}

.

Kartezyen çarpım işlemini gerçekleştirmek için önce kaynak kümelerin elemanlarını netleştirmeliyiz.

2

A \times B

tanımını uygulayın.

A \times B = \{(a, b) : a \in A \text{ ve } b \in B\}

.

Sıralı ikililerin ilk bileşeni her zaman birinci kümeden (

A

), ikinci bileşeni ise ikinci kümeden (

B

) seçilmelidir.

3

A

kümesinin ilk elemanı olan 'Dosyalama'yı

B

kümesinin tüm elemanlarıyla eşleştirin.

(\text{Dosyalama, Yazışma}), (\text{Dosyalama, Onay}), (\text{Dosyalama, Kayıt}).

Sistemli bir şekilde tüm ikilileri bulmak için birinci kümenin her elemanını sırayla kullanırız.

4

A

kümesinin ikinci elemanı olan 'Arşiv'i

B

kümesinin tüm elemanlarıyla eşleştirin.

(\text{Arşiv, Yazışma}), (\text{Arşiv, Onay}), (\text{Arşiv, Kayıt}).

Birinci kümedeki tüm elemanların eşleştirildiğinden emin olunmalıdır.

Key Concept

Kartezyen Çarpım ve Sıralı İkililer

Hints

1

Kartezyen çarpım kümesinin elemanları her zaman

(x, y)

şeklinde sıralı ikililerden oluşur.

2

A \times B

dendiğinde, parantez içindeki ilk eleman mutlaka

A

kümesinden, ikinci eleman ise

B

kümesinden seçilmelidir.

3

A

kümesinde 2,

B

kümesinde 3 eleman olduğu için

A \times B

kümesinin toplam

2 \times 3 = 6

tane elemanı (sıralı ikilisi) olmalıdır.

Practice More

Kümelerin eleman sayılarını değiştirerek kartezyen çarpımın eleman sayısının nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 29Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $K$ ve $L$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

K = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}

L = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 2x - 8 < 0\}

Buna göre, analitik düzlemde $(K \cup L) \times (K \cap L)$ kartezyen çarpımının oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

25

30

35

36

42

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Kartezyen çarpımın oluşturduğu bölgenin alanı 35 birimkaredir.

Soruda verilen eşitsizlikler çözüldüğünde

K = [-3, 3]

ve

L = (-2, 4)

aralıkları elde edilir. Bu iki kümenin birleşimi

K \cup L = [-3, 4)

olup uzunluğu 7 birim, kesişimi ise

K \cap L = (-2, 3]

olup uzunluğu 5 birimdir. Kartezyen çarpımın alanı bu iki uzunluğun çarpımı olan

7 \times 5 = 35

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

K kümesinin aralığını belirle.

x^2 \le 9 \Rightarrow -3 \le x \le 3

. Yani

K = [-3, 3]

. Uzunluğu:

3 - (-3) = 6

birim.

Karesi 9'dan küçük veya eşit olan sayılar -3 ile 3 arasındadır.

2

L kümesinin aralığını belirle.

x^2 - 2x - 8 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) < 0

. Kökler -2 ve 4'tür. İşaret tablosuna göre negatif olduğu aralık

L = (-2, 4)

. Uzunluğu:

4 - (-2) = 6

birim.

İkinci dereceden eşitsizlik çözülerek aralık bulunur.

3

Birleşim kümesini (

K \cup L

) bul ve uzunluğunu hesapla.

[-3, 3] \cup (-2, 4) = [-3, 4)

. Bu aralığın uzunluğu

4 - (-3) = 7

birimdir.

İki aralığın birleşimi, en küçük alt sınır ile en büyük üst sınır arasındaki tüm sayıları kapsar.

4

Kesişim kümesini (

K \cap L

) bul ve uzunluğunu hesapla.

[-3, 3] \cap (-2, 4) = (-2, 3]

. Bu aralığın uzunluğu

3 - (-2) = 5

birimdir.

İki aralığın kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanlardır (büyük olan alt sınır, küçük olan üst sınır).

5

Kartezyen çarpımın alanını hesapla.

Alan =

(K \cup L)

uzunluğu

\times

(K \cap L)

uzunluğu =

7 \times 5 = 35

birimkare.

Kartezyen çarpımın alanı, bileşen kümelerin uzunluklarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın geometrik yorumunda, oluşan bölgenin alanı kümelerin uzunluklarının (tek boyutlu ölçülerinin) çarpımıdır.

Hints

1

Önce

K

ve

L

kümelerinin sayı doğrusu üzerindeki aralıklarını belirleyin.

2

K

kümesi

[-3, 3]

aralığıdır.

L

kümesi için

x^2 - 2x - 8 < 0

eşitsizliğinin köklerini bularak aralığı tespit edin.

3

Birleşim kümesinin uzunluğu 7, kesişim kümesinin uzunluğu 5 birimdir. Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır.

Practice More

İki kümenin kartezyen çarpımının grafiğini çizerek köşe noktalarının koordinatlarını bulmayı gerektiren bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizerek her iki kümenin kapsadığı bölgeleri renkli kalemle işaretleyip ortak (kesişim) ve toplam (birleşim) uzunlukları görsel olarak ölçebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 30Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 3x - 4 \le 0\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : x, 12 \text{ sayısının bir tam sayı bölenidir}\}

Buna göre, $(A \cup B) \times (A \cap B)$ kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

30

48

65

72

78

Show answer & explanation

Answer: 65

Answer

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımı olan 65'tir.

Verilen

A

kümesi

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

elemanlarından oluşur (

s=6

).

B

kümesi 12 sayısının tüm tam sayı bölenlerini içerir ve 12 elemanlıdır. İki kümenin kesişiminde

\{-1, 1, 2, 3, 4\}

olmak üzere 5 eleman bulunur. Birleşim kümesi ise ortak elemanların yalnızca bir kez sayılmasıyla 13 elemana ulaşır. Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı gereği

13 \times 5 = 65

sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını belirlemek

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

ve

s(A) = 6

x^2 - 3x - 4 \le 0

eşitsizliğinin kökleri

x_1 = 4

ve

x_2 = -1

olduğundan, tam sayı çözümleri bu aralıktaki sayılardır.

2

B

kümesinin elemanlarını belirlemek

B = \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\}

ve

s(B) = 12

12 sayısının tam sayı bölenleri hem pozitif hem de negatif değerleri içerir.

3

Kesişim ve birleşim kümelerinin eleman sayılarını bulmak

s(A \cap B) = 5

ve

s(A \cup B) = 13

A \cap B = \{-1, 1, 2, 3, 4\}

kümesinde 5 eleman vardır. Birleşim kümesi ise

s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 6 + 12 - 5 = 13

formülüyle hesaplanır.

4

Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak

s((A \cup B) \times (A \cap B)) = 13 \times 5 = 65

s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y)

kuralı uygulanır.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpanı olan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Hints

1

Önce

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını listeleyin. Tam sayı bölenleri derken negatif sayıları da dahil etmeyi unutmayın.

2

A

kümesi

x^2-3x-4 \le 0

eşitsizliğini sağlayan tam sayılardır. Bu aralığı

[-1, 4]

olarak bulmalısınız.

3

Birleşim kümesinin eleman sayısını

s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülüyle bulun. Sonrasında bu sonucu kesişim kümesinin eleman sayısı ile çarpın.

Practice More

Kartezyen çarpım kümesinin grafik üzerinde gösterimi ve bu noktaları kapsayan en küçük dikdörtgenin alanını bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 31Question →

$A = \{x \in \mathbb{Z} : -1 \leq x < 4\}$ kümesi ile $B$ ve $C$ kümeleri veriliyor.

$s(B) = 6$
$s(C) = 4$
$s(B \cap C) = 3$

olduğuna göre, $(A \times B) \setminus (A \times C)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

10

15

20

30

35

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

İşlemin sonucu 15 olarak bulunur.

Verilen ifade kartezyen çarpımın fark işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılarak

A \times (B \setminus C)

şeklinde yazılabilir.

A

kümesinin eleman sayısı

-1, 0, 1, 2, 3

tam sayıları olmak üzere 5'tir.

B \setminus C

kümesinin eleman sayısı ise

B

kümesinin eleman sayısından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla (

6 - 3 = 3

) bulunur. Bu durumda sonuç

5 \times 3 = 15

olur.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin eleman sayısını belirle.

s(A) = 5

A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}

tam sayılarından oluştuğu için eleman sayısı 5'tir.

2

Kartezyen çarpımın özelliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştir.

(A \times B) \setminus (A \times C) = A \times (B \setminus C)

Kartezyen çarpım işleminin kümelerdeki fark işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

3

B \setminus C

kümesinin eleman sayısını hesapla.

s(B \setminus C) = 3

s(B \setminus C) = s(B) - s(B \cap C)

formülünden

6 - 3 = 3

bulunur.

4

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bul.

s(A \times (B \setminus C)) = 5 \times 3 = 15

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın fark işlemi üzerine dağılma özelliği:

(A \times B) \setminus (A \times C) = A \times (B \setminus C)

Hints

1

İfadede ortak olan

A

kümesini dışarı alarak dağılma özelliğini kullanmayı deneyin.

2

B \setminus C

kümesinin eleman sayısını bulmak için

s(B) - s(B \cap C)

işlemini yapın.

3

(A \times B) \setminus (A \times C) = A \times (B \setminus C)

eşitliğini kullanarak bulduğunuz eleman sayılarını çarpın.

Practice More

Kartezyen çarpımın kesişim ve birleşim işlemleri üzerindeki dağılma özelliklerini de tekrar etmeniz konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır.

Estimated Time:1m 30s

Question 32Question →

Aşağıdaki grafikte $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin elemanları koordinat düzleminde noktalarla gösterilmiştir.

Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

4

5

6

8

9

Show answer & explanation

Answer: $6$

Answer

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı

6

olarak bulunur.

Grafik incelendiğinde yatay eksende

1, 2

ve

4

değerleri, düşey eksende ise

2

ve

3

değerleri işaretlenmiştir. Bu durum

s(A)=3

ve

s(B)=2

olduğunu gösterir. Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülü gereği

3 \times 2 = 6

elde edilir. Ayrıca grafikteki toplam nokta sayısı sayıldığında da

6

noktaya ulaşıldığı görülür.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını belirle

A = \{1, 2, 4\}

ve

s(A) = 3

Kartezyen çarpımın birinci bileşenleri yatay eksende (

A

ekseni) gösterilir.

2

B

kümesinin elemanlarını belirle

B = \{2, 3\}

ve

s(B) = 2

Kartezyen çarpımın ikinci bileşenleri düşey eksende (

B

ekseni) gösterilir.

3

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula

s(A \times B) = 3 \times 2 = 6

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

formülü, toplam nokta sayısını verir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir ve grafikteki toplam nokta sayısını temsil eder.

Hints

1

Grafikteki yatay eksen

A

kümesini, düşey eksen ise

B

kümesini temsil eder.

2

Her bir nokta bir sıralı ikiliyi temsil eder. Toplam nokta sayısını bulmak için her eksendeki işaretli sayıların adedini çarpmalısın.

3

Yatay eksende 3, düşey eksende 2 farklı değer işaretlenmiştir.

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

formülünü hatırla.

Practice More

Farklı eleman sayılarına sahip kümelerin kartezyen çarpım grafiklerini çizerek nokta sayısını kontrol edebilirsin.

Estimated Time:45s

Question 33Question →

A, B

ve

C

boş kümeden farklı kümeler olmak üzere;

s(A \times A) = 144

s(A \times (B \cap C)) = 36

s((A \times B) \cup (A \times C)) = 204

eşitlikleri veriliyor.

$s(B) \neq s(C)$ olduğu bilindiğine göre, $s(B \times C)$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

51

91

96

99

100

Show answer & explanation

Answer: 99

Answer

İstenen en büyük değer 99'dur.

Soruda verilen kartezyen çarpım eşitliklerinden

s(A)=12

,

s(B \cap C)=3

ve

s(B \cup C)=17

değerlerine ulaşılır. Kümelerin birleşim formülü kullanılarak

s(B) + s(C) = 20

elde edilir. İstenen

s(B \times C) = s(B) \cdot s(C)

çarpımının en büyük olması için, toplamları sabit olan

s(B)

ve

s(C)

değerleri birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmelidir.

s(B) \neq s(C)

koşulu verildiği için 10 ve 10 seçilemez; bu nedenle en yakın tam sayılar olan 9 ve 11 seçilir. Sonuç

9 \cdot 11 = 99

olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin eleman sayısını bulmak için birinci eşitliği kullan.

s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = 144 \Rightarrow s(A) = 12

Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı:

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

.

2

B ve C kümelerinin kesişiminin eleman sayısını bul.

s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 36 \Rightarrow 12 \cdot s(B \cap C) = 36 \Rightarrow s(B \cap C) = 3

Bulunan

s(A)

değerini yerine koyarak bilinmeyeni yalnız bırakma.

3

Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliğini kullanarak B ve C birleşiminin eleman sayısını bul.

s((A \times B) \cup (A \times C)) = s(A \times (B \cup C)) = s(A) \cdot s(B \cup C) = 204 \Rightarrow 12 \cdot s(B \cup C) = 204 \Rightarrow s(B \cup C) = 17

Dağılma özelliği:

(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C)

.

4

B ve C kümelerinin eleman sayıları toplamını hesapla.

s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) \Rightarrow 17 = s(B) + s(C) - 3 \Rightarrow s(B) + s(C) = 20

Kümelerde birleşim formülü.

5

Çarpımın en büyük değerini bulmak için optimizasyon yap.

Toplamları 20 olan ve birbirinden farklı (

s(B) \neq s(C)

) iki sayının çarpımı en çok

9 \cdot 11 = 99

olur.

Toplamı sabit iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir. Eşitlik durumu (

10, 10

) sorudaki şart nedeniyle elenir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın dağılma özelliği ve eleman sayısı problemleri ile temel eşitsizlik mantığı.

Hints

1

Önce

s(A \times A)

bilgisinden A kümesinin eleman sayısını bulunuz. Ardından dağılma özelliğini hatırlayarak

(A \times B) \cup (A \times C)

ifadesini sadeleştiriniz.

2

Bulduğunuz değerlerle

s(B) + s(C)

toplamını elde etmek için birleşim kümesi formülünü (

s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C)

) kullanınız.

3

Toplamları 20 olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine yakın olması gerekir. Ancak sorudaki

s(B) \neq s(C)

şartına dikkat ediniz.

Alternative Method

Doğrudan

s(A \times B) + s(A \times C) - s((A \times B) \cap (A \times C)) = 204

formülü kullanılarak

12s(B) + 12s(C) - 36 = 204

denklemi kurulup

s(B)+s(C)

bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 34Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde $A = \{x : |x - 2| \le 1\}$ ve $B = \{y : |y + 1| \le 2\}$ kümeleri tanımlanıyor.

Analitik düzlemde $A \times B$ kartezyen çarpımının grafiğini oluşturan tüm noktaları içine alan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?

2

\sqrt{5}

3

2\sqrt{5}

5

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{5}$

Answer

En küçük çemberin yarıçapı

\sqrt{5}

birimdir.

Doğru cevap,

A \times B

kümesinin oluşturduğu dikdörtgenin köşegen uzunluğunun yarısıdır. A kümesi x ekseninde 2 birim, B kümesi y ekseninde 4 birim uzunluğunda bir aralık belirtir. Pisagor bağıntısı ile köşegen

\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

bulunur. Yarıçap bunun yarısı olan

\sqrt{5}

'tir.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını ve analitik düzlemdeki sınırlarını belirle.

|x - 2| \le 1 \Rightarrow -1 \le x - 2 \le 1 \Rightarrow 1 \le x \le 3

. A kümesinin uç noktaları

x=1

ve

x=3

'tür.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x koordinatlarının aralığını bulmak gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını ve analitik düzlemdeki sınırlarını belirle.

|y + 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le y + 1 \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1

. B kümesinin uç noktaları

y=-3

ve

y=1

'dir.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek y koordinatlarının aralığını bulmak gerekir.

3

A \times B

kümesinin oluşturduğu geometrik şekli ve boyutlarını analiz et.

Noktalar

x \in [1, 3]

ve

y \in [-3, 1]

aralığında bir dikdörtgensel bölge oluşturur. Genişlik

= 3-1=2

birim, Yükseklik

= 1-(-3)=4

birimdir.

Kartezyen çarpım grafiği, belirtilen aralıklardaki tam sayı noktalarından oluşan bir ızgaradır.

4

Bu noktaları kapsayan en küçük çemberin yarıçapını hesapla.

Çemberin çapı, dikdörtgenin köşegenine eşittir. Köşegen

d = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

birimdir. Yarıçap

r = \frac{d}{2} = \sqrt{5}

birimdir.

Bir dikdörtgeni içine alan en küçük çember, o dikdörtgenin çevrel çemberidir ve çapı dikdörtgenin köşegenidir.

Key Concept

Kartezyen çarpım grafiğinin geometrik yorumu ve çevrel çember hesabı.

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek analitik düzlemde hangi aralıklara karşılık geldiklerini bulunuz.

2

A \times B

kümesinin elemanları analitik düzlemde bir dikdörtgenin köşeleri ve içindeki tam sayı noktalarıdır. Bu dikdörtgenin boyutlarını (en ve boy) hesaplayınız.

3

Noktaları içine alan en küçük çember, bu dikdörtgenin köşelerinden geçen çemberdir. Bu çemberin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir.

Practice More

Benzer bir soruda kümelerin kesişim bölgesinin alanı veya eleman sayısı sorulabilir.

Alternative Method

Çemberin merkezi dikdörtgenin ağırlık merkezidir. x orta noktası

(1+3)/2 = 2

, y orta noktası

(-3+1)/2 = -1

. Merkez

M(2, -1)

ile en uzak nokta olan

(3, 1)

arasındaki uzaklık formülüyle

r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 35Question →

A ve B, boş kümeden farklı ve ayrık iki kümedir.

s((A \cup B) \times A) = 40

olduğuna göre, s(B) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

27

57

63

66

90

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

s(B) değerlerinin toplamı 66'dır.

Verilen eşitlik

s(A) \cdot (s(A) + s(B)) = 40

şeklinde düzenlendiğinde,

s(A)

sayısı 40'ın çarpanı olmalıdır. Ancak

s(B) \ge 1

olduğu için

s(A) < s(A)+s(B)

eşitsizliği, yani

s(A)^2 < 40

şartı sağlanmalıdır. Bu şartı sağlayan

s(A)

değerleri 1, 2, 4 ve 5'tir. Bu değerlere karşılık gelen

s(B)

değerleri sırasıyla 39, 18, 6 ve 3 bulunur. Toplamları 66 eder.

Step-by-Step Solution

1

Kartezyen çarpım eleman sayısı formülünü ve ayrık küme özelliğini denkleme uygula.

s((A \cup B) \times A) = s(A \cup B) \cdot s(A) = 40

A ve B ayrık olduğu için

s(A \cup B) = s(A) + s(B)

olur. Denklem

(s(A) + s(B)) \cdot s(A) = 40

halini alır.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

2

Değişken ataması yaparak s(A) için olası tam sayı değerlerini belirle.

s(A) = a

ve

s(B) = b

olsun.

a \cdot (a+b) = 40

denkleminde, kümeler boş kümeden farklı olduğu için

b \ge 1

olmalıdır. Bu durumda

a+b > a

şartı sağlanmalıdır.

a

, 40'ın

a^2 < 40

şartını sağlayan pozitif çarpanları olmalıdır.

Kümelerin eleman sayıları doğal sayı olmak zorundadır ve b'nin varlığı a çarpanını sınırlar.

3

Olası 'a' değerleri için 'b' değerlerini hesapla.

-

a=1

için:

1 \cdot (1+b) = 40 \Rightarrow 1+b=40 \Rightarrow b=39

-

a=2

için:

2 \cdot (2+b) = 40 \Rightarrow 2+b=20 \Rightarrow b=18

-

a=4

için:

4 \cdot (4+b) = 40 \Rightarrow 4+b=10 \Rightarrow b=6

-

a=5

için:

5 \cdot (5+b) = 40 \Rightarrow 5+b=8 \Rightarrow b=3

(Not:

a=8

denenirse

8(8+b)=40 \Rightarrow 8+b=5 \Rightarrow b=-3

olur, bu imkansızdır.)

Her bir geçerli s(A) değeri için s(B)'yi tek tek bulmak gerekir.

4

Bulunan farklı s(B) değerlerini topla.

39 + 18 + 6 + 3 = 66

Soruda alabileceği değerlerin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Kartezyen Çarpım ve Küme Problemleri

Hints

1

Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı olan

s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y)

eşitliğini kullanın.

2

A ve B ayrık kümeler olduğu için

s(A \cup B)

yerine

s(A) + s(B)

yazarak denklemi

s(A)

ve

s(B)

cinsinden ifade edin.

3

a \cdot (a+b) = 40

denkleminde

a

(yani

s(A)

), 40'ın bir çarpanıdır ve

b \ge 1

olduğu için

a < \sqrt{40}

olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla

s(A \cap B) \neq 0

olan durumları inceleyen sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 36Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 2\}

B = \{y \in \mathbb{Z} : 1 < y \le 5\}

Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesi $y = x^2 + 1$ eşitliğini sağlar?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Şartı sağlayan 4 eleman vardır.

Soruda istenen eleman sayısı,

A

kümesindeki

x

değerlerinden yola çıkılarak hesaplanan

y=x^2+1

değerlerinin

B

kümesi içinde kalma durumuna göre belirlenir.

A=\{-2,-1,0,1,2\}

ve

B=\{2,3,4,5\}

olarak bulunur.

x=0

için elde edilen

y=1

değeri

B

kümesine dahil değildir. Diğer 4 değer (

-2, -1, 1, 2

) için elde edilen sonuçlar

B

kümesindedir.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

|x| \le 2

eşitsizliğini sağlayan tam sayılar:

\{-2, -1, 0, 1, 2\}

.

Mutlak değer eşitsizliği

-2 \le x \le 2

şeklinde açılır.

2

B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

1 < y \le 5

eşitsizliğini sağlayan tam sayılar:

\{2, 3, 4, 5\}

.

1

dahil değildir (küçüktür),

5

dahildir (küçük eşittir).

3

A kümesindeki her

x

değeri için

y = x^2 + 1

değerini hesapla ve sonucun B kümesinde olup olmadığını kontrol et.

Değerler kontrol ediliyor...

Bir sıralı ikilinin

(x,y) \in A \times B

olabilmesi için

x \in A

ve

y \in B

olmalıdır.

4

Hesaplamaları ve kontrolleri yap.

1.

x = -2 \Rightarrow y = (-2)^2 + 1 = 5

. (

5 \in B

, ✓ Geçerli)
2.

x = -1 \Rightarrow y = (-1)^2 + 1 = 2

. (

2 \in B

, ✓ Geçerli)
3.

x = 0 \Rightarrow y = 0^2 + 1 = 1

. (

1 \notin B

, ✗ Geçersiz - Çünkü

y > 1

olmalı)
4.

x = 1 \Rightarrow y = 1^2 + 1 = 2

. (

2 \in B

, ✓ Geçerli)
5.

x = 2 \Rightarrow y = 2^2 + 1 = 5

. (

5 \in B

, ✓ Geçerli)

Bulunan y değerlerinin B kümesinin tanım aralığına uyup uymadığına bakılır.

5

Geçerli ikilileri say.

Toplam 4 geçerli ikili:

(-2, 5), (-1, 2), (1, 2), (2, 5)

.

Sonuç adımı.

Key Concept

Kartezyen Çarpım Alt Kümesi ve Bağıntı

Hints

1

Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını açık bir şekilde (liste yöntemiyle) yazınız.

2

B kümesinin tanımındaki

1 < y \le 5

ifadesine dikkat edin; 1 sayısı bu kümeye dahil değildir.

3

A kümesindeki her bir elemanı (

x

) denklemde yerine koyun ve çıkan sonucun (

y

) B kümesinde olup olmadığını tek tek kontrol edin.

Practice More

Bağıntının grafiğinin çizilmesi ve kartezyen düzlemde gösterimi ile ilgili sorular çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 37Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 4\}

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

16

25

36

42

49

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Doğru cevap, kesişim kümesinin karesi alınarak bulunan 36 sayısıdır.

İstenen ifade kartezyen çarpımların kesişimidir. Bu işlem, kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına denktir:

(A \cap B) \times (B \cap A)

. Kümelerin kesişimi 6 elemanlı ({-2, -1, 0, 1, 2, 3}) olduğundan, sonuç

6 \times 6 = 36

olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını belirle.

|x - 1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4

.

A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(7 eleman).

Mutlak değerli eşitsizlik çözülerek tam sayı değerleri listelenir.

2

B kümesinin elemanlarını belirle.

|x| < 4 \Rightarrow -4 < x < 4

.

B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

(7 eleman).

Mutlak değer eşitsizliği çözülür, kesin küçüklük olduğu için uç sınırlar (-4 ve 4) dahil edilmez.

3

A ve B kümelerinin kesişimini (

A \cap B

) bul.

A \cap B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

.

s(A \cap B) = 6

.

Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir. (-3 elemanı A'da yok, 4 elemanı B'de yok).

4

İstenen kümenin eleman sayısını kartezyen çarpım özelliklerini kullanarak hesapla.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) = (A \cap B) \times (A \cap B)

. Eleman sayısı:

6 \times 6 = 36

.

Kartezyen çarpımın kesişim özelliği uygulanır:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazınız.

2

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesi,

(A \cap B) \times (B \cap A)

ifadesine eşittir.

3

A ve B kümelerinin ortak elemanlarını bulun (Kesişim Kümesi). Sonuç bu kümenin eleman sayısının karesi olacaktır.

Practice More

Benzer bir soruyu 'birleşim' işlemi için düşünün:

(A \times B) \cup (C \times B) = (A \cup C) \times B

.

Alternative Method

Kümelerin elemanları az sayıda olduğu için, A ve B kümelerinin tüm elemanlarını yazıp, sadece ortak olanları (hem A'da hem B'de olanları) belirleyip, bu sayının karesini alarak da sonuca gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 38Question →

\mathbb{Z}

tamsayılar kümesi olmak üzere,

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : -1 \le x < 6\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

25

36

42

49

12

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

36

Doğru cevap,

A

ve

B

kümelerinin kesişiminin eleman sayısının karesidir.

A

kümesi

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

ve

B

kümesi

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

elemanlarından oluşur. Ortak elemanlar (kesişim)

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olmak üzere 6 tanedir. Kartezyen çarpımın kesişim özelliği gereği sonuç

6 \times 6 = 36

olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

|x - 1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4

. Buradan

A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olup

s(A) = 7

bulunur.

Mutlak değerli eşitsizliği çözerek tamsayı elemanlarını bulmak gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

-1 \le x < 6

aralığındaki tamsayılar:

B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

olup

s(B) = 7

bulunur.

Verilen aralıktaki tamsayıları eksiksiz listelemek gerekir.

3

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırla ve ilgili kümeyi tespit et.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

özelliğine göre, bizden istenen

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesinin eleman sayısıdır. Çünkü

A \cap B = B \cap A

'dır.

İşlemi kısaltmak için kartezyen çarpımın dağılma özelliğini kullanmak en etkili yoldur.

4

A \cap B

kümesini ve eleman sayısını bul.

A

ve

B

kümelerinin ortak elemanları:

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

. Bu durumda

s(A \cap B) = 6

.

Kesişim kümesinin eleman sayısı sonuca ulaşmak için gereklidir.

5

Sonucu hesapla.

s((A \cap B) \times (A \cap B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 6 \cdot 6 = 36

.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımda kesişim işlemi:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazmayı deneyin.

2

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

özdeşliğini kullanabilirsiniz. Burada C yerine B, D yerine A gelmektedir.

3

Sorulan ifade aslında

(A \cap B) \times (B \cap A)

kümesidir.

A \cap B

kümesinin kaç elemanı olduğunu bulup karesini alın.

Practice More

Kartezyen çarpım grafiğinin çevrelediği alanı soran geometrik soruları inceleyin.

Alternative Method

Kümeleri analitik düzlemde çizip, oluşan karesel bölgenin içindeki tamsayı koordinatlı noktaları sayarak da sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 39Question →

Bir belediyenin İmar Müdürlüğü, şehir planlamasında kullanılmak üzere bölgeleri 'Alan Türü' ve 'Risk Düzeyi' olmak üzere iki farklı kategoriye göre sınıflandırmaktadır. Alan Türü kümesi $A = \{\text{Konut, Ticari, Sanayi, Yeşil Alan}\}$ ve Risk Düzeyi kümesi $R = \{\text{Düşük, Orta, Yüksek}\}$ olarak belirlenmiştir. Oluşturulacak bölge kodları $A \times R$ kartezyen çarpım kümesinin elemanları olduğuna göre, bu sistemde tanımlanabilecek toplam farklı kod sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

7

12

16

64

81

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Toplam farklı kod sayısı 12'dir.

Soruda verilen bölge kodları, Alan Türü (

A

) ve Risk Düzeyi (

R

) kümelerinden seçilen elemanlarla oluşturulan sıralı ikililerdir. Kartezyen çarpımın tanımı gereği,

A \times R

kümesinin eleman sayısı,

A

ve

R

kümelerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

A

kümesi 4,

R

kümesi 3 elemanlı olduğundan, toplam kod sayısı

4 \times 3 = 12

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin eleman sayılarını belirle.

s(A) = 4

(Konut, Ticari, Sanayi, Yeşil Alan) ve

s(R) = 3

(Düşük, Orta, Yüksek).

Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak için öncelikle her bir kümenin eleman sayısının bilinmesi gerekir.

2

Kartezyen çarpım formülünü uygula.

s(A \times R) = s(A) \cdot s(R) = 4 \cdot 3 = 12

.

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı:

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

Question 40Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 \le 9\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : 2^x \le 32 \text{ ve } x > 0\}

Buna göre, $(A \times B) \setminus (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

9

16

26

35

49

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Kümenin eleman sayısı 26'dır.

İstenen küme

(A \times B) \setminus (B \times A)

dır. Bu kümenin eleman sayısı,

A \times B

kümesinin eleman sayısından, her iki kümenin kesişimi olan

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

s(A)=7

,

s(B)=5

ve

s(A \cap B)=3

olduğundan;

35 - 9 = 26

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

x^2 \le 9

eşitsizliğini sağlayan tam sayılar:

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

. Yani

s(A) = 7

.

Karesi 9'dan küçük veya eşit olan tam sayıları bulmak için.

2

B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.

2^x \le 32

ve

x > 0

koşulunu sağlayan tam sayılar:

\{1, 2, 3, 4, 5\}

. Yani

s(B) = 5

.

2'nin kuvveti 32'den küçük eşit olan pozitif tam sayıları bulmak için.

3

A ve B kümelerinin kesişimini (

A \cap B

) bul.

Ortak elemanlar:

\{1, 2, 3\}

. Yani

s(A \cap B) = 3

.

Kartezyen fark formülünde kesişim kümesinin eleman sayısı gereklidir.

4

İstenen kümenin eleman sayısını formül veya mantık yoluyla hesapla.

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \cap B) \times (A \cap B)) = (7 \times 5) - (3 \times 3) = 35 - 9 = 26

.

Kümeler arasındaki fark işleminde, ortak olan

(A \cap B) \times (A \cap B)

kısmı çıkarılır.

Key Concept

Kartezyen çarpımda fark işlemi:

(A \times B) \setminus (B \times A)

kümesi,

A \times B

kümesinden, her iki çarpımda da ortak olan

(A \cap B) \times (A \cap B)

kısmının çıkarılmasıyla bulunur.

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça yazınız. A kümesinde negatif tam sayıların da olabileceğine dikkat ediniz.

2

(A \times B)

ve

(B \times A)

kümelerinin ortak elemanlarının, sadece

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesinde olduğunu hatırlayınız.

3

Sorunun çözümü için

s(A) \cdot s(B) - s(A \cap B)^2

işlemini uygulayınız.

Practice More

Benzer bir soruyu, kümelerden biri diğerinin alt kümesi olacak şekilde (

A \subset B

) kurgulayarak fark işleminin nasıl sadeleştiğini inceleyiniz.

Estimated Time:2m 30s

Kartezyen Çarpım

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints