Layer 1

Birim küplerden oluşan bir yapının üstten, önden ve sağdan görünümleri aşağıdaki kareli zeminlerde verilmiştir.

- Üstten Görünüm: $2 \times 2$ 'lik bir karesel bölgenin tamamı doludur.
- Önden Görünüm: Sol sütun $3$ , sağ sütun $2$ birim kare yüksekliğindedir.
- Sağdan Görünüm: Arka sıra $3$ , ön sıra $1$ birim kare yüksekliğindedir.

Buna göre, bu yapıyı oluşturmak için kullanılan birim küp sayısı en az kaçtır?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Yapıyı oluşturmak için gereken minimum birim küp sayısı 7'dir.

Doğru yanıt olan yedi sayısı, taban matrisindeki hücrelere yerleştirilen

3

,

2

,

1

ve

1

birim küpün toplamıdır. Bu yerleşimde; sol sütun en yüksek

3

, sağ sütun en yüksek

2

(önden görünüm sağlar) ve arka sıra en yüksek

3

, ön sıra en yüksek

1

(sağdan görünüm sağlar) birim küp içermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Üstten görünüme göre

2 \times 2

'lik bir taban matrisi oluşturun.

Dört adet hücrenin (

x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}

) her birinde en az bir küp bulunmalıdır.

Üstten görünümde

2 \times 2

'lik alanın tamamen dolu olduğu belirtilmiştir.

2

Önden ve sağdan görünümleri yükseklik sınırları olarak tanımlayın.

Önden:

\max(Sol) = 3

,

\max(Sağ) = 2

. Sağdan:

\max(Arka) = 3

,

\max(Ön) = 1

.

Görünümlerdeki yükseklikler, o bakış doğrultusundaki en yüksek sütunu temsil eder.

3

Küpleri minimum olacak şekilde yerleştirin.

Arka-Sol hücreye

3

, Arka-Sağ hücreye

2

, Ön-Sol hücreye

1

ve Ön-Sağ hücreye

1

küp yerleştirilir.

Maksimumları aynı hücrelerde (örneğin arka sırada) toplamak toplam küp sayısını azaltır.

4

Toplam küp sayısını hesaplayın.

3 + 2 + 1 + 1 = 7

.

Yerleştirilen tüm birim küplerin toplamı yapının hacmini verir.

Key Concept

Görünümleri verilen yapıların minimum/maksimum küp sayısını bulurken, farklı yönlerden görülen maksimum yüksekliklerin ortak hücrelerde çakıştırılması toplam küp sayısını minimize eder.

Hints

1

Üstten görünüm size tabanda kaç farklı sütun olduğunu ve her sütunda en az bir küp bulunması gerektiğini söyler.

2

Önden bakınca görülen yükseklikler sütunların maksimumlarını, sağdan bakınca görülenler ise sıraların (arka/ön) maksimumlarını belirler.

3

2 \times 2

'lik bir kare oluşturun. Hücrelere öyle sayılar verin ki her satırın ve her sütunun en büyük sayısı görünümlerdekilerle eşleşsin.

Practice More

Aynı görünümler için yapılabilecek 'en fazla' küp sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 182Question →

Aşağıdaki grafiklerde, bir fabrikadaki beş farklı makinenin (K, L, M, N, P) bir günde ürettiği toplam ürün miktarları ve bu ürünlerin defolu (hatalı) çıkma yüzdeleri verilmiştir.

Birinci grafik üretim miktarlarını (bin adet), ikinci grafik ise defolu ürün yüzdelerini (%) göstermektedir.

Buna göre, bu makineler arasında günlük sağlam (defosuz) ürün üretim miktarı en fazla olan makine ile en az olan makine arasındaki fark kaç bin adettir?

11

30

40

42

48

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Sağlam ürün üretim miktarları arasındaki fark 11 bin adettir.

Doğru seçenekte, her makine için (Üretim Miktarı) x (100 - Defo Yüzdesi) formülüyle sağlam ürün miktarları tek tek hesaplanmış, en yüksek değer olan 49 (P makinesi) ile en düşük değer olan 38 (M makinesi) arasındaki farkın 11 olduğu bulunmuştur.

Step-by-Step Solution

1

Grafiklerden her makine için üretim miktarını ve defolu yüzdesini belirle.

K: 50 bin (%12 defolu), L: 60 bin (%25 defolu), M: 40 bin (%5 defolu), N: 80 bin (%40 defolu), P: 70 bin (%30 defolu).

Hesaplama yapabilmek için verilerin doğru okunması gerekir.

2

Her makine için sağlam ürün yüzdesini ve miktarını hesapla. (Sağlam % = 100% - Defolu %)

K:

50 \times 0,88 = 44

, L:

60 \times 0,75 = 45

, M:

40 \times 0,95 = 38

, N:

80 \times 0,60 = 48

, P:

70 \times 0,70 = 49

.

Soruda defolu değil, sağlam ürün miktarları sorulmaktadır.

3

Bulunan değerler arasından en büyük ve en küçük olanı belirle.

En fazla sağlam üretim: P (49 bin). En az sağlam üretim: M (38 bin).

Farkı bulmak için uç değerlerin tespiti gereklidir.

4

Maksimum ve minimum değerler arasındaki farkı al.

49 - 38 = 11

bin adet.

Sonuç adımı.

Key Concept

İki farklı grafik verisinin (miktar ve yüzde) birleştirilerek analiz edilmesi.

Hints

1

Her makine için öncelikle 'sağlam' (defosuz) ürün yüzdesini bulmalısınız. Örneğin %12 defolu ise %88 sağlamdır.

2

Grafikteki üretim miktarlarını, bulduğunuz sağlam ürün yüzdeleriyle çarparak her makinenin net sağlam üretimini hesaplayın.

3

P makinesi için 70 bin üretimin %70'i sağlamdır. M makinesi için 40 bin üretimin %95'i sağlamdır. Bu değerleri kıyaslayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 183Question →

Bir okul kütüphanesindeki kitapların türlerine göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.

Bu kütüphanede $720$ adet Hikaye kitabı bulunduğuna göre, kütüphanedeki Roman kitaplarının sayısı kaçtır?

480

720

960

1080

2160

Show answer & explanation

Answer: 960

Answer

Kütüphanedeki roman kitaplarının sayısı 960 adettir.

Daire grafiğinde her bir dilimin merkez açısı, temsil ettiği miktarla doğru orantılıdır. Soruda 'Hikaye' kitaplarına ait dilimin merkez açısı

120^\circ

ve kitap sayısı

720

olarak verilmiştir. Buradan doğru orantı kurulur:

\frac{720 \text{ adet}}{120^\circ} = 6 \text{ adet/derece}

Yani grafikteki her

1

derecelik açı

6

kitaba karşılık gelmektedir. Bizden istenen 'Roman' kitaplarının merkez açısı

160^\circ

olduğuna göre:

160^\circ \times 6 = 960 \text{ adet}

Roman kitabı bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgiyi grafikteki açı ile eşleştir.

Hikaye kitapları:

120^\circ

\rightarrow

720

adet.

Orantı sabitini bulmak için referans değere ihtiyacımız var.

2

Birim açıya düşen kitap sayısını (orantı sabitini) hesapla.

\frac{720}{120} = 6

. (Her

1^\circ

açı,

6

kitaba karşılık gelmektedir.)

Bu sabiti kullanarak diğer kitap türlerinin sayılarını bulabiliriz.

3

İstenen grubun (Roman) açısını kullanarak sayısını hesapla.

Roman açısı:

160^\circ

. Kitap sayısı:

160 \times 6 = 960

.

Roman kitaplarının sayısını bulmak için açısını orantı sabitiyle çarparız.

Key Concept

Daire Grafiğinde Orantı Kurma

Hints

1

Daire grafiğindeki açılar ile kitap sayıları arasında doğru orantı vardır. Bir açının kaç kitaba denk geldiğini bulmaya çalışın.

2

Hikaye kitapları için verilen

120^\circ

açı,

720

kitaba karşılık gelmektedir. Buradan

1^\circ

lik açıya kaç kitap düştüğünü hesaplayabilirsiniz.

3

120^\circ

açı

720

kitap ise, orantı sabiti

720/120 = 6

'dır. Roman kitaplarının açısı

160^\circ

olduğuna göre, bu sayıyı

6

ile çarpmanız gerekir.

Estimated Time:1m 0s

Question 184Question →

{1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde tanımlı $\star$ işlemi aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$\star$	1	2	3	4	5
1	3	4	5	1	2
2	4	5	1	2	3
3	5	1	2	3	4
4	1	2	3	4	5
5	2	3	4	5	1

Buna göre, $(x \star 2^{-1}) \star 3 = 1$ eşitliğini sağlayan $x$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?
( $a^{-1}$ , $a$ elemanının $\star$ işlemine göre tersini göstermektedir.)

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitliği sağlayan x değeri 5'tir.

İşlem tablosunda öncelikle birim elemanın 4 olduğu tespit edilir. Ardından, verilen denklemdeki ters elemanlar (2⁻¹ = 1) bulunup yerine yazılır. Denklem adımları takip edilerek ters işlem özellikleri uygulandığında x = 5 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Tabloda birim (etkisiz) elemanı bul.

Satır ve sütun başlıklarını aynen veren eleman 4'tür. (4. satır ve 4. sütuna bakınız). Yani birim eleman e = 4.

Ters elemanı bulabilmek için önce birim elemanın bilinmesi gerekir.

2

2'nin tersini (2⁻¹) bul.

2 ile işleme girdiğinde birim elemanı (4) veren sayıya bakılır. 2. satırda 4 sonucu 1. sütundadır. Yani 2⁻¹ = 1.

Denklemdeki 2⁻¹ ifadesini sayısal değere çevirmek için.

3

Denklemi düzenle: (x ★ 1) ★ 3 = 1.

Eşitliğin her iki tarafını sağdan 3'ün tersi ile işleme sokmak gerekir. Önce 3⁻¹ bulunur: 3. satırda sonucu 4 (birim) yapan değer 5'tir. Yani 3⁻¹ = 5.

x'i yalnız bırakmak için dıştaki işlemden kurtulmak gerekir.

4

Eşitliğin sağ tarafını hesapla.

(x ★ 1) = 1 ★ 3⁻¹ => x ★ 1 = 1 ★ 5. Tablodan 1 ★ 5 = 2 bulunur. Yani x ★ 1 = 2.

Bilinmeyeni içeren parantezi yalnız bırakmak için.

5

x'i bulmak için 1'in tersini kullan.

x = 2 ★ 1⁻¹. 1'in tersini bulalım: 1. satırda sonucu 4 yapan değer 2'dir. Yani 1⁻¹ = 2. O halde x = 2 ★ 2.

x'i tamamen yalnız bırakmak için.

6

Son işlemi yap.

Tablodan 2 ★ 2 işleminin sonucuna bakılır: Sonuç 5'tir.

Çözüme ulaşmak için.

Key Concept

İşlem tablosunda birim eleman ve ters eleman bulma kuralları.

Hints

1

Önce tablodaki 'etkisiz elemanı' (birim eleman) bulunuz. Hangi satır ve sütun, başlıklarla birebir aynı?

2

Birim eleman '4'tür. Bir sayının tersini bulmak için, o sayının satırında '4' sonucunu veren sütuna bakmalısınız.

3

2⁻¹ = 1 ve 3⁻¹ = 5'tir. Denklemi (x ★ 1) ★ 3 = 1 şeklinde yazıp çözünüz.

Estimated Time:2m 30s

Question 185Question →

Bir sanayi tesisinde üretilen K, L ve M türündeki üç farklı makine parçasının günlük üretim adetlerine göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.

Bu parçaların her birinin birim kütlesi ise aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Parça Türü	Birim Kütle (gram)
K	200
L	500
M	500

Buna göre, bu parçaların günlük üretimlerinin toplam kütlesine göre bir daire grafiği oluşturulduğunda, L parçasına karşılık gelen daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?

80

90

100

120

160

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

L parçasına ait yeni merkez açı 120 derece olarak hesaplanır.

L parçasının toplam kütle içindeki payı hesaplandığında, toplam kütlenin üçte birini oluşturduğu görülür. 360 derecelik daire grafiğinde bu oran 120 dereceye karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Üretim adedi grafiğindeki açılara göre parçaların üretim miktarlarıyla orantılı değerler belirle.

Grafikte K=150°, L=90°, M=120° (Toplam 360°). Basitleştirme için her 30° = 1 birim adet kabul edelim. K=5x, L=3x, M=4x adet.

Daire grafiğindeki açılar, üretim sayıları ile doğru orantılıdır.

2

Her parça türü için toplam kütleyi hesapla (Adet × Birim Kütle).

K Kütlesi =

5x \times 200 = 1000x

gram.
L Kütlesi =

3x \times 500 = 1500x

gram.
M Kütlesi =

4x \times 500 = 2000x

gram.

Toplam kütle dağılımını bulmak için adet ile birim ağırlığı çarpmamız gerekir.

3

Tüm parçaların toplam kütlesini ve L parçasının bu toplamdaki oranını bul.

Toplam Kütle =

1000x + 1500x + 2000x = 4500x

gram.
L'nin Oranı =

\frac{1500x}{4500x} = \frac{1}{3}

.

Yeni daire grafiğindeki açı, parçanın toplam ağırlıktaki payına eşittir.

4

L parçasının yeni merkez açısını hesapla.

Açı =

360^\circ \times \frac{1}{3} = 120^\circ

.

Dairenin tamamı 360 derecedir.

Key Concept

Bu soru, veri dönüştürme (adetten ağırlığa geçiş) ve bileşik orantı kurma becerisini ölçmektedir.

Hints

1

Önce daire grafiğindeki açılara bakarak her parçadan kaçar birim üretildiğini varsayabilirsiniz (Örneğin 360 derece = 360 adet gibi).

2

Üretim adetlerini birim kütlelerle çarparak her parçanın toplam kütlesini bulun.

3

K, L ve M için kütle oranları sırasıyla

(150 \times 200)

,

(90 \times 500)

ve

(120 \times 500)

ile orantılıdır. Bu çarpımları toplayıp L'nin payını oranlayın.

Practice More

Benzer bir soruda, toplam maliyet üzerinden kar oranlarının daire grafiğine dönüştürülmesi istenebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 186Question →

Bir mobil kan bağış ünitesinin hafta içi beş gün boyunca topladığı kan bağışı miktarları (ünite cinsinden) aşağıdaki sütun grafiğinde gösterilmiştir.

Buna göre, bu mobil ünitede en az kan bağışının toplandığı gün kaç ünite kan bağışı yapılmıştır?

35

40

45

55

60

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

En az kan bağışının yapıldığı gün toplanan miktar 35 ünitedir.

Grafikteki sütun boyları incelendiğinde, en kısa sütunun Çarşamba gününe ait olduğu görülür. Bu sütunun dikey eksendeki (y ekseni) hizasına bakıldığında 35 sayısı ile eşleştiği net bir şekilde okunmaktadır. Bu nedenle en az bağış 35 ünitedir.

Step-by-Step Solution

1

Grafikteki günlere karşılık gelen sütun boylarını incele.

Pazartesi: 40, Salı: 55, Çarşamba: 35, Perşembe: 60, Cuma: 45 ünite.

Her bir günün bağış miktarını sayısal olarak belirlemek için dikey eksendeki hizasını kontrol etmek gerekir.

2

En az bağış yapılan günü belirlemek için en kısa sütunu bul.

En kısa sütun Çarşamba gününe aittir.

Sütun grafiklerinde sütun yüksekliği miktarı temsil eder; dolayısıyla en düşük miktar en kısa sütundadır.

3

Belirlenen günün dikey eksendeki sayısal değerini oku.

Çarşamba günü sütunu dikey eksende 35 hizasındadır.

Soruda istenen sayısal değere ulaşmak için grafik okuma işlemini tamamla.

Key Concept

Sütun grafiklerinde dikey eksen değerlerini okuma ve karşılaştırma.

Hints

1

Grafikteki sütunların boylarını birbirleriyle kıyaslayarak en düşük olanı belirlemelisin.

2

En kısa sütun Çarşamba gününe aittir. Şimdi bu sütunun tepe noktasının dikey eksende hangi sayıya denk geldiğine bak.

3

Çarşamba günü sütunu 30 ile 40 arasındaki tam orta noktada, yani 35 hizasındadır.

Practice More

Bağış miktarları arasındaki farkları veya toplam bağış miktarını hesaplayan benzer grafik sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm günlerin değerlerini bir liste haline getirerek (40, 55, 35, 60, 45) içlerindeki en küçük sayıyı seçebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 187Question →

Bir laboratuvar deneyinde, bir bakteri türünün popülasyonu her saat başı ölçülmektedir. $a_n$ değeri $n$ . saatteki ölçüm sonucunu göstermek üzere; 1. saatteki ölçüm $a_1 = 3$ olarak belirlenmiştir.

İkinci saatten itibaren her $n$ . saatteki ölçüm ( $a_n$ ); bir önceki saatteki ölçümün ( $a_{n-1}$ ) 2 katı alındıktan sonra, eğer $n-1$ değeri tek sayı ise $(n-1)$ eklenerek, çift sayı ise $(n-1)$ çıkarılarak hesaplanmaktadır.

Buna göre, bu deneyde 6. saatteki ölçüm sonucu ( $a_6$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

95

96

104

105

106

Show answer & explanation

Answer: 105

Answer

6. saatteki ölçüm sonucu 105 olarak hesaplanır.

Verilen kuralda her adım bir önceki adımın sonucuna bağlıdır. 5. saat sonunda elde edilen 50 değeri kullanılarak 6. saat hesaplanırken;

n=6

için

n-1=5

değeri tek sayı olduğundan, 50'nin 2 katı olan 100'e 5 eklenerek 105 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

a_2

değerini hesapla.

a_2 = 2 \times 3 + 1 = 7

n=2

için

n-1=1

(tek) olduğundan 1 eklenir.

2

a_3

değerini hesapla.

a_3 = 2 \times 7 - 2 = 12

n=3

için

n-1=2

(çift) olduğundan 2 çıkarılır.

3

a_4

değerini hesapla.

a_4 = 2 \times 12 + 3 = 27

n=4

için

n-1=3

(tek) olduğundan 3 eklenir.

4

a_5

değerini hesapla.

a_5 = 2 \times 27 - 4 = 50

n=5

için

n-1=4

(çift) olduğundan 4 çıkarılır.

5

a_6

değerini hesapla.

a_6 = 2 \times 50 + 5 = 105

n=6

için

n-1=5

(tek) olduğundan 5 eklenir.

Key Concept

Özyinelemeli (recursive) sayı dizilerinde değişken kural ve parite (teklik-çiftlik) analizi.

Hints

1

Kuralın her adımda

n

değerine göre nasıl değiştiğini bir tabloya dökerek hesaplayın.

2

n-1

değerinin tek veya çift olmasına dikkat edin: 1, 3 ve 5 eklenirken; 2 ve 4 çıkarılacaktır.

3

5. saatteki ölçüm olan 50'yi bulduktan sonra, 6. saat için

n-1=5

olduğundan 100 sayısına 5 eklemelisiniz.

Practice More

Kuralın 'tek günlerde

n

kadar artış, çift günlerde

2n

kadar azalış' şeklinde değiştiği benzer bir örüntü kurgulayarak pekiştirin.

Estimated Time:1m 30s

Question 188Question →

Aşağıdaki dairesel düzenekte sayılar belirli bir mantıksal kurala göre saat yönünde dizilmiştir.

Buna göre, soru işareti (?) yerine gelmesi gereken sayı hangisidir?

95

94

71

93

141

Show answer & explanation

Answer: 95

Answer

Sayı dizisindeki kurala göre soru işareti yerine 95 gelmelidir.

Verilen dairesel düzenekteki sayılar incelendiğinde, her bir sayının kendinden bir önceki sayının 2 katının 1 fazlası (

2n+1

) olduğu görülür (

2 \rightarrow 5, 5 \rightarrow 11, 11 \rightarrow 23, 23 \rightarrow 47

). Bu kural 47 sayısına uygulandığında

47 \times 2 + 1 = 95

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Dizideki ilk iki sayı (2 ve 5) arasındaki ilişkiyi inceleyin.

2 \times 2 + 1 = 5

Sayılar arasındaki artışın çarpan ve ekleme içerip içermediğini belirlemek için.

2

Bulduğunuz kuralı sonraki sayılar (5 ve 11) üzerinde test edin.

5 \times 2 + 1 = 11

Kuralın dizinin tamamında tutarlı olduğunu doğrulamak için.

3

Kuralı 47 sayısına uygulayarak bilinmeyen değeri bulun.

47 \times 2 + 1 = 95

Örüntüyü tamamlayarak doğru sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Sayı dizilerinde her bir terimin kendinden önceki terime bağlı bir kural (

2n+1

) ile türetilmesi.

Hints

1

Sayıların birbirine olan yakınlıklarını düşünün; her sayı bir öncekinin yaklaşık iki katı gibi görünüyor mu?

2

2'den 5'e geçmek için 2'yi 2 ile çarpıp kaç eklemeniz gerekir? Aynı şeyi 5'ten 11'e geçerken deneyin.

3

Kuralımız şu şekildedir: (Önceki Sayı × 2) + 1. Bu kuralı 47 için uygulayın.

Practice More

Farkların geometrik olarak arttığı benzer sayı dizisi problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Sayılar arasındaki farklara bakabilirsiniz: 3, 6, 12, 24... Farkların her seferinde 2 katına çıktığını görebilirsiniz. Bir sonraki fark

24 \times 2 = 48

olmalıdır.

47 + 48 = 95

.

Estimated Time:45s

Question 189Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde $\bullet$ işlemi, her $a$ ve $b$ gerçel sayısı için

a \bullet b = a^2 - 2b

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $4 \bullet 5$ işleminin sonucu kaçtır?

17

26

6

36

-6

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen işlem tanımına göre

4

ve

5

sayıları değişkenlerin yerine yazıldığında sonuç

6

olarak hesaplanır.

Verilen

a \bullet b = a^2 - 2b

tanımında

a

yerine

4

ve

b

yerine

5

yazıldığında;

4^2 - 2 \cdot 5 = 16 - 10 = 6

sonucu elde edilir. Bu, işlem tanımına ve öncelik kurallarına tam uyumludur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin belirlenmesi ve yerine yazılması

a = 4

ve

b = 5

alınarak ifade

4^2 - 2 \cdot 5

şeklinde yazılır.

İşlem sembolünün solundaki sayı

a

değişkenine, sağındaki sayı

b

değişkenine karşılık gelir.

2

Üslü ifadenin ve çarpma işleminin yapılması

4^2 = 16

ve

2 \cdot 5 = 10

değerleri bulunur.

Matematikte işlem önceliğine göre önce üslü ifadeler ve çarpma işlemleri yapılır.

3

Çıkarma işleminin yapılması

16 - 10 = 6

En son çıkarma işlemi yapılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin doğru sırayla yerleştirilmesi ve standart işlem önceliği kurallarının uygulanması.

Hints

1

İşlem sembolünün solundaki sayıyı 'a', sağındaki sayıyı 'b' olarak düşünün.

2

Tanımda 'a' gördüğünüz yere 4, 'b' gördüğünüz yere 5 yazarak ifadeyi yeniden yazın.

3

4^2 - 2 \times 5

ifadesinde önce üslü sayıyı ve çarpmayı yapmayı unutmayın.

Practice More

İşlem tanımında parantez kullanımı olduğunda sonucun nasıl değişeceğini görmek için benzer bir soruyu parantezli bir kural ile çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 190Question →

Bir belediyenin $2024$ yılında topladığı atık miktarları türlerine göre aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Atık Türü	Miktar (Ton)
Organik	$120$
Plastik	$80$
Kağıt	$60$
Cam	$40$

Bu belediyenin $2025$ yılında topladığı atıklarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Organik atık miktarı $\%20$ azalmıştır.
* Plastik atık miktarı $\%50$ artmıştır.
* Kağıt atık miktarı değişmemiştir.
* Cam atık miktarı $\%110$ artmıştır.

Buna göre, $2025$ yılındaki atık dağılımı bir dairesel grafikte gösterilirse, plastik atıklara ait dilimin merkez açısı kaç derece olur?

96

108

120

135

144

Show answer & explanation

Answer: $120$

Answer

2025

yılındaki plastik atık miktarının dairesel grafikteki merkez açısı

120

derecedir.

2025

yılında toplam atık miktarı

360

tona ulaşmıştır. Plastik atık miktarı ise artış sonrası

120

ton olmuştur.

360

tonda

120

tonluk bir pay, dairesel grafiğin üçte birine (

360/3

) karşılık gelir, bu da

120

derecelik bir merkez açı demektir.

Step-by-Step Solution

1

2025

yılındaki her bir atık türünün miktarını hesaplayınız.

Organik:

120 \times 0,80 = 96

ton; Plastik:

80 \times 1,50 = 120

ton; Kağıt:

60

ton; Cam:

40 + (40 \times 1,10) = 40 + 44 = 84

ton.

Yüzdelik değişimleri başlangıç miktarlarına uygulayarak yeni değerleri bulmak gerekir.

2

2025

yılındaki toplam atık miktarını toplayınız.

96 + 120 + 60 + 84 = 360

ton.

Dairesel grafikteki oranlamayı yapabilmek için tüm miktarların toplamına (bütün) ihtiyaç vardır.

3

Plastik atık miktarını dairesel grafik oranına (

360^{\circ}

) dönüştürünüz.

\frac{120}{360} \times 360^{\circ} = 120^{\circ}

.

Parçanın bütüne oranı, dairesel grafikteki merkez açının

360

dereceye oranına eşittir.

Key Concept

Veri setindeki değişimler sonrası yeni toplamı hesaplama ve dairesel grafikte orantı kurma.

Practice More

Toplam miktarın

360

çıktığı sorularda, her

1

tonun

1

dereceye karşılık geldiğini fark etmek işlem hızınızı artıracaktır.

Estimated Time:2m 30s

Question 191Question →

Aşağıdaki $3 \times 3$ boyutundaki tabloda hücrelere sayılar; soldan sağa doğru her satırda kendi içinde sabit bir miktarda artacak, yukarıdan aşağıya doğru her sütunda ise kendi içinde sabit bir miktarda artacak şekilde yerleştirilmiştir.

| 5 | | 13 |
| | 12 | |
| 13 | | $X$ |

Buna göre, tabloda $X$ ile gösterilen hücreye hangi sayı gelmelidir?

15

16

17

18

19

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Sayısal mantık kuralları çerçevesinde artış miktarları hesaplandığında

X

hücresine gelmesi gereken değer 17'dir.

Doğru yanıt olan 17 değerine ulaşmak için tablodaki bilinenlerden hareketle bilinmeyen hücreler doldurulmalıdır. Birinci satırda 5 ile 13 arasında iki boşluk olduğu için artış miktarı

(13-5)/2 = 4

bulunur. Bu durumda ilk satır 5, 9, 13 olur. Aynı mantıkla ilk sütun da 5, 9, 13 olur. İkinci sütunda üstte 9, ortada 12 olduğu için bu sütunun artış miktarı 3'tür ve en alt hücresi 15 olur. Son olarak üçüncü satırda 13 ve 15 değerleri bilindiği için artışın 2 olduğu görülür, böylece

15 + 2 = 17

sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci satırdaki artış miktarını belirle.

Artış miktarı 4'tür.

Birinci hücre 5, üçüncü hücre 13 ise aradaki fark

13 - 5 = 8

'dir. İki adımda bu fark oluştuğu için adım başı artış

8 / 2 = 4

olur.

2

Birinci sütundaki artış miktarını belirle.

Artış miktarı 4'tür.

Birinci satırda olduğu gibi, 5'ten 13'e iki adımda çıkıldığı için

(13 - 5) / 2 = 4

artış vardır.

3

İkinci sütunun ilk elemanını ve artış miktarını bul.

İlk eleman 9, artış miktarı 3'tür.

Birinci satır

5, 9, 13

şeklindedir. İkinci sütunun ortasındaki sayı 12 olduğuna göre, 9'dan 12'ye artış

12 - 9 = 3

olur.

4

Üçüncü satırın elemanlarını bul.

Elemanlar 13, 15 ve 17'dir.

İkinci sütun

9, 12, 15

şeklinde ilerler. Üçüncü satırın ilk elemanı 13, ikinci elemanı 15 ise artış miktarı

15 - 13 = 2

'dir. Son eleman

15 + 2 = 17

olur.

Key Concept

Tablo üzerinde iki yönlü (satır ve sütun) aritmetik dizi mantığı yürütme.

Hints

1

Önce ilk satırdaki boş hücreyi, 5 ve 13 sayılarını kullanarak bulun.

2

Birinci satırı bulduktan sonra, ortadaki 12 sayısını kullanarak ikinci sütunun nasıl arttığını hesaplayın.

3

Üçüncü satırın ilk iki elemanını (13 ve 15) belirlediğinizde, bu satırdaki artış miktarının 2 olduğunu göreceksiniz.

Practice More

Benzer bir 4x4 tablo oluşturarak artış miktarlarının her adımda azaldığı bir soru kurgulayıp çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Sütunlardaki artış miktarlarının da bir örüntü oluşturduğunu fark edebilirsiniz: 1. sütun +4, 2. sütun +3 ve dolayısıyla 3. sütun +2 artmaktadır. 13'ten başlayarak iki kez 2 eklerseniz 17'ye ulaşırsınız.

Estimated Time:1m 30s

Question 192Question →

Bir kamu kurumunun veri güvenliği protokolü çerçevesinde, her personele aşağıdaki kurala göre bir dijital erişim kodu tanımlanmaktadır:

* İlk personelin erişim kodu $2$ , ikinci personelin erişim kodu $5$ 'tir.
* $n \geq 3$ olmak üzere; $n$ . personelin erişim kodu ( $a_n$ ), bir önceki personelin erişim kodunun ( $a_{n-1}$ ) $2$ katı alınarak hesaplanır.
* Bu hesaplamada; personelin sıra numarası ( $n$ ) çift ise sonuca $(n-1)$ eklenir, personelin sıra numarası ( $n$ ) tek ise sonuçtan $(n-1)$ çıkarılır.

Buna göre, bu kurumda görevli 7. personelin erişim kodu aşağıdakilerden hangisidir?

116

128

140

152

161

Show answer & explanation

Answer: 140

Answer

Verilen kurala göre 7. personelin erişim kodu 140 olarak hesaplanır.

Verilen kural adım adım uygulandığında; 3. personel için 8, 4. personel için 19, 5. personel için 34, 6. personel için 73 ve nihayet 7. personel için 140 değerine ulaşılmaktadır. Bu süreçte her adımda bir önceki değerin iki katı alınmış ve sıra numarasına göre (teklerde çıkarma, çiftlerde toplama)

n-1

değeri işlenmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen başlangıç değerlerini ve kuralı analiz etme

a_1 = 2

,

a_2 = 5

. Kural:

a_n = 2 \times a_{n-1} + (n-1)

(

n

çift ise) veya

a_n = 2 \times a_{n-1} - (n-1)

(

n

tek ise).

Örüntünün ilerleyişini belirlemek için başlangıç noktalarını ve değişken kuralı tanımlamak gerekir.

2

3. personelin kodunu (

a_3

) hesaplama

n=3

(tek):

a_3 = 2 \times 5 - (3-1) = 10 - 2 = 8

.

Sıra numarası tek olduğu için

(n-1)

değeri çıkarılır.

3

4. personelin kodunu (

a_4

) hesaplama

n=4

(çift):

a_4 = 2 \times 8 + (4-1) = 16 + 3 = 19

.

Sıra numarası çift olduğu için

(n-1)

değeri eklenir.

4

5. personelin kodunu (

a_5

) hesaplama

n=5

(tek):

a_5 = 2 \times 19 - (5-1) = 38 - 4 = 34

.

Sıra numarası tek olduğu için

(n-1)

değeri çıkarılır.

5

6. personelin kodunu (

a_6

) hesaplama

n=6

(çift):

a_6 = 2 \times 34 + (6-1) = 68 + 5 = 73

.

Sıra numarası çift olduğu için

(n-1)

değeri eklenir.

6

7. personelin kodunu (

a_7

) hesaplama

n=7

(tek):

a_7 = 2 \times 73 - (7-1) = 146 - 6 = 140

.

Sıra numarası tek olduğu için

(n-1)

değeri çıkarılarak hedeflenen sonuca ulaşılır.

Key Concept

Değişken kurala dayalı (alternatifli) yinelemeli dizilerde terim hesaplama.

Hints

1

Her adımda bir önceki sayının iki katını alarak ilerleyin ancak ekleme/çıkarma kuralını sıra numarasına göre kontrol edin.

2

7. personele ulaşmak için önce 3, 4, 5 ve 6. personellerin kodlarını sırayla bulmanız gerekmektedir. 3. personel tek sıradadır, bu yüzden çıkarma yapmalısınız.

Practice More

Benzer bir soruda 'n' değeri arttıkça artış miktarının karesel bir fonksiyon olup olmadığını inceleyerek genel terim formülü çıkarmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 193Question →

Bir spor okulundaki öğrencilerin branşlara göre sayıca dağılımı aşağıdaki sütun grafiğinde gösterilmiştir.

Bu sütun grafiğindeki veriler bir daire grafiğine dönüştürüldüğünde, basketbol branşını seçen öğrencileri gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?

24

30

72

108

180

Show answer & explanation

Answer: $108$

Answer

Basketbol branşını temsil eden daire diliminin merkez açısı

108

derecedir.

Spor okulundaki toplam öğrenci sayısı

40 + 24 + 16 = 80

kişidir. Daire grafiğinde bu

80

kişi

360

derecelik bir dairenin tamamını temsil eder. Basketbol branşını seçen

24

kişinin bu dairedeki payını bulmak için

\frac{24}{80}

oranı kullanılır. Bu oran

360

ile çarpıldığında

360 \times 0,3 = 108

sonucu elde edilir. Dolayısıyla doğru yanıt

108

derecedir.

Step-by-Step Solution

1

Grafikte verilen branşlardaki tüm öğrencileri toplayarak genel toplamı bulun.

40 + 24 + 16 = 80

öğrenci.

Daire grafiğine geçiş yaparken kullanılan orantı, verilerin toplamının

360^\circ

kabul edilmesine dayanır.

2

Basketbol öğrenci sayısının toplam içindeki payını belirlemek için orantı kurun.

\frac{24}{80} = \frac{3}{10} = \%30

.

Her branşın toplam içindeki ağırlığı, daire grafiğindeki dilim büyüklüğünü belirler.

3

Bulunan oranı

360^\circ

ile çarparak merkez açıyı hesaplayın.

360^\circ \times \frac{3}{10} = 108^\circ

.

Dairenin tamamı

360

derece olduğundan, paydaşın oranını bu değer üzerinden ifade ederiz.

Key Concept

Verilerin daire grafiğine aktarılırken

360

derece üzerinden oranlanması.

Hints

1

Öncelikle gruptaki toplam öğrenci sayısını bulmanız gerekir.

2

Toplam öğrenci sayısını

360

derece ile eşleştirerek bir orantı kurmayı deneyin.

3

80

öğrenci

360^\circ

ise

24

öğrenci

x

derecedir denkleminde içler dışlar çarpımı yaparak sonucu bulabilirsiniz.

Practice More

Veri setindeki sayıların (örneğin 24 ve 80) birbirine oranını sadeleştirerek (örneğin 3/10) işlemleri daha hızlı yapabilirsiniz.

Estimated Time:1m 0s

Question 194Question →

A, B, C, D ve E birbirinden farklı asal sayıları temsil etmek üzere, bu sayılarla ağırlıkları belirlenmiş beş kutu üç farklı terazi işlemine tabi tutulmuştur.

Elde edilen denge durumları ve eşitsizlikler şu şekildedir:

A + B = C + 8

B + E = A + C + D

C + D < E + A

Kutuların toplam ağırlığının 30 kg'dan fazla olduğu bilindiğine göre, E kutusunun ağırlığı kaç kg'dır?

11

13

17

19

23

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

E kutusunun ağırlığı 17 kg'dır.

Verilen denklemler ve asal sayı kısıtları analiz edildiğinde,

A=11, B=2, C=5, D=3, E=17

(toplam 38) veya

A=7, B=3, C=2, D=11, E=17

(toplam 40) gibi geçerli setlere ulaşılır. Her iki geçerli çözüm yolunda da E değeri 17 olarak bulunur. Diğer seçenekler denklemleri veya 'toplam > 30' şartını sağlamaz.

Step-by-Step Solution

1

Birinci denklemi ve parite (tek-çift) durumunu analiz et.

A + B = C + 8

. 8 çifttir.

A

ve

B

asal olduğundan, ya ikisi de tek ya da biri 2'dir.

C

tek ise

C+8

tektir, o zaman

A+B

tek olmalıdır. Bu durumda

A

veya

B

'den biri mutlaka 2 olmalıdır.

Asal sayıların çoğu tektir; sadece 2 çifttir. Bu özellik denklemlerdeki olasılıkları azaltır.

2

İkinci denklemi kullanarak

E

ve

D

arasındaki ilişkiyi bul.

B + E = A + C + D

. Birinci denklemden

B - C = 8 - A

veya

C = A + B - 8

yazılabilir. Ancak en temizi

E

'yi yalnız bırakmaktır. Eğer

B=2

ise:

2+E = A+C+D

.

Değişken sayısını azaltmak veya aralarındaki fark ilişkisini görmek için.

3

Olası durumları (Case) test et. Durum 1:

C=2

.

A+B = 10

. Asal çiftler (3,7) veya (5,5). Farklı oldukları için

\{3,7\}

.

A=7, B=3, C=2

olsun. Denklem 2:

3+E = 7+2+D \rightarrow E - D = 6

. Eşitsizlik:

2+D < E+7 \rightarrow 2+D < (D+6)+7

(Daima doğru). Toplam > 30 kısıtını kontrol et:

2+3+7+D+E = 12+2D+6 > 30 \rightarrow 2D > 12 \rightarrow D > 6

. Farkı 6 olan,

D>6

asallarını dene: (5,11) olmaz (

D<6

). (11,17) setinde

D=11, E=17

. Kume:

\{2,3,7,11,17\}

. Toplam: 40 > 30. Ancak

A=7, B=3

yerine

A=3, B=7

alırsak:

7+E = 3+2+D \rightarrow E=D-2

. Eşitsizlik:

2+D < (D-2)+3 \rightarrow D+2 < D+1

(İmkansız). Yani sadece

A=7

durumu geçerli olabilir.

Sistemli bir şekilde tüm olasılıkları elemek.

4

Durum 2:

B=2

.

A+2 = C+8 \rightarrow A - C = 6

. (Farkı 6 olan asal çiftler: 11-5, 13-7, 17-11, 19-13...). Denklem 2:

2+E = A+C+D

.

C=A-6

koyalım:

2+E = A+(A-6)+D \rightarrow E - D = 2A - 8

. Eşitsizlik:

(A-6)+D < E+A \rightarrow D-6 < E \rightarrow E-D > -6

(Daima doğru). Şimdi

E-D = 2A-8

şartını sağlayan asalları bulalım.

Diğer parite olasılığını test etmek.

5

Durum 2 altındaki kümeleri oluştur ve toplam kısıtını kontrol et.

1. Alt Durum (

C=5, A=11

):

A-C=6

.

E-D = 2(11)-8 = 14

. Farkı 14 olan asallar (D, E): (3, 17). Küme:

\{2, 3, 5, 11, 17\}

. Toplam:

2+3+5+11+17 = 38

. (30'dan büyük, sağlar). Bu durumda

E=17

.
2. Alt Durum (

C=7, A=13

):

E-D = 2(13)-8 = 18

. Farkı 18 olan (5, 23). Küme:

\{2, 5, 7, 13, 23\}

. Toplam: 50. (Sağlar). Ancak soruda genelde en küçük/basit set kastedilir veya

C=2

durumundaki setle (Toplam 40,

E=17

) çakışır mı?

C=2

setinde

E=17

bulmuştuk. Buradaki sette

E=17

durumu için

D=3

olmalıydı. 1. Alt durum en tutarlı çözümdür.

Çoklu çözüm riskini analiz etmek. Soru kökü 'Toplam > 30' dediği için 38 ve 40 toplamlı setlerin ikisinde de

E=17

çıkmaktadır.

E=23

olan set (toplam 50) çok daha büyük sayılardır ve genelde bu tip sorularda minimal set hedeflenir, ancak şıklarda 17 güçlü çeldiricidir. Dikkat:

A=7, C=2

setinde

E=17

bulmuştuk.

B=2, C=5

setinde de

E=17

bulduk. Her iki geçerli çözüm yolunda da

E=17

çıkmaktadır.

Key Concept

Asal Sayı Özellikleri ve Denklemlerde Parite Analizi

Hints

1

Asal sayıların neredeyse tamamı tektir. Bir toplama işleminde sonuç tek veya çift çıkıyorsa, sayılardan birinin 2 (çift asal) olma ihtimalini değerlendirin.

2

Birinci denklemde

A+B = C+8

ifadesine bakın. 8 çifttir.

A, B, C

hepsi tek asal olabilir mi? Olamazsa hangisi 2 olmalıdır?

3

B=2

durumunu deneyin. Bu durumda

A-C=6

olur. Farkı 6 olan asal sayı çiftlerini (5-11, 7-13 gibi) listeleyip diğer denklemlerde deneyin.

Practice More

Farklı asal sayıların toplamı ve çarpımı ile ilgili kısıtların verildiği yaş problemleri çözülebilir.

Alternative Method

Deneme-yanılma yerine 'Parite Analizi' yöntemi kullanılabilir:

A, B, C, D, E

'nin toplamı

T

olsun. Denklemleri taraf tarafa toplayarak

T

ile ilgili genel bir kısıt veya modüler aritmetik ilişkisi aranabilir, ancak asal sayı kısıtı olduğu için en hızlı yol çift sayı (2) üzerinden gitmektir.

Estimated Time:4m 0s

Question 195Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde

\otimes

işlemi,

x \otimes y = \begin{cases} 2x + y, & x \le y \\ x - 3y, & x > y \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

k \otimes (3 \otimes 5) = 35

eşitliğini sağlayan

k

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

12

24

56

68

80

Show answer & explanation

Answer: 68

Answer

Eşitliği sağlayan tek geçerli

k

değeri 68'dir.

Parantez içi işleminden 11 bulunur. Denklem

k \otimes 11 = 35

olur. İşlem parçalı tanımlandığı için

k \le 11

ve

k > 11

durumları ayrı ayrı incelenir. İlk durumdan

k=12

bulunur ancak bu değer

k \le 11

şartını sağlamaz. İkinci durumdan

k=68

bulunur ve bu değer

k > 11

şartını sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki işlemi hesapla:

3 \otimes 5

3 \le 5

olduğu için

2(3) + 5 = 6 + 5 = 11

.

İşlem önceliğine göre önce parantez içi yapılır.

x \le y

durumu geçerlidir.

2

Elde edilen sonucu ana denklemde yerine yaz:

k \otimes 11 = 35

Denklem

k \otimes 11 = 35

halini alır.

Bulunan değeri yerine koyarak bilinmeyenli denklemi oluştururuz.

3

Birinci durumu (

k \le 11

) incele

2k + 11 = 35 \Rightarrow 2k = 24 \Rightarrow k = 12

. ANCAK

12 \le 11

şartı sağlanmadığı için bu kök GEÇERSİZDİR.

Parçalı fonksiyonda bulunan kökün, o parçanın tanım aralığında olup olmadığı kontrol edilmelidir.

4

İkinci durumu (

k > 11

) incele

k - 3(11) = 35 \Rightarrow k - 33 = 35 \Rightarrow k = 68

.

68 > 11

şartı sağlandığı için bu kök GEÇERLİDİR.

Diğer durumun denklemini çözüp koşul kontrolü yaparız.

Key Concept

Parçalı Tanımlı Fonksiyonlarda Denklem Çözümü ve Tanım Aralığı Kontrolü

Hints

1

Önce parantez içindeki

(3 \otimes 5)

işleminin sonucunu bulun.

Estimated Time:2m 0s

Question 196Question →

Birim küplerin birleştirilmesiyle oluşturulmuş, ayrıt uzunlukları 2 birimden büyük tam sayılar olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir yapının tüm dış yüzeyi boyanıyor. Boya kuruduktan sonra yapı tekrar birim küplere ayrılıyor.

Yapılan sayım sonucunda, sadece bir yüzü boyalı olan birim küp sayısının, hiçbir yüzü boyalı olmayan birim küp sayısının 2 katına eşit olduğu görülmüştür.

Buna göre, bu yapının hacmi en az kaç birim küptür?

64

100

125

144

160

Show answer & explanation

Answer: 125

Answer

Prizmanın hacmi en az 125 birim küptür.

Verilen koşulu sağlayan en küçük prizma

5 \times 5 \times 5

boyutlarındadır. Bu durumda içteki boyasız küp sayısı

3^3 = 27

, sadece bir yüzü boyalı küp sayısı ise

6 \times 3^2 = 54

olur.

54 = 2 \times 27

eşitliği sağlanır. Hacim

5^3 = 125

birim küptür.

Step-by-Step Solution

1

Prizmanın boyutlarını ve boyalı yüzey sayılarını formülize et.

Boyutlar

a, b, c

olsun. Hiç boyalı olmayan (iç) küp sayısı:

(a-2)(b-2)(c-2)

. Sadece bir yüzü boyalı küp sayısı:

2[(a-2)(b-2) + (a-2)(c-2) + (b-2)(c-2)]

.

İçteki küpler boyutlardan 2'şer birim kısılarak bulunur. Bir yüzü boyalılar ise yüzeylerin ortasındaki alanlardır.

2

Verilen eşitliği kullanarak matematiksel denklemi kur.

2[(a-2)(b-2) + (a-2)(c-2) + (b-2)(c-2)] = 2 \times (a-2)(b-2)(c-2)

Soruda 'bir yüzü boyalı sayısının, boyasızların 2 katı' olduğu belirtilmiştir.

3

Denklemi sadeleştir ve temel bir bağıntı elde et.

Her iki tarafı

2(a-2)(b-2)(c-2)

ifadesine bölersek:

\frac{1}{c-2} + \frac{1}{b-2} + \frac{1}{a-2} = 1

elde edilir.

Değişkenleri basitleştirerek çözümüamsayılar kümesinde aramak içindir.

4

x = a-2, y = b-2, z = c-2

dönüşümü yaparak

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1

denkleminin tam sayı çözümlerini bul.

Olası çözümler: (3,3,3), (2,4,4) ve (2,3,6).

Birim kesirlerin toplamının 1 olduğu durumlar sınırlıdır.

5

Her çözüm kümesi için hacmi (

V = a \cdot b \cdot c

) hesapla ve en küçüğünü seç.

1. Durum (3,3,3):

a=5, b=5, c=5 \Rightarrow V=125

. 2. Durum (2,4,4):

a=4, b=6, c=6 \Rightarrow V=144

. 3. Durum (2,3,6):

a=4, b=5, c=8 \Rightarrow V=160

. En küçük hacim 125'tir.

Minimum hacim sorulmuştur.

Key Concept

Küp Sayma ve Boyama Problemleri

Hints

1

Prizmanın boyutlarına

a, b, c

diyerek, 'hiç boyası olmayan' ve 'sadece bir yüzü boyalı olan' küp sayılarını bu boyutlar cinsinden ifade etmeye çalışın.

2

Hiç boyası olmayan küpler, prizmanın en iç kısmında kalan

(a-2)(b-2)(c-2)

adet küptür.

3

Denklem

\frac{1}{a-2} + \frac{1}{b-2} + \frac{1}{c-2} = 1

haline gelir. Bu eşitliği sağlayan en küçük tam sayıları deneyin.

Practice More

Benzer mantıkla, sadece 2 yüzü boyalı küp sayısının hiç boyalı olmayan küp sayısına eşit olduğu durumları inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Deneme-yanılma yöntemi: En küçük küp olan

3 \times 3 \times 3

için kontrol edin (sağlamaz). Sonra

4 \times 4 \times 4

(sağlamaz). Sonra

5 \times 5 \times 5

: İçeride

3 \times 3 \times 3=27

, Yüzeylerde

6 \times (3 \times 3)=54

.

54 = 2 \times 27

tutuyor.

Estimated Time:4m 0s

Question 197Question →

Özdeş birim küplerin bir köşe boyunca üst üste ve yan yana dizilmesiyle oluşturulan yukarıdaki yapıda, küpler arasında boşluk bulunmamaktadır. Buna göre, bu blok yapıda toplam kaç adet birim küp bulunmaktadır?

8

9

10

11

12

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Yapıda toplam 10 adet birim küp bulunmaktadır.

Yapı incelendiğinde, en arka köşede 3 katlı bir sütun (

3

küp), bu sütuna bitişik iki adet 2 katlı sütun (

2 + 2 = 4

küp) ve en dış tarafta tabanda duran üç adet 1 katlı sütun (

1 + 1 + 1 = 3

küp) olduğu görülür. Toplamda

3 + 4 + 3 = 10

adet birim küp vardır.

Step-by-Step Solution

1

Yapıyı oluşturan her bir dikey sütundaki küp sayılarını belirleyin.

En arkadaki en yüksek sütun 3 küp, onun yanındaki iki sütun 2'şer küp ve en öndeki/dıştaki üç sütun 1'er küp yüksekliğindedir.

Küp sayma sorularında en güvenilir yöntem sütun yüksekliklerini tek tek belirlemektir.

2

Belirlenen sütun yüksekliklerini toplayın.

3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10

Toplam küp sayısı, tüm sütunlardaki küplerin toplamına eşittir.

Key Concept

Hacimsel bir yapıda birim küplerin sayılması ve görünmeyen küplerin mantıksal olarak belirlenmesi.

Hints

1

Şekli yukarıdan baktığınızı hayal ederek her karede kaç küpün üst üste durduğunu (yüksekliğini) rakamla üzerine yazmayı deneyin.

2

En yüksek sütun 3 birimdir. Bu sütunun hemen önündeki ve sağındaki sütunlar 2 birim yüksekliktedir.

3

Toplam küp sayısı;

3

adet

1

katlı,

2

adet

2

katlı ve

1

adet

3

katlı sütunun toplamıdır.

Practice More

Bu yapıyı bir ayrıtı 3 birim olan tam bir küpe (

3 \times 3 \times 3

) tamamlamak için kaç küp daha gerektiğini hesaplayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Katman yöntemi kullanabilirsiniz: 1. kat (taban) tamamen dolu mu? Hayır, sadece belirli karelerde küp var. Taban seviyesinde 6 küp, 2. seviyede 3 küp ve 3. seviyede (en tepede) 1 küp vardır.

6 + 3 + 1 = 10

.

Estimated Time:45s

Question 198Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde

\star

işlemi, her

x

ve

y

gerçel sayısı için

x \star y = 3x - 2y + 1

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $4 \star 5$ işleminin sonucu kaçtır?

8

3

23

1

0

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Verilen özel tanımlı işlemde değişkenler yerine yazılarak hesaplama yapıldığında sonuç 3 olarak bulunur.

Verilen kuralda

x

yerine 4 ve

y

yerine 5 yazıldığında

3(4) - 2(5) + 1

ifadesi elde edilir. Bu ifadenin çözümü

12 - 10 + 1

şeklindedir ve sonuç 3 olur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri belirle

x = 4

ve

y = 5

İşlem tanımında yıldız sembolünün solundaki sayı

x

, sağındaki sayı ise

y

değerini temsil eder.

2

Değerleri formülde yerine koy

3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 + 1

Tanımlanan

x \star y = 3x - 2y + 1

kuralını uygulamak için

x

yerine 4,

y

yerine 5 yazılır.

3

Aritmetik işlemleri gerçekleştir

12 - 10 + 1 = 3

İşlem önceliğine göre önce çarpmalar (

3 \cdot 4 = 12

ve

2 \cdot 5 = 10

) yapılır, ardından toplama-çıkarma sırasıyla sonuç bulunur.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, verilen sembolün tanımındaki değişkenlerin (x, y veya a, b) yerlerine istenen sayıları doğru sırada yerleştirip standart aritmetik kurallarıyla hesaplamaktır.

Hints

1

Sembolün solundaki sayıyı

x

, sağındaki sayıyı

y

olarak kabul edin.

2

Formüldeki

x

harfi yerine 4,

y

harfi yerine 5 yazarak bir matematiksel ifade oluşturun.

3

Oluşturduğunuz

3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 + 1

işleminde önce çarpmaları yaparak ilerleyin.

Practice More

İşlemde parantezli bir ifade (örneğin

(1 \star 2) \star 3

) içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 199Question →

Bir kültür merkezinde düzenlenen tiyatro, konser ve sergi etkinliklerine Mart, Nisan ve Mayıs aylarında katılan kişi sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Etkinlik Türü	Mart	Nisan	Mayıs
Tiyatro	120	150	180
Konser	200	160	140
Sergi	80	110	150

Buna göre, üç ay boyunca tiyatro etkinliklerine katılan toplam kişi sayısı, Nisan ve Mayıs aylarında konser etkinliklerine katılan toplam kişi sayısından kaç fazladır?

90

110

150

50

30

Show answer & explanation

Answer: $150$

Answer

Tiyatro etkinliklerine katılan toplam kişi sayısı, Nisan ve Mayıs aylarındaki konser katılımından

150

fazladır.

Üç ay boyunca düzenlenen tiyatro etkinliklerine katılanların sayısı

120 + 150 + 180 = 450

kişidir. Nisan ve Mayıs aylarında konserlere katılanların sayısı ise

160 + 140 = 300

kişidir. Aradaki fark

450 - 300 = 150

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tiyatro etkinliklerine üç ay boyunca katılan toplam kişi sayısını hesaplayınız.

120 + 150 + 180 = 450

Soru kökünde tiyatro için 'üç ay boyunca' ifadesi kullanıldığı için tüm ayların verisi toplanmalıdır.

2

Nisan ve Mayıs aylarında konser etkinliklerine katılan toplam kişi sayısını hesaplayınız.

160 + 140 = 300

Soru kökünde konser için sadece Nisan ve Mayıs ayları belirtilmiştir.

3

Tiyatro toplamı ile konser toplamı arasındaki farkı bulunuz.

450 - 300 = 150

Bir değerin diğerinden ne kadar fazla olduğunu bulmak için çıkarma işlemi yapılır.

Key Concept

Tablo verilerini istenen kriterlere (satır, sütun ve zaman aralığı) göre doğru seçme ve toplama.

Hints

1

Tablodaki satır ve sütunların kesişim noktalarına dikkat ederek istenen verileri gruplandırın.

2

Tiyatro için üç ayın toplamını, konser için ise sadece tabloun son iki sütunundaki verileri toplayın.

Practice More

Tablodaki tüm etkinliklerin üç aylık toplamlarını bularak en çok ve en az katılım sağlanan etkinlikleri belirleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 200Question →

Bir fabrikada üretilen K, L ve M türündeki ürünlerin üretim adetleri ve bu ürünlerin defolu çıkma yüzdeleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Ürün Türü	Üretim Adedi	Defolu Ürün Yüzdesi (%)
K	$x$	20
L	$y$	10
M	$z$	30

Bu fabrikada toplam 450 adet ürün üretilmiştir. K ve M ürünlerinden eşit sayıda defolu ürün elde edildiği ve fabrikadaki toplam defolu ürün sayısının 80 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, üretilen L türü ürün sayısı ( $y$ ) kaçtır?

100

120

150

200

250

Show answer & explanation

Answer: 200

Answer

Üretilen L türü ürün sayısı 200'dür.

Verilen kısıtlamalarla kurulan denklem sistemi çözüldüğünde, M ürünü (z) 100, K ürünü (x) 150 adet bulunur. Toplam 450 adet üretimden bu sayılar çıkarıldığında L ürünü (y) 200 adet olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgileri kullanarak toplam üretim ve defolu ürün denklemlerini oluşturun.

Toplam üretim:

x + y + z = 450

. Defolu ürünler:

K_{def} = 0,20x

,

L_{def} = 0,10y

,

M_{def} = 0,30z

.

Tablodaki verileri matematiksel eşitliklere dönüştürmek çözümün ilk adımıdır.

2

K ve M defolu ürün sayılarının eşitliğini kullanarak

x

ve

z

arasında bir ilişki kurun.

0,20x = 0,30z \Rightarrow 2x = 3z \Rightarrow x = 1,5z

.

Değişken sayısını azaltmak için sorudaki eşitlik kısıtlaması kullanılır.

3

Toplam defolu ürün sayısı (80) denklemini yazın ve düzenleyin.

0,20x + 0,10y + 0,30z = 80

. Her iki tarafı 10 ile çarpalım:

2x + y + 3z = 800

.

Ondalık sayılardan kurtulmak işlem hatası riskini azaltır.

4

2x = 3z

eşitliğini kullanarak

2x + y + 3z = 800

denkleminde yerine koyma yapın.

3z + y + 3z = 800 \Rightarrow y + 6z = 800 \Rightarrow y = 800 - 6z

.

L ürününü (

y

) diğer değişken (

z

) cinsinden ifade etmek.

5

Tüm değişkenleri

z

cinsinden ana üretim denklemine (

x + y + z = 450

) yerleştirip çözün.

(1,5z) + (800 - 6z) + z = 450 \Rightarrow 2,5z - 6z = 450 - 800 \Rightarrow -3,5z = -350 \Rightarrow z = 100

.

Tek bilinmeyenli denklemden M üretimini bulmak.

6

Bulunan

z

değerini yerine koyarak

y

'yi hesaplayın.

y = 800 - 6(100) = 800 - 600 = 200

.

Soruda istenen L ürünü sayısına ulaşmak.

Key Concept

Tablo Yorumlama ve Denklem Sistemleri

Hints

1

Önce tablodaki her bir ürün için defolu ürün sayısını değişkenler (x, y, z) ve yüzdeler cinsinden yazın (Örneğin K için

0,20x

).

2

Soruda verilen 'K ve M ürünlerinden eşit sayıda defolu ürün çıktı' bilgisini kullanarak

x

ve

z

arasında

2x = 3z

gibi bir bağıntı kurun.

3

Tüm değişkenleri tek bir cins (örneğin

z

) üzerinden yazıp, toplam üretim denklemini (

x+y+z=450

) ve toplam defolu denklemini kullanarak çözüme gidin.

Estimated Time:2m 30s

Sayısal Mantık

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution