Sayma ve Olasılık

Question 241Question →

Bir kütüphane görevlisi, kütüphaneye yeni gelen birbirinden farklı $7$ adet güncel dergi arasından $3$ tanesini seçerek süreli yayınlar masasına koyacaktır. Buna göre, bu $3$ dergi kaç farklı şekilde seçilebilir?

21

210

35

42

120

Show answer & explanation

Answer: $35$

Answer

Dergilerin seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır ve sonuç

35

bulunur.

Verilen problemde

7

farklı nesne arasından

3

nesnenin seçilmesi istenmektedir. Nesnelerin diziliş sırası belirtilmediği için kombinasyon formülü uygulanır.

C(7,3)

hesaplandığında

\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Problemin türünü belirle.

Seçme işlemi yapıldığı ve sıralama önemli olmadığı için kombinasyon (

C(n, r)

) kullanılmalıdır.

Bir gruptan belirli sayıda eleman seçilirken diziliş değil, sadece hangi elemanların grupta olduğu önemlidir.

2

Kombinasyon formülünü uygula.

C(7, 3) = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}

n=7

(toplam dergi) ve

r=3

(seçilecek dergi) değerleri formülde yerine yazılır.

3

Hesaplamayı sadeleştirerek tamamla.

\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35

3! = 6

olduğu için paydaki

6

ile paydadaki

6

sadeleşir.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme)

Hints

1

Bu soruda seçtiğin dergileri hangi sırayla masaya koyduğun sonucu değiştirir mi?

2

Sadece 'seçme' işlemi yapıldığına göre permütasyon değil, kombinasyon formülünü kullanmalısın.

3

7

elemandan

3

eleman seçmek için

C(7,3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}

işlemini yapabilirsin.

Practice More

Eğer bu dergiler seçildikten sonra masaya yan yana dizilseydi sonuç nasıl değişirdi? (Permütasyon konusuna hazırlık).

Alternative Method

Pascal üçgenindeki 7. satırın 3. elemanına (0'dan başlayarak) bakarak da sonuca ulaşabilirsin: 1, 7, 21, 35...

Estimated Time:45s

Question 242Question →

Bir matematik öğretmeni binom açılımı konusuna giriş yaparken Pascal Üçgeni'ni kullanmaktadır. Öğretmen, tahtaya bu üçgenin bir satırında yer alan sayıları

1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1

olarak yazmıştır. Bu sayılar

(a + b)^n

ifadesinin açılımındaki katsayılardır.

**Buna göre,

(3x - 4y)^n

ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?**

1

-1

5

4

3

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

İfadenin katsayılar toplamı 1'dir.

Verilen Pascal satırında 5 sayı olması, ifadenin kuvvetinin 4 olduğunu gösterir.

(3x - 4y)^4

ifadesinde

x

ve

y

yerine 1 yazıldığında

(3-4)^4 = (-1)^4

elde edilir ve sonuç 1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Pascal Üçgeni satırındaki sayılardan ifadenin kuvvetini (

n

) belirlemek.

n = 4

Pascal Üçgeni'nin bir satırında

n+1

adet sayı bulunur. Verilen satırda 5 sayı olduğu için

n+1 = 5

ise

n = 4

olur.

2

Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki değişkenlerin yerine 1 yazmak.

(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)^4 = (3 - 4)^4

Bir binom açılımında katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 1 değeri verilerek hesaplanır.

3

Elde edilen üslü ifadeyi hesaplamak.

(-1)^4 = 1

Negatif bir tabanın çift kuvveti pozitif bir sonuç verir.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar toplamı değişkenlere 1 verilerek, terim sayısı ise kuvvetin 1 fazlası (

n+1

) alınarak bulunur.

Hints

1

Pascal Üçgeni'ndeki bir satırda bulunan sayıların adeti, binom açılımındaki terim sayısına eşittir.

2

Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki

x

ve

y

harflerinin yerine 1 yazarak işlemi tamamlayın.

3

Satırda 5 sayı olduğu için

n=4

olur. Şimdi

(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)^4

işlemini yapın.

Practice More

Katsayılar toplamı 0 olan bir binom açılımı örneği düşünün (örneğin

x-y

gibi).

Estimated Time:45s

Question 243Question →

Bir üniversite hastanesinin açılış töreninde; $3$ profesör, $2$ doçent ve $2$ asistan yan yana dizilmiş $7$ sandalyeye oturacaklardır. Asistanların sıranın en başında ve en sonunda oturması, doçentlerin ise yan yana gelmemesi gerekmektedir.

Buna göre, bu oturma düzeni kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

72

96

120

144

240

Show answer & explanation

Answer: 144

Answer

Bu oturma düzeni 144 farklı şekilde oluşturulabilir.

Problemi adım adım çözeriz:
1. Sabit Uçlar: 2 asistan sıranın en başına ve en sonuna

2! = 2

farklı şekilde oturabilir.
2. İç Yerleşim: Kalan 5 koltuğa 3 profesör ve 2 doçent oturacaktır. Doçentlerin yan yana gelmemesi istendiği için önce kısıtlamasız olan profesörler yerleştirilir.
3. Profesörlerin Dizilimi: 3 profesör

3! = 6

farklı şekilde sıralanır.
4. Doçentlerin Yerleşimi: Profesörlerin aralarında oluşan boşluklara bakılır: _ P _ P _ P _. Burada 4 adet uygun boşluk vardır (en uçlar asistanlar tarafından kapatılmıştır). 2 doçent bu 4 boşluğa

P(4,2) = 4 \times 3 = 12

farklı şekilde oturabilir.

Toplam durum sayısı çarpma kuralı gereği:

2 \times 6 \times 12 = 144

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Asistanların (A) yerleşimini hesapla.

2! = 2 farklı durum

Asistanlar en baş ve en sonda olmak zorundadır (A _ _ _ _ _ A). Kendi aralarında 2! şekilde yer değiştirebilirler.

2

Aradaki 5 boşluğa yerleşecek Profesörlerin (P) dizilimini hesapla.

3! = 6 farklı durum

3 Profesör, doçentler için 'ayırıcı' görevi görecektir. Önce profesörler yerleştirilir.

3

Doçentlerin (D) yerleşebileceği boşlukları belirle ve hesapla.

P(4, 2) = 4 × 3 = 12 farklı durum

Profesörler yerleştiğinde (_ P _ P _ P _) oluşan 4 boşluğa (uçlar asistanlarla kapalı olduğu için sadece aralar) 2 Doçent, yan yana gelmemek şartıyla P(4,2) şeklinde yerleşir.

4

Tüm ihtimalleri çarpma kuralına göre birleştir.

2 × 6 × 12 = 144

Asistanlar, profesörler ve doçentlerin yerleşimleri birbirine bağlı olaylar dizisidir.

Key Concept

Permütasyon (Sıralama) ve Ayıraç/Boşluk Yöntemi

Hints

1

Önce özel şartı olan 'sabit' elemanları (Asistanları) yerleştirin, sonra diğer kısıtlamalara geçin.

2

Doçentlerin yan yana gelmemesi için, önce profesörleri dizip onların arasında oluşan boşlukları kullanın.

3

Asistanlar uçlarda 2! durum oluşturur. İçerideki 3 profesör 3! durum oluşturur. Profesörlerin arasında oluşan 4 boşluğa 2 doçent P(4,2) şeklinde yerleşir.

Practice More

Benzer mantıkla, 'sesli harflerin yan yana gelmediği kelime sayısı' sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm Durum - İstenmeyen Durum Yöntemi:
1. Asistanlar uçta iken içerideki 5 kişinin tüm sıralanışı:

5! = 120

. Asistanlarla birlikte:

2! \times 120 = 240

.
2. İstenmeyen durum (Doçentlerin yan yana olması): (DD) paketlenir. İçerisi { (DD), P, P, P } olur. 4 nesne

4! = 24

şekilde sıralanır. (DD) kendi içinde

2! = 2

. Toplam istenmeyen iç dizilim:

24 \times 2 = 48

. Asistanlarla birlikte:

2! \times 48 = 96

.
3. Sonuç:

240 - 96 = 144

.

Estimated Time:2m 30s

Question 244Question →

Kültür ve Turizm Bakanlığı bünyesinde oluşturulacak olan bir 'Kazı Denetim Komisyonu' için görevli 5 arkeolog ve 6 sanat tarihçisi arasından 3 kişilik bir ekip seçilecektir.

Oluşturulacak bu ekipte en çok 1 arkeolog bulunması şartıyla kaç farklı seçim yapılabilir?

70

75

95

145

165

Show answer & explanation

Answer: 95

Answer

Komisyon, verilen şartlar altında 95 farklı şekilde seçilebilir.

Soruda 'en çok 1 arkeolog' istendiği için iki ihtimal vardır: Ekipte ya 1 arkeolog ve 2 sanat tarihçisi bulunur ya da hiç arkeolog bulunmaz (hepsi sanat tarihçisi olur). İlk durum için

C(5,1) \times C(6,2) = 75

, ikinci durum için

C(5,0) \times C(6,3) = 20

hesaplanır. Bu iki ayrık durumun toplamı

75 + 20 = 95

'tir.

Step-by-Step Solution

1

Problemin kısıtlarını ve durumlarını belirle.

Toplam 5 Arkeolog ve 6 Sanat Tarihçisi var. 3 kişi seçilecek. Şart: En çok 1 arkeolog olacak. Bu şartı sağlayan iki durum vardır: Ya '1 Arkeolog ve 2 Sanat Tarihçisi' ya da '0 Arkeolog ve 3 Sanat Tarihçisi' seçilmelidir.

'En çok 1' ifadesi, belirtilen sayıya eşit veya ondan daha azını kapsar.

2

Birinci durumu (1 Arkeolog, 2 Sanat Tarihçisi) hesapla.

C(5,1) \times C(6,2) = 5 \times \frac{6 \times 5}{2} = 5 \times 15 = 75

farklı seçim.

5 arkeologdan 1'ini ve 6 sanat tarihçisinden 2'sini seçiyoruz. 'Ve' bağlacı olduğu için çarpılır.

3

İkinci durumu (0 Arkeolog, 3 Sanat Tarihçisi) hesapla.

C(5,0) \times C(6,3) = 1 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 1 \times 20 = 20

farklı seçim.

Hiç arkeolog seçilmeyecek (veya 5'in 0'lısı) ve tamamı sanat tarihçilerinden seçilecek.

4

Tüm geçerli durumları topla.

75 + 20 = 95

İki durum birbirinden bağımsız alternatifler olduğu için ('veya' mantığı) toplanır.

Key Concept

Kombinasyon problemlerinde 'en çok' veya 'en az' gibi ifadeler kullanıldığında, şartı sağlayan tüm ayrık durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.

Hints

1

'En çok 1 arkeolog' ifadesi, seçilen 3 kişilik grupta arkeolog sayısının 1 veya 0 olabileceği anlamına gelir.

2

Problemi iki ayrı duruma ayırın: 1) 1 Arkeolog ve 2 Sanat Tarihçisi seçimi. 2) 0 Arkeolog ve 3 Sanat Tarihçisi seçimi.

3

Birinci durum için

C(5,1) \times C(6,2)

işlemini, ikinci durum için

C(6,3)

işlemini yapın ve çıkan sonuçları toplayın.

Practice More

Benzer bir soruyu 'en az 2 sanat tarihçisi' şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Tüm Durumlardan İstenmeyenleri Çıkarma Yöntemi: Tüm 3'lü seçimlerden (

C(11,3)

), içinde 2 veya 3 arkeolog bulunan seçimleri (

C(5,2)\times C(6,1) + C(5,3)\times C(6,0)

) çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz:

165 - (60 + 10) = 95

.

Estimated Time:1m 30s

Question 245Question →

Bir düzlem üzerinde, sabit bir $A$ noktasında kesişen $d_1, d_2, d_3$ ve $d_4$ doğruları bulunmaktadır. Bu doğrular üzerinde $A$ noktası haricinde;

* $d_1$ doğrusu üzerinde 3 farklı nokta,
* $d_2$ doğrusu üzerinde 3 farklı nokta,
* $d_3$ doğrusu üzerinde 4 farklı nokta,
* $d_4$ doğrusu üzerinde 2 farklı nokta

işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri işaretlenen bu noktalardan ( $A$ noktası dahil) seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

214

260

267

280

286

Show answer & explanation

Answer: 267

Answer

Verilen noktalardan oluşturulabilecek üçgen sayısı 267'dir.

Toplam nokta sayısı

A

dahil 13'tür. Tüm üçlü seçimler

\binom{13}{3} = 286

dır. Ancak aynı doğru üzerindeki noktalar üçgen oluşturmaz. Her doğru için

A

noktasını da hesaba katarak doğrudaş nokta sayılarını buluruz:

d_1

için 4,

d_2

için 4,

d_3

için 5,

d_4

için 3 nokta vardır. Bu gruplardan yapılan 3'lü seçimler (

4+4+10+1=19

) toplamdan çıkarılır:

286 - 19 = 267

.

Step-by-Step Solution

1

Toplam nokta sayısını belirle.

Doğrular üzerindeki noktalar (3+3+4+2 = 12) ve kesişim noktası A (1) dahil toplam 13 nokta vardır.

Üçgen oluşturabilecek tüm potansiyel köşe noktalarının havuzunu belirlemek gerekir.

2

Hiçbir koşul yokmuş gibi tüm üçlü kombinasyonları hesapla.

C(13, 3) = (13 × 12 × 11) / (3 × 2 × 1) = 286.

Genel durumu bulup, geçersiz durumları çıkarmak (tümleyen yöntemi) bu tip sorularda en pratik yoldur.

3

Her bir doğru üzerindeki doğrudaş (aynı doğru üzerinde olan) nokta gruplarını ve bunların oluşturamadığı üçgen sayılarını hesapla.

d1: A dahil 4 nokta → C(4,3)=4
d2: A dahil 4 nokta → C(4,3)=4
d3: A dahil 5 nokta → C(5,3)=10
d4: A dahil 3 nokta → C(3,3)=1
Toplam çıkarılacak: 4 + 4 + 10 + 1 = 19.

Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz, bir doğru parçası oluşturur. A noktası her grubun elemanıdır.

4

Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkar.

286 - 19 = 267.

Gerçek üçgen sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Doğrudaş olmayan üç nokta bir üçgen belirtir. Kesişen doğrularda kesişim noktası her bir doğru grubuna dahildir.

Hints

1

Önce düzlemdeki toplam nokta sayısını (A noktası dahil) hesaplayın.

2

Tüm noktalardan rastgele 3 nokta seçildiğinde oluşabilecek tüm durumları hesaplayın, sonra üçgen oluşturmayan durumları çıkarın.

3

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturmaz. Kesişim noktası A'nın her bir doğrunun elemanı olduğunu unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, üçgen yerine 'bir köşesi A olan dörtgenler' şeklinde kurgulayarak çözmeyi deneyin.

Estimated Time:3m 0s

Question 246Question →

Bir kamu kurumunun arşiv bölümünde çalışan bir memur, üzerinde farklı birim kodları bulunan $5$ farklı dosyayı bir rafa yan yana dizecektir. Bu dosyalardan "Personel" ve "Eğitim" birimlerine ait olan iki dosyanın daima yan yana olması istendiğine göre, bu $5$ dosya kaç farklı şekilde sıralanabilir?

120

48

24

10

6

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Yan yana gelmesi istenen dosyalar bir bütün olarak kabul edildiğinde toplamda

48

farklı sıralama yapılabilir.

Personel ve Eğitim dosyaları bir arada tutulup tek bir dosya gibi düşünüldüğünde, geriye kalan 3 dosya ile birlikte toplam 4 nesne sıralanır (

4!

). Bu sıralamanın ardından, paket içindeki 2 dosyanın kendi arasındaki yer değişimi (

2!

) de hesaba katılarak

24 \times 2 = 48

sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1

Yan yana olması istenen dosyaları paketleme

"Personel" ve "Eğitim" dosyaları bir bütün (1 nesne) olarak kabul edilir.

Belirli nesnelerin yan yana olması istendiğinde, bu nesneler ayrılmaz bir grup gibi düşünülür.

2

Toplam nesne sayısını belirleme

1

(paket) +

3

(diğer dosyalar) =

4

nesne.

Sıralanacak toplam birim sayısını bulmak için paketlenen grubu tek bir nesne sayarız.

3

Dış sıralamayı hesaplama

4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

.

4

farklı nesnenin kendi aralarındaki diziliş sayısı faktöriyel ile hesaplanır.

4

İç sıralamayı (paket içi) hesaplama

2! = 2 \times 1 = 2

.

Paket içindeki iki dosya kendi arasında yer değiştirebilir.

5

Çarpma yoluyla toplam sonucu bulma

24 \times 2 = 48

.

Çarpma yoluyla sayma ilkesine göre tüm durumların sayısı, her bir adımın sonuçlarının çarpımıdır.

Key Concept

Bağımlı Nesnelerin Sıralanması (Bloklama Yöntemi)

Hints

1

Birlikte olması gereken nesneleri (Personel ve Eğitim dosyalarını) tek bir 'blok' gibi düşünerek toplam kaç şeyi sıralayacağınızı bulun.

2

4 nesneyi (1 blok + 3 bağımsız dosya) sıraladıktan sonra, bloğun içindeki iki dosyanın kendi arasında yer değiştirebileceğini hatırlayın.

3

4!

ile paket içindeki

2!

değerini çarparak sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Eğer dosyalar yan yana 'olmamak' şartıyla dizilseydi, tüm durumlardan (

120

) yan yana oldukları durumları (

48

) çıkararak sonucu bulabilirdiniz.

Estimated Time:45s

Question 247Question →

\left(ax - \frac{2}{x^2}\right)^5

ifadesinin açılımında

x^{-4}

'lü terimin katsayısı

-320

olduğuna göre,

a

pozitif gerçel sayısı kaçtır?

1

2

3

4

8

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen şartı sağlayan

a

değeri 2'dir.

Genel terim formülü kullanılarak

x^{-4}

'lü terime karşılık gelen

r

değeri 3 olarak bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine konulduğunda

-80a^2 = -320

denklemi elde edilir ve buradan

a=2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadenin binom açılımındaki genel terim formülünü yaz.

Genel Terim:

\binom{5}{r} (ax)^{5-r} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right)^r

(x+y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^{n-r} y^r

formülü kullanılır.

2

Değişkenlerin kuvvetlerini düzenleyerek

x

'in üssünü tek bir ifade haline getir.

\binom{5}{r} \cdot a^{5-r} \cdot x^{5-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{-2r} = \binom{5}{r} \cdot a^{5-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{5-3r}

Katsayıları ve değişkenleri ayrıştırarak

x

'in hangi kuvvetinin oluşacağını belirlemek için gereklidir.

3

x^{-4}

'lü terimi elde etmek için

r

değerini bul.

5 - 3r = -4 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3

Soruda istenen terimin kuvveti

-4

olduğu için genel terimdeki

x

'in üssü buna eşitlenir.

4

Bulunan

r=3

değerini katsayı kısmında yerine yaz ve verilen

-320

değerine eşitle.

Katsayı:

\binom{5}{3} \cdot a^{5-3} \cdot (-2)^3 = 10 \cdot a^2 \cdot (-8) = -80a^2

Bilinmeyen

a

sayısını bulmak için katsayı hesaplanır.

5

Oluşan denklemi çözerek

a

değerini bul.

-80a^2 = -320 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2

(pozitif istendiği için)

a^2=4

denkleminin kökleri

\pm 2

dir, ancak soru pozitif gerçel sayı istediği için 2 alınır.

Key Concept

Binom açılımında

(x+y)^n

ifadesinin genel terimi

\binom{n}{r} x^{n-r} y^r

formülüyle bulunur.

Hints

1

Binom açılımı genel terim formülü olan

\binom{n}{r} x^{n-r} y^r

ifadesini kullanın.

2

Genel terimi yazdıktan sonra

x

'in kuvvetlerini birleştirin ve

x^{5-3r}

ifadesini

x^{-4}

'e eşitleyerek

r

değerini bulun.

Practice More

Benzer bir katsayı bulma sorusunu, terim içinde köklü ifadeler

(\sqrt{x})

varken çözmeyi deneyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 248Question →

Bir kamu kurumunun düzenlediği görevde yükselme sınavına giren 50 personelin sınav sonuçları ve cinsiyet dağılımları incelenmiştir. Personelin 30'unun erkek olduğu, toplamda 20 personelin sınavda başarılı olduğu ve başarılı olan erkek personel sayısının 14 olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, bu gruptan rastgele seçilen bir personelin sınavda başarısız olduğu bilindiğine göre, bu kişinin kadın olma olasılığı kaçtır?

\frac{7}{25}

\frac{3}{10}

\frac{7}{15}

\frac{8}{15}

\frac{7}{10}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{15}$

Answer

Sınavda başarısız olduğu bilinen bir personelin kadın olma olasılığı

\frac{7}{15}

'tir.

Soruda 'seçilen kişinin başarısız olduğu bilindiğine göre' dendiği için örnek uzayımız tüm personel (50) değil, sadece başarısız olan personel (30) olur. İstenen durum ise bu grubun içindeki kadın sayısıdır. Toplam 20 kadın personelin 6'sı başarılı (20 toplam başarılı - 14 başarılı erkek) olduğuna göre, 14'ü başarısızdır. Olasılık

\frac{14}{30} = \frac{7}{15}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sayıları kullanarak eksik verileri tamamlayacak bir tablo veya liste oluşturun.

Toplam: 50, Erkek: 30

\Rightarrow

Kadın: 20. Toplam Başarılı: 20

\Rightarrow

Toplam Başarısız: 30.

Örnek uzayı ve istenen durum sayısını bulmak için tüm grupların sayılarına ihtiyacımız vardır.

2

Başarısız kadın personel sayısını hesaplayın.

Başarılı Kadın = Toplam Başarılı (20) - Başarılı Erkek (14) = 6. Başarısız Kadın = Toplam Kadın (20) - Başarılı Kadın (6) = 14.

İstenen durum (pay), 'başarısız ve kadın' olanların sayısıdır.

3

Koşullu olasılık formülünü uygulayın: P(Kadın | Başarısız) = n(Kadın ∩ Başarısız) / n(Başarısız).

n(Başarısız) = 30 (Koşul/Payda). n(Kadın ∩ Başarısız) = 14 (İstenen/Pay). Oran:

\frac{14}{30} = \frac{7}{15}

.

Koşul 'başarısız olması' olduğu için örnek uzayımız 50 değil, 30 kişidir.

Key Concept

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşulu sağlayan eleman kümesine indirgenir.

Hints

1

Soruda verilenleri bir tabloya yerleştirmeyi deneyin: Satırlar (Erkek/Kadın), Sütunlar (Başarılı/Başarısız).

Estimated Time:2m 0s

Question 249Question →

Bir kamu kurumunda görevde yükselme sınavına giren personel; Hukuk, Teknik ve İdari olmak üzere üç farklı hizmet sınıfından oluşmaktadır. Sınava katılanların dağılımı ve bu personelin yazılı sınav ile mülakattaki başarı oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hizmet Sınıfı	Katılım Oranı	Yazılı Sınav Başarı Oranı	Mülakat Başarı Oranı
Hukuk	%30	%40	%50
Teknik	%50	%20	%60
İdari	%20	%60	%30

Not: Mülakata sadece yazılı sınavı geçenler alınmış olup, tablodaki mülakat başarı oranları yazılı sınavı geçmiş personel üzerinden hesaplanmıştır.

Sınavı asil olarak kazanmak için her iki aşamada da başarılı olmak gerekmektedir. Buna göre, sınavı asil olarak kazanan bir personelin Teknik hizmet sınıfından olma olasılığı kaçtır?

\frac{5}{17}

\frac{6}{25}

\frac{3}{25}

\frac{5}{13}

\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{5}{13}$

Answer

Sınavı kazanan bir personelin Teknik hizmet sınıfından olma olasılığı

\frac{5}{13}

'tür.

Soruda verilen koşullu olasılık yapısı bir ağaç diyagramı veya Bayes formülü ile çözülmelidir. İstenen durum, sınavı kazanan kişinin Teknik sınıftan olmasıdır. Öncelikle her sınıfın toplam başarı katkısı hesaplanır: Hukuk (

0,30 \cdot 0,40 \cdot 0,50 = 0,060

), Teknik (

0,50 \cdot 0,20 \cdot 0,60 = 0,060

) ve İdari (

0,20 \cdot 0,60 \cdot 0,30 = 0,036

). Toplam başarı olasılığı bu değerlerin toplamı olan

0,156

'dır. Teknik sınıfın bu başarıdaki payı

0,060

olduğu için, aranan olasılık

\frac{0,060}{0,156} = \frac{60}{156} = \frac{5}{13}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Her hizmet sınıfı için 'sınavı kazanma' (hem yazılı hem mülakatı geçme) olasılıklarını hesapla.

Hukuk:

0,30 \times 0,40 \times 0,50 = 0,06

Teknik:

0,50 \times 0,20 \times 0,60 = 0,06

İdari:

0,20 \times 0,60 \times 0,30 = 0,036

Bir personelin kazanması için; o sınıftan olması, yazılıyı geçmesi ve mülakatı geçmesi olaylarının hepsi gerçekleşmelidir (Çarpma Kuralı).

2

Tüm sınıflar için toplam kazanma olasılığını (Örnek Uzay) bul.

P(\text{Kazanma}) = 0,06 + 0,06 + 0,036 = 0,156

Ayrık olayların olasılıkları toplanır (Toplam Olasılık Kanunu).

3

Bayes teoremi ile koşullu olasılığı hesapla:

P(\text{Teknik} | \text{Kazanma}) = \frac{P(\text{Teknik ve Kazanma})}{P(\text{Kazanma})}

\frac{0,06}{0,156} = \frac{60}{156}

İstenen durum (Teknik sınıfının katkısı) bölü Tüm durumlar.

4

Kesri en sade haline getir.

\frac{60}{156}

ifadesi 12 ile sadeleştirilirse

\frac{5}{13}

bulunur.

Sonuç seçeneklerdeki formatla eşleştirilir.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

Hints

1

Her bir hizmet sınıfı için, sınavı başarıyla tamamlayan (Katılım × Yazılı × Mülakat) oranlarını ayrı ayrı hesaplayın.

2

Toplam kazanan oranını bulmak için üç sınıfın başarı katkılarını toplayın. Bu değer paydanız olacaktır.

Practice More

Benzer bir mantıkla, üç farklı fabrikada üretilen ürünlerin hatalı çıkma olasılıkları üzerinden 'Hatalı çıkan ürünün X fabrikasından gelme olasılığı' sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Varsayım Yöntemi: Sınava toplam 1000 kişinin katıldığını varsayın. Hukuk: 300 kişi, Teknik: 500 kişi, İdari: 200 kişi olur. Her gruptan kaç kişinin sınavı geçtiğini tam sayı olarak hesaplayıp oranlayabilirsiniz.

Estimated Time:4m 0s

Question 250Question →

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde $A$ ve $B$ köşeleri dahil 4 nokta, $[BC]$ kenarı üzerinde $B$ ve $C$ köşeleri dahil 5 nokta ve $[AC]$ kenarı üzerinde $A$ ve $C$ köşeleri dahil 6 nokta bulunmaktadır.

Buna göre, köşeleri işaretlenen bu noktalardan seçilen ve bir köşesi A noktası olan kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

32

42

55

66

186

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

42 farklı üçgen oluşturulabilir

Soruda bir köşenin mutlaka A olması istendiği için problem, A dışındaki 11 noktadan 2'sinin seçilmesi problemine dönüşür (

\binom{11}{2}=55

). Ancak seçilen bu iki noktanın A ile doğrusal olmaması gerekir. A noktasından geçen doğrular

[AB]

ve

[AC]

'dir.

[AB]

üzerindeki A hariç 3 noktadan yapılan 2'li seçimler (

\binom{3}{2}=3

) ve

[AC]

üzerindeki A hariç 5 noktadan yapılan 2'li seçimler (

\binom{5}{2}=10

) üçgen oluşturmaz.

[BC]

üzerindeki noktalar A ile doğrusal değildir. Sonuç:

55 - (3+10) = 42

.

Step-by-Step Solution

1

Toplam nokta sayısını ve seçim yapılacak havuzu belirle

Toplam nokta sayısı:

(4-2) + (5-2) + (6-2) + 3(\text{köşe}) = 12

nokta. Bir köşe A olarak sabitlendiğinden, diğer 2 köşe kalan

12 - 1 = 11

nokta arasından seçilecektir.

Üçgen oluşturmak için 3 köşe gereklidir; biri (A) zaten bellidir.

2

Tüm olası ikili seçimleri hesapla

\binom{11}{2} = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55

.

Herhangi bir kısıt olmadan 11 noktadan 2 nokta bu kadar farklı şekilde seçilebilir.

3

Üçgen oluşturmayan (A ile doğrusal olan) durumları çıkar

A noktasından geçen doğrular üzerindeki ikililer üçgen oluşturmaz:
-

[AB]

üzerinde A hariç 3 nokta vardır:

\binom{3}{2} = 3

durum.
-

[AC]

üzerinde A hariç 5 nokta vardır:

\binom{5}{2} = 10

durum.
Toplam çıkarılacak:

13

.

Seçilen 2 nokta A ile aynı doğru üzerindeyse (doğrudaş) üçgen oluşmaz.

[BC]

üzerindeki noktalar A ile doğrusal olmadığından çıkarma yapılmaz.

4

Geçerli üçgen sayısını bul

55 - 13 = 42

.

Tüm ikili seçimlerden geçersiz olanlar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sabit bir köşeye sahip üçgenleri sayarken, o köşeden geçen doğrular üzerindeki nokta çiftleri 'doğrusallık' nedeniyle elenir; ancak o köşeden geçmeyen doğrular üzerindeki çiftler (o köşe ile birleşince üçgen oluşturdukları için) elenmez.

Hints

1

Bir köşe A olarak sabitlendiğine göre, üçgeni tamamlamak için geriye kalan noktalardan kaç tane daha seçmelisiniz?

2

Geriye kalan 11 noktadan rastgele 2 nokta seçebilirsiniz (

\binom{11}{2}

), ancak bu noktaların A ile 'doğrusal' olmaması gerekir.

3

Sadece A noktasından geçen

[AB]

ve

[AC]

doğruları üzerindeki nokta çiftleri A ile üçgen oluşturamaz.

[BC]

üzerindeki noktalar A ile doğrusal değildir.

Alternative Method

Yapılandırmacı Yöntem: Üçgenin diğer iki köşesi için olası konumları toplayabilirsiniz:
1) Biri

[AB]

(A hariç), biri

[AC]

(A hariç) üzerinde:

3 \times 5 = 15

2) Biri

[AB]

(A hariç), biri

[BC]

üzerinde:

3 \times 5 = 15

3) Biri

[AC]

(A hariç), biri

[BC]

üzerinde:

5 \times 5 = 25

Ancak

[BC]

üzerindeki noktaların

[AB]

veya

[AC]

ile kesişim (köşe) durumlarını dikkatli ayıklamak zordur, bu yüzden çıkarma yöntemi daha güvenilirdir.

Estimated Time:2m 30s

Question 251Question →

Bir devlet dairesinde çalışan bir arşiv memuru; elindeki mavi, kırmızı, sarı ve yeşil renkli $4$ farklı klasörü bir raf üzerine yan yana dizecektir.

Buna göre, memur bu klasörleri kaç farklı şekilde sıralayabilir?

8

10

12

16

24

Show answer & explanation

Answer: $24$

Answer

Dört farklı klasör bir raf üzerine

24

farklı şekilde sıralanabilir.

4

farklı nesnenin yan yana dizilimi

4

faktöriyel (

4!

) ile bulunur. Bu işlem, her bir pozisyon için kalan seçeneklerin çarpılması prensibine dayanır:

4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Sıralanacak nesne sayısını (

n

) belirleyin.

n = 4

(mavi, kırmızı, sarı, yeşil)

Permütasyon problemlerinde kaç farklı nesnenin sıralanacağı ilk adımdır.

2

Yan yana sıralama (permütasyon) formülünü hatırlayın.

P(n,n) = n!

n

farklı nesnenin tamamı yan yana

n!

kadar farklı şekilde dizilir.

3

Formülü soruya uygulayarak hesaplamayı yapın.

4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

4 farklı klasörün her biri için bir sonraki konumda azalan seçenek sayısı çarpılır.

Key Concept

Permütasyon (Faktöriyel Sıralama)

Hints

1

Nesnelerin yan yana dizilme (sıralanma) durumlarında permütasyon (faktöriyel) kullanılır.

2

n

tane farklı nesne yan yana

n!

kadar farklı şekilde sıralanır. Burada

n=4

almalısınız.

3

4!

işlemini yapmak için

4

sayısından başlayarak

1

'e kadar olan tüm tam sayıları birbiriyle çarpın.

Practice More

Eğer klasörlerden ikisi aynı renk (özdeş) olsaydı, sıralama sayısı nasıl değişirdi? (Tekrarlı permütasyon konusuna göz atabilirsiniz.)

Alternative Method

Çarpma yoluyla sayma yöntemini düşünebilirsiniz: Rafın 1. sırasına 4 farklı klasörden biri, 2. sırasına kalan 3 klasörden biri, 3. sırasına kalan 2 klasörden biri ve son sıraya kalan 1 klasör gelebilir. Bu durum

4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

sonucunu verir.

Estimated Time:45s

Question 252Question →

Bir kamu kurumunun hizmet içi eğitim programı kapsamında 6 gün sürecek bir planlama yapılacaktır. Programda içerikleri bakımından özdeş 3 gün mevzuat, 2 gün kişisel gelişim ve 1 gün protokol eğitimi yer alacaktır.

Mevzuat eğitimlerinin üçünün de arka arkaya gelmediği kaç farklı program hazırlanabilir?

12

36

42

48

60

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

48 farklı program hazırlanabilir.

Soruda 'mevzuat eğitimlerinin üçünün de arka arkaya gelmediği' durumlar sorulmaktadır. Bu tür sorularda en pratik yöntem, tüm olası dizilimlerden istenmeyen durumu (yani üçünün yan yana olduğu durumu) çıkarmaktır. Tüm durumlar 60, üçünün yan yana olduğu durumlar 12 olarak hesaplanır. Sonuç 60 - 12 = 48'dir.

Step-by-Step Solution

1

Tüm olası dizilimlerin sayısını hesapla (koşulsuz).

6! / (3! · 2! · 1!) = 720 / 12 = 60

Tekrarlı permütasyon formülü kullanılarak, toplam eleman sayısının faktöriyeli, tekrar eden elemanların faktöriyellerine bölünür.

2

İstenmeyen durumların (üç mevzuat eğitiminin yan yana olduğu) sayısını hesapla.

4! / (2! · 1!) = 24 / 2 = 12

Üç mevzuat eğitimi (MMM) tek bir blok kabul edilir. Elimizde {Blok, K, K, P} olmak üzere 4 eleman olur. K'ler 2 tane olduğu için tekrarlı permütasyon uygulanır.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

60 - 12 = 48

'Üçünün arka arkaya gelmediği' durumlar, tüm durumlardan 'üçünün arka arkaya geldiği' durumların çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar Yöntemi

Hints

1

Doğrudan 'arka arkaya gelmeyen' durumları saymak zordur. Bunun yerine 'tüm durumlar eksi istenmeyen durumlar' yöntemini kullanmayı deneyin.

2

İstenmeyen durum: 3 mevzuat eğitiminin (M) hepsinin yan yana (MMM) olmasıdır. Bu grubu tek bir eleman gibi düşünerek hesap yapın.

3

Tüm durumlar: 6! / (3!2!1!). İstenmeyen durum (MMM bir arada): 4! / 2!. Bu iki sonucu birbirinden çıkarın.

Practice More

Benzer mantıkla, 'özdeş boncukların dizilimi ancak belirli renklerin yan yana gelmemesi' üzerine bir soru çözebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 253Question →

Standart bir zarın havaya atılması deneyinde, zarın üst yüzüne gelen sayının $3$ 'ten büyük olduğu bilindiğine göre, bu sayının bir çift sayı olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{5}{6}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{3}$

Answer

Verilen koşul altında sayının çift gelme olasılığı

\frac{2}{3}

'tür.

Zarın üst yüzüne gelen sayının 3'ten büyük olduğu bilindiğine göre, değerlendireceğimiz sayılar sadece 4, 5 ve 6'dır. Bu 3 sayıdan çift olanlar 4 ve 6 olmak üzere toplam 2 tanedir. Bu durumda istenen olasılık

\frac{2}{3}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Örnek uzayı ve verilen koşulu belirleme

Tüm durumlar:

E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

. Verilen koşul (sayının 3'ten büyük olması):

A = \{4, 5, 6\}

.

Koşullu olasılık sorularında 'bilindiğine göre' ifadesinden önceki kısım, yeni örnek uzayımızı oluşturur.

2

Koşula uygun istenen durumları seçme

İstenen durum (çift sayı olması):

B = \{2, 4, 6\}

. Koşula uyan istenen durumlar (

A \cap B

):

\{4, 6\}

.

İstenen durumun, kısıtlanmış yeni örnek uzayı (A kümesi) içindeki elemanlarını belirlememiz gerekir.

3

Olasılığı hesaplama

P(B|A) = \frac{s(A \cap B)}{s(A)} = \frac{2}{3}

.

Olasılık değeri, istenen eleman sayısının (

2

), yeni örnek uzaydaki toplam eleman sayısına (

3

) oranıdır.

Key Concept

Koşullu olasılıkta, bir olayın gerçekleştiği biliniyorsa örnek uzay o olayla kısıtlanır.

Hints

1

'Olduğu bilindiğine göre' ifadesi, odaklanmamız gereken sayı grubunu sınırlar.

2

Zarın 3'ten büyük geldiğini biliyorsak, elimizde sadece

\{4, 5, 6\}

seçenekleri var demektir.

3

Şimdi sadece bu üç sayı (

\{4, 5, 6\}

) arasından hangilerinin çift olduğunu bulun ve bu sayıyı tüm grup sayısına bölün.

Practice More

İki zar atıldığında toplamın 8 olduğu bilindiğine göre, zarlardan en az birinin 5 olma olasılığını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 254Question →

Bir duvar saatinin kadranı üzerinde, 1'den 12'ye kadar olan sayıların bulunduğu noktalar işaretlenmiştir. Bu noktalardan rastgele seçilen üç nokta birleştirilerek üçgenler oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu üçgenlerden kaç tanesi dik üçgendir?

30

48

60

110

220

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

60 tane dik üçgen oluşturulabilir.

Bir çember üzerinde seçilen üç noktanın dik üçgen oluşturabilmesi için, bu noktalardan ikisinin birleştiren doğrunun çemberin çapı olması gerekir (Çapı gören çevre açı 90°'dir). 12 noktalı bir saat kadranında 6 adet çap bulunur (12-6, 1-7 vb.). Seçilen her bir çap hipotenüs kabul edildiğinde, geriye kalan 10 noktanın her biri üçüncü köşe olabilir. Dolayısıyla toplam dik üçgen sayısı 6 (çap) × 10 (nokta) = 60 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dik üçgen oluşma şartını belirle.

Bir çember üzerinde köşeleri bulunan bir üçgenin dik üçgen olabilmesi için, bir kenarının çemberin çapı olması gerekir (Çapı gören çevre açı 90 derecedir).

Thales Teoremi gereği.

2

Kadrandaki çap sayısını bul.

Saat kadranında karşılıklı sayılar birleştirildiğinde çap oluşur (12-6, 1-7, 2-8, 3-9, 4-10, 5-11). Toplam 6 adet çap vardır.

12 nokta simetrik dizilmiştir, n/2 tane çap vardır.

3

Her bir çap için oluşabilecek üçgen sayısını hesapla.

Bir çap seçildiğinde (örneğin 12-6), geriye kalan 10 noktanın her biri, bu çapla birleştirildiğinde bir dik üçgen oluşturur.

Üçgenin hipotenüsü çaptır, üçüncü köşe çember üzerindeki diğer herhangi bir nokta olabilir.

4

Toplam dik üçgen sayısını hesapla.

6 (çap sayısı) x 10 (her çap için nokta sayısı) = 60.

Çarpma kuralı.

Key Concept

Çemberde çapı gören çevre açının 90° olması prensibi ile sayma yöntemlerinin birleştirilmesi.

Hints

1

Bir üçgenin dik üçgen olabilmesi için köşelerinin çember üzerinde nasıl konumlanması gerektiğini düşünün.

2

Çemberde çapı gören çevre açı 90 derecedir. Yani dik üçgenlerin hipotenüsü mutlaka çap olmalıdır.

3

Saat kadranında kaç tane çap çizilebilir? Her bir çap için kaç farklı üçüncü nokta seçebilirsiniz?

Practice More

Benzer mantıkla, 'Bu noktalardan oluşturulan dikdörtgen sayısı kaçtır?' sorusu çözülebilir (İki çapın seçimi dikdörtgen oluşturur).

Alternative Method

Alternatif olarak; her bir nokta (örneğin '12') dik açının olduğu köşe olabilir. '12' noktasının dik köşe olması için diğer iki noktanın '12'den geçen çapa (6-12) göre simetrik olması veya çap uçları olması gerekmez; '12' noktasının dik açı olması için hipotenüsün '12'den geçmemesi gerekir. Ancak bu yöntem daha karmaşıktır. En pratik yöntem hipotenüs (çap) üzerinden saymaktır.

Estimated Time:2m 0s

Question 255Question →

Binom açılımında, bir ifadenin kuvveti ile açılım sonucunda oluşan terim sayısı arasında belirli bir ilişki vardır. Aşağıdaki tabloda bazı örnekler verilmiştir:

İfade	Kuvvet ( $n$ )	Terim Sayısı ( $n+1$ )
$(a+b)^1$	1	2
$(a+b)^2$	2	3
$(a+b)^3$	3	4

Buna göre, $(x + 2y)^6$ ifadesinin binom açılımında toplam kaç terim bulunur?

5

6

7

8

12

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Verilen ifadenin açılımında toplam 7 terim bulunur.

Binom açılımı kuralına göre,

(a+b)^n

ifadesi açıldığında terimlerin kuvvetleri toplamı

n

olacak şekilde sıralanır ve bu sıralama sonucunda toplam

n+1

tane terim oluşur. Soruda verilen

(x+2y)^6

ifadesinde kuvvet

n=6

olduğu için, terim sayısı

6+1=7

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İfadenin kuvvetini belirleyin.

n = 6

(x + 2y)^6

ifadesinde parantez dışındaki üst (kuvvet) 6'dır.

2

Binom açılımı terim sayısı formülünü uygulayın.

6 + 1 = 7

(ax + by)^n

şeklindeki bir ifadenin açılımındaki terim sayısı her zaman kuvvetin bir fazlasına (

n+1

) eşittir.

Key Concept

Binom açılımında

(x+y)^n

ifadesinin terim sayısı

n+1

'dir.

Hints

1

Binom açılımında

(x+y)^n

ifadesindeki kuvvet ile terim sayısı arasındaki ilişkiyi hatırlayın.

2

Terim sayısı, ifadenin en dışındaki kuvvetin her zaman 1 fazlasıdır.

3

(x+2y)^6

ifadesinde kuvvet 6 olduğuna göre, bu sayıya 1 ekleyerek sonucu bulabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla

(3x - y)^4

ifadesinin kaç terimi olduğunu hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Estimated Time:30s

Question 256Question →

Bir bakanlığın teftiş kurulunda denetlenen dosyalar; Strateji, Personel ve İdari İşler olmak üzere üç farklı birimden gelmektedir. Kurula gelen dosyaların birimlere göre dağılımı, bu dosyalarda herhangi bir hata bulunma olasılıkları ve hatalı bulunan dosyaların 'kritik hata' sınıfında olma yüzdeleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Birim	Dosya Dağılımı	Hata Bulunma Oranı	Hatalı Dosyanın 'Kritik' Olma Oranı
Strateji	%40	%5	%10
Personel	%35	%4	%50
İdari İşler	%25	%8	%75

Kurul tarafından rastgele seçilen bir dosyanın incelenmesi sonucunda dosyanın kritik hata içerdiği tespit edilmiştir.

Buna göre, bu dosyanın Personel birimine ait olma olasılığı kaçtır?

7/24

5/24

4/17

5/8

1/12

Show answer & explanation

Answer: 7/24

Answer

Dosyanın Personel biriminden gelme olasılığı 7/24'tür.

Seçilen dosyanın kritik hata içerdiği bilindiğine göre, bu durumun hangi birimden kaynaklandığını bulmak için Bayes teoremi uygulanır. Her birimin toplam havuz içindeki katkısı (Birim Oranı × Hata Oranı × Kritik Hata Oranı) ayrı ayrı hesaplanır. Personel biriminin katkısı (0.007), toplam kritik hata olasılığına (0.024) oranlandığında sonuç 7/24 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Olasılıkları tanımla

P(S)=0.40, P(P)=0.35, P(İ)=0.25 (Birim Olasılıkları)

Tablodaki dosya dağılım oranları ondalık sayıya çevrilir.

2

Kesişim olasılıklarını hesapla (Birim ∩ Hata ∩ Kritik)

Strateji: 0.40 × 0.05 × 0.10 = 0.002
Personel: 0.35 × 0.04 × 0.50 = 0.007
İdari: 0.25 × 0.08 × 0.75 = 0.015

Her birimden gelen dosyanın kritik hatalı olma olasılığı: P(Birim) × P(Hata|Birim) × P(Kritik|Hata,Birim)

3

Toplam olasılığı (Örnek Uzay) bul

P(Kritik) = 0.002 + 0.007 + 0.015 = 0.024

Tüm birimlerden gelen kritik hatalı dosya olasılıkları toplanır.

4

Koşullu olasılığı hesapla

P(Personel | Kritik) = 0.007 / 0.024 = 7/24

İstenen durum (Personel'den gelen kritik hata) toplam duruma (Tüm kritik hatalar) bölünür.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Ağaç Diyagramı ile Koşullu Olasılık Hesabı

Hints

1

Önce her bir birimden gelen bir dosyanın 'kritik hatalı' olma olasılığını ayrı ayrı hesaplayın.

2

Bir dosyanın Personel biriminden gelip kritik hatalı olma ihtimali: (Personel Yüzdesi) × (Hata Yüzdesi) × (Kritik Hata Yüzdesi) çarpımıdır.

3

Paydaya 'toplam kritik hata olasılığını' (3 birimin toplamı), paya ise sadece 'Personel biriminin kritik hata olasılığını' yazarak oranlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, 'kritik hata içermediği bilindiğine göre' koşuluyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Ağaç diyagramı çizerek her dalın ucundaki olasılığı (0.002, 0.007, 0.015) bulup görsel olarak oranlayabilirsiniz.

Estimated Time:4m 0s

Question 257Question →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için $P(A) = \frac{2}{3}$ ve $P(B) = \frac{3}{4}$ değerleri verilmiştir.

Buna göre, $A$ ve $B$ olaylarının kesişiminin olasılığı olan $P(A \cap B)$ değerinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{4}

\frac{11}{12}

1

\frac{13}{12}

\frac{7}{6}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{13}{12}$

Answer

\frac{13}{12}

İki olayın kesişiminin alabileceği en büyük değer, olaylardan olasılığı küçük olanın değerine eşittir (biri diğerinin alt kümesi olduğunda). En küçük değer ise, birleşimlerinin olasılığı en fazla 1 olabileceği gerçeğinden yola çıkarak hesaplanır. Bu soruda Maksimum =

2/3

(

8/12

) ve Minimum =

5/12

bulunur. Toplamları

13/12

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık değerlerini karşılaştırmak için paydaları eşitle.

P(A) = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}

ve

P(B) = \frac{3}{4} = \frac{9}{12}

.

Değerleri kıyaslamak ve işlem yapmak için ortak payda gereklidir.

2

P(A \cap B)

için en büyük değeri (maksimum kesişim) belirle.

En büyük değer, küçük olan kümenin diğerinin alt kümesi olduğu durumdur:

\text{Maks} = P(A) = \frac{8}{12}

.

Kesişim, kümelerden küçük olanın olasılığını aşamaz (

A \subset B

durumu).

3

P(A \cap B)

için en küçük değeri (minimum kesişim) belirle.

P(A \cup B) \le 1

kuralından;

P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1

\Rightarrow \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - P(A \cap B) \le 1

\Rightarrow \frac{17}{12} - 1 \le P(A \cap B)

\Rightarrow \text{Min} = \frac{5}{12}

.

Kesişimin en az olması için birleşim kümesinin örnek uzayı doldurması gerekir (

P(A \cup B)=1

).

4

Bulunan en büyük ve en küçük değerleri topla.

\frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \frac{13}{12}

.

Soru bu iki uç değerin toplamını istemektedir.

Key Concept

Kesişimin Sınır Değerleri (Bounds of Intersection)

Hints

1

İki kümenin kesişiminin en çok olması için, kümelerden biri diğerinin içinde olmalıdır.

2

Kesişimin en az olması için, kümelerin birleşimi örnek uzayın tamamını (

1

) kaplamalıdır.

3

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülünde

P(A \cup B)

yerine en fazla 1 yazarak minimum kesişimi bulabilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek;

P(A)=8k, P(B)=9k

ve Evrensel=12k diyerek bölgelere değer verilebilir. Maksimum kesişim

8k

, minimum kesişim

(8k+9k)-12k = 5k

olarak görselleştirilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 258Question →

\left( x^3 - \frac{2}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında sabit terim,

x^{10}

lu terimin katsayısının

4

katına eşittir.

Buna göre, $n$ doğal sayısı kaçtır?

5

8

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Verilen şartı sağlayan

n

değeri 10'dur.

Genel terim formülü kullanılarak sabit terim ve

x^{10}

lu terim için kuvvet analizleri yapıldığında,

r

değerleri arasında 2 fark olduğu görülür. Katsayılar oranlandığında

(-2)^r

çarpanlarından gelen 4 kat farkı, kombinasyonların eşit olmasını gerektirir.

\binom{n}{r+2} = \binom{n}{r}

eşitliği ancak alt indislerin toplamı

n

olduğunda sağlanır. Bu ilişki ve kuvvet denklemleri çözüldüğünde doğru değer 10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Genel terim formülünü yaz

\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} \left(-\frac{2}{x^2}\right)^r = \binom{n}{r} (-2)^r x^{3n-3r-2r} = \binom{n}{r} (-2)^r x^{3n-5r}

Herhangi bir terimin katsayısını ve derecesini belirlemek için genel formül gereklidir.

2

Sabit terim ve

x^{10}

lu terim için

r

değerleri arasındaki ilişkiyi bul

Sabit terim için

3n-5r_1=0

,

x^{10}

için

3n-5r_2=10

. Taraf tarafa çıkarma yapılırsa

5(r_1-r_2)=10 \implies r_1 = r_2 + 2

.

İki terimin kuvvetleri arasındaki farktan yola çıkarak

r

değerleri arasındaki fark bulunur.

3

Verilen katsayı ilişkisini denkleme dök

\binom{n}{r_2+2}(-2)^{r_2+2} = 4 \cdot \binom{n}{r_2}(-2)^{r_2}

Soruda verilen '4 katıdır' bilgisini matematiksel eşitliğe dönüştürmek gerekir.

4

Denklemi sadeleştir ve

n

değerini bul

(-2)^{r_2+2} = 4 \cdot (-2)^{r_2}

olduğundan katsayılar sadeleşir ve

\binom{n}{r_2+2} = \binom{n}{r_2}

kalır. Buradan

r_2 + 2 + r_2 = n \implies n = 2r_2 + 2

bulunur.

3n - 5r_2 = 10

denkleminde yerine yazılırsa

n=10

bulunur.

Simetrik kombinasyon özelliği (

\binom{n}{a} = \binom{n}{b} \implies a+b=n

) kullanılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar arasındaki ilişki ve simetri özelliği (

\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}

).

Hints

1

Binom açılımının genel terimi

\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-\frac{2}{x^2})^r

şeklindedir.

2

Sabit terim için

x

'in kuvveti 0, diğer terim için ise 10 olmalıdır. Bu iki durumdaki

r

değerleri arasındaki farkı bulun.

3

r

değerleri arasındaki fark 2'dir.

\binom{n}{r+2} = \binom{n}{r}

eşitliğini kullanarak

n

ile

r

arasındaki ilişkiyi kurun.

Practice More

Katsayılar toplamı ve sabit terim ilişkisini içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Şıklardan giderek

n

değerlerini yerine koyup, sabit terim ve

x^{10}

lu terimin katsayılarını hesaplayarak oranlarını kontrol edebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 259Question →

$\text{ANANAS}$ kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız 6 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

60

120

360

720

30

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

ANANAS kelimesindeki harflerle 60 farklı kelime yazılabilir.

ANANAS kelimesinde 6 harf bulunmaktadır. Bu harflerden 3 tanesi A, 2 tanesi N harfidir. Tekrarlı permütasyon kuralına göre sıralama sayısı

6! / (3! \cdot 2!)

şeklinde hesaplanır. Bu işlemin sonucu olan 60, yazılabilecek tüm farklı kelimelerin sayısıdır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirle.

Toplam harf: 6. Tekrar edenler: 3 tane 'A', 2 tane 'N', 1 tane 'S'.

Tekrarlı permütasyon formülünde kullanılacak

n

ve

n_k

değerlerini saptamak gerekir.

2

Tekrarlı permütasyon formülünü uygula.

\frac{6!}{3! \times 2! \times 1!}

Özdeş nesnelerin kendi aralarındaki yer değişimleri farklı bir sıralama oluşturmadığı için toplam sıralama sayısı bu tekrarlara bölünür.

3

Faktöriyel değerlerini hesapla ve sadeleştir.

\frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60

Matematiksel işlemleri tamamlayarak nihai sıralama sayısına ulaşılır.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon, bazı nesnelerin özdeş olduğu durumlarda toplam sıralama sayısını bulmak için kullanılır. Formül:

\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots}

Hints

1

Kelimedeki harflerin hepsinin birbirinden farklı olup olmadığını kontrol edin.

2

3 tane 'A' ve 2 tane 'N' harfi tekrar etmektedir. Bu harflerin kendi arasındaki yer değişimi yeni bir kelime oluşturmaz.

3

Toplam 6 harf olduğu için

6!

değerini, tekrar edenlerin sayıları olan

3!

ve

2!

değerlerine bölmelisiniz.

Practice More

İçinde aynı rakamların bulunduğu sayı dizileriyle (örneğin 112233) kaç farklı sayı yazılabileceği üzerine pratik yapabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 260Question →

(x + y)^n

ifadesinin binom açılımında baştan dördüncü terim ile baştan onuncu terimin katsayıları birbirine eşittir.

Buna göre, bu açılımda toplam kaç terim vardır?

11

12

13

14

15

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Binom açılımında katsayıların simetri özelliği ve terim sayısı kuralına göre açılımda 13 terim bulunmaktadır.

Binom açılımında baştan dördüncü terimin katsayısı

\binom{n}{3}

, baştan onuncu terimin katsayısı ise

\binom{n}{9}

'dur. Bu katsayılar birbirine eşitse kombinasyonun simetri özelliği gereği

n = 3 + 9 = 12

olmalıdır. Açılımdaki terim sayısı

n+1

formülüyle hesaplandığı için

12 + 1 = 13

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Terimlerin kombinasyonel karşılıklarını belirleme

Baştan 4. terim için

r = 3

, baştan 10. terim için

r = 9

olur.

Binom açılımında baştan

(r+1)

. terim

\binom{n}{r}

katsayısı ile hesaplanır.

2

Katsayıların eşitliğini denklem olarak yazma

\binom{n}{3} = \binom{n}{9}

Soruda dördüncü ve onuncu terimlerin katsayılarının eşit olduğu belirtilmiştir.

3

Kombinasyon özelliğini kullanarak

n

değerini bulma

n = 3 + 9 = 12

\binom{n}{a} = \binom{n}{b}

eşitliğinde

a \neq b

ise

n = a + b

kuralı geçerlidir.

4

Açılımdaki terim sayısını hesaplama

12 + 1 = 13

(x+y)^n

açılımında toplam

n+1

tane terim bulunur.

Key Concept

Binom Katsayılarının Simetrisi ve Terim Sayısı

Hints

1

Binom açılımında

(x+y)^n

ifadesinde baştan

k

. terimin katsayısının

\binom{n}{k-1}

olduğunu hatırlayın.

2

\binom{n}{3} = \binom{n}{9}

eşitliği size

n

değerini bulduracaktır.

3

Bulduğunuz

n

değerine 1 ekleyerek açılımdaki toplam terim sayısına ulaşabilirsiniz.

Practice More

Binom açılımında ortanca terimin katsayısını bulma sorularını inceleyerek simetri konusunu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 0s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept