Sayma ve Olasılık

Question 261Question →

Bir kamu kurumunun Ar-Ge Daire Başkanlığında görevli 5 yüksek mühendis ve 3 mimar arasından, yürütülecek stratejik bir proje için 4 kişilik bir çalışma grubu oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu grupta en az 2 yüksek mühendis bulunması gerekmektedir. Ancak, yüksek mühendisler arasındaki (A) kişisi ile mimarlar arasındaki (B) kişisinin, geçmişte yaşadıkları idari bir husumet nedeniyle aynı çalışma grubunda yer almamaları kararlaştırılmıştır.

Buna göre, bu çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

45

50

51

60

65

Show answer & explanation

Answer: 51

Answer

Çalışma grubu 51 farklı şekilde oluşturulabilir.

Problemi çözmek için önce 'en az 2 yüksek mühendis' şartını sağlayan tüm olası grupları hesaplarız, ardından bu gruplar içinden (A) ve (B) kişilerinin birlikte bulunduğu istenmeyen durumları çıkarırız.

1. Tüm Geçerli Durumlar (Kişi kısıtı olmadan):
- 2 Müh, 2 Mim:

C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30

- 3 Müh, 1 Mim:

C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30

- 4 Müh:

C(5,4) \times C(3,0) = 5 \times 1 = 5

- Toplam =

30 + 30 + 5 = 65

2. İstenmeyen Durumlar (A ve B birlikte):
Grupta A (Müh) ve B (Mim) kesinlikle varsa, geriye 2 kişi seçilmelidir. Kalan havuz: 4 Müh, 2 Mim.
Grupta toplam en az 2 mühendis olmalı. A zaten grupta, dolayısıyla kalan 2 kişiden en az 1'i mühendis olmalı.
- 1 Müh, 1 Mim seçimi:

C(4,1) \times C(2,1) = 4 \times 2 = 8

(Toplam Müh: A + 1 = 2, uygun)
- 2 Müh seçimi:

C(4,2) \times C(2,0) = 6 \times 1 = 6

(Toplam Müh: A + 2 = 3, uygun)
- (Dikkat: 2 Mimar seçersek toplam Müh sayısı 1 olur, bu durum zaten 65'in içinde yoktu, çıkarmaya gerek yok.)
- İstenmeyen Toplam =

8 + 6 = 14

3. Sonuç:

65 - 14 = 51

Step-by-Step Solution

1

Tüm kısıtlamalar olmadan, sadece 'en az 2 yüksek mühendis' şartını sağlayan durum sayısını hesapla.

30 + 30 + 5 = 65 durum

Grupta 2, 3 veya 4 mühendis olabilir. (2 Müh, 2 Mim) + (3 Müh, 1 Mim) + (4 Müh, 0 Mim) kombinasyonları toplanır: C(5,2)*C(3,2) + C(5,3)*C(3,1) + C(5,4)*C(3,0).

2

Yasaklı olan (A) ve (B) kişilerinin birlikte bulunduğu ve aynı zamanda 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan istenmeyen durumları hesapla.

8 + 6 = 14 durum

(A) ve (B) gruptaysa, kalan 2 kişi için 4 Mühendis ve 2 Mimar kalır. Toplamda en az 2 mühendis olması gerektiği ve (A) zaten mühendis olduğu için, kalan 2 kişiden en az 1'i mühendis olmalıdır. Olasılıklar: (1 Müh, 1 Mim) veya (2 Müh, 0 Mim).

3

Birinci adımdaki toplam geçerli durum sayısından, ikinci adımdaki yasaklı durum sayısını çıkar.

65 - 14 = 51

Genel kümeden istenmeyen alt kümeyi çıkararak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Koşullu Kombinasyon ve İçerme-Dışlama Prensibi

Hints

1

Önce kişi kısıtlamasını (A ve B durumu) görmezden gelerek, sadece 'en az 2 mühendis' kuralına uyan kaç farklı grup oluşturulabileceğini hesaplayınız.

2

Bulduğunuz bu toplam sayıdan, hem 'en az 2 mühendis' kuralına uyan hem de A ve B'nin birlikte olduğu istenmeyen durumları çıkarınız.

Alternative Method

Durumları ayrık kümeler halinde toplayarak da çözebilirsiniz: 1) A var, B yok; 2) A yok, B var; 3) A yok, B yok. Bu üç durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 262Question →

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları verilmiştir. $d_1$ doğrusu üzerinde 4 nokta, $d_2$ doğrusu üzerinde ise 3 nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

30

35

12

5

34

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Köşeleri bu noktalardan seçilen toplam 30 farklı üçgen çizilebilir.

Toplam 7 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı 35'tir. Ancak bu seçimlerden bazıları aynı doğru üzerinde (doğrusal) olduğu için üçgen belirtmez. Üstteki 4 noktadan seçilen 4 grup ve alttaki 3 noktadan seçilen 1 grup üçgen oluşturmadığı için, toplam 35 durumdan bu 5 durum çıkarıldığında 30 farklı üçgen elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam nokta sayısını ve tüm seçimleri belirle.

Toplam

4 + 3 = 7

nokta vardır. Hiçbiri doğrusal olmasaydı

\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

üçgen oluşurdu.

Üçgen oluşturmak için düzlemde doğrusal olmayan 3 nokta seçilmelidir.

2

Aynı doğru üzerinde oldukları için üçgen oluşturmayan durumları hesapla.

d_1

doğrusundaki 4 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{4}{3} = 4

.

d_2

doğrusundaki 3 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{3}{3} = 1

.

Aynı doğru üzerindeki noktalar seçildiğinde bir üçgen değil, bir doğru parçası oluşur.

3

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayanları çıkar.

35 - (4 + 1) = 35 - 5 = 30

.

Geometrik kombinasyon problemlerinde 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en güvenilir yoldur.

Key Concept

Kombinasyon Kullanarak Geometrik Şekil Sayma

Hints

1

Üçgen oluşturmak için 7 noktadan 3 tanesini seçmelisin.

2

Aynı doğru üzerinde bulunan noktalar (örneğin d1 üzerindeki 4 noktadan herhangi 3'ü) seçildiğinde bir üçgen oluşmaz.

3

Hesaplamanı şu şekilde yapabilirsin: (Toplam 3'lü seçimler) - (d1 üzerindeki 3'lü seçimler) - (d2 üzerindeki 3'lü seçimler).

Practice More

Noktalar paralel doğrular yerine bir çember üzerinde olsaydı hesaplama nasıl değişirdi?

Alternative Method

Veya şu şekilde düşünebilirsin: (d1'den 1, d2'den 2 nokta seçimi) + (d1'den 2, d2'den 1 nokta seçimi). Yani; C(4,1)*C(3,2) + C(4,2)*C(3,1) = 4*3 + 6*3 = 12 + 18 = 30.

Estimated Time:50s

Question 263Question →

Bir yarım çember üzerinde 9 farklı nokta işaretlenmiştir. Bu noktalardan 5 tanesi çap (doğru parçası) üzerinde, geri kalan 4 tanesi ise yay üzerindedir. Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

84

80

78

74

64

Show answer & explanation

Answer: 74

Answer

Verilen 9 noktadan toplam 74 farklı üçgen çizilebilir.

Toplam 9 nokta arasından seçilebilecek tüm üçlü grupların sayısı 84'tür. Ancak çap üzerinde bulunan 5 nokta doğrusal olduğu için bu noktalardan seçilen herhangi üçlü grup bir üçgen oluşturmaz. Bu geçersiz durumların sayısı 10 olduğu için, toplamdan çıkarıldığında 74 adet geçerli üçgen kalır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam nokta sayısını ve seçilmesi gereken nokta sayısını belirleme.

n = 9

nokta ve bir üçgen için 3 nokta gereklidir.

Üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 3 nokta seçilmelidir.

2

Hiçbir kısıtlama olmaksızın yapılabilecek tüm 3'lü seçimleri hesaplama.

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

Kombinasyon formülü kullanılarak toplam durum sayısı bulunur.

3

Aynı doğru (çap) üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan noktaları belirleme.

Çap üzerinde 5 nokta bulunmaktadır.

Doğrusal noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamazlar.

4

Doğrusal olan bu noktalardan yapılan 3'lü seçimleri hesaplama.

\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10

Bu 10 durum üçgen oluşturmadığı için toplamdan çıkarılmalıdır.

5

Toplam durumdan geçersiz durumları çıkarma.

84 - 10 = 74

Oluşabilecek maksimum üçgen sayısına ulaşılır.

Key Concept

Kombinasyonun geometrik uygulamalarında, üçgen sayısı 'Tüm Durumlar - Doğrusal Durumlar' formülü ile hesaplanır.

Hints

1

Üçgen oluşturmak için seçilen 3 noktanın aynı doğru üzerinde olmaması gerektiğini hatırla.

2

Önce tüm 9 noktadan kaç farklı 3'lü grup seçebileceğini bul, sonra çap üzerindeki 5 noktadan oluşan 3'lü grupları çıkar.

3

\binom{9}{3}

değerinden

\binom{5}{3}

değerini çıkararak sonuca ulaşabilirsin.

Practice More

Benzer mantığı kullanarak, bu noktalarla kaç farklı doğru çizilebileceğini hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

Üçgenleri gruplandırarak da sayabilirsiniz: (Yaydan 1 nokta, Çaptan 2 nokta) + (Yaydan 2 nokta, Çaptan 1 nokta) + (Yaydan 3 nokta). Yani:

\binom{4}{1} \cdot \binom{5}{2} + \binom{4}{2} \cdot \binom{5}{1} + \binom{4}{3} = 4 \cdot 10 + 6 \cdot 5 + 4 = 40 + 30 + 4 = 74

.

Estimated Time:1m 30s

Question 264Question →

Bir kamu kurumunun hukuk kütüphanesinde $4$ farklı kanun kitabı ve $2$ farklı yönetmelik kitabı tek bir rafa yan yana dizilecektir. Yönetmelik kitaplarının yan yana gelmemesi şartıyla bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

120

240

480

576

720

Show answer & explanation

Answer: $480$

Answer

Kitaplar, yönetmeliklerin yan yana gelmemesi şartıyla

480

farklı şekilde dizilebilir.

Doğru yanıt olan seçenek, toplam

6

kitabın tüm diziliş sayısından (

720

), iki yönetmeliğin bir blok kabul edilerek yan yana olduğu durumların (

240

) çıkarılmasıyla elde edilir (

720 - 240 = 480

).

Step-by-Step Solution

1

Tüm dizilişlerin sayısını hesapla

6! = 720

Toplamda

4 + 2 = 6

farklı kitap herhangi bir şart olmaksızın

6!

kadar sıralanır.

2

Yönetmeliklerin yan yana olduğu durum sayısını hesapla

5! \times 2! = 120 \times 2 = 240

İki yönetmelik tek bir paket kabul edilirse toplam

5

birim oluşur (

5!

). Yönetmelikler kendi aralarında

2!

yer değiştirir.

3

Yan yana gelmeme durumunu bulmak için çıkarma yap

720 - 240 = 480

İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar (yan yana olma).

Key Concept

Permütasyonda belirli nesnelerin yan yana gelmeme durumunu hesaplamak için tüm durumlardan yan yana gelme durumları çıkarılır veya boşluklara yerleştirme yöntemi kullanılır.

Hints

1

Önce tüm kitapların hiçbir kısıtlama olmadan kaç farklı şekilde dizilebileceğini düşünün.

2

Yönetmeliklerin yan yana geldiği durumları 'tüm durumlar - istenmeyen durumlar' mantığıyla hesaplayıp çıkarabilirsiniz.

3

Veya alternatif olarak; kanun kitaplarını dizip aralarındaki ve uçlardaki boşluklara yönetmelikleri yerleştirebilirsiniz.

4!

kanun dizilişi için

5

boşluk vardır.

Practice More

Benzer bir mantıkla, 3 farklı branş öğretmeni ve 4 öğrencinin yan yana dizildiği, öğretmenlerin yan yana gelmediği durum sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Kanun kitaplarını (K) dizelim: _ K _ K _ K _ K _ . 4 kanun kitabı

4! = 24

şekilde dizilir. Bu kitapların arasında ve uçlarında toplam

5

boşluk vardır.

2

yönetmelik bu

5

boşluğa

P(5, 2) = 5 \times 4 = 20

farklı şekilde yerleşebilir. Sonuç:

24 \times 20 = 480

olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 265Question →

Bir torbada bulunan 10 bilyenin renklerine ve üzerlerindeki desenlere göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Renk	Yıldızlı	Yıldızsız	Toplam
Kırmızı	4	2	6
Mavi	1	3	4
Toplam	5	5	10

Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin yıldızlı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin kırmızı renkli olma olasılığı kaçtır?

4/5

3/5

1/2

1/5

2/3

Show answer & explanation

Answer: 4/5

Answer

Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı 4/5'tir.

Soruda bilyenin yıldızlı olduğu bilgisi verildiği için artık sadece yıldızlı bilyelerle ilgileniyoruz. Toplam 5 yıldızlı bilye bulunmaktadır. Bu 5 bilyeden 4 tanesi kırmızı olduğu için olasılık bu değerlerin birbirine oranı olan dört bölü beştir.

Step-by-Step Solution

1

Koşula bağlı olarak yeni örnek uzayı (tüm durumları) belirle.

Bilyenin yıldızlı olduğu bilindiği için toplam yıldızlı bilye sayısı olan

5

, bizim yeni örnek uzayımız olur.

Koşullu olasılık problemlerinde 'bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen bilgi, tüm durumların sayısını belirler.

2

İstenen durumun (kırmızı ve yıldızlı bilyeler) sayısını belirle.

Tabloya göre hem kırmızı hem de yıldızlı olan bilye sayısı

4

'tür.

İstenen olasılık, yeni örnek uzayı içindeki belirli bir alt kümenin gerçekleşme durumudur.

3

Olasılık formülünü uygula.

P(\text{Kırmızı} | \text{Yıldızlı}) = \frac{4}{5}

Olasılık, istenen durum sayısının tüm (koşullu) durum sayısına oranıdır.

Key Concept

Koşullu Olasılık: Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Örnek uzay, verilen koşula göre daraltılır.

Hints

1

'Bilindiğine göre' ifadesinden önceki bilye sayılarını unutun ve sadece 'yıldızlı' bilyelere odaklanın.

2

Toplam kaç tane yıldızlı bilye var? Bunların kaç tanesi kırmızı? Bu iki sayıyı oranlayın.

3

Yıldızlı bilye sayısı 5'tir. Bunların içinden kırmızı olanların sayısı 4 olduğuna göre cevap 4/5 olmalıdır.

Practice More

İki zarın atıldığı bir deneyde, toplamın 8 olduğu bilindiğine göre zarlardan birinin 5 olma olasılığını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek 'Kırmızı bilyeler' kümesi ile 'Yıldızlı bilyeler' kümesinin kesişimini (4) belirleyip, bu kesişimi 'Yıldızlı bilyeler' kümesinin eleman sayısına (5) bölebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 266Question →

Bir kütüphane rafına birbirinden farklı 4 matematik kitabı ve $n$ tane Türkçe kitabı yan yana dizilecektir. Matematik kitaplarının tamamının bir arada olması koşuluyla bu kitaplar 2880 farklı şekilde dizilebildiğine göre, $n$ kaçtır?

3

4

5

6

2

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Kitapların dizilim koşulları dikkate alındığında Türkçe kitaplarının sayısı 4 olarak bulunur.

Matematik kitaplarının bir arada olması istendiği için bu 4 kitap tek bir paket gibi düşünülür. Bu paket ve

n

tane Türkçe kitabı toplam

n+1

birim oluşturur. Bu birimlerin dizilimi

(n+1)!

ve paketin içindeki matematik kitaplarının kendi aralarındaki dizilimi

4!

(yani 24) kadardır. Toplam dizilim olan

(n+1)! \cdot 24 = 2880

denkleminden

(n+1)! = 120

bulunur.

5! = 120

olduğu için

n+1=5

ve dolayısıyla Türkçe kitaplarının sayısı 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Koşula bağlı nesne sayısını belirleme

4 matematik kitabı 'bir arada' olacağı için bu kitaplar 1 blok olarak kabul edilir. Bu blok ve

n

tane Türkçe kitabı ile birlikte toplam

n+1

tane nesne oluşur.

Yan yana olması istenen nesneler tek bir birim gibi düşünülmelidir.

2

Dizilim formülünü oluşturma

Toplam dizilim sayısı:

(n+1)! \times 4! = 2880

.

n+1

nesnenin kendi arasındaki dizilimi

(n+1)!

ve blok içindeki 4 kitabın kendi arasındaki dizilimi

4!

kadardır.

3

Denklemi çözme

(n+1)! \times 24 = 2880 \Rightarrow (n+1)! = 120

.

4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

değerine eşittir.

4

Bilinmeyeni bulma

5! = 120

olduğu için

n+1 = 5

ve buradan

n = 4

elde edilir.

Faktöriyel tanımı gereği çarpımı 120 olan ardışık tam sayılar dizisi 5'te biter.

Key Concept

Faktöriyel kullanarak belirli nesnelerin bir arada bulunduğu dizilim (permütasyon) hesaplamaları.

Hints

1

Bir arada olması istenen kitapları tek bir nesne (blok) gibi düşünerek toplam nesne sayısını hesaplayın.

2

Toplam dizilimi bulurken hem bu bloğun diğer kitaplarla yer değiştirmesini hem de blok içindeki kitapların kendi aralarındaki yer değiştirmesini hesaba katın.

3

(n+1)! \cdot 4! = 2880

denklemini kurun.

4! = 24

olduğunu kullanarak

(n+1)!

değerini yalnız bırakın.

Practice More

Faktöriyel kavramını pekiştirmek için 'n nesnenin yan yana gelmemesi' durumlarını içeren soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin

n=4

için toplam

4+1=5

nesne oluşur.

5! \cdot 4! = 120 \cdot 24 = 2880

sonucuna ulaşılarak doğru cevap doğrulanabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 267Question →

Birinci torbada 4 sarı, 2 mavi; ikinci torbada ise 3 sarı, 3 mavi top bulunmaktadır.

Birinci torbadan rastgele bir top alınıp rengine bakılmaksızın ikinci torbaya atılıyor. Daha sonra ikinci torbadan rastgele bir top çekiliyor.

İkinci torbadan çekilen bu topun mavi olduğu bilindiğine göre, birinci torbadan ikinci torbaya atılan topun sarı olma olasılığı kaçtır?

\frac{2}{5}

\frac{3}{7}

\frac{4}{7}

\frac{3}{5}

\frac{2}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{5}$

Answer

\frac{3}{5}

Soruda 'ikinci torbadan çekilen topun mavi olduğu bilindiğine göre' ifadesi bir koşullu olasılık sorusudur. Çözüm için tüm 'Mavi Çekme' durumlarının olasılığı hesaplanmalı ve paydaya yazılmalıdır. İstenen durum olan 'Sarı Aktarılıp Mavi Çekilmesi' olasılığı ise paya yazılır.

1. Durum (Sarı Aktar - Mavi Çek):

\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{42}

2. Durum (Mavi Aktar - Mavi Çek):

\frac{2}{6} \cdot \frac{4}{7} = \frac{8}{42}

Toplam Mavi Olasılığı:

\frac{12+8}{42} = \frac{20}{42}

Sonuç:

\frac{12/42}{20/42} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}

.

Step-by-Step Solution

1

Olası durumları belirle

İki durum vardır: 1. Durum (Sarı aktarılması ve Mavi çekilmesi) veya 2. Durum (Mavi aktarılması ve Mavi çekilmesi).

Birinci torbadan neyin aktarıldığı, ikinci torbanın yapısını ve dolayısıyla çekiliş olasılığını değiştirir.

2

1. Durumun olasılığını hesapla (Sarı aktar, Mavi çek)

P(Sarı Aktar) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. İkinci torbada 4 Sarı, 3 Mavi olur (Toplam 7). P(Mavi Çek | Sarı Aktar) = \frac{3}{7}. Çarpım: \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}.

Ardışık olayların gerçekleşme olasılığı çarpılarak bulunur.

3

2. Durumun olasılığını hesapla (Mavi aktar, Mavi çek)

P(Mavi Aktar) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. İkinci torbada 3 Sarı, 4 Mavi olur (Toplam 7). P(Mavi Çek | Mavi Aktar) = \frac{4}{7}. Çarpım: \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{21}.

Her iki durum için de ortak paydada kalmak (21 veya 42) işlemi kolaylaştırır.

4

Tüm durumun (Mavi çekilme) olasılığını bul

P(Mavi Çek) = \frac{6}{21} + \frac{4}{21} = \frac{10}{21}.

Ayrık durumların olasılıkları toplanır.

5

Koşullu olasılığı hesapla

P(Sarı Aktar | Mavi Çek) = \frac{\text{1. Durum Olasılığı}}{\text{Toplam Mavi Çekme Olasılığı}} = \frac{6/21}{10/21} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.

Koşullu olasılık formülü: P(A|B) = P(A \cap B) / P(B).

Key Concept

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık

Hints

1

Önce iki farklı senaryoyu düşünün: 1. Torbadan Sarı topun aktarıldığı durum ve 2. Torbadan Mavi topun aktarıldığı durum.

2

Her iki senaryo için de sonunda 'Mavi' top çekilme olasılığını ayrı ayrı hesaplayın ve toplayın. Bu sizin paydanız (tüm olası durumlar) olacaktır.

3

Koşullu olasılık formülü:

\frac{\text{İstenen Durumun Olasılığı}}{\text{Koşulun Toplam Olasılığı}}

. İstenen durum: Sarı aktarılıp Mavi çekilmesi.

Estimated Time:2m 30s

Question 268Question →

(2x - 5y)^3

ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?

-27

27

343

-9

4

Show answer & explanation

Answer: $-27$

Answer

Verilen ifadenin katsayılar toplamı

-27

olarak bulunur.

Katsayılar toplamını bulmak için kural gereği

x

ve

y

yerine

1

yazılır. Bu durumda

(2-5)^3

ifadesinden

(-3)^3

elde edilir. Negatif bir sayının tek kuvveti negatif olduğundan sonuç

-27

olur.

Step-by-Step Solution

1

Katsayılar toplamını bulmak için ifadede bulunan değişkenlerin yerine

1

yazılır.

x = 1

ve

y = 1

için

(2 \cdot 1 - 5 \cdot 1)^3

Bir binom açılımında katsayılar toplamı, tüm değişkenlere

1

değeri verilerek elde edilir.

2

Parantez içindeki çarpma ve çıkarma işlemleri işlem önceliğine göre yapılır.

(2 - 5)^3 = (-3)^3

Üs alma işleminden önce parantez içindeki ifadenin değeri belirlenmelidir.

3

Elde edilen tabanın belirtilen kuvveti hesaplanır.

(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27

Negatif bir sayının tek kuvveti yine negatiftir.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar toplamı, ifadedeki tüm değişkenlerin yerine

1

yazılarak hesaplanır.

Hints

1

Bir açılımda tüm katsayıların toplamını bulmak için değişkenlerin yerine etkisiz eleman olan bir sayı yazmalısınız.

2

x

ve

y

gördüğün her yere

1

yazarak parantez içindeki işlemi yapmayı dene.

3

İşlem

(2-5)^3

haline gelir. Buradan

(-3)^3

değerini hesaplamalısın.

Practice More

Benzer şekilde sabit terimi bulmak için değişkenlerin yerine

0

yazıldığını unutmayın.

Estimated Time:45s

Question 269Question →

Bir kamu kurumunun hizmet içi eğitim programı kapsamında personele sunulan toplam $8$ farklı eğitim semineri bulunmaktadır. Bu seminerlerden $3$ tanesi aynı gün ve saatte verilmektedir, dolayısıyla bu $3$ seminerden en fazla $1$ tanesi seçilebilmektedir.

Eğitim programını tamamlamak için toplam $4$ seminer seçmek zorunda olan bir personel, seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

30

35

40

56

70

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Personel seçimini 35 farklı şekilde yapabilir.

Seçim işlemi iki alternatif durumda gerçekleşebilir: Ya çakışan 3 dersten 1'i ve diğerlerinden 3'ü seçilir (

30

yol), ya da çakışanlardan hiçbiri seçilmez ve diğerlerinden 4'ü seçilir (

5

yol). Toplamda

30+5=35

farklı seçim mümkündür.

Step-by-Step Solution

1

Seminerleri gruplandır

Grup A (Aynı saatte olanlar): 3 seminer. Grup B (Farklı saatte olanlar): 5 seminer. Hedef: Toplam 4 seminer seçmek.

Seçim kısıtlarını belirlemek için kümeleri ayırmak gerekir.

2

1. Durumu Hesapla (Aynı saatte olanlardan 1 tane seçilmesi)

\binom{3}{1} \times \binom{5}{3} = 3 \times 10 = 30

farklı seçim.

Aynı saatte olan 3 seminerden sadece 1'i seçilebilir. Geriye kalan 3 seminer, diğer 5 seminer arasından seçilmelidir.

3

2. Durumu Hesapla (Aynı saatte olanlardan hiç seçilmemesi)

\binom{3}{0} \times \binom{5}{4} = 1 \times 5 = 5

farklı seçim.

Aynı saatte olanlardan hiçbiri seçilmeyebilir. Bu durumda 4 seminerin tamamı diğer 5 seminer arasından seçilmelidir.

4

Tüm durumları topla

30 + 5 = 35

Bu iki durum birbirinden bağımsızdır (ayrık olaylar), bu yüzden sayma kurallarından toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Kısıtlı Kombinasyon Problemleri (Ayrık Durumların Toplanması)

Hints

1

Aynı saatte olan 3 seminerden aynı anda birden fazla seçim yapılamaz. Ya 1 tane seçmelisiniz ya da hiç seçmemelisiniz.

2

Problemi iki duruma ayırın: 1) Çakışanlardan 1 tane seçilen durum. 2) Çakışanlardan hiç seçilmeyen durum.

3

1. Durum:

\binom{3}{1} \times \binom{5}{3}

. 2. Durum:

\binom{3}{0} \times \binom{5}{4}

. Bu iki sonucu toplayın.

Estimated Time:1m 30s

Question 270Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem biriminde, veri tabanına erişim için 7 haneli bir güvenlik kodu oluşturulacaktır. Bu kodun oluşturulmasında kullanılacak rakamlar $0, 0, 2, 2, 2, 5, 5$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, sıfır rakamı ile başlamayan kaç farklı güvenlik kodu oluşturulabilir?

60

105

150

210

420

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Sıfır rakamı ile başlamayan 150 farklı güvenlik kodu oluşturulabilir.

Verilen rakamların (

0, 0, 2, 2, 2, 5, 5

) tüm dizilimlerinin sayısı tekrarlı permütasyon ile

\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = 210

olarak bulunur. Bu dizilimlerin

\frac{5}{7}

'si sıfır dışındaki rakamlarla (

2, 2, 2, 5, 5

) başlar. Dolayısıyla

210 \times \frac{5}{7} = 150

sonucu doğru cevabı verir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam dizilim sayısını hesapla

\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = 210

Eldeki 7 rakamın (3 tane 2, 2 tane 5, 2 tane 0) tüm tekrarlı dizilimlerini bulmak için tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.

2

Sıfır ile başlayan dizilim sayısını hesapla

\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = 60

Bir tane '0' rakamı başa sabitlendiğinde, kalan 6 hane için 3 tane 2, 2 tane 5 ve 1 tane 0 rakamının dizilimleri hesaplanır.

3

Geçerli durumları bul

210 - 60 = 150

Tüm dizilimlerden, sıfır ile başlayan (geçersiz) dizilimler çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon problemlerinde belirli bir rakamın başa gelmemesi kısıtı, toplam durumdan istenmeyen durumun çıkarılmasıyla veya oranlama yöntemiyle çözülür.

Hints

1

Tekrarlı rakamlar olduğu için toplam dizilim sayısını hesaplarken bölme işlemi yapmalısınız.

2

Toplam 7 rakamın 2 tanesi sıfırdır. Bu durumda dizilimlerin 5/7'si sıfır ile başlamaz.

3

Tüm dizilimlerden (210), sıfırın başa sabitlendiği durumları (60) çıkararak sonucu bulabilirsiniz.

Practice More

Rakamlardan biri '0' olduğunda basamak sayısının değişip değişmediğine dikkat edilen sayı yazma problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Toplam dizilim sayısını (210) bulduktan sonra, sıfır olmayan rakamların tüm rakamlara oranını kullanarak (

5/7

) doğrudan sonuca gidebilirsiniz:

210 \times \frac{5}{7} = 150

.

Estimated Time:1m 15s

Question 271Question →

Matematikte $n!$ ifadesi, $1$ ’den $n$ ’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını simgeler ve $0! = 1$ olarak kabul edilir.

Buna göre,

\frac{4! + 3!}{3! \cdot 0!}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

1

5

7

25

30

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İşlemin sonucu 5'tir.

Verilen işlemde

4! = 24

,

3! = 6

ve

0! = 1

olduğu bilinmektedir. Bu değerler yerlerine yazıldığında pay kısmında

24 + 6 = 30

, payda kısmında ise

6 \cdot 1 = 6

elde edilir. 30 sayısının 6 sayısına bölünmesiyle sonuç 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.

4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24

,

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

ve

0! = 1

.

İşlemi gerçekleştirmek için önce temel faktöriyel tanımlarını uygulamalıyız.

2

Pay ve payda kısmındaki işlemleri ayrı ayrı yapalım.

Pay:

24 + 6 = 30

, Payda:

6 \cdot 1 = 6

.

Kesir çizgisi, pay ve paydadaki işlemlerin öncelikli olarak tamamlanması gerektiğini belirtir.

3

Elde edilen pay değerini payda değerine bölerek sonucu bulalım.

\frac{30}{6} = 5

Bulunan değerlerin oranlanması işlemin sonucunu verir.

Key Concept

Faktöriyel hesaplama ve rasyonel ifadelerde işlem sırası

Hints

1

Öncelikle

4!

,

3!

ve

0!

değerlerini sayısal olarak bulun.

2

Kesrin payındaki toplamayı ve paydasındaki çarpmayı tamamlayın.

3

0! = 1

olduğunu unutmayın ve paydaki 30 sayısını paydadaki 6 sayısına bölün.

Practice More

Benzer şekilde faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak sadeleştirme alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

Paydaki ifadeyi

3!

parantezine alabilirsiniz:

3!(4 + 1) = 3! \cdot 5

. Paydada da

3! \cdot 0! = 3! \cdot 1

olduğu için

3!

ifadeleri birbirini götürür ve geriye sadece 5 kalır.

Estimated Time:1m 0s

Question 272Question →

n

bir doğal sayı olmak üzere,

\frac{43!}{24^n}

ifadesi bir tam sayıya eşittir.

Buna göre, $n$ 'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

13

14

19

21

39

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

n'nin alabileceği en büyük değer 13'tür.

43! sayısının içinde

24^n

çarpanını arıyoruz.

24 = 2^3 \cdot 3

olduğundan, her bir

n

değeri için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyacımız vardır. 43! içinde toplam 19 tane 3 çarpanı ve 39 tane 2 çarpanı vardır. Ancak 2'ler üçerli gruplar halinde kullanılacağı için

\lfloor 39/3 \rfloor = 13

grup oluşturulabilir. 13 grup

2^3

ve 19 tane 3 çarpanı arasından, daha az olan sayı (13) sonucu belirler. Bu nedenle en büyük değer 13'tür.

Step-by-Step Solution

1

Bölen sayının (24) asal çarpanlarını belirle.

24 = 2^3 \cdot 3^1

Bileşik sayının asal çarpanlarına ayrılması, hangi asal çarpanın sınırlayıcı olduğunu bulmak için gereklidir.

2

43! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (Büyük asal kuralı kontrolü).

\lfloor\frac{43}{3}\rfloor + \lfloor\frac{43}{9}\rfloor + \lfloor\frac{43}{27}\rfloor = 14 + 4 + 1 = 19

. En fazla

3^{19}

elde edilebilir.

Genellikle büyük asal çarpan sınırlayıcıdır, ancak üsler farklı olduğu için her iki çarpan da kontrol edilmelidir.

3

43! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.

\lfloor\frac{43}{2}\rfloor + \lfloor\frac{43}{4}\rfloor + \lfloor\frac{43}{8}\rfloor + \lfloor\frac{43}{16}\rfloor + \lfloor\frac{43}{32}\rfloor = 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39

.

Toplam 2 çarpanı sayısı hesaplanır.

4

24 sayısı

2^3

gerektirdiği için, mevcut 2 çarpanı sayısını 3'e bölerek grup sayısını bul.

\lfloor\frac{39}{3}\rfloor = 13

. Yani en fazla 13 adet

2^3

grubu oluşturulabilir.

Her bir 24 sayısı için üç adet 2 çarpanına ihtiyaç vardır.

5

Elde edilen grup sayılarını karşılaştırarak en küçüğünü (sınırlayıcı olanı) seç.

3 çarpanı ile 19 adet, 2 çarpanı ile 13 adet 24 sayısı oluşturulabilir.

13 < 19

olduğu için cevap 13'tür.

Bir sayının tam bölünebilmesi için tüm bileşenlerinin (hem

2^3

hem

3^1

) sağlanması gerekir. Daha az oluşturulabilen bileşen, toplam sayıyı sınırlar.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerin bileşik sayı kuvvetlerine bölünmesinde, tabandaki sayının asal çarpan kuvvetlerine (üslerine) dikkat edilmelidir. Her zaman büyük asal çarpan sınırlayıcı olmayabilir; üssü büyük olan küçük asal çarpan daha sınırlayıcı olabilir.

Hints

1

24 sayısını asal çarpanlarına ayırın:

24 = 2^3 \cdot 3^1

. Hangi asal çarpandan kaç tane gerektiğini belirleyin.

Practice More

Benzer mantıkla,

60! / 72^n

sorusunu çözerek sınırlayıcı çarpan kavramını pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 273Question →

\left( x^3 - \frac{a}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terimdir. Bu açılımın katsayılar toplamı

243

olduğuna göre,

x^{10}

'lu terimin katsayısı kaçtır?

5

10

20

-10

40

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İfadenin açılımında

x^{10}

'lu terimin katsayısı 10 olarak bulunur.

Verilen bilgiler ışığında önce sabit terim şartından açılımın kuvveti (

n=5

), ardından katsayılar toplamından bilinmeyen sabit (

a=-2

) bulunur. İfade

(x^3 + 2x^{-2})^5

olarak netleştikten sonra

x^{10}

'lu terimin katsayısı binom katsayısı ve terim katsayılarının çarpımıyla 10 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

n

değerini bulmak için baştan dördüncü terimin sabit terim olma özelliğini kullanın.

n = 5

Baştan

(r+1).

terim formülünde

r=3

alınır. Sabit terimde

x

'in kuvveti sıfır olmalıdır:

3(n-3) - 2(3) = 0 \Rightarrow 3n - 15 = 0 \Rightarrow n=5

bulunur.

2

Katsayılar toplamı bilgisini kullanarak

a

değerini hesaplayın.

a = -2

x=1

için katsayılar toplamı

(1^3 - a/1^2)^5 = 243

olur.

(1-a)^5 = 3^5 \Rightarrow 1-a = 3 \Rightarrow a = -2

elde edilir.

3

İfadeyi düzenleyip

x^{10}

'lu terimi veren

r

değerini belirleyin.

r = 1

İfade

(x^3 + 2/x^2)^5

halini alır. Genel terim:

\binom{5}{r} (x^3)^{5-r} (2x^{-2})^r

. Kuvvetler:

15 - 5r = 10 \Rightarrow r = 1

olmalıdır.

4

x^{10}

'lu terimin katsayısını hesaplayın.

10

Katsayı:

\binom{5}{1} \cdot (1)^4 \cdot (2)^1 = 5 \cdot 2 = 10

olur.

Key Concept

Binom açılımında terim bulma ve katsayılar toplamı özellikleri

Practice More

Binom açılımında baştan ve sondan terimlerin simetrisini kullanarak katsayı karşılaştırmaları yapabilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 274Question →

Bir kamu kurumunda yürütülen projelerin dağılımı ve bu projelerde yapılan denetimlerde tespit edilen "mevzuata aykırılık" oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Birim	Proje Dağılımı	Aykırılık Oranı
A Birimi	%40	%3
B Birimi	%35	%4
C Birimi	%25	%8

Kurumda rastgele seçilen bir proje dosyası denetlenmiş ve dosyanın mevzuata aykırı olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, bu dosyanın C Birimi tarafından hazırlanmış olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{4}

\frac{6}{23}

\frac{8}{15}

\frac{10}{23}

\frac{2}{25}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{10}{23}$

Answer

Seçilen hatalı dosyanın C birimine ait olma olasılığı

\frac{10}{23}

'tür.

Soruda, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (dosyanın hatalı olduğu), bu olayın kaynağının belirli bir grup olma olasılığı sorulmaktadır. Bu bir koşullu olasılık problemidir. Çözüm için 'Ağaç Diyagramı' mantığı veya Bayes formülü kullanılır.

1. Toplam Hata Olasılığı: Her birimin hata katkısı toplanır.
* P(Hata) = (A Oranı × A Hata) + (B Oranı × B Hata) + (C Oranı × C Hata)
* P(Hata) =

(0,40 \times 0,03) + (0,35 \times 0,04) + (0,25 \times 0,08)

* P(Hata) =

0,012 + 0,014 + 0,020 = 0,046

2. İstenen Durumun Olasılığı: Sadece C biriminden kaynaklanan hata.
* P(C

\cap

Hata) =

0,020

3. Sonuç: İstenen / Toplam
*

\frac{0,020}{0,046} = \frac{20}{46} = \frac{10}{23}

Step-by-Step Solution

1

Her bir birimden gelen hatalı dosya olasılıklarını (kesişim kümesi) hesapla.

A Birimi katkısı:

0,40 \times 0,03 = 0,012

B Birimi katkısı:

0,35 \times 0,04 = 0,014

C Birimi katkısı:

0,25 \times 0,08 = 0,020

Her birimin toplam proje içindeki payı ile o birimin hata yapma olasılığı çarpılarak, toplam hataya katkısı bulunur.

2

Toplam hatalı dosya olasılığını (örnek uzayı) bul.

Toplam P(Hata) =

0,012 + 0,014 + 0,020 = 0,046

Koşullu olasılık formülünün paydası için tüm olası 'mevzuata aykırı' durumların toplam olasılığı gerekir.

3

Bayes teoremi veya koşullu olasılık formülünü uygula: P(C | Hata) = P(C ve Hata) / P(Hata).

\frac{0,020}{0,046} = \frac{20}{46}

İstenen durum (C'den gelen hatalı dosya), tüm olası durumlara (toplam hatalı dosya) oranlanır.

4

Kesri sadeleştir.

\frac{20}{46} = \frac{10}{23}

Sonuç en sade haliyle ifade edilir.

Key Concept

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Uygulaması)

Hints

1

Önce, rastgele seçilen herhangi bir dosyanın hatalı çıkma olasılığını (toplam olasılık) hesaplayın. A, B ve C birimlerinin her birinden gelen hata katkılarını toplayın.

2

C biriminden gelen hata katkısı

0,25 \times 0,08

şeklindedir. Toplam hata olasılığı ise tüm birimlerin katkılarının toplamıdır.

3

İstenen olasılık = (C'nin Hata Katkısı) / (Toplam Hata Olasılığı) formülünü kullanın.

Practice More

Birimlerin hata oranları değişmeden, proje dağılımları eşit olsaydı sonucun nasıl değişeceğini inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Sayı vererek çözüm: Toplam 10.000 proje olduğunu varsayalım.
- A: 4.000 proje -> %3 hata -> 120 hatalı
- B: 3.500 proje -> %4 hata -> 140 hatalı
- C: 2.500 proje -> %8 hata -> 200 hatalı
- Toplam hatalı proje sayısı = 120 + 140 + 200 = 460.
- C'den gelen hatalı sayısı = 200.
- Olasılık = 200 / 460 = 20 / 46 = 10 / 23.

Estimated Time:2m 30s

Question 275Question →

x

ve

y

birer pozitif tam sayı olmak üzere,

\frac{x!}{y!} = 210

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $x + y$ toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

39

419

447

458

469

Show answer & explanation

Answer: 458

Answer

458

Eşitlik

\frac{x!}{y!} = 210

şeklinde düşünüldüğünde, sol taraf ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 210 sayısını veren ardışık sayı grupları şunlardır: Tek başına 210 (bu durumda

x=210, y=209

),

15 \cdot 14

(bu durumda

x=15, y=13

) ve

7 \cdot 6 \cdot 5

(bu durumda

x=7, y=4

). Bu üç durumdan elde edilen

x+y

değerleri sırasıyla 419, 28 ve 11'dir. Bunların toplamı 458 eder.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitliği düzenle ve anlamını belirle.

x! = 210 \cdot y!

ifadesi,

\frac{x!}{y!} = 210

demektir. Bu,

x

'ten başlayıp geriye doğru

y+1

'e kadar olan ardışık tam sayıların çarpımının 210 olduğunu gösterir.

Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapıldığında geriye ardışık çarpanlar kalır.

2

210 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazabileceğin tüm durumları araştır.

1. Durum (1 Sayı):

210 = 210

. Buradan

x=210

,

y=209

.
2. Durum (2 Sayı):

15 \cdot 14 = 210

. Buradan

x=15

,

y=13

.
3. Durum (3 Sayı):

7 \cdot 6 \cdot 5 = 210

. Buradan

x=7

,

y=4

.

Sayıları çarpanlarına ayırarak ardışıklık kontrolü yapılır.

3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360

olduğu için 4'lü çarpım yoktur.

3

Her durum için

x+y

değerini hesapla ve topla.

1. Durum:

210 + 209 = 419

2. Durum:

15 + 13 = 28

3. Durum:

7 + 4 = 11

Toplam:

419 + 28 + 11 = 458

Soruda olası tüm

x+y

değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesi sonucu ortaya çıkan ardışık çarpanlar özelliği.

Hints

1

\frac{x!}{y!}

ifadesi, sadeleştirme yapıldığında

x

'ten geriye doğru azalan ardışık sayıların çarpımına eşittir.

2

Çarpımları 210 eden ardışık sayı gruplarını arayın. Örneğin,

14

ve

15

sayılarını inceleyin.

3

210 sayısı üç farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olabilir: 1 sayı (kendisi), 2 sayı (

15 \cdot 14

) ve 3 sayı (

7 \cdot 6 \cdot 5

). Her biri için

x+y

hesaplayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 276Question →

(4x - 7y)^5

ifadesinin

x

ve

y

değişkenlerine göre binom açılımı yapıldığında elde edilen terim sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

4

5

6

10

11

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İfadenin kuvveti 5 olduğu için terim sayısı

5 + 1 = 6

olur.

Binom açılımı kuralına göre,

(ax + by)^n

ifadesinin açılımında

n+1

tane terim bulunur. Sorudaki ifadede kuvvet

n = 5

olarak verildiği için terim sayısı

5 + 1 = 6

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

İfadenin dış kuvvetini (n) belirleyin.

n = 5

Binom açılımında terim sayısını belirleyen temel unsur ifadenin toplam kuvvetidir.

2

Terim sayısı formülünü uygulayın.

Terim sayısı

= n + 1

Bir binom açılımında

(ax + by)^n

yapısı gereği,

a^n

ile başlayan ve

b^n

ile biten toplam

n+1

adet terim oluşur.

3

Verilen kuvveti formülde yerine koyun.

5 + 1 = 6

Kuvvet 5 olduğu için açılımda 6 terim bulunur.

Key Concept

Binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına eşittir.

Hints

1

Binom açılımında terim sayısı her zaman ifadenin kuvveti ile ilişkilidir.

2

(x+y)^n

açılımında terim sayısı

n+1

formülüyle hesaplanır.

3

İfadenin parantez dışındaki kuvveti 5'tir. Bu sayıya 1 ekleyerek sonucu bulabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla

(2x+y)^3

ifadesini açarak terim sayısının neden 4 olduğunu gözlemleyebilirsiniz.

Estimated Time:30s

Question 277Question →

Bir kamu kurumu tarafından düzenlenen hizmet içi eğitim seminerinde katılımcılara ikram edilmek üzere $4$ farklı meyve suyu ve $5$ farklı kurabiye çeşidi hazırlanmıştır. Bir katılımcı, ikramlardan bir meyve suyu ve bir kurabiye çeşidinden oluşan bir ara öğün seçimi yapacaktır. Buna göre, bu katılımcı seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

9

10

16

20

25

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Katılımcı, bir meyve suyu ve bir kurabiye seçimini 20 farklı şekilde yapabilir.

Sayma kurallarına göre, ayrık iki işlemden birincisi

n

yolla, ikincisi

m

yolla yapılabiliyorsa; bu iki işlemin birlikte (birinci VE ikinci şeklinde) yapılma sayısı

n \times m

kadardır. Soruda

4

meyve suyu ve

5

kurabiye olduğu için toplam seçim sayısı

4 \times 5 = 20

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Meyve suyu seçeneklerinin sayısını belirleyin.

4

Soruda

4

farklı meyve suyu olduğu belirtilmiştir.

2

Kurabiye seçeneklerinin sayısını belirleyin.

5

Soruda

5

farklı kurabiye olduğu belirtilmiştir.

3

Bağlacı analiz ederek sayma kuralını seçin.

Çarpma Yoluyla Sayma

Seçimler arasında 've' bağlacı kullanıldığı için (her iki gruptan da birer eleman seçildiği için) çarpma kuralı uygulanır.

4

Seçenek sayılarını çarpın.

4 \times 5 = 20

Çarpma yoluyla sayma kuralı gereği toplam durum sayısı, bağımsız olayların seçenek sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Çarpma Yoluyla Sayma

Hints

1

Sorudaki 've' bağlacına dikkat edin. Hem meyve suyu hem de kurabiye seçiliyor mu?

2

Bir meyve suyu seçtiğinizde, onun yanına kaç farklı kurabiye koyabileceğinizi düşünün.

3

Her meyve suyu için 5 farklı kurabiye seçeneği varsa, 4 meyve suyu için toplam durum sayısı

4 \times 5

olur.

Practice More

Eğer soru 'bir meyve suyu VEYA bir kurabiye' şeklinde sorulsaydı hangi işlemi yapmanız gerekirdi? Bu farkı düşünmek konuyu pekiştirecektir.

Alternative Method

Eşleştirme yöntemini kullanabilirsiniz. Meyve sularını M1, M2, M3, M4 ve kurabiyeleri K1, K2, K3, K4, K5 olarak adlandırırsanız; (M1, K1), (M1, K2) ... (M4, K5) şeklinde tüm ikilileri yazdığınızda toplam 20 ikili oluştuğunu görürsünüz.

Estimated Time:45s

Question 278Question →

$A$ , $B$ ve $C$ sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = 23! + 24!

B = 48! + 49!

C = 73! + 74!

Buna göre, $A \cdot B \cdot C$ çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?

30

33

36

38

40

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Çarpımın sondan 36 basamağı sıfırdır

Çarpımın sondan kaç basamağının sıfır olduğu, toplam 5 çarpanı sayısına eşittir. İfadeler

A=23! \cdot 25

,

B=48! \cdot 50

ve

C=73! \cdot 75

şeklinde düzenlendiğinde; faktöriyellerden sırasıyla 4, 10 ve 16 adet, katsayılar olan 25, 50 ve 75 sayılarının her birinden ise ikişer adet (toplam 6) 5 çarpanı gelir. Toplamda

4+2+10+2+16+2 = 36

adet 5 çarpanı, dolayısıyla 36 adet sıfır vardır.

Step-by-Step Solution

1

Bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının asal çarpanlarına ayrıldığında içindeki 5 çarpanlarının sayısına bakılır (2 çarpanı zaten boldur).

Hedef: Her bir ifadeyi (

A

,

B

,

C

) düzenleyip toplam 5 çarpanı sayısını bulmak.

10 = 2 \cdot 5

olduğundan, 10 çarpanlarının sayısı 5 çarpanlarının sayısı ile sınırlıdır.

2

A = 23! + 24!

ifadesini ortak çarpan parantezine alarak düzenle ve 5 çarpanlarını say.

A = 23!(1 + 24) = 23! \cdot 25 = 23! \cdot 5^2

.

23!

'de

\lfloor 23/5 \rfloor = 4

tane 5 var. Ekstra 2 tane de

25

'ten gelir. Toplam:

4 + 2 = 6

.

Genellikle küçük faktöriyelin sıfır sayısı alınır ancak burada katsayıdan (

25

) gelen ekstra 5'ler sonucu değiştirir.

3

B = 48! + 49!

ifadesini düzenle ve 5 çarpanlarını say.

B = 48!(1 + 49) = 48! \cdot 50 = 48! \cdot (2 \cdot 5^2)

.

48!

'de

9+1=10

tane 5 var. Ekstra 2 tane de

50

'den gelir. Toplam:

10 + 2 = 12

.

48/5

bölüm 9,

9/5

bölüm 1. Toplam 10. Katsayıdan gelen 2 adet 5 unutulmamalıdır.

4

C = 73! + 74!

ifadesini düzenle ve 5 çarpanlarını say.

C = 73!(1 + 74) = 73! \cdot 75 = 73! \cdot (3 \cdot 5^2)

.

73!

'de

14+2=16

tane 5 var. Ekstra 2 tane de

75

'ten gelir. Toplam:

16 + 2 = 18

.

73/5

bölüm 14,

14/5

bölüm 2. Toplam 16. Katsayıdan gelen 2 adet 5 eklenir.

5

Çarpım durumundaki ifadelerin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, her bir ifadenin sıfır sayılarını topla.

Toplam Sıfır Sayısı =

6 (A) + 12 (B) + 18 (C) = 36

.

10^a \cdot 10^b \cdot 10^c = 10^{a+b+c}

kuralı gereği üsler toplanır.

Key Concept

Faktöriyel toplamlarında sondan gelen sıfır sayısı bulunurken ifade ortak paranteze alınmalı ve katsayıdan gelen 5 çarpanları da hesaba katılmalıdır.

Hints

1

Bir ifadenin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için içindeki 5 çarpanlarının sayısını bulmalısınız.

2

n! + (n+1)!

şeklindeki ifadeleri doğrudan hesaplamak yerine

n!(1 + n + 1)

şeklinde ortak çarpan parantezine alarak çarpım haline getirin.

3

23! + 24! = 23! \cdot 25

olur. Sadece

23!

'deki değil,

25

'teki 5 çarpanlarını da saymayı unutmayın. Aynı işlemi diğerleri için de yapın.

Practice More

Benzer mantıkla,

A = 19! + 20!

ise A'nın sondan kaç basamağı sıfırdır? sorusunu çözerek katsayı etkisini pekiştirin.

Estimated Time:3m 0s

Question 279Question →

Bir İl Planlama ve Koordinasyon toplantısında, değerlendirilmek üzere gündeme alınan projeler şunlardır:

* 3 farklı tarım projesi,
* 3 farklı sanayi projesi,
* 2 farklı hizmet projesi.

Bu projelerin tamamı, toplantı gündeminde sırayla görüşülecektir. Gündem sıralaması oluşturulurken;

1. Toplantının açılışında ve kapanışında (ilk ve son sırada) birer hizmet projesinin yer alması,
2. Tüm sanayi projelerinin arka arkaya (hiç araya başka proje girmeden) görüşülmesi,

kurallarına uyulacaktır.

Buna göre, projelerin görüşülme sıralaması kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

144

288

576

720

1440

Show answer & explanation

Answer: 288

Answer

Projeler, verilen kısıtlamalara göre 288 farklı şekilde sıralanabilir.

Sıralama şu şekilde kurgulanır: [Hizmet] - [Aradaki 6 Proje] - [Hizmet].
1. Adım: İki uç noktaya 2 Hizmet projesi

2! = 2

farklı şekilde gelir.
2. Adım: Aradaki boşluğa 3 Tarım ve 3 Sanayi projesi gelecektir. Ancak Sanayi projeleri ayrılmayacağı için onları tek bir paket

(S_1S_2S_3)

gibi düşünürüz. Böylece elimizde sıralanacak 3 Tarım + 1 Sanayi Paketi = 4 birim olur. Bunlar

4! = 24

şekilde sıralanır.
3. Adım: Sanayi paketinin içindeki 3 proje de kendi arasında

3! = 6

şekilde yer değiştirebilir.
Sonuç:

2 \times 24 \times 6 = 288

.

Step-by-Step Solution

1

Toplam proje sayısını ve kısıtlamaları belirle.

Toplam 8 proje var (3 Tarım, 3 Sanayi, 2 Hizmet). Hizmetler uçlarda olacak, Sanayiler bir blok olacak.

Sıralama mantığını kurmak için elemanları tanımlamak gerekir.

2

Uç noktalara (1. ve 8. sıra) Hizmet projelerini yerleştir.

2 farklı Hizmet projesi, 2 farklı yere P(2,2) = 2! = 2 farklı şekilde yerleşebilir.

Hizmet projeleri için ayrılan yerler sabittir ancak kendi aralarında yer değiştirebilirler.

3

Sanayi projelerini tek bir blok olarak düşün ve orta kısmı düzenle.

3 Sanayi projesini [S] tek bir paket kabul edelim. Geriye kalan 3 Tarım projesi ile birlikte orta kısımda sıralanacak toplam nesne sayısı: 3 (Tarım) + 1 (Sanayi Bloğu) = 4 nesne. Bu 4 nesne 4! = 24 şekilde sıralanır.

Birlikte olma şartı (blok yöntemi), grubu tek bir eleman gibi düşünmeyi gerektirir.

4

Sanayi projelerinin kendi içindeki sıralamasını hesapla.

3 farklı Sanayi projesi, oluşturulan blok içerisinde kendi aralarında 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.

Blok içindeki elemanlar da yer değiştirebilir (iç permütasyon).

5

Tüm durumları çarpma kuralına göre birleştir.

2! (Hizmetler) x 4! (Orta Sıralama) x 3! (Sanayi İçi) = 2 x 24 x 6 = 288.

Olaylar birbirine bağlı ve ardışık gerçekleştiği için çarpma kuralı uygulanır.

Key Concept

Kısıtlamalı Permütasyon (Bloklama ve Sabit Yerleştirme Yöntemi)

Estimated Time:2m 0s

Question 280Question →

Matematikte $n$ bir doğal sayı olmak üzere, $n!$ ifadesi $1$ ’den $n$ ’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını ifade eder ve $0! = 1$ olarak kabul edilir.

Buna göre, $5! - 4! \div 3! + 0!$ işleminin sonucu kaçtır?

100

115

117

17

125

Show answer & explanation

Answer: 117

Answer

İşlemin doğru sonucu 117 olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan 117 değeri, faktöriyel tanımlarının (

5!=120, 4!=24, 3!=6, 0!=1

) doğru uygulanması ve ardından bölme işleminin çıkarma/toplama işlemlerinden önce yapılmasıyla elde edilir (

120 - 4 + 1 = 117

).

Step-by-Step Solution

1

İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.

5! = 120

,

4! = 24

,

3! = 6

ve

0! = 1

İşlemi gerçekleştirebilmek için temel faktöriyel tanımlarını sayısal değerlere dönüştürmemiz gerekir.

2

İşlem önceliğine dikkat ederek önce bölme işlemini yapalım.

24 \div 6 = 4

Matematiksel işlemlerde bölme ve çarpma, toplama ve çıkarmadan önce yapılır.

3

Bulduğumuz değerleri ana ifadede yerine koyarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım.

120 - 4 + 1 = 116 + 1 = 117

Bölme işlemi tamamlandıktan sonra kalan işlemler soldan sağa doğru sırayla gerçekleştirilir.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve İşlem Önceliği Kuralları

Hints

1

Öncelikle

5!, 4!, 3!

ve

0!

ifadelerinin sayısal değerlerini hesaplayarak işe başlayın.

2

Unutmayın; matematikte bölme işlemi toplama ve çıkarma işlemlerinden daha önceliklidir.

3

0!

değerinin

0

değil,

1

olduğunu hatırlayarak son toplama işlemini gerçekleştirin.

Practice More

Faktöriyel içeren bölme işlemlerinde sadeleştirme yapmayı öğrenmek için ardışık faktöriyel oranları (örneğin

7!/6!

) üzerine pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

İşlemi basitleştirmek için ortak paranteze alma denenebilir ancak bu soruda doğrudan değerleri yerine yazmak çok daha hızlı ve güvenli bir yöntemdir.

Estimated Time:45s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution