Examkin

Faktöriyel (Temel)

38 questions

Question 21Question →
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!−y!y!=119 \frac{x! - y!}{y!} = 119
eşitliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) sıralı ikilisi vardır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4 farklı (x,y) ikilisi vardır
Eşitlik x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 haline getirildiğinde, bu ifadenin xx'ten y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımı olduğu görülür. Çarpımları 120 eden ardışık sayı grupları şunlardır:
1) Sadece 120 (x=120,y=119x=120, y=119)
2) 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4 (x=6,y=3x=6, y=3)
3) 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 (x=5,y=1x=5, y=1)
4) 5⋅4⋅3⋅2⋅15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 (x=5,y=0x=5, y=0)
Toplamda 4 farklı ikili vardır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenle
x!y!−1=119  ⟹  x!y!=120 \frac{x!}{y!} - 1 = 119 \implies \frac{x!}{y!} = 120
Faktöriyel ifadesini yalnız bırakarak sayısal karşılığını bulmak için.
2
Faktöriyel bölme işleminin anlamını yorumla
x!y!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)=120 \frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) = 120
Bu ifade, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımının 120 olduğunu gösterir.
3
Ardışık sayıların çarpımı 120 olan durumları analiz et
Durumları inceleyelim:
1. Tek sayı: 120120. Burada x=120x=120, y=119y=119.
2. İki ardışık sayı: n(n+1)=120n(n+1)=120. 10⋅11=11010 \cdot 11 = 110, 11⋅12=13211 \cdot 12 = 132. (Çözüm yok)
3. Üç ardışık sayı: 4⋅5⋅6=1204 \cdot 5 \cdot 6 = 120. Burada en büyük sayı x=6x=6, en küçük çarpandan bir eksiği y=3y=3.
4. Dört ardışık sayı: 2⋅3⋅4⋅5=1202 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. Burada x=5x=5, y=1y=1.
5. Beş ardışık sayı: 1⋅2⋅3⋅4⋅5=1201 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. Burada x=5x=5, y=0y=0 (Çünkü 0!=10!=1).
120 sayısını veren tüm ardışık çarpan kombinasyonlarını bulmak için.
4
Bulunan çözüm kümelerini listele
Çözüm ikilileri (x,y)(x,y): (120,119)(120, 119), (6,3)(6, 3), (5,1)(5, 1), (5,0)(5, 0).
Toplam çözüm sayısını belirlemek için.

Key Concept

Ardışık Çarpanlar ve Faktöriyel Tanımı

Hints

1
Eşitliği x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 şeklinde düzenleyerek sadeleştirme yapın.
2
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, xx sayısından geriye doğru ardışık sayıların çarpımıdır. Hangi ardışık sayıların çarpımı 120 eder?
3
120=5!120 = 5! olduğu için x=5x=5 olabilir. Ayrıca 120=6⋅5⋅4120 = 6 \cdot 5 \cdot 4 olduğunu ve 120=120120 = 120 olduğunu da düşünün. 0! değerini unutmayın.

Practice More

Benzer mantıkla x!y!=24\frac{x!}{y!} = 24 eşitliğini sağlayan kaç ikili olduğunu araştırın.

Alternative Method

120 sayısının çarpanlarını yazıp ardışık grupları manuel olarak kontrol etmek: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12... Buradan 4-5-6 ve 2-3-4-5 grupları görülebilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 22Question →

10!+11!10! + 11! toplamının en büyük asal böleni aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Verilen toplamın en büyük asal böleni 7'dir.
Verilen 10!+11!10! + 11! ifadesi 10!(1+11)=12⋅10!10!(1 + 11) = 12 \cdot 10! şeklinde yazılabilir. 10!10! sayısının içinde bulunan asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir. 12 sayısının asal çarpanları ise 2 ve 3'tür. Bu çarpanlar arasında 11 sayısı bulunmadığı için toplamın asal çarpanları {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} kümesidir ve en büyüğü 7'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi en küçük faktöriyel cinsinden ortak paranteze alalım.
10!+11!=10!+11⋅10!=10!(1+11)=10!⋅1210! + 11! = 10! + 11 \cdot 10! = 10!(1 + 11) = 10! \cdot 12
Toplama işlemini çarpma işlemine dönüştürerek asal çarpanları belirlemeyi kolaylaştırmak için.
2
10!10! çarpanının asal çarpanlarını listeleyelim.
2, 3, 5, 7
n!n! sayısının asal çarpanları nn sayısına eşit veya nn sayısından küçük olan tüm asal sayılardır.
3
12 çarpanının asal çarpanlarını belirleyelim.
12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 olduğundan asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
Çarpımın diğer parçasından gelebilecek ek asal çarpanları kontrol etmek için.
4
Elde edilen tüm asal çarpanlar arasından en büyük olanı seçelim.
{2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} kümesindeki en büyük sayı 7'dir.
Soruda ifadenin en büyük asal böleni (çarpanı) istendiği için.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde toplama işlemi ortak çarpan parantezine alınarak çarpım haline getirilir.
Question 23Question →
6!(3!)2−0! \frac{6!}{(3!)^2} - 0!

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

İşlemin sonucu 19'dur.
Verilen işlemde öncelikle pay ve paydadaki değerler belirlenir. 6!=7206! = 720 ve 3!=63! = 6 değerleri yerlerine yazıldığında, 72062=72036=20\frac{720}{6^2} = \frac{720}{36} = 20 elde edilir. Son adımda 0!=10! = 1 olduğu bilindiğinden, 20−1=1920 - 1 = 19 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Paydadaki 3!3! ifadesinin değerini ve karesini hesaplayın.
3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ve (3!)2=62=36(3!)^2 = 6^2 = 36
İşlem önceliğine göre parantez içi ve üslü ifade öncelikle hesaplanmalıdır.
2
Pay kısmındaki 6!6! değerini hesaplayın veya sadeleştirme için açın.
6!=7206! = 720 (veya 6×5×4×3!6 \times 5 \times 4 \times 3!)
Bölme işlemini gerçekleştirmek için faktöriyel değerinin bilinmesi gerekir.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştirin.
72036=20\frac{720}{36} = 20
Faktöriyel değerlerinin birbirine oranı hesaplanır.
4
0!0! değerini belirleyin ve son işlemi yapın.
0!=10! = 1 olduğundan 20−1=1920 - 1 = 19
Matematiksel tanım gereği 0 faktöriyel 1'e eşittir.

Key Concept

Faktöriyel tanımı (n!n!) ve özel durum olarak 0!=10! = 1 kabulü.

Hints

1
Faktöriyel tanımına göre 3!=3×2×13! = 3 \times 2 \times 1 olduğunu hatırlayın.
2
0!0! değerinin her zaman 1 olduğunu unutmayın.
3
6!6! sayısını tam hesaplamak yerine 6×5×4×3!6 \times 5 \times 4 \times 3! şeklinde açıp paydadaki ifadelerle sadeleştirmeyi deneyin.

Practice More

0! ve 1! değerlerinin ikisinin de 1'e eşit olduğunu pekiştirmek için benzer sadeleştirme soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sadeleştirme yöntemi: 6⋅5⋅4⋅3!3!⋅6=6⋅20⋅3!3!⋅6=20\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 6} = \frac{6 \cdot 20 \cdot 3!}{3! \cdot 6} = 20 ardından 20−1=1920 - 1 = 19 işlemi yapılabilir.
Estimated Time:45s
Question 24Question →
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
n!(n−2)!+(n+1)!n!=145 \frac{n!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)!}{n!} = 145
eşitliği veriliyor. Buna göre, bu eşitliği sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 12'dir.
Verilen eşitlikte her iki terim ayrı ayrı sadeleştirilir. İlk terim n!(n−2)!=n(n−1)\frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1) olur. İkinci terim (n+1)!n!=n+1\frac{(n+1)!}{n!} = n+1 olur. Bu iki ifade toplandığında n2−n+n+1=145n^2 - n + n + 1 = 145 denklemi elde edilir. Buradan n2=144n^2 = 144 bulunur ve nn pozitif olduğu için cevap 12'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemdeki faktöriyel ifadelerini sadeleşecek şekilde aç.
n(n−1)(n−2)!(n−2)!+(n+1)n!n!=145\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)n!}{n!} = 145
Faktöriyel tanımı gereği n!=n(n−1)(n−2)!n! = n(n-1)(n-2)! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n! şeklinde yazılabilir.
2
Kesirleri sadeleştir.
n(n−1)+(n+1)=145n(n-1) + (n+1) = 145
Pay ve paydadaki ortak faktöriyel çarpanları birbirini götürür.
3
İfadeyi düzenle ve denklemi çöz.
n2−n+n+1=145⇒n2+1=145n^2 - n + n + 1 = 145 \Rightarrow n^2 + 1 = 145
Parantez dağıtılıp toplama işlemi yapıldığında −n-n ve +n+n birbirini sıfırlar.
4
nn değerini bul.
n2=144⇒n=12n^2 = 144 \Rightarrow n = 12
nn pozitif bir tam sayı olduğu için 144144'ün pozitif karekökü alınır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayı küçüğüne benzetilerek açılır ve sadeleştirme yapılır. Ardından elde edilen cebirsel denklem çözülür.

Hints

1
Faktöriyel ifadelerini kesirden kurtarmak için büyük olan faktöriyeli paydadaki küçük olana kadar açın. Örneğin: n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!
2
Birinci kesir n(n−1)n(n-1), ikinci kesir ise n+1n+1 şeklinde sadeleşir. Bu ifadeleri toplayarak denklemi kurun.
3
n(n−1)+(n+1)=145n(n-1) + (n+1) = 145 denklemini düzenlediğinizde n2+1=145n^2 + 1 = 145 elde edeceksiniz. Hangi sayının karesinin 1 fazlası 145 eder?

Practice More

Benzer mantıkla (n+2)!n!−(n+1)!(n−1)!=K\frac{(n+2)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = K tipindeki soruları çözerek sadeleştirme becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek çözüm: Sırayla şıklardaki değerleri n yerine koyun. C şıkkı (12) için: 12!10!+13!12!=(12⋅11)+13=132+13=145\frac{12!}{10!} + \frac{13!}{12!} = (12 \cdot 11) + 13 = 132 + 13 = 145. Eşitlik sağlandığı için doğru cevap 12'dir.
Estimated Time:2m 30s
Question 25Question →
xx bir doğal sayı olmak üzere,
(x+2)!+(x+1)!(x+2)!−(x+1)!=97 \frac{(x+2)! + (x+1)!}{(x+2)! - (x+1)!} = \frac{9}{7}
olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen faktöriyel eşitliğini sağlayan x değeri 6'dır.
Verilen ifadede büyük olan faktöriyeller (x+1)!(x+1)! cinsinden açılıp pay ve payda ortak paranteze alındığında, kesir sadeleşerek x+3x+1\frac{x+3}{x+1} halini alır. Bu ifade 97\frac{9}{7}'ye eşitlendiğinde yapılan içler dışlar çarpımı sonucunda x=6x=6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
(x+2)!(x+2)! ifadesini (x+1)!(x+1)! cinsinden yazın.
(x+2)!=(x+2)⋅(x+1)!(x+2)! = (x+2) \cdot (x+1)!
Faktöriyel ifadelerini sadeleştirebilmek için büyük olanı küçük olanın cinsinden açmak gerekir.
2
Kesrin payını ve paydasını (x+1)!(x+1)! parantezine alın.
(x+1)!⋅[(x+2)+1](x+1)!⋅[(x+2)−1] \frac{(x+1)! \cdot [(x+2) + 1]}{(x+1)! \cdot [(x+2) - 1]}
Toplama ve çıkarma işlemlerini çarpım durumuna getirerek sadeleştirme yapabilmek için ortak çarpan parantezi kullanılır.
3
(x+1)!(x+1)! ifadelerini sadeleştirin ve denklemi düzenleyin.
x+3x+1=97 \frac{x+3}{x+1} = \frac{9}{7}
Pay ve paydadaki ortak çarpanlar birbirini yok eder, geriye sadece xx değişkenine bağlı basit bir kesir kalır.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak xx değerini bulun.
7(x+3)=9(x+1)⇒7x+21=9x+9⇒12=2x⇒x=67(x+3) = 9(x+1) \Rightarrow 7x + 21 = 9x + 9 \Rightarrow 12 = 2x \Rightarrow x = 6
Orantı özelliğini kullanarak birinci dereceden denklemi çözüp bilinmeyene ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken küçük olan faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirme yapılır.

Hints

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan (x+1)!(x+1)! cinsinden açmayı deneyin.
2
Ortak paranteze aldıktan sonra pay ve paydadaki (x+1)!(x+1)! terimlerini sadeleştirerek denklemi basitleştirin.
3
Sadeleşmiş hali x+3x+1=97\frac{x+3}{x+1} = \frac{9}{7} olan denklemi içler dışlar çarpımı yaparak çözün.

Practice More

Benzer şekilde (n+1)!−n!=5⋅n!(n+1)! - n! = 5 \cdot n! gibi temel sadeleştirme sorularını çözerek hız kazanabilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek deneme yapabilirsiniz. Örneğin x=6x=6 için 8!+7!8!−7!=7!(8+1)7!(8−1)=97\frac{8!+7!}{8!-7!} = \frac{7!(8+1)}{7!(8-1)} = \frac{9}{7} eşitliğinin sağlandığını görebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 26Question →
Verilen bir nn doğal sayısı için,
(n+1)!+n!=80⋅(n−1)! (n+1)! + n! = 80 \cdot (n-1)!
eşitliği sağlandığına göre, nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Verilen denklemi sağlayan nn değeri 8'dir.
Denklemdeki (n+1)!(n+1)! ve n!n! ifadeleri (n−1)!(n-1)! cinsinden açılıp sadeleştirildiğinde n2+2n−80=0n^2 + 2n - 80 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü olan 8, eşitliği sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel ifadelerini en küçük olan (n−1)!(n-1)! cinsinden açalım.
(n+1)⋅n⋅(n−1)!+n⋅(n−1)!=80⋅(n−1)! (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! + n \cdot (n-1)! = 80 \cdot (n-1)!
Denklemin her iki tarafında ortak bir terim elde ederek sadeleştirme yapabilmek için.
2
Sol tarafı (n−1)!(n-1)! parantezine alalım.
(n−1)!⋅[(n+1)⋅n+n]=80⋅(n−1)! (n-1)! \cdot [(n+1) \cdot n + n] = 80 \cdot (n-1)!
Ortak çarpan parantezine alma kuralı uygulandı.
3
Her iki tarafı (n−1)!(n-1)! ifadesine bölerek sadeleştirelim.
(n+1)⋅n+n=80 (n+1) \cdot n + n = 80
nn bir doğal sayı olduğundan (n−1)!(n-1)! sıfırdan farklıdır ve sadeleşebilir.
4
Denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem haline getirelim.
n2+n+n=80⇒n2+2n−80=0 n^2 + n + n = 80 \Rightarrow n^2 + 2n - 80 = 0
Parantez dağıtıldı ve tüm terimler bir tarafa toplandı.
5
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
(n+10)(n−8)=0 (n+10)(n-8) = 0
Çarpımları -80, toplamları +2 olan sayılar +10 ve -8'dir.
6
Kökleri belirleyelim.
n=−10 n = -10 veya n=8 n = 8
nn bir doğal sayı olması gerektiği için n=8n = 8 değerini seçeriz.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme yapmak için büyük ifadeler küçük olanın cinsinden açılır (n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!).

Hints

1
Faktöriyel ifadelerini en küçük olanın ((n−1)! (n-1)! ) cinsinden yazmayı deneyin.
2
İfadeyi (n−1)!(n-1)! parantezine alıp sadeleştirdiğinizde karşınıza nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem çıkacaktır.
3
n2+2n−80=0n^2 + 2n - 80 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak pozitif olan kökü bulun.

Practice More

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında her zaman en küçük faktöriyel terimini baz alarak paranteze alma yöntemini kullanın.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan denklemde yerine koyarak da çözüm aranabilir. Örneğin 8 için 9!+8!=8!(9+1)=10⋅8!=10⋅8⋅7!=80⋅7!9! + 8! = 8!(9+1) = 10 \cdot 8! = 10 \cdot 8 \cdot 7! = 80 \cdot 7! olduğu görülerek hızlıca doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 27Question →

n>2n > 2 olan bir doğal sayı olmak üzere,

(n!)2−[(n−1)!]2n!+(n−1)!−(n2−3n)⋅(n−2)!=168 \frac{(n!)^2 - [(n-1)!]^2}{n! + (n-1)!} - (n^2 - 3n) \cdot (n-2)! = 168

eşitliği verilmektedir. Buna göre, nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen denklemde kesirli ifade sadeleştirildiğinde n!−(n−1)!n! - (n-1)! elde edilir. Tüm ifade (n−2)!(n-2)! parantezine alındığında, parantez içi (n+1)(n+1) olarak sadeleşir. Sonuçta (n−2)!⋅(n+1)=168(n-2)! \cdot (n+1) = 168 denklemi bulunur ve bu denklemi sağlayan tek doğal sayı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Kesirli ifadenin payını iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayır ve sadeleştir.
((n)!−(n−1)!)(n!+(n−1)!)n!+(n−1)!=n!−(n−1)! \frac{((n)! - (n-1)!)(n! + (n-1)!)}{n! + (n-1)!} = n! - (n-1)!
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullanmak işlemi basitleştirir.
2
Elde edilen ifadeyi (n−2)!(n-2)! parantezine alacak şekilde düzenle.
n!−(n−1)!=(n−1)!(n−1)=(n−2)!(n−1)2 n! - (n-1)! = (n-1)!(n-1) = (n-2)!(n-1)^2
Tüm terimleri en küçük faktöriyel olan (n−2)!(n-2)! cinsinden yazmak ortak paranteze almayı sağlar.
3
Ana denklemde yerine koy ve (n−2)!(n-2)! parantezine al.
(n−2)![(n−1)2−(n2−3n)]=168 (n-2)! [ (n-1)^2 - (n^2 - 3n) ] = 168
Ortak çarpan parantezi polinom ifadelerini birleştirmeyi sağlar.
4
Köşeli parantez içindeki polinomu sadeleştir.
(n2−2n+1)−(n2−3n)=n+1 (n^2 - 2n + 1) - (n^2 - 3n) = n + 1
Cebirsel sadeleştirme sonucu basit bir çarpan elde edilir.
5
Son denklemi çöz: (n−2)!⋅(n+1)=168(n-2)! \cdot (n+1) = 168.
n=6n=6 için: 4!⋅7=24⋅7=1684! \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168. Doğru değer 6'dır.
Deneme-yanılma yoluyla veya 168'in çarpanlarına bakılarak n değeri bulunur.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde iki kare farkı özdeşliği ve ortak paranteze alma yöntemiyle sadeleştirme.

Hints

1
Kesirli ifadenin pay kısmında x2−y2x^2 - y^2 (iki kare farkı) özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
Kesirli ifadeyi sadeleştirdikten sonra, tüm terimleri en küçük faktöriyel olan (n−2)!(n-2)! cinsinden ifade edip ortak paranteze alın.

Practice More

Faktöriyel ve polinom sadeleştirmesi içeren benzer sorular çözerek pratik yapın.
Estimated Time:4m 0s
Question 28Question →
AA ve BB pozitif tam sayılar olmak üzere,
21!⋅A=B3 21! \cdot A = B^3
eşitliğini sağlayan en küçük AA sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 65

Answer

65
21! sayısının asal çarpanlarını incelediğimizde, üsleri 3'ün katı olmayan asallar 5, 11, 13, 17 ve 19'dur. Bu asalları tamamlayacak en küçük A sayısının asal çarpanları da bu sayılardır. Toplamları 5+11+13+17+19=655+11+13+17+19=65 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
21! sayısının asal çarpanlarının kuvvetlerini Legendre formülü ile hesapla.
218⋅39⋅54⋅73⋅111⋅131⋅171⋅1912^{18} \cdot 3^9 \cdot 5^4 \cdot 7^3 \cdot 11^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1 \cdot 19^1
Bir sayının tam küp olabilmesi için tüm asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı olması gerekir.
2
Küp olma şartını sağlamayan (üssü 3'ün katı olmayan) asal çarpanları belirle.
5 (üssü 4), 11 (üssü 1), 13 (üssü 1), 17 (üssü 1), 19 (üssü 1). (2'nin üssü 18 ve 3'ün üssü 9, 7'nin üssü 3 zaten 3'ün katıdır).
Tam küp olması için eksik kuvvetleri A sayısı tamamlamalıdır.
3
A sayısının içermesi gereken en küçük asal çarpanları belirle.
A=52⋅112⋅132⋅172⋅192A = 5^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17^2 \cdot 19^2 olmalıdır (üsleri 3'ün katına tamamlamak için).
54⋅52=565^4 \cdot 5^2 = 5^6, 111⋅112=11311^1 \cdot 11^2 = 11^3 vb. hepsi küp olur.
4
A sayısının farklı asal çarpanlarını topla.
5+11+13+17+19=655 + 11 + 13 + 17 + 19 = 65
Soru bizden A'nın değerini değil, asal çarpanlarının toplamını istemektedir.

Key Concept

Asal Çarpanlara Ayırma ve Tam Kuvvet Özellikleri

Hints

1
Önce 21! sayısını asal çarpanlarına ayırın (Legendre formülünü kullanın).
2
Bir sayının tam küp (B3B^3) olabilmesi için, asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı (3, 6, 9...) olması gerekir.
3
21! içinde üssü 3'ün katı olmayan asalları bulun. A sayısı bu eksik üsleri tamamlamalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla n!⋅x=y2n! \cdot x = y^2 (tam kare) yapan en küçük x değerini soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Asalları tek tek kontrol etmek yerine, sadece 'kritik' asallara (üssü 3'ün katı olma ihtimali düşük olan büyük asallara) odaklanıp, küçük asalları (2, 3, 5, 7) kontrol ederek hız kazanılabilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 29Question →

nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,

(n+2)!+(n+1)!(n+1)!−n!=152 \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+1)! - n!} = \frac{15}{2}

olduğuna göre, nn değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Verilen denklem sadeleştirildiğinde n değeri 2 olarak bulunur.
İfadenin payı (n+1)!(n+1)! parantezine alındığında (n+1)!(n+3)(n+1)!(n+3), paydası ise n!n! parantezine alındığında n!⋅nn! \cdot n elde edilir. (n+1)!(n+1)! ifadesi (n+1)⋅n!(n+1) \cdot n! şeklinde açılıp n!n! terimleri sadeleştirildiğinde denklem (n+1)(n+3)/n=15/2(n+1)(n+3)/n = 15/2 halini alır. Bu denklem çözüldüğünde n tam sayısı 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak faktöriyel parantezine alın.
Pay: (n+1)!(n+2+1)=(n+1)!(n+3)(n+1)!(n+2+1) = (n+1)!(n+3)
Payda: n!(n+1−1)=n!⋅nn!(n+1-1) = n! \cdot n
İfadedeki karmaşıklığı azaltmak ve sadeleştirme yapabilmek için en küçük faktöriyel terimi cinsinden yazmak gerekir.
2
Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ifadesini n!n! cinsinden açarak sadeleştirme yapın.
n!(n+1)(n+3)n!⋅n=(n+1)(n+3)n\frac{n!(n+1)(n+3)}{n! \cdot n} = \frac{(n+1)(n+3)}{n}
n!n! terimleri birbirini götürerek rasyonel bir ifade elde edilmesini sağlar.
3
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyin.
n2+4n+3n=152⇒2n2+8n+6=15n\frac{n^2 + 4n + 3}{n} = \frac{15}{2} \Rightarrow 2n^2 + 8n + 6 = 15n
Kesirli ifadeyi standart bir ikinci dereceden denklem formuna getirmek için bu işlem uygulanır.
4
Denklemi sıfıra eşitleyin ve çarpanlarına ayırın.
2n2−7n+6=0⇒(2n−3)(n−2)=02n^2 - 7n + 6 = 0 \Rightarrow (2n - 3)(n - 2) = 0
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
5
Bulunan köklerden pozitif tam sayı olanı belirleyin.
n1=32n_1 = \frac{3}{2} ve n2=2n_2 = 2. nn bir tam sayı olduğu için n=2n = 2.
Soruda n değerinin bir pozitif tam sayı olması gerektiği belirtilmiştir.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler en küçük olanın parantezine alınır.

Hints

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük olan n!n! cinsinden yazmayı deneyin.
2
(n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n! dönüşümlerini yapın.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde nn cinsinden rasyonel bir ifade kalacak, içler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulun.

Practice More

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında her zaman en küçük terimi referans alarak paranteze alma işlemini pekiştirmek için benzer oran soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan denklemde yerine koyarak deneme-yanılma yoluyla hangi değerin 7,5 sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz. Örneğin n=2n=2 için (24+6)/(6−2)=30/4=7,5(24+6)/(6-2) = 30/4 = 7,5 olduğu görülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 30Question →
7!−6!−5!5! \frac{7! - 6! - 5!}{5!}

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

İşlemin sonucu 35'tir.
Verilen işlemde pay kısmındaki her bir terim 5!5! cinsinden ifade edilebilir. 7!=42×5!7! = 42 \times 5! ve 6!=6×5!6! = 6 \times 5! şeklinde yazıldığında pay kısmı 42×5!−6×5!−1×5!42 \times 5! - 6 \times 5! - 1 \times 5! olur. Bu ifade 5!5! parantezine alındığında 5!×(42−6−1)5! \times (42 - 6 - 1) elde edilir. Paydadaki 5!5! ile sadeleştiğinde geriye 42−7=3542 - 7 = 35 kalmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Payda bulunan büyük faktöriyelli ifadeleri, paydadaki en küçük terim olan 5!5! cinsinden parçalayarak yazın.
7!=7×6×5!=42×5!7! = 7 \times 6 \times 5! = 42 \times 5! ve 6!=6×5!6! = 6 \times 5!
Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için tüm terimleri en küçük faktöriyel cinsinden ifade etmek işlem kolaylığı sağlar.
2
Elde edilen bu ifadeleri orijinal denklemde pay kısmına yerleştirin.
42×5!−6×5!−1×5!5! \frac{42 \times 5! - 6 \times 5! - 1 \times 5!}{5!}
Tüm terimlerin ortak bir çarpan (5!5!) üzerinden görülmesini sağlar.
3
Pay kısmını 5!5! ortak çarpan parantezine alın ve paydadaki 5!5! ile sadeleştirin.
5!×(42−6−1)5!=42−6−1 \frac{5! \times (42 - 6 - 1)}{5!} = 42 - 6 - 1
Çarpım durumundaki aynı ifadeler sadeleşerek değişkeni ortadan kaldırır ve geriye sadece tam sayılar kalır.
4
Kalan sayısal değerlerle toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayın.
42−7=3542 - 7 = 35
İşlem önceliğine ve terimlerin işaretlerine dikkat ederek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme

Hints

1
Faktöriyel sorularında sadeleştirme yapmak için her zaman büyük sayıları küçük sayılara benzeterek açmaya çalışın.
2
7!7! sayısını 7×6×5!7 \times 6 \times 5! ve 6!6! sayısını 6×5!6 \times 5! olarak yazarak payı yeniden düzenleyin.
3
Pay kısmını 5!5! ortak parantezine aldığınızda parantez içinde 42−6−142 - 6 - 1 kalacağını göreceksiniz. Buradaki '1' sayısı, en sondaki 5!5! teriminden gelmektedir.

Practice More

İçinde 0! (0 faktöriyel) bulunan sadeleştirme sorularını çözerek 0!'in 1'e eşit olduğu kuralını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Sayıların değerleri çok büyük olmadığı için doğrudan hesaplama da yapılabilir: 7!=50407! = 5040, 6!=7206! = 720, 5!=1205! = 120. Buradan (5040−720−120)/120=4200/120=35(5040 - 720 - 120) / 120 = 4200 / 120 = 35 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:1m 0s
Question 31Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
n!+(n+1)!+(n+2)!n!+(n+1)!=3n−12 \frac{n! + (n+1)! + (n+2)!}{n! + (n+1)!} = 3n - 12
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Eşitliği sağlayan nn değeri 7'dir.
Verilen kesirli ifade sadeleştirildiğinde n+2n+2 sonucu elde edilir. Bu ifade 3n−123n-12'ye eşitlendiğinde n=7n=7 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine (n!n!) alarak düzenle.
Pay: n![1+(n+1)+(n+1)(n+2)]n![1 + (n+1) + (n+1)(n+2)]
Payda: n![1+(n+1)]n![1 + (n+1)]
Faktöriyel içeren toplama işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için ifadeler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
2
Parantez içindeki cebirsel ifadeleri düzenle ve tam kare özdeşliğini fark et.
Pay: n![1+n+1+n2+3n+2]=n![n2+4n+4]=n!(n+2)2n![1 + n + 1 + n^2 + 3n + 2] = n![n^2 + 4n + 4] = n!(n+2)^2
Payda: n![n+2]n![n+2]
n2+4n+4n^2 + 4n + 4 ifadesi (n+2)2(n+2)^2 tam karesidir.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştir.
n!(n+2)2n!(n+2)=n+2 \frac{n!(n+2)^2}{n!(n+2)} = n+2
Pay ve paydadaki n!n! ve (n+2)(n+2) çarpanları birbirini götürür.
4
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen eşitliğin sağ tarafına eşitle ve denklemi çöz.
n+2=3n−12  ⟹  14=2n  ⟹  n=7n + 2 = 3n - 12 \implies 14 = 2n \implies n = 7
Birinci dereceden denklem çözümü yapılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve cebirsel sadeleştirme.

Hints

1
Pay ve paydadaki tüm terimleri, en küçük faktöriyel olan n!n! parantezine almayı deneyin.
2
n!n! parantezine aldıktan sonra parantez içindeki ifadeleri açarak toplama işlemini yapın. Pay kısmında (n+2)2(n+2)^2 ifadesini görmeye çalışın.

Practice More

Benzer bir sadeleştirme sorusu olarak: (n!)2+(n+1)!n!=17\frac{(n!)^2 + (n+1)!}{n!} = 17 denklemini sağlayan n değerini bulunuz.

Alternative Method

Şıklardan giderek nn yerine değerler verilebilir. Ancak bu yöntem faktöriyel hesaplamaları büyüyeceği için zaman alıcı olabilir. Örneğin n=5n=5 için payda 5!+6!=120+720=8405! + 6! = 120 + 720 = 840 gibi büyük sayılarla uğraşmayı gerektirir.
Estimated Time:2m 30s
Question 32Question →
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
Kn=1!⋅2!⋅3!⋅⋯⋅n! K_n = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \dots \cdot n!
şeklinde tanımlanıyor.

KnK_n sayısının sondan 24 basamağı sıfır olduğuna göre, nn kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Sondan 24 basamağı sıfır yapan nn değeri 17'dir.
Sondan gelen sıfır sayısı, çarpımdaki toplam 5 çarpanı sayısına eşittir. 1!1!'den 14!14!'e kadar olan faktöriyellerin sıfır sayıları toplamı 15'tir. 15!, 16! ve 17! sayılarının her biri sonuca 3'er sıfır daha ekler. 15+3+3+3=2415 + 3 + 3 + 3 = 24 olduğundan doğru cevap 17'dir.

Step-by-Step Solution

1
Problemi analiz et
KnK_n çarpımının sonundaki sıfır sayısı, çarpımı oluşturan her bir faktöriyel sayısının (1!,2!,…,n!1!, 2!, \dots, n!) sonundaki sıfır sayılarının toplamına eşittir. Bir sayının sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına bağlıdır.
Çarpma işleminde tabanların toplanması kuralı gereği, her terimden gelen 10 çarpanı (2 ve 5 çifti) sonuca bir sıfır ekler. 2 çarpanı bol olduğu için belirleyici olan 5 çarpanıdır.
2
Aralıkların sıfır katkılarını hesapla
1!1! ile 4!4! arası: 0 sıfır.
5!5! ile 9!9! arası: Her biri 1 sıfır (Toplam 5 terim).
10!10! ile 14!14! arası: Her biri 2 sıfır (Toplam 5 terim).
15!15! ile 19!19! arası: Her biri 3 sıfır.
k<5k < 5 için 5 çarpanı yoktur. 5≤k<105 \le k < 10 için bir adet 5 çarpanı vardır. 10≤k<1510 \le k < 15 için iki adet (5 ve 10'dan gelen) 5 çarpanı vardır. 15≤k<2015 \le k < 20 için üç adet (5, 10, 15'ten gelen) 5 çarpanı vardır.
3
Kümülatif toplamı hesapla
n=4n=4 için toplam: 0
n=9n=9 için toplam: 0+5×1=50 + 5 \times 1 = 5
n=14n=14 için toplam: 5+5×2=155 + 5 \times 2 = 15
Şu ana kadar 14!14!'e kadar olan çarpımda toplam 15 tane sıfır elde ettik. Hedefimiz 24 sıfıra ulaşmak.
4
Hedef değere ulaşana kadar adım adım ilerle
n=15n=15 için: 15+3=1815 + 3 = 18
n=16n=16 için: 18+3=2118 + 3 = 21
n=17n=17 için: 21+3=2421 + 3 = 24
15'ten itibaren her faktöriyel sayı (15!, 16!, 17!...) toplam sıfır sayısına 3 ekler. n=17n=17 olduğunda tam olarak 24 sıfıra ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel çarpımlarında sondan gelen sıfır sayısı kümülatif olarak artar ve her terimin içindeki 5 çarpanı sayısı kadar ekleme yapılır.

Hints

1
Bir sayının sonundaki sıfır sayısı, o sayının içindeki 5 çarpanlarının sayısı ile belirlenir. KnK_n bir çarpım olduğu için, her bir faktöriyelden gelen 5 çarpanlarını toplamalısınız.
2
1!1! ile 4!4! arasında 5 çarpanı yoktur. 5!5! ile 9!9! arasındaki her sayı 1 tane 5 çarpanı (1 sıfır) getirir. 10!10! ile 14!14! arası 2 tane getirir. Bu şekilde birikimli toplayın.
3
14!14!'e kadar toplam 15 sıfır birikir. 15!15! sayısı ise 3 tane 5 çarpanı içerir. 15'ten itibaren 24'e ulaşmak için kaç adım gitmeniz gerektiğini hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla KnK_n sayısının sondan kaç basamağının 9 olduğunu soran sorular (yani Kn+1K_n + 1 sayısı) da bu konuyu pekiştirir.

Alternative Method

Tablo yöntemi: nn değerlerini gruplayarak (1-4, 5-9, 10-14, 15-19) her grubun toplam sıfır katkısını yazıp kümülatif toplamın 24 olduğu noktayı bulabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Question 33Question →
xx ve yy doğal sayılar olmak üzere,
x!=120⋅y!x! = 120 \cdot y!
eşitliğini sağlayan xx ve yy değerleri için, x+yx+y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 259

Answer

Doğru cevap, x+y toplamının alabileceği tüm değerlerin toplamı olan 259'dur.
Verilen eşitliği sağlayan dört farklı (x,y)(x,y) ikilisi vardır. Bunlar:
1. x=120,y=119x=120, y=119 (Toplam: 239)
2. x=6,y=3x=6, y=3 (Çünkü 6.5.4=1206.5.4=120, Toplam: 9)
3. x=5,y=1x=5, y=1 (Çünkü 120=5!120=5!, 1!=11!=1, Toplam: 6)
4. x=5,y=0x=5, y=0 (Çünkü 120=5!120=5!, 0!=10!=1, Toplam: 5)
Bu değerlerin toplamı 239+9+6+5=259239 + 9 + 6 + 5 = 259 eder.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği x!/y!=120x! / y! = 120 şeklinde düzenleyip 120 sayısını ardışık çarpanlar şeklinde yazabileceğimiz durumları analiz et.
x!=120⋅y!x! = 120 \cdot y! ifadesini incelemeye başla.
Faktöriyel tanımı gereği x!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)⋅y!x! = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) \cdot y! olduğundan, 120120 sayısı ardışık sayıların çarpımı olmalıdır.
2
1. Durum: Ardışık tek sayı durumu. x!=120⋅119!x! = 120 \cdot 119! olabilir.
x=120x=120 ve y=119y=119. Bu durumda x+y=120+119=239x+y = 120 + 119 = 239.
Her nn sayısı için n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! eşitliği geçerlidir.
3
2. Durum: Ardışık üç sayı çarpımı. 120=6⋅5⋅4120 = 6 \cdot 5 \cdot 4.
x=6x=6 seçilirse, 6⋅5⋅4⋅3!=6!6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! = 6! olacağından y=3y=3 olur. x+y=6+3=9x+y = 6+3=9.
6!/3!=(720/6)=1206! / 3! = (720/6) = 120 eşitliği sağlanır.
4
3. Durum: 120 sayısının kendisinin bir faktöriyel olup olmadığını kontrol et. 120=5!120 = 5!.
x=5x=5 seçilirse, 5!=120⋅y!⇒120=120⋅y!⇒y!=15! = 120 \cdot y! \Rightarrow 120 = 120 \cdot y! \Rightarrow y!=1 olur.
y!=1y!=1 eşitliğini sağlayan iki farklı doğal sayı vardır: y=1y=1 ve y=0y=0.
5
y!=1y!=1 durumundan gelen kökleri bul ve toplamları hesapla.
y=1y=1 için x=5⇒x+y=6x=5 \Rightarrow x+y = 6. y=0y=0 için x=5⇒x+y=5x=5 \Rightarrow x+y = 5.
0!=10! = 1 ve 1!=11! = 1 olduğu unutulmamalıdır.
6
Bulunan tüm x+yx+y değerlerini topla.
239+9+6+5=259239 + 9 + 6 + 5 = 259.
Soruda tüm olası değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyel kavramında n!=n(n−1)!n! = n(n-1)! özelliği ve 0!=10! = 1 kuralı.

Hints

1
Faktöriyel tanımını hatırlayın: x!/y!x! / y! ifadesi ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 120 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
2
120 sayısı 5!5!'e eşittir. Bu durumda y!y! kaç olmalıdır? y!=1y! = 1 denkleminin kaç farklı doğal sayı çözümü vardır?
3
Olası durumlar: 1) 120⋅119!120 \cdot 119!, 2) 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4 (yani 6!'den geriye), 3) 5!⋅1!5! \cdot 1!, 4) 5!⋅0!5! \cdot 0!. 0!=10!=1 olduğunu unutmayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 34Question →
AA sayısı,
A=5⋅5!+6⋅6!+7⋅7!+⋯+44⋅44! A = 5 \cdot 5! + 6 \cdot 6! + 7 \cdot 7! + \dots + 44 \cdot 44!
şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, A+120A + 120 sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10
Verilen toplam, k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! özdeşliği kullanıldığında teleskopik bir seri oluşturur. Terimler sadeleştiğinde A=45!−5!A = 45! - 5! elde edilir. Soruda A+120A + 120 sorulduğu ve 120=5!120 = 5! olduğu için, istenen değer 45!45!'dir. 45! sayısının sonundaki sıfır sayısı, 45 sayısının sürekli 5'e bölünmesiyle bulunan bölümlerin toplamıdır (9 + 1 = 10).

Step-by-Step Solution

1
Verilen AA ifadesindeki her terimi k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! özdeşliğini kullanarak yeniden yaz.
A=(6!−5!)+(7!−6!)+⋯+(45!−44!)A = (6! - 5!) + (7! - 6!) + \dots + (45! - 44!)
Faktöriyel serilerinde teleskopik toplama yöntemi ile sadeleştirme yapmak için bu dönüşüm gereklidir.
2
Teleskopik toplamdaki birbirini götüren terimleri sadeleştir.
A=−5!+45!=45!−120A = -5! + 45! = 45! - 120
Serideki her pozitif terim bir sonraki parantezdeki negatif terimle sadeleşir, geriye sadece en büyük pozitif ve en küçük negatif terim kalır.
3
Soruda istenen A+120A + 120 ifadesini hesapla.
A+120=(45!−120)+120=45!A + 120 = (45! - 120) + 120 = 45!
Sabit sayıların sadeleşmesiyle işlem tek bir faktöriyel ifadesine dönüşür.
4
45! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 5 çarpanlarının sayısını hesapla (Legendre Teoremi).
45÷5=945 \div 5 = 9 (Bölüm), 9÷5=19 \div 5 = 1 (Bölüm). Toplam: 9+1=109 + 1 = 10
Bir faktöriyel ifadesinin sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 asal çarpanının sayısına eşittir. Bu da sayının sürekli 5'e bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Faktöriyel toplam sembolü özdeşlikleri (k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k!) ve faktöriyelde sondan gelen sıfır sayısının hesabı.

Hints

1
Genel terimi (k+1−1)⋅k!(k+1-1) \cdot k! şeklinde düşünerek parantezi açmayı deneyin.
2
k⋅k!=(k+1)!−k!k \cdot k! = (k+1)! - k! eşitliğini kullanarak toplamı açık bir şekilde yazın. Birçok terimin birbirini götürdüğünü göreceksiniz.
3
Toplamın sonucu 45!−5!45! - 5! olacaktır. Soruda bu değere 120 (yani 5!) eklenmesi isteniyor. Sonuçta sadece 45!45! kalır.

Practice More

Benzer teleskopik toplam mantığıyla çözülen 1k!−1(k+1)!\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} serileri üzerine çalışılması önerilir.

Alternative Method

Küçük değerler için örüntü kurarak: 1⋅1!=2!−1!1\cdot1! = 2!-1!, 1⋅1!+2⋅2!=3!−1!1\cdot1! + 2\cdot2! = 3!-1!. Buradan genelleme ile ∑k=1nk⋅k!=(n+1)!−1!\sum_{k=1}^n k\cdot k! = (n+1)! - 1! olduğu görülebilir. Soruda başlangıç 5 olduğu için (45)!−5!(45)! - 5! bulunur.
Estimated Time:4m 0s
Question 35Question →
xx bir tam sayı olmak üzere,
5⋅(x−3)!−3⋅(3−x)!+(x+1)!(x−1)! \frac{5 \cdot (x-3)! - 3 \cdot (3-x)! + (x+1)!}{(x-1)!}
ifadesi bir reel sayı belirtmektedir.

Buna göre, bu ifadenin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

İfadenin tanımlı olması için x = 3 olmalıdır, bu durumda işlem sonucu 13 bulunur.
Faktöriyel ifadesinin tanımlı olabilmesi için içinin negatif olmaması gerekir. Soruda verilen (x−3)!(x-3)! ve (3−x)!(3-x)! ifadelerinin her ikisinin de tanımlı olabilmesi için x−3≥0x-3 \ge 0 ve 3−x≥03-x \ge 0 şartları sağlanmalıdır. Bu durum sadece x=3x=3 olduğunda mümkündür. Denklemde x=3x=3 yazıldığında sonuç 13 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel tanım aralığını belirle
x-3 ≥ 0 ve 3-x ≥ 0 olmalıdır.
Faktöriyel işlemi sadece doğal sayılar (negatif olmayan tam sayılar) için tanımlıdır.
2
x değerini bul
x ≥ 3 ve x ≤ 3 eşitsizliklerinin ortak çözümü x = 3'tür.
Her iki faktöriyel içinin de negatif olmaması ancak x'in 3 olmasıyla mümkündür.
3
x = 3 değerini ifadeye yerleştir
Pay: 5·0! - 3·0! + 4! = 5(1) - 3(1) + 24 = 26. Payda: 2! = 2.
0! = 1 ve 4! = 24 değerleri kullanılarak işlem yapılır.
4
Sonucu hesapla
26 / 2 = 13
Bölme işlemi tamamlanır.

Key Concept

Faktöriyel Tanım Aralığı ve 0!

Hints

1
Faktöriyel işareti içindeki sayıların (n!) negatif olamayacağını hatırlayın.
2
Hem (x−3)!(x-3)! hem de (3−x)!(3-x)! ifadelerinin tanımlı olabilmesi için x kaç olmalıdır?
3
x−3≥0x-3 \ge 0 ve 3−x≥03-x \ge 0 eşitsizliklerini aynı anda sağlayan tek tam sayı x=3'tür. İfadede x yerine 3 yazarak hesaplayın.

Practice More

İç içe köklerde tanım aralığı soruları (örn: x−2+2−x\sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}) ile bu konuyu pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 36Question →
xx bir tam sayı olmak üzere,
K=(x−2)!+(7−x)!(x−5)! K = \frac{(x-2)! + (7-x)!}{(x-5)!}
ifadesi bir tam sayıya eşittir.

Buna göre, KK sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

KK ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 33'tür.
Faktöriyel tanımı gereği xx sayısı 5≤x≤75 \le x \le 7 aralığında olmalıdır. Bu aralıktaki değerler (5,6,75, 6, 7) yerine konulduğunda sadece x=5x=5 ve x=6x=6 için sonuç tam sayı çıkmaktadır (88 ve 2525). Bu değerlerin toplamı 33'tür.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel işleminin tanımlı olması için parantez içlerinin negatif olmaması şartını incele.
x−2≥0⇒x≥2x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2
7−x≥0⇒x≤77-x \ge 0 \Rightarrow x \le 7
x−5≥0⇒x≥5x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5
Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır.
2
Elde edilen eşitsizliklerin kesişim kümesini bularak xx in alabileceği değerleri belirle.
Ortak çözüm aralığı 5≤x≤75 \le x \le 7 şeklindedir. Yani xx değerleri {5,6,7}\{5, 6, 7\} olabilir.
Tüm faktöriyel ifadelerinin aynı anda tanımlı olması gerekir.
3
Belirlenen xx değerlerini yerine koyarak KK değerlerini hesapla ve tam sayı olup olmadıklarını kontrol et.
1. Durum (x=5x=5): K=3!+2!0!=6+21=8K = \frac{3! + 2!}{0!} = \frac{6+2}{1} = 8 (Tam sayı)
2. Durum (x=6x=6): K=4!+1!1!=24+11=25K = \frac{4! + 1!}{1!} = \frac{24+1}{1} = 25 (Tam sayı)
3. Durum (x=7x=7): K=5!+0!2!=120+12=60,5K = \frac{5! + 0!}{2!} = \frac{120+1}{2} = 60,5 (Tam sayı değil)
Soruda ifadenin bir tam sayıya eşit olduğu belirtilmiştir.
4
Bulunan uygun KK değerlerini topla.
8+25=338 + 25 = 33
Sonuç istenmektedir.

Key Concept

Faktöriyel Tanım Aralığı ve Tam Sayı Kavramı

Hints

1
Faktöriyel işlemi sadece doğal sayılar için tanımlıdır (n≥0n \ge 0). Öncelikle xx'in hangi aralıkta olabileceğini belirleyin.
2
Eşitsizlik sistemini (x−2≥0x-2 \ge 0, 7−x≥07-x \ge 0, x−5≥0x-5 \ge 0) çözerek xx'in alabileceği 3 olası değeri bulun.
3
Bulduğunuz xx değerlerini yerine koyarak işlemi yapın. Sonucun 'tam sayı' olup olmadığını kontrol etmeyi unutmayın.
Estimated Time:2m 0s
Question 37Question →
Tahtada yazılı olan
5!3!⋅2!−0! \frac{5!}{3! \cdot 2!} - 0!
işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İşlemin sonucu 9 olarak bulunur.
İşlemde verilen faktöriyel ifadeleri açıldığında 5!=1205! = 120, 3!=63! = 6, 2!=22! = 2 ve 0!=10! = 1 olduğu görülür. Paydadaki 3!⋅2!3! \cdot 2! çarpımı 12 eder. 120/12=10120 / 12 = 10 elde edilir. Son olarak 10−0!=10−1=910 - 0! = 10 - 1 = 9 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel değerlerini hesaplayınız.
5!=1205! = 120, 3!=63! = 6, 2!=22! = 2 ve 0!=10! = 1
İşlemdeki terimlerin sayısal değerlerini bulmak için faktöriyel tanımı uygulanır.
2
Paydadaki çarpma işlemini yapınız.
3!⋅2!=6⋅2=123! \cdot 2! = 6 \cdot 2 = 12
Bölme işleminden önce paydadaki ifadenin değerinin netleşmesi gerekir.
3
Bölme işlemini gerçekleştiriniz.
12012=10\frac{120}{12} = 10
Kesirli ifadenin değerini bulmak için pay paydaya bölünür.
4
Çıkarma işlemini yaparak sonuca ulaşınız.
10−1=910 - 1 = 9
Bulunan değerden 0!0! değeri çıkarılarak nihai sonuç elde edilir.

Key Concept

Faktöriyel tanımı ve temel özellikler

Hints

1
Faktöriyel hesaplamalarına en küçük sayılardan başlayın: 0!0!, 2!2! ve 3!3! değerlerini hatırlayın.
2
0!0! değerinin özel bir durum olduğunu ve 1'e eşit olduğunu unutmayın.
3
5!5! değerini 120120 olarak hesapladıktan sonra paydadaki 3!⋅2!=123! \cdot 2! = 12 değerine bölün.

Practice More

Benzer bir pekiştirme için 4!+3!3!\frac{4! + 3!}{3!} işlemini çözebilirsiniz.

Alternative Method

5!5! ifadesini 5⋅4⋅3!5 \cdot 4 \cdot 3! şeklinde açarak paydadaki 3!3! ile sadeleştirebilirsiniz. Bu durumda işlem 5⋅42!−0!=202−1=10−1=9\frac{5 \cdot 4}{2!} - 0! = \frac{20}{2} - 1 = 10 - 1 = 9 halini alır.
Estimated Time:45s
Question 38Question →
xx ve yy doğal sayıları,
x!y!=72 \frac{x!}{y!} = 72
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 159

Answer

159
Verilen x!y!=72\frac{x!}{y!} = 72 eşitliği, xx'ten y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 72 olduğunu gösterir. 72 sayısı ya tek başına 72 olarak (bu durumda x=72,y=71x=72, y=71) ya da 9⋅89 \cdot 8 olarak (bu durumda x=9,y=7x=9, y=7) yazılabilir. Bu durumlardan elde edilen x+yx+y değerleri sırasıyla 72+71=14372+71=143 ve 9+7=169+7=16'dır. Bu değerlerin toplamı 143+16=159143+16=159 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel tanımını kullanarak ifadeyi sadeleştirin.
x!y!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)=72\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) = 72 ifadesi elde edilir. Bu, sonucun ardışık sayıların çarpımı olması gerektiği anlamına gelir.
Faktöriyel bölme işlemi, büyük faktöriyelden küçük faktöriyele kadar olan ardışık sayıların çarpımını verir.
2
72 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazabileceğimiz durumları inceleyin.
Durum 1: Tek bir sayı olabilir. 72=7272 = 72. Durum 2: Ardışık iki sayının çarpımı olabilir. 72=9⋅872 = 9 \cdot 8.
Bir tam sayı, kendisi olarak veya ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir.
3
Her iki durum için x ve y değerlerini ve toplamlarını bulun.
Durum 1 için: x=72x=72, sadeleştirmenin 7272 olması için y=71y=71 olmalıdır. x+y=72+71=143x+y = 72+71=143. Durum 2 için: Çarpım 9⋅89 \cdot 8 olduğundan x=9x=9, seri 8'de bittiği için y=7y=7 olmalıdır. x+y=9+7=16x+y = 9+7=16.
xx serinin en büyük terimi, yy ise serinin bittiği terimin bir eksiğidir.
4
Bulunan farklı toplam değerlerini toplayın.
143+16=159143 + 16 = 159.
Soruda alabileceği farklı değerlerin toplamı sorulmuştur.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerin ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazılabilmesi ve çarpan analizi.
PreviousPage 2 / 2
Faktöriyel (Temel) Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2 | Examkin