Examkin

Faktöriyel (Temel)

38 questions

Question 1Question →
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
n!+(n−1)!(n−1)!+(n−2)!=356 \frac{n! + (n-1)!}{(n-1)! + (n-2)!} = \frac{35}{6}
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, (n−2)!(n-2)! ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 6 olduğundan, (n-2)! = 24 sonucuna ulaşılır.
Verilen eşitlikte pay (n-1)! parantezine, payda ise (n-2)! parantezine alındığında ifade n−1/n=35/6 n - 1/n = 35/6 haline gelir. Buradan n=6 bulunur. İstenen değer (6-2)! = 24'tür.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine alarak sadeleştirme işlemi başlatılır.
Pay: (n-1)!(n + 1), Payda: (n-2)!(n-1 + 1) = (n-2)!n
Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimlerin çarpım durumuna getirilmesi gerekir.
2
Elde edilen kesirli ifadeyi düzenleyerek denklemi n cinsinden yazılır.
(n−1)!(n+1)(n−2)!n=(n−1)n+1n=n2−1n=n−1n \frac{(n-1)!(n+1)}{(n-2)!n} = (n-1)\frac{n+1}{n} = \frac{n^2-1}{n} = n - \frac{1}{n}
(n-1)! / (n-2)! ifadesi (n-1)'e eşittir.
3
Denklem çözülerek n değeri bulunur.
n−1n=356⇒n−1n=6−16⇒n=6 n - \frac{1}{n} = \frac{35}{6} \Rightarrow n - \frac{1}{n} = 6 - \frac{1}{6} \Rightarrow n=6
Denklemin yapısı incelendiğinde n=6 olduğu görülür (veya 6n² - 35n - 6 = 0 denklemi çözülür).
4
Bulunan n değeri kullanılarak istenen (n-2)! değeri hesaplanır.
(6−2)!=4!=24 (6-2)! = 4! = 24
Soruda n değil, (n-2)! sorulmaktadır.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denkleme Dönüştürme

Hints

1
Pay kısmını (n−1)!(n-1)!, payda kısmını (n−2)!(n-2)! parantezine alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
İfade sadeleştiğinde n2−1n \frac{n^2-1}{n} veya n−1n n - \frac{1}{n} biçiminde bir denklem elde edeceksiniz.
3
n−1n=6−16 n - \frac{1}{n} = 6 - \frac{1}{6} benzerliğini kullanarak n değerini doğrudan görebilirsiniz.

Practice More

n! = A * B! formatındaki sadeleştirme sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

İkinci dereceden denklem çözümü yerine şıklardan gitmek mümkün olmasa da, n için tam sayı değerleri (4, 5, 6...) denklemde yerine koyularak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 2Question →
(n+1)!+n!(n+1)!−n!=43 \frac{(n+1)! + n!}{(n+1)! - n!} = \frac{4}{3}

eşitliğini sağlayan nn doğal sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen eşitlikte faktöriyel tanımı gereği (n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! dönüşümü yapılır. İfade n!(n+1)+n!n!(n+1)−n!\frac{n!(n+1) + n!}{n!(n+1) - n!} haline gelir. Pay ve payda n!n! parantezine alındığında n!(n+2)n!(n)\frac{n!(n+2)}{n!(n)} elde edilir. n!n! ler sadeleşince n+2n=43\frac{n+2}{n} = \frac{4}{3} denklemi kalır. İçler dışlar çarpımı ile 3n+6=4n3n+6=4n ve buradan n=6n=6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan n! cinsinden ifade etmek için (n+1)! ifadesini (n+1).n! şeklinde aç.
(n+1)⋅n!+n!(n+1)⋅n!−n!=43 \frac{(n+1) \cdot n! + n!}{(n+1) \cdot n! - n!} = \frac{4}{3}
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimlerin ortak çarpan parantezine alınması gerekir.
2
Payı ve paydayı n! ortak parantezine al.
n!(n+1+1)n!(n+1−1)=43 \frac{n!(n + 1 + 1)}{n!(n + 1 - 1)} = \frac{4}{3}
Ortak çarpan olan n! ifadelerini sadeleştirmek için gruplandırma yapılır.
3
n! ifadelerini sadeleştir ve parantez içindeki işlemleri yap.
n+2n=43 \frac{n+2}{n} = \frac{4}{3}
Kesrin pay ve paydasındaki aynı çarpanlar birbirini götürür.
4
Elde edilen basit denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yap.
3(n+2)=4n  ⟹  3n+6=4n 3(n+2) = 4n \implies 3n + 6 = 4n
Bilinmeyen n değerini bulmak için doğrusal denklem çözülür.
5
n değerini yalnız bırak.
6=4n−3n  ⟹  n=6 6 = 4n - 3n \implies n = 6
Denklemin çözümü tamamlanır.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme

Hints

1
Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde, büyük olan faktöriyeli küçük olan faktöriyele benzeterek açmalısınız.
2
(n+1)!(n+1)! ifadesini (n+1)⋅n!(n+1) \cdot n! şeklinde yazıp, hem payı hem de paydayı n!n! ortak parantezine almayı deneyin.
3
İfadeyi sadeleştirdiğinizde n+2n=43\frac{n+2}{n} = \frac{4}{3} denklemini elde edeceksiniz.

Practice More

Benzer mantıkla, iki bilinmeyenli faktöriyel oranları (x!/y! = 30 gibi) üzerine çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardaki değerleri n yerine koyarak deneme yapılabilir. Örneğin n=6 için: (7!+6!)/(7!-6!) = 6!(7+1)/6!(7-1) = 8/6 = 4/3 eşitliği sağlar.
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
n!+(n−1)!(n−1)!=n2−19 \frac{n! + (n-1)!}{(n-1)!} = n^2 - 19
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 5'tir.
Verilen eşitlikte sol taraf faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirildiğinde n+1n+1 ifadesi elde edilir. Bu ifade n2−19n^2 - 19 ifadesine eşitlendiğinde n2−n−20=0n^2 - n - 20 = 0 denklemi bulunur. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafındaki kesirli ifadeyi sadeleştirin.
n!+(n−1)!(n−1)!=n⋅(n−1)!+(n−1)!(n−1)! \frac{n! + (n-1)!}{(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)! + (n-1)!}{(n-1)!}
Faktöriyel tanımı gereği n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! şeklinde yazılabilir.
2
Pay kısmını (n−1)!(n-1)! ortak parantezine alıp sadeleştirme yapın.
(n−1)!⋅(n+1)(n−1)!=n+1 \frac{(n-1)! \cdot (n + 1)}{(n-1)!} = n + 1
Pay ve paydadaki (n−1)!(n-1)! çarpanları birbirini götürür.
3
Bulunan sadeleşmiş ifadeyi denklemde yerine yazıp ikinci dereceden denklemi kurun.
n+1=n2−19⇒n2−n−20=0 n + 1 = n^2 - 19 \Rightarrow n^2 - n - 20 = 0
Eşitliğin her iki tarafı düzenlenerek tüm terimler bir tarafa toplanır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözün.
(n−5)(n+4)=0 (n - 5)(n + 4) = 0
Çarpımları -20, toplamları -1 olan sayılar -5 ve +4'tür.
5
Uygun n değerini belirleyin.
n=5n = 5 veya n=−4n = -4. Ancak nn pozitif tam sayı olduğu için sonuç 55'tir.
Negatif sayıların faktöriyel tanımı doğal sayılar kümesinde geçerli değildir.

Key Concept

Faktöriyel içeren cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci dereceden denkleme dönüştürülmesi.
Question 4Question →
mm ve nn birer doğal sayı olmak üzere,
m!n!=120 \frac{m!}{n!} = 120
eşitliğini sağlayan kaç farklı (m,n)(m, n) sıralı ikilisi vardır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Eşitliği sağlayan 4 farklı (m,n)(m, n) sıralı ikilisi vardır.
Verilen eşitlik m!n!=120\frac{m!}{n!} = 120 şeklinde olup, bu ifade n+1n+1'den mm'ye kadar olan ardışık sayıların çarpımının 120 olduğunu belirtir. 120 sayısını ardışık çarpanlar şeklinde yazabileceğimiz durumlar şunlardır:
1. 120120 (Tek terim) →m=120,n=119\rightarrow m=120, n=119
2. 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 (Üç terim) →m=6,n=3\rightarrow m=6, n=3
3. 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 (Dört terim) →m=5,n=1\rightarrow m=5, n=1
4. 5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 (Beş terim) →m=5,n=0\rightarrow m=5, n=0

Bu durumlara karşılık gelen (m,n)(m, n) ikilileri (120,119),(6,3),(5,1)(120, 119), (6, 3), (5, 1) ve (5,0)(5, 0) olmak üzere toplam 4 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin anlamını analiz et
m!n!=120\frac{m!}{n!} = 120 ifadesi, n!n!'den sonra gelen ve mm'ye kadar olan ardışık sayıların çarpımının 120 olduğunu gösterir. Yani m(m−1)...(n+1)=120m(m-1)...(n+1) = 120 olmalıdır.
Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapıldığında geriye ardışık sayıların çarpımı kalır.
2
120 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazma durumlarını incele (Tek terim)
Sadece bir sayı varsa: 120120. Bu durumda m=120m=120 ve sadeleşen kısım n=119n=119 olur. İkili: (120,119)(120, 119).
Her sayı kendisinin 1 eksiğinin faktöriyeline bölümüne eşittir.
3
Ardışık iki veya üç sayının çarpımı durumlarını incele
İki sayı: x(x−1)=120x(x-1)=120 →\rightarrow Tam sayı çözüm yok (11⋅10=11011 \cdot 10 = 110, 12⋅11=13212 \cdot 11 = 132).
Üç sayı: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Bu durumda en büyük sayı m=6m=6, çarpıma girmeyen en büyük sayı n=3n=3 olur. İkili: (6,3)(6, 3).
120 sayısının çarpanlarını kontrol ederek ardışık dizilimler aranır.
4
Ardışık dört ve beş sayının çarpımı durumlarını incele
Dört sayı: 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120. Burada m=5m=5, n=1n=1 olur. İkili: (5,1)(5, 1).
Beş sayı: 5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. Burada m=5m=5, n=0n=0 olur (0!=10! = 1). İkili: (5,0)(5, 0).
1 çarpanı sonucu değiştirmediği için n=1n=1 ve n=0n=0 durumları ayrı ayrı çözüm üretir.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Ardışık Çarpanlar

Hints

1
m!n!\frac{m!}{n!} ifadesi, mm'den geriye doğru nn'ye kadar olan sayıların çarpımı demektir (n hariç).
2
120 sayısını ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı yolla yazabileceğinizi düşünün.
3
Çarpanların sonuna 1 eklemek sonucu değiştirmez ancak n değerini değiştirir (1!=11! = 1 ve 0!=10! = 1).

Practice More

Benzer mantıkla x!y!=24\frac{x!}{y!} = 24 eşitliğini sağlayan ikilileri bulunuz.
Estimated Time:2m 0s
Question 5Question →
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
(n+2)!+(n+1)!+n!(n+2)!−(n+1)!−n!=75 \frac{(n+2)! + (n+1)! + n!}{(n+2)! - (n+1)! - n!} = \frac{7}{5}
eşitliğini sağlayan nn sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 5'tir.
Verilen eşitlikte pay ve paydadaki terimler n!n! parantezine alındığında, pay kısmı (n+2)2(n+2)^2, payda kısmı ise n(n+2)n(n+2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ifade n+2n\frac{n+2}{n} haline gelir. Bu ifade 7/57/5'e eşitlendiğinde, içler dışlar çarpımı sonucunda n=5n=5 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kesrin pay ve paydasındaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan n!n! parantezine alalım.
Pay: n![(n+2)(n+1)+(n+1)+1]n![(n+2)(n+1) + (n+1) + 1], Payda: n![(n+2)(n+1)−(n+1)−1]n![(n+2)(n+1) - (n+1) - 1]
Faktöriyel içeren toplama ve çıkarma işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için ifadeler ortak paranteze alınmalıdır.
2
Parantez içindeki cebirsel ifadeleri düzenleyelim.
Pay: n!(n2+3n+2+n+1+1)=n!(n2+4n+4)n!(n^2 + 3n + 2 + n + 1 + 1) = n!(n^2 + 4n + 4), Payda: n!(n2+3n+2−n−1−1)=n!(n2+2n)n!(n^2 + 3n + 2 - n - 1 - 1) = n!(n^2 + 2n)
Çarpanlara ayırma işlemini görebilmek için ifadelerin açık halleri yazılıp toparlanmalıdır.
3
Elde edilen ifadeleri çarpanlarına ayıralım ve sadeleştirelim.
n!(n+2)2n!⋅n(n+2)=n+2n \frac{n!(n+2)^2}{n! \cdot n(n+2)} = \frac{n+2}{n}
n2+4n+4n^2+4n+4 tam kare ifadedir ve (n+2)2(n+2)^2'ye eşittir; paydadaki ifade ise n(n+2)n(n+2) parantezine alınır.
4
Sadeleşmiş hali verilen değere eşitleyip denklemi çözelim.
n+2n=75⇒5(n+2)=7n⇒5n+10=7n⇒2n=10⇒n=5 \frac{n+2}{n} = \frac{7}{5} \Rightarrow 5(n+2) = 7n \Rightarrow 5n + 10 = 7n \Rightarrow 2n = 10 \Rightarrow n = 5
Tek bilinmeyenli basit denklemin çözümü ile sonuca ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde dört işlem yaparken, terimler en küçük faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirme yapılır.

Hints

1
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için, tüm terimleri ifadedeki en küçük faktöriyel cinsinden yazıp ortak paranteze almalısınız.
Estimated Time:2m 30s
Question 6Question →
xx, 11'den büyük bir doğal sayı olmak üzere,
(x+1)!+(x−1)!x3−1=120 \frac{(x+1)! + (x-1)!}{x^3 - 1} = 120
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Verilen eşitliği sağlayan sayı 7'dir.
Verilen ifadede pay kısmı (x−1)!(x-1)! parantezine alındığında (x2+x+1)(x^2+x+1) çarpanı elde edilir. Payda ise küp farkı özdeşliği ile (x−1)(x2+x+1)(x-1)(x^2+x+1) şeklinde açılır. Bu iki çarpan sadeleştiğinde geriye (x−1)!x−1\frac{(x-1)!}{x-1} kalır. Bu ifade (x−2)!(x-2)!'e eşittir. (x−2)!=120(x-2)! = 120 eşitliğinden x−2=5x-2=5 ve buradan x=7x=7 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
(x+1)!+(x−1)!=(x−1)!⋅[(x+1)x+1]=(x−1)!⋅(x2+x+1)(x+1)! + (x-1)! = (x-1)! \cdot [(x+1)x + 1] = (x-1)! \cdot (x^2 + x + 1)
Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimleri ortak paranteze almak gerekir.
2
Payda kısmındaki küp farkı özdeşliğini aç.
x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)
Pay kısmındaki (x2+x+1)(x^2 + x + 1) çarpanı ile sadeleştirme yapabilmek için paydanın çarpanlarına ayrılması gerekir.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştir.
(x−1)!⋅(x2+x+1)(x−1)(x2+x+1)=(x−1)!x−1 \frac{(x-1)! \cdot (x^2 + x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \frac{(x-1)!}{x-1}
Ortak çarpanlar birbirini götürür.
4
Kalan ifadeyi faktöriyel tanımına göre düzenle ve sonucu bul.
(x−1)!x−1=(x−2)! \frac{(x-1)!}{x-1} = (x-2)!
(x−2)!=120(x-2)! = 120
120=5!120 = 5! olduğu için x−2=5⇒x=7x-2 = 5 \Rightarrow x=7
n!n=(n−1)!\frac{n!}{n} = (n-1)! kuralı uygulanır ve faktöriyel değeri bilinen sayıya eşitlenir.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve Çarpanlara Ayırma

Hints

1
Pay kısmındaki (x+1)!(x+1)! ifadesini (x+1)⋅x⋅(x−1)!(x+1) \cdot x \cdot (x-1)! şeklinde yazarak (x−1)!(x-1)! parantezine almayı deneyin.
2
Payda kısmındaki x3−1x^3 - 1 ifadesini a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.
3
Sadeleştirme sonucunda elde ettiğiniz (x−1)!x−1\frac{(x-1)!}{x-1} ifadesinin (x−2)!(x-2)!'e eşit olduğunu hatırlayın.

Practice More

Küp toplamı özdeşliği içeren benzer bir faktöriyel sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Seçenekleri deneyerek çözmek de mümkündür. Örneğin x=7x=7 için:
Pay: 8!+6!=40320+720=410408! + 6! = 40320 + 720 = 41040
Payda: 73−1=343−1=3427^3 - 1 = 343 - 1 = 342
Bölüm: 41040/342=12041040 / 342 = 120. Eşitlik sağlandığı için cevap 7'dir.
Estimated Time:2m 30s
Question 7Question →
aa ve bb birer doğal sayı olmak üzere,
a!=72⋅b!a! = 72 \cdot b!
eşitliğini sağlayan aa değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 81

Answer

Eşitliği sağlayan a değerleri 72 ve 9 olduğundan toplamları 81'dir.
Verilen a!=72⋅b!a! = 72 \cdot b! eşitliği a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72 şeklinde yazılabilir. Bu ifade, aa sayısından geriye doğru ardışık sayıların çarpımının 72 olduğunu gösterir. 72 sayısı iki farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olarak yazılabilir: 1) Sadece 72 (yani 72!/71!72!/71!), buradan a=72a=72 bulunur. 2) 9⋅89 \cdot 8 (yani 9!/7!9!/7!), buradan a=9a=9 bulunur. Bu değerlerin toplamı 72+9=8172 + 9 = 81 dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği oran formunda yaz
a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72
Faktöriyel sadeleştirmesi yaparak ardışık çarpanları görmek için.
2
Kesrin anlamını yorumla
a!b!\frac{a!}{b!} ifadesi, bb'den büyük ve aa'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına eşittir.
Örneğin 5!3!=5⋅4\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 gibi.
3
72 sayısının ardışık çarpanlarını analiz et (Durum 1)
Tek bir sayı olarak düşünülürse: 72=7272 = 72. Bu durumda 72!71!=72\frac{72!}{71!} = 72 olur. Yani a=72,b=71a=72, b=71.
Her sayı kendisinin 1'li ardışık çarpımıdır.
4
72 sayısının ardışık çarpanlarını analiz et (Durum 2)
İki ardışık sayının çarpımı: 9⋅8=729 \cdot 8 = 72. Bu durumda 9!7!=9⋅8=72\frac{9!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72 olur. Yani a=9,b=7a=9, b=7.
Çarpım tablosundan 9⋅8=729 \cdot 8 = 72 olduğu bilinmektedir.
5
Üçlü veya daha fazla ardışık çarpım kontrolü yap
4⋅5⋅6=120>724 \cdot 5 \cdot 6 = 120 > 72 ve 3⋅4⋅5=60<723 \cdot 4 \cdot 5 = 60 < 72. Başka çözüm yoktur.
Ardışık sayıların çarpımı hızla büyüdüğü için başka ihtimal kalmamıştır.
6
Bulunan a değerlerini topla
72+9=8172 + 9 = 81
Soruda a değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Ardışık Çarpanlar

Hints

1
Eşitliği a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72 şeklinde düzenleyerek ardışık çarpanları arayın.
2
a!b!\frac{a!}{b!} ifadesi, bb'den büyük aa'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımıdır. 72 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
3
72 sayısı tek başına bir grup olabilir (a=72,b=71a=72, b=71) veya 9⋅89 \cdot 8 şeklinde iki sayının çarpımı olabilir.

Practice More

x!=24⋅y!x! = 24 \cdot y! eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x,y) ikilisi vardır sorusu ile konu pekiştirilebilir.

Alternative Method

Şıklardan gidilerek deneme yapılabilir ancak a değerlerinin toplamı sorulduğu için analitik çözüm daha güvenilirdir.
Estimated Time:2m 0s
Question 8Question →
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!y!=210 \frac{x!}{y!} = 210
eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 232

Answer

Eşitliği sağlayan xx değerlerinin toplamı 232'dir.
Verilen eşitlikte x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 olması, y!y!'in x!x!'in içinden sadeleştiğini ve geriye kalan ardışık sayıların çarpımının 210 olduğunu gösterir. 210 sayısı ardışık çarpanlara üç farklı şekilde ayrılabilir: 210210 (tek çarpan), 15⋅1415 \cdot 14 (iki çarpan) ve 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 (üç çarpan). Buna göre xx'in alabileceği değerler 210, 15 ve 7'dir. Toplamları 232 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen faktöriyel ifadesini ardışık sayıların çarpımı olarak yazma.
x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! olduğundan, x!y!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)=210\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) = 210 olmalıdır.
Faktöriyel tanımı gereği x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, xx'ten (y+1)(y+1)'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımıdır.
2
210 sayısının ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde yazılabileceği tüm durumları inceleme (Tek terim, iki terim, üç terim vb.).
Durum 1 (1 Terim): x=210x = 210. Bu durumda y=209y=209 olur.
Durum 2 (2 Terim): Ardışık iki sayının çarpımı n(n−1)=210n(n-1)=210. 15⋅14=21015 \cdot 14 = 210 olduğundan x=15,y=13x=15, y=13.
Durum 3 (3 Terim): Ardışık üç sayının çarpımı n(n−1)(n−2)=210n(n-1)(n-2)=210. 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210 olduğundan x=7,y=4x=7, y=4.
210 sayısını veren ardışık çarpımlar bulunmalıdır. 4 terim için 4⋅3⋅2⋅1=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 olduğundan daha fazla çözüm yoktur.
3
Bulunan xx değerlerini toplama.
xx değerleri: 210,15,7210, 15, 7.
Toplam: 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232.
Soruda xx değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Bir sayının ardışık doğal sayıların çarpımı olarak yazılması ve faktöriyel sadeleştirmesi.

Hints

1
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımıdır.
2
210 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazmaya çalışın. Örneğin, 210=15×?210 = 15 \times ? veya 210=7×?×?210 = 7 \times ? \times ?
3
210 sayısını ardışık çarpanlara ayırmanın üç yolu vardır: Tek başına kendisi, iki sayının çarpımı ve üç sayının çarpımı.

Practice More

Benzer mantıkla x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliği için kaç farklı (x,y)(x,y) ikilisi olduğunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

210 sayısının asal çarpanlarını (2, 3, 5, 7) kullanarak, bu asalların ardışık sayılar içinde nasıl dağılabileceğini analiz edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 9Question →
5!4!+3!2!+0! \frac{5!}{4!} + \frac{3!}{2!} + 0!

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Yapılan sadeleştirmeler ve 0! tanımı sonucunda işlemin sonucu 9 olarak bulunur.
İşlemdeki faktöriyelli ifadeler sadeleştirildiğinde 5!4!=5 \frac{5!}{4!} = 5 ve 3!2!=3 \frac{3!}{2!} = 3 değerleri elde edilir. Faktöriyel kavramındaki en önemli kurallardan biri olan 0!=1 0! = 1 bilgisi de eklendiğinde toplam 5+3+1=95 + 3 + 1 = 9 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
5!4! \frac{5!}{4!} ifadesini sadeleştirin.
5⋅4!4!=5 \frac{5 \cdot 4!}{4!} = 5
Faktöriyel tanımı gereği n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! olduğundan büyük olan faktöriyel küçüğüne benzetilerek sadeleştirilir.
2
3!2! \frac{3!}{2!} ifadesini sadeleştirin.
3⋅2!2!=3 \frac{3 \cdot 2!}{2!} = 3
Pay kısmındaki 3!, 3 × 2! şeklinde yazılarak paydadaki 2! ile sadeleşir.
3
0! 0! değerini belirleyin.
0!=1 0! = 1
Matematiksel bir kabul ve tanım olarak 0 faktöriyel 1'e eşittir.
4
Bulunan değerleri toplayın.
5+3+1=9 5 + 3 + 1 = 9
İşlemdeki tüm terimler sadeleşmiş halleriyle toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve Özel Durumlar

Hints

1
Faktöriyelli ifadelerde bölme yaparken büyük sayıyı küçük sayıya kadar açıp sadeleştirmeyi deneyin.
2
5!=5⋅4! 5! = 5 \cdot 4! ve 3!=3⋅2! 3! = 3 \cdot 2! olduğunu hatırlayın. Ayrıca 0!0! değerinin kaça eşit olduğuna dikkat edin.
3
İşlemde 5!/4!=55!/4! = 5, 3!/2!=33!/2! = 3 ve 0!=10! = 1 değerlerini yerine koyarak toplama yapın.

Practice More

Benzer bir mantıkla (6!−5!)/4!(6! - 5!) / 4! işlemini yaparak sadeleştirme pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternative Method

Sadeleştirme yapmadan önce küçük sayıların faktöriyel değerlerini hesaplayabilirsiniz: 5!=1205!=120, 4!=244!=24, 3!=63!=6, 2!=22!=2. Buradan (120/24)+(6/2)+1=5+3+1=9(120/24) + (6/2) + 1 = 5 + 3 + 1 = 9 sonucuna varılır.
Estimated Time:45s
Question 10Question →
4!+3!3!+0! \frac{4! + 3!}{3!} + 0!

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İşlemin sonucu 6'dır.
Verilen ifadede 4!=244! = 24 ve 3!=63! = 6 olarak hesaplanır. Kesirli kısım 24+66=306=5\frac{24 + 6}{6} = \frac{30}{6} = 5 sonucunu verir. Bu sonuca 0!=10! = 1 değeri eklendiğinde 5+1=65 + 1 = 6 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24, 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ve özel durum olarak 0!=10! = 1.
İşlemi yapabilmek için temel faktöriyel tanımlarını kullanmamız gerekir.
2
Hesapladığımız değerleri kesirli ifadede yerine koyalım.
24+66\frac{24 + 6}{6}
Kesrin payındaki toplama işlemini tamamlamak için değerleri yerleştiriyoruz.
3
Kesir işlemini sonuçlandıralım.
306=5\frac{30}{6} = 5
Paydaki toplama yapıldıktan sonra paydaya bölme işlemi gerçekleştirilir.
4
Elde edilen sonuca 0!0! değerini ekleyelim.
5+1=65 + 1 = 6
İfadenin tamamı kesirli kısım ile 0!0! değerinin toplamından oluşmaktadır.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve 0! Özel Durumu

Hints

1
Faktöriyel (!!), bir sayının 1'e kadar olan çarpımıdır. Örneğin 3!=3×2×13! = 3 \times 2 \times 1.
2
İşlemdeki en kritik nokta 0!0! değeridir. 0!0! her zaman 1'e eşittir.
3
Önce 4!4! ve 3!3! değerlerini bulun, kesrin payını toplayıp paydaya bölün, en son 0!0! değerini ekleyin.

Practice More

Faktöriyel değerlerini 6!6! değerine kadar ezbere bilmek hız kazandıracaktır.

Alternative Method

Kesri 4!3!+3!3!\frac{4!}{3!} + \frac{3!}{3!} şeklinde parçalayarak da çözebilirsiniz. Bu durumda 4+1=54 + 1 = 5 olur. Sonra 0!=10! = 1 ekleyerek 5+1=65 + 1 = 6 sonucuna ulaşırsınız.
Estimated Time:45s
Question 11Question →

A=43!+44!A = 43! + 44! olduğuna göre, AA sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

A sayısının sondan 10 basamağı sıfırdır.
Verilen ifade çarpım haline getirildiğinde 43!⋅4543! \cdot 45 elde edilir. 43!43! içinde 9 adet, 4545 sayısında ise 1 adet 5 çarpanı vardır. Toplam 10 adet 5 çarpanı olduğu için sondan 10 basamak sıfırdır.

Step-by-Step Solution

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpım durumuna getir.
A=43!+44!=43!(1+44)=43!⋅45A = 43! + 44! = 43!(1 + 44) = 43! \cdot 45
Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için ifadenin içindeki 10 (yani 2 ve 5) çarpanlarının sayısına bakılmalıdır. Toplam durumundaki ifadeler önce çarpım haline getirilmelidir.
2
43!43! içindeki 5 çarpanlarının sayısını ardışık bölme yöntemiyle bul.
43÷5=843 \div 5 = 8 (Bölüm), 8÷5=18 \div 5 = 1 (Bölüm). Toplam: 8+1=98 + 1 = 9 adet.
Bir faktöriyel ifadesinde sondan gelen sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına eşittir (çünkü 2 çarpanı her zaman daha fazladır).
3
Diğer çarpan olan 45 sayısının içindeki 5 çarpanlarını bul ve topla.
45=9×5=32×5145 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5^1. Buradan 1 adet 5 çarpanı gelir. Toplam 5 çarpanı: 9+1=109 + 1 = 10.
Çarpım durumundaki ifadelerin 5 çarpanları toplanır.

Key Concept

Bir doğal sayının faktöriyelinin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının içindeki 5 asal çarpanlarının sayısı (ardışık bölme ile) hesaplanır.

Hints

1
Faktöriyeller toplam halindeyken işlem yapmak zordur. Küçük olan faktöriyel (43!43!) parantezine alarak ifadeyi çarpım durumuna getirin.
2
43!+44!=43!(1+44)=43!⋅4543! + 44! = 43!(1 + 44) = 43! \cdot 45. Şimdi her iki çarpanın içindeki 5 asallarını saymanız gerekir.
3
43!43! içinde ardışık bölme ile 5 çarpanlarını bulun. 4545 sayısı da 9×59 \times 5 olduğu için buradan da bir tane 5 geleceğini unutmayın.

Practice More

23!+24!23! + 24! toplamının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu hesaplayarak pratiğinizi pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 12Question →

xx ve yy birer pozitif tam sayı olmak üzere,

x=8!+7!6! x = \frac{8! + 7!}{6!}
y=6!−5!4! y = \frac{6! - 5!}{4!}

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x+yx + y toplamının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 88

Answer

Verilen işlemlere göre x ve y değerlerinin toplamı 88'dir.
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde x=63x = 63 ve y=25y = 25 değerleri elde edilir. Bu iki değerin toplamı 88 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
xx ifadesindeki payı 7!7! parantezine alarak sadeleştirme yapınız.
x=7!(8+1)6!=9⋅7⋅6!6!=63x = \frac{7!(8 + 1)}{6!} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 63
Faktöriyelli ifadelerde toplama işlemi yapılırken en küçük faktöriyel parantezine almak işlemi kolaylaştırır.
2
yy ifadesindeki payı 5!5! parantezine alarak sadeleştirme yapınız.
y=5!(6−1)4!=5⋅5⋅4!4!=25y = \frac{5!(6 - 1)}{4!} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 25
Pay kısmındaki çıkarma işlemini yaparak sadeleştirme sağlamak için en küçük terim olan 5! parantezi kullanılır.
3
Bulunan xx ve yy değerlerini toplayınız.
63+25=8863 + 25 = 88
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için bulunan sonuçlar birleştirilir.

Key Concept

Faktöriyel İfadelerde Ortak Paranteze Alma ve Sadeleştirme

Hints

1
Pay kısmındaki ifadeleri en küçük faktöriyel teriminin parantezine almayı deneyin.
2
8!=8⋅7⋅6!8! = 8 \cdot 7 \cdot 6! ve 7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! olduğunu kullanarak sadeleştirme yapabilirsiniz.
3
xx ifadesinde payı 6!6! cinsinden yazıp sadeleştirdiğinizde tam sayı bir sonuç elde etmelisiniz.

Practice More

Faktöriyelli denklemlerde içler dışlar çarpımı gerektiren sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Her bir faktöriyeli açıp çarpmak yerine, rasyonel ifadeleri parçalayarak da çözebilirsiniz: x=8!6!+7!6!x = \frac{8!}{6!} + \frac{7!}{6!} ve y=6!4!−5!4!y = \frac{6!}{4!} - \frac{5!}{4!}. Bu durumda x=(8⋅7)+7=56+7=63x = (8 \cdot 7) + 7 = 56 + 7 = 63 ve y=(6⋅5)−5=30−5=25y = (6 \cdot 5) - 5 = 30 - 5 = 25 bulunur.
Estimated Time:1m 15s
Question 13Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+1)!+n!(n−1)!−3n=72 \frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!} - 3n = 72
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 9'dur.
Verilen ifadede faktöriyeller en küçük terim olan (n−1)!(n-1)! parantezine alınarak sadeleştirildiğinde n2+2nn^2 + 2n elde edilir. Bu ifadeden 3n3n çıkarıldığında oluşan n2−n−72=0n^2 - n - 72 = 0 denkleminin pozitif kökü 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Kesirli ifadenin pay kısmındaki faktöriyelleri en küçük olan (n−1)!(n-1)! cinsinden ifade et.
(n+1)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)! (n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! ve n!=n⋅(n−1)! n! = n \cdot (n-1)!
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Payı (n−1)!(n-1)! ortak parantezine al ve ifadeyi sadeleştir.
(n−1)!⋅[(n+1)n+n](n−1)!=(n+1)n+n \frac{(n-1)! \cdot [(n+1)n + n]}{(n-1)!} = (n+1)n + n
Pay ve paydadaki (n−1)!(n-1)! çarpanları birbirini götürür.
3
Elde edilen cebirsel ifadeyi düzenle.
(n2+n)+n=n2+2n (n^2 + n) + n = n^2 + 2n
Parantez dağıtılarak benzer terimler toplanır.
4
Ana denklemde yerine yaz ve oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.
(n2+2n)−3n=72⇒n2−n−72=0 (n^2 + 2n) - 3n = 72 \Rightarrow n^2 - n - 72 = 0
Elde edilen ifade sorudaki yerine yazılır ve denklem sıfıra eşitlenir.
5
Denklemin köklerini bul ve doğal sayı olanı seç.
(n−9)(n+8)=0⇒n=9 veya n=−8 (n-9)(n+8) = 0 \Rightarrow n=9 \text{ veya } n=-8 . nn doğal sayı olduğu için n=9 n=9
Negatif sayıların faktöriyeli tanımlı değildir (ve soruda n doğal sayı denmiştir).

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

Hints

1
Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ve n!n! ifadelerini, paydadaki (n−1)!(n-1)! cinsinden yazmayı dene.
2
(n+1)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! eşitliğini kullanarak payı (n−1)!(n-1)! parantezine al.
3
Sadeleştirme sonrası elde edeceğin n2−n−72=0n^2 - n - 72 = 0 denklemini çöz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, paydasında (n−2)!(n-2)! bulunan sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 14Question →
6!−5!4!+0! \frac{6! - 5!}{4! + 0!}

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İşlemin sonucu 24'tür.
İşlemdeki tüm faktöriyel değerleri (6!=720,5!=120,4!=24,0!=16! = 720, 5! = 120, 4! = 24, 0! = 1) yerlerine yazıldığında pay kısmı 600600, payda kısmı ise 2525 olmaktadır. 600600 sayısının 2525 ile bölümü sonucunda elde edilen 24 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki faktöriyel değerlerini hesaplayın.
6!=7206! = 720 ve 5!=1205! = 120
Çıkarma işlemini gerçekleştirmek için önce ifadelerin sayısal değerleri bulunur.
2
Payda kısmındaki faktöriyel değerlerini hesaplayın.
4!=244! = 24 ve 0!=10! = 1
Sıfır faktöriyelin özel bir tanım olarak 1'e eşit olduğu unutulmamalıdır.
3
Pay ve paydadaki işlemleri tamamlayın.
Pay: 720−120=600720 - 120 = 600; Payda: 24+1=2524 + 1 = 25
Kesirli ifadeyi sadeleştirmek için gruplandırılmış işlemler yapılır.
4
Elde edilen değerleri birbirine bölün.
600/25=24600 / 25 = 24
Bölme işlemi sonucunda nihai cevaba ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel tanımı ve 0!=10! = 1 özel durumu

Hints

1
İşleme başlamadan önce pay ve paydadaki faktöriyellerin (6!,5!,4!6!, 5!, 4! ve 0!0!) değerlerini ayrı ayrı hesaplayın.
2
0!0! değerinin her zaman 11 olduğunu hatırlayın; bu, faktöriyel konusundaki en önemli kurallardan biridir.
3
Pay kısmını 600600, payda kısmını 2525 bulduğunuzdan emin olun ve ardından bölme işlemini yapın.

Practice More

Benzer şekilde 0!0! ve 1!1! değerlerinin toplamını içeren bölme işlemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pay kısmını ortak çarpan parantezine alarak da çözebilirsiniz: 6!−5!=5!(6−1)=120×5=6006! - 5! = 5!(6-1) = 120 \times 5 = 600.
Estimated Time:1m 30s
Question 15Question →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
43!=24x⋅y 43! = 24^x \cdot y
eşitliği veriliyor. Buna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.
Doğru cevap 13'tür çünkü 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğundan, 43! içindeki 232^3 ve 33 çarpanlarının sayısı karşılaştırılmalıdır. 3 çarpanı 19 adet bulunurken, 2 çarpanı 39 adet bulunur. Ancak her 24 sayısı için üç adet 2 gerektiğinden (232^3), elimizdeki 2'ler sadece ⌊39/3⌋=13\lfloor 39/3 \rfloor = 13 adet grup oluşturabilir. 13 < 19 olduğu için kısıtlayıcı faktör 2'lerdir ve en çok 13 adet 24 sayısı elde edilebilir.

Step-by-Step Solution

1
Taban sayısını asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1 olarak yazılır. Bu, her bir 24 sayısı elde etmek için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyacımız olduğu anlamına gelir.
Bileşik sayı tabanlı sorularda işlem her zaman asal çarpanlar üzerinden yapılmalıdır.
2
43! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (Legendre Yöntemi).
43÷3=1443 \div 3 = 14, 14÷3=414 \div 3 = 4, 4÷3=14 \div 3 = 1. Bölümler toplamı: 14+4+1=1914 + 4 + 1 = 19.
Bu sonuç, elimizde 19 adet 24 oluşturmaya yetecek kadar 3 çarpanı olduğunu gösterir.
3
43! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.
43÷2=2143 \div 2 = 21, 21÷2=1021 \div 2 = 10, 10÷2=510 \div 2 = 5, 5÷2=25 \div 2 = 2, 2÷2=12 \div 2 = 1. Bölümler toplamı: 21+10+5+2+1=3921 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39.
Toplamda 39 adet 2 çarpanı vardır.
4
2 çarpanlarını gruplayarak kaç adet 232^3 oluşturulabileceğini hesapla.
Her grup için 3 adet 2 gerektiğinden: ⌊39/3⌋=13\lfloor 39 / 3 \rfloor = 13.
Toplam 2 sayısı, tabandaki 2'nin üssüne bölünerek kaç tam grup oluştuğu bulunur.
5
Kısıtlayıcı (küçük) olan değeri belirle.
3 çarpanları ile 19 tane, 232^3 grupları ile 13 tane 24 sayısı oluşturulabilir. Küçük olan değer (13) geçerlidir.
Bir ürünü oluşturmak için tüm bileşenler gereklidir; en az sayıda olan bileşen toplam üretim miktarını belirler.

Key Concept

Faktöriyelde Asal Çarpan Hesabı (Legendre Formülü)

Hints

1
Önce taban olan 24 sayısını asal çarpanlarına (2a⋅3b2^a \cdot 3^b) ayırmalısınız.
2
43! içinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu ve kaç tane 2 çarpanı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın (sürekli bölme yöntemi ile).
3
Taban 23⋅32^3 \cdot 3 olduğu için, bulduğunuz toplam 2 sayısını 3'e bölerek kaç tane 232^3 grubu oluştuğunu bulun ve bunu 3 çarpanı sayısı ile kıyaslayın.

Practice More

Benzer mantıkla 40!=12x⋅y40! = 12^x \cdot y sorusunu çözerek bu sefer hangi asalın kısıtlayıcı olduğunu kontrol edebilirsiniz.

Alternative Method

Sadece 2 çarpanlarını kontrol etmek yeterli olabilir mi? Genellikle büyük asal sayı belirleyicidir ama taban kuvvetli ise (232^3) küçük asal sayı darboğaz yaratabilir. Emin olmak için ikisini de hesaplayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 16Question →

nn bir doğal sayı olmak üzere,

(n+2)!−(n+1)!−n!(n+1)!+n! \frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! + n!}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: n

Answer

İşlemin sonucu n ifadesidir.
Verilen ifadede tüm terimleri en küçük faktöriyel olan n! parantezine aldığımızda, pay kısmı n!(n²+2n), payda kısmı ise n!(n+2) olur. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında sonuç n bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tüm faktöriyel ifadelerini en küçük faktöriyel olan n! cinsinden yazalım.
(n+2)!=(n+2)(n+1)n! (n+2)! = (n+2)(n+1)n!
(n+1)!=(n+1)n! (n+1)! = (n+1)n!
Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimleri ortak çarpan parantezine almamız gerekir.
2
Pay ve paydayı n! ortak parantezine alalım.
Pay: n![(n+2)(n+1)−(n+1)−1] n! [ (n+2)(n+1) - (n+1) - 1 ]
Payda: n![(n+1)+1] n! [ (n+1) + 1 ]
Ortak çarpanları belirginleştirerek sadeleştirmeye hazırlık yaparız.
3
Köşeli parantez içindeki ifadeleri düzenleyelim.
Pay içi: (n2+3n+2)−n−1−1=n2+2n (n^2 + 3n + 2) - n - 1 - 1 = n^2 + 2n
Payda içi: n+2 n + 2
Cebirsel ifadeleri toplayıp çıkararak en sade hallerini buluruz.
4
Pay kısmını çarpanlarına ayıralım ve ifadeyi yeniden yazalım.
n2+2n=n(n+2) n^2 + 2n = n(n+2)
İfade: n!⋅n(n+2)n!⋅(n+2) \frac{n! \cdot n(n+2)}{n! \cdot (n+2)}
Pay ve paydadaki benzer terimleri görmek için çarpanlara ayırma işlemi uygulanır.
5
Ortak terimleri sadeleştirerek sonucu bulalım.
n! ve (n+2) terimleri sadeleşir, geriye sadece n kalır.
Çarpım durumundaki aynı ifadeler birbirini götürür.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapılırken, tüm terimler en küçük faktöriyel cinsinden yazılarak (genellikle n!) ortak paranteze alınır.

Hints

1
İfadedeki tüm faktöriyelleri, en küçük olan n! cinsinden yazmaya çalışın.
Estimated Time:2m 30s
Question 17Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!+(n+1)!(n+1)!−n!=8 \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+1)! - n!} = 8
eşitliğini sağlayan nn değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Denklemi sağlayan n değerlerinin toplamı 4'tür.
Verilen eşitlikte faktöriyel tanımları kullanılarak (n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n! dönüşümleri yapılır. İfade sadeleştirildiğinde (n+1)(n+3)n=8\frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 cebirsel denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde n2−4n+3=0n^2 - 4n + 3 = 0 bulunur. Bu denklemi sağlayan nn değerleri 3 ve 1'dir. Her ikisi de doğal sayı olduğu için çözüm kümesine dahildir ve toplamları 4'tür.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine alarak düzenle.
Pay: (n+2)!+(n+1)!=(n+1)!(n+2)+(n+1)!=(n+1)!(n+2+1)=(n+1)!(n+3)\text{Pay: } (n+2)! + (n+1)! = (n+1)!(n+2) + (n+1)! = (n+1)!(n+2+1) = (n+1)!(n+3) Payda: (n+1)!−n!=n!(n+1)−n!=n!(n+1−1)=n!⋅n\text{Payda: } (n+1)! - n! = n!(n+1) - n! = n!(n+1-1) = n! \cdot n
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için toplama/çıkarma durumundaki terimler çarpım durumuna getirilmelidir.
2
Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yaz ve sadeleştir.
(n+1)!(n+3)n!⋅n \frac{(n+1)!(n+3)}{n! \cdot n} (n+1)!=(n+1)n! oldug˘u ic¸in;(n+1)! = (n+1)n! \text{ olduğu için;} (n+1)n!(n+3)n!⋅n=(n+1)(n+3)n \frac{(n+1)n!(n+3)}{n! \cdot n} = \frac{(n+1)(n+3)}{n}
Paydaki (n+1)!(n+1)! ifadesini n!n! cinsinden yazarak paydadaki n!n! ile sadeleştirmek işlemi basitleştirir.
3
Kalan cebirsel ifadeyi 8'e eşitle ve denklemi çöz.
(n+1)(n+3)n=8⇒n2+4n+3n=8 \frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 \Rightarrow \frac{n^2 + 4n + 3}{n} = 8 n2+4n+3=8n n^2 + 4n + 3 = 8n n2−4n+3=0 n^2 - 4n + 3 = 0
İçler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bul ve topla.
(n−3)(n−1)=0 (n-3)(n-1) = 0 n1=3,n2=1 n_1 = 3, \quad n_2 = 1 Toplam=3+1=4\text{Toplam} = 3 + 1 = 4
Bulunan köklerin doğal sayı tanımına uygunluğu kontrol edilir (her ikisi de uygundur) ve toplanır.

Key Concept

Faktöriyel sadeleştirmeleri ve ikinci dereceden denkleme dönüşen ifadelerin çözümü.

Hints

1
Pay kısmını (n+1)!(n+1)! parantezine, payda kısmını n!n! parantezine alarak sadeleştirme yapmayı deneyin.
2
Sadeleştirme sonucunda (n+1)(n+3)n=8\frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 denklemini elde etmelisiniz.
3
Elde edilen ifadeyi düzenleyerek n2−4n+3=0n^2 - 4n + 3 = 0 ikinci dereceden denklemini çözün.

Alternative Method

Şıklardan giderek (n yerine değerler vererek) eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir, ancak köklerin toplamı sorulduğu için bu yöntemle eksik kök bulma riski vardır.
Estimated Time:2m 30s
Question 18Question →
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
(n+2)!n!−(n+1)!(n−1)!=30 \frac{(n+2)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30
eşitliği veriliyor. Buna göre, nn kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Verilen denklem çözüldüğünde n değeri 14 olarak bulunur.
Verilen eşitlikte faktöriyeller açılıp sadeleştirildiğinde (n+2)(n+1)(n+2)(n+1) ve (n+1)n(n+1)n terimleri elde edilir. Bu iki terimin farkı alındığında 2n+2=302n+2=30 denklemi bulunur ve buradan n=14n=14 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel ifadelerini sadeleştirmek için büyük olan faktöriyeli küçük olana benzeterek açalım.
(n+2)(n+1)n!n!−(n+1)n(n−1)!(n−1)!=30\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} - \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!} = 30
Faktöriyel sadeleştirmelerinde temel kural, büyük ifadeyi küçüğe kadar açıp yok etmektir.
2
Sadeleşen terimleri (pay ve paydadaki ortak faktöriyelleri) yok edelim.
(n+2)(n+1)−(n+1)n=30(n+2)(n+1) - (n+1)n = 30
Kesirli ifadelerden kurtularak cebirsel bir denklem elde etmek için.
3
Ortak çarpan parantezine alarak veya ifadeleri açarak denklemi düzenleyelim.
(n+1)⋅[(n+2)−n]=30⇒(n+1)⋅2=30(n+1) \cdot [(n+2) - n] = 30 \Rightarrow (n+1) \cdot 2 = 30
Denklemi en basit haline getirerek n değişkenini yalnız bırakmak için.
4
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözelim.
2(n+1)=30⇒n+1=15⇒n=142(n+1) = 30 \Rightarrow n+1 = 15 \Rightarrow n = 14
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Faktöriyel sadeleştirmelerinde (n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! gibi açılımlar kullanılarak, kesirli ifadeler polinomlara dönüştürülür.
Question 19Question →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
45!=y⋅12x 45! = y \cdot 12^x
eştliği veriliyor. Buna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

x'in alabileceği en büyük değer 20'dir.
Soruda 45! sayısının içinde kaç adet 12 çarpanı olduğu sorulmaktadır. 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 olduğundan, her bir 12 çarpanı oluşturmak için iki adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyaç vardır. 45! içinde toplam 21 adet 3 çarpanı ve 41 adet 2 çarpanı bulunur. 41 adet 2 ile en fazla 20 adet 222^2 çifti oluşturulabilir (41/2=20,541/2 = 20,5). 21 adet 3 çarpanı olsa da, 2'ler tükendiği için en fazla 20 adet 12 sayısı oluşturulabilir.

Step-by-Step Solution

1
Taban sayısını asal çarpanlarına ayır.
12=4⋅3=22⋅3112 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1
Faktöriyel içindeki çarpanları sayabilmek için tabanın asal olması gerekir.
2
Denklemi asal çarpanlar cinsinden yeniden yaz.
45!=y⋅(22⋅3)x=y⋅22x⋅3x45! = y \cdot (2^2 \cdot 3)^x = y \cdot 2^{2x} \cdot 3^x
Her bir asal çarpanın kaçıncı kuvvetinin gerektiğini belirlemek için.
3
45! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (sürekli bölme yöntemi).
45/3=1545/3 = 15, 15/3=515/3 = 5, 5/3=15/3 = 1. Toplam: 15+5+1=2115+5+1 = 21 adet.
3x3^x ifadesi için x≤21x \le 21 olmalıdır.
4
45! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.
45/2=2245/2 = 22, 22/2=1122/2 = 11, 11/2=511/2 = 5, 5/2=25/2 = 2, 2/2=12/2 = 1. Toplam: 22+11+5+2+1=4122+11+5+2+1 = 41 adet.
2'nin kuvvetleri sınırlayıcı olabilir.
5
Sınırlayıcı bileşeni belirle.
Bize 22x2^{2x} lazım. Elimde 41 tane 2 var. 2x≤41  ⟹  x≤20,52x \le 41 \implies x \le 20,5. Yani xx en çok 20 olabilir.
x değeri hem x≤21x \le 21 hem de x≤20x \le 20 şartını sağlamalıdır. Küçük olan değer (20) geçerlidir.

Key Concept

Faktöriyel İçindeki Asal Çarpan Sayısı (Legendre Formülü)

Hints

1
12 sayısı asal değildir. Önce 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 şeklinde asal çarpanlarına ayırmalısınız.
2
45! sayısının içinde kaç tane 2 ve kaç tane 3 çarpanı olduğunu 'sürekli bölme' yöntemiyle ayrı ayrı hesaplayın.
3
12x=22x⋅3x12^x = 2^{2x} \cdot 3^x olduğu için, bulduğunuz 2 çarpanı sayısını 2'ye bölerek xx'in üst sınırını kontrol edin. Küçük olan değer cevaptır.

Practice More

Benzer mantıkla 40!=A⋅18n40! = A \cdot 18^n sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz (Burada da 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2 olduğu için 3'ün karesine dikkat etmelisiniz).
Estimated Time:2m 0s
Question 20Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
n!−(n−1)!(n+1)!=16 \frac{n! - (n-1)!}{(n+1)!} = \frac{1}{6}
eşitliğini sağlayan farklı nn değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitliği sağlayan değerler 2 ve 3 olup, toplamları 5'tir.
Verilen ifadede pay ve payda (n−1)!(n-1)! parantezinde düzenlendiğinde ifade n−1n(n+1)=16\frac{n-1}{n(n+1)} = \frac{1}{6} haline gelir. Buradan elde edilen n2−5n+6=0n^2 - 5n + 6 = 0 denkleminin kökleri n=2n=2 ve n=3n=3'tür. Bu değerlerin toplamı 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
n!−(n−1)!=n(n−1)!−1(n−1)!=(n−1)!(n−1)n! - (n-1)! = n(n-1)! - 1(n-1)! = (n-1)!(n-1)
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler çarpım durumuna getirilmelidir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi pay ile sadeleşecek şekilde aç.
(n+1)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!
Paydaki (n−1)!(n-1)! terimini yok etmek için payda benzetilir.
3
Kesri sadeleştir ve denklemi kur.
(n−1)!(n−1)(n+1)n(n−1)!=n−1n(n+1)=16\frac{(n-1)!(n-1)}{(n+1)n(n-1)!} = \frac{n-1}{n(n+1)} = \frac{1}{6}
Ortak çarpanlar sadeleştirilerek cebirsel denklem elde edilir.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden denklemi oluştur ve kökleri bul.
6(n−1)=n2+n⇒6n−6=n2+n⇒n2−5n+6=06(n-1) = n^2 + n \Rightarrow 6n - 6 = n^2 + n \Rightarrow n^2 - 5n + 6 = 0. Kökler: (n−3)(n−2)=0⇒n=3(n-3)(n-2)=0 \Rightarrow n=3 ve n=2n=2.
nn değerlerini bulmak için denklem çözülür.
5
Bulunan değerlerin toplamını hesapla.
2+3=52 + 3 = 5
Soruda değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

Hints

1
İfadedeki tüm terimleri, en küçük faktöriyel olan (n−1)!(n-1)! cinsinden yazmaya çalışın.
2
Payı (n−1)!(n-1)! parantezine aldığınızda (n−1)(n-1) çarpanı, paydayı açtığınızda ise (n+1)n(n+1)n çarpanı kalacaktır.
3
Sadeleştirme sonrası n−1n2+n=16\frac{n-1}{n^2+n} = \frac{1}{6} denklemini çözün.

Practice More

Benzer sadeleştirme mantığı içeren permütasyon formülü soruları çözülebilir.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardaki veya küçük tam sayıları deneyerek de gidilebilir. Örneğin n=2n=2 için 2−16=16\frac{2-1}{6}=\frac{1}{6} sağlar. n=3n=3 için 6−224=424=16\frac{6-2}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6} sağlar.
Estimated Time:2m 0s
Page 1 / 2Next