Nokta Tahmini ve Özellikleri

Bir kamu kurumunda yapılan performans ölçümlerinde, kitle ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitle gözlemlenmektedir. $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla $n=3$ birimlik bağımsız ve özdeş dağılımlı rastgele bir örneklem seçilmiş ve aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir üretim sürecinde üretilen parçaların sertlik derecelerini temsil eden $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere şu şekilde verilmiştir:

Bu kitle içinden seçilen $n$ birimlik bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca $\theta$ parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu araştırmasında, bir bölgedeki hanelerin belirli bir sosyal hizmetten yararlanma oranı olan $p$ parametresinin tahmini için Bernoulli dağılımı kullanılmaktadır. Araştırmacılar, bu oranın karesi olan $p^2$ değerini tahmin etmek amacıyla $n$ birimlik bağımsız ve rastgele bir örneklem üzerinden $\bar{X}$ örneklem ortalamasını kullanarak $\hat{\theta}_n = \bar{X}^2$ En Çok Olabilirlik Tahmin Edicisini (MLE) önermişlerdir.

Buna göre, $\hat{\theta}_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tarım ve Orman Bakanlığı'nda görevli bir ziraat mühendisi, belirli bir bölgedeki mısır tarlalarından elde edilen verimi incelemektedir. Parsellerden alınan $n$ adet bağımsız ve aynı dağılımlı gözlem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olsun. Bu dağılımın beklenen değeri $E(X_i) = \mu$ ve varyansı $Var(X_i) = \sigma^2 < \infty$ şeklindedir. Mühendis, $\mu$ parametresi için yansız bir tahmin edici olarak ilk parselin verimini ($\hat{\mu} = X_1$) kullanmaktadır. Ancak daha sonra, $T = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $\mu$ için yeterli olduğunu fark etmiştir.

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak $E(X_1 | T)$ ifadesi ile elde edilen yeni tahmin edicinin varyansı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından gerçekleştirilen Hanehalkı İşgücü Araştırması'nda, bir bireyin istihdam edilme durumu $p$ ($0 < p < 1$) parametreli Bernoulli dağılımı ile modellenmektedir. $n$ bireyden oluşan rastgele bir örneklemde ($X_1, X_2, \dots, X_n$), istihdam edilenler $X_i = 1$ ve edilmeyenler $X_i = 0$ olarak kaydedilmiştir. Araştırmada $p$ parametresi için yansız bir tahmin edici olarak $T = X_1$ ve bu parametre için yeterli bir istatistik olarak $S = \sum_{i=1}^{n} X_i$ seçilmiştir. Rao-Blackwell teoremi uyarınca, $T$ tahmin edicisinin $S$ yeterli istatistiği üzerindeki koşullu beklentisi olan $E(T|S)$ tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir meteoroloji istasyonunda ölçülen rüzgar hızı $X$ rastgele değişkeni, $\sigma > 0$ parametreli Rayleigh dağılımına uymaktadır. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

Bu istasyondan alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, $\sigma^2$ parametresinin her yansız tahmin edicisi için varyansın alabileceği en küçük değer (Cramer-Rao alt sınırı) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen veri analizi çalışmasında, kitle ortalaması $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla $n$ birimlik bir örneklem üzerinden $\hat{\mu} = \bar{X} + \frac{3}{n}$ tahmin edicisi tanımlanmıştır. Buna göre, bu tahmin edicinin yanlılık ve asimptotik yansızlık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Beklenen değeri $E(X) = \theta$ ve varyansı $0 < Var(X) = \sigma^2 < \infty$ olan bir ana kütleden $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem ($X_1, X_2, \dots, X_n$) çekilmiştir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki tahmin edici tanımlanmıştır:

Buna göre, örneklem hacmi sonsuza giderken ($n \rightarrow \infty$) bu tahmin edicilerin tutarlılık (consistency) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, kitleye ait bilinmeyen bir $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $\hat{\theta}$ tahmin edicisini kullanmaktadır. Bu tahmin edicinin beklenen değeri $E(\hat{\theta}) = \theta + 0,2$ ve varyansı $Var(\hat{\theta}) = 0,16$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Beklenen değeri $E(X) = \theta$ ve varyansı $0 < Var(X) = \sigma^2 < \infty$ olan bir kitleye ait $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem dikkate alınsın. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki istatistik önerilmiştir:

I. $T_1 = \frac{n+1}{n} \bar{X}$
II. $T_2 = X_1$

Buna göre, örneklem hacmi sonsuza giderken ($n \rightarrow \infty$) bu tahmin edicilerin tutarlılık (consistency) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$X$ rastgele değişkeni, $0 < p < 1$ olmak üzere $p$ parametreli Bernoulli dağılımına sahiptir. Bu dağılımın olasılık fonksiyonu $f(x; p) = p^x (1-p)^{1-x}, x \in \{0, 1\}$ olarak verildiğine göre, tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı ($I(p)$) aşağıdakilerden hangisidir?

İstatistiksel tahmin teorisinde, Rao-Blackwell teoremi yardımıyla mevcut bir yansız tahmin edicinin iyileştirilmesi amaçlanmaktadır. Bir $W$ yansız tahmin edicisinin, bir $T$ istatistiği üzerinden koşullu beklenen değeri olan $E(W|T)$ ifadesinin bilinmeyen parametreden bağımsız bir "tahmin edici" olabilmesi için $T$ istatistiğinin taşıması gereken temel özellik aşağıdakilerden hangisidir?

Beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma sahip bir kitleden $n$ birimlik bir rastgele örneklem çekilmiştir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $\hat{\theta} = \frac{n}{n+1} \bar{X}$ istatistiği kullanılmaktadır. Buna göre, $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?