Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 3

Question 41Question →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yapılan bir araştırmada, belirli bir kamu hizmetinden yararlanan vatandaşların işlem süreleri (saat cinsinden) $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmiştir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} 2(x-1) & , \ 1 < x < 2 \\ 0 & , \ \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu hizmet sürecini bilgisayar ortamında simüle etmek isteyen bir araştırmacı, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yöntemini kullanacaktır. $U$ , $(0, 1)$ aralığında standart düzgün (üniform) dağılıma sahip bir rastgele değişken olmak üzere, $X$ değişkenini üretmek için kullanılacak ters dönüşüm fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{U+2}{2}

1 - \sqrt{U}

1 + \sqrt{U}

1 + \sqrt{U+1}

U^2 + 1

Show answer & explanation

Answer: $1 + \sqrt{U}$

Answer

Doğru simülasyon fonksiyonu

1 + \sqrt{U}

olmalıdır.

Ters dönüşüm yönteminde temel prensip,

U \sim Uniform(0,1)

olmak üzere

U = F(X)

eşitliğini

X

cinsinden çözmektir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu

2(x-1)

olan değişkenin

(1, x)

aralığındaki belirli integrali

F(x) = (x-1)^2

sonucunu verir.

U = (X-1)^2

denkleminden

X

'in

(1, 2)

aralığında tanımlı olduğu göz önünde bulundurularak pozitif kök seçildiğinde

X = 1 + \sqrt{U}

üreteç fonksiyonu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) integralini alarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) elde et.

F(x) = \int_{1}^{x} 2(t-1) dt = (t^2 - 2t) \Big|_1^x = (x^2 - 2x) - (1 - 2) = (x-1)^2

Olasılık integral dönüşümü kuralına göre,

F(X)

rastgele değişkeni

(0,1)

aralığında düzgün dağılıma sahiptir ve simülasyon için

X

'i bulmak adına CDF formülüne ihtiyaç vardır.

2

Elde edilen CDF'i

U

'ya eşitle ve

X

için denklemi çöz.

(X-1)^2 = U \implies X-1 = \pm\sqrt{U}

Ters dönüşüm (inverse transform) yönteminde,

U = F(X)

eşitliğinden yararlanılarak hedef rastgele değişken

X = F^{-1}(U)

şeklinde yalnız bırakılır.

3

X

'in tanım aralığını dikkate alarak uygun kökü seç.

X \in (1, 2)

olduğundan

X-1 > 0

olmalıdır. Bu nedenle pozitif kök alınarak

X = 1 + \sqrt{U}

bulunur.

Rastgele değişkenin tanımlı olduğu aralık olan

(1, 2)

sınırları dışına çıkmamak için denklemin matematiksel olarak doğru kökünün seçilmesi gerekir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Estimated Time:1m 30s

Question 42Question →

Bir sunucu sisteminde, gelen bir isteğin ön belleğe alınma süresi $X$ (milisaniye) sürekli düzgün dağılıma sahip olup $(0, 1)$ aralığında değer almaktadır. İsteğin asıl işlenme süresi $Y$ (milisaniye) ise $\lambda = 1$ parametreli üstel dağılıma sahiptir.

$X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenler olduğuna göre, bir isteğin sistemde geçirdiği toplam sürenin ( $Z = X + Y$ ) $z > 1$ bölgesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Z(z)$ aşağıdakilerden hangisidir?

(e - 1)e^{-z}

e^{-z}

1 - e^{-z}

1 - e^{-(z-1)}

(e - 1)e^{-2z}

Show answer & explanation

Answer: $(e - 1)e^{-z}$

Answer

İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu evrişim (konvolüsyon) integrali ile bulunur ve doğru sonuç

(e - 1)e^{-z}

ifadesidir.

Verilen iki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamı olan

Z = X + Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu konvolüsyon integrali olan

f_Z(z) = \int f_X(x) f_Y(z-x) dx

ile bulunur.

X \sim U(0,1)

olduğundan integralin alt sınırı

0

, üst sınırı ise

z > 1

koşulu altında her zaman

1

'dir. Buna göre

\int_0^1 e^{-(z-x)} dx = e^{-z} \int_0^1 e^x dx = e^{-z} [e^x]_0^1 = (e - 1)e^{-z}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

X

ve

Y

değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) yazmak.

f_X(x) = 1

(

0 < x < 1

) ve

f_Y(y) = e^{-y}

(

y > 0

).

Konvolüsyon integralini kurabilmek için öncelikle her iki değişkenin PDF'lerinin ve tanımlı oldukları bölgelerin netleştirilmesi gerekir.

2

Z = X + Y

için genel konvolüsyon (evrişim) integralini formüle etmek.

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx

denklemi yazılır.

Bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamının dağılımı evrişim işlemi ile elde edilir.

3

z > 1

durumu için integral sınırlarını belirlemek.

f_X(x) > 0

olması için

0 < x < 1

olmalıdır.

f_Y(z-x) > 0

olması için

z - x > 0 \implies x < z

olmalıdır.

z > 1

verildiğinden,

x

'in

(0, 1)

aralığındaki tüm değerleri için

x < z

şartı sağlanır. Dolayısıyla alt sınır

0

, üst sınır

1

olmalıdır.

İntegralin sıfırdan farklı olduğu ortak bölgeyi bulmak için her iki PDF'in de pozitif olduğu aralık tespit edilmelidir.

4

Belirlenen sınırlar üzerinden integrali hesaplamak.

\int_0^1 1 \cdot e^{-(z-x)} dx = e^{-z} \int_0^1 e^x dx = e^{-z} [e^x]_0^1 = e^{-z}(e^1 - e^0) = (e - 1)e^{-z}

elde edilir.

Z'nin

z > 1

aralığındaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu kesin olarak bulmak için.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Konvolüsyon (Evrişim) İntegrali

Question 43Question →

Bir gümrük müdürlüğünde, günlük incelenen beyanname sayısının belirlenen standart hedeften sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	-2	-1	0	1	2
$P(X=x)$	0,08	0,22	0,35	0,18	0,17

Kurumun risk değerlendirme yönergesine göre, günlük sapma miktarı üzerinden bir 'Operasyonel Risk Endeksi' hesaplanmakta ve bu endeks $Y = X^2$ fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde Operasyonel Risk Endeksinin 1 olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,18

0,22

0,25

0,35

0,40

Show answer & explanation

Answer: 0,40

Answer

Doğru cevap, Operasyonel Risk Endeksinin 1 olma olasılığının 0,40 olduğunu belirten seçenektir.

Y = 1

koşulu,

X^2 = 1

denklemine karşılık gelmektedir. Bu eşitliği sağlayan

X

değerleri

-1

ve

1

'dir. Kesikli rastgele değişkenlerde bir fonksiyonun olasılığı, o değeri üreten tüm bağımsız girdi olasılıklarının toplamıdır. Bu nedenle

Y

'nin 1 değerini alma olasılığı,

X

'in

-1

ve

1

değerlerini alma olasılıklarının toplamı ile bulunur:

0,22 + 0,18 = 0,40

.

Step-by-Step Solution

1

İstenen olasılık ifadesini

X

rastgele değişkeni cinsinden yazmak.

P(Y = 1) = P(X^2 = 1)

Y

rastgele değişkeni

Y = X^2

dönüşümü ile tanımlanmıştır.

2

Dönüşüm denklemini sağlayan gerçel kökleri tespit etmek.

X^2 = 1 \implies X = -1 \text{ veya } X = 1

Karesi 1 olan iki farklı gerçel sayı (biri negatif, biri pozitif) bulunmaktadır ve destek kümesindeki (support) tüm geçerli

X

değerleri dikkate alınmalıdır.

3

İlgili ayrık durumların olasılıklarını tablodan bularak toplamak.

P(X = -1) + P(X = 1) = 0,22 + 0,18 = 0,40

X = -1

ve

X = 1

aynı anda gerçekleşemeyen ayrık (mutually exclusive) olaylar olduğundan, birleşimin olasılığı bu iki durumun olasılıklarının toplamına eşittir.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde karesel (non-monotonik) dönüşümler altında olasılık fonksiyonunun elde edilmesi.

Question 44Question →

Darphane ve Damga Matbaası Genel Müdürlüğü tarafından basılan özel koleksiyon paralarının ağırlıklarının, hedeflenen standart değerden sapma miktarı $X$ (gram cinsinden) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(1+x), & -1 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Üretim sürecindeki kalite kontrol prosedürleri gereği, bir paradaki kalite kaybı ağırlık sapmasının karesi ile orantılı kabul edilmekte ve bu durum $Y = X^2$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ ( $0 < y < 1$ için) aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}

f_Y(y) = \frac{1+\sqrt{y}}{4\sqrt{y}}

f_Y(y) = \frac{1}{2}(1+\sqrt{y})

f_Y(y) = \frac{1}{2}(1+y)

f_Y(y) = \frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}$

Answer

Doğru fonksiyon

\frac{1}{2\sqrt{y}}

şeklindedir.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi uygulandığında, ilk olarak

Y=X^2

için birikimli olasılık

P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

olarak ifade edilir. Verilen

f_X(x) = \frac{1}{2}(1+x)

fonksiyonu bu sınırlar arasında entegre edildiğinde sonuç

\sqrt{y}

çıkar. Bu ifadenin

y

'ye göre türevinin alınmasıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu olan

\frac{1}{2\sqrt{y}}

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Y

rastgele değişkeninin Birikimli Dağılım Fonksiyonunu (CDF)

X

cinsinden yazın.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)

Dağılım fonksiyonu yönteminin temel adımı, yeni değişkenin eşitsizliğini eski değişken cinsinden ifade etmektir.

2

X^2 \leq y

eşitsizliğini çözerek

X

'in sınırlarını belirleyin.

P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

Kareköklü dönüşümlerde (bire-bir olmayan dönüşümler) eşitsizliğin her iki tarafı (hem negatif hem pozitif kök) dikkate alınmalıdır.

3

Belirlenen sınırlar üzerinden

X

'in olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_X(x)

) integralini alarak

F_Y(y)

'yi hesaplayın.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2}(1+x) dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} \right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}

Olasılığı bulmak için ilgili aralıkta yoğunluk fonksiyonunun altında kalan alanı (integrali) hesaplamak gerekir.

4

İntegral sınırlarını yerine koyarak matematiksel işlemi tamamlayın.

\left( \frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{y}{4} \right) - \left( -\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{y}{4} \right) = \frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{\sqrt{y}}{2} = \sqrt{y}

Alt ve üst sınırlar yerine konduğunda, simetrik terimler birbirini götürür ve CDF

\sqrt{y}

olarak elde edilir.

5

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak için

F_Y(y)

'nin

y

'ye göre türevini alın.

f_Y(y) = \frac{d}{dy}(\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}}

Birikimli dağılım fonksiyonunun türevi, sürekli rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunu verir.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Bire-Bir Olmayan Dönüşümler

Alternative Method

Soru Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemiyle de çözülebilir.

Y=X^2

bire-bir olmadığından fonksiyon iki parçaya ayrılır:

x_1 = -\sqrt{y}

ve

x_2 = \sqrt{y}

. Jacobian (türevlerin mutlak değeri)

|dx/dy| = \frac{1}{2\sqrt{y}}

olur.

f_Y(y) = f_X(x_1)|dx_1/dy| + f_X(x_2)|dx_2/dy| = \frac{1}{2}(1-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{2}(1+\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{2\sqrt{y}}

sonucuna yine doğrudan ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 45Question →

Bir elektronik donanım üreticisinde, iki farklı alt bileşenin test edilme süreleri $X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenleri ile ifade edilmektedir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

M_X(t) = e^{12t + 2t^2}

M_Y(t) = e^{15t + 4,5t^2}

Bu iki bileşenden oluşan nihai ürünün toplam test ve onay maliyeti, zaman ve sabit giderler göz önüne alınarak $W = 3X - 2Y + 10$ fonksiyonu ile modellenmektedir.

Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) tekliği teoreminden yararlanarak, $W$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_W(t)$ ve standart sapması ( $\sigma_W$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

M_W(t) = e^{16t + 15t^2}

ve

\sigma_W = \sqrt{30}

M_W(t) = e^{16t}

ve

\sigma_W = 0

M_W(t) = e^{16t + 36t^2}

ve

\sigma_W = 6\sqrt{2}

M_W(t) = e^{6t + 36t^2}

ve

\sigma_W = 6\sqrt{2}

M_W(t) = e^{16t + 36t^2}

ve

\sigma_W = 6

Show answer & explanation

Answer: $M_W(t) = e^{16t + 36t^2}$ ve $\sigma_W = 6\sqrt{2}$

Answer

M_W(t) = e^{16t + 36t^2}

ve

\sigma_W = 6\sqrt{2}

değerlerini içeren seçenektir.

Verilen

M_X(t)

ve

M_Y(t)

fonksiyonları normal dağılıma aittir ve parametreleri sırasıyla

\mu_X=12, \sigma_X^2=4

ile

\mu_Y=15, \sigma_Y^2=9

olarak bulunur.

W = 3X - 2Y + 10

dönüşümünün MGF'si bağımsızlık özelliğinden ötürü

M_W(t) = e^{10t}M_X(3t)M_Y(-2t)

kuralıyla hesaplanır. Veriler yerine konulduğunda sonuç

e^{16t+36t^2}

çıkar. Elde edilen fonksiyonda varyansın yarısı 36'ya eşit olduğundan,

\sigma_W^2 = 72

ve

\sigma_W = 6\sqrt{2}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

X

ve

Y

rastgele değişkenlerinin dağılımlarını ve parametrelerini belirleyin.

Normal dağılımın

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

yapısı kullanılarak:

\mu_X=12, \frac{1}{2}\sigma_X^2=2 \implies \sigma_X^2=4

ve

\mu_Y=15, \frac{1}{2}\sigma_Y^2=4,5 \implies \sigma_Y^2=9

bulunur.

MGF tekliği teoremi uyarınca bir rastgele değişkenin dağılımı ve parametreleri, moment çıkaran fonksiyonu yardımıyla kesin olarak tanımlanabilir.

2

W = 3X - 2Y + 10

dönüşümü için MGF kuralını uygulayın.

M_W(t) = E[e^{t(3X - 2Y + 10)}] = e^{10t} \cdot M_X(3t) \cdot M_Y(-2t)

eşitliği elde edilir.

Bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun MGF'si, bireysel MGF'lerin uygun katsayılarla değerlendirilip çarpılmasıyla elde edilir.

3

M_X(3t)

ve

M_Y(-2t)

ifadelerini hesaplayarak

M_W(t)

'yi bulun.

M_X(3t) = e^{12(3t) + 2(3t)^2} = e^{36t + 18t^2}

M_Y(-2t) = e^{15(-2t) + 4,5(-2t)^2} = e^{-30t + 18t^2}

M_W(t) = e^{10t} \cdot e^{36t+18t^2} \cdot e^{-30t+18t^2} = e^{(10 + 36 - 30)t + (18 + 18)t^2} = e^{16t + 36t^2}

Üstel fonksiyonların çarpımı kuralıyla üsler toplanarak nihai rastgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu oluşturulur.

4

Elde edilen

M_W(t)

üzerinden standart sapmayı hesaplayın.

MGF yapısındaki

t^2

'nin katsayısı

\frac{1}{2}\sigma_W^2

'ye eşittir.

\frac{1}{2}\sigma_W^2 = 36 \implies \sigma_W^2 = 72

elde edilir. Buradan standart sapma

\sigma_W = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

olarak bulunur.

MGF formülündeki katsayıların doğru eşleştirilmesiyle varyans ve standart sapma değerleri çıkarılır.

Key Concept

Bağımsız Rastgele Değişkenlerin Doğrusal Dönüşümleri ve MGF Yöntemi

Question 46Question →

Bir sigorta şirketinde, iki farklı hasar türü için (A ve B türleri) hasar bildirim süreleri sırasıyla $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. $X$ ve $Y$ birbirinden bağımsız olup, $X \sim \text{Üstel}(\lambda=2)$ ve $Y \sim \text{Üstel}(\lambda=1)$ dağılımına sahiptir.

Risk analizi yapan bir aktüer, bu iki hasar bildirim süresinin birbirine oranını modellemek için $U = \frac{Y}{X}$ rastgele değişkenini tanımlamıştır.

Buna göre, $U$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_U(u) = \frac{2}{(u+2)^2}, \quad u > 0

f_U(u) = \frac{2}{u+2}, \quad u > 0

f_U(u) = \frac{2}{(2u+1)^2}, \quad u > 0

f_U(u) = \frac{1}{(u+1)^2}, \quad u > 0

f_U(u) = 2e^{-2u}, \quad u > 0

Show answer & explanation

Answer: $f_U(u) = \frac{2}{(u+2)^2}, \quad u > 0$

Answer

U

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_U(u) = \frac{2}{(u+2)^2}

'dir.

Bağımsız

X \sim \text{Üstel}(\lambda=2)

ve

Y \sim \text{Üstel}(\lambda=1)

değişkenleri için

U=Y/X

oranının dağılımı yardımcı bir

V=X

değişkeni tanımlanarak çözülür. Ters dönüşüm

X=V, Y=UV

şeklindedir ve bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

|J| = V

'dir. Ortak yoğunluk fonksiyonu dönüştürüldüğünde

g(u,v) = 2v e^{-v(u+2)}

elde edilir.

V

üzerinden

[0, \infty)

aralığında Kısmi integral (veya Gamma fonksiyonu) yardımıyla integral alındığında,

U

'nun marjinal yoğunluk fonksiyonu

\frac{2}{(u+2)^2}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

X

ve

Y

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) yazma.

f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y) = (2e^{-2x})(e^{-y}) = 2e^{-2x-y}, \quad x>0, y>0

X

ve

Y

bağımsız olduğundan ortak yoğunluk, marjinal yoğunlukların çarpımına eşittir.

2

U = Y/X

ve

V = X

dönüşümü için ters fonksiyonları ve Jakobiyen determinantını bulma.

x = v

ve

y = uv

elde edilir. Jakobiyen matrisi

J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v \\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ v & u \end{pmatrix} = -v

. Alan pozitif tanımlandığından mutlak değer

|J| = v

olur.

Sürekli rastgele değişkenlerin fonksiyonlarının ortak dağılımını bulmak için iki değişkenli dönüşüm yöntemi (Jakobiyen) kullanılmalıdır.

3

U

ve

V

'nin ortak yoğunluk fonksiyonunu,

g(u,v)

, hesaplama.

g(u,v) = f_{X,Y}(v, uv) \cdot |J| = 2e^{-2v - uv} \cdot v = 2v e^{-v(u+2)}, \quad u>0, v>0

Dönüşüm kuralı gereği, ortak yoğunlukta

x

ve

y

yerine

u

ve

v

cinsinden değerler yazılır ve Jakobiyen ile çarpılır.

4

V

üzerinden integral alarak

U

'nun marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulma.

f_U(u) = \int_{0}^{\infty} 2v e^{-v(u+2)} dv = \frac{2}{(u+2)^2}, \quad u>0

v

değişkenini yok edip sadece istenen

u

değişkenine bağlı PDF'i elde etmek için

v

sınırlarında marjinalleştirme integrali (Gamma fonksiyonu formatında) hesaplanır.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişkenin oranının dağılımını bulurken Jakobiyen dönüşümünün kullanımı

Question 47Question →

Bir veri merkezindeki sunucuların kesintisiz çalışma süreleri (saat cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Yapılan güvenilirlik analizlerinde, $X$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $t < \frac{1}{2}$ için $M_X(t) = (1 - 2t)^{-3}$ olarak elde edilmiştir.

Sistemin performans değerlendirme skoru, $Y = 3X - 2$ doğrusal dönüşümü ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkeni üzerinden hesaplanmaktadır.

Buna göre, $Y$ performans skorunun moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ ve varyansı $Var(Y)$ aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 108

M_Y(t) = (1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 108

M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 36

M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 106

M_Y(t) = e^{-2t}(1 - \frac{2}{3}t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 36

Show answer & explanation

Answer: $M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3} \quad \text{ve} \quad Var(Y) = 108$

Answer

Y

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

M_Y(t) = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3}

ve varyansı

Var(Y) = 108

'dir.

Doğrusal bir dönüşüm olan

Y = aX + b

için moment çıkaran fonksiyon

M_Y(t) = e^{bt}M_X(at)

kuralı ile hesaplanır.

a=3

ve

b=-2

verildiğinden,

M_Y(t) = e^{-2t}M_X(3t)

olur.

M_X(3t)

ifadesi, orijinal

(1-2t)^{-3}

fonksiyonunda

t

yerine

3t

yazılarak

(1-6t)^{-3}

şeklinde bulunur. Böylece

M_Y(t) = e^{-2t}(1-6t)^{-3}

elde edilir.

X

'in varyansını bulmak için MGF'nin

t=0

'daki türevleri alınır:

M'_X(0) = E(X) = 6

ve

M''_X(0) = E(X^2) = 48

'dir. Buradan

Var(X) = 48 - 6^2 = 12

çıkar. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralına göre

Var(aX+b) = a^2Var(X)

olduğundan,

Var(Y) = 3^2 \times 12 = 108

sonucuna ulaşılır. Doğru seçenek her iki değeri de eksiksiz sunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Doğrusal dönüşümler için moment çıkaran fonksiyon kuralını yaz.

M_Y(t) = M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

kuralı hatırlanır.

Y = 3X - 2

dönüşümünün MGF'sini bulmak için temel teorem gereklidir.

2

Kuralı

Y = 3X - 2

için uygula.

a=3

ve

b=-2

değerleri yerine konur:

M_Y(t) = e^{-2t}M_X(3t) = e^{-2t}(1 - 2(3t))^{-3} = e^{-2t}(1 - 6t)^{-3}

.

Yeni değişkenin dağılımını ifade eden fonksiyonu türetmek.

3

X

'in varyansını bulmak için verilen

M_X(t)

fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerini

t=0

noktasında değerlendir.

M'_X(t) = 6(1-2t)^{-4} \implies E(X) = M'_X(0) = 6

.

M''_X(t) = 48(1-2t)^{-5} \implies E(X^2) = M''_X(0) = 48

. Buradan

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 48 - 36 = 12

.

Y

'nin varyansına geçiş yapabilmek için öncelikle

X

'in varyansını hesaplamak şarttır.

4

Varyans özelliklerini kullanarak

Y

'nin varyansını hesapla.

Var(aX+b) = a^2Var(X)

kuralı gereği,

Var(3X - 2) = 3^2 Var(X) = 9 \times 12 = 108

.

Varyansın doğrusal dönüşümlerde sabitlerden etkilenmediğini ve katsayının karesiyle çarpıldığını uygulamak.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) ile Değişken Dönüşümü

Question 48Question →

Bir finansal risk analisti, belirli bir türev ürünün getirisini modellemek için $0 < x < 2$ aralığında tanımlı ve olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = \frac{3}{8}x^2$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkenini incelemektedir.

Analist, olasılık integral dönüşümünü (probability integral transform) uygulayarak $Y = F(X)$ rastgele değişkenini elde etmiş ve daha sonra simülasyon çalışmalarında kullanmak üzere $W = -2 \ln(Y)$ şeklinde yeni bir rastgele değişken tanımlamıştır. ( $F(x)$ , $X$ 'in birikimli dağılım fonksiyonudur.)

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[W]$ ) ve varyansı ( $Var(W)$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

E[W] = 2, \quad Var(W) = 4

E[W] = 2, \quad Var(W) = 2

E[W] = \frac{1}{2}, \quad Var(W) = \frac{1}{4}

E[W] = -2, \quad Var(W) = 4

E[W] = 4, \quad Var(W) = 16

Show answer & explanation

Answer: $E[W] = 2, \quad Var(W) = 4$

Answer

E[W] = 2, \quad Var(W) = 4

değerlerini içeren seçenektir.

Soru, Olasılık İntegral Dönüşümünün temel bir sonucuna dayanır.

X

'in dağılımı ne olursa olsun (sürekli olmak şartıyla),

Y = F(X)

değişkeni (0,1) aralığında Düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir. Soruda verilen

f(x)

fonksiyonu kullanılarak

F(X)

'in bulunup uzun uzun integral alınmasına gerek yoktur, bu zaman kaybettirici bir çeldiricidir.

Y \sim Uniform(0,1)

olduğu bilindiğinde,

W = -2 \ln(Y)

değişkeni Üstel dağılım özellikleri kullanılarak çözülür.

-\ln(Y) \sim Exp(\lambda=1)

olduğundan,

E[-\ln Y] = 1

ve

Var(-\ln Y) = 1

olur.

W = 2(-\ln Y)

olduğu için

E[W] = 2 \times 1 = 2

ve

Var(W) = 2^2 \times 1 = 4

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Y = F(X)

dönüşümünün olasılık dağılımını belirlemek.

X

sürekli bir rastgele değişken olduğundan, Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform) teoremine göre

Y \sim Uniform(0,1)

dağılımına sahip olur.

Sürekli bir değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) ile dönüştürülmesi her zaman (0,1) aralığında düzgün (uniform) dağılım üretir. Soruda verilen

f(x)

fonksiyonu doğrudan integrasyona girilmeden bu kural kullanılarak çözüme kısayoldan ulaşılmasını hedefler.

2

-\ln(Y)

ifadesinin dağılımını ve momentlerini bulmak.

Y \sim Uniform(0,1)

ise,

U = -\ln(Y)

değişkeni

\lambda = 1

parametreli Üstel (Exponential) dağılıma uyar. Bu nedenle

E[U] = 1

ve

Var(U) = 1

olur.

Y = e^{-U}

dönüşümü uygulandığında Üstel dağılımın temel özellikleri ortaya çıkar.

3

W = -2\ln(Y)

değişkeninin beklenen değerini ve varyansını hesaplamak.

W = 2U

olarak yazılabilir. Beklenen değerin doğrusallığı gereği

E[W] = 2E[U] = 2(1) = 2

bulunur. Varyansın özelliği gereği ise

Var(W) = 2^2 Var(U) = 4(1) = 4

bulunur.

Beklenen değer doğrusal bir operatördür (

E[aX] = aE[X]

). Varyans operatöründe ise katsayı dışarı karesi alınarak çıkar (

Var(aX) = a^2 Var(X)

).

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre sürekli bir X için Y=F(X) ~ Uniform(0,1) olması ve doğrusal dönüşümlerde varyans özellikleri

Question 49Question →

Bir sismoloji araştırma merkezinde, belirli bir fay hattındaki depremlerin merkez üssüne olan uzaklıkları (kilometre cinsinden) sürekli bir

X

rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

X

'in olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{8} e^{-\frac{x^2}{16}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilmiştir.
Bu uzaklıkları bir bilgisayar programında simüle etmek için

(0,1)

aralığında düzgün dağılımlı

U

rastgele sayıları üretilmektedir.
Buna göre, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yöntemi kullanılarak

F(X) = U

eşitliğinden doğrudan elde edilecek

X = F^{-1}(U)

simülasyon denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

X = -16\ln(1-U)

X = 1 - e^{-\frac{U^2}{16}}

X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}

X = \frac{1}{4}\sqrt{-\ln(1-U)}

X = \sqrt{-\ln(1-U)}

Show answer & explanation

Answer: $X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}$

Answer

Doğru simülasyon denklemi

X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}

formülüdür.

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yönteminde, sürekli bir rastgele değişkenin simülasyonu için öncelikle birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) hesaplanır. Verilen

f(x) = \frac{x}{8} e^{-x^2/16}

fonksiyonunun 0'dan

x

'e integrali (

u = t^2/16

dönüşümü yapılarak) alındığında

F(x) = 1 - e^{-x^2/16}

bulunur. Simülasyon gerçekleştirmek için

F(X) = U

eşitliği kurulur:

1 - e^{-X^2/16} = U

. Buradan üslü ifade yalnız bırakılırsa

e^{-X^2/16} = 1 - U

elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritması (

ln

) alındığında

-\frac{X^2}{16} = \ln(1-U)

denklemine ulaşılır. İçler dışlar çarpımıyla

X^2 = -16\ln(1-U)

olur. Uzaklık negatif olamayacağından (

X>0

) karekök alınarak doğru simülasyon denklemi

X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonundan (PDF) integral alınarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplamak.

F(x) = \int_0^x \frac{t}{8} e^{-t^2/16} dt = \left[-e^{-t^2/16}\right]_0^x = 1 - e^{-x^2/16}

Ters dönüşüm yöntemi

F(x)

üzerinden çalıştığı için öncelikle sürekli rastgele değişkenin birikimli olasılık fonksiyonu bulunmalıdır.

2

Ters dönüşüm yöntemi kuralı gereği elde edilen CDF fonksiyonunu

U

rastgele değişkenine eşitlemek.

1 - e^{-X^2/16} = U

U \sim Uniform(0,1)

sayılarını istenen Rayleigh dağılımına dönüştürmek için

F(X) = U

temel denklemi kurulur.

3

Kurulan eşitlikten

X

değişkenini cebirsel işlemlerle yalnız bırakarak ters fonksiyonu, yani

F^{-1}(U)

'yu bulmak.

e^{-X^2/16} = 1 - U \implies -\frac{X^2}{16} = \ln(1-U) \implies X^2 = -16\ln(1-U) \implies X = 4\sqrt{-\ln(1-U)}

Simülasyon programında üretilen her düzgün

U

sayısına karşılık gelen tekil bir

X

uzaklık değeri üretebilmek için

X

formülize edilmelidir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Question 50Question →

Yöneylem araştırması alanında yapılan bir benzetim (simülasyon) modellemesinde, rassal olarak üretilen iki bağımsız girdi parametresi $X$ ve $Y$ ile çalışılmaktadır. Bu parametrelerin her ikisinin de $(0,1)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Modelin bir aşamasında, bu iki girdi parametresinin oranı kullanılarak yeni bir $U = \frac{X}{Y}$ rastgele değişkeni tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < u \le 1 \\ \frac{1}{2u^2}, & u > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

f_U(u) = \begin{cases} 1, & 0 < u \le 1 \\ \frac{1}{u}, & u > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & u > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{u^2}, & u > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{(1+u)^2}, & u > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Show answer & explanation

Answer: $f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < u \le 1 \\ \frac{1}{2u^2}, & u > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$

Answer

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, 0 < u ≤ 1 aralığı için 1/2, u > 1 aralığı için ise 1/(2u^2) değerini alan parçalı fonksiyondur.

Çok değişkenli rastgele değişken dönüşümlerinde doğru yöntem, önce

X=UV

ve

Y=V

dönüşümü ile ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmaktır. Düzgün dağılımın ortak fonksiyonu 1'dir. Jakobiyen determinantı

v

olarak hesaplandığından

U

ve

V

'nin ortak yoğunluğu

v

olur. Değişkenlerin tanımlı olduğu

0 < x < 1

şartı

u \cdot v < 1

sonucunu verir.

u \le 1

iken

v

değişkeni tam aralıkta

(0,1)

değer alabilir ve integral

\frac{1}{2}

çıkar. Ancak

u > 1

iken

v

değişkeni en fazla

1/u

değerine çıkabilir, bu yüzden bu aralıktaki integral

\frac{1}{2u^2}

olarak hesaplanır. İki durum birleştirildiğinde doğru parçalı fonksiyon elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

X

ve

Y

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmak.

f_{X,Y}(x,y) = 1

,

(0 < x < 1

ve

0 < y < 1

için)

Değişkenler

(0,1)

aralığında sürekli düzgün dağılımlı ve birbirlerinden bağımsız oldukları için marjinal yoğunluklarının çarpımı ortak yoğunluğu verir.

2

Dönüşüm değişkenlerini tanımlamak ve Jakobiyen determinantını hesaplamak.

u = x/y

ve

v = y

dönüşümü yapılırsa,

x = u \cdot v

ve

y = v

olur. Jakobiyen determinantı

J = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} = v \cdot 1 - u \cdot 0 = v

bulunur.

Yeni değişkenlerin ortak olasılık fonksiyonunu bulmak için dönüşüm formülünde

|J|

çarpanına ihtiyaç vardır.

3

U

ve

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve sınırlarını bulmak.

g(u,v) = f_{X,Y}(uv, v) \cdot |J| = 1 \cdot v = v

. Sınırlar:

0 < uv < 1 \implies v < 1/u

ve

0 < v < 1

. Bu durumda

v

'nin üst sınırı

\min(1, 1/u)

olur.

Orijinal değişkenlerin tanım aralığından, yeni değişkenlerin birbirine bağlı sınırları belirlenmelidir.

4

V

'ye göre marjinal integral alarak

f_U(u)

fonksiyonunu hesaplamak.

0 < u \le 1

için:

\int_0^1 v \,dv = \frac{1}{2}

.

u > 1

için:

\int_0^{1/u} v \,dv = \frac{1}{2u^2}

.

Sadece

U

'nun olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için, ortak yoğunluk fonksiyonunun

V

'nin uygun sınırları üzerinden integrali alınmalıdır.

Key Concept

İki bağımsız rastgele değişkenin oranının dağılımı ve Çok Değişkenli Dönüşümlerde Jakobiyen

Alternative Method

Bu soru Birikimli Dağılım Fonksiyonu (CDF) yöntemiyle de çözülebilir.

F_U(u) = P(U \le u) = P(X/Y \le u) = P(X \le Y \cdot u)

eşitsizliği dikkate alınarak

(0,1) \times (0,1)

karesi üzerinde alan hesabı yapılabilir.

u \le 1

için doğrusal sınırın kestiği alan dik üçgendir (alan

= u/2

).

u > 1

için alan bir yamuk veya tüm kareden üst üçgenin çıkarılmış halidir (alan

= 1 - 1/(2u)

). Elde edilen bu

F_U(u)

fonksiyonunun türevi doğrudan yoğunluk fonksiyonunu verir.

Estimated Time:2m 0s

Question 51Question →

Bir bölge idare mahkemesinde, belirli bir dava türü için haftalık karara bağlanan dosya sayısının hedeflenen standart sayıdan sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Geçmiş verilere göre $X$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	-2	-1	0	1	2
$P(X=x)$	0,10	0,20	0,40	0,20	0,10

Mahkemenin performans değerlendirme modelinde, sapmalardan kaynaklanan "iş yükü düzeltme endeksi" $Y = |X - 1|$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, rastgele seçilen bir haftada iş yükü düzeltme endeksinin $1$ birim olma olasılığı kaçtır?

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

Show answer & explanation

Answer: 0,50

Answer

İş yükü düzeltme endeksinin 1 olma olasılığı 0,50'dir.

İstenen

P(Y=1)

olasılığı,

Y=|X-1|

dönüşüm fonksiyonunda yerine konulduğunda

|X-1|=1

denklemini verir. Bu denklem çözüldüğünde

X=0

veya

X=2

bulunur. Verilen tabloda

P(X=0)=0,40

ve

P(X=2)=0,10

olduğundan, birbirini dışlayan bu iki olayın olasılıkları toplamı

0,40 + 0,10 = 0,50

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İstenen olasılık ifadesini dönüşüm fonksiyonu cinsinden yazmak.

P(Y = 1) = P(|X - 1| = 1)

Y

rastgele değişkeninin

1

değerini alma olasılığı sorulmaktadır.

2

Mutlak değer denklemini çözerek

X

'in alabileceği değerleri belirlemek.

|X - 1| = 1 \implies X - 1 = 1 \text{ veya } X - 1 = -1 \implies X = 2 \text{ veya } X = 0

Mutlak değerin içi pozitif veya negatif olabileceğinden, denklem her iki durum için çözülmelidir.

3

Belirlenen

X

değerlerinin olasılıklarını tablodan okuyup toplamak.

P(X = 0) + P(X = 2) = 0,40 + 0,10 = 0,50

X=0

ve

X=2

olayları ayrık olaylar olduğundan, birleşimin olasılığı bu olasılıkların toplamına eşittir.

Key Concept

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler ve Mutlak Değer Fonksiyonu

Question 52Question →

Bir ağ donanımı testinde, iki farklı veri paketinin bir sisteme ulaşma süreleri sırasıyla $X$ ve $Y$ olarak ölçülmektedir. $Y$ paketinin daima $X$ paketinden sonra geldiği bilinen bu testte, söz konusu sürelerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi modellenmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sistem performansını değerlendirmek amacıyla bu iki sürenin birbirine oranı olan $U = \frac{X}{Y}$ rastgele değişkeni tanımlanıyor.

Buna göre, $U$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ aşağıdakilerden hangisidir? (Aşağıdaki fonksiyonların tümü $0 < u < 1$ aralığı için tanımlı olup, diğer durumlarda $0$ 'dır.)

f_U(u) = 1

f_U(u) = 2u

f_U(u) = 2(1-u)

f_U(u) = 3u^2

f_U(u) = -\ln(u)

Show answer & explanation

Answer: $f_U(u) = 1$

Answer

f_U(u) = 1

Doğru yanıt olan

f_U(u) = 1

ifadesi, iki değişkenli dönüşüm yöntemi (Jakobiyen) kullanılarak elde edilir.

U=X/Y

ve yardımcı değişken olarak

V=Y

tanımlandığında ters dönüşümler

X=UV

,

Y=V

olur. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

|J|=v

olarak hesaplanır. Dönüşüm sınırları

0 < uv < v < 1

eşitsizliğinden

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

olarak belirlenir. Yeni ortak yoğunluk fonksiyonu

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv, v)|J| = 2v

olur.

U

'nun marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

v

üzerinden

(0,1)

aralığında integral alındığında

\int_0^1 2v \, dv = 1

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

U = X/Y

ve yardımcı bir

V = Y

değişken dönüşümünü tanımlayarak ters dönüşümleri bulma

X = U \cdot V

ve

Y = V

ters dönüşümleri elde edilir.

İki değişkenli dönüşüm yöntemini (Jakobiyen) uygulamak için eski değişkenlerin yeni değişkenler cinsinden yazılması gerekir.

2

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplama

J = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = v

bulunur ve

v=y>0

olduğundan mutlak değer

|J| = v

olur.

Yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu bulurken alan değişim oranını yansıtmak için Jakobiyen katsayısına ihtiyaç vardır.

3

U

ve

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve tanımlı olduğu bölgeyi belirleme

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv, v) \cdot |J| = 2v

bulunur. Sınırlar

0 < x < y < 1

eşitsizliğinde yerine konduğunda

0 < uv < v < 1

olur. Buradan

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

elde edilir.

Marjinal dağılımı bulabilmek için öncelikle yeni değişkenlerin ortak dağılımını ve doğru integral sınırlarını belirlemek şarttır.

4

v

değişkeni üzerinden integral alarak

U

'nun marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma

f_U(u) = \int_0^1 2v \, dv = v^2 \Big|_0^1 = 1

elde edilir. Dağılım

0 < u < 1

aralığında geçerlidir.

U

oran değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşmak için

V

değişkeninin ortak dağılımdan entegre edilerek aradan çıkarılması gerekir.

Key Concept

Değişkenlerin Bölüm Dağılımı ve Jakobiyen Dönüşümü

Alternative Method

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemiyle de hızlıca çözülebilir:

F_U(u) = P(U \le u) = P(X/Y \le u) = P(X \le uY)

yazılır. Ortak yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge (

0 < x < y < 1

) dikkate alınarak doğrudan integral kurulur:

F_U(u) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{uy} 2 \, dx \, dy = \int_{0}^{1} 2uy \, dy = u \cdot y^2 \Big|_{0}^{1} = u

. Buradan türev alınarak

f_U(u) = \frac{d}{du} u = 1

elde edilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 53Question →

Bir fabrikada üretilen parçaların standart ölçüden milimetre cinsinden sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$-1$	$1$	$2$
$P(X=x)$	$0,2$	$0,3$	$0,4$	$0,1$

Bu parçaların hata maliyeti $Y = X^2$ fonksiyonu ile hesaplandığına göre, hata maliyetinin $1$ birim olma olasılığı ( $P(Y=1)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,2

0,3

0,4

0,7

0,5

Show answer & explanation

Answer: 0,7

Answer

Hata maliyetinin 1 birim olma olasılığı 0,7 olarak hesaplanır.

Verilen

Y = X^2

dönüşümünde,

Y

değişkeninin

1

değerini alabilmesi için

X

değişkeninin karesinin

1

olması gerekir. Bu durum

X = 1

veya

X = -1

olduğunda gerçekleşir. Olasılık kütle fonksiyonu kurallarına göre,

P(Y = 1)

olasılığı bu iki durumun olasılıklarının toplamına eşittir. Tablodan

P(X = 1) = 0,4

ve

P(X = -1) = 0,3

değerleri toplandığında

0,7

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşüm fonksiyonu kullanılarak

Y=1

sonucunu veren

X

değerlerini belirleyin.

X^2 = 1 \Rightarrow X = -1

veya

X = 1

Kesikli rastgele değişkenlerde dönüşüm yaparken, yeni değişkenin değerini sağlayan tüm eski değişken değerleri bulunmalıdır.

2

Belirlenen

X

değerlerinin olasılıklarını tabloda bulun.

P(X = -1) = 0,3

ve

P(X = 1) = 0,4

Tabloda verilen olasılık kütle fonksiyonu, her bir

X

değeri için gerçekleşme ihtimalini gösterir.

3

Bu iki durumun olasılıklarını toplayarak

P(Y=1)

değerine ulaşın.

P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0,3 + 0,4 = 0,7

X=-1

ve

X=1

olayları ayrık olaylar olduğu için olasılıkları toplanır.

Key Concept

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Değişken Dönüşümü

Practice More

Benzer bir soruda

Y = |X|

dönüşümü yapılarak mutlak değer etkisini pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 54Question →

İstatistiksel analizlerde, $X$ ve $Y$ bağımsız standart normal rastgele değişkenler olmak üzere $Z = \frac{X}{Y}$ oran değişkeninin dağılımı Standart Cauchy dağılımıdır. Bu dağılımın elde edilmesinde kullanılan değişken değiştirme yöntemi kapsamında, $X = ZY$ ve $Y = Y$ ters dönüşümü tanımlandığında, bu dönüşüme ait Jakobiyen (Jacobian) determinantının mutlak değeri ( $|J|$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

|Y|

1

|Z|

Y^2

\frac{1}{|Y|}

Show answer & explanation

Answer: $|Y|$

Answer

Jakobiyen determinantının mutlak değeri

|Y|

olarak bulunur.

Verilen

X = ZY

ve

Y = Y

dönüşümü için Jakobiyen matrisi

\begin{pmatrix} y & z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

şeklindedir. Bu matrisin determinantı

y

değerine eşittir ve mutlak değeri alındığında

|Y|

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini yazın.

x = zy

ve

y = y

Jakobiyen yöntemi, eski değişkenlerin (

x, y

) yeni değişkenler (

z, y

) cinsinden ifadesini gerektirir.

2

Kısmi türevleri hesaplayın.

\frac{\partial x}{\partial z} = y

,

\frac{\partial x}{\partial y} = z

,

\frac{\partial y}{\partial z} = 0

,

\frac{\partial y}{\partial y} = 1

Jakobiyen matrisinin bileşenlerini oluşturmak için türevler gereklidir.

3

Jakobiyen matrisini kurun ve determinantı hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} y & z \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (y \times 1) - (z \times 0) = y

Dönüşümün ölçekleme faktörünü bulmak için determinant hesaplanır.

4

Mutlak değeri alın.

|J| = |y|

veya rastgele değişken cinsinden

|Y|

Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif olamayacağı için Jakobiyen mutlak değer içinde kullanılır.

Key Concept

İki değişkenli dönüşümlerde Jakobiyen determinantı kullanımı

Alternative Method

Dönüşümü

X=g_1(Z,Y)

ve

Y=g_2(Z,Y)

olarak belirleyip standart determinant formülünü doğrudan uygulamaktır.

Estimated Time:45s

Question 55Question →

Bir laboratuvar deneyinde, hassas bir termometrenin ölçüm hatası $X$ (derece cinsinden), $(-2, 2)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip sürekli bir rastgele değişkendir. Deneyin hata maliyeti $Y = X^2$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $0 < y < 4$ aralığı için $Y$ değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

F_Y(y) = \frac{\sqrt{y}}{2}

F_Y(y) = \frac{\sqrt{y} + 2}{4}

F_Y(y) = \sqrt{y}

F_Y(y) = \frac{y}{4}

F_Y(y) = \frac{y^2}{16}

Show answer & explanation

Answer: $F_Y(y) = \frac{\sqrt{y}}{2}$

Answer

Kök y bölü 2 (

F_Y(y) = \frac{\sqrt{y}}{2}

)

Doğru yanıt olan kök y bölü 2 ifadesi,

X

değişkeninin hem negatif hem de pozitif bölgelerdeki yoğunluğunu dikkate alan birikimli dağılım fonksiyonu tanımına dayanmaktadır.

X^2 \leq y

eşitsizliği simetrik bir aralık tanımlar ve bu aralık integral ile toplandığında sonuç

\frac{\sqrt{y}}{2}

olur.

Step-by-Step Solution

1

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) tanımla.

f_X(x) = \frac{1}{2 - (-2)} = \frac{1}{4}, \quad -2 < x < 2

X

değişkeni

(-2, 2)

aralığında düzgün dağılıma sahiptir.

2

Y

değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) olasılık cinsinden ifade et.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)

Birikimli dağılım fonksiyonunun temel tanımı gereği.

3

X^2 \leq y

eşitsizliğini

X

cinsinden çöz.

-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}

Karesi

y

'den küçük veya eşit olan

X

değerleri,

-\sqrt{y}

ile

\sqrt{y}

aralığındadır.

4

Elde edilen aralığı

X

'in PDF'i üzerinden integre et.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{4} dx = \left[ \frac{x}{4} \right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{4} - \left( -\frac{\sqrt{y}}{4} \right) = \frac{2\sqrt{y}}{4} = \frac{\sqrt{y}}{2}

0 < y < 4

aralığı için

-\sqrt{y}

ve

\sqrt{y}

değerleri

(-2, 2)

tanım kümesi içindedir.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) yöntemi ile rastgele değişken dönüşümü yaparken, eşitsizlik bölgesinin tüm tanım kümesini kapsaması ve mutlak değer içeren bölgelerin (karesel dönüşümler gibi) doğru ayrıştırılması esastır.

Estimated Time:50s

Question 56Question →

İstatistiksel bir modelleme çalışmasında, bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olarak belirlenmiştir. Bu değişken üzerinde $Y = 3X + 5$ şeklinde bir doğrusal dönüşüm yapıldığında, yeni elde edilen $Y$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

e^{5t} M_X(3t)

e^{3t} M_X(5t)

3 M_X(t) + 5

M_X(3t + 5)

5 e^{3t} M_X(t)

Show answer & explanation

Answer: $e^{5t} M_X(3t)$

Answer

Yeni rastgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu

e^{5t} M_X(3t)

ifadesidir.

Doğru seçenek olan ifade, moment çıkaran fonksiyonların temel özelliklerinden biri olan doğrusal dönüşüm kuralını (

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

) tam olarak yansıtmaktadır. Verilen

Y = 3X + 5

dönüşümünde eğim katsayısı

a=3

ve sabit terim

b=5

olduğundan, kural uygulandığında sonuç

e^{5t} M_X(3t)

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) tanımını yazın.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

MGF, değişkenin üstel fonksiyonunun beklenen değeri olarak tanımlanır.

2

Y = 3X + 5

dönüşümünü tanımda yerine koyun.

M_Y(t) = E[e^{t(3X + 5)}]

Y

değişkeninin

X

cinsinden ifadesini beklenen değer içine yerleştirerek

X

üzerinden bir ifade elde etmek gerekir.

3

Üstel ifadeyi parçalara ayırın.

E[e^{3tX} \cdot e^{5t}]

Üslü sayıların çarpma kuralı (

e^{A+B} = e^A \cdot e^B

) kullanılarak sabit ve değişken kısımlar ayrılır.

4

Beklenen değerin doğrusal özelliğini kullanarak sabiti dışarı çıkarın.

e^{5t} E[e^{(3t)X}]

e^{5t}

ifadesi

X

değişkenine bağlı olmadığı için beklenen değer operatörünün dışına çarpan olarak alınabilir.

5

Elde edilen ifadeyi

X

'in moment çıkaran fonksiyonu cinsinden tanımlayın.

M_Y(t) = e^{5t} M_X(3t)

E[e^{(at)X}]

ifadesi

M_X(at)

tanımına karşılık gelir; burada

a=3

olarak görülmektedir.

Key Concept

Moment çıkaran fonksiyonların doğrusal dönüşüm özelliği:

Y = aX + b ⇒ M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

Estimated Time:45s

Question 57Question →

Sürekli rastgele değişkenlerin dönüşümü işlemlerinde, iki değişkenin çarpımı olan $U = XY$ değişkeninin dağılımını belirlemek amacıyla sıklıkla $V = X$ yardımcı değişkeni tanımlanır. Bu dönüşüm yöntemiyle $X$ ve $Y$ değişkenleri $U$ ve $V$ cinsinden $X = V$ ve $Y = \frac{U}{V}$ olarak ifade edilmektedir. Buna göre, bu dönüşümün Jakobiyen (Jacobian) determinantının mutlak değeri ( $|J|$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

1/|v|

|v|

1

|u/v^2|

|u|

Show answer & explanation

Answer: 1/|v|

Answer

Çarpım dönüşümü için Jakobiyen determinantının mutlak değeri

1/|v|

şeklindedir.

Verilen ters dönüşüm fonksiyonları

x=v

ve

y=u/v

üzerinden kısmi türevler alındığında, matrisin determinantı

-1/v

çıkmaktadır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünde kullanılan mutlak değer

|J|

ise

1/|v|

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini kullanarak kısmi türevleri hesaplayın.

x = v \Rightarrow \frac{\partial x}{\partial u} = 0, \frac{\partial x}{\partial v} = 1

ve

y = \frac{u}{v} \Rightarrow \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{v}, \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{u}{v^2}

Jakobiyen matrisini oluşturmak için her bir eski değişkenin her bir yeni değişkene göre türevi gereklidir.

2

Jakobiyen matrisini kurun ve determinantını hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{v} & -\frac{u}{v^2} \end{vmatrix} = (0 \cdot -\frac{u}{v^2}) - (1 \cdot \frac{1}{v}) = -\frac{1}{v}

İki değişkenli dönüşümlerde olasılık yoğunluk fonksiyonu ölçeklemesi bu determinant ile yapılır.

3

Determinantın mutlak değerini alın.

|J| = |-\frac{1}{v}| = \frac{1}{|v|}

Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif olamayacağı için Jakobiyen determinantının daima mutlak değeri kullanılır.

Key Concept

İki Değişkenli Jakobiyen Dönüşümü

Question 58Question →

Bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = e^{2t + 8t^2}$ olarak tanımlanmıştır. $Y = \frac{1}{2}X + 3$ şeklinde tanımlanan yeni bir rastgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ aşağıdakilerden hangisidir?

e^{4t + 2t^2}

e^{3.5t + 4t^2}

e^{4t + 8t^2}

\frac{1}{2}e^{2t + 8t^2} + 3

e^{2t + 8t^2}

Show answer & explanation

Answer: $e^{4t + 2t^2}$

Answer

Dönüşüm sonucunda elde edilen moment çıkaran fonksiyon

e^{4t + 2t^2}

şeklindedir.

Doğru cevap,

M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

kuralının hatasız uygulanmasıyla elde edilir.

a=0,5

ve

b=3

değerleri için

M_X(0,5t) = e^{t + 2t^2}

olur ve dışarıdaki

e^{3t}

terimi ile çarpıldığında üsler toplanarak

4t + 2t^2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Moment çıkaran fonksiyonlar için doğrusal dönüşüm kuralını belirleme

M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

Doğrusal bir dönüşümün moment çıkaran fonksiyonu, orijinal fonksiyonun ölçeklenmiş ve kaydırılmış hali cinsinden ifade edilir.

2

Verilen katsayıları (

a=1/2, b=3

) kuralda yerine yazma

M_Y(t) = e^{3t} M_X(\frac{1}{2}t)

Soruda tanımlanan

Y = \frac{1}{2}X + 3

ifadesindeki sabitleri kurala uyarlamak gerekir.

3

M_X(t)

fonksiyonunda

t

yerine

\frac{1}{2}t

yazarak ifadeyi düzenleme

M_Y(t) = e^{3t} \cdot e^{2(\frac{1}{2}t) + 8(\frac{1}{2}t)^2} = e^{3t} \cdot e^{t + 2t^2} = e^{4t + 2t^2}

Üstel ifadelerin çarpımı, üslerin toplanması kuralı ile nihai fonksiyonu verir.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşüm Özelliği

Question 59Question →

Bir belediyenin halkla ilişkiler birimine günlük gelen şikayet sayısının, haftalık ortalamadan sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0,25$	$0,40$	$0,35$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile tanımlanan yeni rastgele değişken için $P(Y=1)$ olasılığı kaçtır?

0,25

0,35

0,40

0,60

1,00

Show answer & explanation

Answer: $0,60$

Answer

P(Y=1) = 0,60

olarak bulunur.

Verilen

Y = X^2

dönüşümünde,

Y=1

değerine ulaşmak için

X

değişkeninin karesi

1

olan tüm değerleri dikkate alınmalıdır.

X

kesikli değişkeni

-1

ve

1

değerlerini alabildiği için, bu iki durumun olasılıklarının (

0,25

ve

0,35

) toplamı olan

0,60

, yeni değişkenin ilgili noktadaki olasılığını verir.

Step-by-Step Solution

1

Y = X^2

dönüşümünde

Y=1

sonucunu veren

X

değerlerini belirleyin.

X^2 = 1 \implies X = -1

veya

X = 1

değerlerini alır.

Dönüşüm fonksiyonu bire-bir olmadığından, her iki değer de aynı sonucu üretir.

2

Belirlenen

X

değerlerinin orijinal olasılıklarını tablodan bulun.

P(X = -1) = 0,25

ve

P(X = 1) = 0,35

olduğu görülür.

Kesikli dağılımlarda olasılık kütle fonksiyonu her nokta için tanımlıdır.

3

Dönüşüm sonrası

Y=1

olasılığını bulmak için bu olasılıkları toplayın.

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,25 + 0,35 = 0,60

.

Ayrık olayların (X=-1 ve X=1) birleşim olasılığı, olasılıkların toplamına eşittir.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan dönüşümlerde, aynı sonuca giden tüm başlangıç değerlerinin olasılıkları toplanır.

Practice More

Değişken dönüşümlerinde tanım kümesinin (destek bölgesinin) nasıl değiştiğini incelemek için

Y = |X|

gibi farklı dönüşüm türleri üzerinde pratik yapabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 60Question →

Bir meteoroloji istasyonunda rüzgar hızı ( $X$ ) verileri için sürekli bir dağılım modeli geliştirilmiştir. Bu modelde $X$ değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ ile gösterilmektedir. Olasılık İntegral Dönüşümü teoremi uyarınca, $Y = F(X)$ dönüşümü ile elde edilen rastgele değişkenin beklenen değeri ( $E[Y]$ ) ve varyansı ( $Var(Y)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

E[Y] = 1/2

ve

Var(Y) = 1/12

E[Y] = 0

ve

Var(Y) = 1

E[Y] = 1/2

ve

Var(Y) = 1/2

E[Y] = 1

ve

Var(Y) = 0

E[Y] = 1/2

ve

Var(Y) = 1/4

Show answer & explanation

Answer: $E[Y] = 1/2$ ve $Var(Y) = 1/12$

Answer

Beklenen değerin

1/2

ve varyansın

1/12

olduğu ifade doğrudur.

Sürekli bir rastgele değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (

F

) ile dönüştürülmesi, istatistikte temel bir teorem olup sonuçta

[0,1]

aralığında standart düzgün dağılım (

U(0,1)

) üretir. Bu dağılımın teorik beklenen değeri tam orta noktası olan

1/2

, varyansı ise

(b-a)^2/12

formülünden

1/12

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Y = F(X)

değişkeninin dağılımını belirle.

Y \sim U(0, 1)

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

değişkeninin kendi birikimli dağılım fonksiyonu altındaki görüntüsü

[0,1]

aralığında düzgün dağılır.

2

U(0, 1)

dağılımı için beklenen değeri hesapla.

E[Y] = \frac{0+1}{2} = 0,5

Düzgün dağılımın beklenen değer formülü

E[Y] = \frac{a+b}{2}

şeklindedir.

3

U(0, 1)

dağılımı için varyansı hesapla.

Var(Y) = \frac{(1-0)^2}{12} = \frac{1}{12}

Düzgün dağılımın varyans formülü

Var(Y) = \frac{(b-a)^2}{12}

şeklindedir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü sonucunda elde edilen

Y = F(X)

değişkeni,

X

hangi sürekli dağılıma sahip olursa olsun her zaman

U(0,1)

dağılımına sahip olur.

Practice More

Düzgün dağılımdan elde edilen bir sayıyı kullanarak istenen bir dağılımdan (örneğin Üstel dağılım) veri üretmek için kullanılan Ters Dönüşüm Yöntemini inceleyiniz.

Estimated Time:45s

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution