Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 4

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = 1, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

$U = 2X$ ve $V = 3Y$ olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3

h(u, v) = 6, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3

h(u, v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{1}{5}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3

Show answer & explanation

Answer: $h(u, v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3$

Answer

h(u, v) = \frac{1}{6}

fonksiyonu ile

0 < u < 2

ve

0 < v < 3

sınırlarını içeren seçenek doğrudur.

Doğru cevap,

U=2X

ve

V=3Y

doğrusal dönüşümü için Jakobiyen determinantının

|(1/2) \times (1/3)| = 1/6

olduğunu ve yeni sınırların

u \in (0, 2)

,

v \in (0, 3)

aralığına genişlediğini doğru bir şekilde göstermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini yazın.

x = \frac{u}{2}

ve

y = \frac{v}{3}

Jakobiyen determinantını hesaplamak için orijinal değişkenlerin yeni değişkenler cinsinden ifadesi gerekir.

2

Jakobiyen determinantını hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Çok değişkenli dönüşümlerde yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile ölçeklenir.

3

Yeni yoğunluk fonksiyonunu formüle yerleştirin.

h(u, v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

Dönüşüm kuralı gereği yeni PDF, eski PDF ile Jakobiyen çarpanının çarpımıdır.

4

Yeni değişkenlerin tanım aralığını (destek bölgesini) belirleyin.

0 < x < 1 \implies 0 < \frac{u}{2} < 1 \implies 0 < u < 2

ve

0 < y < 1 \implies 0 < \frac{v}{3} < 1 \implies 0 < v < 3

Değişken dönüşümü yapıldığında olasılığın tanımlı olduğu bölge de değişir.

Key Concept

İki değişkenli bir dönüşümde

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

kuralı uygulanır ve sınırlar her değişken için ayrı ayrı güncellenir.

Practice More

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı için konvolüsyon yöntemini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 62Question →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilmiştir. Bu değişkenler üzerinde $U = X^2$ ve $V = Y$ şeklinde bir değişken dönüşümü tanımlandığına göre, yeni değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 2\sqrt{u}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{1}{4u}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

Show answer & explanation

Answer: $h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$

Answer

h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

ifadesi doğru olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Dönüşüm için Jakobiyen determinantı

\frac{1}{2\sqrt{u}}

olarak hesaplanır ve orijinal PDF olan 1 ile çarpıldığında doğru sonuç elde edilir. Tanım aralıkları da bire-bir dönüşüm altında korunur.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini yazınız.

x = \sqrt{u}

ve

y = v

Orijinal değişkenleri (

x, y

) yeni değişkenler (

u, v

) cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayınız.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{u}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{u}}

Çok değişkenli dönüşümlerde alan değişimini temsil eden Jakobiyen çarpanı hesaplanmalıdır.

3

Yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunu

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

formülüyle bulunuz.

h(u, v) = 1 \cdot |\frac{1}{2\sqrt{u}}| = \frac{1}{2\sqrt{u}}

Ortak PDF dönüşüm formülü uygulanarak yeni yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

4

Yeni tanım bölgesini (support) belirleyiniz.

0 < x < 1 \implies 0 < \sqrt{u} < 1 \implies 0 < u < 1

ve

0 < y < 1 \implies 0 < v < 1

Değişkenlerin tanımlı olduğu aralıklar dönüşüm altında yeniden kontrol edilmelidir.

Key Concept

Jakobiyen Determinantı ile Değişken Dönüşümü

Question 63Question →

Bir kamu kurumunun dijital arşivinde bir saatte tespit edilen hatalı kayıt sayısı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	-1	0	1	2
$P(X=x)$	0,1	0,2	0,4	0,3

Bu kayıtlar için tanımlanan bir risk endeksi $Y = X^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, risk endeksinin 1 olma olasılığı ( $P(Y=1)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Show answer & explanation

Answer: 0,5

Answer

Risk endeksinin 1 olma olasılığı 0,5'tir.

Risk endeksinin (

Y

) 1 olması durumu, hata sayısının (

X

) 1 veya -1 olduğu durumlarda gerçekleşir. Verilen tabloya göre

P(X=1) = 0,4

ve

P(X=-1) = 0,1

olduğundan, toplam olasılık

0,4 + 0,1 = 0,5

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Y = 1

sonucunu veren

X

değerlerini belirleyelim.

X^2 = 1 \Rightarrow X = 1

ve

X = -1

Dönüşüm fonksiyonu

Y = X^2

olduğu için,

Y

değerinin 1 olması için

X

değerinin karesi 1 olmalıdır.

2

P(Y=1)

olasılığını hesaplayalım.

P(Y=1) = P(X=1) + P(X=-1)

Kesikli rastgele değişkenlerde dönüşüm yapılırken, yeni değişkenin bir değeri alması, o değeri üreten tüm eski değişken değerlerinin olasılıklarının toplamına eşittir.

3

Tablodaki olasılık değerlerini toplayalım.

0,4 + 0,1 = 0,5

Tabloda

X = 1

için olasılık 0,4 ve

X = -1

için olasılık 0,1 olarak verilmiştir.

Key Concept

Kesikli bir rastgele değişkenin dönüşümü altında bir olasılığın hesaplanması, o sonucu veren tüm girdi değerlerinin olasılıklarının toplanmasını gerektirir.

Practice More

Değişkenin

Y = |X|

veya

Y = X+1

gibi farklı dönüşümleri için olasılık kütle fonksiyonunu oluşturmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 64Question →

Sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ ile gösterilmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) teoremine göre, $Y = F(X)$ olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Standart Normal Dağılım

(0, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Parametresi

\lambda=1

olan Üstel Dağılım

(0, 1)

aralığında Kesikli Düzgün Dağılım

(-1, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Show answer & explanation

Answer: $(0, 1)$ aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Answer

(0, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (

F

) altındaki dönüşümü, parametrelerinden bağımsız olarak her zaman Standart Düzgün Dağılım (

U(0, 1)

) verir. Bunun nedeni,

P(F(X) \leq y)

olasılığının doğrudan

y

değerine eşit çıkmasıdır.

Step-by-Step Solution

1

Y = F(X)

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (

G(y)

) tanımlayın.

G(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)

Bir rastgele değişkenin dağılımını belirlemenin en temel yolu onun birikimli dağılım fonksiyonunu bulmaktır.

2

F(x)

fonksiyonunun tersini alarak eşitsizliği

X

cinsinden ifade edin.

P(X \leq F^{-1}(y))

ve bu ifade

F(F^{-1}(y))

değerine eşittir.

Olasılık integral dönüşümünde

F(x)

monoton artan bir fonksiyon olduğu için tersi mevcuttur ve eşitsizliğin yönü değişmez.

3

Elde edilen birikimli dağılım değerini hesaplayın ve sonucu yorumlayın.

G(y) = y

(burada

0 < y < 1

)

G(y) = y

fonksiyonu,

(0, 1)

aralığındaki Sürekli Düzgün Dağılımın birikimli dağılım fonksiyonudur.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

Hints

1

Birikimli dağılım fonksiyonu

F(x)

'in alabileceği değer aralığını düşünün.

2

Y = F(X)

ise

P(Y \leq y)

olasılığını

P(X \leq F^{-1}(y))

şeklinde yazmayı deneyin.

Practice More

Bu teoremin tersi olan 'Ters Dönüşüm Yöntemi'nin (Inverse Transform Sampling) simülasyonlarda nasıl kullanıldığını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Teoremi doğrudan hatırlamak en hızlı yoldur: Bir sürekli değişken kendi CDF'si ile dönüştürülürse sonuç her zaman

U(0,1)

olur.

Estimated Time:45s

Question 65Question →

Bir kamu kurumunda iki farklı işlem birimi ( $X$ ve $Y$ ) bulunmaktadır. Bu birimlerin belirli bir zaman aralığında tamamladıkları işlem sayıları birbirinden bağımsızdır ve olasılık kütle fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

- $P(X=0) = 0,60$ ve $P(X=1) = 0,40$
- $P(Y=0) = 0,70$ ve $P(Y=1) = 0,30$

Buna göre, bu iki birimde tamamlanan toplam işlem sayısının tam olarak 1 olma olasılığı ( $P(X+Y=1)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,12

0,18

0,28

0,46

0,70

Show answer & explanation

Answer: 0,46

Answer

İki birimde tamamlanan toplam işlem sayısının tam olarak 1 olma olasılığı 0,46'dır.

Bağımsız

X

ve

Y

rastgele değişkenlerinin toplamı olan

Z = X + Y

için

P(Z=1)

olasılığı,

X

ve

Y

'nin toplamı 1'i veren tüm mümkün durumlarının bileşik olasılıklarının toplamıdır. Bu durumda

(X=0, Y=1)

ve

(X=1, Y=0)

durumları mevcuttur. Bağımsızlık nedeniyle bileşik olasılıklar çarpım şeklinde hesaplanır:

(0,60 \times 0,30) + (0,40 \times 0,70) = 0,18 + 0,28 = 0,46

.

Step-by-Step Solution

1

Toplam rastgele değişkenini tanımlama

Z = X + Y

ve hedef değer

Z = 1

olarak belirlenir.

Soruda iki bağımsız değişkenin toplamının belirli bir değer alma olasılığı sorulmaktadır.

2

Z = 1

sonucunu veren mümkün (X, Y) ikililerini listeleme

Z = 1

olması için ya

(X=0, Y=1)

ya da

(X=1, Y=0)

durumları gerçekleşmelidir.

Değişkenlerin tanımlı olduğu değerler 0 ve 1 olduğundan, toplamın 1 olması bu iki ayrık durumla sınırlıdır.

3

Bağımsızlık varsayımı ile bileşik olasılıkları hesaplama

P(X=0, Y=1) = 0,60 \times 0,30 = 0,18

ve

P(X=1, Y=0) = 0,40 \times 0,70 = 0,28

bulunur.

Değişkenler bağımsız olduğu için ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.

4

Ayrık durumların olasılıklarını toplama

0,18 + 0,28 = 0,46

sonucuna ulaşılır.

Toplam değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (konvolüsyon), bu bileşik olasılıkların toplamıdır.

Key Concept

Bağımsız kesikli rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı, bu değişkenlerin olasılık kütle fonksiyonlarının evrişimi (convolution) ile elde edilir.

Estimated Time:45s

Question 66Question →

Bir yatırım fonunun günlük getiri oranındaki sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0,20$	$0,50$	$0,30$

Fon yöneticisi, getirideki oynaklığı analiz etmek için $Y = X^2$ dönüşümünü kullanmaktadır. Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,50

P(Y=-1) = 0,20

,

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,30

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,30

P(Y=0) = 0,30

ve

P(Y=1) = 0,70

P(Y=1) = 1,00

Show answer & explanation

Answer: $P(Y=0) = 0,50$ ve $P(Y=1) = 0,50$

Answer

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,50

değerlerini içeren dağılım doğrudur.

Doğru cevapta,

Y=X^2

dönüşümü sonucu

X=0

için

Y=0

elde edilirken,

X=-1

ve

X=1

için

Y=1

elde edilmektedir.

Y=1

olasılığı, bu iki durumun olasılıkları toplamı olan

0,20 + 0,30 = 0,50

olarak hesaplanır. Böylece

P(Y=0)=0,50

ve

P(Y=1)=0,50

olur.

Step-by-Step Solution

1

Y = X^2

dönüşümü için

Y

değişkeninin alabileceği değerleri (destek kümesini) belirleyin.

X \in \{-1, 0, 1\}

ise

Y \in \{(-1)^2, 0^2, 1^2\} = \{1, 0, 1\}

. Yani

Y

sadece

0

ve

1

değerlerini alabilir.

Dönüşüm fonksiyonu, bağımsız değişkenin her değerini yeni bir değer setine eşler.

2

Y

değişkeninin her bir değeri için karşılık gelen

X

değerlerinin olasılıklarını toplayın.

P(Y=0) = P(X=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,20 + 0,30 = 0,50

.

Y=1

durumu hem

X=-1

hem de

X=1

durumunda gerçekleştiği için bu iki ayrık olayın olasılığı toplanmalıdır.

3

Elde edilen olasılıkların toplamının

1

olduğunu kontrol edin.

0,50 + 0,50 = 1,00

.

Geçerli bir olasılık kütle fonksiyonunun tüm değerler üzerindeki toplamı

1

olmalıdır.

Key Concept

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler ve Olasılıkların Toplanması

Practice More

Değişkenin tanım kümesi bire-bir olmayan bir fonksiyonla dönüştürüldüğünde (mutlak değer gibi), hangi değerlerin çakıştığına dikkat ederek soru çözmeye devam edin.

Estimated Time:45s

Question 67Question →

Bir lojistik firmasında çalışan iki bağımsız kuryenin ( $X$ ve $Y$ ), bir iş gününde teslim ettikleri paket sayılarına ilişkin olasılık dağılımları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Paket Sayısı ( $k$ )	$P(X=k)$	$P(Y=k)$
1	0,6	0,7
2	0,4	0,3

Buna göre, bu iki kuryenin bir gün içinde teslim ettikleri toplam paket sayısının tam olarak 3 olma olasılığı ( $P(X+Y=3)$ ) kaçtır?

0,12

0,18

0,28

0,42

0,46

Show answer & explanation

Answer: 0,46

Answer

0,46

Toplamın 3 olması için iki farklı durum mümkündür: Birinci kuryenin 1 paket ve ikinci kuryenin 2 paket teslim etmesi (

0,6 \times 0,3 = 0,18

) veya birinci kuryenin 2 paket ve ikinci kuryenin 1 paket teslim etmesi (

0,4 \times 0,7 = 0,28

). Bu iki durum birbirinden ayrık olduğu için olasılıkları toplanır ve sonuç 0,46 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Toplamın 3 olmasını sağlayan

(X, Y)

ikililerini belirle.

(1, 2)

ve

(2, 1)

durumları.

Kesikli rastgele değişkenlerin toplamında hedef değere ulaşan tüm kombinasyonlar dikkate alınmalıdır.

2

Bağımsızlık varsayımı altında her bir durumun ortak olasılığını hesapla.

P(X=1, Y=2) = 0,6 \times 0,3 = 0,18

ve

P(X=2, Y=1) = 0,4 \times 0,7 = 0,28

.

Değişkenler bağımsız olduğu için ortak olasılık, marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.

3

Hesaplanan olasılıkları topla (Konvolüsyon).

0,18 + 0,28 = 0,46

.

Ayrık durumların olasılıkları toplanarak toplam değişkenin olasılık kütle fonksiyonu elde edilir.

Key Concept

Bağımsız Kesikli Değişkenlerin Toplamı ve Ayrık Konvolüsyon

Alternative Method

Olasılıkları bir 2x2 matrise yerleştirerek tüm toplamları (2, 3, 4) ve olasılıklarını tek seferde görebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 68Question →

Bir kamu kurumunda, bir teknik personelin günlük araç yakıt tüketimi $X$ (litre) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu personelin günlük toplam yakıt maliyet indeksi $Y = X^2 + 1$ fonksiyonu ile hesaplandığına göre, maliyet değişkeni $Y$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 1 < y < 5

f_Y(y) = \frac{\sqrt{y-1}}{2}, \quad 1 < y < 5

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 0 < y < 4

f_Y(y) = y - 1, \quad 1 < y < 5

f_Y(y) = \frac{1}{2}, \quad 1 < y < 5

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 1 < y < 5$

Answer

Maliyet değişkeni

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

1 < y < 5

aralığında

1/4

değerine eşittir.

Doğru çözümde

x = \sqrt{y-1}

ters dönüşümü yapılarak

|dx/dy| = 1/(2\sqrt{y-1})

Jakobiyen terimi hesaplanmıştır.

f_X(x)

fonksiyonunda

x

yerine

\sqrt{y-1}

yazılıp bu terimle çarpıldığında kareköklü ifadeler birbirini götürerek

1/4

sabit değeri elde edilir. Ayrıca

x

değerleri 0 ile 2 arasındayken

y

değerleri 1 ile 5 arasında değiştiği için doğru tanım aralığı da sağlanmış olur.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm fonksiyonunu belirleme

x = \sqrt{y-1}

Değişken değiştirme yönteminde

x

,

y

cinsinden ifade edilmelidir (

0 < x < 2

olduğu için pozitif kök alınır).

2

Jakobiyen (türev) terimini hesaplama

|J| = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2\sqrt{y-1}}

Yeni yoğunluk fonksiyonu, eski fonksiyonun türevsel değişim oranıyla ölçeklenmesini gerektirir.

3

Tanım aralığını (destek) dönüştürme

x=0 \Rightarrow y=1

ve

x=2 \Rightarrow y=5

x

'in sınırları

0 < x < 2

olduğu için

y

'nin sınırları

1 < y < 5

olarak güncellenmelidir.

4

Dönüşüm formülünü uygulama

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y-1}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y-1}} = \frac{\sqrt{y-1}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y-1}} = \frac{1}{4}

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |(g^{-1})'(y)|

kuralı uygulanır.

Key Concept

Tek Değişkenli Sürekli Rastgele Değişkenlerin Dönüşümü (Jakobiyen Yöntemi)

Question 69Question →

Bir kamu kurumunda personelin aylık dosya inceleme sayısının hedeflenen standarttan sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmiştir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$0$	$2$
$P(X=x)$	$0,25$	$0,40$	$0,35$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkeni için $P(Y=4)$ olasılığı kaçtır?

0,25

0,35

0,40

0,60

0,75

Show answer & explanation

Answer: $0,60$

Answer

P(Y=4) = 0,60

değeridir.

Doğru cevap olan

0,60

,

Y=X^2

fonksiyonunda

Y=4

sonucunu üreten

X=-2

(

0,25

) ve

X=2

(

0,35

) değerlerinin olasılıklarının toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1

Y = X^2

dönüşümünde

Y = 4

sonucunu veren

X

değerlerini belirleyin.

X^2 = 4 \implies X = -2

veya

X = 2

Kesikli bir değişkenin dönüşümünde, hedef değere karşılık gelen tüm kaynak değerlerin olasılıkları toplanmalıdır.

2

Belirlenen

X

değerlerinin olasılıklarını tablodan bulun ve toplayın.

P(Y = 4) = P(X = -2) + P(X = 2) = 0,25 + 0,35 = 0,60

-2

ve

2

değerleri ayrık olaylar olduğu için olasılık kütle fonksiyonunda bu değerlerin olasılıkları doğrudan toplanır.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan dönüşümlerde, aynı

y

değerine karşılık gelen tüm

x

değerlerinin olasılıkları toplanarak yeni olasılık kütle fonksiyonu oluşturulur.

Practice More

Değişken dönüşümlerinde tanım kümesinin (destek kümesinin) nasıl değiştiğini pekiştirmek için

Y = |X|

gibi mutlak değer dönüşümlerini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 70Question →

$X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilmiştir. $U = 4X$ ve $V = 2Y$ dönüşümleri tanımlandığına göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2

h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 8, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2

h(u, v) = \frac{1}{4}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 2

Show answer & explanation

Answer: $h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2$

Answer

h(u, v) = \frac{1}{8}

değeri ile birlikte

0 < u < 4

ve

0 < v < 2

sınırlarını belirten seçenek doğrudur.

Verilen doğrusal dönüşümde ters fonksiyonlar

x=u/4

ve

y=v/2

şeklindedir. Kısmi türevlerden oluşan Jakobiyen determinantı

1/4 \times 1/2 = 1/8

olarak hesaplanır. Orijinal PDF değeri

1

olduğu için yeni PDF

1 \times 1/8 = 1/8

olur. Sınırlar ise

x

ve

y

'nin

0-1

aralığından sırasıyla

0-4

ve

0-2

aralığına genişler.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini belirle.

x = \frac{u}{4}

ve

y = \frac{v}{2}

Orijinal PDF'teki değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesapla.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{8}

Çok değişkenli dönüşümlerde olasılık kütlesinin korunması için bu çarpan gereklidir.

3

Yeni sınırları (destek bölgesini) hesapla.

0 < \frac{u}{4} < 1 \Rightarrow 0 < u < 4

ve

0 < \frac{v}{2} < 1 \Rightarrow 0 < v < 2

Dönüşüm sonrasında değişkenlerin hangi aralıkta tanımlı olduğu belirlenmelidir.

4

Dönüşüm formülünü uygulayarak ortak PDF'i yaz.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}

h(u, v) = f(g_1^{-1}(u,v), g_2^{-1}(u,v)) \cdot |J|

kuralı uygulanır.

Key Concept

İki değişkenli bir dönüşümde yeni ortak yoğunluk fonksiyonu, orijinal fonksiyonun Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmasıyla elde edilir.

Practice More

Değişkenlerin toplamı gibi daha karmaşık bir dönüşüm (

U=X+Y

) için sınırların nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 71Question →

Bir istatistiksel analizde kullanılan sürekli $X$ rastgele değişkeni, kendi birikimli dağılım fonksiyonu ( $F(x)$ ) yardımıyla $Y = F(X)$ şeklinde yeni bir değişkene dönüştürülmüştür.

Olasılık integral dönüşümü teoreminin temel özellikleri dikkate alındığında, elde edilen bu $Y$ değişkeninin $0,30 \leq Y \leq 0,70$ aralığında bir değer alma olasılığı kaçtır?

0,30

0,40

0,70

F(0,40)

Verilen bilgilerle hesaplanamaz;

X

değişkeninin hangi dağılıma sahip olduğunun bilinmesi gerekir.

Show answer & explanation

Answer: $0,40$

Answer

Sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu ile yapılan dönüşüm sonucu elde edilen değişkenin aralık olasılığı

0,40

değerine eşittir.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

Y = F(X)

dönüşümü yapıldığında, elde edilen

Y

değişkeni her zaman

(0, 1)

aralığında sürekli düzgün dağılım (Uniform) gösterir. Standart düzgün dağılımda, herhangi bir

[a, b] \subseteq [0, 1]

aralığı için olasılık değeri

P(a \leq Y \leq b) = b - a

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

0,30

ve

0,70

sınırları için bu fark

0,70 - 0,30 = 0,40

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşüm sonrası yeni rastgele değişkenin dağılımını belirlemek.

Y = F(X)

rastgele değişkeni

[0, 1]

aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform) sahiptir.

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremi, sürekli bir değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu altındaki görüntüsünün daima

U(0, 1)

olduğunu kanıtlar.

2

Belirlenen dağılım üzerinden istenen aralık için olasılık hesaplamak.

P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = 0,70 - 0,30 = 0,40

.

Sürekli düzgün dağılımda (Uniform), olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(y) = 1

olduğu için olasılık değeri doğrudan aralık uzunluğuna (

b-a

) eşittir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Standart Düzgün Dağılım Özellikleri

Alternative Method

Sürekli düzgün dağılımın birikimli dağılım fonksiyonunun

F_Y(y) = y

olduğunu hatırlayarak,

P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = F_Y(0,70) - F_Y(0,30) = 0,70 - 0,30

şeklinde doğrudan çözüm yapılabilir.

Estimated Time:45s

Question 72Question →

Bir istatistiksel simülasyon çalışmasında kullanılan $X$ sürekli rastgele değişkeni, $(-1, 1)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu değişkenin karesi alınarak $Y = X^2$ şeklinde yeni bir rastgele değişken tanımlanmıştır.

Buna göre, $Y$ değişkeninin $0 < y < 1$ aralığı için birikimli dağılım fonksiyonu $F_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\sqrt{y}

\frac{\sqrt{y}}{2}

y

y^2

1 - \sqrt{y}

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{y}$

Answer

√y

fonksiyonu, verilen aralıkta

Y

değişkeninin birikimli dağılımını temsil eder.

Doğru cevap,

P(X^2 \leq y)

ifadesinin

-\sqrt{y}

ile

\sqrt{y}

aralığındaki

X

değerlerinin olasılığına eşit olduğu gerçeğine dayanır.

X

değişkeni

(-1, 1)

aralığında

1/2

yoğunlukla dağıldığı için bu aralıktaki toplam alan

\sqrt{y}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirle.

f_X(x) = \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}

(

-1 < x < 1

için).

Düzgün dağılımda yoğunluk fonksiyonu sabit olup

1/(\text{aralık boyu})

değerine eşittir.

2

Dönüşüm için olasılık tanımını yaz.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)

.

Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF), değişkenin belirli bir değerden küçük veya eşit olma olasılığıdır.

3

X^2 \leq y

eşitsizliğini

X

cinsinden çöz.

-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}

.

Kareli bir ifade bir sayıdan küçükse, ifadenin kendisi o sayının negatif ve pozitif kökleri arasındadır.

4

X

için belirlenen aralıkta integral alarak olasılığı hesapla.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} dx = [\frac{x}{2}]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{2} - (-\frac{\sqrt{y}}{2}) = \sqrt{y}

.

Belirlenen sınırlar

X

'in tanım aralığı olan

(-1, 1)

içerisinde kaldığından doğrudan integral uygulanır.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu Yöntemi (CDF Method)

Question 73Question →

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri için $U = 5X$ ve $V = 3Y + 4$ dönüşümleri tanımlanmıştır. Buna göre, $(U, V)$ rastgele değişken çiftinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7

h(u, v) = 15, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7

h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 5, \quad 0 < v < 3

Show answer & explanation

Answer: $h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7$

Answer

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u, v) = \frac{1}{15}

olup tanım aralığı

0 < u < 5

ve

4 < v < 7

şeklindedir.

Verilen doğrusal dönüşümler sonucunda ters dönüşümler

x = u/5

ve

y = (v-4)/3

olarak bulunur. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

1/15

olup, sabit olan orijinal yoğunluk fonksiyonu (1) ile çarpıldığında yeni yoğunluk

1/15

olur. Sınırlar ise

x

ve

y

'nin

(0, 1)

aralığında olması kuralına göre

u

için

(0, 5)

ve

v

için

(4, 7)

olarak güncellenir.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini yazınız.

X = \frac{U}{5}

ve

Y = \frac{V - 4}{3}

Orijinal değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek Jakobiyen hesabı için gereklidir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayınız.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/5 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{vmatrix} = \frac{1}{15}

Çok değişkenli dönüşümlerde yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmalıdır.

3

Yeni yoğunluk fonksiyonunu (

h(u, v)

) oluşturunuz.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{15}

Dönüşüm formülü gereği

h(u, v) = f(g_1^{-1}, g_2^{-1}) \cdot |J|

işlemi uygulanır.

4

Yeni değişkenlerin sınırlarını belirleyiniz.

0 < \frac{u}{5} < 1 \Rightarrow 0 < u < 5

ve

0 < \frac{v - 4}{3} < 1 \Rightarrow 4 < v < 7

Dönüşümün geçerli olduğu yeni bölgeyi belirlemek için orijinal sınırlar yeni değişkenler cinsinden yazılmalıdır.

Key Concept

Jakobiyen dönüşüm yöntemi, çok değişkenli sürekli rastgele değişkenlerin fonksiyonlarının olasılık yoğunluk fonksiyonlarını belirlemek için kullanılır.

Practice More

Değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu (örneğin

U = X + Y

ve

V = X - Y

) durumlar için Jakobiyen yöntemini çalışarak karmaşık sınır geçişlerini pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 74Question →

Bir kamu kurumunda iki bağımsız denetçi ( $X$ ve $Y$ ) tarafından kontrol edilen evraklardaki hata durumları incelenmektedir. Denetçilerin tek bir evrakta buldukları hata sayılarına ( $0$ veya $1$ ) ilişkin olasılık dağılımları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Denetçi	$P(\text{Hata} = 0)$	$P(\text{Hata} = 1)$
Denetçi $X$	$0,40$	$0,60$
Denetçi $Y$	$0,30$	$0,70$

Buna göre, bu iki denetçinin bulduğu toplam hata sayısının ( $Z = X + Y$ ) tam olarak $1$ olma olasılığı kaçtır?

0,12

0,28

0,42

0,46

0,88

Show answer & explanation

Answer: 0,46

Answer

İki bağımsız denetçinin toplam hata sayısının tam olarak 1 olma olasılığı 0,46'dır.

İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının olasılığını bulmak için evrişim yöntemi uygulanır.

Z = X + Y = 1

olması durumu,

\{(0,1), (1,0)\}

olaylarının birleşimidir. Değişkenler bağımsız olduğundan, bu olayların olasılıkları

P(X=0)P(Y=1) = 0,28

ve

P(X=1)P(Y=0) = 0,18

olarak hesaplanır. Bu iki ayrık durumun toplamı olan

0,46

doğru sonucu verir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam hata sayısının (

Z = X + Y

) 1 olmasını sağlayan

(X, Y)

ikililerini belirleyin.

(0, 1)

ve

(1, 0)

durumları.

Z=1

olması için ya birinci denetçi

0

ikinci denetçi

1

hata bulmalı, ya da tam tersi gerçekleşmelidir.

2

Değişkenlerin bağımsızlığı ilkesini kullanarak bu durumların olasılıklarını hesaplayın.

P(X=0, Y=1) = 0,40 \times 0,70 = 0,28

ve

P(X=1, Y=0) = 0,60 \times 0,30 = 0,18

.

Bağımsız rastgele değişkenlerin ortak olasılığı, marjinal olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Belirlenen ayrık durumların olasılıklarını toplayın.

0,28 + 0,18 = 0,46

.

Evrişim (konvolüsyon) kuralı gereği, toplamın olasılığı bu toplamı veren tüm olası kombinasyonların olasılıkları toplamıdır.

Key Concept

Bağımsız kesikli rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı (Konvolüsyon)

Estimated Time:45s

Question 75Question →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = 2, \quad 0 < x < y < 1

Bu değişkenler üzerinde $U = \frac{X}{Y}$ ve $V = Y$ dönüşümleri tanımlanmıştır. Buna göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = 2v, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 2, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{2}{v}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 2v, \quad 0 < u < v < 1

h(u, v) = v, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

Show answer & explanation

Answer: $h(u, v) = 2v, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$

Answer

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u, v) = 2v

olup tanım aralığı

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

şeklindedir.

Verilen dönüşümde

x=uv

ve

y=v

olup Jakobiyen determinantı

v

olarak hesaplanır. Orijinal PDF değeri olan 2 ile bu Jakobiyen çarpıldığında

2v

elde edilir. Destek bölgesi ise

0 < uv < v < 1

kısıtlarından

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

kare bölgesine dönüşür.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini belirleyin.

x = uv

ve

y = v

Orijinal değişkenleri (

x

ve

y

) yeni değişkenler (

u

ve

v

) cinsinden ifade etmek için gereklidir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (v \cdot 1) - (u \cdot 0) = v

Çok değişkenli dönüşümlerde olasılık kütlesinin korunması için alan ölçekleme faktörü hesaplanmalıdır.

3

Yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunu formüle edin.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 2 \cdot |v| = 2v

Orijinal PDF'de

x

ve

y

yerine

u, v

cinsinden karşılıkları yazılır ve Jakobiyen ile çarpılır.

4

Yeni tanım kümesini (destek bölgesi) elde edin.

0 < uv < v < 1

eşitsizliklerinden

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

bulunur.

Orijinal sınırlardaki (

0 < x < y < 1

) kısıtlamalar yeni değişkenler üzerine taşınmalıdır.

Key Concept

Jakobiyen yöntemi ile çok değişkenli rastgele değişken dönüşümleri

Practice More

Bağımsız iki Üstel dağılımlı değişkenin toplamının (

U = X + Y

) dağılımını Jakobiyen yöntemiyle bulmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 76Question →

Bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = e^{t + 0,5t^2}$ olarak tanımlanmıştır. $Y = 2X + 3$ dönüşümü yapıldığında, moment çıkaran fonksiyonların teklik (uniqueness) özelliği yardımıyla $Y$ değişkeninin dağılımı elde edilmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

5 ve 4

5 ve 2

2 ve 4

5 ve 1

1 ve 0,5

Show answer & explanation

Answer: 5 ve 4

Answer

Beklenen değeri 5 ve varyansı 4 olan seçenek doğrudur.

Doğru seçenek,

M_Y(t) = e^{3t} M_X(2t)

kuralı uygulandığında ortaya çıkan

e^{5t + 2t^2}

fonksiyonundan hareketle beklenen değerin 5 ve varyansın 4 (çünkü

4/2=2

) olduğunu doğru tespit etmektedir.

Step-by-Step Solution

1

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

genel kuralını kullanarak

Y = 2X + 3

için fonksiyonu kurmak.

M_Y(t) = e^{3t} M_X(2t)

Doğrusal dönüşümlerde moment çıkaran fonksiyonun temel özelliği budur.

2

M_X(2t)

ifadesini verilen

M_X(t) = e^{t + 0,5t^2}

fonksiyonunda

t

yerine

2t

yazarak hesaplamak.

M_X(2t) = e^{2t + 0,5(2t)^2} = e^{2t + 2t^2}

Fonksiyonel dönüşümün çekirdek kısmını belirlemek için parametre değişimi yapılır.

3

Elde edilen ifadeleri çarparak

M_Y(t)

fonksiyonunu sadeleştirmek.

M_Y(t) = e^{3t} \times e^{2t + 2t^2} = e^{5t + 2t^2}

Üslü sayıların çarpımı kuralıyla katsayılar birleştirilir.

4

Sonucu normal dağılımın

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

genel formuyla karşılaştırıp parametreleri çekmek.

\mu = 5

ve

\sigma^2/2 = 2 \implies \sigma^2 = 4

MGF'nin teklik özelliği, elde edilen formun hangi parametrelere sahip normal dağılıma ait olduğunu belirler.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşümü ve Teklik Özelliği

Estimated Time:45s

Question 77Question →

Bir kamu kurumunda personelin iş yükü endeksi $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = 2x, \quad 0 < x < 1$ olarak belirlenmiştir. Kurumdaki yeni bir düzenleme ile bu endeksin $Y = 3X$ şeklinde bir kapasite dönüşümüne uğraması planlanmaktadır. Buna göre, $Y$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 3

f_Y(y) = \frac{2}{3}y, \quad 0 < y < 3

f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = 2y, \quad 0 < y < 3

f_Y(y) = \frac{y}{3}, \quad 0 < y < 3

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 3$

Answer

f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 3

fonksiyonu doğru olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Verilen

f_X(x) = 2x

fonksiyonunda

x

yerine ters dönüşüm olan

y/3

yazılıp, bu ifadenin Jakobiyen değeri olan

1/3

ile çarpılması sonucunda

f_Y(y) = (2y/3) \times (1/3) = 2y/9

elde edilir. Sınırlar da

3

katına çıkarak

0 < y < 3

olur.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm fonksiyonunu belirle

x = \frac{y}{3}

y = 3x

olduğundan,

x

değişkenini

y

cinsinden ifade etmemiz gerekir.

2

Jakobiyen (türev) değerini hesapla

J = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{3}

Değişken değiştirme yönteminde, ters fonksiyonun türevi olasılık yoğunluğunu ölçeklemek için gereklidir.

3

Yeni değişkenin sınırlarını (tanım aralığını) belirle

0 < y < 3

0 < x < 1

aralığı

y = 3x

dönüşümü altında

0 < y < 3

aralığına taşınır.

4

Değerleri formülde yerine koy

f_Y(y) = 2\left(\frac{y}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}y

f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |J|

kuralı uygulanır.

Key Concept

Tek değişkenli sürekli rastgele değişkenlerde,

y=g(x)

dönüşümü için olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)|

formülü ile bulunur.

Practice More

Doğrusal olmayan dönüşümler (örneğin

Y=X^2

) için bölge analizi yapmayı deneyin.

Alternative Method

Önce birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılabilir:

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(3X \leq y) = P(X \leq y/3) = F_X(y/3)

. Ardından bu ifadenin türevi alınarak PDF bulunur:

f_Y(y) = F_Y'(y) = f_X(y/3) \cdot (1/3)

.

Estimated Time:1m 30s

Question 78Question →

Bir kamu kurumunda veri giriş uzmanlarının günlük hata puanlarındaki değişim miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0,3$	$0,4$	$0,3$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile elde edilen $Y$ rastgele değişkeni için $P(Y=1)$ olasılığı kaçtır?

0,30

0,40

0,60

0,70

1,00

Show answer & explanation

Answer: $0,60$

Answer

Dönüşüm sonucunda

Y=1

olması için

X

değişkeninin

-1

veya

1

değerlerini alması gerekir; bu iki durumun olasılıkları toplamı

0,60

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan

0,60

değeri,

Y=X^2

dönüşümü altında

Y=1

sonucunu veren iki ayrı durumun (

X=-1

ve

X=1

) olasılıklarının toplamıdır.

P(X=-1) = 0,3

ve

P(X=1) = 0,3

olduğu için toplam olasılık

0,6

olur.

Step-by-Step Solution

1

Y

değişkeninin alabileceği değerleri (destek kümesini) belirleyin.

Y = X^2

olduğunda,

X \in \{-1, 0, 1\}

için

Y \in \{(-1)^2, 0^2, 1^2\} = \{1, 0, 1\}

. Yani

Y \in \{0, 1\}

.

Dönüşümün hangi

X

değerlerini hangi

Y

değerlerine eşlediğini anlamak için gereklidir.

2

Y = 1

durumunu sağlayan

X

değerlerini tespit edin.

Y = 1

olması için

X^2 = 1

denklemi çözülür:

X = -1

veya

X = 1

.

Olasılık kütle fonksiyonunda hangi

X

değerlerinin olasılıklarının toplanacağını belirlemek için gereklidir.

3

P(Y=1)

olasılığını hesaplayın.

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,3 + 0,3 = 0,6

.

Kesikli değişkenlerde, bir

Y

değerine karşılık gelen tüm

X

değerlerinin olasılıkları toplanır.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde dönüşüm yapılırken, yeni değişkenin bir değerine karşılık gelen tüm orijinal değişken değerlerinin olasılıkları toplanmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu

Y = |X|

veya

Y = (X-1)^2

dönüşümleri için çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 79Question →

Bir araştırmacı, bir deneyden elde edilen $X$ sürekli rastgele değişkeninin $[0, 1]$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğunu saptamıştır. Bu araştırmacı, elde edilen verileri $Y = 4X - 1$ dönüşümü ile standardize etmektedir. Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad -1 < y < 3

f_Y(y) = 1, \quad -1 < y < 3

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = 4, \quad -1 < y < 3

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad -1 < y < 4

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad -1 < y < 3$

Answer

Y rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{1}{4}

olup

-1 < y < 3

aralığında tanımlıdır.

Verilen

X \sim U(0,1)

dağılımı için yoğunluk 1'dir.

Y=4X-1

dönüşümünde ters fonksiyon

X = (Y+1)/4

ve bu ifadenin

y

'ye göre türevi

1/4

olur. Sınırlar ise

x=0

için

y=-1

ve

x=1

için

y=3

olarak bulunur. Bu veriler birleştirildiğinde doğru yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) ve sınırlarını belirleyin.

f_X(x) = 1, \quad 0 < x < 1

X

değişkeni

[0, 1]

aralığında düzgün dağılıma sahiptir.

2

Ters dönüşüm fonksiyonunu (

x = g^{-1}(y)

) bulun.

Y = 4X - 1 \Rightarrow X = \frac{Y+1}{4}

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde

x

'i

y

cinsinden ifade etmek gerekir.

3

Jakobiyen değerini (ters dönüşümün türevinin mutlak değeri) hesaplayın.

|J| = |\frac{dx}{dy}| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}

Dönüşüm formülünde yoğunluğun ölçeklenmesi için Jakobiyen terimi gereklidir.

4

Y

değişkeninin tanım kümesini (sınırlarını) hesaplayın.

0 < x < 1 \Rightarrow 0 < \frac{y+1}{4} < 1 \Rightarrow 0 < y+1 < 4 \Rightarrow -1 < y < 3

Eski değişkenin sınırları, dönüşüm fonksiyonu aracılığıyla yeni değişkene taşınmalıdır.

5

Dönüşüm formülünü uygulayarak

f_Y(y)

fonksiyonunu yazın.

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

Tek değişkenli sürekli dönüşüm kuralı uygulanmıştır.

Key Concept

Tek Değişkenli Sürekli Dönüşüm Formülü

Estimated Time:1m 30s

Question 80Question →

Bir kamu kurumunun lojistik ambarında, belirli bir yedek parçanın günlük stok seviyesindeki değişim $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (PMF) aşağıda verilmiştir:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0,20$	$0,50$	$0,30$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkeni için $P(Y = 1)$ olasılığı kaçtır?

0,20

0,30

0,50

0,70

0,80

Show answer & explanation

Answer: $0,50$

Answer

Dönüşüm fonksiyonu

Y = X^2

altında

Y=1

sonucunu veren

X

değerleri

\{-1, 1\}

olduğundan, bu değerlerin olasılıkları toplamı olan

0,50

doğru cevaptır.

Dönüşüm fonksiyonu

Y=X^2

olarak verildiğinde,

Y=1

olması için

X

değişkeninin ya

-1

ya da

1

değerini alması gerekir. Bu iki durum birbirinden ayrık olduğu için

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1)

şeklinde hesaplanır. Tablodaki değerlere göre

0,20 + 0,30 = 0,50

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Y = X^2

fonksiyonunda

Y=1

değerini üreten

X

değerlerini belirleyin.

X = -1

için

(-1)^2 = 1

ve

X = 1

için

(1)^2 = 1

olur. Yani

X \in \{-1, 1\}

.

Kesikli değişken dönüşümlerinde, hedef değerin olasılığı, o değeri üreten tüm kaynak değerlerin olasılıklarının toplamına eşittir.

2

Belirlenen

X

değerlerinin olasılıklarını toplayın.

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,20 + 0,30 = 0,50

.

Ayrık olayların toplam olasılığı, tekil olasılıkların toplamı ile hesaplanır.

Key Concept

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Fonksiyonel Dönüşüm

Practice More

Benzer bir problemi

Y = |X|

dönüşümü için çözerek destek kümesindeki değişimleri pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept