All practice questions

Question 2041Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu

f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x

olarak verilmiştir.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - 3x)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

g(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.

g(x) fonksiyonunun türevi sıfırdan küçük veya eşitlendiğinde elde edilen eşitsizliğin çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamları 9 değerini vermektedir.

Step-by-Step Solution

1

g(x)

fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.

g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

2

f'(x)

fonksiyonunu bulun ve türev denkleminde yerine yazın.

f'(x) = x - 4 \implies f'(x^2 - 3x) = x^2 - 3x - 4

ve

g'(x) = (x^2 - 3x - 4)(2x - 3)

Türevin işaret incelemesini yapabilmek için fonksiyonun açık ifadesine ulaşmamız gerekir.

3

g'(x)

ifadesini çarpanlarına ayırıp köklerini belirleyin.

g'(x) = (x-4)(x+1)(2x-3) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1.5, x_3 = 4

İşaret tablosu oluşturabilmek için türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.

4

g'(x) \leq 0

eşitsizliği için işaret tablosu oluşturarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları belirleyin.

Azalan olduğu aralıklar:

(-\infty, -1]

ve

[1.5, 4]

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklar, fonksiyonun azalan olduğu aralıklardır.

5

Belirlenen aralıklarda yer alan pozitif tam sayıları bulun ve toplayın.

Pozitif tam sayılar:

2, 3, 4

ve toplamları

2 + 3 + 4 = 9

(-\infty, -1]

aralığında pozitif tam sayı yoktur.

[1.5, 4]

aralığındaki pozitif tam sayılar ise

2, 3

ve

4

'tür.

Key Concept

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenir. Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.

Estimated Time:2m 0s

Question 2042Question →

f: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = x^2 + 1

fonksiyonu veriliyor. $[0, 3]$ aralığı $3$ eş alt aralığa bölünerek $f$ fonksiyonunun bu bölüntüye göre Riemann alt toplamı $A$ ve Riemann üst toplamı $Ü$ hesaplanıyor.

Buna göre, $Ü - A$ farkı kaçtır?

12

6

9

25

15

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 9'dur.

Doğru cevap 9'dur.

[0, 3]

aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği

\Delta x = 1

olur.

f(x) = x^2 + 1

fonksiyonu bu aralıkta artan olduğundan, Riemann alt toplamı alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerlerle

A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 8

olarak hesaplanır. Riemann üst toplamı ise sağ uç noktalardaki değerlerle

Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 17

olarak elde edilir. Bu iki toplamın farkı

Ü - A = 17 - 8 = 9

olur.

Step-by-Step Solution

1

Bölüntünün alt aralık genişliğini (

\Delta x

) hesaplayın.

\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1

elde edilir. Alt aralıklar

[0, 1]

,

[1, 2]

ve

[2, 3]

şeklindedir.

Riemann toplamlarında her bir dikdörtgenin taban genişliğini belirlemek gerekir.

2

f(x) = x^2 + 1

fonksiyonunun verilen aralıktaki artanlık durumunu inceleyerek alt ve üst toplam için fonksiyon değerlerini belirleyin.

f'(x) = 2x > 0

olduğundan fonksiyon

[0, 3]

aralığında artandır. Bu nedenle Riemann alt toplamı için aralıkların sol uç değerleri (

x = 0, 1, 2

), Riemann üst toplamı için ise sağ uç değerleri (

x = 1, 2, 3

) kullanılır.

Artan fonksiyonlarda alt toplam sol uç noktalarla, üst toplam ise sağ uç noktalarla hesaplanır.

3

Riemann alt toplamını (

A

) ve Riemann üst toplamını (

Ü

) hesaplayıp aralarındaki farkı bulun.

A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 1 \cdot (1 + 2 + 5) = 8

ve

Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (2 + 5 + 10) = 17

bulunur. Buradan

Ü - A = 17 - 8 = 9

elde edilir.

Soruda istenen üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulmak için elde edilen değerler birbirinden çıkarılır.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması ve artan/azalan fonksiyonlarla ilişkisi.

Question 2043Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f(x) = 2x + 1$ fonksiyonunun $[1, 4]$ kapalı aralığı $3$ eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Riemann alt toplamı 15 olarak bulunur.

Verilen

[1, 4]

aralığı

3

eş parçaya bölündüğünde aralık genişliği

\Delta x = 1

olur. Fonksiyon artan olduğu için Riemann alt toplamında her alt aralığın sol ucundaki değerler (

f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7

) yükseklik olarak alınır. Dikdörtgenlerin alanları toplamından Riemann alt toplamı

3+5+7=15

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Alt aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme

Genişlik

\Delta x = 1

ve aralıklar

[1, 2]

,

[2, 3]

,

[3, 4]

Riemann toplamı hesaplanırken aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.

2

Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumuna göre alt toplam için temsilci noktaları seçme

Sol uç noktalar seçilir:

x = 1, 2, 3

f(x) = 2x + 1

artan olduğundan her alt aralıktaki en küçük değer sol uçta alınır.

3

Seçilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama

f(1) = 3

,

f(2) = 5

,

f(3) = 7

Riemann dikdörtgenlerinin yüksekliklerini bulmak için.

4

Riemann alt toplamı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama

1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 = 15

Dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann alt toplamını verir.

Key Concept

Riemann alt toplamı, artan fonksiyonlarda alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerler kullanılarak hesaplanır.

Question 2044Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

f(x^3 - g(2x)) = 3x^2 - 4x + 1

eşitliği sağlanmaktadır.

g(2) = 3

f'(-2) = 2

olduğuna göre,

g'(2)

değeri kaçtır?

-1

0

1

\frac{3}{2}

2

Show answer & explanation

Answer: $1$

Answer

Doğru cevap 1 değeridir.

Verilen fonksiyon eşitliğinde her iki tarafın türevi zincir kuralına uygun şekilde alındığında

f'(x^3 - g(2x)) \cdot (3x^2 - 2g'(2x)) = 6x - 4

denklemi elde edilir. Burada

x = 1

yazılıp bilinen değerler yerine konulduğunda

g'(2) = 1

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin her iki tarafının

x

değişkenine göre türevi alınır. Sol tarafta bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı uygulanır.

f'(x^3 - g(2x)) \cdot (3x^2 - 2g'(2x)) = 6x - 4

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre

[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x)

ve zincir kuralına göre

[g(2x)]' = 2g'(2x)

olur.

2

Verilen

g(2) = 3

ve

f'(-2) = 2

değerlerini denklemde yerine koyabilmek amacıyla türev eşitliğinde

x = 1

yazılır.

f'(1 - g(2)) \cdot (3 \cdot 1^2 - 2g'(2)) = 6 \cdot 1 - 4 \implies f'(-2) \cdot (3 - 2g'(2)) = 2

x = 1

seçildiğinde türevlenebilir fonksiyonların içindeki ifadeler bilinen değerlerle eşleşir.

3

Verilen

f'(-2) = 2

değeri yerine yazılarak denklem

g'(2)

için çözülür.

2 \cdot (3 - 2g'(2)) = 2 \implies 3 - 2g'(2) = 1 \implies 2g'(2) = 2 \implies g'(2) = 1

Ende edilen birinci dereceden denklem çözülerek aranan türev değeri bulunur.

Key Concept

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralının uygulanması ve içteki fonksiyonun türevinin çarpım olarak yazılması.

Estimated Time:2m 0s

Question 2045Question →

f(x) = \frac{x^3}{3} - 9x^2 + 45x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - 2x)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Verilen fonksiyonun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 13'tür.

Zincir kuralı yardımıyla g'(x) fonksiyonunun türevi alınıp çarpanlarına ayrıldığında kökler -3, -1, 1, 3, 5 olarak bulunur. İşaret tablosunda g'(x)'in negatif olduğu bölgelerdeki pozitif tam sayılar 1, 3, 4, 5'tir ve toplamları 13 yapar.

Step-by-Step Solution

1

f(x) fonksiyonunun türevini alıp çarpanlarına ayırın.

f'(x) = x^2 - 18x + 45 = (x - 3)(x - 15)

Bileşke fonksiyonun türevinde kullanmak üzere f' fonksiyonunun kuralını elde etmek.

2

Zincir kuralını uygulayarak g'(x) türevini yazın.

g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)

g(x) fonksiyonunun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonunu bulmak.

3

f' fonksiyonunda x yerine x^2 - 2x yazarak g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayır��n.

g'(x) = 2(x - 1)(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 15) = 2(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x - 5)(x + 3)

Türev fonksiyonunun köklerini bulmak için ifadeyi doğrusal çarpanlarına ayırmak.

4

g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulun ve küçükten büyüğe sıralayın.

Kökler:

-3, -1, 1, 3, 5

İşaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek.

5

g'(x) için işaret tablosu oluşturarak azalanlık (

g'(x) \leq 0

) aralıklarını belirleyin.

Azalan aralıklar:

(-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, 5]

Türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler fonksiyonun azalan olduğu bölgelerdir.

6

Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları toplayın.

1 + 3 + 4 + 5 = 13

Soruda istenen pozitif tam sayıların toplamını bulmak.

Key Concept

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalıdır.

Question 2046Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'

olmak üzere, her

x

gerçel sayısı için

f'(x) = 3(x-a)(x-b)

eşitliği sağlanmaktadır.

$a$ ve $b$ birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, $f$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları arasındaki uzaklık $\sqrt{20}$ birimdir.

Buna göre, $|a-b|$ değeri kaçtır?

1

\sqrt{2}

2

\sqrt{5}

3

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

2

değeri doğrudur.

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri

a

ve

b

olup, fonksiyonun ordinat değerleri arasındaki farkın mutlak değeri

|f(a)-f(b)| = \frac{|a-b|^3}{2}

şeklinde elde edilir. İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak

d^2 + \frac{d^6}{4} = 20

denklemi yazılır ve buradan

d = 2

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleme

Türev fonksiyonu olan

f'(x) = 3(x-a)(x-b)

ifadesinin kökleri

x = a

ve

x = b

'dir.

a \neq b

olduğundan, türev bu noktalarda işaret değiştirir ve dolayısıyla

f

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri

a

ve

b

olur.

Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği kökleridir.

2

Ekstremum noktalarının ordinatları arasındaki farkı cebirsel olarak ifade etme

f'(x) = 3x^2 - 3(a+b)x + 3ab

integral alınarak fonksiyon

f(x) = x^3 - \frac{3}{2}(a+b)x^2 + 3abx + C

şeklinde elde edilir. Buradan

f(a) - f(b) = -\frac{1}{2}(a-b)^3

bulunur.

Noktalar arasındaki uzaklığı hesaplamak için ekstremum noktalarının koordinatları belirlenmelidir.

3

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama

A(a, f(a))

ve

B(b, f(b))

noktaları arasındaki uzaklık

d = \sqrt{(a-b)^2 + (f(a)-f(b))^2}

formülüyle hesaplanır. Buradan

(a-b)^2 + \frac{(a-b)^6}{4} = 20

elde edilir.

İki noktanın koordinatları bilindiğinde aralarındaki uzaklık Pisagor teoremi yardımıyla bulunur.

4

Elde edilen denklemi çözerek

|a-b|

değerini bulma

u = (a-b)^2

dönüşümü yapılırsa,

u + \frac{u^3}{4} = 20 \implies u^3 + 4u - 80 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin tek gerçel kökü

u = 4

'tür. Buradan

|a-b| = \sqrt{4} = 2

bulunur.

Cebirsel dereceyi düşürerek

|a-b|

değerini elde etmek için değişken dönüştürme yöntemi kullanılır.

Key Concept

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri türevinin tek katlı kökleridir ve bu noktalar arasındaki geometrik uzaklık iki nokta arası uzaklık formülü ile bulunur.

Question 2047Question →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

f(2x - g(x)) = x^2 - 3x + 4

eşitliği sağlanmaktadır.

g(2) = 3

g'(2) = 4

olduğuna göre,

f'(1)

değeri kaçtır?

-1

-\frac{1}{2}

-\frac{1}{4}

\frac{1}{6}

1

Show answer & explanation

Answer: $-\frac{1}{2}$

Answer

-\frac{1}{2}

Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı uyarınca sol tarafta

f'(2x - g(x)) \cdot (2 - g'(x))

ifadesi oluşur. Denklemde

f'(1)

değerine ulaşmak amacıyla

x = 2

yazılır. Soruda verilen

g(2) = 3

ve

g'(2) = 4

değerleri yerine konduğunda

f'(1) \cdot (2 - 4) = 4 - 3

denklemi elde edilir. Buradan

f'(1) \cdot (-2) = 1

olup doğru sonuç

-\frac{1}{2}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin her iki tarafının

x

değişkenine göre türevini alın.

f'(2x - g(x)) \cdot (2 - g'(x)) = 2x - 3

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

2

Elde edilen türev denkleminde

f'(1)

değerine ulaşmak için

2x - g(x) = 1

eşitliğini sağlayan

x

değerini belirleyin.

x = 2

için

2(2) - g(2) = 4 - 3 = 1

elde edilir.

Soruda

g(2) = 3

bilgisi verildiği için

x = 2

yazıldığında bileşke fonksiyonun içinin

1

olduğu görülür.

3

Türev denkleminde

x = 2

yazarak bilinen

g'(2) = 4

değerini yerine yerleştirin ve

f'(1)

değerini yalnız bırakın.

f'(1) \cdot (2 - g'(2)) = 2(2) - 3 \Rightarrow f'(1) \cdot (2 - 4) = 1 \Rightarrow f'(1) \cdot (-2) = 1 \Rightarrow f'(1) = -\frac{1}{2}

Verilen türev değerleri denklemde yerine konularak basit bir birinci dereceden denklem çözümüyle bilinmeyen türev değerine ulaşılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir.

Alternative Method

Zincir kuralı formülü doğrudan uygulanmak yerine, diferansiyel gösterimi kullanılarak

u = 2x - g(x)

dönüşümüyle

dy/dx = (dy/du) \cdot (du/dx)

bağıntısı üzerinden de çözüm gerçekleştirilebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 2048Question →

\int f(x) \, dx = x^2 - 4x + C

olduğuna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

2

-3

-9

10

6

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İntegral tanımı kullanılarak elde edilen 2 değeri

Belirsiz integralin tanımı gereği, bir fonksiyonun integralinin türevi kendisine eşittir.

\int f(x) \, dx = F(x) + C

ise

F'(x) = f(x)

olur. Verilen

\int f(x) \, dx = x^2 - 4x + C

eşitliğinde her iki tarafın türevi alınırsa sol tarafta integral işareti kalkar ve

f(x)

kalır, sağ tarafın türevi ise

2x - 4

olur. Böylece

f(x) = 2x - 4

fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonda

x

yerine

3

yazıldığında

f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alarak integral işaretini kaldırın.

\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} (x^2 - 4x + C)

f(x) = 2x - 4

Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.

2

Elde edilen

f(x)

fonksiyonunda

x

yerine

3

yazarak sonucu hesaplayın.

f(3) = 2(3) - 4 = 2

Soruda bizden

f(3)

değeri istenmektedir.

Key Concept

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki

Question 2049Question →

Doğrusal bir yol boyunca hareket eden bir hareketlinin zamana (

t

, saniye) bağlı konum fonksiyonu

s(t) = t^2 + t

metre olarak verilmiştir.

Buna göre,
I. Hareketlinin $[1, 3]$ saniye aralığındaki ortalama hızı $5\text{ m/s}$ 'dir.
II. Hareketlinin $t = 2$ . saniyedeki anlık hızı $6\text{ m/s}$ 'dir.
III. Hareketlinin $t = 3$ . saniyedeki anlık hızı $7\text{ m/s}$ 'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

II ve III

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III öncülleri doğrudur.

I ve III öncüllerini içeren seçenek doğrudur. Çünkü

[1, 3]

saniye aralığındaki ortalama hız

\frac{s(3)-s(1)}{3-1} = 5\text{ m/s}

ve

t=3

anındaki anlık hız

s'(3) = 7\text{ m/s}

olarak doğru hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Ortalama hızın hesaplanması

[1, 3]

saniye aralığındaki ortalama hız

\frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{12 - 2}{2} = 5\text{ m/s}

olarak bulunur. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Bir fonksiyonun belli bir aralıktaki ortalama değişim oranı (ortalama hızı), fonksiyon değerlerinin farkının bağımsız değişkenlerin farkına oranına eşittir.

2

Konum fonksiyonunun türevinin (hız fonksiyonunun) bulunması

s'(t) = 2t + 1

hız fonksiyonu elde edilir.

Bir hareketlinin anlık hızı, konum fonksiyonunun zamana göre anlık değişim oranıdır ve bu da konum fonksiyonunun türevi ile bulunur.

3

t = 2

noktasındaki anlık hızın hesaplanması

s'(2) = 2(2) + 1 = 5\text{ m/s}

olarak bulunur. Öncüldeki

6\text{ m/s}

ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.

t=2

noktasındaki anlık hız, hız fonksiyonunda

t=2

yazılarak hesaplanır.

4

t = 3

noktasındaki anlık hızın hesaplanması

s'(3) = 2(3) + 1 = 7\text{ m/s}

olarak bulunur. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.

t=3

noktasındaki anlık hız, hız fonksiyonunda

t=3

yazılarak hesaplanır.

Key Concept

Anlık değişim oranı türeve eşittir. Ortalama değişim oranı ise fonksiyon değerlerinin değişiminin zaman aralığına oranıdır.

Question 2050Question →

$f: [2, 8] \rightarrow \mathbb{R}$ sürekli ve artan bir fonksiyondur. $[2, 8]$ kapalı aralığı $n$ adet eş alt aralığa bölünerek bir $P$ bölüntüsü oluşturuluyor.

Bu bölüntüye göre; $f$ fonksiyonunun $[2, 8]$ aralığındaki Riemann alt toplamı $A$ , Riemann üst toplamı $U$ ve belirli integral değeri $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ olarak tanımlanıyor.

Buna göre;

I. $A < I < U$
II. $U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big)$
III. $n = 3$ ve $f(x) = x^2$ için $U - A = 40$ olur.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.

Sürekli ve artan bir fonksiyonda Riemann alt toplamı belirli integralden küçük, Riemann üst toplamı ise büyüktür. Bu nedenle

A < I < U

ifadesi her zaman doğrudur. Riemann üst ve alt toplamlarının farkı ise

U - A = (f(8) - f(2)) \cdot \Delta x

formülüyle bulunur. Eşit aralıklı bölüntüde

\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n}

olduğundan

U - A = \frac{6}{n} \cdot (f(8) - f(2))

elde edilir ve bu ifade de her zaman doğrudur.

n = 3

ve

f(x) = x^2

için fark

(f(8) - f(2)) \cdot \frac{6}{3} = (64 - 4) \cdot 2 = 120

olur, dolayısıyla üçüncü öncül yanlıştır. Bu yüzden doğru cevap 'I ve II' öncüllerini içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun artanlık özelliğine göre Riemann toplamları ile integral değerinin büyüklük ilişkisini belirlemek.

A < I < U

eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu bulunur.

f

fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun minimum de��eri sol uçta, maksimum değeri ise sağ uçta alınır. Bu durum alt toplamın integralden küçük, üst toplamın ise integralden büyük olmasını gerektirir.

2

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki farkın genel formülünü türetmek.

U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big)

elde edilir.

Eş alt aralık genişliği

\Delta x = \frac{8 - 2}{n} = \frac{6}{n}

dir. Alt toplam sol uç değerleriyle, üst toplam ise sağ uç değerleriyle hesaplanır. Fark alındığında aradaki tüm terimler sadeleşir ve geriye yalnızca sınır değerleri kalır:

(f(8) - f(2)) \cdot \Delta x

.

3

Üçüncü öncülde verilen özel durumu formül yardımıyla hesaplamak.

U - A = 120

bulunur.

n = 3

için

\Delta x = 2

olur.

f(x) = x^2

için

f(8) = 64

ve

f(2) = 4

olduğundan fark

(64 - 4) \cdot 2 = 120

olur. Öncüldeki 40 değeri yanlıştır.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve aralarındaki farkın hesaplanması

Question 2051Question →

$a$ ve $b$ birer gerçel sayı olmak üzere,

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a + x \sin(3x)} - \sqrt{a - x \sin(3x)}}{\cos(2x) - 1} = b

eşitliği veriliyor.

$b < 0$ olduğuna göre, $a \cdot b^2$ çarpımının değeri kaçtır?

\frac{9}{16}

\frac{3}{4}

\frac{9}{4}

4

9

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{4}$

Answer

9/4 değeri

Limit hesaplandığında

b = -\frac{3}{2\sqrt{a}}

bulunur. Buradan

\sqrt{a} = -\frac{3}{2b}

ve her iki tarafın karesi alınarak

a \cdot b^2 = \frac{9}{4}

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Belirsizlik durumunu tespit etme

x \to 0

için pay

\sqrt{a} - \sqrt{a} = 0

ve payda

\cos(0) - 1 = 0

olup

\frac{0}{0}

belirsizliği vardır.

Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü belirlemek gerekir.

2

Payın eşleniği ile çarpma işlemi

İfadenin pay ve paydası

\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)}

ile çarpıldığında pay kısmı

(a + x\sin(3x)) - (a - x\sin(3x)) = 2x\sin(3x)

olur.

Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır.

3

Paydadaki trigonometrik ifadeyi yarım açı formülü ile yazma

Paydadaki

\cos(2x) - 1

ifadesi yerine

-2\sin^2(x)

yazılır.

Limit sadeleştirmesi yapabilmek için paydadaki ifadeyi

\sin(x)

cinsinden ifade etmek gerekir.

4

Limiti çarpanlarına ayırarak hesaplama

Limit

\lim_{x \to 0} \left[ \frac{x}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} \cdot \frac{2}{-2(\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)})} \right]

şeklinde yazılır.

x \to 0

için limit değerleri sırasıyla

1

,

3

ve

-\frac{1}{2\sqrt{a}}

olup çarpımları

b = -\frac{3}{2\sqrt{a}}

olur.

Bilinen

\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1

limit özelliğini kullanabilmek için ifade düzenlenir.

5

İstenen çarpım değerini bulma

b = -\frac{3}{2\sqrt{a}} \implies \sqrt{a} = -\frac{3}{2b} \implies a = \frac{9}{4b^2} \implies a \cdot b^2 = \frac{9}{4}

bulunur.

Elde edilen limit eşitliğinden yararlanılarak

a \cdot b^2

değeri hesaplanır.

Key Concept

0/0 belirsizliği ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak limit hesabı

Question 2052Question →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir $f$ fonksiyonu ve bir $a$ gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. $|f|$ fonksiyonu $x = a$ noktasında türevlenebilir ise $f$ fonksiyonu $x = a$ noktasında süreklidir.

II. $f$ fonksiyonu $x = a$ noktasında sürekli ve $|f|$ fonksiyonu $x = a$ noktasında türevlenebilir ise $f$ fonksiyonu $x = a$ noktasında türevlenebilirdir.

III. $f$ fonksiyonu $x = a$ noktasında türevlenebilir ise $|f|$ fonksiyonu $x = a$ noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

Yalnız III

I ve II

II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız II

Answer

Yalnız II ifadesi her zaman doğrudur.

Yalnız II ifadesi doğrudur. Sürekli bir fonksiyonun mutlak değeri bir noktada türevlenebiliyorsa, o noktada fonksiyonun kendisi भी türevlenebilirdir. Eğer fonksiyonun o noktadaki değeri sıfırdan farklıysa fonksiyon işaret değiştirmediği için türevlenebilirlik korunur; eğer sıfıra eşitse mutlak değer fonksiyonu orada bir yerel minimuma sahip olur ve bu da türev değerinin sıfır olmasını gerektirerek orijinal fonksiyonun da türevini sıfır yapar.

Step-by-Step Solution

1

I. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek geliştirmek.

f(x) = 1

(

x \geq a

için) ve

f(x) = -1

(

x < a

için) olarak tanımlanan parçalı fonksiyon ele alındığında,

|f(x)| = 1

olur. Sabit fonksiyon olan

|f|

her yerde (ve dolayısıyla

x = a

noktasında) türevlenebilirdir. Ancak

f

fonksiyonunun

x = a

noktasında sağdan limiti

1

, soldan limiti

-1

olduğundan bu noktada sürekli değildir.

Bir ��nermenin genel geçerliliğini çürütmek için en az bir karşıt örnek göstermek yeterlidir.

2

II. ifadenin ispatını iki ayrı durum (

f(a) \neq 0

ve

f(a) = 0

) altında gerçekleştirmek.

Durum 1:

f(a) \neq 0

olsun. Süreklilik nedeniyle

a

noktasının küçük bir komşuluğunda

f

işaret değiştirmez. Bu komşulukta

|f(x)| = f(x)

veya

|f(x)| = -f(x)

olur.

|f|

türevlenebildiğinden

f

de türevlenebilirdir. Durum 2:

f(a) = 0

olsun.

|f(x)| \geq 0 = |f(a)|

olduğundan

x=a

noktası

|f|

için bir yerel minimumdur. Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremumundaki türevi

0

olacağından

(|f|)'(a) = 0

olur. Buradan \lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{x-a} = 0 \implies \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} = 0

olur.

f(a)=0

olduğundan bu limit

f'(a) = 0$ olduğunu gösterir.

Sürekli bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasının, fonksiyonun kendi türevlenebilirliğini gerektirdiğini matematiksel olarak doğrulamak.

3

III. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek bulmak.

f(x) = x - a

doğrusal fonksiyonu her yerde ve dolayısıyla

x = a

noktasında türevlenebilirdir (

f'(a) = 1

). Ancak

|f(x)| = |x - a|

fonksiyonunun

x = a

noktasında grafiğinde bir sivri uç (kırılma) oluşur. Bu noktada sağdan türev

1

, soldan türev

-1

olduğundan

|f|

fonksiyonunun

x = a

noktasında türevi yoktur.

Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır değerini aldığı noktalarda türevini kaybedebileceğini göstermek.

Key Concept

Bir fonksiyonun sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki mantıksal ilişki ve mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilme koşulları.

Question 2053Question →

Türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

g(x) = x^2 - 2x + 2

eşitliği verilmektedir.

f(2) = 2

f'(2) = 3

olduğuna göre, $h(x) = (f \circ f)(x) + (f \circ g)(x)$ biçiminde tanımlanan $h$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Soruda istenen türev değeri 15'tir.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı zincir kuralına dayanır.

h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) + f'(g(x)) \cdot g'(x)

ifadesinde verilen değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

h(x)

fonksiyonunun türev ifadesini bileşke fonksiyonun türev kuralını kullanarak yazmak

h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) + f'(g(x)) \cdot g'(x)

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.

2

g(x)

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki değerini ve türevini bulmak

g(2) = 2

ve

g'(2) = 2

Türev ifadesinde

g(2)

ve

g'(2)

değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.

3

Elde edilen değerleri

h'(2)

ifadesinde yerine yazıp sonucu hesaplamak

h'(2) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 15

Verilen

f(2) = 2

,

f'(2) = 3

değerleri ve hesaplanan

g(2) = 2

,

g'(2) = 2

değerleri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke Fonksiyonun Türevi

Estimated Time:2m 0s

Question 2054Question →

f(x) = |x^2 - 9| - ax

fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde tam olarak 3 tane yerel ekstremum noktası olduğu bilinmektedir. Buna göre,

a

parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

5

9

11

13

17

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Fonksiyonun 3 yerel ekstremum noktasına sahip olmasını sağlayan 11 farklı tam sayı değeri vardır.

Fonksiyonun tam olarak 3 adet yerel ekstremum noktasına sahip olabilmesi için

-6 < a < 6

koşulunun sağlanması gerekir. Bu aralıkta yer alan tam sayıların sayısı 11'dir.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değerin kritik noktalarını belirleyip fonksiyonu parçalı biçimde yazın.

x < -3

veya

x > 3

için

f(x) = x^2 - ax - 9

;

-3 < x < 3

için

f(x) = 9 - x^2 - ax

elde edilir.

Mutlak değer dışına çıkarma işlemi, fonksiyonun farklı aralıklardaki cebirsel ifadesini belirlemek için gereklidir.

2

Aralıklara göre fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyin.

|x| > 3

için

f'(x) = 2x - a

ve buradan kritik nokta

x = a/2

bulunur.

|x| < 3

için

f'(x) = -2x - a

ve buradan kritik nokta

x = -a/2

bulunur.

Ekstremum noktalarının bulunabilmesi için türevin işaret değiştirdiği yerel noktalar veya köşeler aranmalıdır.

3

Ekstremum noktası sayısının tam olarak 3 olması için gereken parametre sınırını analiz edin.

-6 < a < 6

olduğunda

x = -a/2

noktası

(-3, 3)

aralığına düşer ve yerel maksimum olur. Aynı zamanda türevin bu aralıktaki sınırlarında (

x = -3

ve

x = 3

) işaret değişimi gerçekleşerek iki adet yerel minimum noktası oluşur. Toplamda 3 ekstremum noktası elde edilir.

Parametrenin sınır değerleri aşıldığında türevin kökleri ilgili aralıkların dışına çıkmakta ve köşe noktalarında yön değişimi engellendiği için ekstremum sayısı 1'e düşmektedir.

4

Bulunan aralıktaki tam sayıların adedini hesaplayın.

-6 < a < 6

aralığındaki tam sayılar

\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

olup 11 adettir.

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısını belirleyerek sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Key Concept

Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Fonksiyonun türevlenemediği köşe noktalarında da (sağ ve sol türev işaretleri zıt olmak koşuluyla) ekstremum noktaları bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 2055Question →

$a$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax}{|x - a|}, & x < a \\ 2x - a^2, & x \ge a \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun $x = a$ noktasında limiti olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşitliğinden elde edilen pozitif gerçel sayı değeri 3'tür.

Fonksiyonun x = a noktasında limitinin olması için sol limit (-a) ile sağ limit (2a - a^2) eşit olmalıdır. Buradan a^2 - 3a = 0 elde edilir. a pozitif olduğundan a = 3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Limitin varlık koşulunu hatırlayarak sol limiti belirlemek için yaklaşım yönünü incelemek.

x, a'ya soldan yaklaşırken (x < a) x - a < 0 olur.

Sol limit hesaplanırken kritik noktanın solundaki değerler temel alınır.

2

Mutlak değerli ifadenin işaretini belirleyip belirsizliği gidermek.

|x - a| = -(x - a) olduğundan, sol limit değeri \lim_{x \to a^-} \frac{x(x-a)}{-(x-a)} = \lim_{x \to a^-} (-x) = -a olarak bulunur.

Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için mutlak değer işareti dışına çıkarma kuralları uygulanır.

3

Sağ limiti hesaplamak.

\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (2x - a^2) = 2a - a^2 olarak bulunur.

Sağdan yaklaşırken x >= a aralığındaki fonksiyon kuralı kullanılır.

4

Limitin var olması için sağ ve sol limitleri eşitlemek ve oluşan denklemi çözmek.

-a = 2a - a^2 \implies a^2 - 3a = 0 \implies a(a - 3) = 0 denklemi elde edilir.

Bir noktada limitin olması için sağ ve sol limitler birbirine eşit olmalıdır.

5

Soruda verilen a'nın pozitif gerçel sayı olması koşulunu uygulamak.

a > 0 olduğundan a = 3 olarak bulunur.

a = 0 değeri pozitiflik koşulunu sağlamaz.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde sağ ve sol limitlerin eşitliği ve mutlak değerin işaret analizi.

Question 2056Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

-4

0

2

4

8

Show answer & explanation

Answer: 0

Answer

Fonksiyonun yerel minimum değeri 0'dır.

Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kritik noktalardan

x = 2

noktasında türev işaret değiştirerek negatiften pozitife geçmektedir. Bu yüzden

x = 2

noktası yerel minimum noktasıdır ve bu noktadaki fonksiyon değeri

f(2) = 0

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun birinci türevi alınır.

f'(x) = 3x^2 - 6x

Ekstremum noktalarının apsislerini (kritik noktaları) bulmak için fonksiyonun türevi alınmalıdır.

2

Türevin kökleri (kritik noktalar) bulunur.

3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0

ve

x_2 = 2

Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.

3

Türevin işaret tablosu yapılarak yerel minimum noktası belirlenir.

x < 0

için

f'(x) > 0

(artan),

0 < x < 2

için

f'(x) < 0

(azalan),

x > 2

için

f'(x) > 0

(artan). Bu durumda

x = 2

noktası yerel minimum noktasıdır.

Türevin işareti negatiften pozitife döndüğü nokta yerel minimum noktasıdır.

4

Yerel minimum noktasının ordinatı (yerel minimum değeri) hesaplanır.

f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0

Yerel minimum değeri, bu noktanın fonksiyondaki görüntüsüdür.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri bulunur ve işaret tablosu yardımıyla ekstremum noktalarının türü belirlenir.

Estimated Time:1m 0s

Question 2057Question →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

F(x) = \int \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx

eşitliği veriliyor.

f(1) = 2

,

F(1) = 4

ve

f(3) = 6

olduğuna göre,

F(3)

değeri kaçtır?

\frac{3}{2}

\frac{8}{3}

3

5

-\frac{3}{2}

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

Doğru cevap

3

olarak bulunur.

İntegrali alınacak ifade, bölümün türevi kuralına göre

-\frac{x^2}{f(x)}

fonksiyonunun türevidir. Bu sayede belirsiz integral

F(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C

şeklinde elde edilir. Verilen başlangıç değerleri kullanılarak integral sabiti

C = \frac{9}{2}

olarak bulunur. Sonrasında

x=3

yazılarak doğru sonuca (

3

) ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İntegrali alınacak ifadenin yapısını inceleme

İntegral içindeki

\frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2}

ifadesinin, bölümün türevi kuralı olan

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

formülü ile ilişkili olduğu görülür.

Karmaşık görünümlü integrallerde ifadenin hangi bilinen fonksiyonun türevi veya diferansiyeli olduğunu bulmak temel yöntemdir.

2

Bölüm türevi kuralını uygulama

d\left(-\frac{x^2}{f(x)}\right) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx

olduğu doğrulanır.

\frac{x^2}{f(x)}

ifadesinin türevi alındığında pay kısmında

2x \cdot f(x) - x^2 \cdot f'(x)

oluşur. Verilen integral bunun tam eksilisidir. Bu yüzden

-\frac{x^2}{f(x)}

ifadesi kullanılır.

3

İntegrali hesaplama ve integral sabitini (

C

) bulma

F(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C

olur.

x=1

yazılarak

F(1) = -\frac{1}{f(1)} + C \implies 4 = -\frac{1}{2} + C \implies C = \frac{9}{2}

bulunur.

Belirsiz integral hesaplandıktan sonra ortaya çıkan integral sabitini (

C

) bulabilmek için fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri kullanılır.

4

F(3)

değerini hesaplama

F(3) = -\frac{3^2}{f(3)} + \frac{9}{2} = -\frac{9}{6} + \frac{9}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 3

elde edilir.

Elde edilen genel

F(x)

fonksiyonunda istenen

x=3

değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bölümün türevi kuralı yardımıyla belirsiz integral alma ve integral sabiti hesabı

Alternative Method

Türevin tanımı kullanılarak eşitliğin her iki tarafının türevi alınabilir:

F'(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2}

. Bu ifadenin

F(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C

biçiminde bir fonksiyonun türevi olduğu görülerek aynı sonuca ulaşılır.

Estimated Time:3m 0s

Question 2058Question →

f(x) = 3^x

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığı eş alt aralıklara bölünerek elde edilen her Riemann üst toplamı,

\int_1^5 3^x \, dx

belirli integralinin değerinden büyüktür.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Doğru

Verilen fonksiyon sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun alacağı en büyük değer sağ uç noktada gerçekleşir. Bu sağ uç noktalarla oluşturulan Riemann üst toplamı, integralin temsil ettiği alanın her zaman üstünde kalır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun belirlenmesi.

f(x) = 3^x

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 3^x \ln(3) > 0

olduğundan, fonksiyon

[1, 5]

aralığında sürekli artandır.

Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi belirlemek için fonksiyonun yönü tespit edilmelidir.

2

Riemann üst toplamı tanımının artan fonksiyonlar için incelenmesi.

Artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değeri o aralığın sağ ucunda gerçekleşir. Riemann üst toplamı da sağ uç değerlerle hesaplanan dikdörtgen alanlarının toplamı olduğundan, bu toplam integral eğrisinin üzerinde kalan alanları da kapsar.

Üst toplamın integral ile olan geometrik ilişkisini kurmak için.

3

Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki büyüklük ilişkisinin yazılması.

Her

P

bölüntüsü için Riemann üst toplamı

Ü(f, P) > \int_1^5 3^x \, dx

eşitsizliğini sağlar. Bu durum ifadenin doğru olduğunu gösterir.

İfadenin doğruluk değerini kesin olarak tayin etmek için.

Key Concept

Artan fonksiyonların Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki ilişki

Question 2059Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 6

g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4

fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

$f$ fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir $A$ noktasından çizilen teğet doğrusu ile $g$ fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir $B$ noktasından çizilen teğet doğrusu dik kesişmektedir.

Bu teğet doğruları $y$ ekseni üzerindeki bir $P$ noktasında kesi��tiğine göre, $P$ noktasının ordinatı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Kesişim noktasının ordinat�� 5'tir.

Soruda verilen fonksiyonların türevleri alınıp teğet eğimleri çarpımı

-1

'e eşitlendiğinde

ab=4

elde edilir. Teğetlerin

y

eksenini kestikleri noktaların ordinatları eşitlenirse

a^2+b^2=8

denklemine ulaşılır. Buradan

a^2=4

bulunur ve kesişim noktasının ordinatı 5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Teğet noktalarını değişkenler cinsinden yazma

A\left(a, \frac{1}{4}a^2+6\right)

ve

B\left(b, -\frac{1}{4}b^2+4\right)

Teğet noktalarının koordinatlarını belirlemek i��in genel formüller yazılır.

2

Türev yardımıyla teğet eğimlerini hesaplama

m_1 = \frac{a}{2}

ve

m_2 = -\frac{b}{2}

Teğet doğrusunun eğimi, değme noktasındaki türev değerine eşittir.

3

Doğruların diklik şartını uygulama

ab = 4

Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı

-1

olmalıdır.

4

Kesişim noktasının y ekseni üzerinde olma şartını kullanma

a^2 + b^2 = 8

Teğetlerin

y

eksenini kestikleri noktaların ordinatları birbirine eşit olmalıdır.

5

Elde edilen denklem sisteminden teğet noktalarının apsislerinin karelerini bulma

a^2 = 4

ve

b^2 = 4

a^2+b^2=8

ve

a^2b^2=16

eşitlikleri çözüldüğünde tam kare ifade elde edilir.

6

Kesişim noktasının ordinatını bulma

5

a^2=4

değeri teğet doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinat ifadesinde yerine yazılır.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu, dik kesişen doğruların eğimleri ilişkisi ve analitik geometri uygulamaları.

Question 2060Question →

$f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere tanımlı $f(x) = 12 - x^2$ fonksiyonunun $[0, 4]$ aralığında $4$ eşit alt aralığa göre hesaplanan Riemann orta toplamı, bu aralıktaki $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$ belirli integralinin değerinden daha büyüktür.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

İfade doğrudur. Riemann orta toplamının değeri (

27

), belirli integralin değerinden (

\frac{80}{3} \approx 26{}67

) daha büyüktür.

Verilen

f(x) = 12 - x^2

fonksiyonunun

[0, 4]

aralığındaki Riemann orta toplamı

27

olarak hesaplanır. Bu aralıktaki belirli integral değeri ise

\frac{80}{3} \approx 26{}67

olduğundan, Riemann orta toplamı integral değerinden büyüktür. Bu durum geometrik olarak fonksiyonun konkav (aşağı doğru içbükey) olmasından kaynaklanır.

Step-by-Step Solution

1

Aralık genişliğini ve alt aralıkların orta noktalarını belirleme

Aralık genişliği

\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1

ve orta noktalar:

m_1 = 0{}5

,

m_2 = 1{}5

,

m_3 = 2{}5

,

m_4 = 3{}5

Riemann orta toplamını hesaplamak için alt aralıkların orta noktalarına ve ortak aralık genişliğine ihtiyaç duyulur.

2

Orta noktaların fonksiyon altındaki görüntülerini hesaplama

f(0{}5) = 11{}75

,

f(1{}5) = 9{}75

,

f(2{}5) = 5{}75

,

f(3{}5) = -0{}25

Riemann orta toplamı formülündeki yükseklik değerlerini bulmak için orta noktaların fonksiyon değerleri hesaplanır.

3

Riemann orta toplamını (

S_{orta}

) hesaplama

S_{orta} = [f(0{}5) + f(1{}5) + f(2{}5) + f(3{}5)] \cdot \Delta x = (11{}75 + 9{}75 + 5{}75 - 0{}25) \cdot 1 = 27

Her alt aralığın orta noktasındaki fonksiyon değeri ile aralık genişliği çarpılıp toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.

4

Belirli integrali hesaplama ve Riemann orta toplamı ile karşılaştırma

\int_{0}^{4} (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = 48 - \frac{64}{3} = \frac{80}{3} \approx 26{}67

ve

27 > 26{}67

olduğu görülür.

İfadenin doğruluğunu teyit etmek için Riemann orta toplamı ile integral değeri karşılaştırılır.

Key Concept

Riemann Orta Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer