All practice questions

Question 221Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{3\sqrt{2}}{10}

olduğuna göre,

25 \cdot \sin(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen

\cos(2x) = \frac{3}{5}

ve

\sin(2x) = \frac{4}{5}

değerleri kullanılarak, yarım açı formülü yardımıyla

25 \cdot \sin(4x)

ifadesinin değeri 24 olarak bulunur.

Verilen ifade iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde

\cos(2x) \cdot \cos(\pi/4) = 3\sqrt{2}/10

denklemi elde edilir. Buradan

\cos(2x) = 3/5

bulunur. Tanımlanan bölgede

\sin(2x) = 4/5

olup, yarım açı formülüyle

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 24/25

bulunur. Sonuç olarak

25 \cdot \sin(4x) = 24

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi iki kare farkı ve toplam-fark özdeşlikleri kullanarak sadeleştirmek

\cos(2x) = \frac{3}{5}

İfadedeki terimlerin açılımını yaparak

\cos(2x)

değerine ulaşmak

2

Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak

\sin(2x)

değerini hesaplamak

\sin(2x) = \frac{4}{5}

Yarım açı formülünde kullanılacak olan sinüs değerini elde etmek

3

Sinüs yarım açı formülünü uygulayarak

\sin(4x)

değerini hesaplamak

\sin(4x) = \frac{24}{25}

İstenen ifadenin çarpanı olan

\sin(4x)

değerini bulmak

4

25 \cdot \sin(4x)

işlemini gerçekleştirmek

24

Soruda sorulan nihai sayısal değere ulaşmak

Key Concept

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerinin trigonometrik sadeleştirmelerde ve değer hesaplamalarında uygulanması

Alternative Method

İkinci bir yol olarak,

\cos\left(\frac{\pi}{8} + x\right)

ve

\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)

ifadeleri toplam-fark formülleriyle açılarak kareleri alınabilir. Kareler alındığında çapraz çarpım terimleri birbirini götürür ve geriye

(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}) = \cos(2x)\cos\frac{\pi}{4}

kalır. Buradan da aynı şekilde çözüme ulaşılır.

Estimated Time:2m 30s

Question 222Question →

Dik koordinat düzleminde, $O$ başlangıç noktası olmak üzere, merkezil birim çember üzerindeki bir $P$ noktası için $[OP]$ doğru parçası $x$ -ekseninin pozitif yönüyle $\theta = \frac{7\pi}{6}$ radyarlık açı yapmaktadır. $y = \sqrt{3}$ doğrusu üzerindeki bir $Q$ noktası için $O$ , $P$ ve $Q$ noktaları doğrusaldır. Buna göre, $Q$ noktasının apsisi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Doğru cevap 3'tür.

\theta = \frac{7\pi}{6}

açısı üçüncü bölgede yer alır. Bu açının tanjant değeri

\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}

olduğundan, orijinden geçen doğrunun denklemi

y = \frac{1}{\sqrt{3}}x

olur.

Q(x, \sqrt{3})

noktası bu doğru üzerinde bulunduğundan,

y

yerine

\sqrt{3}

yazıldığında

\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x

denkleminden

x = 3

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

P

noktasını belirleyen

\theta = \frac{7\pi}{6}

açısının tanjantını hesaplayarak

OP

doğrusunun eğimini bulmak.

Eğim

m = \tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}

Merkezil birim çember üzerindeki bir noktanın orijinle birleştirilmesiyle oluşan doğrunun eğimi, bu doğrunun

x

-ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantına eşittir.

2

O

,

P

ve

Q

noktalarının doğrusallığını kullanarak

Q(x, \sqrt{3})

noktası için doğru denklemini kurmak.

Doğru denklemi:

y = \frac{1}{\sqrt{3}}x

Orijinden geçen ve eğimi

m

olan doğrunun denklemi

y = mx

formundadır.

3

Q

noktasının

y

-koordinatını (

\sqrt{3}

) doğru denkleminde yerine yazarak

x

-koordinatını (apsisini) bulmak.

x = 3

Q

noktası bu doğru üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki geometrik yorumu, standart açıların indirgenmesi ve doğrunun analitik incelenmesi.

Alternative Method

P

ve

Q

noktalarının koordinatları oranından benzerlik veya eğim eşitliği kullanılarak bulunabilir.

P

noktası birim çember üzerinde

\theta = 7\pi/6

açısına karşılık geldiğinden koordinatları

P(\cos(7\pi/6), \sin(7\pi/6)) = P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})

olur.

O

,

P

ve

Q

noktaları doğrusal olduğundan

\frac{y_P}{x_P} = \frac{y_Q}{x_Q} \implies \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies x = 3

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 223Question →

Analitik düzlemde, $y = -x^2 + ax - 3$ parabolü ile $y = 2x + 1$ doğrusu birbirine teğettir.

Buna göre, $a$ sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -12

Answer

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olmasını sağlayan farklı

a

değerlerinin çarpımı

-12

olur.

Ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlendiğinde elde edilen

a

değerleri

-2

ve

6

olup, bu değerlerin çarpımı

-12

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde etmek.

x^2 + (2-a)x + 4 = 0

Doğru ve parabolün ortak noktalarını incelemek amacıyla iki denklem birbirine eşitlenir.

2

Ortak çözüm denkleminin diskriminantını sıfıra eşitlemek.

(2-a)^2 - 16 = 0

Bir doğru ile bir parabolün birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit (

\Delta = 0

) olması anlamına gelir.

3

Elde edilen denklemi çözerek

a

sayısının alabileceği değerleri belirlemek.

a = -2

ve

a = 6

(2-a)^2 = 16

eşitliğinden

2-a

ifadesi

4

veya

-4

olabilir.

4

Bulunan

a

değerlerinin çarpımını hesaplamak.

-12

Soru kökünde bizden

a

sayısının alabileceği değerlerin çarpımı istenmiştir.

Key Concept

Bir parabol ile bir doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması (

\Delta = 0

).

Question 224Question →

\begin{aligned} x^2 - xy - y^2 &= 5 \\ x - 2y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan $(x, y)$ gerçek sayı ikilileri için $x \cdot y$ çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

Denklem sistemini sağlayan gerçek sayı ikilileri için

x \cdot y

çarpımının alabileceği en büyük değer 28'dir.

Denklem sistemindeki birinci dereceden denklem kullanılarak

x = 2y + 1

elde edilir. Bu değer ikinci dereceden denklemde yerine yazıldığında

y^2 + 3y - 4 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali

(y + 4)(y - 1) = 0

olup kökleri

y = 1

ve

y = -4

'tür. Karşılık gelen

x

değerleri sırasıyla

3

ve

-7

olur. Çözüm ikililerinin çarpımları

3 \cdot 1 = 3

ve

(-7) \cdot (-4) = 28

olarak bulunur. Bu değerlerin en büyüğü 28'dir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci dereceden denklemden değişken çekme

x = 2y + 1

Yerine koyma metodunu uygulamak amacıyla linear denklemden

x

yalnız bırakılır.

2

x

ifadesini ikinci dereceden denklemde yerine koyma

(2y + 1)^2 - (2y + 1)y - y^2 = 5

İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyenli bir denklem haline getirmek için.

3

Denklemi açma ve standart forma getirme

y^2 + 3y - 4 = 0

Çarpanlarına ayırarak kökleri bulabilmek için denklemi sadeleştirip düzenlemek gerekir.

4

İkinci dereceden denklemin köklerini bulma

y = 1

veya

y = -4

(y + 4)(y - 1) = 0

çarpanlarına ayrılan denklemin köklerini bulmak için.

5

Bulunan

y

değerlerine karşılık gelen

x

değerlerini hesaplama

(3, 1)

ve

(-7, -4)

çözüm ikilileri

Her bir

y

değeri

x = 2y + 1

eşitliğinde yazılarak çözüm kümesindeki ikililer oluşturulur.

6

Çarpımları hesaplayıp en büyüğünü belirleme

3 \cdot 1 = 3

ve

(-7) \cdot (-4) = 28

değerlerinden en büyüğü 28'dir.

Soruda istenen en büyük çarpım değerine ulaşmak için.

Key Concept

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi.

Question 225Question →

\log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{n-1} n = 4

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 81

Answer

Eşitliği sağlayan

n

değeri 81'dir.

Verilen zincirleme çarpımda taban değiştirme kuralı uygulandığında iç terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca ilk terimin tabanı ile son terimin argümanı kalır. Bu durum

\log_3 n = 4

eşitliğini verir. Logaritma tanımından

n = 3^4 = 81

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak çarpımı sadeleştirin.

\log_3 n = 4

\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c

zincir kuralı gereğince ardışık taban ve argümanlar birbirini sadeleştirir.

2

Elde edilen logaritmik denklemi üstel fonksiyona dönüştürün.

n = 3^4

\log_a x = y \Leftrightarrow x = a^y

tanımı gereğince logaritma tabanı karşı tarafa üs tabanı olarak geçer.

3

3^4

üslü ifadesinin değerini hesaplayın.

n = 81

Dört adet 3 sayısının çarpımı (

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

) 81 sonucunu verir.

Key Concept

Logaritmada taban değiştirme özelliği ve zincir kuralı

Question 226Question →

f(x) = \frac{12}{\pi} \arctan(x^2 - 4x + 5)

fonksiyonunun g��rüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Fonksiyonun görüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı 12'dir.

Fonksiyonun görüntü kümesi

[3, 6)

yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 3, 4 ve 5 olup toplamları 12'dir.

Step-by-Step Solution

1

İçteki fonksiyonun en küçük değerini ve değer aralığını belirleme.

x^2 - 4x + 5

ifadesinin alabileceği en küçük değer 1'dir ve değer aralığı

[1, \infty)

olur.

Arctan fonksiyonunun argümanının sınırlarını belirlemek için parabolün tepe noktasını kullandık.

2

Arctan fonksiyonunun değer sınırlarını hesaplama.

\arctan(x^2 - 4x + 5)

ifadesinin değer aralığı

[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})

olur.

Arctan fonksiyonunun artan özelliğini ve sonsuzdaki limit değerini kullanarak sınırları belirledik.

3

Fonksiyonun katsayısını uygulayarak görüntü kümesini ve tam sayıların toplamını bulma.

Görüntü kümesi

[3, 6)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 12'dir.

Görüntü kümesindeki tam sayıları (3, 4 ve 5) belirleyip toplamını hesaplamak için.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve limit değerlerinin parabolün tepe noktası ile birleştirilerek fonksiyonun görüntü kümesinin bulunması.

Question 227Question →

f(x) = \arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) + \arctan\left(\sqrt{x-1}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, bileşenlerinin tanım kümelerinin kesişimidir. arcsin teriminden -2 <= x <= 3 ve köklü terimden x >= 1 koşulları elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan [1, 3] aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3 olup, bunların toplamı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

\arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right)

ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.

-2 \le x \le 3

\arcsin(u)

fonksiyonunun tanım kümesi

[-1, 1]

aralığıdır. Dolayısıyla

-1 \le \frac{2x-1}{5} \le 1

olmalıdır. Buradan

-5 \le 2x - 1 \le 5 \Rightarrow -4 \le 2x \le 6 \Rightarrow -2 \le x \le 3

elde edilir.

2

\arctan\left(\sqrt{x-1}\right)

ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.

x \ge 1

\arctan(u)

fonksiyonu tüm gerçel sayılar için tanımlıdır. Ancak

\sqrt{x-1}

ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içinin negatif olmaması, yani

x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1

olması gerekir.

3

İki ifadenin tanım kümelerinin kesişimini alarak

f(x)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulma.

1 \le x \le 3

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu yüzden

-2 \le x \le 3

ve

x \ge 1

eşitsizliklerinin kesişimi alınır.

4

Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleme.

1, 2 ve 3

[1, 3]

kapalı aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3'tür.

5

Belirlenen tam sayıların toplamını hesaplama.

6

1, 2 ve 3 sayılarının toplamı

1 + 2 + 3 = 6

eder.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arcsin(x) fonksiyonunun tanım kümesinin [-1, 1] aralığı olması ve fonksiyonların en geniş tanım kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.

Question 228Question →

Bir $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $a = 5\text{ birim}$ , $b = 8\text{ birim}$ ve üçgenin alanı $10\sqrt{3}\text{ birimkare}$ olarak verilmektedir.

$m(\widehat{ACB}) < 90^\circ$ ve bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birim olduğuna göre, $R\sqrt{3}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

İstenen

R\sqrt{3}

ifadesinin değeri 7'dir.

Üçgenin sinüslü alan formülü kullanılarak

C

açısının sinüsü

\frac{\sqrt{3}}{2}

bulunur. Açı dar açı olduğu için

60^\circ

olarak belirlenir. Ardından Kosinüs Teoremi ile

c

kenarı 7 birim olarak hesaplanır. Son olarak Sinüs Teoremi kullanılarak

2R = \frac{c}{\sin(C)}

bağıntısından çevrel çemberin yarıçapı

R = \frac{7}{\sqrt{3}}

elde edilir ve buradan

R\sqrt{3} = 7

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin alan formülünü uygulayarak

C

açısının sinüs değerini hesaplama.

\sin(\widehat{ACB}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Bir üçgenin alanı, iki kenarı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.

2

C

açısının dar açı olma koşuluna göre açının ölçüsünü derece cinsinden bulma.

m(\widehat{ACB}) = 60^\circ

0^\circ < \widehat{ACB} < 90^\circ

aralığında sinüsü

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan tek açı

60^\circ

derecedir.

3

Kosinüs Teoremini uygulayarak

c

kenarının uzunluğunu bulma.

c = 7

birim

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{ACB})

formülünde bilinenler yerine yazılarak

c^2 = 25 + 64 - 2(5)(8)\cos(60^\circ) = 89 - 40 = 49

elde edilir.

4

Sinüs Teoremini uygulayarak çevrel çemberin yarıçapı

R

değerini ve

R\sqrt{3}

ifadesini hesaplama.

R = \frac{7}{\sqrt{3}}

ve

R\sqrt{3} = 7

Sinüs Teoremine göre

\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})} = 2R

bağıntısı geçerlidir.

Key Concept

Sinüs Teoremi, Kosinüs Teoremi ve Sinüslü Alan Formülünün bir arada kullanılması.

Question 229Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\cot x - \tan x = \frac{3}{2}

olduğuna göre,

\sin(4x)

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.96

Answer

0,96

Verilen

\cot x - \tan x = \frac{3}{2}

ifadesi payda eşitleme ve yarım açı dönüşümleriyle

2\cot(2x) = \frac{3}{2}

biçimine getirilir. Buradan

\cot(2x) = \frac{3}{4}

elde edilir. Tanımlanan bölgeye göre

2x

açısı birinci bölgededir. Birinci bölgedeki bu açıya ait dik üçgen çizildiğinde

\sin(2x) = \frac{4}{5}

ve

\cos(2x) = \frac{3}{5}

bulunur. Son olarak

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

yarım açı formülü uygulandığında

\sin(4x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0,96

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

\cot x - \tan x

ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak payda eşitleyin.

\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = \frac{3}{2}

\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\cot(2x)

özdeşliği geçerlidir.

2

Eşitlikten

\cot(2x)

değerini yalnız bırakın.

\cot(2x) = \frac{3}{4}

2\cot(2x) = \frac{3}{2}

eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.

3

2x

açısının aralığını ve bu bölgedeki trigonometrik fonksiyon değerlerini bulun.

\sin(2x) = \frac{4}{5}

ve

\cos(2x) = \frac{3}{5}

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olduğundan

2x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olur. Birinci bölgede tüm trigonometrik oranlar pozitiftir. Kotanjantı

\frac{3}{4}

olan bir dik üçgende karşı kenar 4, komşu kenar 3 ve hipotenüs 5 birimdir.

4

\sin(4x)

değerini yarım açı formülüyle hesaplayın.

\sin(4x) = 0,96

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} = 0,96

olarak hesaplanır.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri

Alternative Method

\sin(4x)

değerini,

\tan(2x) = \frac{4}{3}

değerini bulduktan sonra doğrudan

\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}

formülünü kullanarak da hesaplayabiliriz. Bu durumda

\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{25}{9}} = \frac{24}{25} = 0,96

bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 230Question →

f(x) = \log_{|x - 3| - 1}(18 - 3x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -15

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı

-15

olarak bulunur.

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için taban ifadesi olan

|x - 3| - 1 > 0

ve

|x - 3| - 1 \neq 1

olmalıdır. Buradan

x < 2

veya

x > 4

ile

x \neq 1

,

x \neq 5

elde edilir. Ayrıca argüman ifadesi

18 - 3x - x^2 > 0

olmalıdır; bu ise

(x + 6)(x - 3) < 0

yani

-6 < x < 3

aralığını verir. Bu koşulların kesişiminden en geniş tanım kümesi

(-6, 2) \setminus \{1\}

olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar

\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}

olup, toplamları

-15

'tir.

Step-by-Step Solution

1

Tabanın tanımlı olma koşullarını (taban > 0 ve taban != 1) belirlemek.

x < 2

veya

x > 4

ve aynı zamanda

x \neq 1

,

x \neq 5

.

Logaritma tanımı gereği taban daima pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

2

Argümanın tanımlı olma koşulunu (argüman > 0) incelemek.

x \in (-6, 3)

.

Logaritması alınan ifade daima pozitif olmalıdır.

3

Taban ve argüman koşullarının kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulmak.

T = (-6, 2) \setminus \{1\}

.

Fonksiyonun tanımlı olması için her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir.

4

Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.

Tam sayılar:

\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}

; Toplamları:

-15

.

Kümedeki sınır değerleri ve çıkarılan

1

sayısı hariç tüm tam sayılar toplanır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.

Question 231Question →

a

ve

b

dar açılar olmak üzere,

a + b < \frac{\pi}{2}

eşitsizliği sağlanmaktadır.

\sin a \cdot \cos b = 2 \cos a \cdot \sin b

\tan(a - b) = \frac{1}{3}

olduğuna göre,

\tan(a + b)

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

3

Verilen oranlar kullanılarak elde edilen

\tan a = 2\tan b

bağıntısı fark formülünde yerine yazıldığında

2\tan^2 b - 3\tan b + 1 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin köklerinden

\tan b = 1

değeri

a+b < \pi/2

sınırını aştığından elenir ve

\tan b = 1/2

ile

\tan a = 1

değerleri seçilir. Bu değerlerle toplam formülü uygulandığında sonuç 3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliği tanjant cinsinden yazma

\tan a = 2 \tan b

Toplam-fark formüllerinde tanjant değerlerini kullanabilmek için verilen sinüslü ve kosinüslü ifadeyi tanjant oranlarına dönüştürmemiz gerekir.

2

Tanjant fark formülünü uygulama ve yerine yazma

\frac{\tan b}{1 + 2\tan^2 b} = \frac{1}{3}

\tan(a-b)

fark formülünde

\tan a

yerine

2\tan b

yazarak tek değişkene bağlı bir rasyonel ifade elde ederiz.

3

İkinci dereceden denklemi çözme

\tan b = \frac{1}{2}

veya

\tan b = 1

Elde edilen içler dışlar çarpımıyla oluşan

2\tan^2 b - 3\tan b + 1 = 0

denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle buluruz.

4

Dar açı ve bölge kontrolü yapma

\tan b = \frac{1}{2}

ve

\tan a = 1

a + b < \frac{\pi}{2}

koşulunu sağlayan uygun tanjant değerlerini belirlemek için her iki durumu analiz ederiz.

\tan b = 1

durumu bu koşulu ihlal eder.

5

Tanjant toplam formülü ile sonucu hesaplama

\tan(a+b) = 3

Bulunan

\tan a

ve

\tan b

değerlerini

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

formülünde yerine koyarak nihai sonucu elde ederiz.

Key Concept

İki açının toplam ve farkının tanjant formülleri ile bu formüllerin cebirsel denklemlerde uygulanması.

Question 232Question →

Bir kenar uzunluğu $4\text{ birim}$ olan düzgün $ABCDEF$ altıgeninde; $K$ noktası $[AB]$ kenarı üzerinde $|AK| = 1\text{ birim}$ olacak şekilde, $L$ noktası ise $[CD]$ kenarı üzerinde $|CL| = 3\text{ birim}$ olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, $K$ ve $L$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|KL|$ ) kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.

Kosinüs Teoremi önce

KBC

üçgeninde, ardından açılar arasındaki ilişki fark formülüyle düzenlenerek

KCL

üçgeninde uygulandığında

|KL|^2 = 49

elde edilir. Buradan uzaklık 7 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

K noktasının B köşesine olan uzaklığını bulma.

|KB| = 3\text{ birim}

Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu

4\text{ birim}

olduğundan,

|KB| = |AB| - |AK| = 4 - 1 = 3\text{ birim}

elde edilir.

2

KBC

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayarak

|KC|^2

değerini hesaplama.

|KC|^2 = 37\text{ birim}^2

m(\widehat{B}) = 120^\circ

,

|KB| = 3\text{ birim}

ve

|BC| = 4\text{ birim}

değerleri için Kosinüs Teoremi uygulandığında

\cos(120^\circ) = -1/2

yazılır ve

|KC|^2 = 37

bulunur.

3

KBC

üçgeninden

\cos(\widehat{KCB})

ve

\sin(\widehat{KCB})

değerlerini elde etme.

\cos(\widehat{KCB}) = \frac{11}{2\sqrt{37}}

ve

\sin(\widehat{KCB}) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}

KBC

üçgeninde

[BC]

kenarına göre Kosinüs Teoremi kullanılarak açının kosinüsü çekilir, ardından sinüsü bulunur.

4

\cos(\widehat{KCD})

değerini toplam-fark formülü kullanarak hesaplama.

\cos(\widehat{KCD}) = -\frac{1}{2\sqrt{37}}

Altıgenin iç açısı

120^\circ

olduğundan

\widehat{KCD} = 120^\circ - \widehat{KCB}

bağıntısı kullanılır.

5

KCL

üçgeninde Kosinüs Teoremi ile

|KL|

uzunluğunu hesaplama.

|KL| = 7\text{ birim}

|KL|^2 = |KC|^2 + |CL|^2 - 2|KC||CL|\cos(\widehat{KCD})

formülünde değerler yerine yazılıp karekökü alınır.

Key Concept

Düzgün altıgenin açı ve kenar özellikleri ile Kosinüs Teoreminin üçgenlerde ardışık uygulanması.

Question 233Question →

f(x) = \log_{3}\left(\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için argümanı olan rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir. Pay (

x^2 - 6x - 16

) ve paydayı (

25 - x^2

) sıfır yapan kökler bulunarak işaret tablosu oluşturulduğunda, ifadenin pozitif olduğu en geniş aralık

(-5, -2) \cup (5, 8)

olarak elde edilir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar

-4, -3, 6, 7

olup bunların toplamı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma fonksiyonunun tanım koşulunu belirleme

\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2} > 0

eşitsizliği çözülmelidir.

Taban pozitif bir sabit (3) olduğundan, sadece argümanın pozitif olması koşulu incelenir.

2

Pay ve paydanın köklerini bulma

Payın kökleri:

x = -2

ve

x = 8

. Paydanın kökleri:

x = -5

ve

x = 5

.

Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için kritik noktaların (köklerin) bulunması gerekir.

3

İşaret tablosu hazırlama ve çözüm kümesini bulma

Çözüm kümesi:

(-5, -2) \cup (5, 8)

Payın baş katsayısı pozitif (+), paydanın baş katsayısı negatif (-) olduğundan tablonun en sağ bölgesi eksi (-) ile başlar. Tek katlı köklerde işaret değiştirilerek pozitif bölgeler seçilir.

4

Tanım kümesindeki tam sayıları listeleme

Tam sayılar:

\{-4, -3, 6, 7\}

Açık aralıklardaki tam sayılar belirlenir. Sınır değerleri aralığa dahil edilmez.

5

Tam sayıların toplamını hesaplama

(-4) + (-3) + 6 + 7 = 6

Soruda istenen tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak.

Key Concept

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif (

>0

) olması gerekir.

Question 234Question →

\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\sqrt{1 - \sin(2\theta)} + \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{8}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $25 \cdot \sin(2\theta)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İfadenin sadeleştirilmesi ve yarım açı formüllerinin uygulanmasıyla elde edilen sonuç 24'tür.

Verilen denklemde kareköklü ifadeler tam kare açılımları şeklinde düzenlenip mutlak değer dışına çıkarıldığında,

\sin\theta - \cos\theta - \sin\theta - \cos\theta = -2\cos\theta

elde edilir. Buradan

\cos\theta = -4/5

bulunur. Üçüncü bölgede sinüs değeri negatif olacağından

\sin\theta = -3/5

olarak belirlenir. Yarım açı formülünden

\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 24/25

olur. Bu değer 25 ile çarpıldığında 24 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kareköklerin içerisindeki ifadeleri tam kare formunda yazıp karekökten mutlak değerli olarak çıkarın.

\sqrt{1 - \sin(2\theta)} = |\sin\theta - \cos\theta|

ve

\sqrt{1 + \sin(2\theta)} = |\sin\theta + \cos\theta|

1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta

özdeşliği ve

\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta

yarım aç�� açılımı kullanıldığında kök içleri sırasıyla

(\sin\theta - \cos\theta)^2

ve

(\sin\theta + \cos\theta)^2

olur.

2

\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığına göre trigonometrik değerlerin işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini analiz ederek mutlak değerleri sadeleştirin.

|\sin\theta - \cos\theta| = \sin\theta - \cos\theta

ve

|\sin\theta + \cos\theta| = -\sin\theta - \cos\theta

Üçüncü bölgede

\sin\theta < 0

ve

\cos\theta < 0

olup, belirtilen alt aralıkta

\cos\theta < \sin\theta

gerçekleşir. Bu nedenle

\sin\theta - \cos\theta > 0

ve

\sin\theta + \cos\theta < 0

olur.

3

Mutlak değerden çıkarılan ifadeleri toplayarak denklemi çözün ve

\cos\theta

değerini bulun.

(\sin\theta - \cos\theta) + (-\sin\theta - \cos\theta) = \frac{8}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{8}{5} \implies \cos\theta = -\frac{4}{5}

Sol taraf toplandığında sinüs terimleri sadeleşir ve sadece kosinüs terimi kalır.

4

\cos\theta

yardımıyla

\sin\theta

değerini belirleyin ve yarım açı formülüyle

\sin(2\theta)

değerini hesaplayın.

\sin\theta = -\frac{3}{5}

ve

\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

özdeşliğinden ve açının üçüncü bölgede olmasından dolayı sinüs değeri negatif seçilir. Ardından yarım açı formülü uygulanır.

5

İstenen

25 \cdot \sin(2\theta)

ifadesinin değerini hesaplayın.

25 \cdot \frac{24}{25} = 24

Hesaplanan yarım açı değeri 25 katsayısı ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.

Question 235Question →

\begin{aligned} x^2 - xy + y^2 &= 7 \\ x^2 + y^2 - x - y &= 8 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan

(x, y)

gerçel sayı ikilileri için

x + y

toplamının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Denklem sistemini sağlayan

(x, y)

gerçel sayı ikilileri için

x+y

toplamının alabileceği pozitif değer 5'tir.

Denklem sisteminde

x+y = u

ve

x \cdot y = v

dönüşümleri yapıldığında,

x^2 - xy + y^2 = u^2 - 3v = 7

ve

x^2 + y^2 - (x+y) = u^2 - 2v - u = 8

denklemleri elde edilir. Buradan

v

çekilip ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen

u^2 - 3u - 10 = 0

denkleminin kökleri

5

ve

-2

olup, pozitif olan değer

5

'tir.

Step-by-Step Solution

1

x+y = u

ve

x \cdot y = v

dönüşümleri yapılarak

x^2+y^2

ve

x^2-xy+y^2

ifadeleri

u

ve

v

cinsinden yazılır.

x^2+y^2 = u^2-2v

ve

x^2-xy+y^2 = u^2-3v

elde edilir.

Denklem sistemini iki bilinmeyenli daha basit bir sisteme dönüştürmek için.

2

Elde edilen ifadeler denklem sisteminde yerine yazılır.

u^2 - 3v = 7

ve

u^2 - 2v - u = 8

denklem sistemi elde edilir.

Sistemi çözmek için değişkenleri yerine koymak gerekir.

3

Birinci denklemden

v

çekilerek ikinci denklemde yerine yazılır.

v = \frac{u^2-7}{3}

ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında

u^2 - 2\left(\frac{u^2-7}{3}\right) - u = 8

denklemi elde edilir.

Sistemden

v

değişkenini yok edip tek değişkenli bir denklem elde etmek için.

4

Denklem paydadan kurtarılarak düzenlenir.

u^2 - 3u - 10 = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir.

Denklemi standart formda yazıp çözebilmek için.

5

u^2 - 3u - 10 = 0

denklemi çarpanlarına ayrılır.

(u-5)(u+2) = 0

elde edilir, buradan

u = 5

veya

u = -2

bulunur.

İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için.

6

u = x+y

olduğundan elde edilen

u

değerleri incelenir.

x+y

toplamı

5

veya

-2

olabilir. Pozitif değer sorulduğu için

5

seçilir.

Soruda bizden istenen pozitif

x+y

değerine ulaşmak için.

Key Concept

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin değişken değiştirme ve özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.

Question 236Question →

\frac{(x - 3)^2(x + 1)}{x - 3} \le 0

x^2 - 2x - 15 < 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan $x$ tam say��larının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 2'dir.

Eşitsizlik sistemini oluşturan ifadeler ayrı ayrı çözüldüğünde; ilk eşitsizlikten

x \neq 3

koşuluyla

[-1, 3)

aralığı, ikinci eşitsizlikten ise

(-3, 5)

aralığı elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi

[-1, 3)

aralığı olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci eşitsizliğin tanım kümesini ve köklerini belirleme

x \neq 3

koşuluyla eşitsizlik

(x - 3)(x + 1) \le 0

biçimine sadeleşir ve çözüm kümesi

[-1, 3)

olur.

Rasyonel bir ifadede paydanın sıfır olamayacağı kuralını uygulamak ve sadeleştirme yaparken kök kaybını önlemek.

2

İkinci eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve köklerini bulma

(x - 5)(x + 3) < 0

eşitsizliğinden çözüm kümesi

(-3, 5)

olarak bulunur.

İkinci dereceden eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturmak için kökleri bulmak.

3

İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini elde etme

Ortak çözüm kümesi

[-1, 3)

yarı açık aralığıdır.

Eşitsizlik sisteminin her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerler kümesi olduğunu kullanmak.

4

Ortak çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplama

(-1) + 0 + 1 + 2 = 2

Soru kökünde istenen tam sayıların toplamına ulaşmak.

Key Concept

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde rasyonel ifadelerin payda köklerinin hariç tutulması ve ortak çözüm kümesinin bulunması.

Question 237Question →

Analitik düzlemde, $y = x^2 + 3x + 8$ parabolüne $A(0, -1)$ noktasından çizilen teğet doğrulardan birinin parabole değme noktası koordinat düzleminin II. bölgesindedir. Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Teğet doğrunun eğimi -3'tür.

A(0, -1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi

y = mx - 1

şeklindedir. Parabol denklemi ile ortak çözülüp teğetlik şartı olan

\Delta = 0

uygulandığında

m = -3

ve

m = 9

değerleri elde edilir. Değme noktası II. bölgede (apsisi negatif, ordinatı pozitif) olan doğru incelendiğinde

m = -3

için değme noktasının

T_1(-3, 8)

olduğu görülür ve bu durum şartı sağlar.

Step-by-Step Solution

1

A(0, -1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemini yazma

y = mx - 1

Teğet doğrunun denklemini belirlemek için.

2

Parabol ile doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturma

x^2 + (3 - m)x + 9 = 0

Kesişim noktalarını veya teğetlik şartını incelemek için.

3

Teğetlik şartı için diskriminantı sıfıra eşitleyip m değerlerini bulma

\Delta = (3 - m)^2 - 36 = 0 \implies m = -3

veya

m = 9

Doğru parabole teğet olduğundan ortak denklemin çift katlı kökü (tek ortak noktası) olmalıdır.

4

Bulunan m değerlerine göre değme noktalarının koordinatlarını kontrol etme

m = -3

için değme noktası

T_1(-3, 8)

(II. bölge),

m = 9

için değme noktası

T_2(3, 26)

(I. bölge)

Soruda değme noktasının koordinat düzleminin II. bölgesinde olduğu belirtilmiştir.

Key Concept

Bir parabol ile bir doğrunun teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşittir (

\Delta = 0

).

Estimated Time:2m 0s

Question 238Question →

f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{12-x}\left(\frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre,

f(x)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 37

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 37'dir.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar, her iki logaritmik terimin de eş zamanlı olarak tanımlı olmasını sağlayan değerlerdir. Birinci logaritma teriminden gelen

x > 2

sınırlandırması ile ikinci logaritma teriminden gelen

x < 12

,

x \neq 11

ve

x \in (2, 4) \cup (6, \infty)

koşulları kesiştirildiğinde elde edilen

(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12)

kümesindeki tam sayıların (

3, 7, 8, 9, 10

) toplamı doğru sonucu vermektedir.

Step-by-Step Solution

1

İlk logaritma teriminin tanım kümesini belirleme

x > 2

Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, argümanı ise pozitif olmalıdır. Buradan

x-1>0 \implies x>1

,

x-1 \neq 1 \implies x \neq 2

ve

x^2-4>0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)

elde edilir. Bu üç koşulun kesişimi

x > 2

aralığıdır.

2

İkinci logaritma teriminin taban koşullarını belirleme

x < 12

ve

x \neq 11

Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Buradan

12-x > 0 \implies x < 12

ve

12-x \neq 1 \implies x \neq 11

elde edilir.

3

İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme

x \in (2, 4) \cup (6, \infty)

Argümanın pozitif olması gerekir.

\frac{x^2-8x+12}{x-4} > 0 \implies \frac{(x-2)(x-6)}{x-4} > 0

eşitsizliğinin kökleri

2, 4, 6

'dır. İşer işaret tablosunda en sağdan

+

ile başlanarak sırasıyla

-, +, -

şeklinde işaretler yerleştirilir. Buradan pozitif bölgeler

(2, 4) \cup (6, \infty)

olarak belirlenir.

4

Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini oluşturma

x \in (2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12)

x > 2

ile

x \in (2, 4) \cup (6, \infty)

aralıklarının kesişimi

(2, 4) \cup (6, \infty)

olur. Bu kümenin

x < 12

ve

x \neq 11

koşullarıyla kesişimi ise

(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12)

kümesini verir.

5

Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini bulup toplama

37

(2, 4)

aralığındaki tek tam sayı

3

'tür.

(6, 11)

aralığındaki tam sayılar

7, 8, 9, 10

'dur.

(11, 12)

aralığında tam sayı yoktur. Tam sayıların toplamı:

3 + 7 + 8 + 9 + 10 = 37

olarak hesaplanır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının (logaritması alınan ifadenin) ise sıfırdan büyük olması gerekir. Birden fazla logaritmik ifadenin toplamından oluşan fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir ifadenin tanım kümelerinin kesişimidir.

Question 239Question →

\log_2(x + 1) = \log_4(9)

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Denklemi sağlayan

x

gerçel sayısı 2'dir.

Logaritmanın üs özellikleri kullanılarak

\log_4(9)

ifadesi

\log_2(3)

olarak sadeleştirilir. Tabanlar eşitlendikten sonra argümanların eşitliğinden

x + 1 = 3

denklemi çözülerek doğru sonuca (2) ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Denklemin sağ tarafında bulunan

\log_4(9)

ifadesini taban değiştirme ve üs kurallarını kullanarak sadeleştirin.

\log_4(9) = \log_{2^2}(3^2) = \frac{2}{2}\log_2(3) = \log_2(3)

elde edilir.

Logaritmik denklemleri çözebilmek için her iki tarafın tabanlarını eşitlemek gerekir.

2

Sadeleştirilmiş ifadeyi denklemde yerine yazın ve logaritma fonksiyonunun bire bir özelliğini uygulayın.

\log_2(x+1) = \log_2(3) \Rightarrow x + 1 = 3

olur.

Tabanları aynı olan iki logaritma ifadesi eşitse, argümanları da eşit olmalıdır.

3

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözün ve bulunan değerin logaritmanın tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

x = 2

bulunur.

x = 2

için

x + 1 = 3 > 0

olduğundan bu değer tanım kümesini sağlar.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması gerekir.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban eşitleme ve logaritma özelliklerinin uygulanması

Question 240Question →

\log_{2} 24 - \frac{1}{\log_{3} 2}

işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İşleminin sonucu 3'tür.

Verilen ifadede taban değiştirme özelliği kullanılarak ikinci terim

\log_{2} 3

olarak yazılır. Tabanları eşit olan iki logaritmanın farkı kuralı uygulandığında

\log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8

elde edilir.

8 = 2^3

eşitliği kullanılarak sonuç 3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Taban değiştirme özelliğini uygulama

\frac{1}{\log_{3} 2} = \log_{2} 3

Paydadaki logaritma ifadesini pay kısmına taşımak ve tabanları eşitlemek için

\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a

kuralı uygulanır.

2

Logaritma farkı özelliğini kullanarak ifadeleri birleştirme

\log_{2} 24 - \log_{2} 3 = \log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8

Aynı tabandaki iki logaritmanın farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir:

\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)

.

3

Logaritma değerini hesaplama

\log_{2} 8 = \log_{2}(2^3) = 3

8 sayısı 2 tabanında üstel biçimde yazılır ve

\log_{a}(a^n) = n

özelliği kullanılarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme ve logaritma fark kuralı kullanılarak ifadelerin sadeleştirilmesi.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes