All practice questions

Edebiyat tarihi araştırmacısı, üzerinde çalıştığı bir yazma eserde şu beyti tespit etmiştir:

*Ezelden şâh-ı aşkın bende-i fermânıyız cânâ*
*Muhabbet mülkünün sultân-ı âlî-şânıyız cânâ*

Araştırmacının bu beytin kafiye örgüsü ve biçimsel özelliklerini inceleyerek ulaştığı aşağıdaki yargılardan hangisi yanlıştır?

Beyit, kendi arasında kafiyeli (aa) bir yapıya sahip olduğundan bir gazel veya kasidenin matla (giriş) beyti olabilir.

Dize sonlar��nda yer alan '-ıyız cânâ' ses grupları görevce özdeş olduğu için redif, 'fermân' ve 'şân' sözcüklerindeki '-ân' sesleri ise zengin kafiyedir.

Kafiye örgüsü 'aa' şeklinde olduğundan, bu dize grubu klasik bir kıta nazım şeklinin ilk beyti olarak kabul edilemez.

Beyitte herhangi bir şair mahlası bulunmadığından, bu dizeler bir mesnevinin herhangi bir yerindeki bir beyte ait olabilir.

Şairin mahlasına yer verilmediği için bu beytin bir gazel veya kasidenin matla (giriş) beyti olma ihtimali yoktur.

Show answer & explanation

Answer: Şairin mahlasına yer verilmediği için bu beytin bir gazel veya kasidenin matla (giriş) beyti olma ihtimali yoktur.

Answer

Şairin mahlasına yer verilmediği için bu beytin bir gazel veya kasidenin matla (giriş) beyti olma ihtimali yoktur.

Şairin mahlasına yer verilmediği için bu beytin bir gazel veya kasidenin matla beyti olma ihtimali olmadığını iddia eden seçenek yanlıştır. Divan edebiyatında gazel ve kasidelerin ilk beytine matla denir ve matla beyitlerinde mahlas kullanılmaz. Mahlas, şiirin son beyti olan maktada (veya taç beyitte) yer alır. Dolayısıyla bu beytin mahlassız olması, onun matla beyti olmasına engel teşkil etmez.

Step-by-Step Solution

1

Beytin kafiye örgüsünü ve ses benzerliklerini analiz etme

fermân-ı-yız cânâ / şân-ı-yız cânâ: '-ıyız cânâ' kısımları görevdeş ek ve sözcüklerden oluştuğu için redif, '-ân' sesleri ise zengin kafiyedir. Uyak şeması 'aa' (kendi arasında kafiyeli) şeklindedir.

Beytin biçimsel yapısını belirlemek için öncelikle kafiye ve redif özellikleri tespit edilmelidir.

2

Kafiye şemasına göre uygun nazım şekillerini değerlendirme

'aa' kafiye şeması; gazel ve kasidenin matla (ilk) beytine, ayrıca mesnevinin herhangi bir beytine (her beytin kendi arasında kafiyeli olmasından dolayı) uygundur. Ancak ilk beyti 'ab' veya 'xa' şeklinde kafiyelenen kıta nazım şekline uygun değildir.

Beytin kafiye örgüsü, Divan edebiyatındaki beyitlerle kurulan nazım şekillerinin yapısal özellikleriyle karşılaştırılmalıdır.

3

Mahlas kullanım kurallarını inceleme ve yanlış yargıyı belirleme

Şairler mahlaslarını şiirin son beytinde (makta veya taç beyit) kullanırlar, ilk beyitte (matla) mahlas yer almaz. Dolayısıyla mahlas bulunmaması beytin matla olmasına engel değildir, tam aksine beklenen bir durumdur. Bu yüzden mahlas olmadığı için matla olamaz ifadesi yanlıştır.

Seçeneklerde sunulan iddiaların doğruluk değerini saptayarak yanlış olan yargıyı teşhis etmek gerekir.

Key Concept

Divan edebiyatında beyitlerle kurulan nazım şekillerinin (gazel, kaside, mesnevi, kıta) kafiye örgüsü ve mahlas konumlandırılması gibi yapısal özellikleri.

Question 722Question →

Edebiyatımızda Batılı anlamda ilk yetkin örneklerini veren Servet-i Fünun romanında, bireyin iç çatışmaları ve melankolik dünyası geniş yer tutar. Bu dönem eserlerinde mekân genellikle İstanbul’un seçkin çevreleri ve yalılar iken, karakterlerin ruhsal derinliklerine inilerek ruh tahlilleri ön plana çıkarılır. Söz gelimi, bir yanda evlilik hayatında aradığı mutluluğu bulamayan Suat'ın, eşinin yakın arkadaşı Necip ile yaşadığı yasak aşkın içsel buhranları ve vicdan azabı işlenirken; diğer yanda Ahmet Cemil'in şahasında hayal kırıklığına uğrayan bir neslin dramı anlatılır. Bu parçada sözü edilen romanların yazarları aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Halit Ziya Uşaklıgil - Mehmet Rauf

Mehmet Rauf - Yakup Kadri Karaosmanoğlu

Mehmet Rauf - Halit Ziya Uşaklıgil

Recaizade Mahmut Ekrem - Halit Ziya Uşaklıgil

Namık Kemal - Mehmet Rauf

Show answer & explanation

Answer: Mehmet Rauf - Halit Ziya Uşaklıgil

Answer

Mehmet Rauf - Halit Ziya Uşaklıgil

Parçada bahsedilen ilk roman, Suat ve Necip karakterlerinin yasak aşkı çevresinde şekillenen ve edebiyatımızın ilk psikolojik romanı kabul edilen Eylül'dür; bu eserin yazarı Mehmet Rauf'tur. Bahsedilen ikinci roman ise Ahmet Cemil karakterinin hayalleri ve hayal kırıklıkları üzerinden Servet-i Fünun neslini temsil eden Mai ve Siyah'tır; bu eserin yazarı da Halit Ziya Uşaklıgil'dir. Dolayısıyla doğru sıralama Mehmet Rauf ve Halit Ziya Uşaklıgil olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Parçada karakterleri ve konusu verilen ilk eseri belirlemek.

Suat ve Necip karakterlerinin yer aldığı ve içsel buhranların anlatıldığı bu eser Eylül romanıdır. Yazarı Mehmet Rauf'tur.

Parçadaki karakter ipuçlarından yola çıkarak ilk eseri tespit etmek.

2

Parçada karakteri ve konusu verilen ikinci eseri belirlemek.

Ahmet Cemil karakteri etrafında şekillenen ve hayal kırıklıklarını konu alan bu eser Mai ve Siyah romanıdır. Yazarı Halit Ziya Uşaklıgil'dir.

Parçadaki karakter ipuçlarından yola çıkarak ikinci eseri tespit etmek.

3

Bulunan yazarları parçadaki geçiş sırasına göre bir araya getirmek.

Eserlerin yazarları sırasıyla Mehmet Rauf ve Halit Ziya Uşaklıgil olarak eşleşir.

Soru kökündeki 'sırasıyla' yönlendirmesine uygun doğru seçeneği bulmak.

Key Concept

Servet-i Fünun Romanı Yazar ve Eser Eşleştirmesi

Estimated Time:2m 0s

Question 723Question →

Osmanlı Devleti'nin Kuruluş Dönemi'nde 1402 yılında Yıldırım Bayezid ile Timur arasında yapılan Ankara Savaşı, Osmanlı tarihinde büyük bir siyasi krize yol açmıştır. Yıldırım Bayezid'in esir düşmesiyle başlayan, şehzadeler arasında taht kavgalarının yaşandığı ve devletin yıkılma tehlikesi geçirdiği 11 yıllık padişahsız dönem aşağıdakilerden hangisidir?

Fetret Devri

Lale Devri

İskan Politikası

Tımar Sistemi

Kut İnancı

Show answer & explanation

Answer: Fetret Devri

Answer

Fetret Devri

Yıldırım Bayezid ile Timur arasında yapılan Ankara Savaşı'nın (1402) kaybedilmesi ve padişahın esir düşmesiyle Osmanlı Devleti taht kavgalarının yaşandığı 11 yıllık padişahsız bir döneme girmiştir. Bu döneme tarihte 'Fetret Devri' denilmektedir. Çelebi Mehmed bu mücadeleyi kazanarak devleti yeniden toparlamış ve devletin ikinci kurucusu kabul edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Ankara Savaşı'nın (1402) siyasi sonuçların�� değerlendirme

Savaşın kaybedilmesi üzerine Yıldırım Bayezid esir düşmüş ve oğulları arasında taht mücadeleleri başlamıştır.

Sava�� sonrası merkezi otoritenin bozulması padişahsız bir döneme zemin hazırlamıştır.

2

Osmanlı tarihindeki dönem adlandırmalarını inceleme

Şehzadelerin mücadele ettiği ve devletin başsız kaldığı 1402-1413 yılları arasındaki bu dönem tarihte 'Fetret Devri' (Bunalım Devri) olarak adlandırılır.

Kriz ve padişahsızlık dönemine verilen özel ismi tespit etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

Key Concept

Ankara Savaşı'nın sonuçları ve Fetret Devri

Estimated Time:45s

Question 724Question →

Şanlıurfa yakınlarındaki Göbeklitepe kazılarında ortaya çıkarılan dikili taşlar üzerindeki hayvan kabartmalarını ve sembolleri inceleyen bir tarihçi, bu eserleri üreten topluluğun inanç dünyasını ve sosyal yapısını aydınlatmak amacıyla şu çalışmaları yapmıştır:

I. Dikili taşlardaki figürlerin üslup özelliklerini karşılaştırmak amacıyla aynı döneme ve bölgeye ait diğer arkeolojik buluntuları incelemiştir.

II. Taşların üzerindeki sembollerin bir yazı diline ait olup olmadığını ve ne anlama geldiğini belirlemek için paleografi ve epigrafi uzmanlarından destek almıştır.

III. Elde ettiği bulguları, günümüzün modern din ve inanç sistemlerinin kavramsal çerçevesini kullanarak yorumlamış ve bu yapıların kesin olarak birer tapınak olduğunu ileri sürmüştür.

Buna göre tarihçinin, bu araştırmasındaki uygulamalarından hangilerinde tarih biliminin konusu, yöntemi ve özellikleri açısından hata yaptığı söylenebilir?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

İkinci ve üçüncü öncülleri içeren seçenek doğru cevaptır. Tarihçi, yazı öncesi dönem için yazılı kaynakları inceleyen bilim dallarını kullanmaya çalışarak ve geçmiş buluntuları günümüz değer yargılarıyla yorumlayarak hata yapmıştır.

Tarihçinin ikinci öncülde yazı öncesi dönem için paleografi ve epigrafi bilim dallarından yararlanmak istemesi yazılı kaynak yanılgısına; üçüncü öncülde ise geçmişteki bulguları günümüz inanç sistemlerine göre kesinleştirerek yorumlaması anakronizm (tarihsel yanılgı) hatasına örnektir. Birinci öncüldeki karşılaştırmalı arkeolojik inceleme ise doğru bir tarihsel yöntemdir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci öncülün değerlendirilmesi

Arkeolojik buluntuların karşılaştırılması tarih öncesi dönem araştırmalarında kullanılan doğru bir yöntemdir.

Yazısız dönemlerin aydınlatılmasında arkeolojik karşılaştırma önemli bir metottur.

2

İkinci öncülün değerlendirilmesi

Tarih öncesi bir yerleşim olan Göbeklitepe'de paleografi ve epigrafi bilimlerinden yararlanılamaz.

Göbeklitepe yazının icadından önceki bir döneme aittir ve paleografi ile epigrafi doğrudan yazılı kaynakları inceler.

3

Üçüncü öncülün değerlendirilmesi

Göbeklitepe buluntularının günümüz dini sistemleriyle yorumlanarak kesin yargılara varılması anakronizmdir.

Tarihsel olgu ve eserler kendi dönemlerinin koşullarına göre incelenmelidir, günümüz bakış açısıyla yorumlanamaz.

Key Concept

Tarih araştırmalarında yazılı kaynak yanılgısı ve anakronizm

Question 725Question →

Edebiyat öğretmeni, tahtaya iki farklı şiir anlayışını yansıtan şu özellikleri yazmıştır:

I. Şiir, dış dünyadaki nesnelerin somut güzelliğini ve biçimsel kusursuzluğunu bir heykeltıraş titizliğiyle işleme sanatıdır. Duygular arka plana itilmeli, nesnel bir gözlemle 'pitoresk' (tablo gibi şiir) oluşturulmalıdır.
II. Şiir, anlamın açıkça söylenmesi değil; sözcüklerin müzikal gücünden yararlanılarak ruh hallerinin ve dış dünyanın zihindeki loş izlenimlerinin sezdirilmesidir. Şiirde kapalılık ve telkin esastır.

Buna göre, bu şiir anlayışlarıyla ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez?

I. anlayış, Batı'da Théophile Gautier ve François Coppée gibi isimlerle anılan Parnasizm akımıdır; Türk edebiyatında ise Tevfik Fikret ve Yahya Kemal bu estetiğin en önemli temsilcilerindendir.

II. anlayış, Paul Verlaine ve Stéphane Mallarmé gibi şairlerin öncülük ettiği Sembolizm akımıdır; Türk edebiyatındaki en güçlü temsilcisi ve bu görüşü kuramsallaştıran ismi Ahmet Haşim'dir.

I. anlayışı benimseyen sanatçılar, dış dünyadaki nesnelliği ve biçim kusursuzluğunu savunurken aruz ölçüsü, kafiye ve nazım şekli gibi biçimsel kuralları şiiri kısıtladığı gerekçesiyle tamamen reddetmişlerdir.

I. anlayışı benimseyen şairler şiiri görsel bir sanata (resme) yaklaştırarak nesneleri tasvir etmeye yönelirken; II. anlayışı savunanlar şiiri musikiye yaklaştırarak hislerin ve rüyaların dilini aramışlardır.

Türk edebiyatında Cenap Şahabettin, hem I. anlayışa özgü tablo gibi şiir yazma (pitoresk) eğilimini göstermiş hem de II. anlayışın getirdiği yeni imgeler, renkler ve müzikaliteden yararlanmıştır.

Show answer & explanation

Answer: I. anlayışı benimseyen sanatçılar, dış dünyadaki nesnelliği ve biçim kusursuzluğunu savunurken aruz ölçüsü, kafiye ve nazım şekli gibi biçimsel kuralları şiiri kısıtladığı gerekçesiyle tamamen reddetmişlerdir.

Answer

Parnasyenlerin biçimsel kuralları, aruz ölçüsünü ve kafiyeyi kısıtlayıcı bularak tamamen reddettiklerini savunan yargı söylenemez. Çünkü parnasyenler biçim kusursuzluğuna ve aruz/kafiye gibi ahenk unsurlarına son derece önem vermişlerdir.

Parnasizm akımını benimseyen sanatçılar, şiirde biçim mükemmelliğini, dil işçiliğini ve aruz ölçüsü ile kafiye gibi kuralları en üst düzeyde savunmuşlardır. Şiiri adeta kuyumcu titizliğiyle işlenen bir heykele benzettikleri için bu kuralları reddetmeleri söz konusu olamaz. Bu nedenle parnasyenlerin aruz ölçüsü, kafiye ve nazım şekli kurallarını kısıtlayıcı bularak tamamen reddettiğini öne süren ifade yanlıştır ve söylenemez.

Step-by-Step Solution

1

Tahtadaki I ve II numaralı şiirsel anlayışların hangi edebi akımlara ait olduğunu belirleme.

I. anlayışın biçimsel kusursuzluk, nesnellik ve tablo gibi şiir (pitoresk) özellikleri doğrultusunda Parnasizm olduğu; II. anlayışın ise kapalılık, müzikalite ve sezdirme özellikleri doğrultusunda Sembolizm olduğu saptanır.

Soruda verilen edebi akım ilkelerini analiz ederek seçenekleri bu çerçevede değerlendirmek için.

2

Parnasizm ve Sembolizm akımlarının Batı ve Türk edebiyatındaki temsilcilerini doğrulama.

Parnasizm için Gautier, Coppée, Tevfik Fikret, Yahya Kemal; Sembolizm için Verlaine, Mallarmé, Ahmet Haşim ve her iki akımdan etkilenen Cenap Şahabettin eşleştirmelerinin edebi açıdan doğru olduğu belirlenir.

Yazar-akım ilişkisi üzerinden yanlış bir bilgi verilip verilmediğini kontrol etmek için.

3

Seçeneklerdeki biçimsel unsurların (aruz, kafiye vb.) Parnasizm akımındaki yerini sorgulama.

Parnasyenlerin dil işçiliğine ve biçimsel mükemmelliğe son derece önem verdiği, aruz ölçüsü ile kafiyeyi şiirin vazgeçilmez ögeleri olarak kabul ettikleri görülür. Dolayısıyla bu unsurları reddettikleri iddiasının yanlış olduğu tespit edilir.

Akımın biçim anlayışına dair kavramsal yanılgıyı ortaya çıkarıp doğru seçeneği belirlemek için.

Key Concept

Parnasizm ve Sembolizm akımlarının temel ilkeleri, biçim anlayışları ve Türk-Batı edebiyatındaki temsilcileri

Question 726Question →

x \neq 1

olmak üzere,

\int \frac{x^3 - x}{x - 1} \, dx

integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

x^2 + x + C

\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}

\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C

\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C

3x^2 + 2x + C

Show answer & explanation

Answer: $\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

Answer

İntegralin eşiti

\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C

ifadesidir.

İntegral içindeki rasyonel ifade sadeleştirildiğinde

x^2 + x

elde edilir. Bu ifadenin terim terim integrali alındığında

\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İntegral içindeki rasyonel ifadenin payını çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.

x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)

olduğundan,

x \neq 1

için

\frac{x^3 - x}{x - 1} = x(x + 1) = x^2 + x

elde edilir.

İntegrali daha kolay hesaplayabilmek için ifadeyi polinom durumuna getirmek gerekir.

2

Elde edilen polinom ifadesinin belirsiz integralini hesaplayın.

\int (x^2 + x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C

Belirsiz integral alma kurallarına göre her terimin üssü 1 artırılır ve yeni üsse bölünür, ardından integral sabiti (C) eklenir.

Key Concept

Belirsiz integral alma kuralları ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi

Question 727Question →

Bir

x

gerçel sayısı için,

\frac{(x - 2)(x^2 - 9)}{x - 2} \le 0

x^2 - 3x - 4 < 0

eşitsizlik sistemi veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizlik sisteminin gerçel sayılar kümesindeki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(-1, 3] \setminus \{2\}

(-1, 3]

(2, 3]

[-1, 3]

[-1, 3] \setminus \{2\}

Show answer & explanation

Answer: $(-1, 3] \setminus \{2\}$

Answer

(-1, 3] \setminus \{2\}

Birinci eşitsizlikte

x-2

ifadesinin paydada yer alması nedeniyle

x \neq 2

olmalıdır. Bu koşul altında sadeleştirme yapıldığında

x^2 - 9 \le 0 \implies x \in [-3, 3]

bulunur, yani ilk eşitsizliğin çözüm kümesi

[-3, 3] \setminus \{2\}

olur. İkinci eşitsizlik ise

(x-4)(x+1) < 0 \implies x \in (-1, 4)

aralığını verir. Bu iki çözüm kümesinin kesişimi

(-1, 3] \setminus \{2\}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci eşitsizliği analiz etme

[-3, 3] \setminus \{2\}

Payda sıfır olamayacağından

x \neq 2

olmalıdır. Bu koşul altında pay ve paydadaki

x - 2

ifadeleri sadeleştirildiğinde

x^2 - 9 \le 0

elde edilir, bunun da çözüm kümesi

[-3, 3]

aralığıdır. Tanımsızlık noktası olan

2

çıkarıldığında çözüm kümesi

[-3, 3] \setminus \{2\}

olur.

2

İkinci eşitsizliği analiz etme

(-1, 4)

x^2 - 3x - 4 < 0

eşitsizliği çarpanlarına ayrıldığında

(x - 4)(x + 1) < 0

elde edilir. Bu ifadenin kökleri

x = -1

ve

x = 4

olup, işaret incelemesiyle çözüm aralığı

(-1, 4)

olarak bulunur.

3

İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini bulma

(-1, 3] \setminus \{2\}

Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan gerçel sayıları bulmak için elde edilen iki çözüm kümesinin kesişim kümesi alınır:

([-3, 3] \setminus \{2\}) \cap (-1, 4) = (-1, 3] \setminus \{2\}

.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde, her bir eşitsizliğin çözüm kümeleri ayrı ayrı bulunur ve bu kümelerin kesişim kümesi sistemin çözüm kümesi olarak belirlenir. Paydayı sıfır yapan değerler ve çift katlı kök özellikleri işaret tablosunda doğru şekilde temsil edilmelidir.

Estimated Time:2m 0s

Question 728Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos(4x)}{\cos(2x) - \sin(2x)} = 1.2

olduğuna göre, $\sin(4x)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.44

Answer

sin(4x) ifadesinin değeri 0,44 olarak bulunur.

Soruda pay kısmında verilen

\cos(4x)

terimi kosinüs yarım açı formülüyle

\cos^2(2x) - \sin^2(2x)

olarak yazılıp iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayrıldığında paydadaki

\cos(2x) - \sin(2x)

terimiyle sadeleşir. Kalan

\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2

denkleminin karesi alındığında elde edilen

1 + \sin(4x) = 1.44

denkleminden aranan değer

0.44

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Payda bulunan cos(4x) ifadesine yarım açı ve iki kare farkı özdeşliği uygulanır.

\cos(4x) = (\cos(2x) - \sin(2x))(\cos(2x) + \sin(2x))

Payda ile ortak çarpanlar elde edip sadeleştirme yapabilmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.

2

Elde edilen çarpanlar paydadaki terimle sadeleştirilir.

\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2

Pay ve paydadaki ortak olan

(\cos(2x) - \sin(2x))

terimleri sadeleşerek ifadeyi doğrusal bir forma getirir.

3

Eşitliğin her iki tarafının karesi alınır.

\cos^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \sin^2(2x) = 1.44

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sin(4x) terimini açığa çıkarmak için iki tarafın da karesi alınmalıdır.

4

Temel trigonometrik özdeşlikler yerine yazılır ve bilinmeyen yalnız bırakılır.

1 + \sin(4x) = 1.44 \implies \sin(4x) = 0.44

\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1

ve

2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x)

eşitlikleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kosinüs yarım açı formülü ile çarpanlara ayırma ve toplamın karesi özdeşliğinden sinüs yarım açı formülüne geçiş.

Question 729Question →

İlk terimi $a_1 = 4$ olan bir aritmetik dizinin ilk $8$ teriminin toplamı $S_8 = 88$ olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

1

2

3

8

12

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Ortak fark 2'dir.

Dizinin ilk 8 terim toplamı formülü olan

S_8 = 4(2a_1 + 7d)

ifadesinde verilenler yerine yazılıp

88 = 4(8 + 7d)

denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde ortak fark 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizinin ilk

n

teriminin toplamını veren genel formülü yazmak.

S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1)d]

İlk

n

terim toplamı hesaplanırken kullanılacak temel bağıntıyı kurmak.

2

Soruda verilen değerleri formüle uygulamak.

88 = \frac{8}{2} \cdot [2 \cdot 4 + (8 - 1)d]

S_8 = 88

,

n = 8

ve

a_1 = 4

değerlerini formülde yerlerine yerleştirmek.

3

Elde edilen denklemi çözerek ortak fark

d

değerini bulmak.

d = 2

88 = 4 \cdot [8 + 7d] \Rightarrow 22 = 8 + 7d \Rightarrow 14 = 7d \Rightarrow d = 2

işlemlerini uygulamak.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk n terimin toplam formülünün uygulanması

Question 730Question →

\log_{x-3}(x-1) + \log_{x-1}(x-3) = \frac{5}{2}

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{5\}

\{2, 5\}

\{4, 5\}

\{2, 4, 5\}

\{2\}

Show answer & explanation

Answer: \{5\}

Answer

Sadece 5 elemanını içeren küme

Çözüm kümesinde yalnızca 5 elemanının bulunması doğrudur. Denklemin çözümünden elde edilen 2 ve 5 aday köklerinden 2 değeri logaritmanın tabanını negatif yaptığından elenir, geriye yalnızca 5 değeri kalır.

Step-by-Step Solution

1

Logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümesi koşullarını belirlemek.

x > 3

ve

x \neq 4

olmalıdır.

Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, logaritmanın içi ise pozitif olmalıdır.

2

Taban değiştirme özelliğini kullanarak denklemi aynı tabanda yazmak ve değişken dönüştürmek.

\log_{x-3}(x-1) = t

denilirse,

\log_{x-1}(x-3) = \frac{1}{t}

olur. Buradan

t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

denklemi elde edilir.

Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.

3

t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

denklemini payda eşitleyerek ikinci dereceden denklem formuna getirmek ve çözmek.

2t^2 - 5t + 2 = 0 \implies (2t - 1)(t - 2) = 0

elde edilir. Buradan

t = 2

veya

t = \frac{1}{2}

bulunur.

Rasyonel denklemi standart ikinci dereceden denkleme dönüştürüp köklerini bulmak.

4

Bulunan

t

değerlerini kullanarak

x

değişkenini elde etmek.

t = 2

için

(x-3)^2 = x-1 \implies x^2 - 7x + 10 = 0 \implies x=2

veya

x=5

bulunur.

t = \frac{1}{2}

için

(x-1)^2 = x-3 \implies x^2 - 3x + 4 = 0

denkleminin gerçel kökü yoktur (

\Delta < 0

).

Değişken dönüşümünü geri alarak

x

aday köklerini bulmak.

5

Aday köklerin 1. adımda belirlenen tanım kümesi şartını (

x > 3

ve

x \neq 4

) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.

x = 2

değeri

x > 3

şartını sağlamadığı için elenir.

x = 5

değeri ise tüm şartları sağlar. Çözüm kümesi

\{5\}

olarak bulunur.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kurallarına uymayan kökleri elemek.

Key Concept

Logaritma denklemlerinde taban değiştirme özelliği ve tanım kümesi sınırlamaları

Question 731Question →

Genel terimi

a_n = \frac{2n^2 + 2n + 28}{n+1}

olan

(a_n)

dizisinin en küçük terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Dizinin en küçük terimi 13'tür.

Dizinin genel terimi

a_n = 2n + \frac{28}{n+1}

biçiminde yazıldığında, ifadenin en küçük değeri

n=3

pozitif tam sayısı için

13

olarak bulunur. Sürekli fonksiyonun minimum noktası tam sayı olmadığından, en yakın tam sayı değerleri kontrol edilmelidir.

Step-by-Step Solution

1

Genel terim ifadesini sadeleştirmek için payı paydaya bölün veya uygun şekilde gruplayın.

a_n = 2n + \frac{28}{n+1}

Değişkenin etkisini daha rahat incelemek ve fonksiyonun davranışını analiz etmek için.

2

f(x) = 2x + \frac{28}{x+1}

sürekli fonksiyonunun türevini alarak sıf��ra eşitleyin.

x \approx 2.74

Sürekli fonksiyonun minimum değerini aldığı kritik noktayı bulmak için.

3

Dizi tanımı gereği

n

indisinin pozitif tam sayı olması gerektiğini göz önüne alarak,

2.74

değerine en yakın tam sayıları belirleyin.

n = 2

ve

n = 3

En küçük terimin bu tam sayılardan birinde gerçekleşeceğini bilmek.

4

n=2

ve

n=3

değerlerini genel terimde yerine koyarak terim değerlerini hesaplayın.

a_2 = \frac{40}{3} \approx 13.33

ve

a_3 = 13

Hangi tam sayı değerinin daha küçük sonuç verdiğini bulmak için.

5

Bulunan sonuçları karşılaştırarak en küçük değeri belirleyin.

En küçük terim

a_3 = 13

olarak bulunur.

Karşılaştırma sonucunda

13 < 13.33

olduğundan.

Key Concept

Dizi tanımı gereği genel terim fonksiyonunun tanım kümesinin pozitif tam sayılar kümesi olması ve bu küme üzerinde en küçük değerin bulunması.

Estimated Time:2m 0s

Question 732Question →

Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bir $(a_n)$ geometrik dizisinde,

a_2 \cdot a_{10} = 36

olduğuna göre, bu dizinin 6. terimi ( $a_6$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Dizinin 6. terimi 6'dır.

Geometrik dizilerde

a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}

özelliği vardır. Burada

n=6

ve

k=4

seçilirse

a_6^2 = a_2 \cdot a_{10}

olur.

a_2 \cdot a_{10} = 36

olduğuna göre

a_6^2 = 36

elde edilir. Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bu dizide

a_6 = 6

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

a_2 \cdot a_{10} = a_6^2

eşitliğini kurun.

a_6^2 = 36

Geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Burada

2 + 10 = 2 \cdot 6

olduğundan terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir.

2

a_6

değerini bulun.

a_6 = 6

a_6^2 = 36

denkleminin kökleri

6

ve

-6

'dır. Dizinin terimleri pozitif gerçek sayılar olarak tanımlandığı için pozitif olan kök alınır.

Key Concept

Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Özel olarak,

a_k \cdot a_m = a_{\frac{k+m}{2}}^2

bağıntısı vardır.

Question 733Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos(2x)}{1 + \sin(2x)} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, $\cos(2x)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.6

Answer

Doğru cevap 0,6'dır.

Verilen denklemde pay

\cos^2 x - \sin^2 x

şeklinde, payda ise

(\cos x + \sin x)^2

şeklinde yazılıp sadeleştirildiğinde

\tan x = 1/2

elde edilir. Bu değer

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}

formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 0,6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleri ve temel özdeşlikler yardımıyla çarpanlarına ayıralım.

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

1 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\cos x + \sin x)^2

Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpanlar oluşturulur.

2

Elde edilen ifadeleri oranlayıp sadeleştirelim ve

\tan x

değerini çekelim.

\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{1}{3}

3\cos x - 3\sin x = \cos x + \sin x \implies 2\cos x = 4\sin x \implies \tan x = \frac{1}{2}

İçler dışlar çarpımı yapılarak

\sin x

ile

\cos x

arasındaki oran bulunur ve bu oran

\tan x

değerini verir.

3

\tan x = 1/2

değerini kullanarak

\cos(2x)

değerini hesaplayalım.

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - (1/2)^2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5} = 0,6

Kosinüs yarım açı formülü tanjant cinsinden yazılarak doğrudan sonuca ulaşılır.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri

Question 734Question →

Bir

(a_n)

gerçel sayı dizisinin genel terimi

a_n = \sqrt{\frac{n-5}{2n-k}}

olarak veriliyor.
Buna göre,

k

tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

10

20

30

40

50

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Doğru cevap 20 değeridir.

Doğru cevap 20'dir. Çünkü

(a_n)

ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için her

n

pozitif tam sayısı için tanımlı olması gerekir. Karekökün içinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması koşulları incelendiğinde,

k

tam sayısının

8 < k < 12

aralığında olması ve

k \neq 10

şartını sağlaması gerektiği bulunur. Bu koşulları sağlayan

k

tam sayıları 9 ve 11'dir, toplamları ise 20'dir.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin gerçel sayı dizisi belirtmesi için gerekli tanım koşullarını belirleme

Kareköklü ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, her

n \in \mathbb{Z}^+

için

\frac{n-5}{2n-k} \geq 0

ve

2n-k \neq 0

olmalıdır.

Bir dizinin terimleri gerçel sayılardan oluşmalıdır ve tanım kümesi pozitif tam sayılardır.

2

n = 5

durumunu inceleme

n = 5

için pay sıfır olur:

\frac{0}{10-k} \geq 0

. Bu ifadenin tanımlı olması için payda sıfır olmamalıdır, yani

10-k \neq 0 \implies k \neq 10

olmalıdır.

Payda sıfır olduğunda ifade tanımsız olur.

3

n < 5

(yani

n \in \{1, 2, 3, 4\}

) durumunu inceleme

n < 5

için pay

(n-5)

negatiftir. İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için payda

(2n-k)

da negatif olmalıdır. Buradan

2n-k < 0 \implies k > 2n

elde edilir. Bu eşitsizliğin tüm

n \in \{1, 2, 3, 4\}

değerleri için sağlanması için en büyük

n

değeri olan

n=4

için sağlanması yeterlidir:

k > 2(4) \implies k > 8

.

Negatif bir sayının negatif bir sayıya b��lümü pozitif sonuç verir.

4

n > 5

(yani

n \geq 6

) durumunu inceleme

n > 5

için pay

(n-5)

pozitiftir. İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için payda

(2n-k)

da pozitif olmalıdır. Buradan

2n-k > 0 \implies k < 2n

elde edilir. Bu eşitsizliğin tüm

n \geq 6

değerleri için sağlanması için en küçük

n

değeri olan

n=6

için sağlanması yeterlidir:

k < 2(6) \implies k < 12

.

Pozitif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü pozitif sonuç verir.

5

Elde edilen tüm koşulları birleştirme ve

k

tam sayılarını bulma

Koşullar birleştirildiğinde

8 < k < 12

ve

k \neq 10

elde edilir. Bu aralıktaki

k

tam sayıları 9 ve 11'dir. Toplamları ise

9 + 11 = 20

olur.

Tüm indis değerleri (

n \in \mathbb{Z}^+

) için fonksiyonun tanımlı olmasını sağlayan ortak aralık bulunmalıdır.

Key Concept

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için tanım kümesindeki her

n

pozitif tam sayısı için tanımlı ve reel sayı değerine eşit olması gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz.

Question 735Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos(3x)}{\cos x} + \frac{\sin(3x)}{\sin x} = 3

olduğuna göre,

\cos(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

-\frac{1}{8}

\frac{9}{16}

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

\frac{5}{13}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{8}$

Answer

İfadenin doğru değeri

\frac{1}{8}

'dir.

Verilen denklemde payda eşitlendikten sonra pay kısmında sinüs toplam formülü yardımıyla

\sin(4x)

ve paydada sinüs yarım açı formülü yardımıyla

\frac{1}{2}\sin(2x)

elde edilir. Bu ifadeler oranlandığında

4\cos(2x) = 3

eşitliğinden

\cos(2x) = \frac{3}{4}

bulunur. İstenen

\cos(4x)

ifadesi kosinüs yarım açı formülüyle açıldığında

\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1

olur. Burada

\cos(2x)

yerine

\frac{3}{4}

yazılarak

\frac{1}{8}

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Sol taraftaki rasyonel ifadelerin paydalarını eşitleyelim.

\frac{\cos(3x)\sin x + \sin(3x)\cos x}{\sin x \cos x} = 3

İfadeleri tek bir paydada birleştirerek sadeleştirme yapabilmek için.

2

Pay kısmındaki ifadeyi sinüs toplam formülü, payda kısmındaki ifadeyi ise sin��s yarım açı formülü kullanarak düzenleyelim.

\cos(3x)\sin x + \sin(3x)\cos x = \sin(3x + x) = \sin(4x)

\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)

Buradan,

\frac{\sin(4x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 3 \implies \frac{2\sin(4x)}{\sin(2x)} = 3

Trigonometrik ifadeleri daha sade bir forma dönüştürmek için.

3

Paydaki

\sin(4x)

ifadesine sinüs yarım açı formülünü uygulayarak sadeleştirelim.

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

\frac{2 \cdot 2\sin(2x)\cos(2x)}{\sin(2x)} = 3 \implies 4\cos(2x) = 3 \implies \cos(2x) = \frac{3}{4}

(Burada

x \in (0, \pi/4)

olduğundan

\sin(2x) \neq 0

olur ve sadeleştirme geçerlidir.)

\cos(2x)

değerini yalnız bırakmak için.

4

Bulduğumuz

\cos(2x)

değerini kullanarak

\cos(4x)

ifadesini kosinüs yarım açı formülüyle hesaplayalım.

\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1

\cos(4x) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}

Bulunur.

Bizden istenen nihai trigonometrik değeri hesaplamak için.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerde toplam-fark ve yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirme yapılması.

Question 736Question →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinde ortak çarpan $r = 3$ ve dördüncü terim $a_4 = 54$ olarak verilmektedir.

Buna göre, bu geometrik dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

6

18

2

45

\frac{2}{3}

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İlk terimi 2 olan seçenektir.

Bir geometrik dizinin genel terimi

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

formülüyle bulunur. Soruda verilen

a_4 = 54

ve

r = 3

değerleri formülde yerine yazılırsa:

54 = a_1 \cdot 3^{4-1}

54 = a_1 \cdot 3^3

54 = a_1 \cdot 27

Buradan

a_1 = 2

olarak bulunur. Dolayısıyla ilk terimi 2 olan seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Bir geometrik dizinin genel terim formülün�� yazmak.

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Dizinin verilen dördüncü terimi ve ortak çarpanı yardımıyla ilk terimine ulaşmak için genel terim formülü kullanılmalıdır.

2

Formülde verilen değerleri (

n = 4

,

r = 3

ve

a_4 = 54

) yerine yazıp

a_1

değerini çekmek.

54 = a_1 \cdot 3^{4-1} \implies 54 = a_1 \cdot 3^3 \implies 54 = 27 \cdot a_1 \implies a_1 = 2

Verilen terim ve ortak çarpan değerleri yerine konularak ilk terim cebirsel olarak hesaplanır.

Key Concept

Bir geometrik dizinin genel terim formülü olan

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

bağıntısının uygulanması.

Question 737Question →

\log_3(x^2 - 8x + 16) - \log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = 8

denklemini sağlayan

x

gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

Denklemi sağlayan

x

gerçel sayılarının toplamı 38'dir.

Verilen denklemde öncelikle logaritmaların tanımlı olma şartları incelenir. İkinci terimin tabanı olan

x-4

ifadesi pozitif ve

1

den farklı olmalıdır. Buradan

x > 4

ve

x \neq 5

elde edilir. Bu aralıkta

x^2-8x+16 = (x-4)^2

olduğundan ilk terim

2\log_3(x-4)

şeklinde yazılabilir. İkinci terim ise taban değiştirme kuralı kullanılarak

\frac{6}{\log_3(x-4)}

haline getirilir. Denklemde

u = \log_3(x-4)

dönüşümü yapıldığında

2u + \frac{6}{u} = 8

denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde

u^2-4u+3=0

olur ve kökleri

u=1

ile

u=3

olarak bulunur. Dönüşüm geri uygulandığında

\log_3(x-4)=1 \implies x=7

ve

\log_3(x-4)=3 \implies x=31

elde edilir. Her iki değer de tanım kümesi şartlarını sağladığından denklemin kökleridir ve bu köklerin toplamı

38

dir.

Step-by-Step Solution

1

Tanım kümesini belirleme

x > 4

ve

x \neq 5

Logaritmanın tanımı gereği, taban pozitif ve 1'den farklı olmalı, argüman ise pozitif olmalıdır.

x-4 > 0

,

x-4 \neq 1

ve

x^2-8x+16 > 0

koşullarından bu aralık elde edilir.

2

Logaritma ifadelerini sadeleştirme

\log_3(x^2 - 8x + 16) = 2\log_3(x-4)

ve

-\log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = \frac{6}{\log_3(x-4)}

x^2-8x+16 = (x-4)^2

olduğundan ve

x-4>0

aralığında çalıştığımızdan kuvvet başa çarpım olarak alınabilir. Taban değiştirme kuralı yardımıyla ikinci logaritma 3 tabanına çevrilir.

3

Değişken değiştirme ve denklem çözümü

u = 1

ve

u = 3

u = \log_3(x-4)

dönüşümü yapıldığında elde edilen

2u + \frac{6}{u} = 8

denklemi düzenlenerek

u^2-4u+3=0

ikinci dereceden denklemine dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılarak çözülür.

4

x

değerlerini bulma ve tanım kümesi kontrolü

x_1 = 7

ve

x_2 = 31

u = 1 \implies \log_3(x-4) = 1 \implies x-4 = 3 \implies x = 7

olur.

u = 3 \implies \log_3(x-4) = 3 \implies x-4 = 27 \implies x = 31

olur. Her iki değer de

x > 4

ve

x \neq 5

şartını sa��ladığından denklemin kökleridir.

5

Kökler toplamını hesaplama

7 + 31 = 38

Bulunan geçerli köklerin toplamı alınarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözümünde taban değiştirme kuralı, logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemlerinin tanım kümesi sınırları göz önünde bulundurularak uygulanması.

Question 738Question →

\log_{3} 5 = a

olduğuna göre,

\log_{15} 75

ifadesinin

a

türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{a+2}{a+1}

\frac{2a}{a+1}

\frac{a+1}{2a+1}

\frac{2a+1}{a+1}

\frac{2a+1}{2a}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2a+1}{a+1}$

Answer

İfadenin

a

türünden eşiti

\frac{2a+1}{a+1}

olarak bulunur.

Verilen logaritma ifadesi 3 tabanında taban değiştirme kuralı uygulanarak yazıldığında pay kısmı

\log_3 75

, payda kısmı ise

\log_3 15

olur.

75

sayısı

5^2 \cdot 3

şeklinde yazılıp logaritma kuralları ile açıldığında

2\log_3 5 + 1

değerini alır. Payda kısmı ise

5 \cdot 3

çarpanlarından dolayı

\log_3 5 + 1

olur.

\log_3 5 = a

değeri yerleştirildiğinde doğru oran

\frac{2a+1}{a+1}

$ olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

\log_{15} 75

ifadesine 3 tabanında taban değiştirme kuralı uygulanır.

\log_{15} 75 = \frac{\log_3 75}{\log_3 15}

Soruda

\log_3 5

değeri verildiği için ifadeyi 3 tabanına dönüştürmek işlemlerimizi kolaylaştırır.

2

Logaritması alınan

75

ve

15

sayıları asal çarpanlarına ayrılır.

75 = 5^2 \cdot 3

ve

15 = 5 \cdot 3

Çarpımın logaritması özelliğini uygulayabilmek için sayılar taban ve bilinen değerler cinsinden çarpanlara ayrılmalıdır.

3

Çarpım ve üs kuralları kullanılarak logaritma ifadeleri açılır.

\log_3 75 = 2\log_3 5 + \log_3 3

ve

\log_3 15 = \log_3 5 + \log_3 3

\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y

ve

\log_b (x^n) = n\log_b x

kuralları uygulanmıştır.

4

\log_3 5 = a

ve

\log_3 3 = 1

değerleri elde edilen ifadelerde yerine yazılır.

\log_3 75 = 2a + 1

ve

\log_3 15 = a + 1

Soruda verilen değişken değeri ile temel logaritma özelliği yerleştirilir.

5

Elde edilen değerler oranlanarak sonuca ulaşılır.

\frac{2a+1}{a+1}

Taban değiştirme kuralı gereği bölme işlemi tamamlanmış olur.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Özelliklerin Uygulanması

Estimated Time:1m 30s

Question 739Question →

Tanımlı

x

ve

y

gerçel sayıları için,

\cot y - \cot x = 3

\tan(x - y) = 2

olduğuna göre,

\tan x \cdot \tan y

çarpımının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

\tan x \cdot \tan y

çarpımının değeri

2

'dir.

Kotanjant farkından yola çıkılarak elde edilen

\tan x - \tan y = 3\tan x\tan y

ifadesi,

\tan(x-y)

fark formülünde yerine konulduğunda aranan

\tan x \cdot \tan y

terimine bağlı birinci dereceden bir denklem elde edilmektedir. Bu denklem çözüldüğünde çarpımın değeri doğrudan

2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kotanjant terimlerini tanjant cinsinden ifade ederek payda eşitleme yapın.

\tan x - \tan y = 3 \cdot \tan x \cdot \tan y

bağıntısı elde edilir.

Toplam-fark formülü tanjant üzerinden tanımlı olduğu için tüm terimleri tanjant cinsine dönüştürmek kolaylık sağlar.

2

Tanjant fark formülünü uygulayarak

\tan(x - y) = 2

eşitliğini yazın.

\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} = 2

eşitliği elde edilir.

Fark açısının tanjant değerini kullanmak amacıyla formül açılımı yapılır.

3

İlk adımdaki

\tan x - \tan y

ifadesini fark formülündeki pay kısmına yerleştirin.

\frac{3 \cdot \tan x \cdot \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} = 2

denklemi elde edilir.

Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir değişken grubu üzerinden işlem yapabilmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.

4

Denklemde içler dışlar çarpımı yapıp

\tan x \cdot \tan y

çarpımını yalnız bırakın.

\tan x \cdot \tan y = 2

olarak bulunur.

Rasyonel denklemin çözülmesiyle doğrudan hedeflenen çarpım değerine ulaşılır.

Key Concept

Tanjant fark formülü ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel sadeleştirmelerle birlikte kullanılması.

Question 740Question →

Analitik düzlemde,

d_1: 3x - 4y + 12 = 0

d_2: 5x + 12y - 20 = 0

doğruları veriliyor.

Buna göre, bu iki doğru arasında kalan dar açının kosinüsü kaçtır?

\frac{16}{65}

\frac{56}{65}

\frac{33}{65}

\frac{63}{65}

\frac{48}{65}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{33}{65}$

Answer

Doğruların eğimlerinden tanjant fark formülü yardımıyla aralarındaki dar açının tanjantı 56/33 bulunur. Buradan dik üçgen çizilerek dar açının kosinüsü 33/65 olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan 33/65 değeri, doğruların eğimlerinden (3/4 ve -5/12) hareketle tanjant fark formülü kullanılarak aralarındaki dar açının tanjantının 56/33 olarak bulunması ve bu değerin bir dik üçgene aktarılarak kosinüsünün hesaplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Doğruların denklemlerinden eğimlerini belirleyin.

d_1

doğrusunun eğimi

m_1 = \frac{3}{4}

ve

d_2

doğrusunun eğimi

m_2 = -\frac{5}{12}

olarak bulunur.

İki doğru arasındaki açıyı bulmak için bu doğruların eğimlerini kullanacağız.

2

İki doğru arasındaki dar açıyı

\theta

kabul ederek, eğimler yardımıyla

\tan\theta

değerini hesaplayın.

\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| = \left| \frac{\frac{3}{4} - \left(-\frac{5}{12}\right)}{1 + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{9}{12} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} \right| = \left| \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} \right| = \frac{7}{6} \cdot \frac{16}{11} = \frac{56}{33}

elde edilir.

İki doğru arasındaki açının tanjant formülü

\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|

şeklindedir.

3

Tanjant değeri bilinen dar açının kosinüs değerini dik üçgen çizerek hesaplayın.

Bir dik üçgende karşı dik kenar

56

, komşu dik kenar

33

birim olarak alınırsa, hipotenüs uzunluğu:

\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{1089 + 3136} = \sqrt{4225} = 65

birim olur. Buradan dar açının kosinüsü:

\cos\theta = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{33}{65}

olarak bulunur.

Tanjant değerinden kosinüs değerine geçiş yapmak için dik üçgen bağıntıları kullanılır.

Key Concept

İki doğru arasındaki açının tanjantı ve toplam-fark formülleri yardımıyla trigonometrik oranların hesaplanması.

Estimated Time:2m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept