All practice questions

Question 821Question →

Hava ortamında ( $n_{\text{hava}} = 1$ ) dalga boyu $\lambda$ olan tek renkli paralel ışık demeti kullanılarak gerçekleştirilen tek yarıkta kırınım deneyinde, ekran üzerinde oluşan merkezi aydınlık saçacın genişliği $X_1$ olarak ölçülmektedir.

Deneysel düzenekte yarık düzlemi ile ekran arasındaki ortam, kır��cılık indisi $n = 1.6$ olan saydam bir sıvı ile tamamen doldurulup kullanılan ışığın dalga boyu $1.2\lambda$ olacak şekilde değiştirildiğinde, yeni merkezi aydınlık saçacın genişliği $X_2$ olmaktadır.

Buna göre, merkezi aydınlık saçak genişliklerinin oranı olan $\frac{X_2}{X_1}$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.75

Answer

Merkezi aydınlık saçak genişliklerinin oranı 0.75 (veya 3/4) olarak bulunur.

Işığın dalga boyu 1.2 katına çıkarken ortamın kırıcılık indisi 1'den 1.6'ya çıkmıştır. Saçak genişliği formülü gereği dalga boyu ile doğru, kırıcılık indisi ile ters orantılı olan merkezi saçak genişliği 1.2 / 1.6 = 0.75 katına iner.

Step-by-Step Solution

1

Merkezi aydınlık saçak genişliği formülünü yazma.

X = 2\Delta x = \frac{2\lambda L}{w \cdot n}

Tek yarıkta kırınım deneyinde merkezi saçak genişliğinin parametrelere bağlılığını belirlemek.

2

Hava ortamındaki ilk durum için saçak genişliği ifadesini oluşturma.

X_1 = \frac{2\lambda L}{w}

Başlangıç koşullarındaki saçak genişliğini tanımlamak.

3

Sıvı ortamındaki ikinci durum için saçak genişliği ifadesini oluşturma.

X_2 = \frac{2(1.2\lambda) L}{w \cdot 1.6} = 0.75 \cdot \frac{2\lambda L}{w}

Değişen fiziksel parametrelere göre yeni saçak genişliğini bulmak.

4

İki saçak genişliğini birbirine oranlama.

\frac{X_2}{X_1} = 0.75

İstenen oranı elde etmek.

Key Concept

Tek yarıkta kırınım olayında merkezi aydınlık saçak genişliğinin ışığın dalga boyu ve ortamın kırıcılık indisi ile ilişkisi.

Question 822Question →

Karanlık bir laboratuvarda, tek renkli ve dalga boyu $\lambda_1 = 600\text{ nm}$ olan bir lazer kaynağı kullanılarak havada ( $n_{\text{hava}} = 1$ ) ger��ekleştirilen tek yarıkta kırınım deneyinde, yarık genişliği $w$ , yarık düzleminin ekrana uzaklığı ise $L$ kadardır. Bu durumda ekranın merkezinde oluşan merkezi aydınlık saçak genişliği $4,8\text{ mm}$ olarak ölçülmektedir.

Aynı deney düzeneğinde aşağıdaki değişiklikler yapılıyor:
- Yarık genişliği $2w$ yapılıyor.
- Yarık düzlemi ile ekran arasındaki uzaklık $3L$ yapılıyor.
- Yarık düzlemi ile ekran arasındaki ortam kırıcılık indisi $1,6$ olan şeffaf bir sıvı ile dolduruluyor.
- Işık kaynağı, dalga boyu $\lambda_2 = 480\text{ nm}$ olan başka bir lazer kaynağı ile değiştiriliyor.

Buna göre, son durumda ekran üzerinde oluşan merkezi aydınlık saçağın genişliği kaç milimetre ( $\text{mm}$ ) olur?

Show answer & explanation

Answer: 3.6

Answer

Son durumda ekran üzerinde oluşan merkezi aydınlık saçağın genişliği

3,6\text{ mm}

olur.

Deneyde yapılan tüm değişiklikler (dalga boyunun azalması, yarık genişliğinin artması, ortamın kırıcılık indisinin artması ve ekran uzaklığının artması) saçak genişliği bağıntısı

\Delta x = \frac{\lambda L}{w n}

kullanılarak değerlendirildiğinde, saçak genişliğinin başlangıçtakinin

0,75

katına düştüğü görülür. Merkezi aydınlık saçak genişliği de aynı oranda küçüleceğinden,

4,8 \times 0,75 = 3,6\text{ mm}

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumdaki saçak genişliğini ve merkezi aydınlık saçak genişliğini formüle dökerek başlangıç parametrelerini belirlemek.

Tek yarıkta saçak genişliği formülü

\Delta x = \frac{\lambda L}{w n}

şeklindedir. İlk durumda ortam hava (

n_1 = 1

), dalga boyu

\lambda_1 = 600\text{ nm}

, yarık genişliği

w

ve perde uzaklığı

L

'dir. Merkezi aydınlık saçağın genişliği

2\Delta x_1 = 4,8\text{ mm}

olarak ölçüldüğüne göre, standart saçak genişliği

\Delta x_1 = 2,4\text{ mm}

olur.

Yeni durumdaki fiziksel niceliklerin başlangıçtaki duruma göre nasıl değiştiğini mukayese edebilmek için temel referansı belirlemek gerekir.

2

İkinci durumdaki yeni parametreleri formülde yerine koyarak yeni saçak genişliğinin ilk saçak genişliğine oranını hesaplamak.

İkinci durumda yeni saçak genişliği:

\Delta x_2 = \frac{\lambda_2 L_2}{w_2 n_2} = \frac{480 \cdot 3L}{2w \cdot 1,6} = \frac{1440 L}{3,2 w} = 450 \frac{L}{w}

olur. İlk saçak genişliği

\Delta x_1 = 600 \frac{L}{w}

olduğuna göre iki saçak genişliği oranlanırsa:

\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = \frac{450}{600} = 0,75

elde edilir.

Yapılan çoklu parametre değişikliklerinin saçak genişliği üzerindeki net etkisini çarpan olarak belirlemek.

3

Elde edilen oranı başlangıçtaki merkezi aydınlık saçak genişliği ile çarparak nihai sonuca ulaşmak.

Yeni saçak genişliği

\Delta x_2 = 0,75 \Delta x_1

olduğuna göre, merkezi aydınlık saçak genişliği de aynı oranda değişecektir:

2\Delta x_2 = 0,75 \times (2\Delta x_1) = 0,75 \times 4,8\text{ mm} = 3,6\text{ mm}

bulunur.

Merkezi aydınlık saçak genişliğinin standart saçak genişliğinin 2 katı olduğu bilgisini kullanarak son sayısal değeri hesaplamak.

Key Concept

Tek yarıkta kırınım olayında saçak genişliğini etkileyen değişkenler (dalga boyu, perde uzaklığı, yarık genişliği ve ortamın kırıcılık indisi) ve merkezi aydınlık saçağın özel yapısı.

Question 823Question →

Hacmi ve sıcaklığı ayarlanabilen esnek bir balona $227\text{ }^{\circ}\text{C}$ sıcaklıkta $0,8\text{ mol}$ ideal neon ( $Ne$ ) gazı doldurulmuştur. Bulunulan ortamdaki açık hava bas��ncı $1,64\text{ atm}$ olduğuna göre, bu balonun hacmi kaç litredir? ( $R = 0,082\text{ L}\cdot\text{atm/(mol}\cdot\text{K)}$ alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Balonun hacmi

20\text{ L}

olarak bulunur.

İdeal gaz denklemi

P \cdot V = n \cdot R \cdot T

kullanılarak,

T = 227 + 273 = 500\text{ K}

mutlak sıcaklığında

1,64\text{ atm}

basınç altındaki

0,8\text{ mol}

neon gazının kapladığı hacim

20\text{ L}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sıcaklık birimini Kelvin (

K

) cinsine dönüştürmek.

T = 500\text{ K}

İdeal gaz denkleminde sıcaklık mutlak sıcaklık birimi olan Kelvin cinsinden kullanılmalıdır.

2

İdeal gaz denklemine (

P \cdot V = n \cdot R \cdot T

) bilinen değerleri yazmak.

1,64 \cdot V = 0,8 \cdot 0,082 \cdot 500

Verilen basınç, mol sayısı, gaz sabiti ve sıcaklık değerlerini kullanarak bilinmeyen hacmi bulmak için denklem kurulur.

3

Hacim (

V

) değerini yalnız bırakarak matematiksel işlemi tamamlamak.

V = 20\text{ L}

İşlemler sadeleştirildiğinde

1,64 \cdot V = 32,8

eşitliğinden hacim değeri

20\text{ L}

olarak elde edilir.

Key Concept

İdeal gas denkleminin (

P \cdot V = n \cdot R \cdot T

) kullanılması ve mutlak sıcaklık (

K

) dönüşümü.

Question 824Question →

Belirli bir sıcaklık ve basınçta bulunan gazların davranışları ideal gaz denklemi ile açıklanır. $127\text{ }^{\circ}\text{C}$ sıcaklıkta ve $0,82\text{ atm}$ basınç altında $10\text{ L}$ hacim kaplayan ideal oksijen ( $O_2$ ) gazının kütlesi kaç gramdır? ( $O = 16\text{ g/mol}$ , $R = 0,082\text{ L}\cdot\text{atm/(mol}\cdot\text{K)}$ )

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İdeal oksijen gazının kütlesi 8 gramdır.

İdeal gaz denklemi (

P \cdot V = n \cdot R \cdot T

) kullanılarak gazın mol sayısı

0,25\text{ mol}

olarak bulunur. Oksijen gazının diatomik (

O_2

) yapıda olduğu dikkate alınarak mol kütlesi

32\text{ g/mol}

alınır ve kütlesi

0,25 \times 32 = 8\text{ g}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sıcaklık birimini Celsius'tan Kelvin'e çevirmek.

T = 400\text{ K}

��deal gaz hesaplamalarında mutlak sıcaklık (Kelvin) kullanılmalıdır.

2

İdeal gaz denkleminden (

P \cdot V = n \cdot R \cdot T

) gazın mol sayısını bulmak.

n = 0,25\text{ mol}

Verilen basınç, hacim ve sıcaklık değerlerini kullanarak gazın madde miktarını belirlemek.

3

Oksijen gazının diatomik (

O_2

) yapıda olduğunu dikkate alarak mol kütlesini hesaplayıp toplam kütleyi bulmak.

m = 8\text{ g}

Mol sayısı ile mol kütlesini çarparak gazın kütlesine ulaşmak.

Key Concept

İdeal gaz denklemindeki değişkenlerin (

P, V, n, R, T

) doğru birimlerle yerine konularak hesaplama yapılması.

Question 825Question →

$5,6\text{ litrelik}$ sabit hacimli kapalı bir kapta bulunan $8\text{ gram}$ ideal helyum ( $He$ ) gazının basıncı $16\text{ atmosfer (atm)}$ olarak ölçülmüştür. Buna göre, kaptaki gazın sıcaklığı kaç santigrat derecedir ( $^{\circ}\text{C}$ )? ( $He = 4\text{ g/mol}$ )

Show answer & explanation

Answer: 273

Answer

Kaptaki helyum gazının sıcaklığı 273 °C'dir.

İdeal gaz formülü

P \cdot V = n \cdot R \cdot T

kullanılarak hesaplama yapıldığında gazın mutlak sıcaklığı

546\text{ K}

olarak bulunur. Bu sıcaklıktan

273

çıkarıldığında, santigrat derece cinsinden sıcaklık

273\text{ }^{\circ}\text{C}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kaptaki helyum gazının kütlesi kullanılarak mol say��sı hesaplanır.

n = 2\text{ mol}

İdeal gaz denkleminde miktar birimi olarak mol sayısı kullanılması gerektiğinden, kütle mol sayısına dönüştürülmüştür.

2

İdeal gaz denklemi (

P \cdot V = n \cdot R \cdot T

) kullanılarak mutlak sıcaklık (

T

) değeri çekilir.

T = 546\text{ K}

Verilen basınç, hacim ve mol sayısı değerleri gaz sabitiyle oranlanarak mutlak sıcaklık bulunur.

3

Kelvin cinsinden bulunan sıcaklık değeri santigrat dereceye çevrilir.

t = 273\text{ }^{\circ}\text{C}

Soru kökünde sıcaklığın Celsius biriminden değeri istendiği için Kelvin değerinden 273 çıkarılmıştır.

Key Concept

İdeal gaz denklemi (

P \cdot V = n \cdot R \cdot T

) yardımıyla gaz değişkenlerinin hesaplanması ve sıcaklık birimlerinin (Kelvin - Celsius) birbirine dönüştürülmesi.

Question 826Question →

Aynı sıcaklık ve basınçta bulunan ideal $CH_4$ ve $SO_2$ gazlarından, $1,6\text{ gram } CH_4$ gazının gözenekli bir engelden tamamen efüzlenmesi (dışarıya süzülmesi) $10\text{ saniye}$ sürmektedir.

Buna göre, aynı koşullarda özdeş bir engelden $20\text{ saniyede}$ efüzlenen $SO_2$ gazı kaç gramdır?
( $H = 1\text{ g/mol}$ , $C = 12\text{ g/mol}$ , $O = 16\text{ g/mol}$ , $S = 32\text{ g/mol}$ )

Show answer & explanation

Answer: 6.4

Answer

Efüzlenen SO2 gazının kütlesi 6,4 gramdır.

Aynı sıcaklıkta ideal gazların efüzyon hızları mol kütlelerinin karekökü ile ters orantılıdır. CH4 ve SO2 gazlarının mol kütleleri sırasıyla 16 g/mol ve 64 g/mol olduğundan, CH4 gazının hızı SO2 gazının 2 katıdır. 10 saniyede 0,1 mol CH4 gazı efüzlendiğine göre, 2 kat daha yavaş olan SO2 gazından 20 saniyede 0,1 mol efüzlenir. 0,1 mol SO2 ise 6,4 gramdır.

Step-by-Step Solution

1

Gazların mol kütlelerini hesaplamak

M(CH4) = 16 g/mol, M(SO2) = 64 g/mol

Dif��zyon hızlarını karşılaştırabilmek için öncelikle gazların mol kütleleri belirlenmelidir.

2

Efüzlenen CH4 gazının mol sayısını bulmak

n(CH4) = 0,1 mol

Graham Yasası'ndaki efüzyon hızı birim zamandaki mol sayısı üzerinden değerlendirilir.

3

Graham Yasası'na göre hız oranını bulmak

r(CH4) / r(SO2) = 2

Sıcaklıkları aynı olan gazların yayılma hızlarının oranı, mol kütlelerinin karekökünün ters oranı ile bulunur.

4

Efüzlenen SO2 gazının mol sayısını hesaplamak

n(SO2) = 0,1 mol

CH4 gazı 2 kat hızlı olduğundan, 10 saniyede 0,1 mol CH4 efüzlenirken, SO2 gazından 20 saniyede 0,1 mol efüzlenecektir.

5

SO2 gazının kütlesini hesaplamak

m(SO2) = 6,4 gram

Mol sayısı ile mol kütlesi çarpılarak kütleye geçiş yapılır.

Key Concept

Graham Difüzyon ve Efüzyon Yasası

Question 827Question →

Bir seramik atölyesinde günde

x

adet vazo üretilip satıldığında elde edilen günlük kâr (TL cinsinden)

K(x) = -3x^2 + 120x - 500

fonksiyonu ile hesaplanmaktadır. Atölyenin günlük vazo üretim kapasitesi en fazla 50 adettir. Buna göre, bu atölyenin bir günde elde edebileceği en büyük kâr değeri, en küçük kâr değerinden kaç TL fazladır?

Show answer & explanation

Answer: 2700

Answer

En büyük kâr değeri en küçük kâr değerinden 2700 TL fazladır.

Fonksiyonun

[0, 50]

kapalı aralığındaki alabileceği en büyük değer tepe noktasında

K(20) = 700

olarak bulunur. En küçük değer ise uç noktalardan biri olan

x = 50

için

K(50) = -2000

olarak elde edilir. En büyük kâr ile en küçük kâr arasındaki fark

700 - (-2000) = 2700

TL'dir.

Step-by-Step Solution

1

Atölyenin günlük vazo üretim kapasitesine göre fonksiyonun tanım kümesini belirlemek

Tanım kümesi

[0, 50]

kapalı aralığıdır.

Günlük üretim miktarı negatif olamayacağından alt sınır 0, kapasite sınırı 50 olduğundan üst sınır 50'dir.

2

Parabolün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplamak

r = 20

K(x) = -3x^2 + 120x - 500

ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2 \cdot (-3)} = 20

formülü ile bulunur.

3

Tepe noktasındaki kâr değerini hesaplayarak maksimum kârı bulmak

K(20) = 700

TL

Tepe noktasının apsisi

20

,

[0, 50]

aralığında yer aldığından ve baş katsayı negatif (kollar aşağı doğru) olduğundan en büyük kâr değeri bu noktada elde edilir:

K(20) = -3(20)^2 + 120(20) - 500 = 700

.

4

Tanım kümesinin uç noktalarındaki değerleri hesaplayarak minimum kârı bulmak

K(0) = -500

TL ve

K(50) = -2000

TL olup minimum kâr

-2000

TL'dir.

Sınırlı bir aralıkta tanımlı parabolün alabileceği en küçük değer uç noktalardan birinde gerçekleşir.

K(0) = -500

ve

K(50) = -3(50)^2 + 120(50) - 500 = -2000

değerlerinden küçük olanı en küçük kâr değeridir.

5

En büyük kâr ile en küçük kâr arasındaki farkı hesaplamak

700 - (-2000) = 2700

TL

En büyük kâr değerinin en küçük kâr değerinden kaç TL fazla olduğunu bulmak için en büyük değerden en küçük değer çıkarılır:

700 - (-2000) = 2700

.

Key Concept

Sınırlı bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin tepe noktası ve uç noktalar incelenerek bulunması.

Question 828Question →

Dik koordinat düzleminde, başkatsayıları sırasıyla $1$ ve $-1$ olan $f(x)$ ve $g(x)$ parabollerinin simetri eksenleri sırasıyla $x = r_1$ ve $x = r_2$ doğrularıdır.

$f(x)$ parabolünün tepe noktası $g(x)$ parabolünün üzerinde, $g(x)$ parabolünün tepe noktası ise $f(x)$ parabolünün üzerindedir.

Bu iki parabolün tepe noktaları arasındaki uzaklık $3\sqrt{10}$ birim olduğuna göre, bu parabollerin simetri eksenleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Parabollerin simetri eksenleri arasındaki uzaklık 3 birimdir.

Parabollerin tepe noktaları birbirlerinin grafikleri üzerinde bulunduğundan, dikey koordinat farkı yatay koordinat farkının karesine eşit olmak zorundadır. Bu ilişki iki nokta arasındaki uzaklık formülünde yerine yazıldığında elde edilen dördüncü dereceden denklem çözülerek simetri eksenleri arasındaki yatay uzaklık 3 birim olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parabollerin tepe noktalarını tanımlama ve denklemleri oluşturma

f(x) = (x - r_1)^2 + k_1

ve

g(x) = -(x - r_2)^2 + k_2

Tepe noktaları ve başkatsayılar bilindiğinde parabol denklemleri en kolay tepe noktası formuyla yazılır.

2

Tepe noktalarının birbirinin üzerinde olması koşulunu uygulama

k_2 - k_1 = (r_1 - r_2)^2

T_1(r_1, k_1)

noktasının koordinatlarının

g(x)

denklemini sağlaması gerekir.

3

Simetri eksenleri arasındaki uzaklık değişkenini (

d

) tanımlama

d = |r_1 - r_2|

ve

k_2 - k_1 = d^2

Soru bizden simetri eksenleri arasındaki yatay uzaklığı istemektedir.

4

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kurma ve denklemi çözme

d^4 + d^2 = 90 \implies d = 3

T_1

ve

T_2

noktalarının koordinat farklarının kareleri toplamı, aralarındaki uzaklığın karesine eşittir.

Key Concept

Parabolün tepe noktası koordinatları ile simetri ekseni arasındaki cebirsel ve geometrik ilişkiler

Question 829Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

\frac{(x^2 - x - 20) \cdot (x - 2)}{(x^2 - 4x) \cdot (x - 5)^2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük pozitif tam sayı ile en küçük iki basamaklı negatif tam sayının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -97

Answer

Eşitsizliği sağlayan en büyük pozitif tam sayı 2, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı ise -99 olup, bu iki değerin toplamı -97'dir.

Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde kökler

-4, 0, 2, 4, 5

olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklar

(-\infty, -4] \cup (0, 2] \cup (4, 5)

olur. Bu aralıklardaki en büyük pozitif tam sayı 2, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı ise -99'dur. Toplamları ise -97'dir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikteki pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırma.

Pay:

(x - 5)(x + 4)(x - 2)

, Payda:

x(x - 4)(x - 5)^2

İfadenin köklerini ve işaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek için çarpanlarına ayrılması gerekir.

2

Köklerin belirlenmesi ve teklik/çiftlik durumlarının incelenmesi.

Kökler:

x = -4

(tek),

x = 0

(tek),

x = 2

(tek),

x = 4

(tek),

x = 5

(tek katlı davranış gösterir ancak paydanın kökü olduğundan tanımsızlık yaratır).

İşaret tablosunda işaretin nerede değişeceğini ve hangi köklerin dahil edilemeyeceğini belirlemek.

3

İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralıklarının bulunması.

Çözüm aralıkları:

(-\infty, -4] \cup (0, 2] \cup (4, 5)

İfadenin sıfıra eşit veya küçük olduğu (

\leq 0

) bölgeleri tespit etmek.

4

İstenen özel tam sayıların bulunması ve toplanması.

En büyük pozitif tam sayı

2

, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı

-99

ve toplamları

2 + (-99) = -97

.

Soruda tanımlanan koşullara uyan tam sayı değerlerini belirleyip toplamını bulmak.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerde köklerin bulunması, sadeleştirme işlemlerinde payda köklerine dikkat edilmesi ve işaret tablosu oluşturulması.

Question 830Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği, $x$ -eksenini yalnızca apsisleri $-8$ , $-2$ , $1$ ve $4$ olan noktalarda kesmektedir.

Buna göre, $g(x) = f\left(\frac{x}{2}\right)$ ve $h(x) = f(2x)$ fonksiyonlarının grafiklerinin $x$ -eksenini kestiği ortak noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Ortak noktaların apsisleri toplamı

-2

olur.

Grafiğin yatay esnetilmesi ve sıkıştırılması kurallarına göre;

g(x) = f(x/2)

fonksiyonunun kökleri

f(x)

'in köklerinin 2 katı (

\{-16, -4, 2, 8\}

),

h(x) = f(2x)

fonksiyonunun kökleri ise

f(x)

'in köklerinin yarısı (

\{-4, -1, 0.5, 2\}

) olur. Bu iki kümenin kesişiminde yer alan ortak elemanlar

-4

ve

2

olduğundan, toplamları

-2

'dir.

Step-by-Step Solution

1

f(x) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-8, -2, 1, 4\}

Bir fonksiyonun grafiğinin

x

-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun değerini sıfır yapan kök değerleridir.

2

g(x) = f(x/2) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-16, -4, 2, 8\}

g(x) = 0 \Rightarrow f(x/2) = 0

olduğundan,

x/2

ifadesi

f

fonksiyonunun köklerine eşit olmalıdır. Bu durum yatay esnetmeye karşılık gelir.

3

h(x) = f(2x) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-4, -1, 0.5, 2\}

h(x) = 0 \Rightarrow f(2x) = 0

olduğundan,

2x

ifadesi

f

fonksiyonunun köklerine eşit olmalıdır. Bu durum yatay sıkıştırmaya karşılık gelir.

4

Ortak kökleri bulup toplamak

Ortak kökler:

-4

ve

2

. Toplamları:

-2

İki grafiğin

x

-eksenini kestiği ortak noktalar, her iki kök kümesinde de bulunan ortak apsis değerleridir.

Key Concept

Fonksiyonların yatay eksende esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında grafik üzerindeki noktaların apsislerinin değişim kuralları.

Question 831Question →

\begin{aligned} 2x^2 - xy - 3y^2 &= 0 \\ x^2 + y^2 - x + y &= 4 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için $x \cdot y$ çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikilileri için x ve y koordinatlarının çarpımının alabileceği en küçük değer -4'tür.

İlk denklem çarpanlarına ayrılarak

x = -y

ve

x = 1.5y

elde edilir. Bu iki durum ikinci denklemde yerine yazıldığında, gerçel çözümlerden elde edilen

x \cdot y

çarpım değerleri

-1

,

-4

ve bazı pozitif değerler olur. Bu değerlerin en küçüğü -4'tür.

Step-by-Step Solution

1

İlk denklemi çarpanlarına ayırmak

x = -y

veya

x = \frac{3}{2}y

elde edilmesi

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli denklemlere indirgemek için değişkenler arasındaki ilişkileri bulmak.

2

x = -y

doğrusu üzerindeki çözümleri bulmak

(-1, 1)

ve

(2, -2)

çözümlerinin bulunması

Bulunan ilk doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine yazarak bu doğru üzerindeki kesim noktalarını elde etmek.

3

x = \frac{3}{2}y

doğrusu üzerindeki çözümlerin durumunu incelemek

Çözümlerin gerçel olduğu ve koordinatlar çarpımının pozitif olduğunun belirlenmesi

Diğer doğrusal ilişkiden gelecek çözümlerin gerçel olup olmadığını ve koordinatlar çarpımının değer aralığını kontrol etmek.

4

Elde edilen çarpım değerlerini karşılaştırarak en küçüğünü seçmek

En küçük değerin -4 olarak bulunması

Soru kökünde istenen minimum çarpım değerine ulaşmak.

Key Concept

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma yöntemi ve yerine koyma metodunun uygulanması.

Question 832Question →

Genel terimi

a_n = \frac{n^2 - 3n - 10}{2n + 1}

olan gerçel sayı dizisinin, değeri

0

olan teriminin indisi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Değeri 0 olan terimin indisi 5'tir.

Dizinin genel terimini sıfır yapan denklem çözüldüğünde elde edilen köklerden pozitif tam sayı olan tek değer 5'tir.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin genel terimini sıfıra eşitlemek

\frac{n^2 - 3n - 10}{2n + 1} = 0

Değeri 0 olan terimi bulmak için genel terim 0'a eşitlenir.

2

Elde edilen rasyonel denklemi çözmek

n^2 - 3n - 10 = 0 \Rightarrow (n - 5)(n + 2) = 0 \Rightarrow n = 5 \text{ veya } n = -2

Bir rasyonel ifadenin sıfır olabilmesi için payının sıfır olması gerekir.

3

Bulunan köklerin dizi tanım kümesine uygunluğunu incelemek

n = 5

değeri pozitif bir tam sayıdır (

5 \in \mathbb{Z}^+

),

-2

değeri ise pozitif tam sayı değildir.

Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır. Bu nedenle sadece pozitif tam sayı olan kök indis olarak kabul edilebilir.

Key Concept

Dizi tanım kümesi ve genel terim özellikleri

Question 833Question →

Bir ses kaynağının ses gücü düzeyi $L$ desibel (dB) cinsinden,

L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

formülüyle hesaplanır. Burada $I$ ses şiddetini ( $\text{W/m}^2$ ), $I_0$ ise eşik ses şiddeti olan $10^{-12} \text{ W/m}^2$ değerini temsil etmektedir.

Buna g��re, ses şiddeti $I = 10^{-8} \text{ W/m}^2$ olan bir ses kaynağının ses gücü düzeyi kaç desibeldir?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Ses şiddeti

10^{-8} \text{ W/m}^2

olan ses kaynağının ses gücü düzeyi

40

desibeldir.

Ses şiddeti

10^{-8} \text{ W/m}^2

ve eşik ses şiddeti

10^{-12} \text{ W/m}^2

değerleri desibel formülünde yerine konulduğunda logaritma içindeki oran

10^4

olur. 10 tabanında

10^4

sayısı 4'e eşittir. Bu değer 10 katsayısı ile çarpıldığında ses gücü düzeyi

40

desibel olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen değerleri ses gücü düzeyi formülünde yerine koymak

L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{10^{-8}}{10^{-12}}\right)

Ses gücü düzeyini hesaplamak amacıyla formüldeki

I

ve

I_0

değişkenlerine verilen sayısal değerleri yerleştiririz.

2

Oranlama işlemini üslü sayı bölme kuralına göre sadeleştirmek

\frac{10^{-8}}{10^{-12}} = 10^{-8 - (-12)} = 10^4

Pay ve paydanın tabanları 10 olduğu için payın üssünden paydan��n üssü çıkarılarak sadeleştirme yapılır.

3

10 tabanındaki logaritma işlemini çözmek

\log_{10}(10^4) = 4

\log_a(a^n) = n

kuralı gereğince

\log_{10}(10^4)

ifadesinin eşiti

4

'tür.

4

Logaritma sonucunu formüldeki katsayı ile çarparak nihai sonuca ulaşmak

L = 10 \cdot 4 = 40

Bulunan logaritma değeri desibel katsayısı olan 10 ile çarpılarak nihai ses gücü düzeyine ulaşılır.

Key Concept

Üstel ve logaritmik modellerin gerçek hayat problemlerinde uygulanması

Question 834Question →

Bir

ABC

üçgeninin iç açılarından iki tanesi

A

ve

B

olmak üzere,

\tan(A) = 2

\tan(B) = 3

olduğuna göre,

C

iç açısının kotanjant değeri olan

\cot(C)

kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

C açısının kotanjant değeri 1'dir.

Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisinden

C = 180^\circ - (A+B)

yazılır. İkinci bölgede tanjant fonksiyonunun işareti negatif olduğundan

\tan(C) = -\tan(A+B)

olur. Tanjant toplam formülü kullanılarak

\tan(A+B) = \frac{2+3}{1-2\cdot3} = -1

bulunur. Buradan

\tan(C) = 1

elde edilir. Tanjant ile kotanjantın çarpımsal terslik ilişkisinden

\cot(C) = \frac{1}{\tan(C)} = 1

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisini kurma

C = 180^\circ - (A+B)

Bir üçgenin iç açıların��n toplamı her zaman

180^\circ

olduğundan

A, B

ve

C

açıları arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.

2

Tanjant toplam formülünü yazma ve değerleri yerine koyma

\tan(A+B) = -1

\tan(A+B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A)\tan(B)}

formülünde

\tan(A) = 2

ve

\tan(B) = 3

yazılır.

3

C açısının tanjantını bulma

\tan(C) = 1

\tan(C) = \tan(180^\circ - (A+B)) = -\tan(A+B)

indirgeme kuralı uygulanır.

4

C açısının kotanjantını hesaplama

\cot(C) = 1

Kotanjant ve tanjant arasındaki

\cot(C) = \frac{1}{\tan(C)}

ilişkisi kullanılır.

Key Concept

İki açının toplamının tanjantı ve bütünler açıların trigonometrik oranları

Estimated Time:2m 0s

Question 835Question →

Bir

ABC

üçgeninin iç açıları

A

,

B

ve

C

'dir.

\tan A = 2

\tan B = 3

olduğuna göre,

C

açısının derece cinsinden değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

C açısının derece cinsinden değeri 45'tir.

Üçgenin iç açılar toplamından elde edilen

A + B = 180^\circ - C

eşitliğinin her iki tarafının tanjantı alındığında

\tan(A+B) = -\tan C

bağıntısına ulaşılır. Tanjant toplam formülüyle

\tan(A+B) = -1

bulunur. Dolayısıyla

-\tan C = -1

yani

\tan C = 1

elde edilir. Bu koşulu sağlayan üçgen iç açısı 45 derecedir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin iç açılar toplamı ilişkisini yazmak.

A + B = 180^\circ - C

Bir üçgenin iç açılarının toplamı

180^\circ

olduğundan

A + B + C = 180^\circ

bağıntısı geçerlidir.

2

İki tarafın tanjantını alıp indirgeme formülü uygulamak.

\tan(A + B) = -\tan C

\tan(180^\circ - x) = -\tan x

trigonometrik indirgeme özdeşliğinden dolayı büt��nler açıların tanjantları zıt işaretlidir.

3

Tanjant toplam formülünü kullanarak

\tan(A + B)

değerini hesaplamak.

\tan(A + B) = -1

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}

formülünde verilen

\tan A = 2

ve

\tan B = 3

değerleri yerine yazılarak hesaplama yapılır.

4

\tan C = 1

eşitliğinden

C

açısını bulmak.

C = 45^\circ

Tanjantı

1

olan ve bir üçgenin iç açısı olabilecek değer

45^\circ

olduğundan

C = 45

bulunur.

Key Concept

Tanjant toplam formülü ve bütünler açıların trigonometrik oranları

Question 836Question →

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi olan

f'

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f'(x) = x^2 - 2(k-1)x + 2k^2 - 8k

eşitliğini sağlamaktadır.

$f$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık $[a, b]$ kapalı aralığıdır.

$b - a = 6$ birim olduğuna göre, $k$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Fonksiyonun azalan olduğu aralığın uzunluğundan yola çıkılarak diskriminant

36

'ya eşitlenmiş ve buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek

k

sayısının alabileceği en büyük değer

4

olarak bulunmuştur.

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerdir. Bu aralığın uzunluğu olan

b-a = 6

birim ifadesi kökler farkı formülü olan

\sqrt{\Delta}

değerine eşittir. Buradan diskriminantın

36

olması gerektiği bulunur.

\Delta = -4k^2 + 24k + 4 = 36

eşitliği çözüldüğünde elde edilen

k^2-6k+8=0

denkleminin kökleri

2

ve

4

olup alabileceği en büyük değer

4

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Türevin işareti ile azalanlık aralığı arasındaki ilişkiyi kurma

f'(x) \leq 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi olan

[a, b]

aralığının sınırları

f'(x) = 0

denkleminin kökleridir.

Türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerde fonksiyon azalandır.

2

Kökler farkı ile diskriminant arasındaki ilişkiyi kullanarak diskriminantın değerini bulma

b - a = \sqrt{\Delta} = 6 \implies \Delta = 36

olur.

İkinci dereceden denklemlerde kökler farkı formülü kullanılır.

3

Diskriminantı

k

parametresi cinsinden hesaplama

\Delta = -4k^2 + 24k + 4

elde edilir.

Diskriminant formülü

\Delta = B^2 - 4AC

şeklindedir.

4

k

değerlerini bulmak için elde edilen ifadeyi

36

'ya eşitleyip çözme

k^2 - 6k + 8 = 0 \implies k = 4

veya

k = 2

bulunur. En büyük değer

4

'tür.

Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak kökler tespit edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınırları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği kökleridir.

Question 837Question →

\tan \left( \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) - \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Verilen ifadenin değeri 1'dir.

Verilen ifadeyi

x

ve

y

açıları cinsinden yazıp tanjant fark formülünü uyguladığımızda

\tan(x - y) = 1

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

x = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)

ve

y = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)

değişkenleri tanımlanır.

\sin x = \frac{2}{\sqrt{5}}

ve

\cos y = \frac{3}{\sqrt{10}}

elde edilir.

Ters trigonometrik fonksiyonları açılara dönüştürerek toplam-fark formülünü uygulayabilmek için bu dönüşüm yapılır.

2

Dik üçgen yardımıyla

\tan x

ve

\tan y

değerleri hesaplanır.

\tan x = 2

ve

\tan y = \frac{1}{3}

bulunur.

Tanjant fark formülünde kullanılacak olan tanjant değerlerini elde etmek için.

3

Tanjant fark formülü olan

\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y}

uygulanır.

\tan(x - y) = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1

bulunur.

İstenen ifadenin nihai değerini hesaplamak için.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyon içeren ifadelerde açılara dönüşüm yapılarak tanjant fark formülünün uygulanması.

Question 838Question →

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x + 3} + a, & x < -3 \\ x^2 - b|x - 1|, & x \ge -3 \end{cases}

biçiminde tanımlı $f$ fonksiyonunun $x = -3$ noktasında limiti olduğuna göre, $a + 4b$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

İstenen

a + 4b

toplamının değeri 15'tir.

Fonksiyonun

x = -3

noktasında limitinin bulunması, bu noktadaki sağdan limitin (

9 - 4b

) soldan limite (

a - 6

) eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlik düzenlendiğinde

a + 4b = 15

bağıntısına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun

x = -3

noktasındaki soldan limitini hesaplamak için

x < -3

kuralını uygulayalım.

\lim_{x \to -3^-} f(x) = a - 6

x < -3

iken

x^2 > 9

olduğundan

|x^2 - 9| = x^2 - 9

olarak dışarı çıkar. Bu durumda

\frac{x^2 - 9}{x + 3} + a = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} + a = x - 3 + a

olur. Limit değeri ise

-3 - 3 + a = a - 6

bulunur.

2

Fonksiyonun

x = -3

noktasındaki sağdan limitini hesaplamak için

x \ge -3

kuralını uygulayalım.

\lim_{x \to -3^+} f(x) = 9 - 4b

x

değeri

-3

'e sağdan yaklaşırken

x - 1

ifadesinin içi negatif olacağından (örneğin

x = -2.9

için

-3.9 < 0

)

|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x

olur. Fonksiyon bu bölgede

x^2 - b(1-x)

biçimini alır ve

x = -3

için limit

9 - 4b

bulunur.

3

Limitin var olması için sağdan ve soldan limitleri birbirine eşitleyelim.

a + 4b = 15

Kritik noktada limitin varlığı

\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x)

eşitliğini gerektirir. Buradan

a - 6 = 9 - 4b \implies a + 4b = 15

elde edilir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limiti incelenirken, sağdan ve soldan limitlerin ayrı ayrı hesaplanarak birbirine eşit olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir.

Question 839Question →

a

ve

b

birer gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 + bx + 5

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık

[-2, 4]

olduğuna göre,

a \cdot b

çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İstenen çarpım değeri 16'dır.

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık

[-2, 4]

olduğundan, birinci türevin kökleri

-2

ve

4

olmalıdır. Buradan türev fonksiyonunun katsayıları

a = -2

ve

b = -8

olarak bulunur ve çarpımları 16 eder.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun türevi alınır.

f'(x) = x^2 + ax + b

Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için türevinin işaretini incelemek gerekir.

2

Azalanlık şartı kullanılarak türevin kökleri belirlenir.

f'(x) = 0

denkleminin kökleri

x_1 = -2

ve

x_2 = 4

olur.

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık

[-2, 4]

ise, türev fonksiyonu bu aralıkta negatif veya sıfır (

f'(x) \leq 0

) değerler almalı ve uç noktalarda sıfıra eşit olmalıdır.

3

Kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler (Vieta formülleri) kullanılarak

a

ve

b

katsayıları bulunur.

a = -2

ve

b = -8

x_1 + x_2 = -a \implies -2 + 4 = -a \implies a = -2

ve

x_1 \cdot x_2 = b \implies (-2) \cdot 4 = b \implies b = -8

elde edilir.

4

a \cdot b

çarpımı hesaplanır.

a \cdot b = (-2) \cdot (-8) = 16

Soruda bizden istenen katsayılar çarpımını bulmak için.

Key Concept

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklarda türevi negatif veya sıfırdır.

Estimated Time:2m 0s

Question 840Question →

Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir

P(x)

polinomu için

P(1) = 0

\lim_{x \to 3} \frac{P(x) - 4}{x^2 - 9} = 2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $P(2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

P(2) değeri -3'tür.

Limit değerinin gerçel bir sayı olması için payın da x=3 noktasında sıfır olması gerekir. Buradan P(3)=4 olduğu bulunur. Limit ifadesi çarpanlara ayrılıp veya L'Hopital uygulanarak P'(3)=12 bulunur. P(1)=0 koşuluyla birlikte bu veriler kullanıldığında P(x) = 5x^2 - 18x + 13 polinomuna ulaşılır. Polinomda x=2 yazıldığında sonuç -3 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Limit ifadesinde paydanın

x \to 3

için sıfır olduğunu belirlemek ve belirsizliğin giderilmesi için payın limitini bulmak.

P(3) - 4 = 0 \implies P(3) = 4

elde edilir.

Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için

0/0

belirsizliği olmalıdır.

2

P(x) = ax^2 + bx + c

polinomunda

P(1) = 0

ve

P(3) = 4

değerlerini kullanarak birinci ve ikinci katsayı ilişkisini yazmak.

a + b + c = 0

ve

9a + 3b + c = 4

denklemlerinden

4a + b = 2

ba��ıntısı bulunur.

Verilen polinom değerlerinin katsayılar cinsinden ifadesini sadeleştirmek.

3

Limit değerini çarpanlara ayırma ya da türev tanımı (L'Hopital) ile analiz etmek.

\lim_{x \to 3} \frac{P(x) - 4}{x^2 - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{P(x) - P(3)}{x - 3} \cdot \frac{1}{x + 3} = \frac{P'(3)}{6} = 2 \implies P'(3) = 12

olur. Buradan

6a + b = 12

elde edilir.

0/0

belirsizliğinin giderilmesiyle oluşan limiti türev yardımıyla ifade etmek.

4

Elde edilen

4a + b = 2

ve

6a + b = 12

denklem sistemini çözerek polinomu belirlemek.

a = 5

,

b = -18

ve

c = 13

bulunarak

P(x) = 5x^2 - 18x + 13

elde edilir.

Polinomun tüm katsayılarını bulmak.

5

Bulunan polinomda

x = 2

yazarak sonucu hesaplamak.

P(2) = 5(2)^2 - 18(2) + 13 = -3

bulunur.

Soruda istenen

P(2)

değerine ulaşmak.

Key Concept

İkinci dereceden polinom fonksiyonlarda limit belirsizliğinin çarpanlara ayırma veya türev yardımıyla çözülmesi.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept