Examkin

Diziler

192 questions

All types192Multiple choice101Numeric82Fill in the blank9
Question 121Question →

Bir (an)(a_n) dizisinde, a1=6a_1 = 6 ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için

an+1−an=12n+1+2n−1a_{n+1} - a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, a41a_{41} değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Dizinin 41. teriminin değeri 10'dur.
Bağıntıda paydanın eşleniğiyle genişletilmesi sonucunda an+1−an=2n+1−2n−12a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2} elde edilir. n=1n=1'den 4040'a kadar taraf tarafa toplama yapıldığında aradaki terimler birbirini yok eder ve geriye a41−a1=9−12=4a_{41} - a_1 = \frac{9-1}{2} = 4 kalır. a1=6a_1 = 6 başlangıç koşulu eklendiğinde a41=10a_{41} = 10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İndirgeme bağıntısının sağ tarafındaki terimi paydadan kurtarmak için eşleniği olan (2n+1−2n−1)(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}) ile çarpalım.
an+1−an=2n+1−2n−12a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}
Eşlenik çarpımı yapıldığında payda (2n+1)−(2n−1)=2(2n+1) - (2n-1) = 2 olur ve sadeleştirme kolaylaşır.
2
nn yerine sırasıyla 11 ve 4040 arasındaki tam sayı değerlerini yazalım.
n=1  ⟹  a2−a1=3−12n=1 \implies a_2 - a_1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}
n=2  ⟹  a3−a2=5−32n=2 \implies a_3 - a_2 = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}
…\dots
n=40  ⟹  a41−a40=81−792n=40 \implies a_{41} - a_{40} = \frac{\sqrt{81} - \sqrt{79}}{2}
Teleskobik toplam yöntemiyle aradaki terimleri birbirini götürecek şekilde düzenlemek hedeflenir.
3
Elde edilen 40 adet eşitliği taraf tarafa toplayalım.
a41−a1=81−12a_{41} - a_1 = \frac{\sqrt{81} - 1}{2}
Sol taraftaki a2,a3,…,a40a_2, a_3, \dots, a_{40} terimleri birbirini sadeleştirir; sağ tarafta ise ardışık köklü ifadelerden sadece ilk terimin negatif kökü ile son terimin pozitif kökü kalır.
4
Kök dışına çıkarma işlemini yapalım ve a1=6a_1 = 6 değerini yerine koyarak a41a_{41} terimini yalnız bırakalım.
a41−6=9−12=4  ⟹  a41=10a_{41} - 6 = \frac{9 - 1}{2} = 4 \implies a_{41} = 10
a1a_1 değeri bilindiğinden denklem çözülerek istenen terim elde edilir.

Key Concept

Teleskobik toplam yöntemi ve köklü ifadelerde eşlenik çarpımı kullanarak indirgemeli dizileri çözme.
Estimated Time:2m 0s
Question 122Question →
Artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkı rr olmak üzere, bu dizinin terimleri arasında
a2⋅a8=a52−36a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 36
ve
a10=r⋅a2a_{10} = r \cdot a_2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Dizinin ilk terimi 14'tür.
Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisinden a2⋅a8=a52−9r2a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 9r^2 elde edilir. Bu ifade ilk denklemde yerine yazıldığında r=2r = 2 bulunur. İkinci denklemde rr yerine 2 yazılıp çözüldüğünde a1=14a_1 = 14 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
a2a_2 ve a8a_8 terimlerini ortadaki terim olan a5a_5 ve ortak fark rr cinsinden ifade edip çarpım eşitliğinden ortak farkı hesaplamak.
r=2r = 2
Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark r>0r > 0 olmalıdır. 9r2=369r^2 = 36 denkleminden r=2r = 2 elde edilir.
2
İkinci denklemde r=2r = 2 yazarak terimleri a1a_1 cinsinden ifade edip denklemi çözmek.
a1=14a_1 = 14
a10=2a2  ⟹  a1+9r=2(a1+r)a_{10} = 2a_2 \implies a_1 + 9r = 2(a_1 + r) denkleminde r=2r = 2 yazıldığında a1=14a_1 = 14 bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre dönüştürülmesi ve genel terim formülünün uygulanması.
Question 123Question →

Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için an>0a_n > 0 olan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a1+a2+a3=7a_1 + a_2 + a_3 = 7
a12+a22+a32=21a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 21

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡4(a11)\log_4(a_{11}) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Doğru cevap 5 değeridir.
Doğru cevap 5 değeridir. Çarpanlara ayırma ve denklem sisteminin çözümünden dizinin ilk terimi 1, ortak çarpanı ise 2 olarak bulunur. Buradan dizinin 11. terimi 2102^{10} olur ve bunun 4 tabanındaki logaritması 5'e eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin terimlerini ilk terim a1=aa_1 = a ve ortak çarpan rr cinsinden ifade etmek.
a(1+r+r2)=7a(1 + r + r^2) = 7 ve a2(1+r2+r4)=21a^2(1 + r^2 + r^4) = 21 denklemleri elde edilir.
Terimleri ortak parametrelere bağlayarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.
2
1+r2+r41 + r^2 + r^4 ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayırmak.
1+r2+r4=(1+r+r2)(1−r+r2)1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2) özdeşliği kullanılarak ikinci denklem a2(1+r+r2)(1−r+r2)=21a^2(1 + r + r^2)(1 - r + r^2) = 21 şeklinde yazılır.
Birinci denklemde verilen toplam ifadesini ikinci denklem içinde bulup yerine yazabilmek.
3
Birinci denklemdeki a(1+r+r2)=7a(1 + r + r^2) = 7 değerini ikinci denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
7⋅a(1−r+r2)=21  ⟹  a(1−r+r2)=37 \cdot a(1 - r + r^2) = 21 \implies a(1 - r + r^2) = 3 denklemi elde edilir.
Denklem sistemini daha sade ve çözülebilir bir doğrusal forma getirmek.
4
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak ve çıkararak aa ve rr değerlerini belirlemek.
Taraf tarafa çıkarma ile 2ar=4  ⟹  ar=22ar = 4 \implies ar = 2 ve toplama ile a(1+r2)=5a(1+r^2) = 5 bulunur. Buradan r=2r=2 ve a1=1a_1=1 elde edilir.
Dizinin temel parametreleri olan ilk terim ve ortak çarpanı bularak diziyi tamamen tanımlamak.
5
Dizinin genel terim formülünü oluşturup a11a_{11} terimini hesaplamak.
an=2n−1a_n = 2^{n-1} genel teriminden a11=210a_{11} = 2^{10} olarak bulunur.
Logaritması alınacak terimin değerini üslü biçimde elde etmek.
6
İstenen log⁡4(a11)\log_4(a_{11}) ifadesini hesaplamak.
log⁡4(210)=log⁡22(210)=5\log_4(2^{10}) = \log_{2^2}(2^{10}) = 5 sonucu bulunur.
Soruda sorulan nihai değeri belirlemek.

Key Concept

Geometrik dizi terimleri arasındaki ilişkiler ve çarpanlara ayırma yöntemlerinin uygulanması
Question 124Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a5−a1=15a_5 - a_1 = 15
a4+a2=10a_4 + a_2 = 10

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin altıncı terimi (a6a_6) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Dizinin altıncı terimi 32'dir.
Verilen denklem sisteminde terimler geometrik dizi tanımına uygun olarak ilk terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında, ortak çarpan r=2r = 2 ve ilk terim a1=1a_1 = 1 olarak elde edilir. Bu bilgilerle dizinin altıncı terimi a6=a1⋅r5=32a_6 = a_1 \cdot r^5 = 32 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin terimlerini ilk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) cinsinden yazalım.
a5=a1⋅r4a_5 = a_1 \cdot r^4, a4=a1⋅r3a_4 = a_1 \cdot r^3, a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r ifadelerini elde ederiz.
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir.
2
Verilen denklemleri ortak çarpan parantezine alarak taraf tarafa oranlayalım.
Taraf tarafa oranlama sonucunda a1(r4−1)a1r(r2+1)=1510  ⟹  (r2−1)(r2+1)r(r2+1)=32\frac{a_1(r^4-1)}{a_1 r(r^2+1)} = \frac{15}{10} \implies \frac{(r^2-1)(r^2+1)}{r(r^2+1)} = \frac{3}{2} elde edilir. Buradan r2−1r=32\frac{r^2-1}{r} = \frac{3}{2} olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek a1a_1 terimini yok etmek ama��lanır.
3
Elde edilen r'ye bağlı denklemi çözelim.
2r2−3r−2=0  ⟹  (2r+1)(r−2)=02r^2 - 3r - 2 = 0 \implies (2r + 1)(r - 2) = 0 olur. Terimler pozitif olduğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır, dolayısıyla r=2r = 2 seçilir.
Geometrik dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılardan oluştuğu belirtilmiştir.
4
İlk terim olan a1a_1 değerini hesaplayalım.
a1⋅2⋅(22+1)=10  ⟹  10a1=10  ⟹  a1=1a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 10 \implies 10 a_1 = 10 \implies a_1 = 1 bulunur.
a4+a2=10a_4 + a_2 = 10 denkleminde r=2r = 2 yazılarak a1a_1 değeri çekilir.
5
Dizinin altıncı terimi olan a6a_6 değerini bulalım.
a6=a1⋅r5=1⋅25=32a_6 = a_1 \cdot r^5 = 1 \cdot 2^5 = 32 elde edilir.
Bulunan ilk terim ve ortak çarpan değerleri genel terim formülünde yerine yerleştirilir.

Key Concept

Geometrik dizinin genel terim özellikleri ve terimler arasındaki cebirsel ilişkiler.
Question 125Question →

Pozitif terimli ve artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için aşağıdaki eşitlikler verilmektedir:

a2+a6=102a_2 + a_6 = 102
a2⋅a6=576a_2 \cdot a_6 = 576

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanını ve ilk terimini bularak aşağıdaki boşlukları doldurunuz.

Fill in the blanks below

Dizinin ortak çarpanı ve ilk terimi olur.
Show answer & explanation

Answer

Dizinin ortak çarpanı 2 ve ilk terimi 3 olarak bulunur.
Verilen toplam ve çarpım değerleri kullanılarak kurulan x2−102x+576=0x^2 - 102x + 576 = 0 denkleminin çözümüyle a2=6a_2 = 6 ve a6=96a_6 = 96 terimleri belirlenir. Bu değerler geometrik dizi formülünde yerine yazıldığında ortak çarpan 2 ve ilk terim 3 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen toplam ve çarpım eşitliklerini kullanarak a2a_2 ve a6a_6 terimlerini bulmak üzere ikinci dereceden bir denklem kuralım.
x2−102x+576=0x^2 - 102x + 576 = 0 denkleminin kökleri a2a_2 ve a6a_6 değerlerini verir.
Toplamları SS ve çarpımları PP olan iki sayı x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 denkleminin kökleridir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım.
(x−96)(x−6)=0  ⟹  x1=96(x - 96)(x - 6) = 0 \implies x_1 = 96 ve x2=6x_2 = 6 elde edilir. Dizi artan olduğundan a2=6a_2 = 6 ve a6=96a_6 = 96 olur.
Artan dizilerde indis büyüdükçe terimlerin değeri de artar, bu nedenle a2<a6a_2 < a_6 olmalıdır.
3
Geometrik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplayalım.
a6=a2⋅r4  ⟹  96=6⋅r4  ⟹  r4=16  ⟹  r=2a_6 = a_2 \cdot r^4 \implies 96 = 6 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 \implies r = 2 bulunur.
Dizinin terimleri pozitif olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır (r>0r > 0).
4
İlk terim olan a1a_1 değerini bulalım.
a2=a1⋅r  ⟹  6=a1⋅2  ⟹  a1=3a_2 = a_1 \cdot r \implies 6 = a_1 \cdot 2 \implies a_1 = 3 elde edilir.
Geometrik dizide her terim, bir önceki terimin ortak çarpanla çarpılmasıyla bulunur.

Key Concept

Bir geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} olup, dizinin herhangi iki terimi arasındaki ilişki an=ak⋅rn−ka_n = a_k \cdot r^{n-k} formülü ile ifade edilir.
Question 126Question →

Azalan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a10+a16=45a_4 + a_{10} + a_{16} = 45
a6⋅a14−a8⋅a12=−108a_6 \cdot a_{14} - a_8 \cdot a_{12} = -108

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

Dizinin ilk terimi 42'dir.
Verilen birinci eşitlikten indislerin aritmetik ortalaması kullanılarak onuncu terim 15 olarak hesaplanır. İkinci eşitlikte terimler onuncu terim cinsinden yazıldığında kareler farkı sadeleşmesiyle ortak farkın karesi 9 elde edilir. Dizinin azalan olması nedeniyle ortak fark -3 seçilir. Genel terim formülüyle birinci terim 42 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci denklemde indis simetrisi özelliğini kullanarak onuncu terimi bulunuz.
a4+a16=2a10a_4 + a_{16} = 2a_{10} olduğundan, 2a10+a10=3a10=45⇒a10=152a_{10} + a_{10} = 3a_{10} = 45 \Rightarrow a_{10} = 15 elde edilir.
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir.
2
İkinci denklemdeki terimleri onuncu terim ve ortak fark olan rr cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.
a6=a10−4ra_6 = a_{10} - 4r, a14=a10+4ra_{14} = a_{10} + 4r, a8=a10−2ra_8 = a_{10} - 2r ve a12=a10+2ra_{12} = a_{10} + 2r olarak yazılır. Buradan,
(a10−4r)(a10+4r)−(a10−2r)(a10+2r)=−108(a_{10} - 4r)(a_{10} + 4r) - (a_{10} - 2r)(a_{10} + 2r) = -108
(a102−16r2)−(a102−4r2)=−108(a_{10}^2 - 16r^2) - (a_{10}^2 - 4r^2) = -108
−12r2=−108⇒r2=9-12r^2 = -108 \Rightarrow r^2 = 9 bulunur.
Terimleri merkezi bir terime göre simetrik yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
3
Dizinin azalan olma koşulunu dikkate alarak ortak fark değerini belirleyiniz.
Dizi azalan olduğundan ortak fark negatif olmalıdır. Dolayısıyla r=−3r = -3 olur.
Azalan aritmetik dizilerde ortak fark sıfırdan küçüktür.
4
Bulunan onuncu terim ve ortak fark değerlerini genel terim formülünde yerine yazarak birinci terimi hesaplayınız.
a10=a1+9r⇒15=a1+9(−3)⇒15=a1−27⇒a1=42a_{10} = a_1 + 9r \Rightarrow 15 = a_1 + 9(-3) \Rightarrow 15 = a_1 - 27 \Rightarrow a_1 = 42 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terimi an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r bağıntısıyla bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı
Question 127Question →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a5−a1=30a_5 - a_1 = 30
a4+a2=20a_4 + a_2 = 20
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

Dizinin 6. terimi 64 olarak bulunur.
Verilen geometrik dizi denklemleri ortak paranteze alınıp birbirine oranlandığında ortak çarpan r=2r = 2 ve ilk terim a1=2a_1 = 2 olarak elde edilir. Bu değerlerle dizinin 6. terimi a6=a1r5=2⋅32=64a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 32 = 64 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin terimlerini ilk terim a1a_1 ve ortak çarpan rr cinsinden yazma
a5=a1r4a_5 = a_1 r^4, a4=a1r3a_4 = a_1 r^3 ve a2=a1ra_2 = a_1 r
Tüm terimleri aynı değişkenler türünden ifade ederek ortak çarpanı ve ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Terimleri denklemlerde yerine koyup ortak paranteze alarak oranlama
a1(r4−1)=30a_1(r^4 - 1) = 30 ve a1r(r2+1)=20a_1 r(r^2 + 1) = 20 ifadeleri oranlandığında r2−1r=32\frac{r^2 - 1}{r} = \frac{3}{2} elde edilir. Buradan 2r2−3r−2=02r^2 - 3r - 2 = 0 denkleminin pozitif kökü r=2r = 2 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek tek değişkenli bir denkleme indirgemek ve pozitif terimli dizi koşuluna uygun olan pozitif rr değerini belirlemek için bu işlem gerçekleştirilir.
3
Ortak çarpan r=2r = 2 değerini kullanarak ilk terim a1a_1'i bulma
a1⋅2⋅(22+1)=20  ⟹  10a1=20  ⟹  a1=2a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 20 \implies 10a_1 = 20 \implies a_1 = 2
Elde edilen ortak çarpan değerini ikinci denklemde yerine yazarak dizinin başlangıç terimini hesaplarız.
4
Geometrik dizinin genel terim formülü yardımıyla 6. terimi hesaplama
a6=a1r5=2⋅25=64a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 2^5 = 64
Genel terim formülü olan an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} bağıntısında n=6n = 6 yazılarak istenen terimin değerine ulaşılır.

Key Concept

Geometrik dizinin genel terim formülü ve terimler arası cebirsel ilişkiler
Question 128Question →
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için
an=cos⁡(nπ)⋅(2x−y)+x+3ya_n = \cos(n\pi) \cdot (2x - y) + x + 3y
bn=sin⁡((2n+1)π2)⋅(x+2)+6b_n = \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) \cdot (x + 2) + 6
genel terimleriyle verilmektedir.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit iki dizi olduğuna göre, x+yx + y toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Dizilerin eşitlik koşulu ve trigonometrik sadeleştirmeler kullanılarak elde edilen x = 3 ve y = 1 değerlerinin toplamı olan 4 sayısı doğru cevaptır.
Doğru cevabın 4 olmasının nedeni, her iki dizinin genel terimlerindeki (−1)n(-1)^n katsayılarının eşitliğinden x−y=2x - y = 2 ve sabit terimlerin eşitliğinden x+3y=6x + 3y = 6 denklemlerinin elde edilmesidir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde x=3x = 3 ve y=1y = 1 bulunur, toplamları ise 4 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik ifadeleri sadeleştirin.
cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n ve sin⁡((2n+1)π2)=cos⁡(nπ)=(−1)n\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = \cos(n\pi) = (-1)^n eşitlikleri elde edilir.
Her iki dizideki nn'e bağlı periyodik ifadeleri ortak bir tabanda yazmak için.
2
Dizilerin genel terimlerini (−1)n(-1)^n türünden yeniden yazın.
an=(−1)n(2x−y)+(x+3y)a_n = (-1)^n(2x - y) + (x + 3y) ve bn=(−1)n(x+2)+6b_n = (-1)^n(x + 2) + 6 olur.
Dizilerin terimlerini karşılaştırılabilir hale getirmek için.
3
Eşit dizilerin tanımını kullanarak katsayıları eşitleyin.
2x−y=x+2  ⟹  x−y=22x - y = x + 2 \implies x - y = 2 ve x+3y=6x + 3y = 6 denklem sistemi elde edilir.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için an=bna_n = b_n eşitliğinin sağlanması, (−1)n(-1)^n teriminin katsayılarının ve sabit terimlerin karşılıklı eşit olmasını gerektirir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen toplamı bulun.
y=1y = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Buradan x+y=3+1=4x + y = 3 + 1 = 4 elde edilir.
Bilinmeyen xx ve yy parametrelerinin değerlerine ulaşmak için.

Key Concept

İki dizinin eşit olması için her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Estimated Time:2m 0s
Question 129Question →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri
an=log⁡2(2n2+xn+y)−log⁡2(n2+3n+2)a_n = \log_2(2n^2 + xn + y) - \log_2(n^2 + 3n + 2)
bn=zb_n = z
olarak tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.
Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşit dizilerin tanımını kullanarak a_n ve b_n dizileri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Her n pozitif tam sayısı için a_n = b_n = z olmalıdır. Bu durum a_n dizisinin de sabit bir dizi olduğunu gösterir.
Eşit dizilerin tüm karşılıklı terimleri birbirine eşittir ve b_n dizisi sabit bir z değerine sahiptir.
2
Logaritmanın çıkarma özelliğini uygulayarak a_n ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
a_n = log_2((2n^2 + xn + y) / (n^2 + 3n + 2)) elde edilir.
Logaritma tabanları aynı olduğundan log_a(M) - log_a(N) = log_a(M/N) kuralı uygulanabilir.
3
Logaritmanın içerisindeki rasyonel ifadenin sabit olması koşulunu uygulamak ve katsayıları oranlamak.
2/1 = x/3 = y/2 oranından x = 6 ve y = 4 değerleri elde edilir. Rasyonel ifadenin sabit değeri C = 2 olur.
Dereceleri aynı olan iki polinomun bölümünün sabit bir fonksiyon belirtmesi için katsayılarının orantılı olması gerekir.
4
Bulunan sabit değeri logaritma içine yerleştirerek dizinin sabit terimini (z) bulmak.
z = log_2(2) = 1 elde edilir.
a_n dizisinin sabit değeri b_n dizisinin sabit terimi olan z'ye eşittir.
5
Bilinmeyen değerleri toplayarak nihai sonucu elde etmek.
x + y + z = 6 + 4 + 1 = 11 bulunur.
Soruda bizden x, y ve z değerlerinin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Sabit ve Eşit Dizilerde katsayılar oranı ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Estimated Time:2m 0s
Question 130Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8−S6=4⋅(S4−S2)S_8 - S_6 = 4 \cdot (S_4 - S_2)

ve bu dizinin ilk iki teriminin toplamı 33 olduğuna göre, ilk 66 teriminin toplamı olan S6S_6 değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2121

Answer

İlk 6 terim toplamı olan 21
Dizinin terimlerinin toplamı formülü kullanılarak S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 eşitlikleri yazılır. Buradan ortak çarpan r=2r = \sqrt{2} olarak bulunur. a1+a2=a1(1+r)=3a_1 + a_2 = a_1(1+r) = 3 eşitliğinden a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) elde edilir. Son olarak S6=a1r6−1r−1S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} formülünde değerler yerine yazıldığında toplam 21 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
S8−S6S_8 - S_6 ve S4−S2S_4 - S_2 farklarını dizinin terimleri cinsinden yazınız.
S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 ifadeleri elde edilir.
İlk nn terim toplamının tanımı gereği, ardışık toplamlar arasındaki fark o aralıktaki terimlerin toplamını verir.
2
Elde edilen terimleri ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulunuz.
a1r6(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^6(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) eşitliğinden r4=4r^4 = 4 ve pozitif terimli olduğu için r=2r = \sqrt{2} elde edilir.
Dizinin tüm terimleri pozitif olduğundan a1(1+r)≠0a_1(1+r) \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir.
3
a1+a2=3a_1 + a_2 = 3 bilgisini kullanarak a1a_1 değerini bulunuz.
a1(1+2)=3  ⟹  a1=3(2−1)a_1(1+\sqrt{2}) = 3 \implies a_1 = 3(\sqrt{2}-1) bulunur.
İlk terimi bulmak, ilk 6 terim toplamını hesaplamak için gereklidir.
4
Geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamını (S6S_6) hesaplayınız.
S6=a1r6−1r−1=3(2−1)(2)6−12−1=3⋅(8−1)=21S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} = 3(\sqrt{2}-1) \frac{(\sqrt{2})^6 - 1}{\sqrt{2}-1} = 3 \cdot (8 - 1) = 21 bulunur.
r=2r = \sqrt{2} ve a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) değerleri geometrik dizi ilk nn terim toplam formülünde yerine koyulur.

Key Concept

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı (SnS_n) formülü ve terimler arası geçişlerin uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 131Question →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6=21⋅S2S_6 = 21 \cdot S_2

ve bu dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 olduğuna göre, dizinin ilk 55 teriminin toplamı (S5S_5) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 155

Answer

Dizinin ilk 5 teriminin toplamı 155'tir.
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S6/S2S_6 / S_2 oranı sadeleştirilmiş, elde edilen r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0 denkleminden dizinin pozitif terimli olması şartıyla ortak çarpan r=2r = 2 olarak bulunmuştur. Daha sonra a1=5a_1 = 5 ve r=2r = 2 değerleri S5S_5 formülünde yerine yazılarak doğru sonuç olan 155 elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
S6S_6 ve S2S_2 toplamlarını geometrik dizi toplam formülüyle oranlama
S6S2=r4+r2+1\frac{S_6}{S_2} = r^4 + r^2 + 1
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1} formülünü uygulayarak ortak terimleri sadeleştirmek.
2
Verilen oranı kullanarak r2r^2 cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde etme
r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0
S6S2=21\frac{S_6}{S_2} = 21 eşitliğini denklemde yerine koymak.
3
Denklemi çözerek ortak çarpan rr'yi bulma
r=2r = 2
(r2−4)(r2+5)=0(r^2-4)(r^2+5)=0 çarpanlara ayırmasından r2=4r^2=4 ve pozitif terimli dizi şartından r=2r=2 elde edilir.
4
İlk terim a1=5a_1=5 ve r=2r=2 değerleriyle S5S_5 toplamını hesaplama
S5=155S_5 = 155
S5=a1⋅r5−1r−1S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5-1}{r-1} formülünü uygulamak.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve sadeleştirme yöntemleri
Question 132Question →
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere, (an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=x⋅n−122n−ya_n = \frac{x \cdot n - 12}{2n - y}
biçiminde tanımlanıyor.

(an)(a_n) dizisi bir sabit dizi olduğuna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -24

Answer

Farklı değerlerin toplamı -24'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, dizinin sabit dizi olma şartı olan katsayılar oranının eşitliği (x⋅y=24x \cdot y = 24) ile dizinin tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olması şartının (paydayı sıfır yapan n=y/2n = y/2 değerinin pozitif tam sayı olmaması, yani yy'nin pozitif çift tam sayı olmaması) birlikte uygulanmasıyla elde edilen farklı x+yx+y değerlerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Sabit dizi koşulunu uygulamak için pay ve paydadaki dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranlanır.
x2=−12−y⇒x⋅y=24\frac{x}{2} = \frac{-12}{-y} \Rightarrow x \cdot y = 24 elde edilir.
Dizinin genel teriminin sadeleşerek nn'den bağımsız bir sabit değer alabilmesi için.
2
Dizinin tüm pozitif tam sayılarda (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) tanımlı olabilmesi için paydayı sıfır yapan nn değerinin pozitif bir tam sayı olmaması gerektiği belirlenir.
2n−y=0⇒n=y22n - y = 0 \Rightarrow n = \frac{y}{2} olur. Buradan yy sayısının pozitif bir çift tam sayı olamayacağ�� sonucuna varılır.
Tanım kümesinde tanımsız eleman kalmaması ve ifadenin bir dizi belirtebilmesi için.
3
x.y = 24 denklemini sağlayan tam sayı bölen çiftlerinden yy'nin pozitif çift tam sayı olmadığı durumlar listelenir ve her durum için x+yx+y değerleri hesaplanır.
yy değerleri: 1,3,−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−241, 3, -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24 olabilir. Bu değerlere karşılık gelen x+yx+y toplamları sırasıyla: 25,11,−25,−14,−11,−10,−10,−11,−14,−2525, 11, -25, -14, -11, -10, -10, -11, -14, -25 olarak bulunur.
Koşulları sağlayan tüm olası tam sayı çiftlerini tek tek değerlendirmek için.
4
Elde edilen farklı x+yx+y değerleri kümesi yazılır ve elemanları toplanır.
Farklı x+yx+y değerleri kümesi {25,11,−25,−14,−11,−10}\{25, 11, -25, -14, -11, -10\} olup, bu elemanların toplamı 25+11+(−25)+(−14)+(−11)+(−10)=−2425 + 11 + (-25) + (-14) + (-11) + (-10) = -24 elde edilir.
Soru kökünde istenen farklı toplam değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve tanım kümesi koşulu.
Estimated Time:2m 0s
Question 133Question →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için
a4⋅a9a7=12\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = 12
a4+a6=15a_4 + a_6 = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin beşinci terimi (a5a_5) kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Dizinin beşinci terimi 6'dır.
Birinci eşitlik sadeleştirildiğinde dizinin altıncı terimi olan 12 elde edilir. Bu değer ikinci eşitlikte yerine yazıldığında dördüncü terim 3 olarak bulunur. Geometrik dizinin özelliği gereği, beşinci terimin karesi dördüncü terim ile altıncı terimin çarpımına eşittir. Buradan beşinci terim 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak ilk eşitlikteki terimler düzenlenir.
a4⋅a9a7=(a1r3)⋅(a1r8)a1r6=a1r5=a6=12\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = \frac{(a_1 r^3) \cdot (a_1 r^8)}{a_1 r^6} = a_1 r^5 = a_6 = 12 elde edilir.
Birinci eşitliği daha sade bir terim cinsinden ifade etmek amacıyla sadeleştirme yapılmıştır.
2
Bulunan a6=12a_6 = 12 değeri, ikinci eşitlik olan a4+a6=15a_4 + a_6 = 15 ifadesinde yerine yazılır.
a4+12=15⇒a4=3a_4 + 12 = 15 \Rightarrow a_4 = 3 bulunur.
Dizinin dördüncü terimini (a4a_4) elde etmek için.
3
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki geometrik ortalama özelliği (a52=a4⋅a6a_5^2 = a_4 \cdot a_6) kullanılır.
a52=3⋅12=36⇒a5=6a_5^2 = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow a_5 = 6 (dizi pozitif terimli olduğundan a5>0a_5 > 0 olmalıdır) bulunur.
Beşinci terimi (a5a_5) hesaplamak için.

Key Concept

Geometrik dizilerde herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} veya ardışık terimler için an2=an−1⋅an+1a_{n}^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}).
Question 134Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S5−S3=12⋅a2S_5 - S_3 = 12 \cdot a_2
S4=45S_4 = 45

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

İlk terim 33 olarak bulunur.
İlk 5 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye a4+a5a_4 + a_5 kalır. Bu terimler ve a2a_2 ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazıldığında r3+r2−12=0r^3 + r^2 - 12 = 0 denklemi elde edilir. Pozitif terimli dizi koşulundan r=2r = 2 bulunur. S4=a124−12−1=15a1=45S_4 = a_1 \frac{2^4-1}{2-1} = 15 a_1 = 45 eşitliğinden dizinin ilk terimi 33 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
S5−S3S_5 - S_3 farkını dizinin terimleri cinsinden ifade etmek.
S5−S3=a4+a5S_5 - S_3 = a_4 + a_5 elde edilir.
SnS_n ilk nn terimin toplamı olduğundan, ilk 5 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4. ve 5. terimler kalır.
2
a4a_4, a5a_5 ve a2a_2 terimlerini ilk terim a1a_1 ve ortak çarpan rr cinsinden yazıp denklemde yerine koymak.
a1⋅r3+a1⋅r4=12⋅a1⋅r⇒a1⋅r3(1+r)=12⋅a1⋅ra_1 \cdot r^3 + a_1 \cdot r^4 = 12 \cdot a_1 \cdot r \Rightarrow a_1 \cdot r^3 (1 + r) = 12 \cdot a_1 \cdot r elde edilir.
Geometrik dizide her terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklinde ifade edilir.
3
Elde edilen denklemden ortak çarpanı (rr) çözmek.
r2(1+r)=12⇒r=2r^2 (1 + r) = 12 \Rightarrow r = 2 bulunur.
Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılar olduğundan a1>0a_1 > 0 ve r>0r > 0 olmalıdır. r3+r2−12=0r^3 + r^2 - 12 = 0 denkleminin tek pozitif gerçel kökü r=2r = 2 sayısıdır.
4
S4=45S_4 = 45 bilgisini ve r=2r = 2 değerini kullanarak geometrik dizinin ilk terimini (a1a_1) bulmak.
S4=a1⋅r4−1r−1⇒45=a1⋅24−12−1⇒45=15⋅a1⇒a1=3S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \Rightarrow 45 = a_1 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \Rightarrow 45 = 15 \cdot a_1 \Rightarrow a_1 = 3 elde edilir.
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve ardışık terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.
Question 135Question →

kk ve pp birer tam sayı olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi

an=k⋅n+242n−pa_n = \frac{k \cdot n + 24}{2n - p}

olan (an)(a_n) ifadesi bir sabit dizi belirtmektedir.

Buna göre, pp sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12
Dizinin genel teriminin sabit olması için pay ve paydanın sadeleşerek sabit bir sayı vermesi gerekir, bu da k⋅p=−48k \cdot p = -48 eşitliğini gerektirir. Dizi tanımı gereği her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için tanımlı olmalıdır. Paydayı sıfır yapan p=2np = 2n değerleri pozitif çift tam sayılar olduğundan, 48'in pozitif çift bölenleri olan 8 değer elenir. Kalan 12 adet bölen tanımlılık şartına uyar.

Step-by-Step Solution

1
Rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için pay ve paydadaki değişkenlerin katsayıları oranını sabit terimlerin oranına eşitleriz.
k2=24−p  ⟹  k⋅p=−48\frac{k}{2} = \frac{24}{-p} \implies k \cdot p = -48 eşitliği elde edilir.
Bir dizinin terimlerinin indis nn'ye bağlı olmaksızın sabit kalması için pay ile paydanın sadeleşebilir ve sabit bir orana eşit olması gerekir.
2
kk ve pp tam sayı olduğundan, pp parametresinin alabileceği değerler 48 sayısının tam sayı bölenleri olmalıdır. 48'in tüm tam sayı bölenleri bulunur.
48'in pozitif bölenleri: {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} (10 adet).
48'in negatif bölenleri: {−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−16,−24,−48}\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\} (10 adet).
Toplamda 20 farklı tam sayı böleni vardır.
Çarpımları −48-48 olan iki tam sayının çarpanları, 48 sayısının bölenleri arasından seçilmelidir.
3
Dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar (Z+\mathbb{Z}^+) olduğundan, genel terimin paydası hiçbir n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için sıfır olmamalıdır. Bu tanımlılık koşuluna göre pp'nin sınırları belirlenir.
2n−p≠0  ⟹  p≠2n2n - p \neq 0 \implies p \neq 2n (burada n∈{1,2,3,… }n \in \{1, 2, 3, \dots\}).
Bu koşul, pp parametresinin pozitif çift tam sayılar olamayacağını gösterir.
Eğer pp bir pozitif çift tam sayı olursa (örneğin p=2mp=2m), n=mn=m pozitif tam sayısı için payda sıfır olur ve dizinin mm. terimi tanımsız hale gelir.
4
Bulunan 20 tam sayı böleninden pozitif çift olanlar elenerek kalanların sayısı hesaplanır.
Elenen değerler: {2,4,6,8,12,16,24,48}\{2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} (8 adet).
Kalan değerler: {1,3}\{1, 3\} ve tüm negatif bölenler olan {−1,−2,−3,−4,−6,−8,−12,−16,−24,−48}\{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\}.
Toplam uygun değer sayısı: 2+10=122 + 10 = 12 adettir.
Tanımlılık koşulunu sağlayan ve çarpımları −48-48 olan tüm olası pp tam sayı değerleri bunlardır.

Key Concept

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin katsayılar oranı ve dizilerin pozitif tam sayılarda tanımlı olma zorunluluğu (tanımsızlık durumları).
Question 136Question →

Ortak çarpanı 11’den farklı olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Her n≥1n \ge 1 için
Sn+2−4Sn+1+3Sn=0S_{n+2} - 4S_{n+1} + 3S_n = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin üçüncü terimi a3=36a_3 = 36 olduğuna göre, dizinin ilk 44 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 160

Answer

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri 160'tır.
Verilen yinelemeli bağıntıda geometrik dizinin ilk nn terim toplam formülü yerine yazıldığında, ortak çarpan rr değerini belirleyen r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. r≠1r \neq 1 olduğu için r=3r = 3 bulunur. Ardından a3=36a_3 = 36 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır. Son adımda S4S_4 formülüyle dizinin ilk 44 teriminin toplamı 160 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplam formülünü tanımlama
Sn=C(rn−1)S_n = C(r^n - 1) (burada C=a1r−1C = \frac{a_1}{r-1})
Verilen denklemde terim toplamlarını ortak çarpan cinsinden ifade etmek için
2
Formülü verilen yinelemeli bağıntıda yerine yazarak sadeleştirme yapma
C⋅rn(r2−4r+3)=0C \cdot r^n (r^2 - 4r + 3) = 0
Ortak çarpan rr değerini belirleyecek olan denklemi elde etmek için
3
Elde edilen denklemi çözerek ortak çarpanı bulma
r=3r = 3
r≠1r \neq 1 ve r≠0r \neq 0 koşullarını değerlendirerek doğru ortak çarpanı seçmek için
4
Verilen a3a_3 terimini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulma
a1=4a_1 = 4
Dizinin terimlerinin değerini belirlemek için
5
İlk 4 terim toplamı S4S_4'ü hesaplama
160
İstenen toplam değerine ulaşmak için

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} bağıntısı ve bu bağıntının cebirsel uygulamaları.
Estimated Time:2m 0s
Question 137Question →
(an)(a_n) terimleri gerçel sayı olan sabit bir dizi olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=m⋅n2−(k−3)n+15n2−8n+pa_n = \frac{m \cdot n^2 - (k-3)n + 15}{n^2 - 8n + p}
biçiminde tanımlanıyor.

m,km, k ve pp birer tam sayı olduğuna göre, mm'nin alabileceği en büyük değer için k+pk + p toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 124

Answer

m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olup, bu değer için k = 123 ve p = 1'dir. Buradan k + p toplamı 124 olarak bulunur.
Sabit dizi koşulu gereğince değişkenlerin katsayıları oranlanarak m, k, p arasındaki ilişkiler bulunur. Ayrıca dizinin her n pozitif tam sayısı için tanımlı olabilmesi amacıyla paydanın köklerinin pozitif tam sayı olmaması gerektiği tespit edilir. Bu koşulları sağlayan en büyük m tam sayısı 15 olarak belirlenir ve bu değer için k = 123, p = 1 bulunarak toplam 124 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki terimlerin katsayılarını oranlama.
m1=−(k−3)−8=15p=C\frac{m}{1} = \frac{-(k-3)}{-8} = \frac{15}{p} = C eşitliği elde edilir. Buradan m=Cm = C, k=8m+3k = 8m + 3 ve p=15mp = \frac{15}{m} bağıntıları bulunur.
Bir rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranının sabit bir gerçel sayıya eşit olması gerekir.
2
Tam sayı koşullarını inceleyerek m'nin alabileceği olası değerleri listeleme.
mm ve pp tam sayı olduğundan mm, 1515'in bir tam sayı böleni olmalıdır. O halde m∈{−15,−5,−3,−1,1,3,5,15}m \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\} olabilir.
p=15mp = \frac{15}{m} ifadesinde pp ve mm tam sayı olduğundan, mm değeri 1515'i tam bölmelidir.
3
Tanım kümesi koşulunu inceleyerek paydayı sıfır yapan pozitif tam sayıları belirleme.
Payda D(n)=n2−8n+pD(n) = n^2 - 8n + p ifadesidir. D(n)=0D(n) = 0 denkleminin kökleri pozitif tam sayılar ise, kökler toplamı n1+n2=8n_1 + n_2 = 8 ve kökler çarpımı n1n2=pn_1 n_2 = p olur. Bu koşulu sağlayan pozitif tam sayı kök çiftleri ve bunlara karşılık gelen pp değerleri şunlardır:
- n∈{1,7}  ⟹  p=7n \in \{1, 7\} \implies p = 7
- n∈{2,6}  ⟹  p=12n \in \{2, 6\} \implies p = 12
- n∈{3,5}  ⟹  p=15n \in \{3, 5\} \implies p = 15
- n∈{4,4}  ⟹  p=16n \in \{4, 4\} \implies p = 16
Dolayısıyla p∈{7,12,15,16}p \in \{7, 12, 15, 16\} durumlarında dizi bazı n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımsız olur.
Dizinin terimlerinin birer gerçel sayı belirtebilmesi için paydanın hiçbir pozitif tam sayı nn değeri için sıfır olmaması gerekir.
4
Bulunan olası mm değerlerini kontrol etme ve en büyük geçerli mm'yi belirleme.
mm değerlerinin en büyüğü olan m=15m = 15 için p=1p = 1 olur. 1∉{7,12,15,16}1 \notin \{7, 12, 15, 16\} olduğundan m=15m = 15 geçerlidir. (Eğer en büyük bölen olarak m=1m = 1 seçilseydi p=15p = 15 olurdu ve bu durum diziyi n=3n=3 ile n=5n=5 değerlerinde tanımsız yapardı).
mm'nin alabileceği en büyük değeri bulmak için bölenler büyükten küçüğe doğru test edilir.
5
Seçilen m=15m = 15 değeri için kk ve pp değerlerini bulup toplamı hesaplama.
m=15m = 15 için:
p=1515=1p = \frac{15}{15} = 1
k=8(15)+3=123k = 8(15) + 3 = 123
Buradan k+p=123+1=124k + p = 123 + 1 = 124 elde edilir.
Soruda istenen k+pk + p toplamını hesaplamak.

Key Concept

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve rasyonel dizilerde paydanın pozitif tam sayılar kümesinde sıfırdan farklı olması (tanımlılık) koşulu.
Question 138Question →
Ortak ��arpanı 11'den büyük ve tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a4⋅a10=36a_4 \cdot a_{10} = 36
a5+a9=15a_5 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin 1313. terimi olan a13a_{13} kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Dizinin 13. terimi olan a13a_{13} değeri 48'dir.
Verilen a4⋅a10=36a_4 \cdot a_{10} = 36 eşitliğinden a72=36  ⟹  a7=6a_7^2 = 36 \implies a_7 = 6 bulunur. Buradan a5⋅a9=a72=36a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36 ve a5+a9=15a_5 + a_9 = 15 denklemleri çözüldüğünde, ortak çarpanı 1'den büyük olan bu artan dizi için a5=3a_5 = 3 ve a9=12a_9 = 12 olarak bulunur. a9=a5⋅r4  ⟹  r4=4a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies r^4 = 4 olur. Dizinin 13. terimi a13=a9⋅r4=12⋅4=48a_{13} = a_9 \cdot r^4 = 12 \cdot 4 = 48 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisini kullanarak a7a_7 terimini bulun.
a7=6a_7 = 6
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir: a4⋅a10=a72=36a_4 \cdot a_{10} = a_7^2 = 36. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=6a_7 = 6 olur.
2
a5⋅a9a_5 \cdot a_9 çarpımını a7a_7 cinsinden yazın.
a5⋅a9=36a_5 \cdot a_9 = 36
5+9=7+75 + 9 = 7 + 7 olduğundan geometrik dizinin özelliğinden a5⋅a9=a72=36a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36 elde edilir.
3
Verilen toplam ve çarpım bilgilerini kullanarak a5a_5 ve a9a_9 terimlerini belirleyin.
a5=3a_5 = 3 ve a9=12a_9 = 12
Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar 3 ve 12'dir. Ortak çarpan 11'den büyük olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim olan a5=3a_5 = 3 ve büyük indisli terim olan a9=12a_9 = 12 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanının dördüncü kuvvetini (r4r^4) bulun.
r4=4r^4 = 4
a9=a5⋅r4  ⟹  12=3⋅r4  ⟹  r4=4a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies 12 = 3 \cdot r^4 \implies r^4 = 4 olarak bulunur.
5
a13a_{13} terimini ortak çarpan yardımıyla hesaplayın.
a13=48a_{13} = 48
a13=a9⋅r4a_{13} = a_9 \cdot r^4 bağıntısından a13=12⋅4=48a_{13} = 12 \cdot 4 = 48 elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası ilişkiler
Question 139Question →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayı olmak üzere,
S8S4=9781\frac{S_8}{S_4} = \frac{97}{81}
ve
S4=65S_4 = 65
olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Dizinin üçüncü terimi 12 olarak bulunur.
Dizinin terimlerinin pozitif olmasından yola çıkılarak ilk nn terim toplamı oranından ortak çarpan r=23r = \frac{2}{3} olarak bulunur. Ardından S4=65S_4 = 65 eşitliği kullanılarak dizinin ilk terimi a1=27a_1 = 27 olarak elde edilir. Bu iki değer geometrik dizi terim formülünde yerine yazıldığında üçüncü terim 12 değerini alır.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r} bağıntısını kullanarak S8S_8 ve S4S_4 oranını ortak çarpan rr cinsinden ifade ediniz.
S8S4=a1⋅1−r81−ra1⋅1−r41−r=1−r81−r4=1+r4\frac{S_8}{S_4} = \frac{a_1 \cdot \frac{1-r^8}{1-r}}{a_1 \cdot \frac{1-r^4}{1-r}} = \frac{1-r^8}{1-r^4} = 1 + r^4 elde edilir.
Bu oranlama işlemi sayesinde dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak çarpan paydası (1−r1-r) sadeleşerek doğrudan ortak çarpanı veren bağıntıya ulaşmamızı sağlar.
2
Elde edilen 1+r41 + r^4 ifadesini soruda verilen orana eşitleyerek ortak çarpan rr değerini bulunuz.
1+r4=9781  ⟹  r4=16811 + r^4 = \frac{97}{81} \implies r^4 = \frac{16}{81} olur. Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır. Buradan r=16814=23r = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3} elde edilir.
Dizinin genel terimini ve diğer terimlerini bulabilmek için ortak çarpanın belirlenmesi şarttır.
3
Bulunan r=23r = \frac{2}{3} değerini S4S_4 toplam formülünde yerine yazarak dizinin ilk terimini (a1a_1) hesaplayınız.
S4=a1⋅1−(2/3)41−2/3=a1⋅1−168113=a1⋅6581⋅3=a1⋅6527S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - (2/3)^4}{1 - 2/3} = a_1 \cdot \frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}} = a_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = a_1 \cdot \frac{65}{27} elde edilir. S4=65S_4 = 65 olduğu bilindiğine göre, a1⋅6527=65  ⟹  a1=27a_1 \cdot \frac{65}{27} = 65 \implies a_1 = 27 bulunur.
Dizinin herhangi bir spesifik terimine ulaşabilmek için dizinin başlangıç terimi (a1a_1) hesaplanmalıdır.
4
İlk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) değerlerini geometrik dizinin genel terim formülünde yerine koyarak üçüncü terimi (a3a_3) hesaplayınız.
a3=a1⋅r2=27⋅(23)2=27⋅49=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 27 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12 elde edilir.
Soruda istenen üçüncü terim değerini bulmak için.

Key Concept

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Estimated Time:2m 0s
Question 140Question →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için terimleri tanımlı olan (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizilerinin genel terimleri
an=n2+an−12n−ba_n = \frac{n^2 + an - 12}{n - b}
bn=n+cb_n = n + c
olarak verilmiştir.

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere, (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri eşit diziler (an=bna_n = b_n) olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -56

Answer

-56 olan seçenek doğrudur.
Dizilerin eşitliği kuralına göre paydanın sıfır olamayacağı ve n≥1n \ge 1 pozitif tam sayı değerleri için tanımlı kalması gerektiği şartı altında bc=12bc = 12 eşitliğini sağlayan bb negatif tam sayılarının tüm durumları incelenmiş ve toplam −56-56 olarak doğru bulunmuştur.

Step-by-Step Solution

1
Dizilerin eşitliği tanımını kullanarak genel terimleri eşitleyin.
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2+an−12n−b=n+c\frac{n^2 + an - 12}{n - b} = n + c eşitliği sağlanmalıdır.
Eşit dizilerin her bir terimi birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitlikte içler dışlar çarpımı yaparak polinom eşitliği elde edin.
n2+an−12=(n−b)(n+c)=n2+(c−b)n−bcn^2 + an - 12 = (n - b)(n + c) = n^2 + (c - b)n - bc elde edilir. Katsayıların eşitliğinden a=c−ba = c - b ve bc=12bc = 12 bulunur.
İki polinomun eşit olabilmesi için aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
3
Dizinin tanım kümesi şartını uygulayın.
ana_n dizisinin her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olmas�� gerektiğinden payda sıfır olamaz. Yani n−b≠0  ⟹  b∉Z+n - b \neq 0 \implies b \notin \mathbb{Z}^+ olmalıdır. bb tam sayı olduğundan bb negatif tam sayı olmalıdır (b<0b < 0).
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır ve bu kümede genel terim tanımsız olamaz.
4
bc=12bc = 12 eşitliğini sağlayan negatif tam sayı çiftlerini bulun ve a+b+ca + b + c değerlerini hesaplayın.
Negatif çarpan çiftleri şunlardır:
- b=−1,c=−12  ⟹  a=−12−(−1)=−11  ⟹  a+b+c=−24b = -1, c = -12 \implies a = -12 - (-1) = -11 \implies a+b+c = -24
- b=−2,c=−6  ⟹  a=−6−(−2)=−4  ⟹  a+b+c=−12b = -2, c = -6 \implies a = -6 - (-2) = -4 \implies a+b+c = -12
- b=−3,c=−4  ⟹  a=−4−(−3)=−1  ⟹  a+b+c=−8b = -3, c = -4 \implies a = -4 - (-3) = -1 \implies a+b+c = -8
- b=−4,c=−3  ⟹  a=−3−(−4)=1  ⟹  a+b+c=−6b = -4, c = -3 \implies a = -3 - (-4) = 1 \implies a+b+c = -6
- b=−6,c=−2  ⟹  a=−2−(−6)=4  ⟹  a+b+c=−4b = -6, c = -2 \implies a = -2 - (-6) = 4 \implies a+b+c = -4
- b=−12,c=−1  ⟹  a=−1−(−12)=11  ⟹  a+b+c=−2b = -12, c = -1 \implies a = -1 - (-12) = 11 \implies a+b+c = -2
bb negatif tam sayısı için bc=12bc=12 eşitliğini sağlayan tüm durumları belirlemek gerekir.
5
Elde edilen farklı a+b+ca + b + c değerlerini toplayın.
(−24)+(−12)+(−8)+(−6)+(−4)+(−2)=−56(-24) + (-12) + (-8) + (-6) + (-4) + (-2) = -56 bulunur.
Soruda istenen tüm farklı durumların toplamını bulmaktır.

Key Concept

İki dizinin eşitliği için genel terimlerinin tanım kümesi olan pozitif tam sayılarda eşit ve tanımlı olması gerekir.
PreviousPage 7 / 10Next
Diziler Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 7 | Examkin