Diziler Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 8

Question 141Question →

Bir kenar uzunluğu $32\text{ cm}$ olan kare biçimindeki bir kartonun kenar orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor. Daha sonra elde edilen bu yeni karenin de kenar orta noktaları birleştirilerek bir sonraki kare elde ediliyor ve bu işlem benzer şekilde devam ettiriliyor.

Elde edilen $n$ . karenin çevresi $C_n$ santimetre, alanı ise $A_n$ santimetrekare ile gösterilmektedir.

Buna göre, $C_n \geq A_n$ koşulunu sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Koşulu sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri 7'dir.

Soruda istenen

C_n \geq A_n

koşulu, geometrik dizinin kuralları uygulanıp genel terimler çıkarıldığında

2^{\frac{15-n}{2}} \geq 2^{11-n}

eşitsizliğine indirgenir. Bu üslü eşitsizlik çözüldüğünde

n \geq 7

elde edilir ve en küçük pozitif tam sayı değeri olan 7 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Genel kenar uzunluğu dizisini oluşturma

s_n = 2^{\frac{11-n}{2}}

Karenin orta noktalarının birleştirilmesiyle elde edilen yeni karenin kenar uzunluğu her seferinde

\frac{\sqrt{2}}{2}

oranında azalır ve bu bir geometrik dizi belirtir.

2

C_n

çevre dizisinin genel terimini bulma

C_n = 2^{\frac{15-n}{2}}

Karenin çevresi bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.

3

A_n

alan dizisinin genel terimini bulma

A_n = 2^{11-n}

Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.

4

C_n \geq A_n

eşitsizliğini çözerek en küçük

n

değerini bulma

n \geq 7

olduğundan en küçük

n = 7

Üslü eşitsizliğin tabanı 1'den büyük olduğu için üslerin eşitsizliği doğrudan çözülür.

Key Concept

Geometrik dizilerin genel terimlerinin gerçek hayat ve geometri problemlerinde modellenmesi ve üslü eşitsizlikler yardımıyla çözülmesi.

Estimated Time:2m 30s

Question 142Question →

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisi için,

\frac{a_7 - a_5}{a_4 - a_2} = 8

a_1 + a_3 = 30

eşitlikleri veriliyor.

Buna g��re, bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

3

6

10

13

26

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Dizinin ilk terimi 6'dır.

Ortak çarpanı

r = 2

olan pozitif terimli geometrik dizide

a_1 + a_3 = 30

eşitliği

a_1 + a_1 \cdot 2^2 = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6

sonucunu verir. Bu nedenle ilk terim 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin genel terim formülü olan

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

ifadesini kullanarak verilen ilk eşitlikteki terimleri

a_1

ve

r

cinsinden yazıp sadeleştirelim.

a_7 = a_1 \cdot r^6

,

a_5 = a_1 \cdot r^4

,

a_4 = a_1 \cdot r^3

ve

a_2 = a_1 \cdot r

yazılır. Buradan oran

\frac{a_1 \cdot r^6 - a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r} = \frac{a_1 \cdot r^4 (r^2 - 1)}{a_1 \cdot r (r^2 - 1)} = r^3

olarak elde edilir.

Eşitlikteki terimleri ortak çarpan cinsinden sadeleştirerek ortak çarpan

r

değerini bulmak için.

2

Bulunan

r^3 = 8

eşitliğinden dizinin ortak çarpanı olan

r

değerini hesaplayalım.

r^3 = 8 \Rightarrow r = 2

bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif bir gerçel sayıdır (

r = 2

).

İkinci denklemde yerine yazarak ilk terimi bulabilmek için ortak çarpan değerine ihtiyacımız vardır.

3

İkinci denklemde

a_3

terimini

a_1

ve

r

cinsinden yazıp,

r = 2

değerini yerine koyarak

a_1

değerini hesaplayalım.

a_1 + a_3 = 30 \Rightarrow a_1 + a_1 \cdot r^2 = 30 \Rightarrow a_1(1 + r^2) = 30 \Rightarrow a_1(1 + 2^2) = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6

elde edilir.

Dizinin ilk terimi olan

a_1

değerini bulmak için.

Key Concept

Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki oran sabittir ve genel terim

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

formülüyle bulunur.

Question 143Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_5 + a_9 + a_{13} = 36

ve

a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntıları vardır.

Bu dizinin ortak farkı pozitif bir tam sayı olduğuna göre, dizinin birinci terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Dizinin birinci terimi (

a_1

) 4 olarak bulunur.

Verilen aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri kullanılarak

a_3 + a_{15} = 24

toplamına ulaşılır. Çarpımları 108 ve toplamları 24 olan sayılar 6 ve 18'dir. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır ve

a_3 = 6

,

a_{15} = 18

olmalıdır. Buradan ortak fark

r = 1

ve birinci terim

a_1 = 4

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizinin indis özelliklerini kullanarak

a_9

ve

a_3 + a_{15}

değerlerini bulunuz.

a_9 = 12

ve

a_3 + a_{15} = 24

Aritmetik dizide indis toplamları eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Buradan

a_5 + a_{13} = 2a_9

yazılabilir. Soru kökündeki ilk bağıntıdan

a_5 + a_9 + a_{13} = 3a_9 = 36 \implies a_9 = 12

olur. Benzer şekilde

a_3 + a_{15} = 2a_9 = 24

elde edilir.

2

a_3

ve

a_{15}

terimlerinin toplam ve çarpım değerlerinden faydalanarak bu terimleri bulunuz.

a_3 = 6

ve

a_{15} = 18

a_3 + a_{15} = 24

ve

a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntılar��nı sağlayan sayılar

x^2 - 24x + 108 = 0

denkleminin kökleridir. Bu denklem çarpanlarına

(x-6)(x-18) = 0

olarak ayrılır. Ortak farkı pozitif olan bir aritmetik dizi artan olacağından, küçük indisli terim daha küçük olmalıdır. Dolayısıyla

a_3 = 6

ve

a_{15} = 18

olur.

3

Dizinin ortak farkını (

r

) ve birinci terimini (

a_1

) hesaplayınız.

r = 1

ve

a_1 = 4

Terimler arasındaki farktan ortak fark

a_{15} - a_3 = 12r \implies 18 - 6 = 12r \implies r = 1

olarak bulunur. Birinci terim ise

a_3 = a_1 + 2r \implies 6 = a_1 + 2(1) \implies a_1 = 4

şeklinde hesaplanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis kuralları, genel terim formülü ve ortak fark özellikleri

Question 144Question →

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisinde,

a_1 \cdot a_9 = 64

a_3 + a_7 = 34

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıda boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Fill in the blanks below

Bu geometrik dizinin ortak çarpanının alabileceği değerlerden küçük olanı , büyük olanı ise dir.

Show answer & explanation

Answer

Ortak çarpanın alabileceği değerlerden küçük olanı 1/2, büyük olanı ise 2'dir.

Ortak çarpanın alabileceği değerler

1/2

ve

2

olup, küçük olan değer

1/2

(veya 0.5), büyük olan değer ise

2

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımları arasında ilişki kurmak.

a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = 64

olarak elde edilir.

Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (

3 + 7 = 1 + 9 = 10

).

2

Toplamları 34 ve çarpımları 64 olan

a_3

ve

a_7

terimlerini bulmak için ikinci dereceden bir denklem oluşturmak.

t^2 - 34t + 64 = 0 \implies (t-2)(t-32) = 0

denkleminin kökleri

2

ve

32

olarak bulunur. Dolayısıyla

\{a_3, a_7\} = \{2, 32\}

kümesi elde edilir.

Toplamları

S

ve çarpımları

P

olan sayılar,

t^2 - St + P = 0

denkleminin kökleridir.

3

Her iki durum için ortak çarpan

r

değerlerini hesaplamak.

1. Durum:

a_3 = 2

ve

a_7 = 32

ise

r^4 = 32/2 = 16 \implies r = 2

bulunur. 2. Durum:

a_3 = 32

ve

a_7 = 2

ise

r^4 = 2/32 = 1/16 \implies r = 1/2

bulunur.

Dizinin ardışık olmayan terimleri arasında

a_7 = a_3 \cdot r^4

ilişkisi vardır. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan

r

pozitif olmalıdır.

Key Concept

Geometrik dizilerde indis toplamı eşit olan terimlerin çarpım özelliği ve terimler arası oran yardımıyla ortak çarpan bulma.

Question 145Question →

Aslı ve Banu, aynı gün birer birikim hesabı açarak para biriktirmeye başlamışlardır.

* Aslı, ilk ay hesabına $100\text{ TL}$ yatırmış ve takip eden her ay, bir önceki ay yatırdığı miktardan $20\text{ TL}$ daha fazla para yatırmıştır.
* Banu, ilk ay hesabına $10\text{ TL}$ yatırmış ve takip eden her ay, bir önceki ay yatırdığı miktarın $2$ katı kadar para yatırmıştır.

Buna göre, her iki arkadaşın hesaplarında biriken toplam para miktarı göz önüne alındığında, kaçıncı ayın sonunda Banu'nun hesabındaki toplam para miktarı ilk kez Aslı'nınkinden fazla olur?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Banu'nun biriken parasının Aslı'nın biriken parasını ilk kez geçtiği ay 7. aydır.

Yapılan hesaplamalarda Aslı'nın biriken toplam parası

10n^2 + 90n

, Banu'nun biriken toplam parası ise

10(2^n - 1)

olarak bulunmuştur.

n = 7

değeri için Banu'nun toplam parası (

1270\text{ TL}

), Aslı'nın toplam parasından (

1120\text{ TL}

) ilk kez daha fazla olmaktadır. Bu yüzden 7 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Aslı'nın her ay yatırdığı para miktarlarının oluşturduğu aritmetik dizinin genel terimini ve

n

ay sonunda biriken toplam para miktarını veren

S_A(n)

formülünü yazınız.

Aslı'nın ödemeleri ilk terimi

a_1 = 100

ve ortak farkı

d = 20

olan bir aritmetik dizidir.

n

. terim:

a_n = 100 + (n-1)20 = 20n + 80

. İlk

n

terim toplamı:

S_A(n) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(100 + 20n + 80) = 10n^2 + 90n

.

Toplam birikimi bulabilmek için aritmetik dizi toplam formülünün oluşturulması gerekir.

2

Banu'nun her ay yatırdığı para miktarlarının oluşturduğu geometrik dizinin genel terimini ve

n

ay sonunda biriken toplam para miktarını veren

S_B(n)

formülünü yazınız.

Banu'nun ödemeleri ilk terimi

b_1 = 10

ve ortak çarpanı

r = 2

olan bir geometrik dizidir. İlk

n

terim toplamı:

S_B(n) = b_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} = 10 \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 10(2^n - 1)

.

Banu'nun toplam birikimini ifade etmek için geometrik dizi toplam formülü kullanılmalıdır.

3

Banu'nun birikiminin Aslı'nın birikiminden fazla olmasını sağlayan en küçük

n

pozitif tam sayısını belirlemek için

S_B(n) > S_A(n)

eşitsizliğini çözünüz.

10(2^n - 1) > 10n^2 + 90n \implies 2^n - 1 > n^2 + 9n

. Değerleri denersek:

n = 6

için

2^6 - 1 = 63

ve

6^2 + 9(6) = 90

olup

63 > 90

sağlanmaz.

n = 7

için

2^7 - 1 = 127

ve

7^2 + 9(7) = 112

olup

127 > 112

sağlanır.

Eşitsizliğin her iki tarafı sadeleştirilerek deneme yöntemiyle en küçük

n

tam sayısı tespit edilir.

Key Concept

Gerçek hayat problemlerinde aritmetik ve geometrik dizilerin ilk n terim toplamı formüllerinin uygulanması ve karşılaştırılması.

Question 146Question →

Ortak farkı $r$ olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin ilk terimi $a_1$ 'dir. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f(x) = r \cdot x + a_1$ doğrusal fonksiyonu için her $n$ pozitif tam sayısı adına

f(n) = a_n + 4

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri arasında

a_3 + a_9 = 30

bağıntısı olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan $a_1$ kaçtır?

35

5

-5

-9

-10

Show answer & explanation

Answer: -5

Answer

Dizinin ilk terimi olan

a_1

değeri

-5

'tir.

Ortak fark

r = 4

olarak belirlendikten sonra,

a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30

denkleminde yerine yazıldığında

2a_1 + 40 = 30 \implies 2a_1 = -10 \implies a_1 = -5

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f(n)

fonksiyonu ile

a_n

dizisi arasındaki ilişkiyi yazarak ortak fark

r

'yi belirleme.

r = 4

a_n = a_1 + (n - 1)r = rn + a_1 - r

genel terimi

f(n) = rn + a_1

ifadesinde yerine yazıldığında,

f(n) - a_n = r

elde edilir. Soruda

f(n) = a_n + 4

olarak verildiğinden

r = 4

bulunur.

2

a_3 + a_9 = 30

indis özelliğini kullanarak

a_1

ve

r

cinsinden bir denklem elde etme.

a_1 + 5r = 15

Aritmetik dizide

a_3 = a_1 + 2r

ve

a_9 = a_1 + 8r

olduğundan, bu terimlerin toplamı

a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30

olur. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde

a_1 + 5r = 15

denklemi bulunur.

3

Bulunan

r = 4

değerini denklemde yerine yazarak

a_1

değerini hesaplama.

a_1 = -5

a_1 + 5(4) = 15 \implies a_1 + 20 = 15 \implies a_1 = -5

bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi

Question 147Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir

(a_n)

geometrik dizisinde,

a_7 = a_5 + 6a_3

a_2 \cdot a_4 = 18

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

3

\sqrt{2}

\frac{\sqrt{6}}{3}

2\sqrt{2}

\frac{\sqrt{2}}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{2}$

Answer

\sqrt{2}

Dizinin terimleri

a_n = a_1 r^{n-1}

şeklinde yazıldığında, birinci denklemden

r^2 = 3

elde edilir. İkinci denklemdeki

a_2 \cdot a_4 = 18

ifadesi, geometrik dizi özelliği gereği

a_3^2 = 18

eşitliğini verir. Buradan pozitif terimli dizi için

a_3 = 3\sqrt{2}

olur. Son olarak

a_1 = a_3 / r^2

bağıntısından

a_1 = \sqrt{2}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İlk verilen eşitliği ortak çarpan (

r

) cinsinden yazalım.

a_7 = a_5 + 6a_3 \implies a_1 r^6 = a_1 r^4 + 6 a_1 r^2

Dizinin terimlerini ilk terim (

a_1

) ve ortak çarpan (

r

) cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulmak.

2

Elde edilen denklemi sadeleştirip

r

değerini bulalım.

a_1 > 0

ve

r > 0

olduğundan denklemin her iki tarafını

a_1 r^2

ile bölebiliriz:

r^4 = r^2 + 6 \implies r^4 - r^2 - 6 = 0

Bu denklem

(r^2 - 3)(r^2 + 2) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan

r^2 > 0

olmalıdır. Buradan

r^2 = 3

bulunur.

Ortak çarpanın karesini (

r^2

) belirlemek.

3

İkinci eşitliği kullanarak üçüncü terimi (

a_3

) bulalım.

Geometrik dizide ardışık terimlerin özelliğinden

a_2 \cdot a_4 = a_3^2

olur. Verilen

a_2 \cdot a_4 = 18

eşitliğinden:

a_3^2 = 18 \implies a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

(Dizinin terimleri pozitif olduğundan pozitif kök alınır.)

İkinci denklemden dizinin üçüncü terimini elde etmek.

4

İlk terimi (

a_1

) hesaplayalım.

a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 3\sqrt{2} = a_1 \cdot 3 \implies a_1 = \sqrt{2}

Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki ilişkiyi kullanarak

a_1

değerine ulaşmak.

Key Concept

Geometrik dizide her terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasıdır (

a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}

) ve genel terim

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

formülüyle bulunur.

Alternative Method

Alternatif olarak, ikinci denklemdeki

a_2 \cdot a_4 = 18

ifadesi doğrudan

a_1 r \cdot a_1 r^3 = a_1^2 r^4 = 18

şeklinde yazılabilir. İlk denklemden elde edilen

r^2 = 3

değeri burada yerine konulursa:

a_1^2 \cdot 3^2 = 18 \implies 9 a_1^2 = 18 \implies a_1^2 = 2

olur. Dizi pozitif terimli olduğundan

a_1 = \sqrt{2}

bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 148Question →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir

(a_n)

aritmetik dizisinde,

a_2 + a_{10} = 16

a_5 \cdot a_7 = 60

eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre,

a_1 \cdot a_{11}

çarpımının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -36

Answer

Dizinin birinci terimi ile on birinci teriminin çarpımı -36'dır.

Dizinin terimlerinin indis simetrisi kullanılarak 6. terim

a_6 = 8

ve ortak farkın karesi

r^2 = 4

olarak elde edilir. İstenen

a_1 \cdot a_{11}

çarpım ifadesi de 6. terime göre simetrik yazılıp iki kare farkı uygulandığında

a_6^2 - 25r^2

ifadesine ulaşılır. Değerler yerine yazıldığında sonuç

-36

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

a_2 + a_{10} = 16

toplamı üzerinden dizinin 6. terimini (

a_6

) belirlemek.

a_6 = 8

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir.

2 + 10 = 6 + 6

olduğundan

a_2 + a_{10} = 2a_6

eşitliği geçerlidir.

2

a_5 \cdot a_7 = 60

çarpım eşitliğinden yararlanarak dizinin ortak farkının karesini (

r^2

) bulmak.

r^2 = 4

a_5 = a_6 - r

ve

a_7 = a_6 + r

olarak yazıldığında, çarpımları iki kare farkı oluşturur:

(a_6 - r)(a_6 + r) = a_6^2 - r^2

. Değerler yerine konduğunda

8^2 - r^2 = 60 \implies 64 - r^2 = 60

elde edilir.

3

İstenen

a_1 \cdot a_{11}

çarpım ifadesini

a_6

ve

r

cinsinden yazmak.

a_1 \cdot a_{11} = a_6^2 - 25r^2

a_1 = a_6 - 5r

ve

a_{11} = a_6 + 5r

ifadelerinin çarpımı iki kare farkı özdeşliği gereği

a_6^2 - (5r)^2 = a_6^2 - 25r^2

sonucunu verir.

4

Elde edilen

a_6 = 8

ve

r^2 = 4

değerlerini son ifadede yerine yazıp hesaplama yapmak.

-36

a_1 \cdot a_{11} = 8^2 - 25 \cdot 4 = 64 - 100 = -36

olarak hesaplanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre simetrik olarak ifade edilmesi ve iki kare farkı özdeşliği uygulamaları.

Alternative Method

Tüm terimleri birinci terim

a_1

ve ortak fark

r

cinsinden yazıp iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı ve zaman gerektirir.

Estimated Time:2m 0s

Question 149Question →

Bir teknoloji ��irketi, yeni piyasaya sürdüğü bir akıllı cihazın haftalık satış adetlerini incelemektedir. Cihazın satışa sunulduğu ilk hafta belirli sayıda satış yapılmış ve sonraki her hafta satılan cihaz sayısı bir önceki haftaya göre sabit bir oranda artarak geometrik bir dizi oluşturmuştur. Bu cihazın ilk 4 haftada satılan toplam adedi, ilk 2 haftada satılan toplam adedinin 10 katıdır. Cihazın 5. haftadaki satış adedi, ilk haftadaki satış adedinden 2400 fazla olduğuna göre, bu cihaz ilk hafta kaç adet satılmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Cihazın ilk hafta satılan adedi 30'dur.

Cihazın haftalık satışları geometrik bir dizi oluşturduğu için ilk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satışa oranı kullanılarak ortak çarpan

r = 3

olarak belirlenir. Daha sonra, 5. hafta ile 1. hafta arasındaki fark denkleminde ortak çarpan yerine yazıldığında ilk hafta satılan cihaz sayısı

a_1 = 30

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin genel terim ve ilk

n

terim toplamı formüllerini tanımlamak.

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

ve

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Problemi çözmek için haftalık toplam satışları ve belirli bir haftadaki satışı matematiksel olarak ifade etmek gerekir.

2

İlk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satış��n 10 katı olduğu bilgisini denkleme dökmek.

a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} = 10 \cdot a_1 \cdot \frac{r^2 - 1}{r - 1}

Ortak çarpan

r

değerini belirleyebilmek için toplam terim formüllerini oranlamak gerekir.

3

Elde edilen denklemi sadeleştirip iki kare farkı özdeşliği kullanarak ortak çarpanı çözmek.

r^2 + 1 = 10 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3

a_1

ve

r-1

terimleri sadeleştirildikten sonra

r^4-1

ifadesi

(r^2-1)(r^2+1)

şeklinde açılarak

r

değeri kolayca bulunur.

4

5. hafta satışı ile 1. hafta satışı arasındaki farkı kullanarak ilk terimi veren denklemi kurmak.

a_5 - a_1 = 2400 \Rightarrow a_1(r^4 - 1) = 2400

İlk hafta satılan cihaz miktarını (

a_1

) bulmak için verilen fark bilgisinden yararlanılır.

5

r = 3

değerini yerine yazarak ilk terimi hesaplamak.

80 \cdot a_1 = 2400 \Rightarrow a_1 = 30

Bulunan ortak çarpan denklemde yerine yazılarak bilinmeyen ilk terim elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizi toplamı ve terimleri arasındaki ilişki ile gerçek hayat problemlerinin modellenmesi.

Estimated Time:2m 30s

Question 150Question →

Bir sanayi bölgesinde üretim yapan A ve B fabrikalarının yıllık üretim miktarlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A fabrikasının yıllık üretim miktarı bir aritmetik dizinin, B fabrikasının yıllık üretim miktarı ise bir geometrik dizinin terimleriyle modellenmektedir.
* Her iki fabrikanın da 1. yıldaki üretim miktarları birbirine e��it ve $64$ bin adettir.
* A fabrikasının 2. yıldaki üretim miktarı ile B fabrikasının 2. yıldaki üretim miktarı birbirine eşittir.
* A fabrikasının 5. yıldaki üretim miktarı ile B fabrikasının 3. yıldaki üretim miktarı birbirine eşittir.

Buna göre, B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı, A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarından kaç bin adet fazladır?

128

448

704

832

4160

Show answer & explanation

Answer: 704

Answer

704

Doğru seçenekte belirtilen değer, B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı (

1728

bin adet) ile A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarı (

1024

bin adet) arasındaki net fark olan

704

bin adeti ifade etmektedir. Kurulan aritmetik ve geometrik dizi denklemleri çözüldüğünde dizilerin parametreleri tek anlamlı şekilde

r=3

ve

d=128

olarak saptanır.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim formülleri yazılır.

Aritmetik dizi için

a_n = a_1 + (n-1)d

ve geometrik dizi için

b_n = b_1 \cdot r^{n-1}

formülleri kullanılır. Burada

a_1 = b_1 = 64

olarak verilmiştir.

Dizilerin sonraki terimlerini ilk terim cinsinden ifade edebilmek için.

2

Fabrikaların üretim miktarlarındaki eşitliklerden denklem sistemi kurulur.

a_2 = b_2 \implies 64 + d = 64r \implies d = 64(r-1)

ve

a_5 = b_3 \implies 64 + 4d = 64r^2

denklemleri elde edilir.

Soruda verilen ikinci ve üçüncü yıl eşitliklerini matematiksel ifadelere dönüştürmek için.

3

Birinci denklemdeki

d

değeri ikinci denklemde yerine yazılarak ortak çarpan

r

çözülür.

64 + 4(64(r-1)) = 64r^2 \implies 1 + 4r - 4 = r^2 \implies r^2 - 4r + 3 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları

(r-3)(r-1) = 0

olup, diziler sabit olmadığından (

r \neq 1

) ortak çarpan

r = 3

olarak bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyene indirgeyerek çözmek için.

4

Dizinin ortak farkı

d

hesaplanır.

d = 64(3-1) = 128

olarak bulunur.

Aritmetik dizinin terimlerini ve toplamını hesaplamak için gerekli olan ortak fark değerini bulmak amacıyla.

5

B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı ile A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarı hesaplanır.

B'nin 4. yıl üretimi:

b_4 = 64 \cdot 3^3 = 1728

bin adet. A'nın ilk 4 yıldaki toplam üretimi:

S_4 = \frac{4}{2}[2(64) + 3(128)] = 2[128 + 384] = 1024

bin adet.

İstenen farkı hesaplamak amacıyla her iki değerin büyüklüğünü belirlemek için.

6

Hesaplanan üretim değerleri arasındaki fark bulunur.

1728 - 1024 = 704

bin adet olarak fark elde edilir.

Soruda istenen nihai fazlalık miktarını bulmak için.

Key Concept

Gerçek hayat problemlerinde aritmetik ve geometrik dizi modellerinin kurulması, terim ilişkilerinin saptanması ve dizi toplam formüllerinin doğru uygulanması.

Alternative Method

Formül kullanmaksızın terimler tek tek yazılabilir.

a_1 = 64

ve

d = 128

bulunduktan sonra A fabrikasının ilk 4 yıl üretimi sırasıyla

64

,

192

,

320

ve

448

olur. Bunların toplamı doğrudan

64 + 192 + 320 + 448 = 1024

olarak toplanabilir. Benzer şekilde geometrik dizinin 4. terimi de adım adım

b_1 = 64 \implies b_2 = 192 \implies b_3 = 576 \implies b_4 = 1728

şeklinde ardışık olarak 3 ile çarpılarak bulunabilir. Buradan fark

1728 - 1024 = 704

elde edilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 151Question →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçek sayılardır ve bu dizi artandır. Dizinin terimleri arasında,

a_4 \cdot a_8 = 1600

\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_7} = \frac{1}{16}

bağıntıları bulunmaktadır. Buna göre, bu dizinin üçüncü terimi ( $a_3$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Dizinin üçüncü terimi 5'tir.

Dizi terimlerinin indis ilişkisinden

a_5 \cdot a_7 = 1600

bulunur. Rasyonel denklemde payda eşitlendiğinde

a_5 + a_7 = 100

elde edilir. Bu iki eşitlikten, dizinin artan olduğu da dikkate alınarak

a_5 = 20

ve

a_7 = 80

olarak bulunur. Buradan ortak çarpan

r = 2

ve üçüncü terim

a_3 = 5

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Terimlerin indis ilişkisini kullanarak

a_5 \cdot a_7

çarpımını bulma.

a_5 \cdot a_7 = 1600

Geometrik dizilerde

i+j=k+l

ise

a_i \cdot a_j = a_k \cdot a_l

özelliğinden dolayı

4+8 = 5+7 = 12

olup

a_5 \cdot a_7 = a_4 \cdot a_8 = 1600

olur.

2

Verilen rasyonel denklemi düzenleyerek terimlerin toplam��nı bulma.

a_5 + a_7 = 100

Payda eşitleme yapıldığında

\frac{a_5 + a_7}{a_5 \cdot a_7} = \frac{1}{16}

elde edilir. Çarpım yerine

1600

yazıldığında toplam

100

olarak bulunur.

3

Toplamları ve çarpımları bilinen terimleri bulmak için ikinci dereceden denklem çözme.

a_5 = 20

ve

a_7 = 80

Kökleri

a_5

ve

a_7

olan denklem

x^2 - 100x + 1600 = 0

şeklindedir. Çarpanlara ayırma ile

(x-20)(x-80) = 0

elde edilir. Dizi artan olduğundan

a_5 = 20

ve

a_7 = 80

olmalıdır.

4

Dizinin ortak çarpanını (

r

) bulma.

r = 2

a_7 = a_5 \cdot r^2

eşitliğinden

80 = 20 \cdot r^2 \implies r^2 = 4

ve terimler pozitif olduğu için

r = 2

bulunur.

5

Dizinin üçüncü terimini (

a_3

) hesaplama.

a_3 = 5

a_5 = a_3 \cdot r^2

eşitliğinde değerler yerine yazıldığında

20 = a_3 \cdot 4 \implies a_3 = 5

elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve terimler arası ilişkiler.

Estimated Time:2m 0s

Question 152Question →

Bir

(a_n)

aritmetik dizisinde,

a_3 + a_7 = 16

a_2 + a_{10} = 22

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplam�� olan $a_1 + a_{15}$ değeri kaçtır?

17

31

34

38

68

Show answer & explanation

Answer: 34

Answer

Dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplamı olan 34 değeri

Dizinin terimleri arasındaki indis özelliklerinden

a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8

ve

a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11

elde edilir. Buradan ortak fark

r = a_6 - a_5 = 3

bulunur. İlk terim

a_1 = a_5 - 4r = -4

ve 15. terim

a_{15} = a_1 + 14r = 38

olup, bu iki terimin toplamı 34 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkilerini kullanarak

a_5

ve

a_6

terimlerini bulun.

a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8

ve

a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11

Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (

a_p + a_q = 2a_{(p+q)/2}

).

2

Ardışık iki terim arasındaki farkı hesaplayarak dizinin ortak farkını (

r

) bulun.

r = a_6 - a_5 = 11 - 8 = 3

Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve ortak farkı verir.

3

Dizinin ilk terimini (

a_1

) ve 15. terimini (

a_{15}

) hesaplayıp toplayın.

a_1 = a_5 - 4r = 8 - 12 = -4

ve

a_{15} = a_6 + 9r = 11 + 27 = 38

. Buradan

a_1 + a_{15} = -4 + 38 = 34

elde edilir.

Genel terim formülü

a_n = a_k + (n-k)r

kullanılarak dizinin istenen terimleri bulunur ve toplanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark ve genel terim bağıntısı.

Estimated Time:2m 0s

Question 153Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin ortak farkı $r$ olmak üzere, $r > 0$ olduğu bilinmektedir.

Bu dizinin terimleri arasında

a_2 + a_5 + a_8 = 24

a_1 \cdot a_9 = -80

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin 12. terimi olan

a_{12}

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

Dizinin 12. teriminin değeri 29'dur.

Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak

a_2 + a_8 = 2a_5

bağıntısından

a_5 = 8

bulunur. Ardından

a_1 = 8 - 4r

ve

a_9 = 8 + 4r

terimleri yerine yazıldığında,

(8-4r)(8+4r) = -80

eşitliğiyle

r^2 = 9

elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan

r = 3

'tür. Son adımda

a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 21 = 29

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizideki terimlerin indis özelliklerini kullanarak

a_5

terimini bulmak.

a_5 = 8

Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir (

a_2 + a_8 = 2a_5

).

2

a_1

ve

a_9

terimlerini

a_5

ve

r

cinsinden yazarak ortak fark

r

değerini bulmak.

r = 3

a_1 = 8 - 4r

ve

a_9 = 8 + 4r

ifadelerinin çarpımı

64 - 16r^2 = -80

denklemine yol açar. Buradan

r^2 = 9

ve

r > 0

olduğu için

r = 3

elde edilir.

3

a_{12}

terimini

a_5

ve

r

kullanarak hesaplamak.

a_{12} = 29

a_{12} = a_5 + 7r

formülünde

a_5 = 8

ve

r = 3

değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Aritmetik dizide terimler arası doğrusal ilişkiler, indis özellikleri ve ortak farkın bulunması.

Question 154Question →

Bir

(a_n)

aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_5 + a_{15} = 20

eşitliği verilmektedir.

$f(x) = 3x - 4$ doğrusal fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19})

toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 494

Answer

İstenen toplamın değeri 494'tür.

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşit olduğundan

a_1 + a_{19} = a_5 + a_{15} = 20

olur. Dizinin ilk 19 teriminin toplamı

S_{19} = \frac{19}{2}(a_1 + a_{19}) = 190

olarak bulunur. Fonksiyonel toplam

3 \cdot S_{19} - 19 \cdot 4

şeklinde düzenlendiğinde

3 \cdot 190 - 76 = 494

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

a_1 + a_{19}

toplamını bulmak için indis özelliğini uygulamak.

a_1 + a_{19} = 20

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (

1 + 19 = 5 + 15 = 20

).

2

(a_n)

dizisinin ilk 19 teriminin toplamını (

S_{19}

) hesaplamak.

S_{19} = 190

Aritmetik dizide ilk

n

terim toplamı form��lü

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

şeklindedir. Buradan

S_{19} = \frac{19}{2} \cdot 20 = 190

elde edilir.

3

f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19})

toplamını düzenleyip hesaplamak.

494

f(x) = 3x - 4

doğrusal fonksiyonunu her terim için yerine yazarak toplamı

3(a_1 + a_2 + \dots + a_{19}) - 19 \cdot 4

şeklinde yazarız. Bulunan değerler yerine koyulduğunda

3 \cdot 190 - 76 = 494

elde edilir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ilk n terim toplamı ve doğrusal dönüşümlerin toplam üzerindeki etkisi.

Estimated Time:2m 0s

Question 155Question →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk üç terimi sırasıyla $x - 1$ , $x + 3$ ve $3x + 1$ olduğuna göre, bu dizinin 5. terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

18

32

64

128

20

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

64

Ardışık üç terimi sırasıyla

x-1

,

x+3

ve

3x+1

olan geometrik dizide ortadaki terimin karesi diğer iki terimin çarpımına eşittir. Buradan

(x+3)^2 = (x-1)(3x+1)

denklemi çözüldüğünde

x=5

veya

x=-1

bulunur. Seçeneklerde yer alan değerleri bulmak adına

x=5

durumu incelenirse; dizinin ilk terimi

a_1=4

, ikinci terimi

a_2=8

ve ortak çarpanı

r=2

olur. Buradan dizinin 5. terimi

a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 16 = 64

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizi tanımına göre ardışık üç terim arasındaki ilişkiyi kurma

(x + 3)^2 = (x - 1)(3x + 1)

Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir (

a_2^2 = a_1 \cdot a_3

).

2

Elde edilen denklemi açıp düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturma

x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1 \Rightarrow 2x^2 - 8x - 10 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0

Kökleri bulabilmek için tüm terimleri bir tarafa toplayıp sadeleştirme yapmamız gerekir.

3

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak x değerlerini bulma

(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 5

veya

x = -1

Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemi sağlayan x değerlerini elde ederiz.

4

x = 5

değeri için dizinin ilk üç terimini ve ortak çarpanı hesaplama

a_1 = 4

,

a_2 = 8

,

a_3 = 16

ve ortak çarpan

r = \frac{a_2}{a_1} = 2

Bulunan x değerini yerine yazarak dizinin terimlerine ve ortak çarpanına ulaşırız.

5

Genel terim formülüyle dizinin 5. terimini bulma

a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64

Geometrik dizilerde

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

formülü kullanılarak 5. terim hesaplanır.

Key Concept

Geometrik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki (

a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}

) ve genel terim formülü (

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

)

Question 156Question →

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisinde $a_1 \cdot a_9 = 256$ ve $a_3 \cdot a_5 = 64$ eşitlikleri verilmektedir. Buna göre, aşağıdaki boşlukları uygun sayılarla doldurunuz.

Fill in the blanks below

Bu dizinin ortak çarpanı ve altıncı terimi (

a_6

) olur.

Show answer & explanation

Answer

Ortak çarpan 2 ve altıncı terim 32'dir.

Verilen geometrik dizide

a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 256

eşitliğinden

a_5 = 16

bulunur.

a_3 \cdot a_5 = 64

eşitliğinden

a_3 = 4

elde edilir. Buradan ortak çarpan

r^2 = a_5 / a_3 = 4

olup pozitif terimli olduğu için

r = 2

bulunur. Son olarak altıncı terim

a_6 = a_5 \cdot r = 16 \cdot 2 = 32

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak

a_5

terimini bulma.

a_5 = 16

Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Bu nedenle

a_1 \cdot a_9 = a_5 \cdot a_5 = a_5^2

yazılabilir.

a_5^2 = 256

olduğundan ve dizi pozitif terimli verildiğinden

a_5 = 16

olur.

2

a_3 \cdot a_5 = 64

eşitliğini kullanarak

a_3

terimini bulma.

a_3 = 4

a_5 = 16

değeri eşitlikte yerine yazıldığında

a_3 \cdot 16 = 64

elde edilir, buradan

a_3 = 4

bulunur.

3

a_5 = a_3 \cdot r^2

bağınt��sını kullanarak ortak çarpanı (

r

) bulma.

r = 2

16 = 4 \cdot r^2

eşitliğinden

r^2 = 4

bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır, bu yüzden

r = 2

alınır.

4

a_6 = a_5 \cdot r

bağıntısıyla altıncı terimi bulma.

a_6 = 32

a_5 = 16

ve

r = 2

değerleri yerine yazılarak

a_6 = 16 \cdot 2 = 32

elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide terimler arası çarpım ilişkileri ve genel terim özellikleri

Question 157Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde,

a_3 + a_{15} = 18

a_7 = 5

olduğuna göre, bu dizinin 12. terimi kaçtır?

13

15

17

19

21

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Dizinin 12. terimi 15'tir.

Verilen

a_3 + a_{15} = 18

eşitliğinde indislerin aritmetik ortalaması olan 9. terim

a_9 = 9

olarak bulunur. Daha sonra

a_7 = 5

bilgisiyle ortak fark

r = 2

olarak elde edilir. Bu bilgiler doğrultusunda 12. terim

a_{12} = a_9 + 3r = 9 + 6 = 15

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

a_3 + a_{15} = 18

eşitliğinde indis özellikleri kullanılarak

a_9

terimi bulunur.

a_3 + a_{15} = 2a_9 \implies 2a_9 = 18 \implies a_9 = 9

Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı da eşittir (

3 + 15 = 9 + 9

).

2

a_9 = 9

ve verilen

a_7 = 5

değerleri kullanılarak dizinin ortak farkı (

r

) bulunur.

a_9 = a_7 + 2r \implies 9 = 5 + 2r \implies 2r = 4 \implies r = 2

a_9

ve

a_7

terimleri arasındaki indis farkı 2'dir.

3

a_9 = 9

terimi ve

r = 2

ortak farkı kullanılarak

a_{12}

terimi hesaplanır.

a_{12} = a_9 + 3r \implies a_{12} = 9 + 3 \cdot 2 = 9 + 6 = 15

a_{12}

terimi,

a_9

teriminden 3 adım (indis farkı

12 - 9 = 3

) ileridedir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşitliği ve genel terim ilişkisi.

Question 158Question →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamının, sonraki üç teriminin toplamına oranı $\frac{1}{27}$ 'dir.

Dizinin ikinci terimi $a_2 = 6$ olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı ( $S_4$ ) kaçtır?

26

40

54

80

240

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

80

İlk üç terimin toplamı

S_3

ile sonraki üç terimin toplamı olan

r^3 \cdot S_3

oranlandığında ortak çarpan

r = 3

olarak elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi

a_1 = \frac{a_2}{r} = \frac{6}{3} = 2

bulunur. Bulunan bu değerler geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünde (

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

) yerine yazıldığında ilk 4 terimin toplamı 80 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk üç terimin toplamı ile sonraki üç terimin toplamı arasındaki oranı yazarak ortak çarpanı (

r

) bulma.

İlk üç terimin toplamı

S_3 = a_1 + a_2 + a_3

şeklindedir. Sonraki üç terimin toplamı ise

a_4 + a_5 + a_6 = a_1 r^3 + a_2 r^3 + a_3 r^3 = r^3(a_1 + a_2 + a_3) = r^3 \cdot S_3

olur. Bu iki toplamın oranı

\frac{S_3}{r^3 \cdot S_3} = \frac{1}{r^3} = \frac{1}{27}

olarak verildiğinden

r^3 = 27

ve buradan ortak çarpan

r = 3

bulunur.

Geometrik dizinin terimlerinin artış oranını (ortak çarpanı) belirlemek için.

2

Dizinin verilen ikinci teriminden (

a_2 = 6

) yararlanarak ilk terimi (

a_1

) bulma.

Geometrik dizilerde genel terim ilişkisi gereği

a_2 = a_1 \cdot r

yazılır. Buradan

6 = a_1 \cdot 3 \Rightarrow a_1 = 2

bulunur.

Dizinin toplam formülünü uygulayabilmek için dizinin başlangıç terimini elde etmek gerekir.

3

İlk

n

terim toplamı formülünü uygulayarak ilk 4 terimin toplamını (

S_4

) hesaplama.

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplamı

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

formülü ile hesaplanır.

n = 4

için

S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 80

elde edilir.

Soruda bizden istenen ilk 4 terimin toplam değerini bulmak için.

Key Concept

Geometrik dizilerde terimlerin ortak çarpan parantezine alınması ve ilk n terim toplam formülü

Question 159Question →

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_6 - S_4 = 9 \cdot (S_4 - S_2)

ve $S_3 = 26$ olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan $S_4$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S_4 değeri 80'dir.

Verilen terim toplamı farkları oranlandığında ortak çarpan

r = 3

olarak elde edilir.

S_3 = 26

bilgisi kullanılarak ilk terim

a_1 = 2

bulunur. Buradan

S_4 = S_3 + a_4 = 26 + 54 = 80

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade etme

S_6 - S_4 = a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1 + r)

ve

S_4 - S_2 = a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1 + r)

İlk n terim toplamı farkı, aradaki terimlerin toplamına eşittir.

2

Verilen denklemde ifadeleri yerine yazarak ortak çarpanı (r) bulma

r^2 = 9

ve pozitif terimli olduğu için

r = 3

a_1 r^4(1 + r) = 9 \cdot a_1 r^2(1 + r)

eşitliğinde pozitif terimlilikten ötürü

a_1(1 + r) \neq 0

olduğundan sadeleştirme yapılarak

r^2 = 9

bulunur.

3

S_3 toplamını kullanarak ilk terimi (a_1) bulma

a_1 = 2

S_3 = a_1(1 + r + r^2) = a_1(1 + 3 + 9) = 13 a_1 = 26

eşitliği çözülür.

4

İlk 4 terim toplamını (S_4) hesaplama

S_4 = 80

S_4 = S_3 + a_4 = 26 + a_1 r^3 = 26 + 2 \cdot 3^3 = 26 + 54 = 80

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı ve terimler arası ortak çarpan ilişkisi

Question 160Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x)$ doğrusal fonksiyonu için $(a_n)$ aritmetik dizisi, her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n = f(n)$ şeklinde tanımlanıyor.

f

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızı

3

ve

a_6 + a_{10} = 56

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi olan

a_1

kaçtır?

4

7

11

35

49

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Dizinin ilk terimi 7'dir.

Dizinin ilk terimi 7'dir. Çünkü doğrusal fonksiyonun eğimi (ortalama değişim hızı olan 3) dizinin ortak farkı

r

'ye eşittir. Buradan

a_6 + a_{10} = 2a_8 = 56 \implies a_8 = 28

olur.

a_1 = a_8 - 7r = 28 - 7(3) = 7

olarak doğru bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Doğrusal fonksiyonun ortalama değişim hızından dizinin ortak farkını belirleme.

Dizinin ortak farkı

r = 3

olarak bulunur.

Gerçel sayılarda tanımlı bir doğrusal fonksiyonun herhangi bir aralıktaki ortalama de��işim hızı, o fonksiyonun eğimine eşittir.

a_n = f(n)

olarak tanımlandığından, bu doğrusal fonksiyonun eğimi aynı zamanda

(a_n)

aritmetik dizisinin ardışık terimleri arasındaki farkı, yani ortak farkını (

r

) verir.

2

Verilen terimler toplamını kullanarak dizinin 8. terimini (

a_8

) bulma.

a_8 = 28

olarak bulunur.

Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir veya simetrik terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katıdır.

a_6 + a_{10} = 2a_8

olduğundan,

2a_8 = 56 \implies a_8 = 28

elde edilir.

3

Ortak fark ve 8. terim yardımıyla ilk terimi (

a_1

) hesaplama.

a_1 = 7

olarak bulunur.

Bir aritmetik dizide herhangi bir terim

a_n = a_k + (n-k)r

formülüyle yazılabilir. Buna göre

a_8 = a_1 + 7r

eşitliğinde bilinenler yerine yazılırsa:

28 = a_1 + 7 \cdot 3 \implies 28 = a_1 + 21 \implies a_1 = 7

bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde genel terimin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve indis özellikleri

Estimated Time:2m 0s

Diziler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes