Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 questions

All types230Multiple choice134True / False2Numeric84Matching10
Question 61Question →

Bir kenarı örülü duvar olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin diğer üç kenarı 40 metre uzunluğundaki bir tel örgüyle çevrilmiştir. Bu bahçenin alanının alabileceği en büyük değer kaç metrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 200

Answer

Bahçenin alanının alabileceği en büyük değer 200 metrekaredir.
Bahçenin alanı A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x parabolüyle modellenir. En büyük alan, bu parabolün tepe noktasının ordinat değeri olan kk değeridir ve bu değer 200 metrekaredir.

Step-by-Step Solution

1
Bahçenin kenar uzunluklarını xx değişkeni cinsinden belirlemek
Duvara dik kenarlar xx metre, duvara paralel kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Çevreyi oluşturan telin toplam uzunluğu 40 metredir ve bahçenin bir kenarı duvardır.
2
Bahçenin alanını veren ikinci dereceden fonksiyonu yazmak
A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x
Dikdörtgenin alanı, farklı iki kenar uzunluğunun çarpımı ile hesaplanır.
3
Alanı en büyük yapan xx değerini bulmak için parabolün tepe noktasının apsisini hesaplamak
r=10r = 10
Kolları aşağı doğru olan paraboller en büyük değerlerini tepe noktasında alır.
4
Maksimum alanı bulmak için tepe noktasının apsisini fonksiyon yerine yazıp sonucu hesaplamak
200
A(10)=200A(10) = 200 değeri alan fonksiyonunun alabileceği en büyük değerdir.

Key Concept

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının koordinatlarını kullanarak maksimum değerini hesaplama.
Estimated Time:1m 30s
Question 62Question →

Bir çiftçi, düz bir nehir kıyısında bulunan arazisine, nehir tarafında çit kullanmamak şartıyla dikdörtgen şeklinde bir kümes yapacaktır. Kümesin nehirden uzak olan üç kenarını çevirmek için toplam 4040 metre çit kullanacaktır.

Belediye imar kuralları gereği, kümesin nehre dik olan yan kenar uzunluğu en az 1212 metre, en fazla 1818 metre olmalıdır.

Buna göre, bu kümesin alanının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaç metrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Kümesin alanının alabileceği en büyük değer ile en küç��k değer arasındaki fark 120 metrekaredir.
Doğru cevap 120 metrekaredir. Kümesin alanını temsil eden A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x fonksiyonu, kolları aşağı doğru olan bir paraboldür ve tepe noktası x=10x = 10 apsisli noktadadır. Tanım kümesi olan [12,18][12, 18] aralığı tepe noktasının sağında kaldığı için fonksiyon bu aralıkta tamamen azalandır. Bu sebeple en büyük değer aralığın sol ucunda (x=12x = 12 için 192), en küçük değer ise aralığın sağ ucunda (x=18x = 18 için 72) gerçekleşir. Aralarındaki fark 192−72=120192 - 72 = 120 metrekaredir.

Step-by-Step Solution

1
Kümesin nehre dik olan yan kenar uzunluğu xx metre olarak belirlenir. Bu durumda nehre paralel olan diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Kenar uzunlukları xx ve 40−2x40 - 2x olarak ifade edilir.
Alanı tek bir değişken cinsinden yazabilmek için.
2
Kümesin alan fonksiyonu A(x)=x⋅(40−2x)=−2x2+40xA(x) = x \cdot (40 - 2x) = -2x^2 + 40x olarak kurulur.
A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x fonksiyonu elde edilir.
Alanın değişimini incelemek ve en büyük/en küçük değerleri bulmak için.
3
Elde edilen parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır.
r=−402(−2)=10r = -\frac{40}{2(-2)} = 10 olarak bulunur.
Parabolün maksimum değerini aldığı noktayı belirlemek için.
4
İmar kuralı gereği xx değişkeninin tanım kümesi [12,18][12, 18] olarak belirlenmiştir. Tepe noktasının apsisi (r=10r = 10) bu aralığın solunda kalır. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan (a=−2<0a = -2 < 0), fonksiyon [10,∞)[10, \infty) aralığında azalandır. Dolayısıyla [12,18][12, 18] aralığında da azalan bir fonksiyondur.
Fonksiyon [12,18][12, 18] aralığında azalandır.
En büyük ve en küçük değerlerin hangi sınırlarda oluşacağını belirlemek için.
5
En büyük alan değeri aralığın sol sınırında (x=12x = 12), en küçük alan değeri ise sağ sınırında (x=18x = 18) oluşur. Bu değerler hesaplanır.
En büyük alan: A(12)=192 m2A(12) = 192\text{ m}^2, en küçük alan: A(18)=72 m2A(18) = 72\text{ m}^2 olarak bulunur.
Sınır değerlerindeki alan büyüklüklerini elde etmek için.
6
Bulunan en büyük ve en küçük alan değerleri arasındaki fark hesaplanır.
192−72=120 m2192 - 72 = 120\text{ m}^2 olarak bulunur.
Soruda istenen farkı bulmak için.

Key Concept

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri bulunurken tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Tepe noktası aralık dışındaysa uç değerler incelenir.
Question 63Question →
Her mm gerçel sayısı için,
f(x)=x2−2mx+m2+4m+5f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + 4m + 5
fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değeri g(m)g(m) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, g(m)g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1'dir.
Doğru yanıt olan değer, m<0m < 0 durumu incelendiğinde elde edilir. Bu durumda f(x)f(x) fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değeri x=0x = 0 noktasında gerçekleşir ve g(m)=m2+4m+5g(m) = m^2 + 4m + 5 olur. Bu ifadenin de en küçük değeri tepe noktası olan m=−2m = -2 değerinde 11 olarak hesaplanır. Diğer bölgelerdeki en küçük değerler sırasıyla 55 ve 1313 olduğundan genel en küçük değer 11'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen f(x)f(x) fonksiyonunu tam kareye tamamlayarak tepe noktasını belirleyin.
f(x)=(x−m)2+4m+5f(x) = (x - m)^2 + 4m + 5 elde edilir. Parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktasının apsisi r=mr = m'dir.
Kolları yukarı doğru olan bir parabolün artan ve azalan olduğu aralıklar tepe noktasının apsisine (rr) göre belirlenir.
2
Tepe noktası apsisi olan mm'nin [0,2][0, 2] aralığına göre konumunu üç farklı durumda inceleyerek g(m)g(m) parçalı fonksiyonunu oluşturun.
g(m)g(m) fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:
- m<0m < 0 ise, parabol [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değerini x=0x = 0 noktasında alır: g(m)=f(0)=m2+4m+5g(m) = f(0) = m^2 + 4m + 5
- 0≤m≤20 \le m \le 2 ise, tepe noktası aralık içindedir. Minimum değer tepe noktasında oluşur: g(m)=f(m)=4m+5g(m) = f(m) = 4m + 5
- m>2m > 2 ise, parabol [0,2][0, 2] aralığındaki en küçük değerini x=2x = 2 noktasında alır: g(m)=f(2)=m2+9g(m) = f(2) = m^2 + 9
Parabolün kapalı bir aralıktaki en küçük değeri, tepe noktası aralığın içindeyse tepe noktasında, dışındaysa aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
3
Elde edilen g(m)g(m) parçalı fonksiyonunun her bir bölgedeki en küçük değerlerini hesaplayın.
- m<0m < 0 bölgesi için: g(m)=m2+4m+5g(m) = m^2 + 4m + 5 parabolünün tepe noktası m=−2m = -2 noktasındadır ve bu bölgeye dahildir. Minimum değer g(−2)=1g(-2) = 1 olur.
- 0≤m≤20 \le m \le 2 bölgesi için: g(m)=4m+5g(m) = 4m + 5 doğrusal fonksiyonunun minimum değeri m=0m = 0 için 55 olur.
- m>2m > 2 bölgesi için: g(m)=m2+9g(m) = m^2 + 9 parabolünün tepe noktası m=0m = 0 olup bu bölgeye dahil değildir. m>2m > 2 için fonksiyon artandır ve en küçük değerini sınırda 1313'e yaklaşırken alır.
Parçalı tanımlı bir fonksiyonun küresel minimumunu bulmak için her bir parçanın kendi tanım aralığındaki en küçük değerleri karşılaştırılır.
4
Bölgelerden elde edilen en küçük değerleri karşılaştırarak genel minimumu bulun.
Bulunan minimum değerler sırasıyla 11, 55 ve 1313'tür. Bunlar arasındaki en küçük değer 11'dir.
g(m)g(m) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer tüm gerçel sayılar kümesindeki en küçük çıktıdır.

Key Concept

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerinin tepe noktasının aralığa göre konumuna bağlı olarak bulunması
Question 64Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği, xx eksenini yalnızca x=−2x = -2 ve x=4x = 4 noktalarında kesmektedir.

Buna göre,
g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için g(x)=2g(x) = 2 eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8
Doğru yanıt olan 8 değeri, g(x) = 2 denklemini sağlayan f(x - 3) = 0 eşitliğinden elde edilen x = 1 ve x = 7 köklerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
g(x) fonksiyonunun tanımında g(x) yerine 2 yazılır.
2 = f(x - 3) + 2 denklemi elde edilir.
g(x) = 2 eşitliğini sağlayan x değerlerini belirlemek için bu e��itlik kurulmalıdır.
2
Elde edilen denklemde f(x - 3) ifadesi yalnız bırakılır.
f(x - 3) = 0 olur.
Fonksiyonun sıfır olduğu değerleri (x eksenini kestiği noktaları) kullanabilmek için.
3
f(x) = 0 eşitliğini sağlayan değerler yerine yazılır.
x - 3 = -2 veya x - 3 = 4 denklemleri elde edilir.
Soruda f fonksiyonunun x eksenini yalnızca x = -2 ve x = 4 noktalarında kestiği belirtilmiştir.
4
Elde edilen basit denklemler çözülür.
x = 1 ve x = 7 bulunur.
g(x) = 2 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulmak için.
5
Bulunan x değerleri toplanır.
1 + 7 = 8 elde edilir.
Soruda bu değerlerin toplamı istendiği için.

Key Concept

Bir fonksiyonun yatay ve dikey ötelenmesi altında grafik üzerindeki noktaların koordinatlarının nasıl değiştiğinin belirlenmesi.
Estimated Time:1m 40s
Question 65Question →

Bir oyuncak üreticisi, ürettiği bir oyuncağın adet satış fiyatını xx TL olarak belirlediğinde, haftalık satış miktarının 180−3x180 - 3x adet olacağını öngörmektedir. Bu oyunca��ın bir adedinin üretim maliyeti 2020 TL'dir. Üretici, yaptığı bir anlaşma gereği haftada en az 7575 adet oyuncak satmak zorundadır. Buna göre, üreticinin bu oyuncak satışından elde edebileceği haftalık maksimum kâr kaç TL'dir?

Show answer & explanation

Answer: 1125

Answer

Üreticinin elde edebileceği haftalık maksimum kâr 1125 TL'dir.
Satış miktarının en az 75 adet olması şartı, satış fiyatı olan xx değerinin en fazla 35 TL olabileceğini gösterir (x≤35x \leq 35). Kâr fonksiyonu olan K(x)=(x−20)(180−3x)K(x) = (x - 20)(180 - 3x) parabolünün tepe noktası x=40x = 40 olup bu değer izin verilen x≤35x \leq 35 aralığının dışındadır. Kolları aşağıya doğru olan parabol, tepe noktasına kadar sürekli artan bir grafik çizer. Bu nedenle xx değeri 35'e yaklaştıkça kâr artar ve maksimum kâr x=35x = 35 değerinde 1125 TL olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Satış miktarı kısıtlamasına göre satış fiyatının alabileceği değerler aralığını belirlemek.
Tanım kümesi [20,35][20, 35] aralığı olarak bulunur.
Haftalık satış miktarının en az 75 olması gerektiği (180−3x≥75180 - 3x \geq 75) belirtilmiştir ve kâr elde etmek için satış fiyatı birim maliyet olan 20 TL'den az olamaz.
2
Haftalık kârı veren ikinci dereceden fonksiyonu (parabolü) oluşturmak.
K(x)=−3x2+240x−3600K(x) = -3x^2 + 240x - 3600
Kâr, birim kâr (x−20x - 20) ile satış miktarının (180−3x180 - 3x) çarpımına eşittir.
3
Oluşan parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulmak.
r=40r = 40
İkinci dereceden fonksiyonların en büyük/en küçük değer analizi tepe noktası koordinatları yardımıyla yapılır.
4
Tepe noktasının tanım kümesi ile olan ilişkisini incelemek ve maksimum kârı verecek xx değerini belirlemek.
Maksimum kâr x=35x = 35 noktasında oluşur.
r=40r = 40 değeri [20,35][20, 35] tanım aralığının dışındadır. Kolları aşağı doğru olan bu parabol, tepe noktasına kadar (x<40x < 40 için) artan olduğundan, [20,35][20, 35] aralığındaki en büyük değerini aralığın en sağındaki sınır değeri olan 3535 noktasında alır.
5
Belirlenen satış fiyatı değerini kâr fonksiyonunda yerine yazıp hesaplama yapmak.
11251125 TL
K(35)=(35−20)×(180−3×35)=15×75=1125K(35) = (35 - 20) \times (180 - 3 \times 35) = 15 \times 75 = 1125 işleminin sonucudur.

Key Concept

Sınırlı bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulurken, tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilmelidir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa, maksimum veya minimum değerler aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
Question 66Question →
Bir gözlem balonunun yerden yüksekliği (metre cinsinden), zamana (dakika cinsinden) bağlı olarak
f(t)=−t2+6t+16f(t) = -t^2 + 6t + 16
fonksiyonuyla modellenmektedir.

Buna göre, bu balonun [4,7][4, 7] zaman aralığında (4. ve 7. dakikalar dahil) ulaştığı en büyük yükseklik ile en küçük yükseklik değerleri aras��ndaki fark kaç metredir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

En büyük ve en küçük yükseklik değerleri arasındaki fark 15 metredir.
Balonun [4,7][4, 7] zaman aralığında ulaştığı en büyük değer sol sınır olan t=4t=4 anında 24 metre, en küçük değer ise sağ sınır olan t=7t=7 anında 9 metredir. Bu iki değer arasındaki fark 15 metredir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının apsisini bulmak için r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü uygulanır.
r=3r = 3 elde edilir.
Parabolün artanlık ve azalanlık seyrinin değiştiği tepe noktasını tespit etmek.
2
Tepe noktasının verilen [4,7][4, 7] kapalı aralığına göre konumu değerlendirilir.
r=3r = 3 değeri [4,7][4, 7] aralığının dışındadır ve solundadır.
Maksimum ve minimum değerlerin aralıkta nerede oluşacağını belirlemek.
3
Fonksiyonun [4,7][4, 7] aralığındaki uç noktalarındaki değerleri hesaplanır.
f(4)=24f(4) = 24 ve f(7)=9f(7) = 9 olarak bulunur.
Fonksiyon bu aralıkta azalan olduğundan, en büyük değer sol sınırda, en küçük değer sağ sınırda elde edilir.
4
Uç değerler arasındaki fark alınır.
24−9=1524 - 9 = 15 bulunur.
En büyük ve en küçük değerler arasındaki farkı hesaplamak.

Key Concept

Bir parabolün kapalı bir aral��ktaki en büyük ve en küçük değerleri bulunurken, tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Tepe noktası aralığın dışındaysa, en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında oluşur.
Question 67Question →
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 fonksiyonunun [0,5][0, 5] kapalı aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

En büyük ve en küçük değerlerin toplamı 15'tir.
Fonksiyonun [0,5][0, 5] aralığındaki en küçük değeri tepe noktasında (x=2x = 2 için 33), en büyük değeri ise tepe noktasından en uzak olan uç noktada (x=5x = 5 için 1212) elde edilir. Bu değerlerin toplamı 3+12=153 + 12 = 15 olur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının apsisi (rr) bulunur.
r=−b2a=−−42⋅1=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2
Tepe noktasının verilen aralık içerisinde olup olmadığını belirlemek için apsis değeri hesaplanmalıdır.
2
Bulunan r=2r = 2 değerinin [0,5][0, 5] aralığında olup olmadığı kontrol edilir ve bu noktadaki fonksiyon değeri hesaplanır.
f(2)=22−4(2)+7=3f(2) = 2^2 - 4(2) + 7 = 3
r=2r = 2 değeri [0,5][0, 5] aralığındadır. Parabolün başkatsayısı pozitif (a=1>0a = 1 > 0) olduğundan, bu aralıktaki en küçük değer tepe noktasında alınır. Dolayısıyla en küçük değer 33'tür.
3
Aralığın uç noktaları olan x=0x = 0 ve x=5x = 5 için fonksiyon de��erleri hesaplanır.
f(0)=7f(0) = 7 ve f(5)=12f(5) = 12
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük değeri, sınır noktalarından birinde bulunur. Simetri ekseni olan x=2x = 2 doğrusuna daha uzak olan uç noktada (x=5x = 5) en büyük değer elde edilir. Bu değer 1212'dir.
4
Elde edilen en büyük ve en küçük değerler toplanır.
3+12=153 + 12 = 15
Soruda bizden en büyük ve en küçük değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktası (eğer aralığa dahilse) ve aralığın uç noktalarındaki değerler incelenir.
Question 68Question →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan y=f(x)y = f(x) parabolü xx-eksenini A(1,0)A(1, 0) ve B(5,0)B(5, 0) noktalarında kesmektedir.

Bu parabolün grafiği;
* xx-ekseni boyunca sola aa birim,
* yy-ekseni boyunca yukarı bb birim

ötelenerek tepe noktası T′(0,7)T'(0, 7) olan y=g(x)y = g(x) parabolü elde ediliyor.

f(0)=−5f(0) = -5 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Öteleme miktarlarının toplamı 6'dır.
Parabolün tepe noktası olan T(3,4)T(3, 4) noktası, sola 33 birim ötelenerek apsisi 00 yapılır (a=3a=3), yukarı 33 birim ötelenerek ordinatı 77 yapılır (b=3b=3). Bu durumda a+ba+b toplamı 66 olur.

Step-by-Step Solution

1
Eksenleri kestiği noktaları bilinen parabolün genel denklemini yazalım.
f(x)=k(x−1)(x−5)f(x) = k(x - 1)(x - 5)
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar 1 ve 5 olarak verilmiştir.
2
y-eksenini kestiği nokta olan (0,−5)(0, -5) değerini kullanarak başkatsayı kk'yi bulalım.
f(0)=k(0−1)(0−5)=−5  ⟹  5k=−5  ⟹  k=−1f(0) = k(0 - 1)(0 - 5) = -5 \implies 5k = -5 \implies k = -1 bulunur. Buradan parabol denklemi f(x)=−(x−1)(x−5)f(x) = -(x - 1)(x - 5) olur.
Parabolün y-intercept değeri başkatsayının değerini belirlememizi sağlar.
3
Parabolün tepe noktası T(r,s)T(r, s) koordinatlarını hesaplayalım.
r=1+52=3r = \frac{1 + 5}{2} = 3 ve s=f(3)=−(3−1)(3−5)=4s = f(3) = -(3 - 1)(3 - 5) = 4 olduğundan T(3,4)T(3, 4) elde edilir.
Grafik ötelemelerinde tepe noktasının hareketini takip etmek en pratik yöntemdir.
4
Sola aa birim ve yukarı bb birim öteleme kurallarını tepe noktasına uygulayarak yeni tepe noktası T′(0,7)T'(0, 7) ile eşitleyelim.
Sola aa birim öteleme apsisi 3−a3 - a, yukarı bb birim öteleme ordinatı 4+b4 + b yapar. Buradan 3−a=0  ⟹  a=33 - a = 0 \implies a = 3 ve 4+b=7  ⟹  b=34 + b = 7 \implies b = 3 bulunur.
Sola öteleme apsisi azaltırken, yukarı öteleme ordinatı artırır.
5
Bulunan öteleme miktarlarını toplayalım.
a+b=3+3=6a + b = 3 + 3 = 6 elde edilir.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak için.

Key Concept

Parabol Grafiklerinde Dikey ve Yatay Öteleme
Question 69Question →

Bir dijital yayın platformunun aylık abonelik ücreti 8080 TL olarak belirlendiğinde platformun aylık toplam abone sayısı 200 000200\,000 kişi olmaktadır. Platform yönetimi, aylık abonelik ücretinde yapılan her 22 TL'lik indirim için abone sayısının 10 00010\,000 kişi artacağını öngörmektedir. Buna göre, bu platformun aylık toplam abonelik gelirinin en fazla olması için aylık abonelik ücreti kaç TL olmalıdır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Platformun aylık toplam abonelik gelirini en fazla yapmak için belirlenmesi gereken aylık abonelik ücreti 60 TL'dir.
Toplam abonelik geliri fonksiyonu G(x)=10 000(−2x2+40x+1600)G(x) = 10\,000(-2x^2 + 40x + 1600) şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun baş katsayısı negatif olduğundan grafiği kolları aşağı doğru olan bir paraboldür ve en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−402⋅(−2)=10r = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 olarak bulunur. Maksimum geliri sağlayan aylık abonelik ücreti ise 80−2(10)=6080 - 2(10) = 60 TL'dir.

Step-by-Step Solution

1
Abonelik ücretinde yapılacak indirim sayısını bir değişkenle ifade etme.
Yapılacak indirim sayısı xx olsun. Her indirim 22 TL olduğuna göre, yeni abonelik ücreti 80−2x80 - 2x TL olur.
Ücret ile indirim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak için.
2
İndirim sayısına bağlı olarak yeni abone sayısını veren ifadeyi yazma.
Her indirim için abone sayısı 10 00010\,000 kişi arttığına göre, xx indirim sonrası yeni abone sayısı 200 000+10 000x=10 000(20+x)200\,000 + 10\,000x = 10\,000(20 + x) kişi olur.
Abone sayısı ile indirim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için.
3
Aylık toplam gelir fonksiyonunu oluşturma.
Aylık gelir fonksiyonu G(x)=(80−2x)⋅10 000(20+x)=10 000⋅(−2x2+40x+1600)G(x) = (80 - 2x) \cdot 10\,000(20 + x) = 10\,000 \cdot (-2x^2 + 40x + 1600) olarak elde edilir.
Toplam geliri, birim ücret ile toplam abone sayısının çarpımı şeklinde modellemek için.
4
Oluşan parabolün maksimum değerini aldığı tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
G(x)G(x) fonksiyonunu maksimum yapan xx değeri, parabolün tepe noktasının apsisidir: r=−b2a=−402⋅(−2)=10r = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 olur.
Kolları aşağı doğru olan parabolün en büyük değerini tepe noktasında aldığını bilerek en uygun indirim sayısını bulmak için.
5
Maksimum gelir için belirlenmesi gereken abonelik ücretini hesaplama.
x=10x = 10 için yeni abonelik ücreti 80−2(10)=6080 - 2(10) = 60 TL olarak hesaplanır.
Bulunan en uygun indirim sayısını abonelik ücreti denkleminde yerine yazmak için.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) en büyük veya en küçük değer uygulamalarında tepe noktasının koordinatları kullanılır. Kollar aşağı doğru olan bir parabolde en büyük değer, tepe noktasının apsisi olan r=−b/(2a)r = -b/(2a) değeri fonksiyon yerine yazılarak elde edilir.
Question 70Question →

Baş katsayısı 11 olan ikinci dereceden bir f(x)f(x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] ve grafiğinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 22'dir.

Bu fonksiyonun grafiği mm birim sağa ve nn birim yukarı ötelendiğinde; g(x)=0g(x) = 0 denkleminin kökleri y-eksenine göre simetrik olan ve y-eksenini −3-3 ordinatlı noktada kesen bir g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, m+nm + n toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Doğru cevap 1'dir.
Verilen bilgilere göre f(x) fonksiyonunun tepe noktası (3, -7) olarak bulunur. g(x) fonksiyonunun köklerinin y-eksenine göre simetrik olması, tepe noktasının y-ekseni üzerinde olmasını gerektirir. Bu durum, tepe noktasının apsisinin 0 olması anlamına gelir. Dolayısıyla fonksiyon 3 birim sola ötelenmiştir, yani m = -3'tür. Ötelenmiş fonksiyon g(x) = f(x+3) + n = x^2 - 7 + n biçimindedir. y-eksenini kesen noktanın ordinatı -3 olduğundan g(0) = -3 eşitliğinden n = 4 elde edilir. Buradan m + n = -3 + 4 = 1 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
f(x) fonksiyonunun denklemini belirleyelim.
f(x)=(x−3)2−7f(x) = (x-3)^2 - 7
Baş katsayısı 1 olan parabolün azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] ise tepe noktasının apsisi r=3r = 3'tür. Parabolün denklemi f(x)=(x−3)2+kf(x) = (x-3)^2 + k şeklindedir. y-keseni 2 olduğundan f(0)=9+k=2  ⟹  k=−7f(0) = 9 + k = 2 \implies k = -7 bulunur.
2
g(x) fonksiyonunun yatay öteleme miktarı olan m değerini bulalım.
m=−3m = -3
g(x)=0g(x) = 0 denkleminin kökleri y-eksenine göre simetrik ise g(x)g(x) parabolünün tepe noktası y-ekseni üzerinde olmalıdır, yani tepe noktasının apsisi 0 olmalıdır. f(x)f(x)'in tepe noktası apsisi 3 olduğuna göre, tepe noktasını 0 yapmak için grafik 3 birim sola ötelenmelidir. mm birim sağa öteleme yapıldığından m=−3m = -3 olmalıdır.
3
g(x) fonksiyonunu tanımlayıp n değerini bulalım.
n=4n = 4
g(x)=f(x−m)+n=f(x+3)+ng(x) = f(x - m) + n = f(x + 3) + n olur. Buradan g(x)=((x+3)−3)2−7+n=x2−7+ng(x) = ((x+3)-3)^2 - 7 + n = x^2 - 7 + n elde edilir. g(x)g(x) fonksiyonunun y-keseni −3-3 olduğundan g(0)=−7+n=−3  ⟹  n=4g(0) = -7 + n = -3 \implies n = 4 bulunur.
4
m + n toplamını hesaplayalım.
m+n=−3+4=1m + n = -3 + 4 = 1
İstenen toplamı bulmak için elde edilen m ve n değerlerini toplarız.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonlarda artanlık/azalanlık sınırının simetri eksenini belirlemesi ve yatay/dikey ötelemelerin tepe noktası üzerindeki etkisi.
Question 71Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafiği aa birim sağa ve bb birim aşağı ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir. f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının grafiklerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2’dir. Orijinden geçen bir dd doğrusunun hem T1T_1 hem de T2T_2 noktasından geçtiği ve bu iki grafiğin yy ekseni üzerinde kesiştiği bilinmektedir. Buna göre, köşe noktaları T1T_1, T2T_2 ve bu iki grafiğin kesişim noktası olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Köşe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4), T2(3,−12)T_2(3, -12) ve kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olan üçgenin alanı 3 birimkaredir.
Tepe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4) ve T2(3,−12)T_2(3, -12) ile kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olarak doğru şekilde belirlenip üçgenin alan formülü uygulandığında alan 3 birimkare olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun tepe noktası T1(r1,s1)T_1(r_1, s_1) koordinatlarını bulalım.
r1=−−22=1r_1 = -\frac{-2}{2} = 1 ve s1=f(1)=12−2(1)−3=−4s_1 = f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4 olduğundan T1(1,−4)T_1(1, -4) olur.
Ötelenen fonksiyonun tepe noktasını takip edebilmek için öncelikle orijinal fonksiyonun tepe noktasını bulmamız gerekir.
2
Orijinden ve T1(1,−4)T_1(1, -4) noktasından geçen dd doğrusunun denklemini yazalım ve T2T_2 tepe noktasının koordinatları arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
dd doğrusunun eğimi m=−4−01−0=−4m = \frac{-4-0}{1-0} = -4 olup denklemi y=−4xy = -4x şeklindedir. f(x)f(x) fonksiyonu aa birim sağa ve bb birim aşağı ötelendiğinde T2(1+a,−4−b)T_2(1+a, -4-b) noktası elde edilir. Bu nokta y=−4xy = -4x doğrusu üzerinde olduğundan −4−b=−4(1+a)  ⟹  b=4a-4-b = -4(1+a) \implies b = 4a elde edilir.
Öteleme miktarları aa ve bb arasındaki ilk ilişkiyi bulmak için tepe noktalarının doğrusal olma özelliğini kullanırız.
3
Grafiklerin yy ekseni üzerinde kesiştiği bilgisini kullanarak aa ve bb arasındaki ikinci ilişkiyi bulalım ve a,ba, b değerlerini çözelim.
Kesişim noktası yy ekseni üzerinde olduğundan x=0x=0 için f(0)=g(0)f(0) = g(0) olmalıdır. f(0)=−3f(0) = -3 ve g(0)=f(−a)−b=a2+2a−3−bg(0) = f(-a) - b = a^2 + 2a - 3 - b yazılır. Buradan a2+2a−3−b=−3  ⟹  b=a2+2aa^2 + 2a - 3 - b = -3 \implies b = a^2 + 2a bulunur. b=4ab = 4a eşitliğini yerine yazarsak a2+2a=4a  ⟹  a2−2a=0a^2 + 2a = 4a \implies a^2 - 2a = 0 olur. a>0a > 0 olduğundan a=2a = 2 ve b=8b = 8 bulunur.
İki eğrinin kesişim noktası yardımıyla aa ve bb değerlerini tek türlü belirlemek için bu denklemi kurarız.
4
Köşe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4), T2(3,−12)T_2(3, -12) ve kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olan üçgenin alanını hesaplayalım.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alan formülünden: Alan=12∣0(−4−(−12))+1(−12−(−3))+3(−3−(−4))∣=12∣−9+3∣=3\text{Alan} = \frac{1}{2} |0(-4 - (-12)) + 1(-12 - (-3)) + 3(-3 - (-4))| = \frac{1}{2} |-9 + 3| = 3 birimkare bulunur.
İstenen üçgenin alanını bulmak için köşe noktalarının koordinatlarını alan formülünde yerine koyarız.

Key Concept

Bir fonksiyon grafiğinin yatay ve dikey ötelenmesiyle tepe noktasının ve fonksiyon denkleminin değişim kuralları.
Question 72Question →

Bir dikdörtgenin komşu iki kenarının uzunlukları sırasıyla x cmx\text{ cm} ve (12−x) cm(12 - x)\text{ cm} olarak verilmiştir.

Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç santimetrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

En büyük alan değeri 36 santimetrekaredir.
Dikdörtgenin alanı A(x)=−x2+12xA(x) = -x^2 + 12x fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyon başkatsayısı negatif olan bir parabol belirttiği için en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−122⋅(−1)=6r = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6 ve bu noktadaki alan değeri A(6)=36A(6) = 36 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 36'dır.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu oluşturun.
A(x)=x⋅(12−x)=−x2+12xA(x) = x \cdot (12 - x) = -x^2 + 12x
Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının uzunluklarının çarpımına eşittir.
2
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulun.
r=−b2a=−122⋅(−1)=6r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6
Kolları aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
3
Tepe noktasının ordinatını (kk) hesaplayarak maksimum alanı bulun.
k=A(6)=−(6)2+12⋅6=−36+72=36k = A(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 = -36 + 72 = 36
Bulunan x=6x = 6 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak en büyük alan hesaplanır.

Key Concept

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının ordinatı (kk), fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değeri verir.

Alternative Method

Türev yardımıyla da bu problemi çözebiliriz. Alan fonksiyonu olan A(x)=−x2+12xA(x) = -x^2 + 12x ifadesinin türevi alınarak sıfıra eşitlenir: A′(x)=−2x+12=0  ⟹  x=6A'(x) = -2x + 12 = 0 \implies x = 6 olur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en büyük alan A(6)=36A(6) = 36 olarak elde edilir.
Estimated Time:1m 0s
Question 73Question →

Analitik düzlemde, y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile xx ekseni arasında kalan bölgede; bir kenarı xx ekseni üzerinde, di��er iki köşesi ise bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor.

Buna göre, çizilebilecek bu dikdörtgenin çevresi en çok kaç birim olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Çizilebilecek dikdörtgenin çevresi en çok 26 birimdir.
Parabolün altında kalan dikdörtgenin çevre uzunluğu C(x)=−2x2+4x+24C(x) = -2x^2 + 4x + 24 fonksiyonu ile modellenir. Bu fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=1r = 1 olup, en büyük çevre değeri C(1)=26C(1) = 26 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün altında kalan dikdörtgenin köşelerini değişkenler cinsinden tanımlama.
Dikdörtgenin parabol üzerindeki köşeleri P(x,12−x2)P(x, 12 - x^2) ve Q(−x,12−x2)Q(-x, 12 - x^2), xx ekseni üzerindeki köşeleri ise P′(x,0)P'(x, 0) ve Q′(−x,0)Q'(-x, 0) olarak belirlenir.
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirlemek için köşe koordinatlarının yazılması gerekir.
2
Kenar uzunluklarını belirleme ve çevre fonksiyonunu oluşturma.
Yatay kenar 2x2x birim, dikey kenar 12−x212 - x^2 birimdir. Çevre fonksiyonu C(x)=2(2x+12−x2)=−2x2+4x+24C(x) = 2(2x + 12 - x^2) = -2x^2 + 4x + 24 olarak elde edilir.
Dikdörtgenin çevresini xx deği��kenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak modellemek için.
3
Çevre fonksiyonunun tepe noktasının apsisini (en büyük değeri veren xx değerini) bulma.
r=−b2a=−42(−2)=1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1 bulunur.
Kollar aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
4
Maksimum çevre değerini hesaplama.
x=1x = 1 için C(1)=−2(1)2+4(1)+24=26C(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 24 = 26 birim elde edilir.
Maksimum çevre uzunluğuna ulaşmak için xx yerine tepe noktasının apsis değerini yazmak gerekir.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktasının koordinatlarının kullanılması.
Estimated Time:2m 0s
Question 74Question →

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 fonksiyonunun grafiği;
* xx ekseni boyunca pozitif yönde aa birim (a>0a > 0),
* yy ekseni boyunca negatif yönde bb birim (b>0b > 0)
ötelenerek bir g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Bu öteleme sonucunda elde edilen g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası ise T1T_1 olmaktadır.

T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimi −075-0{}75 ve bu iki nokta arasındaki uzaklık 1010 birim olduğuna göre, g(0)g(0) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 111

Answer

Öteleme miktarları doğru bir şekilde belirlenip fonksiyon kuralları uygulandığında g(0)g(0) değeri 111 olarak bulunur.
Verilen parabolün tepe noktası T1(3,−4)T_1(3, -4) olarak hesaplanır. Sağa aa ve aşağı bb birimlik öteleme, tepe noktasını T2(3+a,−4−b)T_2(3+a, -4-b) noktasına taşır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi −ba=−34-\frac{b}{a} = -\frac{3}{4} bağıntısını verir. İki nokta arasındaki uzaklık ise a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 eşitliğini sağlar. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=8a = 8 ve b=6b = 6 değerlerine ulaşılır. Böylece yeni fonksiyon g(x)=f(x−8)−6g(x) = f(x-8) - 6 olarak tanımlanır. g(0)=f(−8)−6g(0) = f(-8) - 6 ifadesinde f(−8)=117f(-8) = 117 değeri yerine yazıldığında sonuç 111 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk parabolün tepe noktasını bulma
T1(3,−4)T_1(3, -4)
f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 parabolünde tepe noktasının apsisi r=−−62=3r = -\frac{-6}{2} = 3 ve ordinatı k=f(3)=32−6(3)+5=−4k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = -4 olur.
2
Ötelenmiş parabolün tepe noktasını tanımlama
T2(3+a,−4−b)T_2(3+a, -4-b)
Grafik sağa (pozitif yönde) aa birim ve aşağı (negatif yönde) bb birim ötelendiği için tepe noktasının yeni koordinatları bu şekilde değişir.
3
Eğim ve uzaklık ilişkisini kullanarak aa ve bb değerlerini çözme
a=8a = 8 ve b=6b = 6
Eğim m=−ba=−075=−34  ⟹  b=34am = \frac{-b}{a} = -0{}75 = -\frac{3}{4} \implies b = \frac{3}{4}a olur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden a2+b2=102  ⟹  a2+916a2=100  ⟹  2516a2=100  ⟹  a2=64  ⟹  a=8a^2 + b^2 = 10^2 \implies a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 100 \implies \frac{25}{16}a^2 = 100 \implies a^2 = 64 \implies a = 8 ve b=6b = 6 bulunur.
4
g(x)g(x) kuralını yazıp g(0)g(0) değerini hesaplama
g(0)=111g(0) = 111
g(x)=f(x−8)−6g(x) = f(x - 8) - 6 olur. Buradan g(0)=f(−8)−6g(0) = f(-8) - 6 elde edilir. f(−8)=(−8)2−6(−8)+5=117f(-8) = (-8)^2 - 6(-8) + 5 = 117 olduğundan g(0)=117−6=111g(0) = 117 - 6 = 111 bulunur.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonlarda dikey ve yatay öteleme kuralları, ötelemenin tepe noktasına etkisi ile analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık ve eğim kavramlarının koordinat takibi ile birleştirilmesi.
Estimated Time:2m 30s
Question 75Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Bu fonksiyonun grafiğinin yy eksenine göre simetriği alındığında elde edilen yeni grafiğin tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: (−2,−4)(-2, -4)

Answer

(−2,−4)(-2, -4) noktası
Doğru cevap olan (−2,−4)(-2, -4) noktası, orijinal fonksiyonun tepe noktası olan T(2,−4)T(2, -4) noktasının yy eksenine göre simetriği alınarak elde edilir. yy eksenine göre simetri dönüşümünde noktaların ordinatları değişmezken, apsisleri işaret değiştirir. Dolayısıyla (2,−4)(2, -4) noktası (−2,−4)(-2, -4) noktasına dönüşür.

Step-by-Step Solution

1
Orijinal f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x parabolünün tepe noktasının (T(r,k)T(r,k)) koordinatlarını bulun.
r=−b2a=−−42⋅1=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ve k=f(2)=22−4(2)=−4k = f(2) = 2^2 - 4(2) = -4 olduğundan tepe noktası T(2,−4)T(2, -4) olur.
Simetri dönüşümünü uygulamak için öncelikle orijinal grafiğin tepe noktasını belirlememiz gerekir.
2
yy eksenine göre simetri dönüşümünü tepe noktasına uygulayın.
yy eksenine göre simetride her (x,y)(x, y) noktası (−x,y)(-x, y) noktasına dönüşür. Bu durumda T(2,−4)T(2, -4) noktası T′(−2,−4)T'(-2, -4) olur.
Bir fonksiyonun grafiğinin yy eksenine göre simetriği alındığında, grafikteki tüm noktaların apsislerinin işareti değişirken ordinatları aynı kalır.

Key Concept

Fonksiyonların y eksenine göre simetri dönüşümünde g(x)=f(−x)g(x) = f(-x) kuralı uygulanır ve bu dönüşüm grafik üzerindeki her (x,y)(x,y) noktasını (−x,y)(-x,y) noktasına taşır.

Alternative Method

Alternatif olarak, fonksiyonun yy eksenine göre simetriği olan yeni fonksiyon g(x)=f(−x)g(x) = f(-x) olarak yazılabilir. g(x)=(−x)2−4(−x)=x2+4xg(x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x parabolünün tepe noktası hesaplandığında; apsis r=−42=−2r = -\frac{4}{2} = -2 ve ordinat k=g(−2)=(−2)2+4(−2)=−4k = g(-2) = (-2)^2 + 4(-2) = -4 bulunur. Buradan da tepe noktası (−2,−4)(-2, -4) olarak elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 76Question →

Analitik düzlemde, AA ve BB hareketlileri sırasıyla yy ve xx eksenleri üzerinde hareket etmektedir.

AA hareketlisi t=0t = 0 anında (0,9)(0, 9) noktasından başlayarak yy-ekseninin negatif yönünde saniyede 1 birim hızla, BB hareketlisi ise t=0t = 0 anında (−3,0)(-3, 0) noktasından başlayarak xx-ekseninin pozitif yönünde saniyede 2 birim hızla hareket etmektedir.

Bu iki hareketli arasındaki mesafe, hareketin başladığı andan itibaren ilk 2 saniye boyunca izleniyor.

Buna göre, bu izleme süresi boyunca iki hareketli arasındaki mesafenin alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 525\sqrt{2}

Answer

İki hareketli arasındaki mesafenin alabileceği en küçük değer 525\sqrt{2} birimdir.
Doğru olan 525\sqrt{2} birimlik mesafe, hareketlilerin zamanla değişen konumları arasındaki uzaklığın karesini veren d2(t)=5t2−30t+90d^2(t) = 5t^2 - 30t + 90 fonksiyonunun [0,2][0, 2] kapalı aralığında incelenmesiyle elde edilir. Parabolün tepe noktası t=3t=3 aralık dışında kaldığı ve fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında sürekli azaldığı için, minimum değer sınır değeri olan t=2t=2 anında gerçekleşir ve g(2)=50=52\sqrt{g(2)} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
tt saniye sonra hareketlilerin konumlarını belirleme.
tt. saniyede AA hareketlisinin konumu (0,9−t)(0, 9 - t), BB hareketlisinin konumu ise (−3+2t,0)(-3 + 2t, 0) olur.
AA hareketlisi (0,9)(0, 9) noktasından başlayarak saniyede 1 birim hızla aşağı yönde, BB hareketlisi ise (−3,0)(-3, 0) noktasından başlayarak saniyede 2 birim hızla sağa yönde gitmektedir.
2
İki hareketli arasındaki mesafenin karesini veren fonksiyonu yazma.
d2(t)=(2t−3)2+(9−t)2=5t2−30t+90d^2(t) = (2t - 3)^2 + (9 - t)^2 = 5t^2 - 30t + 90 fonksiyonu elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü (d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) uygulanmıştır.
3
Elde edilen parabolün tepe noktasını bulma ve aralık kontrolü yapma.
Tepe noktasının apsisi r=−−302⋅5=3r = -\frac{-30}{2 \cdot 5} = 3 olarak bulunur. Ancak 33 değeri, tanımlanan [0,2][0, 2] aralığına ait değildir (3∉[0,2]3 \notin [0, 2]).
Parabolün en küçük değerini alabileceği yerel ekstremum noktasını saptamak için tepe noktası incelenir.
4
[0,2][0, 2] kapalı aralığındaki en küçük değeri belirleme.
Fonksiyonun başkatsayısı pozitif (a=5>0a = 5 > 0) olup tepe noktası r=3r = 3 aralığın sağında kaldığı için, fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalandır. Bu nedenle en küçük değer t=2t = 2 anında gerçekleşir: d2(2)=5(2)2−30(2)+90=50⇒d(2)=50=52d^2(2) = 5(2)^2 - 30(2) + 90 = 50 \Rightarrow d(2) = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} birimdir.
Tepe noktası aralık dışındayken kapalı bir aralıkta sürekli azalan bir fonksiyonun en küçük değeri sağ sınırda elde edilir.

Key Concept

Tanımlı bir kapalı aralıkta parabolün en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının apsisinin (r) aralıkta olup olmadığı incelenir. Eğer tepe noktası aralık dışındaysa, parabolün aralıktaki artanlık/azalanlık durumu veya uç noktalarindeki değerler değerlendirilir.
Question 77Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
fonksiyonunun her tt gerçel sayısı için [t,t+2][t, t+2] kapalı aralığındaki en büyük değeri M(t)M(t), en küçük değeri ise m(t)m(t) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, g(t)=M(t)−m(t)g(t) = M(t) - m(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

g(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1'dir.
g(t) fonksiyonunu en küçük yapmak için parabolün [t, t+2] aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri arasındaki farkı minimize etmeliyiz. f(x) fonksiyonunun tepe noktası x = 1'dir. Aralığın tepe noktasını ortaladığı durum olan t = 0 için aralık [0, 2] olur. Bu aralıkta tepe noktası x = 1 tam ortadadır. Dolayısıyla x = 0 ve x = 2 noktalarındaki fonksiyon değerleri birbirine eşit ve en büyük değer olan 3'tür. En küçük değer ise tepe noktasındaki 2 değeridir. Aradaki fark 3 - 2 = 1 olur ve bu g(t)'nin alabileceği en küçük değerdir.

Step-by-Step Solution

1
f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.
f(x) = x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda a = 1, b = -2 ve c = 3'tür. Tepe noktasının apsisi r = -b / (2a) = -(-2) / 2 = 1 ve ordinatı k = f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2 olur. Yani tepe noktası T(1, 2) noktasıdır.
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için öncelikle tepe noktasının koordinatlarını belirlemeliyiz.
2
[t, t+2] aralığının uzunluğunu ve tepe noktasının bu aralığa göre konumunu analiz edelim.
Aralığın uzunluğu (t+2) - t = 2 birimdir. Tepe noktası olan x = 1 noktasının aralığa göre konumunu üç farklı duruma göre incelememiz gerekir: t < -1, -1 <= t <= 1 ve t > 1.
Tepe noktasının aralığın içinde olup olmaması, fonksiyonun alacağı en büyük ve en küçük değerlerin yerini belirler.
3
-1 <= t <= 1 durumunu inceleyelim.
Bu durumda x = 1 (tepe noktası) aralığın içindedir. Dolayısıyla fonksiyonun bu aralıktaki en küçük değeri tepe noktasındaki değeridir: m(t) = f(1) = 2. En büyük değer ise aralığın uç noktalarından hangisi tepe noktasına daha uzaksa orada alınır. Aralığın orta noktası t+1'dir. Eğer -1 <= t < 0 ise, orta nokta 1'in solunda olduğundan sol uç nokta t tepe noktasına daha uzaktır ve M(t) = f(t) = t^2 - 2t + 3 olur. Buradan g(t) = M(t) - m(t) = (t-1)^2 elde edilir. Eğer 0 <= t <= 1 ise, orta nokta 1'in sağında veya üzerinde olduğundan sağ uç nokta t+2 tepe noktasına daha uzaktır ve M(t) = f(t+2) = t^2 + 2t + 3 olur. Buradan g(t) = M(t) - m(t) = (t+1)^2 elde edilir. Bu iki durum birleştirildiğinde, [-1, 1] aralığında g(t) fonksiyonunun en küçük değeri t = 0 için (0+1)^2 = 1 olur.
Tepe noktasının aralık içinde olduğu durumlarda en küçük değer sabittir ve en büyük değer tepe noktasına olan uzaklığa göre değişir.
4
t < -1 ve t > 1 durumlarını inceleyelim.
t < -1 ise x = 1 noktası aralığın sağındadır ve fonksiyon azalandır. g(t) = f(t) - f(t+2) = -4t olur. t < -1 için g(t) > 4 elde edilir. t > 1 ise x = 1 noktası aralığın solundadır ve fonksiyon artandır. g(t) = f(t+2) - f(t) = 4t olur. t > 1 için g(t) > 4 elde edilir. Tüm durumlar birleştirildiğinde, g(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1 olarak bulunur.
Tepe noktasının aralık dışında olduğu durumlarda fonksiyon monoton olduğundan en büyük ve en küçük değerler daima uç noktalarda alınır.

Key Concept

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralığa göre konumunun analizi.
Estimated Time:3m 0s
Question 78Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonunun grafiği yy eksenine göre simetriktir.

f(2)=5f(2) = 5

olduğuna göre, g(x)=−f(x)+3g(x) = -f(x) + 3 biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için g(−2)g(-2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

-2
Çift fonksiyon tanımından dolayı f(−2)=f(2)=5f(-2) = f(2) = 5 olur. Dönüşüm denkleminde yerine yazıldığında g(−2)=−f(−2)+3=−5+3=−2g(-2) = -f(-2) + 3 = -5 + 3 = -2 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
ff fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği yy eksenine göre simetrik olduğundan ff bir çift fonksiyondur. Dolayısıyla her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır ve buradan f(−2)=f(2)=5f(-2) = f(2) = 5 bulunur.
Y eksenine göre simetriklik, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir.
2
g(−2)g(-2) değerini hesaplamak için dönüşüm tanımını yazma.
g(−2)=−f(−2)+3g(-2) = -f(-2) + 3 ifadesi elde edilir.
g(x)=−f(x)+3g(x) = -f(x) + 3 denkleminde xx yerine −2-2 yazılmıştır.
3
f(−2)f(-2) değerini yerine koyarak sonucu hesaplama.
g(−2)=−5+3=−2g(-2) = -5 + 3 = -2 bulunur.
Bulunan f(−2)=5f(-2) = 5 değeri denklemde yerine yazılarak toplama işlemi tamamlanır.

Key Concept

Fonksiyonların y eksenine göre simetrisi (çift fonksiyonlar) ve dikey yansıma ile öteleme dönüşümleri.
Question 79Question →
Bir tarım kooperatifi, ürettiği organik gübrenin xx tonunun satışından elde edeceği kârı (bin TL cinsinden)
K(x)=−x2+10x−13K(x) = -x^2 + 10x - 13
fonksiyonu ile modellemektedir. Depolama ve nakliye koşullarından dolayı kooperatif bir sezonda en az 11 ton, en fazla 44 ton gübre satabilmektedir.

Buna göre, bu kooperatifin bir sezonda elde edebileceği en fazla kâr kaç bin TL'dir?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Kooperatifin elde edebileceği en fazla kâr 11 bin TL'dir.
Kâr fonksiyonu olan K(x)=−x2+10x−13K(x) = -x^2 + 10x - 13 parabolünün tepe noktasının apsisi r=5r = 5 olup, bu değer [1,4][1, 4] satış aralığının dışındadır. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan fonksiyon tepe noktasına kadar artandır. Dolayısıyla, [1,4][1, 4] aralığında fonksiyon sürekli artar ve en büyük değerini aralığın sağ sınır noktası olan x=4x = 4 için alır. Bu noktadaki kâr K(4)=11K(4) = 11 bin TL'dir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (r) bulun.
r=−b2a=−102(−1)=5r = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5
Parabolün yön değiştirdiği ve simetri ekseninin bulunduğu noktayı belirlemek için.
2
Tepe noktasının apsisinin verilen tanım aralığında [1, 4] olup olmadığını kontrol edin.
5∉[1,4]5 \notin [1, 4]
Eğer tepe noktası tanım aralığının dışındaysa, en büyük/en küçük değerler aralığın uç noktalarında aranmalıdır.
3
Fonksiyonun bu aralıktaki artan/azalanlık durumunu inceleyerek en büyük değeri hesaplayın.
a=−1<0a = -1 < 0 olduğundan parabol kolları aşağı doğrudur ve x<5x < 5 için fonksiyon artandır. [1,4][1, 4] aralığında fonksiyon sürekli arttığı için en büyük değer x=4x = 4 noktasında oluşur: K(4)=−(4)2+10(4)−13=−16+40−13=11K(4) = -(4)^2 + 10(4) - 13 = -16 + 40 - 13 = 11.
Aral��ktaki sınır değerlerini analiz ederek en yüksek kâr değerini bulmak için.

Key Concept

Parabolün kapalı aralıktaki en büyük ve en k��çük değerlerini bulma
Question 80Question →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−4af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 4a
fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki en küçük de��eri g(a)g(a) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, a∈[−1,6]a \in [-1, 6] için g(a)g(a) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

g(a) fonksiyonunun alabilece��i en büyük değer 5'tir.
Doğru olan 5 değeri; tepe noktasının apsisi olan aa parametresinin [0,3][0, 3] aralığının solunda kaldığı (a<0a < 0) durum analiz edilerek elde edilir. Bu durumda g(a)=a2−4ag(a) = a^2 - 4a fonksiyonu geçerlidir ve a=−1a = -1 için bu ifade 5 değerine ulaşarak [−1,6][-1, 6] aralığındaki en büyük değeri verir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunu tam kareye tamamlayarak tepe noktasının konumunu belirleme.
f(x)=(x−a)2−4af(x) = (x - a)^2 - 4a parabolünün tepe noktasının apsisi r=ar = a ve ordinatı k=−4ak = -4a olarak elde edilir.
Kolları yukarı doğru olan bu parabolün [0,3][0, 3] aralığındaki en küçük değerinin nerede oluştuğunu belirlemek için tepe noktası apsisi olan aa'nın aralığa göre konumunu incelemeliyiz.
2
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının solunda (a<0a < 0) olması durumunu inceleme.
a<0a < 0 ise tepe noktası [0,3][0, 3] aralığının solundadır. Parabol bu aralıkta artan olduğundan, en küçük değerini sol uçta (x=0x = 0) alır: g(a)=f(0)=a2−4ag(a) = f(0) = a^2 - 4a.
Tepe noktası aralığın dışındayken fonksiyon aralık boyunca monoton artandır, dolayısıyla minimum değer sol sınırda oluşur.
3
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının içinde (0≤a≤30 \le a \le 3) olması durumunu inceleme.
0≤a≤30 \le a \le 3 ise tepe noktası aralığın içindedir. Parabol en küçük değerini tepe noktasında alır: g(a)=f(a)=−4ag(a) = f(a) = -4a.
Kolları yukarı bakan bir parabol, tepe noktası tanımlı olduğu aralıkta kaldığında en küçük değerini tepe noktasının ordinatında alır.
4
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının sağında (a>3a > 3) olması durumunu inceleme.
a>3a > 3 ise tepe noktası [0,3][0, 3] aralığının sağındadır. Parabol bu aralıkta azalan olduğundan, en küçük değerini sağ uçta (x=3x = 3) alır: g(a)=f(3)=32−2a(3)+a2−4a=a2−10a+9g(a) = f(3) = 3^2 - 2a(3) + a^2 - 4a = a^2 - 10a + 9.
Tepe noktası aralığın sağında kaldığında parabol bu aralıkta monoton azalandır, bu yüzden en küçük değerini sağ sınırda alır.
5
g(a)g(a) parçalı fonksiyonunun [−1,6][-1, 6] aralığındaki maksimum değerini hesaplama.
Bölgeleri ayrı ayrı inceleriz:
1) a∈[−1,0)a \in [-1, 0) için g(a)=a2−4ag(a) = a^2 - 4a azalandır. En büyük değer a=−1a = -1 için g(−1)=1+4=5g(-1) = 1 + 4 = 5 olur.
2) a∈[0,3]a \in [0, 3] için g(a)=−4ag(a) = -4a azalandır. En büyük değer a=0a = 0 için g(0)=0g(0) = 0 olur.
3) a∈(3,6]a \in (3, 6] için g(a)=a2−10a+9g(a) = a^2 - 10a + 9 parabolünün tepe noktası a=5a = 5'tedir (burada g(5)=−16g(5) = -16 minimumdur). Uç noktalara bakıldığında g(3)=−12g(3) = -12 ve g(6)=−15g(6) = -15 olur. Bu aralıktaki değerler [−16,−12)[-16, -12) aralığındadır.
Tüm aralıklar karşılaştırıldığında, en büyük değer 5 olarak bulunur.
Parçalı tanımlanmış g(a)g(a) fonksiyonunun her bir bölgedeki maksimum değerlerini karşılaştırarak mutlak maksimum değeri elde ederiz.

Key Concept

Parabolün kapalı aralıktaki minimum değerinin tepe noktası konumuna göre değişimi ve parçalı fonksiyonlarda maksimum değer analizi.
Estimated Time:3m 0s
PreviousPage 4 / 12Next
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 4 | Examkin