Examkin

Limit ve Süreklilik

122 questions

All types122Multiple choice78True / False23Numeric21
Question 41Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve x=0x = 0 noktasında türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için f(0)=g(0)=0f(0) = g(0) = 0 ve lim⁡x→0f(x)g(x)=L∈R\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in \mathbb{R}'dir. Buna göre, L=f′(0)g′(0)L = \frac{f'(0)}{g'(0)} eşitliği her zaman sağlanır.

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen önerme yanlıştır.
Önerme yanlıştır çünkü paydanın türevinin sıfır olduğu durumlarda limit mevcut olsa bile türevler oranı tanımsız kalır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının tanımlılık durumunu incelemek.
g′(0)=0g'(0) = 0 olması durumunda f′(0)g′(0)\frac{f'(0)}{g'(0)} ifadesinin paydası sıfır olacağından bu oran tanımsız olur.
Bir eşitliğin her zaman sağlanması için ifadenin her iki tarafının da tanımlı olması gerekir.
2
Limitin var olduğu ancak türevler oranının tanımsız olduğu bir karşıt örnek oluşturmak.
f(x)=x2f(x) = x^2 ve g(x)=x2g(x) = x^2 seçildiğinde, x→0x \to 0 iken limit değeri lim⁡x→0x2x2=1\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1 olur.
Karşıt örnek yöntemiyle önermenin genel geçerliliğini test etmek.
3
Seçilen fonksiyonların türevlerini sıfır noktasında hesaplamak.
f′(x)=2x  ⟹  f′(0)=0f'(x) = 2x \implies f'(0) = 0 ve g′(x)=2x  ⟹  g′(0)=0g'(x) = 2x \implies g'(0) = 0 olur.
Karşıt örnekteki fonksiyonların x=0x = 0 noktasındaki türev değerlerini belirlemek.
4
Eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek.
L=1L = 1 iken f′(0)g′(0)=00\frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{0}{0} tanımsızlığı oluşur ve 1≠tanımsız1 \neq \text{tanımsız} olduğundan eşitlik sağlanmaz.
Elde edilen değerleri önermede yerine koyarak doğruluğunu denetlemek.

Key Concept

Türevlenebilir fonksiyonların limitlerinde 0/00/0 belirsizliği çözülürken paydanın türevinin limit noktasındaki değerinin sıfır olabilmesi durumu ve limitin türev tanımıyla ilişkisi.
Question 42Question →
11 ve 33 dışındaki tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)=x2−4x+3∣x−3∣+k⋅∣x−1∣x−1f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{|x - 3|} + k \cdot \frac{|x - 1|}{x - 1}
biçiminde veriliyor.
lim⁡x→3−f(x)=5\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5
olduğuna göre, lim⁡x→1−f(x)\lim_{x \to 1^-} f(x) limitinin de��eri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -7

Answer

Limitin değeri -7'dir.
Limit x -> 3^- için x < 3 olduğundan |x-3| = -(x-3) ve x-1 > 0 olduğundan |x-1| = x-1 olur. Bu durumda limit -(x-1) + k ifadesinde x yerine 3 yazılmasıyla -2 + k = 5 olup k = 7 bulunur. Ardından x -> 1^- için x < 1 olduğundan |x-1| = -(x-1) ve |x-3| = -(x-3) olur. Limit x -> 1^- için -(x-1) - k ifadesinde x yerine 1 yazılmasıyla -k = -7 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
x, 3'e soldan yaklaşırken mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleme
x < 3 olduğundan |x - 3| = -(x - 3) olur. Ayrıca x, 3'e çok yakın ama 3'ten küçük bir değer olduğundan x - 1 > 0 olur ve |x - 1| = x - 1 olarak dışarı çıkar.
Limit hesaplaması yapabilmek için mutlak değer ifadelerini dışarı çıkarmamız gerekir.
2
x, 3'e soldan yaklaşırken limit değerini hesaplayarak k sabiti değerini bulma
f(x) = (x-3)(x-1)/(-(x-3)) + k * (x-1)/(x-1) = -(x-1) + k olur. Buradan limit x -> 3^- için -(3-1) + k = -2 + k = 5 eşitliğinden k = 7 bulunur.
0/0 belirsizliğini gidermek için sadeleştirme işlemi yapıl��r ve k sabiti çözülür.
3
x, 1'e soldan yaklaşırken mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleme ve limit değerini hesaplama
x < 1 olduğundan |x - 1| = -(x - 1) ve |x - 3| = -(x - 3) olur. Fonksiyon f(x) = -(x-1) - k halini alır. x -> 1^- için limit -(1-1) - k = 0 - k = -7 bulunur.
x'in 1'e soldan yaklaştığı durumdaki mutlak değerlerin işaret analizi yapılarak nihai limit hesaplanır.

Key Concept

Mutlak değerli ifadelerin limitini hesaplarken, limit noktasına hangi yönden yaklaşıldığı tespit edilerek mutlak değer içindeki ifadelerin işaret analizi yapılır. Pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilerek 0/0 belirsizliği giderilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 43Question →
f(x)={ax−3,x<42x+5,x≥4f(x) = \begin{cases} ax - 3, & x < 4 \\ 2x + 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Süreklilik şartını sağlayan aa değeri 4'tür.
Fonksiyonun her noktada sürekli olabilmesi için parçalandığı x=4x = 4 sınır değerinde de sürekli olması şarttır. x=4x = 4'teki soldan limit 4a−34a - 3, sağdan limit ve f(4)f(4) değeri ise 13'tür. Bu iki değerin birbirine eşitlenmesiyle 4a−3=134a - 3 = 13 denklemi elde edilir ve buradan a=4a = 4 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kritik noktada süreklilik şartını belirleme
lim⁡x→4−f(x)=lim⁡x→4+f(x)=f(4)\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) olmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.
2
x=4x = 4 noktasındaki soldan limiti hesaplama
lim⁡x→4−(ax−3)=4a−3\lim_{x \to 4^-} (ax - 3) = 4a - 3
x<4x < 4 için fonksiyon ax−3ax - 3 kuralını kullanır.
3
x=4x = 4 noktasındaki sağdan limiti ve fonksiyon değerini hesaplama
lim⁡x→4+(2x+5)=f(4)=13\lim_{x \to 4^+} (2x + 5) = f(4) = 13
x≥4x \geq 4 için fonksiyon 2x+52x + 5 kuralını kullanır.
4
Elde edilen limit değerlerini eşitleyip aa değerini çözme
4a−3=13  ⟹  a=44a - 3 = 13 \implies a = 4
Sürekliliğin sağlanması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarında limit ve süreklilik incelemesi
Question 44Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={∣x2−1∣x−1+ax,x<1x2+bx+1,1≤x<2∣x2−5x+6∣x−2+3a−2b,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + ax, & x < 1 \\ x^2 + bx + 1, & 1 \le x < 2 \\ \frac{|x^2 - 5x + 6|}{x - 2} + 3a - 2b, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=1x = 1 ve x=2x = 2 noktalarında limiti olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

20
Doğru seçenekte belirtilen 20 sayısı, x=1x=1 ve x=2x=2 noktalarındaki limit varlığı koşulundan elde edilen a−b=4a-b=4 ve 3a−4b=43a-4b=4 denklem sisteminin ortak çözümüyle bulunan a=12a=12 ve b=8b=8 değerlerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitleri hesaplayarak eşitleyin.
x = 1 için sol limit:
lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−(∣x2−1∣x−1+ax)\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + ax \right)
x→1−x \to 1^- için x<1x < 1 olduğundan x2−1<0x^2 - 1 < 0 olur ve ifade mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar:
lim⁡x→1−−(x2−1)x−1+ax=lim⁡x→1−−(x+1)+ax=−2+a\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x^2 - 1)}{x - 1} + ax = \lim_{x \to 1^-} -(x+1) + ax = -2 + a

x = 1 için sağ limit:
lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+(x2+bx+1)=1+b+1=b+2\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + bx + 1) = 1 + b + 1 = b + 2

Limitin varlığı için bu iki limit birbirine eşit olmalıdır:
−2+a=b+2  ⟹  a−b=4-2 + a = b + 2 \implies a - b = 4 (Denklem 1)
Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında limitin bulunması için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması kuralını uygulamak.
2
x = 2 noktasındaki sağ ve sol limitleri hesaplayarak eşitleyin.
x = 2 için sol limit:
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(x2+bx+1)=4+2b+1=2b+5\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + bx + 1) = 4 + 2b + 1 = 2b + 5

x = 2 için sağ limit:
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(∣x2−5x+6∣x−2+3a−2b)\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left( \frac{|x^2 - 5x + 6|}{x - 2} + 3a - 2b \right)
x→2+x \to 2^+ için x>2x > 2 ve xx değeri 2'ye çok yakın olduğundan x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) ifadesinde x−2>0x-2 > 0 ve x−3<0x-3 < 0 olur. Çarpım negatif olacağından önüne eksi alarak çıkar:
lim⁡x→2+−(x−2)(x−3)x−2+3a−2b=lim⁡x→2+−(x−3)+3a−2b=1+3a−2b\lim_{x \to 2^+} \frac{-(x-2)(x-3)}{x - 2} + 3a - 2b = \lim_{x \to 2^+} -(x-3) + 3a - 2b = 1 + 3a - 2b

Limitin varlığı için bu iki limit birbirine eşit olmalıdır:
2b+5=1+3a−2b  ⟹  3a−4b=42b + 5 = 1 + 3a - 2b \implies 3a - 4b = 4 (Denklem 2)
Mutlak değerli ifadede 0/0 belirsizliğini gidermek için çarpanlara ayırma ve limit yönüne göre işaret incelemesi yapmak.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek a ve b parametrelerini bulunuz.
Denklem 1'den a=b+4a = b + 4 bağıntısını Denklem 2'de yerine yazalım:
3(b+4)−4b=43(b + 4) - 4b = 4
3b+12−4b=4  ⟹  −b=−8  ⟹  b=83b + 12 - 4b = 4 \implies -b = -8 \implies b = 8

b=8b = 8 değerini yerine yazarak aa değerini bulalım:
a=8+4=12a = 8 + 4 = 12

Buradan istenen toplam:
a+b=12+8=20a + b = 12 + 8 = 20 olarak elde edilir.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek parametreleri ve bunların toplamını elde etmek.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde, özellikle kritik (sınır) noktalardaki limit incelenirken sağdan ve soldan yaklaşımlar ayrı ayrı ele alınmalıdır. Mutlak değer fonksiyonunda limit alınırken limit noktasının mutlak değerin içini sıfır yapıp yapmadığı kontrol edilmeli, yaklaşılan yöne göre işaret belirlenip sadeleştirme yapılarak limit değeri hesaplanmalıdır.
Question 45Question →

a<4a < 4 olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x)={x2−a2x−a,x<ax2−6x+24,a≤x≤4log⁡3(x2−2x+k),x>4f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a^2}{x - a}, & x < a \\ \sqrt{x^2 - 6x + 24}, & a \leq x \leq 4 \\ \log_3(x^2 - 2x + k), & x > 4 \end{cases}

fonksiyonu her xx gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, a+ka + k toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 75

Answer

Süreklilik şartları doğru uygulandığında a = 2 ve k = 73 bulunur. Bu değerlerin toplamı olan 75 doğru cevaptır.
Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması için x=ax = a ve x=4x = 4 kritik noktalarında sürekli olması gerekir. x=ax = a noktasında süreklilik için sol limit olan 2a2a değeri ile sağ limit ve fonksiyon değeri olan a2−6a+24\sqrt{a^2 - 6a + 24} değeri eşit olmalıdır. Buradan a=2a = 2 elde edilir (a=−4a = -4 değeri sol limiti negatif yaptığından elenir). x=4x = 4 noktasında süreklilik için sol limit ve fonksiyon değeri olan 44 ile sağ limit olan log⁡3(8+k)\log_3(8 + k) eşit olmalıdır. Buradan k=73k = 73 elde edilir. Toplamları ise 7575 olur.

Step-by-Step Solution

1
x<ax < a için tanımlı olan x2−a2x−a\frac{x^2-a^2}{x-a} ifadesini sadeleştirerek limit durumunu incelemek.
Sol limit 2a2a olarak bulunur.
x≠ax \neq a için x2−a2x−a=x+a\frac{x^2-a^2}{x-a} = x+a eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla x→a−x \to a^- için limit değeri a+a=2aa+a = 2a olur.
2
x=ax = a noktasındaki süreklilik şartını yazmak.
a=2a = 2 bulunur.
Süreklilik için sol limit ile sağ limit ve o noktadaki fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Buradan 2a=a2−6a+242a = \sqrt{a^2 - 6a + 24} eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için 2a≥02a \geq 0 yani a≥0a \geq 0 olmalıdır. İki tarafın karesi alındığında 4a2=a2−6a+24⇒a2+2a−8=04a^2 = a^2 - 6a + 24 \Rightarrow a^2 + 2a - 8 = 0 denklemi elde edilir. Kökler a=2a = 2 ve a=−4a = -4 olup, a≥0a \geq 0 şartından dolayı a=2a = 2 seçilir.
3
x=4x = 4 noktasındaki süreklilik şartını yazarak kk parametresini bulmak.
k=73k = 73 bulunur.
x=4x = 4 noktasında süreklilik için sol limit ve fonksiyon değeri olan 42−6(4)+24=4\sqrt{4^2 - 6(4) + 24} = 4 değeri, sağ limit olan lim⁡x→4+log⁡3(x2−2x+k)=log⁡3(16−8+k)\lim_{x \to 4^+} \log_3(x^2 - 2x + k) = \log_3(16 - 8 + k) değerine eşit olmalıdır. Buradan log⁡3(8+k)=4⇒8+k=34=81⇒k=73\log_3(8 + k) = 4 \Rightarrow 8 + k = 3^4 = 81 \Rightarrow k = 73 elde edilir. Bu kk değeri için x2−2x+73>0x^2 - 2x + 73 > 0 şartı tüm x>4x > 4 sayıları için sağlandığından logaritma fonksiyonu tanımlıdır.
4
Bulunan aa ve kk değerlerini toplamak.
a+k=2+73=75a + k = 2 + 73 = 75 bulunur.
Soruda istenen a+ka + k toplamı bu iki parametrenin toplamına eşittir.

Key Concept

Parçalı fonksiyonların kritik noktalarda süreklilik tanımı, limit varlığı şartı ve tanımlı olma koşullarının analizi.
Question 46Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x−3∣+{2x−1,x<3x2−a,x≥3f(x) = |x - 3| + \begin{cases} 2x - 1, & x < 3 \\ x^2 - a, & x \geq 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa parametresinin alması gereken değerin 44 olduğu yönündeki iddia doğru mudur?
Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen iddia doğrudur. Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması için aa parametresinin 44 olması gerekir.
Verilen fonksiyonun x=3x=3 noktasında limitinin bulunabilmesi için sağdan limit olan 9−a9-a değerinin, soldan limit olan 55 değerine eşit olması zorunludur. Buradan 9−a=5  ⟹  a=49-a=5 \implies a=4 elde edildiğinden iddia doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Soldan limitin hesaplanması
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(∣x−3∣+2x−1)=∣3−3∣+2(3)−1=0+5=5\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (|x - 3| + 2x - 1) = |3 - 3| + 2(3) - 1 = 0 + 5 = 5
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan parçalı fonksiyonun ilk dalı olan 2x−12x - 1 ifadesi kullanılır ve mutlak değerin içi sıfıra yaklaşır.
2
Sağdan limitin hesaplanması
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(∣x−3∣+x2−a)=∣3−3∣+32−a=0+9−a=9−a\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (|x - 3| + x^2 - a) = |3 - 3| + 3^2 - a = 0 + 9 - a = 9 - a
x→3+x \to 3^+ için x>3x > 3 olduğundan parçalı fonksiyonun ikinci dalı olan x2−ax^2 - a ifadesi kullanılır.
3
Limitlerin eşitlenerek parametrenin bulunması
9−a=5  ⟹  a=49 - a = 5 \implies a = 4
x=3x = 3 kritik noktasında limitin var olması için sağdan ve soldan limit değerlerinin birbirine eşit olması şarttır.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer fonksiyonlarının sınır (kritik) noktasındaki limit varlığının sağdan ve soldan limit eşitliği kullan��larak incelenmesi.
Question 47Question →
L=lim⁡x→01+xsin⁡(3x)−cos⁡(2x)x2L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - \cos(2x)}{x^2}

olduğuna göre, 2L2L değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Hesaplanan limit değerinin iki katı olan 7'dir.
Limit ifadesi parçalandığında köklü terimlerin oluşturduğu birinci kısmın limiti eşlenik yardımıyla 3/2, trigonometrik terimlerin oluşturduğu ikinci kısmın limiti ise yarım açı formülüyle 2 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı olan L sayısı 7/2'dir. Soruda istenen 2L ifadesinin değeri ise 7'dir.

Step-by-Step Solution

1
Belirsizlik durumunun belirlenmesi
x→0x \to 0 için payda 02=00^2 = 0 ve pay 1+0−cos⁡(0)=1−1=0\sqrt{1+0} - \cos(0) = 1-1 = 0 olduğundan 00\frac{0}{0} belirsizliği mevcuttur.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü tespit etmek gerekir.
2
Limit ifadesinin iki parçaya ayrılması
L=lim⁡x→0(1+xsin⁡(3x)−1x2+1−cos⁡(2x)x2)L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} + \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \right)
Buradan L1=lim⁡x→01+xsin⁡(3x)−1x2L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} ve L2=lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} olsun.
Toplamsal ifadeleri ayrı ayrı limitler halinde incelemek çözümü kolaylaştırır.
3
Eşlenik çarpımı ile birinci limitin (L1L_1) hesaplanması
L1=lim⁡x→0(1+xsin⁡(3x)−1)(1+xsin⁡(3x)+1)x2(1+xsin⁡(3x)+1)L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1)(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}
L1=lim⁡x→0xsin⁡(3x)x2(1+xsin⁡(3x)+1)L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{x\sin(3x)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}
L1=lim⁡x→0sin⁡(3x)x⋅lim⁡x→011+xsin⁡(3x)+1L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1}
L1=3⋅12=32L_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır ve lim⁡x→0sin⁡(ax)x=a\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a kuralı kullanılır.
4
Trigonometrik yarım açı formülü ile ikinci limitin (L2L_2) hesaplanması
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)  ⟹  1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \implies 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)
L2=lim⁡x→02sin⁡2(x)x2=2⋅(lim⁡x→0sin⁡(x)x)2=2⋅12=2L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} = 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2
Trigonometrik belirsizliklerde yarım açı dönüşümü yapılarak lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 kuralı uygulanır.
5
L ve 2L değerlerinin elde edilmesi
L=L1+L2=32+2=72L = L_1 + L_2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}
Buradan,
2L=2⋅72=72L = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7 bulunur.
İki ayrı parçadan elde edilen limit değerleri toplanarak L değeri ve ardından sorulan 2L değeri bulunur.

Key Concept

0/0 belirsizliği durumunda köklü ifadeler için eşlenik çarpımı ve trigonometrik ifadeler için yarım açı formülleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.
Question 48Question →
f(x)=x+2x2−x−6f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - x - 6}

fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: \{-2, 3\}

Answer

\{-2, 3\} kümesi
Doğru cevap {−2,3}\{-2, 3\} kümesidir. Fonksiyonun paydasını sıfır yapan x=3x = 3 ve x=−2x = -2 değerleri için fonksiyon tanımsızdır. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması zorunludur. Dolayısıyla fonksiyon bu iki noktada süreksizdir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonu tanımsız yapan değerleri bulmak amacıyla paydayı sıfır yapan denklemi kurarız.
x2−x−6=0x^2 - x - 6 = 0 denklemi elde edilir.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarının sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve tanımlı olmadıkları noktalarda sürekli olamazlar.
2
Paydadaki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri buluruz.
x2−x−6=(x−3)(x+2)=0x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 denklemi üzerinden kökler x=3x = 3 ve x=−2x = -2 olarak elde edilir.
İkinci dereceden denklemlerin kökleri çarpanlarına ayırma yöntemi ile kolayca belirlenebilir.
3
Pay ve paydadaki ortak terimlerin sadeleşmesinin sürekliliğe etkisini analiz ederiz.
f(x)=x+2(x−3)(x+2)f(x) = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} fonksiyonunda x=−2x = -2 için 00\frac{0}{0} belirsizliği olu��sa da fonksiyon bu noktada tanımsız kalır. Sadeleştirme yapılması tanımsızlığı ortadan kaldırmaz. Dolayısıyla fonksiyon hem x=3x = 3 hem de x=−2x = -2 noktalarında süreksizdir. Süreksiz noktaların kümesi {−2,3}\{-2, 3\} olur.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için ilk koşul o noktada tanımlı olmasıdır.

Key Concept

Bir rasyonel fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, fonksiyonu tanımsız yapan (paydayı sıfır yapan) değerlerdir. Pay ve paydadaki ortak çarpanların sadeleşmesi, bu noktadaki süreksizliği ortadan kaldırmaz; grafik üzerinde o noktada bir delik (hole) oluşmasına yol açar.
Estimated Time:1m 0s
Question 49Question →
f(x)={∣x2−9∣x−3+ax,x<3x2−2ax+a2−1,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x - 3} + ax, & x < 3 \\ x^2 - 2ax + a^2 - 1, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti vardır.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 9'dur.
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında limitinin olması için soldan limiti olan 3a−63a - 6 ile sağdan limiti olan a2−6a+8a^2 - 6a + 8 değerleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen a2−9a+14=0a^2 - 9a + 14 = 0 denkleminin kökleri 22 ve 77 olup, bu değerlerin toplamı 99 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limit varlığı şartını belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) olmalıdır.
Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.
2
Soldan limiti hesaplama ve mutlak değer analizi
lim⁡x→3−f(x)=3a−6\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3a - 6
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan x2−9<0x^2 - 9 < 0 olur. Dolayısıyla ∣x2−9∣=−(x2−9)=−(x−3)(x+3)|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3) olarak dışarı çıkar ve paydadaki x−3x-3 terimi ile sadeleşir.
3
Sağdan limiti hesaplama
lim⁡x→3+f(x)=a2−6a+8\lim_{x \to 3^+} f(x) = a^2 - 6a + 8
x→3+x \to 3^+ için x≥3x \ge 3 aralığındaki x2−2ax+a2−1x^2 - 2ax + a^2 - 1 kuralı kullanılır ve xx yerine 3 yazılır.
4
Limit eşitliğini kurma ve ikinci dereceden denklemi çözme
a2−9a+14=0  ⟹  (a−2)(a−7)=0  ⟹  a=2a^2 - 9a + 14 = 0 \implies (a - 2)(a - 7) = 0 \implies a = 2 veya a=7a = 7
Sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenerek aa parametresine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.
5
Değerlerin toplamını bulma
2+7=92 + 7 = 9
aa'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin incelenmesi, mutlak değer içerisindeki ifadenin işaret analizi ve sadeleştirme yöntemleri.
Question 50Question →
Gerçel katsayılı üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu için,
lim⁡x→1P(x)x2−1=−12\lim_{x \to 1} \frac{P(x)}{x^2 - 1} = -12
lim⁡x→3P(x)x2−9=−4\lim_{x \to 3} \frac{P(x)}{x^2 - 9} = -4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→2P(x)x2−4\lim_{x \to 2} \frac{P(x)}{x^2 - 4}
limitinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

Limit değeri 3'tür.
Verilen limitlerin gerçel sayı olması için paydaları sıfır yapan x=1x=1 ve x=3x=3 değerlerinin P(x)P(x) polinomunun kökleri olması gerekir. İstenen limitin varlığı da x=2x=2 değerinin polinomun bir diğer kökü olmasını gerektirir. Bu bilgilerle yazılan P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) polinomunun baş katsayısı k=−12k = -12 olarak bulunur. Son limitte belirsizlik giderilerek x=2x = 2 değeri yerine yazıldığında sonuç 3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen limitlerin paydalarının sıfıra yaklaşma durumunu incelemek.
x→1x \to 1 için x2−1→0x^2 - 1 \to 0 ve x→3x \to 3 için x2−9→0x^2 - 9 \to 0 olur.
Limit değerlerinin gerçel sayı olması için paylar da sıfıra gitmelidir, yani P(1)=0P(1) = 0 ve P(3)=0P(3) = 0 olmalıdır.
2
İstenen limitin varlık koşulunu belirlemek.
x→2x \to 2 için payda x2−4→0x^2 - 4 \to 0 olduğundan limitin var olması için P(2)=0P(2) = 0 olmalıdır.
0/0 belirsizliği oluşmalıdır ki sadeleşme sonucu limit bir gerçel sayıya eşit olabilsin.
3
Polinomun genel denklemini yazmak.
P(x)P(x) üçüncü dereceden bir polinom ve kökleri 1, 2, 3 olduğundan P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) olur.
Polinomun kökleri bilindiğinde çarpanları cinsinden ifade edilebilir.
4
Birinci limit eşitliğini kullanarak kk baş katsayısını bulmak.
lim⁡x→1k(x−1)(x−2)(x−3)(x−1)(x+1)=k(−1)(−2)2=k=−12\lim_{x \to 1} \frac{k(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)} = \frac{k(-1)(-2)}{2} = k = -12 elde edilir.
x−1x-1 çarpanları sadeleşir ve belirsizlik giderilerek limit değeri hesaplanır.
5
İstenen limit değerini hesaplamak.
lim⁡x→2−12(x−1)(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)=lim⁡x→2−12(x−1)(x−3)x+2=−12(1)(−1)4=3\lim_{x \to 2} \frac{-12(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{-12(x-1)(x-3)}{x+2} = \frac{-12(1)(-1)}{4} = 3 bulunur.
x−2x-2 çarpanları sadeleştirildikten sonra x=2x = 2 değeri yerine yazılarak limit hesaplanır.

Key Concept

Polinom fonksiyonlarda 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilmesi.

Alternative Method

Polinomun P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) formunda olduğunu belirledikten sonra L'Hôpital kuralı kullanılarak da limit değerleri hesaplanabilir. Örneğin, lim⁡x→1P′(x)2x=−12\lim_{x \to 1} \frac{P'(x)}{2x} = -12 eşitliğinden türev yardımıyla da sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 51Question →
f(x)=lim⁡n→∞x2n+1+ax2+bx+cx2n+1f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + ax^2 + bx + c}{x^{2n} + 1}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

f(2)+f(0)=5f(2) + f(0) = 5

olduğuna göre, a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Bulunan parametre değerleri a=−3a = -3, b=1b = 1 ve c=3c = 3 olup, bunların kareleri toplamı olan a2+b2+c2=19a^2 + b^2 + c^2 = 19 sayısıdır.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için x=1x=1 ve x=−1x=-1 kritik noktalarında limitlerinin var ve fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Bu şartlar sağlandığında parametreler a=−3a=-3, b=1b=1, c=3c=3 olarak bulunur ve karelerinin toplamı 19 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun farklı aralıklardaki limit davranışını analiz etme.
∣x∣>1|x| > 1 için f(x)=xf(x) = x ve ∣x∣<1|x| < 1 için f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c elde edilir.
n→∞n \to \infty iken, ∣x∣<1|x| < 1 durumunda x2n→0x^{2n} \to 0 olur; ∣x∣>1|x| > 1 durumunda ise x2n→∞x^{2n} \to \infty olduğundan pay ve payda x2nx^{2n} ifadesine bölünerek limit hesaplanır.
2
f(2)+f(0)=5f(2) + f(0) = 5 eşitliğini kullanarak cc değerini bulma.
c=3c = 3 olarak bulunur.
2∈(1,∞)2 \in (1, \infty) olduğundan f(2)=2f(2) = 2 olur. 0∈(−1,1)0 \in (-1, 1) olduğundan f(0)=cf(0) = c olur. 2+c=5  ⟹  c=32 + c = 5 \implies c = 3 elde edilir.
3
x=1x = 1 noktasındaki sürekliliği inceleme.
a+b+c=1a + b + c = 1 denklemi elde edilir.
ff fonksiyonu x=1x = 1 noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (lim⁡x→1+f(x)=1\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1) ile sol limit (lim⁡x→1−f(x)=a+b+c\lim_{x \to 1^-} f(x) = a+b+c) eşit olmalıdır.
4
x=−1x = -1 noktasındaki sürekliliği inceleme.
a−b+c=−1a - b + c = -1 denklemi elde edilir.
ff fonksiyonu x=−1x = -1 noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (lim⁡x→−1+f(x)=a−b+c\lim_{x \to -1^+} f(x) = a-b+c) ile sol limit (lim⁡x→−1−f(x)=−1\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1) eşit olmalıdır.
5
Denklem sistemini çözme ve kareler toplamını hesaplama.
a=−3a = -3, b=1b = 1 ve a2+b2+c2=19a^2 + b^2 + c^2 = 19 bulunur.
a+b+c=1a+b+c=1 ve a−b+c=−1a-b+c=-1 denklemlerinden 2b=2  ⟹  b=12b=2 \implies b=1 bulunur. c=3c=3 yerine yaz��ldığında a=−3a = -3 elde edilir. Buradan kareler toplamı (−3)2+12+32=19(-3)^2 + 1^2 + 3^2 = 19 olur.

Key Concept

Limit yardımıyla tanımlanan fonksiyonların sürekliliği ve kritik noktalarda süreklilik şartı.
Estimated Time:3m 0s
Question 52Question →
f(x)=x2−25x−5f(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5} fonksiyonu x=5x = 5 noktasında süreklidir.
Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen ifade yanlıştır. Fonksiyon x=5x = 5 noktasında tanımlı olmadığından bu noktada sürekli değildir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması gerekir. Fonksiyonun paydası x=5x = 5 için sıfır olduğundan fonksiyon bu noktada tanımsızdır ve dolayısıyla sürekli olamaz.

Step-by-Step Solution

1
x=5x = 5 noktasında fonksiyonun tanımlı olup olmadığını kontrol edin.
f(5)=52−255−5=00f(5) = \frac{5^2 - 25}{5 - 5} = \frac{0}{0} ifadesi elde edilir. Payda sıfır olduğundan fonksiyon x=5x = 5 noktasında tanımsızdır.
Süreklilik tanımına göre bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması şarttır.
2
Bulunan tanım durumuna göre sürekliliği değerlendirin.
Fonksiyon x=5x = 5 noktasında tanımlı olmadığından, bu noktada sürekli olması mümkün değildir.
Bir noktada tanımlı olmayan bir fonksiyonun sürekliliğinden bahsedilemez.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve bu limit değerinin o noktadaki fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Paydayı sıfır yapan noktalar tanım kümesine dahil edilmediği için bu noktalarda süreklilik sağlanamaz.
Question 53Question →

a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x3−ax2−4x+4ax2−(a+2)x+2a,x<2b,x=26x2+5−18x−2,x>2f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - ax^2 - 4x + 4a}{x^2 - (a+2)x + 2a}, & x < 2 \\ b, & x = 2 \\ \frac{6\sqrt{x^2 + 5} - 18}{x - 2}, & x > 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda süreklidir.

Buna göre, aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: [2,∞)[2, \infty)

Answer

[2,∞)[2, \infty) aralığıdır.
Doğru cevap [2,∞)[2, \infty) aralığıdır. Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için x<2x < 2 aralığında paydayı sıfır yapan herhangi bir değer bulunmamalıdır. Sol kısımdaki rasyonel ifadenin paydası x=2x = 2 ve x=ax = a noktalarında sıfır olmaktadır. x=2x = 2 noktası x<2x < 2 aralığına dahil olmadığından tanımsızlık yaratmaz. Ancak x=ax = a kökü eğer 22'den küçük olursa (a<2a < 2), bu nokta tanım kümesinde yer alacak ve fonksiyon o noktada tanımsız (dolayısıyla süreksiz) olacaktır. Sadeleştirme yapılabilmesi limitin var olmasını sağlasa da, fonksiyonun o noktada tanımlı olmasını sağlamaz. Bu nedenle aa parametresi 22'den küçük olamaz, yani a≥2a \ge 2 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
İlk olarak fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki süreklilik şartını inceleyelim.
Sağ limit lim⁡x→2+f(x)=4\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 ve sol limit lim⁡x→2−f(x)=4\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 olmalıdır. Buradan f(2)=b=4f(2) = b = 4 elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
2
x<2x < 2 için tanımlı rasyonel ifadenin pay ve paydasını çarpanlarına ayıralım.
Pay: x3−ax2−4x+4a=(x−2)(x+2)(x−a)x^3 - ax^2 - 4x + 4a = (x-2)(x+2)(x-a), Payda: x2−(a+2)x+2a=(x−2)(x−a)x^2 - (a+2)x + 2a = (x-2)(x-a) olarak bulunur.
Süreksizlik yaratabilecek noktaları belirlemek amacıyla rasyonel ifadenin köklerini bulmamız gerekir.
3
Çarpanlarına ayrılmış rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerleri bulalım ve süreklilik şartıyla ilişkilendirelim.
Paydanın kökleri x=2x = 2 ve x=ax = a'dır. x=2x = 2 noktası x<2x < 2 aralığında yer almadığı için bu aralıkta süreksizlik yaratmaz. Ancak x=ax = a noktası eğer x<2x < 2 aralığında olursa (a<2a < 2), fonksiyon bu noktada tanımlı olmayacağından süreksiz olur.
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olabilmesi için, x<2x < 2 aralığında paydayı sıfır yapan herhangi bir değer bulunmamalıdır. Sadeleşen çarpanlar limit varlığını sağlasa da fonksiyonun tanımlı olmasını engeller.
4
Bu koşul altında aa parametresinin alabileceği değerler kümesini belirleyelim.
a≥2a \ge 2 olmalıdır. Böylece en geniş değer aralığı [2,∞)[2, \infty) olarak bulunur.
Eğer a≥2a \ge 2 ise, paydanın x=ax = a kökü x<2x < 2 aralığına düşmez ve bu aralıkta süreksizlik noktası oluşmaz.

Key Concept

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Alternative Method

Alternatif olarak, x<2x < 2 aralığında yer alan rasyonel ifadenin payda köklerinin kümesi olan {2,a}\{2, a\} incelendiğinde, x=2x = 2 kökünün bu aralıkta olmadığı görülür. Diğer kök olan x=ax = a ise ancak a≥2a \ge 2 koşulunu sağladığında x<2x < 2 aralığının dışına düşer ve bu aralıkta bir süreksizlik noktası oluşturmaz.
Estimated Time:3m 0s
Question 54Question →
lim⁡x→01−cos⁡(x)cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}}{x^2} ifadesinin değeri 32\frac{3}{2}'dir.
Show answer & explanation

Answer: True

Answer

İfade doğrudur. Verilen limitin değeri 3/2'dir.
Verilen limit ifadesinde eşlenik çarpımı ve yarım açı formülleri doğru bir şekilde uygulandığında belirsizlik giderilmekte ve limit değeri 3/2 olarak elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1
Belirsizlik durumunun belirlenmesi
Limit ifadesinde x=0x = 0 yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limitte doğrudan yerine yazma yöntemi belirsizlik türünü tespit etmek için uygulanır.
2
Payın eşlenik yardımıyla rasyonelleştirilmesi
Pay ve payda 1+cos⁡(x)cos⁡(2x)1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)} ile çarpılarak limit ifadesi lim⁡x→01−cos⁡2(x)cos⁡(2x)x2(1+cos⁡(x)cos⁡(2x))\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2(x)\cos(2x)}{x^2(1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)})} şekline dönüştürülür.
Kareköklü ifadelerin oluşturduğu belirsizlikleri gidermek için eşlenik çarpımı kullanılır.
3
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla payın sadeleştirilmesi
cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 dönüşümüyle pay ifadesi 1−2cos⁡4(x)+cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))(1+2cos⁡2(x))=sin⁡2(x)(1+2cos⁡2(x))1 - 2\cos^4(x) + \cos^2(x) = (1 - \cos^2(x))(1 + 2\cos^2(x)) = \sin^2(x)(1 + 2\cos^2(x)) olur.
Belirsizliğe neden olan çarpanları ortaya çıkarmak için yarım açı ve temel özdeşlikler uygulanır.
4
Limit değerinin hesaplanması
lim⁡x→0sin⁡2(x)x2⋅1+2cos⁡2(x)1+cos⁡(x)cos⁡(2x)=1⋅32=32\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1 + 2\cos^2(x)}{1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} elde edilir.
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 temel limit özelliği ve sürekli fonksiyonların limit özellikleri kullanılır.

Key Concept

0/0 belirsizliğinde eşlenik çarpımı ve trigonometrik yarım açı formülleri kullanarak belirsizliğin giderilmesi.
Question 55Question →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→0acos⁡x+b−2x2=1\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a\cos x + b} - 2}{x^2} = 1
eşitliği sağlanmaktad��r.

Buna göre, b−ab - a farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İstenen b−ab - a farkının değeri 2020 olarak bulunur.
Limit ifadesinde 0/00/0 belirsizliği kullanılarak a+b=4a + b = 4 bulunur. Payın eşleniği ile genişletilmesi ve lim⁡x→0cos⁡x−1x2=−12\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} limitinin uygulanmasıyla limit değeri −a8-\frac{a}{8} olarak hesaplanır. Limit 1'e eşit olduğundan a=−8a = -8 ve b=12b = 12 elde edilir. Bu değerlerle fark 12−(−8)=2012 - (-8) = 20 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Paydanın sıfıra yaklaşması ve limitin bir gerçel sayı olması durumunu inceleme.
x→0x \to 0 iken payda sıfıra gittiğinden, limitin var olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerekir. Buradan acos⁡(0)+b−2=0  ⟹  a+b=2  ⟹  a+b=4\sqrt{a\cos(0) + b} - 2 = 0 \implies \sqrt{a + b} = 2 \implies a + b = 4 elde edilir.
Belirsizlik durumu (0/00/0) oluşmadığı sürece paydanın sıfır olduğu durumda limit bir gerçel sayı olamaz.
2
Köklü ifadedeki belirsizliği gidermek için payı eşleniği ile çarpıp bölme.
lim⁡x→0(acos⁡x+b−2)(acos⁡x+b+2)x2(acos⁡x+b+2)=lim⁡x→0acos⁡x+b−4x2(acos⁡x+b+2)\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{a\cos x + b} - 2)(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a\cos x + b - 4}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}
a+b=4  ⟹  b−4=−aa + b = 4 \implies b - 4 = -a eşitliği kullanılarak pay kısmı a(cos⁡x−1)a(\cos x - 1) olarak yazılır.
Kareköklü limitlerde 0/00/0 belirsizliğini gidermek için eşlenik ile çarpma yöntemi uygulanır.
3
Trigonometrik limit özelliklerini kullanarak limit değerini hesaplama.
lim⁡x→0a(cos⁡x−1)x2(acos⁡x+b+2)=lim⁡x→0cos⁡x−1x2⋅lim⁡x→0aacos⁡x+b+2\lim_{x \to 0} \frac{a(\cos x - 1)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{a\cos x + b} + 2}
lim⁡x→0cos⁡x−1x2=−12\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} ve paydadaki köklü kısım 2+2=42 + 2 = 4 değerine gittiğinden limit:
−12⋅a4=−a8-\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} = -\frac{a}{8} olarak bulunur.
Yarım açı formülleri veya temel limit kuralları ile belirsizlik çözülür.
4
Limit değerini 1'e eşitleyerek a ve b parametrelerini çözüp istenen farkı bulma.
−a8=1  ⟹  a=−8-\frac{a}{8} = 1 \implies a = -8 bulunur. Buradan a+b=4  ⟹  −8+b=4  ⟹  b=12a + b = 4 \implies -8 + b = 4 \implies b = 12 elde edilir. Sonuç olarak b−a=12−(−8)=20b - a = 12 - (-8) = 20 bulunur.
Bulunan limit ifadesi verilen gerçek limit değerine eşitlenerek parametreler elde edilir.

Key Concept

0/0 belirsizliği durumlarında eşlenik çarpımı ve trigonometrik limit yardımıyla belirsizliğin giderilmesi.
Question 56Question →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonu x<2x < 2 için

f(x)=∣x2−2x∣x−2+af(x) = \frac{|x^2 - 2x|}{x - 2} + a

ve x≥2x \ge 2 için

f(x)=2x−bf(x) = 2x - b

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limiti olduğuna göre, a+ba + b toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6
Doğru seçenekteki 6 değeri, sol limit ve sağ limitin birbirine eşitlenmesiyle bulunur. x→2−x \to 2^- yaklaşımında x<2x < 2 olduğundan x2−2x<0x^2 - 2x < 0 olur ve mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar. Sadeleştirme yapıldığında sol limit −2+a-2 + a olur. x→2+x \to 2^+ yaklaşımında ise limit 4−b4 - b bulunur. Eşitlikten a+b=6a + b = 6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
x=2x = 2 noktasındaki sol limiti bulmak için x<2x < 2 durumunu inceleme ve mutlak değerin işaretini belirleme.
x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan x2−2x=x(x−2)<0x^2 - 2x = x(x-2) < 0 olur. Bu durumda ∣x2−2x∣=−(x2−2x)|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) olarak dışarı çıkar.
Kritik noktaya soldan yaklaşırken mutlak değerin içinin işaretine göre ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
2
Sol limit değerini hesaplama.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−x(x−2)x−2+a)=lim⁡x→2−(−x+a)=−2+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{-x(x-2)}{x-2} + a\right) = \lim_{x \to 2^-} (-x + a) = -2 + a
Belirsizliğe neden olan x−2x-2 çarpanlarını sadeleştirdikten sonra xx yerine 2 yazarak sol limiti buluruz.
3
x=2x = 2 noktasındaki sağ limiti bulmak için x≥2x \ge 2 durumunu inceleme.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(2x−b)=2(2)−b=4−b\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - b) = 2(2) - b = 4 - b
Sağdan yaklaşırken x≥2x \ge 2 aralığı için tanımlı olan 2x−b2x - b kuralı kullanılır.
4
Limitin var olması için sağ ve sol limitleri birbirine eşitleme.
−2+a=4−b  ⟹  a+b=6-2 + a = 4 - b \implies a + b = 6
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır.

Key Concept

Par��alı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinin bulunması, kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi yapılması.
Question 57Question →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→2x2+a−3x2−2x=b\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 2x} = b
eşitliği sağlandığına göre, a⋅b=56a \cdot b = \frac{5}{6}'dır.
Show answer & explanation

Answer: False

Answer

İfade yanlıştır. Doğru çarpım değeri a⋅b=53a \cdot b = \frac{5}{3} olmalıdır.
Limitin sıfırdan farklı bir bb gerçel sayısına eşit olması için payın da sıfır olması gerektiğinden a=5a = 5 bulunur. Eşlenik çarpımı yapılarak belirsizlik çözüldüğünde b=13b = \frac{1}{3} elde edilir. Dolayısıyla a⋅b=53a \cdot b = \frac{5}{3} olmalıdır. Bu nedenle önerme yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
Paydanın limitini inceleyerek belirsizlik türünü tespit etmek.
x→2x \to 2 için payda olan x2−2xx^2 - 2x ifadesinin limiti 22−2(2)=02^2 - 2(2) = 0 olur. Limitin bir gerçel sayıya eşit olması için payın limiti de sıfır olmalı ve 0/00/0 belirsizliği oluşmalıdır.
Payda sıfıra yaklaşırken pay sıfırdan farklı bir sayıya yaklaşırsa limit tanımsız olur.
2
Payın limitini sıfıra eşitleyerek aa parametresini bulmak.
lim⁡x→2(x2+a−3)=0  ⟹  4+a−3=0  ⟹  4+a=9  ⟹  a=5\lim_{x \to 2} (\sqrt{x^2 + a} - 3) = 0 \implies \sqrt{4 + a} - 3 = 0 \implies 4 + a = 9 \implies a = 5 bulunur.
Kareköklü ifade x=2x = 2 noktasında tanımlı ve sürekli olduğundan limiti doğrudan fonksiyon değerine eşittir.
3
aa değerini yerine yazıp limit belirsizliğini eşlenik yardımıyla çözmek ve bb değerini bulmak.
lim⁡x→2x2+5−3x2−2x=lim⁡x→2(x2+5−3)(x2+5+3)x(x−2)(x2+5+3)=lim⁡x→2x2−4x(x−2)(x2+5+3)=lim⁡x→2(x−2)(x+2)x(x−2)(x2+5+3)=lim⁡x→2x+2x(x2+5+3)=2+22(9+3)=412=13\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \frac{2 + 2}{2(\sqrt{9} + 3)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} elde edilir. Buradan b=13b = \frac{1}{3} bulunur.
0/00/0 belirsizliğini gidermek için payı eşleniğiyle çarparak belirsizliğe neden olan (x−2)(x - 2) çarpanı sadeleştirilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplayarak ifadenin doğruluğunu kontrol etmek.
a⋅b=5⋅13=53a \cdot b = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} olarak bulunur. İfadede verilen 56\frac{5}{6} değeri yanlış olduğundan önerme yanlıştır.
Elde edilen gerçek limit değeri ile ifadedeki değer uyuşmamaktadır.

Key Concept

Sıfır bölü sıfır belirsizliğinde eşlenik çarpımı ile belirsizliğin giderilmesi ve parametre hesabı
Question 58Question →
Gerçel sayılar kümesinde tanıml��
f(x)={∣x2−4x+3∣x−3,x<3x2−2x−a,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3}, & x < 3 \\ x^2 - 2x - a, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 55 olmalıdır.
Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen fonksiyonun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 55 olmalıdır ifadesi doğrudur.
Verilen parçalı fonksiyonun kritik noktası olan x=3x = 3 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin eşitlenmesi sonucunda a=5a = 5 değeri elde edilir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
x=3x = 3 noktasındaki soldan limitin hesaplanması için mutlak değerli ifadenin işaretinin incelenmesi
x<3x < 3 için x2−4x+3<0x^2 - 4x + 3 < 0 olduğundan ∣x2−4x+3∣=−(x−3)(x−1)|x^2 - 4x + 3| = -(x-3)(x-1) olur.
Soldan yaklaşırken xx değerleri 3'ten küçük olduğu için çarpanların işaretlerini belirleyerek mutlak değer dışına nasıl çıkacağını bulmak gerekir.
2
Soldan limit değerinin bulunması
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−−(x−3)(x−1)x−3=lim⁡x→3−−(x−1)=−2\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} -(x-1) = -2
Pay ve paydadaki (x−3)(x-3) sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve limit değeri hesaplanır.
3
Sağdan limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi
lim⁡x→3+f(x)=3−a\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3 - a ve soldan limit ile eşitlenirse 3−a=−2  ⟹  a=53 - a = -2 \implies a = 5 bulunur.
Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması zorunludur.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limit incelemesinde sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ile mutlak değerin işaret analizinin yapılması.
Question 59Question →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,

lim⁡x→0a+xsin⁡(3x)−a−xsin⁡(3x)cos⁡(2x)−1=b\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a + x \sin(3x)} - \sqrt{a - x \sin(3x)}}{\cos(2x) - 1} = b

eşitliği veriliyor.

b<0b < 0 olduğuna göre, a⋅b2a \cdot b^2 çarpımının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 94\frac{9}{4}

Answer

9/4 değeri
Limit hesaplandığında b=−32ab = -\frac{3}{2\sqrt{a}} bulunur. Buradan a=−32b\sqrt{a} = -\frac{3}{2b} ve her iki tarafın karesi alınarak a⋅b2=94a \cdot b^2 = \frac{9}{4} değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Belirsizlik durumunu tespit etme
x→0x \to 0 için pay a−a=0\sqrt{a} - \sqrt{a} = 0 ve payda cos⁡(0)−1=0\cos(0) - 1 = 0 olup 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü belirlemek gerekir.
2
Payın eşleniği ile çarpma işlemi
İfadenin pay ve paydası a+xsin⁡(3x)+a−xsin⁡(3x)\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)} ile çarpıldığında pay kısmı (a+xsin⁡(3x))−(a−xsin⁡(3x))=2xsin⁡(3x)(a + x\sin(3x)) - (a - x\sin(3x)) = 2x\sin(3x) olur.
Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır.
3
Paydadaki trigonometrik ifadeyi yarım açı formülü ile yazma
Paydadaki cos⁡(2x)−1\cos(2x) - 1 ifadesi yerine −2sin⁡2(x)-2\sin^2(x) yazılır.
Limit sadeleştirmesi yapabilmek için paydadaki ifadeyi sin⁡(x)\sin(x) cinsinden ifade etmek gerekir.
4
Limiti çarpanlarına ayırarak hesaplama
Limit lim⁡x→0[xsin⁡(x)⋅sin⁡(3x)sin⁡(x)⋅2−2(a+xsin⁡(3x)+a−xsin⁡(3x))]\lim_{x \to 0} \left[ \frac{x}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} \cdot \frac{2}{-2(\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)})} \right] şeklinde yazılır. x→0x \to 0 için limit değerleri sırasıyla 11, 33 ve −12a-\frac{1}{2\sqrt{a}} olup çarpımları b=−32ab = -\frac{3}{2\sqrt{a}} olur.
Bilinen lim⁡u→0sin⁡(u)u=1\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 limit özelliğini kullanabilmek için ifade düzenlenir.
5
İstenen çarpım değerini bulma
b=−32a  ⟹  a=−32b  ⟹  a=94b2  ⟹  a⋅b2=94b = -\frac{3}{2\sqrt{a}} \implies \sqrt{a} = -\frac{3}{2b} \implies a = \frac{9}{4b^2} \implies a \cdot b^2 = \frac{9}{4} bulunur.
Elde edilen limit eşitliğinden yararlanılarak a⋅b2a \cdot b^2 değeri hesaplanır.

Key Concept

0/0 belirsizliği ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak limit hesabı
Question 60Question →

aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2−ax∣x−a∣,x<a2x−a2,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax}{|x - a|}, & x < a \\ 2x - a^2, & x \ge a \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşitliğinden elde edilen pozitif gerçel sayı değeri 3'tür.
Fonksiyonun x = a noktasında limitinin olması için sol limit (-a) ile sağ limit (2a - a^2) eşit olmalıdır. Buradan a^2 - 3a = 0 elde edilir. a pozitif olduğundan a = 3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limitin varlık koşulunu hatırlayarak sol limiti belirlemek için yaklaşım yönünü incelemek.
x, a'ya soldan yaklaşırken (x < a) x - a < 0 olur.
Sol limit hesaplanırken kritik noktanın solundaki değerler temel alınır.
2
Mutlak değerli ifadenin işaretini belirleyip belirsizliği gidermek.
|x - a| = -(x - a) olduğundan, sol limit değeri \lim_{x \to a^-} \frac{x(x-a)}{-(x-a)} = \lim_{x \to a^-} (-x) = -a olarak bulunur.
Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için mutlak değer işareti dışına çıkarma kuralları uygulanır.
3
Sağ limiti hesaplamak.
\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (2x - a^2) = 2a - a^2 olarak bulunur.
Sağdan yaklaşırken x >= a aralığındaki fonksiyon kuralı kullanılır.
4
Limitin var olması için sağ ve sol limitleri eşitlemek ve oluşan denklemi çözmek.
-a = 2a - a^2 \implies a^2 - 3a = 0 \implies a(a - 3) = 0 denklemi elde edilir.
Bir noktada limitin olması için sağ ve sol limitler birbirine eşit olmalıdır.
5
Soruda verilen a'nın pozitif gerçel sayı olması koşulunu uygulamak.
a > 0 olduğundan a = 3 olarak bulunur.
a = 0 değeri pozitiflik koşulunu sağlamaz.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde sağ ve sol limitlerin eşitliği ve mutlak değerin işaret analizi.
PreviousPage 3 / 7Next
Limit ve Süreklilik Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 3 | Examkin