Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 questions

All types312Multiple choice177True / False9Numeric118Short answer8
Question 201Question →

Aşağıdaki tabloda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonlarının bazı xx değerleri için değerleri ve türevleri verilmiştir:

xxf(x)f(x)f′(x)f'(x)g(x)g(x)g′(x)g'(x)
11223311−2-2
2211−4-41155

Buna göre, h(x)=(f∘g)(x2+x)h(x) = (f \circ g)(x^2 + x) biçiminde tanımlanan hh fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

45
Bileşke fonksiyon ve zincir kuralı adımları eksiksiz takip edildiğinde; h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅(2⋅1+1)h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot (2\cdot 1 + 1) ifadesi elde edilir. Tablodan g(2)=1g(2)=1, g′(2)=5g'(2)=5 ve f′(1)=3f'(1)=3 değerleri okunup yerine konulduğunda 3⋅5⋅3=453 \cdot 5 \cdot 3 = 45 sonucu bulunur. Dolayısıyla 45 olan cevap doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
h(x)=f(g(x2+x))h(x) = f(g(x^2 + x)) fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
h′(x)=f′(g(x2+x))⋅g′(x2+x)⋅(2x+1)h'(x) = f'(g(x^2 + x)) \cdot g'(x^2 + x) \cdot (2x + 1)
Bileşke fonksiyon türevinde dıştaki fonksiyonun türevi, içinin aynen kalmasıyla alınır ve ardından içinin türeviyle çarpılır.
2
Türev ifadesinde x=1x = 1 yazarak istenen değeri elde edin.
h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅3h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 3
x=1x=1 için x2+x=2x^2+x = 2 ve 2x+1=32x+1 = 3 olur.
3
Tablodan g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini bulun ve yerine yazın.
h′(1)=f′(1)⋅5⋅3h'(1) = f'(1) \cdot 5 \cdot 3
Tabloya göre g(2)=1g(2) = 1 ve g′(2)=5g'(2) = 5 olarak verilmiştir.
4
Tablodan f′(1)f'(1) değerini bulun, yerine yazarak çarpma işlemini tamamlayın.
h′(1)=3⋅5⋅3=45h'(1) = 3 \cdot 5 \cdot 3 = 45
Tabloya göre f′(1)=3f'(1) = 3 olarak verilmiştir. Bu değerleri çarptığımızda sonuç 4545 bulunur.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve her bir iç fonksiyonun türevi dışarıya çarpım olarak yazılır.
Question 202Question →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,

f(x)=x2+ax+bx2−x+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - x + 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

f′(0)=3f'(0) = 3
f′(1)=2f'(1) = 2

olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

f'(2) değeri -1'dir.
Bölümün türevi kuralı doğru uygulanıp, verilen başlangıç koşullarıyla a ve b katsayıları sırasıyla 4 ve -1 olarak bulunduktan sonra türev fonksiyonunda x = 2 yazıldığında sonuç -1 çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türev kuralını uygulayarak f'(x) türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=(2x+a)(x2−x+1)−(x2+ax+b)(2x−1)(x2−x+1)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x^2-x+1) - (x^2+ax+b)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}
Rasyonel bir fonksiyonun türevini hesaplamak için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
f'(0) = 3 eşitliğini kullanarak a ve b arasındaki ilk denklemi elde edin.
f'(0) = \frac{a \cdot 1 - b \cdot (-1)}{1} = a + b \implies a + b = 3
Türev fonksiyonunda x = 0 yazılarak verilen değere eşitlenir.
3
f'(1) = 2 eşitliğini kullanarak a ve b değerlerini bulun.
f'(1) = \frac{(2+a)(1) - (1+a+b)(1)}{1^2} = 2 + a - 1 - a - b = 1 - b \implies 1 - b = 2 \implies b = -1$. Buradan a - 1 = 3 \implies a = 4 bulunur.
Türev fonksiyonunda x = 1 yazılarak elde edilen ifade verilen değere eşitlenir ve a ile b bilinmeyenleri çözülür.
4
Bulunan a = 4 ve b = -1 değerlerini türev fonksiyonunda yerine yazarak f'(2) değerini hesaplayın.
f'(2) = \frac{(2(2)+4)(2^2-2+1) - (2^2+4(2)-1)(2(2)-1)}{(2^2-2+1)^2} = \frac{24 - 33}{9} = -1
Elde edilen fonksiyon kuralı kullanılarak x = 2 noktasındaki türev hesaplanır.

Key Concept

Bölümün Türevi ve Bilinmeyen Katsayıların Bulunması
Question 203Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={ax2+bx+4,x<3∣x2−5∣,x≥3f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 4, & x < 3 \\ |x^2 - 5|, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonu her gerçel sayı için türevlenebilir olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -12

Answer

−12-12
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olması için kritik nokta olan x=3x = 3 noktasında sürekli ve türevlenebilir olması gerekir. Süreklilik şartından 3a+b=03a + b = 0, türevlenebilirlik şartından ise 6a+b=66a + b = 6 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=2a = 2 ve b=−6b = -6 bulunur. Buradan çarpımları −12-12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Süreklilik Şartının İncelenmesi
9a+3b+4=4  ⟹  3a+b=09a + 3b + 4 = 4 \implies 3a + b = 0 denklemine ulaşılır.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması zorunludur.
2
Türevlenebilirlik Şartının İncelenmesi
6a+b=66a + b = 6 denklemine ulaşılır.
Türevlenebilirlik için limit noktasındaki sağ ve sol türev değerleri birbirine eşit olmalıdır.
3
Denklem Sisteminin Çözülmesi ve Sonuç
a=2a = 2, b=−6b = -6 bulunur ve buradan a⋅b=−12a \cdot b = -12 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi taraf tarafa çıkarma yöntemiyle çözülebilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Alternative Method

Türevlenebilirlik tanımı limit formülü kullanılarak da sağdan ve soldan limitlerle türevler hesaplanabilir. Ancak pratik olarak sağ ve sol dalların türev fonksiyonlarının limitleri alınarak eşitleme yapmak daha hızlı bir çözüm sunar.
Estimated Time:2m 0s
Question 204Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx parabolünün üzerindeki A(1,3)A(1, 3) noktasından çizilen teğet doğrusu xx-eksenini x=−2x = -2 noktasında kesmektedir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -10

Answer

Doğru cevap -10'dur.
Teğet doğrusunun geçtiği bilinen iki nokta olan (1, 3) ve (-2, 0) kullanılarak doğrunun eğimi 1 olarak hesaplanır. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki türevi f'(1) = 2a + b bu eğime eşitlenerek 2a + b = 1 denklemi bulunur. Ayrıca A(1, 3) noktası fonksiyonun üzerinde olduğu için a + b = 3 eşitliği sağlanır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a = -2 ve b = 5 elde edilir, çarpımları ise -10 olur.

Step-by-Step Solution

1
A(1, 3) noktasının parabol üzerinde bulunması bilgisini kullanmak.
f(1)=a(1)2+b(1)=a+b=3f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b = 3 denklemi elde edilir.
Bir eğri üzerindeki nokta, o eğrinin denklemini sağlamak zorundadır.
2
Teğet doğrusunun eğimini iki noktası bilinen doğrunun eğim formülüyle hesaplamak.
Teğet doğrusu A(1,3)A(1, 3) ve (−2,0)(-2, 0) noktalarından geçtiği için eğimi m=3−01−(−2)=1m = \frac{3 - 0}{1 - (-2)} = 1 olur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin e��imini belirlemek için doğrunun geçtiği diğer nokta olan xx-eksenini kestiği nokta kullanılır.
3
Fonksiyonun türevini alıp teğet noktasındaki eğime eşitlemek.
f′(x)=2ax+b⇒f′(1)=2a+b=1f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(1) = 2a + b = 1 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek ve parametrelerin çarpımını bulmak.
a+b=3a + b = 3 ve 2a+b=12a + b = 1 denklemlerinden a=−2a = -2 ve b=5b = 5 bulunur. Buradan a⋅b=−10a \cdot b = -10 elde edilir.
Bilinmeyen aa ve bb değerlerini bulup bizden istenen çarpım değerine ulaşmak.

Key Concept

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Question 205Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−2x2+3f(x) = x^3 - 2x^2 + 3
eğrisinin A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasında dik kesmektedir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -0.5

Answer

Teğet doğrusunun eğimi -0.5'tir.
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri kökler toplamı ilişkisinden b=2−2ab = 2-2a olarak bulunur. AA noktasındaki teğet eğimi m=3a2−4am = 3a^2 - 4a iken, BB noktasındaki türev f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m+1) olur. Doğrunun BB noktasında eğriyi dik kesmesi m⋅f′(b)=−1m \cdot f'(b) = -1 şartını gerektirir. Bu denklemin çözümü (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 olup, teğet doğrusunun eğimi -0.5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
b=2−2ab = 2 - 2a
Teğet doğrusunun denklemi ile eğrinin denkleminin ortak çözümünden elde edilen kübik denklemin kökleri aa (çift katlı) ve bb olup, kökler toplamı formülünden 2a+b=22a + b = 2 olur.
2
AA noktasındaki teğet eğimini aa parametresine bağlı olarak yazmak.
m=3a2−4am = 3a^2 - 4a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
BB noktasındaki türev değerini mm cinsinden ifade etmek.
f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m + 1)
b=2−2ab = 2 - 2a değeri f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x fonksiyonunda yerine yazılarak sadeleştirme yapılır.
4
Teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımının −1-1 olmasından yararlanarak mm değerini bulmak.
m=−0.5m = -0.5
f′(a)⋅f′(b)=−1⇒m⋅4(m+1)=−1f'(a) \cdot f'(b) = -1 \Rightarrow m \cdot 4(m+1) = -1 denklemi çözüldüğünde elde edilen (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 tam kare ifadesinden tek bir reel mm değeri elde edilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğimleri arasındaki ilişki ve eğrilerin kesişim noktalarının analizi.
Estimated Time:2m 30s
Question 206Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−6x2+9x+kf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k
fonksiyonunun yerel maksimum noktası AA, yerel minimum noktası BB'dir.

AA ve BB noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine göre, kk kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

-6
Doğru cevap −6-6'dır. f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x=1x=1 ve x=3x=3 noktaları yerel ekstremum noktalarının apsisleridir. Bu apsisler fonksiyonda yerine yazıldığında ekstremum noktaları A(1,k+4)A(1, k+4) ve B(3,k)B(3, k) olarak elde edilir. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi −2-2 ve denklemi y=−2x+6+ky = -2x + 6 + k olur. Doğru orijinden geçtiği için sabit terimi sıfır olmalıdır, buradan 6+k=0  ⟹  k=−66 + k = 0 \implies k = -6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleme.
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) elde edilir. Türevin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktalarının apsis adaylarıdır.
2
Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının koordinatlarını bulma.
x=1x = 1 için yerel maksimum noktası A(1,k+4)A(1, k+4) ve x=3x = 3 için yerel minimum noktası B(3,k)B(3, k) olarak bulunur.
Apsisleri fonksiyonda yerine yazarak ekstremum noktalarının ordinatlarını kk cinsinden elde etmek gerekir.
3
İki noktadan geçen doğrunun denklemini yazma.
A(1,k+4)A(1, k+4) ve B(3,k)B(3, k) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=k−(k+4)3−1=−2m = \frac{k - (k+4)}{3-1} = -2 olur. Doğrunun denklemi y−k=−2(x−3)  ⟹  y=−2x+6+ky - k = -2(x - 3) \implies y = -2x + 6 + k olarak bulunur.
Ekstremum noktalarından geçen doğruyu tanımlamak için iki noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılır.
4
Doğrunun orijinden geçmesi şartını uygulayarak kk değerini bulma.
Doğru (0,0)(0,0) noktasından geçtiği için 0=−2(0)+6+k  ⟹  k=−60 = -2(0) + 6 + k \implies k = -6 bulunur.
Orijinden geçen doğruların denklemleri y=mxy = mx formundadır, yani sabit terimleri sıfır olmalıdır.

Key Concept

Bir fonksiyonun türevini kullanarak yerel ekstremum noktalarını bulma ve bu noktalar yardımıyla analitik geometri kurallarını uygulama.
Question 207Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x3−3x2−9x+4f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Yerel ekstremum noktalarının sayısı 5'tür.
Doğru cevap 5 olan seçenektir. Çünkü g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonu x=−5,−1,0,1,5x = -5, -1, 0, 1, 5 noktalarında yerel ekstremum değerleri alır. x=0x = 0 noktasında türev tanımlı olmamasına karşın fonksiyon süreklidir ve bu noktada yerel minimum değerine ulaşmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınır ve kritik noktaları belirlenir.
f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1) = 0 denkleminden kritik noktalar x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türev sıfırdır ve işaret değiştirir.
2
f′(x)f'(x) ifadesinin işaret tablosuna göre ekstremum türleri incelenir.
x=−1x = -1 noktası yerel maksimum, x=3x = 3 noktası ise yerel minimum noktasıdır.
Türev tablosunda x=−1x = -1 noktasında türevin işareti artıdan eksiye (artanlıktan azalanlığa), x=3x = 3 noktasında ise eksiden artıya (azalanlıktan artanlığa) geçmektedir.
3
g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonunun çift fonksiyon özelliği kullanılarak pozitif bölgedeki ekstremumları aranır.
x>0x > 0 için g(x)=f(x−2)g(x) = f(x-2) olur. Bu durumda yerel ekstremum adayları x−2=−1  ⟹  x=1x-2 = -1 \implies x = 1 ve x−2=3  ⟹  x=5x-2 = 3 \implies x = 5 noktalarıdır. Her iki nokta da pozitif bölgede yer alır. Çift fonksiyon simetrisi sebebiyle negatif bölgede de x=−1x = -1 ve x=−5x = -5 noktaları ekstremumdur.
g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik olduğundan pozitif taraftaki ekstremumların simetriği negatif tarafta da mevcuttur.
4
x=0x = 0 noktasındaki yerel ekstremum durumu incelenir.
x=0x = 0 civarında ∣x∣−2≥−2|x| - 2 \ge -2 olur. f(u)f(u) fonksiyonunun [−2,−1][-2, -1] aralığındaki türevi pozitif olduğundan bu aralıkta artandır. Bu nedenle x=0x = 0 civarında g(x)=f(∣x∣−2)≥f(−2)=g(0)g(x) = f(|x|-2) \ge f(-2) = g(0) eşitsizliği sağlanır. Bu durum x=0x = 0 noktasının bir yerel minimum noktası olduğunu gösterir.
Bir noktanın yerel ekstremum olması için o noktada türevin tanımlı olması zorunlu değildir. Fonksiyon sürekli ise o noktada yön değiştirmesi yeterlidir.
5
Tüm yerel ekstremum noktalarının sayısı toplanır.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri x=−5,−1,0,1,5x = -5, -1, 0, 1, 5 olmak üzere toplam 5 tanedir.
Bulunan bu 5 nokta da yerel ekstremum tanımını eksiksiz karşılar.

Key Concept

Mutlak değer içeren bileşke fonksiyonlarda türevlenebilirliğin olmadığı sivri (kırılma) noktalarda yerel ekstremum bulunabilmesi ve simetri özelliklerinin analizi.
Question 208Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 noktasından çizilen teğet doğrusu, xx ekseniyle pozitif yönde 135∘135^\circ lik açı yapmakta ve yy eksenini (0,3)(0, 3) noktasında kesmektedir. Ayrıca ff fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusu, y=3x−1y = 3x - 1 doğrusuna paraleldir. Buna göre, g(x)=f(x2⋅f(x))g(x) = f(x^2 \cdot f(x)) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için g′(1)g'(1) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9
Türevin geometrik yorumundan f′(1)=−1f'(1) = -1, teğet doğrusunun denkleminden f(1)=2f(1) = 2 ve paralel teğet doğrusundan f′(2)=3f'(2) = 3 değerleri elde edilir. g(x)=f(x2⋅f(x))g(x) = f(x^2 \cdot f(x)) fonksiyonunun türevi zincir ve çarpım kuralları yardımıyla alınıp x=1x = 1 yazıldığında g′(1)=f′(2)⋅(2f(1)+f′(1))=3⋅(4−1)=9g'(1) = f'(2) \cdot (2f(1) + f'(1)) = 3 \cdot (4 - 1) = 9 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Türev değerini teğet doğrusunun eğiminden belirleme
f′(1)=tan⁡(135∘)=−1f'(1) = \tan(135^\circ) = -1
Bir fonksiyona teğet olan doğrunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini kurarak teğet noktasındaki fonksiyon değerini bulma
y−3=−1(x−0)  ⟹  y=−x+3y - 3 = -1(x - 0) \implies y = -x + 3 doğrusu üzerinde x=1x = 1 için f(1)=2f(1) = 2 bulunur.
Teğet noktası hem fonksiyona hem de teğet doğrusuna ait olduğundan doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
3
Paralel doğru bilgisinden diğer türev değerini bulma
f′(2)=3f'(2) = 3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=3x−1y = 3x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimi 33 olmalıdır.
4
g(x)g(x) fonksiyonunun türev kuralını belirleme
g′(x)=f′(x2⋅f(x))⋅(2x⋅f(x)+x2⋅f′(x))g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x))
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı ve içteki çarpım durumundaki ifadenin türevi için çarpım kuralı uygulanır.
5
g′(1)g'(1) değerini hesaplama
g′(1)=f′(2)⋅(4−1)=3⋅3=9g'(1) = f'(2) \cdot (4 - 1) = 3 \cdot 3 = 9
x=1x = 1 yazılarak elde edilen ifadede bilinen f(1)f(1), f′(1)f'(1) ve f′(2)f'(2) değerleri yerine konur.

Key Concept

Bileşke ve çarpım fonksiyonlarının türev kuralları ile türevin geometrik yorumunun bir arada kullanılması.
Question 209Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2
parabolünün üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusu,
y+3x−5=0y + 3x - 5 = 0
doğrusuna diktir.

Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 139\frac{13}{9}

Answer

Teğet noktasının koordinatları toplamı olan 139\frac{13}{9} seçeneğidir.
Teğet doğrusunun eğimi, dik olduğu doğrunun eğiminin negatif tersidir. Buradan teğet noktasının apsisi x0=53x_0 = \frac{5}{3} ve ordinatı y0=−29y_0 = -\frac{2}{9} olarak bulunur. Koordinatlar toplamı 139\frac{13}{9} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimini bulunuz.
y+3x−5=0  ⟹  y=−3x+5y + 3x - 5 = 0 \implies y = -3x + 5 olduğundan bu doğrunun eğimi m=−3m = -3 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun bu doğruya dik olduğu bilgisiyle teğet doğrusunun eğimini bulmak için.
2
Teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) hesaplayınız.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan, mt⋅(−3)=−1  ⟹  mt=13m_t \cdot (-3) = -1 \implies m_t = \frac{1}{3} elde edilir.
Bir noktadaki türev değerinin o noktadaki teğetin eğimine eşit olması kuralını uygulamak için.
3
Türev alma kurallarını kullanarak teğet noktasının apsisini (x0x_0) bulunuz.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olup, f′(x0)=mt  ⟹  2x0−3=13  ⟹  2x0=103  ⟹  x0=53f'(x_0) = m_t \implies 2x_0 - 3 = \frac{1}{3} \implies 2x_0 = \frac{10}{3} \implies x_0 = \frac{5}{3} bulunur.
Teğet noktasının parabol üzerindeki konumunu belirlemek için.
4
Teğet noktasının ordinatını (y0y_0) ve koordinatları toplamını hesaplayınız.
y0=f(53)=(53)2−3(53)+2=259−5+2=−29y_0 = f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3\left(\frac{5}{3}\right) + 2 = \frac{25}{9} - 5 + 2 = -\frac{2}{9} bulunur. Buradan koordinatlar toplamı: x0+y0=53−29=15−29=139x_0 + y_0 = \frac{5}{3} - \frac{2}{9} = \frac{15 - 2}{9} = \frac{13}{9} elde edilir.
İstenen toplamı bulmak için.

Key Concept

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Question 210Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−6x2+10x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 4
eğrisinin A(1,f(1))A(1, f(1)) noktasındaki normal doğrusu, bu eğriyi AA noktasından farklı, apsisleri xB<xCx_B < x_C olan BB ve CC noktalarında kesmektedir.

Buna göre, eğrinin CC noktasındaki teğetinin eğimi ile BB noktasındaki normalinin eğiminin çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12\frac{1}{2}

Answer

Eğrinin CC noktasındaki teğetinin eğimi ile BB noktasındaki normalinin eğiminin çarpımı 12\frac{1}{2}'dir.
Doğru seçenekte sunulan 1/2 değeri, C noktasındaki teğetin eğimi olan 1 ile B noktasındaki normalin eğimi olan 1/2'nin çarpılmasıyla elde edilmiştir. Bu değerler, eğrinin ilgili noktalardaki türev değerlerinin diklik kuralı (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) ile işlenmesi sonucu doğru şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
AA noktasının koordinatlarını ve fonksiyonun bu noktadaki türev değerini hesaplayın.
f(1)=13−6(1)2+10(1)−4=1f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 10(1) - 4 = 1 olduğundan teğet noktası A(1,1)A(1, 1)'dir. f′(x)=3x2−12x+10f'(x) = 3x^2 - 12x + 10 türev fonksiyonundan f′(1)=1f'(1) = 1 bulunur.
Normal doğrusunun eğimini bulabilmek için teğet noktasındaki türev değerine ihtiyaç duyulur.
2
A(1,1)A(1, 1) noktasındaki normal doğrusunun denklemini yazın.
Normal doğrusunun eğimi mn=−1f′(1)=−1m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -1 olur. Eğimi −1-1 olan ve A(1,1)A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi y−1=−1(x−1)  ⟹  y=−x+2y - 1 = -1(x - 1) \implies y = -x + 2 olarak elde edilir.
Eğriyi kesen diğer noktaları bulmak için normal doğrusunun denklemi gereklidir.
3
Normal doğrusu ile eğrinin ortak çözümünü yaparak BB ve CC noktalarının apsislerini belirleyin.
x3−6x2+10x−4=−x+2  ⟹  x3−6x2+11x−6=0x^3 - 6x^2 + 10x - 4 = -x + 2 \implies x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (x−1)(x−2)(x−3)=0(x-1)(x-2)(x-3) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Apsisler xA=1x_A = 1, xB=2x_B = 2 ve xC=3x_C = 3 olur (xB<xCx_B < x_C).
Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer iki noktanın apsislerini bulmak için ortak çözüm yapılır.
4
C(3,f(3))C(3, f(3)) noktasındaki teğet doğrusunun eğimini bulun.
CC noktasındaki teğet eğimi f′(3)=3(3)2−12(3)+10=1f'(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 10 = 1 olarak hesaplanır.
İstenen çarpımın ilk bileşeni olan teğet eğimini bulmak için türev fonksiyonunda xC=3x_C = 3 yazılır.
5
B(2,f(2))B(2, f(2)) noktasındaki normal doğrusunun eğimini bulun.
BB noktasındaki teğet eğimi f′(2)=3(2)2−12(2)+10=−2f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 10 = -2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi mn,B=−1f′(2)=12m_{n, B} = -\frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{2} olur.
İstenen çarpımın ikinci bileşeni olan normal doğrusu eğimini bulmak için diklik koşulu kullanılır.
6
Bulunan eğim değerlerini çarpın.
f′(3)×mn,B=1×12=12f'(3) \times m_{n, B} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} bulunur.
Soru kökünde bizden istenen çarpım değerini elde etmek için hesaplanan iki eğim çarpılır.

Key Concept

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ile normal doğrularının eğimleri çarpımı -1'dir. Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktalardaki teğet ve normal eğimleri, o noktalardaki türev değerleri yardımıyla bulunur.
Question 211Question →

Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu olan ∣f(x)∣|f(x)|, f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökü olan her xx noktasında kesinlikle türevsizdir.

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

İfade yanlıştır. Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır olduğu bir noktada türevlenebilir olması için bu noktadaki türevinin sıfır olması yeterlidir.
Verilen ifadenin genel olarak doğru olmamasının sebebi, f(x)=0f(x) = 0 denkleminin köklerinde fonksiyonun türevinin sıfır olması durumunda mutlak değer fonksiyonunun da o noktada türevlenebilir olmasıdır. Bu duruma en belirgin örnek f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun x=0x = 0 köküdür.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirlik kuralını hatırlayalım.
Türevlenebilir bir f(x)f(x) fonksiyonu için, f(x0)=0f(x_0) = 0 ise ∣f(x)∣|f(x)| fonksiyonunun x0x_0 noktasındaki türevlenebilirliği f′(x0)f'(x_0) değerine bağlıdır.
Kök noktasında fonksiyonun işaret değiştirmesi durumunda türevin varlığını incelemek için.
2
f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ve f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 durumlarını ayrı ayrı analiz edelim.
Eğer f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 ise, x0x_0 noktasında sağ ve sol türevler farklı işaretli olacağından (biri f′(x0)f'(x_0), diğeri −f′(x0)-f'(x_0)) türev yoktur. Ancak f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ise, sağ ve sol türevlerin her ikisi de 00 olacağından fonksiyon x0x_0 noktasında türevlenebilir olur.
Türev tanımından sağ ve sol limitlerin eşitliğini kontrol etmek için.
3
İddiayı çürütecek bir karşıt örnek (karşı örnek) verelim.
f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunu ele alalım. f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökü x=0x = 0 noktasıdır. ∣f(x)∣=∣x2∣=x2|f(x)| = |x^2| = x^2 fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki türevi lim⁡h→0h2−0h=0\lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0 olup türevlenebilirdir.
İfadenin 'kesinlikle türevsizdir' genellemesinin yanlış olduğunu kanıtlamak için.

Key Concept

Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin köklerindeki türevlenebilirliği
Question 212Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
g(x)=(x2−x+2)⋅f(x)g(x) = (x^2 - x + 2) \cdot f(x)
h(x)=f(x)x2−x+2h(x) = \frac{f(x)}{x^2 - x + 2}
fonksiyonları tanımlanıyor.
g′(1)=8g'(1) = 8
h′(1)=1h'(1) = 1

olduğuna göre, k(x)=f(x)⋅(x3+f(x))k(x) = f(x) \cdot (x^3 + f(x)) fonksiyonu için k′(1)k'(1) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

k'(1) değeri 21'dir.
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının türevleri sırasıyla çarpım ve bölüm kuralları uygulanarak alınır. Elde edilen g'(1) = f(1) + 2f'(1) = 8 ve h'(1) = (2f'(1) - f(1))/4 = 1 denklemlerinden f(1) = 2 ve f'(1) = 3 değerlerine ulaşılır. Sonrasında k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) fonksiyonunun türevi çarpım kuralı ile alınarak k'(1) = f'(1)(1 + f(1)) + f(1)(3 + f'(1)) = 3(3) + 2(6) = 21 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
g(x) fonksiyonunun türevini çarpım kuralı ile alıp x = 1 yazarak ilk denklemi oluşturun.
f(1) + 2f'(1) = 8
Çarpım kuralına göre g'(x) = (2x - 1)f(x) + (x^2 - x + 2)f'(x) olur.
2
h(x) fonksiyonunun türevini bölüm kuralı ile alıp x = 1 yazarak ikinci denklemi oluşturun.
2f'(1) - f(1) = 4
Bölüm kuralına göre h'(x) = [f'(x)(x^2 - x + 2) - f(x)(2x - 1)] / (x^2 - x + 2)^2 olur.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek f(1) ve f'(1) değerlerini hesaplayın.
f(1) = 2 ve f'(1) = 3
Denklemleri taraf tarafa topladığımızda 4f'(1) = 12 elde edilir.
4
k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) ifadesinin türevini çarpım kuralı ile hesaplayıp x = 1 yazın.
k'(1) = 21
k'(x) = f'(x)(x^3 + f(x)) + f(x)(3x^2 + f'(x)) türevinde f(1) ve f'(1) değerlerini yerine koyarız.

Key Concept

Temel türev alma kuralları (çarpım ve bölüm kuralları)
Estimated Time:2m 30s
Question 213Question →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−3)(x−8)(x+1)f'(x) = (x-3)(x-8)(x+1)
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5'tir.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5 olarak bulunmuştur. Zincir kuralı uygulandıktan sonra elde edilen türev fonksiyonunun tüm kökleri (x=1,3,−1,4,−2x = 1, 3, -1, 4, -2) tek katlı köklerdir. Dolayısıyla bu noktaların tamamında fonksiyonun türevi işaret değiştirir ve hepsi yerel ekstremum noktasıdır. Bu noktaların toplamı da 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplayın.
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun kuralını f′(x2−2x)f'(x^2 - 2x) ifadesinde yerine yazın ve çarpanlarına ayırın.
f′(x2−2x)=(x2−2x−3)(x2−2x−8)(x2−2x+1)=(x−3)(x+1)(x−4)(x+2)(x−1)2f'(x^2 - 2x) = (x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 8)(x^2 - 2x + 1) = (x-3)(x+1)(x-4)(x+2)(x-1)^2 elde edilir.
Türevin sıfır olduğu noktaları ve bu noktaların katlılık durumlarını belirlemek için çarpanlara ayırma yapılır.
3
g′(x)g'(x) fonksiyonunu tek bir çarpım şeklinde yazarak tüm kökleri ve katlılık derecelerini belirleyin.
g′(x)=2(x−1)3(x−3)(x+1)(x−4)(x+2)g'(x) = 2(x-1)^3 (x-3)(x+1)(x-4)(x+2) olup, kökler x=1x = 1 (3. dereceden tek katlı), x=3,−1,4,−2x = 3, -1, 4, -2 (1. dereceden tek katlı) olarak bulunur.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olması için türevin o noktada işaret değiştirmesi, yani kökün tek katlı olması gerekir.
4
Tek katlı köklerin apsislerini toplayın.
−2+(−1)+1+3+4=5-2 + (-1) + 1 + 3 + 4 = 5 bulunur.
Tüm kökler tek katlı olduğundan hepsi yerel ekstremum noktasıdır.

Key Concept

Bileşke fonksiyon türevi ve türevin işaret değiştirdiği tek katlı köklerde yerel ekstremum noktalarının bulunması.
Question 214Question →

ff ve gg fonksiyonları, tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilir iki fonksiyondur.

f(2)=2f(2) = 2
f′(2)=1f'(2) = 1
g(2)=1g(2) = 1
g′(2)=2g'(2) = 2

olduğuna göre,

h(x)=f(x)⋅g(x)−x2f(x)+g(x)h(x) = \frac{f(x) \cdot g(x) - x^2}{f(x) + g(x)}

biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

h'(2) değeri 1'dir.
Bölüm ve çarpım kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerlerine yazıldığında, payın türevi 1, payda değeri 3, pay değeri -2 ve paydanın türevi 3 olarak bulunur. Bu değerlerin formülde yerine yazılmasıyla h′(2)h'(2) değeri 1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Bölüm türevi kuralının uygulanması
h′(x)=[f(x)⋅g(x)−x2]′⋅(f(x)+g(x))−(f(x)⋅g(x)−x2)⋅[f(x)+g(x)]′(f(x)+g(x))2h'(x) = \frac{[f(x) \cdot g(x) - x^2]' \cdot (f(x) + g(x)) - (f(x) \cdot g(x) - x^2) \cdot [f(x) + g(x)]'}{(f(x) + g(x))^2}
Bölüm biçimindeki bir ifadenin türevini almak için payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralı uygulanır.
2
Çarpım türevi ve kuvvet kuralı yardımıyla pay ve paydanın türevlerinin bulunması
[f(x)⋅g(x)−x2]′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)−2x[f(x) \cdot g(x) - x^2]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) - 2x ve [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
Toplama, çıkarma ve çarpım durumundaki ifadelerin türevini almak için temel türev alma kuralları uygulanır.
3
x = 2 noktası için türev de��erlerinin hesaplanması
Payın türevinin değeri: 1⋅1+2⋅2−2(2)=11 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 2(2) = 1.
Paydanın türevinin değeri: 1+2=31 + 2 = 3.
Verilen f(2)f(2), f′(2)f'(2), g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerleri türev ifadelerinde yerine yazılır.
4
Elde edilen değerlerin bölüm türevi formülünde yerine yazılarak h'(2) değerinin bulunması
h′(2)=1⋅3−(2⋅1−22)⋅332=3−(−2)⋅39=99=1h'(2) = \frac{1 \cdot 3 - (2 \cdot 1 - 2^2) \cdot 3}{3^2} = \frac{3 - (-2) \cdot 3}{9} = \frac{9}{9} = 1
Bulunan tüm bileşenler bir araya getirilerek işlem tamamlanır.

Key Concept

Bölüm ve çarpım kuralları yardımıyla türev alma
Estimated Time:2m 30s
Question 215Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 parabolüne dışındaki P(0,−1)P(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan PABPAB üçgeninin alanı 16 birimkaredir.
Parabolün dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin değme noktaları, teğet doğrusu denkleminin P(0,−1)P(0, -1) noktasını sağlaması koşuluyla belirlenir. Bu koşuldan elde edilen A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları ile P(0,−1)P(0, -1) noktasının oluşturduğu üçgenin alanı koordinat geometrisi kurallarıyla hesaplandığında 1616 birimkare çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğim ifadesini belirlemek.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, T(x0,y0)T(x_0, y_0) noktasındaki teğet eğimi m=2x0−2m = 2x_0 - 2 olarak bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve dışarıdaki P(0,−1)P(0, -1) noktasını bu denklemde yerine koyarak değme noktalarının apsislerini bulmak.
x02=4x_0^2 = 4 denklemi elde edilir ve buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet doğrusu P(0,−1)P(0, -1) noktasından geçti��i için bu noktanın koordinatları teğet denklemini sağlamalıdır.
3
Bulunan apsis değerlerini parabol denkleminde yerine yazarak değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını belirlemek.
A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları elde edilir.
Değme noktaları parabolün üzerinde yer aldığı için parabol denklemini sağlar.
4
Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan üçgenin alanını hesaplamak.
Alan 1616 birimkare olarak bulunur.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı determinant yöntemi veya taban ve yükseklik hesaplanarak bulunabilir.

Key Concept

Türevin Geometrik Yorumu (Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetler)
Estimated Time:2m 0s
Question 216Question →

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir P(a,a2)P(a, a^2) noktasından çizilen teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta TT, normal doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta ise NN olarak adlandırılıyor.

PP noktası koordinat düzleminin birinci bölgesinde yer almaktadır.

TT ve NN noktaları arasındaki uzaklık 172\frac{17}{2} birim olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Parabol üzerindeki birinci bölgede bulunan noktanın apsisi 2'dir.
Doğru cevap 2'dir. y=x2y = x^2 parabolünün türevi y′=2xy' = 2x olduğundan teğet eğimi 2a2a, normal eğimi ise −12a-\frac{1}{2a} olur. Bu doğruların denkleminden yy-kesenleri sırasıyla T(0,−a2)T(0, -a^2) ve N(0,a2+12)N(0, a^2 + \frac{1}{2}) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık 2a2+12=172  ⟹  2a2=8  ⟹  a2=42a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 elde edilir. Birinci bölgede a>0a > 0 olduğu için a=2a = 2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün türevini alarak teğet doğrusunun eğimini belirleyiniz.
y′=2x  ⟹  mt=2ay' = 2x \implies m_t = 2a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazıp yy-eksenini kestiği TT noktasının koordinatlarını bulunuz.
y−a2=2a(x−a)  ⟹  y=2ax−a2  ⟹  T(0,−a2)y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2 \implies T(0, -a^2)
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Doğrunun yy-eksenini kestiği noktayı bulmak için x=0x = 0 yazılır.
3
Normal doğrusunun eğimini ve denklemini bulup yy-eksenini kestiği NN noktasının koordinatlarını hesaplayınız.
mn=−12a  ⟹  y−a2=−12a(x−a)  ⟹  N(0,a2+12)m_n = -\frac{1}{2a} \implies y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) \implies N\left(0, a^2 + \frac{1}{2}\right)
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir. Buradan normal doğrusunun eğimi bulunarak denklem yazılır ve x=0x = 0 için yy-keseni belirlenir.
4
TT ve NN noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi kurarak aa değerini bulunuz.
∣yN−yT∣=2a2+12=172  ⟹  2a2=8  ⟹  a2=4  ⟹  a=2|y_N - y_T| = 2a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = 2
yy-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir. PP noktası birinci bölgede yer aldığından a>0a > 0 olmalıdır, bu yüzden pozitif kök seçilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu yardımıyla teğet ve normal doğrularının denklemlerinin yazılması ve bu doğruların eksenleri kestiği noktaların bulunması.
Question 217Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={cos⁡x+a,x<0x2+bx+c,x≥0f(x) = \begin{cases} \cos x + a, & x < 0 \\ x^2 + bx + c, & x \ge 0 \end{cases}
fonksiyonu her x∈Rx \in \mathbb{R} için türevlenebilir olduğuna göre, a−c+ba - c + b ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

İstenen ifadenin değeri -1 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevlenebilir olması için sürekli olması gerektiğinden a−c=−1a - c = -1 elde edilir. Kritik noktadaki sağ ve sol türevlerin eşitliğinden ise b=0b = 0 bulunur. Bu değerler toplandığında istenen ifade −1-1 değerine eşit olur.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun her x∈Rx \in \mathbb{R} için türevlenebilir olması için kritik nokta olan x=0x = 0 noktasında sürekli olması gerekir. Bu nedenle x=0x = 0 noktasındaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri birbirine eşitlenir.
lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)  ⟹  cos⁡(0)+a=c  ⟹  1+a=c  ⟹  a−c=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \implies \cos(0) + a = c \implies 1 + a = c \implies a - c = -1 elde edilir.
Türevlenebilir her fonksiyon tanımlı olduğu noktalarda sürekli olmak zorundadır.
2
Süreklilik sağlandıktan sonra, x=0x = 0 noktasındaki sağdan ve soldan türevler hesaplanarak birbirine eşitlenir.
x<0x < 0 için f′(x)=−sin⁡x  ⟹  f′(0−)=−sin⁡(0)=0f'(x) = -\sin x \implies f'(0^-) = -\sin(0) = 0 ve x>0x > 0 için f′(x)=2x+b  ⟹  f′(0+)=bf'(x) = 2x + b \implies f'(0^+) = b olur. Buradan sağ ve sol türevlerin eşitliğinden b=0b = 0 bulunur.
Bir fonksiyonun sürekli olduğu bir noktada türevli olması için o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin eşit olması gerekir.
3
Elde edilen a−c=−1a - c = -1 ve b=0b = 0 değerleri a−c+ba - c + b ifadesinde yerine yazılır.
a−c+b=−1+0=−1a - c + b = -1 + 0 = -1 bulunur.
Soruda bizden istenen ifadenin değerini hesaplamak için elde edilen parametre ilişkileri kullanılır.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Question 218Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+af(x) = x^2 + a
g(x)=x3−3x2+4x+bg(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + b
eğrileri P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasında birbirine teğettir.

Bu eğrilerin ortak teğet doğrusunun denklemi y=4x−5y = 4x - 5 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Ortak teğet noktası belirlenip fonksiyonlarda yerine yazıldığında a=−1a = -1 ve b=−1b = -1 bulunur, buradan a+b=−2a + b = -2 elde edilir.
Ortak teğet doğrusunun eğimi 44 olup, f′(x0)=4f'(x_0) = 4 eşitliğinden teğet noktasının apsisi x0=2x_0 = 2 olarak bulunur. Bu nokta teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğruyu sağlar ve y0=3y_0 = 3 elde edilir. P(2,3)P(2,3) noktası her iki eğri denklemini de sağladığından a=−1a = -1 ve b=−1b = -1 bulunur, toplamları ise −2-2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Ortak teğet doğrusunun eğimini belirleyip fonksiyonların teğet noktasındaki türevleriyle ilişkilendirelim.
Teğet doğrusu y=4x−5y = 4x - 5 olduğundan eğim m=4m = 4'tür. Dolayısıyla, f′(x0)=4f'(x_0) = 4 ve g′(x0)=4g'(x_0) = 4 olmalıdır.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak teğet noktasının apsisini (x0x_0) hesaplayalım.
f′(x)=2x⇒2x0=4⇒x0=2f'(x) = 2x \Rightarrow 2x_0 = 4 \Rightarrow x_0 = 2
Teğet noktasının apsisini bulmak için fonksiyonun türevini teğetin eğimine eşitleriz.
3
x0=2x_0 = 2 apsis değerinin g(x)g(x) eğrisi için de aynı eğimi verip vermediğini doğrulayalım.
g′(x)=3x2−6x+4⇒g′(2)=3(2)2−6(2)+4=12−12+4=4g'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \Rightarrow g'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 4 = 12 - 12 + 4 = 4
Eğriler aynı noktada birbirine teğet olduğu için bu noktada türev değerleri eşit olmalıdır.
4
Teğet noktasının ordinatını (y0y_0) bulmak için x0=2x_0 = 2 değerini ortak teğet doğrusunun denkleminde yerine yazalım.
y0=4(2)−5=3y_0 = 4(2) - 5 = 3
Teğet noktası ortak teğet doğrusu üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlamalıdır.
5
P(2,3)P(2, 3) noktasının koordinatlarını f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarında yerine yazarak aa ve bb değerlerini bulalım.
f(2)=4+a=3⇒a=−1f(2) = 4 + a = 3 \Rightarrow a = -1 ve g(2)=8−12+8+b=3⇒4+b=3⇒b=−1g(2) = 8 - 12 + 8 + b = 3 \Rightarrow 4 + b = 3 \Rightarrow b = -1
Teğet noktası her iki eğrinin de üzerinde bulunduğundan eğri denklemlerini sağlamak zorundadır.
6
Bulunan aa ve bb değerlerini toplayarak sonucu bulalım.
a+b=(−1)+(−1)=−2a + b = (-1) + (-1) = -2
Soru bizden aa ve bb katsayılarının toplamını istemektedir.

Key Concept

İki eğrinin ortak teğet doğrusu yardımıyla teğet noktasının apsis ve ordinatının belirlenmesi ve türev-eğim ilişkisi.
Question 219Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sürekli olması, bu noktada türevlenebilir olması için yeterli bir koşuldur.

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen ifade yanlıştır. Süreklilik, türevlenebilme için gerekli bir koşul olsa da yeterli bir koşul değildir.
Süreklilik, türevlenebilme için sadece gerekli bir ön koşuldur; sürekli olan her fonksiyonun türevlenebilir olması gerekmediğinden (örneğin mutlak değer fonksiyonlarının köklerindeki kırılma noktaları) önerme yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
Türevlenebilme ve süreklilik kavramları arasındaki mantıksal ilişkiyi kurun.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada kesinlikle süreklidir. Ancak bu önermenin karşıtı her zaman doğru değildir; yani süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur fakat yeterli değildir.
Türevlenebilme kavramı sürekliliğe göre daha güçlü ve kısıtlayıcı bir yapıya sahiptir.
2
Sürekli olup türevlenemeyen bir fonksiyon örneği (karşı örnek) belirleyin.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki durumu incelendiğinde, lim⁡x→0f(x)=f(0)=0\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir. Ancak sağdan türevi 11, soldan türevi −1-1 olduğundan bu noktada türevi yoktur.
Grafikteki keskin kırılma (köşe) noktalarında limit ve süreklilik sağlanırken sağ ve sol türevler birbirinden farklı olur.

Key Concept

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisi
Question 220Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)=13x3−(a−1)x2+4x+5f(x) = \frac{1}{3}x^3 - (a-1)x^2 + 4x + 5

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktası olmadığına göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

a sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, fonksiyonun türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olmasını sağlayan diskriminant koşulunun doğru çözülmesi ve elde edilen [−1,3][-1, 3] aralığındaki tam sayıların toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=x2−2(a−1)x+4f'(x) = x^2 - 2(a-1)x + 4
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının varlığı ve karakteri, türevinin işaret değiştirdiği noktalar incelenerek belirlenir.
2
Yerel ekstremum noktasının olmaması için gereken şartı belirleyin.
f′(x)f'(x) ifadesinin işaret değiştirmemesi gerekir. Başkatsayısı pozitif olan bu ikinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminant Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
Eğer türev fonksiyonu işaret değiştirirse, işaret değiştirdiği noktalarda yerel maksimum veya yerel minimum noktaları oluşur. İşaret değiştirmemesi için reel kökünün olmaması veya yalnızca çift katlı kökünün olması gerekir.
3
Diskriminant eşitsizliğini kurun ve çözün.
Δ=[−2(a−1)]2−4⋅1⋅4≤0  ⟹  4(a−1)2−16≤0  ⟹  (a−1)2≤4  ⟹  −2≤a−1≤2  ⟹  −1≤a≤3\Delta = [-2(a-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \leq 0 \implies 4(a-1)^2 - 16 \leq 0 \implies (a-1)^2 \leq 4 \implies -2 \leq a-1 \leq 2 \implies -1 \leq a \leq 3
Diskriminant formülü Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac kullanılarak parametreye bağlı eşitsizlik elde edilir ve çözülür.
4
Parametrenin alabileceği tam sayı değerlerini belirleyip toplayın.
Alınabilecek tam sayı değerleri −1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3 olup, toplamları −1+0+1+2+3=5-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 olur.
Bulunan [−1,3][-1, 3] aralığındaki tam sayılar tespit edilerek toplamları hesaplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun türevinin işaret değiştirmediği noktalarda yerel ekstremum noktası bulunmaz. İkinci dereceden bir fonksiyonun daima aynı işaretli kalması için diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması gerekir.
PreviousPage 11 / 16Next
Türev ve Uygulamaları Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 11 | Examkin