All practice questions

Question 1Question →

Bir laboratuvarda yapılan hassas ölçümlerde beş farklı maddenin sıcaklık deği��imleri santigrat derece ( $^\circ\text{C}$ ) cinsinden sırasıyla $-3{}5$ , $0$ , $4$ , $-\sqrt{3}$ ve $\frac{12}{5}$ olarak kaydedilmiştir.

Buna göre, kaydedilen bu sıcaklık değişim değerlerinden kaç tanesi bir tam sayı belirtir?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Kaydedilen sıcaklık değişim değerlerinden tam sayı belirtenler 2 tanedir.

Verilen sayılar incelendiğinde,

0

ve

4

sayılarının tam sayılar kümesine ait olduğu görülür.

-3{}5

ve

\frac{12}{5}

sayıları tam sayı olmayan rasyonel sayılardır.

-\sqrt{3}

sayısı ise rasyonel olmadığından irrasyonel bir sayıdır. Bu nedenle tam sayı belirten değerlerin sayısı 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sayıların sayı kümelerindeki yerlerini sınıflandırmak

-3{}5 \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}

,

0 \in \mathbb{Z}

,

4 \in \mathbb{Z}

,

-\sqrt{3} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

,

\frac{12}{5} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}

Sayıların tam sayı sınıfına girip girmediğini anlamak için en dar sayı kümesi üyeliklerini tespit etmeliyiz.

2

Tam sayı olan elemanları seçip sayısını bulmak

Tam sayı olanlar

0

ve

4

'tür. Toplamda 2 tane tam sayı vardır.

Soru kökünde bizden tam sayı olan değerlerin adedi istenmiştir.

Key Concept

Sayı Kümeleri

Question 2Question →

Üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı, iki basamaklı $BC$ doğal sayısının 13 katından 20 fazladır.

Buna göre, $A$ rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

A rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.

Çözümleme yapıldığında elde edilen

25A = 3 \cdot BC + 5

denkleminde,

BC

iki basamaklı doğal sayısının alabileceği değerler

10

ile

99

arasındadır. Bu koşul altında

3 \cdot BC + 5

ifadesinin

25

'in katı olması için

A

rakamı yalnızca

2

,

5

ve

8

değerlerini alabilir. Bu değerlerin toplamı

15

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sayının basamak çözümlemesini yapmak.

ABC = 100A + BC

ABC

üç basamaklı sayısının son iki basamağını ayırarak çözümleme yapmak,

BC

iki basamaklı terimi ile sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

2

Soruda verilen sözel ifadeyi denklem olarak yazmak.

100A + BC = 13 \cdot BC + 20 \implies 100A = 12 \cdot BC + 20

Matematiksel modeli kurarak değişkenleri düzenlemek.

3

Denklemin katsayılarını en büyük ortak bölen ile sadeleştirmek.

25A = 3 \cdot BC + 5

Daha küçük katsayılarla çalışmak ve değer verme aşamasında işlem kolaylığı sağlamak.

4

BC

ifadesinin iki basamaklı bir doğal sayı olma şartını uygulayarak

A

değerlerini aramak.

A \in \{2, 5, 8\}

ve buna karşılık gelen

BC \in \{15, 40, 65\}

10 \leq BC \leq 99

sınırları dahilinde

3 \cdot BC + 5

ifadesinin 25'in katı olmasını sağlayan rakamlar belirlenir.

5

Bulunan rakamları toplamak.

2 + 5 + 8 = 15

A

rakamının alabileceği tüm farklı değerlerin toplamını elde etmek.

Key Concept

Çözümleme yaparken tüm basamakları tek tek açmak yerine (

100A + 10B + C

), ortak blokları (

100A + BC

) birlikte gruplandırmak işlem kolaylığı sağlar.

Alternative Method

25A = 3 \cdot BC + 5

denkleminde eşitliğin sağ tarafı

5

'in katıdır. Dolayısıyla sol taraftaki

25A

da

5

'in katı olmalıdır. Buradan

3 \cdot BC

ifadesinin

5

'in katı olması gerektiği, yani

BC

sayısının birler basamağının (

C

)

0

veya

5

olması gerektiği görülür.

C = 0

veya

C = 5

değerleri üzerinden deneme yapılarak

BC \in \{15, 40, 65\}

değerlerine daha hızlı ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

$x$ ve $y$ iki basamaklı birbirinden farklı en küçük iki tam sayıdır.

Buna göre, $x + y$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -197

Answer

İki basamaklı birbirinden farklı en küçük iki tam sayının toplamı -197'dir.

İki basamaklı en küçük iki farklı tam sayı

-99

ve

-98

'dir. Bu sayıların toplamı

-197

yapar.

Step-by-Step Solution

1

İki basamaklı en küçük tam sayıyı belirleme

-99

Tam sayılar kümesi negatif sayıları da kapsadığından, iki basamaklı en küçük tam sayı sıfırdan en uzak olan

-99

sayısıdır.

2

Birbirinden farklı ikinci en küçük tam sayıyı belirleme

-98

Sayıların farklı olması koşulundan dolayı,

-99

dışındaki en k��çük iki basamaklı tam sayı

-98

'dir.

3

Sayıların toplamını hesaplama

-197

Soruda istenen toplam için belirlenen iki sayı toplanır:

-99 + (-98) = -197

elde edilir.

Key Concept

Tam sayılar kümesinin negatif elemanları barındırması ve negatif tam sayılarda sıralama kuralları.

Estimated Time:45s

Question 4Question →

x

bir tam sayı olmak üzere,

x^2 \cdot (x - 1) < 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük

x

tam sayısı ka��tır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Eşitsizliği sağlayan en büyük x tam sayısı -1'dir.

Verilen eşitsizlikte

x^2

çarpanı

x = 0

dışında daima pozitiftir.

x = 0

için çarpım sıfır olup eşitsizliği sağlamaz. Dolayısıyla

x \neq 0

olmalıdır. Çarpımın negatif olabilmesi için diğer çarpan olan

x - 1

ifadesinin negatif olması, yani

x < 1

olması gerekir. 1'den küçük olan ve 0'a eşit olmayan en büyük tam sayı -1'dir.

Step-by-Step Solution

1

x^2

ifadesinin alabileceği değerlerin işaretlerini analiz edin.

x = 0

için

x^2 = 0

olur.

x \neq 0

olan tüm durumlar için

x^2 > 0

olur.

Herhangi bir gerçel sayının karesi negatif olamaz, ya sıfırdır ya da pozitiftir.

2

x = 0

değerinin eşitsizliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

x = 0

için

0^2 \cdot (0 - 1) = 0

olur.

0 < 0

ifadesi yanlış olduğundan

x = 0

çözüme dahil edilemez.

Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır ve çarpımı sıfır yaparak eşitsizliği geçersiz kılar.

3

x \neq 0

kabulü altında çarpımın negatif olma şartını inceleyin.

x^2 > 0

olduğundan, çarpımın negatif olması için

x - 1 < 0 \implies x < 1

olmalıdır.

Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı daima negatiftir.

4

x < 1

ve

x \neq 0

koşullarına uyan en büyük tam sayıyı belirleyin.

Koşulları sağlayan tam sayılar

\{-1, -2, -3, \dots\}

olup en büyük eleman

-1

'dir.

1'den küçük olan en büyük tam sayı normalde 0'dır, ancak 0 değeri eşitsizliği sağlamadığı için bir sonraki en büyük tam sayı olan -1 seçilir.

Key Concept

Sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve çift dereceli terimlerin işareti

Estimated Time:1m 0s

Question 5Question →

$a$ ve $b$ birer gerçel sayı olmak üzere, $a + b$ ve $a \cdot b$ değerlerinin her ikisi de rasyonel sayı olduğu halde $a$ ve $b$ sayılarından en az birinin irrasyonel sayı olduğu $(a, b)$ sayı çiftlerine "özel çift" denir.

Melis,

k

bir tam sayı olmak üzere,

a = 3 - \sqrt{k}

b = 3 + \sqrt{k}

sayılarını belirlemiştir.

Melis'in belirlediği $a$ ve $b$ sayılarının her ikisinin de $[-2, 8]$ kapalı aralığında yer aldığı ve $(a, b)$ çiftinin bir özel çift olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $k$ tam sayısı vardır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Bu koşulları sağlayan 20 farklı k tam sayısı vardır.

Verilen aralık ve karekök tanımları incelendiğinde

k

sayısının

0

ile

25

arasındaki (sınırlar dahil) tam kare olmayan tam sayılar olması gerektiği görülür. Bu da

20

farklı değer demektir.

Step-by-Step Solution

1

a

ve

b

sayılarının gerçel sayı olabilmesi için karekökün tanım kümesi incelenir.

k \geq 0

Negatif sayıların karekökü gerçel sayı belirtmez.

2

a

ve

b

sayılarının

[-2, 8]

kapalı aralığında olma koşulları çözülür.

k \leq 25

3 + \sqrt{k} \leq 8 \Rightarrow \sqrt{k} \leq 5 \Rightarrow k \leq 25

ve

3 - \sqrt{k} \geq -2 \Rightarrow \sqrt{k} \leq 5 \Rightarrow k \leq 25

eşitsizliklerinin her ikisi de bu sonucu verir.

3

(a, b)

çiftinin "özel çift" olma tanımına göre sayı kümeleri analizi yapılır.

k

bir tam kare sayı olmamalıdır.

a + b = 6 \in \mathbb{Q}

ve

a \cdot b = 9 - k \in \mathbb{Q}

olduğu için rasyonellik şartları sağlanır. Sayıların irrasyonel olması için

\sqrt{k}

ifadesinin irrasyonel olması gerekir. Bu da

k

tam sayısının bir tam kare olmaması anlamına gelir.

4

[0, 25]

kapalı aralığındaki uygun

k

tam sayılarının sayısı hesaplanır.

26 - 6 = 20

0 \leq k \leq 25

aralığında toplam

26

tam sayı vardır. Bu sayılardan tam kare olanlar

\{0, 1, 4, 9, 16, 25\}

olmak üzere

6

tanedir. Bunlar çıkarıldığında

20

sayı kalır.

Key Concept

Gerçel sayıların alt kümeleri olan rasyonel ve irrasyonel sayıların özellikleri ile kareköklü ifadelerin tanım kümesi.

Question 6Question →

Üzerinde $1$ , $2$ , $3$ ve $4$ rakamlarının yazılı olduğu dört kartın tamamı kullanılarak iki basamaklı iki doğal sayı elde ediliyor. Buna göre, elde edilen bu iki sayının toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 37

Answer

Elde edilen iki basamaklı sayıların toplamının alabileceği en küçük değer 37'dir.

Oluşturulacak iki basamaklı iki sayının onlar basamağına en küçük rakamlar olan 1 ve 2, birler basamağına ise kalan 3 ve 4 rakamları yazıldığında en küçük toplam olan 37 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sayıların çözümlenmesi

AB + CD = 10(A + C) + (B + D)

Basamak değerlerinin toplam üzerindeki etkisini belirlemek için çözümleme yapılması gerekir.

2

Onlar basamağındaki rakamların seçilmesi

A

ve

C

rakamları

1

ve

2

olarak belirlenir.

Onlar basamağının ağırlığı 10 olduğundan toplamın en küçük olması için buraya en küçük rakamlar yazılmalıdır.

3

Birler basamağındaki rakamların seçilmesi ve toplamın bulunması

B

ve

D

rakamları

3

ve

4

olarak belirlenir ve toplam

13 + 24 = 37

bulunur.

Kalan büyük rakamlar birler basamağına atanarak toplam minimuma indirilir.

Key Concept

Basamak çözümlemesi ve basamak değerlerine göre rakam yerleştirme

Estimated Time:1m 0s

Question 7Question →

Bir $A$ kümesinin elemanları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $A$ kümesinin tüm elemanları $[-4, 4]$ kapalı aralığındaki birbirinden farklı gerçel sayılardan oluşmaktadır.
* $A$ kümesinin eleman sayısı 6'dır.
* $A$ kümesindeki elemanların 4 tanesi rasyonel sayıdır.
* $A$ kümesindeki elemanların 3 tanesi tam sayıdır.
* $A$ kümesindeki elemanların 2 tanesi doğal sayıdır.

Buna göre, $A$ kümesindeki tam sayıların toplamı en az kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Tam sayıların toplamının alabileceği en küçük değer -3'tür.

Doğal sayılar kümesi sıfırı içerdiği için [-4, 4] aralığındaki en küçük iki doğal sayı 0 ve 1'dir. Bu aralıktaki en küçük negatif tam sayı ise -4'tür. Bu üç tam sayının toplamı (-4) + 0 + 1 = -3 olur.

Step-by-Step Solution

1

Sayı kümeleri arasındaki alt küme ilişkisini belirleyin.

Doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin alt kümesidir (N ⊂ Z).

Kümedeki tam sayıların kaçının doğal sayı kaçının negatif tam sayı olduğunu belirlemek için.

2

Kümedeki tam sayıların dağılımını bulun.

Kümede 3 tam sayı ve 2 do��al sayı olduğundan, tam sayılardan 2'si doğal sayı (negatif olmayan tam sayı), 1'i ise negatif tam sayıdır.

Toplamı en küçük yapacak elemanları bu gruplardan seçmek için.

3

Aralıktan seçilebilecek en küçük negatif tam sayıyı bulun.

[-4, 4] aralığındaki en küç��k negatif tam sayı -4'tür.

Toplamı en az yapmak için negatif tam sayıyı olabildiğince küçük seçmeliyiz.

4

En küçük iki farklı doğal sayıyı bulun.

En küçük iki farklı doğal sayı 0 ve 1'dir.

Doğal sayılar 0'dan başlar ve toplamı en az yapmak için en küçük elemanlar seçilmelidir.

5

Seçilen tam sayıları toplayın.

(-4) + 0 + 1 = -3

İstenen en küçük toplam değerini elde etmek için.

Key Concept

Sayı kümeleri ve alt küme ilişkileri (Doğal sayılar, Tam sayılar, Rasyonel sayılar)

Question 8Question →

m

ve

n

sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,

\left(mx^2 - \frac{n}{x}\right)^8

ifadesinin açılımında

x^7

li terimin katsayısı,

x^4

lü terimin katsayısına eşittir.

Buna göre, $\frac{m}{n}$ oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1.25

Answer

İstenen oran

-1.25

olarak bulunur.

Genel terim formülü yardımıyla

x^7

ve

x^4

terimlerinin katsayıları sırasıyla

-56 m^5 n^3

ve

70 m^4 n^4

olarak elde edilir. Bu iki katsayının eşitliğinden

-56 m^5 n^3 = 70 m^4 n^4

elde edilir ve sadeleştirildiğinde

\frac{m}{n} = -1.25

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Genel terim formülünü yazıp düzenleme.

T_{k+1} = \binom{8}{k} (mx^2)^{8-k} \left(-\frac{n}{x}\right)^k = \binom{8}{k} m^{8-k} (-1)^k n^k x^{16-3k}

Açılımdaki terimlerin derecelerini ve katsayılarını belirlemek amacıyla genel terim formülü kurulur.

2

İstenen terimlerin derecelerine göre

k

değerlerini tespit etme.

x^7

terimi için

16-3k=7 \implies k=3

ve

x^4

terimi için

16-3k=4 \implies k=4

bulunur.

Hangi terimlerin katsayılarının karşılaştırılacağını bulmak için indeksler belirlenir.

3

Katsayıları eşitleyip

\frac{m}{n}

değerini hesaplama.

-56 m^5 n^3 = 70 m^4 n^4 \implies -56 m = 70 n \implies \frac{m}{n} = -1.25

Sıfırdan farklı

m

ve

n

değerleri için gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapılarak oran elde edilir.

Key Concept

Binom açılımı genel terimi ve terimlerin katsayıları arasındaki ilişkiler.

Estimated Time:2m 0s

Question 9Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları, her

x

gerçel sayısı için

(f + 2g)(x) = 3x^2 - x + 4

(2f - g)(x) = x^2 + 3x - 2

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $(f \cdot g)(2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İstenen

(f \cdot g)(2)

değeri 24 olarak bulunur.

Verilen iki fonksiyon denkleminde

x = 2

yazılarak

f(2) + 2g(2) = 14

ve

2f(2) - g(2) = 8

denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde

f(2) = 6

ve

g(2) = 4

bulunur. Fonksiyonlarda çarpma işleminin tanımı gereği

(f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 6 \cdot 4 = 24

sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliklerde

x = 2

yazılarak

f(2)

ve

g(2)

değerlerine bağlı denklemleri oluşturalım.

f(2) + 2g(2) = 14

ve

2f(2) - g(2) = 8

elde edilir.

x = 2

noktasındaki fonksiyon değerlerini bulmak amacıyla değişkenlerin yerine 2 yazarız.

2

f(2) = u

ve

g(2) = v

d��nüşümü ile elde edilen sistemi çözelim.

u = 6

ve

v = 4

bulunur, yani

f(2) = 6

ve

g(2) = 4

olur.

İkinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklemle topladığımızda

5u = 30 \implies u = 6

elde edilir. Bu değer denklemlerden birinde yerine yazıldığında

v = 4

bulunur.

3

Fonksiyonlarda çarpma işlemi kuralını uygulayarak sonuca ulaşalım.

(f \cdot g)(2) = 6 \cdot 4 = 24

olarak bulunur.

Çarpım fonksiyonunun bir noktadaki değeri, fonksiyonların o noktadaki değerlerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

Fonksiyonlarda dört işlem kuralları

Estimated Time:2m 0s

Question 10Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, bire bir ve örten $f$ ve $g$ fonksiyonları için

f(x) = 2x + 5

(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $g(2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

g(2) değeri -2'dir.

Verilen

(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - 1

eşitliğinde ters fonksiyon tanımı kullanıldığında

(f \circ g)(3x - 1) = x

yani

f(g(3x - 1)) = x

eşitliğine ulaşılır.

f(x) = 2x + 5

kuralı uygulandığında

2g(3x - 1) + 5 = x

denklemi elde edilir. Buradan

g(3x - 1) = \frac{x - 5}{2}

bulunur. İstenen

g(2)

değerini elde etmek amacıyla parantez içini 2'ye eşitlemek için

3x - 1 = 2 \implies x = 1

seçilir. Sonuç olarak

g(2) = \frac{1 - 5}{2} = -2

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Ters fonksiyon tanımını kullanarak bileşke fonksiyonun kendisini elde etme.

f(g(3x - 1)) = x

Bir fonksiyonun tersi için

h^{-1}(x) = y \iff h(y) = x

kuralı geçerlidir.

2

f(x) = 2x + 5

kuralını bileşke ifadesinde yerine yazma.

2g(3x - 1) + 5 = x

f(g(3x - 1))

ifadesini elde etmek için

f

fonksiyonundaki girdi yerine

g(3x - 1)

yazılır.

3

g(3x - 1)

ifadesini yalnız b��rakma.

g(3x - 1) = \frac{x - 5}{2}

Eşitliğin her iki tarafından 5 çıkarılıp 2'ye bölünerek

g

fonksiyonunun kuralına ulaşılır.

4

g(2)

değerini hesaplamak için uygun

x

değerini bulup yerine koyma.

3x - 1 = 2 \implies x = 1

için

g(2) = \frac{1 - 5}{2} = -2

Fonksiyonun girdisini 2 yapmak için gereken bağımsız değişken değeri belirlenir ve fonksiyonda yerine yazılır.

Key Concept

Bileşke Fonksiyonun Tersi ve Değer Bulma

Estimated Time:2m 0s

Question 11Question →

a

ve

b

gerçel sayıları için,

a^3 - b^3 = 124

a^2b - ab^2 = 20

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $a - b$ farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

a - b farkı 4'tür.

İki terimin farkının küpü özdeşliği olan

(a-b)^3 = (a^3 - b^3) - 3(a^2b - ab^2)

eşitliğinde verilen

a^3 - b^3 = 124

ve

a^2b - ab^2 = 20

değerleri yerine yazıldığında

(a-b)^3 = 124 - 60 = 64

bulunur. Buradan küpü 64 olan gerçel sayı

a - b = 4

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İki terimin farkının küpü özdeşliğini yazarak ortak terimler cinsinden gruplandırın.

(a-b)^3 = (a^3 - b^3) - 3(a^2b - ab^2)

Verilen

a^3-b^3

ve

a^2b-ab^2

ifadelerini tek bir eşitlikte ilişkilendirmek için.

2

Bilinen sayısal değerleri özdeşlikte yerine yazın.

(a-b)^3 = 124 - 3 \times 20 = 64

(a-b)^3

ifadesinin sayısal değerini hesaplamak için.

3

Bulunan sonucun küp kökünü alarak farkın değerini elde edin.

a - b = 4

Hangi sayının küpünün 64 olduğunu belirlemek için.

Key Concept

İki terimin farkının küpü açılımı olan

(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

ifadesinin ortak çarpan parantezine alınarak

(a-b)^3 = (a^3-b^3) - 3ab(a-b)

şeklinde gruplandırılması.

Question 12Question →

Bir $n$ pozitif tam sayısı için $n!$ sayısının farklı asal çarpanlarının sayısı $A(n)$ ile gösterilmektedir.

Buna göre,

A(n+3) - A(n) = 2

eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı

n

doğal sayısı vardır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Koşulu sağlayan iki basamaklı 6 farklı n doğal sayısı vardır.

Faktöriyel tanımına göre

A(n)

değeri,

n

sayısına eşit veya küçük asal sayıların adedini verir.

A(n+3) - A(n) = 2

eşitliği ise

n+1, n+2, n+3

sayılarından tam olarak iki tanesinin asal olmasını gerektirir. Sayıların teklik-çiftlik durumları incelendiğinde

n

çift olmalı ve

n+1

ile

n+3

ikiz asal sayılar olmalıdır. İki basamaklı

n

değerleri arasından bu şartı sağlayanlar

10, 16, 28, 40, 58, 70

sayıları olup toplam 6 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

A(n)

fonksiyonunun tanımını yapmak.

A(n)

değeri,

n

'den küçük veya

n

'ye eşit asal sayıların adedidir.

n!

sayıs��nın asal çarpanları

1

ile

n

arasındaki asal sayılardan oluşur.

2

A(n+3) - A(n) = 2

eşitliğinin anlamını yazmak.

\{n+1, n+2, n+3\}

kümesinde tam olarak 2 tane asal sayı bulunmalıdır.

Bu iki fonksiyon arasındaki fark, aradaki ardışık üç tam sayının içindeki asal sayıların adedini verir.

3

n

sayısının teklik-çiftlik durumunu sorgulamak.

n

sayısı çift olmak zorundadır.

n

tek olduğunda

n+1

ve

n+3

çift ve 2'den büyük olacağından asal olamazlar, bu da kümedeki asal sayısının en fazla 1 olabilmesine yol açar.

4

n

çift iken asal olabilecek sayıları belirlemek.

n+1

ve

n+3

sayılarının ikisi de asal olmalıdır (ikiz asallar).

n

çift olduğunda

n+2

çift (ve

>2

) olacağından asal olamaz. Farkın 2 çıkabilmesi için geriye kalan iki sayının da asal olması gerekir.

5

İki basamaklı uygun

n

değerlerini listelemek.

n

değerleri

10, 16, 28, 40, 58, 70

olmak üzere 6 adettir.

10 \le n \le 99

aralığında aralarında 2 fark bulunan ve ikisi de asal olan sayı çiftlerinin arasındaki çift sayılar belirlenmiştir.

Key Concept

Faktöriyel kavramında asal çarpanların bulunması ve ikiz asal sayıların analizi

Question 13Question →

Sayı doğrusu üzerinde bir $x$ gerçel sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı, $-6$ noktasına olan uzaklığının 2 katıdır.

Buna göre, $x$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -16

Answer

x sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı -16'dır.

Verilen sözel ifade mutlak değerli bir denkleme dönüştürüldüğünde

|x| = 2|x + 6|

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin çözümünden

x = -12

ve

x = -4

değerlerine ulaşılır. Bu iki değerin toplamı

-16

olur.

Step-by-Step Solution

1

Uzaklık ifadelerini mutlak değer kullanarak denklem haline getirme

|x| = 2|x + 6|

denklemi elde edilir.

Bir sayının başka bir sayıya uzaklığı, bu iki sayının farkının mutlak değeridir. Başlangıç noktas��na olan uzaklık

|x-0| = |x|

,

-6

noktasına uzaklık ise

|x - (-6)| = |x + 6|

olur.

2

Mutlak değerli denklemi iki farklı durumda çözme

x = -12

ve

x = -4

değerleri bulunur.

|A| = |B|

denklemi

A = B

veya

A = -B

durumları incelenerek çözülür.

3

Bulunan değerleri toplama

(-12) + (-4) = -16

Soru bizden alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Key Concept

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık olarak tanımlanması ve

|x| = a

biçimindeki denklemlerin çözümü.

Question 14Question →

Bir terzinin elinde $A$ ve $B$ olarak adlandırılan iki farklı tahta mezura bulunmaktadır.

* $A$ mezurasının boyu, $B$ mezurasının boyundan $20$ cm daha uzundur.
* Terzi, bir kumaşın boyunu $A$ mezurası ile $6$ kez ölçtüğünde son ölçümde mezuranın $12$ cm'lik kısmı kumaşın dışına taşmaktadır.
* Aynı kumaşın boyunu $B$ mezurası ile $8$ kez ölçtüğünde son ölçümde kumaşın boyu mezuradan $18$ cm daha uzun kalmaktadır.

Buna göre, $B$ mezurasının boyu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

B mezurasının boyu 45 cm'dir.

B mezurasının boyu x cm olarak alındığında, A mezurasının boyu x + 20 cm olur. Kumaşın boyu her iki ölçüm için eşit olduğundan 6(x + 20) - 12 = 8x + 18 denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde x = 45 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

B

mezurasının boyu

x

cm olarak kabul edilip,

A

mezurasının boyu

x

cinsinden yazılır.

A

mezurasının boyu

x + 20

cm olur.

A

mezurasının boyunun

B

mezurasının boyundan

20

cm daha uzun olduğu belirtilmiştir.

2

Kumaşın boyu, her iki mezura ile yapılan ölçüm sonuçlarına göre

x

değişkeni kullanılarak modellenir.

A

mezurası ile yapılan ölçüme göre kumaşın boyu:

6(x + 20) - 12

cm,

B

mezurası ile yapılan ölçüme göre kumaşın boyu:

8x + 18

cm olur.

A

mezurası ile

6

ölçüm yapıldığında

12

cm dışarı taştığı için kumaşın boyu

6

mezura boyundan

12

cm eksiktir.

B

mezurası ile

8

ölçüm yapıldığında kumaş

18

cm arttığı için kumaşın boyu

8

mezura boyundan

18

cm fazladır.

3

Kumaşın boyu değişmediği için elde edilen iki ifade birbirine eşitlenir ve oluşan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözülür.

6(x + 20) - 12 = 8x + 18 \Rightarrow 6x + 120 - 12 = 8x + 18 \Rightarrow 6x + 108 = 8x + 18 \Rightarrow 2x = 90 \Rightarrow x = 45

cm bulunur.

Aynı kumaşın boyu ölçüldüğü için her iki ölçüm sonucu birbirine eşittir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla problem çözme ve modelleme

Question 15Question →

Bir okulda düzenlenen iki farklı gezi grubu için kiralanan özdeş kapasiteli A ve B otobüslerinin doluluk durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A otobüsündeki boş koltuk sayısı, dolu koltuk sayısının 3 kat��ndan 5 eksiktir.
* B otobüsündeki dolu koltuk sayısı, A otobüsündeki dolu koltuk sayısından 8 fazladır.
* B otobüsündeki boş koltuk sayısı, bu otobüsteki dolu koltuk sayısının yarısından 3 fazladır.

A ve B otobüslerinin toplam koltuk kapasiteleri eşit olduğuna göre, A otobüsündeki dolu koltuk sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

A otobüsündeki dolu koltuk sayısı 8'dir.

Kurulan birinci dereceden denklem çözüldüğünde A otobüsündeki dolu koltuk sayısı 8 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A otobüsündeki dolu koltuk sayısı üzerinden değişken tanımlama ve A otobüsünün toplam kapasitesini ifade etme.

A otobüsündeki dolu koltuk sayısı

x

ise, boş koltuk sayıs��

3x - 5

olur. Toplam kapasite

x + (3x - 5) = 4x - 5

olarak bulunur.

Soruda verilen oranları tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp toplam kapasiteyi bulmak için.

2

B otobüsündeki dolu ve boş koltuk sayılarını

x

cinsinden yazarak B otobüsünün toplam kapasitesini ifade etme.

B otobüsündeki dolu koltuk sayısı

x + 8

, boş koltuk sayısı ise

\frac{x + 8}{2} + 3

olur. Toplam kapasite

x + 8 + \frac{x + 8}{2} + 3 = \frac{3(x + 8)}{2} + 3

olarak elde edilir.

B otobüsünün kapasitesini A'nın kapasitesiyle eşitlemek üzere ifade etmek için.

3

Kapasitelerin eşitliği bilgisini kullanarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme.

4x - 5 = \frac{3(x + 8)}{2} + 3

denklemi çözüldüğünde

8x - 10 = 3x + 24 + 6 \Rightarrow 5x = 40 \Rightarrow x = 8

bulunur.

A otobüsünün dolu koltuk sayısını temsil eden

x

değerine ulaşmak için.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi

Estimated Time:2m 0s

Question 16Question →

Dikey bir doğrultuda hareket eden bir insansız hava aracının (İHA) deniz seviyesine göre yüksekliği (metre cinsinden) $x$ gerçel sayısı ile modellenmiştir. Bu İHA'nın deniz seviyesinin $4$ metre üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı ile deniz seviyesinin $2$ metre altındaki bir noktaya olan uzaklığının çarpımı, deniz seviyesine olan uzaklığına eşittir. Buna göre, bu koşulu sağlayan İHA'nın bulunabileceği farklı yükseklik değerlerinin toplamı kaç metredir?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İHA'nın bulunabileceği farklı yükseklik değerlerinin toplamı 4 metredir.

Verilen sözel ifadeler matematiksel olarak modellendiğinde

|x-4| \cdot |x+2| = |x|

denklemi elde edilir. Bu denklem

|x^2-2x-8|=|x|

haline getirildikten sonra iki ayrı gerçel kök üreten ikinci dereceden denkleme ayrılır. Bu denklemlerin diskriminantları pozitif olup toplam 4 farklı gerçel kök bulunur. Vieta formülleri uygulandığında kökler toplamı 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sözel ifadeyi mutlak değerli denklem biçiminde modelleme

|x - 4| \cdot |x + 2| = |x|

Uzaklık kavramı mutlak değer ile ifade edilir.

+4

noktasına uzaklık

|x - 4|

,

-2

noktasına uzaklık

|x - (-2)| = |x + 2|

ve başlangıç noktasına (deniz seviyesine) uzaklık

|x|

şeklindedir.

2

Mutlak değer özelliklerini kullanarak denklemi sadeleştirme

|x^2 - 2x - 8| = |x|

|a| \cdot |b| = |a \cdot b|

özelliği kullanılarak sol taraftaki çarpım tek bir mutlak değer içine alınır.

3

Mutlak değerli denklemi iki ayrı durum halinde çözme

x^2 - 3x - 8 = 0

veya

x^2 - x - 8 = 0

|A| = |B| \implies A = B

veya

A = -B

eşitliği kullanılarak mutlak değerler kaldırılır.

4

Denklemlerin gerçel köklerinin varlığını kontrol etme ve kökler toplamını bulma

x_1 + x_2 = 3

ve

x_3 + x_4 = 1

olup toplam kökler toplamı

3 + 1 = 4

olur.

Her iki denklemin diskriminantı sıfırdan büyük olduğundan gerçel kökler mevcuttur. Ortak kök bulunmadığı için köklerin tamamı farklıdır. Vieta formülü yardımıyla kökler ayrı ayrı bulunmadan toplamları hesaplanır.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin çözümünde uzaklık kavramının modellenmesi, mutlak değer çarpım özelliği ve

|A| = |B|

tipindeki denklemlerin çözümü.

Question 17Question →

Bir butik sahibi, satmak amacıyla her birinin maliyet bedeli aynı olan belirli sayıda elbiseyi satın almıştır. Butik sahibi, bu elbiselerin etiket fiyatını maliyet üzerinden $\%40$ kârla belirlemiştir.

Elbiselerin yarısını bu etiket fiyatından satan butik sahibi, kalan elbiselerin tamamını ise etiket fiyatı üzerinden belirli bir oranda indirim uygulayarak satmıştır.

Bu satışlar sonucunda butik sahibinin tüm elbiselerden elde ettiği toplam kâr oranı $\%26$ olduğuna göre, indirimli satışlarda etiket fiyatı üzerinden yüzde kaç indirim uygulanmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İndirimli satışlarda etiket fiyatı üzerinden %20 indirim uygulanmıştır.

İndirimli satış fiyatı

112

TL olarak bulunur. Başlangıçtaki etiket fiyatı

140

TL olduğundan, yapılan indirim tutarı

140 - 112 = 28

TL'dir. Bu indirim tutarının etiket fiyatına oranı

\frac{28}{140} = \frac{1}{5} = \%20

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri belirleme ve toplam maliyet ile etiket fiyatını hesaplama.

Bir elbisenin maliyeti

100

TL, toplam elbise adedi

2

olsun. Toplam maliyet

= 200

TL. Etiket fiyatı

= 140

TL.

Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla yüzdelik dilimlere uygun değerler seçilmiştir.

2

Tüm satıştan elde edilmesi gereken toplam geliri hesaplama.

Toplam gelir

= 200 \times 1,26 = 252

TL.

Toplam kâr oranının

\%26

olduğu belirtildiği için toplam gelir maliyetin

\%126

'sı olmalıdır.

3

İkinci grup elbiselerin satışından elde edilen geliri bulma.

İndirimli satılan elbisenin satış fiyatı

= 252 - 140 = 112

TL.

İlk grup elbiselerin satışından

140

TL kazanıldığı için toplam gelire ulaşmak için gereken kalan miktar hesaplanmıştır.

4

Yapılan indirim miktarını ve indirim oranını hesaplama.

İndirim miktarı

= 140 - 112 = 28

TL. İndirim oranı

= \frac{28}{140} \times 100 = 20

.

Etiket fiyatı üzerinden yapılan indirimin yüzdesi, indirim miktarının etiket fiyatına bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Kâr-zarar ve indirim problemlerinde yüzde hesaplamaları yapılırken referans değerinin (maliyet veya etiket fiyatı) doğru seçilmesi gerekir.

Question 18Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 3 \text{ ise} \\ 10 - x, & x \geq 3 \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f(1) + f(4)$ toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

f(1) + f(4) toplamının değeri 13'tür.

f(1) değerini bulmak için x = 1 değeri x < 3 aralığına uyduğundan 2x + 5 formülünde yerine yazılarak 7 bulunur. f(4) değerini bulmak için x = 4 değeri x >= 3 aralığına uyduğundan 10 - x formülünde yerine yazılarak 6 bulunur. Bu iki değerin toplamından 7 + 6 = 13 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f(1) değerini hesaplama

f(1) = 7

1 sayısı 3'ten küçük olduğu için fonksiyonun üst dalındaki 2x + 5 kuralı uygulanır.

2

f(4) değerini hesaplama

f(4) = 6

4 sayısı 3'ten büyük veya eşit olduğu için fonksiyonun alt dalındaki 10 - x kuralı uygulanır.

3

Değerlerin toplamını bulma

7 + 6 = 13

İstenen f(1) + f(4) toplamına ulaşmak için bulduğumuz iki değer toplanır.

Key Concept

Parçalı fonksiyonlarda bir noktadaki fonksiyon değerini bulmak için noktanın yer aldığı aralığa karşılık gelen kural kullanılır.

Question 19Question →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir

f

çift fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x) + x \cdot f(-x) = 2x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + 3

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $a + b + f(1)$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İşlemler sonucunda a + b + f(1) toplamının değeri 10 olarak bulunur.

Verilen

f

fonksiyonunun çift olma özelliği (

f(-x) = f(x)

) kullanılarak fonksiyonel denklem düzenlenir. Denklemde kritik noktalar (

x = -1

,

x = 1

,

x = 2

,

x = -2

) yerine yazılarak elde edilen denklem sisteminden

a = 2

,

b = 3

ve

f(1) = 5

değerleri tek türlü belirlenir. Bu değerlerin toplamı

10

yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Çift fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyonel denklemi düzenlemek

f(x) \cdot (1+x) = 2x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + 3

f

çift fonksiyon olduğundan her

x

için

f(-x) = f(x)

eşitliği geçerlidir.

2

x = -1

değerini denklemde yerine yazarak

a

ve

b

arasında ilk ilişkiyi bulmak

b - a = 1

x = -1

için eşitliğin sol tarafı

f(-1) \cdot 0 = 0

olur, bu durumda sağ taraf da sıfıra eşit olmalıdır.

3

x = 2

ve

x = -2

değerlerini yazıp

f(2) = f(-2)

eşitliğini kullanarak ikinci bir ilişki elde etmek

4a - b = 5

x = 2

için

3f(2) = 4a + 2b + 19

ve

x = -2

için

-f(-2) = 4a - 2b - 13

denklemleri taraf tarafa oranlanarak veya yok etme metoduyla çözülür.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek

a

ve

b

katsayılarını bulmak

a = 2

ve

b = 3

b = a + 1

ifadesi

4a - b = 5

denkleminde yerine yazıldığında

3a = 6 \Rightarrow a = 2

ve

b = 3

bulunur.

5

x = 1

yazarak

f(1)

değerini hesaplamak ve istenen toplamı bulmak

f(1) = 5

ve

a + b + f(1) = 10

2f(1) = 2 + a + b + 3

e��itliğinde bulunan değerler yerine yazıldığında

f(1) = 5

elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun çift fonksiyon olması durumunda

f(-x) = f(x)

eşitliğinin sağlanması ve polinom eşitliği kuralları.

Question 20Question →

KAYIK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

KAYIK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 5 harfli anlamlı ya da anlamsız 60 farklı kelime yazılabilir.

KAYIK kelimesinde 2 adet K, 1 adet A, 1 adet Y ve 1 adet I olmak üzere toplam 5 harf vardır. K harfleri özdeş olduğundan dizilim sayısı tekrarlı permütasyon formülü olan \frac{5!}{2!} ile hesaplanır. Buradan sonuç 60 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kelimedeki toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleyin.

KAYIK kelimesinde toplam 5 harf vardır (K, A, Y, I, K) ve K harfi 2 kez tekrar etmektedir.

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ve tekrar sayıları gereklidir.

2

Tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak farklı dizilim sayısını hesaplayın.

\frac{5!}{2!} işlemini kurun.

Toplam 5 elemanın dizilişi 5! kadar olup, özdeş 2 adet K harfinin kendi arasındaki dizilişleri farklı bir durum oluşturmadığı için 2! değerine bölünmelidir.

3

Faktöriyel işlemlerini sadeleştirerek sonucu bulunuz.

\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60

Çarpma işlemini tamamlayarak kesin sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Özdeş elemanların bulunduğu dizilimlerde, tekrarlayan elemanların dizilim sayısına bölme yapılarak tekrarlı permütasyon hesaplanır.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution