Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 questions

All types376Multiple choice189True / False46Numeric122Ordering19
Question 261Question →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının 33 noktasına olan uzaklığı 55 birimdir.

Buna göre, xx sayısının alabileceği negatif değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Sayı doğrusunda 3 noktasına 5 birim uzaklıktaki negatif sayı -2'dir.
Sayı doğrusunda xx sayısının 33 noktasına uzaklığı ∣x−3∣|x - 3| olarak ifade edilir. Bu uzaklık 55 birim olduğundan ∣x−3∣=5|x - 3| = 5 denklemi kurulur. Denklem çözüldüğünde x−3=5  ⟹  x=8x - 3 = 5 \implies x = 8 ve x−3=−5  ⟹  x=−2x - 3 = -5 \implies x = -2 elde edilir. İstenen değer negatif olduğundan doğru cevap -2'dir.

Step-by-Step Solution

1
Uzaklık tanımını kullanarak mutlak değerli denklemi kurmak.
∣x−3∣=5|x - 3| = 5 denklemi elde edilir.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık mutlak değer ile ifade edilir.
2
Denklemin iki farklı durumunu yazarak x değerlerini çözmek.
x=8x = 8 veya x=−2x = -2 değerleri elde edilir.
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşit olduğunda, mutlak değerin içi bu sayıya veya bu sayının zıt işaretlisine eşit olur.
3
Bulunan kökler arasından negatif olanını seçmek.
x=−2x = -2 değeri belirlenir.
Soru kökünde x sayısının alabileceği negatif değer istenmektedir.

Key Concept

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık tanımı ve temel mutlak değerli denklemlerin çözümü.
Estimated Time:45s
Question 262Question →

Aşağıda a,ba, b ve cc gerçek sayıları ile oluşturulmuş birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler ve bu eşitsizliklerin en geniş çözüm kümeleri verilmiştir:

* xx değişkenine bağlı a(x−2)>3x+4a(x - 2) > 3x + 4 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,−2)(-\infty, -2) aralığıd��r.
* xx değişkenine bağlı (b−5)x≤2b+2(b - 5)x \leq 2b + 2 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [−2,∞)[-2, \infty) aralığıdır.
* xx değişkenine bağlı c(2x−3)≥6x−11c(2x - 3) \geq 6x - 11 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,2](-\infty, 2] aralığıdır.

Buna göre; a,ba, b ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Hesaplanan değerler doğrultusunda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Sırasıyla çözülen eşitsizliklerden a=0.5a = 0.5, b=2b = 2 ve c=1c = 1 değerleri elde edilir. Bu değerlerin sayı doğrusu üzerindeki sıralaması a<c<ba < c < b şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
aa parametresinin değerini bulmak için ilgili eşitsizlik çözülür.
a(x−2)>3x+4  ⟹  (a−3)x>2a+4a(x - 2) > 3x + 4 \implies (a - 3)x > 2a + 4 elde edilir. Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (−∞,−2)(-\infty, -2) yani x<−2x < -2 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan a−3<0a - 3 < 0 ve x<2a+4a−3x < \frac{2a + 4}{a - 3} bulunur. Sınır değer eşitlendiğinde: 2a+4a−3=−2  ⟹  2a+4=−2(a−3)  ⟹  2a+4=−2a+6  ⟹  4a=2  ⟹  a=0.5\frac{2a + 4}{a - 3} = -2 \implies 2a + 4 = -2(a - 3) \implies 2a + 4 = -2a + 6 \implies 4a = 2 \implies a = 0.5 bulunur.
Eşitsizliğin yön değiştirmesi ve sınır değerinin eşlenmesi yoluyla bilinmeyeni bulmak.
2
bb parametresinin değerini bulmak için ilgili eşitsizlik çözülür.
(b−5)x≤2b+2(b - 5)x \leq 2b + 2 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [−2,∞)[-2, \infty) yani x≥−2x \geq -2 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan b−5<0b - 5 < 0 ve x≥2b+2b−5x \geq \frac{2b + 2}{b - 5} bulunur. Sınır değer eşitlendiğinde: 2b+2b−5=−2  ⟹  2b+2=−2(b−5)  ⟹  2b+2=−2b+10  ⟹  4b=8  ⟹  b=2\frac{2b + 2}{b - 5} = -2 \implies 2b + 2 = -2(b - 5) \implies 2b + 2 = -2b + 10 \implies 4b = 8 \implies b = 2 bulunur.
Negatif katsayıya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralını kullanarak sınır değerini eşlemek.
3
cc parametresinin değerini bulmak için ilgili eşitsizlik çözülür.
c(2x−3)≥6x−11  ⟹  (2c−6)x≥3c−11c(2x - 3) \geq 6x - 11 \implies (2c - 6)x \geq 3c - 11 elde edilir. Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (−∞,2](-\infty, 2] yani x≤2x \leq 2 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan 2c−6<02c - 6 < 0 ve x≤3c−112c−6x \leq \frac{3c - 11}{2c - 6} bulunur. Sınır değer eşitlendiğinde: 3c−112c−6=2  ⟹  3c−11=2(2c−6)  ⟹  3c−11=4c−12  ⟹  c=1\frac{3c - 11}{2c - 6} = 2 \implies 3c - 11 = 2(2c - 6) \implies 3c - 11 = 4c - 12 \implies c = 1 bulunur.
Dağılma özelliği ve yön değiştirme kuralı yardımıyla sınır değerini eşlemek.
4
Elde edilen parametre değerleri karşılaştırılarak sıralanır.
a=0.5a = 0.5, b=2b = 2 ve c=1c = 1 değerleri için 0.5<1<20.5 < 1 < 2 olduğundan a<c<ba < c < b sıralaması elde edilir.
Bulunan sayısal değerleri büyüklüklerine göre dizmek.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde veya çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
Question 263Question →

Birbirinden farklı aa ve bb gerçel sayıları için a<0<ba < 0 < b eşitsizliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değişkenine bağlı
x−ba≥x−ab \frac{x - b}{a} \geq \frac{x - a}{b}
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: (−∞,a+b](-\infty, a + b]

Answer

En geniş çözüm kümesi (−∞,a+b](-\infty, a + b] aralığıdır.
Verilen eşitsizlikte paydalardan kurtulmak için her iki taraf a⋅ba \cdot b ile çarpılır. a<0<ba < 0 < b olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı negatiftir ve eşitsizlik yön değiştirerek ≤\leq hâlini alır. Dağılma özelliği uygulandıktan sonra değişkenler bir tarafa toplandığında (b−a)x≤b2−a2(b-a)x \leq b^2 - a^2 elde edilir. Sağ taraftaki iki kare farkı (b−a)(b+a)(b-a)(b+a) şeklinde açılır. Her iki taraf, b>ab > a olduğu için pozitif olan b−ab-a ifadesine bölünür. Bölünen değer pozitif olduğundan yön değişmez ve x≤a+bx \leq a+b bulunur. Bu durum en geniş çözüm kümesinin (−∞,a+b](-\infty, a + b] olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin her iki tarafını paydaları yok etmek amacıyla a⋅ba \cdot b ile çarpmak.
b(x−b)≤a(x−a)b(x - b) \leq a(x - a)
a<0<ba < 0 < b olduğundan a⋅b<0a \cdot b < 0 (negatif) olur. E��itsizlik negatif bir sayıyla çarpıldığından yön değiştirerek ≥\geq sembolü ≤\leq sembolüne dönüşür.
2
Parantezleri dağıtarak ifadeyi düzenlemek ve değişkenleri sol tarafa toplamak.
(b−a)x≤b2−a2(b - a)x \leq b^2 - a^2
bx−b2≤ax−a2bx - b^2 \leq ax - a^2 ifadesinde axax sola, −b2-b^2 sağa işaret değiştirerek geçer.
3
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak sağ tarafı çarpanlarına ayırmak.
(b−a)x≤(b−a)(b+a)(b - a)x \leq (b - a)(b + a)
b2−a2b^2 - a^2 ifadesi (b−a)(b+a)(b - a)(b + a) şeklinde yazılabilir.
4
Her iki tarafı b−ab - a ifadesine bölerek xx değişkenini yalnız bırakmak.
x≤a+bx \leq a + b
a<0<ba < 0 < b olduğundan b>a  ⟹  b−a>0b > a \implies b - a > 0 (pozitif) olur. Pozitif bir ifadeye bölme yapıldığından eşitsizlik yön değiştirmez.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Estimated Time:2m 30s
Question 264Question →
Analitik düzlemde,
2x−y=52x - y = 5
x+y=7x + y = 7
doğrularının kesim noktasının apsisi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İki doğrunun kesim noktasının apsisi 4'tür.
Verilen iki doğru denklemi ortak çözüldüğünde kesim noktası elde edilir. Denklemler taraf tarafa toplandığında y terimleri sadeleşerek 3x = 12 eşitliği kurulur. Buradan x = 4 bulunur. Bulunan bu x değeri kesim noktasının apsisidir.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların kesim noktasını bulmak amacıyla iki bilinmeyenli denklem sistemini kurma.
2x - y = 5 ve x + y = 7
İki geometrik doğrunun kesim noktası, bu doğruların denklemlerini ortak sağlayan tek noktadır.
2
Denklemleri taraf tarafa toplayarak y değişkenini yok etme.
3x = 12
Birinci denklemdeki -y ve ikinci denklemdeki +y terimleri toplandığında birbirini sıfırlar, böylece tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
3
Elde edilen denklemden x bilinmeyenini çekme.
x = 4
3x = 12 denkleminde her iki tarafı 3'e bölerek kesim noktasının x koordinatını (apsisini) buluruz.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yok etme yöntemiyle çözülmesi ve doğruların kesişim noktası ile ilişkisi.
Question 265Question →
Bir öğretmen tahtaya onlar basamağı xx ve birler basamağı yy olan iki basamaklı bir xyxy doğal sayısı yazmıştır. Bu sayının rakamları arasında
{x+y=92x−y=3\begin{cases} x + y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases}
denklem sistemi sağlanmaktadır.

Buna göre, öğretmenin tahtaya yazdığı iki basamaklı xyxy sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

Öğretmenin tahtaya yazdığı iki basamaklı sayı 45'tir.
Verilen denklem sistemi taraf tarafa toplandığında 3x=123x = 12 elde edilir ve buradan onlar basamağı olan x=4x = 4 bulunur. Birinci denklemde xx yerine 44 yazıldığında birler basamağı olan y=5y = 5 elde edilir. Onlar basamağı 4, birler basamağı 5 olan iki basamaklı sayı 45 olduğundan doğru cevap bu değerdir.

Step-by-Step Solution

1
Denklem sistemindeki denklemleri taraf tarafa toplayarak değişkenlerden birini yalnız bırakın.
3x=12⇒x=43x = 12 \Rightarrow x = 4 elde edilir.
Taraf tarafa toplama yöntemiyle yy değişkeni yok edilir ve onlar basamağını temsil eden xx değeri doğrudan bulunur.
2
Bulunan xx değerini denklemlerden birinde yerine yazarak yy değerini bulun.
x+y=9x + y = 9 denkleminde x=4x = 4 yazıldığında 4+y=9⇒y=54 + y = 9 \Rightarrow y = 5 elde edilir.
Sistemin diğer bilinmeyeni olan ve birler basamağını temsil eden yy değerini belirlemek için.
3
Bulunan xx ve yy değerlerini basamak değerlerine uygun şekilde iki basamaklı sayı olarak yazın.
10x+y=10(4)+5=4510x + y = 10(4) + 5 = 45 elde edilir.
Onlar basamağı x=4x=4 ve birler basamağı y=5y=5 olan iki basamaklı xyxy sayısının değerini bulmak için.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yok etme yöntemiyle çözülmesi ve elde edilen çözümlerin basamak çözümlemesi bağlamında yorumlanması.
Estimated Time:1m 0s
Question 266Question →

Bir kargo firması, gönderilen paketlerin ağırlıklarını ölçmek için iki farklı dijital tartı kullanmaktadır. Bu tartıların kalibrasyon hatasından dolayı:

* Birinci tartı, üzerine konulan bir paketin gerçek ağırlığını xx gram fazla ölçmektedir.
* İkinci tartı, üzerine konulan bir paketin gerçek ağırlığını yy gram eksik ölçmektedir.

Gerçek ağırlığı 400400 gram olan bir paket birinci tartıyla, gerçek ağırlığı 300300 gram olan başka bir paket ise ikinci tartıyla ölçüldüğünde iki tartıda da okunan değerlerin toplamı 730730 gram olmaktadır.

Ayrıca, birinci tartının hata miktarı (xx), ikinci tartının hata miktarının (yy) 22 katıdır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Birinci tartının hata miktarı olan xx değeri 60 gramdır.
Verilen bilgilere göre kurulan (400+x)+(300−y)=730(400 + x) + (300 - y) = 730 ve x=2yx = 2y denklem sisteminin ortak çözümünden x=60x = 60 değeri elde edilir. Bu nedenle 60 seçeneği doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Tartıların ölçüm değerlerini xx ve yy cinsinden ifade etme
Birinci tartının ölçtü��ü değer 400+x400 + x, ikinci tartının ölçtüğü değer 300−y300 - y olur.
Ölçüm değerlerinin toplamını veren denklemi kurabilmek için tartıların gösterdiği değerler belirlenir.
2
Birinci denklemi oluşturma ve düzenleme
(400+x)+(300−y)=730  ⟹  700+x−y=730  ⟹  x−y=30(400 + x) + (300 - y) = 730 \implies 700 + x - y = 730 \implies x - y = 30 denklemi elde edilir.
xx ve yy değişkenleri arasındaki birinci doğrusal ilişki belirlenir.
3
İkinci denklemi yazma ve denklem sistemini çözme
x=2yx = 2y ilişkisi birinci denklemde yerine yazıldığında 2y−y=30  ⟹  y=302y - y = 30 \implies y = 30 bulunur. Buradan x=2×30=60x = 2 \times 30 = 60 elde edilir.
Tartıların hata miktarları arasındaki oran kullanılarak denklem sisteminden xx değeri çekilir.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi
Estimated Time:1m 30s
Question 267Question →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının başlangıç noktasına (sıfır noktasına) olan uzaklığı, bu sayının 22 katının 66 eksiğine eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx gerçek sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Koşulu sağlayan gerçek sayıların toplamı 6'dır.
Verilen sözel ifade ∣x∣=2x−6|x| = 2x - 6 denklemine karşılık gelir. Mutlak değerin tanımı gereği uzaklık negatif olamayacağından 2x−6≥02x - 6 \geq 0 yani x≥3x \geq 3 olmalıdır. Bu durumda ∣x∣=x|x| = x olur ve denklem x=2x−6x = 2x - 6 halini alır. Buradan x=6x = 6 elde edilir. Bu değer x≥3x \geq 3 koşulunu sağladığı için tek geçerli çözümdür ve dolayısıyla bu koşulu sağlayan değerlerin toplamı da 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Sözel ifadenin matematiksel modelini kurma.
Bir xx gerçek sayısının başlangıç noktasına (sıfır noktasına) olan uzaklığı ∣x∣|x| ile gösterilir. Bu durumda denklemimiz ∣x∣=2x−6|x| = 2x - 6 olur.
Mutlak değer, sayı doğrusundaki bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını temsil eder.
2
Mutlak değerin tanımından gelen geçerlilik koşulunu belirleme.
Uzaklık negatif olamayacağından, denklemin sağ tarafındaki 2x−62x - 6 ifadesi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır: 2x−6≥0⇒x≥32x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3.
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu asla negatif bir sayıya eşit olamaz.
3
Denklemi çözme ve koşula uygun kökleri bulma.
x≥3x \geq 3 koşulu altında ∣x∣=x|x| = x olur. Buradan x=2x−6⇒x=6x = 2x - 6 \Rightarrow x = 6 elde edilir. Bu değer x≥3x \geq 3 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür. Diğer taraftan, −x=2x−6⇒3x=6⇒x=2-x = 2x - 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 değeri x≥3x \geq 3 koşulunu sağlamadığı için kök olamaz. Dolayısıyla tek çözüm x=6x = 6'dır ve değerler toplamı 66 olur.
Bulunan köklerin başlangıçta belirlenen geçerlilik aralığında olup olmadığı denetlenmelidir.

Key Concept

Mutlak değerli bir ifadenin sonucunun negatif olamayacağı kuralını ve mutlak değerli denklemlerin çözüm kümesini bulma.
Estimated Time:1m 30s
Question 268Question →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısı için,

∣x−2∣+∣x+4∣≤10|x - 2| + |x + 4| \leq 10

eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin kümesi AA,
∣x−a∣≥b|x - a| \geq b

eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin kümesi BB olarak tanımlanıyor.

A∩BA \cap B kümesi, birbirine eş iki kapalı aralığın birleşiminden oluşmaktadır. Bu iki aralığın boylarının (uzunluklarının) toplamı 44 birim olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitsizliklerin kesişim kümesinden elde edilen denklemlerin ortak çözümüyle a = -1 ve b = 3 değerleri bulunur, bu değerlerin toplamı 2'dir.
Ortak çözüm sonucunda a=−1a = -1 ve b=3b = 3 olarak bulunur ve bu değerler için a+ba + b toplamı 22 gerçel sayısına eşittir.

Step-by-Step Solution

1
∣x−2∣+∣x+4∣≤10|x - 2| + |x + 4| \leq 10 eşitsizliğinin çözüm kümesini kritik noktalar olan x=2x = 2 ve x=−4x = -4 değerlerine göre inceleriz.
A=[−6,4]A = [-6, 4] kümesi elde edilir.
Mutlak değerli ifadenin kritik noktalarına göre parçalı fonksiyon mantığıyla işaret analizi yapılarak çözüm kümesi belirlenir.
2
∣x−a∣≥b|x - a| \geq b eşitsizliğinin çözüm kümesini yazarız. Kesişimin iki farklı aralık oluşturabilmesi için b>0b > 0 olmalıdır.
B=(−∞,a−b]∪[a+b,∞)B = (-\infty, a - b] \cup [a + b, \infty) elde edilir.
Mutlak değerli bir ifadenin pozitif bir sayıdan büyük veya eşit olması durumunda aralıklar iki uç yöne doğru açılır.
3
A∩BA \cap B kesişim kümesini iki kapalı aralık oluşturacak şekilde kurarız. Bunun için a−b>−6a - b > -6 ve a+b<4a + b < 4 olmalıdır.
A∩B=[−6,a−b]∪[a+b,4]A \cap B = [-6, a - b] \cup [a + b, 4] kesişim kümesi elde edilir.
BB kümesinin uç sınırlarının AA kümesinin iç bölgesinde kalması durumunda iki ayrı kapalı aralık oluşur.
4
Aralıkların boylarının eşitliğini ve toplamlarının 44 birim olmasını kullanırız.
Her bir aralığın uzunluğu 22 birimdir. Buradan a−b−(−6)=2⇒a−b=−4a - b - (-6) = 2 \Rightarrow a - b = -4 ve 4−(a+b)=2⇒a+b=24 - (a + b) = 2 \Rightarrow a + b = 2 denklemleri bulunur.
Birbirine eş iki aralığın uzunlukları eşit olmalıdır ve toplam uzunluk 44 birim ise her biri 22 birimdir.
5
Elde edilen denklemleri ortak çözerek aa ve bb değerlerini bulup a+ba + b toplamını hesaplarız.
a=−1a = -1 ve b=3b = 3 bulunur, buradan a+b=2a + b = 2 elde edilir. Bu değerler a−b=−4>−6a - b = -4 > -6 ve a+b=2<4a + b = 2 < 4 koşullarını sağlar.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin çözümüyle bilinmeyen parametreler belirlenir.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerinde analitik ve cebirsel yöntemlerle çözülmesi, kümelerin kesişim işlemlerinin aralık kavramıyla ilişkilendirilmesi
Question 269Question →

Her xx gerçek sayısı için ∣x−5∣=−3|x - 5| = -3 denkleminin gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümesi boş kümedir.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur. Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşit olamayacağı için ∣x−5∣=−3|x - 5| = -3 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.
Mutlak değer tanımı gereği uzaklık negatif olamayacağından, ∣x−5∣|x - 5| ifadesi hiçbir xx gerçek sayısı için −3-3 değerini alamaz ve bu nedenle denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerin temel tanımını inceleme
Bir gerçek sayının mutlak değeri, sayı doğrusu üzerinde bu sayının sıfır noktasına olan uzaklığıdır ve her aa gerçek sayısı için ∣a∣≥0|a| \geq 0 koşulunu sağlar.
Mutlak değerli denklemlerin çözülebilirliğini kontrol etmek için eşitliğin sağ tarafındaki değerin işareti incelenmelidir.
2
Denklemdeki mutlak değerli ifadeyi ve karşı tarafındaki sabit sayıyı karşılaştırma
∣x−5∣|x - 5| ifadesi ≥0\geq 0 olmalıdır. Ancak denklemde bu ifade −3-3 gibi negatif bir sayıya eşitlenmiştir. Pozitif veya sıfır olan bir değer negatif bir değere eşit olamaz.
Eşitliğin her iki tarafının alabileceği değer aralıklarının kesişip kesişmediğini belirlemek için.
3
Çözüm kümesini belirleme
Denklemi sağlayan hiçbir xx gerçek sayısı bulunmadığından çözüm kümesi boş kümedir (C.K.=∅C.K. = \emptyset).
Denklemin gerçek sayılardaki çözüm durumunu netleştirmek ve ifadenin doğruluk değerine ulaşmak için.

Key Concept

Mutlak değerli bir ifadenin sonucunun negatif olamayacağı kuralı ve boş küme çözümlü mutlak değerli denklemler
Estimated Time:30s
Question 270Question →

Bir şehirdeki mikromobilite uygulamasında kiralanan elektrikli bisiklet ve elektrikli scooterların kullanım ücretleri sırasıyla dakika başına sabit birer ücret olarak belirlenmiştir. Bu uygulamada:

* 1212 dakika bisiklet ve 1515 dakika scooter kullanan bir kişi toplam 96 TL96\text{ TL} ödemiştir.
* 88 dakika bisiklet ve 2020 dakika scooter kullanan başka bir kişi toplam 104 TL104\text{ TL} ödemiştir.

Buna göre, bu uygulamada 11 dakika bisiklet ve 11 dakika scooter kiralayan bir kişinin ödeyeceği toplam ücret kaç TL\text{TL}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

1 dakika bisiklet ve 1 dakika scooter kiralayan bir kişinin ödeyeceği toplam ücret 7 TL'dir.
Denklem sisteminin çözümünden bisikletin dakika ücreti 3 TL, scooterın dakika ücreti 4 TL olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 7 TL'dir.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlama
Bisikletin dakika ücreti xx TL, scooterın dakika ��creti yy TL olsun.
Sözel problemi matematiksel modele aktarmak için değişken tanımlanmalıdır.
2
Denklem sistemini kurma
Bisiklet ve scooter kullanımlarına ait ücret denklemleri: 12x+15y=9612x + 15y = 96 ve 8x+20y=1048x + 20y = 104 olarak elde edilir.
Kullanım süreleri ile dakika ücretlerinin çarpımı toplam ödenen tutara eşittir.
3
Denklemleri sadeleştirme ve çözme
Birinci denklem 33'e bölünerek 4x+5y=324x + 5y = 32, ikinci denklem 44'e bölünerek 2x+5y=262x + 5y = 26 bulunur. Taraf tarafa çıkarma işlemiyle 2x=6  ⟹  x=32x = 6 \implies x = 3 ve buradan y=4y = 4 elde edilir.
Katsayıları küçülterek yok etme yöntemini daha kolay uygulamak için sadeleştirme yapılır.
4
İstenen değeri hesaplama
x+y=3+4=7x + y = 3 + 4 = 7 TL bulunur.
Soru bizden 1 dakika bisiklet (xx) ile 1 dakika scooter (yy) kiralama ücretlerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yok etme yöntemiyle çözülmesi
Question 271Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri

A={x∈R:∣x2−4∣<3x}A = \{ x \in \mathbb{R} : |x^2 - 4| < 3x \}
B={x∈R:∣x−a∣≤2}B = \{ x \in \mathbb{R} : |x - a| \le 2 \}

biçiminde tanımlanıyor.

A⊆BA \subseteq B olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği tüm değerleri içeren en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: [2,3][2, 3]

Answer

[2,3][2, 3] kapalı aralığı
Doğru cevap [2,3][2, 3] aralığıdır. AA kümesi için ∣x2−4∣<3x|x^2 - 4| < 3x eşitsizliği çözüldüğünde, 3x>0  ⟹  x>03x > 0 \implies x > 0 koşulu altında −3x<x2−4<3x-3x < x^2 - 4 < 3x elde edilir. Bu sistemin çözümü 1<x<41 < x < 4 aralığıdır, yani A=(1,4)A = (1, 4) olur. BB kümesi ise a−2≤x≤a+2a-2 \le x \le a+2 olup B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] aralığıdır. A⊆BA \subseteq B olması için [a−2,a+2][a-2, a+2] kapalı aralığının (1,4)(1, 4) açık aralığını kapsaması gerekir. Bu durum a−2≤1a-2 \le 1 ve a+2≥4a+2 \ge 4 olmasını gerektirir, buradan 2≤a≤32 \le a \le 3 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesini belirlemek için ∣x2−4∣<3x|x^2 - 4| < 3x eşitsizliğini çözeriz. Mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağından, bu eşitsizliğin bir çözümünün olması için öncelikle 3x>03x > 0 yani x>0x > 0 olmalıdır.
x>0x > 0 koşulu elde edilir.
Mutlak değerin tanımı gereği ∣x2−4∣≥0|x^2 - 4| \ge 0 olduğundan, pozitif bir ifadeden küçük olması için sağ tarafın kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Mutlak değerli eşitsizliği açarız: −3x<x2−4<3x-3x < x^2 - 4 < 3x. Bu eşitsizlik sistemini iki ayrı eşitsizlik olarak çözeriz:
1) x2−4<3x  ⟹  x2−3x−4<0  ⟹  (x−4)(x+1)<0  ⟹  −1<x<4x^2 - 4 < 3x \implies x^2 - 3x - 4 < 0 \implies (x-4)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 4.
2) x2−4>−3x  ⟹  x2+3x−4>0  ⟹  (x+4)(x−1)>0  ⟹  x>1x^2 - 4 > -3x \implies x^2 + 3x - 4 > 0 \implies (x+4)(x-1) > 0 \implies x > 1 veya x<−4x < -4.
x∈(−1,4)x \in (-1, 4) ve x∈(−∞,−4)∪(1,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty) aralıkları bulunur.
Mutlak değerli eşitsizliklerin standart çözüm yöntemi olan −f(x)<g(x)<f(x)-f(x) < g(x) < f(x) özelliğini uygulamak için.
3
Bulunan tüm koşulların (x>0x > 0, −1<x<4-1 < x < 4 ve x>1x > 1 veya x<−4x < -4) kesişimini alırız.
A=(1,4)A = (1, 4) kümesi elde edilir.
Eşitsizlik sistemini sağlayan tüm xx gerçel sayılarının ortak kümesini bulmak için.
4
BB kümesini belirleriz. ∣x−a∣≤2  ⟹  −2≤x−a≤2  ⟹  a−2≤x≤a+2|x - a| \le 2 \implies -2 \le x - a \le 2 \implies a - 2 \le x \le a + 2 olur. Yani B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] kapalı aralığıdır.
B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] aralığı elde edilir.
Kümenin elemanlarını aa parametresine bağlı bir aralık olarak ifade etmek için.
5
A⊆BA \subseteq B koşulunu uygularız. (1,4)⊆[a−2,a+2](1, 4) \subseteq [a-2, a+2] olması için sol sınırın 1'den küçük veya eşit, sağ sınırın ise 4'ten büyük veya eşit olması gerekir.
a−2≤1  ⟹  a≤3a - 2 \le 1 \implies a \le 3
a+2≥4  ⟹  a≥2a + 2 \ge 4 \implies a \ge 2
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde 2≤a≤32 \le a \le 3 elde edilir.
a∈[2,3]a \in [2, 3] aralığı bulunur.
Bir açık aralığın bir kapalı aralığın alt kümesi olması için gereken sınır koşullarını belirlemek için.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve Aralık İlişkileri

Alternative Method

Eşitsizliği çözerken 3x>03x > 0 koşulu altında her iki tarafın karesi alınabilir: (x2−4)2<9x2  ⟹  x4−8x2+16<9x2  ⟹  x4−17x2+16<0(x^2 - 4)^2 < 9x^2 \implies x^4 - 8x^2 + 16 < 9x^2 \implies x^4 - 17x^2 + 16 < 0. Bu ifade çarpanlarına (x2−16)(x2−1)<0(x^2 - 16)(x^2 - 1) < 0 olarak ayrılır. Buradan 1<x2<161 < x^2 < 16 elde edilir. x>0x > 0 koşulu nedeniyle 1<x<41 < x < 4 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Question 272Question →
Dik koordinat düzleminde verilen
(a−3)x+4y=a+1 (a - 3)x + 4y = a + 1
9x+(a+2)y=b−2 9x + (a + 2)y = b - 2
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 98

Answer

Çarpımın alabileceği farklı değerlerin toplamı 98'dir.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması, katsayıların ve sabitlerin oranlarının eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlikten elde edilen a2−a−42=0a^2 - a - 42 = 0 denkleminin kökleri a=7a = 7 ve a=−6a = -6 olarak bulunur. Her iki durum için elde edilen oranlar sırasıyla eşitlendiğinde b=20b = 20 ve b=7b = 7 değerleri hesaplanır. Dolayısıyla a⋅ba \cdot b ifadesinin alabileceği farklı değerler 140140 ve −42-42 olup, bunların toplamı 9898 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması için, değişkenlerin katsayıları ve sabit terimlerinin oranlarının eşit olması gerektiğini belirleme.
a−39=4a+2=a+1b−2\frac{a-3}{9} = \frac{4}{a+2} = \frac{a+1}{b-2} eşitliği elde edilir.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin sonsuz çözüme sahip olması, bu denklemlerin koordinat düzleminde çakışık doğrular belirtmesi anlamına gelir.
2
Katsayılar oranındaki ilk iki terimin eşitliğini kullanarak aa parametresinin alabileceği değerleri bulmak için ikinci dereceden bir denklem kurma ve çözme.
(a−3)(a+2)=36  ⟹  a2−a−6=36  ⟹  a2−a−42=0(a-3)(a+2) = 36 \implies a^2 - a - 6 = 36 \implies a^2 - a - 42 = 0 Bu denklem çarpanlarına ayrılırsa: (a−7)(a+6)=0  ⟹  a=7 veya a=−6(a-7)(a+6) = 0 \implies a = 7 \text{ veya } a = -6 bulunur.
aa parametresini belirlemek amacıyla ilk iki oranın eşitliği üzerinden içler dışlar çarpımı yapılır.
3
a=7a = 7 değeri için sistemin sonsuz çözümlü olmasını sağlayan bb değerini hesaplama ve bu duruma ait a⋅ba \cdot b çarpımını bulma.
7−39=49=7+1b−2  ⟹  49=8b−2  ⟹  b−2=18  ⟹  b=20\frac{7-3}{9} = \frac{4}{9} = \frac{7+1}{b-2} \implies \frac{4}{9} = \frac{8}{b-2} \implies b - 2 = 18 \implies b = 20 bulunur. Buradan, a⋅b=7⋅20=140a \cdot b = 7 \cdot 20 = 140 elde edilir.
a=7a = 7 değeri için oranların eşitliğini sağlamak üzere bb bilinmeyeni çözülür.
4
a=−6a = -6 değeri için sistemin sonsuz çözümlü olmasını sağlayan bb değerini hesaplama ve bu duruma ait a⋅ba \cdot b çarpımını bulma.
−6−39=−99=−1=−6+1b−2  ⟹  −1=−5b−2  ⟹  b−2=5  ⟹  b=7\frac{-6-3}{9} = \frac{-9}{9} = -1 = \frac{-6+1}{b-2} \implies -1 = \frac{-5}{b-2} \implies b - 2 = 5 \implies b = 7 bulunur. Buradan, a⋅b=−6⋅7=−42a \cdot b = -6 \cdot 7 = -42 elde edilir.
a=−6a = -6 değeri için oranların eşitliğini sağlamak üzere bb bilinmeyeni çözülür.
5
Elde edilen farklı a⋅ba \cdot b değerlerinin toplamını hesaplama.
140+(−42)=98140 + (-42) = 98 bulunur.
Soruda bizden istenen farklı a⋅ba \cdot b çarpımlarının toplamıdır.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin sonsuz çözüme sahip olma koşulu
Estimated Time:2m 30s
Question 273Question →

Hakan, her birinin kütlesi kilogram cinsinden birer tam sayı olan özdeş 8 adet koli taşıyacaktır. Hakan bu kolileri taşımak için boş kütlesi 12 kg olan bir el arabası kullanmaktadır. El arabasıyla tek seferde taşınan toplam kütle (el arabası ve o seferde taşınan kolilerin kütleleri toplamı):

* 60 kg'dan fazla olduğunda el arabasının tekerleği zarar görmekte,
* 35 kg veya daha az olduğunda ise el arabası dengede duramamaktadır.

Hakan bu 8 koliyi, her seferinde eşit sayıda koli taşımak şartıyla, tekerleğe zarar vermeden ve dengeyi bozmadan en az nn seferde taşıyabilmektedir.

n=4n = 4 olduğuna göre, bir kolinin kütlesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 37

Answer

37
Doğru cevap 37'dir. 8 adet özdeş kolinin eşit sayıda taşınabileceği sefer sayıları 8'in bölenleri olan 1, 2, 4 ve 8'dir. Güvenli taşıma için her bir seferdeki toplam kütlenin 35 kg'dan büyük ve en fazla 60 kg olması gerekir. En az 4 seferde taşınabildiği için 4 sefer yapıldığında (sefer başına 2 koli) güvenli taşıma aralığı olan 35<12+2x≤6035 < 12 + 2x \le 60 sağlanır ve buradan 11,5<x≤2411,5 < x \le 24 elde edilir. Ancak en az 4 sefer gerektiğinden, 2 sefer yapıldığında (sefer başına 4 koli) taşıma işlemi güvenli olmamalıdır. x>11,5x > 11,5 için 12+4x>58>3512 + 4x > 58 > 35 olduğu için bu durumun güvensiz olması ancak tekerleğin zarar görmesiyle yani 12+4x>6012 + 4x > 60 olmasıyla mümkündür. Buradan x>12x > 12 elde edilir. Bu iki sınır birleştirildiğinde bir kolinin kütlesi 12<x≤2412 < x \le 24 aralığında olmalıdır. Bu aralıktaki en küçük tam sayı kütlesi 13 kg, en büyük tam sayı kütlesi ise 24 kg olup toplamları 37'dir.

Step-by-Step Solution

1
Sefer sayısının alabileceği değerleri belirleme
Koliler her seferde eşit sayıda taşınacağından sefer sayısı 8'in pozitif tam sayı bölenleri olan d∈{1,2,4,8}d \in \{1, 2, 4, 8\} kümesinin elemanları olabilir.
Toplam 8 adet koliyi eşit gruplara ayırarak taşıyabilmek için grup sayısının 8'i tam bölmesi gerekir.
2
Sefer sayısına bağlı toplam kütle formülünü oluşturma
dd sefer yapıldığında her seferde taşınan koli sayısı 8d\frac{8}{d} olur. Bu durumda bir seferdeki toplam kütle W=12+8d⋅xW = 12 + \frac{8}{d} \cdot x kg olarak ifade edilir.
Toplam kütle, boş el arabasının kütlesi (12 kg) ile o seferde taşınan kolilerin kütleleri toplamının toplamıdır.
3
Taşımanın güvenli olma şartını eşitsizlik olarak yazma
Güvenli taşıma için 35<12+8d⋅x≤6035 < 12 + \frac{8}{d} \cdot x \le 60 olmalıdır. Buradan 23<8d⋅x≤4823 < \frac{8}{d} \cdot x \le 48 eşitsizliği elde edilir.
Soruda el arabasının zarar görmemesi için toplam kütlenin en fazla 60 kg, dengede kalabilmesi için ise 35 kg'dan fazla olması gerektiği belirtilmiştir.
4
n=4n = 4 için geçerli olan eşitsizliği çözme
d=4d = 4 için taşıma güvenlidir. 23<84⋅x≤48  ⟹  23<2x≤48  ⟹  11,5<x≤2423 < \frac{8}{4} \cdot x \le 48 \implies 23 < 2x \le 48 \implies 11,5 < x \le 24 elde edilir.
En az 4 seferde taşınabilmesi, 4 seferlik taşıma düzeninin güvenli çalışma aralığında olduğunu gösterir.
5
Daha az sefer sayılarının limit dışı kalma şartını uygulama
d=2d = 2 durumunda taşıma güvenli olmamalıdır. 12+4x>60  ⟹  4x>48  ⟹  x>1212 + 4x > 60 \implies 4x > 48 \implies x > 12 elde edilir.
Eğer 2 seferde taşımak güvenli olsaydı, minimum sefer sayısı 4 değil 2 olurdu. Dolayısıyla d=2d=2 için toplam kütle 60 kg sınırını aşmalıdır.
6
Eşitsizlikleri birleştirme ve sınır tam sayı değerlerini toplama
12<x≤2412 < x \le 24 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı x=13x = 13, en büyük tam sayı ise x=24x = 24 olup toplamları 13+24=3713 + 24 = 37 olarak hesaplanır.
Hem x>12x > 12 hem de x≤24x \le 24 şartlarını sağlayan sınır tam sayı değerleri bulunur ve toplanır.

Key Concept

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Question 274Question →

Bir otoyol üzerindeki iki farklı hız kontrol kamerası, başlangıç noktası kabul edilen bir gişeden sırasıyla 55 km geride (−5-5. km) ve 55 km ileride (55. km) konumlandırılmıştır. Bu otoyolda hareket eden bir aracın gişeye göre konumu xx. km'dir (xx bir tam sayıdır). Aracın bu iki kameraya olan uzaklıklarının toplamı, konumunun karesinin 66 eksiğine eşittir. Buna göre, aracın konumunun alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -16

Answer

Aracın konumunun alabileceği farklı değerlerin çarpımı -16'dır.
Doğru cevap olan değer, −5<x<5-5 < x < 5 aralığında mutlak değerlerin dışarıya toplamda 10 olarak çıkmasıyla kurulan 10=x2−610 = x^2 - 6 denkleminin sağladığı x=4x = 4 ve x=−4x = -4 tam sayılarının çarpımı olan -16'dır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen bilgilere göre matematiksel denklemi kurmak.
∣x−(−5)∣+∣x−5∣=x2−6⇒∣x+5∣+∣x−5∣=x2−6|x - (-5)| + |x - 5| = x^2 - 6 \Rightarrow |x + 5| + |x - 5| = x^2 - 6 denklemi elde edilir.
Aracın konumu xx tam sayısı olup, iki kameraya olan uzaklıkları ∣x+5∣|x + 5| ve ∣x−5∣|x - 5| olarak ifade edilir.
2
Denklemi kritik noktalar olan x=−5x = -5 ve x=5x = 5 değerlerine göre aralıklara ayırarak incelemek.
Üç farklı aralık belirlenir: x≥5x \ge 5, −5<x<5-5 < x < 5 ve x≤−5x \le -5.
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaret değiştirdiği noktalar denklemin çözüm aralıklarını belirler.
3
−5<x<5-5 < x < 5 aralığı için denklemi çözmek.
Bu aralıkta x+5>0x+5 > 0 ve x−5<0x-5 < 0 olduğundan denklem (x+5)−(x−5)=x2−6⇒10=x2−6⇒x2=16⇒x=4(x+5) - (x-5) = x^2 - 6 \Rightarrow 10 = x^2 - 6 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 veya x=−4x = -4 olarak bulunur. Her iki değer de aralıkta yer alır.
Aralık sınırları dahilindeki gerçek çözümleri tespit etmek.
4
x≥5x \ge 5 ve x≤−5x \le -5 aralıkları için denklemleri çözmek.
x≥5x \ge 5 için 2x=x2−6⇒x2−2x−6=02x = x^2 - 6 \Rightarrow x^2 - 2x - 6 = 0 denkleminin tam sayı kökü yoktur. x≤−5x \le -5 için −2x=x2−6⇒x2+2x−6=0-2x = x^2 - 6 \Rightarrow x^2 + 2x - 6 = 0 denkleminin de tam sayı kökü yoktur.
Diğer aralıklarda olası tam sayı köklerin varlığını kontrol etmek.
5
Bulunan tam sayı değerlerinin çarpımını hesaplamak.
4×(−4)=−164 \times (-4) = -16 olarak hesaplanır.
Soruda istenen nihai çarpım sonucuna ulaşmak.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin kritik noktalara göre aralıklara ayrılarak çözülmesi ve sayı kümelerinin sınırlandırılması.
Estimated Time:2m 0s
Question 275Question →
Analitik düzlemde,
(a−1)x+3y−6=0(a-1)x + 3y - 6 = 0
2x+(a−2)y−12=02x + (a-2)y - 12 = 0
doğruları veriliyor.

Bu doğruların kesim noktası koordinat düzleminin II. bölgesinde olduğuna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Değeri 18 olan seçenektir.
Doğruların ortak çözümünden elde edilen kesim noktasının apsisinin negatif, ordinatının pozitif olma koşulu incelendiğinde a parametresinin (4, 8) aralığında olması gerektiği görülür. Bu aralıktaki a tam sayıları 5, 6 ve 7'dir. Toplamları ise 18'dir.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların kesişim noktasının var olabilmesi ve tekil olabilmesi için katsayılar matrisinin determinantının (D) sıfırdan farklı olması gerektiğini belirleriz.
D = (a-1)(a-2) - (2)(3) = a^2 - 3a + 2 - 6 = a^2 - 3a - 4 = (a-4)(a+1) şeklinde bulunur. Doğruların tek bir kesim noktasının olması için a ≠ 4 ve a ≠ -1 olmalıdır.
Eğer determinant sıfır olursa doğrular ya paralel olur (kesişim kümesi boş küme) ya da çakışık olur (kesişim kümesi sonsuz elemanlı).
2
Cramer yöntemiyle kesim noktasının koordinatlarını (x0, y0) a parametresine bağlı olarak hesaplarız.
Dx = 6(a-2) - 12(3) = 6a - 48 = 6(a-8) ve Dy = 12(a-1) - 6(2) = 12a - 24 = 12(a-2) olarak hesaplanır. Buradan kesim noktası:
x0 = Dx / D = 6(a-8) / ((a-4)(a+1))
y0 = Dy / D = 12(a-2) / ((a-4)(a+1)) elde edilir.
Doğruların kesim noktasının koordinatlarını bulmak için ortak çözüm yapılması gerekir.
3
Kesim noktasının koordinat düzleminin II. bölgesinde olması koşulunu (x0 < 0 ve y0 > 0) uygularız.
x0 < 0 ise (a-8) / ((a-4)(a+1)) < 0 ve y0 > 0 ise (a-2) / ((a-4)(a+1)) > 0 eşitsizlik sistemini elde ederiz.
Koordinat düzleminin II. bölgesindeki noktaların apsisi negatif, ordinatı ise pozitiftir.
4
Elde edilen iki eşitsizliğin işaret tablolarını yaparak ortak çözüm kümesini buluruz.
İlk eşitsizliğin kökleri -1, 4, 8 olup çözüm kümesi (-∞, -1) ∪ (4, 8) aralığıdır. İkinci eşitsizliğin kökleri -1, 2, 4 olup çözüm kümesi (-1, 2) ∪ (4, ∞) aralığıdır. İki aralığın kesişimi (4, 8) açık aralığı olarak bulunur.
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir.
5
Çözüm aralığındaki a tam sayı değerlerini belirleyip toplarız.
(4, 8) açık aralığındaki a tam sayıları 5, 6 ve 7'dir. Bu sayıların toplamı 5 + 6 + 7 = 18 olarak bulunur.
Soru bizden a parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını talep etmektedir.

Key Concept

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Geometrik Yorumu ve Çözüm Koşulları
Question 276Question →
−3<∣x−2∣≤4-3 < |x - 2| \leq 4

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 18'dir.
Mutlak değerli bir ifade en küçük 0 değerini alabileceğinden, negatif bir sayıdan daima büyüktür. Bu nedenle −3<∣x−2∣-3 < |x - 2| eşitsizliği tüm gerçel sayılar için sağlanır. Çözülmesi gereken tek kısım ∣x−2∣≤4|x - 2| \leq 4 eşitsizliğidir. Buradan −4≤x−2≤4-4 \leq x - 2 \leq 4 ve dolayısıyla −2≤x≤6-2 \leq x \leq 6 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 18'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki mutlak değer özelliğini incelemek
−3<∣x−2∣-3 < |x - 2| eşitsizliğinin tüm gerçel sayılar için geçerli olduğu görülür.
Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer 0'dır. Bu nedenle mutlak değerli bir ifade negatif bir sayı olan −3-3'ten daima büyüktür.
2
Sağ taraftaki ∣x−2∣≤4|x - 2| \leq 4 eşitsizliğini çözmek
−4≤x−2≤4-4 \leq x - 2 \leq 4 elde edilir.
Mutlak değerli eşitsizliklerin özelliğine göre, ∣A∣≤b|A| \leq b ise −b≤A≤b-b \leq A \leq b olur.
3
Eşitsizliği xx değişkeni için yalnız bırakmak
−2≤x≤6-2 \leq x \leq 6 aralığı elde edilir.
Eşitsizliğin her tarafına 2 eklenerek xx yalnız bırakılır.
4
Aralıktaki tam sayı değerlerini toplayarak sonucu bulmak
−2+(−1)+0+1+2+3+4+5+6=18-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 18 elde edilir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar belirlenir ve bu değerlerin toplamı hesaplanır.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve mutlak değerin negatif olamayacağı gerçeği
Estimated Time:1m 30s
Question 277Question →

Bir kuru yemişçi, fındık ve badem kullanarak iki farklı karışım paketi hazırlamaktadır:
- A paketi: 200 g200\text{ g} fındık ve 300 g300\text{ g} badem
- B paketi: 300 g300\text{ g} fındık ve 100 g100\text{ g} badem

Bu paketlerden;
- 44 adet A paketi ve 33 adet B paketi alan bir müşteri toplam 2220 TL2220\text{ TL},
- 22 adet A paketi ve 55 adet B paketi alan bir başka müşteri ise toplam 2020 TL2020\text{ TL}

ödemiştir.

Buna göre, bu kuru yemişçide satılan 100 g100\text{ g} fındık ve 100 g100\text{ g} bademin toplam fiyat�� kaç TL\text{TL}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 140

Answer

100 gram fındık ve 100 gram bademin toplam fiyatı olan 140 TL
Kurulan iki aşamalı denklem sistemiyle A paketinin fiyatı 360 TL ve B paketinin fiyatı 260 TL olarak elde edilir. Ardından paket içeriklerine göre 100 gram fındığın birim fiyatı 60 TL ve 100 gram bademin birim fiyatı 80 TL olarak bulunur. Bu iki birim fiyatın toplamı 140 TL'dir.

Step-by-Step Solution

1
A ve B paketlerinin fiyatlarını belirlemek için denklem sistemi kurulur.
A paketinin fiyatı PAP_A ve B paketinin fiyatı PBP_B olsun.
4PA+3PB=22204P_A + 3P_B = 2220
2PA+5PB=20202P_A + 5P_B = 2020
Müşterilerin aldıkları paket adetlerine göre ödedikleri toplam tutarları denklem olarak ifade etmek için.
2
Birinci denklem sistemini yok etme yöntemi kullanarak çöz��lür.
İkinci denklem 22 ile çarpılır:
4PA+10PB=40404P_A + 10P_B = 4040
Bu denklemden birinci denklem çıkarılır:
(4PA+10PB)−(4PA+3PB)=4040−2220  ⟹  7PB=1820  ⟹  PB=260 TL(4P_A + 10P_B) - (4P_A + 3P_B) = 4040 - 2220 \implies 7P_B = 1820 \implies P_B = 260\text{ TL}
PBP_B değeri ikinci denklemde yerine yazılır:
2PA+5(260)=2020  ⟹  2PA=720  ⟹  PA=360 TL2P_A + 5(260) = 2020 \implies 2P_A = 720 \implies P_A = 360\text{ TL}
Paketlerin tekil fiyatlarını bulmak için.
3
Bulunan paket fiyatlarından fındık ve bademin birim fiyatlarını bulmak için ikinci denklem sistemi kurulur.
100 g100\text{ g} fındık fiyatı ff ve 100 g100\text{ g} badem fiyatı bb olsun.
2f+3b=3602f + 3b = 360
3f+b=2603f + b = 260
Paket içeriklerindeki gramajlara göre fındık ve badem birim fiyatlarını ilişkilendirmek için.
4
İkinci denklem sistemi yok etme yöntemi kullanılarak çözülür.
İkinci denklem −3-3 ile çarpılarak birinci denklemle taraf tarafa toplanır:
2f+3b=3602f + 3b = 360
−9f−3b=−780-9f - 3b = -780
Toplandığında: −7f=−420  ⟹  f=60 TL-7f = -420 \implies f = 60\text{ TL} bulunur.
f=60f = 60 değeri ikinci denklemde yerine yazılır:
3(60)+b=260  ⟹  180+b=260  ⟹  b=80 TL3(60) + b = 260 \implies 180 + b = 260 \implies b = 80\text{ TL} bulunur.
Fındık ve bademin 100 g100\text{ g} birim fiyatlarını ayrı ayrı belirlemek için.
5
İstenen toplam fiyat hesaplanır.
f+b=60+80=140 TLf + b = 60 + 80 = 140\text{ TL}
100 g100\text{ g} fındık ve 100 g100\text{ g} bademin toplam fiyatını bulmak için.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve yok etme yöntemi ile çözülmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 278Question →

Bir otoyoldaki AA dinlenme tesisinin otoyolun başlangıcına olan mesafesi 120.120. kilometrede, BB dinlenme tesisinin mesafesi ise 200.200. kilometrededir. Bu otoyol üzerinde hareket eden bir mobil şarj aracının AA tesisine olan mesafesi, BB tesisine olan mesafesinin 33 katına eşittir. Buna göre, mobil şarj aracının bulunabileceği konumların otoyolun başlangıcına olan mesafelerinin kilometre cinsinden alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 420

Answer

Mobil şarj aracının bulunabileceği konumların otoyolun başlangıcına olan mesafelerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 420 kilometredir.
Mobil şarj aracının konumu xx olarak alındığında, tesislerin otoyol üzerindeki konumlarına göre uzaklıkları sırasıyla ∣x−120∣|x - 120| ve ∣x−200∣|x - 200| olur. Verilen oranla kurulan ∣x−120∣=3⋅∣x−200∣|x - 120| = 3 \cdot |x - 200| denkleminin çözümünden x1=240x_1 = 240 ve x2=180x_2 = 180 değerleri bulunur. Bu değerlerin toplamı ise 420420 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Mobil şarj aracının konumunu temsil edecek bilinmeyeni belirleyip tesislerin konumlarına göre uzaklık ifadelerini mutlak değer içinde yazın.
Aracın konumu xx ise, AA tesisine uzaklığı ∣x−120∣|x - 120| ve BB tesisine uzaklığı ∣x−200∣|x - 200| olur.
Sayı doğrusu veya doğrusal bir yoldaki iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değeri ile ifade edilir.
2
Soruda verilen uzaklık ilişkisini denklem haline getirin.
∣x−120∣=3⋅∣x−200∣|x - 120| = 3 \cdot |x - 200| denklemi elde edilir.
Aracın AA tesisine olan mesafesinin, BB tesisine olan mesafesinin 33 katı olduğu belirtilmiştir.
3
Mutlak değerli denklemi çözmek için iki farklı durumu (pozitif ve negatif) ayrı ayrı inceleyin.
x−120=3x−600  ⟹  x=240x - 120 = 3x - 600 \implies x = 240 ve x−120=−3x+600  ⟹  x=180x - 120 = -3x + 600 \implies x = 180 değerleri bulunur.
∣a∣=∣b∣|a| = |b| ise a=ba = b veya a=−ba = -b kuralları uygulanır.
4
Elde edilen olası konumların toplamını hesaplayın.
240+180=420240 + 180 = 420
Mobil aracın bulunabileceği farklı konumların kilometre cinsinden değerlerinin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Bir boyutta iki nokta arasındaki uzaklığın mutlak değerle modellenmesi ve ∣f(x)∣=g(x)|f(x)| = g(x) veya ∣f(x)∣=∣g(x)∣|f(x)| = |g(x)| tipindeki denklemlerin çözümü.
Question 279Question →

Bir eşit kollu terazinin sol kefesine 33 adet özdeş küre ve 22 adet özdeş silindir konulduğunda terazinin dengelenmesi için sağ kefesine 300 gram300\text{ gram} lık bir kütle konulması gerekmektedir.

Eğer sol kefeye 11 adet küre ve 55 adet silindir konulursa terazinin dengelenmesi için sağ kefesine 230 gram230\text{ gram} lık bir kütle konulması gerekmektedir.

Buna göre, bir adet kürenin kütlesi kaç gramdır?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Bir adet kürenin kütlesi 80 gramdır.
Soruda verilen iki farklı denge durumu, 3K+2S=3003K + 2S = 300 ve K+5S=230K + 5S = 230 birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini oluşturur. Bu sistem yok etme yöntemiyle çözüldüğünde S=30S = 30 ve K=80K = 80 elde edilir. Kürenin kütlesi sorulduğu için doğru cevap 80'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kürenin kütlesini KK ve silindirin kütlesini SS ile göstererek verilen dengeleri birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürmek.
3K+2S=3003K + 2S = 300 ve K+5S=230K + 5S = 230 denklem sistemi elde edilir.
Terazinin sol ve sağ kefelerinin dengede olma koşulunu matematiksel olarak ifade etmek amacıyla.
2
Yok etme yöntemini kullanarak silindirin kütlesi olan SS değerini hesaplamak.
S=30S = 30 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli sistemden bilinmeyenlerden birini yalnız bırakmak veya yok etmek için.
3
Bulunan SS değerini denklemlerden birinde yerine yazarak kürenin kütlesi olan KK değerini bulmak.
K=80K = 80 gram olarak bulunur.
Sistemdeki diğer bilinmeyen olan kürenin kütlesine ulaşmak için.

Key Concept

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Question 280Question →

Sayı doğrusu üzerinde −3-3 noktasına olan uzaklığı 55 birimden küçük olan tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -27

Answer

Sayı doğrusu üzerinde -3 noktasına olan uzaklığı 5 birimden küçük olan tam sayıların toplamı -27'dir.
Sayı doğrusu üzerinde bir xx sayısının −3-3 noktasına olan uzaklığı ∣x−(−3)∣=∣x+3∣|x - (-3)| = |x + 3| şeklinde tanımlanır. Bu uzaklığın 55 birimden küçük olması istendiği için ∣x+3∣<5|x + 3| < 5 eşitsizliği elde edilir. Mutlak değer özelliğinden −5<x+3<5-5 < x + 3 < 5 olur ve her taraftan 33 çıkarıldığında −8<x<2-8 < x < 2 aralığı bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar olan −7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 değerlerinin toplamı −27-27 olur.

Step-by-Step Solution

1
Uzaklık tanımını mutlak değerli eşitsizlik olarak yazma
∣x+3∣<5|x + 3| < 5
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değeridir.
2
Mutlak değerli eşitsizli��i açma
−5<x+3<5-5 < x + 3 < 5
∣u∣<a|u| < a ise −a<u<a-a < u < a kuralı uygulanır.
3
Eşitsizliği x için çözme
−8<x<2-8 < x < 2
x'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına -3 eklenir.
4
Aralıktaki tam sayıları belirleme ve toplama
-27
−8<x<2-8 < x < 2 aralığındaki tam sayılar −7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 olup, bunların toplamı −27-27 eder.

Key Concept

Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklığın mutlak değer ile ifade edilmesi ve ∣x−a∣<b|x - a| < b formundaki eşitsizliklerin çözümü.
PreviousPage 14 / 19Next
Denklem ve Eşitsizlikler Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 14 | Examkin