Kümeler ve Mantık Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 3

Question 41Question →

Bir okul gezisinde öğrencilerden $18$ 'i arkeoloji müzesini, $14$ 'ü bilim müzesini ziyaret etmiştir. Hem arkeoloji hem de bilim müzesini ziyaret eden $6$ öğrenci olduğuna göre, bu iki müzeden en az birini ziyaret eden öğrenci sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

İki müzeden en az birini ziyaret eden öğrenci sayısı 26'dır.

Doğru cevap olan 26 sayısı, iki müzeden en az birini ziyaret edenlerin sayısı olup, arkeoloji müzesini ziyaret eden 18 kişi ile bilim müzesini ziyaret eden 14 kişinin toplanması ve her iki müzeyi de gezen 6 kişinin bu toplamdan çıkarılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve verilen eleman sayılarını belirleme

s(A) = 18

,

s(B) = 14

,

s(A \cap B) = 6

Problemdeki verileri küme işlemleriyle ifade etmek için.

2

Küme birleşim formülünü uygulama

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

En az bir müzenin ziyaret edilmiş olması durumunun birleşim kümesine karşılık gelmesi.

3

Değerleri yerine koyarak hesaplama yapma

18 + 14 - 6 = 26

Toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayarak birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak.

Key Concept

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Eleman Sayısı Formülü

Question 42Question →

32 kişilik bir sınıftaki öğrenciler spor ve sanat kamplarından en az birine katılabileceği gibi hiçbirine katılmaya da bilir. Bu sınıfta spor kampına katılan 18, sanat kampına katılan 16 öğrenci vardır. Kamplardan sadece birine katılan öğrenci sayısı, hiçbir kampa katılmayan öğrenci sayısının 4 katıdır. Buna göre, bu kamplardan en az birine katılan öğrenci sayısı kaçtır?

20

22

25

27

29

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

En az bir kampa katılan öğrenci sayısı 27'dir.

Doğru cevap, en az bir kampa katılan öğrenci sayısının 27 olduğunu belirten seçenektir. Toplam 32 öğrenciden hiçbir kampa katılmayan 5 öğrenci çıkarıldığında ya da spor kampına katılan 18 ile sanat kampına katılan 16 öğrencinin toplamından her iki kampa da katılan 7 öğrenci çıkarıldığında 27 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Spor kampı kümesini

S

, sanat kampı kümesini

A

, evrensel kümeyi

U

olarak tanımlayıp bilinmeyen bölgeleri değişkenlerle ifade etmek.

|S \cap A| = x

(her iki kampa katılanlar) ve

|(S \cup A)'| = y

(hiçbir kampa katılmayanlar) olsun.

Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel küme terimlerine dönüştürmek için.

2

Sadece bir kampa katılan öğrenci sayısını ifade eden denklemi kurmak.

Sadece spor kampına katılanlar:

18 - x

, sadece sanat kampına katılanlar:

16 - x

. Sadece bir kampa katılanler:

(18 - x) + (16 - x) = 34 - 2x

. Bu sayı hiçbir kampa katılmayanların 4 katı olduğuna göre:

34 - 2x = 4y \implies x + 2y = 17

elde edilir.

Yalnız bir kampa katılanlar ile hiçbirine katılmayanlar arasındaki oran ilişkisini denklemleştirmek için.

3

Sınıf mevcudunu kullanarak ikinci bir denklem elde etmek.

Sınıf mevcudu:

(18 - x) + (16 - x) + x + y = 32 \implies 34 - x + y = 32 \implies x - y = 2

elde edilir.

Sınıftaki tüm öğrencilerin toplamını veren denklemi oluşturmak için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek.

x = y + 2

ifadesini ilk denklemde yerine yazarsak:

(y + 2) + 2y = 17 \implies 3y + 2 = 17 \implies 3y = 15

bulunur. Buradan

y = 5

ve

x = 7

elde edilir.

Kesişim (

x

) ve hiçbir kampa katılmayanlar (

y

) bölgelerinin eleman sayılarını bulmak için.

5

Soruda istenen en az bir kampa katılan öğrenci sayısını (birleşim kümesini) hesaplamak.

En az bir kampa katılan öğrenci sayısı:

|S \cup A| = 32 - y = 32 - 5 = 27

olarak bulunur.

Soruda sorulan 'en az birine katılan' (birleşim) ifadesinin değerini bulmak için.

Key Concept

Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Estimated Time:2m 0s

Question 43Question →

$A$ ve $B$ kümeleri için;
$s(A) = 12$
$s(B) = 15$
$s(A \cap B) = 4$
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

Verilen küme özelliklerine göre,

A \cup B

kümesinin eleman sayısı 23'tür.

Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısını veren bağıntı

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

şeklindedir. Verilen

s(A) = 12

,

s(B) = 15

ve

s(A \cap B) = 4

değerleri formülde yerine yazıldığında,

s(A \cup B) = 12 + 15 - 4 = 23

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerde birleşim işleminin eleman sayısı formülünü yazmak

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

İki kümenin birleşimindeki toplam eleman sayısını hesaplarken kesişim bölgesindeki elemanlar her iki kümede de ortak olduğundan iki kez sayılmasını engellemek için kesişim kümesinin eleman sayısı bir kez çıkarılır.

2

Verilen sayısal değerleri formülde yerlerine yerleştirmek ve sonucu hesaplamak

s(A \cup B) = 12 + 15 - 4 = 23

s(A) = 12

,

s(B) = 15

ve

s(A \cap B) = 4

değerleri denklemde yerlerine konularak temel toplama ve çıkarma işlemleri gerçekleştirilir.

Key Concept

Kümelerde birleşim ve kesişim eleman sayıları arasındaki temel bağıntı

Estimated Time:45s

Question 44Question →

Bir spor kulübünde tenis, yüzme ve koşu branşlarından en az birini yapan sporcular bulunmaktadır. Bu sporcuların branşlara göre dağılımıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sadece tenis branşını yapanların sayısı, yüzme branşını yapanların toplam sayısına eşittir.
* En az iki branş yapanların sayısı, sadece bir branş yapanların sayısının yarısı kadardır.
* Her üç branşı da yapan sporcu sayısı $4$ 'tür.
* Koşu branşını yapmayan sporcu sayısı $24$ 'tür.

Buna göre, bu spor kulübünde hem tenis hem de yüzme yapıp koşu yapmayan sporcu sayısı en çok kaçtır?

6

8

10

12

14

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Hem tenis hem de yüzme yapıp koşu yapmayan sporcu sayısı en çok 10 olabilir.

Doğru yanıt 10'dur. Küme bölgeleri denkleştirildiğinde elde edilen

2b + 2d + e = 20

eşitliğinde,

d

değerini maksimum yapmak için

b

ve

e

değerleri en küçük (0) seçilir. Bu durumda

2d = 20

denkleminden

d = 10

bulunur. Bu değer diğer tüm koşulları ve pozitiflik şartlarını sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin bölgelerini harflendirerek değişkenleri tanımlayalım.

Tenis (

T

), Yüzme (

Y

) ve Koşu (

K

) kümeleri için:
* Sadece tenis yapanlar:

a

* Sadece yüzme yapanlar:

b

* Sadece koşu yapanlar:

c

* Tenis ve yüzme yapıp koşu yapmayanlar:

d

(Aranan bölge)
* Yüzme ve koşu yapıp tenis yapmayanlar:

e

* Tenis ve koşu yapıp yüzme yapmayanlar:

f

* Üçünü de yapanlar:

g = 4

Problemdeki sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.

2

Verilen koşullara göre denklemleri kuralım.

1) Sadece tenis yapanlar, yüzme yapanların toplamına eşittir:

a = b + d + e + g \implies a = b + d + e + 4

2) En az iki branş yapanlar, sadece bir branş yapanların yarısıdır:

d + e + f + g = \frac{a + b + c}{2} \implies 2(d + e + f + 4) = a + b + c

3) Koşu yapmayan sporcu sayısı 24'tür:

a + b + d = 24

Soruda verilen kısıtları cebirsel olarak ifade ederek çözüm kümesini sınırlandırmak gerekir.

3

Birinci denklemdeki

a

değerini üçüncü denklemde yerine yazalım.

(b + d + e + 4) + b + d = 24 \implies 2b + 2d + e + 4 = 24 \implies 2b + 2d + e = 20

Değişken sayısını azaltarak aradığımız

d

değişkeni ile diğer değişkenler arasındaki doğrudan ilişkiyi bulmak amaçlanır.

4

d

değerini en büyük yapmak için kısıtları inceleyelim.

2d = 20 - 2b - e

Sporcu sayıları negatif olamayacağından

b \ge 0

ve

e \ge 0

olmalıdır.

d

değerinin maksimum olması için

2b + e

toplamı en küçük seçilmelidir. Bu toplam en az

0

olabilir (

b = 0, e = 0

).
Bu durumda

2d = 20 \implies d = 10

bulunur.

Doğal sayı kısıtlamalarını kullanarak en büyük olası tam sayı değerini belirlemek gerekir.

5

Bulunan değerlerin diğer denklemlerle çelişip çelişmediğini kontrol edelim.

b = 0

,

e = 0

,

d = 10

için

a = 14

olur. İkinci denklemde yerine yazıldığında:

2(10 + 0 + f + 4) = 14 + 0 + c \implies 28 + 2f = 14 + c \implies c = 14 + 2f

elde edilir.

f = 0

seçilirse

c = 14

olur. Tüm değişkenler negatif olmayan tam sayılar olduğundan bu çözüm geçerlidir.

Bulunan sınır değerinin küme kuralları çerçevesinde evrensel olarak tutarlı bir çözüm üretip üretmediğini doğrulamak gerekir.

Key Concept

Küme problemlerinde sözel verilerin Venn şeması bölgelerine göre harflendirilerek denklem sistemine dönüştürülmesi ve bu sistemin en büyük/en küçük değer kısıtları altında çözülmesi.

Question 45Question →

Bir

A

kümesi,

A = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, 2, \{ 2 \}, \{ 2, 3 \} \}

olarak veriliyor.
Buna göre;
I.

\{2, 3\} \subset A

II.

\{\emptyset, \{2\}\} \subset A

III.

\{\{2, 3\}\} \subset A

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

II ve III

Doğru olan ifadeler II ve III ifadeleridir. A kümesinin elemanları incelendiğinde

\emptyset

ve

\{2\}

ifadelerinin kümenin birer elemanı olduğu görülür. Bu elemanların bir araya getirilmesiyle oluşturulan

\{\emptyset, \{2\}\}

kümesi A'nın bir alt kümesidir. Aynı şekilde,

\{2, 3\}

ifadesi A kümesinin bir elemanı olduğundan, bu elemanı içeren

\{\{2, 3\}\}

kümesi de A'nın bir alt kümesi olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını tek tek belirlemek

A kümesinin elemanları sırasıyla şunlardır: boş küme sembolü, boş küme sembolünü içeren küme, 2 sayısı, 2 sayısını içeren küme ve 2 ile 3 sayılarını içeren küme. Yani, elemanlar sırasıyla

\emptyset

,

\{\emptyset\}

,

2

,

\{2\}

ve

\{2, 3\}

olmak üzere 5 tanedir.

Alt küme ve eleman ilişkilerini test etmek için öncelikle kümenin eleman sınırlarını doğru belirlemek gerekir.

2

I. öncüldeki alt küme ilişkisinin doğruluğunu kontrol etmek

\{2, 3\} \subset A

ifadesinin doğru olması için bu kümenin elemanları olan 2 ve 3 sayılarının her ikisinin de A kümesinin elemanı olması gerekir. Ancak

3 \notin A

olduğundan bu ifade yanlıştır. Kümedeki

\{2, 3\}

ifadesi A'nın bir elemanıdır (

{\{2, 3\} \in A}

), alt kümesi değildir.

Bir kümenin alt küme olabilmesi için içerdiği tüm elemanların ana kümede bulunması şarttır.

3

II. öncüldeki alt küme ilişkisinin doğruluğunu kontrol etmek

\{\emptyset, \{2\}\} \subset A

ifadesinin doğru olması için bu kümenin elemanları olan

\emptyset

ve

\{2\}

ifadelerinin A kümesinin elemanı olması gerekir. A kümesinin elemanlarını incelediğimizde

\emptyset \in A

ve

\{2\} \in A

koşullarının sağlandığını görürüz. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.

Her iki eleman da A kümesine ait olduğu için bu elemanların oluşturduğu küme A'nın alt kümesidir.

4

III. öncüldeki alt küme ilişkisinin doğruluğunu kontrol etmek

\{\{2, 3\}\} \subset A

ifadesinin doğru olması için bu kümenin tek elemanı olan

\{2, 3\}

ifadesinin A kümesinin bir elemanı olması gerekir. Küme tanımına baktığımızda

\{2, 3\} \in A

ifadesi doğrudur. Dolayısıyla bu elemanın küme parantezine alınmasıyla oluşan

\{\{2, 3\}\}

kümesi A'nın bir alt kümesidir. Bu ifade doğrudur.

Bir eleman küme parantezi ile çevrelendiğinde ana kümenin bir alt kümesini oluşturur.

Key Concept

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Sembollerinin İlişkisi

Question 46Question →

Bir teknoloji firmasında çalışan $30$ yazılımcının her biri Python veya Java programlama dillerinden en az birini bilmektedir. Bu yazılımcılardan $18$ 'i Python, $15$ 'i ise Java bilmektedir.

Buna göre, bu firmada hem Python hem de Java bilen yazılımcı sayısı kaçtır?

15

3

12

33

6

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Her iki programlama dilini de bilen yazılımcı sayısı 3'tür.

Her iki dili de bilenlerin sayısını bulmak için iki kümenin birleşim formülü olan

s(P \cup J) = s(P) + s(J) - s(P \cap J)

kullanılır. Formülde verilen değerler yerine yazıldığında

30 = 18 + 15 - s(P \cap J)

eşitliği elde edilir. Buradan

s(P \cap J) = 3

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Python bilen yazılımcıların kümesini

P

, Java bilen yazılımcıların kümesini

J

olarak belirleyelim.

Gruptaki herkes en az bir dil bildiği için birleşim kümesinin eleman sayısı

s(P \cup J) = 30

'dur. Python bilenlerin sayısı

s(P) = 18

, Java bilenlerin sayısı

s(J) = 15

olarak verilmiştir.

Soruda verilen sözel ifadeleri küme sembollerine aktarmak ve gerekli verileri listelemek için.

2

Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazalım:

s(P \cup J) = s(P) + s(J) - s(P \cap J)

Formülde bilinen değerleri yerine yerleştirdiğimizde:

30 = 18 + 15 - s(P \cap J)

denklemi elde edilir.

Birleşim, kesişim ve tekil kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için.

3

Elde edilen denklemi çözerek kesişim kümesinin eleman sayısı olan

s(P \cap J)

değerini yalnız bırakalım.

30 = 33 - s(P \cap J) \Rightarrow s(P \cap J) = 33 - 30 = 3

bulunur.

Her iki dili de bilen yazılımcı sayısına ulaşmak için.

Key Concept

İki kümenin birleşim ve kesişim eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak küme problemlerini çözme.

Estimated Time:1m 0s

Question 47Question →

Bir

A

kümesi

A = \{\emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\}, \{\{1\}, 2\}\}

olarak veriliyor.

Buna göre,
I. $\{\{1\}, 2\} \subset A$ ve $\{\{1\}, 2\} \in A$
II. $A$ kümesinin elemanı olup aynı zamanda $A$ kümesinin bir alt kümesi olan eleman sayısı 2'dir.
III. $A$ kümesinin alt kümelerinin 24 tanesinde, $A$ kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan en az bir eleman bulunur.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

II ve III ifadeleri doğrudur.

Doğru cevap II ve III ifadelerini içeren seçenektir. Boş küme (\emptyset) hem

A

kümesinin bir elemanıdır hem de her kümenin alt kümesi olduğu için

A

'nın bir alt kümesidir. Benzer şekilde

\{1\}

hem

A

kümesinin bir elemanıdır hem de elemanı olan

1

,

A

'nın elemanı olduğu için

A

'nın bir alt kümesidir. Bu özellikleri sağlayan 2 eleman vardır. Bu elemanlardan en az birini içeren alt kümelerin sayısı ise tüm alt kümelerin sayısından (32), bu iki elemanı içermeyen alt kümelerin sayısının (8) çıkarılmasıyla 24 olarak bulunur. I. öncüldeki

\{\{1\}, 2\} \subset A

ifadesi ise

2 \notin A

olduğu için yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1

A

kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.

A = \{\emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\}, \{\{1\}, 2\}\}

kümesinin eleman sayısı

s(A) = 5

'tir. Elemanları sırasıyla:

\emptyset

,

1

,

\{1\}

,

\{1, 2\}

ve

\{\{1\}, 2\}

'dir.

Sembolik ilişkilerin ve alt küme sayılarının doğru analiz edilebilmesi için kümenin eleman sınırlarının net belirlenmesi gerekir.

2

I. öncüldeki ifadelerin doğruluğunu kontrol etmek.

\{\{1\}, 2\} \in A

ifadesi doğrudur çünkü bu ifade kümenin 5. elemanıdır. Ancak

\{\{1\}, 2\} \subset A

ifadesinin doğru olması için bu kümenin elemanları olan

\{1\}

ve

2

elemanlarının

A

'nın elemanı olması gerekir.

\{1\} \in A

olmasına rağmen

2 \notin A

olduğundan

\{\{1\}, 2\} \not\subset A

olur. Bu yüzden I. öncül yanlıştır.

Bir kümenin alt küme olabilmesi için tüm elemanlarının üst kümenin de elemanı olması kuralını uygulamak.

3

II. öncüldeki hem eleman hem de alt küme olan eleman sayısını belirlemek.

x \in A

iken

x \subset A

şartını sağlayan

x

elemanlarını inceleyelim:
-

x = \emptyset

:

\emptyset \in A

ve boş küme her kümenin alt kümesi olduğundan

\emptyset \subset A

doğrudur.
-

x = 1

:

1 \in A

ancak

1

bir küme olmadığından alt küme belirtmez.
-

x = \{1\}

:

\{1\} \in A

ve elemanı olan

1 \in A

olduğundan

\{1\} \subset A

doğrudur.
-

x = \{1, 2\}

:

\{1, 2\} \in A

ancak

2 \notin A

olduğundan

\{1, 2\} \not\subset A

'dır.
-

x = \{\{1\}, 2\}

:

\{\{1\}, 2\} \in A

ancak

2 \notin A

olduğundan

\{\{1\}, 2\} \not\subset A

'dır.
Bu durumda şartı sağlayan elemanlar sadece

\emptyset

ve

\{1\}

olup sayıları 2'dir. II. öncül doğrudur.

Kümelerdeki her bir elemanın ayrı ayrı eleman ve alt küme olma durumunu tanımlara göre kontrol etmek.

4

III. öncüldeki en az bir ortak eleman barındıran alt küme sayısını hesaplamak.

İstenen elemanlar kümesi

S = \{\emptyset, \{1\}\}

olsun.

A

kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı

2^5 = 32

'dir. Bu iki elemanın hiçbirini içermeyen alt kümeler, geriye kalan

A \setminus S = \{1, \{1, 2\}, \{\{1\}, 2\}\}

kümesinin elemanları ile oluşturulur ve sayısı

2^3 = 8

'dir. Dolayısıyla en az birini içeren alt küme sayısı

32 - 8 = 24

olur. III. öncül doğrudur.

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak (tümleyen yöntemiyle) sonuca daha hızlı ulaşmak.

Key Concept

Bir kümenin elemanı olma (\in) ile alt kümesi olma (\subset) arasındaki sembolik ve mantıksal farklar, boş kümenin özellikleri ve alt küme sayısı hesaplama.

Estimated Time:3m 0s

Question 48Question →

$x$ bir pozitif tam sayı olmak üzere,

$p$ : " $x$ bir çift sayıdır."
$q$ : " $x + 2$ bir asal sayıdır."

önermeleri veriliyor.

p \lor q

önermesi yanlış olduğuna göre, $x$ sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

4

5

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

p veya q önermesini yanlış yapan değer 7 sayısıdır.

7 sayısı için p önermesi yanlış (0) ve q önermesi de yanlış (0) olmaktadır. veya bağlacında her iki önerme de yanlış olduğunda sonuç yanlış (0) çıkacağı için 7 değeri p veya q önermesini yanlış yapar.

Step-by-Step Solution

1

p veya q önermesinin yanlış (0) olabilmesi için gerekli koşulu belirleme.

p veya q önermesinin yanlış (0) olması için hem p önermesinin hem de q önermesinin yanlış (0) olması gerekir.

veya bağlacının doğruluk kurallarına göre, bileşik önermenin yanlış çıkması için tüm bileşenlerinin yanlış olması şarttır.

2

Seçeneklerdeki değerlerin önermeleri sağlama durumunu inceleme.

7 değeri için p: '7 bir çift sayıdır' önermesi yanlıştır (0). q: '7 + 2 = 9 bir asal sayıdır' önermesi de yanlıştır (0), çünkü 9 sayısı asal değildir.

Doğru seçeneği bulmak için seçeneklerdeki sayıların önermelerin doğruluk değerlerini nasıl etkilediğini test etmek gerekir.

3

Doğruluk değerlerini birleştirerek sonucu doğrulama.

x = 7 için p ve q önermeleri 0 olduğundan, p veya q önermesi 0 veya 0 yani 0 (yanlış) olur.

Bulunan sonucun sorudaki koşulu tam olarak sağladığından emin olmak.

Key Concept

veya bağlacının doğruluk tablosu ve asal sayı, tek-çift sayı kavramları

Estimated Time:1m 0s

Question 49Question →

Elemanları harflerden ve bu harflerle oluşturulan kümelerden meydana gelen bir

K

kümesi

K = \{ a, \{a\}, b, \{a, b\}, \{b, c\} \}

olarak veriliyor.
Buna göre,
I.

\{a\} \in K

ve

\{a\} \subset K

II.

\{a, b\} \in K

ve

\{a, b\} \subset K

III.

\{b, c\} \in K

ve

\{b, c\} \subset K

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

I ve II öncüllerindeki ifadelerin her ikisi de doğrudur.

\{a\} \in K

ifadesi doğrudur çünkü

\{a\}

kümede doğrudan bir eleman olarak bulunur;

\{a\} \subset K

ifadesi de doğrudur çünkü

a \in K

olup bu elemandan oluşan tek elemanlı küme alt kümedir. Benzer şekilde,

\{a, b\} \in K

ifadesi doğrudur çünkü

\{a, b\}

kümede bir elemandır;

\{a, b\} \subset K

ifadesi de doğrudur çünkü

a \in K

ve

b \in K

olup bu elemanlardan oluşan küme alt kümedir.

Step-by-Step Solution

1

K

kümesinin eleman sayısını ve elemanlarını belirleyelim.

K

kümesinin elemanları:

a

,

\{a\}

,

b

,

\{a, b\}

ve

\{b, c\}

olmak üzere 5 tanedir.

Kümelerdeki her bir virgül arası ifade bir elemanı temsil eder.

2

I. öncülü inceleyelim:

\{a\} \in K

ve

\{a\} \subset K

ifadelerinin doğruluk değerlerini bulalım.

\{a\}

,

K

kümesinin bir elemanıdır, dolayısıyla

\{a\} \in K

doğrudur. Ayrıca,

a \in K

olduğundan, bu elemanı içeren tek elemanlı alt küme olan

\{a\} \subset K

ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Bir kümenin elemanı süslü parantez içine alınarak alt küme oluşturulur.

3

II. öncülü inceleyelim:

\{a, b\} \in K

ve

\{a, b\} \subset K

ifadelerinin doğruluk değerlerini bulalım.

\{a, b\}

,

K

kümesinin bir elemanıdır, dolayısıyla

\{a, b\} \in K

doğrudur. Ayrıca,

a \in K

ve

b \in K

olduğundan, bu iki elemanın oluşturduğu

\{a, b\}

kümesi

K

'nin bir alt kümesidir, yani

\{a, b\} \subset K

ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.

İki eleman da kümede yer aldığından, bu elemanların oluşturduğu küme de alt kümedir.

4

III. öncülü inceleyelim:

\{b, c\} \in K

ve

\{b, c\} \subset K

ifadelerinin doğruluk değerlerini bulalım.

\{b, c\}

,

K

kümesinin bir elemanıdır, dolayısıyla

\{b, c\} \in K

doğrudur. Ancak

\{b, c\} \subset K

olması için

b \in K

ve

c \in K

olmalıdır.

K

kümesinin elemanları arasında tek başına

c

harfi bulunmamaktadır (

c \notin K

). Bu nedenle

\{b, c\} \subset K

ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Alt küme ilişkisinde kümenin içindeki her bir elemanın ana kümede de tek başına bulunması gerekir.

Key Concept

Bir kümede eleman olma ve alt küme olma kavramlarının sembolik gösterimi ve farkı.

Estimated Time:1m 30s

Question 50Question →

$A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

$A = \{x \mid x, \text{ 24'ün pozitif çift tam sayı bölenidir}\}$

$B = \{x \mid x, \text{ 60'ın asal bölenidir}\}$

Buna göre, $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

8

9

10

7

6

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8

Doğru yanıt olan 8 değeri, A kümesinin eleman sayısı olan 6 ile B kümesinin eleman sayısı olan 3 toplandıktan sonra, her iki kümede ortak olan tek eleman olan 2 sayısının (kesişim kümesinin 1 elemanı) bu toplamdan çıkarılmasıyla elde edilir (

6 + 3 - 1 = 8

).

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını belirlemek

A = \{2, 4, 6, 8, 12, 24\}

ve

s(A) = 6

olur.

24 sayısının pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayılarıdır. Bunlardan çift olanlar seçildiğinde A kümesi elde edilir.

2

B kümesinin elemanlarını belirlemek

B = \{2, 3, 5\}

ve

s(B) = 3

olur.

60 sayısının asal çarpanları (bölenleri) 2, 3 ve 5 sayılarıdır.

3

Kesişim kümesini bulmak ve birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplamak

A \cap B = \{2\}

olduğundan

s(A \cap B) = 1

olur. Buradan

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 6 + 3 - 1 = 8

bulunur.

Kümelerin birleşiminde ortak elemanlar yalnızca bir kez sayılmalıdır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Alternative Method

A ve B kümelerinin elemanları doğrudan listelenerek birleştirilebilir. A = {2, 4, 6, 8, 12, 24} ve B = {2, 3, 5} kümelerinin tüm elemanları bir araya getirilip ortak elemanlar tek bir kez yazıldığında A U B = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24} kümesi elde edilir. Bu kümenin elemanları sayıldığında sonuç 8 olarak bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 51Question →

Bir dijital yayın platformuna üye olan 60 kişilik bir grupta; sinema, spor ve belgesel paketlerinden en az birine üye olunmaktadır. Bu gruptaki paket üyelikleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sinema paketine üye olan herkes spor paketine de üyedir.
* Sadece belgesel paketine üye olanların sayısı, spor paketine üye olanların sayısının yarısıdır.
* Hem spor hem de belgesel paketine üye olan 8 kişi vardır.
* Sinema paketine üye olan ve belgesel paketine üye olmayan kişi sayısı 12'dir.

Buna göre, bu grupta sadece spor paketine üye olan kaç kişi vardır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Sadece spor paketine üye olan kişi sayısı 20'dir.

Gruptaki herkes en az bir pakete üye olduğundan, grubun tamamı spor paketine üye olanlar ile sadece belgesel paketine üye olanların toplamından oluşur. Sadece belgesel alanların sayısı spor alanların yarısı olduğundan, spor alanların sayısı 40 ve sadece belgesel alanların sayısı 20'dir. Spor paketine üye olan 40 kişi; sadece spor alanlar, sinema paketine üye olup belgesel almayanlar (12 kişi) ve hem spor hem belgesel alanlar (8 kişi) şeklinde ayrılır. Buradan sadece spor alanların sayısı 40 - 12 - 8 = 20 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri tanımlama ve birleşim kümesinin eleman sayısını belirleme.

Grup mevcudu

s(C \cup S \cup D) = 60

kişidir. Sinema kümesi

C

, spor kümesi

S

, belgesel kümesi

D

olsun.

Soruda verilen toplam kişi sayısı ile küme birleşimini ilişkilendirmek için.

2

Alt küme ilişkisini belirleme.

C \subseteq S

Sinema paketine üye olan herkesin spor paketine de üye olduğu belirtildiği için.

3

Spor paketine üye olan toplam kişi sayısını bulma.

s(S) = 40

Sadece belgesel alanların sayısı spor alanların yarısıdır ve gruptaki herkes en az bir pakete üye olduğundan

s(S) + \frac{s(S)}{2} = 60

denkleminden.

4

Spor kümesini alt bölgelerine ayırarak sadece spor paketine üye olanları hesaplama.

Sadece spor alanlar = 20 kişi.

Spor alanların kümesi; sadece spor alanlar, sinema alıp belgesel almayanlar (12 kişi) ve hem spor hem belgesel alanlar (8 kişi) bölgelerinden oluştuğu için

40 = \text{(Sadece spor)} + 12 + 8

denkleminden.

Key Concept

Alt küme ilişkisi içeren üçlü küme problemlerinde bölgelerin denklemlerle modellenmesi ve çözülmesi.

Question 52Question →

Bir

A

kümesi

A = \{ 1, \{2\}, \{1, 2\}, \emptyset \}

olarak veriliyor.
Buna göre,
I.

\{1, 2\} \subset A

ve

\{1, 2\} \in A

II.

\{\{2\}\} \subset A

ve

\{2\} \in A

III.

\{\emptyset\} \subset A

ve

\emptyset \in A

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

II ve III

İkinci ve üçüncü öncüllerdeki hem eleman olma hem de alt küme olma ilişkileri doğrudur. Kümenin içinde '{2}' ve 'boş küme' sembolleri birer eleman olarak yer alır. Bu elemanlar parantezlendiğinde ise '{{2}}' ve '{boş küme}' şeklinde alt kümeler elde edilir. Dolayısıyla 'II ve III' seçeneği doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını listeleme

A kümesinin elemanları sırasıyla 1, {2}, {1, 2} ve boş küme (\emptyset) olmak üzere 4 tanedir.

Öncüllerdeki eleman ve alt küme ilişkilerini doğrulamak için öncelikle kümenin eleman listesini netleştirmeliyiz.

2

Birinci öncülü inceleme

{1, 2} \in A ifadesi doğrudur çünkü {1, 2} kümenin bir elemanıdır. Ancak {1, 2} \subset A ifadesi yanlıştır; çünkü bu alt kümenin elemanları olan 1 ve 2 değerlerinin her ikisinin de A kümesinin elemanı olması gerekir. 1 \in A olmasına rağmen 2
otin A (sadece {2} elemanı vardır) olduğundan bu alt küme ilişkisi kurulamaz. Dolayısıyla birinci öncül yanlıştır.

Bir kümenin alt küme olabilmesi için içindeki tüm elemanların ana kümede de bulunması gerekir.

3

İkinci öncülü inceleme

{2} \in A ifadesi doğrudur çünkü {2} kümenin doğrudan bir elemanıdır. {{2}} \subset A ifadesi de doğrudur çünkü A kümesinin elemanı olan {2} ifadesi süslü paranteze alınarak bir alt küme oluşturulmuştur. Dolayısıyla ikinci öncül doğrudur.

Bir kümenin herhangi bir elemanı süslü parantez içine yazıldığında o kümenin bir alt kümesi elde edilir.

4

Üçüncü öncülü inceleme

\emptyset \in A ifadesi doğrudur çünkü boş küme sembolü kümenin bir elemanı olarak listede yer almaktadır. {\emptyset} \subset A ifadesi de doğrudur çünkü A kümesinin elemanı olan \emptyset nesnesi süslü parantez içine alınarak bir alt küme oluşturulmuştur. Dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.

Kümede eleman olarak bulunan boş küme nesnesi parantezlenerek alt küme haline getirilmiştir.

Key Concept

Kümelerde eleman olma (\in) ve alt küme olma (\subset) kavramları arasındaki farklar

Question 53Question →

Bir kafede bulunan $40$ müşterinin her biri çay veya kahve ikramlarından en az birini almıştır. Bu kafede çay alan müşteri sayısı $28$ , hem çay hem de kahve alan müşteri sayısı ise $12$ 'dir.

Buna göre, bu kafede sadece kahve alan müşteri sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Sadece kahve alan müşteri sayısı 12'dir.

Çay içenlerin kümesi ile sadece kahve içenlerin kümesi ayrık kümelerdir ve birleşimleri tüm grubu oluşturur. Dolayısıyla gruptaki toplam kişi sayısından çay içenlerin sayısı çıkarıldığında sadece kahve içenlerin sayısı 12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri tanımlama ve verilen değerleri belirleme

Çay alanlar

Ç

, kahve alanlar

K

olmak üzere;

s(Ç \cup K) = 40

,

s(Ç) = 28

ve

s(Ç \cap K) = 12

olur.

Sorudaki sözel ifadeleri küme sembollerine dönüştürmek için.

2

Sadece kahve alanların eleman sayısını veren bağıntıyı kurma

s(Ç \cup K) = s(Ç) + s(K \setminus Ç)

bağıntısı elde edilir.

Çay alanlar ile sadece kahve alanların toplamı, en az birini alan tüm müşterilerin sayısını (birleşimi) verir.

3

Değerleri yerine yazarak bilinmeyeni hesaplama

40 = 28 + s(K \setminus Ç) \implies s(K \setminus Ç) = 12

bulunur.

Sadece kahve alanların sayısını bulmak için toplama işleminden yararlanılır.

Key Concept

İki kümenin birleşim ve fark işlemlerini kullanarak sözel problemleri çözme.

Question 54Question →

Bir

M

kümesi

M = \{2, 3, \{3\}, \{2, 4\}\}

olarak veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

2 \subset M

\{3, 4\} \subset M

\{\{3\}\} \in M

\{2, \{3\}\} \subset M

\{2, 4\} \subset M

Show answer & explanation

Answer: $\{2, \{3\}\} \subset M$

Answer

\{2, \{3\}\} \subset M

ifadesi doğrudur.

Kümenin elemanları listelendiğinde

2

ve

\{3\}

ifadelerinin M kümesine ait birer eleman olduğu görülür. Bu elemanlar bir küme parantezi içerisine yazıldığında elde edilen

\{2, \{3\}\}

kümesi, M kümesinin bir alt kümesi olur ve bu durum

\{2, \{3\}\} \subset M

biçiminde doğru şekilde gösterilir.

Step-by-Step Solution

1

M kümesinin elemanlarını tek tek listeleyin ve eleman sayısını belirleyin.

M kümesinin elemanları şunlardır:

2

,

3

,

\{3\}

ve

\{2, 4\}

. Kümenin eleman sayısı

s(M) = 4

’tür.

Soruda verilen sembollerin doğruluğunu kontrol edebilmek için kümenin sınırları ve elemanları netleştirilmelidir.

2

Eleman sembolü (

\in

) ile alt küme sembolü (

\subset

) arasındaki kuralları uygulayın.

Bir

x

ögesi için

x \in M

ise bu elemanı içeren küme

\{x\} \subset M

olur. Eğer kümenin içindeki elemanın kendisi zaten süslü parantezliyse, alt küme oluştururken bir kat daha süslü parantez eklenmelidir.

Sembollerin doğru matematiksel mantığını kurarak seçeneklerin analizine zemin hazırlamak.

3

Doğru seçeneğin analizini yapın.

M kümesinin elemanlarından

2

ve

\{3\}

seçilerek yeni bir küme oluşturulduğunda bu küme

\{2, \{3\}\}

olur. Kümenin elemanları kullanılarak oluşturulan her yeni küme bir alt küme olduğundan,

\{2, \{3\}\} \subset M

ifadesi kesinlikle doğrudur.

Doğru cevabın matematiksel gerekçesini ortaya koymak.

Key Concept

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Kavramlarının Farkı

Estimated Time:1m 30s

Question 55Question →

Bir teknoloji mağazasında akıllı termostat ( $T$ ), akıllı kamera ( $K$ ) ve akıllı kilit ( $L$ ) ürünlerinden en az birini satın alan müşteriler arasında bir memnuniyet anketi yapılmıştır. Ankete katılan müşteriler ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca akıllı termostat satın alanların sayısı, akıllı kilit satın alanların toplam sayısına eşittir.
* Bu üç üründen en az ikisini satın alanların sayısı, yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısının $2$ katıdır.
* En çok bir ürün satın alanların sayısı, en az bir ürün satın alanların sayısının $\frac{2}{3}$ 'üdür.
* Yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısı, yalnızca akıllı kilit satın alanların sayısından $2$ fazladır.
* Her üç ürünü de satın alanların sayısı $6$ 'dır ve bu sayı yalnızca akıllı termostat ve akıllı kamera satın alanların sayısından $2$ fazladır.

Buna göre, bu ankete katılan toplam müşteri sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Ankete katılan toplam müşteri sayısı 48'dir.

Verilen oranlar ve bölge tanımlamaları doğrultusunda, tüm küme elemanları tek bir değişkene (yalnızca kamera satın alanların sayısı olan

b

değişkenine) indirgenmiştir. Buradan elde edilen

b = 8

değeriyle toplam müşteri sayısının

6b = 48

olduğu kesin olarak ispatlanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bölgeleri değişkenler kullanarak tanımlama

Müşterilerin aldıkları ürünlere göre küme bölgelerini belirleyelim:
- Yalnızca

T

satın alanlar:

a

- Yalnızca

K

satın alanlar:

b

- Yalnızca

L

satın alanlar:

c

- Yalnızca

T

ve

K

satın alanlar:

d

- Yalnızca

K

ve

L

satın alanlar:

e

- Yalnızca

T

ve

L

satın alanlar:

f

- Her üçünü de satın alanlar:

g = 6

Toplam müşteri sayısı

N = a + b + c + d + e + f + g

olur.

Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dökebilmek için küme bölgelerini harflendirmemiz gerekir.

2

Verilen oranları kullanarak toplam müşteri sayısı

N

ile yalnızca kamera alanların sayısı

b

arasındaki ilişkiyi kurma

En çok bir ürün alanların sayısı:

a + b + c

En az bir ürün alanların sayısı (toplam müşteri sayısı):

N

Verilen bilgiye göre:

a + b + c = \frac{2}{3} N

Bu durumda, en az iki ürün alanların sayısı:

d + e + f + g = \frac{1}{3} N \implies N = 3(d + e + f + g)

olur.
Diğer yandan, en az iki ürün alanların sayısı, yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısının

2

katı olduğundan:

d + e + f + g = 2b

yazılır.
Bu iki eşitliği birleştirdiğimizde:

\frac{1}{3} N = 2b \implies N = 6b

elde edilir.

Farklı bölge gruplarının oranlarını tek bir değişken (

b

) üzerinden ifade edebilmek için.

3

Tekli bölgeleri yalnızca kamera satın alanların sayısı

b

cinsinden ifade etme

Yalnızca kamera alanların sayısı (

b

), yalnızca kilit alanların sayısından (

c

)

2

fazla ise:

b = c + 2 \implies c = b - 2

olur.
En çok bir ürün alanların toplamı:

a + b + c = \frac{2}{3} N = \frac{2}{3}(6b) = 4b

dir.
Burada

c = b - 2

yazarsak:

a + b + (b - 2) = 4b \implies a + 2b - 2 = 4b \implies a = 2b + 2

elde edilir.

Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir değişkene bağlı denklem oluşturmak için.

4

Küme eşitliği ve kesişim bölgelerini düzenleme

Her üç ürünü de satın alanlar:

g = 6

kişi.
Bu sayı yalnızca

T

ve

K

alanlardan

2

fazla olduğundan:

6 = d + 2 \implies d = 4

kişi.
Yalnızca akıllı termostat satın alanların sayısı (

a

), akıllı kilit satın alanların toplam sayısına (

s(L) = c + e + f + g

) eşit olduğundan:

a = c + e + f + g

Bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:

2b + 2 = (b - 2) + e + f + 6 \implies 2b + 2 = b + 4 + e + f \implies e + f = b - 2

elde edilir.

Akıllı kilit satın alanların kümesinin tamamını hesaba katarak bilinmeyen kesişim bölgelerinin toplamını bulmak için.

5

Denklemleri birleştirip

b

ve

N

değerlerini hesaplama

En az iki ürün alanların toplamı formülünü kullanalım:

d + e + f + g = 2b

Bildiğimiz değerleri yerine yazalım (

d = 4

,

g = 6

,

e + f = b - 2

):

4 + (b - 2) + 6 = 2b \implies b + 8 = 2b \implies b = 8

bulunur.
Toplam müşteri sayısı ise:

N = 6b = 6 \times 8 = 48

olarak hesaplanır.

Tüm ara değerleri bir araya getirerek kesin sayısal sonucu elde etmek için.

Key Concept

Cebirsel Modelleme ile Üçlü Küme Problemlerinin Çözümü

Question 56Question →

$p$ : " $\sqrt{5}$ sayısı rasyonel bir sayıdır."
$q$ : " $2^0$ sayısı çift bir say��dır."
$r$ : " $3$ sayısı asal bir sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

r \Rightarrow (p \lor q)

(p \Leftrightarrow r) \land q'

(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \land r)

q \land (p \Rightarrow r)

(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)

Show answer & explanation

Answer: $(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)$

Answer

Doğruluk değeri 1 olan bileşik önerme, önermelerin sırasıyla sıfır olduğu durumda ise bağlacı ile birbirine bağlandığı seçenektir.

Doğruluk değerleri yerlerine yazıldığında,

(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)

önermesi

(0 \lor 0) \Rightarrow (0 \land 1) \equiv 0 \Rightarrow 0

haline gelir. İse bağlacının özelliğine göre sıfır ise sıfır önermesi 1'e denktir.

Step-by-Step Solution

1

Önermelerin doğruluk değerlerini belirleyin.

p \equiv 0

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 1

\sqrt{5}

irrasyonel bir sayıdır,

2^0 = 1

sayısı tektir ve

3

bir asal sayıdır.

2

Doğruluk değerlerini seçeneklerdeki önermelerde yerine yazarak kontrol edin.

Sadece

(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)

önermesinin doğruluk değeri 1 olur.

(0 \lor 0) \Rightarrow (0 \land 1) \equiv 0 \Rightarrow 0 \equiv 1

denkliği sağlanır.

Key Concept

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama

Question 57Question →

A = \{1, 2, 3, \dots, 100\}

kümesinin boş olmayan bir

B

alt kümesi için;
*

B_2 = \{x \in B \mid x \text{ çifttir}\}

*

B_3 = \{x \in B \mid x, 3 \text{ ile tam bölünür}\}

*

B_5 = \{x \in B \mid x, 5 \text{ ile tam bölünür}\}

alt kümeleri tanımlanıyor.

s(B_2 \cup B_3) = 48

s(B_3 \cup B_5) = 32

s(B_2 \cup B_5) = 42

s(B_2 \cap B_3 \cap B_5) = 3

olduğuna göre, $B$ kümesinin elemanlarından 2, 3 veya 5 sayılarından en az biri ile tam bölünenlerin toplam sayısı en fazla kaç olabilir?

52

55

57

59

61

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

En fazla 55 eleman olabilir.

Doğru yanıt 55'tir. Evrensel küme olan {1, 2, ..., 100} kümesinin elemanlarının bölünebilme özellikleri incelendiğinde, sadece 5 ile bölünüp 2 veya 3 ile bölünmeyen eleman sayısının (c) en fazla 7 olabileceği görülür. Buradan hareketle S - 48 = c <= 7 eşitsizliğinden birleşim kümesinin eleman sayısı en fazla 55 olarak bulunur. Bu değer için kümenin diğer alt bölge eleman sayıları da evrensel kümenin sınırları ile çelişmemektedir.

Step-by-Step Solution

1

Venn şemasındaki bölgeleri harflendirip denklemleri kuralım.

S = s(B_2 \cup B_3 \cup B_5)

olsun.

s(B_2 \cup B_3) = S - c = 48 \implies c = S - 48

s(B_3 \cup B_5) = S - a = 32 \implies a = S - 32

s(B_2 \cup B_5) = S - b = 42 \implies b = S - 42

Burada

a

,

b

,

c

sırasıyla sadece 2 ile, sadece 3 ile ve sadece 5 ile bölünen eleman sayılarıdır.

Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için her bir kümenin diğer ikisiyle kesişmeyen bağımsız bölgelerini tanımlamamız gerekir.

2

Birleşim kümesinin toplam eleman sayısını (

S

) veren denklemi d��zenleyelim.

S = a + b + c + d + e + f + g

Burada

d = s((B_2 \cap B_3) \setminus B_5)

,

e = s((B_3 \cap B_5) \setminus B_2)

,

f = s((B_2 \cap B_5) \setminus B_3)

ve

g = s(B_2 \cap B_3 \cap B_5) = 3

olarak verilmiştir.

S = (S - 32) + (S - 42) + (S - 48) + d + e + f + 3

S = 3S - 119 + d + e + f \implies 2S = 119 - (d + e + f)

elde edilir.

Venn şemasındaki tüm ayrık bölgelerin toplamı birleşim kümesinin eleman sayısını verir.

3

A = \{1, 2, 3, \dots, 100\}

evrensel kümesindeki sayıların bölünebilme özelliklerine göre sınırları belirleyelim.

c

, 5 ile bölünüp 2 veya 3 ile bölünmeyen sayıların sayısıdır.

A

kümesinde 5'in katı olup 2 veya 3'ün katı olmayan sayılar:

\{5, 25, 35, 55, 65, 85, 95\}

olmak üzere 7 tanedir. Dolayısıyla

c \le 7

olmalıdır.

c = S - 48 \le 7 \implies S \le 55

elde edilir.

Benzer şekilde:
*

b

(3 ile bölünüp 2 veya 5 ile bölünmeyenler): En fazla 14 tanedir (

b \le 14 \implies S - 42 \le 14 \implies S \le 56

).
*

a

(2 ile bölünüp 3 veya 5 ile bölünmeyenler): En fazla 27 tanedir (

a \le 27 \implies S - 32 \le 27 \implies S \le 59

).

Kümeler

A

kümesinin alt kümesi olduğundan, her bölgedeki eleman sayısı,

A

kümesinde o koşulu sağlayan maksimum eleman sayısını aşamaz.

4

Elde edilen sınırlar çerçevesinde

S

'in en büyük değerini doğrulayalım.

S \le 55

olmalıdır.

S = 55

için

2S = 119 - (d+e+f) \implies 110 = 119 - (d+e+f) \implies d+e+f = 9

olmalıdır.

A

kümesinde:
*

d

(6'nın katı olup 5'in katı olmayanlar) en fazla 13 tanedir.
*

e

(15'in katı olup çift olmayanlar) en fazla 3 tanedir.
*

f

(10'un katı olup 3'ün katı olmayanlar) en fazla 7 tanedir.

d+e+f = 9

olacak şekilde

d \le 13

,

e \le 3

,

f \le 7

koşullarına uygun negatif olmayan tam sayılar seçilebilir (örneğin

d=4, e=1, f=4

). Dolayısıyla en fazla 55 eleman olabilir.

Belirlenen en büyük

S

değeri için diğer alt bölgelerin eleman sayılarının tam sayı ve sıfırdan büyük ya da eşit olabildiği doğrulanmış olur.

Key Concept

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemleri ile eleman sayısı hesaplama

Estimated Time:3m 0s

Question 58Question →

Bir spor kulübünde basketbol oynayanların kümesi $B$ , voleybol oynayanların kümesi $V$ olarak tanımlanmaktadır. Bu kulüpte basketbol oynayan 14, voleybol oynayan 12 sporcu bulunmaktadır. Basketbol veya voleybol oynayan toplam sporcu sayısı 20 olduğuna göre, hem basketbol hem de voleybol oynayan sporcu sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Hem basketbol hem de voleybol oynayan sporcu sayısı 6'dır.

Kümelerde birleşim formülü olan

s(B \cup V) = s(B) + s(V) - s(B \cap V)

ifadesinde verilen değerler yerine konulduğunda

20 = 14 + 12 - s(B \cap V)

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten her iki sporu da yapanların sayısı 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısını veren temel formülün belirlenmesi.

s(B \cup V) = s(B) + s(V) - s(B \cap V)

Birleşim ve kesişim kümelerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için bu formül kullanılır.

2

Soruda verilen sayısal değerlerin formüldeki yerlerine yazılması.

20 = 14 + 12 - s(B \cap V)

Bilinmeyen olan kesişim kümesinin eleman sayısını (

s(B \cap V)

) bulabilmek için denklem oluşturulur.

3

Oluşturulan denklemin çözülmesi ve kesişim kümesinin eleman sayısının hesaplanması.

s(B \cap V) = 6

20 = 26 - s(B \cap V)

eşitliğinden bilinmeyen değer

s(B \cap V) = 26 - 20 = 6

olarak bulunur.

Key Concept

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişki

Question 59Question →

Bir araştırma merkezinde çalışan $45$ bilim insanının tamamı; Astrobiyoloji, Jeokimya ve Klimatoloji laboratuvarlarının en az birinde görev yapmaktadır.

Bu araştırmacılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Klimatoloji laboratuvarında çalışanların sayısı, Jeokimya laboratuvarında çalışanların sayısının $2$ katıdır.
* Sadece iki laboratuvarda çalışan araştırmacıların toplam sayısı, sadece bir laboratuvarda çalışan araştırmacıların toplam sayısının yarısıdır.
* Her üç laboratuvarda da çalışan araştırmacı sayısı, sadece Astrobiyoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısına eşittir.
* Astrobiyoloji laboratuvarında çalışıp Klimatoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı $12$ 'dir.
* Klimatoloji ve Jeokimya laboratuvarlarının her ikisinde de çalışıp Astrobiyoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı ile Astrobiyoloji ve Jeokimya laboratuvarlarının her ikisinde de çalışıp Klimatoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı birbirine eşittir.
* Laboratuvarların herhangi ikisinde çalışıp üçüncüsünde çalışmayan araştırmacı sayıları sıfırdan farklıdır.

Buna göre, bu araştırmacılardan kaç tanesi sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısı 14'tür.

Verilen sözel kısıtlar denklem sistemine döküldüğünde ve eleman sayılarının pozitif tam sayı olması ile kesişim bölgelerinin sıfırdan büyük olması şartları uygulandığında, tüm bölgelerin eleman sayıları benzersiz şekilde belirlenir. Bu doğrultuda sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısı 14 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bölgeleri harflendirerek toplam mevcut denklemini kurmak

Astrobiyoloji (

A

), Jeokimya (

J

) ve Klimatoloji (

K

) kümeleri için bölgeleri tanımlayalım: Sadece bir laboratuvarda çalışanlar

a, j, k

; sadece iki laboratuvarda çalışanlar

x, y, z

; her üçünde çalışanlar

t

olsun. Toplam mevcut:

a + j + k + x + y + z + t = 45

olur.

Soruda verilen küme ilişkilerini cebirsel olarak ifade edebilmek için.

2

Verilen oranları ve kısıtları denklemlerle eşleştirmek

a + j + k = 2(x + y + z)

olduğundan ana denklemde yerine yazılırsa:

3(x + y + z) + t = 45

elde edilir. Ayrıca,

t = a

,

a + x = 12 \implies x = 12 - t

ve

y = x \implies y = 12 - t

eşitlikleri bulunur.

Bilinmeyen sayısını azaltarak ortak bir denklem elde etmek için.

3

Elde edilen eşitlikleri ana denklemde yerine koyup sadeleştirmek

3(12 - t + 12 - t + z) + t = 45 \implies 3(24 - 2t + z) + t = 45 \implies 72 - 5t + 3z = 45 \implies 3z = 5t - 27

bağıntısı elde edilir.

z

ve

t

değişkenleri arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için.

4

Tam sayı ve pozitiflik kısıtlarını kullanarak tekil çözümü bulmak

Herhangi iki laboratuvarda çalışanların sayısı sıfırdan farklı olduğu için

x = 12 - t > 0 \implies t < 12

ve

z = \frac{5t-27}{3} > 0 \implies t > 5.4

olmalıdır. Bu aralıkta (

6 \le t \le 11

)

5t - 27

ifadesini 3'ün katı yapan tek değer

t = 9

'dur. Buradan

a = 9

,

x = 3

,

y = 3

,

z = 6

bulunur.

Kümelerin eleman sayılarının pozitif tam sayı olma kısıtını uygulamak için.

5

Kalan değişkenler için iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek

a + j + k = 2(x + y + z) \implies 9 + j + k = 24 \implies j + k = 15

olur. Klimatoloji çalışanları (

k + y + z + t

), Jeokimya çalışanlarının (

j + x + y + t

) 2 katı olduğundan:

k + 3 + 6 + 9 = 2(j + 3 + 3 + 9) \implies k + 18 = 2j + 30 \implies k - 2j = 12

elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden

j = 1

ve

k = 14

bulunur.

İstenen sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışanların sayısına (

k

) ulaşmak için.

Key Concept

Küme problemlerinde alt küme bölgelerinin harflendirilerek denklem sistemine dönüştürülmesi ve tam sayı kısıtları altında çözülmesi.

Question 60Question →

Bir yaz kampında bulunan 25 çocuğun her biri okçuluk veya yüzme kurslarından en az birine katılmıştır. Bu kampta okçuluk kursuna katılan çocuk sayısı, yüzme kursuna katılan çocuk sayısının 2 katıdır.

Her iki kursa da katılan çocuk sayısı 5 olduğuna göre, sadece okçuluk kursuna katılan çocuk sayısı kaçtır?

5

10

15

20

25

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Sadece okçuluk kursuna katılan çocuk sayısı 15'tir.

Sadece okçuluk kursuna katılanların sayısı 15, sadece yüzme kursuna katılanların sayısı 5 ve her iki kursa katılanların sayısı 5 alındığında toplam çocuk sayısı 25 olmaktadır. Ayrıca okçuluk kursuna katılan toplam kişi sayısı 15 + 5 = 20, yüzme kursuna katılan toplam kişi sayısı 5 + 5 = 10 olup, okçuluk kursuna katılanlar yüzme kursuna katılanların tam 2 katıdır. Bu durum tüm koşulları sağladığı için doğru cevap 15'tir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımlama

Okçuluk kursuna katılanların kümesi

O

, yüzme kursuna katılanların kümesi

Y

olsun. Sadece okçuluk kursuna katılan çocuk sayısı

x

, sadece yüzme kursuna katılan çocuk sayısı

y

ve her iki kursa da katılan çocuk sayısı ise

s(O \cap Y) = 5

olarak verilir.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için uygun değişkenler belirlenir.

2

Toplam çocuk sayısına göre denklem kurma

Kamptaki her çocuk en az bir kursa katıldığı için toplam çocuk sayısı:

x + y + 5 = 25 \implies x + y = 20

olur.

Kamptaki tüm çocukların birleşim kümesinin eleman sayısı olduğu bilgisi kullanılır.

3

Kurs katılım oranlarına göre ikinci denklemi kurma ve çözme

Okçuluk kursuna katılan toplam çocuk sayısı

s(O) = x + 5

, yüzme kursuna katılan toplam çocuk sayısı

s(Y) = y + 5

olur. Soruda

s(O) = 2 \cdot s(Y)

olarak verildiğinden:

x + 5 = 2(y + 5) \implies x + 5 = 2y + 10 \implies x - 2y = 5

elde edilir.

Okçuluk kursuna katılanların sayısının, yüzme kursuna katılanların sayısının 2 katı olduğu bilgisi kullanılarak ikinci bağıntı kurulur.

4

Denklem sistemini çözerek istenen değeri bulma

x + y = 20

ve

x - 2y = 5

denklemleri ortak çözülür. İlk denklemden ikinci denklem çıkarılırsa:

3y = 15 \implies y = 5

bulunur. Buradan

x = 20 - 5 = 15

elde edilir.

Sadece okçuluk kursuna katılanların sayısı olan

x

değerine ulaşılır.

Key Concept

İki kümenin birleşim, kesişim ve fark işlemlerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Estimated Time:1m 0s

Kümeler ve Mantık

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution