Sayı Problemleri Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 11

Question 201Question →

Bir kargo firmasının deposunda küçük ve büyük boy olmak üzere toplam $80$ adet boş kutu bulunmaktadır. Küçük boy kutuların her birine en fazla $6$ kg, büyük boy kutuların her birine ise en fazla $15$ kg ağırlığında ürün konulabilmektedir. Bu depodaki kutuların bir kısmı, her kutu tamamen dolacak şekilde toplam $540$ kg ağırlığındaki ürünlerle dolduruluyor.

Doldurma i��lemi tamamlandığında;
* Doldurulan büyük boy kutu sayısı, doldurulan küçük boy kutu sayısından $8$ fazladır.
* Depoda boş kalan küçük boy kutu sayısı, boş kalan büyük boy kutu sayısının $3$ katıdır.

Buna göre, başlangıçta depoda bulunan büyük boy kutu sayısı kaçtır?

28

36

44

48

52

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Başlangıçta depoda bulunan büyük boy kutu sayısı 36'dır.

Doldurulan toplam kutu ağırlığı denkleminden dolu büyük boy kutu sayısı 28, dolu küçük boy kutu sayısı 20 bulunur. Toplam 80 kutunun 48'i dolu olduğundan geriye kalan 32 boş kutunun oran ilişkisinden 8 tanesinin büyük boy boş kutu olduğu hesaplanır. Dolu ve boş büyük boy kutular toplandığında 36 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Doldurulan küçük ve büyük boy kutu sayılarını belirlemek için denklem kurma

Doldurulan küçük boy kutu sayısı

20

, büyük boy kutu sayısı

28

'dir.

Doldurulan küçük boy kutu sayısına

x

dersek, doldurulan büyük boy kutu sayısı

x + 8

olur. Toplam ürün ağırlığı

6x + 15(x + 8) = 540

denklemi ile gösterilir. Buradan

21x + 120 = 540 \implies 21x = 420 \implies x = 20

bulunur. Büyük boy kutu sayısı

20 + 8 = 28

olur.

2

Boş kalan toplam kutu sayısını bulma

Boş kalan toplam kutu sayısı

32

'dir.

Depoda başlangıçta toplam

80

kutu vardı. Doldurulan toplam kutu sayısı

20 + 28 = 48

olduğuna göre, geriye kalan boş kutu sayısı

80 - 48 = 32

olarak hesaplanır.

3

Oran bilgisini kullanarak boş kalan büyük boy kutu sayısını bulma

Boş kalan büyük boy kutu sayısı

8

'dir.

Boş kalan büyük boy kutu sayısına

y

dersek, boş kalan küçük boy kutu sayısı

3y

olur. Toplam boş kutu sayısı

y + 3y = 32 \implies 4y = 32 \implies y = 8

olarak bulunur.

4

Başlangıçtaki toplam büyük boy kutu sayısını hesaplama

Başlangıçtaki büyük boy kutu sayısı

36

'dır.

Doldurulan büyük boy kutu sayısı (

28

) ile boş kalan büyük boy kutu sayısı (

8

) toplanarak depodaki toplam büyük boy kutu sayısı

28 + 8 = 36

olarak elde edilir.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri ve oran-orantı mantığı ile sayı problemlerini modelleme.

Alternative Method

Büyük boy kutuların tamamının dolu olduğu varsayılarak toplam ağırlıktan geriye kalan fark üzerinden de gidilebilir; ancak doğrudan denklem kurup adım adım boş/dolu ayrımı yapmak en güvenli çözüm yoludur.

Estimated Time:2m 0s

Question 202Question →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda AC (yavaş) ve DC (hızlı) olmak üzere iki farklı tipte toplam $24$ adet şarj ünitesi bulunmaktadır.

* AC şarj ünitesini kullanan bir aracın bataryası $45$ dakikada tamamen dolmaktadır.
* DC şarj ünitesini kullanan bir aracın bataryası ise $15$ dakikada tamamen dolmaktadır.

Bu istasyondaki tüm şarj üniteleri boş ve tam kapasite çalışır durumdayken, aynı anda birer aracın şarj işlemine başlanmıştır. Şarjı biten aracın yerine hiç zaman kaybetmeden yeni bir araç şarj edilmeye başlanmıştır.

$45$ dakikalık süre sonunda bu ünitelerde toplam $56$ aracın bataryası tamamen doldurulduğuna göre, istasyondaki DC şarj ünitesi sayısı kaçtır?

8

12

14

16

18

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İstasyondaki DC şarj ünitesi sayısı 16'dır.

Doğru yanıt olan 16 değerine ulaşmak için öncelikle ünitelerin 45 dakikalık sürede kaçar araç şarj edebileceği belirlenmelidir. AC ünitesi 45 dakikada 1 araç doldururken, DC ünitesi 15 dakikada bir araç doldurduğundan 45 dakikada 3 araç doldurur. Toplam ünite sayısı 24 olduğundan AC ünitesi sayısına x, DC ünitesi sayısına y denirse x + y = 24 denklemi elde edilir. Toplam şarj edilen araç sayısı 56 olduğundan x + 3y = 56 denklemi kurulur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde 2y = 32 ve buradan y = 16 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

��nitelerin 45 dakikada şarj edebileceği araç sayılarını belirleme.

AC ünitesi 45 dakikada 1 araç şarj eder. DC ünitesi 15 dakikada 1 araç şarj ettiğinden 45 dakikada 45/15 = 3 araç şarj eder.

Toplam araç sayısını ünite sayıları cinsinden ifade edebilmek için her bir ünite tipinin belirtilen süredeki kapasitesi bulunmalıdır.

2

Ünite sayılarına göre denklem sistemini kurma.

AC ünitesi sayısı x, DC ünitesi sayısı y olsun. Toplam ünite sayısı: x + y = 24. Toplam şarj edilen araç sayısı: x + 3y = 56.

Soruda verilen toplam ünite sayısı ve toplam şarj edilen araç sayısı bilgileri iki bilinmeyenli iki denklem oluşturur.

3

Kurulan denklem sistemini çözerek y (DC ünitesi sayısı) değerini bulma.

İkinci denklemden birinci denklem çıkarılırsa: (x + 3y) - (x + y) = 56 - 24 => 2y = 32 => y = 16 bulunur.

Yok etme metodu kullanılarak doğrudan istenen değişken olan DC ünitesi sayısı elde edilir.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerini modelleme ve çözme.

Question 203Question →

Bir kargo dağıtım merkezinde bulunan A, B ve C taşıma konteynerlerine; ağırlıkları $4$ kg, $6$ kg ve $10$ kg olan paketler yerleştirilecektir. Konteynerlerin kapasiteleri ve içerebilecekleri paketlerin ağırlıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Konteyner	Kapasite (Paket Sayısı)	Yerleştirilecek Paket Ağırlıkları
A	$45$	$4$ kg ve $6$ kg
B	$60$	$6$ kg ve $10$ kg
C	$75$	$4$ kg ve $10$ kg

Bu yerleştirme işlemiyle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
- Her üç konteyner de tamamen doldurulacaktır.
- Konteynerlere yerleştirilen $4$ kg'lık toplam paket sayısı, $10$ kg'lık toplam paket sayısının $2$ katıdır.
- B konteynerine yerleştirilen $6$ kg'lık paket sayısı, A konteynerine yerleştirilen $6$ kg'lık paket sayısının $2$ katıdır.
- B konteynerindeki paketlerin toplam ağırlığı $400$ kg'dır.

Buna göre, C konteynerine yerleştirilen $4$ kg'lık paket sayısı kaçtır?

15

25

35

50

70

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

C konteynerine yerleştirilen 4 kg'lık paket sayısı 50'dir.

B konteynerindeki ağırlık denklemi (

6b_6 + 10b_{10} = 400

) ve kapasite denklemi (

b_6 + b_{10} = 60

) çözüldüğünde

b_{10} = 10

ve

b_6 = 50

bulunur. Buradan A konteynerindeki 6 kg'lık paket sayısı

a_6 = 25

ve 4 kg'lık paket sayısı

a_4 = 20

olarak elde edilir. Toplam 4 kg'lık ve 10 kg'lık paketler arasındaki oran kullanılarak

c_4 = 2c_{10}

ilişkisi bulunur. C konteynerinin kapasitesi olan

c_4 + c_{10} = 75

denkleminde yerine yazıldığında

c_4 = 50

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

B konteynerindeki paketlerin sayısını ve ağırlıklarını veren denklemleri kurup çözerek B'deki paket dağılımını bulun.

B konteynerindeki 10 kg'lık paket sayısı 10 adet, 6 kg'lık paket sayısı ise 50 adettir.

B'nin kapasitesi 60 olup, yalnızca 6 kg ve 10 kg'lık paketler bulundurmaktadır. Toplam ağırlık 400 kg olduğundan,

6 \times b_6 + 10 \times b_{10} = 400

ve

b_6 + b_{10} = 60

denklem sistemi çözüldüğünde

4 \times b_{10} = 40 \implies b_{10} = 10

ve

b_6 = 50

elde edilir.

2

A ve B konteynerlerindeki 6 kg'lık paket sayıları arasındaki ilişkiden yararlanarak A konteynerindeki paket da��ılımını belirleyin.

A konteynerindeki 6 kg'lık paket sayısı 25 adet, 4 kg'lık paket sayısı ise 20 adettir.

B'deki 6 kg'lık paket sayısı (

50

), A'dakinin 2 katı olduğuna göre A'da

50 / 2 = 25

adet 6 kg'lık paket vardır. A'nın toplam kapasitesi 45 olduğundan, 4 kg'lık paket sayısı

45 - 25 = 20

adettir.

3

4 kg ve 10 kg'lık toplam paket sayıları arasındaki 2 kat ilişkisini kullanarak C konteynerindeki paket sayılarını belirlemek için denklem kurun.

C konteynerindeki 4 kg'lık paket sayısı 50 adet, 10 kg'lık paket sayısı ise 25 adettir.

Toplam 4 kg'lık paket sayısı

20 + c_4

, toplam 10 kg'lık paket sayısı

10 + c_{10}

'dur. Verilen orana göre

20 + c_4 = 2(10 + c_{10}) \implies c_4 = 2c_{10}

elde edilir. C'nin toplam kapasitesi 75 olduğundan,

c_4 + c_{10} = 75 \implies 2c_{10} + c_{10} = 75 \implies 3c_{10} = 75 \implies c_{10} = 25

ve

c_4 = 50

bulunur.

Key Concept

Doğrusal denklem sistemleri kurarak çok değişkenli sayı problemlerini adım adım çözme.

Estimated Time:2m 30s

Question 204Question →

Bir kırtasiyede A ve B kategorilerindeki kitaplar için aşağıdaki gibi iki farklı kampanya düzenlenmiştir:

* A kategorisinden satın alınan (ücreti ödenen) her $3$ kitap için $1$ kitap hediye edilmektedir.
* B kategorisinden satın alınan (ücreti ödenen) her $2$ kitap için $1$ kitap hediye edilmektedir.

Bu kırtasiyeden A ve B kategorilerinden kitap alan bir müşteri, toplam $22$ kitabın ücretini ödemiş ve bu alışverişten toplam $8$ kitap hediye kazanmıştır.

Buna göre, bu müşterinin A kategorisinden aldığı toplam kitap sayısı (satın alınan ve hediye edilenler dahil) kaçtır?

8

12

24

18

16

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

A kategorisinden alınan toplam kitap sayısı 24'tür.

Verilen bilgilere göre kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde, A kategorisi kampanyasının 6 kez uygulandığı tespit edilir. Her bir kampanya döngüsü 3 adet satın alınan ve 1 adet hediye kitap olmak üzere toplam 4 kitaptan oluştuğu için, A kategorisinden alınan toplam kitap sayısı 24'tür.

Step-by-Step Solution

1

A ve B kategorilerindeki kampanyalardan yararlanma sayılarını tanımlayalım.

A kampanyasının uygulanma sayısı

a

, B kampanyasının uygulanma sayısı

b

olsun. Buna göre, A kategorisinden satın alınan kitap sayısı

3a

, hediye kitap sayısı

a

; B kategorisinden satın alınan kitap sayısı

2b

, hediye kitap sayısı

b

olur.

Verilen bilgileri matematiksel ifadelere dönüştürerek denklem kurabilmek için değişkenleri tanımlar��z.

2

Satın alınan ve hediye edilen kitap sayılarına göre denklem sistemini oluşturalım.

Satın alınan (ücreti ödenen) kitap sayısı:

3a + 2b = 22

Hediye edilen kitap sayısı:

a + b = 8

Soruda verilen toplam satın alınan kitap ve hediye kitap sayılarını denkleştirip ortak çözüm yapmak için.

3

Denklem sistemini çözerek

a

değerini bulalım.

a + b = 8

denklemini

2

ile çarparsak

2a + 2b = 16

elde edilir. Bu denklemi ilk denklemden çıkardığımızda:

(3a + 2b) - (2a + 2b) = 22 - 16 \implies a = 6

bulunur.

A kategorisine ait kitap sayısına ulaşmak amacıyla bu kategorideki kampanya döngüsü sayısını bulmak için.

4

A kategorisinden alınan toplam kitap sayısını hesaplayalım.

A kategorisinden alınan toplam kitap sayısı

3a + a = 4a

olduğundan,

4 \times 6 = 24

olarak bulunur.

Soruda istenen satın alınan ve hediye edilen A kategorisi kitaplarının toplamını bulmak için.

Key Concept

Sayı Problemleri (Kampanya ve Denklem Kurma Problemleri)

Question 205Question →

Bir bankada gişe işlemleri için sıra alan Ahmet'in sıra numarası iki basamaklı $ab$ doğal sayısı, Mehmet'in sıra numarası ise iki basamaklı $ba$ doğal sayısıdır.

Ahmet, sırasını Mehmet'ten sonra aldığına göre Ahmet'in sıra numarası daha büyüktür.

Ahmet ve Mehmet'in sıra numaraları arasındaki fark, Ahmet'in sıra numarasının rakamları toplamının $5$ katına eşittir.

Buna göre, Ahmet'in sıra numarası kaçtır?

27

62

72

83

90

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Ahmet'in sıra numarası 72'dir.

Ahmet'in sıra numarası Mehmet'inkinden büyük olduğu için

ab > ba \implies a > b

olmalıdır. İki sayının farkı

ab - ba = 9(a-b)

olarak çözümlenir. Soruda verilen eşitlikten

9(a-b) = 5(a+b) \implies 2a = 7b

elde edilir.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olmak zorunda olduğundan bu eşitliği sadece

a=7

ve

b=2

değerleri sağlar. Bu durumda Ahmet'in sıra numarası 72 olur.

Step-by-Step Solution

1

Ahmet ve Mehmet'in sıra numaralarını basamak çözümlemesi kullanarak yazma ve farklarını bulma.

Ahmet'in sıra numarası

ab = 10a + b

, Mehmet'in sıra numarası

ba = 10b + a

ve aralarındaki fark

ab - ba = 9(a - b)

olur.

Sayılar arasındaki matematiksel ilişkiyi basamak değerleri cinsinden ifade etmek için.

2

Verilen eşitliği kurma ve sadeleştirme.

9(a - b) = 5(a + b) \implies 9a - 9b = 5a + 5b \implies 4a = 14b \implies 2a = 7b

eşitliği elde edilir.

Ahmet'in sıra numarasının rakamları toplamının 5 katı ile farkın eşitliğini kullanmak için.

3

2a = 7b

eşitliğini sağlayan rakamları belirleme ve iki basamaklı sayı şartlarını kontrol etme.

a

ve

b

sıfırdan farklı birer rakam olmak zorunda olduğundan tek çözüm

a = 7

ve

b = 2

olur. Buradan Ahmet'in sıra numarası

ab = 72

olarak bulunur.

Ahmet'in sıra numarası daha büyük (

ab > ba \implies a > b

) ve her iki sayı da iki basamaklı olduğu için sıfırdan farklı rakamlar seçilmelidir.

Key Concept

Basamak analizi yardımıyla sayı problemleri kurma ve çözme

Estimated Time:2m 0s

Question 206Question →

Bir yazılım şirketinde çalışan mühendislerin sayısı iki basamaklı $ab$ sayısı, tasarımcıların sayısı ise iki basamaklı $ba$ sayısıdır. Bu şirkette çalışan mühendis ve tasarımcıların toplam sayısı 66'dır.

Tasarımcıların sayısı mühendislerin sayısından fazla olduğuna göre, bu çalışanların A ve B projelerindeki görevleri ve haftalık çalışma süreleri hakkında şunlar bilinmektedir:

* Şirketteki tüm mühendisler hem A hem de B projesinde görev almıştır.
* Tasarımcıların bir kısmı sadece A projesinde, geri kalanları ise sadece B projesinde görev almıştır.
* A projesinde görev alan her bir mühendis haftalık 10 saat, her bir tasarımcı ise haftalık 15 saat çalışmıştır.
* B projesinde görev alan her bir mühendis haftalık 8 saat, her bir tasarımcı ise haftalık 12 saat çalışmıştır.
* A projesindeki toplam haftalık çalışma süresi, B projesindeki toplam haftalık çalışma süresinden 30 saat fazladır.

Buna göre, bu şirkette sadece A projesinde çalışan tasarımcı sayısı kaçtır?

4

8

18

22

24

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Sadece A projesinde ��alışan tasarımcı sayısı 18'dir.

Doğru seçenekte belirtilen 18 değeri, basamak çözümlemesi ve çalışma sürelerine ait denklemlerin pozitif tam sayılar kümesindeki tek ortak çözümü olan

M = 24

,

D = 42

durumundan elde edilir. Bu durumda A projesindeki tasarımcı sayısı 18, B projesindeki ise 24 olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Mühendis ve tasarımcı sayılarını iki basamaklı sayılar olarak tanımlayıp toplam çalışan sayısından yararlanarak rakamlar arasındaki ilişkiyi bulma.

a + b = 6

elde edilir.

Mühendislerin sayısı

M = ab = 10a + b

ve tasarımcıların sayısı

D = ba = 10b + a

olarak yazıldığında, toplam çalışan sayısı

M + D = (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b) = 66 \implies a + b = 6

olur.

2

Tasarımcı sayısının mühendis sayısından fazla olması koşulunu kullanarak uygun rakam ikililerini belirleme.

(a, b)

ikilisi

(1, 5)

veya

(2, 4)

olabilir. Bu durumda

(M, D)

çifti sırasıyla

(15, 51)

veya

(24, 42)

olur.

D > M \implies ba > ab \implies 10b + a > 10a + b \implies b > a

olmalıdır.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olduğundan,

a+b = 6

ve

b > a

koşulunu sağlayan durumlar incelenir.

3

Haftalık çalışma sürelerini kullanarak projelerdeki tasarımcı sayıları için genel denklemi kurma.

2M + 27D_A - 12D = 30

denklemi elde edilir.

A projesinde çalışan tasarımcı sayısı

D_A

olsun. Bu durumda B projesinde çalışan tasarımcı sayısı

D_B = D - D_A

olur. Projelerin toplam çalışma süreleri farkı

T_A - T_B = (10M + 15D_A) - (8M + 12D_B) = 30 \implies 2M + 15D_A - 12(D - D_A) = 30

denklemini verir.

4

Belirlenen

(M, D)

durumlarını denklemde yerine yazarak çalışan sayılarının tam sayı olma koşulunu kontrol etme.

M = 24, D = 42

için

D_A = 18

tam sayı çözümü bulunur. Diğer durum olan

M = 15, D = 51

için

D_A \approx 22.67

tam sayı çıkmaz.

Kişi sayısı tam sayı olmak zorunda olduğundan, yalnızca

D_A = 18

değeri geçerli bir çözümdür.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi ile tam sayı sınırlarının analizi.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan denemek yerine, toplam çalışan sayısının 66 olmasından yola çıkıp basamak analizi ile mühendis (

ab

) ve tasarımcı (

ba

) sayıları için olası durumları (

15-51

,

24-42

) listeleyerek ve her iki durum için de haftalık çalışma saatlerini test ederek hızlıca sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 207Question →

Bir lojistik deposunda bulunan A ve B tipi kolilerin sayıları sırasıyla 3 ve 4 ile ters orantılıdır. Bu depoda bulunan toplam koli sayısı 56'dır. Ayrıca kolilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A tipi kolilerin her birinin ağırlığı, B tipi kolilerin her birinin ağırlığından 7 kg fazladır.
* Depodaki tüm kolilerin toplam ağırlığı 840 kg'dır.

Buna göre, bir adet B tipi kolinin ağırlığı kaç kg'dır?

8

11

12

18

19

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

B tipi bir kolinin ağırlığı 11 kg'dır.

B tipi bir kolinin ağırlığı

x

olarak tanımlandığında, A tipi kolilerin her birinin ağırlığı

x+7

olur. Kolilerin sayıları sırasıyla 3 ve 4 ile ters orantılı olduğundan, A tipi kolilerin sayısı 32, B tipi kolilerin sayısı ise 24'tür. Bu değerler kullanılarak yazılan toplam ağırlık denklemi

32(x+7) + 24x = 840

olur. Denklem çözüldüğünde

56x = 616

ve

x=11

kg elde edilir. Bu nedenle 11 kg değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

A ve B tipi kolilerin sayılarını belirlemek için ters oranti denklemini kurmak.

A tipi kolilerin sayısı

N_A = 4k

ve B tipi kolilerin sayısı

N_B = 3k

olur.

Sayılar sıras��yla 3 ve 4 ile ters orantılı olduğundan

3 \times N_A = 4 \times N_B

bağıntısı geçerlidir.

2

Toplam koli sayısı bilgisini kullanarak orantı sabitini (

k

) bulmak.

4k + 3k = 56 \Rightarrow 7k = 56 \Rightarrow k = 8

olarak bulunur. Buradan koli sayıları

N_A = 32

ve

N_B = 24

olur.

Depodaki toplam koli sayısı 56 olarak verilmiştir.

3

Kolilerin ağırlık ilişkisini ve toplam ağırlığı veren denklemi kurup çözmek.

B tipi bir kolinin ağırlığı

x

kg ise A tipi bir kolinin ağırlığı

x + 7

kg olur. Ağırlık denklemi:

32(x + 7) + 24x = 840 \Rightarrow 32x + 224 + 24x = 840 \Rightarrow 56x = 616 \Rightarrow x = 11

kg bulunur.

Toplam ağırlık 840 kg'dır ve A tipi kolilerin ağırlığı B tipinden 7 kg fazladır.

Key Concept

Ters orantı kuralları yardımıyla değişken sayısını azaltma ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözme.

Estimated Time:2m 0s

Question 208Question →

Bir matbaada basılan bir kitabın iki farklı sürümüne ait bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kitap Sürümü	Basım Adedi (Adet)	Birim Baskı Maliyeti (TL)
A serisi	$ab$	8
B serisi	$ba$	15

Burada $ab$ ve $ba$ iki basamaklı doğal sayılardır.

A serisi kitapların toplam baskı maliyeti, B serisi kitapların toplam baskı maliyetinden fazla olduğuna göre, bu iki sürümden basılan toplam kitap sayısı en fazla kaçtır?

110

132

143

154

198

Show answer & explanation

Answer: 143

Answer

143

Kitapların adetleri

ab

ve

ba

olarak çözümlendiğinde toplam maliyet ilişkisi

8(10a+b) > 15(10b+a)

olur. Bu eşitsizlik sadeleştirildiğinde

65a > 142b

elde edilir. Toplam kitap sayısı

11(a+b)

ifadesine eşittir ve bu toplamı en büyük yapmak için

a+b

toplamı en yüksek seçilmelidir.

a

ve

b

birer rakam olduğu için

b=4

seçildiğinde

a

en fazla

9

olabilir. Bu durumda

a+b = 13

olur ve toplam kitap sayısı en fazla

11 \times 13 = 143

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kitap adetlerini temsil eden iki basamaklı sayıları basamak çözümlemesi kullanarak yazalım.

ab = 10a + b

ve

ba = 10b + a

Maliyet hesaplamalarında kullanabilmek için sayıları çözümlenmiş halde ifade etmeliyiz.

2

A ve B serisi kitapların toplam maliyetlerini veren eşitsizliği kuralım.

8 \times (10a + b) > 15 \times (10b + a)

A serisinin toplam maliyetinin B serisinden fazla olduğu belirtilmiştir.

3

Eşitsizlikteki parantezleri dağıtıp benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştirelim.

80a + 8b > 150b + 15a \implies 65a > 142b

a

ve

b

değişkenleri arasındaki temel ilişkiyi bulmak için.

4

a

ve

b

birer sıfırdan farklı rakam olduğundan, bu eşitsizliği sağlayan en büyük

a+b

toplamını bulalım.

b = 4

için

65a > 568 \implies a = 9

olur. Buradan

a+b = 13

elde edilir.

b = 5

için

65a > 710

olur ki bu durumda en büyük rakam olan

a = 9

bile eşitsizliği sağlamaz.

5

Basılan toplam kitap sayısını hesaplayalım.

ab + ba = 11(a + b) = 11 \times 13 = 143

En büyük toplam kitap adedine ulaşmak için.

Key Concept

Sayı basamakları çözümlemesi ve birinci dereceden eşitsizlik içeren sayı problemleri

Estimated Time:2m 0s

Question 209Question →

Bir şehirdeki paylaşımlı bisiklet sisteminde kullanıcılara iki farklı tarife seçeneği sunulmaktadır:

* Klasik Tarife: Bisikletin kilidini açmak için $3\text{ TL}$ ve bisikletin kullanıldığı her dakika için $0,5\text{ TL}$ ücret alınmaktadır.
* Avantajlı Tarife: Aylık $45\text{ TL}$ sabit abonelik ücreti ödenmekte ve bu tarifede bisikletin kilidini açmak için ücret alınmayıp, bisikletin kullanıldığı her dakika için $0,2\text{ TL}$ ücret alınmaktadır.

Bir ay boyunca bu bisiklet sistemini $N$ kez kullanan ve toplamda $120$ dakika bisiklet süren bir kullanıcının, Avantajlı Tarife yerine Klasik Tarife'yi seçmiş olması durumunda ödeyeceği toplam ücretin daha az olacağı hesaplanmıştır.

Buna göre, bu kullanıcının bisikleti kiralama sayısı $N$ en fazla kaçtır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Kullanıcının bisikleti kiralama sayısı en fazla 2 olabilir.

Avantajlı Tarife'nin toplam maliyeti

45 + 120 \times 0,2 = 69\text{ TL}

'dir. Klasik Tarife'nin maliyeti ise kiralama sayısı

N

olmak üzere

3N + 120 \times 0,5 = 3N + 60\text{ TL}

şeklinde yazılır. Klasik Tarife'nin daha ucuz olması beklendiğinden

3N + 60 < 69

eşitsizliğinden

3N < 9

ve buradan da

N < 3

elde edilir. Bu koşula uyan en büyük tam sayı değeri 2 olduğundan doğru cevap 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Avantajlı Tarife seçildiğinde ödenecek aylık toplam ücreti hesaplayın.

45 + 120 \times 0,2 = 45 + 24 = 69\text{ TL}

Kullanıcının Avantajlı Tarife'deki sabit ve dakika başına ödeyeceği toplam tutarı belirlemek için.

2

Klasik Tarife seçildiğinde ödenecek aylık toplam ücreti kiralama sayısı olan

N

cinsinden ifade edin.

3N + 120 \times 0,5 = 3N + 60\text{ TL}

Klasik Tarife'deki kilit açma ücreti kiralama sayısı olan

N

ile, dakika ücreti ise toplam süre ile çarpılmalıdır.

3

Klasik Tarife ücretinin Avantajlı Tarife ücretinden daha az olmasını sağlayan eşitsizliği kurun ve çözün.

3N + 60 < 69 \implies 3N < 9 \implies N < 3

Klasik Tarife'nin daha ucuz olacağı belirtildiği için strict (kesin) küçüktür eşitsizliği kurulur.

4

N

kiralama sayısının pozitif bir tam sayı olması gerektiğini dikkate alarak en büyük

N

değerini belirleyin.

N < 3

koşulunu sağlayan en büyük tam sayı değeri 2'dir.

Kiralama işlemi yarım veya küsuratlı olamayacağından kiralama sayısı tam sayı olmalıdır.

Key Concept

Sayı Problemleri ve Birinci Dereceden Eşitsizlik Kurma

Estimated Time:2m 0s

Question 210Question →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda A ve B olmak üzere iki farklı tip şarj ünitesi bulunmaktadır. Bu ünitelerin saatlik enerji aktarım miktarları ve bir günde kaçar saat çalıştırıldıkları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Şarj Ünitesi Tipi	Saatlik Enerji Aktarımı ( $\text{kWh}$ )	Günlük Çalışma Süresi (Saat)
A	$15$	$8$
B	$25$	$6$

İstasyonda toplam $18$ adet şarj ünitesi bulunmaktadır. Bir günün sonunda B tipi ünitelerin tümünden aktarılan toplam elektrik enerjisi, A tipi ünitelerin tümünden aktarılan toplam elektrik enerjisinden $540\text{ kWh}$ daha fazladır.

Buna göre, bu istasyondaki A tipi şarj ünitesi sayısı kaçtır?

6

8

10

12

14

Show answer & explanation

Answer: $8$

Answer

A tipi şarj ünitesi sayısı

8

'dir.

A tipi şarj ünitesi sayısının

8

olması durumunda, B tipi şarj ünitesi sayısı

10

olur. Bu durumda A tipi ünitelerden aktarılan toplam elektrik enerjisi

8 \times 120 = 960\text{ kWh}

ve B tipi ünitelerden aktarılan toplam elektrik enerjisi

10 \times 150 = 1500\text{ kWh}

olur. İki grup arasındaki enerji farkı

1500 - 960 = 540\text{ kWh}

olarak elde edilir ve soruda verilen tüm koşullar sağlanmış olur.

Step-by-Step Solution

1

A ve B tipi ünitelerin birer tanesinin bir günde aktardığı toplam enerji miktarı hesaplanır.

Bir adet A tipi ünitenin günlük aktardığı enerji:

15 \times 8 = 120\text{ kWh}

. Bir adet B tipi ünitenin günlük aktardığı enerji:

25 \times 6 = 150\text{ kWh}

olur.

Her bir ünitenin günlük enerji üretimini bulmak, toplam enerji farkını veren denklemi kurmak için gereklidir.

2

Ünite sayıları için değişken tanımlanarak toplam enerji farkı denklemi kurulur.

A tipi ünite sayısı

x

ise, toplam

18

ünite olduğu için B tipi ünite sayısı

18 - x

olur. Toplam enerji farkı denklemi:

150(18 - x) - 120x = 540

şeklindedir.

Soruda B tipi ünitelerden aktarılan enerjinin A tipi ünitelerden

540\text{ kWh}

fazla olduğu belirtilmiştir.

3

Denklem çözülerek A tipi ünite sayısı (

x

) bulunur.

2700 - 150x - 120x = 540 \implies 2700 - 270x = 540 \implies 270x = 2160 \implies x = 8

olarak bulunur.

Denklemin çözülmesiyle doğrudan aranan A tipi şarj ünitesi sayısı elde edilir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem yardımıyla sayı problemi çözme

Question 211Question →

Bir tiyatro salonunda yan yana bulunan A ve B bloklarındaki toplam koltuk sayısı $180$ 'dir. Bu salondaki koltukların bilet ücretleri ve bir oyun için satılan biletlerin oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Blok	Bir Koltuğun Bilet Ücreti (TL)	Satılan Bilet Oranı
A	250	$\frac{1}{2}$
B	300	$\frac{2}{3}$

Bu oyunda salondaki satılmayan koltukların toplam bilet değeri $21.000$ TL olduğuna göre, B bloğundan satılan bilet sayısı kaçtır?

20

30

40

60

80

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

B bloğundan satılan bilet sayısı 40'tır.

B bloğundaki toplam koltuk sayısı 60 olarak hesaplandıktan sonra satılan bilet oranı olan 3'te 2 ile çarpıldığında satılan bilet sayısı 40 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Bloklardaki toplam koltuk sayısı ve satılmayan bilet oranlarını belirleme

A bloğundaki koltuk sayısı

A

, B bloğundaki koltuk sayısı

B

olsun.

A + B = 180

olur. A blo��unda satılmayan koltukların oranı

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

, B bloğunda satılmayan koltukların oranı ise

1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

'tür.

Koltuk sayıları arasındaki ili��kiyi kurmak ve boş kalan koltukların oranını elde etmek için.

2

Satılmayan koltukların toplam bilet değeri üzerinden denklem kurma

A bloğundaki satılmayan koltukların bilet değeri

A \cdot \frac{1}{2} \cdot 250 = 125A

TL, B bloğundaki satılmayan koltukların bilet değeri ise

B \cdot \frac{1}{3} \cdot 300 = 100B

TL olur. Toplam değer:

125A + 100B = 21.000

olarak elde edilir.

Verilen toplam bilet değerini veren denklemi oluşturmak için.

3

Denklem sistemini çözerek B bloğundaki toplam koltuk sayısını bulma

A = 180 - B

ifadesi toplam değer denkleminde yerine yazılır:

125(180 - B) + 100B = 21.000 \implies 22.500 - 25B = 21.000 \implies 25B = 1500 \implies B = 60

ve

A = 120

bulunur.

Her iki bloktaki koltuk sayılarını ayrı ayrı belirlemek için.

4

B bloğundan satılan bilet sayısını hesaplama

B bloğunda toplam

60

koltuk olduğuna göre, satılan bilet sayısı

60 \cdot \frac{2}{3} = 40

olarak hesaplanır.

Soruda istenen satılan bilet sayısını bulmak için.

Key Concept

Sayı Problemleri ve Denklem Kurma

Estimated Time:2m 0s

Question 212Question →

Bir okulda düzenlenen 'Sıfır Atık' kampanyasında, öğrenciler topladıkları her $3\text{ kg}$ gazete kağıdı için $4\text{ puan}$ , her $5\text{ kg}$ karton kutu için ise $7\text{ puan}$ kazanmaktadır.

Bu kampanya kapsamında bir sınıf, toplam $95\text{ kg}$ gazete kağıdı ve karton kutu teslim ederek $131\text{ puan}$ toplamıştır.

Buna göre, bu sınıfın topladığı karton kutu miktarı gazete kağıdı miktarından kaç $\text{kg}$ fazladır?

3

23

35

30

65

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Karton kutu miktarı gazete kağıdı miktarından 35 kg fazladır.

Sınıfın topladığı karton kutu miktarı

65\text{ kg}

, gazete kağıdı miktarı ise

30\text{ kg}

'dır. Karton kutu miktarının gazete kağıdı miktarından ne kadar fazla olduğunu bulmak için aralarındaki fark alınır:

65 - 30 = 35\text{ kg}

bulunur. Bu nedenle doğru cevap 35'tir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve toplam ağırlık denkleminin kurulması

Gazete kağıdı miktarı

g = 3x

kg ve karton kutu miktarı

k = 5y

kg olsun. Bu durumda toplam ağırlık denklemi:

3x + 5y = 95

olur.

Toplanan kağıtların ağırlıkları sırasıyla 3 ve 5'in katı olmalıdır ki puan hesaplamaları tam sayı çıksın.

2

Toplam puan denkleminin kurulması

Her

3\text{ kg}

gazete için

4\text{ puan}

(

x

paket için

4x

puan) ve her

5\text{ kg}

karton için

7\text{ puan}

(

y

paket için

7y

puan) kazanılır. Toplam puan denklemi:

4x + 7y = 131

olur.

Sınıfın topladığı toplam puanın 131 olduğu bilgisi kullanılarak ikinci bir denklem elde edilir.

3

Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi

3x + 5y = 95 \implies 12x + 20y = 380

ve

4x + 7y = 131 \implies 12x + 21y = 393

olur. Taraf tarafa çıkarıldığında

y = 13

bulunur. Birinci denklemde yerine yazıldığında

3x + 65 = 95 \implies 3x = 30 \implies x = 10

elde edilir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek paket sayılarını bulmak.

4

Toplam miktarların ve farkın hesaplanması

Gazete kağıdı miktarı

g = 3 \times 10 = 30\text{ kg}

, karton kutu miktarı

k = 5 \times 13 = 65\text{ kg}

'dır. Aralarındaki fark:

65 - 30 = 35\text{ kg}

olarak bulunur.

Soru kökünün bizden istediği karton kutu miktarının gazete kağıdı miktarından ne kadar fazla olduğunu bulmak.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler yardımıyla doğrusal denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Estimated Time:2m 0s

Question 213Question →

Bir kargo firması, taşıdığı kolilerin hacimlerine göre belirlediği ücret tarifesinde her bir koli için sabit bir temel ücret almakta ve kolinin hacmindeki her $1\text{ dm}^3$ artış için sabit bir ek ücret uygulamaktadır.

Bu firma ile hacimleri sırasıyla $12\text{ dm}^3$ ve $20\text{ dm}^3$ olan iki koli gönderen Ayşe toplam $116\text{ TL}$ , hacimleri $15\text{ dm}^3$ ve $25\text{ dm}^3$ olan iki koli gönderen Barış ise toplam $140\text{ TL}$ ödeme yapmıştır.

Buna göre, bu firmayla hacmi $30\text{ dm}^3$ olan tek bir koli gönderen Can kaç TL ödeme yapar?

90

95

100

105

110

Show answer & explanation

Answer: 100

Answer

Hacmi

30\text{ dm}^3

olan tek bir koli gönderen Can,

100\text{ TL}

ödeme yapar.

Doğru çözümde, kargo ücret tarifesi

x + V \cdot y

şeklinde modellenmiştir. Ayşe ve Barış'ın gönderdiği ikişer koli için kurulan

2x + 32y = 116

ve

2x + 40y = 140

denklemlerinden birim ek ücret

y = 3\text{ TL}

ve koli başına temel ücret

x = 10\text{ TL}

bulunur. Can tek koli gönderdiği için ödeyeceği tutar

x + 30y = 10 + 30 \times 3 = 100\text{ TL}

olarak hesaplanır. Dolayısıyla

100

cevabının yer aldığı seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Koli başına alınan sabit temel ücreti

x

TL, kolinin hacmindeki her

1\text{ dm}^3

artış için uygulanan ek ücreti

y

TL olarak tanımlayıp Ayşe'nin gönderim ücretini denklemleştirme

Ayşe iki koli gönderdiği için ödediği toplam ücret:

(x + 12y) + (x + 20y) = 2x + 32y = 116

olur.

Her bir koli için ayrı ayrı temel ücret ve hacme bağlı ek ücret hesaplanmalıdır.

2

Barış'ın gönderim ücretini benzer şekilde denklemleştirme

Barış iki koli gönderdiği için ödediği toplam ücret:

(x + 15y) + (x + 25y) = 2x + 40y = 140

olur.

İki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde etmek için ikinci bağıntı kurulur.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme

2x + 40y = 140

2x + 32y = 116

İkinci denklemi birinciden çıkardığımızda:

8y = 24 \implies y = 3

y = 3

değerini ilk denklemde yerine yazarak

x

değerini bulalım:

2x + 32(3) = 116 \implies 2x + 96 = 116 \implies 2x = 20 \implies x = 10

Sistemdeki değişkenlerin (temel ücret ve birim ek ücret) değerlerini ayrı ayrı hesaplamak gerekir.

4

Can'ın göndereceği tek koli için toplam ücreti hesaplama

Can'ın hacmi

30\text{ dm}^3

olan tek kolisi için ödeyeceği ücret:

x + 30y = 10 + 30(3) = 10 + 90 = 100\text{ TL}

olur.

Can tek bir koli gönderdiği için

1

adet temel ücret ve

30\text{ dm}^3

ek ücret ödemelidir.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Question 214Question →

Bir grup arkadaş, ortak alacakları bir doğum günü hediyesinin ücretini eşit olarak paylaşmaya karar vermiştir. Ancak hediyeyi almaya giderken gruptaki $3$ kişinin yanında para olmadığı için, para ödeyenlerin her biri başlangıçta planlanana göre $20\text{ TL}$ fazla ödeme yapmıştır.

Eğer yanında para olmayan kişi sayısı $3$ değil de $5$ olsaydı, para ödeyenlerin her biri başlangıçta planlanana göre $40\text{ TL}$ fazla ödeme yapacaktı.

Buna göre, bu gruptaki toplam kişi sayısı kaçtır?

10

12

15

18

20

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Gruptaki toplam kişi sayısı 15'tir.

Gruptaki kişi sayısı

x

ve hediyenin toplam bedeli

G

olsun. İlk durumda kişi başı düşen pay

\frac{G}{x}

olur. 3 kişinin yanında para olmaması durumunda kalan

x-3

kişi

\frac{G}{x-3}

öder ve aradaki fark 20 TL'dir. Buradan

3G = 20x(x-3)

elde edilir. Benzer şekilde, 5 kişinin ödememesi durumunda kalan

x-5

kişi

\frac{G}{x-5}

öder ve fark 40 TL'dir. Buradan

G = 8x(x-5)

elde edilir. Bu iki denklem birleştirildiğinde

x = 15

olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 15'tir.

Step-by-Step Solution

1

Gruptaki toplam kişi sayısını

x

ve hediyenin toplam fiyatını

G

olarak belirleyip ilk durumdaki kişi başı düşen payı yazın.

İlk durumda kişi başı düşen pay

\frac{G}{x}

TL'dir.

Toplam maliyetin gruptaki tüm kişilere eşit olarak bölünmesi gerekir.

2

3 kişinin ödeme yapmadığı durum için denklemi kurun ve

G

ile

x

arasındaki ilk ilişkiyi elde edin.

x-3

kişi ödeme yapmıştır.

\frac{G}{x-3} - \frac{G}{x} = 20 \implies \frac{3G}{x(x-3)} = 20 \implies 3G = 20x(x-3)

olur.

Kişi başı ödemedeki artış miktarı 20 TL olarak verilmiştir.

3

5 kişinin ödeme yapmadığı durum için ikinci denklemi kurun ve

G

ile

x

arasındaki ikinci ilişkiyi elde edin.

x-5

kişi ödeme yapmıştır.

\frac{G}{x-5} - \frac{G}{x} = 40 \implies \frac{5G}{x(x-5)} = 40 \implies G = 8x(x-5)

olur.

Kişi başı ödemedeki artış miktarı bu durumda 40 TL olmaktadır.

4

Elde edilen iki denklemi birbirine eşitleyerek

x

değerini çözün.

3G ifadesinde G yerine ikinci denklemdeki değeri yazarsak:

3 \cdot (8x(x-5)) = 20x(x-3) \implies 24x(x-5) = 20x(x-3) \implies 6(x-5) = 5(x-3) \implies 6x - 30 = 5x - 15 \implies x = 15

bulunur.

Her iki durumda da hediyenin toplam fiyatı (

G

) aynıdır.

Key Concept

Sayı Problemleri

Alternative Method

Oran-orantı mantığıyla da çözülebilir. Gruptaki kişi sayısı x olsun. 3 kişi ödemediğinde kalan x-3 kişinin her biri 20 TL fazla ödüyorsa, ödenmeyen toplam miktar 20(x-3) TL'dir. Bu miktar, ödeme yapmayan 3 kişinin başlangıçtaki payına eşittir. Buradan başlangıçtaki kişi başı düşen pay 20(x-3)/3 TL olur. Benzer şekilde 5 kişi ödemediğinde başlangıçtaki kişi başı düşen pay 40(x-5)/5 = 8(x-5) TL olur. Başlangıçtaki paylar eşit olduğundan, 20(x-3)/3 = 8(x-5) eşitliğinden x = 15 bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 215Question →

Bir restoranda satılan A, B ve C menülerinin adet fiyatları sırasıyla $120\text{ TL}$ , $150\text{ TL}$ ve $180\text{ TL}$ 'dir. Bir gün boyunca bu menülerden toplam $80$ adet satılmış ve toplam $12.900\text{ TL}$ gelir elde edilmiştir.

Bu günde her menüden en az birer adet satıldığı ve en çok satılan menünün B menüsü olduğu bilindiğine göre, A menüsünden en çok kaç adet satılmıştır?

4

5

6

7

8

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

Verilen denklem sisteminden

b = 50 - 2a

ve

c = a + 30

bağıntıları elde edilir. En çok satılan menünün B menüsü olması koşuluyla

b > a

ve

b > c

eşitsizlikleri kurulur.

b > c

eşitsizliğinden

50 - 2a > a + 30 \implies a < 20/3 \approx 6,67

sonucuna ulaşılır. Adet miktarı tam sayı olacağından bu koşulu sağlayan en büyük değer 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Menü adetlerini değişkenlerle ifade edip toplam adet ve toplam gelir denklemlerini kurun.

A, B ve C menülerinin adetleri sırasıyla

a

,

b

ve

c

olsun. Toplam adet denklemi:

a + b + c = 80

. Toplam gelir denklemi:

120a + 150b + 180c = 12900

.

Soruda verilen adet ve gelir bilgilerini matematiksel denklemlere dökmek için.

2

Gelir denklemini sadeleştirin ve iki denklemi ortak çözerek değişkenleri birbirleri cinsinden yazın.

120a + 150b + 180c = 12900

denklemi

30

ile sadeleştirilirse

4a + 5b + 6c = 430

elde edilir. Birinci denklemi

4

ile genişletip çıkarırsak:

(4a + 5b + 6c) - 4(a + b + c) = 430 - 320 \implies b + 2c = 110

bulunur. Buradan

b = 110 - 2c

elde edilir. Toplam adet denkleminden

b = 80 - a - c

yazılarak

80 - a - c = 110 - 2c \implies c - a = 30 \implies c = a + 30

bulunur. Bu değer yerine yazılırsa

b = 50 - 2a

elde edilir.

Çözüm kümesini tek bir değişken (a) cinsinden analiz edebilmek için.

3

En çok satılan menünün B menüsü olma koşulunu eşitsizlik olarak uygulayın.

b > a

ve

b > c

olmalıdır.

b > c \implies 50 - 2a > a + 30 \implies 20 > 3a \implies a < \frac{20}{3} \approx 6,67

elde edilir. Diğer taraftan

b > a \implies 50 - 2a > a \implies 50 > 3a \implies a < \frac{50}{3} \approx 16,67

bulunur.

Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için en dar aralığı bulmak amacıyla.

4

Bulunan aralıktaki en büyük tam sayıyı belirleyin.

a < 6,67

eşitsizliğini sağlayan en büyük

a

tam sayısı

6

'dır. Bu durumda

c = 36

ve

b = 38

olur ki bu değerler tüm koşulları sağlar.

Menü adedi bir tam sayı olmak zorunda olduğundan bu aralıktaki en büyük tam sayıyı seçeriz.

Key Concept

Birinci dereceden çok bilinmeyenli denklemlerin belirli tam sayı kısıtları ve eşitsizlikler altında çözülmesi.

Question 216Question →

Bir manav, elindeki elmaların tamamını her birinde eşit sayıda elma olacak şekilde kasalara dolduracaktır. Manav, her kasaya $10$ 'ar elma koyarsa elmaların tamamını yerleştirmek için iki basamaklı $AB$ tane kasaya ihtiyaç duyuyor. Eğer her kasaya $12$ 'şer elma koyarsa, elmaların tamamını yerleştirmek için iki basamaklı $BA$ tane kasa kullanıyor ve hiç elma artmıyor. Buna göre, manavın elindeki toplam elma sayısı kaçtır?

450

480

540

600

650

Show answer & explanation

Answer: 540

Answer

Toplam elma sayısı 540'tır.

Toplam elma sayısını veren iki durum birbirine eşitlenir:

10 \cdot (10A + B) = 12 \cdot (10B + A)

. Buradan

100A + 10B = 120B + 12A

elde edilir ve sadeleştirildiğinde

4A = 5B

bağıntısına ulaşılır. A ve B sıfırdan farklı rakamlar olduğu için bu eşitliği sağlayan tek değer çifti A = 5 ve B = 4'tür. Toplam elma sayısı da

10 \cdot 54 = 540

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam elma sayısı için iki farklı durumdaki kasa sayılarını kullanarak denklem kurma.

10 \times (AB) = 12 \times (BA)

Toplam elma sayısı, kasa sayısı ile her kasaya konulan elma sayısının çarpımına eşittir.

2

İki basamaklı AB ve BA sayılarını basamak analizi yöntemiyle çözümleme.

10 \times (10A + B) = 12 \times (10B + A) \Rightarrow 100A + 10B = 120B + 12A

AB sayısı 10A + B ve BA sayısı 10B + A şeklinde çözümlenir.

3

Elde edilen denklemi sadeleştirerek A ve B rakamları arasındaki bağıntıyı bulma.

88A = 110B \Rightarrow 4A = 5B

Benzer terimler bir araya getirildikten sonra eşitliğin her iki tarafı 22 ile sadeleştirilir.

4

A ve B'nin sıfırdan farklı birer rakam olması koşuluyla denklemi sağlayan değerleri belirleme.

A = 5

ve

B = 4

4 ve 5 aralarında asal olduğundan, bu eşitliği sağlayan tek basamaklı rakam değerleri yalnızca A = 5 ve B = 4 olabilir.

5

Bulunan rakam değerlerini kullanarak toplam elma sayısını hesaplama.

10 \times 54 = 540

Hesaplanan A ve B rakamları yerine yazıldığında toplam elma sayısı elde edilir.

Key Concept

Sayı problemleri ve iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi.

Question 217Question →

Bir tekstil atölyesinde üretilen tişörtler, her birinde $AB$ adet tişört olacak şekilde kolilenmiştir. Kolileme işlemi tamamlandıktan sonra yapılan kontrolde, 6 kolinin üzerindeki ürün sayısı etiketinin yanlışlıkla iki basamaklı $BA$ sayısı olarak yazıldığı fark edilmiştir.

* Üzerinde $BA$ yazan bu kolilerin her birinde gerçekte $AB$ adet tişört bulunmaktadır.
* Bu etiketleme hatası nedeniyle, kolilerdeki toplam tişört sayısı hesaplanırken gerçek durumdan 270 adet fazla tişört olduğu hesaplanmıştır.

$AB$ ve $BA$ iki basamaklı doğal sayılar olduğuna göre, bir kolide bulunması gereken gerçek tişört sayısı ( $AB$ ) en fazla kaçtır?

16

38

49

59

94

Show answer & explanation

Answer: 49

Answer

Bir kolide bulunması gereken gerçek tişört sayısı en fazla 49'dur.

Koli başına düşen fark

BA - AB = 45

olarak bulunur. Basamak çözümlemesi yapıldığında

9(B - A) = 45 \implies B - A = 5

ilişkisine ulaşılır. İki basamaklı en büyük

AB

sayısını bulmak için birer rakam olan

A

ve

B

değerlerinden

B

en fazla 9 seçilebilir. Bu durumda

A = 4

olur ve aranan en büyük değer 49 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Hatalı etiketlenen koli sayısı ile tek bir kolideki etiket farkını çarparak toplam fazlalık denklemine eşitleyin.

6 \times (BA - AB) = 270 \implies BA - AB = 45

olur.

Toplamda 6 koli hatalı etiketlenmiş ve bu hata 270 adet fazlalığa neden olmuştur. Koli başına farkı bulmak için toplam fazlalık koli sayısına bölünür.

2

İki basamaklı

BA

ve

AB

sayılarını basamak çözümlemesi kullanarak birbirinden çıkarın.

BA - AB = (10B + A) - (10A + B) = 9(B - A) = 45 \implies B - A = 5

elde edilir.

Sayıların basamak değerlerini yazarak aralarındaki rakamsal ilişkiyi bulmak için çözümleme yapılır.

3

B = A + 5

koşulunu sağlayan ve

AB

sayısını en büyük yapan rakamları belirleyin.

B

en fazla 9 olabileceğinden,

A = 4

ve

B = 9

olur. Buradan en büyük

AB

sayısı 49 olarak bulunur.

AB

sayısının en büyük olması için onlar basamağındaki

A

rakamının en büyük seçilmesi gerekir.

B

bir rakam olduğundan en fazla 9 değerini alabilir.

Key Concept

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve değer aralığı analizi ile sayı problemlerinin çözümü.

Question 218Question →

Bir pastanede üretilen kurabiyeler, her bir pakette 8 veya 12 kurabiye olacak şekilde paketlenmiştir. Bu pastanede başlangıçta 12'li paketlerin sayısı, 8'li paketlerin sayısının 2 katıdır.

Daha sonra, 12'li paketlerin bir kısmı açılarak içlerindeki kurabiyelerin tamamı her bir pakette 8 kurabiye olacak şekilde yeniden paketlenmiştir. Son durumda pastanedeki 8'li paketlerin sayısı 12'li paketlerin sayısına eşit olmuştur.

Buna göre, başlangıçtaki 12'li paketlerin yüzde kaçı açılmıştır?

15

20

25

30

40

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Başlangıçtaki 12'li paketlerin %20'si açılmıştır.

Başlangıçta

x

adet 8'li ve

2x

adet 12'li paket vardır. Açılan

y

adet 12'li paketten

12y

kurabiye elde edilir. Bu kurabiyelerle

1.5y

adet yeni 8'li paket yapılır. Son durumda 8'li paket sayısı

x + 1.5y

, 12'li paket sayısı ise

2x - y

olur. Bunlar eşitlendiğinde

x = 2.5y

yani

y = 0.4x

bulunur. Açılan paketlerin başlangıçtaki 12'li paketlere oranı

\frac{0.4x}{2x} = 0.2

olup bu da yüzde 20'ye karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki paket sayılarını değişkenlerle ifade etme

8'li paket sayısı

x

ise 12'li paket sayısı

2x

olur.

Başlangıçta 12'li paketlerin sayısının 8'li paketlerin sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.

2

Açılan paketlerden elde edilen yeni paket sayısını hesaplama

Açılan 12'li paket sayısı

y

olsun. Bu paketlerden çıkan toplam kurabiye sayısı

12y

olur. Bu kurabiyelerle

\frac{12y}{8} = 1.5y

adet yeni 8'li paket oluşturulur.

Açılan paketlerdeki tüm kurabiyeler 8'li paketler halinde yeniden paketlenmektedir.

3

Son durumdaki paket sayılarını eşitleyerek değişkenler arasındaki ilişkiyi bulma

Son durumda kalan 12'li paket sayısı

2x - y

, 8'li paket sayısı ise

x + 1.5y

olur. Bu iki değer eşitlendiğinde:

x + 1.5y = 2x - y \implies x = 2.5y \implies y = 0.4x

elde edilir.

Son durumda 8'li paket sayısının 12'li paket sayısına eşit olduğu verilmiştir.

4

Açılan 12'li paketlerin oranını yüzde olarak bulma

Açılma oranı:

\frac{y}{2x} = \frac{0.4x}{2x} = 0.2

yani

\%20

'dir.

Bizden açılan 12'li paket sayısın��n (

y

), başlangıçtaki 12'li paket sayısına (

2x

) oranı istenmiştir.

Key Concept

Sayı Problemleri ve Denklem Kurma

Alternative Method

Değişken kullanmak yerine başlangıçtaki 8'li paket sayısına 10 diyerek somut değerler üzerinden gidilebilir. Bu durumda 12'li paket sayısı 20 olur. Toplam kurabiye sayısı

10 \times 8 + 20 \times 12 = 320

olur. Son durumda 8'li ve 12'li paket sayıları eşit ve

N

olsun. Toplam kurabiye değişmeyeceğinden

8N + 12N = 320 \implies 20N = 320 \implies N = 16

bulunur. Son durumda 12'li paket sayısı 16 olduğuna göre, açılan 12'li paket sayısı

20 - 16 = 4

olur. Başlangıçtaki 20 adet 12'li paketin 4 tanesi açıldığına göre açılma oranı

4/20 = \%20

olarak bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 219Question →

Bir iş merkezinde A ve B tipi olmak üzere toplam 60 adet ofis bulunmaktadır. Bu ofislerin bir kısmı dolu, geri kalanları ise boştur.

* A tipi ofislerin kapasitesi en fazla 4 kişi, B tipi ofislerin kapasitesi ise en fazla 6 kişidir.
* Dolu olan her bir A tipi ofiste tam kapasiteyle (4 kişi), dolu olan her bir B tipi ofiste ise tam kapasiteyle (6 kişi) çalışılmaktadır.
* Bu iş merkezindeki toplam dolu ofis sayısı 42'dir.
* Dolu ofislerde çalışan toplam kişi sayısı 188'dir.
* İş merkezindeki A tipi ofislerin toplam sayısı, B tipi ofislerin toplam sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu iş merkezindeki B tipi boş ofis sayısı kaçtır?

3

5

8

10

13

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

B tipi boş ofis sayısı 5'tir.

İş merkezindeki toplam B tipi ofis sayısı 15, denklem sistemi çözüldüğünde elde edilen dolu B tipi ofis sayısı ise 10'dur. B tipi toplam ofis sayısından dolu olanlar çıkarıldığında boş ofis sayısı 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A ve B tipi ofislerin toplam sayılarını belirleyelim.

B tipi ofis sayısı

b

ise A tipi ofis sayısı

3b

olur. Toplam ofis sayısı

3b + b = 60 \implies 4b = 60 \implies b = 15

ve

a = 45

bulunur.

İş merkezindeki A tipi ofis sayısının B tipi ofis sayısının 3 katı olduğu bilgisi verilmiştir.

2

Dolu A ve B tipi ofis sayılarını bulmak için denklem kuralım.

Dolu A tipi ofis sayısı

x

, dolu B tipi ofis sayısı

y

olsun. Bu durumda, toplam dolu ofis sayısı

x + y = 42

ve dolu ofislerde çalışan toplam kişi sayısı

4x + 6y = 188

olur.

Dolu ofislerde çalışan kişi sayıları ofis tiplerinin kapasitelerine göre belirlenir.

3

Elde edilen denklem sistemini çözerek dolu B tipi ofis sayısını (

y

) bulalım.

Birinci denklemi

-4

ile çarpıp ikinci denklemle toplarsak:

-4x - 4y = -168

ve

4x + 6y = 188 \implies 2y = 20 \implies y = 10

bulunur. Buradan dolu A tipi ofis sayısı da

x = 32

olur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini yok etme metodu ile çözerek dolu B tipi ofis sayısına ulaşırız.

4

B tipi boş ofis sayısını hesaplayalım.

B tipi toplam ofis sayısı 15 ve dolu B tipi ofis sayısı 10 olduğuna göre, boş ofis sayısı

15 - 10 = 5

olarak bulunur.

Bir ofis tipindeki boş ofis sayısı, o tipteki toplam ofis sayısından dolu olanların çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri kurma ve çözme yöntemiyle sayı problemlerinin modellenmesi.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilebilir. Toplam 15 adet B tipi ofis olduğu bilinmektedir. Eğer boş B tipi ofis sayısı 5 ise, dolu B tipi ofis sayısı 10 olur. Dolu ofislerin toplamı 42 olduğundan, dolu A tipi ofis sayısı 32 olmalıdır. Bu durumda toplam çalışan sayısı

32 \times 4 + 10 \times 6 = 128 + 60 = 188

olur ve soruda verilen bilgiyi doğrular.

Estimated Time:2m 0s

Question 220Question →

Bir güneş enerjisi firması, müşterilerine sunmak üzere Standart ve Premium olmak üzere iki farklı montaj paketi hazırlamıştır. Bu paketlerin içerdiği panel sayıları ve montaj süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Paket Türü	Panel Sayısı (Adet)	Montaj Süresi (Saat)
Standart	$6$	$4$
Premium	$10$	$5$

Bu firmadan belirli sayıda Standart ve Premium paket satın alan bir grup müşterinin tüm montaj işlemleri toplam $80$ saat sürmüştür. Satın alınan tüm Premium paketlerdeki toplam panel sayısı, Standart paketlerdeki toplam panel sayısından $20$ adet fazladır.

Buna göre, bu grup müşteri toplam kaç adet Standart paket satın almıştır?

6

8

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: $10$

Answer

Standart paket sayısı 10 olarak bulunur.

Doğru seçenekte verilen 10 değeri, kurulan denklem sisteminin çözümünden elde edilen Standart paket sayısıdır. Toplam montaj süresi denklemi

4x + 5y = 80

ve panel sayısı farkı denklemi

10y - 6x = 20

(sadeleştirilmiş haliyle

5y - 3x = 10

) ortak çözüldüğünde Standart paket sayısı (

x

) 10, Premium paket sayısı (

y

) ise 8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Satın alınan Standart paket sayıs��

x

, Premium paket sayısı

y

olarak belirlenir ve toplam montaj süresini veren denklem kurulur.

4x + 5y = 80

denklemi elde edilir.

Her bir Standart paket 4 saat, Premium paket 5 saat montaj süresi gerektirdiğinden ve toplam süre 80 saat olduğundan bu denklem kurulur.

2

Toplam panel sayıları arasındaki ilişkiyi veren denklem kurulur ve sadeleştirilir.

10y - 6x = 20 Rightarrow 5y - 3x = 10

denklemi elde edilir.

Premium paketlerdeki toplam panel sayısı

10y

, Standart paketlerdeki toplam panel sayısı

6x

'tir. Premium panel sayısı Standart'tan 20 fazla olduğundan fark 20'ye eşitlenir ve işlem kolaylığı için denklem 2 ile sadeleştirilir.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemi kullanılarak çözülür.

(4x + 5y) - (5y - 3x) = 80 - 10 Rightarrow 7x = 70 Rightarrow x = 10

bulunur.

Her iki denklemde de

+5y

terimi ortak olduğundan, taraf tarafa çıkarma işlemi yapılarak

y

değişkeni yok edilir ve Standart paket sayısı olan

x

değeri doğrudan bulunur.

Key Concept

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri yardımıyla Sayı Problemlerinin Çözümü

Sayı Problemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept