Sayı Problemleri Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 12

Question 221Question →

Bir okul kantinindeki otomat makinesinde meyve suyu ve süt olmak üzere iki çeşit içecek satılmaktadır. Bu içeceklerin satış fiyatları ve boş şişelerinin geri dönüşüm kutusuna atılması durumunda elde edilen iade (depozito) bedelleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

İçecek Türü	Satış Fiyatı (TL)	Boş Şişe İade Bedeli (TL)
Meyve Suyu	$18$	$2$
Süt	$24$	$3$

Bu otomattan belirli bir günde toplam $70$ adet içecek satın alınmış ve bu alımlar için toplam $1440$ TL ödenmiştir. Gün sonunda satın alınan bu içeceklerin tamamının boş şişeleri geri dönüşüm kutusuna atılarak iade bedelleri alınmıştır.

Buna göre, süt şişelerinin geri iadesinden elde edilen toplam iade bedeli kaç TL'dir?

60

80

90

120

170

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

Süt şişelerinin geri iadesinden elde edilen toplam iade bedeli 90 TL'dir.

Doğru yanıt olan 90 değeri, otomattan satın alınan 30 adet süt şişesinin her birinin 3 TL olan iade bedeliyle çarpılması (

30 \times 3 = 90

) sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Satın alınan meyve suyu ve süt miktarları için değişkenler belirlenir ve toplam içecek sayısı denklemi kurulur.

Meyve suyu sayısı

m

ve süt sayısı

s

olsun. Toplam içecek sayısı:

m + s = 70

.

İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için birinci bağıntıyı elde etmek.

2

İçeceklerin birim fiyatları kullanılarak toplam ödenen tutar üzerinden ikinci denklem kurulur.

18m + 24s = 1440

TL.

Toplam harcama miktarını veren denklem ile sistemin ikinci bağıntısını elde etmek.

3

Kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.

İkinci denklem 6 ile sadeleştirildiğinde

3m + 4s = 240

elde edilir. Birinci denklem 3 ile çarpılarak (

3m + 3s = 210

) bu denklemden çıkarılırsa,

s = 30

ve buradan

m = 40

bulunur.

Satın alınan meyve suyu ve süt adetlerini tek tek belirlemek.

4

Süt şişelerinden elde edilen toplam iade bedeli hesaplanır.

30 \times 3 = 90

TL.

İstenen süt şişesi adetini birim iade bedeliyle çarparak sonuca ulaşmak.

Key Concept

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ve Sayı Problemleri

Question 222Question →

Bir müzeye giriş ücretleri ve gruplara uygulanan indirim oranları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Müzenin kişi başı tam giriş ücreti $30\text{ TL}$ 'dir.
* Kişi sayısı en az 10, en fazla 24 olan gruplardaki her bir kişiye giriş ücretinde $5\text{ TL}$ indirim uygulanmaktadır.
* Kişi sayısı en az 25 olan gruplardaki her bir kişiye ise giriş ücretinde $8\text{ TL}$ indirim uygulanmaktadır.

Bu müzeyi aynı gün ziyaret eden iki farklı gruptan birinci gruptaki kişi sayısı, ikinci gruptaki kişi sayısının 2 katıdır.

Bu iki grubun müzeye ödediği toplam ücret $1035\text{ TL}$ olduğuna göre, ikinci gruptaki kişi sayısı kaçtır?

12

13

14

15

16

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

İkinci gruptaki kişi sayısı 15'tir.

İkinci gruptaki kişi sayısı 15 olarak alındığında, bu grup 10 ile 24 kişi arasında olduğu için kişi başı 25 TL öder ve toplam ödemesi 375 TL olur. Birinci grup ise bunun iki katı olan 30 kişiden oluşur ve 25 kişiden fazla olduğu için kişi başı 22 TL öder, toplam ödemesi 660 TL olur. İki grubun toplam ödemesi 375 + 660 = 1035 TL olarak şartı sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Gruplardaki kişi sayılarını değişkenler cinsinden belirleme

İkinci grubun kişi sayısı

x

ise birinci grubun kişi sayısı

2x

olur.

Birinci grubun kişi sayısının ikinci grubun kişi sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.

2

Kişi sayılarına göre indirimli fiyatları ve toplam ücret denklemini oluşturma

x

sayısının

10 \leq x < 25

aralığında olduğu varsayıldığında, ikinci grup kişi başı

30 - 5 = 25\text{ TL}

öder. Bu durumda birinci grubun kişi sayısı

2x \geq 25

olacağından birinci grup kişi başı

30 - 8 = 22\text{ TL}

öder. Denklem:

25 \cdot x + 22 \cdot (2x) = 1035

olarak kurulur.

Grupların kişi sayıları farklı indirim aralıklarına denk geldiği için kişi başı ücretler farklılaşmaktadır.

3

Kurulan denklemi çözerek bilinmeyeni bulma ve aralık kontrolü yapma

25x + 44x = 1035 \implies 69x = 1035 \implies x = 15

bulunur. Bulunan

15

değeri

10 \leq x < 25

koşulunu ve

2 \cdot 15 = 30 \geq 25

koşulunu sağlamaktadır.

Denklemin çözümünden elde edilen değerin başlangıçta kabul edilen aralık kabulleriyle uyuşup uyuşmadığı doğrulanmalıdır.

Key Concept

Sayı Problemlerinde aralıklara göre değişen doğrusal ilişkileri kullanarak denklem kurma ve çözme.

Alternative Method

Seçeneklerde verilen değerler doğrudan denenerek toplam bilet fiyatının 1035 TL olup olmadığı kontrol edilebilir. Örneğin 15 değeri için gruplar 15 ve 30 kişidir. 15 kişilik grup için kişi başı bilet 25 TL, 30 kişilik grup için ise 22 TL olduğundan toplam tutar

15 \times 25 + 30 \times 22 = 375 + 660 = 1035\text{ TL}

olarak kolayca bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 223Question →

Bir çiçekçi, elindeki güller ve papatyalarla her bir buket içinde eşit sayıda çiçek olacak şekilde iki farklı türde buket hazırlamaktadır. Buketlerin içerdiği çiçek sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buket Türü	Gül Sayısı	Papatya Sayısı
1. Tür	3	5
2. Tür	5	3

Çiçekçinin hazırladığı 1. tür buketlerin sayısı, 2. tür buketlerin sayısının 2 katından 4 eksiktir.

Çiçekçi bu buketlerin tamamını hazırlamak için toplam 131 adet gül kullandığına göre, bu buketlerde kullanılan toplam papatya sayısı kaçtır?

110

131

149

169

175

Show answer & explanation

Answer: 149

Answer

Hazırlanan buketlerde kullanılan toplam papatya sayısı 149'dur.

Verilen ilişkiler doğrultusunda 2. tür buket sayısı

x

alındığında, 1. tür buket sayısı

2x-4

olur. Gül sayıları üzerinden kurulan

3(2x-4) + 5x = 131

denklemi çözüldüğünde

x=13

bulunur. Buradan 1. tür buket sayısı 22, 2. tür buket sayısı 13 olarak elde edilir. Toplam papatya sayısı ise

22 \times 5 + 13 \times 3 = 149

olur.

Step-by-Step Solution

1

Buket sayıları için değişken tanımlama ve bağıntı kurma

2. tür buket sayısı

x

olarak belirlenirse, 1. tür buket sayısı

2x - 4

olur.

Soruda verilen 1. tür buket sayısının, 2. tür buket sayısının 2 katından 4 eksik olduğu bilgisi cebirsel olarak ifade edilmiştir.

2

Kullanılan toplam gül sayısı üzerinden denklem oluşturma ve çözme

3(2x - 4) + 5x = 131 \Rightarrow 6x - 12 + 5x = 131 \Rightarrow 11x = 143 \Rightarrow x = 13

bulunur.

1. tür buketlerin her birinde 3 gül, 2. tür buketlerin her birinde 5 gül bulunduğu bilgisi kullanılarak toplam gül sayısına eşitlenmiştir.

3

Buket türlerinin adetlerini bulma

1. tür buket sayısı

2(13) - 4 = 22

adet, 2. tür buket sayısı ise

13

adettir.

Bulunan

x

değeri yerine yazılarak her bir buket türünün toplam miktarı hesaplanmıştır.

4

Toplam papatya sayısını hesaplama

5 \times 22 + 3 \times 13 = 110 + 39 = 149

adet papatya bulunur.

1. tür buketlerde 5'er, 2. tür buketlerde 3'er adet papatya kullanıldığı bilgisiyle toplam papatya miktarına ulaşılmıştır.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen değişkenler arasında doğrusal bağıntı kurma ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözme

Alternative Method

Denklem kurmak yerine sayısal tahminlerden gidilebilir. Toplam gül sayısı 131 tek bir sayı olduğundan ve 2. tür buketlerdeki gül sayısı 5 (sonu 0 veya 5 ile biten bir sayı) olduğundan, 1. tür buketlerin gül toplamı (

3 \times \text{Buket Sayısı}

) tek sayı olmalıdır. Buradan deneme yanılma yapılarak da sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 224Question →

Bir şehrin bisiklet paylaşım sisteminde A ve B olmak üzere iki farklı tipte toplam 34 adet istasyon bulunmaktadır. Bu istasyonlardaki bisikletler ve park yerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Başlangıçta tüm istasyonlardaki bisiklet park yerleri tamamen doludur.
* Gün içinde A tipi istasyonların yarısının her birinden 3'er bisiklet, B tipi istasyonların ise ��çte birinin her birinden 5'er bisiklet alınmıştır.
* Son durumda sistemdeki toplam boş park yeri sayısı 54 olmuştur.

Buna göre, bu bisiklet paylaşım sistemindeki B tipi istasyon sayısı kaçtır?

12

15

16

18

20

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

B tipi istasyon sayısı 18'dir.

B tipi istasyon sayısı

y

, A tipi istasyon sayısı

x

olarak belirlendiğinde; toplam istasyon sayısı

x + y = 34

ve boş park yerlerinin toplamı

1.5x + \frac{5}{3}y = 54

olarak yazılır. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

y = 18

ve

x = 16

değerleri elde edilir. Dolayısıyla B tipi istasyon sayısı 18'dir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve istasyon sayısına göre ilk denklemin kurulması.

A tipi istasyon sayısı

x

, B tipi istasyon sayısı

y

olsun. Toplam istasyon sayısı 34 olduğundan

x + y = 34

denklemi elde edilir.

İstasyonlar arasındaki ilişkiyi cebirsel olarak ifade etmek.

2

Alınan bisiklet miktarlarına ve oluşan boş park yeri sayısına göre ikinci denklemin kurulması.

A tipi istasyonların yarısından (

x/2

) 3'er bisiklet alınırsa

3 \cdot \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}

boş yer oluşur. B tipi istasyonların üçte birinden (

y/3

) 5'er bisiklet alınırsa

5 \cdot \frac{y}{3} = \frac{5y}{3}

boş yer oluşur. Toplam boş yer sayısı 54 olduğuna göre,

\frac{3x}{2} + \frac{5y}{3} = 54

denklemi elde edilir.

Oluşan boş yer miktarını veren bağıntıyı kurmak.

3

İkinci denklemin paydalarının eşitlenerek sadeleştirilmesi.

\frac{3x}{2} + \frac{5y}{3} = 54 \implies \frac{9x + 10y}{6} = 54 \implies 9x + 10y = 324

denklemi elde edilir.

İşlemleri kolaylaştırmak için rasyonel ifadeyi tam sayılı denkleme dönüştürmek.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözülmesi.

x + y = 34

denkleminden

x = 34 - y

ifadesi bulunur. Bu ifade

9x + 10y = 324

denkleminde yerine yazılırsa:

9(34 - y) + 10y = 324 \implies 306 - 9y + 10y = 324 \implies y = 18

bulunur.

Soruda istenen B tipi istasyon sayısını (

y

) bulmak.

Key Concept

İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Sayı Problemleri Kurma

Question 225Question →

Bir metro hattında sefer yapan bir tren, her biri eşit yolcu kapasitesine sahip $6$ vagondan oluşmaktadır. Bu trendeki yolcu sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İlk $3$ vagondaki toplam yolcu sayısı, trenin toplam yolcu kapasitesinin $\frac{1}{4}$ 'ine eşittir.
* Son $3$ vagondaki toplam yolcu sayısı, ilk $3$ vagondaki toplam yolcu sayısının $2$ katından $40$ eksiktir.
* Bir durakta, ilk $3$ vagondan toplam $40$ yolcu inmiş, son $3$ vagondan ise toplam $60$ yolcu inmiştir. Trendeki diğer vagonlardan yolcu inmemiş ve trene yeni yolcu binmemiştir.
* Son durumda trendeki toplam yolcu sayısı, trenin toplam yolcu kapasitesinin $\frac{1}{3}$ 'üne eşit olmuştur.

Buna göre, başlangıçta trendeki toplam yolcu sayısı kaçt��r?

104

148

180

212

244

Show answer & explanation

Answer: $212$

Answer

Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı

212

'dir.

Trenin vagon kapasitesi

C

olarak belirlendiğinde, verilen sözel ifadelerden ilk 3 vagondaki yolcu sayısı

1{}5C

, son 3 vagondaki yolcu sayısı

3C - 40

ve başlangıçtaki toplam yolcu sayısı

4{}5C - 40

olarak elde edilir. Duraktaki toplam 100 kişilik azalmayla birlikte son durumdaki yolcu sayısı

4{}5C - 140

olur. Bu sayı toplam kapasitenin üçte biri olan

2C

'ye eşitlendiğinde vagon kapasitesi

C = 56

bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam yolcu sayısı

4{}5 \times 56 - 40 = 212

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Trenin her bir vagonunun kapasitesine

C

diyelim. Bu durumda trenin toplam yolcu kapasitesi

6C

olur. Verilen ilk bilgiyi kullanarak ilk

3

vagondaki yolcu sayısını (

P_1

) ifade edelim.

P_1 = \frac{1}{4} \times 6C = 1{}5C

İlk 3 vagondaki yolcu sayısı toplam kapasitenin dörtte birine eşit olarak verilmiştir.

2

Son

3

vagondaki yolcu sayısını (

P_2

), ilk

3

vagondaki yolcu sayısının

2

katından

40

eksik olacak şekilde ifade edelim ve başlangıçtaki toplam yolcu sayısını

C

cinsinden bulalım.

P_2 = 2 \times (1{}5C) - 40 = 3C - 40

Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı:

P_1 + P_2 = 1{}5C + 3C - 40 = 4{}5C - 40

Son 3 vagondaki yolcu sayısının ilişkisi ilk 3 vagondakine bağlı olarak tanımlanmıştır.

3

Durakta vagonlardan inen yolcu sayılarını hesaba katarak yeni toplam yolcu sayısını belirleyelim ve bunu son durumdaki toplam kapasite ilişkisine eşitleyelim.

Yeni toplam yolcu sayısı:

(P_1 - 40) + (P_2 - 60) = 4{}5C - 140

Son durum ilişkisi:

4{}5C - 140 = \frac{1}{3} \times 6C = 2C

İlk 3 vagondan 40 yolcu, son 3 vagondan 60 yolcu indiği ve bu durumun trenin toplam kapasitenin üçte birine karşılık geldiği belirtilmiştir.

4

Elde edilen denklemi çözerek

C

değerini bulalım ve ard��ndan başlangıçtaki toplam yolcu sayısını hesaplayalım.

4{}5C - 2C = 140 \implies 2{}5C = 140 \implies C = 56

Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı:

4{}5 \times 56 - 40 = 252 - 40 = 212

Vagon kapasitesi bulunduktan sonra başlangıçtaki toplam yolcu sayısı formülünde yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler kullanarak denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Alternative Method

Bilinmeyenleri vagon kapasitesi yerine doğrudan toplam kapasite üzerinden tanımlayarak da çözüme ulaşılabilir. Trenin toplam kapasitesine

T

denirse, ilk 3 vagondaki yolcu sayısı

P_1 = \frac{T}{4}

, son 3 vagondaki yolcu sayısı ise

P_2 = \frac{T}{2} - 40

olur. Durakta gerçekleşen inişlerden sonra trendeki toplam yolcu sayısı

(P_1 + P_2) - 100 = \frac{3T}{4} - 140

olur. Bu değer

\frac{T}{3}

'e eşitlenerek

T = 336

bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam yolcu sayısı

\frac{3 \times 336}{4} - 40 = 212

olarak hesaplanır.

Estimated Time:2m 0s

Question 226Question →

Bir serada yetiştirilen domatesler, her birinde kendi içinde eşit sayıda domates bulunan küçük veya büyük boy kasalara doldurulacaktır.

* Küçük kasalardaki domates sayısı, büyük kasalardaki domates sayısının yarısından $4$ fazladır.
* Seradaki domateslerin tamamı, sadece küçük kasalar kullanılarak doldurulduğunda $30$ kasa tam dolmaktadır.
* Seradaki domateslerin tamamı, sadece büyük kasalar kullanılarak doldurulduğunda ise $18$ kasa tam dolmakta ve geriye $12$ adet domates kalmaktadır.

Buna göre, bir küçük kasada kaç adet domates vardır?

10

22

24

26

36

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Bir küçük kasadaki domates sayısı 22'dir.

Küçük kasadaki domates sayısı

y

, büyük kasadaki domates sayısı

x

olarak tanımlandığında, verilen bilgilerden

y = \frac{x}{2} + 4

ve dolayısıyla

x = 2y - 8

elde edilir. Toplam domates sayısı her iki paketleme türünde de aynı olacağından

30y = 18x + 12

eşitliği yazılır. Bu eşitlikte

x

yerine

2y - 8

yazıldığında

30y = 18(2y - 8) + 12

denklemi elde edilir. Denklem çözüldüğünde

30y = 36y - 132 \Rightarrow 6y = 132 \Rightarrow y = 22

sonucuna ulaşılır. Bu değer bir küçük kasadaki domates sayısını vermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Küçük kasadaki domates sayısını

y

, büyük kasadaki domates sayısını

x

değişkeni ile ifade edip aralarındaki ilişkiyi yazalım.

y = \frac{x}{2} + 4 \Rightarrow x = 2y - 8

elde edilir.

Küçük kasadaki domates sayısının, büyük kasadakinin yarısından

4

fazla olduğu belirtilmiştir. Denklem çözümünü kolaylaştırmak adına

x

değerini

y

türünden ifade ederiz.

2

Toplam domates miktarını her iki durum için de birbirine eşitleyen denklemi kuralım.

30y = 18x + 12

Toplam domates sayısı, 30 küçük kasanın kapasitesine veya 18 büyük kasanın kapasitesine 12 eklenmesine eşittir.

3

Birinci adımda bulduğumuz

x = 2y - 8

ifadesini ikinci adımdaki denklemde yerine yazarak

y

değerini çözelim.

30y = 18(2y - 8) + 12 \Rightarrow 30y = 36y - 144 + 12 \Rightarrow 6y = 132 \Rightarrow y = 22

bulunur.

Soruda bizden istenen küçük kasadaki domates sayısı (

y

) olduğu için tek bilinmeyenli denklemi çözerek sonuca ulaşırız.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla sayı problemi çözme

Alternative Method

Denklem çözmek yerine seçenekler elenerek de kontrol edilebilir. Ancak en sistematik yol, küçük kasadaki domates sayısına

y

deyip toplam domates miktarını

y

cinsinden ifade etmektir.

Estimated Time:1m 30s

Question 227Question →

Bir kafede bulunan masalar 4 kişilik veya 6 kişiliktir. Bu kafedeki 4 kişilik masaların bir kısmında dörder kişi oturmakta, geri kalan 4 kişilik masaların her birinde ise ikişer sandalye boş kalmaktadır. 6 kişilik masaların ise tamamında altışar kişi oturmaktadır.

Bu kafede toplam 18 masa, boş kalan toplam 10 sandalye ve kafede oturan toplam 80 müşteri bulunmaktadır.

Buna göre, kafede bulunan toplam 4 kişilik masa sayısı kaçtır?

8

9

10

11

12

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Kafede bulunan toplam 4 kişilik masa sayısı 9'dur.

Kafedeki toplam masa sayısı 18, boş sandalye sayısı 10 ve oturan kişi sayısı 80'dir. 4 kişilik masaların her birinde 2 sandalye boş kaldığına göre, bu durumda 5 adet kısmen dolu masa vardır. Geriye kalan 13 masa ise tam doludur. Tam dolu 4 kişilik masa sayısı

x

, 6 kişilik masa sayısı

z

dersek,

x+z=13

olur. Müşteri sayısı denkleminden

4x + 6z + 10 = 80 \implies 4x + 6z = 70

elde edilir. Bu iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde

x=4

ve

z=9

bulunur. Toplam 4 kişilik masa sayısı ise tam dolu ve kısmen dolu olanların toplamı olup

4+5=9

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve boş sandalye sayısından yola çıkarak kısmen dolu masaların belirlenmesi

Kısmen dolu 4 kişilik masa sayısı

y = 5

olarak bulunur.

4 kişilik masaların bir kısmında 4 kişi oturmakta (0 boş sandalye), kalan kısmında ise her masada 2 sandalye boş kalmaktadır. Toplam boş sandalye sayısı 10 olduğuna göre, boş sandalyesi olan 4 kişilik masa sayısı

y

olmak üzere,

2y = 10 \implies y = 5

olur.

2

Toplam masa sayısı denkleminden tam dolu 4 kişilik ve 6 kişilik masa sayıları arasında ilişki kurulması

x + z = 13

denklemi elde edilir.

Kafedeki tam dolu 4 kişilik masa sayısı

x

, 6 kişilik masa sayısı

z

olsun. Toplam masa sayısı 18 olduğuna göre,

x + y + z = 18 \implies x + 5 + z = 18 \implies x + z = 13

olur.

3

Müşteri sayısı bilgisini kullanarak ikinci bir denklem elde edilmesi ve bu denklemlerin ortak çözülmesi

z = 9

ve

x = 4

bulunur.

Kafedeki toplam müşteri sayısı 80'dir. Dolu 4 kişilik masalarda

4x

kişi, kısmen dolu masalarda

2y = 2 \times 5 = 10

kişi ve 6 kişilik masalarda

6z

kişi oturmaktadır. Buradan

4x + 10 + 6z = 80 \implies 4x + 6z = 70 \implies 2x + 3z = 35

denklemi kurulur.

x + z = 13

denklemini

-2

ile çarpıp taraf tarafa toplarsak:

-2x - 2z = -26

ve

2x + 3z = 35

ifadelerinden

z = 9

bulunur.

x + z = 13 \implies x + 9 = 13 \implies x = 4

elde edilir.

4

Toplam 4 kişilik masa sayısının hesaplanması

Toplam 4 kişilik masa sayısı

4 + 5 = 9

olarak bulunur.

Kafedeki 4 kişilik masa sayısı, tam dolu masalar ile kısmen dolu masaların toplamıdır. Bu değer

x + y = 4 + 5 = 9

olur.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve denklem sistemlerini çözme.

Estimated Time:2m 0s

Question 228Question →

Bir okul kütüphanesine yeni alınan kitapların tamamı, her bir rafta eşit sayıda kitap olacak şekilde boş raflara dizilecektir.

* Kitaplar $12$ rafa dizildiğinde, son raf hariç diğer tüm raflar tamamen dolmakta; son rafta ise $4$ kitaplık boş yer kalmaktadır.
* Kitaplar $8$ rafa dizildiğinde, her raftaki kitap sayısı ilk durumdaki dolu bir raftaki kitap sayısından $5$ fazla olmakta ve tüm raflar tamamen dolmaktadır.

Buna göre, kütüphaneye yeni alınan toplam kitap sayısı kaçtır?

96

112

120

128

132

Show answer & explanation

Answer: 128

Answer

Toplam kitap sayısı 128'dir.

Kitapların dizilim senaryolarına göre yazılan

12x - 4 = 8(x+5)

denkleminden dolu raf kapasitesi

x = 11

bulunur. Buradan toplam kitap sayısı

8 \times (11 + 5) = 128

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumdaki dolu bir rafın alacağı kitap sayısına

x

diyelim. Bu durumda toplam kitap sayısını veren ifadeyi yazalım.

Toplam kitap sayısı:

12x - 4

12 rafın 11 tanesi tamamen dolu (

11x

kitap), son rafta ise 4 kitaplık boş yer kalmıştır yani

x-4

kitap vardır. Toplamda

11x + x - 4 = 12x - 4

kitap olur.

2

İkinci durumdaki raf sayısını ve her raftaki kitap sayısını kullanarak toplam kitap sayısını veren ikinci ifadeyi yazalım.

Toplam kitap sayısı:

8(x + 5)

Kitaplar 8 rafa dizildiğinde her rafta ilk durumdakinden 5 fazla kitap (

x+5

) bulunmakta ve tüm raflar dolmaktadır.

3

Her iki durumda da toplam kitap sayısı aynı olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek

x

değerini bulalım.

12x - 4 = 8(x + 5) \implies 12x - 4 = 8x + 40 \implies 4x = 44 \implies x = 11

Eşitliğin iki tarafındaki benzer terimleri düzenleyip bilinmeyeni çekeriz.

4

Bulduğumuz

x = 11

değerini denklemlerden birinde yerine yazarak toplam kitap sayısını hesaplayalım.

8 \times (11 + 5) = 8 \times 16 = 128

Toplam kitap sayısını bulmak için ikinci durumdaki

8(x+5)

ifadesinde

x

yerine

11

yazarız.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve doğrusal denklem sistemlerini çözme.

Question 229Question →

Bir lojistik firması, taşıma kapasiteleri sırasıyla $3$ ton ve $5$ ton olan A ve B tipi kamyonlarla toplam $120$ ton yük taşıyacaktır.

Bu taşıma işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Kamyonlar her seferinde tamamen dolu olarak hareket etmektedir.
* A tipi kamyonların yaptığı toplam sefer sayısı, B tipi kamyonların yaptığı toplam sefer sayısının en az $2$ kat�� olmalıdır.

Buna göre, taşıma işleminin tamamlanması için B tipi kamyonların yaptığı sefer sayısı en fazla kaç olabilir?

6

9

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

B tipi kamyonların yapabileceği sefer sayısı en fazla 9'dur.

B tipi kamyonların sefer sayısı en fazla 9 olabilir. Toplam yük denkleminden

x = 40 - \frac{5}{3}y

bağıntısı elde edilir ve sefer sayısının tam sayı olması için B tipi kamyon sefer sayısı 3'ün katı olmalıdır.

x \ge 2y

eşitsizliği çözüldüğünde B tipi kamyon sefer sayısının en fazla 10,91 olabileceği görülür. Bu aralıkta 3'ün katı olan en büyük değer 9'dur.

Step-by-Step Solution

1

Kamyonların sefer sayılarına göre toplam yük denklemini kurma

A tipi kamyonların sefer sayısı

x

, B tipi kamyonların sefer sayısı

y

olsun. Toplam taşınan yük

120

ton olduğuna göre denklemimiz:

3x + 5y = 120

olur.

Her kamyonun taşıdığı yük miktarı ile sefer sayısının çarpımı toplam yükü vermelidir.

2

Sefer sayılarının tam sayı olma koşulunu analiz etme

3x = 120 - 5y \implies x = 40 - \frac{5}{3}y

elde edilir. Sefer sayısı negatif olamayacak bir tam sayı olduğundan,

y

değeri mutlaka

3

'ün bir katı (

0, 3, 6, 9, \dots

) olmalıdır.

Kamyon sefer sayısının fiziksel olarak tam sayı olması zorunluluğundan

y

değişkeninin kısıtını belirlemek için.

3

Eşitsizlik kısıtlamasını uygulayarak en büyük sefer sayısını belirleme

A tipi sefer sayısı, B tipi sefer sayısının en az 2 katı olmalıdır:

x \ge 2y

. Bir önceki adımda bulduğumuz

x

değerini yerine yazarsak:

40 - \frac{5}{3}y \ge 2y \implies 40 \ge \frac{11}{3}y \implies 120 \ge 11y \implies y \le \frac{120}{11} \approx 10,91

elde edilir.

y

değeri 3'ün katı olan bir doğal sayı olduğuna göre bu koşulu sağlayan en büyük

y

değeri

9

olarak bulunur.

Verilen kat ilişkisine dayalı eşitsizliği çözerek en büyük sınır değerine ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde doğrusal denklem sistemleri, eşitsizlik kısıtları ve tam sayı bölünebilme özelliklerinin birlikte uygulanması

Alternative Method

Deneme metoduyla değer tablosu oluşturulabilir.

y

değerine sırasıyla 3'ün katları olan

0, 3, 6, 9, 12

değerleri verilerek karşılık gelen

x

değerleri

x = 40 - \frac{5}{3}y

formülünden hesaplanır.

y = 9

için

x = 25

bulunur ve

25 \ge 2 \cdot 9

(yani

25 \ge 18

) koşulu sağlanır. Bir sonraki kat olan

y = 12

için

x = 20

bulunur fakat

20 \ge 2 \cdot 12

(yani

20 \ge 24

) koşulu sağlanmadığı için en büyük değerin 9 olduğu bu şekilde de görülebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 230Question →

Bir metro istasyonunda çalışmayan bir yürüyen merdiveni yürüyerek çıkan Burak ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Burak merdiveni çıkarken her adımda ya $2$ basamak ya da $3$ basamak çıkmıştır.
* Burak'ın $2$ basamak çıktığı adım sayısı, $3$ basamak çıktığı adım sayısının $3$ katından $4$ eksiktir.
* Burak bu merdiveni toplam $28$ adımda tamamlamıştır.

Buna göre, bu merdiven toplam kaç basamaklıdır?

60

62

64

70

76

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

Toplam basamak sayısı 64'tür.

Soruda verilen bilgiler doğrultusunda denklem kurulduğunda Burak'ın

3

basamak çıktığı adım sayısı

8

,

2

basamak çıktığı adım sayısı ise

20

olarak elde edilir. Buradan toplam basamak sayısı

3 \times 8 + 2 \times 20 = 64

olur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması

Burak'ın

3

basamak çıktığı adım sayısı

x

,

2

basamak çıktığı adım sayısı

y

olsun.

Problemi matematiksel olarak modellemek için bilinmeyenleri belirleriz.

2

Denklem sisteminin kurulması

Toplam adım sayısı:

x + y = 28

Adım sayıları arasındaki ilişki:

y = 3x - 4

Soruda verilen toplam adım sayısını ve adımlar arasındaki bağıntıyı matematiksel ifadelere dönüştürürüz.

3

Denklem sisteminin çözülmesi

y

ifadesini toplam adım denkleminde yerine yazarsak:

x + (3x - 4) = 28 \implies 4x - 4 = 28 \implies 4x = 32 \implies x = 8

bulunur.
Buradan

y = 28 - 8 = 20

elde edilir.

Yerine koyma metodu yardımıyla her bir adım türünün sayısını hesaplarız.

4

Toplam basamak sayısının hesaplanması

Toplam basamak sayısı:

3x + 2y = 3(8) + 2(20) = 24 + 40 = 64

olarak bulunur.

Adım sayılarını adım büyüklükleri ile çarparak merdivenin toplam basamak sayısına ulaşırız.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel durumları birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürerek çözme.

Question 231Question →

Bir kargo şubesinde bulunan iki farklı teraziyle ilgili a��ağıdakiler bilinmektedir:

* I. terazi, üzerine konulan bir cismin ağırlığının $2$ katından $100$ gram eksik göstermektedir.
* II. terazi, üzerine konulan bir cismin ağırlığının $3$ katından $200$ gram eksik göstermektedir.

Bu terazilerden birine A cismi, diğerine ise B cismi konulduğunda göstergelerdeki değerlerin toplamı $4800$ gram olmaktadır. Eğer A cismi II. teraziye, B cismi ise I. teraziye konulsaydı göstergelerdeki değerlerin toplamı $5400$ gram olacaktı.

Buna göre, A cisminin gerçek ağırlığı B cisminin gerçek ağırlığından kaç gram fazladır?

400

500

600

700

800

Show answer & explanation

Answer: 600

Answer

A cisminin gerçek ağırlığı B cisminin gerçek ağırlığından 600 gram fazladır.

Doğru olan 600 değeri, iki durum için yazılan

2a + 3b = 5100

ve

3a + 2b = 5700

denklemlerinin taraf tarafa çıkarılması sonucunda doğrudan elde edilen

a - b = 600

eşitliğinden bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri tanımlama ve terazi denklemlerini oluşturma

A cisminin gerçek ağırlığı

a

gram, B cisminin gerçek ağırlığı

b

gram olsun. I. terazinin gösterdiği değer

2x - 100

, II. terazinin gösterdiği değer ise

3x - 200

olur.

Soruda verilen bilgileri matematiksel model haline getirmek için değişkenler tanımlanır.

2

Birinci durum için denklem kurma

A cismi I. terazide (

2a - 100

), B cismi II. terazide (

3b - 200

) iken toplam ağırlık:

(2a - 100) + (3b - 200) = 4800 \Rightarrow 2a + 3b = 5100

İlk durumdaki toplam gösterge değerini veren denklemi oluşturmak için.

3

İkinci durum için denklem kurma

A cismi II. terazide (

3a - 200

), B cismi I. terazide (

2b - 100

) iken toplam ağırlık:

(3a - 200) + (2b - 100) = 5400 \Rightarrow 3a + 2b = 5700

İkinci durumdaki toplam gösterge değerini veren denklemi oluşturmak için.

4

Denklem sistemini çözerek aralarındaki farkı bulma

Elde edilen denklemleri taraf tarafa çıkaralım:

(3a + 2b) - (2a + 3b) = 5700 - 5100 \Rightarrow a - b = 600

Soruda bizden istenen A ve B cisimlerinin gerçek ağırlıkları arasındaki farkı (

a - b

) doğrudan elde etmek için.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi.

Question 232Question →

Bir çiçek serasında bulunan A ve B türü saksı çiçeklerinin sulanmasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Serada bu iki türden toplam $80$ adet saksı çiçeği bulunmaktadır.
* A türündeki her bir çiçek günde $3$ defa, B türündeki her bir çiçek ise günde $2$ defa sulanmaktadır.
* A türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarı, B türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarının $2$ katıdır.
* A türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarı $4$ birimdir.
* Gün boyunca seradaki tüm çiçeklerin sulanması için toplam $560$ birim su kullanılmıştır.

Buna göre, serada B türünde kaç adet saksı çiçeği vardır?

25

30

40

50

60

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

B türündeki saksı çiçeği sayısı 50'dir.

A türündeki bir çiçeğin günlük tüketimi 12 birim, B türündeki bir çiçeğin günlük tüketimi 4 birimdir. Toplam 80 çiçek ve 560 birim su bilgisiyle kurulan denklem sisteminden B türündeki çiçek sayısı 50 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Çiçek sayıları için değişkenleri belirleyelim.

A türü çiçek sayısı

x

ve B türü çiçek sayısı

y

olsun. Toplam çiçek sayısı

80

olduğundan ilk denklem:

x + y = 80

olur.

Çiçeklerin sayıları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Çiçeklerin günlük su tüketim miktarlarını hesaplayalım.

A türü çiçeğin bir sulamada tükettiği su

4

birimdir ve günde

3

kez sulanmaktadır. Dolayısıyla bir A türü çiçeğin günlük su tüketimi

3 \times 4 = 12

birimdir. B türü çiçeğin bir sulamadaki tüketimi A'nın yarısı kadar (

4 \div 2 = 2

birim) olup günde

2

kez sulanmaktadır. Dolayısıyla bir B türü çiçeğin günlük su tüketimi

2 \times 2 = 4

birimdir.

Çiçeklerin toplam günlük su tüketimini veren denklemi oluşturmak için tür başına günlük su kullanımını belirlemek gerekir.

3

Toplam su tüketimini veren denklemi kuralım.

Toplam su tüketimi

560

birim olduğuna göre, ikinci denklem:

12x + 4y = 560

olur.

Çiçek sayısını bulabilmek için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak gerekir.

4

Oluşan denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim.

İlk denklemi

4

ile çarparak yazalım:

4x + 4y = 320

. İkinci denklemden bu denklemi taraf tarafa çıkaralım:

(12x + 4y) - (4x + 4y) = 560 - 320 \implies 8x = 240 \implies x = 30

bulunur. Bu değeri ilk denklemde yerine koyalım:

30 + y = 80 \implies y = 50

elde edilir.

Bilinmeyenlerden birini yok ederek diğerinin değerine ulaşmak için.

Key Concept

Sayı Problemleri ve İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Alternative Method

Denklemleri sadeleştirerek çözebiliriz:

12x + 4y = 560

denkleminin her terimini

4

'e böldüğümüzde

3x + y = 140

elde ederiz. Bu denklemden

x + y = 80

denklemini çıkardığımızda

2x = 60 \implies x = 30

bulunur. Buradan da B türündeki çiçek sayısı

y = 80 - 30 = 50

olarak kolayca bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 233Question →

Bir kahve dükkanında uygulanan 'Askıda Kahve' kampanyasında müşteriler kendilerine kahve alırken aynı zamanda ihtiyaç sahipleri için askıya kahve bırakabilmektedir. Bu dükkanda satılan bir fincan kahvenin fiyatı $60$ TL'dir. Dükkan sahibi kampanya kapsamında askıya bırakılan her $3$ fincan kahve için kendisi de askıya $1$ fincan kahve eklemektedir.

Bir gün boyunca bu dükkandan toplam $120$ fincan kahve satın alınmış ve bu kahvelerin bir kısmı müşteriler tarafından kendileri için içilmiş, geri kalan kısmı ise askıya bırakılmıştır.

Gün sonunda dükkan sahibinin ekledikleriyle birlikte askıda toplam $48$ fincan kahve biriktiğine göre, bu gün boyunca müşteriler kendileri için kaç fincan kahve satın almıştır?

72

80

84

88

96

Show answer & explanation

Answer: 84

Answer

Müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı 84'tür.

Müşterilerin askıya bıraktığı kahve sayısı

y

olsun. Dükkan sahibi askıya bırakılan her

3

kahve için

1

kahve eklediğinden, dükkan sahibinin eklediği kahve sayısı

\frac{y}{3}

olur. Askıda biriken toplam kahve sayısı

y + \frac{y}{3} = \frac{4y}{3}

olarak ifade edilir. Bu değer

48

'e eşitlendiğinde

\frac{4y}{3} = 48

denkleminden

y = 36

bulunur. Toplam satın alınan

120

kahveden askıya bırakılan

36

kahve çıkarıldığında, müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı

120 - 36 = 84

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Müşterilerin askıya bıraktığı kahve sayısına

y

denilerek değişken tanımlanır.

Müşterilerin askıya bıraktı��ı kahve sayısı =

y

Bilinmeyen değerler arasında matematiksel ilişki kurabilmek için.

2

Dükkan sahibinin katkısını hesaba katarak askıdaki toplam kahve sayısını veren denklem kurulur.

Dükkan sahibi

\frac{y}{3}

kahve ekler. Toplam askıdaki kahve sayısı:

y + \frac{y}{3} = \frac{4y}{3}

olur.

Her 3 fincan kahve için dükkan sahibinin de 1 fincan eklediği bilgisine dayanarak.

3

Askıdaki toplam kahve sayısı olan

48

değeri kurulmuş olan denkleme eşitlenerek çözülür.

\frac{4y}{3} = 48 \Rightarrow 4y = 144 \Rightarrow y = 36

olarak bulunur.

Müşteriler tarafından askıya bırakılan asıl kahve adedini tespit etmek için.

4

Müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı hesaplanır.

Toplam satın alınan

120

fincan kahveden askıya bırakılan

36

fincan kahve çıkarıldığında, kendileri için alınan kahve sayısı

120 - 36 = 84

olarak hesaplanır.

Müşterilerin satın aldığı toplam kahve miktarı kendi içtikleri ve askıya bıraktıklarının toplamına eşit olduğu için.

Key Concept

Sayı problemlerinde oran-orantı mantığıyla bilinmeyenleri belirleyip denklem kurma ve çözme.

Question 234Question →

Bir şehirde bulunan akıllı bisiklet kiralama istasyonunda tek kişilik ve iki kişilik olmak üzere toplam $45$ adet bisiklet bulunmaktadır. Bu istasyondan bisiklet kiralayan bir grup turistle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Gruptaki her bir turist bir bisiklete binmiştir.
* Tek kişilik bisikletlerin her birine $1$ kişi, iki kişilik bisikletlerin her birine ise $2$ kişi binmiştir.
* İstasyondaki tek kişilik bisikletlerin tamamı kiralanmış, iki kişilik bisikletlerin ise bir kısmı boş kalmıştır.
* Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı, boş kalan iki kişilik bisiklet sayısının $3$ katıdır.

Gruptaki toplam turist sayısı $57$ olduğuna göre, bu istasyondaki iki kişilik bisiklet sayısı kaçtır?

18

20

24

28

32

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İstasyondaki iki kişilik bisiklet sayısı 24'tür.

İki kişilik bisiklet sayısına

D

, tek kişilik bisiklet sayısına

T

denildiğinde; toplam bisiklet sayısı

T + D = 45

olur. Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı

D_k

ve boş kalan iki kişilik bisiklet sayısı

D_b

olmak üzere,

D_k = 3D_b

ilişkisiyle

D = 4D_b

elde edilir. Bisikletlerdeki toplam kişi sayısı

T + 2D_k = T + 6D_b = 57

olur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

D_b = 6

ve buradan toplam iki kişilik bisiklet sayısı olan

4 \cdot 6 = 24

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Bisiklet türleri ve durumlarına göre değişkenleri tanımlama

Tek kişilik bisiklet sayısı

T

, iki kişilik bisiklet sayısı

D

olsun.

T + D = 45

olur. İki kişilik bisikletlerden boş kalanlar

D_b

, kiralananlar

D_k

ise

D = D_b + D_k

olur.

D_k = 3D_b

olduğundan

D = 4D_b

elde edilir.

Sorudaki toplam bisiklet sayısını ve iki kişilik bisikletlerin durumunu matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Turist sayısına göre ikinci denklemi kurma

Tek kişilik bisikletlerin tamamı kiralandığı için binen kişi sayısı

T \cdot 1 = T

olur. Kiralanan iki kişilik bisikletlere binen kişi sayısı

2 \cdot D_k = 2(3D_b) = 6D_b

olur. Toplam turist sayısı:

T + 6D_b = 57

elde edilir.

Turist sayısının bisiklet türlerine göre dağılımını kullanarak yeni bir denklem oluşturmak için.

3

Elde edilen denklem sistemini çözme

T + 4D_b = 45

ve

T + 6D_b = 57

denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında

2D_b = 12 \implies D_b = 6

bulunur. Buradan toplam iki kişilik bisiklet sayısı

D = 4 \cdot 6 = 24

olarak hesaplanır.

Değişkenleri yok etme metodunu kullanarak bilinmeyenleri bulmak için.

Key Concept

Sayı Problemleri

Estimated Time:2m 0s

Question 235Question →

Bir konser salonundaki koltuk düzeni ve bilet satışları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki koltuklar arka arkaya sıralar halinde dizilmiştir ve her sırada eşit sayıda koltuk bulunmaktadır.
* Salondaki toplam sıra sayısı, bir sıradaki koltuk sayısından $4$ fazladır.
* Bu salonda her sıradaki koltuk sayıs�� $2$ azaltılıp toplam sıra sayısı $3$ artırılsaydı salondaki toplam koltuk sayısı değişmeyecekti.
* Salondaki tüm koltukların biletleri satıldığında elde edilen toplam gelir $50400$ TL'dir.

Buna göre, bu konser salonunda satılan bir biletin fiyatı kaç TL'dir?

150

200

240

360

525

Show answer & explanation

Answer: 200

Answer

Bir biletin satış fiyatı 200 TL'dir.

Salondaki koltuk düzenine göre sıra sayısı

r

ve her sıradaki koltuk sayısı

s

olmak üzere

r = s + 4

ve

(r+3)(s-2) = r \cdot s

denklemleri kurulur. Bu denklem sistemi çözüldüğünde koltuk sayısı

14

ve sıra sayısı

18

bulunur. Toplam koltuk sayısı

18 \times 14 = 252

olur. Toplam gelir olan

50400

TL, toplam koltuk sayısı olan

252

'ye bölündüğünde bilet fiyatı

200

TL olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Salondaki toplam sıra sayısına

r

, bir sıradaki koltuk sayısına

s

diyelim. Verilen bilgileri kullanarak değişkenler arasındaki ilişkileri denklem olarak yazalım.

Sıra sayısı koltuk sayısından

4

fazla olduğu için

r = s + 4

olur. Her sıradaki koltuk sayısı

2

azaltılıp (

s-2

), sıra sayısı

3

artırıldığında (

r+3

) toplam koltuk sayısı değişmediği için

(r + 3)(s - 2) = r \cdot s

denklemi elde edilir.

Problemi matematiksel olarak modellemek ve bilinmeyenleri bulmak için denklem sistemini kurmamız gerekir.

2

Elde edilen ikinci denklemde parantezleri açarak sadeleştirme yapalım.

(r + 3)(s - 2) = r \cdot s \implies r \cdot s - 2r + 3s - 6 = r \cdot s \implies 3s - 2r = 6

denklemine ulaşılır.

Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi basitleştirmek ve birinci derece denkleme dönüştürmek için.

3

r = s + 4

eşitliğini

3s - 2r = 6

denkleminde yerine koyarak

s

ve

r

değerlerini bulalım.

3s - 2(s + 4) = 6 \implies 3s - 2s - 8 = 6 \implies s = 14

olarak bulunur. Buradan

r = 14 + 4 = 18

olur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek koltuk ve sıra sayılarını belirlemek için.

4

Toplam koltuk sayısını hesaplayalım.

Toplam koltuk sayısı =

r \cdot s = 18 \times 14 = 252

adettir.

Bir biletin fiyatını bulabilmek için toplam koltuk sayısına ihtiyacımız vardır.

5

Toplam geliri toplam koltuk sayısına bölerek bir biletin fiyatını bulalım.

Bilet fiyatı =

50400 / 252 = 200

TL olur.

Tüm koltukların satılması durumunda elde edilen toplam gelirden tek bir biletin fiyatına ulaşmak için.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri kurma ve sayı problemlerinde değişkenler arası ilişkileri modelleme.

Estimated Time:2m 0s

Question 236Question →

Ayhan'ın cüzdanında 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik banknotlardan oluşan toplam 35 adet kâğıt para vardır. Bu paralarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* 10 TL'lik banknotların toplam değeri, 20 TL'lik banknotların toplam değerine eşittir.
* Cüzdandaki paraların toplam değeri en az 650 TL'dir.

Buna göre, Ayhan'ın cüzdanındaki 50 TL'lik banknotların sayısı en az kaçtır?

2

5

8

11

14

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Ayhan'ın cüzdanındaki 50 TL'lik banknotların sayısı en az 5'tir.

Cüzdandaki 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik banknot sayıları sırasıyla

x

,

y

ve

z

olarak tanımlanırsa; toplam banknot sayısı

x + y + z = 35

olur. 10 TL'liklerin toplam değeri 20 TL'liklerin toplam değerine eşit olduğundan

10x = 20y

yani

x = 2y

elde edilir. Bu durumda toplam banknot sayısı

2y + y + z = 35 \implies 3y + z = 35

olur. Buradan

y = \frac{35 - z}{3}

yazılabilir. Toplam para miktarı en az 650 TL olduğundan

10x + 20y + 50z \geq 650

eşitsizliği yazılır.

x = 2y

ifadesi yerine yazılırsa

40y + 50z \geq 650 \implies 4y + 5z \geq 65

elde edilir. Burada

y

yerine

\frac{35 - z}{3}

yazılırsa

4\left(\frac{35 - z}{3}\right) + 5z \geq 65 \implies 140 - 4z + 15z \geq 195 \implies 11z \geq 55 \implies z \geq 5

bulunur. Dolayısıyla 50 TL'lik banknot sayısı en az 5 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Banknot sayıları için değişkenleri tanımlama ve toplam banknot sayısı denklemini yazma.

x

: 10 TL'lik,

y

: 20 TL'lik,

z

: 50 TL'lik banknot sayısı olmak üzere;

x + y + z = 35

.

Problemi matematiksel olarak ifade edebilmek için değişkenleri belirlememiz gerekir.

2

10 TL ve 20 TL'lik banknotların değer eşitliğinden yararlanarak değişkenleri birbiri cinsinden ifade etme.

10x = 20y \implies x = 2y

. Bu ifadeyi toplam banknot sayısında yerine yazarsak:

2y + y + z = 35 \implies 3y + z = 35

elde edilir. Buradan

y = \frac{35 - z}{3}

olur.

Bilinmeyen sayısını azaltmak ve eşitsizlikte tek bir değişken bırakmak için.

3

Toplam para miktarı için en az 650 TL koşulunu kullanarak eşitsizlik kurma ve çözme.

10x + 20y + 50z \geq 650 \implies 10(2y) + 20y + 50z \geq 650 \implies 40y + 50z \geq 650 \implies 4y + 5z \geq 65

. Bu eşitsizlikte

y

yerine

\frac{35 - z}{3}

yazarsak:

4\left(\frac{35 - z}{3}\right) + 5z \geq 65 \implies 140 - 4z + 15z \geq 195 \implies 11z \geq 55 \implies z \geq 5

bulunur.

50 TL'lik banknot sayısının alabileceği en küçük değeri bulmak için.

Key Concept

Değişkenler arasında ilişki kurma ve birinci dereceden eşitsizlik modellemesi.

Alternative Method

Değer vererek ve seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. En az değeri aradığımız için en küçük seçenekten başlanarak deneme yapılabilir. Örneğin, 50 TL'lik banknot sayısı 5 olarak seçilirse geriye kalan 30 banknot 10 TL ve 20 TL'liklerden oluşur.

x+y=30

ve

x=2y

eşitliklerinden

y=10

ve

x=20

bulunur. Bu durumda toplam para

20 \times 10 + 10 \times 20 + 5 \times 50 = 200 + 200 + 250 = 650

TL olur ve en az 650 TL şartını tam olarak sağlar.

Estimated Time:2m 0s

Question 237Question →

Bir okul kütüphanesindeki iki basamaklı $ab$ tane rafın her birine eşit sayıda kitap dizilecektir. Bu işlemle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kitaplar her rafa $12$ adet dizilirse tüm kitaplar dizilmekte ve boş raf kalmamaktadır.
* Eğer kütüphanedeki raf sayısı iki basamaklı $ba$ olsaydı ve her rafa $21$ kitap dizilseydi, yine tüm kitaplar dizilecek ve boş raf kalmayacaktı.
* Kütüphanedeki toplam kitap sayısı $300$ ile $600$ arasındadır.

Buna göre, kütüphanedeki raf sayısı ( $ab$ ) kaçtır?

21

24

36

42

63

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

Kütüphanedeki raf sayısı 42'dir.

Kütüphanedeki toplam kitap sayısı her iki durumda da aynı kalmaktadır.

12 \cdot ab = 21 \cdot ba

eşitliğinde basamak çözümlemesi yapıldığında

a = 2b

ilişkisine ulaşılır.

ab

ve

ba

iki basamaklı sayılar olduğu için

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan ve toplam kitap sayısı olan

12 \cdot ab

değerini

300

ile

600

arasında tutan tek seçenek

ab = 42

sayısıdır.

Step-by-Step Solution

1

Kütüphanedeki toplam kitap sayısını veren denklemi

ab

ve

ba

iki basamaklı sayıları cinsinden yazın.

Toplam kitap sayısı

T = 12 \cdot ab = 21 \cdot ba

olur.

12'şerli ve 21'erli dizimlerde kitap sayısının değişmediğini kullanarak iki basamaklı sayılarla bir eşitlik elde etmek gerekir.

2

İki basamakl�� sayıları çözümleyerek

a

ve

b

rakamları arasındaki ilişkiyi bulun.

12 \cdot (10a + b) = 21 \cdot (10b + a) \implies 4 \cdot (10a + b) = 7 \cdot (10b + a) \implies 40a + 4b = 70b + 7a \implies 33a = 66b \implies a = 2b

elde edilir.

Basamak çözümlemesi yapılarak bilinmeyen rakamlar arasındaki doğrusal ilişkiyi sade bir biçimde ortaya çıkarmak gerekir.

3

a

ve

b

rakamlarının alabileceği değerleri belirleyerek toplam kitap sayılarını hesaplayın.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olduğundan:
*

b = 1 \implies a = 2 \implies ab = 21

ve

T = 12 \cdot 21 = 252

*

b = 2 \implies a = 4 \implies ab = 42

ve

T = 12 \cdot 42 = 504

*

b = 3 \implies a = 6 \implies ab = 63

ve

T = 12 \cdot 63 = 756

*

b = 4 \implies a = 8 \implies ab = 84

ve

T = 12 \cdot 84 = 1008

Olası tüm durumları inceleyerek hangi durumun kütüphanedeki kitap sayısı sınırlamasına uyacağını belirlemek gerekir.

4

Toplam kitap sayısının

300

ile

600

arasında olması koşulunu uygulayın.

300 < T < 600

koşulunu sağlayan tek kitap sayısı

T = 504

olup, bu durum

ab = 42

raf sayısına karşılık gelir.

Soruda verilen aralık kısıtına göre tek bir benzersiz çözüm seçilir.

Key Concept

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi yöntemiyle sayı problemlerinde denklem kurma ve kısıtlara göre değer verme işlemleri.

Question 238Question →

Bir grup arkadaş, toplam kiralama ücretini eşit olarak paylaşarak bir halı saha kiralamıştır. Bu gruptaki kişi sayısı iki basamaklı bir $ab$ sayısıdır.

Eğer gruba $6$ kişi daha katılsaydı ve toplam ücret yine eşit olarak paylaşılsaydı, kişi başına düşen ücret ilk duruma göre $\%25$ daha az olacaktı.

Buna göre, başlangıçtaki grupta bulunan kişi sayısının rakamları toplamı ( $a+b$ ) kaçtır?

2

3

6

9

18

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Başlangıçtaki grupta bulunan kişi sayısının rakamları toplamı

9

'dur.

Kurulan rasyonel denklem çözüldüğünde başlangıçtaki kişi sayısı

18

olarak bulunur. Bu sayının rakamları toplamı

1 + 8 = 9

olduğu için doğru seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki kişi sayısını ve kişi başına düşen ücreti sembollerle ifade etme.

Gruptaki kişi sayısı

n = ab

ve toplam kiralama ücreti

T

olsun. Bu durumda başlangıçta kişi başına düşen ücret

\frac{T}{n}

olur.

Değişkenler arasındaki ilişkiyi kurabilmek için ilk durumun matematiksel modelini oluşturmak gerekir.

2

Gruba

6

kişi katıldığında oluşan yeni durumu ifade etme.

Gruptaki kişi sayısı

n+6

olur. Bu durumda kişi başına düşen yeni ücret

\frac{T}{n+6}

olur.

Kişi sayısı arttığında kişi başına düşen ücretin nasıl değiştiğini belirlemek gerekir.

3

Yeni ücretin ilk ücrete göre

\%25

daha az olması koşulunu kullanarak denklem kurma.

Bir değerin

\%25

azalması, o değerin

\%75

'ine (yani

\frac{3}{4}

'üne) eşit olması demektir. Buradan kurulan denklem:

\frac{T}{n+6} = \frac{3}{4} \cdot \frac{T}{n}

olur.

Soruda verilen yüzdece azalma bilgisini matematiksel bir eşitliğe dönüştürmek gerekir.

4

Kurulan denklemi çözerek başlangıçtaki kişi sayısını bulma.

Denklemde

T

terimleri sadeleştirilirse

\frac{1}{n+6} = \frac{3}{4n}

elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında

4n = 3(n+6) \implies 4n = 3n + 18 \implies n = 18

bulunur.

Değişken sadeleştirmesi ve cebirsel işlemler yardımıyla bilinmeyen kişi sayısına ulaşmak amaçlanır.

5

Başlangıçtaki kişi sayısının rakamları toplamını hesaplama.

Kişi sayısı

ab = 18

olduğundan,

a = 1

ve

b = 8

değerleri elde edilir. Rakamları toplamı ise

a + b = 1 + 8 = 9

olur.

Soruda bizden doğrudan kişi sayısı değil, bu sayının rakamları toplamı istendiği için son adımı tamamlamak gerekir.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri rasyonel ifadeler ve oran-orantı yardımıyla cebirsel denklemlere dönüştürme ve çözme.

Question 239Question →

Bir seramik atölyesinde üretilen tabaklar, her birinde eşit sayıda tabak bulunan kutulara yerleştirilecektir. Bu tabaklar kutulara yerleştirilirken iki farklı paketleme seçeneği belirlenmiştir:

* 1. Seçenek: Tabakların bir kısmı her kutuda $12$ tabak olacak şekilde, kalan tabaklar ise her kutuda $18$ tabak olacak şekilde kutulanıyor. Bu durumda toplam $25$ kutu kullanılıyor.
* 2. Seçenek: Tabakların tamamı her kutuda $15$ tabak olacak şekilde kutulanıyor. Bu durumda ise toplam $26$ kutu kullanılıyor.

Buna göre, 1. seçenekteki kutulardan kaç tanesinde $12$ tabak bulunmaktadır?

8

10

12

15

16

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

1. seçenekteki kutulardan 10 tanesinde 12 tabak bulunmaktadır.

Toplam tabak sayısı 2. seçenekten

15 \times 26 = 390

olarak bulunur. 1. seçenekteki 12 tabaklık kutu sayısına x, 18 tabaklık kutu sayısına y dersek

x + y = 25

ve

12x + 18y = 390

denklemleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde 12 tabak bulunan kutu sayısı 10 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam tabak sayısını hesaplama

Toplam tabak sayısı:

15 \times 26 = 390

2. seçenekte tüm tabaklar her birinde 15 tabak olan 26 kutuya konulduğu için toplam tabak sayısı bu iki değerin çarpımına eşittir.

2

Değişkenleri tanımlama ve denklem sistemini kurma

x + y = 25

ve

12x + 18y = 390

1. seçenekteki 12 tabaklık kutu sayısı x, 18 tabaklık kutu sayısı y olarak belirlenirse toplam kutu sayısı 25, toplam tabak sayısı ise 390 olur.

3

Denklem sistemini çözerek 12 tabaklık kutu sayısını bulma

x = 10

İlk denklemden y = 25 - x yazılarak ikinci denklemde yerine konur:

12x + 18(25 - x) = 390 \Rightarrow 12x + 450 - 18x = 390 \Rightarrow -6x = -60 \Rightarrow x = 10

elde edilir.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem kurma ve çözme yoluyla sayı problemlerini modelleme.

Question 240Question →

Bir belediye, çevre duyarlılığını artırmak amacıyla mahallelere akıllı geri dönüşüm otomatları yerleştirmiştir. Bu otomatlara atılan atık türlerine göre kartlara yapılacak puan etkileri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Atık Türü	Puan Etkisi
Cam Şişe	$+15$
Plastik Şişe	$+10$
Karton Kutu	$-5$

Bir gün içerisinde bu otomata cam şişe, plastik şişe ve karton kutulardan oluşan toplam $40$ adet atık atan Ceren'in kartındaki puan değişimi net $+250$ puan olmuştur.

Ceren'in otomata attığı plastik şişe sayısı, cam şişe sayısının $2$ katı olduğuna göre, Ceren otomata kaç adet karton kutu atmıştır?

9

13

18

31

10

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Ceren'in otomata attığı karton kutu sayısı 13'tür.

Cam şişe sayısı

x

, plastik şişe sayısı

2x

ve karton kutu sayısı

y

olarak seçildiğinde, toplam atık sayısından

3x + y = 40

elde edilir. Puan hesabından ise

15x + 10(2x) - 5y = 250 \implies 7x - y = 50

denklemi bulunur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında

10x = 90

eşitliğinden

x = 9

olarak hesaplanır. Buradan karton kutu sayısı olan

y

değeri

40 - 3(9) = 13

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Bilinmeyenleri tanımlayarak değişkenleri belirleyelim.

Cam şişe sayısı

x

olsun. Plastik şişe sayısı, cam şişe sayısının 2 katı olduğundan

2x

olur. Karton kutu sayısı ise

y

olsun.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel modele dökebilmek için değişken ataması yapılır.

2

Toplam atık sayısı ve puan değişimi bilgilerini kullanarak denklemleri kuralım.

Toplam atık sayısı 40 olduğundan:

x + 2x + y = 40 \implies 3x + y = 40

elde edilir.

Puan hesabı yapıldığında:

15x + 10(2x) - 5y = 250 \implies 35x - 5y = 250

elde edilir. Bu denklemi 5 ile sadeleştirirsek

7x - y = 50

olur.

İki bilinmeyenli denklem sistemi elde ederek ortak çözüm yapabilmek için.

3

Elde edilen denklemleri ortak çözerek karton kutu sayısını bulalım.

3x + y = 40

7x - y = 50

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:

10x = 90 \implies x = 9

bulunur.

İlk denklemde

x

yerine 9 yazarak

y

değerini bulalım:

3(9) + y = 40 \implies 27 + y = 40 \implies y = 13

elde edilir.

Denklem sistemini yok etme metoduyla çözerek bizden istenen karton kutu sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen ilişkileri değişkenler yardımıyla modellemek ve birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerini yok etme yöntemiyle çözmek.

Estimated Time:2m 0s

Sayı Problemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes