Sayı Problemleri Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir mobil oyunda oyuncular topladıkları altınları iki farklı sandık açmak için kullanmaktadır. A tipi sandık açmak için $40$ altın, B tipi sandık açmak için ise $75$ altın harcanmaktadır. Bir oyuncu toplam $15$ sandık açmış ve bu işlem için $810$ altın harcamıştır.

Buna göre, oyuncunun açtığı A tipi sandık sayısı, B tipi sandık sayısından kaç fazladır?

1

3

5

6

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

A tipi sandık sayısı B tipi sandık sayısından 3 fazladır.

A tipi sandık sayısı 9, B tipi sandık sayısı ise 6 olarak bulunur. Bu iki tür sandığın sayısının farkı 3 olduğundan, doğru cevap 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

A tipi ve B tipi sandık sayıları i��in değişkenler tanımlayarak birinci denklemi kurmak.

x + y = 15

denklemi elde edilir.

Toplam sandık sayısının 15 olduğu bilgisi verilmiştir.

2

Sandıkların maliyetlerine göre ikinci denklemi kurup sistemi çözmek.

40x + 75y = 810

denklemi elde edilir ve bu denklem

x + y = 15

ile ortak çözülerek

x = 9

ve

y = 6

bulunur.

Toplam harcanan altın miktarı 810'dur. Yok etme veya yerine koyma metoduyla her bir sandık türünden kaçar adet açıldığı belirlenir.

3

A tipi sandık sayısı ile B tipi sandık sayısı arasındaki farkı hesaplamak.

9 - 6 = 3

bulunur.

Soruda A tipi sandık sayısının B tipi sandık sayısından kaç fazla olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi

Alternatif Yöntem

Değer verme veya seçenekleri deneme yöntemi kullanılabilir. A ve B tipi sandık sayılarının toplamı 15 olduğuna göre, A tipi sandık sayısını seçeneklerden yola çıkarak tahmin edebiliriz. Örneğin, A tipi 9 ve B tipi 6 olduğunda toplam altın sayısı

9 \times 40 + 6 \times 75 = 360 + 450 = 810

olur ve fark

9 - 6 = 3

olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 62Soru →

Bir depodaki rafta A, B ve C olmak üzere üç farklı türde kutu bulunmaktadır. Bu kutuların ağırlıkları ve sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her bir A kutusunun ağırlığı, her bir B kutusunun ağırlığının $2$ katına, her bir C kutusunun ağırlığının ise $3$ katına eşittir.
* Raftaki B kutularının sayısı, A kutularının sayısının yarısından $2$ fazladır.
* Raftaki C kutularının sayısı, A kutularının sayısının $2$ katından $5$ eksiktir.
* Raftaki tüm kutuların toplam ağırlığı, raftaki B ve C kutularının toplam sayısı kadar A kutusunun toplam ağırlığına eşittir.

Buna göre, bu rafta bulunan toplam kutu sayısı kaçtır?

7

9

11

14

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $11$

Cevap

Toplam kutu sayısı

11

olarak bulunur.

A, B ve C kutularının ağırlıkları sırasıyla

6x

,

3x

ve

2x

olarak belirlendikten sonra, A kutusunun sayısı

2y

seçilerek B kutusunun sayısı

y+2

, C kutusunun sayısı ise

4y-5

olarak yazılır. Toplam ağırlık olan

x(23y-4)

ifadesi, B ve C kutularının toplam adedi olan

5y-3

tane A kutusunun ağırlığına (

6x(5y-3)

) eşitlendiğinde

y = 2

bulunur. Buradan kutu sayıları sırasıyla

4

,

4

ve

3

olarak elde edilir ve toplamları

11

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kutuların birer adetlerinin ağırlıklarını ortak bir değişken cinsinden ifade edelim.

A, B ve C kutularının ağırlıkları sırasıyla

w_A = 6x

,

w_B = 3x

ve

w_C = 2x

olarak belirlenir.

A kutusunun ağırlığının, B'nin

2

katı ve C'nin

3

katı olduğu belirtilmiştir. En küçük ortak kat olan

6

katsayısı seçilerek kesirli sayılarla işlem yapılması önlenir.

2

Kutuların sayılarını belirlemek için A kutusunun sayısına bağlı bir değişken tanımlayalım.

A kutularının sayıs��

n_A = 2y

olsun. Bu durumda B kutularının sayısı

n_B = y + 2

ve C kutularının sayısı

n_C = 4y - 5

olur.

B kutularının sayısı A'nın yarısından

2

fazla olduğu için, A kutularının sayısını çift (

2y

) seçerek kesirli ifadelerden kaçınırız. C kutularının sayısı ise

2 \cdot (2y) - 5 = 4y - 5

olarak yazılır.

3

Raftaki kutuların toplam ağırlığını (

W

) hesaplayalım.

W = 2y \cdot (6x) + (y + 2) \cdot (3x) + (4y - 5) \cdot (2x) = x(23y - 4)

bulunur.

Her bir kutu türünün sayısı ile o türe ait bir kutunun ağırlığı çarpılıp toplanarak toplam ağırlık elde edilir.

4

B ve C kutularının toplam sayısı kadar A kutusunun toplam ağırlığını (

W'

) hesaplayalım.

n_B + n_C = (y + 2) + (4y - 5) = 5y - 3

adet A kutusunun ağırlığı

W' = (5y - 3) \cdot 6x = x(30y - 18)

olur.

Soruda verilen eşitlik şartını uygulayabilmek için karşılaştırma ağırlığı oluşturulur.

5

Toplam ağırlıkları birbirine eşitleyerek

y

değişkenini bulalım.

x(23y - 4) = x(30y - 18) \implies 23y - 4 = 30y - 18 \implies 7y = 14 \implies y = 2

bulunur.

x > 0

olduğu için sadeleştirilir ve birinci dereceden denklem çözülür.

6

Bulunan

y = 2

değerini yerine yazarak toplam kutu sayısını hesaplayalım.

n_A = 4

,

n_B = 4

ve

n_C = 3

olup, toplam kutu sayısı

4 + 4 + 3 = 11

olarak bulunur.

Her bir kutu türünün sayısı ayrı ayrı bulunup toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde bilinmeyenleri doğru tanımlama, ortak değişken kullanma ve doğrusal denklem kurup çözme.

Alternatif Yöntem

Ağırlıklar arasındaki oranlardan yararlanarak, toplam ağırlık dengesini doğrudan birim kutu cinsinden kurmak da mümkündür. Örneğin A kutusunun ağırlığı

6

birim kabul edilirse, B kutusu

3

birim, C kutusu ise

2

birim olur. Toplam ağırlık

12y + 3(y+2) + 2(4y-5) = 23y - 4

birimdir. B ve C kutularının toplam sayısı

5y - 3

olup, bu sayıdaki A kutusunun ağırlığı

6(5y-3) = 30y - 18

birimdir. Bu iki ifade eşitlendiğinde

y = 2

değeri doğrudan bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 63Soru →

Bir kırtasiyeci, elindeki kalemleri başlangıçta her birinde $12$ veya $18$ kalem olacak şekilde paketlemiştir. Başlangıçta $12$ kalem içeren paketlerin sayısı, $18$ kalem içeren paketlerin sayısının $3$ katıdır.

Kırtasiyeci, $12$ kalem içeren paketlerden $10$ tanesini açmış ve bu paketlerdeki kalemlerin tamamını $18$ kalem içeren paketlerin bazılarının her birine $6$ 'şar kalem ekleyerek bu paketleri $24$ 'lü paketler haline getirmiştir.

Son durumda kırtasiyedeki $12$ kalem içeren paketlerin sayısı, $18$ kalem içeren paketlerin sayısının $5$ kat�� olmuştur.

Buna göre, başlangıçta paketlenen toplam kalem sayısı kaçtır?

1350

1620

2430

2700

2970

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2430

Cevap

Başlangıçta paketlenen toplam kalem sayısı 2430'dur.

Doğru cevap olan seçenekteki sayıya ulaşmak için başlangıçtaki 18'li paket sayısı x, 12'li paket sayısı ise 3x olarak tanımlanır. 10 adet 12'li paket açıldığında 120 kalem açığa çıkar ve kalan 12'li paket sayısı 3x - 10 olur. Açığa çıkan kalemler 18'li paketlere 6'şar 6'şar eklendiğinde 20 adet 18'li paket 24'lü pakete dönüşür, böylece kalan 18'li paket sayısı x - 20 olur. Son durumda 3x - 10 = 5(x - 20) eşitliğinden x = 45 bulunur. Başlangıçtaki toplam kalem sayısı 18x + 36x = 54x formülünden 54 * 45 = 2430 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki paket sayıları için değişken tanımlama ve toplam kalem sayısını ifade etme

18

kalem içeren paket sayısı

x

olsun. Bu durumda

12

kalem içeren paket sayısı

3x

olur. Başlangıçtaki toplam kalem sayısı:

18 \cdot x + 12 \cdot 3x = 18x + 36x = 54x

olur.

Soruda verilen oranları kullanarak tüm değişkenleri tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için bu adım gereklidir.

2

Açılan paketlerden gelen toplam kalem sayısını ve dönüşen paket sayısını hesaplama

Açılan

10

adet

12

'li paketten

10 \cdot 12 = 120

adet kalem elde edilir. Bu kalemler

18

'li paketlere

6

'şar adet eklendiğine göre,

120 / 6 = 20

adet

18

'li paket

24

'lü pakete dönüştürülmüştür.

18'li paket say��sındaki azalışı ve yeni oluşan 24'lü paket sayısını bulmak için açılan paketlerdeki kalemlerin nasıl dağıtıldığını hesaplamamız gerekir.

3

Son durumdaki paket sayılarını belirleme ve denklem kurma

Son durumda:
- Kalan

12

'li paket sayısı:

3x - 10

- Kalan

18

'li paket sayısı:

x - 20

olur.

Soruda verilen bilgiye göre son durumda kalan

12

'li paket sayısı, kalan

18

'li paket sayısının

5

katıdır:

3x - 10 = 5(x - 20)

3x - 10 = 5x - 100

2x = 90

x = 45

bulunur.

Son durumdaki paket ilişkilerini kullanarak bilinmeyen x değerini çözmek için denklem kurulur ve çözülür.

4

Toplam kalem sayısını hesaplama

x = 45

olduğuna göre başlangıçtaki toplam kalem sayısı:

54x = 54 \cdot 45 = 2430

olarak bulunur.

İlk adımda bulduğumuz toplam kalem sayısı formülünde x değerini yerine yazarak nihai sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürme ve denklem çözme.

İpuçları

1

Başlangıçtaki 18'li paket sayısına x diyerek işe başlayın ve 12'li paket sayısını x cinsinden yazın.

2

Açılan 10 adet 12'li paketten toplam kaç kalem çıktığını ve bu kalemlerin kaç tane 18'li paketi 24'lü pakete dönüştüreceğini hesaplayın.

3

Kalan 12'li paket sayısının (3x - 10), kalan 18'li paket sayısının (x - 20) 5 katı olduğunu gösteren 3x - 10 = 5(x - 20) denklemini çözün.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 64Soru →

Bir tiyatro salonunda bilet fiyatları yetişkinler için $120$ TL, öğrenciler için ise $80$ TL olarak belirlenmiştir. Bu tiyatro oyununa bilet alan $50$ kişilik bir gruptan toplam $4800$ TL ücret alınmıştır.

Buna göre, bu grupta kaç öğrenci vardır?

20

25

30

35

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Gruptaki öğrenci sayısı 30'dur.

Öğrenci sayısına

x

denilerek kurulan

80x + 120(50-x) = 4800

denklemi çözüldüğünde öğrenci sayısı 30 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bilinmeyenleri tanımlama

Öğrenci sayısı

x

ise yetişkin sayısı

50 - x

olur.

Toplam bilet alan kişi sayısı 50 olduğu için tek bir değişken türünden bilinmeyenleri ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

2

Denklemi kurma

80 \cdot x + 120 \cdot (50 - x) = 4800

Öğrenci ve yetişkin biletlerinden elde edilen toplam gelir 4800 TL'ye eşitlenmelidir.

3

Denklemi çözme

80x + 6000 - 120x = 4800 \Rightarrow 6000 - 40x = 4800 \Rightarrow 1200 = 40x \Rightarrow x = 30

Değişkeni yalnız bırakarak öğrenci sayısını bulmak için matematiksel işlemler sırasıyla uygulanır.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli durumları tek bilinmeyene indirgeyerek sayı problemi denklemi kurma ve çözme.

Soru 65Soru →

Bir kumbarada sadece $5$ TL'lik ve $10$ TL'lik madeni paralar bulunmaktadır. Bu kumbaradaki toplam madeni para sayısı $15$ 'tir.

Kumbaradaki paraların toplam değeri $110$ TL olduğuna göre, kumbarada kaç adet $5$ TL'lik madeni para vardır?

6

7

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Kumbarada 8 adet 5 TL'lik madeni para vardır.

Kumbaradaki 5 TL'lik paraların sayısı

x

olarak seçilirse, 10 TL'lik paraların sayısı

15-x

olur. Toplam parasal değer

5x + 10(15-x) = 110

denklemi ile gösterilir. Bu denklem çözüldüğünde

5x + 150 - 10x = 110 \Rightarrow 40 = 5x \Rightarrow x = 8

elde edilir. Bu nedenle 5 TL'lik madeni para sayısı 8 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımlama

5 TL'lik madeni paraların sayısı

x

olsun. Toplam para sayısı 15 olduğundan, 10 TL'lik madeni paraların sayısı

15 - x

olur.

Soruda istenen değeri tek bilinmeyenli bir denklem yardımıyla ifade etmek için.

2

Paraların toplam değerine göre denklemi kurma

Toplam değer:

5 \cdot x + 10 \cdot (15 - x) = 110

Paraların adetleri ile birim değerlerinin çarpımının toplamı, toplam tutar olan 110 TL'yi vermelidir.

3

Denklemi çözme

5x + 150 - 10x = 110 \Rightarrow -5x + 150 = 110 \Rightarrow 150 - 110 = 5x \Rightarrow 40 = 5x \Rightarrow x = 8

Bilinmeyeni yalnız bırakarak 5 TL'lik madeni paraların sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme

Soru 66Soru →

Bir kutuda bulunan toplam $30$ kitaptan bir kısmı roman, geri kalanı ise şiir kitabıdır. Kutudaki roman kitaplarının sayıs��, şiir kitaplarının sayısından $6$ fazladır. Buna göre, kutuda kaç tane roman kitabı vardır?

12

15

18

21

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Kutuda 18 tane roman kitabı vardır.

Şiir kitaplarının sayısına

x

dersek, roman kitaplarının sayısı

x+6

olur. Toplam kitap sayısı 30 olduğuna göre,

x + (x+6) = 30

denklemi kurulur. Buradan

2x + 6 = 30 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12

elde edilir. Roman kitaplarının sayısı

x+6

olduğu için

12+6=18

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kutudaki şiir kitaplarının sayısına

x

diyerek roman kitaplarının sayısını

x

cinsinden ifade edin.

Şiir kitaplarının sayısı

x

ise roman kitaplarının sayısı

x + 6

olur.

Roman kitaplarının sayısının şiir kitaplarından 6 fazla olduğu belirtilmiştir.

2

Toplam kitap sayısı olan 30'u kullanarak bir denklem kurun ve

x

değerini bulun.

x + (x + 6) = 30 \Rightarrow 2x + 6 = 30 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12

bulunur.

Kutudaki toplam kitap sayısı şiir ve roman kitaplarının toplamına eşittir.

3

Bulunan

x

değerini kullanarak roman kitaplarının sayısını hesaplayın.

Roman kitaplarının sayısı

x + 6 = 12 + 6 = 18

adettir.

Soruda bizden roman kitaplarının sayısı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir bilinmeyenli doğrusal denklem kurma ve çözme

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 67Soru →

Bir kafede satılan filtre kahvenin fiyatı $40$ TL, espressonun fiyatı ise $50$ TL'dir. Bu kafeden bir gün içinde toplam $80$ bardak filtre kahve ve espresso satılmıştır. Bu satıştan elde edilen gelirle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Espresso satılan bardak sayısı, filtre kahve satılan bardak sayısından fazladır.
* Satılan tüm espressolar filtre kahve fiyatından, filtre kahveler ise espresso fiyatından satılsaydı kafenin bu satıştan elde edeceği toplam gelir $120$ TL daha az olacaktı.

Buna göre, bu kafede gün içinde kaç bardak filtre kahve satılmıştır?

28

34

40

46

52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $34$

Cevap

Filtre kahve sayısı 34'tür.

Satılan filtre kahve sayısına

x

, espresso sayısına

y

dediğimizde; toplam satıştan

x + y = 80

denklemi elde edilir. Fiyatların yer değiştirmesiyle oluşan gelir farkından ise

(40x + 50y) - (50x + 40y) = 120 \implies 10(y - x) = 120 \implies y - x = 12

denklemi bulunur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde filtre kahve sayısı 34 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımlayalım ve toplam bardak sayısı denklemini kuralım.

x + y = 80

Filtre kahve sayısı

x

ve espresso sayısı

y

olmak üzere, toplam satılan bardak sayısı 80 olarak verilmiştir.

2

Gelir farkı bilgisini kullanarak ikinci denklemi yazalım.

y - x = 12

Gerçek gelir

40x + 50y

iken, fiyatlar yer değiştirdiğinde elde edilen olası gelir

50x + 40y

olur. Gelirdeki 120 TL'lik azalış

(40x + 50y) - (50x + 40y) = 120 \implies 10y - 10x = 120

eşitliğinden

y - x = 12

elde edilmesini sağlar.

3

Denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim.

x = 34

ve

y = 46

x + y = 80

ve

y - x = 12

denklemleri taraf tarafa toplandığında

2y = 92 \implies y = 46

bulunur. Buradan

x = 80 - 46 = 34

elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ve Sayı Problemleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 68Soru →

Bir restoranda iki kişilik ve dört kişilik olmak üzere toplam $36$ masa bulunmaktadır. Bu restorandaki tüm masalar tam kapasite dolu olduğunda toplam sandalye sayısı $112$ 'dir. Bir akşam bu restorandaki iki kişilik masaların bazılarından birer sandalye, dört kişilik masaların bazılarından ise ikişer sandalye kaldırılmıştır.

Son durumda restorandaki toplam sandalye sayısı $86$ 'ya düştüğüne göre, hiçbir sandalyesi kaldırılmayan masa sayısı en fazla kaç olabilir?

13

15

21

23

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $23$

Cevap

Sandalyesi kald��rılmayan masa sayısının en fazla olabileceği değer

23

'tür.

Denklem sistemi çözüldüğünde restoranda

16

tane iki kişilik,

20

tane dört kişilik masa olduğu görülür. Kaldırılan

26

sandalyenin minimum sayıda masadan gelmesi için ikişer sandalye kaldırılan dört kişilik masa sayısı (

b

) olabildiğince büyük seçilmelidir. İki kişilik masa sayısının sınırlı olması ve masalardan kaldırılan sandalyelerin negatif olamaması (

a \geq 0

) şartıyla

b

en fazla

13

olabilir. Bu durumda

13

masadan sandalye kaldırılmış olur ve geriye sandalyesi kaldırılmayan en fazla

36 - 13 = 23

masa kalır.

Adım Adım Çözüm

1

İki kişilik ve dört kişilik masa sayılarını bulmak için denklem sistemini kurun.

İki kişilik masa sayısı

x

, dört kişilik masa sayısı

y

olsun.

x + y = 36

ve

2x + 4y = 112

denklemleri elde edilir. Buradan

x = 16

ve

y = 20

bulunur.

Başlangıçtaki masa türlerinin sayılarını belirlemek için.

2

Kaldırılan sandalye sayısını hesaplayın.

Toplam kaldırılan sandalye sayısı

112 - 86 = 26

'dır.

Sandalyeleri kaldırılan masa sayıları arasındaki ilişkiyi bulmak için.

3

Sandalyeleri kaldırılan masalar için değişkenler tanımlayıp denklemi ve sınırları yazın.

Birer sandalyesi kaldırılan iki kişilik masa sayısı

a

, ikişer sandalyesi kaldırılan dört kişilik masa sayısı

b

olsun.

a + 2b = 26

denklemi kurulur. Sınırlar:

0 \leq a \leq 16

ve

0 \leq b \leq 20

olmalıdır.

Her masa türünden en fazla kaç tanesinden sandalye kaldırıldığını sınırlamak için.

4

Sandalyesi kaldırılmayan masa sayısını en fazla yapmak için kaldırılan masa sayısını en aza indirin.

Hiçbir sandalyesi kaldırılmayan masa sayısı

36 - (a + b)

ifadesi ile bulunur. Bu değerin en büyük olması için

a + b

toplamı en küçük olmalıdır.

a = 26 - 2b

yazılıp

a + b = 26 - b

elde edilir. Bu toplamı en küçük yapmak için

b

en büyük seçilmelidir.

a \geq 0 \implies 26 - 2b \geq 0 \implies b \leq 13

bulunur. En büyük

b = 13

için

a = 0

olur. Minimum

a + b = 13

bulunur.

Maksimum sandalyesi kaldırılmayan masa sayısına ulaşmak için.

5

Sandalyesi kaldırılmayan masa sayısını hesaplayın.

36 - 13 = 23

masa bulunur.

İstenen en büyük değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde çok değişkenli denklem kurma ve eşitsizlik sınırlarına göre en büyük/en küçük değer analizi yapma.

Alternatif Yöntem

Toplam sandalye sayısı

112

iken

86

'ya düştüğünden

26

sandalye kaldırılmıştır. Dört kişilik masalardan ikişer, iki kişilik masalardan ise birer sandalye kaldırıldığı için, her ikişer sandalye kaldırılan dört kişilik masa, iki kişilik masalardan birer sandalye kaldırılmasına kıyasla toplam kaldırılan masa sayısını azaltır. En az sayıda masadan sandalye kaldırmak için öncelikle dört kişilik masalardan ikişer sandalye kaldırırız.

26 / 2 = 13

tane dört kişilik masadan ikişer sandalye kaldırılırsa tam olarak

26

sandalye elde edilir ve bu durumda iki kişilik masalardan hiç sandalye kaldırılmamış olur (

a=0

). Böylece toplamda sadece

13

masadan sandalye kaldırılmış olur. Sandalyesi kaldırılmayan masa sayısı da en fazla

36 - 13 = 23

olur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 69Soru →

Bir çevrim içi eğitim platformunda, bir öğrenci izlediği her bir ders videosu için $20$ puan kazanmakta, izlemeden geçtiği her bir ders videosu için ise hesabından $5$ puan düşülmektedir.

Toplam $40$ videonun bulunduğu bu eğitim setindeki tüm videoları inceleyen bir öğrencinin hesabında dönem sonunda $500$ puan biriktiğine göre, bu öğrenci kaç ders videosunu izlemiştir?

12

20

25

28

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Öğrenci 28 ders videosunu izlemiştir.

İzlenen video sayısına

x

ve izlenmeden geçilen video sayısına

y

dediğimizde,

x + y = 40

ve

20x - 5y = 500

denklemleri elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

x = 28

olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1

İzlenen video sayısına

x

, izlenmeden geçilen video sayısına

y

diyerek toplam video sayısı üzerinden ilk denklemi kurun.

x + y = 40

Toplam video sayısı 40 olarak verilmiştir ve her video ya izlenmiş ya da izlenmeden geçilmiştir.

2

Kazanılan ve kaybedilen puanları kullanarak ikinci denklemi kurun.

20x - 5y = 500

Her izlenen video için 20 puan kazanılırken, her izlenmeden geçilen video için 5 puan kaybedilmektedir ve toplam puan 500'dür.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün. İkinci denklemi 5 ile sadeleştirip taraf tarafa toplayın.

4x - y = 100

elde edilir. Bu denklemi

x + y = 40

denklemi ile taraf tarafa toplarsak:

(4x - y) + (x + y) = 100 + 40 \implies 5x = 140 \implies x = 28

bulunur.

İzlenen video sayısını (

x

) bulmak için

y

değişkenini yok etme yöntemi uygulanır.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklem kurma ve yok etme yöntemiyle çözme

Alternatif Yöntem

Tüm videoların izlendiği varsayılırsa

40 \times 20 = 800

puan kazanılırdı. Gerçekte kazanılan puan

500

olduğuna göre kaybedilen fark

800 - 500 = 300

puandır. İzlenen bir video yerine izlenmeyen bir video tercih edildiğinde

20 - (-5) = 25

puanlık bir azalma olacağından, izlenmeyen video sayısı

300 / 25 = 12

olur. Buradan izlenen video sayısı

40 - 12 = 28

olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 70Soru →

Bir lojistik firması A, B ve C tipi toplam $70$ adet konteyneri bir kargo gemisine yükleyecektir. Bu konteynerlerin ağırlıkları ve sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A, B ve C tipi konteynerlerin her birinin ağırlığı sırasıyla $10$ ton, $15$ ton ve $25$ tondur.
* Gemideki A ve B tipi konteynerlerin toplam ağırlığı, C tipi konteynerlerin toplam ağırlığına eşittir.
* Gemideki B tipi konteynerlerin sayısı, A tipi konteynerlerin sayısının $3$ katından $5$ fazladır.

Buna göre, gemiye yüklenen C tipi konteynerlerin sayısı kaçtır?

15

20

25

30

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $25$

Cevap

Gemiye yüklenen C tipi konteynerlerin sayısı 25'tir.

Doğru yanıt olan 25 değerine ulaşmak için konteyner adetleri

a

,

b

ve

c

olarak tanımlanır. Toplam adet denklemi

a + b + c = 70

ve adetler arası ilişki

b = 3a + 5

kullanılarak

c = 65 - 4a

elde edilir. Ağırlıkların dengede olması koşulu olan

10a + 15b = 25c

ifadesi

2a + 3b = 5c

şeklinde sadeleştirilir. Bu denklemde

b

ve

c

değerleri

a

türünden yazılarak

a = 10

bulunur. Buradan da C tipi konteyner sayısı

c = 65 - 4(10) = 25

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Konteyner sayılarını değişkenlerle ifade ederek toplam konteyner sayısı denklemini kurmak.

A, B ve C tipi konteynerlerin sayıları sırasıyla

a

,

b

ve

c

olsun. Toplam konteyner sayısı:

a + b + c = 70

olur.

Soruda verilen toplam konteyner sayısını matematiksel olarak ifade etmek amacıyla bu adım uygulanır.

2

B tipi konteyner sayısı ile A tipi konteyner sayısı arasındaki ilişkiyi yazmak ve toplam sayısı denkleminde yerine koymak.

b = 3a + 5

eşitliği elde edilir. Bu ifadeyi toplam konteyner sayısı denkleminde yerine yazarsak:

a + (3a + 5) + c = 70 \implies 4a + c = 65 \implies c = 65 - 4a

elde edilir.

Değişken sayısını azaltarak tek bir değişken türünden (örneğin

a

cinsinden) ifadeler bulmak için bu işlem yapılır.

3

Konteynerlerin ağırlık ilişkisini kullanarak ikinci denklemi kurmak.

A, B ve C tipi konteynerlerin toplam ağırlıkları sırasıyla

10a

,

15b

ve

25c

tondur. Ağırlık eşitliği:

10a + 15b = 25c

olur. Her iki tarafı

5

ile sadeleştirirsek

2a + 3b = 5c

denklemi elde edilir.

Soruda verilen ağırlık dengesi koşulunu matematiksel modele dönüştürmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

4

Elde edilen

b = 3a + 5

ve

c = 65 - 4a

ifadelerini ağırlık denkleminde yerine yazarak

a

değerini çözmek.

2a + 3(3a + 5) = 5(65 - 4a) \implies 2a + 9a + 15 = 325 - 20a \implies 11a + 15 = 325 - 20a \implies 31a = 310 \implies a = 10

bulunur.

Bilinmeyen katsayıları bulup konteyner sayılarına ulaşmak için bu denklem çözülür.

5

Bulunan

a

değerini kullanarak C tipi konteyner sayısını (

c

) hesaplamak.

c = 65 - 4a

denkleminde

a = 10

yazılırsa,

c = 65 - 4(10) = 65 - 40 = 25

adet C tipi konteyner olduğu bulunur.

Soruda bizden istenen C tipi konteyner sayısına ulaşmak amacıyla bu hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde Denklem Kurma ve Çok Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözümü

Soru 71Soru →

Bir kargo firması, hasarsız teslim ettiği her bir küçük paket için $15$ TL, her bir büyük paket için ise $25$ TL taşıma ücreti almaktadır. Taşıma sırasında hasar gören her bir küçük paket için müşteriye $10$ TL, hasar gören her bir büyük paket için ise $20$ TL tazminat ödemekte ve bu hasarlı paketler için taşıma ücreti almamaktadır.

Bu kargo firmasının toplam $60$ paket taşıdığı bir günde; $5$ küçük paket ve $3$ büyük paket hasar görmüş, firmanın gün sonundaki toplam geliri ise $900$ TL olmuştur.

Buna göre, kargo firmasının hasarsız teslim ettiği küçük paket sayısı kaçtır?

23

26

29

34

44

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Hasarsız teslim edilen küçük paket sayısı

29

'dur.

Hasarsız küçük paket sayısına

x - 5

, hasarsız büyük paket sayısına

57 - x

denildiğinde; hasarsız paketlerden kazanılan toplam tutardan hasarlı paketler için ödenen tazminatlar çıkarılarak kurulan denklem çözüldüğünde toplam küçük paket sayısı

34

bulunur. Buradan hasarsız teslim edilen küçük paket sayısı

34 - 5 = 29

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Taşınan toplam küçük paket sayısına

x

diyelim. Toplam paket sayısı

60

olduğuna göre, taşınan büyük paket sayısı

60 - x

olur.

Küçük paket sayısı:

x

, Büyük paket sayısı:

60 - x

Bilinmeyenleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek denklem kurmayı kolaylaştırmak.

2

Hasarlı paket sayılarını kullanarak hasarsız teslim edilen paket sayılarını belirleyelim.

5

küçük paket ve

3

büyük paket hasar gördüğüne göre, hasarsız teslim edilen küçük paket sayısı

x - 5

, hasarsız teslim edilen büyük paket sayısı ise

(60 - x) - 3 = 57 - x

olur.

Hasarsız küçük paket:

x - 5

, Hasarsız büyük paket:

57 - x

Gelir hesaplamasında sadece hasarsız paketlerden taşıma ücreti alınacağını dikkate almak.

3

Firmanın elde ettiği toplam geliri ifade eden denklemi kuralım. Hasarsız paketlerden alınan ücretlerden, hasarlı paketler için ödenen tazminatları çıkaralım:

15(x - 5) - 10 \times 5 + 25(57 - x) - 20 \times 3 = 900

15x - 75 - 50 + 1425 - 25x - 60 = 900

Soruda verilen toplam gelirin

900

TL olduğu bilgisini matematiksel olarak eşitlemek.

4

Denklemi düzenleyerek

x

değerini bulalım.

-10x + 1240 = 900 \implies 10x = 340 \implies x = 34

Toplam küçük paket sayısını elde etmek.

5

Bizden hasarsız teslim edilen küçük paket sayısı istendiği için

x - 5

ifadesinin değerini hesaplayalım.

34 - 5 = 29

Soruda sorulan nihai değer olan hasarsız küçük paket sayısını bulmak.

Anahtar Kavram

Sözel bir problemi doğrusal denklem kurarak ve çözerek modelleme.

Soru 72Soru →

Bir metro istasyonundaki bilet otomatı yalnızca $5$ TL, $10$ TL ve $20$ TL'lik kâğıt paraları kabul etmektedir. Bu otomattan bilet alan $45$ yolcunun her biri otomata yalnızca birer adet kâğıt para atmıştır. Otomata atılan paraların toplam tutarı $475$ TL'dir. Otomata $10$ TL'lik para atan yolcu sayısı, $20$ TL'lik para atan yolcu sayısının $2$ katı olduğuna göre, otomata $5$ TL'lik para atan yolcu sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

10

20

15

25

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

5 TL'lik banknot atan yolcu sayısı 15'tir.

Doğru cevap olan 15 değeri, yolcu sayısı (

x + y + z = 45

) ve toplam tutar (

5x + 10y + 20z = 475

) denklemleri ile

y = 2z

ilişkisinin ortak çözülmesiyle elde edilir. Bu çözüm sonucunda

z = 10

,

y = 20

ve

x = 15

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bilinmeyenleri tanımlayarak yolcu sayısı ve toplam tutar denklemlerini yazın.

5 TL atan yolcu sayısı

x

, 10 TL atan yolcu sayısı

y

ve 20 TL atan yolcu sayısı

z

olsun. Bu durumda

x + y + z = 45

ve

5x + 10y + 20z = 475

olur.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dönüştürmek için.

2

Tutar denklemini sadeleştirin.

5x + 10y + 20z = 475

denkleminin her iki tarafı 5'e bölündüğünde

x + 2y + 4z = 95

denklemi elde edilir.

Daha küçük sayılarla işlem yaparak hata yapma olasılığını azaltmak için.

3

10 TL'lik ve 20 TL'lik banknot atan yolcu sayıları arasındaki ilişkiyi denklemlere uygulayın.

y = 2z

olduğu verilmiştir. Yolcu sayısı denkleminde

y

yerine

2z

yazılırsa

x + 3z = 45

elde edilir. Sadeleştirilmiş tutar denkleminde

y

yerine

2z

yazılırsa

x + 2(2z) + 4z = 95 \implies x + 8z = 95

elde edilir.

Değişken sayısını azaltarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.

x + 8z = 95

denkleminden

x + 3z = 45

denklemi taraf tarafa çıkarılırsa

5z = 50 \implies z = 10

bulunur. Buradan

y = 2z = 20

elde edilir.

Değişkenlerden birinin değerini bulmak ve diğer ilişkili değişkeni hesaplamak için.

5

5 TL'lik banknot atan yolcu sayısını hesaplayın.

x + y + z = 45 \implies x + 20 + 10 = 45 \implies x = 15

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen hedef değişkene ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri doğrusal denklem sistemlerine dönüştürme ve yok etme/yerine koyma yöntemleriyle çözme.

Sayı Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar