Sayısal Mantık

120 soru

Tüm türler120 Çoktan seçmeli114 Sayısal6

Soru 21Soru →

Bir kafede yan yana dizilmiş $5$ sandalye ( $1$ 'den $5$ 'e kadar soldan sağa doğru numaralandırılmış) bulunmaktadır. Ayşe, Berk, Can, Derya ve Elif adlı beş kişi bu sandalyelere oturacaktır. Bu kişilerin oturduğu yerlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ayşe ve Elif'in oturduğu sandalyeler arasında tam olarak iki sandalye vardır.
* Berk, Can'ın hemen sağındaki sandalyede oturmaktadır.
* Derya, $3$ numaralı sandalyede oturmamaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

Can,

4

numaralı sandalyede oturmaktadır.

Berk,

4

numaralı sandalyede oturmaktadır.

Derya,

5

numaralı sandalyede oturmaktadır.

Ayşe,

1

numaralı sandalyede oturmaktadır.

Elif,

2

numaralı sandalyede oturmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Can, $4$ numaralı sandalyede oturmaktadır.

Cevap

Can'ın

4

numaralı sandalyede oturduğunu belirten ifade kesinlikle yanlıştır.

Çözümde görüldüğü üzere, oluşturulabilen her iki geçerli durumda da Can ya

2

numaralı ya da

3

numaralı sandalyede oturmaktadır. Dolayısıyla Can'ın

4

numaralı sandalyede oturduğunu belirten ifade kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Ayşe ve Elif'in oturabileceği sandalyeleri belirleme.

Ayşe ve Elif'in oturduğu sandalyeler arasında tam olarak iki sandalye bulunması gerektiğinden, bu iki kişinin yerleşebileceği konumlar ya (

1, 4

) ya da (

2, 5

) olmalıdır.

Aralarında iki sandalye boşluğu olması için konum numaraları farkının

3

olması gerekir.

2

Birinci durumu (Ayşe ve Elif'in

1

ve

4

numaralı sandalyelerde olması) analiz etme.

Boş kalan sandalyeler

2, 3

ve

5

'tir. Berk, Can'ın hemen sağında (

C_B

biçiminde) olacağı için yan yana olan

2

ve

3

numaralı sandalyelere sırasıyla Can (

2

) ve Berk (

3

) oturur. Derya ise geriye kalan

5

numaralı sandalyeye oturur.

Derya'nın

3

numaralı sandalyede oturamayacağı kuralı bu durumda da sağlanmış olur (

5

numaralı sandalyededir).

3

İkinci durumu (Ayşe ve Elif'in

2

ve

5

numaralı sandalyelerde olması) analiz etme.

Boş kalan sandalyeler

1, 3

ve

4

'tür. Berk, Can'ın hemen sağında olacağı için yan yana boş olan

3

ve

4

numaralı sandalyelere sırasıyla Can (

3

) ve Berk (

4

) oturur. Derya ise geriye kalan

1

numaralı sandalyeye oturur.

Derya'nın

3

numaralı sandalyede oturamayacağı kuralı bu durumda da sağlanmış olur (

1

numaralı sandalyededir).

4

Can'ın oturabileceği sandalyeleri belirleme.

Olası yerleşimlerin tümü incelendiğinde Can yalnızca

2

ya da

3

numaralı sandalyede oturabilmektedir.

Bu iki durum dışında tüm kuralları sağlayan başka bir yerleşim düzeni bulunmamaktadır.

Anahtar Kavram

Mantıksal Akıl Yürütme ve Sıralama

İpuçları

1

Ayşe ve Elif'in oturabileceği sandalye çiftlerini (

1

ve

4

veya

2

ve

5

) belirleyerek başlayın.

2

Boş kalan sandalyelere Berk ve Can'ı yerleştirirken Berk'in Can'ın hemen sağında olması gerektiğini (yani yan yana olmalarını) unutmayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 22Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

\odot

işlemi, her

x

ve

y

gerçel sayısı için

x \odot y = 3x + y - 2(y \odot x)

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,

4 \odot 2

işleminin sonucu kaçtır?

14

10

2

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.

Verilen işlem tanımında

4 \odot 2

ve

2 \odot 4

ifadeleri birbirine bağlı iki bilinmeyen oluşturmaktadır. Bu ifadelere sırasıyla

A

ve

B

denilirse,

A = 14 - 2B

ve

B = 10 - 2A

doğrusal denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde yerine koyma yöntemi uygulandığında

A = 2

olarak çözülür. Bu da aradığımız

4 \odot 2

işleminin sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1

4 \odot 2

ifadesini bulmak için verilen tanımda

x = 4

ve

y = 2

yazılır.

4 \odot 2 = 3(4) + 2 - 2(2 \odot 4) \implies 4 \odot 2 = 14 - 2(2 \odot 4)

elde edilir.

İstenen ifadeyi, değişkenlerin yer değiştirmiş hali olan diğer bilinmeyen cinsinden yazmak için.

2

2 \odot 4

ifadesini bulmak için tanımda

x = 2

ve

y = 4

yazılır.

2 \odot 4 = 3(2) + 4 - 2(4 \odot 2) \implies 2 \odot 4 = 10 - 2(4 \odot 2)

elde edilir.

İki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurabilmek amacıyla ikinci bağıntıyı elde etmek için.

3

4 \odot 2 = A

ve

2 \odot 4 = B

dönüşümleri yapılarak elde edilen denklem sistemi çözülür.

A = 14 - 2B

ve

B = 10 - 2A

denklem sistemi elde edilir. İkinci denklem birincide yerine yazılırsa:

A = 14 - 2(10 - 2A) \implies A = 14 - 20 + 4A \implies A = -6 + 4A \implies 3A = 6 \implies A = 2

bulunur.

Bilinmeyenlerden

A

değerini, yani

4 \odot 2

işleminin sonucunu bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişme özelliği olmayan işlemlerde, değişkenlerin yerleri değiştirilerek iki bilinmeyenli denklem sistemleri kurulur ve ortak çözüm yöntemiyle sonuca ulaşılır.

İpuçları

1

4 \odot 2

değerini hesaplamak için verilen tanımda

x

yerine 4,

y

yerine 2 yazarak ilk denklemi kurun.

2

Elde ettiğiniz denklemde yer alan

2 \odot 4

ifadesini bulmak için bu kez tanımda

x

yerine 2,

y

yerine 4 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.

3

4 \odot 2 = A

ve

2 \odot 4 = B

değişken dönüşümlerini uygulayarak elde ettiğiniz iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde değişme özelliği olmayan ve kendisiyle ilişkili tanımlanan diğer işlem ve fonksiyon tiplerinde de değişkenlerin rollerini değiştirip sistem kurarak sonuca gidebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İşlem tanımını genel olarak çözmek de mümkündür.

x \odot y = A

ve

y \odot x = B

olsun. Buradan

A = 3x + y - 2B

ve

B = 3y + x - 2A

denklem sistemi yazılır. İkinci denklem birincide yerine yazılıp düzenlenirse, genel işlem formülü

x \odot y = \frac{5y - x}{3}

olarak elde edilir. Bu formülde

x=4

ve

y=2

yazıldığında doğrudan

4 \odot 2 = \frac{5(2) - 4}{3} = 2

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 23Soru →

Bir müzeyi hafta içi günlerde ziyaret eden öğrenci ve yetişkin sayıları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

Günler	Öğrenci Sayısı	Yetişkin Sayısı
Pazartesi	$120$	$80$
Salı	$150$	$90$
��arşamba	$100$	$110$
Perşembe	$130$	$70$
Cuma	$180$	$120$

Buna göre, hafta içi günlerde bu müzeyi ziyaret eden toplam öğrenci sayısı, toplam yetişkin sayısından kaç fazladır?

230

680

210

470

1150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $210$

Cevap

Toplam öğrenci sayısı ile toplam yetişkin sayısı arasındaki fark

210

'dur.

Hafta içi günlerdeki toplam öğrenci sayısı

680

, toplam yetişkin sayısı

470

olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark

680 - 470 = 210

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hafta içi günlerde müzeyi ziyaret eden toplam öğrenci sayısını hesaplayınız.

120 + 150 + 100 + 130 + 180 = 680

Toplam ��ğrenci sayısını bulmak için her günün öğrenci ziyaretçi sayılarını toplarız.

2

Hafta içi günlerde müzeyi ziyaret eden toplam yetişkin sayısını hesaplayınız.

80 + 90 + 110 + 70 + 120 = 470

Toplam yetişkin sayısını bulmak için her günün yetişkin ziyaretçi sayılarını toplarız.

3

Toplam öğrenci sayısından toplam yetişkin sayısını çıkararak farkı bulunuz.

680 - 470 = 210

Soruda öğrenci sayısının yetişkin sayısından kaç fazla olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Tablo verilerini okuma, sütun bazlı toplama yapma ve iki toplam arasındaki farkı bulma.

Soru 24Soru →

Bir $x_n$ sayı dizisinin ilk iki terimi $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$ olarak verilmiştir. Bu dizinin sonraki terimleri, her $n \geq 3$ doğal sayısı için aşağıdaki kurala göre belirlenmektedir:

x_n = \begin{cases} 2x_{n-1} - x_{n-2}, & n \text{ tek ise} \\ x_{n-1} + 3x_{n-2}, & n \text{ çift ise} \end{cases}

Buna göre, bu dizinin 7. terimi ( $x_7$ ) kaçtır?

27

65

107

126

213

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 107

Cevap

107

Dizinin tanımına göre

n

tek sayı iken önceki terimin iki katından iki önceki terim çıkarılır;

n

çift sayı iken önceki terim ile iki önceki terimin üç katı toplanır. Bu kurallar sırasıyla uygulandığında terimler

x_3 = 5

,

x_4 = 14

,

x_5 = 23

,

x_6 = 65

ve nihayetinde

x_7 = 107

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

n = 3

(tek sayı) için kuralı uygulayarak üçüncü terimi hesaplayın.

x_3 = 2x_2 - x_1 = 2(3) - 1 = 5

n

tek olduğunda

x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2}

formülü kullanılır.

2

n = 4

(çift sayı) için kuralı uygulayarak dördüncü terimi hesaplayın.

x_4 = x_3 + 3x_2 = 5 + 3(3) = 14

n

çift olduğunda

x_n = x_{n-1} + 3x_{n-2}

formülü kullanılır.

3

n = 5

(tek sayı) için kuralı uygulayarak beşinci terimi hesaplayın.

x_5 = 2x_4 - x_3 = 2(14) - 5 = 23

n

tek olduğunda

x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2}

formülü kullanılır.

4

n = 6

(çift sayı) için kuralı uygulayarak altıncı terimi hesaplayın.

x_6 = x_5 + 3x_4 = 23 + 3(14) = 65

n

çift olduğunda

x_n = x_{n-1} + 3x_{n-2}

formülü kullanılır.

5

n = 7

(tek sayı) için kuralı uygulayarak yedinci terimi hesaplayın.

x_7 = 2x_6 - x_5 = 2(65) - 23 = 107

n

tek olduğunda

x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2}

formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı ve indirgemeli sayı dizilerinde indis kurallarına göre terim hesaplama

Soru 25Soru →

Bir şirkette çalışan Ali, Burcu, Ceyda ve Deniz isimli dört çalışan; pazartesi, salı, çarşamba ve perşembe günlerinden oluşan dört günlük bir sürede her gün birer kişi olacak şekilde nöbet tutacaktır. Nöbet günleriyle ilgili bilinenler şunlardır:

* Ceyda, salı günü nöbet tutacaktır.
* Ali, Deniz'den hemen sonraki gün nöbet tutacaktır.

Buna göre, perşembe günü kim nöbet tutacaktır?

Burcu

Ceyda

Ali

Deniz

Burcu veya Deniz

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ali

Cevap

Perşembe günü Ali nöbet tutacaktır.

Ceyda salı gününe yerleştirildikten sonra, Ali'nin Deniz'den hemen sonraki gün nöbet tutabilmesi için gerekli olan iki ardışık boş gün yalnızca çarşamba ve perşembe olmaktadır. Bu durumda Deniz çarşamba, Ali ise perşembe günü nöbet tutar. Dolayısıyla doğru cevap Ali olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ilk bilgiyi kullanarak Ceyda'yı salı gününe yerleştirelim.

Salı günü Ceyda'nın nöbet günü olarak kesinleşir. Geriye kalan bo�� günler pazartesi, çarşamba ve perşembedir.

Soruda Ceyda'nın salı günü nöbet tutacağı doğrudan belirtilmiştir.

2

Ali'nin Deniz'den hemen sonraki gün nöbet tutması koşulunu inceleyelim.

Deniz ve Ali ardışık günlerde (Deniz önce, Ali sonra olacak şekilde) nöbet tutmalıdır. Salı günü dolu olduğu için, bu iki günlük boş blok yalnızca çarşamba ve perşembe günleri olabilir. Bu durumda Deniz çarşamba, Ali ise perşembe günü nöbet tutar.

Pazartesi ve salı günleri ardışık olmasına rağmen salı günü dolu olduğundan Deniz ve Ali bu günlere yerleştirilemez. Geriye kalan tek boş ardışık gün çifti çarşamba ve perşembedir.

3

Boşta kalan son kişiyi boşta kalan son güne yerleştirelim.

Boşta kalan tek gün olan pazartesi gününe Burcu yerleştirilir. Böylece nöbet planı tamamlanmış olur: Pazartesi (Burcu), Salı (Ceyda), Çarşamba (Deniz), Perşembe (Ali).

Tablodaki tüm günleri ve kişileri eksiksiz eşleştirmek için.

Anahtar Kavram

Koşullara göre sıralama ve yerleştirme yapma.

İpuçları

1

Ceyda'yı salı gününe yerleştirdikten sonra geriye kalan boş günleri yazın.

2

Ali'nin Deniz'den hemen sonra nöbet tutması kuralı gereği, bu iki kişinin nöbet günlerinin yan yana olması ve Deniz'in önce gelmesi gerektiğini dikkate alın.

Tahmini Süre:50s

Soru 26Soru →

Yan yana dizilmiş $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ve $E$ kutularının her birine $1, 2, 3, 4$ ve $5$ sayılarından farklı biri yazılacaktır. Bu sayılar kutulara yerleştirilirken aşağıdaki kurallara uyulacaktır:

* $A$ kutusundaki sayı, $B$ kutusundaki sayıdan büyüktür ( $A > B$ ).
* $C$ kutusundaki sayı, $D$ kutusundaki sayıdan küçüktür ( $C < D$ ).
* Yan yana olan herhangi iki kutudaki sayıların toplamı tektir.

Buna göre, $C$ kutusuna yazılabilecek farklı sayıların toplamı kaçtır?

3

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

C kutusuna yazılabilecek farklı sayıların toplamı 4'tür.

Çözüm adımlarında görüldüğü üzere, kutuların teklik-çiftlik durumları analiz edildiğinde C kutusuna sadece 1 ve 3 tek sayıları gelebilmektedir. Bu değerlerin toplamı da 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Kutulardaki sayıların teklik-çiftlik özelliklerini belirleme.

Kutuların sıralaması Tek-Çift-Tek-Çift-Tek olmalıdır. Dolayısıyla A, C ve E kutularına tek sayılar ({1, 3, 5}); B ve D kutularına çift sayılar ({2, 4}) gelmelidir.

Yan yana olan iki kutunun toplamının tek olması için birinin tek, diğerinin çift olması gerekir. 3 tek ve 2 çift sayı olduğundan, ardışık dizilim ancak tek sayı ile başlayıp tek sayı ile bittiğinde mümkündür.

2

Çift sayıların (B ve D) kutulara dağılım senaryolarını inceleme.

İki ana durum vardır: Durum 1 (B=2, D=4) ve Durum 2 (B=4, D=2).

B ve D kutuları çift sayılar kümesinden ({2, 4}) değer alacaktır.

3

Durum 1 (B=2, D=4) için tek sayıları (A, C, E) yerleştirme.

C kutusu 1 veya 3 değerlerini alabilir. Geçerli yerleşimler: (A=3, B=2, C=1, D=4, E=5), (A=5, B=2, C=1, D=4, E=3) ve (A=5, B=2, C=3, D=4, E=1).

A > 2 koşulu için A = 3 veya 5 olabilir. C < 4 koşulu için C = 1 veya 3 olabilir.

4

Durum 2 (B=4, D=2) için tek sayıları (A, C, E) yerleştirme.

C kutusu sadece 1 değerini alabilir. Geçerli yerleşim: (A=5, B=4, C=1, D=2, E=3).

A > 4 koşulu için A sadece 5 olabilir. C < 2 koşulu için C sadece 1 olabilir.

5

C kutusunun alabileceği farklı değerlerin toplamını hesaplama.

C kutusu 1 veya 3 değerlerini alabilir. Toplam: 1 + 3 = 4 olur.

Olası tüm durumlarda C'nin alabildiği farklı değerler kümesi {1, 3} olarak belirlenmiştir.

Anahtar Kavram

Teklik-çiftlik özellikleri ve eşitsizlik kısıtları altında mantıksal akıl yürütme

İpuçları

1

Yan yana olan kutulardaki sayıların toplamının tek olması, bu sayıların birinin tek diğerinin çift olması gerektiği anlamına gelir.

2

Elimizde 3 tek (1, 3, 5) ve 2 çift (2, 4) sayı var. Bunları 5 kutuya ardışık tek-çift şeklinde dizmenin tek yolu Tek-Çift-Tek-Çift-Tek sıralamasıdır.

3

B ve D kutuları çift sayılardır. B=2, D=4 durumunu ve B=4, D=2 durumunu ayrı ayrı inceleyerek A > B ve C < D koşullarını sağlayan C tek sayılarını bulun.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 27Soru →

Bir geri dönüşüm firması; topladığı plastik atıkların tonu için $5$ bin TL, kağıt atıkların tonu için $3$ bin TL ve metal atıkların tonu için $10$ bin TL ödeme yapmaktadır. Aşağıdaki tabloda, bir şehirdeki üç farklı ilçeden bir ayda toplanan atık miktarları ton cinsinden verilmiştir:

İlçe	Plastik (ton)	Kağıt (ton)	Metal (ton)
Çankaya	120	150	45
Yenimahalle	160	100	70
Mamak	80	200	20

Buna göre, Mamak ilçesinde toplanan atıkların toplam maddi değeri, Çankaya ilçesinde toplanan atıkların toplam maddi değerinden yüzde kaç azdır?

10

15

20

25

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Mamak ilçesinde toplanan atıkların toplam maddi değeri, Çankaya ilçesinde toplanan atıkların toplam maddi değerinden %20 azdır.

Doğru cevap olan 20 seçeneği, Çankaya (1500 bin TL) ve Mamak (1200 bin TL) ilçelerinin toplam atık gelirleri doğru hesaplandıktan sonra, aradaki 300 bin TL'lik farkın Çankaya'nın değerine oranlanmasıyla (300/1500 = 1/5 = %20) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Çankaya ilçesinde toplanan atıkların toplam maddi değerini hesaplamak.

Plastik:

120 \times 5 = 600

bin TL, Kağıt:

150 \times 3 = 450

bin TL, Metal:

45 \times 10 = 450

bin TL. Toplam:

600 + 450 + 450 = 1500

bin TL.

Mamak ile karşılaştırma yapabilmek için öncelikle Çankaya'nın toplam gelirini belirlemeliyiz.

2

Mamak ilçesinde toplanan atıkların toplam maddi değerini hesaplamak.

Plastik:

80 \times 5 = 400

bin TL, Kağıt:

200 \times 3 = 600

bin TL, Metal:

20 \times 10 = 200

bin TL. Toplam:

400 + 600 + 200 = 1200

bin TL.

Karşılaştırma yapılacak diğer değer olan Mamak'ın toplam gelirini belirlemek.

3

Mamak'taki atık değerinin Çankaya'dakinden ne kadar az olduğunu yüzde olarak hesaplamak.

Fark:

1500 - 1200 = 300

bin TL. Azalış yüzdesi:

\frac{300}{1500} \times 100 = 20

(%20).

Soruda istenen azalış oranını, referans alınan Çankaya'nın toplam değerine bölerek bulmak.

Anahtar Kavram

Tablodaki verileri belirli katsayılarla çarparak toplam değer üretme ve bu değerler arasındaki yüzde değişimini hesaplama.

Soru 28Soru →

Bir $(a_n)$ sayı dizisinde her $n \geq 2$ pozitif tam sayısı için,

a_n = \begin{cases} a_{n-1} + 3, & n \text{ çift ise} \\ 2 \cdot a_{n-1}, & n \text{ tek ise} \end{cases}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

$a_1 = 1$ olduğuna göre, $a_{11}$ teriminin değeri kaçtır?

109

112

218

125

31

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $218$

Cevap

218

Dizinin terimleri, indisin çift veya tek olmasına göre belirlenen kurallara göre adım adım hesaplandığında 11. terim olan

a_{11}

değeri 218 olarak bulunur.

a_{10} = 109

bulunduktan sonra, 11 tek bir sayı olduğu için bu değer 2 ile çarpılarak 218 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin ilk terimi olan

a_1 = 1

değerinden başlayarak sırasıyla sonraki terimleri tanımlanan kurallara göre hesaplamak.

a_1 = 1

Sonraki terimleri bulmak için başlangıç değerine ihtiyacımız vardır.

2

n = 2

için

n

çift olduğundan

a_2 = a_1 + 3

kuralını uygulamak.

a_2 = 1 + 3 = 4

Çift indisli terimler bir önceki terimin 3 fazlasına eşittir.

3

n = 3

için

n

tek olduğundan

a_3 = 2 \cdot a_2

kuralını uygulamak.

a_3 = 2 \cdot 4 = 8

Tek indisli terimler bir önceki terimin 2 katına eşittir.

4

Aynı mantığı takip ederek sırasıyla

a_4

ile

a_{11}

arasındaki tüm terimleri sırayla hesaplamak.

a_4 = 11

,

a_5 = 22

,

a_6 = 25

,

a_7 = 50

,

a_8 = 53

,

a_9 = 106

,

a_{10} = 109

,

a_{11} = 218

İndis çift ise 3 ekleme, tek ise 2 ile çarpma kuralı ardışık olarak uygulanarak

a_{11}

değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli bir kurala göre ilerleyen sayı dizilerinde terimlerin adım adım hesaplanması ve örüntünün analizi.

Soru 29Soru →

Bir mandırada üretilen peynir, yoğurt ve tereyağı ürünlerine ait bazı bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ürün	1 kg Ürün İçin Gereken Çiğ Süt (Litre)	1 kg Ürünün Satış Fiyatı (TL)
Peynir	10	300
Yoğurt	3	80
Tereyağı	20	500

Bu mandırada bir günde toplam $1300$ litre çiğ süt kullanılarak bu üç üründen belirli miktarlarda üretilmiştir. Bu üretime ilişkin aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* Üretilen tereyağı miktarı (kg), peynir miktarından (kg) $\%25$ azdır.
* Yoğurt ve tereyağı satışından elde edilen toplam gelir $23.000$ TL'dir.

Buna göre, tereyağı üretiminde kullanılan toplam çiğ süt miktarı, peynir üretiminde kullanılan toplam çiğ süt miktarından kaç litre fazladır?

100

375

200

300

1000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Tereyağı ve peynir üretimi için kullanılan çiğ süt miktarlarının farkı 200 litredir.

Doğru cevap olan değer, denklem sisteminin doğru çözülmesi ile tereyağı için kullanılan

600

litre süt ile peynir için kullanılan

400

litre sütün farkı alınarak

200

litre olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ürünlerin üretim miktarlarını değişkenlerle ifade edip yüzde ilişkisini kurma.

Üretilen peynir miktarı

x

kg, yoğurt miktarı

y

kg ve tereyağı miktarı

z

kg olsun. Tereyağı miktarı peynirden

\%25

az olduğuna göre,

z = 0,75x = \frac{3}{4}x

elde edilir. Buradan

x = \frac{4}{3}z

yazılır.

Değişkenler arasındaki bağıntıyı belirleyip tek bir değişkene indirgemek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

Toplam çiğ süt miktarını veren denklemi yazma ve değişkenleri yerine koyma.

Toplam süt miktarı

10x + 3y + 20z = 1300

litredir.

x = \frac{4}{3}z

eşitliği yerine yazılırsa:

10\left(\frac{4}{3}z\right) + 3y + 20z = 1300 \implies \frac{100}{3}z + 3y = 1300

olur. Denklemin tamamı 3 ile çarpıldığında

100z + 9y = 3900

elde edilir.

Toplam süt tüketimi verisini yoğurt (

y

) ve tereyağı (

z

) miktarlarını birbirine bağlayan bir denkleme dönüştürmek için.

3

Toplam gelir denklemini yazma ve elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.

Yoğurt ve tereyağı satışından elde edilen toplam gelir:

80y + 500z = 23.000

TL'dir. Denklem sadeleştirilirse

4y + 25z = 1150

olur. Bu denklemi 4 ile genişletirsek

16y + 100z = 4600

elde edilir. İki denklem çıkarılırsa:

(16y + 100z) - (9y + 100z) = 4600 - 3900 \implies 7y = 700 \implies y = 100

kg bulunur. Buradan

4(100) + 25z = 1150 \implies 25z = 750 \implies z = 30

kg bulunur.

Sistemdeki denklemleri yok etme metodunu kullanarak yoğurt ve tereyağı üretim miktarlarını ayrı ayrı bulmak için.

4

Peynir miktarını bulma ve her iki ürün için kullanılan süt miktarlarını ve farkını hesaplama.

x = \frac{4}{3}z = \frac{4}{3} \times 30 = 40

kg peynir üretilmiştir. Tereyağı üretimi için kullanılan çiğ süt miktarı

30 \times 20 = 600

litredir. Peynir üretimi için kullanılan çiğ süt miktarı

40 \times 10 = 400

litredir. Aralarındaki fark ise

600 - 400 = 200

litredir.

İstenen iki ürünün çiğ süt tüketim farkını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Tablolardaki verileri doğrusal denklemlere dökerek bilinmeyen değerleri çözme ve yüzde hesaplamalarını uygulama.

Soru 30Soru →

Her

a

ve

b

gerçel sayısı için

\square

işlemi,

a \square b = a^2 - 2b

biçiminde tan��mlanıyor.

Buna göre, $4 \square 5$ işleminin sonucu kaçtır?

26

-2

6

17

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İşlemin doğru sonucu 6 olarak bulunur.

İşlem tanımında birinci bileşen olan

a

yerine

4

, ikinci bileşen olan

b

yerine

5

yazıldığında

4^2 - 2 \times 5 = 16 - 10 = 6

değeri elde edilir. Bu nedenle doğru yanıt 6 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Tanımlanan işlemde birinci bile��en olan

a

yerine

4

ve ikinci bileşen olan

b

yerine

5

yazılır.

4 \square 5 = 4^2 - 2 \times 5

ifadesi elde edilir.

İşlem tanımında birinci bileşen

a

, ikinci bileşen ise

b

değişkenine karşılık gelmektedir.

2

4^2

üslü ifadesinin değeri hesaplanır.

4^2 = 16

bulunur.

4

sayısının karesi kendisiyle çarpılarak hesaplanır.

3

2 \times 5

çarpım işleminin değeri hesaplanır.

2 \times 5 = 10

bulunur.

İşlem önceliğine göre çıkarma yapılmadan önce çarpma işlemi tamamlanmalıdır.

4

Elde edilen sonuçlar çıkarılarak nihai sonuca ulaşılır.

16 - 10 = 6

bulunur.

Çıkarma işlemi gerçekleştirilerek işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin yerine doğru yerleştirilmesi ve işlem önceliği kurallarının uygulanması.

Tahmini Süre:45s

Soru 31Soru →

Bir üniversitenin A, B, C, D ve E seçmeli derslerinden her biri Pazartesi, Salı ve Çarşamba günlerinden birinde verilmektedir. Bu derslerin günleriyle ilgili şunlar bilinmektedir:

* Her gün en az bir ders verilmektedir.
* Pazartesi günü verilen ders sayısı, Çarşamba günü verilen ders sayısından fazladır.
* A ve B dersleri aynı gün verilmektedir.
* C ve D dersleri farklı günlerde verilmektedir.
* E dersi Salı günü verilmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A dersi Pazartesi günü verilmektedir.

C dersi Çarşamba günü verilmektedir.

Salı günü yalnızca bir ders verilmektedir.

D dersi Salı günü verilmektedir.

E dersi ile C dersi aynı gün verilmektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A dersi Pazartesi günü verilmektedir.

Cevap

A dersi Pazartesi günü verilmektedir.

Yapılan analizler sonucunda A ve B derslerinin Salı ya da Çarşamba günlerinde verilemeyeceği, kesinlikle Pazartesi günü verilmesi gerektiği bulunmuştur. Dolayısıyla A dersinin Pazartesi günü verildiği ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Günlerin ders sayıları arasındaki ilişkiyi analiz etme

Pazartesi günü ders sayısı Çarşamba gününden fazla (P > Ç) ve her gün en az 1 ders verildiği için Çarşamba günü yalnızca 1 ders verilebilir. Eğer Çarşamba 2 ders olsaydı, Pazartesi en az 3 ders olmalıydı; bu durumda Salı gününe ders kalmazdı (toplam 5 ders vardır). Dolayısıyla Çarşamba günü kesinlikle 1 ders verilmektedir.

Toplam ders sayısını ve her güne en az 1 ders düşmesi kuralını sağlamak için olası sayı kombinasyonlarını belirlemek gerekir.

2

A ve B derslerinin gününü belirleme

A ve B dersleri aynı gün verilmektedir. E dersi Salı günü verildiği için Salı günü ders sayısı en az 1'dir. Eğer A ve B Salı günü verilseydi, Salı günkü ders sayısı en az 3 olurdu ve toplam ders sayısı kuralı gereği Çarşamba ile Pazartesi günlerine kalan ders sayısı 1'den az olurdu. Eğer A ve B Çarşamba günü verilseydi, Çarşamba en az 2 ders olurdu ancak Çarşamba günü sadece 1 ders verilebildiğini bulmuştuk. Bu durumda A ve B dersleri kesinlikle Pazartesi günü verilmelidir.

A ve B derslerinin aynı gün verilmesi kuralını diğer günlerin kapasite sınırlarıyla karşılaştırarak doğru günü bulmak gerekir.

3

Kesin doğru seçeneği belirleme

A ve B dersleri kesinlikle Pazartesi günü verildiğine göre, 'A dersi Pazartesi günü verilmektedir' ifadesi kesinlikle doğrudur.

Elde edilen kesin bilgiyi seçeneklerle karşılaştırarak doğru cevaba ulaşmak gerekir.

Anahtar Kavram

Mantıksal Akıl Yürütme ve Tablo/Eşleştirme Analizi

Soru 32Soru →

Bir teknoloji mağazasında Ocak, Şubat ve Mart aylarında satılan X, Y ve Z marka cep telefonlarının sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Ay	X Marka	Y Marka	Z Marka
Ocak	$80$	$a$	$120$
Şubat	$b$	$100$	$150$
Mart	$120$	$2a$	$b$

Bu üç ayda satılan toplam X marka telefon sayısı, toplam Y marka telefon sayısından $50$ fazladır. Ayrıca Ocak ve Şubat aylarında satılan toplam Z marka telefon sayısı, Mart ayında satılan toplam X ve Y marka telefon sayısına eşittir.

Buna göre, Mart ayında satılan Z marka telefon sayısı kaçtır?

75

175

275

70

400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $175$

Cevap

Mart ayında satılan Z marka telefon sayısı 175 adettir.

Tablodan elde edilen toplam X sayısı

200 + b

ve toplam Y sayısı

3a + 100

ifadeleridir. İlk koşul gereği

200 + b = 3a + 150 \implies b = 3a - 50

bulunur. İkinci koşuldan Ocak ve Şubat aylarındaki toplam Z sayısı olan

270

, Mart ayındaki toplam X ve Y sayısı olan

120 + 2a

ifadesine eşitlenerek

a = 75

elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında doğru yanıt 175 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

X ve Y marka telefonların üç aylık toplam satış miktarlarını a ve b cinsinden ifade edelim.

Toplam X marka sayısı:

80 + b + 120 = 200 + b

, toplam Y marka sayısı:

a + 100 + 2a = 3a + 100

olur.

Marka bazındaki toplam satışları bulup denklem ilişkisini kurabilmek için.

2

Toplam X marka telefon sayısının toplam Y marka telefon sayısından 50 fazla olduğunu belirten denklemi kurup düzenleyelim.

200 + b = (3a + 100) + 50 \implies b = 3a - 50

elde edilir.

a ve b değişkenleri arasındaki ilk bağıntıyı oluşturmak için.

3

Ocak ve Şubat aylarındaki toplam Z marka sayısını, Mart ayındaki toplam X ve Y sayısı ile eşitleyelim.

120 + 150 = 120 + 2a \implies 270 = 120 + 2a

elde edilir.

Soruda verilen ikinci koşul yardımıyla a değerine ulaşmak için.

4

Elde edilen denklemi çözerek a değerini bulalım.

2a = 150 \implies a = 75

olur.

a değişkeninin sayısal değerini belirlemek için.

5

a = 75 değerini ilk denklemde yerine yazarak b değerini hesaplayalım.

b = 3(75) - 50 = 225 - 50 = 175

bulunur.

Mart ayındaki Z marka telefon sayısını temsil eden b değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Tablo verilerini kullanarak doğrusal denklem kurma ve çözme

İpuçları

1

X ve Y marka telefonların üç aylık toplam sayılarını a ve b cinsinden ifade ederek ilk denklemi kurun.

2

Ocak ve Şubat aylarındaki toplam Z sayısını (

120 + 150

) Mart ayındaki toplam X ve Y sayısına (

120 + 2a

) eşitleyerek a değerini hesaplayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 33Soru →

Bir iş merkezinin 1, 2 ve 3. katlarında çalışan Ahmet, Burak ve Can isimli üç kişinin çalıştıkları katlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ahmet, 1. katta çalışmaktadır.
* Burak, Can'dan daha üst bir katta çalışmaktadır.

Buna göre, 2. katta çalışan kişi aşağıdakilerden hangisidir?

Ahmet

Burak

Can

Ahmet veya Burak

Burak veya Can

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Can

Cevap

Can

Ahmet'in 1. katta çalıştığı kesin olarak verilmiştir. Geriye kalan 2. ve 3. katlar için Burak'ın Can'dan daha üstte çalıştığı belirtilmiştir. Bu durumda Burak en üst kat olan 3. katta, Can ise 2. katta çalışmalıdır. Dolayısıyla 2. katta çalışan kişi Can'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Ahmet'in çalıştığı katı belirleyin.

Ahmet, 1. katta çalışmaktadır.

Soruda Ahmet'in 1. katta çalıştığı bilgisi doğrudan verilmiştir.

2

Geriye kalan katları ve kişileri listeleyin.

Boşta kalan katlar 2 ve 3; yerleşecek kişiler ise Burak ve Can'dır.

1. kat dolu oldu��u için geriye sadece 2. ve 3. katlar kalmıştır.

3

Kalan kişiler arasındaki büyüklük ilişkisini uygulayın.

Burak 3. katta, Can ise 2. katta çalışmaktadır.

Burak'ın Can'dan daha üst bir katta çalıştığı belirtildiğine göre 3 > 2 sıralamasından dolayı Burak 3. kata, Can ise 2. kata yerleşir.

Anahtar Kavram

Koşullara bağlı basit sıralama ve mantıksal eşleştirme yapma.

Soru 34Soru →

Bir

(x_n)

dizisinde başlangıç terimleri

x_1 = 2

ve

x_2 = 3

olarak verilmiştir. Bu dizinin sonraki her bir terimi, kendisinden önceki iki terim kullanılarak

x_n = S(x_{n-1}^2 + x_{n-2}) \quad (n \geq 3)

biçiminde tanımlanmaktadır. Burada

S(a)

sembolü,

a

doğal sayısının rakamları toplamını temsil etmektedir.
Buna göre, bu dizinin 2026. terimi olan

x_{2026}

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

6

10

11

12

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Dizinin 2026. terimi olan 12 sayısı doğru cevaptır.

Dizinin terimleri yazıldığında, başlangıçtaki geçiş terimlerinin ardından 5. terimden itibaren her 8 adımda bir tekrarlanan

\{6, 7, 10, 8, 11, 12, 11, 7\}

döngüsü gözlemlenir. İndis analizi yapıldığında 2026. terim, bu döngüdeki 12 değerine tam olarak karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin ilk birkaç terimini verilen kurala göre hesaplayalım.

x_3 = S(3^2 + 2) = S(11) = 2

x_4 = S(2^2 + 3) = S(7) = 7

x_5 = S(7^2 + 2) = S(51) = 6

x_6 = S(6^2 + 7) = S(43) = 7

x_7 = S(7^2 + 6) = S(55) = 10

x_8 = S(10^2 + 7) = S(107) = 8

x_9 = S(8^2 + 10) = S(74) = 11

x_{10} = S(11^2 + 8) = S(129) = 12

x_{11} = S(12^2 + 11) = S(155) = 11

x_{12} = S(11^2 + 12) = S(133) = 7

x_{13} = S(7^2 + 11) = S(60) = 6

x_{14} = S(6^2 + 7) = S(43) = 7

Dizinin ilerleyen adımlarında bir örüntü veya periyodik tekrar oluşup oluşmadığını kontrol etmek.

2

Terimler arasındaki tekrarlama döngüsünü (periyodu) belirleyelim.

x_5 = 6

ve

x_6 = 7

iken,

x_{13} = 6

ve

x_{14} = 7

olarak aynı ardışık ikilinin elde edildiği görülür. Dizi tanımı gereği her terim kendinden önceki iki terime bağlı olduğundan, dizi

x_5

teriminden itibaren kendini periyodik olarak tekrar etmeye ba��lar. Bu döngünün uzunluğu

13 - 5 = 8

terimdir.

Sonsuz terimi tek tek hesaplamak yerine periyodiklik kuralı sayesinde büyük terimleri hızlıca bulabilmek.

3

Döngüyü oluşturan 8 terimlik periyodik grubu listeleyelim.

Tekrar eden grup:

\{6, 7, 10, 8, 11, 12, 11, 7\}

şeklindedir.
Buna göre, her

k \geq 0

tam sayısı için:

x_{5+8k} = 6

,

x_{6+8k} = 7

,

x_{7+8k} = 10

,

x_{8+8k} = 8

,

x_{9+8k} = 11

,

x_{10+8k} = 12

,

x_{11+8k} = 11

,

x_{12+8k} = 7

eşitlikleri yazılabilir.

Genel terimlerin hangi indis formüllerine karşılık geldiğini netleştirmek.

4

2026. terim (

n = 2026

) için periyottaki karşılığını hesaplayalım.

n \geq 5

için

n = 5 + 8k + r

biçiminde ifade edilirse,

2026 - 5 = 2021

elde edilir.

2021

sayısı

8

'e bölündüğünde:

2021 = 8 \times 252 + 5

olur ve kalan

r = 5

bulunur.
Bu durumda

x_{2026} = x_{10} = 12

olarak hesaplanır.

Bölme işlemiyle 2026 indisinin periyodun kaçıncı elemanına denk düştüğünü saptamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden indirgemeli sayı dizilerinde periyot belirleme ve modüler aritmetik yardımıyla büyük indisli terimleri bulma.

Soru 35Soru →

Bir kargo firması $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ve $E$ kentleri arasında taşımacılık yapmaktadır. Bu kentler arasındaki do��rudan uçuş rotaları ve yönleri ile ilgili bilgiler şu şekildedir:

* $A$ kentinden yalnızca $B$ ve $C$ kentlerine doğrudan uçuş vardır.
* $B$ kentinden yalnızca $D$ kentine doğrudan uçuş vardır.
* $C$ kentinden yalnızca $B$ ve $E$ kentlerine doğrudan uçuş vardır.
* $D$ kentinden yalnızca $C$ ve $E$ kentlerine doğrudan uçuş vardır.
* $E$ kentinden yalnızca $A$ kentine doğrudan uçuş vardır.

Bir paketin bir kentten diğerine ulaşması için bu doğrudan uçuşlar aktarmalı olarak kullanılabilmektedir.

En az sayıda uçuş yaparak (en kısa yoldan) ulaşım sağlandığında, aşağıdaki kent çiftlerinin hangisinde birinci kentten ikinci kente gönderilen bir paketin aktarıldığı (uğradığı) ara kent sayısı diğerlerinden daha fazladır?

A

kentinden

D

kentine

C

kentinden

A

kentine

B

kentinden

A

kentine

D

kentinden

B

kentine

E

kentinden

B

kentine

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $B$ kentinden $A$ kentine

Cevap

B kentinden A kentine giden rotadaki ara kent sayısı diğerlerinden daha fazladır.

Doğru cevap olan 'B kentinden A kentine' rotası incelendiğinde, doğrudan uçuşların yönleri takip edilerek ulaşılabilecek en kısa rota B -> D -> E -> A şeklindedir. Bu rotada paketin uğradığı ara kentler D ve E olmak üzere 2 adettir. Diğer tüm seçeneklerdeki kentler arasında en fazla 1 ara kent bulunurken, bu rotada 2 ara kent bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen doğrudan uçuş bilgilerine göre bir yönlendirilmiş grafik (diyagram) çizilir veya bağlantılar listelenir.

Kentler arası yönlü yollar şu şekildedir: A -> B, A -> C, B -> D, C -> B, C -> E, D -> C, D -> E, E -> A.

Uçuş rotalarını ve yönlerini netleştirerek en kısa yolları doğru belirleyebilmek için.

2

Seçeneklerde verilen her bir başlangıç ve varış kenti arasındaki en kısa rotalar ve bu rotalardaki ara kent (aktarma) sayıları tek tek bulunur.

A'dan D'ye: A-B-D (Ara kent: B -> 1 adet). C'den A'ya: C-E-A (Ara kent: E -> 1 adet). B'den A'ya: B-D-E-A (Ara kentler: D ve E -> 2 adet). D'den B'ye: D-C-B (Ara kent: C -> 1 adet). E'den B'ye: E-A-B (Ara kent: A -> 1 adet).

Her seçenekteki rotanın ara kent sayısını karşılaştırmak amacıyla tespit etmek için.

3

Elde edilen ara kent sayıları karşılaştırılarak en fazla ara kente sahip rota belirlenir.

B'den A'ya giden en kısa rotada 2 ara kent bulunurken, diğer tüm seçeneklerde sadece 1 ara kent bulunmaktadır.

Soruda istenen 'ara kent sayısı diğerlerinden daha fazla olan' seçeneğe ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yönlendirilmiş Grafikler Üzerinde Mantıksal Akıl Yürütme ve En Kısa Yol Analizi

İpuçları

1

Her bir kenti birer nokta (düğüm) ve doğrudan uçuşları bu noktaları birleştiren oklu çizgiler (yönlü kenarlar) olarak kağıda çizmeyi deneyin.

2

B kentinden çıkıp A kentine ulaşana kadar okların yönünü takip ederek en kısa yolu bulmaya çalışın. Karşınıza çıkan ara kentleri listeleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantık yürütme sorusu olarak, kargo paketinin herhangi bir kentten başlayıp tüm kentlere en az bir kez uğrayarak tekrar başlangıç kentine döndüğü en kısa rotayı bulma problemi tasarlanabilir.

Alternatif Yöntem

Matris veya tablo yardımıyla her bir kentten diğerine doğrudan ulaşım durumlarını (1 adımlı), aktarmalı ulaşım durumlarını (2 adımlı ve 3 adımlı) adım adım yazarak da en kısa yolları sistematik olarak belirleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 36Soru →

Bir hastanede çalışan beş farklı uzmanlık alanına ait polikliniklerin (Aile Hekimliği, Dahiliye, Göz, Kulak Burun Boğaz (KBB) ve Pediatri) hafta içi günlerinde (Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe ve Cuma) hangi günlerde yapılacağıyla ilgili bazı bilgiler şu şekildedir:

* Her bir poliklinik haftada sadece bir gün ve farklı günlerde yapılmaktadır.
* Göz polikliniği, Dahiliye polikliniğinden hemen sonraki gündür.
* Pediatri polikliniği Çarşamba günü yapılmamaktadır.
* Aile Hekimliği ile KBB poliklinikleri arasında tam olarak iki gün vardır.
* Pazartesi günü yapılan poliklinik Pediatri değildir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Aile Hekimliği polikliniği Pazartesi günü yapılmaktadır.

KBB polikliniği Perşembe günü yapılmaktadır.

Göz polikliniği Çarşamba günü yapılmaktadır.

Dahiliye polikliniği Pazartesi günü yapılmaktadır.

Pediatri polikliniği Perşembe günü yapılmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Göz polikliniği Çarşamba günü yapılmaktadır.

Cevap

Göz polikliniği Çarşamba günü yapılmaktadır.

Verilen kurallar analiz edildiğinde iki farklı olası sıralama elde edilmektedir. Her iki sıralamada da Göz polikliniği kesinlikle Çarşamba günü yapılmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Poliklinik günlerini belirlemek için günleri Pazartesi (

1

), Salı (

2

), Çarşamba (

3

), Perşembe (

4

) ve Cuma (

5

) olarak numaralandıralım ve verilen ipuçlarını analiz edelim.

Hafta içi

5

gün için

5

farklı poliklinik yerleştireceğiz.

Sistematik bir çözüm için günleri sıraya koymak kolaylık sağlar.

2

Aile Hekimliği (

AH

) ile Kulak Burun Bo��az (

KBB

) poliklinikleri arasında tam olarak iki gün olma şartını inceleyelim.

Aralarında

2

gün olması, gün numaralarının farkının

3

olması demektir. Bu durum sadece

\{1, 4\}

(Pazartesi, Perşembe) veya

\{2, 5\}

(Salı, Cuma) gün çiftleriyle mümkündür.

Kısıtları daraltarak olası durumları belirlemek için.

3

Eğer

\{AH, KBB\} = \{2, 5\}

(Salı, Cuma) olsaydı, geriye kalan günler

1

,

3

ve

4

olurdu. Göz (

G

) polikliniği Dahiliye (

D

) polikliniğinden hemen sonraki gün (

G = D + 1

) olacağı için ardışık iki gün gerekir. Kalan günlerden sadece

3

ve

4

ardışıktır, bu durumda

D = 3

(Çarşamba) ve

G = 4

(Perşembe) olur. Geriye kalan

1

(Pazartesi) gününe ise Pediatri (

P

) kalır. Ancak kurallara göre Pazartesi günü Pediatri yapılamaz. Dolayısıyla bu durum imkansızdır.

\{AH, KBB\} = \{2, 5\}

durumunun elenmesi.

Pediatri'nin Pazartesi olamayacağı kuralını ihlal ettiği için.

4

Dolayısıyla

\{AH, KBB\} = \{1, 4\}

(Pazartesi, Perşembe) olmak zorundadır. Geriye kalan günler

2

,

3

ve

5

'tir. Bu günlerden ardışık olan tek çift

2

ve

3

'tür. Bu durumda Dahiliye (

D

) Salı (

2

), Göz (

G

) ise Çarşamba (

3

) günü yapılmalıdır. Geriye kalan

5

(Cuma) gününe ise Pediatri (

P

) kalır. Bu durum Pediatri'nin Çarşamba ve Pazartesi olmama kurallarına uyar.

Göz polikliniği kesinlikle Çarşamba (

3

), Dahiliye Salı (

2

), Pediatri Cuma (

5

) günü yapılmaktadır. AH ve KBB ise Pazartesi ve Perşembe günlerini kendi aralarında paylaşmaktadır.

Tüm kısıtları sağlayan kesin ve olası durumları bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullara bağlı mantıksal sıralama ve olasılık analizi.

Soru 37Soru →

Alper, Buse, Cem, Defne ve Eren adlı beş öğrenci; Okçuluk, Binicilik ve Eskrim sporlarından en az birine katılmıştır. Bu öğrencilerin katıldıkları sporlarla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Her öğrenci en fazla iki farklı spora katılmıştır.
* Her spora katılan öğrenci sayısı birbirinden farklıdır.
* Binicilik sporuna katılan her öğrenci, Eskrim sporuna da katılmıştır.
* Okçuluk sporuna katılanlar arasında Alper ve Buse bulunmakta, Cem bulunmamaktadır.
* Defne ve Eren toplamda üç farklı spora katılmışlardır ve ortak katıldıkları tek spor Eskrim'dir.
* Eskrim sporuna katılan öğrenci sayısı, Okçuluk sporuna katılan öğrenci sayısından fazladır.

Cem'in Binicilik sporuna katıldığı biliniyorsa, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Okçuluk sporuna katılan öğrenci sayısı 3'tür.

Defne, Binicilik sporuna katılmıştır.

Eren, Okçuluk sporuna katılmıştır.

Alper, Eskrim sporuna katılmıştır.

Eskrim sporuna katılan öğrenci sayısı 3'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Okçuluk sporuna katılan öğrenci sayısı 3'tür.

Cevap

Okçuluk sporuna katılan öğrenci sayısının 3 olduğu kesinlikle doğrudur.

Cem'in Binicilik sporuna katılması durumunda, Binicilik sporuna katılan kişi sayısının 1 olması gerektiği ispatlanır. Defne ve Eren'den tam olarak biri Okçuluk sporuna katılmak zorunda kalır. Okçuluk sporunda zaten Alper ve Buse bulunduğu için Okçuluk sporuna katılanların sayısı kesin olarak 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Binicilik ve Eskrim sporları arasındaki alt küme ilişkisini belirleme.

Binicilik sporuna katılan her öğrenci Eskrim'e de katıldığı için Binicilik kümesi Eskrim kümesinin bir alt kümesidir (

Bi \subseteq Es

). Dolayısıyla Binicilik sporuna katılanların sayısı Eskrim sporuna katılanların sayısından az olmak zorundadır (

N_{Bi} < N_{Es}

).

Soruda verilen 'Binicilik sporuna katılan her öğrenci, Eskrim sporuna da katılmıştır' kuralı bu ilişkiyi zorunlu kılar.

2

Alper, Buse ve Cem'in Binicilik sporuna katılıp katılamayacağını analiz etme.

Alper ve Buse Okçuluk sporuna katılmaktadır. Eğer Binicilik sporuna da katılırlarsa, alt küme kuralı gereği Eskrim'e de katılmak zorunda kalırlar ve toplamda 3 spora katılmış olurlar. Ancak her öğrenci en fazla iki farklı spora katılabileceği için Alper ve Buse Binicilik sporuna katılamaz. Cem ise sorudaki öncüle göre Binicilik sporuna katılmıştır.

Maksimum iki spora katılma sınırı ve öncüldeki Cem bilgisi bu kısıtlamayı getirir.

3

Defne ve Eren'in spor dağılımlarını ve Binicilik sporuna katılma olasılıklarını inceleme.

Defne ve Eren'in ortak katıldıkları tek spor Eskrim'dir ve toplamda 3 spora katılmışlardır. Bu durumda biri 2 spora (Eskrim ve başka bir spor), diğeri ise sadece 1 spora (Eskrim) katılmıştır. Eğer Binicilik sporuna Cem'in yanında ikinci bir kişi olarak Defne ya da Eren katılsaydı (

N_{Bi} = 2

), Okçuluk sporuna katılan öğrenci sayısı da 2 olmak zorunda kalırdı. Bu durum 'Her spora katılan öğrenci sayısı birbirinden farklıdır' kuralıyla çelişirdi. Dolayısıyla Binicilik sporuna sadece Cem katılmıştır ve

N_{Bi} = 1

olur.

Sporcu sayılarının farklı olması kuralı Binicilik sporuna ikinci bir kişinin katılmasını engeller.

4

Okçuluk sporuna katılan öğrenci sayısını hesaplama.

Defne ve Eren'den biri sadece Eskrim sporuna, diğeri ise Eskrim ve Okçuluk sporlarına katılmıştır (çünkü Binicilik'e katılamazlar). Bu durumda Defne ya da Eren'den tam olarak bir kişi Okçuluk sporuna katılmıştır. Okçuluk sporunda zaten Alper ve Buse bulunduğuna göre, Okçuluk sporuna katılan öğrenci sayısı kesin olarak

2 + 1 = 3

olur.

Kişi sayısı kısıtlamaları ve çelişkilerin elenmesi sonucunda Okçuluk sporuna katılanların sayısı netleşir.

Anahtar Kavram

Küme İlişkileri ve Mantıksal Çıkarım

Alternatif Yöntem

Öğrencileri satırlara, sporları sütunlara yazarak iki olası durumu tablo halinde çizip seçenekleri bu tablolara göre doğrulamak çözümü hızlandıracaktır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 38Soru →

Belirli bir kurala göre oluşturulan aşağıdaki sayı dizisinde soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir?

3, 7, 15, 31, ?

47

61

62

63

127

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Soru işareti yerine gelmesi gereken sayı 63'tür.

Dizideki her bir terim, kendisinden önceki terimin 2 katının 1 fazlasına eşittir. Bu kurala göre 31 sayısından sonra gelmesi gereken terim

31 \times 2 + 1 = 63

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin terimleri arasındaki aritmetik ilişkiyi belirleyin.

3'ten 7'ye geçerken

3 \times 2 + 1 = 7

, 7'den 15'e geçerken

7 \times 2 + 1 = 15

ve 15'ten 31'e geçerken

15 \times 2 + 1 = 31

işlemleri yapılmıştır. Kural, her terimin 2 katının 1 fazlasını almaktır.

Dizinin genel örüntü kuralını belirlemek için.

2

Belirlenen kuralı son terime uygulayarak bir sonraki terimi hesaplayın.

31 \times 2 + 1 = 62 + 1 = 63

bulunur.

Soru işareti yerine gelecek değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Soru 39Soru →

Bir kırtasiyede yeşil, mavi, sarı, beyaz ve kırmızı renkli beş kalem yan yana dizilmiştir. Bu kalemlerin dizilim sırasıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yeşil kalem en soldadır.
* Mavi kalem, yeşil kalemin hemen sağındadır.
* Beyaz kalem, kırmızı kalemin hemen solundadır.
* Kırmızı kalem en sağdadır.

Buna göre, soldan üçüncü sırada yer alan kalem hangi renktir?

Mavi

Yeşil

Sarı

Beyaz

Kırmızı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sarı

Cevap

Sarı

Verilen yönergeler sırasıyla uygulandığında kalemlerin soldan sağa doğru dizilimi Yeşil, Mavi, Sarı, Beyaz ve Kırmızı şeklinde gerçekleşir. Bu dizilime göre soldan üçüncü sırada sarı renkli kalem bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit ve kesin konumları yerle��tirmek

1. sırada Yeşil kalem ve 5. sırada Kırmızı kalem bulunur.

Yeşil kalemin en solda (1. sıra) ve kırmızı kalemin en sağda (5. sıra) olduğu bilgisi doğrudan verilmiştir.

2

Yeşil kaleme bağlı olan kalemi yerleştirmek

2. sırada Mavi kalem bulunur.

Mavi kalemin, yeşil kalemin hemen sağında (2. sıra) olduğu belirtilmiştir.

3

Kırmızı kaleme bağlı olan kalemi yerleştirmek

4. sırada Beyaz kalem bulunur.

Beyaz kalemin, kırmızı kalemin hemen solunda (4. sıra) olduğu belirtilmiştir.

4

Geriye kalan kalemi belirlemek

3. sırada Sarı kalem bulunur.

Toplam 5 kalemden 1, 2, 4 ve 5. sıralar dolmuştur. Geriye kalan tek boş yer 3. sıradır ve buraya sarı kalem gelmelidir. Sıralama Yeşil - Mavi - Sarı - Beyaz - Kırmızı şeklindedir.

Anahtar Kavram

Mantıksal Akıl Yürütme ve Sıralama

Soru 40Soru →

Bir kütüphanede yan yana bulunan $5$ çalışma masası soldan sağa doğru $1$ 'den $5$ 'e kadar numaralandırılmıştır. Bu masalarda oturan Aslı, Berk, Ceyda, Deniz ve Elif'in oturduğu masalarla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Ceyda $3$ numaralı masada oturmaktadır.
* Berk, Aslı'nın hemen sağındaki masada oturmaktadır.
* Deniz, Elif'in hemen solundaki masada oturmaktadır.

Buna göre, Berk'in $5$ numaralı masada oturduğu biliniyorsa, $2$ numaralı masada oturan kişi aşağıdakilerden hangisidir?

Aslı

Berk

Deniz

Elif

Ceyda

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Elif

Cevap

Elif

Verilen bilgilere göre, Ceyda

3

numaralı masadadır. Berk

5

numaralı masada oturduğuna göre, hemen solundaki

4

numaralı masada Aslı oturmaktadır. Geriye kalan boş masalar

1

ve

2

numaralı masalardır. Deniz, Elif'in hemen solunda oturduğu için Deniz

1

numaralı masada, Elif ise

2

numaralı masada yer alır. Dolayısıyla

2

numaralı masada oturan kişi Elif'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit ve değişken yerleşimleri belirleme

Ceyda'nın

3

numaralı masada oturduğu sabittir. Geriye kalan boş masalar

1

,

2

,

4

ve

5

numaralı masalardır.

Soruda verilen ilk kesin bilgiyi yerleştirerek diğer olasılıkları değerlendirmek için.

2

Berk ve Aslı'nın masalarını belirleme

Berk'in

5

numaralı masada oturduğu verilmiştir. Berk, Aslı'nın hemen sağında olduğuna göre, Aslı

4

numaralı masada oturmalıdır.

Ek koşul ve yan yana oturma kuralını uygulamak için.

3

Deniz ve Elif'in masalarını belirleme

Geriye kalan boş masalar

1

ve

2

numaralı masalardır. 'Deniz, Elif'in hemen solundaki masada oturmaktadır' kuralına göre Deniz

1

numaralı masaya, Elif ise

2

numaralı masaya oturmalıdır.

Kalan son iki kişiyi yan yana olma kuralına göre boş masalara yerleştirmek için.

Anahtar Kavram

Verilen kısıtlara ve önermelere dayanarak adım adım mantıksal çıkarım yapma ve eleme yöntemi.

ÖncekiSayfa 2 / 6Sonraki