Examkin

Basit Eşitsizlikler

37 soru

Soru 21Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı xx değişkeni için;
13−3x2<2ve2x+1≤15 \frac{13 - 3x}{2} < 2 \quad \text{ve} \quad 2x + 1 \le 15
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, bu koşulları sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 22'dir.
Verilen iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi bulunmalıdır. Birinci eşitsizlikten x>3x > 3 (işaret yön değiştirir), ikinci eşitsizlikten x≤7x \le 7 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6 ve 7'dir; toplamları 22 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği çözerek xx için alt sınırı belirle.
x>3x > 3
13−3x2<2⇒13−3x<4⇒−3x<−9\frac{13 - 3x}{2} < 2 \Rightarrow 13 - 3x < 4 \Rightarrow -3x < -9. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya (-3) bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir: x>3x > 3.
2
İkinci eşitsizliği çözerek xx için üst sınırı belirle.
x≤7x \le 7
2x+1≤15⇒2x≤14⇒x≤72x + 1 \le 15 \Rightarrow 2x \le 14 \Rightarrow x \le 7.
3
İki çözüm kümesinin kesişimini al ve uygun tam sayıları bul.
x∈{4,5,6,7}x \in \{4, 5, 6, 7\}
Bulunan aralık 3<x≤73 < x \le 7'dir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6 ve 7'dir.
4
Bulunan tam sayı değerlerini topla.
22
4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret Değişimi

İpuçları

1
Eşitsizlikleri ayrı ayrı çözerek xx'in alabileceği değer aralığını bulunuz.
2
−3x<−9-3x < -9 ifadesinde her iki tarafı −3-3'e bölerken eşitsizlik işaretinin yön değiştirmesi gerektiğini unutmayınız (<< ise >> olur).
3
Birinci eşitsizlikten x>3x > 3, ikinci eşitsizlikten x≤7x \le 7 sonucunu elde etmelisiniz. Bu aralıktaki tam sayıları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizlik sistemleri (Örn: ∣x−2∣<3|x-2| < 3) içeren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 22Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−5<x−12≤1 -5 < \frac{x-1}{2} \leq 1
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan xx değerlerinin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −9-9 noktası açık (boş yuvarlak), 33 noktası kapalı (dolu yuvarlak) olacak şekilde bu iki nokta arasındaki bölge

Cevap

−9-9 noktasının açık, 33 noktasının kapalı olduğu aralık gösterimi doğrudur.
Verilen eşitsizlik çözüldüğünde xx değerlerinin −9-9 ile 33 arasında olduğu, −9-9'un dahil edilmediği ancak 33'ün dahil edildiği görülür. Sayı doğrusunda dahil olmayan noktalar içi boş yuvarlak, dahil olan noktalar ise içi dolu yuvarlak ile gösterildiğinden doğru temsil −9-9 açık ve 33 kapalı olan aralıktır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki 2 sayısından kurtulmak için eşitsizliğin tüm taraflarını 2 ile çarpalım.
−5×2<x−1≤1×2⇒−10<x−1≤2-5 \times 2 < x - 1 \leq 1 \times 2 \Rightarrow -10 < x - 1 \leq 2
Pozitif bir sayı ile çarpma işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirmez ve paydayı sadeleştirir.
2
xx değişkenini yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 1 ekleyelim.
−10+1<x<2+1⇒−9<x≤3-10 + 1 < x < 2 + 1 \Rightarrow -9 < x \leq 3
Değişkeni tek başına bırakarak çözüm kümesini elde ederiz.
3
Elde edilen −9<x≤3-9 < x \leq 3 aralığını sayı doğrusuna aktaralım.
−9-9 açık uç (boş yuvarlak), 33 kapalı uç (dolu yuvarlak).
<< sembolü o noktanın kümeye dahil olmadığını, ≤\leq sembolü ise dahil olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve sayı doğrusunda gösterimi.

İpuçları

1
Eşitsizliği çözmek için önce paydadaki 2 sayısını tüm taraflarla çarparak yok etmelisiniz.
2
−10<x−1≤2-10 < x - 1 \leq 2 aşamasına geldikten sonra, xx'i yalnız bırakmak için her tarafa +1+1 ekleyin.
3
Bulduğunuz −9<x≤3-9 < x \leq 3 ifadesinde, −9-9 tarafındaki sembol eşitlik içermediği için boş yuvarlak, 33 tarafındaki sembol eşitlik içerdiği için dolu yuvarlak kullanmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda eşitsizliği negatif bir sayı ile çarpmayı deneyerek eşitsizliğin yön değiştirmesini pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 23Soru →
a,ba, b ve cc gerçel sayıları için,
a2<a a^2 < a
a⋅b<0 a \cdot b < 0
b⋅c>b b \cdot c > b
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b+c<1b + c < 1

Cevap

bb ile cc sayılarının toplamının 11'den küçük olduğu ifadesi
Verilen koşullardan aa'nın (0,1)(0,1) aralığında, bb'nin negatif ve cc'nin 11'den küçük olduğu bulunur. b<0b < 0 ve c<1c < 1 eşitsizlikleri taraf tarafa toplandığında b+c<1b + c < 1 sonucu elde edilir ve bu ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
a2<aa^2 < a eşitsizliğini çözümle.
0<a<10 < a < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 00 ile 11 arasındadır.
2
a⋅b<0a \cdot b < 0 eşitsizliğini incele.
b<0b < 0
aa sayısı pozitif olduğundan, çarpımın negatif olması için bb negatif olmalıdır.
3
b⋅c>bb \cdot c > b eşitsizliğinde her iki tarafı bb'ye böl.
c<1c < 1
bb negatif bir sayı olduğu için, eşitsizliğin her iki tarafı bb'ye bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
4
b<0b < 0 ve c<1c < 1 eşitsizliklerini taraf tarafa topla.
b+c<0+1⇒b+c<1b + c < 0 + 1 \Rightarrow b + c < 1
İki eşitsizlik aynı yönlü olduğunda taraf tarafa toplanabilir. Negatif bir sayı ile 11'den küçük bir sayının toplamı kesinlikle 11'den küçüktür.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Özellikleri ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
a2<aa^2 < a eşitsizliği, aa sayısının 00 ile 11 arasında olduğunu gösterir.
2
aa pozitif olduğu için, a⋅b<0a \cdot b < 0 olması bb'nin negatif olduğunu gösterir.
3
b⋅c>bb \cdot c > b eşitsizliğinde her iki tarafı negatif olan bb sayısına bölerseniz eşitsizlik yön değiştirir (>> iken << olur).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x3<x<∣x∣x^3 < x < |x| gibi üçlü eşitsizlik zinciri içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek eleme yöntemi: a=0,5a = 0,5 ve b=−2b = -2 seçelim. b⋅c>b⇒−2c>−2⇒c<1b \cdot c > b \Rightarrow -2c > -2 \Rightarrow c < 1. Şimdi c=0c = 0 veya c=−5c = -5 gibi değerler vererek seçenekleri test edebiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →
aa ve bb gerçel sayıları için,
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a|
a⋅b+a>0a \cdot b + a > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b>a+ba \cdot b > a + b

Cevap

Çarpımları toplamlarından büyüktür (a⋅b>a+ba \cdot b > a + b)
Doğru cevap, aa ve bb sayılarının her ikisinin de −1-1'den küçük olduğunu tespit ettikten sonra işaret incelemesi yapılarak bulunur. aa ve bb negatif olduğu için çarpımları pozitif, toplamları ise negatiftir. Pozitif bir değer, negatif bir değerden her zaman büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a| eşitsizliğini analiz edelim.
a<−1a < -1
Bir sayının küpünün kendisinden küçük, mutlak değerinden de küçük olması için (−1<a<0-1 < a < 0 aralığında a3>aa^3 > a olduğu için) aa sayısının −1-1'den küçük olması gerekir.
2
a⋅b+a>0a \cdot b + a > 0 eşitsizliğini çarpanlara ayırarak inceleyelim.
a(b+1)>0a(b + 1) > 0
Ortak çarpan parantezine alma işlemi uygulanır.
3
bb'nin aralığını belirleyelim.
b<−1b < -1
Çarpımın pozitif olması için çarpanların aynı işaretli olması gerekir. a<−1a < -1 olduğundan negatiftir. Bu durumda b+1b+1 de negatif olmalıdır (b+1<0  ⟹  b<−1b+1 < 0 \implies b < -1).
4
Seçenekleri değerlendirelim.
a⋅b>a+ba \cdot b > a + b daima doğrudur.
aa ve bb negatif olduğu için çarpımları (a⋅ba \cdot b) pozitif, toplamları (a+ba + b) negatiftir. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan daima büyüktür.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a| eşitsizliğini sağlayan aa sayısının hangi aralıkta (pozitif mi, negatif mi, 0-1 arası mı vb.) olduğunu belirlemeye çalışın.
2
Eğer aa pozitif olsaydı a<∣a∣a < |a| (a<aa < a) imkansız olurdu. Demek ki aa negatif. Negatif sayılarda küpü kendisinden küçük olan aralık hangisidir?
3
a<−1a < -1 olduğunu bulduktan sonra, ikinci eşitsizliği a(b+1)>0a(b+1) > 0 şeklinde yazın. aa negatif olduğuna göre b+1b+1 ne olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli ve üslü eşitsizliklerin grafik üzerindeki bölgelerini inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →
x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x⋅z<0x \cdot z < 0
x−y>z−yx - y > z - y
y2<∣y∣y^2 < |y|
x+y<zx + y < z
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x,yx, y ve zz sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y<z<xy < z < x

Cevap

y<z<xy < z < x sıralaması doğrudur.
Verilen eşitsizlikler adım adım analiz edildiğinde; önce xx'in pozitif, zz'nin negatif olduğu, ardından yy'nin -1 ile 0 arasında olduğu ve son olarak zz'nin yy'den büyük olduğu (y<zy < z) kesin olarak ispatlanabilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x−y>z−yx - y > z - y eşitsizliğini sadeleştirme
Her iki taraftaki −y-y terimleri sadeleştirildiğinde x>zx > z elde edilir.
Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde veya çıkarıldığında eşitsizlik yön değiştirmez.
2
xx ve zz sayılarının işaretlerini belirleme
x>zx > z ve x⋅z<0x \cdot z < 0 olduğundan, xx pozitif (x>0x > 0) ve zz negatif (z<0z < 0) olmalıdır.
Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir. Büyük olan sayı pozitif olmak zorundadır.
3
yy sayısının aralığını belirleme
y2<∣y∣y^2 < |y| eşitsizliği, ∣y∣2<∣y∣|y|^2 < |y| anlamına gelir. Bu durum ancak 0<∣y∣<10 < |y| < 1 olduğunda, yani y∈(−1,1)y \in (-1, 1) ve y≠0y \neq 0 iken sağlanır.
Karesi kendisinin mutlak değerinden küçük olan sayılar, sayı doğrusunda -1 ile 1 arasındaki (0 hariç) sayılardır.
4
yy sayısının işaretini kesinleştirme
x+y<zx + y < z eşitsizliğinde x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğu bilinmektedir. Eğer yy pozitif olsaydı toplam pozitif olurdu ve negatif bir sayıdan küçük olamazdı. Bu nedenle yy negatif olmalıdır (y<0y < 0).
Pozitif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif bir sayıdan küçük olamaz.
5
yy ve zz sayılarını karşılaştırma
x+y<zx + y < z eşitsizliği x<z−yx < z - y şeklinde yazılabilir. x>0x > 0 olduğundan z−y>0z - y > 0 olmalıdır, bu da z>yz > y anlamına gelir.
Pozitif bir sayı (xx), ancak pozitif bir ifadeden (z−yz-y) küçük olabilir.
6
Sonuç sıralamasını oluşturma
Bulunan ilişkiler birleştirildiğinde: y<zy < z (Adım 5), z<0z < 0 (Adım 2) ve 0<x0 < x (Adım 2). Sonuç: y<z<xy < z < x.
Sayılar sayı doğrusu üzerindeki konumlarına göre küçükten büyüğe sıralanır.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemlerinde İşaret ve Aralık Analizi
Soru 26Soru →
xx bir tam sayı ve yy bir gerçel sayı olmak üzere;
−3≤x<4-3 \leq x < 4
−1<y≤3-1 < y \leq 3
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, x2−2yx^2 - 2y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri, en küçük tam sayı değerinden kaç fazladır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10, en küçük tam sayı değeri -6 olduğundan aradaki fark 16'dır.
Verilen xx bir tam sayı olduğu için x2x^2 ifadesi sadece belirli değerleri (0, 1, 4, 9) alabilir. yy gerçel sayısı için oluşturulan −2y-2y aralığı [−6,2)[-6, 2) şeklindedir. Bu iki yapının toplamı sonucunda ifadenin alabileceği en küçük değer −6-6 (dahil), en büyük değer ise 1111 (açık) sınırına yaklaşır. Dolayısıyla en büyük tam sayı 1010, en küçük tam sayı −6-6 olur; farkları ise 1616 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerini ve x2x^2 değerlerini belirleyelim.
x∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olduğundan x2∈{0,1,4,9}x^2 \in \{0, 1, 4, 9\} olur.
xx tam sayı olarak tanımlandığı için aralıktaki her bir değerin karesi ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
2
yy gerçel sayısı için −2y-2y ifadesinin değer aralığını bulalım.
−1<y≤3-1 < y \leq 3 eşitsizliğini −2-2 ile çarptığımızda yön değiştirir: −6≤−2y<2-6 \leq -2y < 2 olur.
Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişir.
3
x2−2yx^2 - 2y ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerini belirleyelim.
Maksimum değer: 9+(2’den ku¨c¸u¨k en bu¨yu¨k deg˘er)<119 + (\text{2'den küçük en büyük değer}) < 11 (10 olur). Minimum değer: 0+(−6)=−60 + (-6) = -6 (dahil).
Tam sayı olan x2x^2 değerleri ile gerçel sayı olan −2y-2y aralığı toplanarak ifadenin sınırı belirlenir.
4
Bulunan değerler arasındaki farkı hesaplayalım.
10−(−6)=1610 - (-6) = 16.
Soru kökünde en büyük ve en küçük değer arasındaki fark sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Tam sayı ve gerçel sayı kısıtlamaları altında değişkenlerin aralık operasyonları ve kuvvet alma kuralları.

Alternatif Yöntem

x2x^2 için tam sayı değerlerini tek tek deneyerek (x=−3,−2,−1,0,1,2,3x=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) ifadenin yy aralığı ile birleşimini her durum için kontrol etmek.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 27Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−2<1−3x4≤1 -2 < \frac{1 - 3x}{4} \le 1
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, 2x+52x + 5 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10'dur.
xx gerçel sayı olduğu için çözüm kümesi bir aralık olarak düşünülmelidir. Eşitsizlik çözüldüğünde x∈[−1,3)x \in [-1, 3) bulunur. İstenen ifadeyi elde etmek için bu aralık genişletildiğinde 2x+5∈[3,11)2x+5 \in [3, 11) aralığı elde edilir. 11 sayısı aralığa dahil olmadığından (küçüktür sembolü), bu ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği düzenleyerek x'i yalnız bırakalım.
−8<1−3x≤4-8 < 1 - 3x \le 4
Paydadaki 4 pozitif olduğu için her taraf 4 ile çarpılır, eşitsizlik yön değiştirmez.
2
Her taraftan 1 çıkaralım.
−9<−3x≤3-9 < -3x \le 3
x'li terimi yalnız bırakmak için sabit terim yok edilir.
3
Her tarafı -3'e bölelim.
3>x≥−13 > x \ge -1 yani −1≤x<3-1 \le x < 3
Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığında eşitsizlik sembolleri YÖN DEĞİŞTİRİR.
4
İstenen 2x+52x + 5 ifadesinin aralığını oluşturalım.
−2≤2x<6-2 \le 2x < 6 ⇒\Rightarrow 3≤2x+5<113 \le 2x + 5 < 11
Bulunan x aralığı önce 2 ile genişletilir, sonra her tarafa 5 eklenir.
5
Aralıktaki en büyük tam sayıyı belirleyelim.
10
Aralık [3,11)[3, 11) şeklindedir. 11 dahil olmadığından (açık aralık), 11'den küçük en büyük tam sayı 10'dur.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında işlem yapılırken önce aralık genişletilir, sonra değer seçilir. Tam sayı seçip yerine yazmak hatalıdır.

İpuçları

1
Soruda x'in 'tam sayı' değil, 'gerçel sayı' olduğu belirtilmiştir. Bu yüzden x'e değer vererek başlamayınız.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 28Soru →
Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için,
x2<∣x∣x^2 < |x|
x⋅y>yx \cdot y > y
∣x∣⋅y>x|x| \cdot y > x
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+y>−2x + y > -2

Cevap

x+y>−2x + y > -2 ifadesi daima doğrudur.
Yapılan analizler sonucunda xx ve yy sayılarının her ikisinin de (−1,0)(-1, 0) aralığında olduğu görülmüştür. Bu aralıktaki iki sayının toplamı, alt sınırların toplamı olan -2'den kesinlikle büyüktür (x>−1x > -1 ve y>−1  ⟹  x+y>−2y > -1 \implies x+y > -2).

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz et.
x2<∣x∣  ⟹  ∣x∣<1x^2 < |x| \implies |x| < 1. Yani x∈(−1,1)x \in (-1, 1) ve x≠0x \neq 0.
Bir sayının karesi mutlak değerinden küçükse, o sayı -1 ile 1 arasındadır.
2
İkinci eşitsizliği ve xx'in aralığını kullanarak yy'nin işaretini belirle.
x⋅y−y>0  ⟹  y(x−1)>0x \cdot y - y > 0 \implies y(x - 1) > 0. x<1x < 1 olduğundan x−1x-1 negatiftir. Çarpımın pozitif olması için yy de negatif (y<0y < 0) olmalıdır.
Eşitsizliklerde işaret incelemesi yaparak değişkenin aralığını daraltmak.
3
Üçüncü eşitsizliği kullanarak xx'in işaretini ve yy'nin alt sınırını belirle.
Eğer x>0x > 0 olsaydı, x(y−1)>0  ⟹  y>1x(y-1) > 0 \implies y > 1 olurdu ki bu y<0y < 0 ile çelişir. Demek ki x<0x < 0. O halde ∣x∣=−x|x| = -x olur. −x⋅y>x  ⟹  −x(y+1)>0-x \cdot y > x \implies -x(y+1) > 0. −x-x pozitif olduğundan y+1>0  ⟹  y>−1y+1 > 0 \implies y > -1.
Mutlak değer dışına çıkarma ve çelişki yöntemiyle değişkenin işaretini kesinleştirmek.
4
Bulunan aralıkları birleştirip seçenekleri değerlendir.
Sonuç olarak: x∈(−1,0)x \in (-1, 0) ve y∈(−1,0)y \in (-1, 0). Taraf tarafa toplarsak: (−1)+(−1)<x+y<0+0  ⟹  −2<x+y<0(-1) + (-1) < x + y < 0 + 0 \implies -2 < x + y < 0.
Elde edilen aralıkları toplayarak kesin yargıya varmak.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde aralık analizi ve işaret incelemesi.

İpuçları

1
Birinci eşitsizliği kullanarak xx'in -1 ile 1 arasında olduğunu hatırlayın.
2
İkinci eşitsizlikte yy'yi sol tarafa atıp paranteze alarak işaret incelemesi yapın.
3
xx ve yy'nin her ikisinin de negatif basit kesir olduğunu bulduktan sonra, bu aralıktaki sayıların toplamının en az kaç olabileceğini düşünün.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →

Aşağıdaki sayı doğrusunda, −2-2 noktasının içi dolu ve 33 noktasının içi boş olarak işaretlenmiş, bu iki nokta arasındaki bölge ise kalın çizgiyle taranmıştır.

Buna göre, sayı doğrusunda gösterilen bu aralığı ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2≤x<3-2 \leq x < 3

Cevap

Sayı doğrusundaki taralı bölge −2-2 noktasından başlayıp (dahil) 33 noktasına kadar (hariç) devam ettiği için doğru eşitsizlik −2≤x<3-2 \leq x < 3 ifadesidir.
Doğru cevap olan −2≤x<3-2 \leq x < 3 ifadesi, sayı doğrusundaki −2-2 noktasının dolu (dahil) ve 33 noktasının boş (hariç) olduğu gösterimiyle tam olarak örtüşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt sınırı kontrol et.
−2-2 noktası dahil (dolu yuvarlak).
Sayı doğrusunda bir noktanın içinin dolu olması, o değerin çözüm kümesine dahil olduğunu ve ≤\leq veya ≥\geq sembollerinin kullanılacağını gösterir.
2
Üst sınırı kontrol et.
33 noktası hariç (boş yuvarlak).
Noktanın içinin boş olması, o değerin çözüm kümesine dahil olmadığını ve << veya >> sembollerinin kullanılacağını gösterir.
3
Bulguları birleştirerek eşitsizliği yaz.
−2≤x<3-2 \leq x < 3
Bilinmeyen xx değeri −2-2 ile 33 arasında olup, −2-2 dahil, 33 hariçtir.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusu üzerinde aralık gösterimi ve sınır değerlerin (dahil/hariç) belirlenmesi.

İpuçları

1
Sayı doğrusundaki yuvarlakların içine bakın. Dolu olması o sayının 'dahil' olduğu anlamına gelir.
2
Dahil olan sınırlar için ≤\leq veya ≥\geq, dahil olmayan sınırlar için << veya >> sembollerini kullanırız.
3
−2-2 noktası dolu olduğuna göre −2≤x-2 \leq x ile başlamalı, 33 noktası boş olduğuna göre x<3x < 3 ile bitmelidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, aynı aralığın parantezli gösterimini (örneğin [−2,3)[-2, 3)) inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 30Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

I. x2<xx^2 < x
II. x⋅y>yx \cdot y > y
III. y⋅z>zy \cdot z > z
IV. 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z}

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x + y > z

Cevap

x ile y'nin toplamının z'den büyük olduğu ifadesi daima doğrudur.
Verilen öncüllerden sayıların z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1 şeklinde sıralandığı bulunur. Doğru seçenek x+y>zx + y > z ifadesidir. yy sayısı zz sayısından büyüktür (y>zy > z). Eşitsizliğin sol tarafına pozitif bir sayı olan xx eklendiğinde büyüklük daha da artar (x+y>y>zx + y > y > z). Dolayısıyla bu ifade daima doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncül olan x2<xx^2 < x eşitsizliğini analiz et.
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır. Yani 0<x<10 < x < 1.
Karesi kendinden küçük olan tek sayı aralığı (0,1)(0,1) aralığıdır.
2
İkinci öncül olan x⋅y>yx \cdot y > y eşitsizliğini düzenle.
x⋅y−y>0⇒y(x−1)>0x \cdot y - y > 0 \Rightarrow y(x - 1) > 0 elde edilir. x<1x < 1 olduğundan (x−1)(x-1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için yy negatif olmalıdır (y<0y < 0).
İşaret incelemesi yaparak y'nin aralığını belirlemek gerekir.
3
Üçüncü öncül olan y⋅z>zy \cdot z > z eşitsizliğini düzenle.
y⋅z−z>0⇒z(y−1)>0y \cdot z - z > 0 \Rightarrow z(y - 1) > 0 elde edilir. y<0y < 0 olduğundan (y−1)(y-1) kesinlikle negatiftir. Çarpımın pozitif olması için zz negatif olmalıdır (z<0z < 0).
Benzer işaret incelemesi ile z'nin aralığını belirlemek gerekir.
4
Dördüncü öncül olan 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z} eşitsizliğini yorumla.
yy ve zz negatif sayılardır. Negatif sayılarda çarpmaya göre tersi küçük olan sayı aslında daha büyüktür (Sıfıra daha yakındır). Dolayısıyla y>zy > z sonucuna ulaşılır.
Negatif sayılarda sıralama tersine döner.
5
Elde edilen tüm bilgileri sayı doğrusunda sırala ve seçenekleri değerlendir.
Sıralama: z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1. Bu durumda x>0x > 0 ve y>zy > z olduğu için, xx eklenince (x+yx+y), sonuç zz'den kesinlikle büyük olur (x+y>y>zx+y > y > z).
Doğru seçeneği bulmak için sentez yapılması gerekir.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizliklerde Sıralama ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
Önce x2<xx^2 < x eşitsizliğinden xx'in hangi aralıkta olduğunu belirleyin.
2
xx sayısının (0,1)(0, 1) aralığında olduğunu bulduktan sonra, diğer eşitsizliklerdeki paranteze alma işlemlerini (örn. y(x−1)>0y(x-1)>0) yaparak işaretleri inceleyin.
3
Negatif sayılar olan yy ve zz için 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z} eşitsizliği y>zy > z anlamına gelir. Sıralamanızı z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1 şeklinde kurun.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizliklerde sıralama soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek sağlama yapılabilir. Örneğin şartları sağlayan değerler olarak x=0.5x = 0.5, y=−2y = -2, z=−4z = -4 seçilip seçenekler test edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−3<x<4-3 < x < 4
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, x2−4xx^2 - 4x ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

İfadenin alabileceği değerler [-4, 21) aralığındadır ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 200'dür.
İkinci dereceden x2−4xx^2 - 4x ifadesi bir paraboldür ve kolları yukarı bakar. Bu ifadenin en küçük değerini aldığı yer tepe noktasıdır (r=−b/2a=2r = -b/2a = 2). x=2x=2 değeri verilen (−3,4)(-3, 4) aralığında olduğu için, ifadenin alabileceği en küçük değer 22−4(2)=−42^2 - 4(2) = -4 olur. Uç noktalar kontrol edildiğinde üst sınırın 21'e yaklaştığı görülür. Böylece değer aralığı [−4,21)[-4, 21) olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı hesaplandığında doğru cevap bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi tam kareye tamamlama veya parabol tepe noktasını bulma yöntemini uygula.
f(x)=x2−4x=(x−2)2−4f(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4
İkinci dereceden bir ifadenin görüntü kümesini bulmak için tepe noktası kritik öneme sahiptir. Doğrudan uç noktaları yerine koymak hatalı olur.
2
Tanım aralığı (−3,4)(-3, 4) içinde tepe noktasının (x=2x=2) bulunup bulunmadığını kontrol et ve minimum değeri hesapla.
x=2x=2 aralıkta olduğu için minimum değer f(2)=22−4(2)=−4f(2) = 2^2 - 4(2) = -4 olur.
Bir parabolün bir aralıktaki en küçük veya en büyük değeri, tepe noktası aralık içindeyse tepe noktasında alır.
3
Aralığın uç noktalarındaki değerleri hesapla.
x=−3x = -3 için (−3)2−4(−3)=9+12=21(-3)^2 - 4(-3) = 9 + 12 = 21. x=4x = 4 için 42−4(4)=04^2 - 4(4) = 0.
Görüntü kümesinin üst sınırlarını belirlemek için uç noktalar test edilmelidir.
4
Görüntü kümesini (aralığını) yaz.
Minimum -4 (dahil), maksimum 21 (açık aralık çünkü x=−3x=-3 dahil değil). Aralık: [−4,21)[-4, 21).
Minimum değer tepe noktasından gelir, üst sınır ise uç noktalardan büyük olanıdır.
5
Bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesapla.
Tam sayılar: {−4,−3,−2,−1,0,1,2,...,20}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ..., 20\}. Pozitif kısım (1'den 20'ye): 20⋅212=210\frac{20 \cdot 21}{2} = 210. Negatif kısım: −4−3−2−1=−10-4-3-2-1 = -10. Toplam: 210−10=200210 - 10 = 200.
Gauss toplam formülü kullanılarak işlem pratikleştirilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde görüntü kümesi bulunurken tepe noktası (minimum/maksimum) mutlaka kontrol edilmelidir. Uç noktaların yerine konulması yeterli değildir.

İpuçları

1
İfade ikinci dereceden (x2x^2) olduğu için, değer aralığını bulurken sadece uç noktaları (-3 ve 4) yerine koymak yetmez.
2
x2−4xx^2 - 4x ifadesini tam kareye tamamlayın veya bir parabol gibi düşünerek tepe noktasına bakın. (x−2)2−4(x-2)^2 - 4 size ne anlatıyor?
3
Tepe noktası x=2x=2 bu aralığın içindedir. Bu noktada fonksiyon en küçük değerini alır. Minimum değer -4'tür. Negatif tam sayıları toplamdan çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, −2<x<5-2 < x < 5 iken x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesinin aralığını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik inşası yöntemi: −3<x<4-3 < x < 4 ise her taraftan 2 çıkaralım: −5<x−2<2-5 < x-2 < 2. Şimdi karesini alalım: 0≤(x−2)2<250 \le (x-2)^2 < 25 (Dikkat: Bir aralık 0'ı içeriyorsa karenin alt sınırı 0 olur). Her taraftan 4 çıkaralım: −4≤(x−2)2−4<21-4 \le (x-2)^2 - 4 < 21.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 32Soru →
Sıfırdan farklı a,ba, b ve cc gerçel sayıları için;
a⋅b<0a \cdot b < 0
b−a<0b - a < 0
a⋅c>b⋅ca \cdot c > b \cdot c

eşitsizlikleri verildiğine göre, aşağıdaki bağıntılardan hangisi her durumda sağlanır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ba<ba+c\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c}

Cevap

ba<ba+c\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c} bağıntısının bulunduğu seçenek doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden b<0b < 0, a>0a > 0 ve c>0c > 0 sonuçları elde edilir. aa ve cc pozitif olduğu için a+ca + c değeri aa'dan büyüktür. Paydası daha büyük olan pozitif kesir (1a+c\frac{1}{a+c}) daha küçüktür. Ancak bu kesir negatif olan bb sayısı ile çarpıldığında, eşitsizlik yön değiştirerek ba<ba+c\frac{b}{a} < \frac{b}{a+c} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
aa ve bb değişkenlerinin işaretlerini belirleyin.
b<0<ab < 0 < a
a⋅b<0a \cdot b < 0 olması sayıların zıt işaretli olduğunu, b−a<0⇒b<ab - a < 0 \Rightarrow b < a olması ise bb'nin negatif, aa'nın pozitif olduğunu gösterir.
2
cc değişkeninin işaretini belirleyin.
c>0c > 0
a⋅c>b⋅ca \cdot c > b \cdot c eşitsizliğinde terimler sol tarafa toplanırsa c(a−b)>0c(a - b) > 0 elde edilir. a>ba > b olduğu için (a−b)(a - b) pozitiftir; dolayısıyla cc de pozitif olmalıdır.
3
Doğru bağıntıyı kanıtlayın.
ba<ba+c\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c}
a>0a > 0 ve c>0c > 0 olduğundan a<a+ca < a + c yazılabilir. Pozitif sayılarla kurulan rasyonel ifadede 1a>1a+c\frac{1}{a} > \frac{1}{a + c} olur. Bu eşitsizlik negatif olan bb sayısı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizliklerde Çarpma ve İşaret Analizi
Soru 33Soru →

Aşağıdaki sayı doğrusunda, 22 noktasının içi boş ve 66 noktasının içi dolu olarak işaretlenmiş, bu iki nokta arasındaki bölge ise koyu renkli bir çizgiyle taranmıştır.

Bu taranan bölgedeki sayılar x−3x - 3 ifadesinin alabileceği değerleri temsil ettiğine göre, xx reel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5<x≤95 < x \leq 9

Cevap

xx reel sayısının alabileceği en geniş aralık 5<x≤95 < x \leq 9 eşitsizliği ile ifade edilir.
Sayı doğrusunda verilen aralık (2,6](2, 6] şeklindedir ve bu aralık x−3x-3 ifadesini temsil eder. Dolayısıyla kurulan eşitsizlik 2<x−3≤62 < x-3 \leq 6 olur. xx değerini bulmak için eşitsizliğin her tarafına 33 eklendiğinde 5<x≤95 < x \leq 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusundaki görsel veriyi eşitsizlik formuna dönüştürün.
2<x−3≤62 < x - 3 \leq 6
22 noktası açık (içi boş) olduğu için 'küçüktür' (<<), 66 noktası kapalı (içi dolu) olduğu için 'küçük eşittir' (≤\leq) sembolü kullanılır.
2
xx değişkenini yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 33 ekleyin.
2+3<x−3+3≤6+32 + 3 < x - 3 + 3 \leq 6 + 3
Eşitsizliğin bir tarafındaki sabiti yok etmek için o sabitin toplama işlemine göre tersi her tarafa eklenmelidir.
3
İşlemleri tamamlayarak nihai aralığı belirleyin.
5<x≤95 < x \leq 9
Basit toplama işlemleri sonucunda xx değişkeninin alabileceği değer aralığına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi ve eşitsizliklerde temel toplama-çıkarma işlemleri.

İpuçları

1
Sayı doğrusundaki içi boş ve içi dolu noktaların hangi eşitsizlik sembollerine (<<, ≤\leq) karşılık geldiğini belirleyin.
2
Taranan bölgenin xx değil, x−3x-3 olduğunu fark edin. Önce x−3x-3 için bir aralık kurun.
3
2<x−3≤62 < x - 3 \leq 6 eşitsizliğinde xx'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 33 ekleyin.

Daha Fazla Pratik

Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizliğin yön değiştirmesi gerektiğini unutmayın.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 34Soru →
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
ab<−1 \frac{a}{b} < -1
b⋅c>0 b \cdot c > 0
a+c<0 a + c < 0
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅c<0a \cdot c < 0

Cevap

aa ve cc sayılarının çarpımının negatif olduğu (a⋅c<0a \cdot c < 0) seçeneği daima doğrudur.
Verilen sistemde bb sayısının işareti belirsizdir, bu yüzden iki durum incelenmelidir. bb pozitifse cc pozitif ve aa negatif olur. bb negatifse cc negatif ve aa pozitif olur. Her iki durumda da aa ve cc sayıları zıt işaretlidir. Zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir (a⋅c<0a \cdot c < 0).

Adım Adım Çözüm

1
bb ve cc işaretlerini analiz et
b⋅c>0b \cdot c > 0 olduğu için bb ve cc aynı işaretlidir (+,++,+ veya −,−-,-).
İki sayının çarpımı pozitifse, sayılar aynı işaretli olmalıdır.
2
1. Durumu (b>0b > 0) incele
b>0b > 0 ise c>0c > 0 olur. ab<−1\frac{a}{b} < -1 eşitsizliğinde her iki tarafı bb (pozitif) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez: a<−ba < -b. Bu durumda aa negatiftir. a(−),b(+),c(+)a(-), b(+), c(+).
Eşitsizliklerde pozitif sayıyla çarpma yönü korur.
3
2. Durumu (b<0b < 0) incele
b<0b < 0 ise c<0c < 0 olur. ab<−1\frac{a}{b} < -1 eşitsizliğinde her iki tarafı bb (negatif) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: a>−ba > -b. bb negatif olduğu için −b-b pozitiftir, yani aa pozitiftir. a(+),b(−),c(−)a(+), b(-), c(-).
Eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma yönü değiştirir. Bu kritik bir ayrımdır.
4
Seçenekleri her iki durum için test et
1. Durumda: a(−),c(+)a(-), c(+) çarpımı negatiftir. 2. Durumda: a(+),c(−)a(+), c(-) çarpımı negatiftir. Her iki durumda da a⋅c<0a \cdot c < 0 kesindir.
Daima doğru olması için tüm olası senaryolarda sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde işaret analizi ve durum (vaka) incelemesi
Soru 35Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−4<5−2x≤1-4 < 5 - 2x \leq 1
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 9'dur.
Verilen eşitsizlik çözülürken önce her taraftan 5 çıkarılır (−9<−2x≤−4-9 < -2x \leq -4). Ardından her taraf -2'ye bölünür. Negatif sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir (4,5>x≥24,5 > x \geq 2). Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları 9 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin her tarafından 5 çıkararak xx'li terimi yalnız bırakmaya başla.
−4−5<−2x≤1−5  ⟹  −9<−2x≤−4-4 - 5 < -2x \leq 1 - 5 \implies -9 < -2x \leq -4
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.
2
Her tarafı −2-2'ye böl ve eşitsizliğin yönünü değiştir.
−9−2>x≥−4−2  ⟹  4,5>x≥2\frac{-9}{-2} > x \geq \frac{-4}{-2} \implies 4,5 > x \geq 2
Bir eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolleri yön değiştirir (< olur >, ≤\leq olur ≥\geq).
3
Elde edilen aralıktaki tam sayıları belirle.
2≤x<4,52 \leq x < 4,5 aralığındaki tam sayılar: 2,3,42, 3, 4
Alt sınır (2) dahildir, üst sınır (4,5) dahil değildir ancak tam sayı istendiği için 4'e kadar alınır.
4
Bulunan tam sayı değerlerini topla.
2+3+4=92 + 3 + 4 = 9
Soruda tam sayı değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma veya bölme işlemi yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

İpuçları

1
Eşitsizlikte xx'i yalnız bırakmak için önce her taraftan 5 sayısını çıkarın.
2
xx'in katsayısı negatif (−2-2) olduğu için, her tarafı bu sayıya bölerken eşitsizlik işaretlerinin yönünü değiştirmeyi unutmayın.
3
Sonuçta 2≤x<4,52 \le x < 4,5 aralığını bulmalısınız. Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, paydada bilinmeyen olduğu durumlar için çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 36Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı,

3x−15x+4≤1 \frac{3x - 15}{x + 4} \leq 1
∣x−2∣>4 |x - 2| > 4

eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Sistemi sağlayan tam sayıların toplamı 21'dir.
Doğru cevap, iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimindeki tüm tam sayıların (−3,7,8,9-3, 7, 8, 9) doğru tespit edilip toplanmasıyla bulunur. Toplam 2121 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği düzenleyerek çözüm aralığını bul.
3x−15x+4−1≤0⇒2x−19x+4≤0\frac{3x - 15}{x + 4} - 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{2x - 19}{x + 4} \leq 0 Kökler: x=−4x = -4 (payda, tanımsız) ve x=9,5x = 9,5 (pay, sıfır). Tablo incelendiğinde çözüm aralığı (−4,9,5](-4, 9,5] bulunur.
Rasyonel eşitsizliklerde sağ taraf sıfır yapılmalı ve işaret tablosu oluşturulmalıdır. İçler dışlar çarpımı yapmak kök kaybına veya işaret hatasına neden olabilir.
2
İkinci eşitsizliği mutlak değer kuralına göre aç.
∣x−2∣>4|x - 2| > 4 ise iki durum vardır: x−2>4⇒x>6x - 2 > 4 \Rightarrow x > 6 VEYA x−2<−4⇒x<−2x - 2 < -4 \Rightarrow x < -2. Çözüm kümesi: (−∞,−2)∪(6,∞)(-\infty, -2) \cup (6, \infty).
∣u∣>a|u| > a eşitsizliği u>au > a veya u<−au < -a şeklinde çözülür.
3
İki çözüm kümesinin kesişimini al.
1. Bölge: (−4,9,5]∩(−∞,−2)⇒(−4,−2)(-4, 9,5] \cap (-\infty, -2) \Rightarrow (-4, -2)
2. Bölge: (−4,9,5]∩(6,∞)⇒(6,9,5](-4, 9,5] \cap (6, \infty) \Rightarrow (6, 9,5]
Sistem çözümü için her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan aralıklar bulunmalıdır.
4
Kesişim aralığındaki tam sayıları belirle ve topla.
(−4,−2)(-4, -2) aralığındaki tam sayı: −3-3
(6,9,5](6, 9,5] aralığındaki tam sayılar: 7,8,97, 8, 9
Toplam: −3+7+8+9=21-3 + 7 + 8 + 9 = 21
Sınır değerlerine dikkat edilmelidir; -4 ve -2 dahil değildir (açık aralık), 6 dahil değildir, ancak 9 dahildir.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve Mutlak Değer

İpuçları

1
Birinci eşitsizlikte sağ taraftaki 1'i sol tarafa atarak payda eşitlemesi yapın ve işaret tablosu oluşturun.
2
Mutlak değerli eşitsizlik ∣x−2∣>4|x-2| > 4 ifadesi, x−2x-2'nin 4'ten büyük VEYA -4'ten küçük olduğu anlamına gelir.
3
Çözüm kümesi iki parçalı olacaktır: Negatif tarafta -4 ile -2 arası, pozitif tarafta 6 ile 9,5 arası. Tam sayıları bu aralıklardan seçin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 37Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−5≤7−3x−2<4-5 \le \frac{7 - 3x}{-2} < 4
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, xx'in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliğin çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı 9'dur.
Verilen eşitsizlikte xx'i yalnız bırakmak için yapılan işlemlerde iki kez negatif sayı ile işlem yapıldığına dikkat edilmelidir. Önce -2 ile çarparken, sonra -3'e bölerken eşitsizlik yön değiştirir. Sonuçta elde edilen [−1,5)[-1, 5) aralığındaki tam sayıların toplamı 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği -2 ile çarp
10≥7−3x>−810 \ge 7 - 3x > -8
Negatif bir sayı ile çarpıldığı için eşitsizlik işaretleri yön değiştirir (≤\le yerine ≥\ge ve << yerine >> olur).
2
Eşitsizliği düzenle ve her taraftan 7 çıkar
−8<7−3x≤10  ⟹  −15<−3x≤3-8 < 7 - 3x \le 10 \implies -15 < -3x \le 3
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için sabit terim yok edilir.
3
Her tarafı -3'e böl
5>x≥−15 > x \ge -1
Negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik işaretleri tekrar yön değiştirir.
4
Çözüm aralığını yaz ve tam sayıları topla
Çözüm kümesi: [−1,5)[-1, 5). Tam sayılar: {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Toplam: 99.
Aralık -1'i kapsar (kapalı) ancak 5'i kapsamaz (açık).

Anahtar Kavram

Negatif Sayıyla Eşitsizlik İşlemleri

İpuçları

1
Eşitsizliğin paydasındaki negatif sayıdan kurtulmak için her tarafı -2 ile çarpın. Eşitsizlik yönüne dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içeren eşitsizlik soruları ile sınır kavramını pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Basit Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin