Layer 1

Soru 21Soru →

$ABC$ bir üçgen, $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ olmak üzere $|AD| = 4\text{ cm}$ , $|BD| = 2\text{ cm}$ ve $|DE| = 8\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Buna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

4

10

12

16

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Verilen üçgende temel benzerlik teoremi uygulandığında

|BC|

uzunluğu

12\text{ cm}

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

12

değeri,

ADE

ve

ABC

üçgenleri arasındaki

\frac{4}{6}

(yani

\frac{2}{3}

) benzerlik oranının tabanlara uygulanmasıyla elde edilir.

\frac{2}{3} = \frac{8}{|BC|}

eşitliğinden

|BC| = 12\text{ cm}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Benzerlik ilişkisini kurma

ADE \sim ABC

[DE] \parallel [BC]

olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir ve A açısı ortaktır (Açı-Açı benzerliği).

2

Kenarlar arasındaki benzerlik oranını belirleme

\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|}

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır.

3

|AB|

uzunluğunu hesaplama

|AB| = 4 + 2 = 6\text{ cm}

|AB|

uzunluğu,

|AD|

ve

|BD|

parçalarının toplamıdır.

4

Verilen değerleri oran denkleminde yerine yazma ve çözme

\frac{4}{6} = \frac{8}{x} \Rightarrow 4x = 48 \Rightarrow x = 12\text{ cm}

Dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen

|BC|

(x) değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Temel Benzerlik Teoremi (Thales)

İpuçları

1

[DE]

ve

[BC]

birbirine paralel olduğu için küçük üçgen (

ADE

) ile büyük üçgen (

ABC

) benzerdir.

2

Benzerlik oranını yazarken

|AD|

uzunluğunu, üçgenin tüm kenarı olan

|AB|

uzunluğuna oranlamayı unutmayın.

3

Benzerlik oranı

\frac{4}{4+2} = \frac{4}{6}

'dır. Bu oranı tabanlar olan

8

ve

|BC|

'ye uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı verildiğinde bu üçgenlerin alanları oranının nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantı mantığıyla: Yan kenar

4

'ten

6

'ya (

1.5

katına) çıkıyorsa, taban da

8

'den

1.5

katına çıkarak

12

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 22Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretlenmiştir. $[DE] \parallel [BC]$ olduğu bilindiğine göre, $|AD| = 3\text{ cm}$ , $|DB| = 6\text{ cm}$ ve $|DE| = 4\text{ cm}$ ise $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

8

10

12

15

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Üçgende benzerlik kuralları uygulandığında

|BC| = 12\text{ cm}

olarak bulunur.

Üçgende paralellik varsa, küçük üçgen (ADE) ile büyük üçgen (ABC) benzerdir. Benzerlik oranı,

|AD|

'nin

|AB|

'ye (yani

3/9

) oranından

1/3

olarak bulunur. Bu oran tabanlar için de geçerli olduğundan,

|DE|=4

ise

|BC|=12

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde

[DE] \parallel [BC]

olduğu için

ADE

ve

ABC

üçgenlerinin benzer olduğunu belirlemek.

ADE \sim ABC

Paralellikten dolayı yöndeş açılar birbirine eşittir (Açı-Açı benzerliği).

2

Benzerlik oranını kurmak için küçük üçgenin kenarının büyük üçgenin kenarına oranını hesaplamak.

\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.

3

Hesaplanan oranı tabanlar için uygulamak.

\frac{1}{3} = \frac{|DE|}{|BC|} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{4}{|BC|}

Küçük üçgenin tabanının büyük üçgenin tabanına oranı, benzerlik oranına eşittir.

4

İçler dışlar çarpımı yaparak

|BC|

uzunluğunu bulmak.

|BC| = 4 \times 3 = 12\text{ cm}

Orantı çözümü.

Anahtar Kavram

Temel Benzerlik Teoremi (Thales)

İpuçları

1

Paralellik gördüğünde aklına ilk olarak benzerlik (Açı-Açı benzerliği) gelmelidir.

2

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni arasındaki benzerlik oranını bulmak için

|AD|

'yi

|AB|

'ye bölmelisin.

3

|AB|

uzunluğunun

3 + 6 = 9\text{ cm}

olduğunu unutma. Oranın

3/9 = 1/3

olduğunu göreceksin.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının karesinin, üçgenlerin alanları oranına eşit olduğu sorularla devam edebilirsin.

Alternatif Yöntem

Thales teoremi parçalar arası oranı verir:

|AD|/|DB| = |AE|/|EC|

. Ancak tabanlar söz konusu olduğunda mutlaka üçgen benzerliği (

|AD|/|AB|

) kullanılmalıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 23Soru →

Bir plaza binasının dış cephesinde kullanılan $ABCD$ yamuğu biçimindeki dekoratif alüminyum panelin alt ve üst kenarları birbirine paraleldir ( $[AB] \parallel [DC]$ ). Panelin köşegenleri ( $[AC]$ ve $[BD]$ ) $K$ noktasında kesişmektedir. Rüzgar direncini artırmak amacıyla, tam kesişim noktası $K$ 'dan geçen ve tabanlara paralel olan bir $[EF]$ destek çubuğu monte edilmiştir ( $E \in [AD]$ , $F \in [BC]$ ).

Panelin üst kenar uzunluğu $|DC| = 60$ cm ve alt kenar uzunluğu $|AB| = 180$ cm olduğuna göre, monte edilen $[EF]$ destek çubuğunun uzunluğu kaç cm'dir?

45

60

90

120

135

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Destek çubuğunun uzunluğu 90 cm'dir.

Soruda verilen yapı bir yamuktur ve

K

noktası köşegenlerin kesişim noktasıdır. Bu tip sorularda çözüm iki aşamalı benzerlik gerektirir. Önce 'Kelebek' (Kum saati) benzerliği ile köşegen parçaları arasındaki oran bulunur (

60/180 = 1/3

). Daha sonra bu oran, 'Temel Benzerlik Teoremi' kullanılarak destek çubuğunun parça uzunluklarını bulmak için kullanılır.

|EK| = 45

cm ve

|KF| = 45

cm bulunur, toplamda

90

cm elde edilir. Alternatif olarak formül:

\frac{2 \cdot a \cdot c}{a + c} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 180}{240} = 90

cm.

Adım Adım Çözüm

1

Kelebek benzerliğini belirle

Benzerlik oranı 1/3

[DC] \parallel [AB]

olduğu için

\triangle KDC \sim \triangle KBA

benzerliği vardır (Kelebek/Kum saati). Oran:

\frac{|DC|}{|AB|} = \frac{60}{180} = \frac{1}{3}

.

2

Köşegen üzerindeki oranları yaz

|DK| = k

,

|KB| = 3k

Benzerlik oranından dolayı köşegen parçaları arasında

\frac{|DK|}{|KB|} = \frac{1}{3}

oranı vardır. Böylece köşegenin tamamı

|DB| = 4k

olur.

3

Temel benzerlik teoremini (Thales) uygula

|EK| = 45

cm

\triangle DAB

üçgeninde

EK \parallel AB

olduğundan temel benzerlik uygulanır:

\frac{|EK|}{|AB|} = \frac{|DK|}{|DB|} \Rightarrow \frac{|EK|}{180} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}

. Buradan

|EK| = \frac{180}{4} = 45

cm bulunur.

4

Simetriyi kullanarak toplam uzunluğu bul

|EF| = 90

cm

Aynı işlem diğer taraf (

\triangle CAB

) için de geçerlidir, dolayısıyla

|KF| = 45

cm olur. Toplam uzunluk

|EF| = |EK| + |KF| = 45 + 45 = 90

cm'dir.

Anahtar Kavram

Yamukta köşegenlerin kesim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğrunun uzunluğu, tabanların harmonik ortalaması ile ilişkilidir.

İpuçları

1

Şekilde önce 'Kelebek' (kum saati) benzerliğini görerek köşegen üzerindeki oranları belirleyin.

2

\triangle KDC

ve

\triangle KBA

üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı

60/180

yani

1/3

'tür. Bu oran

|DK|/|DB|

oranını bulmanıza yardımcı olur.

3

|DK|/|DB| = 1/4

oranını kullanarak,

\triangle DAB

üçgeninde Temel Benzerlik Teoremi ile

|EK|

uzunluğunu hesaplayın.

|EF|

bu uzunluğun iki katıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, bu sefer destek çubuğunun uzunluğu verilip tabanlardan birinin sorulduğu ters işlem sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Yamukta köşegenlerin kesim noktasından geçen paralel doğrunun uzunluğu

|EF| = \frac{2 \cdot \text{alt} \cdot \text{üst}}{\text{alt} + \text{üst}}

formülü ile de bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 24Soru →

ABC bir üçgendir. $[AB]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $[AC]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası belirlenerek, $[BC]$ kenarına paralel olacak şekilde $[DE]$ doğru parçası çiziliyor. Ardından, $E$ noktasından $[AB]$ kenarına paralel ikinci bir doğru çiziliyor ve bu doğru $[BC]$ kenarını $F$ noktasında kesiyor.

Oluşan şekil üzerinde $A(△ ADE) = 4 \text{ cm}^2$ ve $A(△ EFC) = 36 \text{ cm}^2$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, $DBFE$ paralelkenarının alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

12

24

40

48

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Paralelkenarın alanı 24 cm² dir.

Paralelkenar ve üçgen kombinasyonlarında, uçlardaki üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamı, büyük üçgenin alanının kareköküne eşittir.

\sqrt{S_{toplam}} = \sqrt{4} + \sqrt{36} = 8

ise toplam alan 64'tür. Üçgenler (4+36=40) çıkarıldığında geriye 24 kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Benzer üçgenleri belirle.

DE // BC

ve

EF // AB

olduğundan,

\u0026#9651; ADE \sim \u0026#9651; ABC

ve

\u0026#9651; EFC \sim \u0026#9651; ABC

benzerlikleri vardır.

Paralel doğrular yöndeş açılar oluşturur, bu da Açı-Açı benzerliğini sağlar.

2

Benzerlik oranı ile alan arasındaki ilişkiyi kullan.

Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir (

k^2

). Bu yapıdaki özel bir teorem gereği,

\sqrt{A(ABC)} = \sqrt{A(ADE)} + \sqrt{A(EFC)}

eşitliği geçerlidir.

\frac{|DE|}{|BC|} = \sqrt{\frac{4}{S_{toplam}}}

ve

\frac{|FC|}{|BC|} = \sqrt{\frac{36}{S_{toplam}}}

olup,

|BC| = |BF| + |FC|

ve

|BF|=|DE|

(paralelkenar) eşitliğinden bu sonuç türetilir.

3

Toplam alanı hesapla.

\sqrt{A(ABC)} = \sqrt{4} + \sqrt{36} = 2 + 6 = 8

olduğundan,

A(ABC) = 8^2 = 64 \text{ cm}^2

dir.

Köklerin toplamının karesi toplam alanı verir.

4

Paralelkenarın alanını bul.

A(DBFE) = A(ABC) - [A(ADE) + A(EFC)] = 64 - (4 + 36) = 64 - 40 = 24 \text{ cm}^2

.

Toplam alandan bilinen üçgen alanları çıkarılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1

Paralel doğruların oluşturduğu küçük üçgenler (

ADE

ve

EFC

), büyük üçgen (

ABC

) ile benzerdir.

2

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

S_1/S_2 = k^2

). Kenar uzunlukları cinsinden benzerlik oranlarını yazmayı deneyin.

3

Pratik yol: Bu tür şekillerde paralelkenarın alanı

S_{p} = 2\sqrt{S_1 \cdot S_2}

formülü ile de hesaplanabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının verildiği ancak alanın sorulduğu tersine problemler çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül: Paralelkenarın alanı

S_{para} = 2\sqrt{S_1 \cdot S_2}

dir. Burada

S_1=4, S_2=36

olduğundan,

S_{para} = 2\sqrt{4 \cdot 36} = 2 \cdot 12 = 24

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 25Soru →

$ABC$ bir üçgen, $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. Şekilde verilen $|AD| = 2$ cm, $|AB| = 6$ cm ve $|BC| = 15$ cm değerlerine göre, $|DE|$ kaç cm'dir?

3

5

7,5

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru yanıt 5 birimdir.

Üçgende paralellik olduğunda

ADE

ve

ABC

üçgenleri benzerdir.

|AD|=2

ve

|AB|=6

olduğu için benzerlik oranı

2/6 = 1/3

'tür. Bu oran tabanlar için de geçerli olduğundan

|DE|/15 = 1/3

eşitliğinden

|DE|=5

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Benzer üçgenleri belirleyin.

ADE \sim ABC

(A.A. benzerliği)

[DE] \parallel [BC]

olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir ve

A

açısı ortaktır.

2

Benzerlik oranını kurun.

|AD|/|AB| = |DE|/|BC|

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır.

3

Bilinen değerleri yerine yazarak denklemi çözün.

2/6 = |DE|/15 \Rightarrow 1/3 = |DE|/15 \Rightarrow |DE| = 5

cm

İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen kenar uzunluğu bulunur.

Anahtar Kavram

Temel Benzerlik Teoremi

İpuçları

1

[DE] \parallel [BC]

olduğu için küçük üçgen (

ADE

) ile büyük üçgen (

ABC

) benzerdir.

2

Benzerlik oranını yazarken

|AD|

uzunluğunu

|AB|

uzunluğuna oranlamayı deneyin.

3

2/6 = |DE|/15

oranını kurduğunuzda

|DE|

değerini bulmak için sadeleştirme yapabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının karesinin alanlar oranına eşit olduğunu hatırlayarak benzer soruları çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 26Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. $D$ noktası $[AB]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[AC]$ kenarı üzerindedir. $|AD| = 6 \text{ cm}$ ve $|DB| = 3 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. $ABC$ üçgeninin alanı $108 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ADE$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

36

48

54

72

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Küçük üçgenin alanı

48 \text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Verilen

[DE] \parallel [BC]

bilgisi sayesinde

ADE

ve

ABC

üçgenlerinin benzer olduğu anlaşılır. Benzerlik oranı

|AD|/|AB| = 6/9 = 2/3

olarak bulunur. Geometride temel bir kural olarak, benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir; bu durumda oran

(2/3)^2 = 4/9

olur. Toplam alan olan 108 ile bu oran çarpıldığında sonuç 48 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenler arasındaki benzerlik oranını (

k

) belirleyin.

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{6}{6+3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

[DE] \parallel [BC]

olduğu için

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir.

2

Alanlar oranını hesaplayın.

Alanlar Oranı

= k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

ABC

üçgeninin alanını kullanarak

ADE

üçgeninin alanını bulun.

\frac{\text{Alan}(ADE)}{108} = \frac{4}{9} \Rightarrow \text{Alan}(ADE) = 108 \times \frac{4}{9} = 48 \text{ cm}^2

Orantı yoluyla bilinmeyen alan değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üçgenlerde benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

olur.

İpuçları

1

Öncelikle

|AD|

uzunluğunu, üçgenin tüm kenarı olan

|AB|

uzunluğuna oranlayarak benzerlik oranını bulun.

2

Alanlar arasındaki ilişkinin benzerlik oranının karesi (

k^2

) olduğunu hatırlayın.

3

|AB| = 9 \text{ cm}

olduğu için oran

6/9 = 2/3

'tür. Bu oranın karesi olan

4/9

'u kullanarak alanı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının çevreler oranıyla olan ilişkisini inceleyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 27Soru →

ABC bir üçgendir. $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $AC$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası alınarak $[DE] \parallel [BC]$ olacak şekilde bir doğru parçası çiziliyor. Daha sonra $BC$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası belirlenip $[EF] \parallel [AB]$ olacak şekilde birleştiriliyor.

Oluşan $ADE$ üçgeninin alanı $16 \text{ cm}^2$ ve $EFC$ üçgeninin alanı $49 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin tamamının alanı kaç $\text{ cm}^2$ 'dir?

65

97

100

121

144

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 121

Cevap

121

Verilen paralellikler sayesinde

ADE

ve

EFC

üçgenleri ile büyük

ABC

üçgeni birbirine benzerdir. Benzerlik oranı alanların karekökü ile orantılıdır.

ADE

üçgeninin benzerlik kenarı

\sqrt{16}=4

birim,

EFC

üçgeninin benzerlik kenarı

\sqrt{49}=7

birim gibi düşünülebilir. Paralelkenar yapısından dolayı büyük üçgenin tabanı bu iki parçanın toplamı olan

4+7=11

birim ile orantılıdır. Büyük üçgenin alanı ise bu toplam oranın karesi ile ilişkilidir:

11^2 = 121 \text{ cm}^2

.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen paralellikleri kullanarak benzer üçgenleri belirle.

[DE] \parallel [BC]

ve

[EF] \parallel [AB]

olduğu için

\triangle ADE \sim \triangle EFC

benzerliği vardır. Ayrıca bu iki üçgen büyük

\triangle ABC

üçgenine de benzerdir.

Kenarları birbirine paralel olan üçgenler benzerdir (Açı-Açı-Açı benzerliği).

2

Alanlar oranından benzerlik oranını bul.

\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(EFC)} = \frac{16}{49}

olduğundan, benzerlik oranı

k = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}

'dir.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2 = \text{Alan Oranı}

).

3

Kenar uzunluklarını oransal olarak ifade et ve tabanları topla.

\triangle ADE

'nin tabanına

4k

,

\triangle EFC

'nin tabanına

7k

diyelim.

BDEF

bir paralelkenar olduğu için

|BF| = |DE| = 4k

olur. Büyük üçgenin tabanı

|BC| = 4k + 7k = 11k

olur.

Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşittir (

|DE| = |BF|

).

4

Küçük üçgen ile büyük üçgen arasındaki benzerlik oranını kullanarak toplam alanı bul.

\triangle ADE

ile

\triangle ABC

arasındaki benzerlik oranı

\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{4k}{11k} = \frac{4}{11}

'dir. Alanlar oranı

\left(\frac{4}{11}\right)^2 = \frac{16}{121}

olur.

16 / \text{Alan}(ABC) = 16 / 121 \implies \text{Alan}(ABC) = 121 \text{ cm}^2

.

Benzerlik oranının karesi alanlar oranını verir.

Anahtar Kavram

Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

S_1/S_2 = k^2

). Ayrıca bu özel yapıda

\sqrt{S_{Tüm}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}

kuralı geçerlidir.

İpuçları

1

Şekilde

ADE

ve

EFC

üçgenlerinin

ABC

üçgenine benzer olduğunu hatırlayınız. Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişkiyi kullanın.

2

Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir (

k^2

).

\sqrt{16}=4

ve

\sqrt{49}=7

değerlerini kenar uzunlukları ile ilişkilendirmeyi deneyin.

3

BDEF

şeklinin bir paralelkenar olduğuna dikkat edin. Bu sayede

DE

kenar uzunluğunu

BF

kenarına taşıyabilir ve büyük üçgenin tabanının oransal değerini bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı 1/3 olan iki üçgenin alanları oranını ve çevreleri oranını karşılaştıran bir soru çözünüz.

Alternatif Yöntem

Pratik Kural: Bu tip iç içe geçmiş paralel üçgen sorularında, büyük üçgenin alanının karekökü, küçük üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamına eşittir:

\sqrt{S_{ABC}} = \sqrt{S_{ADE}} + \sqrt{S_{EFC}} = 4 + 7 = 11 \implies S_{ABC} = 121

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 28Soru →

$ABC$ bir üçgen, $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. Şekilde verilen $|AD| = 4$ cm, $|DB| = 2$ cm ve $|AE| = 6$ cm değerlerine göre, $|EC|$ kaç cm'dir?

2

3

4

8

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Üçgende benzerlik ve temel orantı teoremi kurallarına göre

|EC| = 3

cm'dir.

Üçgenin bir kenarına çizilen paralel doğru, diğer kenarları orantılı böler.

AD

uzunluğunun

DB

uzunluğuna oranı

4/2 = 2

olduğundan,

AE

uzunluğunun

EC

uzunluğuna oranı da

2

olmalıdır.

6/3 = 2

eşitliğinden

|EC|

uzunluğu

3

cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Paralellik durumunda kenarlar arasındaki orantıyı belirle.

[DE] \parallel [BC]

olduğu için Temel Orantı Teoremi (Thales) gereği

\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}

eşitliği yazılır.

Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır.

2

Verilen sayısal değerleri formülde yerine koy.

\frac{4}{2} = \frac{6}{|EC|}

|AD|=4, |DB|=2

ve

|AE|=6

bilgileri soruda verilmiştir.

3

Bilinmeyen

|EC|

değerini hesapla.

2 = \frac{6}{|EC|} \Rightarrow |EC| = 3

cm

Eşitliğin sol tarafındaki

4/2

oranı

2

'ye eşittir.

2

ile ne çarpılırsa

6

eder veya

6

neye bölünürse

2

eder mantığıyla sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Temel Orantı Teoremi

İpuçları

1

[DE]

ve

[BC]

doğrularının birbirine paralel olması, üçgenler arasında bir benzerlik veya kenarlar arasında bir orantı olduğunu gösterir.

2

Temel orantı teoremini hatırla: Üçgenin içindeki paralel doğru kenarları hangi oranda bölüyorsa, karşı kenarı da aynı oranda böler.

3

AD

uzunluğu

DB

uzunluğunun tam

2

katıdır (

4 = 2 \times 2

). Aynı kat ilişkisi karşı tarafta

AE

ve

EC

arasında da olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Bu soruda

|EC|

yerine tüm

|AC|

uzunluğu da sorulabilirdi. Benzerlik oranını kullanarak taban uzunlukları (

DE

ve

BC

) arasındaki ilişkiyi de inceleyebilirsin.

Tahmini Süre:45s

Soru 29Soru →

Bir mimarlık ofisinin tasarladığı üçgen şeklindeki ( $ABC$ ) bir park projesinin krokisi aşağıda verilmiştir. Park arazisi, $BC$ kenarına paralel olan $[DE]$ yürüyüş yolu ile iki farklı yeşil alana ayrılmıştır.

Krokide verilen bilgilere göre $ADE$ üçgensel bölgesinin alanı $32 \text{ m}^2$ , $DBCE$ dörtgensel bölgesinin alanı ise $168 \text{ m}^2$ olarak belirlenmiştir.

$[DE] \parallel [BC]$ ve yürüyüş yolunun uzunluğu $|DE| = 24$ metre olduğuna göre, parkın caddeye cephesi olan $|BC|$ kenarının uzunluğu kaç metredir?

60

150

126

100

300

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

60 metre

Üçgenlerde benzerlik oranı (

k

), kenar uzunluklarının oranına eşittir; ancak alanların oranı benzerlik oranının karesine (

k^2

) eşittir. Soruda verilen alanlar kullanılarak önce

k^2

bulunur (

32/200

), ardından karekök alınarak

k

(

2/5

) elde edilir. Bu oran kenarlara uygulandığında doğru cevap 60 m bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam alanı hesapla.

Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(DBCE) = 32 + 168 = 200 \text{ m}^2

Benzerlik oranı, küçük üçgenin alanının büyük üçgenin (toplam) alanına oranından bulunur.

2

Alanlar oranını (

k^2

) kur.

k^2 = \frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = \frac{32}{200}

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

Kesiri sadeleştir ve benzerlik oranını (

k

) bul.

\frac{32}{200} = \frac{16}{100}

olduğundan,

k = \sqrt{\frac{16}{100}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

İşlemleri kolaylaştırmak için kesir en sade veya karekök dışına çıkabilir hale getirilir.

4

Benzerlik oranını kullanarak

|BC|

uzunluğunu hesapla.

\frac{|DE|}{|BC|} = k \Rightarrow \frac{24}{|BC|} = \frac{2}{5} \Rightarrow 2 \cdot |BC| = 120 \Rightarrow |BC| = 60

Kenarlar arasındaki oran doğrudan benzerlik oranına (

k

) eşittir.

Anahtar Kavram

Benzerlik Alan İlişkisi (Thales Teoremi)

Soru 30Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[AC]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[BC]$ kenarı üzerindedir. $[AE]$ ve $[BD]$ doğru parçaları $F$ noktasında kesişmektedir.

$|AD| = 2|DC|$
$|BF| = 12 \text{ cm}$
$|FD| = 3 \text{ cm}$

olduğuna göre, $\frac{|BE|}{|EC|}$ oranı kaçtır?

2

\frac{5}{2}

\frac{8}{3}

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{3}$

Cevap

\frac{8}{3}

Soruyu çözmek için 'yardımcı doğru' (ek çizim) tekniği kullanılmalıdır. D noktasından tabana paralel çizildiğinde, hem temel benzerlik (Thales) hem de kelebek benzerliği oluşur. Bu iki benzerlik sisteminden elde edilen denklemlerin ortak çözümü

\frac{8}{3}

oranını verir.

Adım Adım Çözüm

1

D noktasından [BC] kenarına paralel olacak şekilde bir [DK] doğru parçası çizin (K noktası [AE] üzerinde).

Bu yardımcı doğru, hem Temel Benzerlik Teoremi'ni hem de Kelebek (Kum Saati) benzerliğini kullanmamızı sağlar.

Verilen oranları birbirine bağlamak için ek bir çizim gereklidir.

2

\triangle ADK

ile

\triangle ACE

arasındaki temel benzerlik oranını yazın.

\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}

olduğundan,

|DK| = \frac{2}{3} |EC|

bulunur.

Paralel doğrularda kenar oranları korunur (Temel Orantı Teoremi).

3

\triangle FDK

ile

\triangle FBE

arasındaki kelebek (kum saati) benzerliğini kullanın.

\frac{|FD|}{|FB|} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

olduğundan,

|DK| = \frac{1}{4} |BE|

bulunur.

Paralel doğrularda oluşan ters açılar (Z kuralı) nedeniyle üçgenler benzerdir.

4

Bulunan iki

|DK|

ifadesini eşitleyerek

|BE|

ile

|EC|

arasındaki oranı hesaplayın.

\frac{2}{3}|EC| = \frac{1}{4}|BE| \implies 8|EC| = 3|BE| \implies \frac{|BE|}{|EC|} = \frac{8}{3}

Aynı uzunluk (DK) üzerinden iki bilinmeyen arasında bağ kurulur.

Anahtar Kavram

İleri Düzey Benzerlik Uygulamaları (Yardımcı Doğru Çizimi)

İpuçları

1

Soruda doğrudan bir benzerlik göremiyorsanız, D noktasından [BC] kenarına paralel bir doğru çizmeyi deneyin.

2

Çizdiğiniz paralel doğru sayesinde önce Temel Orantı Teoremini, sonra da oluşan 'Kelebek' (Kum Saati) benzerliğini kullanabilirsiniz.

3

D'den çizilen paralel [AE]'yi kessin. Oluşan küçük parça hem 2/3 oranında [EC]'ye, hem de 1/4 oranında [BE]'ye bağlıdır. Bu iki eşitliği birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda alan oranlarının sorulduğu soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Menelaus Teoremi:

ADC

üçgeni ve

B-F-D

keseni yerine,

AEC

üçgeni üzerinde uygun Menelaus veya

C-B-D

noktaları üzerinde

A-F-E

keseni ile çözüm yapılabilir:

\frac{|CE|}{|EB|} \cdot \frac{|BF|}{|FD|} \cdot \frac{|DA|}{|AC|} = 1

formülü uygulanabilir (Dikkat: Oranların yönüne çok dikkat edilmelidir).

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 31Soru →

Bir köprü projesinin teknik çiziminde, $ABC$ üçgeni biçimindeki bir destek bloğu modellenmiştir. Modelde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[AC]$ kenarı üzerinde yer almaktadır. $[AD]$ ve $[BE]$ destek kirişleri $K$ noktasında kesişmektedir.

Verilen çizimde:

|BD| = 2|DC|

|AE| = 3|EC|

Sistemin dengesini artırmak amacıyla, $K$ noktasından geçip $[BC]$ kenarına paralel olan bir $[KF]$ ara bağlantısı eklenmiştir ( $F \in [AC]$ ).

$|AC| = 44$ birim olduğuna göre, $[AC]$ üzerindeki $E$ ve $F$ noktaları arasındaki mesafe ( $|EF|$ ) kaç birimdir?

3

4

6

8

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

E ve F noktaları arasındaki mesafe 3 birimdir.

Soruda verilen oranlar kullanılarak önce Menelaus teoremi ile kesişim noktasının (K) konumu belirlenir (

AK/AD = 9/11

). Daha sonra

KF \parallel DC

olduğu için Temel Benzerlik Teoremi ile F noktasının yeri (

AF=36

) bulunur. E noktasının yeri verilen orandan (

AE=33

) hesaplanır. İki nokta arasındaki fark 3 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranları yerleştir ve Menelaus Teoremi'ni uygula.

ADC üçgeninde B-K-E keseni için Menelaus:

(CB/BD) \cdot (DK/KA) \cdot (AE/EC) = 1

. Verilenler

BD=2k, DC=k \implies CB=3k

ve

AE=3m, EC=m

. Denklem:

(3k/2k) \cdot (DK/KA) \cdot (3m/m) = 1 \implies (3/2) \cdot (DK/KA) \cdot 3 = 1

.

K noktasının AD üzerindeki konumunu (AK/AD oranını) bulmak için Menelaus teoremi gereklidir.

2

AK/AD oranını hesapla.

9/2 \cdot (DK/KA) = 1 \implies DK/KA = 2/9

. Buradan

AK/AD = AK/(AK+KD) = 9/(9+2) = 9/11

bulunur.

Paralel doğru parçasının (KF) yerini belirlemek için tepe noktasına olan oran gereklidir.

3

Thales (Temel Orantı) Teoremi ile F noktasının konumunu bul.

KF \parallel DC

olduğundan

\triangle ADC

içinde

AF/AC = AK/AD

olur.

AF/44 = 9/11 \implies AF = 36

birim.

Paralel doğrularda kenarlar orantılı bölünür.

4

E noktasının konumunu bul ve |EF| mesafesini hesapla.

|AE| = 3|EC|

ve

|AC|=44

olduğundan

|AE| = \frac{3}{4} \cdot 44 = 33

birim.

|EF| = |AF - AE| = |36 - 33| = 3

birim.

İki nokta arasındaki mesafe, tepe noktasına olan uzaklıkların farkıdır.

Anahtar Kavram

Menelaus Teoremi ve Temel Orantı (Thales) Teoremi'nin birlikte kullanımı

İpuçları

1

Önce

ADC

üçgenine odaklanın ve

B-K-E

doğrusunun bu üçgeni kestiğini düşünerek Menelaus Teoremi'ni uygulayın.

2

Menelaus Teoremi ile

AK/AD

oranını bulduktan sonra,

KF \parallel BC

bilgisini kullanarak

AF

uzunluğunu Thales Teoremi ile hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Menelaus teoremini kullanmadan, sadece alan oranları yöntemiyle çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

A noktasından BC'ye paralel bir doğru çizip 'Kelebek' (Papillon) benzerliği oluşturarak da K noktasının oranını bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 32Soru →

$ABC$ bir üçgendir. $[AB]$ kenarı üzerinde $D$ , $[AC]$ kenarı üzerinde $E$ noktası alınmıştır ve $[DE] \parallel [BC]$ 'dir.

$[BE]$ ve $[CD]$ doğru parçaları $K$ noktasında kesişmektedir.

$Alan(\triangle DEK) = 4 \text{ cm}^2$ ve $Alan(\triangle BCK) = 16 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $Alan(\triangle ABC)$ kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

36

40

44

48

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48

Verilen

4

ve

16

cm

^2

'lik alanlar,

[DE] \parallel [BC]

olduğu için 'kelebek' benzerliği oluşturur. Alan oranı

4/16=1/4

olduğundan benzerlik oranı

1/2

'dir. Bu oran aynı zamanda temel üçgen benzerliği (

\triangle ADE \sim \triangle ABC

) oranıdır. Yamuğun yan alanları

\sqrt{4 \cdot 16} = 8

'er cm

^2

bulunur, yamuk toplam alanı

36

olur. Temel benzerlik oranı

1/2

olduğundan alan oranı

1/4

'tür; yani üstteki küçük üçgen tüm alanın çeyreğidir, kalan yamuk ise

3/4

'üdür.

3/4

'ü

36

olan alanın tamamı

48

cm

^2

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Benzer üçgenleri belirle ve benzerlik oranını bul.

[DE] \parallel [BC]

olduğu için

\triangle DEK \sim \triangle CBK

(Kelebek/Kum saati benzerliği). Alanlar oranı

\frac{4}{16} = \frac{1}{4}

olduğundan, benzerlik oranı

k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

'dir. Yani

|DE| = k \cdot |BC| \Rightarrow |DE| = \frac{|BC|}{2}

'dir.

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

2

DBCE

yamuğunun toplam alanını hesapla.

Yamukta köşegenlerin ayırdığı alanlar kuralı gereği (

S_{yan} = \sqrt{S_{üst} \cdot S_{alt}}

),

Alan(\triangle DBK) = Alan(\triangle EKC) = \sqrt{4 \cdot 16} = 8 \text{ cm}^2

. Yamuğun toplam alanı:

4 + 16 + 8 + 8 = 36 \text{ cm}^2

.

Yamukta köşegenler çizildiğinde, paralel olmayan kenarlara komşu üçgenlerin alanları birbirine eşittir ve bu alan, taban/tavan üçgenlerinin alanlarının geometrik ortalamasıdır.

3

Temel orantı teoremi ile büyük üçgenin alanına geçiş yap.

\triangle ADE \sim \triangle ABC

benzerliğinde oran

\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{1}{2}

'dir. Alanlar oranı

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

olur.

Temel benzerlik teoremine göre paralel kesen, büyük üçgenle benzer küçük bir üçgen oluşturur.

4

Tüm alan hesabını tamamla.

Alan(\triangle ADE) = A

ise

Alan(\triangle ABC) = 4A

olur. Aradaki yamuğun alanı

4A - A = 3A

'dır.

3A = 36 \Rightarrow A = 12

. Toplam alan

4A = 4 \cdot 12 = 48 \text{ cm}^2

.

Bütünün alanı, parçaların alanları toplamıdır.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1

[DE] \parallel [BC]

olduğu için oluşan kelebek (papyon) şeklindeki

\triangle DEK

ve

\triangle CBK

üçgenlerinin benzerliğini kullanın.

2

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir. Buradan

|DE|/|BC|

oranını bulun.

3

Yamuğun toplam alanını bulduktan sonra,

\triangle ADE \sim \triangle ABC

benzerliğini kullanarak tüm üçgenin alanına geçin. (Alanlar oranı yine benzerlik oranının karesi olacaktır).

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının hacimlere etkisini inceleyen katı cisim soruları çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Yamuk özelliklerini kullanmadan:

|DE|/|BC| = 1/2

bulunduktan sonra, yükseklikler oranı da

1/2

olur.

K

noktasının

DE

'ye uzaklığı

h_1

,

BC

'ye uzaklığı

h_2

olsun.

h_1/h_2 = 1/2

. Alan formülünden yükseklikleri cinsinden toplam yüksekliği bulup tüm alanı hesaplayabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 33Soru →

Üçgen biçimindeki bir park arazisi ( $ABC$ ), taban kenarı olan $BC$ 'ye paralel çekilen iki çit ( $DE$ ve $FG$ ) ile üç farklı bölgeye ayrılmıştır. $A$ köşesi arazinin en üst noktası olup, $DE$ çiti tepeye daha yakındır.

Bu işlem sonucunda oluşan üç bölgenin (tepe üçgeni, orta şerit ve alt şerit) alanları birbirine eşittir.

$BC$ taban uzunluğu 60 metre olduğuna göre, tabana daha yakın olan $FG$ çitinin uzunluğu kaç metredir?

20\sqrt{3}

40

20\sqrt{6}

30\sqrt{2}

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20\sqrt{6}$

Cevap

Tabana yakın olan çitin (

FG

) uzunluğu

20\sqrt{6}

metredir.

Soruda verilen paralel çitler (

DE

ve

FG

), büyük üçgen (

ABC

) ile benzer küçük üçgenler (

ADE

ve

AFG

) oluşturur. Üç bölgenin alanları eşit olduğundan, tepeden itibaren kümülatif alanlar sırasıyla

S

,

2S

ve

3S

olur. Bizden istenen

FG

çiti, alanı

2S

olan ortadaki üçgenin tabanıdır. Büyük üçgenin alanı ise

3S

'tir. Benzerlik kuralına göre, alanlar oranı benzerlik oranının karesidir:

\left(\frac{|FG|}{|BC|}\right)^2 = \frac{2S}{3S}

. Buradan

\frac{|FG|}{60} = \sqrt{\frac{2}{3}}

bulunur. İşlemi yaparsak

|FG| = 60 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 20\sqrt{6}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi geometrik olarak modelle ve alanları tanımla.

Üç bölgenin alanları eşittir (

S

). Tepe üçgeni (

ADE

) alanı

S

, ortadaki (

AFG

) toplam alanı

2S

, en büyük üçgen (

ABC

) toplam alanı

3S

olur.

Paralel doğrularla oluşan üçgenlerde temel benzerlik teoremini uygulayabilmek için kümülatif alanları bulmalıyız.

2

İstenen çit (

FG

) ile taban (

BC

) arasındaki benzerlik ilişkisini kur.

AFG

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Alanlar oranı

\frac{Alan(AFG)}{Alan(ABC)} = \frac{2S}{3S} = \frac{2}{3}

tür.

Tabana paralel doğrular benzer üçgenler oluşturur.

3

Alan oranından benzerlik oranına geçiş yap.

Benzerlik oranı (

k

), alan oranının kareköküdür:

k = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

). Bu yüzden uzunluk oranı için karekök alırız.

4

FG

uzunluğunu hesapla.

\frac{|FG|}{|BC|} = \sqrt{\frac{2}{3}} \implies |FG| = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

. Paydayı rasyonel yapmak için

\sqrt{3}

ile genişletirsek:

60 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 20\sqrt{6}

.

Orantıyı çözerek sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1

Paralel doğrular gördüğünüzde 'Temel Benzerlik Teoremi'ni hatırlayın. Ayrıca üçgenleri parça parça değil, tepeden başlayarak iç içe geçmiş (kümülatif) üçgenler olarak düşünün (

ADE

,

AFG

,

ABC

).

2

Bölgelerin alanları eşit olduğuna göre; en küçük üçgenin alanı

S

ise, ortadaki üçgenin (

AFG

) alanı

S+S=2S

, en büyük üçgenin (

ABC

) alanı

S+S+S=3S

olur.

3

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının (kenarlar oranının) karesine eşittir. Yani

\frac{Alan(AFG)}{Alan(ABC)} = \left(\frac{|FG|}{|BC|}\right)^2

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, alanlar oranı yerine kenar uzunlukları oranı verilip alan sorulan versiyonuyla (örneğin kenarlar 1/3 oranında ise alanlar oranı 1/9'dur) pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözüm: Alanı

3S

olan üçgenin tabanı 60 ise, alan formülünden

h \cdot 60 / 2 = 3S

diyerek yükseklik ile alan ilişkisi kurulabilir, ancak benzerlik oranı kuralı (Alan

\propto k^2

) en pratik yoldur.

Tahmini Süre:2m 30s

Üçgende Benzerlik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap