Examkin

Sayma ve Olasılık

293 soru

Soru 281Soru →

Bir kamu kurumunda kullanılan belge kayıt sistemi için {0,1,2,3,4,5,6}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinin elemanları kullanılarak 4 basamaklı şifreler oluşturulacaktır. Şifre oluşturma kuralları aşağıda verilmiştir:

* Her şifrede rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreler 4000'den büyük olmalıdır.
* Şifreler tek sayı olmalıdır.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

Kurallara uygun 160 farklı şifre oluşturulabilir.
Soruda verilen kısıtlamalar (büyük olma ve tek olma) aynı rakamı (5) ilgilendirdiği için problem iki ayrı durumda incelenmelidir. Birinci durumda binler basamağına 5 sabitlenir, ikinci durumda binler basamağına 4 veya 6 gelir. Bu iki durumun sonuçları toplandığında doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi analiz et
Küme: {0,1,2,3,4,5,6}. Şartlar: 4 basamaklı, rakamları farklı, >4000 (binler basamağı {4,5,6}), tek sayı (birler basamağı {1,3,5}).
Kısıtlamalar belirlenmelidir.
2
Çakışma durumunu tespit et
Binler basamağı için {4,5,6} ve birler basamağı için {1,3,5} kümelerinde '5' rakamı ortaktır. Bu nedenle inceleme iki ayrı durumda yapılmalıdır: Binler basamağının 5 olduğu ve olmadığı durumlar.
Rakamları farklı dendiği için, 5'in hem başta hem sonda kullanılamayacağı dikkate alınarak durumlar ayrılmalıdır.
3
1. Durum: Binler basamağı 5 ise
Binler basamağı (5): 1 seçenek. Birler basamağı ({1,3}): 2 seçenek (5 kullanıldığı için elendi). Geriye kalan 2 basamak için: Kalan 5 rakamdan 2'si seçilir (5 x 4 = 20). Toplam: 1 x 2 x 20 = 40 sayı.
Sayma prensibi (çarpma kuralı) uygulanır.
4
2. Durum: Binler basamağı {4,6} ise
Binler basamağı ({4,6}): 2 seçenek. Birler basamağı ({1,3,5}): 3 seçenek (Çakışma yok). Geriye kalan 2 basamak için: Kalan 5 rakamdan 2'si seçilir (5 x 4 = 20). Toplam: 2 x 3 x 20 = 120 sayı.
Sayma prensibi (çarpma kuralı) uygulanır.
5
Sonuçları topla
40 + 120 = 160 farklı şifre.
Sayma prensibi (toplama kuralı) ile ayrık durumlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma) ve Durum Analizi

İpuçları

1
Şartları sağlayan sayıları tek bir işlemle hesaplamak zordur çünkü '5' rakamı hem '4000'den büyük olma' şartını (binler basamağı) hem de 'tek sayı olma' şartını (birler basamağı) etkiler.
2
Problemi iki ayrı duruma bölerek çözmelisiniz: 1. Durum: Sayının 5000-5999 arasında olduğu durumlar. 2. Durum: Sayının 4000-4999 veya 6000-6999 arasında olduğu durumlar.
3
5 ile başlayan durumlarda birler basamağına 5 gelemez (rakamlar farklı). 4 veya 6 ile başlayan durumlarda ise birler basamağına 1, 3 veya 5 gelebilir. Bu iki senaryoyu ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.

Alternatif Yöntem

Tüm ihtimallerden istenmeyen durumları çıkarmak bu soruda daha karmaşık olabilir; bu yüzden durumları (case) ayırarak toplamak (constructive counting) en güvenilir yöntemdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 282Soru →

Bir valilik binası girişindeki güvenlik noktasında görevli, aralarında Ahmet, Burak, Cem ve Deniz'in de bulunduğu 6 polis memuru, sabah içtiması için yan yana sıraya girecektir. Protokol gereği Ahmet ile Burak'ın kesinlikle yan yana olması, ancak aralarında husumet bulunan Cem ile Deniz'in kesinlikle yan yana olmaması istenmektedir. Buna göre, bu sıralama kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

144 farklı sıralama
Soruda iki koşul aynı anda istenmektedir: Ahmet-Burak bir arada OLSUN, Cem-Deniz bir arada OLMASIN. Bu tür sorularda en güvenli yöntem, 'Olsun' kümesinden 'İkisi de Olsun' kümesini çıkarmaktır.

1. Adım: Ahmet ve Burak'ı bir paket (X) gibi düşünelim. Elimizde {X, C, D, E, F} var. Bunlar 5! şekilde sıralanır. Ahmet ve Burak kendi arasında 2! yer değiştirir. Toplam: 5! × 2! = 240.
2. Adım: Şimdi bu 240 durumun içinden, Cem ve Deniz'in de yan yana geldiği (istenmeyen) durumları bulalım. Cem ve Deniz'i de bir paket (Y) yapalım. Elimizde {X, Y, E, F} var. Bunlar 4! şekilde sıralanır. Her iki paket de kendi içinde 2! yer değiştirir. İstenmeyen durum: 4! × 2! × 2! = 96.
3. Adım: Sonuç = 240 - 96 = 144 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet ve Burak'ın yan yana olduğu (AB) paket kabul edilerek tüm durumları hesapla.
Sıralanacak birimler: (AB), C, D, E, F → 5 birim. Sıralama: 5! × 2! (AB kendi içinde) = 120 × 2 = 240.
İlk şartı (Ahmet-Burak beraber) sağlayan evrensel kümeyi bulmak için.
2
Bu durumların içinden, istenmeyen durumu (Cem ve Deniz'in de yan yana olduğu) hesapla.
Sıralanacak birimler: (AB), (CD), E, F → 4 birim. Sıralama: 4! × 2! (AB) × 2! (CD) = 24 × 2 × 2 = 96.
İkinci şartı (Cem-Deniz ayrı) sağlamak için 'Tüm Durum - İstenmeyen Durum' yöntemini uygulamak.
3
Birinci adımdan ikinci adımı çıkar.
240 - 96 = 144.
Ahmet ve Burak'ın yan yana olduğu durumlardan, Cem ve Deniz'in de yan yana olduğu istenmeyen durumları atmak.

Anahtar Kavram

Permütasyonda kısıtlı sıralama (Bağlama ve Çıkarma Yöntemi)

İpuçları

1
Önce Ahmet ve Burak'ı birbirine bağlanmış tek bir kişi gibi düşünerek toplam sıralama sayısını bulun.
2
Cem ve Deniz'in yan yana olmama şartını sağlamak için; Ahmet ve Burak'ın yan yana olduğu 'tüm' durumlardan, Cem ve Deniz'in de yan yana olduğu 'istenmeyen' durumları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'A ve B yan yana, C ve D ise uçlarda olmak şartıyla' şeklinde kurgulayarak çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 283Soru →

0, 0, 2, 2, 2, 3, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek yazılabilen 7 basamaklı doğal sayıların kaç tanesi tektir ve bu sayılarda herhangi iki sıfır rakamı yan yana gelmemektedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İstenen şartları sağlayan 24 farklı sayı yazılabilir.
Soru üç temel kısıtlama içerir: Sayının tek olması, sıfırların yan yana gelmemesi ve sayının sıfırla başlamaması. Öncelikle sayı tek olmalı dendiği için sona bir '3' rakamı sabitlenir. Geriye {0,0,2,2,2,3} kalır. Sıfırlar yan yana gelmeyeceği için önce sıfır olmayanlar (2,2,2,3) dizilir; bu 4 durum oluşturur. Bu dizilimin oluşturduğu 5 boşluktan en baştaki hariç diğer 4 boşluğa 2 sıfır C(4,2)=6 şekilde yerleştirilir. Sonuç 4x6=24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının tek olması şartını sağla.
Son basamak 3 olmalıdır.
Sayının tek olması için birler basamağı tek sayı ({3}) olmalıdır. Elimizdeki rakamlardan sadece 3 tektir. Bir tane 3'ü sona sabitledik.
2
Geriye kalan rakamları ve yerleştirilecek boşlukları belirle.
Kalan rakamlar: {0, 0, 2, 2, 2, 3}. Düzenlenecek 'iskelet' rakamlar (sıfır olmayanlar): {2, 2, 2, 3}.
Sıfırlar yan yana gelmeyeceği için önce sıfır dışındaki rakamları dizip, aralarına sıfırları yerleştireceğiz (Ayraç Yöntemi).
3
Sıfır dışındaki rakamların (2, 2, 2, 3) kendi aralarındaki diziliş sayısını hesapla.
4! / (3! · 1!) = 4 farklı dizilim.
Bu rakamlar arasında üç tane 2 özdeştir. Tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
4
Sıfırların gelebileceği uygun boşlukları belirle.
Uygun boşluk sayısı 4'tür.
4 rakam yan yana dizildiğinde 5 boşluk oluşur: _ R _ R _ R _ R _. Ancak sayı 7 basamaklı olacağı için EN BAŞTAKİ boşluğa sıfır gelemez. Bu yüzden 1. boşluk iptal edilir. Geriye 4 uygun boşluk kalır.
5
Sıfırları uygun boşluklara yerleştir ve toplam sayıyı bul.
4 (dizilim) × 6 (yerleştirme) = 24.
2 tane özdeş sıfırı, 4 uygun boşluğa C(4,2) = 6 farklı şekilde yerleştirebiliriz. Çarpma kuralı ile toplam sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Bu soru, Tekrarlı Permütasyon ve Ayraç (Boşluk) Yöntemi kullanılarak, basamak analizi kısıtlamaları altında çözülür.

İpuçları

1
Önce sayının tek olması şartını sağlamak için son basamağı belirleyin.
2
'Yan yana gelmeme' sorularında genellikle önce diğer elemanlar dizilir, sonra oluşan boşluklara şartlı elemanlar yerleştirilir.
3
Sıfır dışındaki {2,2,2,3} rakamlarını dizin. Oluşan boşluklara sıfırları yerleştirirken en baştaki boşluğu kullanmamaya dikkat edin.

Alternatif Yöntem

Tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarma yöntemi bu soruda 'yan yana gelmeme' şartı nedeniyle daha karmaşık olabilir, ancak 'Sıfırların yan yana olduğu durumlar' hesaplanıp çıkarılarak da gidilebilir (fakat başa sıfır gelmeme kuralı işi zorlaştırır, Ayraç yöntemi en temizidir).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 284Soru →

Bir ABCABC üçgeninin [AB][AB] kenarı üzerinde köşeler dâhil 5 nokta, [BC][BC] kenarı üzerinde köşeler dâhil 6 nokta ve [AC][AC] kenarı üzerinde köşeler dâhil 7 nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu işaretli noktalardan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 390

Cevap

İşaretli noktalardan oluşturulabilecek üçgen sayısı 390'dır.
Toplam nokta sayısı köşelerdeki ortaklık dikkate alınarak 15 olarak bulunur. 15 noktadan seçilecek tüm 3'lü kombinasyonlardan (455), aynı kenar üzerinde bulunup üçgen oluşturamayan 3'lü gruplar (65) çıkarılarak doğru sonuç olan 390 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam işaretli nokta sayısını belirle.
Kenarlardaki nokta sayıları toplanırken köşeler (A,B,CA, B, C) ikişer kez sayıldığı için düzeltme yapılır: 5+6+7−3=155 + 6 + 7 - 3 = 15 toplam nokta vardır.
Üçgenin köşeleri her iki birleşen kenarın da elemanıdır, bu yüzden toplama işleminde mükerrer sayımı önlemek gerekir.
2
Tüm noktalardan oluşturulabilecek üçlü kombinasyon sayısını hesapla.
(153)=15⋅14⋅133⋅2⋅1=455\binom{15}{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455.
Hiçbir şart olmasaydı seçilebilecek tüm üçlü grupların sayısı budur.
3
Doğrusal olan (aynı kenar üzerindeki) noktaların oluşturduğu üçlüleri hesapla.
[AB][AB] için (53)=10\binom{5}{3} = 10, [BC][BC] için (63)=20\binom{6}{3} = 20, [AC][AC] için (73)=35\binom{7}{3} = 35. Toplam: 10+20+35=6510 + 20 + 35 = 65.
Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz, bu durumların toplamdan çıkarılması gerekir.
4
Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.
455−65=390455 - 65 = 390.
Kombinasyonun geometrik uygulamasında geçerli üçgen sayısı, tüm olasılıklardan imkansız (doğrusal) durumların farkıdır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma kuralı: (n3)−(Dog˘rusal olanların kombinasyonları)\binom{n}{3} - \text{(Doğrusal olanların kombinasyonları)}

İpuçları

1
Önce üçgen üzerinde toplam kaç adet benzersiz nokta olduğunu belirleyin. Köşelerin (A,B,CA, B, C) her iki kenara da dâhil olduğunu unutmayın.
2
Tüm noktalardan rastgele 3 nokta seçildiğinde (kombinasyon), bunların üçgen oluşturmaması için ne gereklidir? Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz.
3
Toplam nokta sayısı 15'tir. (153)\binom{15}{3} değerinden, her bir kenar üzerindeki noktaların kendi aralarındaki 3'lü kombinasyonlarını ((53),(63),(73)\binom{5}{3}, \binom{6}{3}, \binom{7}{3}) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, paralel iki doğru üzerindeki noktalardan kaç üçgen oluşturulabileceğini soran soruları çözünüz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak 'Bir nokta bir kenardan, diğer iki nokta diğer kenarlardan' veya 'Her kenardan bir nokta' yöntemleri ile de sayılabilir, ancak bu yöntem işlem kalabalığı nedeniyle hataya daha açıktır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 285Soru →
(2x2−1x)n \left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^n
ifadesinin açılımında, baştan 3. terimin katsayısı ile baştan 4. terimin katsayısının toplamı sıfırdır. Buna göre, bu açılımda x4x^4 lü terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1120

Cevap

1120
Verilen katsayı ilişkisinden n=8n=8 olarak bulunur. Ardından x4x^4 terimini sağlayan r=4r=4 değeri tespit edilir. Genel terim formülünde yerine konulduğunda katsayı 1120 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz ve verilen terimlerin katsayılarını ifade et.
(nr)(2x2)n−r(−x−1)r \binom{n}{r} (2x^2)^{n-r} (-x^{-1})^r
formülünden, 3. terim (r=2r=2) için katsayı
(n2)2n−2 \binom{n}{2} 2^{n-2}
, 4. terim (r=3r=3) için katsayı
−(n3)2n−3 -\binom{n}{3} 2^{n-3}
bulunur.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü kullanılır.
2
Katsayılar toplamının sıfır olduğu bilgisini kullanarak eşitliği kur ve nn değerini bul.
(n2)2n−2−(n3)2n−3=0⇒(n2)2n−2=(n3)2n−3 \binom{n}{2} 2^{n-2} - \binom{n}{3} 2^{n-3} = 0 \Rightarrow \binom{n}{2} 2^{n-2} = \binom{n}{3} 2^{n-3}
. Sadeleştirme sonucu n=8n=8 bulunur.
Verilen koşuldan nn kuvvetini belirlemek gereklidir.
3
x4x^4 lü terimi elde etmek için gereken rr değerini hesapla.
(x2)8−r(x−1)r=x16−2r−r=x16−3r (x^2)^{8-r} (x^{-1})^r = x^{16-2r-r} = x^{16-3r}
.
16−3r=4⇒3r=12⇒r=4 16-3r=4 \Rightarrow 3r=12 \Rightarrow r=4
olarak bulunur.
İstenen terimin kuvvetine ulaşmak için rr değeri belirlenmelidir.
4
Bulunan nn ve rr değerlerini yerine koyarak katsayıyı hesapla.
(84)(2)8−4(−1)4=70⋅16⋅1=1120 \binom{8}{4} (2)^{8-4} (-1)^4 = 70 \cdot 16 \cdot 1 = 1120
Sonuç katsayısını bulmak için tüm çarpanlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar arasındaki ilişki kullanılarak bilinmeyen kuvvetin (nn) bulunması ve genel terim formülü ile istenen terimin katsayısının hesaplanması.

İpuçları

1
Önce genel terim formülünü yazarak baştan 3. (r=2r=2) ve 4. (r=3r=3) terimlerin katsayılarını nn cinsinden ifade edin.
2
Katsayılar toplamı sıfır olduğuna göre, bu iki katsayı mutlak değerce eşit ve zıt işaretlidir. Bu eşitliği kullanarak nn değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, katsayılar toplamı yerine belirli bir terimin katsayısının verildiği durumu inceleyin.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgeni özelliklerini kullanarak, ardışık terim katsayıları arasındaki orandan nn değerini daha hızlı tahmin edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 286Soru →

Bir giyim mağazasının vitrininde sergilenecek olan bir manken için stokta 3 farklı ceket, 5 farklı gömlek ve 4 farklı pantolon bulunmaktadır. Mağaza görsel düzenleme talimatlarına göre yapılacak kombinasyonda uyulması gereken kurallar şunlardır:

* Seçenekler arasındaki siyah ceket vitrine konulursa, içine mutlaka beyaz renkli olan gömlek giydirilmelidir.
* Siyah ceket dışındaki diğer ceketler ise stoktaki tüm gömlek çeşitleriyle (beyaz dahil) sergilenebilmektedir.

Buna göre; bir ceket, bir gömlek ve bir pantolondan oluşan kaç farklı giyim kombini oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Toplam 44 farklı kombin oluşturulabilir.
Toplam kombinasyon sayısı hesaplanırken, kısıtlamanın olduğu durum ile kısıtlamanın olmadığı durumlar ayrı ayrı değerlendirilip toplanır. Siyah ceketin kullanıldığı durumda gömlek seçeneği 1'e düşer (1x1x4=4). Diğer ceketlerin kullanıldığı durumda tüm gömlekler serbesttir (2x5x4=40). Toplamda 44 kombinasyon elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi iki ayrık duruma ayırma
Durum 1: Siyah Ceketin seçildiği durumlar. Durum 2: Siyah Ceket dışındaki diğer ceketlerin seçildiği durumlar.
Sayma kurallarında özel bir şart (kısıtlama) varsa, bu şartın sağlandığı durum ile sağlanmadığı durum ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır (Toplama Kuralı).
2
1. Durumu (Siyah Ceket) hesaplama
1 (Ceket) x 1 (Gömlek) x 4 (Pantolon) = 4 kombin.
Siyah ceket (1 seçenek) seçildiğinde gömlek zorunlu olarak beyaz (1 seçenek) olmalıdır. Pantolon için kısıtlama yoktur (4 seçenek).
3
2. Durumu (Diğer Ceketler) hesaplama
2 (Ceket) x 5 (Gömlek) x 4 (Pantolon) = 40 kombin.
Siyah olmayan ceketler (3-1=2 seçenek) için gömlek kısıtlaması yoktur, hepsi seçilebilir (5 seçenek). Pantolonlar da serbesttir (4 seçenek).
4
Sonuçları toplama
4 + 40 = 44.
İki durum birbirinden bağımsız ve ayrık olduğu için çıkan sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel İlkeleri (Toplama ve Çarpma Kuralları)
Soru 287Soru →

Bir Büyükşehir Belediyesi Ulaşım Daire Başkanlığı bünyesinde yürütülecek yeni bir metro hattı projesi için 4 kişilik bir teknik heyet oluşturulacaktır. Aday havuzunda proje deneyimine sahip 4 şehir plancısı ve 5 inşaat mühendisi bulunmaktadır. Teknik heyetin; 2 şehir plancısı ve 2 inşaat mühendisinden oluşması planlanmaktadır. Ancak, adaylar arasında bulunan Şehir Plancısı Ahmet Bey ile İnşaat Mühendisi Burak Bey'in, teknik görüş ayrılıkları nedeniyle aynı heyette yer almamaları kararlaştırılmıştır.

Buna göre, bu teknik heyet kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Teknik heyet 48 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevap, kısıtlamasız tüm olası seçimlerden, kısıtlamayı ihlal eden durumların çıkarılmasıyla bulunur. Toplamda 4 şehir plancısı ve 5 inşaat mühendisi arasından 2'şer kişi seçilecektir: C(4,2) × C(5,2) = 6 × 10 = 60 farklı heyet oluşturulabilir. Ancak Ahmet Bey ve Burak Bey'in birlikte olduğu durumlar istenmemektedir. İkisi seçildiğinde, yanlarına 1 plancı (kalan 3 kişiden) ve 1 mühendis (kalan 4 kişiden) seçilmelidir: 1 × 1 × C(3,1) × C(4,1) = 12 durum. Sonuç: 60 - 12 = 48.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlama (ikisinin aynı anda bulunmaması) olmadan tüm olası heyet seçimlerini hesapla.
C(4,2) × C(5,2) = 6 × 10 = 60
4 şehir plancısından 2'si ve 5 inşaat mühendisinden 2'si seçilerek genel kombinasyon sayısı bulunur.
2
Ahmet Bey ve Burak Bey'in aynı anda heyette bulunduğu (istenmeyen) durumu hesapla.
C(3,1) × C(4,1) = 3 × 4 = 12
Ahmet Bey (Şehir Plancısı) ve Burak Bey (İnşaat Mühendisi) seçildiğinde, geriye kalan 3 plancıdan 1 kişi ve 4 mühendisten 1 kişi daha seçilmelidir.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkararak sonuca ulaş.
60 - 12 = 48
'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum' yöntemi, bu tür dışlama sorularında en pratik yoldur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon problemlerinde 'veya' / 'hariç tutma' mantığı ile seçim yapma.

Alternatif Yöntem

Doğrudan toplama yöntemi:
1. Durum (Ahmet var, Burak yok): Ahmet seçildi, yanına 3 plancıdan 1'i; Burak yok, 4 mühendisten 2'si seçilir. (C(3,1) × C(4,2) = 3 × 6 = 18)
2. Durum (Ahmet yok, Burak var): Ahmet yok, 3 plancıdan 2'si; Burak seçildi, yanına 4 mühendisten 1'i seçilir. (C(3,2) × C(4,1) = 3 × 4 = 12)
3. Durum (İkisi de yok): Ahmet yok, 3 plancıdan 2'si; Burak yok, 4 mühendisten 2'si seçilir. (C(3,2) × C(4,2) = 3 × 6 = 18)
Toplam: 18 + 12 + 18 = 48.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 288Soru →

Bir kamu kuruluşunun insan kaynakları birimi tarafından düzenlenen üst düzey yöneticilik eğitimine katılan 8080 personelin branşlarına ve yabancı dil seviyelerine ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

BranşPersonel Sayısıİleri Seviye İngilizce Bilenlerin Oranı (%)
İdari5020
Teknik3040

Eğitime katılanlar arasından rastgele seçilen bir personelin ileri seviye İngilizce bildiği bilindiğine göre, bu personelin İdari branşta olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 511\frac{5}{11}

Cevap

Seçilen personelin İngilizce bildiği bilindiğine göre, İdari branştan gelme olasılığı 511\frac{5}{11} olarak hesaplanır.
Seçilen kişinin İngilizce bildiği bilindiği için örnek uzayımız sadece İngilizce bilen 10+12=2210 + 12 = 22 kişiden oluşur. Bu grup içerisinde İdari branştan gelenlerin sayısı 10 olduğu için olasılık değeri 10/2210/22, sadeleştirildiğinde ise 5/115/11 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Branşlara göre ileri seviye İngilizce bilen personel sayısını hesaplayalım.
İdari: 50×20100=1050 \times \frac{20}{100} = 10 kişi
Teknik: 30×40100=1230 \times \frac{40}{100} = 12 kişi
Koşullu olasılıkta hem istenen durumun hem de örnek uzayın eleman sayılarını belirlemek gerekir.
2
Koşul bilgisini kullanarak yeni örnek uzayını (toplam İngilizce bilen sayısını) belirleyelim.
Toplam İngilizce bilen: 10+12=2210 + 12 = 22 kişi
Seçilen kişinin İngilizce bildiği kesin bir bilgi olduğu için olasılık hesabında payda sadece bu kişilerden oluşmalıdır.
3
İstenen durumu (İdari branştaki İngilizce bilenler) tüm durumlara oranlayalım.
Olasılık = 1022=511\frac{10}{22} = \frac{5}{11}
Olasılık, istenen durum sayısının tüm mümkün durum sayısına (kısıtlanmış örnek uzayı) oranıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

İpuçları

1
'Bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen bilgi, yeni örnek uzayınızı (paydayı) belirler.
2
Önce her iki branşta ayrı ayrı kaç kişinin İngilizce bildiğini bulun, ardından bu sayıları toplayarak toplam İngilizce bilen sayısına ulaşın.
3
İdari branştaki 10 kişinin, toplam İngilizce bilen 22 kişiye oranını hesaplayarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda tablo verilerini ağaç diyagramına dönüştürmek, koşullu olasılık yollarını görselleştirmenize yardımcı olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 289Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!(n−1)!=10⋅n!(n−2)! \frac{(n+2)!}{(n-1)!} = 10 \cdot \frac{n!}{(n-2)!}

eşitliğinde nn'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitliği sağlayan değerler 3 ve 4 olup, toplamları 7'dir.
Verilen eşitlikte faktöriyeller açılıp sadeleştirildiğinde (n+2)(n+1)n=10n(n−1)(n+2)(n+1)n = 10n(n-1) denklemi elde edilir. n≠0n \neq 0 olduğu için sadeleştirme yapılarak n2+3n+2=10n−10n^2+3n+2 = 10n-10 denklemi bulunur. Bu denklem düzenlendiğinde n2−7n+12=0n^2-7n+12=0 olur ve kökleri 3 ile 4'tür. Toplamları 7 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyelli ifadeleri, sadeleşecek şekilde açarak yazalım.
(n+2)(n+1)n(n−1)!(n−1)!=10⋅n(n−1)(n−2)!(n−2)!\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!} = 10 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}
Faktöriyel tanımını kullanarak pay ve paydadaki ortak çarpanları yok etmek için.
2
Sadeleştirme işlemlerini yapalım.
(n+2)(n+1)n=10⋅n(n−1)(n+2)(n+1)n = 10 \cdot n(n-1)
Denklemi faktöriyellerden kurtarıp cebirsel hale getirmek için.
3
nn bir doğal sayı olduğu için (ve tanım gereği n≥2n \ge 2 olmalı) eşitliğin her iki tarafını nn ile bölelim.
(n+2)(n+1)=10(n−1)(n+2)(n+1) = 10(n-1)
Denklemin derecesini düşürmek için.
4
Parantezleri açıp ifadeyi ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
n2+3n+2=10n−10n^2 + 3n + 2 = 10n - 10
⇒n2−7n+12=0\Rightarrow n^2 - 7n + 12 = 0
Kökleri bulabilmek için standart form (ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0) elde etmek.
5
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak nn değerlerini bulalım.
(n−4)(n−3)=0⇒n=4 veya n=3(n-4)(n-3) = 0 \Rightarrow n=4 \text{ veya } n=3
Çözüm kümesini belirlemek.
6
Bulunan değerlerin toplamını hesaplayalım.
3+4=73 + 4 = 7
Sorunun istediği sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

İpuçları

1
Büyük faktöriyelleri küçük faktöriyellere benzeterek açmayı deneyin. Örneğin: (n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n!
2
Eşitliğin her iki tarafındaki n!n! ve (n−2)!(n-2)! gibi terimleri sadeleştirdikten sonra geriye sadece nn'ye bağlı cebirsel bir ifade kalacaktır.
3
Sadeleştirme sonucu (n+2)(n+1)=10(n−1)(n+2)(n+1) = 10(n-1) denklemini elde etmelisiniz. Bunu ikinci dereceden denkleme dönüştürüp çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, kökler çarpımının sorulduğu sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Denklem n2−7n+12=0n^2-7n+12=0 haline geldikten sonra, kökleri tek tek bulmak yerine İkinci Dereceden Denklemlerde Kökler Toplamı formülünü (x1+x2=−b/ax_1+x_2 = -b/a) kullanarak doğrudan −(−7)/1=7-(-7)/1 = 7 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 290Soru →

(x2−ax)6\left(x^2 - \frac{a}{x}\right)^6 ifadesinin açılımında x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 tır.

Buna göre, bu ifadenin açılımındaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

İfadenin sabit terimi 240'tır.
Soruda verilen x3x^3 lü terim bilgisi kullanılarak önce bilinmeyen aa değeri bulunur (a=2a=2). Daha sonra sabit terim (yani x0x^0) için gereken rr değeri (r=4r=4) bulunarak hesaplama yapılır. (64)(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz: (nr)(1.terim)n−r(2.terim)r\binom{n}{r} (1.terim)^{n-r} (2.terim)^r
(6r)(x2)6−r(−ax−1)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} (-ax^{-1})^r
Binom açılımındaki herhangi bir terimi bulmak için genel formül kullanılır.
2
x3x^3 lü terimi bulmak için x'in kuvvetini 3'e eşitle ve r değerini bul.
2(6−r)−r=3⇒12−3r=3⇒3r=9⇒r=32(6-r) - r = 3 \Rightarrow 12 - 3r = 3 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
İstenen terimin hangi sırada olduğunu (r değerini) belirlemek gerekir.
3
Bulunan r=3 değerini ve verilen katsayıyı (-160) kullanarak a değerini hesapla.
(63)(−a)3=−160⇒20⋅(−a3)=−160⇒a3=8⇒a=2\binom{6}{3} (-a)^3 = -160 \Rightarrow 20 \cdot (-a^3) = -160 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2
Bilinmeyen parametreyi (a) bulmak için verilen katsayı bilgisi kullanılır.
4
Sabit terimi bulmak için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve yeni r değerini bul.
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.
5
Yeni r=4 ve a=2 değerlerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.
(64)(x2)2(−2x−1)4=15⋅x4⋅16x−4=15⋅16=240\binom{6}{4} (x^2)^2 (-2x^{-1})^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16x^{-4} = 15 \cdot 16 = 240
Son işlemle istenen sabit terim değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle bulunur. Sabit terim için değişkenin kuvveti 0 olmalıdır.

İpuçları

1
Önce (nr)(1.terim)n−r(2.terim)r\binom{n}{r} (1.terim)^{n-r} (2.terim)^r genel terim formülünü yazarak x'in kuvvetlerini düzenleyiniz.
2
x3x^3 elde etmek için rr yerine kaç gelmesi gerektiğini bulunuz. Bu sayede aa değerini hesaplayabilirsiniz.
3
a=2a=2 bulduktan sonra, sabit terim için x'in kuvvetini sıfırlayan yeni r değerini (r=4) kullanarak hesap yapınız.

Alternatif Yöntem

Sabit terim dışındaki sorularda a değeri bulunamazsa, bazen değişken yerine değer verme (x=1 gibi) yöntemi kullanılabilir, ancak bu soruda x paydada olduğu için genel terim yöntemi zorunludur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 291Soru →

A=8!+9!A = 8! + 9!
B=10!−9!B = 10! - 9!

olduğuna göre, EKOK(A,B)\text{EKOK}(A, B) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9⋅10!9 \cdot 10!

Cevap

Verilen ifadelerin en küçük ortak katı 9⋅10!9 \cdot 10! olarak bulunur.
Verilen ifadeler düzenlendiğinde A=10⋅8!A = 10 \cdot 8! ve B=81⋅8!B = 81 \cdot 8! elde edilir. 10 ve 81 aralarında asal sayılar olduğundan, bu ifadelerin en küçük ortak katı 8!⋅10⋅81=810⋅8!8! \cdot 10 \cdot 81 = 810 \cdot 8! olur. Bu değer de 9⋅90⋅8!=9⋅10!9 \cdot 90 \cdot 8! = 9 \cdot 10! şeklinde ifade edilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
AA ifadesini en küçük terim olan 8!8! parantezine alarak düzenleyiniz.
A=8!+9⋅8!=8!(1+9)=10⋅8!A = 8! + 9 \cdot 8! = 8!(1 + 9) = 10 \cdot 8!
Faktöriyel içeren toplama işlemlerinde katsayıları belirlemek için ortak çarpan parantezi kullanılır.
2
BB ifadesini en küçük terim olan 8!8! parantezine alarak düzenleyiniz.
B=10⋅9⋅8!−9⋅8!=8!(90−9)=81⋅8!B = 10 \cdot 9 \cdot 8! - 9 \cdot 8! = 8!(90 - 9) = 81 \cdot 8!
İşlemleri aynı tabanda (8!) birleştirerek katsayılar üzerinden karşılaştırma yapabilmek için.
3
10⋅8!10 \cdot 8! ve 81⋅8!81 \cdot 8! ifadelerinin en küçük ortak katını (EKOK) hesaplayınız.
EKOK(10⋅8!,81⋅8!)=8!⋅EKOK(10,81)=8!⋅810\text{EKOK}(10 \cdot 8!, 81 \cdot 8!) = 8! \cdot \text{EKOK}(10, 81) = 8! \cdot 810
Ortak olan 8!8! çarpanı dışarı alınır; kalan katsayılar (1010 ve 8181) aralarında asal olduğu için EKOK'ları çarpımlarıdır.
4
Elde edilen 810⋅8!810 \cdot 8! ifadesini seçeneklerdeki formatta düzenleyiniz.
810⋅8!=9⋅90⋅8!=9⋅(10⋅9⋅8!)=9⋅10!810 \cdot 8! = 9 \cdot 90 \cdot 8! = 9 \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8!) = 9 \cdot 10!
90⋅8!90 \cdot 8! ifadesi 10⋅9⋅8!10 \cdot 9 \cdot 8! şeklinde yazılarak 10!10! formuna dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerin EKOK'u hesaplanırken tüm terimler ortak bir tabanda (en küçük faktöriyel) yazılır ve katsayılar üzerinden işlem yapılır.

Alternatif Yöntem

AA ve BB ifadelerini 9!9! tabanında da yazabilirsiniz: A=109⋅9!A = \frac{10}{9} \cdot 9! ve B=9⋅9!B = 9 \cdot 9!. Buradan rasyonel katsayıların EKOK mantığıyla ilerlenebilir ancak 8!8! tabanında tam sayılarla çalışmak daha az hata riski taşır.
Tahmini Süre:1m 45s
Soru 292Soru →

Bir kamu kurumunda personelin yıllık performans değerlendirmesi sonucunda; "beklentinin üzerinde", "beklentiyi karşılayan" ve "geliştirilmesi gereken" şeklinde üç farklı sonuç kategorisi tanımlanmıştır. Rastgele seçilen bir personelin bu kategorilerde yer alma olasılıkları aşağıda verilmiştir:

Performans KategorisiOlasılık Değeri
Beklentinin Üzerinde2x−0,12x - 0,1
Beklentiyi Karşılayan3x+0,23x + 0,2
Geliştirilmesi Gerekenxx

Buna göre, seçilen personelin performansının 'beklentinin üzerinde' olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,200,20

Cevap

Seçilen personelin performansının 'beklentinin üzerinde' olma olasılığı 0,200,20 olarak hesaplanır.
Olasılık teorisinde bir örnek uzayı oluşturan tüm olayların olasılıkları toplamı 11 olmalıdır. Soruda verilen üç kategorinin toplamı 6x+0,1=16x + 0,1 = 1 denklemini verir. Buradan x=0,15x = 0,15 bulunur. Beklentinin üzerinde olma olasılığı 2x−0,12x - 0,1 olarak tanımlandığı için, xx yerine 0,150,15 yazıldığında 0,3−0,1=0,20,3 - 0,1 = 0,2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık aksiyomlarını uygula
P(Bu)+P(Bk)+P(G)=1P(B_u) + P(B_k) + P(G) = 1
Bir örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı daima 1'e eşittir.
2
Verilen ifadeleri yerine koyarak denklem kur
(2x−0,1)+(3x+0,2)+x=1(2x - 0,1) + (3x + 0,2) + x = 1
Kategorilere ait cebirsel olasılık değerlerini toplam olasılık formülüne yerleştiriyoruz.
3
Denklemi çözerek xx değerini bul
6x+0,1=1⇒6x=0,9⇒x=0,156x + 0,1 = 1 \Rightarrow 6x = 0,9 \Rightarrow x = 0,15
Benzer terimler toplanır ve sabit sayılar eşitliğin diğer tarafına geçirilerek bilinmeyen yalnız bırakılır.
4
İstenen olasılık değerini hesapla
P(Bu)=2(0,15)−0,1=0,3−0,1=0,2P(B_u) = 2(0,15) - 0,1 = 0,3 - 0,1 = 0,2
xx değeri 'beklentinin üzerinde' olma olasılığını veren 2x−0,12x - 0,1 ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu ve Toplam Olasılık Aksiyomu

İpuçları

1
Bir olasılık deneyindeki tüm çıktıların olasılıkları toplamının her zaman 1 olduğunu hatırlayın.
2
Tabloda verilen üç farklı ifadenin toplamını 1'e eşitleyen bir denklem kurun ve xx değerini bulun.
3
Bulduğunuz xx değerini, soruda özellikle istenen 'Beklentinin Üzerinde' satırındaki 2x−0,12x - 0,1 formülünde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, olasılıkların birbirine oranının verildiği (örneğin birinin olasılığı diğerinin 2 katı) soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verilen seçenekleri xx değerine bağlı olarak test edebilirsiniz. Örneğin doğru seçenek 0,20,2 ise; 2x−0,1=0,2⇒2x=0,3⇒x=0,152x - 0,1 = 0,2 \Rightarrow 2x = 0,3 \Rightarrow x = 0,15 olur. Bu xx değerini diğer tüm kategorilerde yerine yazdığınızda toplamın 1 olup olmadığını kontrol ederek de sonuca gidebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 293Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+1)!−n!(n+1)!+n!=45 \frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! + n!} = \frac{4}{5}

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 8'dir.
Verilen eşitlikte (n+1)!(n+1)! ifadesi (n+1)⋅n!(n+1) \cdot n! şeklinde açılarak pay ve payda n!n! parantezine alınır. Sadeleştirme yapıldığında nn+2=45\frac{n}{n+2} = \frac{4}{5} denklemi elde edilir. İçler dışlar çarpımı ile 5n=4n+85n = 4n + 8 bulunur ve buradan n=8n=8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki büyük faktöriyelleri, küçük olana benzeterek açalım.
(n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! şeklinde yazılır.
Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
2
İfadeyi n!n! parantezine alıp sadeleştirelim.
n!(n+1)−n!n!(n+1)+n!=n!((n+1)−1)n!((n+1)+1) \frac{n!(n+1) - n!}{n!(n+1) + n!} = \frac{n!((n+1) - 1)}{n!((n+1) + 1)}
Pay ve paydadaki ortak n!n! çarpanları birbirini götürür.
3
Kalan cebirsel ifadeyi düzenleyip eşitleyelim.
nn+2=45 \frac{n}{n+2} = \frac{4}{5}
Sadeleştirme sonucu elde edilen birinci dereceden denklem çözülmelidir.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulalım.
5n=4(n+2)⇒5n=4n+8⇒n=85n = 4(n+2) \Rightarrow 5n = 4n + 8 \Rightarrow n = 8
Denklem çözümü tamamlanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme ve Denklem Çözme
ÖncekiSayfa 15 / 15
Sayma ve Olasılık — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 15 | Examkin