Examkin

Sayma ve Olasılık

293 soru

Soru 261Soru →

Bir kamu kurumunun Ar-Ge Daire Başkanlığında görevli 5 yüksek mühendis ve 3 mimar arasından, yürütülecek stratejik bir proje için 4 kişilik bir çalışma grubu oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu grupta en az 2 yüksek mühendis bulunması gerekmektedir. Ancak, yüksek mühendisler arasındaki (A) kişisi ile mimarlar arasındaki (B) kişisinin, geçmişte yaşadıkları idari bir husumet nedeniyle aynı çalışma grubunda yer almamaları kararlaştırılmıştır.

Buna göre, bu çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Çalışma grubu 51 farklı şekilde oluşturulabilir.
Problemi çözmek için önce 'en az 2 yüksek mühendis' şartını sağlayan tüm olası grupları hesaplarız, ardından bu gruplar içinden (A) ve (B) kişilerinin birlikte bulunduğu istenmeyen durumları çıkarırız.

1. Tüm Geçerli Durumlar (Kişi kısıtı olmadan):
- 2 Müh, 2 Mim: C(5,2)×C(3,2)=10×3=30C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30
- 3 Müh, 1 Mim: C(5,3)×C(3,1)=10×3=30C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30
- 4 Müh: C(5,4)×C(3,0)=5×1=5C(5,4) \times C(3,0) = 5 \times 1 = 5
- Toplam = 30+30+5=6530 + 30 + 5 = 65

2. İstenmeyen Durumlar (A ve B birlikte):
Grupta A (Müh) ve B (Mim) kesinlikle varsa, geriye 2 kişi seçilmelidir. Kalan havuz: 4 Müh, 2 Mim.
Grupta toplam en az 2 mühendis olmalı. A zaten grupta, dolayısıyla kalan 2 kişiden en az 1'i mühendis olmalı.
- 1 Müh, 1 Mim seçimi: C(4,1)×C(2,1)=4×2=8C(4,1) \times C(2,1) = 4 \times 2 = 8 (Toplam Müh: A + 1 = 2, uygun)
- 2 Müh seçimi: C(4,2)×C(2,0)=6×1=6C(4,2) \times C(2,0) = 6 \times 1 = 6 (Toplam Müh: A + 2 = 3, uygun)
- (Dikkat: 2 Mimar seçersek toplam Müh sayısı 1 olur, bu durum zaten 65'in içinde yoktu, çıkarmaya gerek yok.)
- İstenmeyen Toplam = 8+6=148 + 6 = 14

3. Sonuç: 65−14=5165 - 14 = 51

Adım Adım Çözüm

1
Tüm kısıtlamalar olmadan, sadece 'en az 2 yüksek mühendis' şartını sağlayan durum sayısını hesapla.
30 + 30 + 5 = 65 durum
Grupta 2, 3 veya 4 mühendis olabilir. (2 Müh, 2 Mim) + (3 Müh, 1 Mim) + (4 Müh, 0 Mim) kombinasyonları toplanır: C(5,2)*C(3,2) + C(5,3)*C(3,1) + C(5,4)*C(3,0).
2
Yasaklı olan (A) ve (B) kişilerinin birlikte bulunduğu ve aynı zamanda 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan istenmeyen durumları hesapla.
8 + 6 = 14 durum
(A) ve (B) gruptaysa, kalan 2 kişi için 4 Mühendis ve 2 Mimar kalır. Toplamda en az 2 mühendis olması gerektiği ve (A) zaten mühendis olduğu için, kalan 2 kişiden en az 1'i mühendis olmalıdır. Olasılıklar: (1 Müh, 1 Mim) veya (2 Müh, 0 Mim).
3
Birinci adımdaki toplam geçerli durum sayısından, ikinci adımdaki yasaklı durum sayısını çıkar.
65 - 14 = 51
Genel kümeden istenmeyen alt kümeyi çıkararak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve İçerme-Dışlama Prensibi

İpuçları

1
Önce kişi kısıtlamasını (A ve B durumu) görmezden gelerek, sadece 'en az 2 mühendis' kuralına uyan kaç farklı grup oluşturulabileceğini hesaplayınız.
2
Bulduğunuz bu toplam sayıdan, hem 'en az 2 mühendis' kuralına uyan hem de A ve B'nin birlikte olduğu istenmeyen durumları çıkarınız.

Alternatif Yöntem

Durumları ayrık kümeler halinde toplayarak da çözebilirsiniz: 1) A var, B yok; 2) A yok, B var; 3) A yok, B yok. Bu üç durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 262Soru →

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları verilmiştir. d1d_1 doğrusu üzerinde 4 nokta, d2d_2 doğrusu üzerinde ise 3 nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Köşeleri bu noktalardan seçilen toplam 30 farklı üçgen çizilebilir.
Toplam 7 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı 35'tir. Ancak bu seçimlerden bazıları aynı doğru üzerinde (doğrusal) olduğu için üçgen belirtmez. Üstteki 4 noktadan seçilen 4 grup ve alttaki 3 noktadan seçilen 1 grup üçgen oluşturmadığı için, toplam 35 durumdan bu 5 durum çıkarıldığında 30 farklı üçgen elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını ve tüm seçimleri belirle.
Toplam 4+3=74 + 3 = 7 nokta vardır. Hiçbiri doğrusal olmasaydı (73)=7×6×53×2×1=35\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 üçgen oluşurdu.
Üçgen oluşturmak için düzlemde doğrusal olmayan 3 nokta seçilmelidir.
2
Aynı doğru üzerinde oldukları için üçgen oluşturmayan durumları hesapla.
d1d_1 doğrusundaki 4 noktadan seçilen 3'lüler: (43)=4\binom{4}{3} = 4. d2d_2 doğrusundaki 3 noktadan seçilen 3'lüler: (33)=1\binom{3}{3} = 1.
Aynı doğru üzerindeki noktalar seçildiğinde bir üçgen değil, bir doğru parçası oluşur.
3
Tüm durumlardan üçgen oluşturmayanları çıkar.
35−(4+1)=35−5=3035 - (4 + 1) = 35 - 5 = 30.
Geometrik kombinasyon problemlerinde 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en güvenilir yoldur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon Kullanarak Geometrik Şekil Sayma

İpuçları

1
Üçgen oluşturmak için 7 noktadan 3 tanesini seçmelisin.
2
Aynı doğru üzerinde bulunan noktalar (örneğin d1 üzerindeki 4 noktadan herhangi 3'ü) seçildiğinde bir üçgen oluşmaz.
3
Hesaplamanı şu şekilde yapabilirsin: (Toplam 3'lü seçimler) - (d1 üzerindeki 3'lü seçimler) - (d2 üzerindeki 3'lü seçimler).

Daha Fazla Pratik

Noktalar paralel doğrular yerine bir çember üzerinde olsaydı hesaplama nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Veya şu şekilde düşünebilirsin: (d1'den 1, d2'den 2 nokta seçimi) + (d1'den 2, d2'den 1 nokta seçimi). Yani; C(4,1)*C(3,2) + C(4,2)*C(3,1) = 4*3 + 6*3 = 12 + 18 = 30.
Tahmini Süre:50s
Soru 263Soru →

Bir yarım çember üzerinde 9 farklı nokta işaretlenmiştir. Bu noktalardan 5 tanesi çap (doğru parçası) üzerinde, geri kalan 4 tanesi ise yay üzerindedir. Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Verilen 9 noktadan toplam 74 farklı üçgen çizilebilir.
Toplam 9 nokta arasından seçilebilecek tüm üçlü grupların sayısı 84'tür. Ancak çap üzerinde bulunan 5 nokta doğrusal olduğu için bu noktalardan seçilen herhangi üçlü grup bir üçgen oluşturmaz. Bu geçersiz durumların sayısı 10 olduğu için, toplamdan çıkarıldığında 74 adet geçerli üçgen kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını ve seçilmesi gereken nokta sayısını belirleme.
n=9n = 9 nokta ve bir üçgen için 3 nokta gereklidir.
Üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 3 nokta seçilmelidir.
2
Hiçbir kısıtlama olmaksızın yapılabilecek tüm 3'lü seçimleri hesaplama.
(93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
Kombinasyon formülü kullanılarak toplam durum sayısı bulunur.
3
Aynı doğru (çap) üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan noktaları belirleme.
Çap üzerinde 5 nokta bulunmaktadır.
Doğrusal noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamazlar.
4
Doğrusal olan bu noktalardan yapılan 3'lü seçimleri hesaplama.
(53)=5×4×33×2×1=10\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
Bu 10 durum üçgen oluşturmadığı için toplamdan çıkarılmalıdır.
5
Toplam durumdan geçersiz durumları çıkarma.
84−10=7484 - 10 = 74
Oluşabilecek maksimum üçgen sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun geometrik uygulamalarında, üçgen sayısı 'Tüm Durumlar - Doğrusal Durumlar' formülü ile hesaplanır.

İpuçları

1
Üçgen oluşturmak için seçilen 3 noktanın aynı doğru üzerinde olmaması gerektiğini hatırla.
2
Önce tüm 9 noktadan kaç farklı 3'lü grup seçebileceğini bul, sonra çap üzerindeki 5 noktadan oluşan 3'lü grupları çıkar.
3
(93)\binom{9}{3} değerinden (53)\binom{5}{3} değerini çıkararak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı kullanarak, bu noktalarla kaç farklı doğru çizilebileceğini hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Üçgenleri gruplandırarak da sayabilirsiniz: (Yaydan 1 nokta, Çaptan 2 nokta) + (Yaydan 2 nokta, Çaptan 1 nokta) + (Yaydan 3 nokta). Yani: (41)⋅(52)+(42)⋅(51)+(43)=4⋅10+6⋅5+4=40+30+4=74\binom{4}{1} \cdot \binom{5}{2} + \binom{4}{2} \cdot \binom{5}{1} + \binom{4}{3} = 4 \cdot 10 + 6 \cdot 5 + 4 = 40 + 30 + 4 = 74.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 264Soru →

Bir kamu kurumunun hukuk kütüphanesinde 44 farklı kanun kitabı ve 22 farklı yönetmelik kitabı tek bir rafa yan yana dizilecektir. Yönetmelik kitaplarının yan yana gelmemesi şartıyla bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 480480

Cevap

Kitaplar, yönetmeliklerin yan yana gelmemesi şartıyla 480480 farklı şekilde dizilebilir.
Doğru yanıt olan seçenek, toplam 66 kitabın tüm diziliş sayısından (720720), iki yönetmeliğin bir blok kabul edilerek yan yana olduğu durumların (240240) çıkarılmasıyla elde edilir (720−240=480720 - 240 = 480).

Adım Adım Çözüm

1
Tüm dizilişlerin sayısını hesapla
6!=7206! = 720
Toplamda 4+2=64 + 2 = 6 farklı kitap herhangi bir şart olmaksızın 6!6! kadar sıralanır.
2
Yönetmeliklerin yan yana olduğu durum sayısını hesapla
5!×2!=120×2=2405! \times 2! = 120 \times 2 = 240
İki yönetmelik tek bir paket kabul edilirse toplam 55 birim oluşur (5!5!). Yönetmelikler kendi aralarında 2!2! yer değiştirir.
3
Yan yana gelmeme durumunu bulmak için çıkarma yap
720−240=480720 - 240 = 480
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar (yan yana olma).

Anahtar Kavram

Permütasyonda belirli nesnelerin yan yana gelmeme durumunu hesaplamak için tüm durumlardan yan yana gelme durumları çıkarılır veya boşluklara yerleştirme yöntemi kullanılır.

İpuçları

1
Önce tüm kitapların hiçbir kısıtlama olmadan kaç farklı şekilde dizilebileceğini düşünün.
2
Yönetmeliklerin yan yana geldiği durumları 'tüm durumlar - istenmeyen durumlar' mantığıyla hesaplayıp çıkarabilirsiniz.
3
Veya alternatif olarak; kanun kitaplarını dizip aralarındaki ve uçlardaki boşluklara yönetmelikleri yerleştirebilirsiniz. 4!4! kanun dizilişi için 55 boşluk vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 3 farklı branş öğretmeni ve 4 öğrencinin yan yana dizildiği, öğretmenlerin yan yana gelmediği durum sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kanun kitaplarını (K) dizelim: _ K _ K _ K _ K _ . 4 kanun kitabı 4!=244! = 24 şekilde dizilir. Bu kitapların arasında ve uçlarında toplam 55 boşluk vardır. 22 yönetmelik bu 55 boşluğa P(5,2)=5×4=20P(5, 2) = 5 \times 4 = 20 farklı şekilde yerleşebilir. Sonuç: 24×20=48024 \times 20 = 480 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 265Soru →

Bir torbada bulunan 10 bilyenin renklerine ve üzerlerindeki desenlere göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

RenkYıldızlıYıldızsızToplam
Kırmızı426
Mavi134
Toplam5510

Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin yıldızlı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin kırmızı renkli olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4/5

Cevap

Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı 4/5'tir.
Soruda bilyenin yıldızlı olduğu bilgisi verildiği için artık sadece yıldızlı bilyelerle ilgileniyoruz. Toplam 5 yıldızlı bilye bulunmaktadır. Bu 5 bilyeden 4 tanesi kırmızı olduğu için olasılık bu değerlerin birbirine oranı olan dört bölü beştir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula bağlı olarak yeni örnek uzayı (tüm durumları) belirle.
Bilyenin yıldızlı olduğu bilindiği için toplam yıldızlı bilye sayısı olan 55, bizim yeni örnek uzayımız olur.
Koşullu olasılık problemlerinde 'bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen bilgi, tüm durumların sayısını belirler.
2
İstenen durumun (kırmızı ve yıldızlı bilyeler) sayısını belirle.
Tabloya göre hem kırmızı hem de yıldızlı olan bilye sayısı 44'tür.
İstenen olasılık, yeni örnek uzayı içindeki belirli bir alt kümenin gerçekleşme durumudur.
3
Olasılık formülünü uygula.
P(Kırmızı∣Yıldızlı)=45P(\text{Kırmızı} | \text{Yıldızlı}) = \frac{4}{5}
Olasılık, istenen durum sayısının tüm (koşullu) durum sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık: Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Örnek uzay, verilen koşula göre daraltılır.

İpuçları

1
'Bilindiğine göre' ifadesinden önceki bilye sayılarını unutun ve sadece 'yıldızlı' bilyelere odaklanın.
2
Toplam kaç tane yıldızlı bilye var? Bunların kaç tanesi kırmızı? Bu iki sayıyı oranlayın.
3
Yıldızlı bilye sayısı 5'tir. Bunların içinden kırmızı olanların sayısı 4 olduğuna göre cevap 4/5 olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

İki zarın atıldığı bir deneyde, toplamın 8 olduğu bilindiğine göre zarlardan birinin 5 olma olasılığını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek 'Kırmızı bilyeler' kümesi ile 'Yıldızlı bilyeler' kümesinin kesişimini (4) belirleyip, bu kesişimi 'Yıldızlı bilyeler' kümesinin eleman sayısına (5) bölebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 266Soru →

Bir kütüphane rafına birbirinden farklı 4 matematik kitabı ve nn tane Türkçe kitabı yan yana dizilecektir. Matematik kitaplarının tamamının bir arada olması koşuluyla bu kitaplar 2880 farklı şekilde dizilebildiğine göre, nn kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Kitapların dizilim koşulları dikkate alındığında Türkçe kitaplarının sayısı 4 olarak bulunur.
Matematik kitaplarının bir arada olması istendiği için bu 4 kitap tek bir paket gibi düşünülür. Bu paket ve nn tane Türkçe kitabı toplam n+1n+1 birim oluşturur. Bu birimlerin dizilimi (n+1)!(n+1)! ve paketin içindeki matematik kitaplarının kendi aralarındaki dizilimi 4!4! (yani 24) kadardır. Toplam dizilim olan (n+1)!⋅24=2880(n+1)! \cdot 24 = 2880 denkleminden (n+1)!=120(n+1)! = 120 bulunur. 5!=1205! = 120 olduğu için n+1=5n+1=5 ve dolayısıyla Türkçe kitaplarının sayısı 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula bağlı nesne sayısını belirleme
4 matematik kitabı 'bir arada' olacağı için bu kitaplar 1 blok olarak kabul edilir. Bu blok ve nn tane Türkçe kitabı ile birlikte toplam n+1n+1 tane nesne oluşur.
Yan yana olması istenen nesneler tek bir birim gibi düşünülmelidir.
2
Dizilim formülünü oluşturma
Toplam dizilim sayısı: (n+1)!×4!=2880(n+1)! \times 4! = 2880.
n+1n+1 nesnenin kendi arasındaki dizilimi (n+1)!(n+1)! ve blok içindeki 4 kitabın kendi arasındaki dizilimi 4!4! kadardır.
3
Denklemi çözme
(n+1)!×24=2880⇒(n+1)!=120(n+1)! \times 24 = 2880 \Rightarrow (n+1)! = 120.
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 değerine eşittir.
4
Bilinmeyeni bulma
5!=1205! = 120 olduğu için n+1=5n+1 = 5 ve buradan n=4n = 4 elde edilir.
Faktöriyel tanımı gereği çarpımı 120 olan ardışık tam sayılar dizisi 5'te biter.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kullanarak belirli nesnelerin bir arada bulunduğu dizilim (permütasyon) hesaplamaları.

İpuçları

1
Bir arada olması istenen kitapları tek bir nesne (blok) gibi düşünerek toplam nesne sayısını hesaplayın.
2
Toplam dizilimi bulurken hem bu bloğun diğer kitaplarla yer değiştirmesini hem de blok içindeki kitapların kendi aralarındaki yer değiştirmesini hesaba katın.
3
(n+1)!⋅4!=2880(n+1)! \cdot 4! = 2880 denklemini kurun. 4!=244! = 24 olduğunu kullanarak (n+1)!(n+1)! değerini yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel kavramını pekiştirmek için 'n nesnenin yan yana gelmemesi' durumlarını içeren soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin n=4n=4 için toplam 4+1=54+1=5 nesne oluşur. 5!⋅4!=120⋅24=28805! \cdot 4! = 120 \cdot 24 = 2880 sonucuna ulaşılarak doğru cevap doğrulanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 267Soru →

Birinci torbada 4 sarı, 2 mavi; ikinci torbada ise 3 sarı, 3 mavi top bulunmaktadır.

Birinci torbadan rastgele bir top alınıp rengine bakılmaksızın ikinci torbaya atılıyor. Daha sonra ikinci torbadan rastgele bir top çekiliyor.

İkinci torbadan çekilen bu topun mavi olduğu bilindiğine göre, birinci torbadan ikinci torbaya atılan topun sarı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

35\frac{3}{5}
Soruda 'ikinci torbadan çekilen topun mavi olduğu bilindiğine göre' ifadesi bir koşullu olasılık sorusudur. Çözüm için tüm 'Mavi Çekme' durumlarının olasılığı hesaplanmalı ve paydaya yazılmalıdır. İstenen durum olan 'Sarı Aktarılıp Mavi Çekilmesi' olasılığı ise paya yazılır.

1. Durum (Sarı Aktar - Mavi Çek): 46⋅37=1242\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{42}
2. Durum (Mavi Aktar - Mavi Çek): 26⋅47=842\frac{2}{6} \cdot \frac{4}{7} = \frac{8}{42}

Toplam Mavi Olasılığı: 12+842=2042\frac{12+8}{42} = \frac{20}{42}

Sonuç: 12/4220/42=1220=35\frac{12/42}{20/42} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}.

Adım Adım Çözüm

1
Olası durumları belirle
İki durum vardır: 1. Durum (Sarı aktarılması ve Mavi çekilmesi) veya 2. Durum (Mavi aktarılması ve Mavi çekilmesi).
Birinci torbadan neyin aktarıldığı, ikinci torbanın yapısını ve dolayısıyla çekiliş olasılığını değiştirir.
2
1. Durumun olasılığını hesapla (Sarı aktar, Mavi çek)
P(Sarı Aktar) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. İkinci torbada 4 Sarı, 3 Mavi olur (Toplam 7). P(Mavi Çek | Sarı Aktar) = \frac{3}{7}. Çarpım: \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}.
Ardışık olayların gerçekleşme olasılığı çarpılarak bulunur.
3
2. Durumun olasılığını hesapla (Mavi aktar, Mavi çek)
P(Mavi Aktar) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. İkinci torbada 3 Sarı, 4 Mavi olur (Toplam 7). P(Mavi Çek | Mavi Aktar) = \frac{4}{7}. Çarpım: \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{21}.
Her iki durum için de ortak paydada kalmak (21 veya 42) işlemi kolaylaştırır.
4
Tüm durumun (Mavi çekilme) olasılığını bul
P(Mavi Çek) = \frac{6}{21} + \frac{4}{21} = \frac{10}{21}.
Ayrık durumların olasılıkları toplanır.
5
Koşullu olasılığı hesapla
P(Sarı Aktar | Mavi Çek) = \frac{\text{1. Durum Olasılığı}}{\text{Toplam Mavi Çekme Olasılığı}} = \frac{6/21}{10/21} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.
Koşullu olasılık formülü: P(A|B) = P(A \cap B) / P(B).

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık

İpuçları

1
Önce iki farklı senaryoyu düşünün: 1. Torbadan Sarı topun aktarıldığı durum ve 2. Torbadan Mavi topun aktarıldığı durum.
2
Her iki senaryo için de sonunda 'Mavi' top çekilme olasılığını ayrı ayrı hesaplayın ve toplayın. Bu sizin paydanız (tüm olası durumlar) olacaktır.
3
Koşullu olasılık formülü: I˙stenen Durumun Olasılıg˘ıKos¸ulun Toplam Olasılıg˘ı\frac{\text{İstenen Durumun Olasılığı}}{\text{Koşulun Toplam Olasılığı}}. İstenen durum: Sarı aktarılıp Mavi çekilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 268Soru →
(2x−5y)3(2x - 5y)^3
ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −27-27

Cevap

Verilen ifadenin katsayılar toplamı −27-27 olarak bulunur.
Katsayılar toplamını bulmak için kural gereği xx ve yy yerine 11 yazılır. Bu durumda (2−5)3(2-5)^3 ifadesinden (−3)3(-3)^3 elde edilir. Negatif bir sayının tek kuvveti negatif olduğundan sonuç −27-27 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını bulmak için ifadede bulunan değişkenlerin yerine 11 yazılır.
x=1x = 1 ve y=1y = 1 için (2⋅1−5⋅1)3(2 \cdot 1 - 5 \cdot 1)^3
Bir binom açılımında katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 11 değeri verilerek elde edilir.
2
Parantez içindeki çarpma ve çıkarma işlemleri işlem önceliğine göre yapılır.
(2−5)3=(−3)3(2 - 5)^3 = (-3)^3
Üs alma işleminden önce parantez içindeki ifadenin değeri belirlenmelidir.
3
Elde edilen tabanın belirtilen kuvveti hesaplanır.
(−3)⋅(−3)⋅(−3)=−27(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27
Negatif bir sayının tek kuvveti yine negatiftir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı, ifadedeki tüm değişkenlerin yerine 11 yazılarak hesaplanır.

İpuçları

1
Bir açılımda tüm katsayıların toplamını bulmak için değişkenlerin yerine etkisiz eleman olan bir sayı yazmalısınız.
2
xx ve yy gördüğün her yere 11 yazarak parantez içindeki işlemi yapmayı dene.
3
İşlem (2−5)3(2-5)^3 haline gelir. Buradan (−3)3(-3)^3 değerini hesaplamalısın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde sabit terimi bulmak için değişkenlerin yerine 00 yazıldığını unutmayın.
Tahmini Süre:45s
Soru 269Soru →

Bir kamu kurumunun hizmet içi eğitim programı kapsamında personele sunulan toplam 88 farklı eğitim semineri bulunmaktadır. Bu seminerlerden 33 tanesi aynı gün ve saatte verilmektedir, dolayısıyla bu 33 seminerden en fazla 11 tanesi seçilebilmektedir.

Eğitim programını tamamlamak için toplam 44 seminer seçmek zorunda olan bir personel, seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Personel seçimini 35 farklı şekilde yapabilir.
Seçim işlemi iki alternatif durumda gerçekleşebilir: Ya çakışan 3 dersten 1'i ve diğerlerinden 3'ü seçilir (3030 yol), ya da çakışanlardan hiçbiri seçilmez ve diğerlerinden 4'ü seçilir (55 yol). Toplamda 30+5=3530+5=35 farklı seçim mümkündür.

Adım Adım Çözüm

1
Seminerleri gruplandır
Grup A (Aynı saatte olanlar): 3 seminer. Grup B (Farklı saatte olanlar): 5 seminer. Hedef: Toplam 4 seminer seçmek.
Seçim kısıtlarını belirlemek için kümeleri ayırmak gerekir.
2
1. Durumu Hesapla (Aynı saatte olanlardan 1 tane seçilmesi)
(31)×(53)=3×10=30\binom{3}{1} \times \binom{5}{3} = 3 \times 10 = 30 farklı seçim.
Aynı saatte olan 3 seminerden sadece 1'i seçilebilir. Geriye kalan 3 seminer, diğer 5 seminer arasından seçilmelidir.
3
2. Durumu Hesapla (Aynı saatte olanlardan hiç seçilmemesi)
(30)×(54)=1×5=5\binom{3}{0} \times \binom{5}{4} = 1 \times 5 = 5 farklı seçim.
Aynı saatte olanlardan hiçbiri seçilmeyebilir. Bu durumda 4 seminerin tamamı diğer 5 seminer arasından seçilmelidir.
4
Tüm durumları topla
30+5=3530 + 5 = 35
Bu iki durum birbirinden bağımsızdır (ayrık olaylar), bu yüzden sayma kurallarından toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı Kombinasyon Problemleri (Ayrık Durumların Toplanması)

İpuçları

1
Aynı saatte olan 3 seminerden aynı anda birden fazla seçim yapılamaz. Ya 1 tane seçmelisiniz ya da hiç seçmemelisiniz.
2
Problemi iki duruma ayırın: 1) Çakışanlardan 1 tane seçilen durum. 2) Çakışanlardan hiç seçilmeyen durum.
3
1. Durum: (31)×(53)\binom{3}{1} \times \binom{5}{3}. 2. Durum: (30)×(54)\binom{3}{0} \times \binom{5}{4}. Bu iki sonucu toplayın.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 270Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem biriminde, veri tabanına erişim için 7 haneli bir güvenlik kodu oluşturulacaktır. Bu kodun oluşturulmasında kullanılacak rakamlar 0,0,2,2,2,5,50, 0, 2, 2, 2, 5, 5 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, sıfır rakamı ile başlamayan kaç farklı güvenlik kodu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Sıfır rakamı ile başlamayan 150 farklı güvenlik kodu oluşturulabilir.
Verilen rakamların (0,0,2,2,2,5,50, 0, 2, 2, 2, 5, 5) tüm dizilimlerinin sayısı tekrarlı permütasyon ile 7!3!⋅2!⋅2!=210\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = 210 olarak bulunur. Bu dizilimlerin 57\frac{5}{7}'si sıfır dışındaki rakamlarla (2,2,2,5,52, 2, 2, 5, 5) başlar. Dolayısıyla 210×57=150210 \times \frac{5}{7} = 150 sonucu doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam dizilim sayısını hesapla
7!3!⋅2!⋅2!=50406⋅2⋅2=210 \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = 210
Eldeki 7 rakamın (3 tane 2, 2 tane 5, 2 tane 0) tüm tekrarlı dizilimlerini bulmak için tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.
2
Sıfır ile başlayan dizilim sayısını hesapla
6!3!⋅2!⋅1!=7206⋅2⋅1=60 \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = 60
Bir tane '0' rakamı başa sabitlendiğinde, kalan 6 hane için 3 tane 2, 2 tane 5 ve 1 tane 0 rakamının dizilimleri hesaplanır.
3
Geçerli durumları bul
210−60=150210 - 60 = 150
Tüm dizilimlerden, sıfır ile başlayan (geçersiz) dizilimler çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde belirli bir rakamın başa gelmemesi kısıtı, toplam durumdan istenmeyen durumun çıkarılmasıyla veya oranlama yöntemiyle çözülür.

İpuçları

1
Tekrarlı rakamlar olduğu için toplam dizilim sayısını hesaplarken bölme işlemi yapmalısınız.
2
Toplam 7 rakamın 2 tanesi sıfırdır. Bu durumda dizilimlerin 5/7'si sıfır ile başlamaz.
3
Tüm dizilimlerden (210), sıfırın başa sabitlendiği durumları (60) çıkararak sonucu bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Rakamlardan biri '0' olduğunda basamak sayısının değişip değişmediğine dikkat edilen sayı yazma problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam dizilim sayısını (210) bulduktan sonra, sıfır olmayan rakamların tüm rakamlara oranını kullanarak (5/75/7) doğrudan sonuca gidebilirsiniz: 210×57=150210 \times \frac{5}{7} = 150.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 271Soru →

Matematikte n!n! ifadesi, 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını simgeler ve 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.

Buna göre,

4!+3!3!⋅0! \frac{4! + 3!}{3! \cdot 0!}


işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İşlemin sonucu 5'tir.
Verilen işlemde 4!=244! = 24, 3!=63! = 6 ve 0!=10! = 1 olduğu bilinmektedir. Bu değerler yerlerine yazıldığında pay kısmında 24+6=3024 + 6 = 30, payda kısmında ise 6⋅1=66 \cdot 1 = 6 elde edilir. 30 sayısının 6 sayısına bölünmesiyle sonuç 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.
4!=1⋅2⋅3⋅4=244! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24, 3!=1⋅2⋅3=63! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 ve 0!=10! = 1.
İşlemi gerçekleştirmek için önce temel faktöriyel tanımlarını uygulamalıyız.
2
Pay ve payda kısmındaki işlemleri ayrı ayrı yapalım.
Pay: 24+6=3024 + 6 = 30, Payda: 6⋅1=66 \cdot 1 = 6.
Kesir çizgisi, pay ve paydadaki işlemlerin öncelikli olarak tamamlanması gerektiğini belirtir.
3
Elde edilen pay değerini payda değerine bölerek sonucu bulalım.
306=5\frac{30}{6} = 5
Bulunan değerlerin oranlanması işlemin sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel hesaplama ve rasyonel ifadelerde işlem sırası

İpuçları

1
Öncelikle 4!4!, 3!3! ve 0!0! değerlerini sayısal olarak bulun.
2
Kesrin payındaki toplamayı ve paydasındaki çarpmayı tamamlayın.
3
0!=10! = 1 olduğunu unutmayın ve paydaki 30 sayısını paydadaki 6 sayısına bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak sadeleştirme alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Paydaki ifadeyi 3!3! parantezine alabilirsiniz: 3!(4+1)=3!⋅53!(4 + 1) = 3! \cdot 5. Paydada da 3!⋅0!=3!⋅13! \cdot 0! = 3! \cdot 1 olduğu için 3!3! ifadeleri birbirini götürür ve geriye sadece 5 kalır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 272Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
43!24n \frac{43!}{24^n}

ifadesi bir tam sayıya eşittir.

Buna göre, nn'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

n'nin alabileceği en büyük değer 13'tür.
43! sayısının içinde 24n24^n çarpanını arıyoruz. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğundan, her bir nn değeri için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyacımız vardır. 43! içinde toplam 19 tane 3 çarpanı ve 39 tane 2 çarpanı vardır. Ancak 2'ler üçerli gruplar halinde kullanılacağı için ⌊39/3⌋=13\lfloor 39/3 \rfloor = 13 grup oluşturulabilir. 13 grup 232^3 ve 19 tane 3 çarpanı arasından, daha az olan sayı (13) sonucu belirler. Bu nedenle en büyük değer 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Bölen sayının (24) asal çarpanlarını belirle.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
Bileşik sayının asal çarpanlarına ayrılması, hangi asal çarpanın sınırlayıcı olduğunu bulmak için gereklidir.
2
43! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (Büyük asal kuralı kontrolü).
⌊433⌋+⌊439⌋+⌊4327⌋=14+4+1=19\lfloor\frac{43}{3}\rfloor + \lfloor\frac{43}{9}\rfloor + \lfloor\frac{43}{27}\rfloor = 14 + 4 + 1 = 19. En fazla 3193^{19} elde edilebilir.
Genellikle büyük asal çarpan sınırlayıcıdır, ancak üsler farklı olduğu için her iki çarpan da kontrol edilmelidir.
3
43! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.
⌊432⌋+⌊434⌋+⌊438⌋+⌊4316⌋+⌊4332⌋=21+10+5+2+1=39\lfloor\frac{43}{2}\rfloor + \lfloor\frac{43}{4}\rfloor + \lfloor\frac{43}{8}\rfloor + \lfloor\frac{43}{16}\rfloor + \lfloor\frac{43}{32}\rfloor = 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39.
Toplam 2 çarpanı sayısı hesaplanır.
4
24 sayısı 232^3 gerektirdiği için, mevcut 2 çarpanı sayısını 3'e bölerek grup sayısını bul.
⌊393⌋=13\lfloor\frac{39}{3}\rfloor = 13. Yani en fazla 13 adet 232^3 grubu oluşturulabilir.
Her bir 24 sayısı için üç adet 2 çarpanına ihtiyaç vardır.
5
Elde edilen grup sayılarını karşılaştırarak en küçüğünü (sınırlayıcı olanı) seç.
3 çarpanı ile 19 adet, 2 çarpanı ile 13 adet 24 sayısı oluşturulabilir. 13<1913 < 19 olduğu için cevap 13'tür.
Bir sayının tam bölünebilmesi için tüm bileşenlerinin (hem 232^3 hem 313^1) sağlanması gerekir. Daha az oluşturulabilen bileşen, toplam sayıyı sınırlar.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerin bileşik sayı kuvvetlerine bölünmesinde, tabandaki sayının asal çarpan kuvvetlerine (üslerine) dikkat edilmelidir. Her zaman büyük asal çarpan sınırlayıcı olmayabilir; üssü büyük olan küçük asal çarpan daha sınırlayıcı olabilir.

İpuçları

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayırın: 24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1. Hangi asal çarpandan kaç tane gerektiğini belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 60!/72n60! / 72^n sorusunu çözerek sınırlayıcı çarpan kavramını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 273Soru →
(x3−ax2)n \left( x^3 - \frac{a}{x^2} \right)^n
ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terimdir. Bu açılımın katsayılar toplamı 243243 olduğuna göre, x10x^{10}'lu terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadenin açılımında x10x^{10}'lu terimin katsayısı 10 olarak bulunur.
Verilen bilgiler ışığında önce sabit terim şartından açılımın kuvveti (n=5n=5), ardından katsayılar toplamından bilinmeyen sabit (a=−2a=-2) bulunur. İfade (x3+2x−2)5(x^3 + 2x^{-2})^5 olarak netleştikten sonra x10x^{10}'lu terimin katsayısı binom katsayısı ve terim katsayılarının çarpımıyla 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
nn değerini bulmak için baştan dördüncü terimin sabit terim olma özelliğini kullanın.
n=5n = 5
Baştan (r+1).(r+1). terim formülünde r=3r=3 alınır. Sabit terimde xx'in kuvveti sıfır olmalıdır: 3(n−3)−2(3)=0⇒3n−15=0⇒n=53(n-3) - 2(3) = 0 \Rightarrow 3n - 15 = 0 \Rightarrow n=5 bulunur.
2
Katsayılar toplamı bilgisini kullanarak aa değerini hesaplayın.
a=−2a = -2
x=1x=1 için katsayılar toplamı (13−a/12)5=243(1^3 - a/1^2)^5 = 243 olur. (1−a)5=35⇒1−a=3⇒a=−2(1-a)^5 = 3^5 \Rightarrow 1-a = 3 \Rightarrow a = -2 elde edilir.
3
İfadeyi düzenleyip x10x^{10}'lu terimi veren rr değerini belirleyin.
r=1r = 1
İfade (x3+2/x2)5(x^3 + 2/x^2)^5 halini alır. Genel terim: (5r)(x3)5−r(2x−2)r\binom{5}{r} (x^3)^{5-r} (2x^{-2})^r. Kuvvetler: 15−5r=10⇒r=115 - 5r = 10 \Rightarrow r = 1 olmalıdır.
4
x10x^{10}'lu terimin katsayısını hesaplayın.
10
Katsayı: (51)⋅(1)4⋅(2)1=5⋅2=10\binom{5}{1} \cdot (1)^4 \cdot (2)^1 = 5 \cdot 2 = 10 olur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında terim bulma ve katsayılar toplamı özellikleri

Daha Fazla Pratik

Binom açılımında baştan ve sondan terimlerin simetrisini kullanarak katsayı karşılaştırmaları yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 274Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen projelerin dağılımı ve bu projelerde yapılan denetimlerde tespit edilen "mevzuata aykırılık" oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

BirimProje DağılımıAykırılık Oranı
A Birimi%40%3
B Birimi%35%4
C Birimi%25%8

Kurumda rastgele seçilen bir proje dosyası denetlenmiş ve dosyanın mevzuata aykırı olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, bu dosyanın C Birimi tarafından hazırlanmış olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1023\frac{10}{23}

Cevap

Seçilen hatalı dosyanın C birimine ait olma olasılığı 1023\frac{10}{23}'tür.
Soruda, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (dosyanın hatalı olduğu), bu olayın kaynağının belirli bir grup olma olasılığı sorulmaktadır. Bu bir koşullu olasılık problemidir. Çözüm için 'Ağaç Diyagramı' mantığı veya Bayes formülü kullanılır.

1. Toplam Hata Olasılığı: Her birimin hata katkısı toplanır.
* P(Hata) = (A Oranı × A Hata) + (B Oranı × B Hata) + (C Oranı × C Hata)
* P(Hata) = (0,40×0,03)+(0,35×0,04)+(0,25×0,08)(0,40 \times 0,03) + (0,35 \times 0,04) + (0,25 \times 0,08)
* P(Hata) = 0,012+0,014+0,020=0,0460,012 + 0,014 + 0,020 = 0,046

2. İstenen Durumun Olasılığı: Sadece C biriminden kaynaklanan hata.
* P(C ∩\cap Hata) = 0,0200,020

3. Sonuç: İstenen / Toplam
* 0,0200,046=2046=1023\frac{0,020}{0,046} = \frac{20}{46} = \frac{10}{23}

Adım Adım Çözüm

1
Her bir birimden gelen hatalı dosya olasılıklarını (kesişim kümesi) hesapla.
A Birimi katkısı: 0,40×0,03=0,0120,40 \times 0,03 = 0,012
B Birimi katkısı: 0,35×0,04=0,0140,35 \times 0,04 = 0,014
C Birimi katkısı: 0,25×0,08=0,0200,25 \times 0,08 = 0,020
Her birimin toplam proje içindeki payı ile o birimin hata yapma olasılığı çarpılarak, toplam hataya katkısı bulunur.
2
Toplam hatalı dosya olasılığını (örnek uzayı) bul.
Toplam P(Hata) = 0,012+0,014+0,020=0,0460,012 + 0,014 + 0,020 = 0,046
Koşullu olasılık formülünün paydası için tüm olası 'mevzuata aykırı' durumların toplam olasılığı gerekir.
3
Bayes teoremi veya koşullu olasılık formülünü uygula: P(C | Hata) = P(C ve Hata) / P(Hata).
0,0200,046=2046\frac{0,020}{0,046} = \frac{20}{46}
İstenen durum (C'den gelen hatalı dosya), tüm olası durumlara (toplam hatalı dosya) oranlanır.
4
Kesri sadeleştir.
2046=1023\frac{20}{46} = \frac{10}{23}
Sonuç en sade haliyle ifade edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Uygulaması)

İpuçları

1
Önce, rastgele seçilen herhangi bir dosyanın hatalı çıkma olasılığını (toplam olasılık) hesaplayın. A, B ve C birimlerinin her birinden gelen hata katkılarını toplayın.
2
C biriminden gelen hata katkısı 0,25×0,080,25 \times 0,08 şeklindedir. Toplam hata olasılığı ise tüm birimlerin katkılarının toplamıdır.
3
İstenen olasılık = (C'nin Hata Katkısı) / (Toplam Hata Olasılığı) formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Birimlerin hata oranları değişmeden, proje dağılımları eşit olsaydı sonucun nasıl değişeceğini inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek çözüm: Toplam 10.000 proje olduğunu varsayalım.
- A: 4.000 proje -> %3 hata -> 120 hatalı
- B: 3.500 proje -> %4 hata -> 140 hatalı
- C: 2.500 proje -> %8 hata -> 200 hatalı
- Toplam hatalı proje sayısı = 120 + 140 + 200 = 460.
- C'den gelen hatalı sayısı = 200.
- Olasılık = 200 / 460 = 20 / 46 = 10 / 23.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 275Soru →
xx ve yy birer pozitif tam sayı olmak üzere,
x!y!=210 \frac{x!}{y!} = 210

eşitliği veriliyor.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 458

Cevap

458
Eşitlik x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 şeklinde düşünüldüğünde, sol taraf ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 210 sayısını veren ardışık sayı grupları şunlardır: Tek başına 210 (bu durumda x=210,y=209x=210, y=209), 15⋅1415 \cdot 14 (bu durumda x=15,y=13x=15, y=13) ve 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 (bu durumda x=7,y=4x=7, y=4). Bu üç durumdan elde edilen x+yx+y değerleri sırasıyla 419, 28 ve 11'dir. Bunların toplamı 458 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği düzenle ve anlamını belirle.
x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! ifadesi, x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 demektir. Bu, xx'ten başlayıp geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık tam sayıların çarpımının 210 olduğunu gösterir.
Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapıldığında geriye ardışık çarpanlar kalır.
2
210 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazabileceğin tüm durumları araştır.
1. Durum (1 Sayı): 210=210210 = 210. Buradan x=210x=210, y=209y=209.
2. Durum (2 Sayı): 15⋅14=21015 \cdot 14 = 210. Buradan x=15x=15, y=13y=13.
3. Durum (3 Sayı): 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210. Buradan x=7x=7, y=4y=4.
Sayıları çarpanlarına ayırarak ardışıklık kontrolü yapılır. 3⋅4⋅5⋅6=3603 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360 olduğu için 4'lü çarpım yoktur.
3
Her durum için x+yx+y değerini hesapla ve topla.
1. Durum: 210+209=419210 + 209 = 419
2. Durum: 15+13=2815 + 13 = 28
3. Durum: 7+4=117 + 4 = 11
Toplam: 419+28+11=458419 + 28 + 11 = 458
Soruda olası tüm x+yx+y değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesi sonucu ortaya çıkan ardışık çarpanlar özelliği.

İpuçları

1
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, sadeleştirme yapıldığında xx'ten geriye doğru azalan ardışık sayıların çarpımına eşittir.
2
Çarpımları 210 eden ardışık sayı gruplarını arayın. Örneğin, 1414 ve 1515 sayılarını inceleyin.
3
210 sayısı üç farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olabilir: 1 sayı (kendisi), 2 sayı (15⋅1415 \cdot 14) ve 3 sayı (7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5). Her biri için x+yx+y hesaplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 276Soru →
(4x−7y)5(4x - 7y)^5
ifadesinin xx ve yy değişkenlerine göre binom açılımı yapıldığında elde edilen terim sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin kuvveti 5 olduğu için terim sayısı 5+1=65 + 1 = 6 olur.
Binom açılımı kuralına göre, (ax+by)n(ax + by)^n ifadesinin açılımında n+1n+1 tane terim bulunur. Sorudaki ifadede kuvvet n=5n = 5 olarak verildiği için terim sayısı 5+1=65 + 1 = 6 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin dış kuvvetini (n) belirleyin.
n=5n = 5
Binom açılımında terim sayısını belirleyen temel unsur ifadenin toplam kuvvetidir.
2
Terim sayısı formülünü uygulayın.
Terim sayısı =n+1= n + 1
Bir binom açılımında (ax+by)n(ax + by)^n yapısı gereği, ana^n ile başlayan ve bnb^n ile biten toplam n+1n+1 adet terim oluşur.
3
Verilen kuvveti formülde yerine koyun.
5+1=65 + 1 = 6
Kuvvet 5 olduğu için açılımda 6 terim bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına eşittir.

İpuçları

1
Binom açılımında terim sayısı her zaman ifadenin kuvveti ile ilişkilidir.
2
(x+y)n(x+y)^n açılımında terim sayısı n+1n+1 formülüyle hesaplanır.
3
İfadenin parantez dışındaki kuvveti 5'tir. Bu sayıya 1 ekleyerek sonucu bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (2x+y)3(2x+y)^3 ifadesini açarak terim sayısının neden 4 olduğunu gözlemleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:30s
Soru 277Soru →

Bir kamu kurumu tarafından düzenlenen hizmet içi eğitim seminerinde katılımcılara ikram edilmek üzere 44 farklı meyve suyu ve 55 farklı kurabiye çeşidi hazırlanmıştır. Bir katılımcı, ikramlardan bir meyve suyu ve bir kurabiye çeşidinden oluşan bir ara öğün seçimi yapacaktır. Buna göre, bu katılımcı seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Katılımcı, bir meyve suyu ve bir kurabiye seçimini 20 farklı şekilde yapabilir.
Sayma kurallarına göre, ayrık iki işlemden birincisi nn yolla, ikincisi mm yolla yapılabiliyorsa; bu iki işlemin birlikte (birinci VE ikinci şeklinde) yapılma sayısı n×mn \times m kadardır. Soruda 44 meyve suyu ve 55 kurabiye olduğu için toplam seçim sayısı 4×5=204 \times 5 = 20 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Meyve suyu seçeneklerinin sayısını belirleyin.
44
Soruda 44 farklı meyve suyu olduğu belirtilmiştir.
2
Kurabiye seçeneklerinin sayısını belirleyin.
55
Soruda 55 farklı kurabiye olduğu belirtilmiştir.
3
Bağlacı analiz ederek sayma kuralını seçin.
Çarpma Yoluyla Sayma
Seçimler arasında 've' bağlacı kullanıldığı için (her iki gruptan da birer eleman seçildiği için) çarpma kuralı uygulanır.
4
Seçenek sayılarını çarpın.
4×5=204 \times 5 = 20
Çarpma yoluyla sayma kuralı gereği toplam durum sayısı, bağımsız olayların seçenek sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Çarpma Yoluyla Sayma

İpuçları

1
Sorudaki 've' bağlacına dikkat edin. Hem meyve suyu hem de kurabiye seçiliyor mu?
2
Bir meyve suyu seçtiğinizde, onun yanına kaç farklı kurabiye koyabileceğinizi düşünün.
3
Her meyve suyu için 5 farklı kurabiye seçeneği varsa, 4 meyve suyu için toplam durum sayısı 4×54 \times 5 olur.

Daha Fazla Pratik

Eğer soru 'bir meyve suyu VEYA bir kurabiye' şeklinde sorulsaydı hangi işlemi yapmanız gerekirdi? Bu farkı düşünmek konuyu pekiştirecektir.

Alternatif Yöntem

Eşleştirme yöntemini kullanabilirsiniz. Meyve sularını M1, M2, M3, M4 ve kurabiyeleri K1, K2, K3, K4, K5 olarak adlandırırsanız; (M1, K1), (M1, K2) ... (M4, K5) şeklinde tüm ikilileri yazdığınızda toplam 20 ikili oluştuğunu görürsünüz.
Tahmini Süre:45s
Soru 278Soru →

AA, BB ve CC sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A=23!+24! A = 23! + 24!

B=48!+49! B = 48! + 49!

C=73!+74! C = 73! + 74!

Buna göre, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Çarpımın sondan 36 basamağı sıfırdır
Çarpımın sondan kaç basamağının sıfır olduğu, toplam 5 çarpanı sayısına eşittir. İfadeler A=23!⋅25A=23! \cdot 25, B=48!⋅50B=48! \cdot 50 ve C=73!⋅75C=73! \cdot 75 şeklinde düzenlendiğinde; faktöriyellerden sırasıyla 4, 10 ve 16 adet, katsayılar olan 25, 50 ve 75 sayılarının her birinden ise ikişer adet (toplam 6) 5 çarpanı gelir. Toplamda 4+2+10+2+16+2=364+2+10+2+16+2 = 36 adet 5 çarpanı, dolayısıyla 36 adet sıfır vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının asal çarpanlarına ayrıldığında içindeki 5 çarpanlarının sayısına bakılır (2 çarpanı zaten boldur).
Hedef: Her bir ifadeyi (AA, BB, CC) düzenleyip toplam 5 çarpanı sayısını bulmak.
10=2⋅510 = 2 \cdot 5 olduğundan, 10 çarpanlarının sayısı 5 çarpanlarının sayısı ile sınırlıdır.
2
A=23!+24!A = 23! + 24! ifadesini ortak çarpan parantezine alarak düzenle ve 5 çarpanlarını say.
A=23!(1+24)=23!⋅25=23!⋅52A = 23!(1 + 24) = 23! \cdot 25 = 23! \cdot 5^2. 23!23!'de ⌊23/5⌋=4\lfloor 23/5 \rfloor = 4 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 2525'ten gelir. Toplam: 4+2=64 + 2 = 6.
Genellikle küçük faktöriyelin sıfır sayısı alınır ancak burada katsayıdan (2525) gelen ekstra 5'ler sonucu değiştirir.
3
B=48!+49!B = 48! + 49! ifadesini düzenle ve 5 çarpanlarını say.
B=48!(1+49)=48!⋅50=48!⋅(2⋅52)B = 48!(1 + 49) = 48! \cdot 50 = 48! \cdot (2 \cdot 5^2). 48!48!'de 9+1=109+1=10 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 5050'den gelir. Toplam: 10+2=1210 + 2 = 12.
48/548/5 bölüm 9, 9/59/5 bölüm 1. Toplam 10. Katsayıdan gelen 2 adet 5 unutulmamalıdır.
4
C=73!+74!C = 73! + 74! ifadesini düzenle ve 5 çarpanlarını say.
C=73!(1+74)=73!⋅75=73!⋅(3⋅52)C = 73!(1 + 74) = 73! \cdot 75 = 73! \cdot (3 \cdot 5^2). 73!73!'de 14+2=1614+2=16 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 7575'ten gelir. Toplam: 16+2=1816 + 2 = 18.
73/573/5 bölüm 14, 14/514/5 bölüm 2. Toplam 16. Katsayıdan gelen 2 adet 5 eklenir.
5
Çarpım durumundaki ifadelerin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, her bir ifadenin sıfır sayılarını topla.
Toplam Sıfır Sayısı = 6(A)+12(B)+18(C)=366 (A) + 12 (B) + 18 (C) = 36.
10a⋅10b⋅10c=10a+b+c10^a \cdot 10^b \cdot 10^c = 10^{a+b+c} kuralı gereği üsler toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel toplamlarında sondan gelen sıfır sayısı bulunurken ifade ortak paranteze alınmalı ve katsayıdan gelen 5 çarpanları da hesaba katılmalıdır.

İpuçları

1
Bir ifadenin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için içindeki 5 çarpanlarının sayısını bulmalısınız.
2
n!+(n+1)!n! + (n+1)! şeklindeki ifadeleri doğrudan hesaplamak yerine n!(1+n+1)n!(1 + n + 1) şeklinde ortak çarpan parantezine alarak çarpım haline getirin.
3
23!+24!=23!⋅2523! + 24! = 23! \cdot 25 olur. Sadece 23!23!'deki değil, 2525'teki 5 çarpanlarını da saymayı unutmayın. Aynı işlemi diğerleri için de yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, A=19!+20!A = 19! + 20! ise A'nın sondan kaç basamağı sıfırdır? sorusunu çözerek katsayı etkisini pekiştirin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 279Soru →

Bir İl Planlama ve Koordinasyon toplantısında, değerlendirilmek üzere gündeme alınan projeler şunlardır:

* 3 farklı tarım projesi,
* 3 farklı sanayi projesi,
* 2 farklı hizmet projesi.

Bu projelerin tamamı, toplantı gündeminde sırayla görüşülecektir. Gündem sıralaması oluşturulurken;

1. Toplantının açılışında ve kapanışında (ilk ve son sırada) birer hizmet projesinin yer alması,
2. Tüm sanayi projelerinin arka arkaya (hiç araya başka proje girmeden) görüşülmesi,

kurallarına uyulacaktır.

Buna göre, projelerin görüşülme sıralaması kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Projeler, verilen kısıtlamalara göre 288 farklı şekilde sıralanabilir.
Sıralama şu şekilde kurgulanır: [Hizmet] - [Aradaki 6 Proje] - [Hizmet].
1. Adım: İki uç noktaya 2 Hizmet projesi 2!=22! = 2 farklı şekilde gelir.
2. Adım: Aradaki boşluğa 3 Tarım ve 3 Sanayi projesi gelecektir. Ancak Sanayi projeleri ayrılmayacağı için onları tek bir paket (S1S2S3)(S_1S_2S_3) gibi düşünürüz. Böylece elimizde sıralanacak 3 Tarım + 1 Sanayi Paketi = 4 birim olur. Bunlar 4!=244! = 24 şekilde sıralanır.
3. Adım: Sanayi paketinin içindeki 3 proje de kendi arasında 3!=63! = 6 şekilde yer değiştirebilir.
Sonuç: 2×24×6=2882 \times 24 \times 6 = 288.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam proje sayısını ve kısıtlamaları belirle.
Toplam 8 proje var (3 Tarım, 3 Sanayi, 2 Hizmet). Hizmetler uçlarda olacak, Sanayiler bir blok olacak.
Sıralama mantığını kurmak için elemanları tanımlamak gerekir.
2
Uç noktalara (1. ve 8. sıra) Hizmet projelerini yerleştir.
2 farklı Hizmet projesi, 2 farklı yere P(2,2) = 2! = 2 farklı şekilde yerleşebilir.
Hizmet projeleri için ayrılan yerler sabittir ancak kendi aralarında yer değiştirebilirler.
3
Sanayi projelerini tek bir blok olarak düşün ve orta kısmı düzenle.
3 Sanayi projesini [S] tek bir paket kabul edelim. Geriye kalan 3 Tarım projesi ile birlikte orta kısımda sıralanacak toplam nesne sayısı: 3 (Tarım) + 1 (Sanayi Bloğu) = 4 nesne. Bu 4 nesne 4! = 24 şekilde sıralanır.
Birlikte olma şartı (blok yöntemi), grubu tek bir eleman gibi düşünmeyi gerektirir.
4
Sanayi projelerinin kendi içindeki sıralamasını hesapla.
3 farklı Sanayi projesi, oluşturulan blok içerisinde kendi aralarında 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Blok içindeki elemanlar da yer değiştirebilir (iç permütasyon).
5
Tüm durumları çarpma kuralına göre birleştir.
2! (Hizmetler) x 4! (Orta Sıralama) x 3! (Sanayi İçi) = 2 x 24 x 6 = 288.
Olaylar birbirine bağlı ve ardışık gerçekleştiği için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kısıtlamalı Permütasyon (Bloklama ve Sabit Yerleştirme Yöntemi)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 280Soru →

Matematikte nn bir doğal sayı olmak üzere, n!n! ifadesi 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını ifade eder ve 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.

Buna göre, 5!−4!÷3!+0!5! - 4! \div 3! + 0! işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 117

Cevap

İşlemin doğru sonucu 117 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 117 değeri, faktöriyel tanımlarının (5!=120,4!=24,3!=6,0!=15!=120, 4!=24, 3!=6, 0!=1) doğru uygulanması ve ardından bölme işleminin çıkarma/toplama işlemlerinden önce yapılmasıyla elde edilir (120−4+1=117120 - 4 + 1 = 117).

Adım Adım Çözüm

1
İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.
5!=1205! = 120, 4!=244! = 24, 3!=63! = 6 ve 0!=10! = 1
İşlemi gerçekleştirebilmek için temel faktöriyel tanımlarını sayısal değerlere dönüştürmemiz gerekir.
2
İşlem önceliğine dikkat ederek önce bölme işlemini yapalım.
24÷6=424 \div 6 = 4
Matematiksel işlemlerde bölme ve çarpma, toplama ve çıkarmadan önce yapılır.
3
Bulduğumuz değerleri ana ifadede yerine koyarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım.
120−4+1=116+1=117120 - 4 + 1 = 116 + 1 = 117
Bölme işlemi tamamlandıktan sonra kalan işlemler soldan sağa doğru sırayla gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanımı ve İşlem Önceliği Kuralları

İpuçları

1
Öncelikle 5!,4!,3!5!, 4!, 3! ve 0!0! ifadelerinin sayısal değerlerini hesaplayarak işe başlayın.
2
Unutmayın; matematikte bölme işlemi toplama ve çıkarma işlemlerinden daha önceliklidir.
3
0!0! değerinin 00 değil, 11 olduğunu hatırlayarak son toplama işlemini gerçekleştirin.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel içeren bölme işlemlerinde sadeleştirme yapmayı öğrenmek için ardışık faktöriyel oranları (örneğin 7!/6!7!/6!) üzerine pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İşlemi basitleştirmek için ortak paranteze alma denenebilir ancak bu soruda doğrudan değerleri yerine yazmak çok daha hızlı ve güvenli bir yöntemdir.
Tahmini Süre:45s
ÖncekiSayfa 14 / 15Sonraki