Aralık Tahmini

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, devlet hastanelerinin acil servislerindeki bekleme sürelerinin değişkenliğini incelemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $21$ hastanın bekleme süreleri incelenmiş ve örneklem standart sapması $6$ dakika olarak hesaplanmıştır. Acil servisteki bekleme sürelerinin normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, acil servis bekleme sürelerinin kitle varyansı ($\sigma^2$) için $\%90$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: $\chi^2_{0,05; 20} = 31,41$, $\chi^2_{0,95; 20} = 10,85$, $\chi^2_{0,05; 21} = 32,67$, $\chi^2_{0,95; 21} = 11,59$)

Bir kamu bankasının risk yönetimi departmanında çalışan bir uzman, iki farklı kredi portföyünün (Bireysel ve Ticari) temerrüt sürelerindeki değişkenliği incelemektedir. Bireysel kredilerden rastgele seçilen 13 dosyanın varyansı $S_1^2 = 30$, Ticari kredilerden rastgele seçilen 10 dosyanın varyansı ise $S_2^2 = 20$ olarak bulunmuştur. (Kitlelerin normal dağıldığı varsayılmaktadır.)

Buna göre, kitle varyansları oranı $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ için $\%95$ güven aralığının sınırları aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Bir yazılım şirketi, yeni piyasaya sürdüğü bir mobil uygulamanın aktif kullanıcıları arasında, uygulamaya yeni eklenen 'iki adımlı doğrulama' güvenlik özelliğini aktif edenlerin oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla şirketin veri tabanından rastgele seçilen $14400$ aktif kullanıcının incelendiği bir örneklemde, $5184$ kullanıcının bu özelliği etkinleştirdiği tespit edilmiştir.

Buna göre, tüm aktif kullanıcılar arasında iki adımlı doğrulama özelliğini etkinleştirenlerin gerçek oranı için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
$(Z_{0.05} = 1.645; \ Z_{0.025} = 1.96; \ Z_{0.005} = 2.575)$

Bir büyükşehir belediyesi, toplu taşıma hizmetlerinde dijital bilet kullanım oranlarını incelemek amacıyla merkez ve çevre ilçelerde bağımsız rastgele örneklemler seçerek bir araştırma yapmıştır. Yapılan çalışmada, merkez ilçeden seçilen $300$ yolcunun $90$'ının, çevre ilçelerden seçilen $100$ yolcunun ise $10$'unun sadece dijital bilet kullandığı tespit edilmiştir.

Buna göre, merkez ilçedeki yolcuların dijital bilet kullanma oranı ile çevre ilçelerdeki yolcuların dijital bilet kullanma oranı arasındaki fark ($p_M - p_C$) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ($Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

Ticaret Bakanlığı Gümrükler Genel Müdürlüğü'nde görevli bir uzman, belirli bir gümrük kapısındaki ithalat beyannamelerinin onaylanma sürelerinin kitle ortalamasını ($\mu$, dakika) tahmin etmek istemektedir. Bu sürelerin normal dağılıma sahip olduğu bilinmekle birlikte, kitle varyansı bilinmemektedir.

Uzman, rastgele seçtiği $n = 25$ adet beyannamenin onaylanma süresini incelemiş; örneklem ortalamasını $\bar{x} = 120$ dakika ve örneklem standart sapmasını $s = 15$ dakika olarak hesaplamıştır.

($t_{24, 0.025} = 2.064$ ve $z_{0.025} = 1.96$ olarak alınacaktır.)

Buna göre, beyanname onaylanma sürelerinin kitle ortalaması için %95 güven düzeyine sahip aralık tahmini ve bu güven düzeyinin doğru istatistiksel yorumu aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

Bir veri analisti, sıfır etrafında simetrik hatalar üreten bir sistemin ölçüm sapmalarını incelemektedir. Ölçüm sapmaları ($X_i$), $(-\theta, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma uymaktadır ($\theta > 0$). Bu dağılımdan alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklem için yeterli istatistik $Y = \max_{1 \le i \le n} |X_i|$ olarak elde edilmiştir.

$\theta$ parametresinin güven aralığını oluşturmak amacıyla uygun bir eksen (pivot) fonksiyonu ($Q$) ve bu fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu ($f_Q(q)$) belirlenmek istenmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi $\theta$ için doğru bir eksen fonksiyonu ve onun olasılık yoğunluk fonksiyonudur?

Bir büyükşehir belediyesinin ulaşım planlama birimi, şehrin iki farklı bölgesinde hizmet veren K ve L otobüs hatlarının bir seferdeki ortalama yolcu sayılarını karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla K hattından rastgele $10$ sefer, L hattından ise rastgele $15$ sefer incelenmiştir. K hattı için sefer başına ortalama yolcu sayısı $85$ ve varyans $38$ olarak hesaplanmıştır. L hattı için ise ortalama yolcu sayısı $75$ ve varyans $15$ bulunmuştur.

İki hattın yolcu sayılarının normal dağılıma sahip olduğu ve kitle varyanslarının bilinmemekle birlikte birbirine eşit olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, K ve L hatlarının sefer başına ortalama yolcu sayıları farkı ($\mu_K - \mu_L$) için %95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda $t_{0,025; 23} = 2,069$, $t_{0,025; 25} = 2,060$ ve $Z_{0,025} = 1,96$ değerlerini kullanınız. Sonuçları virgülden sonra iki basamak olacak şekilde yuvarlayınız.)

Bir malzeme test laboratuvarında, polimer liflerin kopma noktasına kadar olan uzama miktarları ($X$), $\theta > 0$ bir ölçek parametresi olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

Bu kitle içinden $n$ hacimli bir rastgele örneklem ($X_1, X_2, \dots, X_n$) seçiliyor. Bu örnekleme dayalı olarak $\theta$ parametresi için bir güven aralığı oluşturulmak istendiğinde, aşağıdakilerden hangisi geçerli bir pivot (eksen) fonksiyonudur?

Türkiye İlaç ve Tıbbi Cihaz Kurumu (TİTCK) tarafından yapılan kalite kontrol denetimlerinde, bir partide üretilen ağrı kesici tabletlerin her birindeki etkin madde miktarının ($mg$ cinsinden) değişkenliği incelenmektedir. Rastgele seçilen $16$ tabletin analizi sonucunda örneklem varyansı $S^2 = 0,8$ olarak hesaplanmıştır.

Etkin madde miktarının normal dağılım gösterdiği varsayıldığına göre, bu partideki tabletlerin etkin madde miktarı varyansı ($\sigma^2$) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\chi^2_{0,025; 15} = 27,488$ ; $\chi^2_{0,975; 15} = 6,262$)

Tarım ve Orman Bakanlığı'na bağlı bir araştırma enstitüsü, iki farklı mısır tohumunun (Tohum A ve Tohum B) verimliliklerindeki değişkenliği analiz etmektedir. Her iki tohum türünden de $n_A = n_B = 11$ adet parsel seçilmiş ve verim miktarlarının örneklem varyansları sırasıyla $s_A^2 = 24$ ve $s_B^2 = 8$ olarak hesaplanmıştır. Kitlelerin normal dağılıma sahip olduğu varsayıldığında, bu iki tohumun verim varyanslarının oranı ($\sigma_A^2 / \sigma_B^2$) için $\%95$ güven aralığının alt ve üst sınırları aşağıdakilerden hangisidir? ($F_{0,025; 10; 10} = 3,72$)

Bir kamu eğitim merkezinde uygulanan iki farklı öğretim yönteminin (Yöntem A ve Yöntem B) başarı oranları karşılaştırılmak istenmektedir. Her iki yöntemden de rastgele seçilen $400$'er kursiyer üzerinde yapılan incelemede, Yöntem A için başarı oranı $\hat{p}_1 = 0,50$ ve Yöntem B için başarı oranı $\hat{p}_2 = 0,40$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, iki yöntemin gerçek başarı oranları arasındaki fark ($p_1 - p_2$) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ($z_{0,025} = 1,96$ alınız.)