Aralık Tahmini Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir kamu kurumunun çağrı merkezine belirli bir zaman diliminde gelen çağrı sayılarının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Bu sistemi incelemek amacıyla rastgele seçilen $n$ farklı zaman dilimi için (örneklem çapının yeterince büyük olduğu varsayımıyla) gelen çağrı sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlenmiş ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, herhangi bir zaman diliminde hiç çağrı gelmeme olasılığının en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi kullanılarak oluşturulacak asimptotik $(1-\alpha)$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

e^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}

e^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{e^{-\bar{X}}(1-e^{-\bar{X}})}{n}}

e^{-\bar{X}} \pm t_{n-1, \alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}

\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}

e^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-2\bar{X}} \frac{\bar{X}}{n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}$

Cevap

e^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}

ifadesi, hiç çağrı gelmeme olasılığı için doğru asimptotik güven aralığıdır.

Doğru aralık, hedef parametrenin değişmezlik özelliği ile bulunan

e^{-\bar{X}}

tahmin edicisini ve Delta metodu ile türetilmiş standart hata formülü olan

e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}

değerini

Z

istatistiği ile birleştiren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

İlgilenilen parametreyi ve fonksiyonunu tanımlayın.

X \sim Poisson(\lambda)

olduğundan, hiç çağrı gelmeme olasılığı

P(X=0) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^0}{0!} = e^{-\lambda}

şeklindedir.

Güven aralığı oluşturulacak asıl hedef parametre

\tau(\lambda) = e^{-\lambda}

'dır.

2

En Çok Olabilirlik (MLE) tahmin edicisini bulun.

Poisson dağılımında

\lambda

'nın MLE'si

\hat{\lambda} = \bar{X}

'tir. MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliği gereği,

\tau(\lambda)

'nın MLE'si

\hat{\tau} = e^{-\bar{X}}

olur.

Asimptotik güven aralığının merkezi, hedef parametrenin MLE noktası olmalıdır.

3

Delta Metodu ile tahmin edicinin asimptotik varyansını hesaplayın.

\bar{X}

'in varyansı

\lambda/n

'dir.

g(\lambda) = e^{-\lambda}

fonksiyonu için

g'(\lambda) = -e^{-\lambda}

olur. Asimptotik Varyans

\approx [g'(\lambda)]^2 \times Var(\bar{X}) = (-e^{-\lambda})^2 \times \frac{\lambda}{n} = e^{-2\lambda}\frac{\lambda}{n}

olarak bulunur.

Orijinal tahmin edicinin bilinen asimptotik dağılımından yola çıkarak, bu parametrenin bir fonksiyonunun asimptotik dağılımını (ve varyansını) bulmak için Delta Metodu kullanılır.

4

Standart hatayı bularak asimptotik güven aralığını oluşturun.

Standart hata

SE(\hat{\tau}) = \sqrt{e^{-2\lambda}\frac{\lambda}{n}} = e^{-\lambda}\sqrt{\frac{\lambda}{n}}

'dir.

\lambda

yerine

\hat{\lambda}=\bar{X}

konularak tahmini standart hata bulunur ve aralık:

\hat{\tau} \pm z_{\alpha/2} SE(\hat{\tau}) \Rightarrow e^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}

olarak elde edilir.

Büyük örneklemlerde tahmin edici asimptotik olarak normal dağılıma yakınsadığı için Z kritik değeri kullanılır.

Anahtar Kavram

Delta Metodu ve MLE'nin Asimptotik Dağılımı

Soru 102Soru →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}, \quad 0 < x < \theta$ olan düzgün (uniform) dağılımdan çekilmiştir.

Bilinmeyen $\theta$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle $\%100(1-\alpha)$ güven düzeyinde en kısa güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, doğru eksen fonksiyonu seçimi ve bu fonksiyon kullanılarak elde edilen en kısa güven aralığı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Not: $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ örneklem maksimumudur.)

Eksen Fonksiyonu:

Q = X_{(n)} - \theta

ve Güven Aralığı:

\left[ X_{(n)} - (1-\alpha)^{1/n}, X_{(n)} \right]

Eksen Fonksiyonu:

Q = \frac{\bar{X} - \theta/2}{S/\sqrt{n}}

ve Güven Aralığı:

\left[ 2\bar{X} - Z_{\alpha/2}\frac{2S}{\sqrt{n}}, 2\bar{X} + Z_{\alpha/2}\frac{2S}{\sqrt{n}} \right]

Eksen Fonksiyonu:

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

ve Güven Aralığı:

\left[ \alpha^{1/n} X_{(n)}, X_{(n)} \right]

Eksen Fonksiyonu:

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

ve Güven Aralığı:

\left[ \left(1-\frac{\alpha}{2}\right)^{-1/n} X_{(n)}, \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{-1/n} X_{(n)} \right]

Eksen Fonksiyonu:

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

ve Güven Aralığı:

\left[ X_{(n)}, \alpha^{-1/n} X_{(n)} \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Eksen Fonksiyonu: $Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}$ ve Güven Aralığı: $\left[ X_{(n)}, \alpha^{-1/n} X_{(n)} \right]$

Cevap

Doğru eksen fonksiyonu

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

olup, elde edilen en kısa güven aralığı

\left[ X_{(n)}, \alpha^{-1/n} X_{(n)} \right]

şeklindedir.

Doğru seçenekte

Q = X_{(n)} / \theta

doğru bir pivot fonksiyonu olarak tanımlanmış, dağılımı

\theta

'dan bağımsız bulunmuştur. En kısa güven aralığı şartını sağlamak için,

\theta

'nın katsayısı olan aralık uzunluk fonksiyonu minimize edilmiş, asimetrik

nq^{n-1}

yoğunluk fonksiyonunun en yüksek değer aldığı tepe noktasına (üst sınır 1'e) dayalı olarak hesaplamalar yapılıp tam optimizasyon sağlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Eksen (pivot) fonksiyonunun koşulunu kontrol et ve doğru fonksiyonu seç.

Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}

istatistiği seçilir. Dağılım fonksiyonu

F_Q(q) = P\left(\frac{X_{(n)}}{\theta} \le q\right) = P(X_{(n)} \le q\theta) = \left(\frac{q\theta}{\theta}\right)^n = q^n

bulunur.

Bir istatistiğin eksen fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden (θ) tamamen bağımsız olması gerekir.

2

Güven aralığı sınırlarını veren temel olasılık eşitsizliğini kur.

P(c_1 \le Q \le c_2) = 1-\alpha \implies P\left(c_1 \le \frac{X_{(n)}}{\theta} \le c_2\right) = 1-\alpha

denklemi yazılır ve buradan aralığın alt ve üst sınırları

\left[ \frac{X_{(n)}}{c_2}, \frac{X_{(n)}}{c_1} \right]

olarak elde edilir.

θ'yı eşitsizliğin ortasında yalnız bırakarak aralık formunu elde etmek gereklidir.

3

En kısa güven aralığı için aralık uzunluğunu (L) minimize eden

c_1

ve

c_2

değerlerini bul.

Aralık boyu

L = X_{(n)}\left(\frac{1}{c_1} - \frac{1}{c_2}\right)

'dir. L'yi en küçük yapmak için

c_2

'yi alabileceği en büyük değere eşitlemek gerekir.

Q

'nun yoğunluk fonksiyonu

(0,1)

aralığında tanımlı olduğundan

c_2 = 1

alınır.

Dağılım asimetrik ve sağa doğru artan (

f(q) = nq^{n-1}

) karakterde olduğundan olasılık kütlesini sağ uca dayamak aralığı daraltır.

4

c_2 = 1

değerini olasılık denkleminde yerine koyarak

c_1

'i hesapla ve nihai aralığı yaz.

\int_{c_1}^{1} n q^{n-1} dq = 1^n - c_1^n = 1-\alpha \implies c_1^n = \alpha \implies c_1 = \alpha^{1/n}

bulunur. Sınırlar yerine konduğunda aralık

\left[ \frac{X_{(n)}}{1}, \frac{X_{(n)}}{\alpha^{1/n}} \right]

olur.

Seçilen üst kritik değer kullanılarak, geriye kalan

\alpha

hata payı üzerinden alt kritik değer (

c_1

) matematiksel olarak türetilmiş olur.

Anahtar Kavram

Düzgün dağılımda yeterli istatistik üzerinden eksen (pivot) fonksiyonu türetimi ve aralık uzunluğu minimizasyonu

Soru 103Soru →

Bir kamu çağrı merkezine gelen müşteri çağrılarının süreleri (dakika), olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0

olan üstel dağılıma uymaktadır. Bu kitleye ait ortalama çağrı süresini (

\theta

) tahmin etmek amacıyla rastgele seçilen

n=10

çağrının süreleri ölçülmüş ve örneklem ortalaması

\bar{X} = 5

dakika olarak hesaplanmıştır.

Kitle ortalaması $\theta$ için oluşturulacak $\%90$ güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\chi^2_{(v, \alpha)}$ notasyonu, $v$ serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının sağ kuyruk alanını $\alpha$ yapan kritik değerdir. Hesaplamalarda kullanılmak üzere bazı tablo değerleri aşağıda verilmiştir:
- $\chi^2_{(10, 0.95)} = 3.94, \quad \chi^2_{(10, 0.05)} = 18.31$
- $\chi^2_{(19, 0.95)} = 10.12, \quad \chi^2_{(19, 0.05)} = 30.14$
- $\chi^2_{(20, 0.95)} = 10.85, \quad \chi^2_{(20, 0.05)} = 31.41$
- Standart normal dağılım için $Z_{0.05} = 1.645$ )

\left[ \frac{100}{31.41}, \, \frac{100}{10.85} \right]

\left[ \frac{100}{10.85}, \, \frac{100}{31.41} \right]

\left[ \frac{50}{18.31}, \, \frac{50}{3.94} \right]

\left[ \frac{100}{30.14}, \, \frac{100}{10.12} \right]

\left[ 5 - 1.645 \frac{5}{\sqrt{10}}, \, 5 + 1.645 \frac{5}{\sqrt{10}} \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left[ \frac{100}{31.41}, \, \frac{100}{10.85} \right]$

Cevap

Doğru aralık tahmini,

\frac{2n\bar{X}}{\theta} \sim \chi^2_{2n}

pivot fonksiyonu kullanılarak elde edilen ve sınırları

100/31.41

ile

100/10.85

olan aralıktır.

Üstel dağılım gösteren bir kitlenin ortalaması

\theta

için güven aralığı oluşturulurken normal dağılım yaklaşımları yerine kesin (exact) dağılıma sahip bir pivot fonksiyonu kullanılır.

\frac{2n\bar{X}}{\theta} \sim \chi^2_{2n}

bu kitle için uygun pivot fonksiyondur.

n=10

ve

\bar{X}=5

verildiği için pivotumuz

\frac{100}{\theta} \sim \chi^2_{20}

olur.

\%90

güven düzeyinde eşitsizliğimiz

10.85 < \frac{100}{\theta} < 31.41

şeklini alır. Bu eşitsizlik

\theta

için çözüldüğünde

\frac{100}{31.41} < \theta < \frac{100}{10.85}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Üstel dağılım için uygun pivot fonksiyonunu belirleme.

\frac{2n\bar{X}}{\theta} \sim \chi^2_{2n}

pivot fonksiyonu elde edilir.

X_i \sim \text{Exp}(\theta)

iken

\frac{2X_i}{\theta}

dönüşümü 2 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyar.

n

adet bağımsız gözlemin toplamı ise

2n

serbestlik dereceli Ki-kare olur.

2

Verilen değerleri pivot fonksiyonunda yerine koyma ve serbestlik derecesini hesaplama.

Pay kısmı:

2n\bar{X} = 2 \times 10 \times 5 = 100

. Serbestlik derecesi:

2n = 20

. Pivot fonksiyonumuz:

\frac{100}{\theta} \sim \chi^2_{20}

olur.

Soruda verilen örneklem çapı (

n=10

) ve örneklem ortalaması (

\bar{X}=5

) değerleri formülde yerlerine konur.

3

\%90

güven düzeyi için uygun kritik değerleri belirleme.

Tablodan alt sınır için

\chi^2_{(20, 0.95)} = 10.85

, üst sınır için

\chi^2_{(20, 0.05)} = 31.41

değerleri seçilir.

Güven düzeyi

\%90

olduğundan, toplam

\alpha = 0.10

hata payı iki kuyruğa (

\alpha/2 = 0.05

) eşit dağıtılır.

4

Güven aralığı eşitsizliğini oluşturup

\theta

için çözme.

10.85 < \frac{100}{\theta} < 31.41 \implies \frac{100}{31.41} < \theta < \frac{100}{10.85}

aralığı bulunur.

Bulunan aralık sınırları ters çevrildiğinde (

\theta

'yı yalnız bırakmak için) eşitsizliğin yönü de tersine döner, böylece doğru alt ve üst sınırlar elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel dağılım kitle ortalaması için tam dağılımlı pivot fonksiyonu bulma ve Ki-kare dağılımı yardımıyla asimetrik güven aralığı hesaplama.

Soru 104Soru →

Bir kamu kurumunda işlem gören belli bir belge türünün onaylanma sürelerinin normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Kurumun kalite standartları birimi, işlem sürelerinin kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%90$ güven düzeyinde bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Bu amaçla rastgele seçilen $11$ belgenin işlem süreleri incelenmiş ve örneklem standart sapması $S = 6$ dakika olarak hesaplanmıştır.

( $\chi^2_{0,05; 10} = 18,3$ ve $\chi^2_{0,95; 10} = 3,9$ olarak alınacaktır.)

Buna göre, kitle varyansı için hesaplanacak $\%90$ 'lık güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

\left[ \frac{360}{18,3} , \frac{360}{3,9} \right]

\left[ \frac{360}{3,9} , \frac{360}{18,3} \right]

\left[ \frac{396}{18,3} , \frac{396}{3,9} \right]

\left[ \frac{60}{18,3} , \frac{60}{3,9} \right]

\left[ 36 - 1,645 \frac{6}{\sqrt{11}} , 36 + 1,645 \frac{6}{\sqrt{11}} \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left[ \frac{360}{18,3} , \frac{360}{3,9} \right]$

Cevap

Hesaplanacak güven aralığı, pay kısmında

360

değerinin yer aldığı ve sınırların sırasıyla büyük ve küçük Ki-kare değerlerine bölündüğü

\left[ \frac{360}{18,3} , \frac{360}{3,9} \right]

aralığıdır.

Varyans için güven aralığı hesaplanırken temel formül

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

şeklindedir. Soruda

n=11

ve

S=6

olarak verildiğinden

(n-1)S^2 = 10 \times 36 = 360

elde edilir. Güven aralığının matematiksel olarak geçerli olması (alt sınırın üst sınırdan küçük olması) için büyük Ki-kare kritik değeri (

\chi^2_{0,05; 10} = 18,3

) sol taraftaki alt sınırın paydasına, küçük olan Ki-kare kritik değeri (

\chi^2_{0,95; 10} = 3,9

) ise sağ taraftaki üst sınırın paydasına yerleştirilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin tespit edilmesi ve formülün belirlenmesi.

Örneklem hacmi

n = 11

, standart sapma

S = 6

(dolayısıyla örneklem varyansı

S^2 = 36

), güven düzeyi

1-\alpha = 0,90

(böylece

\alpha/2 = 0,05

). Kullanılacak formül:

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

Normal dağılan bir kitlede varyans tahmini,

(n-1)S^2 / \sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}

pivot fonksiyonuna dayanır.

2

Serbestlik derecesi ve güven aralığı formülünün pay kısmının hesaplanması.

Serbestlik derecesi

v = 11 - 1 = 10

. Pay kısmı

= (n-1)S^2 = 10 \times 36 = 360

.

Ki-kare dağılımında serbestlik derecesi

n-1

'dir ve örneklem varyansı

S^2

,

n-1

çarpanı ile ağırlıklandırılır.

3

Kritik Ki-kare değerlerinin formülde doğru yerlerine yerleştirilerek aralığın elde edilmesi.

Verilen kritik değerler

\chi^2_{0,05; 10} = 18,3

ve

\chi^2_{0,95; 10} = 3,9

'dur. Matematiksel olarak alt sınırı küçültmek için daha büyük olan

18,3

değeri paydaya, üst sınırı büyütmek için küçük olan

3,9

değeri paydaya yazılır. Sonuç:

\left[ \frac{360}{18,3} , \frac{360}{3,9} \right]

Eşitsizlikte alt ve üst sınırlar oluşturulurken bölme işleminin mantığı gereği, büyük payda küçük kesre, küçük payda büyük kesre karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Soru 105Soru →

Bir kamu kurumunun Ar-Ge laboratuvarında, satın alınacak yeni nesil ölçüm cihazlarının kalibrasyon hataları incelenmektedir. Cihazların ölçüm hatalarının normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Rastgele seçilen $16$ cihaz ile yapılan testler sonucunda elde edilen veriler kullanılarak, ölçüm hatalarının kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) tahmin edilmek isteniyor.

Araştırmacı, yansız olmayan (biased) en çok olabilirlik tahmin edicisini kullanarak örneklem varyansını $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = 30$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, kitle varyansı $\sigma^2$ için $\%90$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Kritik değerler: $\chi^2_{0.05; 15} = 25.00$ , $\chi^2_{0.95; 15} = 7.26$ , $\chi^2_{0.05; 16} = 26.30$ , $\chi^2_{0.95; 16} = 7.96$ )

[19.20, \, 66.12]

[18.00, \, 61.98]

[18.25, \, 60.30]

[66.12, \, 19.20]

[1.28, \, 4.41]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[19.20, \, 66.12]$

Cevap

Doğru aralık, kareler toplamının Ki-kare kritik değerlerine uygun şekilde bölünmesiyle elde edilen

[19.20, \, 66.12]

aralığıdır.

Kitle varyansı güven aralığının temel formülü

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

şeklindedir. Pay kısmı kareler toplamına eşittir ve sorudaki verilerden

\sum(X_i - \bar{X})^2 = 16 \times 30 = 480

olarak bulunur. Serbestlik derecesi

16-1=15

'tir. Formülde alt sınır için büyük Ki-kare değeri (

25.00

), üst sınır için küçük Ki-kare değeri (

7.26

) paydaya yazıldığında

\left[ \frac{480}{25.00}, \frac{480}{7.26} \right] = [19.20, 66.12]

aralığı doğru bir şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem çapını ve güven düzeyini belirle.

n = 16

,

\%90

güven düzeyi için

\alpha = 0.10

ve

\alpha/2 = 0.05

bulunur.

Serbestlik derecesi ve doğru Ki-kare kritik değerlerini tablodan seçebilmek için gereklidir.

2

Verilen yansız olmayan tahmin ediciden kareler toplamını (

\sum (X_i - \bar{X})^2

) hesapla.

\sum (X_i - \bar{X})^2 = n \cdot \hat{\sigma}^2 = 16 \cdot 30 = 480

olarak bulunur.

Güven aralığı formülünün pay kısmı

(n-1)S^2

ifadesidir, bu da doğrudan kareler toplamına eşittir.

3

Serbestlik derecesini (df) ve ilgili Ki-kare değerlerini tespit et.

df = n - 1 = 15

. İlgili kritik değerler:

\chi^2_{0.05; 15} = 25.00

ve

\chi^2_{0.95; 15} = 7.26

.

Varyans güven aralığında dağılım

(n-1)

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımıdır.

4

Güven aralığı alt ve üst sınırlarını hesapla.

Alt sınır:

\frac{480}{25.00} = 19.20

. Üst sınır:

\frac{480}{7.26} \approx 66.12

. Aralık:

[19.20, \, 66.12]

.

Eşitsizlikte içler dışlar çarpımı yapıldığında büyük Ki-kare değeri alt sınırın paydasına, küçük Ki-kare değeri üst sınırın paydasına gelir.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı güven aralığı hesaplanırken,

(n-1)S^2

ifadesinin aslında serinin kareler toplamı (

\sum (X_i - \bar{X})^2

) olduğu ve asimetrik Ki-kare dağılımı nedeniyle kritik değerlerin eşitsizlikte çapraz yerleştiği kavramı.

Soru 106Soru →

Bir kamu kurumunda personelin performansını artırmak amacıyla uygulanan iki farklı hizmet içi eğitim programı (A ve B) karşılaştırılacaktır. A eğitimini alan 12 personelin eğitim sonu başarı puanlarının ortalaması 80, varyansı 36 olarak; B eğitimini alan 15 personelin başarı puanlarının ortalaması 74, varyansı ise 61 olarak hesaplanmıştır.

İki eğitimin uygulandığı popülasyonların normal dağılıma sahip olduğu ve kitle varyanslarının bilinmemekle birlikte birbirine eşit olduğu ( $\sigma_A^2 = \sigma_B^2$ ) varsayılmaktadır.

Buna göre, A ve B eğitimlerini alan personelin başarı puanları ortalamaları arasındaki fark ( $\mu_A - \mu_B$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(İlgili dağılımların $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki ve $v$ serbestlik derecesindeki kritik değerleri $t_{\alpha; v}$ ve $z_{\alpha}$ şeklinde gösterilmiştir.)

6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.5}

6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{\frac{36}{12} + \frac{61}{15}}

6 \pm z_{0.025} \sqrt{7.5}

6 \pm t_{0.025; 27} \sqrt{7.5}

6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.275}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.5}$

Cevap

Hesaplanan %95 güven aralığı

6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.5}

formülüyle verilen seçenektir.

Doğru güven aralığı oluşturulurken önce nokta tahmini

80 - 74 = 6

olarak bulunur. Kitle varyansları bilinmediği ve eşit varsayıldığı için

(n_A-1)

ve

(n_B-1)

ağırlıkları kullanılarak ortak varyans

S_p^2 = (11(36) + 14(61))/25 = 50

hesaplanır. Ortalamalar farkının standart hatası

\sqrt{S_p^2(1/n_A + 1/n_B)} = \sqrt{50(1/12 + 1/15)} = \sqrt{7.5}

şeklindedir. Serbestlik derecesi

n_A + n_B - 2 = 25

olduğundan, %95 güven düzeyi için uygun kritik değer

t_{0.025; 25}

kullanılarak aralık oluşturulur.

Adım Adım Çözüm

1

Nokta tahminini (ortalamalar farkı) hesapla.

\bar{x}_A - \bar{x}_B = 80 - 74 = 6

Güven aralığının merkezini bulmak için iki örneklem ortalamasının farkı alınır.

2

Eşit varyans varsayımı altında ortak varyansı (

S_p^2

) hesapla.

S_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{11(36) + 14(61)}{12 + 15 - 2} = \frac{396 + 854}{25} = \frac{1250}{25} = 50

Popülasyon varyansları bilinmiyor ancak eşit kabul ediliyorsa, varyansların serbestlik dereceleri ile ağırlıklandırılarak birleştirilmesi (pooling) gerekir.

3

Güven düzeyine uygun test istatistiğini ve kritik değeri belirle.

Kitle varyansı bilinmediğinden

T

dağılımı kullanılır. Serbestlik derecesi

df = 12 + 15 - 2 = 25

. %95 güven aralığı için

\alpha = 0.05

ve iki yönlü kritik değer

t_{0.025; 25}

olur.

Güven aralığının genişliğini (hata payını) belirleyecek çarpanın doğru tespiti için serbestlik derecesi gereklidir.

4

Standart hatayı hesapla ve güven aralığı formülünü oluştur.

Standart hata:

\sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} \right)} = \sqrt{50 \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{15} \right)} = \sqrt{50 \left( \frac{9}{60} \right)} = \sqrt{50(0.15)} = \sqrt{7.5}

. Formül:

6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.5}

Ortalamalar farkının varyansı ortak varyans ile ifade edildiğinde güven aralığı sınırları bu şekilde bulunur.

Anahtar Kavram

Bilinmeyen Eşit Varyanslar İçin İki Kitle Ortalaması Farkı Güven Aralığı (Ortak Varyans Kullanımı)

Soru 107Soru →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ , olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0

olan üstel dağılımdan alınmış $n$ hacimli bir rastgele örneklemdir ( $\theta > 0$ ).

Bilinmeyen $\theta$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, kullanılması gereken en uygun pivot fonksiyonu ve bu fonksiyonun tam (kesin) dağılımı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Pivot:

\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

, Dağılım:

n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{n}

)

Pivot:

\frac{\bar{X} - \theta}{\theta / \sqrt{n}}

, Dağılım:

n-1

serbestlik dereceli Student-t (

t_{n-1}

)

Pivot:

\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

, Dağılım:

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

)

Pivot:

2\theta \sum_{i=1}^n X_i

, Dağılım:

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

)

Pivot:

\frac{\bar{X} - \theta}{S / \sqrt{n}}

, Dağılım: Standart Normal (

N(0,1)

)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pivot: $\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}$ , Dağılım: $2n$ serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2_{2n}$ )

Cevap

En uygun eksen fonksiyonu

\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

'dır ve dağılımı

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

)'dir.

Verilen

X_i

değişkenleri üstel dağılıma sahiptir. Bu değişkenleri parametreye bölerek

X_i/\theta \sim Exp(1)

elde ederiz. Bu standart üstel değişkenleri 2 sabiti ile çarptığımızda

2X_i/\theta \sim \chi^2_2

(2 serbestlik dereceli Ki-kare) dağılımını elde ederiz. Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı da Ki-kare dağılacağından,

n

adet değişkenin toplamı olan

\frac{2 \sum X_i}{\theta} \sim \chi^2_{2n}

olur. Bu ifade hem örneklemi hem

\theta

'yı içerir ve dağılımı

\theta

'dan tamamen bağımsızdır. Dolayısıyla aralık tahmini için tanıma tam uyan en uygun eksen (pivot) fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki her bir değişkenin standartlaştırılması.

X_i \sim Exp(ortalama = \theta)

olduğundan,

Z_i = X_i/\theta \sim Exp(1)

olur.

Eksen fonksiyonu elde etmek için istatistiğin dağılımını bilinmeyen parametreden arındırmak gerekir.

2

Standartlaştırılmış değişkenlerin dönüştürülmesi.

Z_i \sim Exp(1)

iken, bu değişkeni 2 ile çarptığımızda

2Z_i

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

(1-2t)^{-1}

olur. Bu da

\chi^2_2

dağılımını gösterir.

Üstel dağılım ile standart ve tablolarda kolayca bulunabilen Ki-kare dağılımı arasındaki ilişkiyi kurmak.

3

Toplam istatistiğinin dağılımının bulunması.

Bağımsız

n

adet

\chi^2_2

değişkeninin toplamı olan

\sum (2Z_i) = \frac{2 \sum X_i}{\theta}

rastgele değişkeni

\chi^2_{2n}

dağılımına sahip olur.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamının serbestlik dereceleri toplanır.

4

Pivot şartının kontrolü.

Elde edilen

\frac{2 \sum X_i}{\theta}

fonksiyonu örneklem verisini ve sadece ilgilenilen parametreyi (

\theta

) içerir; ayrıca dağılımı (

\chi^2_{2n}

)

\theta

'dan tamamen bağımsızdır.

Geçerli bir güven aralığı sınırları hesaplayabilmek için kritik değerlerin parametresiz tablolardan okunabilmesi şarttır.

Anahtar Kavram

Üstel dağılımda kitle ortalaması için güven aralığı çıkarılırken, toplam istatistiğinin uygun bir sabit ile çarpılarak parametreden bağımsız

\chi^2

(Ki-kare) dağılımına dönüştürülmesi gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 108Soru →

Bir kamu bankası, kullandırdığı kredilerin temerrüde düşme olasılığı olan $p$ 'yi tahmin etmek için $n$ hacimli büyük bir rastgele örneklem alıyor. Kredinin temerrüde düşmesi durumunda $X_i = 1$ , aksi halde $X_i = 0$ ( $i = 1, 2, \dots, n$ ) olarak tanımlanıyor ve $X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$ olduğu varsayılıyor.

Banka risk analistleri, sadece temerrüt olasılığını değil, aynı zamanda temerrüde düşme riskinin oransal göstergesi (odds) olan $\theta = \frac{p}{1-p}$ parametresinin tahminini de önemsemektedir. $\hat{p} = \bar{X}$ olmak üzere, Delta (Türev) yöntemi kullanılarak $\theta$ parametresi için oluşturulacak $100(1-\alpha)\%$ asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})^3}}

\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm t_{n-1, \alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})^3}}

\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}

\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})}}

\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})^3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})^3}}$

Cevap

Delta yöntemiyle doğru asimptotik varyansın karekökünü içeren standart hata ifadesidir.

Doğru cevap, Delta yöntemi adımlarının eksiksiz uygulandığı seçenektir. Merkezi Limit Teoremi'ne göre

\bar{X}

'in varyansı

p(1-p)/n

'dir.

\theta = g(p) = p/(1-p)

fonksiyonunun

p

'ye göre türevi bölümün türevi kuralından

g'(p) = 1/(1-p)^2

olarak bulunur. Delta yöntemi gereği, dönüştürülmüş tahmin edicinin asimptotik varyansı

[g'(p)]^2 Var(\bar{X}) = \frac{1}{(1-p)^4} \frac{p(1-p)}{n} = \frac{p}{n(1-p)^3}

olur. Güven aralığı oluşturulurken bu varyansın karekökü (standart hata) alınır ve büyük örneklem olduğu için

Z

dağılımı kritik değeri (

z_{\alpha/2}

) ile çarpılır. Parametre yerine örneklem oranı (

\bar{X}

) konulduğunda doğru asimptotik aralık elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranının asimptotik dağılımını belirlemek.

Merkezi Limit Teoremi gereği

\sqrt{n}(\bar{X} - p) \xrightarrow{d} N(0, p(1-p))

elde edilir.

Büyük örneklemlerde örneklem ortalaması, beklenen değer etrafında normal dağılıma yakınsar.

2

Dönüşüm fonksiyonunu ve türevini hesaplamak.

g(p) = \frac{p}{1-p}

fonksiyonunun türevi

g'(p) = \frac{1 \cdot (1-p) - p \cdot (-1)}{(1-p)^2} = \frac{1}{(1-p)^2}

olarak bulunur.

Delta yöntemini uygulayabilmek için parametrenin fonksiyonunun türevine ihtiyaç vardır.

3

Delta yöntemini kullanarak asimptotik varyansı hesaplamak.

Var(g(\bar{X})) \approx [g'(p)]^2 \frac{Var(X)}{n} = \left(\frac{1}{(1-p)^2}\right)^2 \frac{p(1-p)}{n} = \frac{p}{n(1-p)^3}

elde edilir.

Dönüştürülmüş parametrenin asimptotik varyansı, orijinal varyans ile türevin karesinin çarpılmasıyla bulunur.

4

Asimptotik güven aralığı formülünü oluşturmak.

Bilinmeyen

p

yerine tutarlı tahmin edicisi

\bar{X}

konularak asimptotik aralık

g(\bar{X}) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\hat{Var}(g(\bar{X}))}

şeklinde yazılır.

Büyük örneklemlerde Z tablosu kullanılarak asimptotik normal dağılım üzerinden çift yönlü güven aralığı kurulur.

Anahtar Kavram

Delta Yöntemi ile Asimptotik Güven Aralığı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 109Soru →

Bir halk sağlığı araştırmacısı, yeni bir aşının yan etki gösterme oranlarını iki farklı demografik grupta karşılaştırmak istemektedir. Araştırmacı, iki kitle oranı arasındaki farkı ( $p_1 - p_2$ ) tahmin etmek için her iki gruptan da eşit sayıda ( $n_1 = n_2 = n$ ) birey seçecektir.

Araştırmacının belirlediği güven aralığı için hata payının (margin of error) en fazla $0,05$ olması istenmektedir. Birinci grup için yapılan önceki çalışmalarda yan etki oranının yaklaşık $0,20$ olduğu bilinmektedir. İkinci grup için ise varyansı etkileyecek herhangi bir ön bilgi bulunmamaktadır.

Buna göre, araştırmacının hedeflenen hata payını garanti altına alabilmesi için her bir gruptan alması gereken minimum örneklem çapı ( $n$ ) aşağıdakilerden hangisidir? (İşlem kolaylığı için hedeflenen güven düzeyine karşılık gelen standart normal dağılım kritik değerini $Z = 2$ alınız.)

144

400

512

656

800

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 656

Cevap

656

İki kitle oranları farkı için güven aralığının hata payı hesabı yapılırken

E = Z \cdot \sqrt{\frac{p_1 q_1}{n_1} + \frac{p_2 q_2}{n_2}}

formülü kullanılır. Birinci grup için

p_1=0,20

, ön bilgi olmayan ikinci grup için varyansı maksimize eden

p_2=0,50

değeri alınır. İfade

0,05 = 2 \cdot \sqrt{\frac{0,16 + 0,25}{n}}

şeklinde yazılıp her iki tarafın karesi alındığında

n = 1600 \cdot 0,41 = 656

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İki kitle oranları farkı için hata payı (E) formülünü belirleme.

E = Z \cdot \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}

formülü kullanılır.

Güven aralığının yarı genişliği hata payını verir ve örneklem çapı bu kısımdan çekilir.

2

Verilenleri ve varsayımları yerine koyarak varyans paylarını hesaplama.

n_1 = n_2 = n

,

E = 0,05

ve

Z = 2

olarak verilmiştir. Birinci grup için

p_1 = 0,20

olduğundan

p_1(1-p_1) = 0,20 \cdot 0,80 = 0,16

olur. İkinci grup için ön bilgi olmadığından varyansı maksimize eden

p_2 = 0,50

alınır ve

p_2(1-p_2) = 0,50 \cdot 0,50 = 0,25

bulunur.

Ön bilginin olmadığı durumlarda hata payını 'garanti altına almak' için varyansın alabileceği en büyük değer (

p=0,50

için) kullanılmalıdır.

3

Değerleri formülde yerine koyarak

n

değerini yalnız bırakma.

0,05 = 2 \cdot \sqrt{\frac{0,16}{n} + \frac{0,25}{n}} \implies 0,05 = 2 \cdot \sqrt{\frac{0,41}{n}}

Eşitsizliği tek bilinmeyenli denkleme dönüştürmek için.

4

Denklemi çözerek minimum örneklem çapına ulaşma.

\frac{0,05}{2} = \sqrt{\frac{0,41}{n}} \implies 0,025 = \sqrt{\frac{0,41}{n}} \implies (0,025)^2 = \frac{0,41}{n} \implies \frac{1}{1600} = \frac{0,41}{n} \implies n = 1600 \cdot 0,41 = 656

.

Matematiksel işlemleri tamamlayarak hedef değişkene (

n

) ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki kitle oranları farkı için hata payı üzerinden örneklem çapı hesabı ve bilinmeyen oranlarda varyans maksimizasyonu

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 110Soru →

Bir e-ticaret platformu, kullanıcılarının platform üzerinden yaptıkları alışverişlerdeki iade eğilimlerini incelemek istemektedir. Müşteri veri tabanından rastgele seçilen $600$ siparişin kayıtları incelenmiş ve bu siparişlerden $240$ 'ının çeşitli nedenlerle müşteriler tarafından iade edildiği belirlenmiştir.

Buna göre, platformdaki tüm siparişler içinde iade edilenlerin kitle oranı için $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda standart normal dağılım kritik değerleri olarak $Z_{0.025} = 1.96$ ve $Z_{0.05} = 1.645$ kullanınız.)

[0.3992, \ 0.4008]

[0.3671, \ 0.4329]

[0.3608, \ 0.4392]

[0.3600, \ 0.4400]

[0.3494, \ 0.4506]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0.3608, \ 0.4392]$

Cevap

Doğru güven aralığı

[0.3608, \ 0.4392]

sınırlarını içeren seçenektir.

Verilen senaryoda örneklem boyutu

n=600

ve iade sayısı

x=240

olduğundan örneklem oranı

\hat{p} = 0.40

'tır. Standart hata

\sqrt{0.40 \times 0.60 / 600} = 0.02

olarak hesaplanır.

\%95

güven düzeyi için standart normal dağılım kritik değeri

Z_{0.025} = 1.96

olmalıdır. Hata payı

1.96 \times 0.02 = 0.0392

olarak bulunur. Alt sınır

0.40 - 0.0392 = 0.3608

ve üst sınır

0.40 + 0.0392 = 0.4392

hesaplandığında, doğru asimptotik güven aralığı

[0.3608, \ 0.4392]

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranının (

\hat{p}

) hesaplanması.

\hat{p} = \frac{240}{600} = 0.40

ve

\hat{q} = 1 - 0.40 = 0.60

bulunur.

Güven aralığının merkez noktasını belirleyecek nokta tahminini elde etmek.

2

Kitle oranının asimptotik standart hatasının (SE) hesaplanması.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = \sqrt{\frac{0.40 \times 0.60}{600}} = \sqrt{0.0004} = 0.02

olarak hesaplanır.

Örneklem istatistiğinin standart sapmasını varyans formülü üzerinden bulmak.

3

Kritik değerin belirlenip hata payının (Margin of Error) bulunması.

\%95

güven düzeyi için iki yönlü aralıkta

Z_{0.025} = 1.96

alınır. Hata payı

= 1.96 \times 0.02 = 0.0392

olur.

Belirlenen güven düzeyine karşılık gelen kritik Z değeri ile standart hatayı çarparak güven aralığının sınırlarına eklenecek maksimum sapmayı bulmak.

4

Güven aralığı alt ve üst sınırlarının hesaplanması.

Alt Sınır

= 0.40 - 0.0392 = 0.3608

Üst Sınır

= 0.40 + 0.0392 = 0.4392

Sonuç Aralık:

[0.3608, \ 0.4392]

Örneklem oranına hata payını ekleyip çıkararak aralığı sonlandırmak.

Anahtar Kavram

Büyük Örneklemlerde Tek Kitle Oranı İçin Asimptotik Güven Aralığı

Soru 111Soru →

Bir malzeme test laboratuvarında iki farklı alaşımın (Alaşım I ve Alaşım II) çekme mukavemetlerindeki değişkenlik karşılaştırılmak istenmektedir. Alaşım I'den rastgele seçilen $9$ adet numune ile Alaşım II'den rastgele seçilen $16$ adet numunenin çekme mukavemeti ölçülmüş ve örneklem varyansları sırasıyla $S_1^2$ ve $S_2^2$ olarak hesaplanmıştır.

Ölçüm sonuçlarının birbirinden bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, kitle varyansları oranı $\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right)$ için %90 güven aralığını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 8, 15} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 15, 8}} \right]

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} - t_{0.05; 23} \sqrt{\frac{S_1^2}{9} + \frac{S_2^2}{16}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} + t_{0.05; 23} \sqrt{\frac{S_1^2}{9} + \frac{S_2^2}{16}} \right]

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 9, 16}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 16, 9} \right]

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.10; 8, 15}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.10; 15, 8} \right]

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8} \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8} \right]$

Cevap

Doğru seçenek, F dağılımı tablosundan 8 ve 15 serbestlik dereceleri ile %5 kuyruk olasılığı değerlerinin (F_0.05) doğru konumlarda ve formasyonda kullanıldığı ifadeyi gösteren seçenektir.

İki kitle varyansının oranı için güven aralığı, F dağılımı üzerinden türetilir. Örneklem hacimleri

n_1=9

ve

n_2=16

olduğundan F dağılımının serbestlik dereceleri sırasıyla

8

ve

15

'tir. %90 güven aralığı oluşturulurken her iki kuyruktan eşit risk bırakılır, bu yüzden anlamlılık düzeyinin yarısı olan

\alpha/2 = 0.05

kullanılır. Formülün cebirsel yapısı gereği nihai aralık

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}} , \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8} \right]

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem büyüklüklerini kullanarak F dağılımı için gerekli serbestlik derecelerini ve anlamlılık düzeyini belirle.

v_1 = 9 - 1 = 8, v_2 = 16 - 1 = 15. %90 güven düzeyi için çift yönlü aralıkta kullanılması gereken anlamlılık düzeyi parçası \alpha/2 = 0.05 olarak bulunur.

Varyansların oranı için oluşturulacak pivot fonksiyon F dağılımına uyduğundan aralığın sınırları için F(0.05; 8, 15) ve F(0.05; 15, 8) değerleri gereklidir.

2

İki kitle varyansı oranı için teorik asimptotik çarpımsal güven aralığı formülünü kurgula.

Teorik güven aralığı: \left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_1, v_2}}, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha/2; v_2, v_1} \right]

Varyansların oranına dair eşitsizlik, asimetrik bir dağılım olan F dağılımının iki sınır değerini kullanarak elde edilir.

3

Serbestlik dereceleri ve anlamlılık düzeyini formülde yerine koyarak nihai aralığı elde et.

Alt sınır: \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}}, Üst sınır: \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8}

Serbestlik derecelerinin doğru tablo konumlarında (alt sınırda bölen, üst sınırda çarpan ve ters serbestlik dereceleriyle) yazılması aralığı tamamlar.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Soru 112Soru →

Bir kalite kontrol uzmanı, kitle ortalamasının bilindiği ( $\mu = 100$ ) normal dağılımlı bir üretim sürecinden $n = 16$ birimlik rastgele bir örneklem çekmiştir. Örneklem değerlerinin kitle ortalamasından sapmalarının kareleri toplamı $\sum_{i=1}^{16} (X_i - 100)^2 = 200$ olarak hesaplanmıştır. Uzman, bu veriyi kullanarak kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için %90 güven düzeyinde eşit kuyruklu bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Ancak uzman dalgınlıkla kitle ortalamasının bilindiği gerçeğini unutmuş, elindeki sapmalar kareleri toplamını sanki örneklem ortalamasına ( $\bar{X}$ ) göre hesaplanmış gibi düşünmüş (tesadüfen $\bar{X} = 100$ elde edilmiştir) ve kitle ortalamasının bilinmediği duruma ait prosedürü kullanarak hatalı bir güven aralığı hesaplamıştır.

(Not: Serbestlik derecesi $\nu$ olmak üzere $P(\chi^2_\nu \leq c) = p$ için bazı kritik değerler şöyledir:
$\nu=15$ için $\chi^2_{0.05} = 7,26$ ve $\chi^2_{0.95} = 25,00$
$\nu=16$ için $\chi^2_{0.05} = 7,96$ ve $\chi^2_{0.95} = 26,30$ )

Buna göre, uzmanın hesapladığı hatalı güven aralığının alt sınırı ile teorik olarak kullanması gereken doğru güven aralığının alt sınırı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

8,00

ve

7,60

27,55

ve

25,13

7,60

ve

8,00

25,13

ve

27,55

13,33

ve

12,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $8,00$ ve $7,60$

Cevap

Uzmanın bulduğu hatalı alt sınır 8,00 ve teorik olarak doğru olan alt sınır 7,60 değerleridir.

Varyans için güven aralığı alt sınırı

\frac{\sum(X_i - c)^2}{\chi^2_{\ddot{u}st}}

formülü ile bulunur. Uzmanın

\mu

bilinmiyor varsayımıyla yaptığı hatalı işlemde

\nu=15

olur ve alt sınır

200 / 25,00 = 8,00

çıkar. Ortalamanın bilindiği doğru teorik durumda ise

\nu=16

olur ve alt sınır

200 / 26,30 \approx 7,60

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle ortalamasının bilinmediği varsayımıyla (uzmanın yaptığı hata) güven aralığı alt sınırını hesaplamak.

Hatalı alt sınır =

8,00

\mu

bilinmediğinde pivot istatistiği

(n-1)S^2 / \sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}

dağılımına uyar. Burada

\sum(X_i - \bar{X})^2 = 200

ve serbestlik derecesi

\nu = 16-1=15

'tir. Güven aralığının alt sınırı, paydanın en büyük olduğu durum olan üst kritik değer (

\chi^2_{0.95, 15} = 25,00

) ile bölünerek bulunur:

200 / 25,00 = 8,00

.

2

Kitle ortalamasının bilindiği gerçeğiyle (doğru teorik durum) güven aralığı alt sınırını hesaplamak.

Doğru alt sınır

\approx 7,60

\mu

bilindiğinde pivot istatistiği

\sum(X_i - \mu)^2 / \sigma^2 \sim \chi^2_n

dağılımına uyar. Verilen

\sum(X_i - 100)^2 = 200

değeri doğrudan kullanılır ve serbestlik derecesi

\nu = 16

olur. Alt sınır formülünde yine üst kritik değer (

\chi^2_{0.95, 16} = 26,30

) paydaya yazılır:

200 / 26,30 \approx 7,60

.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı güven aralığında, kitle ortalamasının bilinip bilinmemesine göre serbestlik derecesinin değişimi ve Ki-kare asimetrik aralık yapısı

Soru 113Soru →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılımdan alınmıştır. $\mu$ ve $\sigma^2$ bilinmeyen parametrelerdir.

Aralık tahmini teorisinde, örneklem değerleri ve bilinmeyen parametre(ler)i içeren, ancak olasılık dağılımı bilinmeyen parametre(ler)e bağlı olmayan fonksiyonlara 'pivot (eksen) fonksiyonu' denir.

Buna göre, aşağıda verilen istatistiklerden hangisi $\mu$ veya $\sigma^2$ parametreleri için geçerli bir pivot fonksiyonu değildir?

(Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasını, $S^2$ ise örneklem varyansını göstermektedir.)

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{S}

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}$

Cevap

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}

istatistiği geçerli bir pivot fonksiyonu değildir çünkü olasılık dağılımı halen bilinmeyen

\sigma^2

parametresine bağlıdır.

Doğru cevap olan istatistik

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}

'dir. Bilindiği üzere,

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma}

ifadesi standart normal dağılıma (

N(0,1)

) sahiptir. Eğer bu ifadeyi tekrar

\sigma

'ya bölersek, varyansı

1/\sigma^2

olan yeni bir değişken elde ederiz. Yani bu istatistik

N(0, \frac{1}{\sigma^2})

dağılımına uyar. Olasılık dağılımı halen bilinmeyen

\sigma^2

parametresine bağlı olduğu için, bu ifade pivot (eksen) fonksiyonu tanımını sağlamaz ve güven aralığı eldesinde kullanılamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Pivot fonksiyonunun tanımını hatırla.

Dağılımı bilinmeyen kitle parametrelerine bağlı olmayan istatistikler pivot fonksiyondur.

Geçerli bir güven aralığı oluşturabilmek için hesaplanan olasılık sınırlarının parametreden bağımsız olması zorunludur.

2

Seçeneklerdeki istatistiklerin dağılımlarını belirle.

\bar{X}

ve

S^2

'nin örneklem dağılımlarından yola çıkarak Z, Student-t ve Ki-kare dönüşümleri incelenir.

Dağılımı standart (Z, t, Ki-kare) olanlar pivot fonksiyonu olma şartını sağlar.

3

Doğru seçenekteki istatistiğin parametreye bağlılık durumunu kontrol et.

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma^2}

istatistiğinin varyansı hesaplandığında

1/\sigma^2

bulunur. Dolayısıyla bu ifade

N(0, \frac{1}{\sigma^2})

dağılımına sahiptir.

Dağılım varyansı halen bilinmeyen

\sigma^2

parametresini içerdiği için bu ifade aralık tahmininde kullanılacak bir pivot fonksiyonu olamaz.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Dağılım Özelliği

Soru 114Soru →

Bir araştırmacı, kapalı bir kaptaki ideal gaz moleküllerinin hızlarını modellemek için Maxwell-Boltzmann dağılımını kullanmaktadır. Moleküllerin hızlarını temsil eden $X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2}{\theta^3} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

olan dağılımdan çekilmiştir. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir ölçek parametresidir.

Araştırmacı, $\theta^2$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla uygun bir eksen (pivot) fonksiyonu aramaktadır.

Buna göre, aşağıda verilen istatistiklerden ( $Q$ ) hangisi $\theta^2$ için uygun bir eksen fonksiyonudur ve tam dağılımı doğru verilmiştir?

Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}

Q = \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \text{Gamma}\left(\frac{3n}{2}, 2\theta^2\right)

Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{n}

Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{2n}

Q = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \theta)}{S} \sim t_{n-1}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}$

Cevap

İstatistiğin

\theta^2

'ye bölünmüş kareler toplamı olduğu ve

\chi^2_{3n}

dağılımına uyduğu seçenektir.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden arındırılmış olması gerekir. Maxwell-Boltzmann dağılımında

y = x^2/\theta^2

dönüşümü yapıldığında Jacobian ile birlikte

Y \sim \chi^2_3

elde edilir. Örneklem

n

bağımsız birimden oluştuğundan, bu değişkenlerin toplamı

\chi^2_{3n}

dağılımına sahip olur. İfade

\theta^2

'yi içermekte ve dağılımı ondan bağımsız olmaktadır, bu nedenle doğru eksen fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Eksen (pivot) fonksiyonunun tanımını hatırlamak.

Eksen fonksiyonu

Q(X, \theta)

, bilinmeyen parametreyi içermeli ancak sahip olduğu olasılık dağılımı bu parametreden tamamen bağımsız olmalıdır.

Seçenekleri analiz etmeden önce doğru stratejiyi kurgulamak.

2

Örneklemdeki her bir

X_i

için

Y = X^2/\theta^2

dönüşümünü uygulamak ve Jacobian bulmak.

y = x^2/\theta^2 \implies x = \theta \sqrt{y}

ve türevden

|dx/dy| = \frac{\theta}{2\sqrt{y}}

elde edilir.

Değişken dönüşümü tekniğiyle, parametreden arındırılmış yeni bir dağılım elde edip edemeyeceğimizi görmek.

3

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_Y(y) = f_X(x) |dx/dy|

formülüyle hesaplamak.

f_Y(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\theta^2 y}{\theta^3} e^{-y/2} \frac{\theta}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{1/2} e^{-y/2}

. Bu,

3

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_3

) dağılımının ta kendisidir.

Her bir gözlemin dönüşüm sonrası hangi tam dağılıma uyduğunu kanıtlamak.

4

Tüm örneklemi kapsayan toplam istatistiğinin dağılımını belirlemek.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşittir. Bu nedenle

\sum Y_i = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}

olur.

Örneklemin tümüne dayanan nihai eksen fonksiyonunu türetmek.

Anahtar Kavram

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Yöntemi ve Dönüşümler

Soru 115Soru →

Bir sigorta şirketinde, hasar taleplerinin büyüklüğünü (bin TL cinsinden) modellemek üzere aşağıdaki dağılım varsayımı yapılmıştır:

f(x; \theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x > 1, \quad \theta > 0

Geçmiş hasar kayıtlarından seçilen $n$ hacimli bağımsız ve aynı dağılımlı $X_1, X_2, \ldots, X_n$ örneklemi kullanılarak, bilinmeyen $\theta$ parametresine yönelik bir güven aralığı oluşturulacaktır.

Buna göre, güven sınırlarının türetilmesinde eksen (pivot) fonksiyonu olarak kullanılabilecek istatistik ve sahip olduğu olasılık dağılımı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(n)}

\frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

2\theta \sum_{i=1}^n X_i \sim \chi^2_{(2n)}

2 \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}$

Cevap

2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

şeklinde verilen eksen (pivot) fonksiyonu ve dağılımıdır.

X_i

değişkenleri Pareto dağılımına sahipken,

Y_i = \ln(X_i)

dönüşümü yapıldığında değişkenler

Y_i \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımına dönüşür. Bağımsız üstel dağılımların toplamı

\text{Gamma}(n, \theta)

dağılımı verir. Eksen fonksiyonunun temel kuralı, olasılık dağılımının bilinmeyen parametreden tamamen bağımsız olmasıdır. Bu istatistik

2\theta

ile çarpıldığında, yeni dağılım

\text{Gamma}(n, 1/2)

yapısına ulaşır. İstatistik teorisinde

\text{Gamma}(k/2, 1/2)

dağılımı,

k

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_k

) dağılımına eştir. Dolayısıyla, dağılımı parametreden arınmış ve

\chi^2_{(2n)}

olan bu yapı, kusursuz bir eksen fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Y_i = \ln(X_i)

dönüşümünü yaparak her bir gözlemin yeni dağılımını belirlemek.

X_i \sim \text{Pareto}(1, \theta)

olduğundan,

Y_i \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımına sahip olduğu görülür.

Pareto dağılımının parametresini üstel formda izole ederek toplamsal işlemlere uygun hale getirmek.

2

Dönüştürülmüş bağımsız değişkenlerin toplamının dağılımını bulmak.

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \text{Gamma}(n, \theta)

elde edilir.

Bağımsız üstel dağılımlı rassal değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.

3

Dağılımı bilinmeyen

\theta

parametresinden bağımsız kılacak katsayıyı uygulamak.

Toplam istatistiği

2\theta

ile çarpıldığında dağılım

\text{Gamma}(n, 1/2)

formuna, yani tam olarak

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{(2n)}

) dağılımına dönüşür.

Bir istatistiğin eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için olasılık dağılımının kitle parametrelerinden tamamen bağımsız olması gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun aralık tahmini amacıyla pivot (eksen) fonksiyonu olarak kullanılabilmesi için, fonksiyonun kendisinin bilinmeyen parametreyi içermesi ancak olasılık dağılımının bu parametreden tamamen bağımsız olması şarttır.

Soru 116Soru →

Bir tarım araştırmacısı, iki farklı gübre türünün (A ve B) buğday verimi üzerindeki etkisini karşılaştırmak istemektedir. Araştırmacı, A gübresini kullanan 10 farklı tarladan ve B gübresini kullanan 15 farklı tarladan elde edilen hektar başına verim miktarlarını (ton) ölçmüştür. Elde edilen özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gübre Türü	Örneklem Hacmi ( $n$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}$ )	Örneklem Varyansı ( $s^2$ )
A	10	85	40
B	15	79	63

Her iki gübre türü için de verim miktarlarının normal dağılıma sahip olduğu ve popülasyon varyanslarının birbirine eşit olduğu ( $\sigma_A^2 = \sigma_B^2$ ) bilinmektedir. Ancak varyansların gerçek değerleri bilinmemektedir.

Bazı kritik değerler şöyledir: $t_{0,025; 23} = 2,069$ , $t_{0,025; 24} = 2,064$ , $t_{0,025; 25} = 2,060$ , $z_{0,025} = 1,960$ .

Buna göre, A ve B gübrelerinin gerçek popülasyon ortalamaları arasındaki fark ( $\mu_A - \mu_B$ ) için %95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[-0,21; 12,21]

[0,08; 11,92]

[-0,18; 12,18]

[0,12; 11,88]

[-0,06; 12,06]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[-0,21; 12,21]$

Cevap

Doğru güven aralığı

[-0,21; 12,21]

aralığını veren seçenektir.

Varyansların eşit olduğu bilindiği ancak değerlerinin bilinmediği iki bağımsız örneklem durumunda, ortak varyans (

s_p^2

) hesaplanmalıdır.

s_p^2 = 54

olarak bulunur. Standart hata

\sqrt{54(1/10 + 1/15)} = 3

'tür. Serbestlik derecesi

n_A+n_B-2=23

'tür. Nokta tahmini (

85-79=6

) etrafında kurulan aralık

6 \pm (2,069 \times 3)

işlemiyle

[-0,207; 12,207]

olarak elde edilir ve bu da yaklaşık

[-0,21; 12,21]

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortalamalar arası farkın nokta tahminini hesaplayın.

\bar{x}_A - \bar{x}_B = 85 - 79 = 6

Güven aralığının merkezi, iki örneklemin ortalamaları arasındaki farktır.

2

Popülasyon varyansları eşit ancak bilinmediği için ortak varyansı (

s_p^2

) hesaplayın.

s_p^2 = \frac{(n_A - 1)s_A^2 + (n_B - 1)s_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{9(40) + 14(63)}{23} = \frac{360 + 882}{23} = \frac{1242}{23} = 54

Varyanslar eşit olduğunda, daha iyi bir varyans tahmini elde etmek için iki örneklemin varyansları serbestlik dereceleri ile ağırlıklandırılarak birleştirilir.

3

Ortalamalar farkının standart hatasını (

SE

) hesaplayın.

SE = \sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})} = \sqrt{54 (\frac{1}{10} + \frac{1}{15})} = \sqrt{54 (\frac{5}{30})} = \sqrt{54 \times \frac{1}{6}} = \sqrt{9} = 3

Ortak varyans kullanılarak örnekleme dağılımının standart hatası bulunur.

4

Serbestlik derecesini (df) ve uygun kritik değeri belirleyin.

df = n_A + n_B - 2 = 10 + 15 - 2 = 23

. %95 güven düzeyi için (

\alpha/2 = 0,025

) kritik değer:

t_{0,025; 23} = 2,069

Örneklem varyansları kullanıldığı için z yerine t dağılımı kullanılmalıdır.

5

Hata payını (ME) ve güven aralığı sınırlarını hesaplayın.

ME = 2,069 \times 3 = 6,207

. Aralık:

6 \pm 6,207 \Rightarrow [-0,207; 12,207]

(Yuvarlandığında:

[-0,21; 12,21]

)

Nokta tahmininden hata payı çıkarılarak alt sınır, eklenerek üst sınır bulunur.

Anahtar Kavram

İki kitle ortalamaları farkı için ortak varyans (pooled variance) kullanarak güven aralığı hesaplama

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 117Soru →

Bir araştırmacı, incelediği bir biyolojik sürecin reaksiyon başlama zamanlarını modellemektedir. Reaksiyon süreleri ( $X$ ), $\theta$ bilinmeyen minimum başlama zamanı (lokasyon parametresi) olmak üzere, aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip kaydırılmış (shifted) üstel dağılıma uymaktadır:

f(x; \theta) = e^{-(x-\theta)}, \quad x \geq \theta

Araştırmacı, $n$ bağımsız gözlemden oluşan rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \ldots, X_n$ ) seçmiştir. $\theta$ parametresi için en duyarlı (en dar) güven aralığını elde etmek amacıyla, yeterli (sufficient) istatistiği temel alan bir eksen (pivot) fonksiyonu oluşturmak istemektedir.

En küçük sıra istatistiği $X_{(1)} = \min(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, araştırmacının kullanması gereken en uygun eksen (pivot) fonksiyonu ve bu fonksiyonun tam (exact) dağılımı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

2n(X_{(1)} - \theta) \sim \chi^{2}_{(2)}

2\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \theta) \sim \chi^{2}_{(2n)}

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \theta)}{S} \sim t_{(n-1)}

2n(X_{(1)} - \theta) \sim \chi^{2}_{(2n)}

n(X_{(1)} - \theta) \sim \text{Üstel}(n)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2n(X_{(1)} - \theta) \sim \chi^{2}_{(2)}$

Cevap

En uygun eksen fonksiyonu

2n(X_{(1)} - \theta)

olup, bu fonksiyon serbestlik derecesi 2 olan Ki-kare (

\chi^{2}_{(2)}

) dağılımına sahiptir.

Lokasyon parametresi

\theta

olan kaydırılmış üstel dağılımda, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği en küçük sıra istatistiği

X_{(1)}

yeterli (sufficient) istatistiktir. En dar ve optimal güven aralığı yeterli istatistik kullanılarak elde edilir.

X_{(1)}

'in dağılımı

n

parametreli üstel dağılımdır:

X_{(1)} - \theta \sim \text{Üstel}(n)

. Üstel dağılım ile Ki-kare dağılımı arasındaki istatistiksel özellik gereği,

\text{Üstel}(\lambda)

dağılımına sahip bir rastgele değişken

2\lambda

ile çarpıldığında serbestlik derecesi 2 olan Ki-kare dağılımına (

2\lambda W \sim \chi^2_{(2)}

) dönüşür. Burada

\lambda=n

ve değişken

X_{(1)} - \theta

olduğundan elde edilecek eksen fonksiyonu

2n(X_{(1)} - \theta)

olur ve

\chi^2_{(2)}

dağılımına uyar. Bu fonksiyonun dağılımı bilinmeyen

\theta

parametresinden bağımsız olduğu için geçerli ve yeterli istatistiği kullandığı için en uygun fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik fonksiyonu üzerinden yeterli (sufficient) istatistiği belirlemek

L(\theta) = e^{-\sum X_i + n\theta} I(X_{(1)} \geq \theta)

formülü elde edilir ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile

X_{(1)}

istatistiğinin

\theta

için yeterli istatistik olduğu bulunur.

Soruda hedeflenen en duyarlı (en dar) güven aralığı, verideki bilgiyi eksiksiz taşıyan yeterli istatistiğe dayalı eksen fonksiyonu kullanılarak inşa edilebilir.

2

En küçük sıra istatistiğinin (

X_{(1)}

) örneklem dağılımını türetmek

F_{X_{(1)}}(x) = 1 - e^{-n(x-\theta)}

kümülatif fonksiyonundan yola çıkılarak

X_{(1)} - \theta \sim \text{Üstel}(n)

olduğu kanıtlanır.

Bir istatistiğin eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için, kendi formülünün bilinmeyen parametreyi içermesi ancak dağılımının parametreden (

\theta

) tamamen bağımsız olması şarttır.

3

Üstel dağılımı, güven aralığı tablolarında kullanılabilecek standart bir Ki-kare dağılımına dönüştürmek

W \sim \text{Üstel}(\lambda)

ise

2\lambda W \sim \chi^2_{(2)}

kuralı uygulanır.

\lambda=n

ve

W=(X_{(1)} - \theta)

alınarak

2n(X_{(1)} - \theta) \sim \chi^2_{(2)}

dönüşümü yapılır.

Standart istatistik tabloları (Z, t, Ki-kare) aracılığıyla güven sınırlarının hesaplanabilmesi amacıyla pratik bir istatistiksel dönüşüm sağlamak.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 118Soru →

Bir kamu iktisadi teşebbüsünde görevli kalite kontrol mühendisi, üretilen çelik halatların ortalama kopma mukavemetini ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla, normal dağılıma sahip olduğu bilinen kitleyi temsil eden $n=10$ birimlik rastgele bir örneklem almıştır.

Mühendis, bu örneklem verilerini kullanarak $\mu$ için $\%95$ güven düzeyinde bir güven aralığı hesaplamış ve sonucu $(235, 265)$ kg olarak raporlamıştır.

Ancak yapılan kurum içi denetimde; mühendisin hata payını hesaplarken $t$ -dağılımının ilgili kritik değerini doğru kullandığı, fakat örneklem standart sapmasını hesaplarken sapmaların kareleri toplamını $n-1$ yerine yanlışlıkla $n$ 'e böldüğü (yani yansız standart sapma $S$ yerine, sapmalı $S_n = \sqrt{\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar{X})^2}$ formülünü kullandığı) tespit edilmiştir.

Buna göre, ortalama kopma mukavemeti ( $\mu$ ) için hesaplanması gereken doğru $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})

(250 - \frac{9\sqrt{10}}{2},\; 250 + \frac{9\sqrt{10}}{2})

(250 - \frac{50}{3},\; 250 + \frac{50}{3})

(236.5,\; 263.5)

(235,\; 265)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})$

Cevap

(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})

aralığıdır.

Verilen hatalı güven aralığının merkezi

\bar{X} = 250

, hatalı hata payı ise

15

'tir. Hatalı hata payı

E_{yanlis} = t \cdot \frac{S_n}{\sqrt{n}}

formülü ile bulunmuştur. Doğru hata payı ise

E_{dogru} = t \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}

olmalıdır. Varyans hesaplamalarındaki formül farklılığından dolayı

S = \sqrt{\frac{n}{n-1}}S_n

ilişkisi vardır.

n=10

için bu oran

\sqrt{10/9} = \frac{\sqrt{10}}{3}

'tür. Hatalı hata payını bu oranla çarptığımızda

15 \times \frac{\sqrt{10}}{3} = 5\sqrt{10}

doğru hata payını elde ederiz. Merkez (

\bar{X}=250

) değişmediği için doğru aralık

(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})

olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Hatalı güven aralığından örneklem ortalamasını (

\bar{X}

) ve hesaplanan hatalı hata payını (

E_{yanlis}

) bulunuz.

\bar{X} = \frac{235 + 265}{2} = 250

kg,

E_{yanlis} = 265 - 250 = 15

kg.

Güven aralığı

\bar{X} \pm E

formülü ile oluşturulduğundan, alt ve üst sınırların ortalaması

\bar{X}

'i, farkının yarısı ise hata payını verir.

2

Doğru ve hatalı hata payı (margin of error) formüllerini karşılaştırarak oranlayınız.

Hatalı formül:

E_{yanlis} = t_{9, \alpha/2} \cdot \frac{S_n}{\sqrt{10}}

. Doğru formül:

E_{dogru} = t_{9, \alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{10}}

. Oran:

\frac{E_{dogru}}{E_{yanlis}} = \frac{S}{S_n}

.

Soruda kritik

t

değerinin ve

\sqrt{n}

'in doğru kullanıldığı, sadece standart sapma tahmin edicisinin yanlış (

S_n

) alındığı belirtilmiştir.

3

S

ile

S_n

arasındaki matematiksel ilişkiyi kurunuz.

S_n^2 = \frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{n}

ve

S^2 = \frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{n-1}

olduğundan,

S^2 = \frac{n}{n-1}S_n^2 \Rightarrow S = \sqrt{\frac{n}{n-1}}S_n

.

Yansız standart sapma (

S

) ile sapmalı standart sapma (

S_n

) arasındaki oran serbestlik derecesine bağlıdır.

4

Doğru hata payını (

E_{dogru}

) hesaplayınız.

E_{dogru} = \sqrt{\frac{10}{9}} \times 15 = \frac{\sqrt{10}}{3} \times 15 = 5\sqrt{10}

.

Bulunan dönüşüm oranını (

\sqrt{10/9}

) hatalı hata payı (

15

) ile çarparak gerçek hata payını elde ederiz.

5

Doğru hata payı ile düzeltilmiş güven aralığını oluşturunuz.

Doğru Güven Aralığı =

(250 - 5\sqrt{10},\; 250 + 5\sqrt{10})

.

Örneklem ortalaması (

\bar{X}=250

) değişmediğinden, yeni aralık ortalamaya yeni hata payının eklenip çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Güven aralığı hesaplamalarında yansız (

S

) ve sapmalı (

S_n

) standart sapma tahmin edicilerinin hata payına olan oransal etkisi.

Soru 119Soru →

Bir elektronik firması, ürettiği iki farklı akıllı telefon modelinin (A ve B) batarya ömürlerini karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla, A modelinden 12 ve B modelinden 6 adet telefon rastgele seçilmiş ve tam şarjlı durumdayken batarya ömürleri ölçülmüştür. Elde edilen veriler aşağıda verilmiştir:

Model	Örneklem Çapı ( $n$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{X}$ )	Örneklem Varyansı ( $S^2$ )
A	12	45	21
B	6	37	5

İki kitle varyansının bilinmediği ancak birbirine eşit olduğu ( $\sigma_A^2 = \sigma_B^2$ ) ve kitlelerin normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, iki modelin batarya ömürleri arasındaki farkın ( $\mu_A - \mu_B$ ) %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $t_{0.025; 16} = 2,120$ , $t_{0.025; 17} = 2,110$ , $t_{0.025; 18} = 2,101$ , $Z_{0.025} = 1,96$ alınız.)

[4,59; 11,41]

[3,76; 12,24]

[4,08; 11,92]

[3,80; 12,20]

[-0,48; 16,48]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[3,76; 12,24]$

Cevap

İki modelin batarya ömürleri arasındaki farkın %95 güven aralığı

[3,76; 12,24]

olarak hesaplanan seçenektir.

İki kitle varyansı birbirine eşit ve bilinmiyor olarak varsayıldığında, her iki örneklemden elde edilen bilgiyi birleştiren ortak varyans (

S_p^2

) hesaplanmalıdır. Ortak varyans

16

olarak bulunur. Serbestlik derecesi

n_A + n_B - 2 = 16

olup ilgili

t

tablo değeri

2,120

'dir. Standart hata

\sqrt{16(1/12+1/6)} = 2

olur. Formül yerine konulduğunda aralık

(45-37) \pm 2,120 \times 2 = 8 \pm 4,24

işleminden

[3,76; 12,24]

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle varyansları bilinmediği ve birbirine eşit olduğu varsayıldığı için ortak (havuzlanmış) varyans (

S_p^2

) hesaplanır.

S_p^2 = \frac{(n_A-1)S_A^2 + (n_B-1)S_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{11(21) + 5(5)}{16} = \frac{231 + 25}{16} = 16

Varyansların homojenliği (eşitliği) varsayımı altında, her iki örneklemden elde edilen varyans bilgisi birleştirilerek kitle varyansı için daha iyi bir tahmin elde edilir.

2

İki örneklem ortalaması arasındaki farkın standart hatası (

SE

) hesaplanır.

SE = \sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}\right)} = \sqrt{16 \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{6}\right)} = \sqrt{16 \times \frac{3}{12}} = \sqrt{4} = 2

Güven aralığı oluşturulurken nokta tahmininin ne kadar değişkenlik gösterebileceğini belirlemek için standart hata gereklidir.

3

Serbestlik derecesi (

df

) belirlenerek %95 güven düzeyi için uygun kritik tablo değeri (

t_{\alpha/2}

) bulunur.

df = 12 + 6 - 2 = 16

, bu serbestlik derecesi için

t_{0.025; 16} = 2,120

olarak alınır.

Kitle varyansları bilinmediğinde ve örneklemlerden tahmin edildiğinde, test istatistiği

t

-dağılımına uyar.

4

Ortalamalar arası farkın nokta tahmini hesaplanır ve hata payı (ME) ile güven aralığı formülü uygulanır.

Fark =

45 - 37 = 8

. Güven aralığı:

8 \pm (2,120 \times 2) = 8 \pm 4,24 = [3,76; 12,24]

Nokta tahmini etrafında, standart hata ve kritik değerin çarpımı kadar bir hata payı bırakılarak aralık elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Kitle Ortalamaları Farkı İçin Ortak Varyans (Pooled Variance) Yaklaşımı ve T-Dağılımı

Soru 120Soru →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı uzmanları, bir sanayi bölgesindeki günlük ortalama PM10 (partikül madde) emisyon miktarının kitle ortalamasını ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Kitle varyansı bilinmemekte ve emisyon miktarlarının normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Rastgele seçilen $n=16$ günlük ölçüm sonucunda, örneklem ortalaması $\bar{x} = 45 \text{ } \mu\text{g/m}^3$ ve örneklem standart sapması $s = 8 \text{ } \mu\text{g/m}^3$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, günlük ortalama PM10 emisyon miktarı için $\%95$ güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?
(Tablo değerleri: $Z_{0.025} = 1.960$ , $t_{0.025; 15} = 2.131$ , $t_{0.025; 16} = 2.120$ )

(40.738, 49.262)

(41.080, 48.920)

(40.760, 49.240)

(27.952, 62.048)

(29.320, 60.680)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(40.738, 49.262)$

Cevap

Doğru aralık tahmini

(40.738, 49.262)

olmalıdır. Kitle varyansı bilinmediğinden ve örneklem çapı küçük olduğundan Student's T dağılımı kullanılmıştır.

Verilen soruda kitle varyansı bilinmemektedir ve örneklem hacmi (

n=16

) 30'dan küçüktür. Bu durumda güven aralığı oluşturulurken Student's T dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi

n-1 = 15

olduğu için

\%95

güven düzeyindeki kritik değer

t_{0.025; 15} = 2.131

'dir. Standart hata

8 / \sqrt{16} = 2

olarak bulunur.

\bar{x} \pm t \cdot (s/\sqrt{n})

formülü kullanıldığında;

45 \pm (2.131 \times 2)

işlemi yapılarak alt sınır

40.738

ve üst sınır

49.262

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerlerin ve kullanılacak test istatistiğinin (dağılımın) belirlenmesi

n=16

,

\bar{x}=45

,

s=8

. Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediğinden ve örneklem çapı küçük (

n<30

) olduğundan aralık tahmininde Student's T dağılımı kullanılmalıdır.

Varyansı bilinmeyen normal kitlelerden çekilen küçük örneklemlerde pivot fonksiyonu Z (Normal) değil, T dağılımına uyar.

2

Serbestlik derecesi ve uygun tablo kritik değerinin bulunması

Serbestlik derecesi

sd = n - 1 = 15

'tir.

\%95

güven düzeyi için çift yönlü testte

\alpha = 0.05

olur. Tablo değeri

t_{0.025; 15} = 2.131

seçilir.

T dağılımının şekli örneklem çapına bağlı olduğu için serbestlik derecesi (

n-1

) dikkate alınarak doğru alan (

0.025

) seçilmelidir.

3

Standart hata (SH) ve güven aralığı hata payının (E) hesaplanması

Standart Hata =

s / \sqrt{n} = 8 / \sqrt{16} = 8 / 4 = 2

. Hata payı (

E

) =

2.131 \times 2 = 4.262

.

Örneklem ortalamasının standart sapması olan standart hata, güven sınırlarını kitle ortalamasına ne kadar mesafede çizeceğimizi belirler.

4

Güven aralığı alt ve üst sınırlarının elde edilmesi

Alt sınır:

45 - 4.262 = 40.738

, Üst sınır:

45 + 4.262 = 49.262

. Güven aralığı:

(40.738, 49.262)

.

Kitle ortalaması tahmini

\bar{x} \pm E

formülü ile kurulur.

Anahtar Kavram

Bilinmeyen kitle varyansı ve küçük örneklem boyutlarında tek kitle ortalaması için T dağılımı ile güven aralığı yapılandırılması

Aralık Tahmini

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram