Hipotez Testleri

Bir telekomünikasyon şirketinde, bir müşteri temsilcisinin aldığı çağrıların satışla sonuçlanma olasılığı $p$ olarak bilinmektedir. Temsilcinin ilk satışını gerçekleştirdiği çağrı sırası $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $p$ parametresine ilişkin $H_0: p = 0.5$ yokluk hipotezi, $H_1: p = 0.2$ alternatif hipotezine karşı test edilmek istenmektedir.

Belirlenen karar kuralına göre, eğer temsilci ilk satışını 3. veya daha sonraki bir çağrıda gerçekleştirirse ($X \geq 3$) $H_0$ hipotezi reddedilecektir.

Buna göre, bu testin I. Tip Hata olasılığı ($\alpha$) ve II. Tip Hata olasılığı ($\beta$) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Normal dağılıma sahip bir kitle üzerinde parametre testleri uygulanacaktır. $X_1, X_2, \dots, X_n$ bu kitleden alınan rastgele bir örneklemi göstermektedir.

İstatistiksel hipotez testleri teorisi dikkate alındığında, aşağıdaki hipotez çiftlerinden hangisi için Düzgün En Güçlü (UMP) test bulunmaktadır?

Bir elektronik cihazın bileşenlerinin yaşam sürelerinin, beklenen değeri $\beta$ olan üstel dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu cihazdan rasgele seçilen $n$ adet bileşenin yaşam süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlenmiştir.

Bu bileşenlerin ortalama yaşam süresinin belirli bir $\beta_0$ değerinden daha küçük olup olmadığını araştırmak için $H_0: \beta \geq \beta_0$ yokluk hipotezi, $H_1: \beta < \beta_0$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir.

Buna göre, Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliği ve Karlin-Rubin teoremi dikkate alındığında, bu test için Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi (kritik bölge) aşağıdakilerden hangisi şeklinde olmalıdır?

Bir rüzgâr enerjisi tesisinde çalışan bir mühendis, türbin kanatlarına uygulanan yeni bir aerodinamik malzemenin, standart kanatların bilinen ortalama günlük enerji üretim miktarını ($\mu = 120$ MWh) artırdığını ileri sürmektedir. Bu iddiayı istatistiksel olarak sınamak amacıyla rastgele seçilen türbinlerde $\alpha = 0.05$ anlamlılık düzeyinde sağ kuyruklu bir hipotez testi tasarlanmış ve analiz sonucunda $p$-değeri $0.02$ olarak hesaplanmıştır.

Bu hipotez testi süreci ve kavramları ile ilgili;

I. Hesaplanan $p$-değeri anlamlılık düzeyinden küçük olduğu için yokluk hipotezi ($H_0$) reddedilir; bu karar gerçekte malzemenin üretime bir etkisi yokken var olduğuna hükmetme riskini (I. Tip hata) taşır.
II. Mühendis testin başında anlamlılık düzeyini $\alpha = 0.01$ olarak belirleseydi, testin gücü ($1-\beta$) artacak ve II. Tip hata yapma olasılığı azalacaktı.
III. Test sonucunda bulunan $p$-değeri ($0.02$), yokluk hipotezinin doğru olma olasılığının tam olarak $\%2$ olduğunu ifade etmektedir.
IV. Analizde daha fazla sayıda türbin gözlemlenerek örneklem hacmi büyütülseydi, standart hatanın düşmesiyle birlikte testin gerçek bir üretim artışını yakalayabilme gücü ($1-\beta$) artardı.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Bir kalite kontrol uzmanı, bir üretim bandından rastgele seçilen ürünler arasındaki kusurlu ürün sayısını $X$ rassal değişkeni ile modellemektedir. $X$ rassal değişkeninin alabileceği değerlerin, sıfır hipotezi ($H_0$) ve alternatif hipotez ($H_1$) altındaki olasılık dağılımları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Uzman, örneklemdeki kusurlu ürün sayısının $3$ veya daha fazla olması ($X \geq 3$) durumunda $H_0$ hipotezini reddetmeye karar vermiştir.

Buna göre, kurulan bu hipotez testinin anlamlılık düzeyi ($\alpha$) ve II. tip hata olasılığı ($\beta$) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir fabrikada üretilen elektronik çiplerin kusurlu olma olasılığı $p$'dir. Üretim sürecinin kontrolü için rastgele seçilen çipler tek tek incelenmekte ve ilk kusurlu çip bulunana kadar geçen deneme sayısı $X$ rassal değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu, $x = 1, 2, \dots$ olmak üzere $P(X=x) = (1-p)^{x-1}p$ şeklindedir.

Üretim sürecinde kusur oranının düştüğünü iddia eden bir kalite kontrol uzmanı, $H_0: p \ge 0,5$ yokluk hipotezine karşı $H_1: p < 0,5$ alternatif hipotezini test etmek istemektedir. Uzman, ilk kusurlu çipi bulmak için $3$ veya daha fazla çip incelemesi gerekirse ($X \ge 3$) yokluk hipotezini reddedecektir.

Buna göre, gerçek kusur oranının $p = 0,2$ olması durumunda bu testin gücü kaçtır?

Bir kamu kurumunun insan kaynakları dairesi, personelin iş performansını artırmak amacıyla uygulanan yeni bir eğitim modülünün, kurum içi değerlendirme sınavı ortalama puanını ($\mu$) geçmiş yılların ortalaması olan 70 puandan daha yükseğe taşıdığını öngörmektedir. Bu durumu istatistiksel olarak sınamak için rastgele seçilen bir personel grubuna yeni modül uygulanmıştır. Araştırmacı, $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde $H_0: \mu \leq 70$ hipotezine karşı $H_1: \mu > 70$ hipotezini test etmiş ve analiz sonucunda p-değerini $0,014$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, hipotez testi temel kavramları ve elde edilen sonuçlar bağlamında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, öğrencilerin bir okuma anlama testinden aldıkları puanların normal dağılım gösterdiğini ve kitle varyansının $\sigma^2 = 100$ olduğunu bilmektedir. Öğrencilerin genel ortalamasının $\mu = 70$ olduğu yönündeki $H_0: \mu = 70$ yokluk hipotezi, $H_1: \mu > 70$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir. Bu amaçla $n=25$ öğrenciden oluşan rastgele bir örneklem seçilmiş ve testin red bölgesi $\bar{X} \ge 73$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, öğrencilerin gerçek genel ortalamasının $\mu = 75$ olması durumunda bu testin gücü (power) aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $Z \sim N(0,1)$ standart normal dağılım olmak üzere; $P(Z \le 0,2) = 0,5793$, $P(Z \le 1) = 0,8413$ ve $P(Z \le 1,5) = 0,9332$ değerlerini kullanınız.)

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığında görevli bir denetmen, bir sanayi bölgesindeki fabrikaların atmosfere saldığı ortalama partikül madde miktarının ($\mu$) yasal sınır olan $40 \ \mu\text{g/m}^3$ değerini aşıp aşmadığını istatistiksel olarak test etmek istemektedir. Denetmen, hipotez testinin kurulumu ve özellikleri hakkında aşağıdaki ifadeleri kullanmıştır:

I. Denetmenin kanıtlamak istediği "sınırın aşıldığı" iddiası alternatif hipotezde ($H_1: \mu > 40$) yer almalıdır ve test sonucunda elde edilecek $p$-değeri, yokluk hipotezinin ($H_0$) doğru olma olasılığını gösterir.

II. Örneklem hacmi sabit tutulduğunda, testin anlamlılık düzeyinin ($\alpha$) $0,05$ yerine $0,01$ olarak belirlenmesi, gerçekte yasal sınırı aşan fabrikaların tespit edilememe olasılığını (II. Tip hata) artıracaktır.

III. Testin gücünü ($1-\beta$) artırarak sınırı aşan fabrikaları tespit etme yeteneğini yükseltmek için, örneklem hacmi artırılabilir veya daha büyük bir anlamlılık düzeyi ($\alpha$) seçilebilir.

Buna göre, denetmenin ifadelerinden hangileri istatistiksel olarak doğrudur?

Bir araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu $x \geq 1$ ve $\theta > 0$ için,

olarak verilen Pareto dağılımına sahip bir kitleden $n$ hacimli $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini almıştır.

Bu kitleye ait $\theta$ parametresi için $H_0: \theta \leq \theta_0$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezine karşı test edilmek istenmektedir.

Buna göre, Karlin-Rubin teoremine dayanarak elde edilecek Düzgün En Güçlü (UMP) testin ret bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? ($c$, testin anlamlılık düzeyine bağlı bir sabiti göstermektedir.)

Bir fabrikada üretilen elektronik bileşenlerin dayanım süreleri (saat cinsinden) $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$'in olasılık yoğunluk fonksiyonu $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere şu şekilde verilmiştir:

Bu bileşenlerden rastgele seçilen $n$ hacimli bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, bu dağılım ailesi aşağıdaki istatistiklerden hangisine göre monoton olabilirlik oranına (MLR) sahiptir?

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama biriminde çalışan bir veri analisti, şehir merkezindeki yeni trafik düzenlemesinin günlük ortalama seyahat süresini ($\mu$) eski sistemdeki bilinen ortalama süreye ($\mu_0 = 45$ dakika) göre düşürüp düşürmediğini test etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen araçların seyahat sürelerini kaydederek bir hipotez testi gerçekleştirecektir.

Bu hipotez testi süreci ve temel kavramlar ile ilgili olarak;

I. Analistin araştırma savı olan "yeni düzenleme seyahat süresini düşürmüştür" iddiası, eşitlik durumu içermediği için alternatif hipotez ($H_1: \mu < 45$) olarak formüle edilmelidir.
II. Gerçekte yeni düzenleme seyahat süresini kısaltmış olmasına rağmen, analistin test sonucunda sürenin kısalmadığına (eski sürenin geçerli olduğuna) karar vermesi I. Tip hata ($\alpha$) olarak tanımlanır.
III. Hesaplanan $p$-değerinin, belirlenen anlamlılık düzeyi $\alpha$'dan küçük olması ($p < \alpha$) durumunda yokluk hipotezi ($H_0$) reddedilir ve seyahat süresinin düştüğüne karar verilir.
IV. Örneklem hacmi ($n$) sabitken, analistin I. Tip hata yapma olasılığını ($\alpha$) $0,05$'ten $0,01$'e düşürmesi, II. Tip hata olasılığını ($\beta$) artıracağından testin gücünün ($1-\beta$) azalmasına neden olur.
V. Hesaplanan $p$-değeri, kurulan yokluk hipotezinin ($H_0$) istatistiksel olarak doğru olma olasılığını doğrudan verir.

Buna göre, verilen ifadelerden hangileri doğrudur?

Bir araştırmacı, hassas bir ölçüm cihazındaki sapma hatalarının $X$ rastgele değişkeni ile modellendiğini ve bu değişkenin aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğunu bilmektedir:

Cihazın hata payı parametresini kontrol etmek amacıyla, $n$ birimlik bağımsız bir $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi üzerinden $H_0: \lambda = 1$ yokluk hipotezi, $H_1: \lambda = 2$ alternatif hipotezine karşı test edilecektir.

Buna göre, Neyman-Pearson Lemması kullanılarak elde edilecek en güçlü (Most Powerful) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? ($c$, anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen uygun bir sabittir.)