Hipotez Testleri

Bir sinyal işleme uzmanı, radar sisteminden elde edilen gürültü genliklerinin $x > 0$ ve $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Rayleigh dağılımına uygun olduğunu değerlendirmektedir:

$n$ birimlik bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ kullanılarak $H_0: \theta = \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = \theta_1$ (burada $\theta_1 > \theta_0$ dır) alternatif hipotezini test etmek için Neyman-Pearson Lemması'na göre elde edilen en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, başarı olasılığı $\theta$ olan bir Bernoulli dağılımından $n$ birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem seçmiştir. $H_0: \theta \leq \theta_0$ hipotezine karşı $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezinin test edilmesi planlanmaktadır.

Düzgün En Güçlü (UMP) test teorisi çerçevesinde, bu test süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

$X$ rassal değişkeni $(0, 1)$ aralığında $f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. $\theta$ parametresi için kurulan $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta = 3$ alternatif hipotezine karşı test edilmektedir. Red bölgesi $C = \{x: x > 0,8\}$ olarak belirlendiğine göre, bu test için II. Tip hata ($\beta$) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Ortalaması $0$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan normal dağılımdan alınan $n$ birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olsun. $H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$ alternatif hipotezi test edilmek istenmektedir. Buna göre, bu hipotez testi için $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki düzgün en güçlü (UMP) testin kritik bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir elektronik bileşenin ömrünün ($X$), $\lambda$ parametreli üstel dağılıma ($f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0$) uygun olduğu bilinmektedir. $\lambda$ parametresi hakkında kurulan $H_0: \lambda = 1$ yokluk hipotezine karşılık $H_1: \lambda = 2$ alternatif hipotezini test etmek amacıyla; rastgele seçilen bir bileşenin ömrünün $0,5$ birimden kısa olması ($x < 0,5$) durumunda $H_0$ hipotezinin reddedilmesine karar verilmiştir. Buna göre, bu testin gücü aşağıdakilerden hangisidir? ($e^{-1} \approx 0,37$ ve $e^{-0,5} \approx 0,61$ alınız.)

Bir kamu araştırma kurumunda çalışan istatistikçi, yeni bir tarımsal destek paketinin birim alandaki verimlilik üzerindeki etkisini incelemek amacıyla bir hipotez testi kurgulamıştır. Bu çalışmada sıfır hipotezi ($H_0$), desteğin verimlilik üzerinde bir etkisi olmadığını; alternatif hipotez ($H_1$) ise verimliliğin anlamlı düzeyde arttığını savunmaktadır. İstatistikçi, örneklem verilerini toplamadan önce anlamlılık düzeyini ($\alpha$) 0,05 olarak belirlemiştir.

Bu hipotez testi süreci ve temel kavramlar ile ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir $X$ rassal değişkeninin $[0, \theta]$ aralığında düzgün dağılıma ($U(0, \theta)$) sahip olduğu bilinmektedir. $\theta$ parametresi hakkında kurulan $H_0: \theta = 2$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = 4$ alternatif hipotezi, tek bir gözlem ($n=1$) kullanılarak $C = \{x : x > 1,6\}$ kritik bölgesi (red bölgesi) ile test edilmektedir. Buna göre, bu testin gücü kaçtır?

Bir üretim bandından rastgele seçilen $2$ adet ürünün kalite kontrolü yapılmaktadır. Ürünlerin kusurlu olma olasılığı $p$ ile gösterilmek üzere, hipotezler $H_0: p = 0,4$ ve $H_1: p = 0,6$ şeklinde belirlenmiştir. Araştırmacı, seçilen her iki ürünün de kusurlu çıkması durumunda $H_0$ hipotezini reddetmeye karar vermiştir. Buna göre, bu testin anlamlılık düzeyi ($\alpha$) ve testin gücü ($1 - \beta$) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu araştırma projesinde incelenen bir sürecin $f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, x > 0$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir üstel dağılımdan geldiği varsayılmaktadır. $\theta$ parametresi için kurulan $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = 2$ alternatif hipotezi, $x \leq 0,5$ ise $H_0$ reddedilir karar kuralı ile test edilmektedir. Buna göre, bu test sürecinde gerçekleşecek II. Tip hata ($\beta$) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kalite kontrol sürecinde, bir makinenin ürettiği parçaların kusurlu olma olasılığı $p$ parametresi ile modellenmektedir. Rastgele seçilen $n$ adet parça incelenmiş ve $X_1, X_2, \dots, X_n$ gözlemleri elde edilmiştir ($X_i \in \{0, 1\}$).

$p_1 > p_0$ olduğu bilindiğine göre;
$H_0: p = p_0$
$H_1: p = p_1$

hipotezlerini test etmek için Neyman-Pearson Lemması kullanılarak oluşturulan en güçlü (most powerful) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumundaki veri giriş uzmanlarının saatlik yaptıkları hata sayısı $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. $\lambda$ parametresi için $H_0: \lambda = 1$ hipotezine karşı $H_1: \lambda = 2$ alternatif hipotezi test edilmek istenmektedir. Testin kritik bölgesi (red bölgesi) tek bir gözlem ($n=1$) için $X \geq 2$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

Bir elektronik bileşenin ömrü ($X$), biçim parametresi $\alpha = 3$ (biliniyor) ve ölçek parametresi $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir Gamma dağılımına uymaktadır:

Bileşenlerin ortalama ömrünün hedeflenen bir $\theta_0$ değerinden daha düşük olup olmadığını test etmek amacıyla $H_0: \theta \geq \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta < \theta_0$ alternatif hipotezi kurulmuştur. $n$ birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem için bu testin düzgün en güçlü (UMP) reddetme bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kalite kontrol mühendisi, bir üretim hattından rastgele seçilen ürünlerin 'kusurlu' (1) veya 'kusursuz' (0) olma durumlarını $p \in (0, 1)$ parametreli Bernoulli dağılımı ile modellemektedir. Mühendis, $n$ birimlik bir örneklem ($X_1, X_2, \dots, X_n$) kullanarak kusur oranı üzerine hipotez testi yapacaktır. Buna göre, bu dağılım ailesi için olabilirlik oranının $p$ parametresine göre monoton artan olduğu yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?