Karar Ağaçları Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir yatırımcı, iki farklı proje (A ve B) arasından seçim yapacaktır. A projesinin başlangıç maliyeti $40.000$ TL, B projesinin ise $60.000$ TL'dir. Gelecekteki pazar durumunun "başarılı" olma olasılığı $0,60$ ve "başarısız" olma olasılığı $0,40$ olarak belirlenmiştir. Projelerin pazar durumuna göre tahmini brüt gelirleri şu şekildedir:

* A Projesi: Başarılı durumda $120.000$ TL, başarısız durumda $50.000$ TL.
* B Projesi: Başarılı durumda $180.000$ TL, başarısız durumda $70.000$ TL.

Karar ağacı analizi ve beklenen parasal değer (EMV) ölçütüne göre, en iyi stratejinin beklenen net değeri kaç TL'dir?

52.000

54.000

76.000

136.000

65.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76.000

Cevap

En iyi stratejinin beklenen net değeri 76.000 TL'dir.

Doğru cevap, B seçeneğinin sunduğu 76.000 TL'dir. B projesi için başarılı olma olasılığı ile başarılı getirisinin (

180.000 \times 0,60 = 108.000

) ve başarısız olma olasılığı ile başarısız getirisinin (

70.000 \times 0,40 = 28.000

) toplamı olan

136.000

TL'den, projenin

60.000

TL'lik maliyeti çıkarıldığında en yüksek net beklenen değer elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A projesinin beklenen net değerini hesapla.

EMV(A) = (120.000 \times 0,60 + 50.000 \times 0,40) - 40.000 = 92.000 - 40.000 = 52.000

TL

Karar ağacındaki ilk alternatifin risk altındaki ağırlıklı ortalama getirisini bulmak için.

2

B projesinin beklenen net değerini hesapla.

EMV(B) = (180.000 \times 0,60 + 70.000 \times 0,40) - 60.000 = 136.000 - 60.000 = 76.000

TL

İkinci alternatifin risk altındaki ağırlıklı ortalama getirisini bulmak için.

3

Alternatifler arasından en yüksek değeri seç.

76.000 > 52.000

olduğu için B projesi seçilir.

Beklenen parasal değer ölçütü, net kazancı maksimize eden alternatifi tercih etmeyi gerektirir.

Anahtar Kavram

Karar ağaçlarında beklenen parasal değer (EMV) hesaplanırken, şans düğümlerinden gelen olasılıklarla getiriler çarpılır ve başlangıçtaki karar maliyetleri netleştirilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir kamu kurumu, bölgesel ulaşımı rahatlatmak amacıyla yeni bir köprü inşa etme veya mevcut yolları genişletme seçeneklerini değerlendirmektedir. Yeni köprü inşasının maliyeti $20.000.000$ TL, yolları genişletmenin maliyeti ise $5.000.000$ TL'dir. Gelecek dönemde trafik yoğunluğunun artma olasılığı $0,70$ , durağan kalma olasılığı ise $0,30$ olarak tahmin edilmektedir. Yeni köprü durumunda trafik artarsa $50.000.000$ TL, durağan kalırsa $20.000.000$ TL ekonomik fayda elde edilecektir. Yolları genişletme durumunda ise trafik artarsa $30.000.000$ TL, durağan kalırsa $15.000.000$ TL ekonomik fayda elde edilecektir. Beklenen parasal değer (BPD) kriterine göre, kurumun elde edebileceği maksimum beklenen fayda kaç TL'dir?

21.000.000

20.500.000

41.000.000

30.000.000

9.000.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $21.000.000$

Cevap

Maksimum beklenen fayda, yeni köprü seçeneğinin hesaplanan değeri olan

21.000.000

TL'dir.

Yeni köprü seçeneğinin beklenen ekonomik faydası (

21.000.000

TL), yolları genişletme seçeneğinin beklenen faydasından (

20.500.000

TL) daha yüksektir. Karar ağacı analizinde her bir dalın beklenen değeri hesaplanırken, şans düğümlerinden gelen ağırlıklı ortalamadan başlangıç maliyetleri çıkarılır. Bu durumda en yüksek değeri veren seçenek optimal karardır.

Adım Adım Çözüm

1

Yeni köprü seçeneği için beklenen parasal değeri (BPD) hesapla.

BPD_{\text{Köprü}} = (0,70 \times 50.000.000 + 0,30 \times 20.000.000) - 20.000.000 = 41.000.000 - 20.000.000 = 21.000.000

TL

Şans düğümündeki olası sonuçlar olasılıklarıyla çarpılır ve toplamdan ilgili karar dalının maliyeti çıkarılır.

2

Yolları genişletme seçeneği için beklenen parasal değeri (BPD) hesapla.

BPD_{\text{Genişletme}} = (0,70 \times 30.000.000 + 0,30 \times 15.000.000) - 5.000.000 = 25.500.000 - 5.000.000 = 20.500.000

TL

Karşılaştırma yapabilmek için tüm karar alternatiflerinin beklenen değerleri aynı yöntemle hesaplanmalıdır.

3

Hesaplanan değerleri karşılaştır ve maksimum olanı seç.

21.000.000 > 20.500.000

Rasyonal karar verici, beklenen kârı veya faydayı maksimize eden alternatifi seçer.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (EMV) Karar Kriteri

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumu, veri işleme kapasitesini artırmak amacıyla iki farklı teknolojik altyapı stratejisi üzerinde durmaktadır. Kurumun önündeki seçenekler ve olası sonuçlar aşağıda verilmiştir:

1. Özel Yazılım Geliştirme: Başlangıç maliyeti $500.000$ TL'dir. Yazılımın yüksek performans gösterme olasılığı $0,60$ olup bu durumda $1.200.000$ TL fayda sağlanacaktır. Düşük performans gösterme olasılığı $0,40$ olup bu durumda sağlanacak fayda $400.000$ TL'dir.

2. Hazır Çözüm Satın Alma: Başlangıç maliyeti $300.000$ TL'dir. Yazılımın sistemle tam uyumlu olma olasılığı $0,70$ olup bu durumda $800.000$ TL fayda sağlanacaktır. Kısmi uyumlu olma olasılığı $0,30$ olup bu durumda sağlanacak fayda $500.000$ TL'dir.

Beklenen parasal değer (BPD) kriterine göre, kurum için en uygun strateji ve bu stratejinin beklenen net faydası aşağıdakilerden hangisidir?

Hazır Çözüm Satın Alma;

410.000

TL

Özel Yazılım Geliştirme;

380.000

TL

Hazır Çözüm Satın Alma;

710.000

TL

Özel Yazılım Geliştirme;

880.000

TL

Hazır Çözüm Satın Alma;

350.000

TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hazır Çözüm Satın Alma; $410.000$ TL

Cevap

Hazır Çözüm Satın Alma stratejisi,

410.000

TL beklenen net fayda ile optimal seçenektir.

Hazır çözüm seçeneği hesaplandığında

410.000

TL net beklenen değer üretirken, özel yazılım seçeneği

380.000

TL değer üretmektedir. En yüksek beklenen parasal değere sahip seçenek optimaldir.

Adım Adım Çözüm

1

Özel Yazılım Geliştirme seçeneğinin beklenen brüt faydasını hesaplayın.

BPD_{brüt} = (0,60 \times 1.200.000) + (0,40 \times 400.000) = 720.000 + 160.000 = 880.000

TL

Şans düğümündeki olası sonuçların ağırlıklı ortalamasını bulmak için.

2

Özel Yazılım Geliştirme seçeneğinin beklenen net faydasını hesaplayın.

BPD_{net} = 880.000 - 500.000 = 380.000

TL

Net faydayı bulmak için yatırım maliyetini brüt değerden çıkarmak gerekir.

3

Hazır Çözüm Satın Alma seçeneğinin beklenen brüt faydasını hesaplayın.

BPD_{brüt} = (0,70 \times 800.000) + (0,30 \times 500.000) = 560.000 + 150.000 = 710.000

TL

İkinci alternatifin beklenen performans değerini belirlemek için.

4

Hazır Çözüm Satın Alma seçeneğinin beklenen net faydasını hesaplayın.

BPD_{net} = 710.000 - 300.000 = 410.000

TL

Net faydayı bulmak için yatırım maliyetini brüt değerden çıkarmak gerekir.

5

Sonuçları karşılaştırarak karar verin.

410.000 > 380.000

Karar verici, beklenen net faydası en yüksek olan alternatifi seçmelidir.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (BPD) ve Karar Düğümü Analizi

Soru 4Soru →

Bir kamu kuruluşu, yeni bir sosyal hizmet projesinin beklenen getirisini analiz etmek için karar ağacı yöntemini kullanmaktadır. Projenin 'Yüksek Talep' görme olasılığı $\%60$ olup bu durumda kurumun elde edeceği getiri $400.000$ TL, 'Düşük Talep' görme olasılığı $\%40$ olup bu durumda elde edeceği getiri $150.000$ TL olarak tahmin edilmiştir. Buna göre, bu projenin beklenen parasal değeri (BPD) kaç TL'dir?

300.000

275.000

250.000

240.000

310.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $300.000$

Cevap

Projenin beklenen parasal değeri

300.000

TL'dir.

Doğru cevap olan 300.000 değeri, yüksek talep olasılığı olan 0,60 ile bu durumdaki getiri olan 400.000'in çarpımı (240.000) ile düşük talep olasılığı olan 0,40 ile bu durumdaki getiri olan 150.000'in çarpımının (60.000) toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılıkları ve getirileri tanımla.

P_{yüksek} = 0,60

,

G_{yüksek} = 400.000

TL;

P_{düşük} = 0,40

,

G_{düşük} = 150.000

TL.

Karar ağacı analizinde her bir dalın olasılık ve çıktı değerleri belirlenmelidir.

2

Beklenen Parasal Değer (BPD) formülünü uygula.

BPD = (P_{yüksek} \times G_{yüksek}) + (P_{düşük} \times G_{düşük})

Bir şans düğümünün değeri, o düğümden çıkan dalların beklenen değerlerinin toplamına eşittir.

3

Hesaplamayı gerçekleştir.

(0,60 \times 400.000) + (0,40 \times 150.000) = 240.000 + 60.000 = 300.000

Çarpma ve toplama işlemleriyle nihai beklenen değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Karar ağaçlarında şans düğümlerinin değerini belirlemek için Beklenen Parasal Değer (BPD) kriteri kullanılır.

Tahmini Süre:45s

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumu, yeni bir yatırım projesini değerlendirmek üzere karar ağacı analizi yapmaktadır. Yapılan teknik analizler sonucunda projenin başarılı olma olasılığı $\%60$ , başarısız olma olasılığı ise $\%40$ olarak tahmin edilmiştir. Projenin başarılı olması durumunda $200.000$ TL kar elde edileceği, başarısız olması durumunda ise $50.000$ TL zarar edileceği öngörülmektedir. Buna göre, bu yatırım projesinin beklenen parasal değeri (BPD) kaç TL'dir?

50.000

100.000

120.000

140.000

150.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100.000

Cevap

Yatırım projesinin beklenen parasal değeri 100.000 TL olarak hesaplanır.

Beklenen parasal değer hesaplanırken, projenin başarılı olma olasılığı ile elde edilecek kar çarpılır (

0,60 \times 200.000 = 120.000

) ve başarısız olma olasılığı ile edilecek zarar çarpılır (

0,40 \times -50.000 = -20.000

). Bu iki değerin toplamı (

120.000 - 20.000 = 100.000

) projenin beklenen değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılıkları ve getirileri tanımlama

P(\text{Başarı}) = 0,60

,

\text{Kar} = 200.000

TL;

P(\text{Başarısızlık}) = 0,40

,

\text{Zarar} = -50.000

TL

Beklenen değer hesabı için her bir durumun gerçekleşme olasılığı ve bu durumun parasal sonucu belirlenmelidir.

2

Beklenen Parasal Değer (BPD) formülünü uygulama

\text{BPD} = (0,60 \times 200.000) + (0,40 \times -50.000)

BPD, olası tüm sonuçların kendi olasılıkları ile çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

3

Hesaplamayı tamamlama

\text{BPD} = 120.000 - 20.000 = 100.000

TL

Bileşenlerin çarpımı ve ardından cebirsel toplamı ile nihai beklenen değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (EMV) Hesaplaması

İpuçları

1

Beklenen değer, sonuçların gerçekleşme olasılıklarıyla ağırlıklı ortalamasıdır.

2

Zarar edilen durumların değerini formüle negatif işaretle

(-)

dahil etmeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Farklı olasılıklar altında karar ağacındaki şans düğümlerinin beklenen değerlerini hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Bir bölge kalkınma ajansı, sürdürülebilir tarım çalışmaları kapsamında yeni bir sulama projesini değerlendirmektedir. Projenin net ekonomik faydası, gelecek dönemdeki iklim koşullarına (yağış durumuna) bağlıdır. Yapılan tahminlere göre, yağışın normalden fazla olması (bol yağış) olasılığı $0,40$ ; normalden az olması (yetersiz yağış) olasılığı ise $0,60$ olarak belirlenmiştir. Bol yağış durumunda projenin beklenen net faydası $500.000$ TL, yetersiz yağış durumunda ise $200.000$ TL olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, karar ağacı analizi çerçevesinde bu projenin beklenen parasal değeri (BPD) kaç TL'dir?

320.000

350.000

380.000

300.000

200.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 320.000

Cevap

Projenin beklenen parasal değeri 320.000 TL'dir.

Karar ağaçlarında şans düğümlerinden (daire) çıkan dalların beklenen değeri, o dallardaki getirilerin gerçekleşme olasılıkları ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur. Bu soruda

0,40

olasılıkla

500.000

TL ve

0,60

olasılıkla

200.000

TL getirileri toplandığında

320.000

TL sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğa durumları için olasılıkları ve bunlara karşılık gelen getirileri belirleyin.

Bol Yağış:

P_1 = 0,40

, Fayda:

500.000

TL; Yetersiz Yağış:

P_2 = 0,60

, Fayda:

200.000

TL.

Beklenen değer hesaplaması için her durumun olasılığı ve sonucu bilinmelidir.

2

Her bir doğa durumunun getirisi ile olasılığını çarparak beklenen değer bileşenlerini hesaplayın.

0,40 \times 500.000 = 200.000

TL ve

0,60 \times 200.000 = 120.000

TL.

Ağırlıklı ortalama mantığına göre her durumun toplam değere katkısı hesaplanır.

3

Elde edilen değerleri toplayarak projenin toplam beklenen parasal değerini (BPD) bulun.

200.000 + 120.000 = 320.000

TL.

Beklenen değer, tüm olası sonuçların olasılık ağırlıklı toplamıdır.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (BPD) / Expected Monetary Value (EMV)

İpuçları

1

Beklenen değer, sonuçların gerçekleşme olasılıklarıyla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır.

2

Her bir olasılığı ilgili getiriyle çarpın (

0,40

ile

500.000

'i,

0,60

ile

200.000

'i) ve sonuçları toplayın.

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Ticaret Bakanlığı, bir sınır kapısında "Akıllı Gümrük Tarama Sistemi" kurmak için üç farklı stratejiyi değerlendirmektedir. Gelecek 5 yıldaki ticaret hacminin $\%60$ olasılıkla "Yüksek", $\%40$ olasılıkla "Düşük" gerçekleşmesi beklenmektedir.

Seçenekler ve finansal veriler (milyon TL cinsinden bugünkü değer olarak) aşağıda verilmiştir:

* Strateji I (Tam Kapsamlı Sistem): İlk kuruluş maliyeti $120$ 'dir. Sistem, yüksek hacimde $300$ , düşük hacimde ise $100$ brüt gelir sağlayacaktır.
* Strateji II (Mevcut Durum): İlk yatırım maliyeti yoktur ( $0$ ). Yüksek hacimde $80$ brüt gelir elde edilir ancak kapasite aşımı nedeniyle $50$ ceza maliyeti oluşur. Düşük hacimde ise $60$ brüt gelir elde edilir ve ceza oluşmaz.
* Strateji III (Modüler Sistem): İlk kuruluş maliyeti $50$ 'dir.
* Hacim düşük gerçekleşirse, sistem mevcut haliyle çalışmaya devam eder ve $100$ brüt gelir sağlar.
* Hacim yüksek gerçekleşirse, kurum ikinci bir karar aşamasına gelir: Sistemi genişletmek veya mevcut haliyle bırakmak.
* Genişletme kararı alınırsa: $90$ ek yatırım maliyeti gerekir ve $300$ brüt gelir elde edilir.
* Genişletmeme kararı alınırsa: Ek yatırım gerekmez, $150$ brüt gelir elde edilir ancak kapasite yetersizliğinden dolayı $40$ ceza maliyeti oluşur.

Kurum, bu karar problemi için beklenen parasal değer (EMV) yaklaşımını kullanarak geriye doğru (backward induction) analiz yapmaktadır.

Buna göre, karar vericinin ticaret hacmi hakkındaki belirsizliği tamamen ortadan kaldıracak mükemmel bir pazar araştırmasına ödemeye razı olacağı en yüksek tutar (Tam Bilginin Beklenen Değeri - EVPI) kaç milyon TL'dir?

*(Not: Tüm hesaplamalar net fayda = brüt gelir - tüm maliyetler - cezalar şeklinde yapılmalıdır.)*

12

16

24

32

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

Doğru cevap 16'dır. Problemin çözümünde öncelikle tüm terminal uçlardaki net faydalar maliyetler ve cezalar düşülerek bulunmalıdır. Strateji III'ün yüksek hacim durumundaki sıralı kararı için

\max(300-90-50, 150-40-50) = \max(160, 60) = 160

değeri geriye doğru hesaplanır. Stratejilerin Beklenen Parasal Değerleri (EMV) sırasıyla:

EMV_I = 100

,

EMV_{II} = 42

,

EMV_{III} = 116

bulunur. En iyi mevcut strateji EMV'si

116

'dır. Tam bilgiye sahip olunduğu durumda (EVwPI), yüksek hacim için en iyi seçenek Strateji I (

180

), düşük hacim için en iyi seçenek Strateji II (

60

) olur.

EVwPI = 0.6 \times 180 + 0.4 \times 60 = 132

. Tam Bilginin Beklenen Değeri

EVPI = EVwPI - \text{Maksimum } EMV = 132 - 116 = 16

milyon TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm stratejiler için olası durumlardaki net faydaları (Net = Brüt Gelir - İlk Maliyet - Ek Maliyet - Ceza) hesapla.

Strateji I: Yüksek = 300 - 120 = 180, Düşük = 100 - 120 = -20.
Strateji II: Yüksek = 80 - 50 = 30, Düşük = 60 - 0 = 60.

Karar ağacının uç noktalarındaki (terminal) ödeme değerlerinin belirlenmesi gerekir.

2

Strateji III için sıralı karar düğümünü (backward induction) çözerek net faydaları belirle.

Düşük hacim net: 100 - 50 = 50.
Yüksek hacimde karar düğümü: Genişlet net = 300 - 90 - 50 = 160. Genişletmeme net = 150 - 40 - 50 = 60.
Maksimum(160, 60) = 160. Yani yüksek hacimde genişletme seçilir ve net değer 160 olur.

İkinci aşamadaki karar verici, kendisi için en yüksek net faydayı sağlayan alternatifi seçecektir.

3

Her bir stratejinin Beklenen Parasal Değerini (EMV) hesapla ve optimum stratejiyi bul.

EMV(I) = 0.6(180) + 0.4(-20) = 108 - 8 = 100.
EMV(II) = 0.6(30) + 0.4(60) = 18 + 24 = 42.
EMV(III) = 0.6(160) + 0.4(50) = 96 + 20 = 116.
Maksimum EMV = 116 (Strateji III).

Belirsizlik altında en iyi mevcut kararın (araştırma yapılmadan önceki) getirisini bulmak için EMV hesaplanır.

4

Tam Bilgi Altında Beklenen Değeri (EVwPI) hesapla.

Hacim Yüksek ise en iyi seçenek: Maksimum(180, 30, 160) = 180 (Strateji I).
Hacim Düşük ise en iyi seçenek: Maksimum(-20, 60, 50) = 60 (Strateji II).
EVwPI = 0.6(180) + 0.4(60) = 108 + 24 = 132.

Geleceğin kesin olarak bilinmesi durumunda her doğa durumu için en iyi karar verilecektir.

5

Tam Bilginin Beklenen Değerini (EVPI) hesapla.

EVPI = EVwPI - Maksimum EMV = 132 - 116 = 16 milyon TL.

Mükemmel bilgiye ödenecek maksimum tutar, tam bilginin getirdiği ekstra değerdir.

Anahtar Kavram

Karar Ağaçları Analizinde Beklenen Değer ve Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI)

Alternatif Yöntem

EVPI aynı zamanda minimum Beklenen Fırsat Kaybına (EOL) eşittir. EOL matrisi oluşturularak da aynı sonuca ulaşılabilir. Yüksek hacim için maksimum getiri 180, Düşük hacim için 60'tır. Fırsat kayıpları - Yüksek Hacim: [I:0, II:150, III:20]. Düşük Hacim: [I:80, II:0, III:10]. Stratejilerin EOL değerleri:

EOL_I = 0.6(0)+0.4(80)=32

,

EOL_{II} = 0.6(150)+0.4(0)=90

,

EOL_{III} = 0.6(20)+0.4(10)=16

. En küçük EOL değeri 16 olup EVPI'ye eşittir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumu, yeni geliştirdiği bir e-devlet projesini doğrudan tüm ülkede uygulamaya geçirmek ya da iptal etmek konusunda karar verecektir. Projenin ülke genelinde yüksek talep görme olasılığı $0{}60$ ; düşük talep görme olasılığı ise $0{}40$ olarak tahmin edilmektedir.

- Proje tüm ülkede uygulanır ve yüksek talep görürse $100$ milyon TL net fayda elde edilecektir.
- Proje tüm ülkede uygulanır ve düşük talep görürse $50$ milyon TL net zarar oluşacaktır.
- Projenin iptal edilmesi durumunda herhangi bir fayda veya zarar oluşmayacaktır ( $0$ TL).

Kurum, nihai kararını vermeden önce $1$ milyon TL maliyetle projeyi belirli bir pilot bölgede test etme seçeneğine sahiptir. Pilot uygulamanın 'başarılı' veya 'başarısız' sonuçlanmasına göre pazar talebi olasılıkları güncellenmektedir. Kurum uzmanlarının yaptığı çalışmalara göre:
- Pilot uygulamanın 'Başarılı' sonuçlanma olasılığı $0{}60$ 'tır. Bu durumda, projenin ülke genelinde yüksek talep görme olasılığı $0{}80$ 'e çıkarken, düşük talep görme olasılığı $0{}20$ 'ye düşmektedir.
- Pilot uygulamanın 'Başarısız' sonuçlanma olasılığı $0{}40$ 'tır. Bu durumda, projenin ülke genelinde yüksek talep görme olasılığı $0{}30$ 'a düşerken, düşük talep görme olasılığı $0{}70$ 'e çıkmaktadır.

Buna göre, karar ağacı analizi kullanıldığında bu kurumun beklenen değerini (EMV) maksimize etmesi için izlemesi gereken optimal strateji ve bu stratejinin beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Doğrudan tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 40 milyon TL

Pilot uygulama yapmak ve sadece pilot başarılı olursa tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 41 milyon TL

Pilot uygulama yapmak ve sadece pilot başarılı olursa tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 42 milyon TL

Pilot uygulama yapmak ve pilotun sonucundan bağımsız olarak tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 39 milyon TL

Projeyi doğrudan iptal etmek; 0 milyon TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pilot uygulama yapmak ve sadece pilot başarılı olursa tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 41 milyon TL

Cevap

En uygun strateji 'Pilot uygulama yapmak ve sadece pilot başarılı olursa tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 41 milyon TL' seçeneğidir.

Optimal stratejiyi bulmak için karar ağacını sondan başa doğru (geriye doğru tümevarım) çözmeliyiz. Doğrudan uygulamanın beklenen değeri

40

milyon TL'dir. Pilot test dalında, 'başarılı' senaryoda uygulama yapılarak

70

milyon TL beklenirken, 'başarısız' senaryoda uygulama beklenen zararı (

-5

milyon TL) getireceğinden projeyi iptal etmek (

0

TL) rasyoneldir. Pilot şans düğümünün brüt değeri

(0{}60 \times 70) + (0{}40 \times 0) = 42

milyon TL'dir.

1

milyon TL tutarındaki pilot testi maliyeti düşüldüğünde net beklenen fayda

41

milyon TL bulunur. Bu değer

40

milyon TL'den (doğrudan uygulama) büyük olduğu için en rasyonel strateji pilot test yapıp yalnızca başarılı olursa uygulamaya geçmektir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrudan tüm ülkede uygulama stratejisinin beklenen değerini (EMV) hesaplamak.

EMV = (0{}60 \times 100) + (0{}40 \times -50) = 60 - 20 = 40

milyon TL.

Karar ağacının test edilmeden doğrudan uygulamaya geçilen ilk ana dalının getirisini belirlemek.

2

Pilot testin 'Başarılı' olması durumundaki karar düğümünü değerlendirmek.

Uygulama kararı alınırsa:

(0{}80 \times 100) + (0{}20 \times -50) = 80 - 10 = 70

milyon TL. İptal kararı:

0

TL. Maksimum değer

70

milyon TL olduğu için 'Uygula' seçilir.

Geriye doğru tümevarım prensibiyle uç dallardaki en yüksek faydayı (optimal kararı) bulmak.

3

Pilot testin 'Başarısız' olması durumundaki karar düğümünü değerlendirmek.

Uygulama kararı alınırsa:

(0{}30 \times 100) + (0{}70 \times -50) = 30 - 35 = -5

milyon TL. İptal kararı:

0

TL. Maksimum değer

0

TL olduğu için 'İptal' seçilir.

Kötü senaryoda beklenen zarardan (-5) kaçınmak için iptal (0) seçeneğinin daha rasyonel olduğunu belirlemek.

4

Pilot test stratejisinin brüt ve net beklenen değerini hesaplamak.

Brüt

EMV = (0{}60 \times 70) + (0{}40 \times 0) = 42

milyon TL. Net

EMV = 42 - 1 = 41

milyon TL.

Test aşamasının şans düğümü değerini bulmak ve en başta yapılan test maliyetini bu değerden düşmek.

5

Alternatifleri karşılaştırmak ve optimal stratejiyi belirlemek.

41

milyon TL (Pilot Test)

> 40

milyon TL (Doğrudan Uygulama)

> 0

TL (Doğrudan İptal) olduğundan en uygun karar pilot test yapmaktır.

Kurumun nihai amacının beklenen değeri maksimize etmek olması.

Anahtar Kavram

Karar Ağaçları Analizi ve Beklenen Değer (EMV)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, örneklem bilgisinin beklenen değeri (EVSI) yaklaşımı kullanılabilir. Kusursuz bilginin beklenen değeri (EVPI) veya test sürecinin getirdiği fazladan değer hesaplanarak pilot çalışmanın maliyetine (1 milyon TL) değip değmediği analiz edilebilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 9Soru →

Enerji ve Tabii Kaynaklar Bakanlığı, yeni keşfedilen bir jeotermal alana kurulacak elektrik santralinin yatırım kapasitesini belirlemek için karar ağacı analizi yapmaktadır. Uzmanların yaptığı sismik ve jeolojik etütlere göre, ilgili alanın yüksek rezerve sahip olma olasılığı $\%60$ , düşük rezerve sahip olma olasılığı ise $\%40$ 'tır.

Bakanlığın önündeki seçeneklere ve bu seçeneklerin olası rezerv durumlarına göre sağlayacağı net getirilere (milyon TL) ilişkin tablo aşağıda verilmiştir:

Karar Alternatifi	Yüksek Rezerv ( $P = 0.60$ )	Düşük Rezerv ( $P = 0.40$ )
Yüksek Kapasiteli Santral	$500$	$-100$
Düşük Kapasiteli Santral	$200$	$100$
Yatırım Yapmamak	$0$	$0$

Tabloda yer alan ( $-$ ) işareti net zararı ifade etmektedir.

Buna göre, beklenen parasal değer (EMV) ölçütüne göre Bakanlığın alması gereken en uygun karar ve bu karara ait beklenen getiri değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

260

milyon TL'dir.

Düşük Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

160

milyon TL'dir.

Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

140

milyon TL'dir.

Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

340

milyon TL'dir.

Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

500

milyon TL'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri $260$ milyon TL'dir.

Cevap

Beklenen parasal değere göre en kârlı alternatif olan 'Yüksek Kapasiteli Santral' yatırımı yapılmalıdır ve bu seçeneğin beklenen değeri

260

milyon TL'dir.

Karar ağaçları analizinde her bir karar alternatifinin beklenen parasal değeri (EMV), olası sonuçların getirilerinin kendi gerçekleşme olasılıklarıyla çarpılıp toplanması formülüyle hesaplanır. Yüksek Kapasiteli Santral için EMV:

(0.60 \times 500) + (0.40 \times -100) = 300 - 40 = 260

milyon TL'dir. Düşük Kapasiteli Santral için EMV:

(0.60 \times 200) + (0.40 \times 100) = 120 + 40 = 160

milyon TL'dir. Hiçbir şey yapmamanın değeri

0

TL'dir. En yüksek EMV değeri

260

milyon TL ile Yüksek Kapasiteli Santral seçeneğine ait olduğundan, doğru karar bu yönde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Yüksek Kapasiteli Santral (YKS) için beklenen parasal değeri (EMV) hesapla.

EMV(YKS) = (0.60 × 500) + (0.40 × -100) = 300 - 40 = 260 milyon TL.

Her bir doğa durumunun getirisi ile o durumun gerçekleşme olasılığı çarpılarak toplanır.

2

Düşük Kapasiteli Santral (DKS) için beklenen parasal değeri hesapla.

EMV(DKS) = (0.60 × 200) + (0.40 × 100) = 120 + 40 = 160 milyon TL.

Tüm alternatiflerin beklenen değerleri bulunarak birbirleriyle karşılaştırılabilir hâle getirilmelidir.

3

Yatırım Yapmamak seçeneğinin değerini belirle ve üç alternatifi karşılaştır.

EMV(Yatırım Yok) = 0. Karşılaştırma: 260 > 160 > 0. Seçilen Alternatif: YKS.

Rasyonel bir karar verici risk altında karar verirken beklenen getiriyi maksimize eden seçeneği tercih eder.

Anahtar Kavram

Risk altında karar verme ortamlarında karar ağaçları analizi ve beklenen parasal değer (EMV) ölçütünün kullanılması.

Soru 10Soru →

Büyükşehir Belediyesi, artan atık yönetimi ihtiyacını karşılamak için yeni bir "Entegre Katı Atık Geri Dönüşüm Tesisi" kurma projesini değerlendirmektedir. Karar vericilerin önünde üç temel seçenek bulunmaktadır: Doğrudan tesisi kurmak, tesis kurulumundan önce bir pilot çalışma yapmak veya hiçbir şey yapmamak (projeyi iptal etmek).

Elde edilen finansal ve olasılıksal veriler şöyledir:
- Doğrudan Kurulum: Tesisin yatırım maliyeti $50$ Milyon TL'dir. Tesisin yüksek verimle çalışma (başarılı olma) olasılığı $\%50$ olup, bu durumda elde edilecek faaliyet gelirlerinin bugünkü değeri $150$ Milyon TL olacaktır. Düşük verimle çalışma (başarısız olma) durumunda ise faaliyet gelirlerinin bugünkü değeri $10$ Milyon TL'de kalacaktır.
- Pilot Çalışma: Pilot çalışmanın maliyeti $4$ Milyon TL'dir. Pilot çalışmanın olumlu sonuçlanma olasılığı $\%50$ , olumsuz sonuçlanma olasılığı ise $\%50$ 'dir.
- Eğer pilot çalışma olumlu sonuçlanır ve ardından tesis kurulursa, tesisin başarılı olma olasılığı $\%80$ 'e yükselmektedir.
- Eğer pilot çalışma olumsuz sonuçlanır ve ardından tesis kurulursa, tesisin başarılı olma olasılığı $\%20$ 'ye düşmektedir.
- Tesis Kurulum Kararı: Belediye, pilot çalışmanın sonucu ne olursa olsun tesisi kurup kurmama kararı vermekte serbesttir. Pilot çalışma sonrasında tesis kurulmasına karar verilirse, kurulum maliyeti yine $50$ Milyon TL'dir. Tesis kurulmazsa, herhangi bir gelir elde edilmez ve kurulum maliyetine katlanılmaz (sadece pilot çalışma maliyeti ödenmiş olur).

Karar ağacı analizi ve Beklenen Parasal Değer (EMV) ölçütü kullanılarak optimal karar belirlenecektir.

Buna göre, belediyenin elde edeceği en yüksek Beklenen Parasal Değer (EMV) ve optimal kararı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Pilot çalışma yapmak, EMV = 32 Milyon TL

Doğrudan tesis kurmak, EMV = 30 Milyon TL

Pilot çalışma yapmak, EMV = 36 Milyon TL

Doğrudan tesis kurmak, EMV = 80 Milyon TL

Pilot çalışma yapmak, EMV = 76 Milyon TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pilot çalışma yapmak, EMV = 32 Milyon TL

Cevap

En yüksek Beklenen Parasal Değer (EMV) 32 Milyon TL ile Pilot çalışma yapmak alternatifindedir.

Karar ağacı geriye doğru çözüldüğünde en yüksek beklenen değerin hangi alternatifte olduğu bulunur. Doğrudan kurulumun beklenen net değeri 30 Milyon TL'dir. Pilot çalışma yapılması durumunda, olumsuz bir sonuç gelirse belediye projeyi iptal ederek zararı önleyebilir. Bu iptal seçeneği göz önüne alındığında pilot çalışmanın getireceği şans düğümünün değeri 36 Milyon TL olur. Pilot çalışmanın 4 Milyon TL'lik maliyeti çıkarıldığında net EMV 32 Milyon TL bulunur. 32 > 30 olduğundan optimal karar pilot çalışma yapmaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrudan tesis kurma alternatifinin Beklenen Parasal Değeri (EMV) hesaplanır.

EMV_{Do\breve{g}rudan} = (0.50 \times (150 - 50)) + (0.50 \times (10 - 50)) = (0.50 \times 100) + (0.50 \times -40) = 50 - 20 = 30

Milyon TL.

Yatırım kararlarında faaliyet gelirinden yatırım maliyeti düşülerek net kazanç veya kayıplar üzerinden beklenen değer bulunur.

2

Pilot çalışma sonrasında elde edilen bilgiye göre 'Kur' veya 'Kurma' kararlarının değerleri hesaplanır.

Pilot Olumlu İse: Kurarsak EMV

= (0.80 \times 100) + (0.20 \times -40) = 80 - 8 = 72

Milyon TL. Kurmazsak

0

. Maksimum(72, 0)

= 72

Milyon TL.
Pilot Olumsuz İse: Kurarsak EMV

= (0.20 \times 100) + (0.80 \times -40) = 20 - 32 = -12

Milyon TL. Kurmazsak

0

. Maksimum(-12, 0)

= 0

Milyon TL.

Geriye doğru çözümleme (backward induction) prensibine göre karar düğümlerinde her zaman beklenen değeri en yüksek olan alternatif seçilir. Negatif beklenen değer durumunda zarardan kaçınmak için tesis kurulmaz.

3

Pilot çalışma şans düğümünün değeri ve net Beklenen Parasal Değeri hesaplanır.

Pilot Dalı Brüt EMV

= (0.50 \times 72) + (0.50 \times 0) = 36

Milyon TL. Net EMV

= 36 - 4

(Pilot Maliyeti)

= 32

Milyon TL.

Pilot çalışmanın nihai değerini bulmak için şans düğümündeki beklenen değerden pilot çalışmanın kendi maliyeti çıkarılır.

4

Tüm ana alternatifler karşılaştırılarak optimal karar belirlenir.

Doğrudan Kurulum (

30

Milyon TL), Pilot Çalışma (

32

Milyon TL) ve Hiçbir Şey Yapmamak (

0

Milyon TL) karşılaştırılır. En yüksek değer Pilot Çalışma alternatifindedir.

Beklenen Parasal Değer (EMV) kriterine göre her zaman değeri en yüksek olan seçenek rasyonel karar olarak kabul edilir.

Anahtar Kavram

Karar Ağaçlarında Geriye Doğru Çözüm (Backward Induction) ve Beklenen Parasal Değer (EMV)

Soru 11Soru →

Sağlık Bakanlığı Halk Sağlığı Genel Müdürlüğü, nadir görülen bir hastalık için ülke çapında uygulanacak yeni bir tarama programı stratejisini belirlemek üzere karar ağacı analizi yapmaktadır. Kurumun önünde üç temel seçenek bulunmaktadır:

1. Mevcut Standart Tarama: Kesin olarak $100$ Milyon TL net toplumsal fayda sağlamaktadır.
2. Doğrudan Yapay Zeka (YZ) Destekli Tarama: Başarılı olma olasılığı $\%60$ , başarısız olma olasılığı ise $\%40$ 'tır. Başarılı olursa $300$ Milyon TL fayda sağlayacak, başarısız olursa $-100$ Milyon TL (zarar) getirecektir.
3. Ön Pilot Çalışma Yapılması: $20$ Milyon TL başlangıç maliyetiyle bir pilot bölgede test yapılmasıdır.
- Pilot çalışmanın 'Olumlu' sonuçlanma olasılığı $\%50$ , 'Olumsuz' sonuçlanma olasılığı $\%50$ 'dir.
- Pilot çalışma 'Olumlu' sonuçlanırsa, ardından YZ Destekli Tarama uygulanması durumunda başarı olasılığı $\%90$ 'a çıkmakta (başarısızlık $\%10$ ) olmaktadır.
- Pilot çalışma 'Olumsuz' sonuçlanırsa, ardından YZ Destekli Tarama uygulanması durumunda başarı olasılığı $\%30$ 'a düşmekte (başarısızlık $\%70$ ) olmaktadır.
- Pilot çalışma sonrasında (sonuç ne olursa olsun) kurum, YZ Destekli Tarama ile Mevcut Standart Tarama ( $100$ Milyon TL) arasında nihai kararını verecektir.

Buna göre, beklenen parasal değer (EMV) ölçütüne göre geriye doğru tümevarım (backward induction) uygulandığında, kurumun seçmesi gereken en uygun strateji ve bu stratejinin net EMV değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Pilot çalışma yapılması; Net EMV = 160 Milyon TL

Pilot çalışma yapılması; Net EMV = 180 Milyon TL

Pilot çalışma yapılması; Net EMV = 120 Milyon TL

Doğrudan Yapay Zeka (YZ) destekli taramaya geçilmesi; Net EMV = 140 Milyon TL

Mevcut standart taramaya devam edilmesi; Net EMV = 100 Milyon TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pilot çalışma yapılması; Net EMV = 160 Milyon TL

Cevap

En uygun strateji Pilot çalışma yapılmasıdır ve Net EMV değeri 160 Milyon TL'dir.

Karar ağacı geriye doğru çözüldüğünde; Standart Taramanın EMV'si 100, Doğrudan YZ'nin EMV'si 140'tır. Pilot çalışma dalında ise, 'Olumlu' sonuçta YZ tercih edilerek 260 Milyon TL, 'Olumsuz' sonuçta ise Standart tercih edilerek 100 Milyon TL garanti altına alınır. Bu dalın şans düğümü (0.5*260 + 0.5*100) = 180 Milyon TL değer üretir. 20 Milyon TL'lik pilot test maliyeti çıkarıldığında Net EMV 160 Milyon TL olur. En yüksek beklenen getiri Pilot Çalışma seçeneğindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrudan YZ Destekli Tarama seçeneğinin Beklenen Parasal Değerini (EMV) hesaplamak.

EMV =

(0.6 \times 300) + (0.4 \times -100) = 180 - 40 = 140

Milyon TL.

Şans düğümünde her bir sonucun getirisini kendi olasılığı ile çarparak toplam beklenen değeri buluruz.

2

Pilot çalışmanın 'Olumlu' ve 'Olumsuz' sonuçlanması durumlarındaki 2. aşama karar düğümlerini (Maksimum EMV) belirlemek.

Olumlu dalda:

\max((0.9 \times 300) + (0.1 \times -100), 100) = \max(260, 100) = 260

(YZ seçilir). Olumsuz dalda:

\max((0.3 \times 300) + (0.7 \times -100), 100) = \max(20, 100) = 100

(Standart seçilir).

Karar düğümlerinde (kare düğümler), karar verici alternatifler arasından en yüksek EMV'ye sahip olanı rasyonel olarak tercih eder.

3

Pilot çalışmanın ana şans düğümünün beklenen değerini hesaplayıp başlangıç maliyetini düşerek net EMV'yi bulmak.

Beklenen Değer =

(0.5 \times 260) + (0.5 \times 100) = 130 + 50 = 180

Milyon TL. Net EMV =

180 - 20 = 160

Milyon TL.

Pilot çalışmanın her iki dalının optimum getirileri kendi olasılıklarıyla çarpılır ve stratejinin net değerini bulmak için pilot çalışma maliyeti sonuçtan çıkarılır.

4

Başlangıçtaki üç ana alternatifin EMV değerlerini karşılaştırarak en uygun stratejiyi seçmek.

\max(100, 140, 160) = 160

. En yüksek değer Pilot Çalışma seçeneğine aittir.

Geriye doğru tümevarım kuralına göre kök karar düğümünde EMV'si en büyük olan alternatif nihai karar olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Karar Ağaçlarında Geriye Doğru Tümevarım (Backward Induction) ve Beklenen Değer

Karar Ağaçları Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar