Karma Tamsayılı Programlama Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir üretim tesisinde, belirli bir ürünün üretilmesi için öncelikle $25.000$ TL tutarında bir hazırlık (setup) maliyetine katlanılması gerekmektedir. Hazırlık yapıldıktan sonra üretilen her birim ürünün değişken maliyeti $150$ TL'dir. Tesisin bu ürün için üretim kapasitesi en fazla $2.000$ birimdir.

$x$ : Üretilen ürün miktarı (sürekli değişken)
$y$ : Üretim kararı ( $y=1$ ise üretim yapılacak, $y=0$ ise yapılmayacak)

Buna göre, bu üretim sürecindeki toplam maliyeti minimize etmeyi amaçlayan ve kapasite kısıtını içeren en uygun karma tamsayılı programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

Min \ Z = 25.000y + 150x

; Kısıt:

x \leq 2.000y

,

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

Min \ Z = 25.000 + 150x

; Kısıt:

x \leq 2.000

,

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

Min \ Z = 25.000y + 150x

; Kısıt:

x \geq 2.000y

,

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

Min \ Z = 150y + 25.000x

; Kısıt:

x \leq 2.000y

,

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

Min \ Z = 25.000y + 150x

; Kısıt:

x \leq 2.000y

,

x \geq 0, 0 \leq y \leq 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Min \ Z = 25.000y + 150x$ ; Kısıt: $x \leq 2.000y$ , $x \geq 0, y \in \{0, 1\}$

Cevap

Toplam maliyet fonksiyonunun hazırlık maliyetini ikili değişkenle, değişken maliyeti miktar değişkeniyle ifade ettiği ve kapasite kısıtının miktarı ikili değişkene bağladığı model doğrudur.

Doğru modelde, hazırlık maliyeti (

25.000

) sadece üretim yapıldığında (

y=1

) devreye girer. Ayrıca kapasite kısıtı olan

x \leq 2.000y

, üretim kararı verilmediğinde (

y=0

) üretim miktarını (

x

) sıfıra zorlayarak mantıksal tutarlılığı sağlar. Bu yapı hem sürekli (

x

) hem de tamsayılı (

y

) değişkenleri içerdiği için karma tamsayılı bir modeldir.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu belirleme

Z = 25.000y + 150x

Üretim kararı verilirse (

y=1

) sabit maliyet oluşur, aksi halde (

y=0

) oluşmaz. Değişken maliyet ise üretilen her birim (

x

) için eklenir.

2

Kapasite kısıtını kurma

x \leq 2.000y

Eğer

y=0

ise üretim miktarı

x = 0

olmalıdır. Eğer

y=1

ise

x

değeri kapasite sınırı olan

2.000

birime kadar çıkabilir.

3

Değişken tiplerini tanımlama

x \geq 0

(Sürekli),

y \in \{0, 1\}

(İkili/Binary)

Üretim miktarı süreklilik arz ederken, üretim kararı 'evet' veya 'hayır' şeklinde kesikli bir karardır.

Anahtar Kavram

Sabit Hazırlık Maliyetli Modeller (Fixed Charge Models)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir işletme $A$ ve $B$ ürünlerini üretmeyi planlamaktadır. $x_A$ ve $x_B$ sırasıyla bu ürünlerin üretim miktarlarını (sürekli değişken), $y_A$ ve $y_B$ ise bu ürünlerin üretilip üretilmeme kararını ( $1$ : üretiliyor, $0$ : üretilmiyor) temsil eden ikili (binary) değişkenlerdir.

Ürünlere ait maliyet ve kapasite bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ürün	Sabit Kurulum Maliyeti (TL)	Birim Değişken Maliyet (TL)	Maksimum Kapasite (Birim)
A	$5.000$	$20$	$1.000$
B	$3.000$	$15$	$800$

İşletme politikası gereği, ** $B$ ürününün üretilebilmesi için $A$ ürününün de mutlaka üretiliyor olması** gerekmektedir.

Bu işletmenin toplam maliyetini minimize eden amaç fonksiyonu ve belirtilen kısıtları içeren karma tamsayılı programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\min Z = 5000y_A + 20x_A + 3000y_B + 15x_B

x_A \leq 1000y_A

x_B \leq 800y_B

y_B \leq y_A

\min Z = 5000y_A + 20x_A + 3000y_B + 15x_B

x_A \leq 1000y_A

x_B \leq 800y_B

y_A \leq y_B

\min Z = 5000 + 20x_A + 3000 + 15x_B

x_A \leq 1000

x_B \leq 800

y_B \leq y_A

\min Z = 5000y_A + 20x_A + 3000y_B + 15x_B

x_A \leq 1000y_A

x_B \leq 800y_B

y_A + y_B \leq 1

\min Z = 5000y_A + 20x_A + 3000y_B + 15x_B

y_A \leq 1000x_A

y_B \leq 800x_B

y_B \leq y_A

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\min Z = 5000y_A + 20x_A + 3000y_B + 15x_B$
$x_A \leq 1000y_A$
$x_B \leq 800y_B$
$y_B \leq y_A$

Cevap

Toplam maliyeti minimize eden amaç fonksiyonu ile kapasite ve bağımlılık mantığını doğru kuran model seçilmelidir.

Doğru modelde, amaç fonksiyonu hem sabit hem de değişken maliyetleri içerir. Kapasite kısıtları (

x \leq My

), üretimin yapılmadığı durumda sürekli değişkenin değerini sıfıra zorlar. Mantıksal bağımlılık kısıtı olan

y_B \leq y_A

, eğer

y_B=1

ise

y_A

'nın

0

olamayacağını (mutlaka

1

olması gerektiğini) garanti altına alır.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunun oluşturulması

\min Z = 5000y_A + 20x_A + 3000y_B + 15x_B

Sabit maliyetler ancak üretim kararı (

y=1

) verildiğinde maliyete eklenmelidir.

2

Sabit maliyet (kapasite) kısıtlarının yazılması

x_A \leq 1000y_A

ve

x_B \leq 800y_B

Eğer üretim yapılmıyorsa (

y=0

), üretim miktarının (

x

) da 0 olmasını sağlar; üretim yapılıyorsa kapasite üst sınırını belirler.

3

Koşullu mantıksal kısıtın eklenmesi

y_B \leq y_A

"B için A şart" ifadesi,

y_B=1

olduğunda

y_A

'nın da

1

olmasını zorunlu kılar.

Anahtar Kavram

Sabit maliyetli problemler ve koşullu mantıksal kısıtların karma tamsayılı programlamada modellenmesi.

Daha Fazla Pratik

Mantıksal kısıtları 'ya A ya da B' (either-or) senaryoları üzerinde çalışarak pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir yerel yönetim, iki farklı bölgeden (Bölge A ve Bölge B) en fazla birinde yeni bir atık geri dönüşüm tesisi kurmayı planlamaktadır. Tesislere dair maliyet ve kapasite verileri aşağıda sunulmuştur:

Parametre	Bölge A	Bölge B
Sabit Kurulum Maliyeti	$1.000.000$ TL	$1.500.000$ TL
Ton Başına İşletme Maliyeti	$50$ TL	$40$ TL
Maksimum Kapasite (Ton)	$5.000$	$7.000$

Belediyenin toplamda en az $4.000$ ton atık işlemesi gerekmektedir. İşlenen atık miktarı ton cinsinden süreklilik gösterebilmektedir. $x_A, x_B \geq 0$ işlenen atık miktarını; $y_A, y_B \in \{0, 1\}$ ise tesisin kurulma durumunu ( $1$ : kuruldu, $0$ : kurulmadı) temsil etmektedir.

Buna göre, toplam maliyeti minimize eden doğru karma tamsayılı programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\min Z = 1.000.000y_A + 1.500.000y_B + 50x_A + 40x_B

x_A + x_B \geq 4.000

x_A \leq 5.000y_A

x_B \leq 7.000y_B

y_A + y_B \leq 1

x_A, x_B \geq 0; y_A, y_B \in \{0, 1\}

\min Z = 1.000.000y_A + 1.500.000y_B + 50x_A + 40x_B

x_A + x_B \geq 4.000

x_A \leq 5.000y_A

x_B \leq 7.000y_B

y_A + y_B = 1

x_A, x_B \geq 0; y_A, y_B \in \{0, 1\}

\min Z = 50x_A + 40x_B

x_A + x_B \geq 4.000

x_A \leq 5.000

x_B \leq 7.000

x_A, x_B \geq 0

(tamsayı)

\min Z = 1.000.000y_A + 1.500.000y_B + 50x_A + 40x_B

x_A + x_B \leq 4.000

x_A \leq 5.000y_A

x_B \leq 7.000y_B

y_A + y_B \geq 1

x_A, x_B \geq 0; y_A, y_B \in \{0, 1\}

\min Z = 1.000.000x_A + 1.500.000x_B

x_A + x_B \geq 4.000

x_A, x_B \in \{0, 1\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\min Z = 1.000.000y_A + 1.500.000y_B + 50x_A + 40x_B$
$x_A + x_B \geq 4.000$
$x_A \leq 5.000y_A$
$x_B \leq 7.000y_B$
$y_A + y_B \leq 1$
$x_A, x_B \geq 0; y_A, y_B \in \{0, 1\}$

Cevap

Doğru model, amaç fonksiyonunda hem sabit maliyetleri (

1.000.000y_A + 1.500.000y_B

) hem de değişken maliyetleri (

50x_A + 40x_B

) toplayan, kurulum yapılmadığında üretimi engelleyen (

x \leq Ky

) ve tesis seçimini 'en fazla bir' (

y_A + y_B \leq 1

) olarak sınırlayan yapıdır.

Karma tamsayılı programlama modellerinde, bir aktivitenin gerçekleşmesi (tesis kurulması gibi) bir 'evet/hayır' kararı gerektirir ve bu karar değişkeni (

y

) ile süreklilik arz eden miktar değişkeni (

x

) birbirine

x \leq K \cdot y

eşitsizliği ile bağlanır. Doğru cevapta hem bu mantıksal bağ kurulmuş, hem de maliyet fonksiyonu ve seçim kısıtlaması doğru ifade edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunun oluşturulması

\min Z = 1.000.000y_A + 1.500.000y_B + 50x_A + 40x_B

Toplam maliyet, tesisin açılması durumunda katlanılan sabit maliyet ile her bir ton atık için oluşan değişken maliyetin toplamıdır.

2

Talep ve kapasite kısıtlarının tanımlanması

x_A + x_B \geq 4.000

;

x_A \leq 5.000y_A

;

x_B \leq 7.000y_B

En az

4.000

ton işlenmesi gerekir. Ayrıca

y=0

ise

x=0

olmasını sağlayan mantıksal bağlantı kurulmalıdır.

3

Seçim ve değişken türü kısıtlarının eklenmesi

y_A + y_B \leq 1

;

y \in \{0, 1\}

;

x \geq 0

'En fazla bir' ifadesi toplamın

1

veya

0

olabileceğini gösterir. Miktarlar sürekli, seçimler ise kesiklidir (binary).

Anahtar Kavram

Sabit Maliyetli Karma Tamsayılı Modelleme (Fixed Charge Problem)

Daha Fazla Pratik

Mantıksal kısıtlardan 'Bağımlı Kararlar' (A seçilirse B de seçilmeli) durumunun modellemesini inceleyin.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Kamuya ait bir enerji üretim santralinin günlük operasyon maliyetlerini minimize etmek amacıyla bir karma tamsayılı programlama modeli kurulmak istenmektedir. Santralin devreye alınması durumunda $8.000$ TL tutarında bir sabit hazırlık maliyeti söz konusudur. Santral çalıştırıldığında üretilen her $1$ MW elektrik için değişken maliyet $100$ TL olarak hesaplanmıştır. Teknik kısıtlar nedeniyle santral, eğer çalıştırılırsa en az $50$ MW, en fazla $500$ MW elektrik üretebilmektedir.

$x$ : Üretilen elektrik miktarı (MW) (sürekli değişken)
$y$ : Santralin çalışma durumu ( $1$ : çalışıyor, $0$ : çalışmıyor) (binary değişken)

Buna göre, toplam maliyeti ( $Z$ ) minimize eden amaç fonksiyonu ve kapasite kısıtlarını içeren matematiksel model aşağıdakilerden hangisidir?

\min Z = 8000y + 100x

;

x \leq 500y, \ x \geq 50y, \ y \in \{0, 1\}, \ x \geq 0

\min Z = 8000 + 100x

;

50 \leq x \leq 500, \ x \geq 0

\min Z = 8000y + 100x

;

x \leq 500, \ x \geq 50y, \ y \in \{0, 1\}, \ x \geq 0

\min Z = 8000y + 100x

;

x + y \leq 500, \ x + y \geq 50, \ y \in \{0, 1\}, \ x \geq 0

\min Z = 8000x + 100y

;

x \leq 500y, \ x \geq 50y, \ y \in \{0, 1\}, \ x \geq 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\min Z = 8000y + 100x$ ; $x \leq 500y, \ x \geq 50y, \ y \in \{0, 1\}, \ x \geq 0$

Cevap

Doğru model, toplam maliyeti

\min Z = 8000y + 100x

olarak tanımlayan ve üretim miktarını

50y \leq x \leq 500y

kısıtları ile çalışma durumuna bağlayan ifadedir.

Karma tamsayılı programlama modellerinde, bir aktivitenin yapılıp yapılmadığını temsil eden binary değişken (

y

), aktivitenin seviyesini temsil eden sürekli değişkenin (

x

) sınırlarını belirlemek için kullanılır. Bu soruda, tesisin çalışma durumu

y=1

olduğunda

8000

TL sabit maliyet amaç fonksiyonuna eklenir ve üretim miktarı

50 \leq x \leq 500

aralığında sınırlandırılır. Tesis kapalıyken (

y=0

) ise maliyet sıfır olur ve kısıtlar

0 \leq x \leq 0

haline gelerek üretimi engeller.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerinin ve maliyetlerin belirlenmesi

Amaç fonksiyonu bileşenleri: Sabit maliyet

8.000y

ve değişken maliyet

100x

olarak belirlenir.

Maliyet fonksiyonunu oluşturmak için sabit ve değişken unsurların doğru değişkenlerle çarpılması gerekir.

2

Amaç fonksiyonunun oluşturulması

\min Z = 8000y + 100x

Toplam maliyetin minimize edilmesi istenmektedir ve sabit maliyet sadece

y=1

olduğunda aktiftir.

3

Kapasite kısıtlarının mantıksal yapıya oturtulması

x \leq 500y

ve

x \geq 50y

eşitsizlikleri elde edilir.

Tesis çalışmıyorsa (

y=0

) üretimin sıfır olması, çalışıyorsa (

y=1

) ise üretimin 50 ile 500 MW arasında olması bu kısıtlarla garanti edilir.

Anahtar Kavram

Sabit Hazırlık (Fixed Charge) Maliyetli Karma Tamsayılı Modeller

İpuçları

1

Sabit maliyetin sadece santral çalıştığında (

y=1

) devreye girmesi gerektiğini düşünün.

2

Tesis kapalıyken (

y=0

) üretimin (

x

) zorunlu olarak sıfıra eşitlenmesi için

x \leq Max \cdot y

kalıbını kullanın.

3

Alt ve üst sınırların her ikisinin de

y

değişkeni ile çarpıldığı

50y \leq x \leq 500y

yapısı, santralin çalışma aralığını tam olarak yansıtır.

Daha Fazla Pratik

Mantıksal kısıtların (ya A ya B projeleri gibi) MIP modellerine nasıl dahil edildiğini çalışmak konuyu pekiştirecektir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir lojistik firması, yeni bir dağıtım güzergahı açıp açmama kararı aşamasındadır. Eğer güzergah açılırsa $10.000$ TL tutarında sabit bir hazırlık maliyeti oluşacaktır. Güzergahın aktif olması durumunda taşınan her bir birim ürün için ise $200$ TL değişken operasyonel maliyet söz konusudur. Güzergahın açılma durumu $y$ ( $0-1$ tamsayı değişkeni) ve taşınan ürün miktarı $x$ ( $x \geq 0$ sürekli değişken) ile ifade edildiğine göre, bu problemin toplam maliyetini minimize eden amaç fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\min Z = 10.000y + 200x

\min Z = 10.000x + 200y

\min Z = 10.200(x + y)

\min Z = 10.000 + 200x

\min Z = 10.000y + 200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\min Z = 10.000y + 200x$

Cevap

Toplam maliyeti minimize eden amaç fonksiyonu

10.000y + 200x

şeklindedir.

Karma tamsayılı programlamada 'sabit maliyet' (hazırlık maliyeti), faaliyetin yapılıp yapılmadığını gösteren bir ikili (0-1) değişkenle (

y

) çarpılır. 'Değişken maliyet' ise faaliyetin miktarını temsil eden sürekli değişkenle (

x

) çarpılır. Bu iki maliyetin toplamı olan

10.000y + 200x

ifadesi doğru amaç fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit maliyet bileşenini belirlemek

10.000y

Sabit maliyetler sadece ilgili faaliyet (güzergah açma) gerçekleştiğinde (

y=1

) ödenir, aksi halde (

y=0

) ödenmez.

2

Değişken maliyet bileşenini belirlemek

200x

Değişken maliyetler, faaliyetin hacmi veya miktarı (

x

) arttıkça artan maliyetlerdir.

3

Amaç fonksiyonunu birleştirmek

Z = 10.000y + 200x

Toplam maliyet, sabit ve değişken maliyet kalemlerinin toplamından oluşur ve minimize edilmesi hedeflenir.

Anahtar Kavram

Karma Tamsayılı Programlamada Sabit Maliyetli (Fixed Charge) Modeller

Alternatif Yöntem

Mantıksal kontrol yöntemi: Eğer

y=0

ise (hat açılmazsa) toplam maliyetin

0

olması gerekir. Seçeneklerde

y=0

ve

x=0

yazıldığında sadece doğru olan model

0

sonucunu verir.

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumu, vatandaşların kullanımı için yeni bir sosyal tesis alanı inşa etmeyi planlamaktadır. Tesisin kurulması kararı verildiğinde $20.000$ TL tutarında bir sabit hazırlık maliyeti ortaya çıkacaktır. Ayrıca tesisin kapalı alanındaki her bir metrekarelik ( $m^2$ ) düzenleme için $150$ TL değişken maliyet hesaplanmaktadır. Tesis için ayrılabilecek toplam alan en fazla $400$ $m^2$ olduğuna göre; toplam maliyeti minimize eden, $x$ değişkeninin kapalı alan miktarını (sürekli) ve $y$ değişkeninin tesisin kurulma kararını ( $0$ - $1$ ) temsil ettiği karma tamsayılı programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\min Z = 20.000y + 150x

;

x \leq 400y

;

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

\min Z = 20.000x + 150y

;

x \leq 400y

;

x, y \geq 0

\min Z = 20.150(x + y)

;

x \leq 400

;

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

\min Z = 20.000y + 150x

;

y \leq 400x

;

x \geq 0, y \text{ tamsayı}

\min Z = 20.000 + 150x

;

x \leq 400

;

x \geq 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\min Z = 20.000y + 150x$ ; $x \leq 400y$ ; $x \geq 0, y \in \{0, 1\}$

Cevap

Toplam maliyeti minimize eden model

\min Z = 20.000y + 150x

amaç fonksiyonu ve

x \leq 400y

kısıtını içeren modeldir.

Modelde sabit maliyet (

20.000

) ancak tesisin inşasına karar verildiğinde (

y=1

) devreye girmekte, değişken maliyet ise inşa edilen alan (

x

) ile çarpılmaktadır.

x \leq 400y

kısıtı, hem kapasiteyi belirlemekte hem de tesis kurulmadan (

y=0

) alan kullanımının (

x>0

) imkansız olduğunu garanti etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini tanımla.

x

: Kapalı alan miktarı (

m^2

, sürekli);

y

: Tesis kurulma kararı (

0

veya

1

).

Karma tamsayılı modellerde bazı değişkenler sürekli, bazıları ise kesiklidir.

2

Amaç fonksiyonunu oluştur.

\min Z = 20.000y + 150x

Sabit maliyet sadece tesis kurulduğunda (

y=1

) oluşur, değişken maliyet ise alana bağlıdır.

3

Mantıksal kısıtı (Big-M mantığı) kur.

x \leq 400y

Eğer tesis kurulmazsa (

y=0

), kullanılan alan da

0

olmalıdır (

x \leq 0

); tesis kurulursa (

y=1

), alan kapasite (

400

) kadar olabilir.

Anahtar Kavram

Sabit hazırlık maliyeti içeren karma tamsayılı programlama modelleme mantığı.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 7Soru →

Bir yerel yönetim, yeni bir ek hizmet binası açmayı planlamaktadır. Binanın açılmasına karar verilmesi durumunda $150.000$ TL tutarında bir sabit kurulum maliyeti oluşacaktır. Ayrıca, bu binada sunulan hizmetin birim başına değişken maliyeti $40$ TL'dir. Binanın açılmaması durumunda ise herhangi bir maliyet ortaya çıkmayacaktır.

$y$ değişkeni binanın açılma durumunu ( $1$ : açılacak, $0$ : açılmayacak), $x$ ise sunulan hizmet miktarını (sürekli değişken) temsil ettiğine göre, toplam maliyeti ( $Z$ ) en küçüklemeyi (minimize etmeyi) amaçlayan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

\min Z = 150.000y + 40x

\min Z = 150.000x + 40y

\min Z = 150.040(x + y)

concepts

\min Z = 150.000 + 40x

\min Z = 40x

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\min Z = 150.000y + 40x$

Cevap

Sabit maliyeti binanın açılma kararına (

y

), değişken maliyeti ise hizmet miktarına (

x

) bağlayan

\min Z = 150.000y + 40x

fonksiyonu doğrudur.

Karma tamsayılı programlama modellerinde, bir faaliyetin gerçekleştirilip gerçekleştirilmemesine bağlı olan sabit maliyetler

0-1

(binary) değişkenlerle çarpılırken, hacme bağlı değişken maliyetler sürekli değişkenlerle çarpılır. Bu soruda

150.000

TL sabit bir bedel olduğu için

y

ile,

40

TL birim başına olduğu için

x

ile çarpılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit maliyetin hangi değişkene bağlı olduğunu belirleyin.

150.000

TL sabit maliyet, binanın açılıp açılmaması kararına (

y \in \{0, 1\}

) bağlıdır.

Sabit maliyetler sadece yatırım yapıldığında veya faaliyet başladığında ortaya çıkar.

2

Değişken maliyetin hangi değişkene bağlı olduğunu belirleyin.

Birim başına

40

TL olan değişken maliyet, sunulan hizmet miktarına (

x \geq 0

) bağlıdır.

Değişken maliyetler üretim veya hizmet hacmi ile doğru orantılı olarak artar.

3

Amaç fonksiyonunu oluşturun.

Z = (150.000 \times y) + (40 \times x)

Toplam maliyet, sabit ve değişken maliyet kalemlerinin toplamından oluşur.

Anahtar Kavram

Karma Tamsayılı Programlamada Sabit Hazırlık (Fixed-Charge) Maliyetlerinin Modellenmesi

Soru 8Soru →

Bir mobilya fabrikası, yeni bir koltuk modeli üretmek için $5.000$ TL sabit hazırlık (setup) maliyeti ve üretilen her bir koltuk için $10$ TL değişken maliyet öngörmektedir. Fabrikanın bu model için toplam üretim kapasitesi en fazla $1.000$ adettir. Üretim miktarı $x$ (sürekli değişken) ve üretim kararı $y$ (üretimin yapılması durumunda $1$ , aksi halde $0$ değerini alan tamsayı değişken) ile gösterildiğine göre, toplam maliyeti minimize etmeyi amaçlayan uygun karma tamsayılı programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\min Z = 5000y + 10x

;

x \leq 1000y

,

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

\min Z = 5000y + 10x

;

x \leq 1000

,

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

\min Z = 5010(x + y)

;

x \leq 1000

,

x \geq 0, y \geq 0

\min Z = 5000x + 10y

;

y \leq 1000x

,

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

\min Z = 5000y + 10x

;

x \geq 1000y

,

x \geq 0, y \in \{0, 1\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\min Z = 5000y + 10x$ ; $x \leq 1000y$ , $x \geq 0, y \in \{0, 1\}$

Cevap

Toplam maliyet fonksiyonunun

\min Z = 5000y + 10x

ve kapasite kısıtının

x \leq 1000y

(

y \in \{0, 1\}

) şeklinde kurgulandığı model doğrudur.

Karma tamsayılı programlama modellerinde sabit maliyetlerin devreye girmesi için binary bir karar değişkeni (

y

) kullanılır. Doğru modelde, maliyet fonksiyonu sabit ve değişken maliyetleri doğru değişkenlerle eşleştirirken, kapasite kısıtı da üretimin ancak karar değişkeni aktif olduğunda yapılabileceğini garantiler.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu oluşturun.

Z = 5000y + 10x

Sabit maliyet (

5.000

) sadece üretim yapıldığında (

y=1

) maliyete eklenmelidir. Değişken maliyet (

10

) ise her birim üretim (

x

) başına eklenir.

2

Mantıksal kapasite kısıtını kurun.

x \leq 1000y

Eğer üretim yapılmazsa (

y=0

), üst sınır

0

olur ve

x=0

zorunluluğu doğar. Eğer üretim yapılırsa (

y=1

), üretim miktarı kapasite sınırı olan

1.000

birimi aşamaz.

Anahtar Kavram

Sabit Maliyetli (Fixed Charge) Karma Tamsayılı Programlama Modellemesi

Tahmini Süre:50s

Soru 9Soru →

Bir kamu hastanesi, laboratuvarlarında kullanılmak üzere özel bir dezenfektan çözeltisinin kendi tesislerinde üretimine geçip geçmeme kararı alacaktır.

- Hastane bu çözeltiyi üretmeye karar verirse, kimyasal reaksiyon stabilitesi gereği ayda en az $500$ litre, tesis kapasitesi gereği ise en fazla $2000$ litre üretim yapmak zorundadır.
- Üretim yapılmaması kararı alınırsa, üretim miktarı tam olarak sıfır olacaktır.

Dezenfektan çözeltisinin aylık üretim miktarını litre cinsinden $x$ sürekli değişkeni ile ve üretim yapma kararını $y$ sıfır-bir (ikili) değişkeni ile ifade ettiğimiz bir Karma Tamsayılı Programlama (MIP) modelinde, bu durumu doğru bir şekilde ifade eden kısıt seti aşağıdakilerden hangisidir?

x - 500y \geq 0

;

x - 2000y \leq 0

;

y \in \{0, 1\}

;

x \geq 0

x \geq 500

;

x - 2000y \leq 0

;

y \in \{0, 1\}

;

x \geq 0

x - 500y \leq 0

;

x - 2000y \geq 0

;

y \in \{0, 1\}

;

x \geq 0

x - 500y \geq 0

;

x \leq 2000

;

y \in \{0, 1\}

;

x \geq 0

x - 500y \geq 0

;

x - 2000y \leq 0

;

y \geq 0

ve tamsayı ;

x \geq 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x - 500y \geq 0$ ; $x - 2000y \leq 0$ ; $y \in \{0, 1\}$ ; $x \geq 0$

Cevap

Modeli doğru ifade eden kısıt seti:

x - 500y \geq 0

;

x - 2000y \leq 0

;

y \in \{0, 1\}

;

x \geq 0

kısıtlarını içeren seçenektir.

Karma Tamsayılı Programlama (MIP) modellerinde 'ya belirtilen aralıkta değer al ya da sıfır ol' şeklindeki yarı-sürekli (semi-continuous) durumlar, sınır değerlerinin bir sıfır-bir değişkeni ile çarpılmasıyla modellenir. Doğru seçenekte yer alan

x \geq 500y

(yani

x - 500y \geq 0

) ve

x \leq 2000y

(yani

x - 2000y \leq 0

) eşitsizlikleri bu mantığı tam olarak karşılar.

y=1

iken

500 \leq x \leq 2000

aralığı geçerli olur,

y=0

iken ise

0 \leq x \leq 0

(dolayısıyla

x=0

) durumu zorunlu kılınır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerinin türlerini ve sınırlarını belirleme.

x

sürekli bir değişkendir (

x \geq 0

).

y

ise evet/hayır kararını temsil ettiği için ikili (sıfır-bir) değişkendir (

y \in \{0, 1\}

).

Üretim miktarı kesirli olabilen bir sürekli değeri ifade ederken, üretime geçme kararı mantıksal bir seçimdir.

2

Üretim yapılması (

y=1

) durumundaki kısıtları matematiksel olarak ifade etme.

Üretim varsa miktar

500

ile

2000

arasında olmalıdır:

500 \leq x \leq 2000

.

Soruda belirtilen minimum reaksiyon stabilitesi ve maksimum tesis kapasitesi sınırlarıdır.

3

Üretim yapılmaması (

y=0

) durumundaki kısıtı ifade etme.

Üretim yoksa miktar sıfır olmalıdır:

x = 0

.

Karar verilmediğinde herhangi bir üretim gerçekleşemez.

4

İki durumu tek bir kısıt setinde birleştirmek için

x

sınırlarını

y

ile çarpma (Büyük-M tekniğinin yarı sürekli versiyonu).

Alt sınır için:

x \geq 500y

. Üst sınır için:

x \leq 2000y

.

y=1

iken

500 \leq x \leq 2000

olur.

y=0

iken

0 \leq x \leq 0

olur ki bu da doğrudan

x=0

eşitliğini sağlar.

5

Elde edilen eşitsizlikleri standart forma (değişkenler solda, sabitler sağda) dönüştürme.

x - 500y \geq 0

ve

x - 2000y \leq 0

denklemleri elde edilir.

Doğrusal ve tamsayılı programlama modellerinde kısıtlar genellikle standart formda yazılır.

Anahtar Kavram

Karma Tamsayılı Programlama Modellerinde Yarı Sürekli Değişken (Semi-continuous Variable) Modellemesi

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumu, e-devlet veri tabanı altyapısını güçlendirmek amacıyla yüksek performanslı yeni bir bulut sunucu sistemine geçiş yapıp yapmamayı değerlendirmektedir. Sistemin aktif hale getirilmesi kararı verilirse $50.000$ TL tutarında sabit bir kurulum (lisans) maliyeti katlanılacaktır. Sistem kurulduktan sonra, bu sunucu üzerinden işlenen her bir terabayt (TB) veri için $15$ TL değişken işlem maliyeti oluşacaktır. Sistemin altyapısı gereği, kurulum yapıldığında bu sunucuda en fazla $10.000$ TB veri işlenebilmektedir. Kurulum yapılmazsa bu sunucuda herhangi bir veri işlenmesi mümkün değildir (işlenen veri miktarı sıfır olmalıdır).

Sistemin kurulup kurulmama kararını $y$ ( $y \in \{0, 1\}$ ) ve işlenen veri miktarını TB cinsinden bir sürekli değişken olan $x$ ( $x \ge 0$ ) ile gösteren, toplam maliyeti en küçüklemeyi amaçlayan karma tamsayılı programlama modeli aşağıdakilerden hangisinde doğru formüle edilmiştir?

\min Z = 15x + 50000y

;

x - 10000y \le 0

;

x \ge 0

(sürekli),

y \in \{0, 1\}

\min Z = 15x + 50000y

;

x - 10000y \ge 0

;

x \ge 0

(sürekli),

y \in \{0, 1\}

\min Z = 15x + 50000y

;

x \le 10000

;

x \ge 0

(sürekli),

y \in \{0, 1\}

\min Z = 15x + 50000y

;

x - 10000y \le 0

;

x \ge 0, y \ge 0

(her ikisi de sürekli)

\min Z = 15x + 50000y

;

x - 10000y \le 0

;

x \in \{0, 1\}, y \in \{0, 1\}

(her ikisi de ikili)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\min Z = 15x + 50000y$ ; $x - 10000y \le 0$ ; $x \ge 0$ (sürekli), $y \in \{0, 1\}$

Cevap

Amaç fonksiyonunun sabit ve değişken maliyetleri doğru ağırlıklarla topladığı, kapasite ve ön koşul ilişkisinin

x - 10000y \le 0

mantıksal kısıtıyla birbirine bağlandığı ve değişkenlerin türünün doğru (x sürekli, y ikili) ifade edildiği modeldir.

Doğru modelde maliyet maksimizasyonu önlenmiş (Min Z), x'in ancak y'nin 1 olması durumunda pozitif değer alabileceğini güvence altına alan bağlayıcı kısıt (

x - 10000y \le 0

) doğru yazılmış ve problemin doğası gereği değişkenlerden yalnızca birinin sıfır-bir kısıtına tabi olduğu, diğerinin sürekli bırakıldığı (Karma model prensibi) hatasız uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu belirlemek.

Min Z = 15x + 50000y

Toplam maliyet, veri miktarı başına 15 TL ile sistemin kurulum kararını yansıtan 50.000 TL'nin toplamından oluşur.

2

Mantıksal ön koşul ve kapasite kısıtını oluşturmak.

x <= 10000y => x - 10000y <= 0

Sistem kurulmazsa (y=0) işlenen veri sıfır (x<=0) olmalı, kurulursa (y=1) veri miktarı en fazla 10.000 olmalıdır. Bu bağlantı eşitsizlikle ifade edilmelidir.

3

Değişkenlerin uzayını (türünü) tanımlamak.

x >= 0 (sürekli) ve y elemandır {0, 1} (ikili/kesikli)

İşlenen veri (TB) kesirli değerler alabilen sürekli bir miktar, sistemin kurulum kararı ise var/yok mantığıyla çalışan sıfır-bir tamsayı değeridir.

Anahtar Kavram

Karma Tamsayılı (MIP) Modellerde Mantıksal (Sabit Maliyet) Kısıtlarının Formülasyonu

Soru 11Soru →

Bir kamu enerji şirketi, bir bölgeye güneş ( $S$ ) ve rüzgâr ( $W$ ) santralleri kurmayı planlamaktadır. Bu karar problemi için değişkenler şu şekilde tanımlanmıştır:

• $y_S$ : Güneş santrali kurulursa $1$ , aksi halde $0$ değerini alan ikili değişken,
• $y_W$ : Rüzgâr santrali kurulursa $1$ , aksi halde $0$ değerini alan ikili değişken,
• $x_S$ : Güneş santralinden üretilecek enerji miktarı (MW),
• $x_W$ : Rüzgâr santralinden üretilecek enerji miktarı (MW).

Sistemin kısıtlarına ilişkin kural ve gereksinimler şunlardır:
I. Güneş santralinin maksimum üretim kapasitesi $120$ MW, rüzgâr santralinin maksimum üretim kapasitesi ise $150$ MW'tır. Enerji üretimi ancak ilgili santralin kurulması durumunda gerçekleşebilir.
II. Bölgenin asgari $80$ MW olan toplam enerji talebi bu iki santral tarafından karşılanmak zorundadır.
III. Rüzgâr santrali, sadece güneş santrali kurulduğu takdirde inşa edilebilecektir (Güneş santrali olmadan rüzgâr santrali kurulamaz, ancak güneş santrali tek başına kurulabilir).

Buna göre, bu problemi tanımlayan karma tamsayılı programlama (MIP) modeline ait kısıt kümesi aşağıdakilerden hangisinde doğru ve eksiksiz olarak verilmiştir?

x_S \leq 120 y_S

;

x_W \leq 150 y_W

;

y_S \leq y_W

;

x_S + x_W \geq 80

;

y_S, y_W \in \{0, 1\}, x_S, x_W \geq 0

x_S \geq 120 y_S

;

x_W \geq 150 y_W

;

y_W \leq y_S

;

x_S + x_W \geq 80

;

y_S, y_W \in \{0, 1\}, x_S, x_W \geq 0

x_S \leq 120 y_S

;

x_W \leq 150 y_W

;

y_W \leq y_S

;

x_S + x_W \geq 80

;

y_S, y_W \in \{0, 1\}, x_S, x_W \geq 0

x_S \leq 120 y_S

;

x_W \leq 150 y_W

;

y_S + y_W \leq 1

;

x_S + x_W \geq 80

;

y_S, y_W \in \{0, 1\}, x_S, x_W \geq 0

x_S \leq 120

;

x_W \leq 150

;

y_W \leq y_S

;

x_S + x_W \geq 80

;

y_S, y_W \in \{0, 1\}, x_S, x_W \geq 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_S \leq 120 y_S$ ; $x_W \leq 150 y_W$ ; $y_W \leq y_S$ ; $x_S + x_W \geq 80$ ; $y_S, y_W \in \{0, 1\}, x_S, x_W \geq 0$

Cevap

Karma tamsayılı modelde, sürekli değişkenlerin ikili değişkenlerle kapasite sınırlarına doğru bağlandığı ve rüzgâr santralinin güneş santraline olan mantıksal ön koşulunun

y_W \leq y_S

şeklinde ifade edildiği kısıt kümesi doğru cevaptır.

Doğru formülasyonda; üretim miktarları, kurulum karar değişkenleri ile

x \leq M \cdot y

formatında doğru biçimde sınırlandırılmıştır (

x_S \leq 120 y_S

ve

x_W \leq 150 y_W

). Ayrıca 'rüzgâr sadece güneş kurulursa inşa edilebilir' mantıksal önermesi,

y_W

ikili değişkeninin ancak

y_S=1

iken

1

olabileceğini şart koşan

y_W \leq y_S

eşitsizliği ile hatasız modellenmiştir. Talep kısıtı ve değişken tanımları da bütünüyle uygundur.

Adım Adım Çözüm

1

Sürekli ve ikili değişkenler arasındaki kapasite (bağlantı) kısıtlarının oluşturulması.

x_S \leq 120 y_S

ve

x_W \leq 150 y_W

Enerji üretiminin (

x

) ancak o santral kurulduğunda (

y=1

) gerçekleşebilmesi için, sürekli değişkenin üst sınırı ilgili ikili değişkenle çarpılmalıdır.

y=0

iken

x=0

olmaya zorlanır.

2

Ön koşul (mantıksal bağımlılık) kısıtının oluşturulması.

y_W \leq y_S

Rüzgâr santralinin (

y_W

) kurulabilmesi güneş santralinin (

y_S

) kurulmasına bağlıdır. Güneş santrali yoksa (

y_S=0

), rüzgâr santrali olamaz (

y_W=0

). Güneş santrali varsa (

y_S=1

), rüzgâr santrali olabilir veya olmayabilir (

y_W \le 1

).

3

Talep kısıtının oluşturulması ve değişken yapılandırmasının tanımlanması.

x_S + x_W \geq 80

ve

y_S, y_W \in \{0, 1\}, x_S, x_W \geq 0

Bölgenin toplam enerji ihtiyacı asgari

80

MW olduğundan iki santralin üretim toplamı bu değere eşit veya büyük olmalıdır. Karar değişkenlerinin doğası gereği kurulumlar ikili, üretimler sürekli ve negatif olmayan değişkenlerdir.

Anahtar Kavram

Karma Tamsayılı Modellerde Mantıksal ve Kapasite Kısıtlarının Kurulması

Karma Tamsayılı Programlama Modelleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar