Ulaştırma ve Atama Problemleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

İki farklı üretim merkezi ( $i=1, 2$ ) ve iki farklı dağıtım noktasının ( $j=1, 2$ ) bulunduğu dengeli bir ulaştırma probleminde, karar değişkeni $x_{ij}$ ilgili merkezden ilgili noktaya gönderilen ürün miktarını temsil etmektedir. Birinci dağıtım noktasının ( $j=1$ ) toplam talebi $D_1$ birim olduğuna göre, bu noktaya ait talep kısıtını ifade eden matematiksel model aşağıdakilerden hangisidir?

x_{11} + x_{21} = D_1

x_{11} + x_{12} = D_1

x_{11} + x_{21} \leq D_1

x_{21} + x_{22} = D_1

x_{11} + x_{21} + x_{31} = D_1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_{11} + x_{21} = D_1$

Cevap

Birinci dağıtım noktasına (

j=1

) tüm kaynaklardan (

i=1

ve

i=2

) gelen toplam sevkiyatın talebe eşit olduğunu gösteren

x_{11} + x_{21} = D_1

ifadesidir.

Doğru olan ifadede, birinci varış noktasına (

j=1

) hem birinci üretim merkezinden (

x_{11}

) hem de ikinci üretim merkezinden (

x_{21}

) gelen miktarlar toplanmış ve bu noktadaki toplam talep miktarına (

D_1

) eşitlenmiştir. Bu, ulaştırma modelindeki standart talep kısıtı yapısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkeninin indis yapısını tanımlayın.

x_{ij}

ifadesinde

i

kaynağı (satır),

j

ise varış noktasını (sütun) temsil eder.

Kısıtın hangi yönde (arz veya talep) yazılacağını belirlemek için indislerin anlamı bilinmelidir.

2

Birinci dağıtım noktasına (

j=1

) yapılan sevkiyatları belirleyin.

Birinci kaynaktan gelen miktar

x_{11}

ve ikinci kaynaktan gelen miktar

x_{21}

'dir.

Talep kısıtı, ilgili sütundaki tüm değişkenlerin toplamıdır.

3

Dengeli model şartına göre kısıt denklemini oluşturun.

x_{11} + x_{21} = D_1

denklemi elde edilir.

Model dengeli olduğunda toplam arz toplam talebe eşittir ve kısıtlar tam eşitlik halindedir.

Anahtar Kavram

Ulaştırma modelinde talep kısıtları, her bir varış noktasına (sütun) gelen toplam akışın ilgili talep miktarına eşitlenmesiyle kurulur.

Tahmini Süre:45s

Soru 22Soru →

Bir işletmenin üç deposundan ( $D_1, D_2, D_3$ ) üç farklı satış noktasına ( $S_1, S_2, S_3$ ) ürün sevkiyatı yapılacaktır. Depoların arz kapasiteleri, satış noktalarının talep miktarları ve birim taşıma maliyetleri ( $TL/adet$ ) aşağıdaki ulaştırma tablosunda verilmiştir:

$S_1$	$S_2$	$S_3$	Arz
$D_1$	10	18	15	60
$D_2$	12	14	20	50
$D_3$	25	11	24	40
Talep	40	70	40	150

Bu ulaştırma probleminin başlangıç temel uygun çözümü Vogel Yaklaşım Yöntemi (VAM) ile elde edilmek istendiğinde, ilk adımda en yüksek pişmanlık (ceza) maliyetine sahip olan satır veya sütun belirlendikten sonra atama yapılacak olan hücrenin birim maliyeti kaç $TL$ 'dir?

10

11

13

15

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

En yüksek pişmanlık maliyetine sahip olan üçüncü satırdaki en düşük birim maliyet olan 11 birimdir.

VAM yönteminde her satır ve sütun için en küçük iki birim maliyetin farkı hesaplanır. Yapılan hesaplamada

D_3

satırının cezası

|24-11|=13

olarak en yüksek değerdir. Bu satırdaki en düşük birim maliyetli hücre ise 11 değerine sahip olan

(D_3, S_2)

hücresidir.

Adım Adım Çözüm

1

Satır ve sütun cezalarını (en düşük iki maliyet arasındaki fark) hesapla.

Satır Cezaları:

P_{D1} = |15-10|=5

,

P_{D2} = |14-12|=2

,

P_{D3} = |24-11|=13

. Sütun Cezaları:

P_{S1} = |12-10|=2

,

P_{S2} = |14-11|=3

,

P_{S3} = |20-15|=5

.

Vogel Yaklaşım Yöntemi'nde ilk adım en yüksek ceza (pişmanlık) değerini bulmaktır.

2

En yüksek ceza değerini seç.

Maksimum ceza 13 birim ile üçüncü satıra (

D_3

) aittir.

VAM algoritması gereği en büyük farka sahip olan hat üzerinden atama başlatılır.

3

Belirlenen satırdaki en düşük birim maliyetli hücreyi bul.

D_3

satırındaki maliyetler 25, 11 ve 24'tür. En düşük olan 11'dir.

Ceza değeri belirlendikten sonra o satır/sütun içindeki maliyet minimizasyonu yapılır.

Anahtar Kavram

Vogel Yaklaşım Yöntemi (VAM) Ceza Hesaplama ve İlk Atama Kuralı

Daha Fazla Pratik

Eğer en yüksek ceza değerleri eşit olsaydı, hangi kriterlerin kullanılacağını gözden geçirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 23Soru →

Bir tarım kooperatifinin üç deposundan üç farklı markete zeytinyağı sevkiyatı için planladığı birim taşıma maliyetleri (TL/teneke) ve Kuzeybatı Köşe Yöntemi ile elde edilmiş başlangıç temel uygun çözümü aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Merkezler	Market A	Market B	Market C
Depo 1	$x_{11}=100$ , $c_{11}=8$	Boş, $c_{12}=5$	Boş, $c_{13}=6$
Depo 2	$x_{21}=20$ , $c_{21}=12$	$x_{22}=130$ , $c_{22}=9$	Boş, $c_{23}=10$
Depo 3	Boş, $c_{31}=3$	$x_{32}=50$ , $c_{32}=7$	$x_{33}=150$ , $c_{33}=4$

Tabloda $x_{ij}$ atama (taşıma) miktarını, $c_{ij}$ ise ilgili güzergaha ait birim taşıma maliyetini göstermektedir. Boş hücreler ise temel olmayan hücreleri ifade etmektedir.

Buna göre, $u_1 = 0$ alınarak MODI (U-V) yöntemiyle optimum çözüm testi yapıldığında, Depo 3 - Market A (3. satır, 1. sütun) hücresinin geliştirme endeksi ( $\Delta_{ij} = c_{ij} - (u_i + v_j)$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-7

7

10

-5

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

-7

Doğru cevap

-7

'dir. MODI (U-V) yönteminde öncelikle dolu hücreler (atama yapılmış olanlar) için

c_{ij} = u_i + v_j

eşitliği kurularak dual değişkenler hesaplanır. Soru

u_1=0

olarak kabul etmemizi istemiştir.
(1,1) hücresi dolu olduğundan

c_{11} = u_1 + v_1 \implies 8 = 0 + v_1 \implies v_1=8

bulunur.
(2,1) hücresi dolu olduğundan

c_{21} = u_2 + v_1 \implies 12 = u_2 + 8 \implies u_2=4

bulunur.
(2,2) hücresi dolu olduğundan

c_{22} = u_2 + v_2 \implies 9 = 4 + v_2 \implies v_2=5

bulunur.
(3,2) hücresi dolu olduğundan

c_{32} = u_3 + v_2 \implies 7 = u_3 + 5 \implies u_3=2

bulunur.
(3,3) hücresi dolu olduğundan

c_{33} = u_3 + v_3 \implies 4 = 2 + v_3 \implies v_3=2

bulunur.
İstenilen Depo 3 - Market A (3. satır 1. sütun) hücresinin maliyeti

c_{31}=3

'tür. Geliştirme endeksi formülü olan

\Delta_{ij} = c_{ij} - (u_i + v_j)

uygulandığında;

\Delta_{31} = 3 - (2 + 8) = 3 - 10 = -7

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dolu (temel) hücreleri belirleyerek her biri için

c_{ij} = u_i + v_j

denklemini yaz.

Dolu hücreler: (1,1), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3).

MODI yönteminde dual değişkenlerin (

u_i, v_j

) hesaplanabilmesi için atama yapılmış hücrelerin taşıma maliyetlerinden faydalanılır.

2

Soruda verilen

u_1 = 0

değerini kullanarak bağlantılı temel hücreler üzerinden sırasıyla tüm

u_i

ve

v_j

değerlerini hesapla.

u_1=0 \implies 0+v_1=8 \implies v_1=8

.

v_1=8 \implies u_2+8=12 \implies u_2=4

.

u_2=4 \implies 4+v_2=9 \implies v_2=5

.

v_2=5 \implies u_3+5=7 \implies u_3=2

.

u_3=2 \implies 2+v_3=4 \implies v_3=2

.

Birbirine zincirleme bağlı olan dolu hücre maliyetleri sayesinde tüm satır ve sütun değişkenleri tekil olarak belirlenebilir.

3

Soruda istenen (3,1) boş hücresinin maliyet (

c_{31}

) ve denk gelen dual değişkenlerini (

u_3, v_1

) tespit et.

c_{31} = 3

,

u_3 = 2

ve

v_1 = 8

.

Geliştirme endeksi hesaplaması boş hücrenin kendi parametrelerine ihtiyaç duyar.

4

Geliştirme endeksi formülünü (

\Delta_{ij} = c_{ij} - (u_i + v_j)

) kullanarak sonucu hesapla.

\Delta_{31} = 3 - (2 + 8) = 3 - 10 = -7

.

Bu değer, atama yapılmayan bu hücreye 1 birim ürün aktarılırsa toplam maliyetin 7 TL düşeceğini gösterir ve yöntemin temel test kuralıdır.

Anahtar Kavram

MODI yöntemi ile ulaştırma modellerinde temel olmayan hücrelerin fırsat maliyetlerinin/geliştirme endekslerinin hesaplanması

Soru 24Soru →

Aşağıdaki tabloda, üç fabrika (A, B, C) ve üç dağıtım merkezi (X, Y, Z) arasındaki dengelenmiş bir ulaştırma probleminin birim taşıma maliyetleri ve Kuzeybatı Köşe Yöntemi ile bulunmuş başlangıç temel uygun çözümü verilmiştir. Parantez içindeki değerler, ilgili rotadan taşınan ürün miktarlarını (temel hücreleri) göstermektedir.

Fabrika / Merkez	X	Y	Z	Arz
A	$8$ (30)	$3$ (10)	$6$	40
B	$5$	$7$ (30)	$2$ (20)	50
C	$2$	$4$	$9$ (30)	30
Talep	30	40	50	120

Buna göre, Atlama Taşı (Stepping Stone) yöntemi kullanılarak ilk optimallik testi yapıldığında, maliyeti en fazla düşürecek (çözüme ilk girecek) temel dışı hücre ve bu hücrenin iyileştirme endeksi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

C-Y hücresi,

-10

B-X hücresi,

-7

C-X hücresi,

-17

C-X hücresi,

17

C-X hücresi,

-7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: C-X hücresi, $-17$

Cevap

En yüksek maliyet düşüşünü sağlayan hücre C-X hücresidir ve iyileştirme endeksi -17'dir.

Atlama Taşı yönteminde maliyetin minimize edilmesi hedeflenir. Bu yüzden iyileştirme endeksi en negatif olan hücre çözüme girmelidir. Temel dışı (boş) hücrelerin endeksleri hesaplandığında; C-X hücresinin çevrimi 6 adımlıdır ve şu hücreleri takip eder: (C,X) -> (A,X) -> (A,Y) -> (B,Y) -> (B,Z) -> (C,Z). Bu güzergahtaki maliyetler sırasıyla toplanıp çıkarıldığında

(+2 - 8 + 3 - 7 + 2 - 9 = -17)

bulunur. Diğer hücrelerin endeksleri İE(B,X) = -7 ve İE(C,Y) = -10 şeklindedir. En yüksek düşüşü (en negatif değeri) -17 ile C-X hücresi sağladığından optimum çözüm için ilk adım bu hücreye atanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Tablodaki temel dışı (boş) hücrelerin tespit edilmesi.

Boş hücreler (A,Z), (B,X), (C,X) ve (C,Y) olarak belirlenir.

Atlama taşı yönteminde mevcut çözümü iyileştirmek için sadece boş hücrelerin sisteme dahil edilme potansiyelleri incelenir.

2

Her bir boş hücre için yalnızca temel (dolu) hücrelerden köşe yapan kapalı çevrimlerin oluşturulması.

(A,Z), (B,X) ve (C,Y) için 4 köşeli; (C,X) için ise 6 köşeli çevrimler bulunur.

Miktarın kaydırılabilmesi için yatay ve dikey hareketlerle oluşturulan döngünün başlangıç noktası hariç tamamen dolu hücrelerden geçmesi zorunludur.

3

Çevrim köşelerindeki birim maliyetlere sırasıyla (+, -, +, -) işaretleri verilerek iyileştirme endekslerinin (İE) hesaplanması.

İE(A,Z) = +6-2+7-3 = +8
İE(B,X) = +5-8+3-7 = -7
İE(C,Y) = +4-7+2-9 = -10
İE(C,X) = +2-8+3-7+2-9 = -17 olarak hesaplanır.

Maliyet değişimini bulmak için çevrime eklenen birimlerin maliyetleri toplanır, çıkarılan birimlerin maliyetleri ise düşülür.

4

En büyük maliyet düşüşünü sağlayan (en negatif) endeksin seçilmesi.

En negatif değer -17 ile C-X hücresine aittir.

Amaç maliyet minimizasyonu olduğundan, toplam maliyeti en hızlı şekilde azaltacak hücre çözüme dahil edilmelidir.

Anahtar Kavram

Atlama Taşı (Stepping Stone) Yönteminde İyileştirme Endeksinin Hesaplanması

Alternatif Yöntem

İyileştirme endeksleri, daha sistematik bir yöntem olan MODI (U-V) yöntemi ile de doğrulanabilir.

U_1 = 0

alınarak satır ve sütun değerleri (U ve V) bulunduktan sonra boş hücreler için

C_{ij} - U_i - V_j

formülü ile aynı endeks değerlerine çok daha hızlı ve hatasız bir şekilde ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 25Soru →

Ulusal bir enerji dağıtım şebekesinde 3 farklı rüzgâr enerjisi santralinden ( $i=1, 2, 3$ ), 4 farklı sanayi bölgesine ( $j=1, 2, 3, 4$ ) günlük elektrik aktarımı yapılması planlanmaktadır.

Merkezler	Kapasite (Birim)
1. Santral ( $i=1$ )	120
2. Santral ( $i=2$ )	150
3. Santral ( $i=3$ )	80
Toplam Arz	350

Bölgeler	Talep (Birim)
1. Bölge ( $j=1$ )	100
2. Bölge ( $j=2$ )	90
3. Bölge ( $j=3$ )	110
4. Bölge ( $j=4$ )	70
Toplam Talep	370

Sistemde toplam talep toplam arzı aştığı için, ulaştırma probleminin standart algoritma ile çözülebilmesi amacıyla sisteme bir yapay (dummy) kaynak eklenerek problem dengeli hale getirilmiştir. $x_{ij}$ , $i$ . kaynaktan $j$ . bölgeye aktarılan enerji miktarını ve $i=4$ indeksi sonradan eklenen yapay kaynağı temsil etmektedir.

Buna göre, dengeli hale getirilmiş standart ulaştırma modelinde yapay kaynağa ait arz (kapasite) kısıtı aşağıdakilerden hangisidir?

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 20

x_{15} + x_{25} + x_{35} = 20

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} \leq 20

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 350

x_{14} + x_{24} + x_{34} + x_{44} = 20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 20$

Cevap

Modeli dengelemek için gereken 20 birimlik kapasiteye sahip yapay kaynağın, 4 farklı talep noktasına gönderimini ifade eden

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 20

denklemidir.

Problemde toplam talep (370), toplam arzdan (350) 20 birim fazladır. Ulaştırma problemini çözmek için sistemi dengelemek şarttır. Bu denge, sisteme kapasitesi 20 birim olan hayali bir kaynak (yapay arz merkezi) eklenerek sağlanır. Bu kaynak 4. santral (

i=4

) olarak tanımlanmıştır ve sistemdeki 4 farklı sanayi bölgesine gönderim yapacaktır. Dolayısıyla bu yapay kaynağın arz kısıtı, kaynaktan çıkan yüklerin toplamının kaynağın kapasitesine eşit olduğunu gösteren denklemle tanımlanır ve

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 20

şeklinde yazılır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talep miktarlarını hesapla.

Toplam Arz = 120 + 150 + 80 = 350 birim. Toplam Talep = 100 + 90 + 110 + 70 = 370 birim.

Sistemin dengeli olup olmadığını kontrol etmek ve eklenecek yapay merkezin türünü tespit etmek için.

2

Eklenecek yapay merkezin kapasitesini ve indeksini belirle.

Talep arzdan 20 birim büyük olduğu için (370 - 350 = 20), sisteme kapasitesi 20 olan bir yapay kaynak eklenir. Soru metninde bu kaynağın

i=4

olduğu belirtilmiştir.

Ulaştırma modelinin çözülebilmesi için toplam arzın toplam talebe matematiksel olarak eşitlenmesi gerekir.

3

Yapay kaynak için arz kısıtını oluştur.

4. kaynaktan sistemdeki 4 varış noktasına (

j=1, 2, 3, 4

) gidecek toplam akış 20 birime eşitlenir:

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 20

.

Dengeli ulaştırma modellerinde arz ve talep kısıtları daima tam eşitlik (

=

) formunda oluşturulur.

Anahtar Kavram

Dengesiz Ulaştırma Problemlerinde Yapay Merkez Ekleme ve Model Kurulumu

Soru 26Soru →

Bir ilaç üretim şirketi, üç farklı üretim tesisinden ( $T_1, T_2, T_3$ ) üç farklı bölgesel sağlık merkezine ( $B_1, B_2, B_3$ ) tıbbi malzeme dağıtımı yapmaktadır. Problemin dengelenmiş başlangıç temel uygun çözümü ve birim taşıma maliyetleri (TL/kutu) aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Tesis \ Bölge	$B_1$	$B_2$	$B_3$	Arz
$T_1$	8 (30)	5 (10)	6	40
$T_2$	4	7 (30)	9 (20)	50
$T_3$	15	10	4 (60)	60
Talep	30	40	80	150

*(Not: Tablodaki parantez içindeki sayılar o hücreye yapılan yükleme (atama) miktarını, diğer sayılar ise birim taşıma maliyetlerini göstermektedir.)*

Buna göre, toplam taşıma maliyetini düşürmek amacıyla çözümün optimalliğini test etmek için Atlama Taşı (Stepping Stone) Yöntemi kullanıldığında, henüz boş olan ** $T_2-B_1$ ** hücresinin gelişme endeksi (iyileştirme değeri) aşağıdakilerden hangisidir?

-6

-4

2

6

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-6$

Cevap

Boş olan

T_2-B_1

hücresinin gelişme endeksi

-6

'dır.

Atlama Taşı yönteminde kurallara uygun şekilde oluşturulan kapalı çevrimin köşelerindeki birim maliyetlerin işaretlendirilerek toplanması gerekir.

T_2-B_1

boş hücresi için çevrim rotası, mevcut dolu hücreler üzerinden

T_2-B_1 (+) \rightarrow T_1-B_1 (-) \rightarrow T_1-B_2 (+) \rightarrow T_2-B_2 (-)

şeklinde oluşturulur. İlgili köşelerdeki birim maliyetler sırasıyla formüle edildiğinde

+4 - 8 + 5 - 7 = -6

değeri elde edilir. Bu, o hücreye birim atama yapmanın toplam maliyeti 6 TL azaltacağını (iyileşme sağlayacağını) ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Değerlendirilecek boş hücreden başlayarak yatay ve dikey ilerleyen, köşeleri sadece dolu hücrelere denk gelen kapalı bir çevrim (loop) çizilir.

Çevrim Rotası:

T_2-B_1 \rightarrow T_1-B_1 \rightarrow T_1-B_2 \rightarrow T_2-B_2 \rightarrow T_2-B_1

Atlama taşı yönteminde bir hücrenin toplam maliyete etkisini bulmak için, yüklemenin kaydırılabileceği mevcut dolu hücreler üzerinden kapalı bir yol oluşturmak zorunludur.

2

Çizilen rotadaki köşelere, boş hücreden başlayarak sırasıyla

(+)

ve

(-)

işaretleri atanır ve bu köşelerdeki birim taşıma maliyetleri belirlenir.

(+) T_2-B_1

(maliyet: 4),

(-) T_1-B_1

(maliyet: 8),

(+) T_1-B_2

(maliyet: 5),

(-) T_2-B_2

(maliyet: 7)

Maliyetlerdeki net değişimi hesaplamak için; eklenecek birimlerin maliyeti

(+)

, azaltılacak birimlerin maliyet tasarrufu

(-)

olarak işleme girer.

3

Belirlenen birim maliyetler atanan işaretlerle toplanarak gelişme endeksi hesaplanır.

Endeks = +4 - 8 + 5 - 7 = -6

Bu değer, o hücreye yapılacak her bir birim atamanın toplam maliyette ne kadar değişiklik (azalma veya artma) yaratacağını gösterir.

Anahtar Kavram

Atlama Taşı Yönteminde Kapalı Çevrim ve Gelişme Endeksi Hesabı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 27Soru →

Bir afet koordinasyon merkezi, 3 farklı lojistik deposundan ( $i=1, 2, 3$ ) 4 farklı afet bölgesine ( $j=1, 2, 3, 4$ ) acil durum çadırı sevk edecektir. Depoların kapasiteleri sırasıyla 400, 500 ve 300 adettir. Bölgelerin çadır talepleri ise sırasıyla 350, 450, 600 ve 200 adettir.

Toplam arzın toplam talebi karşılamaması nedeniyle dengesiz olan bu ulaştırma probleminin, standart ulaştırma algoritması (tablosu) ile çözülebilmesi için dengeli (kapalı) modele dönüştürülmesi ve $i=4$ indisiyle bir yapay (kukla) kaynak eklenmesi kararlaştırılmıştır.

Buna göre, oluşturulacak yeni dengeli doğrusal programlama modelinde; 3. afet bölgesi ( $j=3$ ) için yazılması gereken talep kısıtı ile modele eklenen yapay kaynağa ait kapasite (arz) kısıtı aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

(Not: $x_{ij}$ , $i$ . depodan $j$ . bölgeye gönderilen çadır miktarını göstermektedir.)

Talep Kısıtı:

x_{13} + x_{23} + x_{33} + x_{43} = 600

Yapay Kaynak Kısıtı:

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 400

Talep Kısıtı:

x_{13} + x_{23} + x_{33} \leq 600

Yapay Kaynak Kısıtı:

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 400

Talep Kısıtı:

x_{13} + x_{23} + x_{33} = 600

Yapay Kaynak Kısıtı:

x_{15} + x_{25} + x_{35} = 400

Talep Kısıtı:

x_{13} + x_{23} + x_{33} = 600

Yapay Kaynak Kısıtı:

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 1600

Talep Kısıtı:

x_{13} + x_{23} + x_{33} + x_{43} \geq 600

Yapay Kaynak Kısıtı:

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} \leq 400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Talep Kısıtı: $x_{13} + x_{23} + x_{33} + x_{43} = 600$
Yapay Kaynak Kısıtı: $x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 400$

Cevap

Talep Kısıtı:

x_{13} + x_{23} + x_{33} + x_{43} = 600

ve Yapay Kaynak Kısıtı:

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 400

eşitliklerini içeren seçenektir.

Dengesiz ulaştırma problemlerinde, arz ve talep toplamını eşitlemek amacıyla eksik olan tarafa yapay bir merkez eklenir. Toplam talep (1600), toplam arzdan (1200) 400 birim fazla olduğundan, 400 birim kapasiteli bir yapay kaynak (i=4) eklenmesi şarttır. Bu yapay kaynağın arz kısıtı tüm bölgelere gidecek toplam sanal miktarı belirten

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 400

olmalıdır. Problemin kapalı modele dönüştürülmesiyle birlikte tüm eşitsizlikler denkleme dönüşür; dolayısıyla 3. bölgenin 600 olan talebi, mevcut 3 gerçek depodan ve 4. yapay depodan gelen miktarların toplamına eşitlenerek

x_{13} + x_{23} + x_{33} + x_{43} = 600

şeklinde modellenmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talep miktarlarını hesaplayarak dengesizlik durumunu tespit et.

Toplam Arz = 400 + 500 + 300 = 1200 adet. Toplam Talep = 350 + 450 + 600 + 200 = 1600 adet. Talep > Arz.

Ulaştırma problemine hangi tür yapay merkez (kaynak veya varış) ekleneceğini ve kapasitesinin ne olacağını belirlemek için.

2

Eklenecek yapay merkezin türünü ve kapasitesini belirle.

Talep arzdan 400 birim fazla olduğu için, modele 400 birim arz kapasitesine sahip bir yapay kaynak (

i=4

) eklenmelidir.

Problemi kapalı (dengeli) hale getirerek standart ulaştırma algoritmasıyla çözülebilir formata sokmak için.

3

Modele eklenen yapay kaynağın (

i=4

) arz (kapasite) kısıtını matematiksel olarak ifade et.

Yapay kaynaktan 4 farklı afet bölgesine gönderilecek toplam miktar kendi kapasitesine eşit olmalıdır:

x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 400

.

Dengeli modellerde her bir kaynağın arz ettiği miktar, o kaynaktan çıkan miktarların toplamına tam eşit olmalıdır.

4

3. afet bölgesi (

j=3

) için talep kısıtını, yapay kaynağı da içerecek şekilde eşitlik olarak yaz.

3. bölgeye; gerçek depolardan (

i=1,2,3

) ve yapay depodan (

i=4

) gelen toplam çadır miktarı 600'e eşit olmalıdır:

x_{13} + x_{23} + x_{33} + x_{43} = 600

.

Dengeli bir modelde her varış noktasının talebi, gerçek ve yapay tüm kaynaklardan gelen akışların toplamıyla tam olarak karşılanmalıdır.

Anahtar Kavram

Dengesiz Ulaştırma Problemleri ve Yapay Değişkenler

Soru 28Soru →

Bir otomotiv yedek parça üreticisinin üç farklı fabrikası ( $F_1, F_2, F_3$ ) ve iki ana montaj tesisi ( $M_1, M_2$ ) bulunmaktadır. Fabrikaların günlük üretim kapasiteleri sırasıyla 400, 350 ve 250 birimdir. Montaj tesislerinin günlük parça talepleri ise sırasıyla 600 ve 550 birimdir.

$F_2$ fabrikasında üretilen parçalar teknik uyumsuzluk nedeniyle $M_1$ tesisinde kullanılamamaktadır (bu rotada sevkiyat yapılamaz). Talebin karşılanamaması durumunda, eksik kalan her birim parça için $M_1$ tesisinde 100 TL, $M_2$ tesisinde ise 150 TL üretim kaybı maliyeti (ceza) oluşmaktadır.

Bu problem, toplam maliyeti en küçükleyecek şekilde dengeli bir ulaştırma modeli olarak formüle edilmek istenmektedir. Karar değişkeni $x_{ij}$ , $i$ . fabrikadan ( $i=1, 2, 3$ ) $j$ . tesise ( $j=1, 2$ ) gönderilen miktarı ve $x_{yj}$ , modelin dengelenmesi için eklenen yapay kaynaktan $j$ . tesise gönderilen miktarı göstermektedir.

Buna göre, kurulan doğrusal programlama modelinde yapay değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayıları ve montaj tesislerinin talep kısıtları aşağıdakilerin hangisinde doğru ve eksiksiz verilmiştir?

Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri:

100x_{1y} + 150x_{2y}

Talep Kısıtları:

x_{11} + x_{31} = 600

x_{12} + x_{22} + x_{32} = 550

Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri:

0x_{y1} + 0x_{y2}

Talep Kısıtları:

x_{11} + x_{21} + x_{31} + x_{y1} = 600

x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550

Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri:

100x_{y1} + 150x_{y2}

Talep Kısıtları:

x_{11} + x_{31} + x_{y1} \geq 600

x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} \geq 550

Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri:

100x_{y1} + 150x_{y2}

Talep Kısıtları:

x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600

x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550

Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri:

150x_{y1} + 100x_{y2}

Talep Kısıtları:

x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600

x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri: $100x_{y1} + 150x_{y2}$
Talep Kısıtları:
$x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600$
$x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550$

Cevap

Modelin doğru formüle edildiği seçenekte amaç fonksiyonuna

100x_{y1} + 150x_{y2}

eklenmiş, yasaklı

x_{21}

rotası çıkarılmış ve kısıtlar eşitlik (

=

) olarak ifade edilmiştir.

Problemde toplam arz (1000), toplam talepten (1150) küçüktür. Modeli dengelemek için 150 birim kapasiteli 'Yapay Kaynak' eklenmelidir. Yapay kaynaktan montaj tesislerine yapılan sevkiyatlar gerçekte var olmayan sevkiyatlardır ve doğrudan karşılanamayan (eksik kalan) talebi simgeler. Bu nedenle, eksik kalan her birim için verilen üretim kaybı cezaları (sırasıyla 100 TL ve 150 TL), yapay kaynağın taşıma maliyetleri olarak amaç fonksiyonuna doğrudan eklenir (

100x_{y1} + 150x_{y2}

). Dengeli ulaştırma modellerinde kısıtlar daima 'eşitlik' formunda yazılır. Ayrıca,

F_2

'den

M_1

'e parça gönderilemediği için

x_{21}

değişkeni talep kısıtından tamamen çıkarılır. Tüm bu şartları eksiksiz sağlayan seçenek doğru matematiksel modellemeyi yansıtır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talebi hesaplayarak problemin denge durumunu kontrol etme.

Toplam Arz = 400 + 350 + 250 = 1000. Toplam Talep = 600 + 550 = 1150. Talep > Arz olduğu belirlenir.

Ulaştırma modelinin standart yapıda (dengeli) çözülebilmesi için yapay arz veya yapay talep noktası eklenip eklenmeyeceğini belirlemek.

2

Dengeyi sağlamak için gereken yapay merkez türünü ve kapasitesini belirleme.

Talep daha fazla olduğu için aradaki 150 birimlik farkı kapatacak bir 'Yapay Kaynak (Y)' eklenmelidir. Bu kaynaktan yapılacak sevkiyatlar karar değişkeni olarak

x_{yj}

ile gösterilir.

Eksik olan miktar arz tarafında olduğu için sisteme sanal bir üretim merkezi eklenir.

3

Yapay merkezin gönderim maliyetlerini belirleme ve amaç fonksiyonuna ekleme.

Yapay kaynaktan

M_1

'e gönderim maliyeti 100 TL,

M_2

'ye gönderim maliyeti 150 TL olarak belirlenir. Amaç fonksiyonuna

100x_{y1} + 150x_{y2}

eklenir.

Sanal (yapay) kaynaktan gelen parçalar gerçekte üretilmeyen parçalardır ve eksik talebi ifade eder. Soruda belirtilen eksiklik cezaları, yapay kaynağın taşıma maliyeti olarak modele girilir.

4

Yasak rotayı dikkate alarak talep kısıtlarını oluşturma.

F_2

'den

M_1

'e gönderim yapılamadığı için

x_{21}

rotası kısıtlara dâhil edilmez. Dengeli modellerde eşitlik kullanıldığı için

M_1

Kısıtı:

x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600

ve

M_2

Kısıtı:

x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550

olarak yazılır.

Dengeli modellerde tüm talep tam olarak karşılanmış varsayılır (eşitlik) ve yasaklı rotalar (teknik uyumsuzluk) karar değişkeni havuzundan tamamen çıkarılır.

Anahtar Kavram

Dengesiz Ulaştırma Modelleri ve Ceza Maliyetleri

Alternatif Yöntem

Problemin tablosal gösterimi üzerinden düşünmek kısıtları yazmayı kolaylaştırır. Aşağıdaki dengelenmiş matriste her sütunun toplamı ilgili talep kısıtını, her satırın toplamı ise arz kısıtını verir:

Merkezler	$M_1$ (Talep: 600)	$M_2$ (Talep: 550)	Arz Kapasitesi
$F_1$	$x_{11}$	$x_{12}$	400
$F_2$	Yasak Rota	$x_{22}$	350
$F_3$	$x_{31}$	$x_{32}$	250
Y (Yapay)	$x_{y1}$ (Ceza: 100)	$x_{y2}$ (Ceza: 150)	150

Sütun toplamlarına bakıldığında

M_1

kısıtının

x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600

olduğu açıkça görülmektedir.

Soru 29Soru →

Bir ulusal tarım kooperatifi, üç farklı tohum üretim tesisinden ( $U_1, U_2, U_3$ ) üç farklı bölgesel birliğe ( $B_1, B_2, B_3$ ) tohum sevkiyatı yapacaktır. Tesislerin arz kapasiteleri, birliklerin talep miktarları ve her bir tesis ile birlik arasındaki birim taşıma maliyetleri (TL/ton) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tesis \ Birlik	$B_1$	$B_2$	$B_3$	Arz (ton)
$U_1$	8	5	6	40
$U_2$	12	9	4	70
$U_3$	7	3	8	40
Talep (ton)	30	50	70	150

Buna göre, bu ulaştırma probleminin başlangıç temel uygun çözümü Kuzeybatı Köşe Yöntemi ile bulunduğunda toplam taşıma maliyeti kaç TL olur?

690

960

1040

1090

1130

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1090

Cevap

Başlangıç temel uygun çözümü için toplam taşıma maliyeti 1090 TL olarak hesaplanmaktadır.

Kuzeybatı Köşe Yöntemine göre atamalar şu şekilde gerçekleşir:
(

U_1

,

B_1

) = 30

\Rightarrow 30 \times 8 = 240

TL
(

U_1

,

B_2

) = 10

\Rightarrow 10 \times 5 = 50

TL
(

U_2

,

B_2

) = 40

\Rightarrow 40 \times 9 = 360

TL
(

U_2

,

B_3

) = 30

\Rightarrow 30 \times 4 = 120

TL
(

U_3

,

B_3

) = 40

\Rightarrow 40 \times 8 = 320

TL
Toplam Maliyet = 240 + 50 + 360 + 120 + 320 = 1090 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Sol üst (Kuzeybatı) köşesi olan (

U_1

,

B_1

) hücresi için atama yapılır. Arz=40, Talep=30 olduğundan min(40, 30) seçilir.

(

U_1

,

B_1

) hücresine 30 ton atanır.

B_1

talebi karşılanır,

U_1

'in kalan arzı 10 ton olur. Maliyet: 30 x 8 = 240 TL.

Kuzeybatı Köşe Yöntemi matrisin en sol üst hücresinden başlayarak ilerler.

2

B_1

'in talebi bittiği için sağa, (

U_1

,

B_2

) hücresine geçilir.

U_1

kalan arz=10,

B_2

talep=50.

(

U_1

,

B_2

) hücresine 10 ton atanır.

U_1

'in arzı tükenir,

B_2

'nin kalan talebi 40 ton olur. Maliyet: 10 x 5 = 50 TL.

Aynı satırda arz bitene kadar veya sütunda talep bitene kadar atama devam eder.

3

U_1

'in arzı bittiği için aşağıya, (

U_2

,

B_2

) hücresine geçilir.

U_2

arz=70,

B_2

kalan talep=40.

(

U_2

,

B_2

) hücresine 40 ton atanır.

B_2

talebi karşılanır,

U_2

'nin kalan arzı 30 ton olur. Maliyet: 40 x 9 = 360 TL.

Talep karşılandığında satırda aşağıya doğru geçiş yapılır.

4

B_2

'nin talebi bittiği için sağa, (

U_2

,

B_3

) hücresine geçilir.

U_2

kalan arz=30,

B_3

talep=70.

(

U_2

,

B_3

) hücresine 30 ton atanır.

U_2

'nin arzı tükenir,

B_3

'ün kalan talebi 40 ton olur. Maliyet: 30 x 4 = 120 TL.

Arz tükendiğinde bir sonraki talebi karşılamak için sağa doğru ilerlenir.

5

U_2

'nin arzı bittiği için aşağıya, (

U_3

,

B_3

) hücresine geçilir.

U_3

arz=40,

B_3

kalan talep=40.

(

U_3

,

B_3

) hücresine 40 ton atanır. Hem arz hem talep karşılanmış olur. Maliyet: 40 x 8 = 320 TL.

Problem dengeli (Toplam Arz = Toplam Talep) olduğu için son hücrede arz ve talep tam eşitlenir.

6

Tüm atamaların maliyetleri toplanır.

240 + 50 + 360 + 120 + 320 = 1090 TL bulunur.

Toplam taşıma maliyeti, her hücredeki atama miktarı ile o hücrenin birim maliyetinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kuzeybatı Köşe Yöntemi ile Atama ve Maliyet Hesaplama

Soru 30Soru →

Bir tıbbi malzeme üreticisi, 3 farklı üretim tesisinde ( $i=1, 2, 3$ ) ürettiği diyaliz solüsyonlarını 4 farklı bölgedeki ( $j=1, 2, 3, 4$ ) hastanelere sevk etmektedir.

Aşağıdaki tabloda tesislerin haftalık kapasiteleri, bölgelerin haftalık talepleri ve talebin karşılanamaması durumunda katlanılacak birim ceza maliyetleri (hasta mağduriyeti vb. alternatif tedarik bedelleri) verilmiştir:

Tesis	Kapasite (Ton)	Bölge	Talep (Ton)	Ceza Maliyeti (TL/Ton)
T1 ( $i=1$ )	120	B1 ( $j=1$ )	100	500
T2 ( $i=2$ )	180	B2 ( $j=2$ )	140	400
T3 ( $i=3$ )	150	B3 ( $j=3$ )	160	600
-	-	B4 ( $j=4$ )	130	450

Ayrıca, birinci tesis (T1) ile üçüncü bölge (B3) arasındaki taşıma güzergahı, özel taşıma izni gerektirdiği ve bu izin alınamadığı için kesinlikle kullanılamamaktadır.

Karar değişkeni $x_{ij}$ ( $i$ . tesisten $j$ . bölgeye gönderilen tonaj) ve $M$ çok büyük bir pozitif sayıyı ifade etmek üzere; bu problemin minimum maliyetli standart dengeli ulaştırma modeli olarak kurgulanmış halinde aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Modele 80 ton kapasiteli yapay bir kaynak (üretim tesisi,

i=4

) eklenir; amaç fonksiyonunda

+500x_{41} + 400x_{42} + 600x_{43} + 450x_{44}

terimleri yer alır ve yapay kaynağa ait kapasite kısıtı

\sum_{j=1}^{4} x_{4j} = 80

şeklinde eşitlik olarak kurulur.

Toplam talep toplam arzdan büyük olduğu için modele 80 ton talebi olan yapay bir varış noktası (

j=5

) eklenir ve fabrikalardan bu bölgeye gönderilen miktarların (

x_{i5}

) amaç fonksiyonu katsayıları ceza değerlerine eşitlenir.

Birinci tesisten üçüncü bölgeye sevkiyatın engellenmesi için, minimum maliyetli modelin amaç fonksiyonunda

x_{13}

karar değişkeninin maliyet katsayısı

-M

olarak belirlenerek modelin bu rotadan kaçınması sağlanır.

Yapay merkeze ait gönderim değişkenleri, bölgelerin eksik kalan talebini temsil ettiğinden, talep kısıtlarında negatif işaretli olarak yer alır ve

\sum_{i=1}^{3} x_{ij} - x_{4j} = d_j

formunda yazılır.

Standart dengeli model formatını korumak adına, modele eklenen yapay kaynağın (

i=4

) taşıma maliyetleri zorunlu olarak

0

(sıfır) kabul edilir ve ceza maliyetleri amaç fonksiyonuna dâhil edilmez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modele 80 ton kapasiteli yapay bir kaynak (üretim tesisi, $i=4$ ) eklenir; amaç fonksiyonunda $+500x_{41} + 400x_{42} + 600x_{43} + 450x_{44}$ terimleri yer alır ve yapay kaynağa ait kapasite kısıtı $\sum_{j=1}^{4} x_{4j} = 80$ şeklinde eşitlik olarak kurulur.

Cevap

Dengeli model kurulurken eksik arzı telafi etmek üzere 80 birimlik yapay bir kaynak eklenmesi ve karşılanamayan talebin yarattığı ceza maliyetlerinin, yapay kaynağın ulaştırma maliyetleri olarak amaç fonksiyonunda yer alması gerekir.

Verilen problemde talep (530), arzdan (450) büyüktür. Ulaştırma algoritmasının çalışabilmesi için aradaki 80 birimlik farkı kapatacak bir yapay kaynağa (

i=4

) ihtiyaç vardır. Yapay kaynaktan bölgelere gönderilen miktar (

x_{4j}

), gerçekte o bölgeye ulaştırılamayan ve ceza maliyeti oluşturan miktarı temsil eder. Dolayısıyla amaç fonksiyonunda yapay kaynağa ait değişkenlerin katsayıları, sıfır yerine problemde verilen ceza maliyetleri (

500, 400, 600, 450

) olmalıdır. Tüm denge kısıtları eşitlik (=) ile ifade edildiğinden dördüncü kaynak kısıtı da eşittir 80 olarak tanımlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talep miktarının hesaplanması ve dengenin kontrol edilmesi.

Toplam Arz = 120 + 180 + 150 = 450 ton. Toplam Talep = 100 + 140 + 160 + 130 = 530 ton. Talep > Arz durumu tespit edilir.

Ulaştırma modelinin standart formda (dengeli) çözülebilmesi için arz ve talebin birbirine eşit olması zorunludur.

2

Sistemi dengelemek için gereken yapay merkezin türünün ve kapasitesinin belirlenmesi.

Arz yetersizliği olduğundan, modele 80 ton kapasiteli bir 'Yapay Kaynak' (Yapay Üretim Tesisi, i=4) eklenir. Yapay kaynağın kapasite kısıtı

\sum_{j=1}^{4} x_{4j} = 80

olur.

Eksik olan kısım üretim (arz) tarafındadır. Bu yüzden hayali bir tesis sistemi dengelemek için gereklidir.

3

Yapay kaynak ile varış noktaları arasındaki birim maliyetlerin (amaç fonksiyonu katsayılarının) tanımlanması.

Yapay kaynaktan bir bölgeye gönderilmiş gibi görünen her 1 ton, gerçekte o bölgenin talebinin 1 ton eksik karşılanması demektir. Bu nedenle amaç fonksiyonu katsayıları ceza maliyetlerine eşitlenir:

c_{41}=500, c_{42}=400, c_{43}=600, c_{44}=450

.

Sistem, maliyetleri minimize etmeye çalışırken, en yüksek cezaya sahip bölgenin talebini gerçek fabrikalardan karşılamaya öncelik vermelidir.

4

Kullanılamayan (yasaklı) T1-B3 rotasının matematiksel kısıtının belirlenmesi.

Minimum maliyetli fonksiyonda, algoritmanın bu rotayı seçmemesi için

x_{13}

değişkeninin maliyet katsayısı

+M

(çok büyük pozitif değer) olarak belirlenir.

-M

atanması durumunda model bu rotayı seçmek isteyecektir, bu nedenle

+M

yöntemi (Büyük-M) kullanılır.

Anahtar Kavram

Dengesiz Ulaştırma Problemleri ve Ceza Maliyetlerinin Modellenmesi

Soru 31Soru →

Bir tarım kooperatifi, hasat sonrasında iki farklı bölgesindeki depolardan ( $S_1$ ve $S_2$ ), üç farklı un fabrikasına ( $F_1, F_2, F_3$ ) buğday sevkiyatı yapacaktır.

Depoların mevcut kapasiteleri sırasıyla 800 ton ve 600 tondur. Fabrikaların talepleri ise sırasıyla 500 ton, 400 ton ve 300 tondur. Toplam arz, toplam talepten fazla olduğu için fabrikalara gönderilemeyen buğdaylar depolarda kalacaktır. Depolarda bekletilen buğdaylar için katlanılması gereken aylık stoklama maliyeti $S_1$ deposu için ton başına 40 TL, $S_2$ deposu için ton başına 65 TL olarak belirlenmiştir.

Sevkiyat ve stoklama maliyetleri toplamını en küçükleyecek dengelenmiş standart ulaştırma modelini kurmak için bir yapay varış merkezi (kukla fabrika - $F_Y$ ) tanımlanmıştır.

Buna göre, kurulan doğrusal programlama modelinde yapay varış merkezi ile ilgili karar değişkenlerinin ( $x_{1Y}$ ve $x_{2Y}$ ) amaç fonksiyonundaki konumu ve bu merkeze ait talep kısıtı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Amaç fonksiyonu ek terimleri:

+ 40x_{1Y} + 65x_{2Y}

Kısıt denklemi:

x_{1Y} + x_{2Y} = 200

Amaç fonksiyonu ek terimleri:

+ 0x_{1Y} + 0x_{2Y}

Kısıt denklemi:

x_{1Y} + x_{2Y} = 200

Amaç fonksiyonu ek terimleri:

+ 40x_{Y1} + 65x_{Y2}

Kısıt denklemi:

x_{Y1} + x_{Y2} = 200

Amaç fonksiyonu ek terimleri:

+ 40x_{1Y} + 65x_{2Y}

Kısıt denklemi:

x_{1Y} + x_{2Y} \leq 200

Amaç fonksiyonu ek terimleri:

- 40x_{1Y} - 65x_{2Y}

Kısıt denklemi:

x_{1Y} + x_{2Y} \geq 200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Amaç fonksiyonu ek terimleri: $+ 40x_{1Y} + 65x_{2Y}$
Kısıt denklemi: $x_{1Y} + x_{2Y} = 200$

Cevap

Modelde yapay varış merkezine ait katsayıların +40 ve +65 olduğu, kısıt denkleminin ise kesin eşitlik formuyla 200'e eşitlendiği seçenektir.

Toplam 1400 ton arza karşılık 1200 ton talep vardır. Sistemdeki 200 tonluk arz fazlasını dengelemek için 200 ton talepli bir yapay varış merkezi (kukla fabrika) açılır. Dengelenmiş bir ulaştırma probleminde tüm arz ve talep kısıtları kesin eşitlik (=) ile ifade edilir, bu nedenle kısıt

x_{1Y} + x_{2Y} = 200

olmalıdır. Birinci depodan yapay merkeze yapılan atama (

x_{1Y}

), gerçekte ürünün birinci depoda kaldığını ve ton başına 40 TL stoklama maliyeti yarattığını gösterir. Aynı şekilde ikinci depo için bu maliyet 65 TL'dir. Amaç fonksiyonu maliyet minimizasyonu olduğundan, bu birim maliyetler denkleme pozitif katsayılar (

+40x_{1Y} + 65x_{2Y}

) olarak eklenir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talep miktarlarını hesaplayarak dengesizlik durumunu tespit et.

Toplam Arz = 800 + 600 = 1400 ton. Toplam Talep = 500 + 400 + 300 = 1200 ton. Arz > Talep (1400 > 1200).

Ulaştırma probleminde standart model kurulabilmesi için arz ve talebin dengede olup olmadığının bilinmesi gerekir.

2

Dengeyi sağlamak için eklenecek yapay merkezin türünü ve miktarını belirle.

Arz fazlası olduğu için 1400 - 1200 = 200 ton talebi olan bir Yapay Varış Merkezi (

F_Y

) eklenmelidir.

Dengelenmiş modelde Toplam Arz = Toplam Talep şartı sağlanmalıdır.

3

Yapay varış merkezi için talep kısıtını doğrusal programlama formatında yaz.

Dengelenmiş modellerde kısıtlar her zaman tam eşitliktir:

x_{1Y} + x_{2Y} = 200

.

Standart ulaştırma algoritmasının (simpleks tabanlı) çalışabilmesi için eşitsizliklerin eşitliğe dönüştürülmesi şarttır.

4

Amaç fonksiyonunda yapay merkeze atanacak birim maliyetleri metinden çıkararak yaz.

S_1

deposunda kalan miktar (

x_{1Y}

) için 40 TL,

S_2

deposunda kalan miktar (

x_{2Y}

) için 65 TL stoklama maliyeti olduğundan amaç fonksiyonu ek terimleri

+ 40x_{1Y} + 65x_{2Y}

olur.

Genellikle yapay merkezlerin maliyetleri sıfır kabul edilse de, soruda fiziksel stoklama maliyeti verildiği için bu değerler doğrudan maliyet katsayısı (

C_{ij}

) olarak kullanılır.

Anahtar Kavram

Dengesiz ulaştırma problemlerinde stoklama/bekletme maliyeti içeren yapay merkez modellemesi

Soru 32Soru →

Türkiye Kömür İşletmeleri (TKİ), 3 farklı kömür madeninden ( $M_1, M_2, M_3$ ) 3 farklı termik santrale ( $S_1, S_2, S_3$ ) kömür sevkiyatı yapacaktır. Madenlerin üretim kapasiteleri, santrallerin talepleri ve taşıma maliyetleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Madenler	$S_1$	$S_2$	$S_3$	Kapasite (ton)
$M_1$	8	5	6	60
$M_2$	7	9	4	40
$M_3$	3	8	5	80
Talep (ton)	50	60	40

Tablodaki maliyetler bin TL/ton cinsindendir. Problemin dengeli hale getirilmesi için eklenecek olan yapay merkeze (kullanılmayan kapasiteye) ait birim stoklama maliyeti 2 bin TL/ton olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu ulaştırma probleminde Kuzeybatı Köşe Yöntemi kullanılarak elde edilecek başlangıç temel uygun çözümünün toplam maliyeti kaç bin TL'dir?

760

940

1090

1150

1240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1150

Cevap

Başlangıç temel uygun çözümünün toplam maliyeti 1150 bin TL'dir.

Problemde Toplam Arz (180) > Toplam Talep (150) olduğundan, 30 tonluk bir yapay talep merkezi (

S_Y

) sütunu eklenmelidir. Sorudaki kısıt gereği bu sütunun birim maliyetleri 2 olarak alınır. Kuzeybatı köşesinden başlandığında atamalar sırasıyla;

(M_1, S_1)=50

,

(M_1, S_2)=10

,

(M_2, S_2)=40

,

(M_3, S_2)=10

,

(M_3, S_3)=40

ve

(M_3, S_Y)=30

şeklinde gerçekleşir. Toplam maliyet:

400 + 50 + 360 + 80 + 200 + 60 = 1150

bin TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talebi karşılaştırarak problemin dengeli olup olmadığını belirleyin.

Toplam Arz = 60 + 40 + 80 = 180 ton. Toplam Talep = 50 + 60 + 40 = 150 ton. Arz > Talep olduğundan problem dengesizdir.

Ulaştırma algoritmalarının çalışabilmesi için toplam arzın toplam talebe eşit olması gerekir.

2

Problemi dengelemek için yapay bir merkez (sütun) ekleyin.

Talebi 30 ton olan bir Yapay Santral (

S_Y

) sütunu eklenir. Soruda belirtildiği üzere bu sütunun tüm hücrelerine birim maliyet olarak 2 yazılır.

Arz fazlasını (180 - 150 = 30) emmek ve belirtilen stoklama maliyetini yansıtmak için yapay talep merkezi gereklidir.

3

Kuzeybatı Köşe Yöntemini uygulayarak sol üst hücreden

(M_1, S_1)

atamalara başlayın.

(M_1, S_1) = \min(60, 50) = 50

atanır.

S_1

talebi karşılanır,

M_1

'in 10 ton arzı kalır.

Kuzeybatı Köşe Yöntemi her zaman mevcut tablonun en sol üst köşesinden atama yapar.

4

Kalan arz ve taleplere göre sırasıyla komşu hücrelere geçerek atamalara devam edin.

(M_1, S_2) = \min(10, 60) = 10

(

M_1

biter,

S_2

50 kalır).

(M_2, S_2) = \min(40, 50) = 40

(

M_2

biter,

S_2

10 kalır).

(M_3, S_2) = \min(80, 10) = 10

(

S_2

biter,

M_3

70 kalır).

(M_3, S_3) = \min(70, 40) = 40

(

S_3

biter,

M_3

30 kalır).

(M_3, S_Y) = \min(30, 30) = 30

(İkisi de biter).

Satır veya sütun kapasitesi dolduğunda bir sonraki uygun hücreye (sağa veya aşağıya) geçilerek tablo tamamlanır.

5

Atama yapılan miktarları ilgili hücrelerin birim maliyetleriyle çarparak toplam maliyeti hesaplayın.

Z = (50 \times 8) + (10 \times 5) + (40 \times 9) + (10 \times 8) + (40 \times 5) + (30 \times 2) = 400 + 50 + 360 + 80 + 200 + 60 = 1150

.

Toplam taşıma maliyeti, her bir rotadaki taşıma miktarı ile o rotanın birim maliyetinin çarpımlarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Dengesiz Ulaştırma Modellerinde Kuzeybatı Köşe Yöntemi

Soru 33Soru →

Afet ve Acil Durum Yönetimi Başkanlığı (AFAD), bölgesel bir kriz anında çadır ihtiyacını karşılamak üzere 3 farklı lojistik üssünden ( $L_1, L_2, L_3$ ) acil durum ilan edilen 3 farklı toplanma alanına ( $T_1, T_2, T_3$ ) çadır sevkiyatı planlamaktadır. Lojistik üslerinin kapasiteleri (stok), toplanma alanlarının talepleri ve üsler arası birim taşıma maliyetleri (TL/adet) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Lojistik Üs \ Toplanma Alanı	$T_1$	$T_2$	$T_3$	Kapasite (Arz)
$L_1$	15	10	12	140
$L_2$	8	14	9	160
$L_3$	11	13	16	100
Talep	170	150	160

AFAD'ın mevcut stokları toplam talebi karşılamaya yetmediği için, eksik kalan her bir çadır ihtiyacı dışarıdan özel sektör aracılığıyla doğrudan toplanma alanlarına sevk edilecektir. Bu acil dış tedarik işleminin birim maliyeti 25 TL olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu ulaştırma probleminin Kuzeybatı Köşe Yöntemi kullanılarak elde edilen başlangıç temel uygun çözümünün toplam taşıma maliyeti kaç TL'dir?

5700

6200

6940

7700

7750

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7700

Cevap

Doğru hesaplama ile başlangıç temel uygun çözümünün toplam maliyeti 7700 TL'dir.

Doğru yaklaşımda öncelikle 80 birimlik kapasite açığı tespit edilir. Bu açık için maliyeti 25 TL olan bir yapay satır eklenir. Daha sonra Kuzeybatı Köşe Yöntemi kuralına uygun biçimde en sol üst köşeden başlanarak sırasıyla (140, 30, 130, 20, 80) gerçek birimler ve (80) yapay birimler atanır. Birim maliyetlerle çarpım yapıldığında (140×15) + (30×8) + (130×14) + (20×13) + (80×16) + (80×25) = 7700 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Arz ve talep dengesini kontrol ederek problemi dengeli hale getirin.

Toplam Arz = 400, Toplam Talep = 480. Fark olan 80 birim için tabloya bir 'Yapay Kaynak (Dış Tedarik)' satırı eklenir.

Ulaştırma algoritmalarının çalışabilmesi için toplam arzın toplam talebe eşit olması zorunludur.

2

Yapay satırın birim maliyetlerini belirleyin.

Soruda dış tedarik acil durum maliyeti 25 TL olarak belirtildiği için, yapay satırın

T_1

,

T_2

ve

T_3

hücrelerine birim maliyet olarak 25 yazılır.

Eksik kalan talebin karşılanması standart bir eylem (0 maliyet) değil, belirtilen ceza/dış alım maliyeti üzerinden değerlendirilmelidir.

3

Kuzeybatı köşesinden (

L_1, T_1

) başlayarak ilk atamayı yapın ve satır/sütun güncelleyin.

Atama =

\min(140, 170) = 140

.

L_1

arzı sıfırlanır,

T_1

talebi 30 kalır. Maliyet:

140 \times 15 = 2100

TL. Alt satıra geçilir.

Yöntem kuralı gereği her adımda mevcut satır veya sütun kapasitelerinden küçük olan kadar atama yapılır ve sıfırlanan eksen kapatılır.

4

Sırasıyla sağa ve aşağıya doğru hareket ederek atamaları tamamlayın.

(L_2, T_1)

: 30 birim (Maliyet: 240).

(L_2, T_2)

: 130 birim (Maliyet: 1820).

(L_3, T_2)

: 20 birim (Maliyet: 260).

(L_3, T_3)

: 80 birim (Maliyet: 1280).

Sol üst köşeden başlayıp kapasiteleri adım adım eriterek basamak formunda rota izlenir.

5

Yapay satır üzerindeki son kalan talebi atayın ve toplam maliyeti toplayın.

(Yapay,

T_3

): 80 birim atanır. Maliyet:

80 \times 25 = 2000

TL. Toplam Maliyet:

2100 + 240 + 1820 + 260 + 1280 + 2000 = 7700

TL.

Tablonun en sağ alt köşesine gelindiğinde tüm arz ve talep değerleri sıfırlanmış olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kuzeybatı Köşe Yöntemi ve Dengesiz Ulaştırma Problemlerinin Çözümü

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 34Soru →

Bir e-ticaret şirketinin lojistik ağı, üç farklı ana depodan ( $D_1, D_2, D_3$ ) üç farklı şehirdeki dağıtım merkezlerine ( $M_1, M_2, M_3$ ) sevkiyat planlamaktadır.

Depoların günlük ürün tedarik kapasiteleri sırasıyla 120, 150 ve 180 birimdir. Şehirlerdeki dağıtım merkezlerinin günlük sipariş talepleri ise sırasıyla 200, 250 ve 150 birimdir.

Talebin eksiksiz karşılanamaması durumunda, teslimat gecikmesi ve müşteri memnuniyetsizliği nedeniyle $M_1, M_2$ ve $M_3$ merkezleri için karşılanmayan her birim ürün başına sırasıyla 40 TL, 50 TL ve 60 TL fırsat maliyeti (ceza) hesaplanmaktadır. Ayrıca, $D_2$ deposundan $M_1$ merkezine giden transit yolda onarım çalışması bulunduğu için bu güzergâhtan sevkiyat yapılması lojistik olarak imkânsızdır.

Bu problemin dengelenmiş standart bir doğrusal ulaştırma modeli olarak formüle edilmesi istenmektedir. Modeldeki karar değişkenleri $x_{ij}$ ( $i$ . düğümden $j$ . merkeze gönderilen miktar) ve yasaklı güzergâhı engelleyecek ceza katsayısı yeterince büyük pozitif bir $M$ sayısı olarak tanımlanmıştır. Gerçek depolar $i=1,2,3$ ve eklenecek yapay düğüm duruma göre $i=4$ veya $j=4$ olarak numaralandırılacaktır.

Buna göre, modeli dengelemek için eklenecek yapay düğüme ait kısıt denklemi ile amaç fonksiyonunda yer alacak yapay değişken ve yasaklı güzergâh maliyet katsayıları ( $c_{ij}$ ) aşağıdakilerden hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Yapay Kısıt:

x_{41} + x_{42} + x_{43} = 150

; Katsayılar:

c_{41}=40, c_{42}=50, c_{43}=60, c_{21}=M

Yapay Kısıt:

x_{14} + x_{24} + x_{34} = 150

; Katsayılar:

c_{14}=40, c_{24}=50, c_{34}=60, c_{21}=M

Yapay Kısıt:

x_{41} + x_{42} + x_{43} = 150

; Katsayılar:

c_{41}=0, c_{42}=0, c_{43}=0, c_{21}=M

Yapay Kısıt:

x_{41} + x_{42} + x_{43} \leq 150

; Katsayılar:

c_{41}=40, c_{42}=50, c_{43}=60, c_{21}=M

Yapay Kısıt:

x_{41} + x_{42} + x_{43} = 150

; Katsayılar:

c_{41}=40, c_{42}=50, c_{43}=60, c_{12}=M

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yapay Kısıt: $x_{41} + x_{42} + x_{43} = 150$ ; Katsayılar: $c_{41}=40, c_{42}=50, c_{43}=60, c_{21}=M$

Cevap

Modeli dengelemek için yapay kısıtın '

x_{41} + x_{42} + x_{43} = 150

' ve katsayıların '

c_{41}=40, c_{42}=50, c_{43}=60, c_{21}=M

' olduğu seçenektir.

Verilen problemde toplam talep (600), toplam arzdan (450) büyüktür. Bu durumda dengeyi sağlamak için kapasitesi 150 birim olan bir yapay kaynak (i=4) eklenmelidir. Standart bir ulaştırma modelinde tüm kısıtlar kapalı eşitlik formundadır, bu nedenle yapay kaynak kısıtı '

x_{41} + x_{42} + x_{43} = 150

' şeklinde yazılmalıdır. Yapay kaynaktan gönderilen miktarlar, gerçekte ilgili dağıtım merkezlerinin 'karşılanamayan taleplerini' ifade eder. Problem metninde karşılanamayan talep için sırasıyla 40, 50 ve 60 TL fırsat maliyeti oluştuğu belirtildiğinden, yapay merkezin maliyet katsayıları

c_{41}=40, c_{42}=50, c_{43}=60

olur. Son olarak

D_2

'den

M_1

'e giden güzergâh yasaklı olduğundan, bu hücrenin maliyeti

c_{21}=M

olarak modele yansıtılır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talebi hesaplayarak dengesizliğin yönünü ve miktarını belirle.

Toplam Arz = 120 + 150 + 180 = 450. Toplam Talep = 200 + 250 + 150 = 600. Talep, arzdan 150 birim fazladır.

Ulaştırma modellerinin standart formda çözülebilmesi için toplam arzın toplam talebe eşit olması (dengelenmesi) gerekir.

2

Dengeyi sağlamak için eklenecek yapay düğüm türünü ve kısıt denklemini oluştur.

Eksik olan arz olduğundan sisteme 150 kapasiteli bir Yapay Kaynak (i=4) eklenmelidir. Standart modelde kısıtlar eşitlik formundadır:

x_{41} + x_{42} + x_{43} = 150

.

Arz eksikliği durumunda teorik olarak ürünü sağlayacak sanal bir merkeze (yapay depo) ihtiyaç vardır ve standart form denklemleri '=' işareti gerektirir.

3

Yapay değişkenler için amaç fonksiyonu maliyet katsayılarını (

c_{ij}

) belirle.

Yapay kaynaktan dağıtım merkezlerine giden ürünler aslında 'karşılanamayan talebi' temsil eder. Ceza maliyetleri 40, 50 ve 60 TL olduğundan katsayılar

c_{41}=40, c_{42}=50, c_{43}=60

olur.

Normalde yapay değişkenlerin maliyeti 0 kabul edilse de, problemde karşılanmayan talebe özel bir fırsat maliyeti tanımlanmıştır.

4

Yasaklı güzergâh için karar değişkenini ve maliyet katsayısını tanımla.

D2 deposundan (i=2) M1 merkezine (j=1) gidiş yasaklıdır. Bu nedenle karar değişkeni

x_{21}

olur ve modele atanacak ceza maliyeti

c_{21}=M

olarak belirlenir.

Modelin çözümünde yasaklı bir hücreye atama yapılmasını engellemek için amaç fonksiyonunda bu güzergâhın birim maliyeti sonsuz (Büyük-M) kabul edilir.

Anahtar Kavram

Dengesiz Ulaştırma Problemlerinin Modellenmesi, Ceza Maliyetleri ve Yasaklı Güzergâhlar

Ulaştırma ve Atama Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar