Ulaştırma ve Atama Problemleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Aşağıdaki tabloda bir ulaştırma probleminin maliyet matrisi ve başlangıç temel uygun çözümü verilmiştir. Tablodaki hücrelerin sol üst köşesindeki sayılar birim taşıma maliyetlerini ( $c_{ij}$ ), hücrelerin ortasındaki sayılar ise atama miktarlarını göstermektedir.

Kaynaklar	$D_1$	$D_2$	$D_3$	Arz
$S_1$	$^{8}\mathbf{100}$	$^{5}\mathbf{20}$	$^{6}$	120
$S_2$	$^{15}$	$^{10}\mathbf{50}$	$^{12}\mathbf{30}$	80
$S_3$	$^{3}$	$^{9}$	$^{10}\mathbf{80}$	80
Talep	100	70	110	280

Bu verilere göre, MODI ( $U-V$ ) yöntemi kullanılarak çözümün optimalliği test edildiğinde, $(3,1)$ numaralı boş hücreye ait iyileştirme indeksi (fırsat maliyeti) değeri kaçtır?

-8

8

11

3

-5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

İyileştirme indeksi, birim maliyetten ilgili satır ve sütun dual değişkenlerinin toplamı çıkarılarak bulunur:

3 - (3 + 8) = -8

.

Doğru cevap

-8

değeridir. Dolu hücreler üzerinden yapılan hesaplamalarda

u_1=0

için

v_1=8

,

v_2=5

,

u_2=5

,

v_3=7

ve

u_3=3

olarak bulunur.

(3,1)

hücresi için maliyet

3

olduğundan, iyileştirme indeksi

3 - (3 + 8) = -8

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dolu hücreler için

u_i + v_j = c_{ij}

denklemlerini kurunuz ve

u_1 = 0

atayınız.

u_1 = 0

olarak belirlenir.

MODI yöntemine başlamak için bir başlangıç değişkeni atanmalıdır.

2

Dolu hücreleri kullanarak diğer

u

ve

v

değerlerini hesaplayınız.

(1,1): 0 + v_1 = 8 \Rightarrow v_1 = 8

(1,2): 0 + v_2 = 5 \Rightarrow v_2 = 5

(2,2): u_2 + 5 = 10 \Rightarrow u_2 = 5

(2,3): 5 + v_3 = 12 \Rightarrow v_3 = 7

(3,3): u_3 + 7 = 10 \Rightarrow u_3 = 3

İyileştirme indeksini hesaplamak için ilgili satır (

u_3

) ve sütun (

v_1

) değişkenlerine ihtiyaç vardır.

3

(3,1)

boş hücresi için

\bar{c}_{31} = c_{31} - (u_3 + v_1)

formülünü uygulayınız.

\bar{c}_{31} = 3 - (3 + 8) = 3 - 11 = -8

Boş hücrenin maliyet iyileştirme potansiyelini belirlemek için bu fark hesaplanır.

Anahtar Kavram

MODI (U-V) Yönteminde İyileştirme İndeksi Hesaplama

Daha Fazla Pratik

Diğer boş hücreler olan (1,3), (2,1) ve (3,2) için de iyileştirme indekslerini hesaplayarak çözümün optimal olup olmadığını kontrol ediniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir kamu kurumu, üç farklı arşiv merkezinden ( $A_1, A_2, A_3$ ) üç farklı bölge müdürlüğüne ( $B_1, B_2, B_3$ ) evrak sevkiyatı planlamaktadır. Arşiv merkezlerinin kapasiteleri, bölge müdürlüklerinin gereksinimleri (talep) ve her bir birim sevkiyatın maliyeti (TL/Kutu) aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Arşiv Merkezi	$B_1$	$B_2$	$B_3$	Kapasite (Arz)
$A_1$	4	8	8	40
$A_2$	16	24	16	60
$A_3$	8	16	24	50
Gereksinim (Talep)	30	70	50	150

Verilen ulaştırma tablosu için En Düşük Maliyetler Yöntemi (Least Cost Method) kullanılarak elde edilen başlangıç temel uygun çözümün toplam maliyeti kaç TL'dir?

2040

2840

2000

2120

2260

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2040

Cevap

En Düşük Maliyetler Yöntemi ile yapılan doğru atamalar sonucu toplam maliyet 2040 TL olarak hesaplanmıştır.

En Düşük Maliyetler Yöntemi'nde tablo genelindeki en küçük maliyetli hücrelerden başlanarak atama yapılır. Bu problemde sırasıyla 4, 8, 16 ve 24 birim maliyetli hücrelere kapasite ve talep kısıtları dahilinde atama yapıldığında toplam maliyet

(30\times4) + (10\times8) + (50\times16) + (50\times16) + (10\times24) = 2040

TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

En düşük birim maliyete sahip hücrenin belirlenmesi ve atama yapılması.

C_{11} = 4

hücresi en düşüktür. Atama:

x_{11} = \min(40, 30) = 30

.

Yöntem gereği tablo genelindeki en küçük maliyetten başlanır.

B_1

talebi karşılanmış oldu.

2

Kalan hücreler arasından yeni en düşük maliyetin belirlenmesi.

S_1

satırında kalan 10 birim kapasite, bir sonraki düşük maliyet olan

C_{12} = 8

hücresine atanır.

x_{12} = \min(10, 70) = 10

.

A_1

merkezinin tüm kapasitesi tükendi.

3

Geriye kalan

A_2

ve

A_3

merkezleri ile

B_2

ve

B_3

müdürlükleri arasındaki maliyetlerin değerlendirilmesi.

Kalan maliyetler 16, 24, 16, 24'tür. En düşük olan

C_{32}=16

ve

C_{23}=16

hücrelerinden biri seçilir.

x_{32} = \min(50, 60) = 50

ataması yapılır.

A_3

kapasitesi tamamen kullanıldı.

B_2

talebi için 10 birim açık kaldı.

4

Son kalan kapasite ve taleplerin eşleştirilmesi.

C_{23} = 16

hücresine

x_{23} = \min(60, 50) = 50

ataması yapılır. Son olarak

C_{22} = 24

hücresine kalan 10 birim atanır (

x_{22}=10

).

Tüm arz ve talep miktarları dengelenerek çözüm tamamlandı.

5

Toplam maliyetin hesaplanması.

Z = (30 \times 4) + (10 \times 8) + (50 \times 16) + (50 \times 16) + (10 \times 24) = 120 + 80 + 800 + 800 + 240 = 2040

.

Her hücredeki atama miktarı ile birim maliyet çarpılarak toplam maliyete ulaşılır.

Anahtar Kavram

En Düşük Maliyetler Yöntemi ile başlangıç çözümü bulma

Soru 3Soru →

Bir işletmenin üç farklı üretim merkezindeki ( $F_1, F_2, F_3$ ) ürünleri, üç farklı depoya ( $W_1, W_2,$ W_3$) en düşük maliyetle ulaştırması planlanmaktadır. Üretim merkezlerinin kapasiteleri, depoların talepleri ve birim taşıma maliyetleri (hücrelerin sağ üst köşesinde) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üretim / Depo	$W_1$	$W_2$	$W_3$	Arz
$F_1$	$5$	$8$	$4$	$20$
$F_2$	$6$	$3$	$7$	$30$
$F_3$	$9$	$5$	$2$	$50$
Talep	$30$	$40$	$30$	$100$

Buna göre, Kuzeybatı Köşe Yöntemi kullanılarak elde edilecek başlangıç temel uygun çözümün toplam taşıma maliyeti kaç TL'dir?

340

360

380

400

420

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 380

Cevap

Kuzeybatı Köşe Yöntemi ile yapılan atamalar sonucunda toplam taşıma maliyeti 380 TL olarak hesaplanır.

Doğru seçenek olan 380 değeri, Kuzeybatı Köşe Yöntemi kurallarına göre tablonun sol üstünden başlanarak yapılan

x_{11}=20

,

x_{21}=10

,

x_{22}=20

,

x_{32}=20

ve

x_{33}=30

birimlik atamaların toplam maliyetidir. Hesaplama şu şekildedir:

100 + 60 + 60 + 100 + 60 = 380

.

Adım Adım Çözüm

1

Sol üst köşedeki

(F_1, W_1)

hücresine atama yapılması

x_{11} = \min(20, 30) = 20

birim atandı.

F_1

kapasitesi tükendi,

W_1

talebi

10

birime düştü.

Kuzeybatı Köşe Yöntemi her zaman tablonun en sol üst hücresinden başlar.

2

F_1

tükendiği için bir alt satıra,

(F_2, W_1)

hücresine geçilmesi

x_{21} = \min(30, 10) = 10

birim atandı.

W_1

talebi karşılandı,

F_2

kapasitesi

20

birime düştü.

Sütun talebi bitene kadar aynı sütunda, satır kapasitesi bitene kadar aynı satırda ilerlenir.

3

W_1

karşılandığı için sağdaki

(F_2, W_2)

hücresine geçilmesi

x_{22} = \min(20, 40) = 20

birim atandı.

F_2

kapasitesi tükendi,

W_2

talebi

20

birime düştü.

Mevcut satırdaki kalan kapasite bir sonraki sütuna aktarılır.

4

F_2

tükendiği için bir alt satıra,

(F_3, W_2)

hücresine geçilmesi

x_{32} = \min(50, 20) = 20

birim atandı.

W_2

talebi karşılandı,

F_3

kapasitesi

30

birime düştü.

Kapasite ve talep dengelenene kadar köşe ilerlemesi devam eder.

5

Son kalan

(F_3, W_3)

hücresine atama yapılması

x_{33} = \min(30, 30) = 30

birim atandı. Tüm kapasite ve talepler sıfırlandı.

Dengeli bir ulaştırma probleminde son hücrede arz ve talep birbirine eşittir.

6

Toplam maliyetin (Z) hesaplanması

Z = (20 \times 5) + (10 \times 6) + (20 \times 3) + (20 \times 5) + (30 \times 2) = 100 + 60 + 60 + 100 + 60 = 380

TL.

Toplam maliyet, yapılan atamaların ilgili hücrelerin birim maliyetleri ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Kuzeybatı Köşe Yöntemi, ulaştırma problemlerinde maliyetleri dikkate almadan, yalnızca arz ve talep miktarlarına göre sol üstten başlayarak temel bir başlangıç çözümü üreten sistematik bir yaklaşımdır.

Soru 4Soru →

Bir ulaştırma probleminde iki kaynak ( $i=1, 2$ ) ve üç varış merkezi ( $j=1, 2, 3$ ) bulunmaktadır. Kaynakların arz miktarları $s_1=50, s_2=70$ birim; varış merkezlerinin talep miktarları ise $d_1=30, d_2=40, d_3=30$ birimdir. Birim taşıma maliyetleri $c_{ij}$ ve taşınacak miktarlar $x_{ij}$ ile gösterilmektedir.

Bu problemin toplam maliyeti minimize edecek şekilde dengelenmiş (balanced) ulaştırma modeli olarak kurulması durumunda, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Toplam 20 birim talebe sahip yapay bir varış merkezi eklenir ve modelde toplam 8 karar değişkeni bulunur.

Toplam 20 birim arza sahip yapay bir kaynak eklenir ve modelde toplam 9 karar değişkeni tanımlanır.

Talep kısıtları, toplam talebi aşmayacak şekilde

\sum_{i=1}^2 x_{ij} \leq d_j

eşitsizliği ile ifade edilir.

Mevcut haliyle toplam arz ve talep eşit olduğu için modelde 6 karar değişkeni ile çözüm yapılır.

Yapay varış merkezine ait maliyet katsayıları, arz fazlasını engellemek için büyük bir

M

değeri olarak atanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Toplam 20 birim talebe sahip yapay bir varış merkezi eklenir ve modelde toplam 8 karar değişkeni bulunur.

Cevap

Toplam arzın toplam talepten 20 birim fazla olması nedeniyle, modelin dengelenmesi için 20 birimlik bir yapay varış merkezi eklenmeli ve 2 kaynak ile 4 varış merkezi üzerinden toplam 8 karar değişkeni oluşturulmalıdır.

Verilen problemde toplam arz (

120

) toplam talepten (

100

) büyüktür. Ulaştırma problemlerinin dengelenmesi için eksik olan tarafa yapay bir merkez eklenir. Burada talep eksik olduğu için

20

birim kapasiteli yapay bir varış merkezi (

j=4

) eklenmelidir. Başlangıçta

2

kaynak ve

3

varış merkezi varken, yeni yapıda

2

kaynak ve

4

varış merkezi olacağından karar değişkeni sayısı

2 \times 4 = 8

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talebin hesaplanması

Toplam Arz:

50 + 70 = 120

; Toplam Talep:

30 + 40 + 30 = 100

.

Ulaştırma modelinin dengeli olup olmadığını anlamak için toplam kapasite ve ihtiyaç karşılaştırılmalıdır.

2

Dengesizliğin yönünün ve miktarının belirlenmesi

Arz > Talep ve Fark =

120 - 100 = 20

.

Hangi tarafa (kaynak mı varış mı) yapay bir birim ekleneceğini belirlemek için farkın yönü önemlidir.

3

Yapay merkezin tanımlanması

Talebi

20

birim olan yapay bir varış merkezi (

j=4

) eklenir.

Arz fazlasını absorbe etmek için modelleme kuralları gereği yapay bir varış noktası gereklidir.

4

Karar değişkeni sayısının hesaplanması

2

Kaynak

\times 4

Varış Merkezi =

8

Karar Değişkeni (

x_{ij}

).

Model dengelendiğinde karar değişkeni sayısı, kaynak sayısı ile (gerçek + yapay) varış merkezi sayısının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dengesiz Ulaştırma Problemlerinde Yapay Değişken Kullanımı

Soru 5Soru →

Aşağıdaki tabloda bir ulaştırma probleminin birim maliyet matrisi ve başlangıç temel uygun çözümü sunulmuştur. Tablo hücrelerindeki sol üst değerler birim maliyetleri ( $c_{ij}$ ), parantez içindeki değerler ise o hücreye yapılan atama miktarlarını ( $x_{ij}$ ) temsil etmektedir.

Kaynak / Merkez	$D_1$	$D_2$	$D_3$	Kapasite
$S_1$	$8$ ( $30$ )	$5$	$6$	$30$
$S_2$	$9$ ( $10$ )	$10$ ( $20$ )	$12$ ( $10$ )	$40$
$S_3$	$14$	$11$	$16$ ( $30$ )	$30$
Talep	$40$	$20$	$40$	$100$

MODI ( $U$ - $V$ ) yöntemi kullanılarak çözümün optimalliği test edildiğinde, $S_3$ kaynağından $D_1$ merkezine ait boş hücrenin ( $S_3, D_1$ ) geliştirme indeksi (fırsat maliyeti) değeri kaçtır?

-5

-1

1

-3

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

S3 kaynağından D1 merkezine ait hücrenin geliştirme indeksi 1 birimdir.

Geliştirme indeksi, ilgili hücrenin birim maliyetinden (

c_{31}=14

), o hücreye karşılık gelen satır dual değişkeni (

u_3=5

) ve sütun dual değişkeninin (

v_1=8

) toplamının çıkarılmasıyla bulunur. Bu durumda

14 - (5+8) = 1

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Temel (dolu) hücreler için

u_i + v_j = c_{ij}

eşitliklerini kurunuz.

u_1 + v_1 = 8

,

u_2 + v_1 = 9

,

u_2 + v_2 = 10

,

u_2 + v_3 = 12

,

u_3 + v_3 = 16

.

MODI yönteminde satır (

u

) ve sütun (

v

) değişkenlerini belirlemek için başlangıç adımıdır.

2

u_1 = 0

varsayarak diğer değişkenleri hesaplayınız.

u_1 = 0 \Rightarrow v_1 = 8

,

v_1 = 8 \Rightarrow u_2 = 1

,

u_2 = 1 \Rightarrow v_2 = 9

,

u_2 = 1 \Rightarrow v_3 = 11

,

v_3 = 11 \Rightarrow u_3 = 5

.

Bilinmeyen değişken sayısını bire indirgemek için bir değişkene keyfi başlangıç değeri verilir.

3

İstenen boş hücre (

S_3, D_1

) için geliştirme indeksi formülünü uygulayınız.

k_{31} = c_{31} - (u_3 + v_1) = 14 - (5 + 8) = 14 - 13 = 1

.

Boş bir hücreye atama yapmanın toplam maliyet üzerindeki etkisini ölçmek için bu fark hesaplanır.

Anahtar Kavram

MODI (U-V) Yöntemi ve Boş Hücre İndeks Hesaplaması

Daha Fazla Pratik

Diğer boş hücrelerin indekslerini hesaplayarak problemin optimal olup olmadığını kontrol ediniz. Eğer negatif bir indeks varsa, çözüm optimal değildir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir ulaştırma probleminde kaynaklar ( $S_1, S_2, S_3$ ) ve talep merkezlerine ( $D_1, D_2, D_3$ ) ait birim taşıma maliyetleri ( $TL/birim$ ), arz ve talep miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$D_1$	$D_2$	$D_3$	Arz
$S_1$	12	4	15	50
$S_2$	10	9	14	40
$S_3$	5	16	18	60
Talep	30	70	50	150

Vogel Yaklaşım Yöntemi (VAM) kullanılarak başlangıç temel uygun çözümün bulunması sürecinde, ilk adımda hesaplanan en büyük ceza (fark) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

11

13

8

5

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İlk adımda hesaplanan en büyük ceza değeri 11'dir.

Vogel Yaklaşım Yöntemi'nde (VAM) temel amaç, ceza maliyeti en yüksek olan satır veya sütunu belirleyerek maliyeti minimize etmektir. Verilen matriste 3. satır için en düşük maliyetler 5 ve 16'dır; bu değerlerin farkı

|16 - 5| = 11

olarak hesaplanır. Diğer satır ve sütunların hiçbirinde bu değerden daha büyük bir fark bulunmadığı için doğru cevap 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Satır ceza değerlerini (farklarını) hesapla

S_1: |12-4|=8

;

S_2: |10-9|=1

;

S_3: |16-5|=11

VAM algoritmasının ilk adımı her satır için en düşük iki maliyet arasındaki farkı bulmaktır.

2

Sütun ceza değerlerini (farklarını) hesapla

D_1: |10-5|=5

;

D_2: |9-4|=5

;

D_3: |15-14|=1

Aynı şekilde her sütun için en düşük iki maliyet arasındaki fark hesaplanmalıdır.

3

Hesaplanan tüm farklar arasından en büyüğünü seç

Max(8, 1, 11, 5, 5, 1) = 11

En büyük ceza değerine sahip satır veya sütun, başlangıç dağıtımının yapılacağı yeri belirler.

Anahtar Kavram

Vogel Yaklaşım Yöntemi'nde ceza (pişmanlık) maliyeti, bir satır veya sütundaki en düşük maliyetli hücre yerine bir sonraki en düşük maliyetli hücrenin seçilmesi durumunda katlanılacak ek maliyeti temsil eder.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Üç üretim fabrikasından ( $i=1, 2, 3$ ) üç farklı dağıtım merkezine ( $j=1, 2, 3$ ) ürün sevkiyatı yapılan bir ulaştırma probleminde, fabrikaların kapasiteleri sırasıyla $60, 80$ ve $100$ birim; dağıtım merkezlerinin talepleri ise sırasıyla $90, 70$ ve $110$ birimdir. Birim taşıma maliyetleri $c_{ij}$ ve gönderim miktarları $x_{ij}$ ile temsil edilmektedir.

Bu problemin dengelenmiş (balanced) bir doğrusal programlama modeli olarak kurulmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Toplam arzı toplam talebe eşitlemek için

30

birimlik kapasiteye sahip maliyeti sıfır olan bir yapay varış merkezi eklenmelidir.

Dengelenmiş modelde toplam

12

adet karar değişkeni (

x_{ij}

) ve

7

adet kısıt denklemi (arz ve talep kısıtları toplamı) bulunmalıdır.

Yapay kaynak üzerinden yapılan gönderimler amaç fonksiyonunda yer almaz, sadece kısıt denklemlerinde tanımlanır.

İkinci fabrikanın (

S_2

) arz kısıtı modelde

x_{21} + x_{22} + x_{23} \geq 80

şeklinde ifade edilmelidir.

Ulaştırma probleminin doğası gereği amaç fonksiyonunda birim maliyetlerin ve miktarların çarpımlarının toplamı maksimize edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Dengelenmiş modelde toplam $12$ adet karar değişkeni ( $x_{ij}$ ) ve $7$ adet kısıt denklemi (arz ve talep kısıtları toplamı) bulunmalıdır.

Cevap

Dengelenmiş modelde toplam 12 karar değişkeni ve 7 kısıt denklemi bulunmalıdır.

Dengelenmiş modelde

12

karar değişkeni ve

7

kısıt denklemi olduğu ifadesi doğrudur. Problemde

3

orijinal kaynak ve

3

varış noktası vardır. Toplam talep (

270

), toplam arzdan (

240

) daha fazla olduğu için

30

birimlik bir yapay kaynak (

S_4

) eklenerek kaynak sayısı

4

'e çıkarılır. Bu durumda ulaştırma tablosu

4 \times 3

boyutuna ulaşır; yani

12

hücre (değişken) ve

4

satır +

3

sütun olmak üzere toplam

7

kısıt denklemi oluşur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talebin hesaplanması

Toplam Arz =

60 + 80 + 100 = 240

; Toplam Talep =

90 + 70 + 110 = 270

.

Problemin dengeli olup olmadığını belirlemek için kapasite ve ihtiyaç toplamları karşılaştırılmalıdır.

2

Denge durumunun ve eksik birimin belirlenmesi

Toplam Talep (

270

) > Toplam Arz (

240

). Fark =

30

birim.

Arzın talebi karşılamadığı durumlarda sisteme yapay (kukla) bir kaynak eklenmesi gerekir.

3

Yapay merkez türünün seçilmesi

30

birim kapasiteli

S_4

yapay kaynağı eklenir.

Talebi karşılayacak hayali bir üretim kapasitesi oluşturularak model matematiksel olarak dengelenir.

4

Model boyutlarının hesaplanması

Kaynak sayısı (

m

) =

3+1=4

; Varış sayısı (

n

) =

3

. Değişkenler =

4 \times 3 = 12

; Kısıtlar =

4 + 3 = 7

.

Her bir hücre bir değişkeni, her bir satır ve sütun ise bir kısıt denklemini temsil eder.

Anahtar Kavram

Ulaştırma modelinin dengelenmesi için toplam talep arzdan büyükse yapay kaynak (kukla satır), toplam arz talepten büyükse yapay varış (kukla sütun) eklenir.

İpuçları

1

Önce toplam arz ve toplam talebi toplayarak modelin dengeli olup olmadığını kontrol edin.

2

Talep arzdan fazlaysa, dengeyi sağlamak için kaçıncı bir kaynak (satır) eklemeniz gerektiğini düşünün.

3

Dengelenmiş modelde toplam kaynak sayısı

m

ve varış sayısı

n

ise, kısıt sayısının

m+n

olduğunu hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Yapay kaynak kullanıldığında, bu kaynağa atanan miktarların fiziksel olarak 'karşılanamayan talep' anlamına geldiğini unutmayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Dört farklı üretim tesisinden ( $i=1, 2, 3, 4$ ) üç farklı bölge deposuna ( $j=1, 2, 3$ ) ürün sevkiyatı planlanan bir ulaştırma problemine ilişkin veriler şu şekildedir:

Tesis (Kaynak)	Arz Kapasitesi	Depo (Varış)	Talep Miktarı
$K_1$	30	$V_1$	60
$K_2$	40	$V_2$	60
$K_3$	50	$V_3$	60
$K_4$	30
Toplam	150	Toplam	180

Bu ulaştırma probleminin ulaştırma algoritmalarıyla çözülebilmesi amacıyla dengelenmiş bir doğrusal programlama modeli kurulacaktır.

Buna göre, kurulan dengelenmiş modeldeki toplam karar değişkeni sayısı ve kısıtlayıcı denklem sayısı (işaret kısıtlayıcıları hariç) aşağıdakilerden hangisidir?

15 karar değişkeni ve 8 kısıtlayıcı denklem

12 karar değişkeni ve 7 kısıtlayıcı denklem

15 karar değişkeni ve 7 kısıtlayıcı denklem

16 karar değişkeni ve 8 kısıtlayıcı denklem

12 karar değişkeni ve 8 kısıtlayıcı denklem

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15 karar değişkeni ve 8 kısıtlayıcı denklem

Cevap

Dengelenmiş model 15 karar değişkeni ve 8 kısıtlayıcı denklemden oluşmaktadır.

Verilen problemde toplam arz (150) toplam talepten (180) küçüktür. Modeli dengelemek için 30 birimlik bir yapay kaynak (dummy source) eklenmelidir. Bu durumda model 5 kaynak ve 3 varış merkezine sahip olur. Toplam karar değişkeni sayısı

m \times n = 5 \times 3 = 15

olurken, her kaynak için bir ve her varış merkezi için bir olmak üzere toplam

m+n = 5+3 = 8

kısıtlayıcı denklem oluşur.

Adım Adım Çözüm

1

Arz ve talep dengesinin kontrol edilmesi

Toplam Arz = 150, Toplam Talep = 180. Arz < Talep durumu mevcuttur.

Ulaştırma modelinin standart çözüm algoritmalarına uygun olması için toplam arzın toplam talebe eşit olması gerekir.

2

Problemin dengelenmesi (Yapay merkez ekleme)

30 birimlik kapasiteye sahip 1 adet yapay kaynak (

K_5

) eklenir.

Talep fazlası olduğu durumlarda eksik arzı karşılamak üzere maliyeti sıfır olan yapay bir kaynak modele dahil edilir.

3

Karar değişkeni sayısının hesaplanması

Yeni kaynak sayısı (

m

) = 5, Varış merkezi sayısı (

n

) = 3. Değişken sayısı =

5 \times 3 = 15

.

Karar değişkenleri, her bir kaynak ile varış merkezi arasındaki sevkiyat miktarını temsil eden

x_{ij}

değerleridir.

4

Kısıtlayıcı denklem sayısının belirlenmesi

Arz kısıtları (5 adet) + Talep kısıtları (3 adet) = 8 kısıt.

Dengelenmiş modelde her kaynak için bir arz eşitliği ve her varış merkezi için bir talep eşitliği yazılır.

Anahtar Kavram

Ulaştırma probleminde dengesizlik durumunda (Arz ≠ Talep), model yapay bir kaynak veya varış merkezi eklenerek dengelenir; bu işlem hem değişken hem de kısıt sayısını değiştirir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Üç farklı üretim merkezinden ( $i=1, 2, 3$ ) dört farklı satış noktasına ( $j=1, 2, 3, 4$ ) ürün sevkiyatı planlanan bir ulaştırma probleminde, merkezlerin arz kapasiteleri sırasıyla 400, 600 ve 500 birimdir. Satış noktalarının talepleri ise sırasıyla 300, 500, 400 ve 600 birim olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu problemin toplam maliyeti minimize eden dengelenmiş (balanced) matematiksel modeline ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Dengelenmiş model toplam 16 karar değişkeni ve 8 kısıt denkleminden oluşur.

Dengelenmiş model toplam 12 karar değişkeni ve 7 kısıt denkleminden oluşur.

Dengelemeyi sağlamak için 300 birim kapasiteli bir yapay varış merkezi (dummy destination) eklenmelidir.

Dengelenmiş model toplam 16 karar değişkeni ve 7 kısıt denkleminden oluşur.

Dengelemeyi sağlamak için 200 birim kapasiteli bir yapay kaynak (dummy source) eklenmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Dengelenmiş model toplam 16 karar değişkeni ve 8 kısıt denkleminden oluşur.

Cevap

Dengelenmiş modelin 16 karar değişkeni ve 8 kısıt denkleminden oluştuğu ifadesi doğrudur.

Verilen problemde toplam talep (1800 birim), toplam arzdan (1500 birim) 300 birim daha fazladır. Ulaştırma modelinin çözülebilmesi için toplam arzın toplam talebe eşit olması gerekir. Bu nedenle modele 300 birim kapasiteye sahip dördüncü bir yapay kaynak (

i=4

) eklenir. Bu işlem sonucunda model 4 kaynak ve 4 varış noktasına sahip olur. Toplam karar değişkeni sayısı

4 \times 4 = 16

, toplam kısıt sayısı ise

4 + 4 = 8

(4 arz kısıtı + 4 talep kısıtı) olur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz miktarını hesapla.

\sum s_i = 400 + 600 + 500 = 1500

birim.

Sistemin toplam kapasitesini belirlemek için.

2

Toplam talep miktarını hesapla.

\sum d_j = 300 + 500 + 400 + 600 = 1800

birim.

Sistemin karşılaması gereken toplam ihtiyacı belirlemek için.

3

Arz ve talebi karşılaştırarak denge durumunu kontrol et.

Toplam Talep (1800) > Toplam Arz (1500). Problem dengesizdir.

Modele yapay bir birim eklenip eklenmeyeceğine karar vermek için.

4

Dengeleyici yapay birimi ve kapasitesini belirle.

1800 - 1500 = 300

birim kapasiteli bir yapay kaynak (

i=4

) eklenmelidir.

Eksik arzı tamamlayarak modeli matematiksel olarak dengeli hale getirmek için.

5

Yeni model boyutlarını ve parametrelerini belirle.

Kaynak sayısı (

m

) = 4, Varış noktası sayısı (

n

) = 4. Karar değişkeni =

m \times n = 16

. Kısıt sayısı =

m + n = 8

.

Dengelenmiş ulaştırma modelinin standart yapısını tanımlamak için.

Anahtar Kavram

Ulaştırma problemlerinde toplam arz ve toplam talebin eşit olmadığı durumlarda (dengesiz model), farkı kapatacak şekilde maliyeti sıfır olan yapay bir kaynak veya varış merkezi eklenerek model dengelenir.

İpuçları

1

Önce mevcut toplam arz ve toplam talep miktarlarını hesaplayarak aradaki farkı bulun.

2

Talep miktarı arzdan fazlaysa, bu farkı kapatmak için modele yeni bir kaynak (satır) mı yoksa varış noktası (sütun) mu eklenmelidir?

3

Modele eklenen yapay birimle birlikte toplam kaynak ve varış noktası sayılarını çarpın; bu size toplam karar değişkeni sayısını verecektir.

Daha Fazla Pratik

Arzın talepten fazla olduğu bir senaryo kurgulayarak yapay varış merkezi eklenen bir model oluşturun.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir ulaştırma probleminde iki farklı üretim fabrikası ( $i=1, 2$ ) ve iki farklı bölge deposu ( $j=1, 2$ ) bulunmaktadır. Fabrikaların ve depoların kapasite/talep bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Merkez Tipi	Birinci Merkez ( $s_1$ / $d_1$ )	İkinci Merkez ( $s_2$ / $d_2$ )
Üretim Fabrikası (Arz)	$450$ Birim	$550$ Birim
Bölge Deposu (Talep)	$600$ Birim	$700$ Birim

Bu problemin dengelenmiş (balanced) bir ulaştırma modeline dönüştürülmesi için eklenen yapay (dummy) kaynağa ( $i=3$ ) ait kısıt denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x_{31} + x_{32} = 300

x_{31} + x_{32} = 150

x_{13} + x_{23} = 300

x_{31} + x_{32} \leq 300

x_{31} + x_{32} = 1300

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_{31} + x_{32} = 300$

Cevap

Eklenen yapay kaynağa ait kısıt denklemi

x_{31} + x_{32} = 300

olmalıdır.

Problemin verilerine göre toplam talep (1300), toplam arzdan (1000) büyüktür. Bu durumda ulaştırma tablosuna 300 birim kapasiteli üçüncü bir kaynak (satır) eklenmesi gerekir. Bu yapay kaynağın (

i=3

) mevcut iki depoya (

j=1, 2

) dağıtacağı toplam miktar olan

x_{31} + x_{32}

toplamının, kaynağın kapasitesi olan 300'e eşit olması modelin denge koşuludur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talep miktarlarını hesaplayınız.

Toplam Arz =

450 + 550 = 1000

birim; Toplam Talep =

600 + 700 = 1300

birim.

Modelin dengeli olup olmadığını anlamak için toplam kapasiteler karşılaştırılmalıdır.

2

Arz ve talep arasındaki farkı (dengesizliği) belirleyiniz.

1300 - 1000 = 300

birim talep fazlası bulunmaktadır.

Dengelemeyi sağlamak için eksik olan tarafa bu fark kadar kapasiteye sahip bir yapay merkez eklenmelidir.

3

Yapay merkezin türünü ve kısıt denklemini oluşturunuz.

Talep fazlası olduğu için

i=3

indisli bir yapay kaynak eklenir. Bu kaynaktan mevcut iki depoya yapılacak gönderimlerin toplamı kapasitesine eşit olmalıdır:

x_{31} + x_{32} = 300

.

Ulaştırma modelinin standart matematiksel formunda her kaynağın arz kısıtı, o kaynaktan çıkan toplam miktarın kapasiteye eşitliğini ifade eder.

Anahtar Kavram

Dengesiz ulaştırma modellerinde, talep arzdan fazla ise modele yapay bir kaynak (satır) eklenerek toplam talep ve arz eşitlenir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir işletmenin iki farklı üretim merkezi ( $i=1, 2$ ) ve iki farklı satış noktası ( $j=1, 2$ ) bulunmaktadır. Merkezlerin arz miktarları $s_1 = 60$ , $s_2 = 90$ birim; satış noktalarının talep miktarları ise $d_1 = 50$ , $d_2 = 70$ birimdir.

Bu ulaştırma probleminin dengelenmiş bir doğrusal programlama modeli olarak kurulması aşamasında, toplam talebi toplam arza eşitlemek için eklenen yapay (dummy) varış merkezine ( $j=3$ ) ilişkin talep kısıtı aşağıdakilerden hangisidir?

x_{13} + x_{23} = 30

x_{31} + x_{32} = 30

x_{13} + x_{23} \leq 30

x_{11} + x_{21} + x_{12} + x_{22} = 30

x_{13} + x_{23} = 150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_{13} + x_{23} = 30$

Cevap

Arz fazlasını dengelemek için eklenen yapay varış merkezinin talep kısıtı

x_{13} + x_{23} = 30

şeklinde ifade edilir.

Verilen problemde toplam arz 150 birim, toplam talep ise 120 birimdir. Arzın talepten 30 birim fazla olması nedeniyle, modelin dengelenmesi için 30 birim kapasiteli yapay bir varış merkezi (

j=3

) eklenir. Bu merkeze kaynak 1'den (

x_{13}

) ve kaynak 2'den (

x_{23}

) yapılacak sevkiyatların toplamının 30 birime eşit olması gerektiğini ifade eden

x_{13} + x_{23} = 30

kısıtı doğru modelleme adımıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talebi hesaplayınız.

Toplam Arz:

60 + 90 = 150

. Toplam Talep:

50 + 70 = 120

.

Ulaştırma modelinin dengeli olup olmadığını belirlemek için kapasitelerin kıyaslanması gerekir.

2

Dengeleme için gereken yapay merkez türünü ve kapasitesini belirleyiniz.

Arz > Talep olduğu için

150 - 120 = 30

birim kapasiteli bir yapay varış merkezi (

j=3

) eklenmelidir.

Arz fazlasını soğuracak bir sanal talep noktası oluşturulması gerekir.

3

Yapay merkeze ilişkin talep kısıtını yazınız.

x_{13} + x_{23} = 30

.

Tüm kaynaklardan (1 ve 2) bu yapay merkeze (3) giden toplam miktarın, merkezin talep kapasitesine eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Dengesiz ulaştırma problemlerinde toplam arz toplam talepten büyükse (

\sum s_i > \sum d_j

), aradaki fark kadar kapasiteye sahip bir yapay varış merkezi eklenerek model dengelenir.

Daha Fazla Pratik

Eğer maliyetler de verilseydi, yapay merkeze yapılan sevkiyatların birim maliyetlerinin objektif fonksiyonda 0 olarak alınacağını unutmayınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Bir üretim işletmesinin üç farklı fabrikası ( $i=1, 2, 3$ ) ve üretilen ürünlerin sevkiyatının yapıldığı iki ana bölge deposu ( $j=1, 2$ ) bulunmaktadır. Fabrikaların arz kapasiteleri sırasıyla $100$ , $150$ ve $200$ birim; depoların toplam talep miktarları ise sırasıyla $200$ ve $200$ birimdir. Toplam arzın toplam talepten fazla olduğu bu problemin standart ulaştırma modeli biçiminde dengelenebilmesi için modele eklenecek olan yapay (kukla) varış merkezi ( $j=3$ ) ile ilgili talep kısıtı denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x_{13} + x_{23} + x_{33} = 50

x_{31} + x_{32} + x_{33} = 50

x_{13} + x_{23} + x_{33} \geq 50

x_{13} + x_{23} + x_{33} = 450

x_{11} + x_{21} + x_{31} = 200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_{13} + x_{23} + x_{33} = 50$

Cevap

Dengelenmiş ulaştırma modelinde yapay varış merkezi kısıtı

x_{13} + x_{23} + x_{33} = 50

şeklinde olmalıdır.

Verilen problemde toplam arz

450

birim, toplam talep ise

400

birimdir. Aradaki

50

birimlik arz fazlasını absorbe etmek için modele

50

birim talebi olan üçüncü bir varış merkezi (

j=3

) eklenir. Bu merkeze üç farklı fabrikadan (

i=1, 2, 3

) gönderilecek miktarların toplamını gösteren kısıt denklemi

x_{13} + x_{23} + x_{33} = 50

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz miktarını hesapla

100 + 150 + 200 = 450

birim

Sistemin dengeli olup olmadığını belirlemek için toplam kapasiteyi bilmek gerekir.

2

Toplam talep miktarını hesapla

200 + 200 = 400

birim

Arz ve talep arasındaki farkın yönünü ve miktarını bulmak için gereklidir.

3

Yapay merkez ihtiyacını belirle

Toplam Arz (

450

) > Toplam Talep (

400

)

Arz fazlası olduğu durumlarda modeli dengelemek için fark kadar (

50

birim) talep kapasitesine sahip bir yapay varış merkezi (

j=3

) eklenir.

4

Kısıt denklemini kur

x_{13} + x_{23} + x_{33} = 50

Yapay varış merkezine (

j=3

) tüm fabrikalardan (

i=1, 2, 3

) gelecek sevkiyatların toplamı, bu merkezin hayali talebine (

50

) eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Dengelenmiş Ulaştırma Modeli ve Yapay Değişkenler

İpuçları

1

Öncelikle toplam arz ve toplam talep değerlerini karşılaştırarak farkı bulun.

2

Arz talepten büyükse bir yapay varış merkezi (sütun), talep arzdan büyükse bir yapay arz merkezi (satır) eklenir.

Daha Fazla Pratik

Toplam talebin toplam arzdan fazla olduğu bir durumda modele eklenecek olan yapay arz merkezi kısıtının nasıl yazılacağını düşününüz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Üç farklı üretim kaynağından ( $i=1, 2, 3$ ) üç farklı varış merkezine ( $j=1, 2, 3$ ) ürün sevkiyatı planlanan bir ulaştırma probleminde; toplam arz miktarı 600 birim, toplam talep miktarı ise 550 birim olarak belirlenmiştir. Bu problem, ulaştırma algoritması ile çözülmek üzere dengelenmiş (balanced) bir modele dönüştürüldüğünde, modele eklenen kukla varış merkezine ( $j=4$ ) ait kısıt denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^{3} x_{i4} = 50

\sum_{i=1}^{3} x_{i4} \leq 50

\sum_{j=1}^{3} x_{4j} = 50

\sum_{i=1}^{3} x_{i4} = 550

\sum_{j=1}^{4} x_{3j} = 50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^{3} x_{i4} = 50$

Cevap

Toplam arz ve talep arasındaki farkı (50 birim) temsil eden ve tüm kaynaklardan gelen sevkiyatların toplamının bu farka eşitlendiği

\sum_{i=1}^{3} x_{i4} = 50

ifadesi doğrudur.

Verilen problemde toplam arz (600), toplam talepten (550) daha büyüktür. Bu durumu dengelemek için ulaştırma tablosuna 4. bir sütun olarak 'kukla varış merkezi' eklenir. Bu merkezin talep miktarı, aradaki fark olan 50 birimdir. Matematiksel olarak, 1, 2 ve 3 numaralı kaynaklardan bu 4 numaralı merkeze giden toplam miktar (

x_{14} + x_{24} + x_{34}

) tam olarak 50'ye eşit olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam arz ve toplam talep miktarlarını karşılaştırın.

Toplam Arz = 600, Toplam Talep = 550. Arz > Talep durumu mevcuttur.

Problemin dengeli olup olmadığını anlamak için toplam kapasiteler kontrol edilmelidir.

2

Modeli dengelemek için gereken kukla merkez tipini ve kapasitesini belirleyin.

Arz fazlası 50 birim olduğu için 50 birim kapasiteli bir 'Kukla Varış Merkezi' (

j=4

) eklenmelidir.

Ulaştırma algoritması toplam arzın toplam talebe eşit olmasını gerektirir.

3

Kukla varış merkezine ait matematiksel kısıt denklemini oluşturun.

x_{14} + x_{24} + x_{34} = 50

veya kapalı formda

\sum_{i=1}^{3} x_{i4} = 50

.

Bir varış merkezine giden toplam ürün miktarı, o merkezin talebine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Dengesiz ulaştırma problemlerinde, arzın talepten fazla olması durumunda (

\sum S_i > \sum D_j

), farkı karşılamak için maliyeti sıfır olan bir kukla varış merkezi modele dahil edilir.

Daha Fazla Pratik

Talep miktarının arz miktarından fazla olduğu (talep > arz) bir senaryoda modele nasıl bir ekleme yapılması gerektiğini ve bunun amaç fonksiyonuna etkisini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Bir üretim tesisinden üç farklı bölgeye yapılacak sevkiyatlara ilişkin birim taşıma maliyetleri ( $TL/birim$ ), kaynak kapasiteleri ve talep miktarları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Kaynak	$M_1$	$M_2$	$M_3$	Arz
$K_1$	5	8	10	50
$K_2$	4	15	12	40
$K_3$	7	9	6	60
Talep	30	70	50	150

Buna göre, Vogel Yaklaşım Yöntemi (VAM) kullanılarak başlangıç temel uygun çözümü aranırken, ilk iterasyonda hesaplanan en büyük ceza (pişmanlık) değeri kaçtır?

1

3

4

8

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İlk iterasyonda hesaplanan en büyük ceza değeri 8'dir.

Vogel Yaklaşım Yöntemi'nde (VAM) her satır ve sütun için en düşük iki maliyet belirlenir ve aralarındaki fark 'ceza değeri' olarak kaydedilir. İkinci satırda (

K_2

) maliyetler 4, 15 ve 12'dir. En düşük iki değer 4 ve 12 olduğundan, bu satırın cezası

|12-4|=8

olur. Diğer tüm satır (

3, 1

) ve sütun (

1, 1, 4

) farkları incelendiğinde, en büyük değerin 8 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Satır cezalarının hesaplanması

Satır 1:

8-5=3

; Satır 2:

12-4=8

; Satır 3:

7-6=1

VAM'da her satır için en düşük iki birim maliyetin farkı hesaplanır.

2

Sütun cezalarının hesaplanması

Sütun 1:

5-4=1

; Sütun 2:

9-8=1

; Sütun 3:

10-6=4

VAM'da her sütun için en düşük iki birim maliyetin farkı hesaplanır.

3

En büyük cezanın belirlenmesi

Maksimum(3, 8, 1, 1, 1, 4) = 8

Başlangıç ataması, en yüksek ceza değerine sahip satır veya sütun üzerinden yapılır.

Anahtar Kavram

Vogel Yaklaşım Yöntemi'nde (VAM) ceza (pişmanlık) değeri, bir satır veya sütundaki en düşük iki maliyetin mutlak farkıdır.

Soru 15Soru →

Aşağıdaki tabloda bir ulaştırma modeline ait birim maliyetler (TL/birim), kaynakların arz kapasiteleri ve talep merkezlerinin ihtiyaç miktarları verilmiştir:

$M_1$	$M_2$	$M_3$	Arz
$K_1$	12	10	15	100
$K_2$	7	14	8	80
$K_3$	11	9	13	120
Talep	90	110	100	300

Bu ulaştırma problemi Vogel Yaklaşım Yöntemi (VAM) kullanılarak çözüldüğünde, başlangıç temel uygun çözümün belirlenmesi için birinci adımda hesaplanacak en büyük ceza (pişmanlık) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1

2

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Vogel Yaklaşım Yöntemi'nin ilk adımında hesaplanan en büyük ceza değeri 5'tir.

Vogel Yaklaşım Yöntemi'nin (VAM) ilk adımında her satır ve sütun için en küçük iki birim maliyetin farkı hesaplanır. Tablodaki verilere göre satır farkları sırasıyla 2, 1 ve 2'dir. Sütun farkları ise sırasıyla 4, 1 ve 5'tir. Bu altı değer içerisindeki en büyük değer 5 olduğu için doğru yanıt bu değerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Satır ceza değerlerini hesapla.

K_1: |12-10|=2

;

K_2: |8-7|=1

;

K_3: |11-9|=2

VAM'da her satır için en düşük iki maliyetin farkı pişmanlık maliyetini verir.

2

Sütun ceza değerlerini hesapla.

M_1: |11-7|=4

;

M_2: |10-9|=1

;

M_3: |13-8|=5

Aynı mantıkla her sütun için en düşük iki maliyetin farkı hesaplanır.

3

Tüm ceza değerleri arasından en büyüğünü belirle.

\{2, 1, 2, 4, 1, 5\}

değerleri içinden en büyüğü 5'tir.

Yöntem gereği, en yüksek pişmanlık maliyetine sahip olan satır veya sütun üzerinden atama işlemine başlanır.

Anahtar Kavram

Vogel Yaklaşım Yöntemi'nde (VAM) ceza (pişmanlık) maliyeti, bir satır veya sütundaki en düşük iki birim maliyet arasındaki mutlak farktır.

Tahmini Süre:45s

Soru 16Soru →

Aşağıdaki ulaştırma tablosunda, bir işletmenin üç farklı üretim merkezinden ( $S_1, S_2, S_3$ ) üç farklı tüketim merkezine ( $D_1, D_2, D_3$ ) ait birim taşıma maliyetleri (hücrelerin sağ üst köşesinde) ve başlangıç temel uygun çözümü (parantez içindeki değerler) verilmiştir.

$D_1$	$D_2$	$D_3$	Kapasite
$S_1$	$10$ ( $20$ )	$5$ ( $10$ )	$6$	$30$
$S_2$	$8$	$12$ ( $30$ )	$9$ ( $20$ )	$50$
$S_3$	$4$	$7$	$10$ ( $40$ )	$40$
Talep	$20$	$40$	$60$	$120$

Atlama Taşı Yöntemi kullanılarak $S_2$ kaynağından $D_1$ tüketim merkezine giden boş hücre ( $S_2, D_1$ ) için hesaplanan iyileştirme indeksi (birim maliyet değişimi) kaçtır?

-11

-9

-2

9

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-9$

Cevap

İyileştirme indeksi

-9

olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan

-9

değeri, (

S_2, D_1

) hücresi için oluşturulan kapalı çevrimdeki birim maliyetlerin (

+8, -10, +5, -12

) doğru bir şekilde toplanmasıyla elde edilmiştir. Bu değer, bu hücreye bir birim yükleme yapıldığında toplam maliyetin

9

birim azalacağını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Boş hücreyi ve çevrimi belirleme

(

S_2, D_1

) hücresi için çevrim: (

S_2, D_1

)

\rightarrow

(

S_1, D_1

)

\rightarrow

(

S_1, D_2

)

\rightarrow

(

S_2, D_2

)

\rightarrow

(

S_2, D_1

)

Atlama Taşı Yönteminde boş bir hücrenin indeksi, sadece temel (dolu) hücreler kullanılarak oluşturulan kapalı bir çevrim ile bulunur.

2

Birim maliyetlere işaret atama

+(

S_2, D_1

), -(

S_1, D_1

), +(

S_1, D_2

), -(

S_2, D_2

)

Çevrim başlatılan boş hücreden itibaren işaretler sırasıyla artı ve eksi olarak atanır.

3

İndeks değerini hesaplama

+8 - 10 + 5 - 12 = -9

Atanan işaretler doğrultusunda birim maliyetlerin cebirsel toplamı iyileştirme indeksini verir.

Anahtar Kavram

Ulaştırma problemlerinde Atlama Taşı (Stepping Stone) yöntemi ile boş hücrelerin iyileştirme indekslerinin hesaplanması.

Soru 17Soru →

Aşağıdaki ulaştırma tablosunda bir işletmenin üç farklı üretim merkezinden ( $S_1, S_2, S_3$ ) üç farklı tüketim merkezine ( $D_1, D_2, D_3$ ) ait birim maliyetleri ve Kuzeybatı Köşe yöntemiyle belirlenmiş başlangıç temel uygun çözümü verilmiştir. Birim maliyetler hücrelerin sağ üst köşesinde, dağıtılan miktarlar ise hücre içinde parantez içinde gösterilmiştir.

$D_1$	$D_2$	$D_3$	Kapasite
$S_1$	$^{10}$ (40)	$^{7}$ (30)	$^{8}$	70
$S_2$	$^{14}$	$^{12}$ (30)	$^{11}$ (20)	50
$S_3$	$^{6}$	$^{13}$	$^{15}$ (30)	30
Talep	40	60	50	150

Buna göre, $(S_2, D_1)$ boş hücresi için Atlama Taşı (Stepping Stone) yöntemi ile hesaplanan iyileştirme indeksi (birim maliyet değişimi) kaçtır?

-1

+1

-5

+5

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İyileştirme indeksi -1 olarak hesaplanır.

-1 değeri,

(S_2, D_1)

hücresine yapılacak 1 birimlik gönderimin toplam maliyeti 1 birim azaltacağını gösterir. Bu değer,

+14 - 10 + 7 - 12

işleminin sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1

(S_2, D_1)

boş hücresi için kapalı döngüyü (loop) belirleyin.

Döngü:

(S_2, D_1) \rightarrow (S_1, D_1) \rightarrow (S_1, D_2) \rightarrow (S_2, D_2) \rightarrow (S_2, D_1)

Atlama Taşı yönteminde her boş hücre için sadece dolu (temel) hücreleri köşe noktası olarak kullanan tek bir kapalı döngü vardır.

2

Döngüdeki hücrelere, boş hücreden başlayarak artı (+) ve eksi (-) işaretlerini sırasıyla atayın.

+(S_2, D_1), -(S_1, D_1), +(S_1, D_2), -(S_2, D_2)

İyileştirme indeksi, ilgili hücreye bir birim yükleme yapıldığında toplam maliyetteki değişimi temsil eder.

3

Döngüdeki hücrelerin birim maliyetlerini bu işaretlere göre toplayın.

+14 - 10 + 7 - 12 = -1

Matematiksel toplam, boş hücrenin iyileştirme indeksini verir.

Anahtar Kavram

Atlama Taşı (Stepping Stone) yöntemi, ulaştırma problemlerinde başlangıç çözümünün optimum olup olmadığını test etmek için boş hücrelerin maliyet analizini yapar.

Daha Fazla Pratik

Eğer indeks negatif çıkarsa, bu hücreye maksimum ne kadar taşıma yapılabileceğini (eksi işaretli hücrelerin minimumu) belirleyerek yeni tabloyu oluşturmayı deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

Bir ulaştırma modeline ait maliyet matrisi ve başlangıç temel uygun çözümü aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Tablo hücrelerinin sağ üst köşesindeki sayılar birim maliyetleri ( $c_{ij}$ ), parantez içindeki sayılar ise o hücreye yapılan atama miktarını ( $x_{ij}$ ) ifade etmektedir.

$D_1$	$D_2$	$D_3$
$S_1$	$5$ $(40)$	$8$ $(10)$	$10$
$S_2$	$7$	$4$ $(20)$	$6$ $(30)$
$S_3$	$9$	$11$	$8$ $(20)$

MODI (U-V) yöntemi ile optimallik testi yapılırken satır değişkenlerinden $u_1 = 0$ olarak kabul edildiğine göre, $S_2$ satırına karşılık gelen $u_2$ dual değişkeninin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-4

4

8

12

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-4$

Cevap

-4

değeri,

u_1=0

başlangıç noktasından hareketle temel hücreler üzerindeki

u_i + v_j = c_{ij}

eşitliklerinin çözülmesiyle elde edilen

u_2

dual değişkeninin değeridir.

MODI yönteminde temel hücreler için

u_i + v_j = c_{ij}

kuralı geçerlidir.

u_1 = 0

kabul edildiğinde,

S_1D_2

hücresi (

c_{12}=8

) üzerinden

v_2 = 8

bulunur. Ardından

S_2D_2

hücresi (

c_{22}=4

) kullanılarak

u_2 + 8 = 4

eşitliğinden

u_2 = -4

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerini kullanarak ilk sütun potansiyelini hesapla.

u_1 = 0

ve

S_1D_2

temel hücresi için

u_1 + v_2 = c_{12} \Rightarrow 0 + v_2 = 8 \Rightarrow v_2 = 8

.

MODI yönteminde hesaplamaya başlanabilmesi için bir değişkenin (genellikle

u_1

) sıfıra eşitlenmesi gerekir.

2

Hesaplanan sütun potansiyelini kullanarak hedef satır potansiyelini (

u_2

) hesapla.

S_2D_2

temel hücresi için

u_2 + v_2 = c_{22} \Rightarrow u_2 + 8 = 4 \Rightarrow u_2 = 4 - 8 = -4

.

Temel (dolu) hücreler, satır ve sütun potansiyelleri arasındaki ilişkiyi kuran köprülerdir.

Anahtar Kavram

MODI (U-V) yönteminde dual değişkenlerin (potansiyellerin) hesaplanması

Soru 19Soru →

Bir ulaştırma problemine ait maliyet matrisi ve başlangıç temel uygun çözümü aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Tablo hücrelerinin sağ üst köşesindeki sayılar birim taşıma maliyetlerini ( $c_{ij}$ ), parantez içindeki sayılar ise ilgili hücreye atanan miktarları ( $x_{ij}$ ) göstermektedir.

$D_1$	$D_2$	$D_3$
$S_1$	$4$ $(50)$	$6$ $(20)$	$8$
$S_2$	$2$ $(10)$	$10$	$5$ $(40)$
$S_3$	$7$	$3$ $(30)$	$9$

MODI ( $U-V$ ) yöntemi ile optimum çözüm testi yapılırken $u_1 = 0$ başlangıç değeri kabul edildiğine göre, $u_3$ dual değişkeninin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-3

3

6

9

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-3$

Cevap

MODI yöntemi hesaplamalarına göre

u_3

dual değişkeninin değeri

-3

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

-3

değeri, ulaştırma tablosundaki dolu hücreler (

x_{ij} > 0

) için geçerli olan

u_i + v_j = c_{ij}

eşitliğinin adım adım uygulanmasıyla elde edilir.

u_1 = 0

kabul edildiğinde, birinci satır ve ikinci sütunun kesiştiği dolu hücreden

0 + v_2 = 6

eşitliğiyle

v_2 = 6

bulunur. Ardından üçüncü satır ve ikinci sütundaki dolu hücre kullanılarak

u_3 + 6 = 3

denklemi çözülür ve

u_3 = -3

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

u_1

başlangıç değeri kullanılarak ilgili sütun değişkeni hesaplanır.

u_1 + v_2 = c_{12} \Rightarrow 0 + v_2 = 6 \Rightarrow v_2 = 6

MODI yönteminde

u_1=0

kabulü ile başlanır ve dolu hücreler üzerinden dual değişkenler türetilir.

2

Hesaplanan

v_2

değeri kullanılarak hedef satır değişkeni bulunur.

u_3 + v_2 = c_{32} \Rightarrow u_3 + 6 = 3 \Rightarrow u_3 = -3

(3, 2)

hücresi dolu bir hücre olduğu için

u_i + v_j = c_{ij}

kuralını sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Ulaştırma modellerinde MODI (U-V) yöntemi ile dual değişkenlerin (

u_i, v_j

) hesaplanması.

İpuçları

1

Dolu olan (atama yapılmış) hücreleri belirleyerek işe başlayın.

2

Dolu hücreler için

u_i + v_j = c_{ij}

formülünü kullanın.

u_1=0

ise

v_2

ne olur?

3

(1, 2)

hücresinden

v_2

'yi bulduktan sonra,

(3, 2)

hücresindeki maliyeti kullanarak

u_3

'ü çekin.

Daha Fazla Pratik

Diğer tüm

u_i

ve

v_j

değerlerini hesapladıktan sonra temel olmayan (boş) bir hücre için iyileştirme indeksini (

z_{ij} - c_{ij}

) hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 20Soru →

Kredi ve Yurtlar Genel Müdürlüğü (KYK), üç farklı ana deposundan ( $D_1, D_2, D_3$ ) üç farklı öğrenci yurduna ( $Y_1, Y_2, Y_3$ ) nevresim takımı sevkiyatı yapacaktır. Depoların arz kapasiteleri, yurtların talep miktarları ve birim taşıma maliyetleri (TL/Adet) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	Arz
$D_1$	2	5	3	20
$D_2$	4	1	7	30
$D_3$	8	6	2	50
Talep	30	40	30	100

Buna göre, "En Düşük Maliyetler Yöntemi" kullanılarak elde edilen başlangıç temel uygun çözümünün toplam maliyeti kaç TL'dir?

260

270

280

290

300

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 270

Cevap

En Düşük Maliyetler Yöntemi uygulanarak elde edilen toplam maliyet 270 TL'dir.

Doğru seçenekte belirtilen 270 TL maliyeti, tablodaki tüm hücreler arasından en küçük birim maliyetliler (sırasıyla 1, 2, 2, 6, 8) seçilerek yapılan sistematik atamaların toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

En düşük maliyetli hücreye atama yapılması

Tablodaki en düşük maliyet 1 TL ile

(D_2, Y_2)

hücresindedir. Buraya

\min(30, 40) = 30

birim atanır.

Yöntem gereği tüm tablo içindeki en küçük birim maliyetli hücreden başlanır. Bu atama ile

D_2

deposu tükenir.

2

Kalan hücreler arasından en düşük maliyetli olanların seçilmesi

Kalan hücreler içinde en düşük maliyet 2 TL'dir (

(D_1, Y_1)

ve

(D_3, Y_3)

).

(D_1, Y_1)

hücresine

\min(20, 30) = 20

birim atanır;

(D_3, Y_3)

hücresine

\min(50, 30) = 30

birim atanır.

D_1

deposu ve

Y_3

yurdunun talebi karşılanmış olur.

3

Son kalan arz ve taleplerin karşılanması

D_3

deposunda 20 birim kalmıştır.

Y_2

yurdunun kalan talebi 10 birim,

Y_1

yurdunun kalan talebi 10 birimdir. En düşük maliyetli olan

(D_3, Y_2)

hücresine (maliyet=6) 10 birim, ardından

(D_3, Y_1)

hücresine (maliyet=8) 10 birim atanır.

Tüm arz ve talep miktarları dengelenerek çözüm tamamlanır.

4

Toplam maliyetin hesaplanması

(30 \times 1) + (20 \times 2) + (30 \times 2) + (10 \times 6) + (10 \times 8) = 30 + 40 + 60 + 60 + 80 = 270

TL

Atanan miktarların birim maliyetlerle çarpımlarının toplamı başlangıç çözüm maliyetini verir.

Anahtar Kavram

En Düşük Maliyetler Yöntemi (Least Cost Method), ulaştırma problemlerinde birim maliyetlerin en küçüğünden başlayarak atama yapan sezgisel bir başlangıç çözüm yöntemidir.

Tahmini Süre:45s

Ulaştırma ve Atama Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik