Examkin

Belirli İntegral ve Özellikleri

50 soru

Tüm türler50Çoktan seçmeli24Sayısal26
Soru 41Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫03f(x+2) dx=10\int_{0}^{3} f(x+2) \, dx = 10
∫29f(x) dx=24\int_{2}^{9} f(x) \, dx = 24
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f(4x+1) dx\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

I˙ntegralinindeg˘eri72olarakbulunur.İntegralinin değeri \frac{7}{2} olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer olan \frac{7}{2}, birinci integralde yapılan u = x+2 dönüşümüyle \int_{2}^{5} f(x) dx = 10 değeri bulunduktan sonra, aralık bölme özelliğiyle \int_{5}^{9} f(x) dx = 14 değerine ulaşılması ve son olarak hedeflenen integralde w = 4x+1 dönüşümü yapılarak elde edilen \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) dw ifadesinde değerin yerine yazılmasıyla doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x+2u = x+2 dönüşümü yapıldığında du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=0x = 0 için u=2u = 2 ve x=3x = 3 için u=5u = 5 elde edilir. Buradan, ∫25f(u) du=10\int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 bulunur.
Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve sınırları f(x) fonksiyonunun tanım kümesine uygun hale getirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak diğer integral parçalanır.
∫29f(x) dx=∫25f(x) dx+∫59f(x) dx\int_{2}^{9} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{9} f(x) \, dx yazılabilir. Verilen değerler yerine yazıldığında; 24=10+∫59f(x) dx  ⟹  ∫59f(x) dx=1424 = 10 + \int_{5}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{5}^{9} f(x) \, dx = 14 elde edilir.
[2,9][2, 9] aralığındaki integralin değerini ve elimizdeki [2,5][2, 5] aralığının değerini kullanarak [5,9][5, 9] aralığındaki integralin değerine ulaşmak hedeflenir.
3
İstenen integralde değişken değiştirme uygulanarak sonuca ulaşılır.
∫12f(4x+1) dx\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx integralinde w=4x+1w = 4x+1 dönüşümü yapılırsa dw=4 dx  ⟹  dx=14 dwdw = 4 \, dx \implies dx = \frac{1}{4} \, dw olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1x = 1 için w=5w = 5 ve x=2x = 2 için w=9w = 9 olur. İntegral şu hali alır: ∫59f(w)⋅14 dw=14∫59f(w) dw\int_{5}^{9} f(w) \cdot \frac{1}{4} \, dw = \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) \, dw. Bir önceki adımda bu integralin değerini 1414 bulmuştuk, dolayısıyla sonuç 14⋅14=72\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{7}{2} olur.
4x+14x+1 ifadesini tek bir değişkene indirgeyip sınırları elde ettiğimiz verilerle uyumlu hale getirerek integralin sayısal değerini hesaplamak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.
Soru 42Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için

∫12f(2x−1) dx=5\int_{1}^{2} f(2x-1) \, dx = 5
∫13x⋅f(x2) dx=8\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 8

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫39f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen integralin değeri 6'dır.
Soruda verilen iki integralde sırasıyla u=2x−1u = 2x-1 ve v=x2v = x^2 dönüşümleri yapıldığında ff fonksiyonunun [1,3][1, 3] ve [1,9][1, 9] aralıklarındaki belirli integral değerleri sırasıyla 10 ve 16 olarak elde edilir. Ardından, belirli integralin aralık bölme özelliği yardımıyla ∫39f(x) dx=∫19f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{1}^{9} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx bağıntısı kurulur. Bu bağıntıdan 16−10=616 - 10 = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde u=2x−1u = 2x-1 değişken değiştirmesi uygulamak.
∫13f(x) dx=10\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10
u=2x−1u = 2x-1 dönüşümüyle sınırlar xx değişkeninden uu değişkenine taşınarak ff fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki integral değeri hesaplanır.
2
İkinci integralde v=x2v = x^2 değişken değiştirmesi uygulamak.
∫19f(x) dx=16\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 16
v=x2v = x^2 dönüşümüyle x dxx\,dx ifadesi dv2\frac{dv}{2} şeklinde yazılır ve sınırlar [1,9][1, 9] aralığına güncellenerek bu aralıktaki integral değeri bulunur.
3
Belirli integralin aralık bölme özelliğini uygulamak.
∫39f(x) dx=6\int_{3}^{9} f(x) \, dx = 6
[1,9][1, 9] aralığındaki integral, [1,3][1, 3] ve [3,9][3, 9] alt aralıklarının toplamı olarak yazılabilir. Bu özellik sayesinde bilinen değerler yerine koyularak bilinmeyen integral hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integralin aralık bölme özelliği.
Soru 43Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(2x+1) dx=12\int_{1}^{4} f(2x+1) \, dx = 12
∫23f(3x−3) dx=5\int_{2}^{3} f(3x-3) \, dx = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫69f(x) dx\int_{6}^{9} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Doğru cevap olan 9 değeri, her iki integralde de değişken değiştirme yapılarak integral sınırlarının ve diferansiyel ifadelerinin doğru şekilde güncellenmesi ve ardından belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak aralarındaki farkın alınması ile elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫39f(u) du=24\int_{3}^{9} f(u) \, du = 24
u=2x+1u = 2x+1 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar için x=1  ⟹  u=3x=1 \implies u=3 ve x=4  ⟹  u=9x=4 \implies u=9 elde edilir. Buradan ∫39f(u)⋅du2=12  ⟹  ∫39f(u) du=24\int_{3}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 12 \implies \int_{3}^{9} f(u) \, du = 24 bulunur.
2
İkinci integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫36f(v) dv=15\int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15
v=3x−3v = 3x-3 dönüşümü yapıldığında dv=3 dx  ⟹  dx=dv3dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3} olur. Sınırlar için x=2  ⟹  v=3x=2 \implies v=3 ve x=3  ⟹  v=6x=3 \implies v=6 elde edilir. Buradan ∫36f(v)⋅dv3=5  ⟹  ∫36f(v) dv=15\int_{3}^{6} f(v) \cdot \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15 bulunur.
3
Belirli integralin sınırları parçalama özelliği kullanılarak hedef integral hesaplanır.
∫69f(x) dx=9\int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9
∫39f(x) dx=∫36f(x) dx+∫69f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{3}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{9} f(x) \, dx yazılabilir. Bulunan değerler yerine yazıldığında 24=15+∫69f(x) dx  ⟹  ∫69f(x) dx=924 = 15 + \int_{6}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanması.
Soru 44Soru →
Sürekli bir f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu için
∫−24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−20f(x) dx\int_{-2}^{0} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 2 olarak bulunur.
Değişken değiştirme yöntemiyle integral sınırları güncellenerek ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 değeri elde edilir. Ardından toplam aralık [−2,4][ -2, 4 ] parçalanarak [−2,0][ -2, 0 ] aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8 integralinde u=2x−2u = 2x-2 dönüşümü uygulayalım.
∫04f(u) du=16\int_{0}^{4} f(u) \, du = 16 elde edilir.
u=2x−2u = 2x-2 ise her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2 dxdu = 2 \, dx yani dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; alt sınır için x=1  ⟹  u=0x = 1 \implies u = 0, üst sınır için x=3  ⟹  u=4x = 3 \implies u = 4 bulunur. Buradan integral ∫04f(u)du2=8  ⟹  ∫04f(u) du=16\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(u) \, du = 16 şeklinde yazılır. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmeyeceği için bu ifade ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 demektir.
2
Birinci denklemdeki ∫−24f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx integraline sınır parçalama özelliğini uygulayalım.
∫−24f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫04f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{4} f(x) \, dx eşitliği elde edilir.
Belirli integralde integral sınırları [a,b][a, b] aralığındaki bir cc noktasına göre parçalanabilir. Burada [−2,4][-2, 4] aralığı 00 noktası kullanılarak parçalanmıştır.
3
Elde edilen değerleri denklemde yerine yazarak sonuca ulaşalım.
∫−20f(x) dx=2\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2 bulunur.
∫−24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18 ve ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 değerleri denklemde yerine yazıldığında, 18=∫−20f(x) dx+16  ⟹  ∫−20f(x) dx=218 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + 16 \implies \int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve belirli integralin aralık bölme özelliği.
Soru 45Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=6x−x2f(x) + f(6-x) = 6x - x^2
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫15f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 463\frac{46}{3}

Cevap

İntegralin doğru değeri olan 463\frac{46}{3} ifadesidir.
Değişken değiştirme yapılarak integral sınırları uyuşturulur ve ∫15f(x) dx=∫15f(6−x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir. Bu iki integral toplandığında integralin içi f(x)+f(6−x)=6x−x2f(x) + f(6-x) = 6x - x^2 olur. Belirli integralin değeri hesaplanıp ikiye bölündüğünde 463\frac{46}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralde u=6−xu = 6 - x değişken değiştirmesi yapılır.
dx=−dudx = -du olur. Sınırlar ise x=1⇒u=5x = 1 \Rightarrow u = 5 ve x=5⇒u=1x = 5 \Rightarrow u = 1 olarak güncellenir.
f(6−x)f(6-x) terimini elde etmek ve integral sınırlarının değişimini görmek için.
2
Yeni değişkenlerle integral yeniden yazılır ve sınırlar��n yönü düzenlenir.
∫15f(x) dx=∫51f(6−u) (−du)=∫15f(6−x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{5}^{1} f(6-u) \, (-du) = \int_{1}^{5} f(6-x) \, dx elde edilir.
Belirli integralin sınırlarının yer değiştirmesi durumunda işaret değiştirmesi özelliğini kullanmak için.
3
Elde edilen iki integral toplanır ve verilen fonksiyonel denklem yerine yaz��lır.
2∫15f(x) dx=∫15[f(x)+f(6−x)] dx=∫15(6x−x2) dx2 \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} [f(x) + f(6-x)] \, dx = \int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx olur.
f(x)+f(6−x)f(x) + f(6-x) ifadesinin cebirsel değerini integrale dahil edebilmek için.
4
Polinom integral hesabı yapılarak sınırlar yerine konur.
∫15(6x−x2) dx=[3x2−x33]15=1003−83=923\int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{5} = \frac{100}{3} - \frac{8}{3} = \frac{92}{3} bulunur.
Belirli integralin sayısal değerini hesaplamak için.
5
Nihai integral değeri için her iki taraf ikiye bölünür.
∫15f(x) dx=463\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \frac{46}{3} elde edilir.
Toplam integralin iki katından tekil integral değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yardımıyla sınırlar güncellenerek fonksiyonel simetri özelliklerinin kullanılması.
Soru 46Soru →
Bir ff fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu bilinmektedir.
∫−13f(x) dx=8\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 8
ve
∫13(f(x)−f(2−x)) dx=10\int_{1}^{3} \big(f(x) - f(2-x)\big) \, dx = 10
olduğuna göre, ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İstenen belirli integralin değeri -1 olarak bulunur.
Verilen birinci integral aralık bölme özelliğiyle ∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx=8\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 şeklinde yazılır. İkinci integralde bulunan ∫13f(2−x) dx\int_{1}^{3} f(2-x) \, dx terimi, u=2−xu = 2-x dönüşümü yapıldığında sınırların ters dönmesi ve du=−dxdu = -dx eşitliğindeki eksinin sınırları düzeltmesiyle ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integraline eşit olur. Bu iki bağıntı ortak çözüldüğünde istenen integralin sonucu -1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak sınırları [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] olarak ayıralım.
A=∫−11f(x) dxA = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ve B=∫13f(x) dxB = \int_{1}^{3} f(x) \, dx olmak üzere A+B=8A + B = 8 denklemi elde edilir.
İntegrali verilen diğer sınırlarla ilişkilendirmek ve istenen [−1,1][-1, 1] aralığını ortaya çıkarmak için parçalama yapılır.
2
İkinci denklemdeki integralde lineerlik özelliğini kullanalım ve değişken değiştirme uygulayalım.
B−∫13f(2−x) dx=10B - \int_{1}^{3} f(2-x) \, dx = 10 olur. Burada u=2−xu = 2-x dönüşümüyle integral ∫−11f(x) dx=A\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = A biçimine gelir ve B−A=10B - A = 10 denklemi bulunur.
Parantez içindeki 2−x2-x ifadesini sadeleştirmek ve sınırları [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak amacıyla değişken değiştirilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.
A+B=8A + B = 8 ve B−A=10B - A = 10 denklemlerinden A=−1A = -1 olarak hesaplanır.
Ortak çözüm yapılarak doğrudan aranan integralin sayısal değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemiyle sınırların güncellenmesi.
Soru 47Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=8\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8
∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫24(3f(2x−3)−f(2x−1)) dx\int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İntegralin doğru değeri 3'tür.
İntegral doğrusallık özelliği kullanılarak iki parçaya ayrılır. Her bir parçada ayrı ayrı değişken değiştirme uygulanır. Birinci terimde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 55 olur; diferansiyel katsayısı 12\frac{1}{2} gelir. İkinci terimde v=2x−1v = 2x-1 dönüşümüyle sınırlar 33 ve 77 olur; diferansiyel katsayısı 12\frac{1}{2} gelir. Verilen integral değerleri yerine yazıldığında sonuç 12−9=312 - 9 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusallık özelliğini kullanarak iki ayrı integral olarak yazalım.
∫24(3f(2x−3)−f(2x−1)) dx=3∫24f(2x−3) dx−∫24f(2x−1) dx\int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx = 3 \int_{2}^{4} f(2x-3) \, dx - \int_{2}^{4} f(2x-1) \, dx
İntegral içindeki çıkarma ve sabit kat sayıları dışarı çıkarma özelliklerini uygulamak işlemleri kolaylaştırır.
2
Birinci integral olan ∫24f(2x−3) dx\int_{2}^{4} f(2x-3) \, dx ifadesinde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümü yapalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  u=2(2)−3=1x=2 \implies u=2(2)-3=1 ve x=4  ⟹  u=2(4)−3=5x=4 \implies u=2(4)-3=5 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫15f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du haline gelir.
İntegral sınırlarını yeni değişken cinsinden güncellemek belirli integralde değişken değiştirmenin temel kuralıdır.
3
İkinci integral olan ∫24f(2x−1) dx\int_{2}^{4} f(2x-1) \, dx ifadesinde v=2x−1v = 2x-1 dönüşümü yapalım.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  v=2(2)−1=3x=2 \implies v=2(2)-1=3 ve x=4  ⟹  v=2(4)−1=7x=4 \implies v=2(4)-1=7 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫37f(v) dv\frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv haline gelir.
Bu terim için de sınırları yeni değişken vv cinsinden güncelleriz.
4
Elde edilen yeni integrallerde verilen değerleri yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
3⋅(12∫15f(u) du)−(12∫37f(v) dv)=3⋅(12⋅8)−(12⋅18)=12−9=33 \cdot \left( \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du \right) - \left( \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv \right) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 8 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 18 \right) = 12 - 9 = 3 bulunur.
Verilen ∫15f(x) dx=8\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8 ve ∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18 değerlerini yerleştirmek nihai sonuca ulaştırır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Doğrusallık
Soru 48Soru →

[0,4][0, 4] kapalı aralığında sürekli olan bir ff fonksiyonu için

∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6
∫13f(x+1) dx=8\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

∫01(3f(2x)+4x3) dx\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen integralin değeri 7 olarak bulunur.
Değişken değiştirme kuralları ve integralin aralık bölme özelliği doğru uygulandığında, [0,2][0,2] aralığındaki belirli integral değeri 4 olarak bulunur. İstenen integralde de benzer şekilde w=2xw=2x değişken değiştirmesi yapıldığında integralin değeri 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde değişken değiştirme uygulamak
∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6 integralinde u=2xu = 2x dönüşümü yapıldığında du=2 dxdu = 2\,dx olur. Sınırlar x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 şeklinde güncellenir. Buradan 12∫04f(u) du=6\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6 elde edilir.
2
İkinci integralde değişken değiştirme uygulamak
∫24f(x) dx=8\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8
∫13f(x+1) dx=8\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8 integralinde v=x+1v = x+1 dönüşümü yapıldığında dv=dxdv = dx olur. Sınırlar x=1  ⟹  v=2x = 1 \implies v = 2 ve x=3  ⟹  v=4x = 3 \implies v = 4 şeklinde güncellenir.
3
Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini kullanmak
∫02f(x) dx=4\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4
∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx özelliğinden yararlanarak bilinen değerler yerine yazılır: 12=∫02f(x) dx+812 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + 8 denkleminden aranan değer bulunur.
4
İstenen integrali parçalara ayırarak hesaplamak
77
∫01(3f(2x)+4x3) dx=3∫01f(2x) dx+∫014x3 dx\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx = 3 \int_{0}^{1} f(2x) \, dx + \int_{0}^{1} 4x^3 \, dx şeklinde yazılır. İlk kısım için w=2xw = 2x dönüşümüyle 3⋅(12∫02f(w) dw)=32⋅4=63 \cdot \left(\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(w) \, dw\right) = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6 elde edilir. İkinci kısım ise [x4]01=1\left[ x^4 \right]_0^1 = 1 olur. Bu iki değer toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integrasyon sınırlarının güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.
Soru 49Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=2\int_1^2 f(x) \, dx = 2
∫23f(x) dx=6\int_2^3 f(x) \, dx = 6
∫35f(x) dx=10\int_3^5 f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x−3) dx+∫24f(x−1) dx\int_2^3 f(2x-3) \, dx + \int_2^4 f(x-1) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegrallerin doğru dönüşümlerle hesaplanıp toplanması sonucu elde edilen 12 değeri doğru cevaptır.
İlk integralde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 33 olur, diferansiyelden gelen 1/21/2 çarpanıyla integral değeri 44 bulunur. İkinci integralde v=x−1v = x-1 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 33 olur ve integral değeri 88 bulunur. Bu iki değerin toplamı 12 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integral olan ∫23f(2x−3) dx\int_2^3 f(2x-3) \, dx için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=2x−3u = 2x-3 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=2x=2 için u=1u=1 ve x=3x=3 için u=3u=3 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫13f(u) du\frac{1}{2} \int_1^3 f(u) \, du şeklini alır.
Belirli integralde değişken değiştirme kuralı uygulanırken diferansiyel ve sınırların yeni değişkene göre dönüştürülmesi zorunludur.
2
Elde edilen birinci integral, verilen integral değerleri ve belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanır.
12∫13f(u) du=12(∫12f(x) dx+∫23f(x) dx)=12(2+6)=4\frac{1}{2} \int_1^3 f(u) \, du = \frac{1}{2} \left( \int_1^2 f(x) \, dx + \int_2^3 f(x) \, dx \right) = \frac{1}{2} (2 + 6) = 4 bulunur.
İntegral sınırları [1,3][1, 3] aralığında olduğu için bu aralık verilen [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarına bölünerek hesaplanır.
3
İkinci integral olan ∫24f(x−1) dx\int_2^4 f(x-1) \, dx için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
v=x−1v = x-1 dönüşümü yapıldığında dv=dxdv = dx olur. Sınırlar ise x=2x=2 için v=1v=1 ve x=4x=4 için v=3v=3 olarak güncellenir. Böylece integral ∫13f(v) dv\int_1^3 f(v) \, dv şeklini alır.
Yatay öteleme özelliği gereği integral sınırları fonksiyonun tanım kümesindeki kayma miktarı kadar sola ötelenir.
4
İkinci integral hesaplanır ve bulunan iki integral değeri toplanarak sonuca ulaşılır.
I2=∫13f(v) dv=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx=2+6=8I_2 = \int_1^3 f(v) \, dv = \int_1^2 f(x) \, dx + \int_2^3 f(x) \, dx = 2 + 6 = 8 bulunur. Toplam değer ise 4+8=124 + 8 = 12 olarak elde edilir.
Her iki integralin de sayısal değerleri bulunduktan sonra toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile integralin aralık bölme özelliği.
Soru 50Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−24f(x) dx=12\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 12
ve
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−10f(2x) dx\int_{-1}^{0} f(2x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

İstenen integralin değeri -2'dir.
Verilen integral eşitliklerinde uygun değişken değiştirmeler yapılarak integral sınırları doğru biçimde güncellenmiş ve belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak aranan integralin değeri -2 olarak doğru şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8 integralinde değişken değiştirme yapılması.
∫04f(u) du=16\int_{0}^{4} f(u) \, du = 16
u=2x−2u = 2x-2 dönüşümü yapıldığında du=2 dxdu = 2 \, dx ve buradan dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=0u=0 ve x=3x=3 için u=4u=4 olarak güncellenir. Böylece ∫13f(2x−2) dx=12∫04f(u) du=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 8 elde edilir.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliğinden yararlanılması.
∫−20f(x) dx=−4\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = -4
∫−24f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫04f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{4} f(x) \, dx eşitliği yazılabilir. Değerler yerine konulduğunda 12=∫−20f(x) dx+1612 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + 16 denklemi elde edilir.
3
İstenen integralde değişken değiştirme yapılarak sonucun hesaplanması.
∫−10f(2x) dx=−2\int_{-1}^{0} f(2x) \, dx = -2
v=2xv = 2x dönüşümü ile dv=2 dxdv = 2 \, dx ve dx=dv2dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar x=−1x=-1 için v=−2v=-2 ve x=0x=0 için v=0v=0 olur. Bu durumda integral 12∫−20f(v) dv=12⋅(−4)=−2\frac{1}{2} \int_{-2}^{0} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot (-4) = -2 değerini alır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların güncellenmesiyle değişken değiştirme yöntemi ve aralık bölme özelliği
ÖncekiSayfa 3 / 3
Belirli İntegral ve Özellikleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin