Examkin

Belirli İntegral ve Özellikleri

50 soru

Tüm türler50Çoktan seçmeli24Sayısal26
Soru 21Soru →
f:[0,9]→Rf: [0, 9] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫−33(x3−5x+3)f(x2) dx=36\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x + 3) f(x^2) \, dx = 36
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫09f(x)x dx\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen integral ifadesi lineerlik özelliğiyle parçalandığında, ilk terim tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali olduğu için sıfır olur. İkinci terim ise çift fonksiyon simetrisinden dolayı [0,3][0,3] aralığındaki integralin iki katı olarak yazılıp integral değeri 6 olarak bulunur. İstenen integralde yapılan u=xu=\sqrt{x} değişken değiştirmesi sonucunda integralin sınırları [0,3][0,3] aralığına gelir ve integral 2∫03f(u2)du2 \int_{0}^{3} f(u^2) du biçimine dönüşerek 12 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak iki parçaya ayırma
∫−33(x3−5x)f(x2) dx+∫−333f(x2) dx=36\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx + \int_{-3}^{3} 3 f(x^2) \, dx = 36
Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, parantez içindeki toplam ve fark durumundaki ifadeler ayrı ayrı integraller olarak yazılabilir.
2
Tek fonksiyon özelliğini kullanarak ilk integralin değerini belirleme
∫−33(x3−5x)f(x2) dx=0\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx = 0
h(x)=(x3−5x)f(x2)h(x) = (x^3 - 5x) f(x^2) fonksiyonunda h(−x)=−h(x)h(-x) = -h(x) sağlandığı için bu fonksiyon tektir. Simetrik [−a,a][-a, a] aralığında sürekli bir tek fonksiyonun belirli integrali her zaman sıfırdır.
3
Çift fonksiyon simetri özelliğini kullanarak ikinci integralin sınırlarını daraltma
∫03f(x2) dx=6\int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6
g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunda g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) olduğundan bu fonksiyon çifttir. Simetrik [−3,3][-3, 3] aralığında çift fonksiyonun integrali, [0,3][0, 3] aralığındaki integralinin iki katına eşittir. Buradan 3⋅[2∫03f(x2) dx]=36  ⟹  ∫03f(x2) dx=63 \cdot \left[ 2 \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx \right] = 36 \implies \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6 elde edilir.
4
Hesaplanması istenen integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) uygulama
∫09f(x)x dx=2∫03f(u2) du\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapıldığında x=u2x = u^2 ve diferansiyel dx=2u dudx = 2u \, du olur. Alt sınır x=0  ⟹  u=0x=0 \implies u=0 ve üst sınır x=9  ⟹  u=3x=9 \implies u=3 olarak güncellenir. Değerler yerine yazıldığında integral 2∫03f(u2) du2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du halini alır.
5
Elde edilen integral değerini yerine koyarak sonucu bulma
12
2∫03f(u2) du=2⋅6=122 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du = 2 \cdot 6 = 12

Anahtar Kavram

Belirli integralde tek-çift fonksiyon simetrisi ve değişken değiştirme yardımıyla sınırların güncellenmesi.
Soru 22Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫24f(2x−1) dx=7\int_{2}^{4} f(2x - 1) \, dx = 7
∫13f(x+4) dx=6\int_{1}^{3} f(x + 4) \, dx = 6
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11(x3⋅f(x2+1)+f(2x+3)−f(x+4)) dx\int_{-1}^{1} \left( x^3 \cdot f(x^2 + 1) + f(2x + 3) - f(x + 4) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2-2

Cevap

−2-2
Doğru cevap −2-2 değeridir. Belirli integralin lineerlik özelliği kullanılarak terimler ayrıştırıldığında, tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali sıfır olur. Diğer iki terimde değişken değiştirme yöntemi uygulanıp sınırlar güncellenerek verilen integral değerleriyle ilişkilendirildiğinde 6−8=−26 - 8 = -2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak terimlerine ayıralım.
∫−11x3⋅f(x2+1) dx+∫−11f(2x+3) dx−∫−11f(x+4) dx\int_{-1}^{1} x^3 \cdot f(x^2 + 1) \, dx + \int_{-1}^{1} f(2x + 3) \, dx - \int_{-1}^{1} f(x + 4) \, dx
Her bir terimi ayrı ayrı inceleyerek daha basit integraller elde etmek için.
2
İlk terimi oluşturan fonksiyonun tek/çift olma durumunu inceleyelim.
g(−x)=(−x)3⋅f((−x)2+1)=−x3⋅f(x2+1)=−g(x)g(-x) = (-x)^3 \cdot f((-x)^2 + 1) = -x^3 \cdot f(x^2 + 1) = -g(x) olduğundan fonksiyon tektir ve simetrik [−1,1][-1, 1] aralığındaki integralinin değeri 00'dır.
Simetrik sınırlarda tek fonksiyonların integralinin sıfıra eşit olması özelliğini kullanmak için.
3
İkinci terim için u=2x+3u = 2x + 3 değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}. Sınırlar: x=−1  ⟹  u=1x = -1 \implies u = 1 ve x=1  ⟹  u=5x = 1 \implies u = 5. İntegral değeri: 12∫15f(u) du=12⋅12=6\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 olur.
Belirli integral sınırlarını yeni değişken cinsinden güncelleyerek verilen ilk eşitliği kullanabilmek için.
4
Üçüncü terim için v=x+4v = x + 4 değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=dxdv = dx. Sınırlar: x=−1  ⟹  v=3x = -1 \implies v = 3 ve x=1  ⟹  v=5x = 1 \implies v = 5. İntegral değeri: ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx olur.
Belirli integral sınırlarını yeni değişken cinsinden yazıp aralık analizi yapabilmek için.
5
Verilen diğer iki integral eşitliğinden ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx değerini elde edelim.
∫24f(2x−1) dx=7  ⟹  ∫37f(w) dw=14\int_{2}^{4} f(2x - 1) \, dx = 7 \implies \int_{3}^{7} f(w) \, dw = 14 ve ∫13f(x+4) dx=6  ⟹  ∫57f(t) dt=6\int_{1}^{3} f(x + 4) \, dx = 6 \implies \int_{5}^{7} f(t) \, dt = 6 bulunur. Aralık bölme özelliğinden: ∫37f(x) dx=∫35f(x) dx+∫57f(x) dx  ⟹  14=∫35f(x) dx+6  ⟹  ∫35f(x) dx=8\int_{3}^{7} f(x) \, dx = \int_{3}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{7} f(x) \, dx \implies 14 = \int_{3}^{5} f(x) \, dx + 6 \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8 elde edilir.
Değişken değiştirme ve integralin aralık bölme özelliklerini birleştirerek istenen bilinmeyen aralıktaki integrali bulmak için.
6
Bulunan tüm terimlerin değerlerini ana ifadede birleştirelim.
0+6−8=−20 + 6 - 8 = -2
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, simetri (tek/çift fonksiyonlar) ve aralık bölme özellikleri.
Soru 23Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−22f(x) dx=12\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 12
ve her xx gerçel sayısı için
f(x)−f(−x)=8x3−6xf(x) - f(-x) = 8x^3 - 6x
olduğuna göre,
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İntegralin doğru değeri 16'dır.
Doğru cevap olan 16 değeri, belirli integralin parçalama özelliği ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin (A+B=12A + B = 12 ve B−A=20B - A = 20) doğru bir şekilde çözülmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak sınırları bölelim.
∫−22f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫02f(x) dx=12\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 12 denklemi elde edilir.
[−2,2][-2, 2] aralığındaki integrali simetri ekseni olan x=0x = 0 noktasına göre iki alt aralığa ayırmak çözümü kolaylaştırır.
2
Verilen f(x)−f(−x)=8x3−6xf(x) - f(-x) = 8x^3 - 6x eşitliğinin her iki tarafını [0,2][0, 2] aralığında integre edelim.
∫02f(x) dx−∫02f(−x) dx=∫02(8x3−6x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(-x) \, dx = \int_{0}^{2} (8x^3 - 6x) \, dx olur. Sağ tarafın integrali alındığında:
[2x4−3x2]02=(2⋅16−3⋅4)−0=20\left[ 2x^4 - 3x^2 \right]_{0}^{2} = (2 \cdot 16 - 3 \cdot 4) - 0 = 20 bulunur.
Verilen fonksiyonel ilişkiyi belirli integral sınırlarına taşıyarak iki farklı integral terimi arasında bir denklem elde etmek.
3
∫02f(−x) dx\int_{0}^{2} f(-x) \, dx integralinde değişken değiştirme uygulayalım.
u=−xu = -x dönüşümü yapılırsa du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar ise x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=2  ⟹  u=−2x = 2 \implies u = -2 olarak güncellenir. Bu durumda:
∫02f(−x) dx=∫0−2f(u)(−du)=∫−20f(u) du=∫−20f(x) dx\int_{0}^{2} f(-x) \, dx = \int_{0}^{-2} f(u) (-du) = \int_{-2}^{0} f(u) \, du = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx elde edilir.
f(−x)f(-x) terimini pozitif değişkenli f(x)f(x) cinsinden yazarak ilk adımda parçaladığımız integrallerle ilişkilendirmek.
4
Bulunan denklemleri bir araya getirerek denklem sistemini çözelim.
∫−20f(x) dx=A\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = A ve ∫02f(x) dx=B\int_{0}^{2} f(x) \, dx = B tanımlayalım. Birinci adımdan A+B=12A + B = 12 ve ikinci adımdan B−A=20B - A = 20 elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa topladığımızda:
2B=32  ⟹  B=162B = 32 \implies B = 16 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözerek bizden istenen ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx integralinin değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Belirli integralin sınır değiştirme ve parçalama özellikleri ile değişken değiştirme yöntemi.
Soru 24Soru →

Tüm gerçel sayılarda sürekli olan bir ff fonksiyonu

f(x)={3x2+1,x<12x+a,x≥1f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 1, & x < 1 \\ 2x + a, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

∫−12f(∣x∣) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Sürekli fonksiyonun kuralları ve mutlak değer özelliği kullan��larak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.
Fonksiyonun sürekliliği kullanılarak a = 2 bulunur. Mutlak değer tanımından dolayı integral [-1, 0] ve [0, 2] aralıklarına bölünür. Bu aralıklarda fonksiyonun ilgili kuralları uygulanarak elde edilen integral değerleri toplanır ve doğru sonuç 9 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sürekliliğini kullanarak aa sabitini bulunuz.
a=2a = 2
ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan x=1x = 1 kritik noktasında da süreklidir. Bu nedenle sağdan ve soldan limitleri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)  ⟹  3(1)2+1=2(1)+a  ⟹  4=2+a  ⟹  a=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 3(1)^2 + 1 = 2(1) + a \implies 4 = 2 + a \implies a = 2 elde edilir.
2
İntegrali mutlak değerin içi sıfır olan x=0x = 0 noktasına göre iki parçaya ayırınız.
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(−x) dx+∫02f(x) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(-x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx
x<0x < 0 için ∣x∣=−x|x| = -x ve x≥0x \ge 0 için ∣x∣=x|x| = x olduğundan integral bu kritik noktaya göre ikiye bölünür.
3
[−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫−10(3x2+1) dx=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = 2
x∈[−1,0]x \in [-1, 0] aralığında ∣x∣=−x|x| = -x olur. Bu durumda −x∈[0,1]-x \in [0, 1] olacağından fonksiyonun 11'den küçük değerler için geçerli olan kuralı kullanılır: f(−x)=3(−x)2+1=3x2+1f(-x) = 3(-x)^2 + 1 = 3x^2 + 1. İntegral hesaplandığında: ∫−10(3x2+1) dx=[x3+x]−10=0−(−1−1)=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = [x^3 + x]_{-1}^0 = 0 - (-1 - 1) = 2 bulunur.
4
[0,2][0, 2] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫02f(x) dx=7\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 7
x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığı, fonksiyonun kural değiştirdiği x=1x = 1 noktasına göre bölünür: ∫01(3x2+1) dx+∫12(2x+2) dx=[x3+x]01+[x2+2x]12=2+(8−3)=7\int_{0}^{1} (3x^2 + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (2x + 2) \, dx = [x^3 + x]_0^1 + [x^2 + 2x]_1^2 = 2 + (8 - 3) = 7 elde edilir.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak sonucu bulunuz.
9
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(∣x∣) dx+∫02f(∣x∣) dx=2+7=9\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(|x|) \, dx + \int_{0}^{2} f(|x|) \, dx = 2 + 7 = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı sürekli fonksiyonlerin belirli integrali ve mutlak değer içeren integral özellikleri
Soru 25Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=5\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 5
∫36f(x) dx=8\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫25[2f(x−1)−f(x+1)] dx\int_{2}^{5} [2f(x-1) - f(x+1)] \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegralin doğru değeri 2'dir.
Verilen integral, belirli integralin özellikleri ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak iki ayrı integrale bölünür. İlk kısımda yapılan dönüşümle sınırlar [1, 4] aralığına, ikinci kısımda ise [3, 6] aralığına taşınır. Bu aralıklardaki integral değerleri soruda sırasıyla 5 ve 8 olarak verilmiştir. Katsayılar ve çıkarma işlemi uygulandığında sonuç 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan ∫252f(x−1) dx\int_{2}^{5} 2f(x-1) \, dx integrali için değişken değiştirme uygulamak.
u=x−1u = x-1 dönüşümü yapılır. Buradan du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellenir: x=2x=2 için u=1u=1 ve x=5x=5 için u=4u=4 elde edilir. Böylece integral 2∫14f(u) du2 \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
2
İkinci terim olan ∫25f(x+1) dx\int_{2}^{5} f(x+1) \, dx integrali için değişken değiştirme uygulamak.
v=x+1v = x+1 dönüşümü yapılır. Buradan dv=dxdv = dx olur. Sınırlar güncellenir: x=2x=2 için v=3v=3 ve x=5x=5 için v=6v=6 elde edilir. Böylece integral ∫36f(v) dv\int_{3}^{6} f(v) \, dv haline gelir.
Belirli integralde sınırları ve diferansiyeli yeni değişkene göre ifade etmek integralin değerini bulmamızı sağlar.
3
Verilen integral değerlerini yerlerine yazarak sonucu hesaplamak.
∫14f(x) dx=5\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 5 olduğundan ilk kısım 2×5=102 \times 5 = 10 olur. ∫36f(x) dx=8\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 8 olduğundan ikinci kısım 88 olur. Sonuç olarak 10−8=210 - 8 = 2 elde edilir.
İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak terimlerin farkı alınır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve sınırların güncellenmesi.
Soru 26Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu çift fonksiyon olup her xx gerçel sayısı için
f(x+4)=f(x)f(x+4) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(2x) dx=3\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = 3
∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4
olduğuna göre,
∫25f(3−2x) dx\int_{2}^{5} f(3-2x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin doğru değeri 8'dir.
Doğru cevap olan 8 değeri; öncelikle u=2xu = 2x dönüşümüyle ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 değerinin bulunması, ardından çiftlik ve periyot özellikleri yardımıyla [0,4][0,4] aralığındaki simetrik dağılımın ve tam periyot integralinin (12) hesaplanması, son olarak t=3−2xt = 3-2x dönüşümüyle elde edilen 12∫17f(t) dt\frac{1}{2} \int_{1}^{7} f(t) \, dt integralinde periyot kaydırma yapılarak sonucun 12×(12+4)=8\frac{1}{2} \times (12 + 4) = 8 olarak bulunmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} dönüşümü yapılır. Sınırlar x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 olarak güncellenir. Buradan, ∫01f(2x) dx=∫02f(u)du2=3  ⟹  ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = \int_{0}^{2} f(u) \frac{du}{2} = 3 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 elde edilir.
Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve [0,2][0, 2] aralığındaki integral değerini bulmak için.
2
Fonksiyonun çiftlik ve periyodiklik özelliklerini kullanarak alt aralıklardaki integralleri hesaplayalım.
ff fonksiyonu çift ve periyodu 4 olduğundan, f(2−x)=f(2+x)f(2-x) = f(2+x) simetrisi mevcuttur. Bu durum ∫02f(x) dx=∫24f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 olmasını gerektirir. Buradan tüm periyot boyunca integral ∫04f(x) dx=6+6=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 6 + 6 = 12 olur. ∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4 verildiğinden, ∫12f(x) dx=6−4=2\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6 - 4 = 2 olur. Simetriden dolayı ∫23f(x) dx=2\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 2 ve ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bulunur.
[0,4][0, 4] periyodu içerisindeki farklı alt aralıkların integral değerlerini belirleyip hedef integralde kullanabilmek için.
3
Sorulan integralde değişken değiştirme uygulanır ve sınırlar güncellenir.
∫25f(3−2x) dx\int_{2}^{5} f(3-2x) \, dx integralinde t=3−2x  ⟹  dt=−2 dx  ⟹  dx=−dt2t = 3-2x \implies dt = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dt}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  t=−1x = 2 \implies t = -1 ve x=5  ⟹  t=−7x = 5 \implies t = -7 olur. İntegral: ∫−1−7f(t)(−dt2)=12∫−7−1f(t) dt\int_{-1}^{-7} f(t) \left(-\frac{dt}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{-7}^{-1} f(t) \, dt şeklini alır.
İntegrali ff fonksiyonunun tanım kümesindeki değişkenine indirgemek için.
4
Periyodiklik özelliğini kullanarak sınırları pozitif aralığa taşıyalım ve nihai değeri hesaplayalım.
Periyot 4 olduğundan sınırları 8 birim sağa kaydırabiliriz: ∫−7−1f(t) dt=∫17f(t) dt\int_{-7}^{-1} f(t) \, dt = \int_{1}^{7} f(t) \, dt olur. Bu integral ∫15f(t) dt+∫57f(t) dt\int_{1}^{5} f(t) \, dt + \int_{5}^{7} f(t) \, dt olarak ayrılır. [1,5][1, 5] aralığı tam bir periyot olduğundan integral değeri 12'dir. [5,7][5, 7] aralığı ise periyodiklikten dolayı [1,3][1, 3] aralığına denktir: ∫57f(t) dt=∫13f(t) dt=∫12f(t) dt+∫23f(t) dt=2+2=4\int_{5}^{7} f(t) \, dt = \int_{1}^{3} f(t) \, dt = \int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{2}^{3} f(t) \, dt = 2 + 2 = 4 olur. Toplam integral 12+4=1612 + 4 = 16 olup, sonuç 12×16=8\frac{1}{2} \times 16 = 8 bulunur.
Sınırları bilinen ve tanımlı aralıklara indirgeyerek sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, periyodiklik ve tek/çift fonksiyon simetrisi özelliklerinin birlikte kullanımı.
Soru 27Soru →
Her noktada sürekli olan bir ff fonksiyonu için
∫28f(x) dx=15\int_{2}^{8} f(x) \, dx = 15
ve
∫25f(10−x) dx=9\int_{2}^{5} f(10-x) \, dx = 9
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12f(3x−1) dx\int_{1}^{2} f(3x-1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegralin değeri 2'dir.
Verilen belirli integral özellikleri ve değişken değiştirme yöntemleri sırasıyla uygulandığında integralin değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen integralde u = 10 - x değişken değiştirmesi yapılması
\int_{5}^{8} f(u) \, du = 9
İntegrali standart formda ifade ederek sınırları belirlemek amacıyla değişken değiştirme uygulanır.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliğinin kullanılması
\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 6
[2, 8] aralığındaki integral, [2, 5] ve [5, 8] aralıklarının toplamı olarak yazılır.
3
İstenen integralde t = 3x - 1 değişken değiştirmesi yapılarak sonucun hesaplanması
2
İstenen integral, elde edilen bilinen integral cinsine dönüştürülerek hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralin aralık bölme ve değişken değiştirme (ikame) özellikleri.
Soru 28Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−12f(x) dx=10\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 10
olduğuna göre,
∫01(6x⋅f(x2−1)+6f(2x)) dx\int_{0}^{1} \left( 6x \cdot f(x^2 - 1) + 6f(2x) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İntegralin değeri 30'dur.
Verilen integral iki parçaya ayrılıp u=x2−1u = x^2 - 1 ve v=2xv = 2x değişken değiştirmeleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] olur. Bu iki integralin toplamı, belirli integralin aralık birleştirme kuralına göre [−1,2][-1, 2] aralığındaki integralin 3 katına eşit olur. Dolayısıyla doğru yanıt 3⋅10=303 \cdot 10 = 30 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazalım.
∫016x⋅f(x2−1) dx+∫016f(2x) dx\int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx + \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx
Her iki terim i��in farklı değişken değiştirme yöntemleri uygulanacaktır.
2
Birinci integral olan I1=∫016x⋅f(x2−1) dxI_1 = \int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx için u=x2−1u = x^2 - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
I1=3∫−10f(u) duI_1 = 3 \int_{-1}^{0} f(u) \, du
u=x2−1u = x^2 - 1 ise du=2x dxdu = 2x \, dx olur. Buradan 6x dx=3 du6x \, dx = 3 \, du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için u=−1u = -1 ve x=1x = 1 için u=0u = 0 olarak güncellenir.
3
İkinci integral olan I2=∫016f(2x) dxI_2 = \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx için v=2xv = 2x değişken değiştirmesini uygulayalım.
I2=3∫02f(v) dvI_2 = 3 \int_{0}^{2} f(v) \, dv
v=2xv = 2x ise dv=2 dxdv = 2 \, dx olur. Buradan 6 dx=3 dv6 \, dx = 3 \, dv elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için v=0v = 0 ve x=1x = 1 için v=2v = 2 olarak güncellenir.
4
Elde edilen I1I_1 ve I2I_2 integrallerini toplayarak ortak katsayı parantezine alalım ve integral aralıklarını birleştirelim.
I1+I2=3(∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx)=3∫−12f(x) dx=3⋅10=30I_1 + I_2 = 3 \left( \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right) = 3 \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 3 \cdot 10 = 30
Belirli integralin sınırları [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] birbirini tamamladığı için aralık bölme özelliği gereğince ∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx=∫−12f(x) dx\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve integral aralıklarının parçalanması/birleştirilmesi özellikleri
Soru 29Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6
ve
∫12x⋅f(x2+1) dx=4\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İntegralin değeri 4'tür.
Dönüşümler yapıldığında ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 ve ∫25f(x) dx=8\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8 değerleri bulunur. Belirli integralin sınırları bölme özelliği kullanılarak ∫12f(x) dx=12−8=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 - 8 = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken de��iştirme yöntemini uygulayalım.
u=2x−1  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x - 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=3  ⟹  u=5x = 3 \implies u = 5 elde edilir. Buradan,
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)du2=6  ⟹  ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
bulunur.
Verilen ilk integral ifadesini sadeleştirmek ve standart f(x)f(x) formuyla ifade edebilmek için değişken değiştirme uygulanır.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
v=x2+1  ⟹  dv=2x dx  ⟹  x dx=dv2v = x^2 + 1 \implies dv = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  v=2x = 1 \implies v = 2 ve x=2  ⟹  v=5x = 2 \implies v = 5 elde edilir. Buradan,
∫12x⋅f(x2+1) dx=∫25f(v)dv2=4  ⟹  ∫25f(x) dx=8\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(v) \frac{dv}{2} = 4 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8
bulunur.
İkinci integral ifadesini standart f(x)f(x) integraline dönüştürmek için x2+1x^2+1 ifadesine yeni bir değişken atanır.
3
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanalım.
∫15f(x) dx=∫12f(x) dx+∫25f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx
Elde ettiğimiz değerleri yerine yazarsak;
12=∫12f(x) dx+8  ⟹  ∫12f(x) dx=412 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
bulunur.
Sınırları [1,5][1, 5] olan integral, [1,2][1, 2] ve [2,5][2, 5] aralıklarında iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve integralin sınırları bölme özelliği
Soru 30Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫35(f(x)−2x) dx=−8\int_{3}^{5} (f(x) - 2x) \, dx = -8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 4 olarak bulunur.
İkinci denklem belirli integralin lineerlik özelliği ile parçalandığında elde edilen ∫352x dx\int_{3}^{5} 2x \, dx integralinin değeri 1616 olur. Buradan ∫35f(x) dx=8\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8 olarak bulunur. İlk denklemde verilen [1,5][1, 5] aralığı belirli integralin aralık bölme özelliğiyle [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olarak ikiye ayrıldığında, ∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx bağıntısı elde edilir. Sayısal değerler yerine konduğunda 12=∫13f(x) dx+812 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 eşitliğinden aranan integralin değeri 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integral ifadesini belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak parçalamak
∫35f(x) dx−∫352x dx=−8\int_{3}^{5} f(x) \, dx - \int_{3}^{5} 2x \, dx = -8
İntegrali sadeleştirip ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx terimini yalnız bırakabilmek için belirli integralin çıkarma özelliğini uyguladık.
2
∫352x dx\int_{3}^{5} 2x \, dx integralini hesaplamak
∫352x dx=[x2]35=25−9=16\int_{3}^{5} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{3}^{5} = 25 - 9 = 16
2x2x fonksiyonunun integralinin x2x^2 olduğunu bilerek sınır değerlerini yerine koyduk.
3
∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx değerini bulmak
∫35f(x) dx=8\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8
∫35f(x) dx−16=−8\int_{3}^{5} f(x) \, dx - 16 = -8 eşitliğinden bilinmeyen integral değerini çektik.
4
Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini uygulamak
∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx
[1,5][1, 5] aralığını 33 noktasına göre iki alt aralığa bölerek integral değerleri arasındaki ilişkiyi kurduk.
5
Verilen ve bulunan değerleri denklemde yerine koyup sonuca ulaşmak
12=∫13f(x) dx+8  ⟹  ∫13f(x) dx=412 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4
Bilinen değerleri yerine yazarak bizden istenen aralıktaki integral değerini hesapladık.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralin Lineerlik ve Aralık Bölme Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff çift fonksiyonu için
∫−24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18
ve
∫12f(2x) dx=4\int_{1}^{2} f(2x) \, dx = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
İkinci integralde yapılan değişken değiştirme ile [2,4][2, 4] aralığındaki integral değeri 8 bulunur. İlk integral [−2,2][ -2, 2 ] ve [2,4][ 2, 4 ] olarak parçalandığında, [−2,2][-2, 2] aralığının değeri 10 olur. ff çift fonksiyon olduğundan [0,2][0, 2] aralığının değeri 5 olarak elde edilir. İstenen integral de [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] olarak parçalanıp toplandığında 13 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde u=2xu = 2x değişken değiştirmesi yapılması
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde: x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 elde edilir. Bu durumda ∫24f(u)du2=4  ⟹  ∫24f(x) dx=8\int_{2}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 4 \implies \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8 bulunur.
f(2x)f(2x) ifadesini standart f(x)f(x) formuna getirerek integral aralığını belirlemek.
2
İlk integralin aralık parçalama özelliği kullanılarak bölünmesi
∫−24f(x) dx=∫−22f(x) dx+∫24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 18 olur. Birinci adımda bulunan değer yerine yazıldığında: ∫−22f(x) dx+8=18  ⟹  ∫−22f(x) dx=10\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + 8 = 18 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 10 elde edilir.
Tanımlı [−2,4][ -2, 4 ] integralini bilinen ve simetrik olan alt aralıklara ayırmak.
3
ff fonksiyonunun çift olmasından yararlanılarak simetrik sınır özelliğinin uygulanması
ff çift fonksiyon olduğundan ∫−22f(x) dx=2∫02f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} f(x) \, dx olur. Buradan 2∫02f(x) dx=10  ⟹  ∫02f(x) dx=52 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5 bulunur.
Simetrik [−2,2][-2, 2] aralığındaki integral değerini [0,2][0, 2] aralığına indirgemek.
4
İstenen integralin parçalanarak hesaplanması
∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx şeklinde parçalanır. Değerler yerine yazıldığında: 5+8=135 + 8 = 13 elde edilir.
Elde edilen [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] integral değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, aralık parçalama ve simetrik sınırlarda çift fonksiyon integral özellikleri
Soru 32Soru →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2
olduğuna göre,
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İstenen integral işleminin sonucu 10'dur.
Verilen fonksiyonel denklemden fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır. Bu periyot özelliği kullanılarak sınırları daha büyük olan integral terimleri [0,4][0, 4] periyot aralığı cinsinden parçalanır ve ortak [1,2][1, 2] aralığı sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun periyodiklik özelliğinin belirlenmesi
f(x)=f(x+4)f(x) = f(x+4) eşitliği elde edilerek fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır.
İntegral sınırlarını kaydırabilmek ve periyot özelliğini kullanabilmek için.
2
Periyot aralığındaki integral değerinin hesaplanması
[0,4][0, 4] aralığındaki integral değeri 12 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki yanının [0,2][0, 2] aralığında entegre edilmesi ve değişken değiştirme uygulanması ile tam bir periyottaki integral değerine ulaşmak amacıyla.
3
İstenen integral ifadesinin parçalanması
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx=12+∫02f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 12 + \int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesi elde edilir.
Sınırları [0,4][0, 4] periyot uzunluğuna göre sadeleştirmek için.
4
Fark integralinin ortak aralıklar kullanılarak basitleştirilmesi
∫02f(x) dx−∫13f(x) dx=∫01f(x) dx−∫23f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{2}^{3} f(x) \, dx olduğu görülür.
[1,2][1, 2] aralığındaki ortak integral değerlerinin sadeleşmesini sağlamak için.
5
Kayıp aralıktaki integral değerinin bulunması
∫23f(x) dx=4\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4 olarak hesaplanır.
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6 eşitliği [0,1][0, 1] aralığında entegre edilip verilen ∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 değeri kullanılarak.
6
Nihai sonucun elde edilmesi
İşlemin sonucu 12+(2−4)=1012 + (2 - 4) = 10 olarak bulunur.
Bulunan tüm değerlerin sadeleştirilmiş ana ifadede yerine konulması amacıyla.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınır kaydırma, periyodik fonksiyonların integrali ve değişken değiştirme özellikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →
Bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integral değerleri ile ilgili olarak,
∫13f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4
∫15f(x) dx=10\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 10
bilgileri verilmektedir.
Buna göre,
∫12f(2x+1) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegral özelliklerinin uygulanmasıyla elde edilen doğru sonuç 9'dur.
İntegralin aralık bölme özelliğinden yararlanılarak 3 ile 5 sınırları arasındaki integral değeri 6 olarak hesaplanır. Ardından, birinci integralde değişken değiştirme uygulanarak sınırlar 3 ve 5'e dönüştürülür ve katsayı çarpanıyla birlikte bu integralin değeri 3 bulunur. Son olarak iki değer toplandığında 9 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak 3 ile 5 arasındaki integral değerini hesaplayın.
∫35f(x) dx=6\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 6
[1,5][1, 5] aralığı [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olarak ikiye bölünebildiğinden, ∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx eşitliği yazılır. Buradan 10=4+∫35f(x) dx10 = 4 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx elde edilerek aranan değer 6 bulunur.
2
İlk integral olan ∫12f(2x+1) dx\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx ifadesinde u=2x+1u = 2x+1 değişken değiştirmesini uygulayın.
∫12f(2x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx = 3
u=2x+1u = 2x+1 için du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1x = 1 için u=3u = 3 ve x=2x = 2 için u=5u = 5 olur. Buradan integral ∫35f(u) du2=12∫35f(x) dx=12⋅6=3\int_{3}^{5} f(u) \, \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 olarak bulunur.
3
Elde edilen iki integral değerini toplayarak sonucu bulun.
3+6=93 + 6 = 9
Toplamı oluşturan ilk terim 3, ikinci terim ise 6 olarak hesaplandığından bu iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemlerinin birlikte kullanılması.
Soru 34Soru →
[1,7][1, 7] kapalı aralığında sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10
ve
∫25f(2x−3) dx=8\int_{2}^{5} f(2x - 3) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫47(f(x)+2) dx\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Belirli integralin özellikleri kullanılarak elde edilen sonuç 12'dir.
Verilen ikinci integralde değişken değiştirme yapılarak sınırların güncellenmesiyle [1,7][1, 7] aralığındaki integral değeri 16 olarak bulunur. Ardından aralık bölme özelliği kullanılarak [4,7][4, 7] aralığındaki integral değeri 6 olarak elde edilir. Son olarak doğrusal parçalama ile bu değere sabit olan 2 sayısının aynı aralıktaki integrali (yani 6) eklenerek doğru cevap 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanarak sınırlar ve ifade düzenlenir.
∫17f(x) dx=16\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 16
u=2x−3u = 2x - 3 dönüşümüyle sınırları ve diferansiyel ifadesini (dx=du2dx = \frac{du}{2}) güncellemek için.
2
Belirli integralin sınırları bölme özelliği uygulanarak bilinmeyen aralıktaki integral değeri hesaplanır.
∫47f(x) dx=6\int_{4}^{7} f(x) \, dx = 6
[1,7][1, 7] aralığındaki integrali [1,4][1, 4] ve [4,7][4, 7] aralıklarına bölerek bilinen değerlerden yararlanmak için.
3
İstenen integral ifadesi doğrusal olarak parçalanarak hesaplanır.
∫47(f(x)+2) dx=12\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx = 12
Toplama halindeki integral ifadesini fonksiyonun integrali ile sabit terimin integralinin toplamı şeklinde yazıp hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme, aralık bölme ve doğrusallık özellikleri
Soru 35Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=10\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 10
olduğu bilinmektedir.
Buna göre,
∫02(f(2x+1)+3x) dx\int_{0}^{2} (f(2x + 1) + 3x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İntegralin değeri 11 olarak bulunur.
Verilen integral iki parçaya bölünerek incelenir. İlk parça olan f(2x+1)f(2x+1) integrali için u=2x+1u=2x+1 dönüşümü yapıldığında sınırlar 11 ve 55 olur ve integral değeri 55 olarak bulunur. İkinci parça olan 3x3x ifadesinin belirli integrali ise 66 çıkar. Bu iki değerin toplamı olan 11 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali toplama özelliğini kullanarak iki ayrı integral haline getirin.
∫02f(2x+1) dx+∫023x dx\int_{0}^{2} f(2x + 1) \, dx + \int_{0}^{2} 3x \, dx
Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir.
2
Birinci integralde u=2x+1u = 2x + 1 değişken değiştirmesini uygulayın.
u=2x+1  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x + 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}
Sınırlar için:
x=0  ⟹  u=1x = 0 \implies u = 1
x=2  ⟹  u=5x = 2 \implies u = 5
Yeni integral:
∫15f(u)du2=12∫15f(u) du\int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du
Değişken de��iştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini yeni değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Birinci integralin değerini hesaplayın.
12∫15f(x) dx=12×10=5\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \times 10 = 5
Verilen belirli integral değeri yerine yazılır.
4
İkinci integralin değerini hesaplayın.
∫023x dx=[3x22]02=3(2)22−0=6\int_{0}^{2} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{3(2)^2}{2} - 0 = 6
Polinom fonksiyonların belirli integral alma kuralları uygulanır.
5
Elde edilen iki integral değerini toplayın.
5+6=115 + 6 = 11
İlk adımda ayrıştırılan iki parçanın toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Lineerlik Özellikleri

Alternatif Yöntem

İntegrali doğrudan çözmek yerine grafiğin yatayda sıkışma ve öteleme özelliklerini düşünerek alanı yorumlayabilirsiniz. f(2x+1)f(2x+1) grafiği, f(x)f(x) grafiğinin 11 birim sola ötelenip 22 kat yatayda daraltılmış halidir. Sınırlar da bu daralmaya uygun olarak yarıya indiğinden alan da yarıya inecektir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →

İntegrallenebilir bir ff fonksiyonu için

∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫13[f(2x−1)−f(2x+1)] dx\int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İntegralin değeri −3-3 olmalıdır.
İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak ifade iki ayrı integrale bölünür. İlk integralde u=2x−1u = 2x - 1 ve ikinci integralde v=2x+1v = 2x + 1 değişken değiştirmeleri yapıldığında, diferansiyel terimlerinden gelen 12\frac{1}{2} katsayısı ve güncellenen sınırlar yardımıyla integral 12∫15f(u) du−12∫37f(v) dv\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u)\,du - \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v)\,dv haline gelir. Buradan 12(12)−12(18)=6−9=−3\frac{1}{2}(12) - \frac{1}{2}(18) = 6 - 9 = -3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak iki ayrı integralin farkı şeklinde yazalım.
∫13[f(2x−1)−f(2x+1)] dx=∫13f(2x−1) dx−∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx = \int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx - \int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx
Belirli integralin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayarak her bir terimi ayrı ayrı analiz etmek işlemleri kolaylaştırır.
2
İlk integral olan ∫13f(2x−1) dx\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx ifadesinde u=2x−1u = 2x - 1 değişken değiştirmesini yapalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

Sınırların güncellenmesi:
- Alt sınır: x=1  ⟹  u=2(1)−1=1x = 1 \implies u = 2(1) - 1 = 1
- Üst sınır: x=3  ⟹  u=2(3)−1=5x = 3 \implies u = 2(3) - 1 = 5

Böylece integral:
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)du2=12∫15f(u) du=12⋅12=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6
Belirli integralde de��işken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İkinci integral olan ∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx ifadesinde v=2x+1v = 2x + 1 değişken değiştirmesini yapalım.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2}

Sınırların güncellenmesi:
- Alt sınır: x=1  ⟹  v=2(1)+1=3x = 1 \implies v = 2(1) + 1 = 3
- Üst sınır: x=3  ⟹  v=2(3)+1=7x = 3 \implies v = 2(3) + 1 = 7

Böylece integral:
∫13f(2x+1) dx=∫37f(v)dv2=12∫37f(v) dv=12⋅18=9\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(v) \frac{dv}{2} = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9
İkinci terim için de değişken değiştirme kurallarını ve sınır güncellemesini aynı şekilde uygularız.
4
Elde edilen integral değerlerini ana denklemde yerine yazarak çıkarma işlemini tamamlayalım.
6−9=−36 - 9 = -3
Ayrı ayrı hesaplanan integral değerlerinin farkı, soruda istenen nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin lineerlik özelliği.
Soru 37Soru →
f(x)+f(−x)=3x2+4f(x) + f(-x) = 3x^2 + 4 eşitliğini sağlayan sürekli bir ff fonksiyonu için ∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Belirli integralin değeri 16'dır.
Verilen eşitliğin integralini alıp sol tarafta değişken değiştirme kullanarak her iki terimin de aynı integral değerini verdiğini gösteririz. Bu da bizi doğru cevap olan 16 değerine ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının [−2,2][-2, 2] aralığında belirli integralini alırız.
∫−22(f(x)+f(−x)) dx=∫−22(3x2+4) dx\int_{-2}^{2} (f(x) + f(-x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx
Eşit iki ifadenin aynı sınırlar altındaki belirli integralleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki belirli integrali hesaplarız.
∫−22(3x2+4) dx=[x3+4x]−22=(8+8)−(−8−8)=16−(−16)=32\int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx = \left[ x^3 + 4x \right]_{-2}^{2} = (8 + 8) - (-8 - 8) = 16 - (-16) = 32
Belirli integralin temel teoremini kullanarak sınır değerlerini fonksiyonda yerine yazarız.
3
∫−22f(−x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx integralinde u=−xu = -x değişken değiştirmesi uygularız.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar için; x=−2x = -2 iken u=2u = 2 ve x=2x = 2 iken u=−2u = -2 olur. Buradan ∫−22f(−x) dx=∫2−2f(u) (−du)=∫−22f(u) du=∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = \int_{2}^{-2} f(u) \, (-du) = \int_{-2}^{2} f(u) \, du = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini uu cinsinden yazıp integralin yönünü değiştirerek eksiyi yok ederiz.
4
Eşitliğin sol tarafındaki iki integralin birbirine eşit olduğunu kullanarak sonucu buluruz.
∫−22f(x) dx+∫−22f(−x) dx=2∫−22f(x) dx=32  ⟹  ∫−22f(x) dx=16\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = 2 \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 32 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 16
Elde edilen sonuçları birleştirerek aranan integralin değerini yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi özellikleri
Soru 38Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6
∫06f(x) dx=18\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 18
e��itlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x) dx+∫46f(x) dx\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İstenen belirli integrallerin toplam değeri 9'dur.
Verilen ilk integralde 2x=u2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında sınırların [0,4][0, 4] aralığına güncellendiği ve integralin değerinin 12 olduğu görülür. Toplam integral tanım aralığı [0,6][0, 6] olduğundan, aralık bölme özelliğiyle [4,6][4, 6] aralığındaki integral değeri 6 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki 2x=t2x = t değişken değiştirmesiyle ilk terimin [4,6][4, 6] aralığındaki integralin yarısı (yani 3) olduğu elde edilir. Bu değer ile [4,6][4, 6] aralığındaki integralin kendisinin (yani 6) toplamı 9 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6 integralinde u=2xu = 2x değişken değiştirmesi yapılması
∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=0x = 0 için u=0u = 0 ve x=2x = 2 için u=4u = 4 olarak güncellenir. Buradan 12∫04f(u) du=6\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6 eşitliğinden ∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12 elde edilir.
2
∫06f(x) dx=∫04f(x) dx+∫46f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx özelli��inin kullanılması
∫46f(x) dx=6\int_{4}^{6} f(x) \, dx = 6
[0,6][0, 6] aralığındaki integral, bilinen [0,4][0, 4] aralığı ve bilinmeyen [4,6][4, 6] aralığı olarak ikiye bölünür. 18=12+∫46f(x) dx18 = 12 + \int_{4}^{6} f(x) \, dx eşitliğinden aranan kısım 66 bulunur.
3
∫23f(2x) dx\int_{2}^{3} f(2x) \, dx integralinde t=2xt = 2x dönüşümü yapılarak ifadenin hesaplanması
∫23f(2x) dx+∫46f(x) dx=9\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx = 9
t=2x  ⟹  dx=dt2t = 2x \implies dx = \frac{dt}{2} olur. Sınırlar x=2x = 2 için t=4t = 4 ve x=3x = 3 için t=6t = 6 olur. İntegral 12∫46f(t) dt=12⋅6=3\frac{1}{2} \int_{4}^{6} f(t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 değerini alır. Toplam ise 3+6=93 + 6 = 9 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri
Soru 39Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff tek fonksiyonu için
∫−13f(2x−3) dx=6\int_{-1}^{3} f(2x-3) \, dx = 6
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12(x⋅f(2x2+1)+4x) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} (x \cdot f(2x^2+1) + 4x) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1 değeri doğrudur.
İntegralin lineerlik özelliği ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulanıp tek fonksiyon simetrisiyle ∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 değeri elde edildikten sonra ikinci integral −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde u=2x−3u = 2x-3 değişken değiştirmesi yapılması
∫−53f(u) du=12\int_{-5}^{3} f(u) \, du = 12 elde edilir.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=−1  ⟹  u=−5x = -1 \implies u = -5 ve x=3  ⟹  u=3x = 3 \implies u = 3 olarak güncellenir. Buradan 12∫−53f(u) du=6  ⟹  ∫−53f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{-5}^{3} f(u) \, du = 6 \implies \int_{-5}^{3} f(x) \, dx = 12 bulunur.
2
ff fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğinin kullanılması
∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 olarak bulunur.
ff tek fonksiyon olduğundan ∫−33f(x) dx=0\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 0 olur. Bu durumda ∫−53f(x) dx=∫−5−3f(x) dx+∫−33f(x) dx=12  ⟹  ∫−5−3f(x) dx=12\int_{-5}^{3} f(x) \, dx = \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx + \int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 12 \implies \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = 12 olur. Tek fonksiyon simetrisinden ∫−5−3f(x) dx=−∫35f(x) dx  ⟹  ∫35f(x) dx=−12\int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = -\int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 elde edilir.
3
İkinci integralin lineerlik özelliği ile iki parçaya ayrılması ve t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılması
İstenen integral değeri −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak bulunur.
∫124x dx=[2x2]12=4−2=2\int_{1}^{\sqrt{2}} 4x \, dx = [2x^2]_{1}^{\sqrt{2}} = 4 - 2 = 2 olur. Diğer parça olan ∫12x⋅f(2x2+1) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2x^2+1) \, dx için t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılırsa dt=4x dx  ⟹  x dx=dt4dt = 4x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{4} olur. Sınırlar x=1  ⟹  t=3x = 1 \implies t = 3 ve x=2  ⟹  t=5x = \sqrt{2} \implies t = 5 olur. Buradan 14∫35f(t) dt=14(−12)=−3\frac{1}{4} \int_{3}^{5} f(t) \, dt = \frac{1}{4} (-12) = -3 elde edilir. Toplam sonuç −3+2=−1-3 + 2 = -1 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve tek fonksiyonların simetrik aralıktaki integral özelliklerinin kullanılması.
Soru 40Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(x) dx=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8
∫13x⋅f(4−x) dx=10\int_{1}^{3} x \cdot f(4-x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13x⋅f(x) dx\int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 22'dir.
İkinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesi yapıldığında dx=−dudx = -du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=3u=3 ve x=3x=3 için u=1u=1 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫31(4−u)f(u)(−du)=∫13(4−u)f(u)du\int_{3}^{1} (4-u)f(u)(-du) = \int_{1}^{3} (4-u)f(u)du şekline dönüşür. İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak bu ifade 4∫13f(x)dx−∫13xf(x)dx=104\int_{1}^{3} f(x)dx - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 10 olarak yazılır. ∫13f(x)dx=8\int_{1}^{3} f(x)dx = 8 değeri yerine yazıldığında 32−∫13xf(x)dx=1032 - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 10 denklemin çözülmesiyle aranan integralin değeri 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesi yapılır.
dx=−dudx = -du elde edilir.
İntegralin içindeki f(4−x)f(4-x) ifadesini f(u)f(u) cinsinden yazarak bilinen integral sınırları ve de��erleriyle ilişkilendirmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=4−1=3x = 1 \implies u = 4 - 1 = 3 ve üst sınır için x=3  ⟹  u=4−3=1x = 3 \implies u = 4 - 3 = 1 olur.
Değişken değiştirme uygulandığında belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni sınırlar ve dx=−dudx = -du ifadesi integralde yerine yazılarak integral yeniden düzenlenir.
∫13x⋅f(4−x) dx=∫31(4−u)⋅f(u)⋅(−du)=∫13(4−u)⋅f(u) du\int_{1}^{3} x \cdot f(4-x) \, dx = \int_{3}^{1} (4-u) \cdot f(u) \cdot (-du) = \int_{1}^{3} (4-u) \cdot f(u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarının yer değiştirmesi durumunda integralin işaretinin tersine dönmesi (∫31=−∫13\int_3^1 = -\int_1^3) özelliği ile dx=−dudx = -du ifadesindeki eksi işareti birbirini sadeleştirir.
4
Elde edilen integral, lineerlik özelliği kullanılarak iki ayrı integralin farkı şeklinde yazılır.
∫13(4−u)⋅f(u) du=4∫13f(u) du−∫13u⋅f(u) du\int_{1}^{3} (4-u) \cdot f(u) \, du = 4 \int_{1}^{3} f(u) \, du - \int_{1}^{3} u \cdot f(u) \, du
Belirli integralin toplama ve çıkarma işlemleri üzerindeki dağılma ve sabit katsayıyı dışarı çıkarma özellikleri uygulanır.
5
İntegral değişkeninin adının değişmesi değeri etkilemediğinden uu yerine tekrar xx yazılır ve bilinen değerler yerine konarak istenen integral yalnız bırakılır.
4∫13f(x) dx−∫13x⋅f(x) dx=104 \int_{1}^{3} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10
4⋅8−∫13x⋅f(x) dx=10  ⟹  32−∫13x⋅f(x) dx=10  ⟹  ∫13x⋅f(x) dx=224 \cdot 8 - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10 \implies 32 - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 22
Belirli integralde integral değişkeninin sembolü (örneğin uu veya xx) integralin değerini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi, integral sınırlarının güncellenmesi ve integralin lineerlik özellikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Belirli İntegral ve Özellikleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin