Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 261Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡4x−cos⁡4xtan⁡x−cot⁡x=38\frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\tan x - \cot x} = \frac{3}{8}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) olup, verilen eşitlikten sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifadenin pay ve paydası yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) ifadesi elde edilir. Bu ifade 38\frac{3}{8} değerine eşitlendiğinde sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak sadeleştirin.
sin⁡4x−cos⁡4x=−cos⁡(2x)\sin^4 x - \cos^4 x = -\cos(2x)
sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) olup sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazıp paydalarını eşitleyerek yarım açı formülleriyle sadeleştirin.
tan⁡x−cot⁡x=−2cos⁡(2x)sin⁡(2x)\tan x - \cot x = \frac{-2\cos(2x)}{\sin(2x)}
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} olup, pay için yarım açıdan −cos⁡(2x)-\cos(2x), payda için ise 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) yazılmıştır.
3
Pay ve payda ifadelerini oranlayarak denklemi çözün.
sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75
−cos⁡(2x)−cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=12sin⁡(2x)=38  ⟹  sin⁡(2x)=34=0.75\frac{-\cos(2x)}{\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)}} = \frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{3}{8} \implies \sin(2x) = \frac{3}{4} = 0.75 elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometride iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme ve sinüs ile kosinüsün yarım açı formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Payda kısmında tan⁡x−cot⁡x=−2cot⁡(2x)\tan x - \cot x = -2\cot(2x) özdeşliği doğrudan kullanılabilir. Bu özdeşlik cot⁡(2x)=cot⁡2x−12cot⁡x\cot(2x) = \frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} formülünün ters çevrilip eksi ile çarpılmış halidir. Bu sayede payda doğrudan −2cot⁡(2x)-2\cot(2x) olarak yazılıp sadeleştirme daha hızlı yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 262Soru →
tan⁡(arcsin⁡(35)+arccot(2))\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) + \text{arccot}(2)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.
Verilen ters trigonometrik ifadeler açılara eşitlendiğinde elde edilen trigonometrik değerler, dik üçgen bağıntıları yardımıyla tanjant değerlerine dönüştürülür. Ardından tanjant toplam formülü uygulanarak ifadenin sayısal değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonları açılara eşitleme
arcsin⁡(35)=α  ⟹  sin⁡α=35\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \alpha \implies \sin\alpha = \frac{3}{5} ve arccot(2)=β  ⟹  cot⁡β=2\text{arccot}(2) = \beta \implies \cot\beta = 2
Ters trigonometrik fonksiyonların temel tanımını kullanarak açısal karşılıklarını belirlemek için.
2
Açıların tanjant değerlerini hesaplama
tan⁡α=34\tan\alpha = \frac{3}{4} ve tan⁡β=12\tan\beta = \frac{1}{2}
Toplam formülünde kullanmak üzere dik üçgen tanımı ve trigonometrik özdeşliklerden yararlanmak için.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak sonucu bulma
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α⋅tan⁡β=2\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta} = 2
İstenen toplam açısının tanjantını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda açı dönüşümü ve toplam formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, koordinat düzleminde eğimleri sırasıyla 3/43/4 ve 1/21/2 olan iki doğrunun eğim açılarının toplamı dikkate alınabilir. Bu doğruların oluşturduğu toplam açının tanjantı doğrudan iki doğrunun kesişim geometrisinden elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 263Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
sin⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=24\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

İfade sadeleştirilip yarım açı formülleri uygulandığında aranan değer 1/2 olarak bulunur.
İki kare farkı özdeşliği yardımıyla verilen denklem düzenlendiğinde 22sin⁡(2x)=24\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{4} elde edilir ve buradan sin⁡(2x)=12\sin(2x) = \frac{1}{2} bulunur. Kosinüsün yarım açı formülü olan cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) uygulandığında aranan sonuç 1/2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki ifadeye iki kare farkı özdeşliğini ve sinüs toplam-fark formüllerini uygulayalım.
sin⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=sin⁡(2x)sin⁡(π4)=22sin⁡(2x)\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \sin(2x) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)
İki kare farkı açılımı ile terimlerin toplamı ve farkı çarpılarak ifade sadeleştirilir.
2
Sadeleşen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitleyerek sin⁡(2x)\sin(2x) değerini çekelim.
22sin⁡(2x)=24  ⟹  sin⁡(2x)=12\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}
Kosinüs çift kat açı formülüne geçiş yapabilmek için sinüs değeri bulunur.
3
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini hesaplayalım.
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)=1−2(12)2=12\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}
cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta özdeşliği yardımıyla doğrudan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

Terimlerin kareleri toplam-fark formülleri ile ayrı ayrı açılıp farkları alındıktan sonra da sadeleştirme yapılarak çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 264Soru →
cos⁡2(x)+cos⁡2(2x)+cos⁡2(3x)=1\cos^2(x) + \cos^2(2x) + \cos^2(3x) = 1

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π2\frac{5\pi}{2}

Cevap

Köklerin toplamı olan 5π2\frac{5\pi}{2} ifadesi
Denklemin derece düşürme ve toplam-çarpım formülleriyle çözümü sonucunda [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı kökleri π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4}, π2\frac{\pi}{2}, 3π4\frac{3\pi}{4} ve 5π6\frac{5\pi}{6} olarak bulunur. Bu köklerin toplamı 5π2\frac{5\pi}{2}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Derece düşürme formüllerini uygulamak.
cos⁡2(x)=1+cos⁡(2x)2\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

cos⁡2(3x)=1+cos⁡(6x)2\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}
Derecesi 2 olan terimleri daha kolay çarpanlarına ayırabilmek için birinci dereceden kosinüs ifadelerine dönüştürüyoruz.
2
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine koyup sadeleştirmek.
1+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)+1+cos⁡(6x)2=1\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = 1

1+cos⁡(6x)+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)=11 + \frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 1

cos⁡(6x)+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)=0\frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 0
Denklemin her iki tarafındaki 1 sayıları sadeleşir ve denklem daha yalın bir hale gelir.
3
Kosinüs toplam-çarpım formülünü uygulamak.
cos⁡(6x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(4x)cos⁡(2x)\cos(6x) + \cos(2x) = 2\cos(4x)\cos(2x)

Denklemde yerine koyulduğunda:

cos⁡(4x)cos⁡(2x)+cos⁡2(2x)=0\cos(4x)\cos(2x) + \cos^2(2x) = 0
Toplam durumundaki kosinüs terimlerini ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla çarpım biçimine dönüştürüyoruz.
4
Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma işlemini tamamlamak.
cos⁡(2x)(cos⁡(4x)+cos⁡(2x))=0\cos(2x)(\cos(4x) + \cos(2x)) = 0

cos⁡(4x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(3x)cos⁡(x)\cos(4x) + \cos(2x) = 2\cos(3x)\cos(x)

yazılarak nihai denklem:

2cos⁡(x)cos⁡(2x)cos⁡(3x)=02\cos(x)\cos(2x)\cos(3x) = 0
Denklemin sol tarafını tamamen çarpım biçimine getirerek her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyip kökleri bulmayı kolaylaştırıyoruz.
5
[0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki kökleri bulmak.
1) cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

2) cos⁡(2x)=0  ⟹  x=π4,3π4\cos(2x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}

3) cos⁡(3x)=0  ⟹  x=π6,π2,5π6\cos(3x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}
Çarpanların sıfır olduğu değerleri [0,π][0, \pi] tanım aralığında hesaplıyoruz.
6
Kökleri listeleyip toplamak.
Farklı köklerin kümesi: {π6,π4,π2,3π4,5π6}\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}\right\}

Köklerin toplamı:

Toplam=π6+π4+π2+3π4+5π6=5π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}
x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü iki farklı grupta da çıktığı için yalnızca bir kez toplanmalıdır. Bulunan farklı köklerin toplamını hesaplıyoruz.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin derece düşürme, toplam-çarpım formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü; belirli bir aralıktaki farklı köklerin tespiti.
Soru 265Soru →

Analitik düzlemde, yarıçapı 11 birim olan başlangıç noktası merkezli çember üzerindeki bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çembere teğet olan doğru çiziliyor. Bu teğet doğrusu xx-eksenini AA, yy-eksenini ise BB noktasında kesmektedir.

π<θ<3π2\pi < \theta < \frac{3\pi}{2} olduğuna göre, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklığın θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡θ+cot⁡θ\tan\theta + \cot\theta

Cevap

A noktası ile B noktası arasındaki uzaklık tanjant ile kotanjant değerlerinin toplamına eşittir.
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta) olarak belirlenir. Eksenlerin dik kesişmesi sebebiyle oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında ∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} elde edilir. Bu ifade (tan⁡θ+cot⁡θ)2=∣tan⁡θ+cot⁡θ∣\sqrt{(\tan\theta + \cot\theta)^2} = |\tan\theta + \cot\theta| şeklinde yazılabilir. θ\theta açısı üçüncü bölgede yer aldığından bu bölgede tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır, dolayısıyla mutlak değer içi pozitif olup dışarıya aynen tanjant ile kotanjantın toplamı olarak çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminin yazılması
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çembere üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi x0x+y0y=1x_0 x + y_0 y = 1 formülüyle bulunur.
2
Eksenleri kestiği noktaların bulunması
A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta)
Eksenleri kestiği noktaları bulmak amacıyla teğet doğrusunun denkleminde sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 yazılır. Buradan x=1cos⁡θ=sec⁡θx = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta ve y=1sin⁡θ=csc⁡θy = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta elde edilir.
3
Noktalar arasındaki uzaklığın hesaplanması
∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ=∣tan⁡θ+cot⁡θ∣|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} = |\tan\theta + \cot\theta|
Eksenler dik kesiştiğinden, dik üçgende Pisagor teoremi kullanılarak uzaklık ∣AB∣=sec⁡2θ+csc⁡2θ|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} şeklinde hesaplanır. sec⁡2θ=1+tan⁡2θ\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta ve \csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta o¨zdes\clikleriyerineyazıldıg˘ındaifade özdeşlikleri yerine yazıldığında ifade \sqrt{\tan^2\theta + \cot^2\theta + 2} = \sqrt{(\tan\theta + \cot\theta)^2} = |\tan\theta + \cot\theta|$ halini alır.
4
Bölge analizi ile mutlak değerin açılması
∣AB∣=tan⁡θ+cot⁡θ|AB| = \tan\theta + \cot\theta
Açının bulunduğu üçüncü bölgede (π<θ<3π2\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}) hem tanjant hem de kotanjant fonksiyonları pozitif değerler alır. Bu nedenle toplamları da pozitif olup mutlak değer dışına aynen çıkar.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemi ve bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar yardımıyla trigonometrik özdeşliklerin bölgelere göre işaret analizi yapılarak çözülmesi.
Soru 266Soru →
arcsin⁡(x)=arctan⁡(2x)\arcsin(x) = \arctan(2x)

denklemini sağlayan sıfırdan farklı xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −34-\frac{3}{4}

Cevap

Sıfırdan farklı gerçel köklerin çarpımı olan negatif rasyonel sayı doğru cevaptır.
Denklemin sıfırdan farklı çözümleri olan kökler, ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları dikkate alınarak 32\frac{\sqrt{3}}{2} ve −32-\frac{\sqrt{3}}{2} olarak bulunur. Bu iki gerçel sayının çarpılmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik ifadelerin eşit olduğu açı değeri tanımlanır.
arcsin⁡(x)=θ\arcsin(x) = \theta ve arctan⁡(2x)=θ\arctan(2x) = \theta olsun. Burada θ∈(−π/2,π/2)\theta \in (-\pi/2, \pi/2) ve x∈[−1,1]x \in [-1, 1] aralığındadır.
Ters trigonometrik fonksiyonları ortak bir açı değişkenine bağlamak için.
2
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak trigonometrik denklemler yazılır.
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x ve tan⁡(θ)=2x\tan(\theta) = 2x
Denklemi çözmek için ters fonksiyon ifadelerini normal trigonometrik fonksiyonlara dönüştürmek gerekir.
3
İki denklemdeki ortak değişken kullanılarak tek bir trigonometrik denklem elde edilir.
tan⁡(θ)=2sin⁡(θ)\tan(\theta) = 2\sin(\theta)
Her iki eşitlikteki xx değişkeni birbiriyle ilişkilendirilerek tek bilinmeyenli bir denklem kurulur.
4
Trigonometrik denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
sin⁡(θ)cos⁡(θ)=2sin⁡(θ)  ⟹  sin⁡(θ)(1cos⁡(θ)−2)=0\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 2\sin(\theta) \implies \sin(\theta)\left(\frac{1}{\cos(\theta)} - 2\right) = 0
Tanjant fonksiyonunun sinüs/kosinüs açılımı yapılıp ortak terim parantezine alınması kökleri bulmayı sağlar.
5
Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek olası açı değerleri belirlenir.
sin⁡(θ)=0  ⟹  θ=0  ⟹  x=0\sin(\theta) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = 0 veya cos⁡(θ)=12  ⟹  θ=±π3\cos(\theta) = \frac{1}{2} \implies \theta = \pm\frac{\pi}{3}
Denklemi sağlayan tüm θ\theta değerlerinin bulunması hedeflenir.
6
Sıfırdan farklı θ\theta açıları için xx kökleri hesaplanır.
θ=π3  ⟹  x=sin⁡(π3)=32\theta = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve θ=−π3  ⟹  x=sin⁡(−π3)=−32\theta = -\frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x eşitliği kullanılarak aranan sıfırdan farklı kökler elde edilir.
7
Elde edilen sıfırdan farklı köklerin çarpımı hesaplanır.
(32)⋅(−32)=−34\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4}
Soruda istenen sıfırdan farklı köklerin çarpımına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümelerine uygun olarak denklemlerin çözülmesi ve özel açıların kullanılması.
Soru 267Soru →
xx tanımlı olduğu değerler için
tan⁡(2x)−tan⁡(x)1+tan⁡(2x)⋅tan⁡(x)\frac{\tan(2x) - \tan(x)}{1 + \tan(2x) \cdot \tan(x)}
ifadesinin en sade biçimi nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x

Cevap

İfadenin en sade biçimi tan(x) şeklindedir.
Verilen ifade, iki açının farkının tanjant formülü olan tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} ifadesinin a=2xa=2x ve b=xb=x için yazılmış halidir. Bu formül uygulandığında ifade doğrudan tan⁡(2x−x)=tan⁡(x)\tan(2x - x) = \tan(x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin pay ve paydasındaki terimleri inceleyerek toplam-fark formüllerinden hangisine benzediğini belirleyin.
İfade, iki açının farkının tanjantı formülü olan tan⁡(a−b)=tan⁡(a)−tan⁡(b)1+tan⁡(a)⋅tan⁡(b)\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(b)} yapısındadır.
Formülün yapısı ile verilen ifadenin yapısı birebir aynıdır.
2
Formüldeki aa ve bb açıları yerine ifadedeki karşılıkları olan 2x2x ve xx değerlerini yazın.
a=2xa = 2x ve b=xb = x olarak belirlenir.
Pay kısmında tan⁡(2x)−tan⁡(x)\tan(2x) - \tan(x) ve paydada 1+tan⁡(2x)⋅tan⁡(x)1 + \tan(2x)\cdot\tan(x) terimleri yer almaktadır.
3
Tanjant fark formülünü uygulayarak ifadeyi sadeleştirin.
tan⁡(2x−x)=tan⁡(x)\tan(2x - x) = \tan(x) elde edilir.
2x2x açısından xx açısı çıkarıldığında xx açısı kalır.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü
Tahmini Süre:45s
Soru 268Soru →
x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1+2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xa = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} + \sin x
b=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xb = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}
c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x

ifadeleri veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<ac < b < a

Cevap

c<b<ac < b < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan aa ifadesi mutlak değer dışına −(sin⁡x+cos⁡x)-(\sin x + \cos x) olarak çıkar ve −cos⁡x-\cos x değerine sadeleşir. bb ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olur. c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesinin değeri ise dördüncü bölgede −2-2 değerinden küçüktür. Bu durumda elde edilen aralıklar sırasıyla c<−2c < -2, −1.414<b<−1-1.414 < b < -1 ve −0.707<a<0-0.707 < a < 0 şeklinde olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) aralığına göre sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x fonksiyonlarının işaretlerini belirleme ve aa ifadesini sadeleştirme.
Bu aralıkta sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0 ve ∣sin⁡x∣>cos⁡x|\sin x| > \cos x olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur. a=(sin⁡x+cos⁡x)2+sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣+sin⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)+sin⁡x=−cos⁡xa = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} + \sin x = |\sin x + \cos x| + \sin x = -(\sin x + \cos x) + \sin x = -\cos x elde edilir. cos⁡x∈(0,22)\cos x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğundan a∈(−22,0)a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) aralığındadır.
Kareköklü ifadenin mutlak değer dışına doğru işaretle çıkarılması ve ifadenin sınırlarının belirlenmesi için gereklidir.
2
bb ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirme ve sınırlarını belirleme.
b=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡x+cos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)⋅1sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x−cos⁡xb = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \cdot 1}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x elde edilir. Verilen aralıkta sin⁡x∈(−1,−22)\sin x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ve −cos⁡x∈(−22,0)-\cos x \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan, bu iki değer toplandığında b=sin⁡x−cos⁡x∈(−2,−1)b = \sin x - \cos x \in (-\sqrt{2}, -1) aralığında yer alır.
İfadenin sade hali üzerinden büyüklük karşılaştırması yapabilmek için gereklidir.
3
cc ifadesini tanjant ve kotanjantın özelliklerini kullanarak analiz etme.
c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesinde, x∈(3π2,7π4)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right) için tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x∈(−1,0)\cot x \in (-1, 0) olur. u=∣tan⁡x∣>1u = |\tan x| > 1 dersek, c=−(u+1u)c = -\left(u + \frac{1}{u}\right) yazılabilir. Her u>1u > 1 için u+1u>2u + \frac{1}{u} > 2 olduğundan, c<−2c < -2 elde edilir.
cc ifadesinin alabileceği değerlerin üst sınırını belirlemek için gereklidir.
4
Elde edilen aa, bb ve cc aralıklarını karşılaştırarak nihai sıralamayı bulma.
c<−2c < -2, b∈(−2,−1)b \in (-\sqrt{2}, -1) ve a∈(−22,0)a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan, aralıklar kesişmez ve doğrudan c<b<ac < b < a sıralaması elde edilir.
Her üç ifadenin de sayı doğrusundaki konumlarını netleştirip sıralamayı tamamlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi, bölgelere göre işaret tespiti ve trigonometrik değerlerin sıralanması.

Alternatif Yöntem

Sıralamayı daha rahat görebilmek için verilen aralıktan özel bir açı seçilebilir. Örneğin x=300∘x = 300^\circ (x=5π3x = \frac{5\pi}{3}) için değerler hesaplanırsa: a=1+2sin⁡300∘cos⁡300∘+sin⁡300∘=∣sin⁡300∘+cos⁡300∘∣+sin⁡300∘=∣−32+12∣−32=−(−32+12)−32=−12=−0.5a = \sqrt{1 + 2\sin 300^\circ \cos 300^\circ} + \sin 300^\circ = |\sin 300^\circ + \cos 300^\circ| + \sin 300^\circ = |-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}| - \frac{\sqrt{3}}{2} = -(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5. b=sin⁡300∘−cos⁡300∘=−32−12≈−0.866−0.5=−1.366b = \sin 300^\circ - \cos 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \approx -0.866 - 0.5 = -1.366. c=tan⁡300∘+cot⁡300∘=−3−13≈−1.732−0.577=−2.309c = \tan 300^\circ + \cot 300^\circ = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -1.732 - 0.577 = -2.309. Bu değerler karşılaştırıldığında −2.309<−1.366<−0.5-2.309 < -1.366 < -0.5 olduğu için c<b<ac < b < a sıralaması kolayca doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 269Soru →

Şekildeki ABCABC ve CDECDE üçgenlerinin CC köşesi ortaktır. A,C,EA, C, E noktaları ile B,C,DB, C, D noktaları sırasıyla doğrusaldır.

∣AC∣=4 birim|AC| = 4\text{ birim}, ∣BC∣=6 birim|BC| = 6\text{ birim}, ∣AB∣=4 birim|AB| = 4\text{ birim}, ∣CD∣=5 birim|CD| = 5\text{ birim} ve ∣CE∣=8 birim|CE| = 8\text{ birim} olduğuna göre, ∣DE∣|DE| kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29\sqrt{29}

Cevap

29\sqrt{29}
Ortak CC köşesinde oluşan ters açıların kosinüs değerleri birbirine eşittir. İlk üçgende tüm kenar uzunlukları bilindiği için Kosinüs Teoremi yardımıyla ortak açının kosinüsü 34\frac{3}{4} olarak hesaplanır. Ardından ikinci üçgende bu kosinüs değeri ve verilen kenarlar kullanılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve bilinmeyen kenar uzunluğu 29\sqrt{29} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak olan CC köşesindeki ters açılardan yola çıkarak m(ACB^)=m(DCE^)=αm(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE}) = \alpha olduğunu belirleyelim.
İki üçgenin de tepe açısı eşittir ve kosinüs değerleri aynıdır.
Kosinüs Teoremi'ni her iki üçgende de uygulayabilmek için ortak açının belirlenmesi gerekir.
2
ABCABC üçgeninde ABAB kenarına göre Kosinüs Teoremi formülünü uygulayarak cos⁡(α)\cos(\alpha) değerini hesaplayalım.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\alpha)
42=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(α)4^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(\alpha)
16=16+36−48cos⁡(α)16 = 16 + 36 - 48\cos(\alpha)
48cos⁡(α)=36  ⟹  cos⁡(α)=3448\cos(\alpha) = 36 \implies \cos(\alpha) = \frac{3}{4}
CDECDE üçgeninde bilinmeyen kenarı bulmak için bu ortak açının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
3
CDECDE üçgeninde DEDE kenarı için Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım.
∣DE∣2=∣CD∣2+∣CE∣2−2⋅∣CD∣⋅∣CE∣⋅cos⁡(α)|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos(\alpha)
∣DE∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅34|DE|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4}
∣DE∣2=25+64−80⋅34|DE|^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{3}{4}
∣DE∣2=89−60=29  ⟹  ∣DE∣=29 birim|DE|^2 = 89 - 60 = 29 \implies |DE| = \sqrt{29}\text{ birim}
Kosinüs Teoremi yardımıyla bilinmeyen kenarın uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve Ters Açılar
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 270Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=3210\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{3\sqrt{2}}{10}
olduğuna göre, 25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} ve sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} değerleri kullanılarak, yarım açı formülü yardımıyla 25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) ifadesinin değeri 24 olarak bulunur.
Verilen ifade iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde cos⁡(2x)⋅cos⁡(π/4)=32/10\cos(2x) \cdot \cos(\pi/4) = 3\sqrt{2}/10 denklemi elde edilir. Buradan cos⁡(2x)=3/5\cos(2x) = 3/5 bulunur. Tanımlanan bölgede sin⁡(2x)=4/5\sin(2x) = 4/5 olup, yarım açı formülüyle sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=24/25\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 24/25 bulunur. Sonuç olarak 25⋅sin⁡(4x)=2425 \cdot \sin(4x) = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi iki kare farkı ve toplam-fark özdeşlikleri kullanarak sadeleştirmek
cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
İfadedeki terimlerin açılımını yaparak cos⁡(2x)\cos(2x) değerine ulaşmak
2
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplamak
sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5}
Yarım açı formülünde kullanılacak olan sinüs değerini elde etmek
3
Sinüs yarım açı formülünü uygulayarak sin⁡(4x)\sin(4x) değerini hesaplamak
sin⁡(4x)=2425\sin(4x) = \frac{24}{25}
İstenen ifadenin çarpanı olan sin⁡(4x)\sin(4x) değerini bulmak
4
25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) işlemini gerçekleştirmek
24
Soruda sorulan nihai sayısal değere ulaşmak

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerinin trigonometrik sadeleştirmelerde ve değer hesaplamalarında uygulanması

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak, cos⁡(π8+x)\cos\left(\frac{\pi}{8} + x\right) ve sin⁡(π8−x)\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right) ifadeleri toplam-fark formülleriyle açılarak kareleri alınabilir. Kareler alındığında çapraz çarpım terimleri birbirini götürür ve geriye (cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2π8−sin⁡2π8)=cos⁡(2x)cos⁡π4(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}) = \cos(2x)\cos\frac{\pi}{4} kalır. Buradan da aynı şekilde çözüme ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 271Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1+cos⁡(2x)+cos⁡xsin⁡(2x)+sin⁡x=−43\frac{1 + \cos(2x) + \cos x}{\sin(2x) + \sin x} = -\frac{4}{3}
olduğuna göre,
cos⁡2(x4)−sin⁡2(x4)\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010\frac{\sqrt{10}}{10}

Cevap

1010\frac{\sqrt{10}}{10}
Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde cot⁡x=−43\cot x = -\frac{4}{3} elde edilir. xx açısı ikinci bölgede olduğundan cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur. Sorulan ifade yarım açı formülüyle cos⁡(x/2)\cos(x/2) değerine eşittir. Yarım açı formülüyle cos⁡(x/2)=1+cos⁡x2=1010\cos(x/2) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10} hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapınız.
cos⁡x(2cos⁡x+1)sin⁡x(2cos⁡x+1)=cot⁡x=−43\frac{\cos x(2\cos x + 1)}{\sin x(2\cos x + 1)} = \cot x = -\frac{4}{3}
Payda bulunan cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 2cos⁡2x−12\cos^2 x - 1 ve paydada bulunan sin⁡(2x)\sin(2x) yerine 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x yazılarak ortak paranteze alınır ve sadeleştirilir.
2
xx açısının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak cos⁡x\cos x değerini hesaplayınız.
cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5}
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığı ikinci bölgeye denk gelir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs ise pozitiftir. cot⁡x=−43\cot x = -\frac{4}{3} olduğundan, dik üçgen bağıntıları yardımıyla cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} bulunur.
3
Sorulan ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla sadeleştiriniz.
cos⁡2(x4)−sin⁡2(x4)=cos⁡(x2)\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)
cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta özdeşliğinde θ=x4\theta = \frac{x}{4} yazıldığında sorulan ifadenin cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) değerine eşit olduğu görülür.
4
cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) değerini yarım açı formülüyle hesaplayınız.
cos⁡(x2)=1010\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{10}}{10}
cos⁡2(x2)=1+cos⁡x2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2} formülünde cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} yazılırsa cos⁡2(x2)=110\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{10} elde edilir. x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olduğundan x2∈(π4,π2)\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur (birinci bölge). Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡(x2)=110=1010\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} bulunur.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 272Soru →
x>1x > 1 olmak üzere,
arctan⁡(xx+1)−arctan⁡(x−1x)=arctan⁡(132) \arctan\left(\frac{x}{x+1}\right) - \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right) = \arctan\left(\frac{1}{32}\right)
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel say�� değeri 4'tür.
Eşitliğin sol tarafındaki ifadelere sırasıyla aa ve bb diyerek tanjant fark formülü uygulandığında tan⁡(a−b)=12x2\tan(a-b) = \frac{1}{2x^2} ifadesi elde edilir. Sağ tarafın tanjantı olan 132\frac{1}{32} değerine eşitlendiğinde 2x2=322x^2 = 32 denkleminden x2=16x^2 = 16 bulunur. x>1x > 1 koşulu altında bu denklemin tek çözümü 44 olur. Bu nedenle doğru cevap 4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki ifadelere değişken tanımlanır.
a=arctan⁡(xx+1)a = \arctan\left(\frac{x}{x+1}\right) ve b=arctan⁡(x−1x)b = \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right) olsun. Buradan tan⁡(a)=xx+1\tan(a) = \frac{x}{x+1} ve tan⁡(b)=x−1x\tan(b) = \frac{x-1}{x} elde edilir.
Ters trigonometrik fonksiyonları tanjant değerlerine dönüştürerek toplam-fark formülünü uygulayabilmek.
2
Tanjant fark formülü kurulur.
tan⁡(a−b)=tan⁡(a)−tan⁡(b)1+tan⁡(a)⋅tan⁡(b)\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(b)}
İki açının farkının tanjantını veren formülü uygulamak.
3
Tanjant fark formülünün pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılır.
tan⁡(a)−tan⁡(b)=xx+1−x−1x=x2−(x2−1)x(x+1)=1x(x+1)\tan(a) - \tan(b) = \frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x} = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}
Pay kısmını sadeleştirmek.
4
Tanjant fark formülünün payda kısmındaki çarpma ve toplama işlemleri yapılır.
1+tan⁡(a)⋅tan⁡(b)=1+xx+1⋅x−1x=1+x−1x+1=x+1+x−1x+1=2xx+11 + \tan(a) \cdot \tan(b) = 1 + \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x} = 1 + \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1 + x-1}{x+1} = \frac{2x}{x+1}
Payda kısmını sadeleştirmek.
5
Pay ve payda birbirine oranlanarak tan⁡(a−b)\tan(a-b) ifadesi xx cinsinden bulunur.
tan⁡(a−b)=1x(x+1)2xx+1=1x(x+1)⋅x+12x=12x2\tan(a - b) = \frac{\frac{1}{x(x+1)}}{\frac{2x}{x+1}} = \frac{1}{x(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2x} = \frac{1}{2x^2}
İfadenin en sade halini elde etmek.
6
Bulunan tanjant değeri, eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin tanjantı olan 132\frac{1}{32} değerine eşitlenerek denklem çözülür.
12x2=132  ⟹  2x2=32  ⟹  x2=16\frac{1}{2x^2} = \frac{1}{32} \implies 2x^2 = 32 \implies x^2 = 16 Buradan x>1x > 1 koşulu altında x=4x = 4 bulunur.
Bilinmeyen xx değerini bulmak.

Anahtar Kavram

İki açının farkının tanjantı formülü ve ters trigonometrik fonksiyonların özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 273Soru →

Dik koordinat düzleminde, OO başlangıç noktası olmak üzere, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası için [OP][OP] doğru parçası xx-ekseninin pozitif yönüyle θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} radyarlık açı yapmaktadır. y=3y = \sqrt{3} doğrusu üzerindeki bir QQ noktası için OO, PP ve QQ noktaları doğrusaldır. Buna göre, QQ noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} açısı üçüncü bölgede yer alır. Bu açının tanjant değeri tan⁡(7π6)=13\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} olduğundan, orijinden geçen doğrunun denklemi y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}}x olur. Q(x,3)Q(x, \sqrt{3}) noktası bu doğru üzerinde bulunduğundan, yy yerine 3\sqrt{3} yazıldığında 3=13x\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x denkleminden x=3x = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
PP noktasını belirleyen θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} açısının tanjantını hesaplayarak OPOP doğrusunun eğimini bulmak.
Eğim m=tan⁡(7π6)=13m = \tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}
Merkezil birim çember üzerindeki bir noktanın orijinle birleştirilmesiyle oluşan doğrunun eğimi, bu doğrunun xx-ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantına eşittir.
2
OO, PP ve QQ noktalarının doğrusallığını kullanarak Q(x,3)Q(x, \sqrt{3}) noktası için doğru denklemini kurmak.
Doğru denklemi: y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}}x
Orijinden geçen ve eğimi mm olan doğrunun denklemi y=mxy = mx formundadır.
3
QQ noktasının yy-koordinatını (3\sqrt{3}) doğru denkleminde yerine yazarak xx-koordinatını (apsisini) bulmak.
x=3x = 3
QQ noktası bu doğru üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki geometrik yorumu, standart açıların indirgenmesi ve doğrunun analitik incelenmesi.

Alternatif Yöntem

PP ve QQ noktalarının koordinatları oranından benzerlik veya eğim eşitliği kullanılarak bulunabilir. PP noktası birim çember üzerinde θ=7π/6\theta = 7\pi/6 açısına karşılık geldiğinden koordinatları P(cos⁡(7π/6),sin⁡(7π/6))=P(−32,−12)P(\cos(7\pi/6), \sin(7\pi/6)) = P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}) olur. OO, PP ve QQ noktaları doğrusal olduğundan yPxP=yQxQ  ⟹  −1/2−3/2=3x  ⟹  13=3x  ⟹  x=3\frac{y_P}{x_P} = \frac{y_Q}{x_Q} \implies \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies x = 3 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 274Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb, cc birim ve çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir. Bu üçgenin kenarları ve açıları arasında
b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc
sin⁡B⋅sin⁡C=14\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4}
bağıntıları bulunduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanının R2R^2 cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34\frac{\sqrt{3}}{4}

Cevap

Üçgenin alanının R2R^2 cinsinden değeri 34\frac{\sqrt{3}}{4} olarak bulunur.
Doğru olan değer, Kosinüs Teoremi yardımıyla tepe açısının A=120∘A = 120^\circ ve dolayısıyla sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} bulunması, ardından Sinüs Teoremi ile bc=R2bc = R^2 bağıntısının elde edilip alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilen 34\frac{\sqrt{3}}{4} değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs Teoremi kullanılarak AA açısının ölçüsünü belirleme.
a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A Kosinüs Teoremi bağıntısıdır. Soruda verilen b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc ifadesi düzenlendiğinde a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc elde edilir. Bu iki eşitlik karşılaştırıldığında −2bccos⁡A=bc  ⟹  cos⁡A=−12-2bc \cos A = bc \implies \cos A = -\frac{1}{2} bulunur. ABCABC üçgeninin bir iç açısı olan AA açısı buradan 120∘120^\circ olarak belirlenir.
Üçgenin alan formülünde kullanılacak olan sin⁡A\sin A değerini elde etmek.
2
Sinüs Teoremi kullanılarak bcbc çarpımını çevrel çemberin yarıçapı RR cinsinden ifade etme.
Sinüs Teoremi gereği b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B ve c=2Rsin⁡Cc = 2R \sin C eşitlikleri geçerlidir. Bu iki eşitlik taraf tarafa çarpıldığında bc=4R2sin⁡Bsin⁡Cbc = 4R^2 \sin B \sin C elde edilir.
Kenar uzunlukları ile çevrel ��emberin yarıçapı arasında ilişki kurarak alan hesaplamasını yarıçap cinsinden yapabilmek.
3
Soruda verilen sinüs değerleri çarpımını yerine yazarak bcbc ifadesinin değerini bulma.
sin⁡B⋅sin⁡C=14\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4} değeri yerine yazıldığında bc=4R2⋅14=R2bc = 4R^2 \cdot \frac{1}{4} = R^2 olarak bulunur.
bcbc çarpımının değerini netleştirmek.
4
Üçgenin alan formülünü uygulayarak sonucu bulma.
Alan(ABC)=12bcsin⁡A\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} bc \sin A formülünde elde edilen değerler yerine yazılır: Alan(ABC)=12⋅R2⋅sin⁡(120∘)=12R2⋅32=34R2\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 elde edilir. Buradan alanın R2R^2 cinsinden değeri 34\frac{\sqrt{3}}{4} bulunur.
Üçgenin alanını nihai olarak hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs teoremlerinin birlikte kullanılması ile üçgen alanının çevrel çemberin yarıçapı cinsinden ifade edilmesi.
Soru 275Soru →

Dik koordinat düzleminde verilen merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası ikinci bölgededir. Başlangıç noktası OO olmak üzere, [OP][OP] doğru parçasının yy-ekseninin pozitif kısmı ile yaptığ�� dar açının ölçüsü θ\theta olduğuna göre, PP noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta, \cos\theta)

Cevap

(−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta, \cos\theta)
Birim çemberde ikinci bölgedeki noktanın standart açısı 90∘+θ90^\circ + \theta olur. Bu açının koordinatları (cos⁡(90∘+θ),sin⁡(90∘+θ))(\cos(90^\circ + \theta), \sin(90^\circ + \theta)) olup indirgeme kurallarına göre bu koordinatlar (−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta, \cos\theta) ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
PP noktasının konumunu ve koordinatlarını belirlemek amacıyla standart konumdaki yönlü açıyı yazalım.
[OP][OP] doğru parçasının xx-ekseninin pozitif kısmı ile yaptığı açı 90∘+θ90^\circ + \theta (yani π2+θ\frac{\pi}{2} + \theta radyan) olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları, o noktayı belirleyen yarıçapın xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı (standart konum) cinsinden ifade edilir.
2
Birim çember üzerindeki PP noktasının koordinatlarını standart konumdaki açı cinsinden yazalım.
P(cos⁡(90∘+θ),sin⁡(90∘+θ))P(\cos(90^\circ + \theta), \sin(90^\circ + \theta)) koordinatları elde edilir.
Birim çember üzerinde α\alpha açısına karşılık gelen nokta (cos⁡α,sin⁡α)(\cos\alpha, \sin\alpha) biçimindedir.
3
Trigonometrik indirgeme formüllerini uygulayarak koordinatları θ\theta dar açısı cinsinden basitleştirelim.
P(−sin⁡θ,cos⁡θ)P(-\sin\theta, \cos\theta) elde edilir.
İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir. 90∘90^\circ (veya π2\frac{\pi}{2}) kullanıldığında fonksiyonların isimleri değişerek cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta ve sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta olur.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların gösterimi ve indirgeme formülleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 276Soru →
f(x)=12πarctan⁡(x2−4x+5)f(x) = \frac{12}{\pi} \arctan(x^2 - 4x + 5)

fonksiyonunun g��rüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun görüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı 12'dir.
Fonksiyonun görüntü kümesi [3,6)[3, 6) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 3, 4 ve 5 olup toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki fonksiyonun en küçük değerini ve değer aralığını belirleme.
x2−4x+5x^2 - 4x + 5 ifadesinin alabileceği en küçük değer 1'dir ve değer aralığı [1,∞)[1, \infty) olur.
Arctan fonksiyonunun argümanının sınırlarını belirlemek için parabolün tepe noktasını kullandık.
2
Arctan fonksiyonunun değer sınırlarını hesaplama.
arctan⁡(x2−4x+5)\arctan(x^2 - 4x + 5) ifadesinin değer aralığı [π4,π2)[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) olur.
Arctan fonksiyonunun artan özelliğini ve sonsuzdaki limit değerini kullanarak sınırları belirledik.
3
Fonksiyonun katsayısını uygulayarak görüntü kümesini ve tam sayıların toplamını bulma.
Görüntü kümesi [3,6)[3, 6) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 12'dir.
Görüntü kümesindeki tam sayıları (3, 4 ve 5) belirleyip toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve limit değerlerinin parabolün tepe noktası ile birleştirilerek fonksiyonun görüntü kümesinin bulunması.
Soru 277Soru →

3π4<x<π\frac{3\pi}{4} < x < \pi koşulunu sağlayan bir xx gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler tanımlanıyor:

a=1−2sin⁡xcos⁡xa = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x}
b=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xb = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}
c=tan⁡x+cot⁡xsec⁡x⋅csc⁡xc = \frac{\tan x + \cot x}{\sec x \cdot \csc x}

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralaması küçükten büyüğe b < c < a şeklindedir.
Yapılan cebirsel sadeleştirmeler sonucunda a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x, b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x ve c=1c = 1 elde edilir. Verilen aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten daha büyük ve işareti negatif olduğundan, bu iki değerin toplamı olan bb ifadesi negatiftir (b<0b < 0). aa ifadesinde ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için sonuç 11'den büyüktür (a>1a > 1). cc değeri ise her durumda 11'e eşit olduğundan doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla bb, cc ve aa şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip sinüs ve kosinüs de��erlerinin işaret ve büyüklük ilişkilerini analiz edin.
3π4<x<π\frac{3\pi}{4} < x < \pi aralığı birim çemberde ikinci bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 (pozitif) ve cos⁡x<0\cos x < 0 (negatif) olup, mutlak değerce ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x (yani −cos⁡x>sin⁡x-\cos x > \sin x) ilişkisi vardır.
Açının sinüs değeri 00 ile 22\frac{\sqrt{2}}{2} arasında değerler alırken, kosinüs değeri −1-1 ile −22-\frac{\sqrt{2}}{2} arasında değerler alır.
2
aa ifadesini sadeleştirip değer aralığını bulun.
a=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣a = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| olur. sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değerin içi pozitiftir: a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x. sin⁡x>0\sin x > 0 ve −cos⁡x>22-\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} olduğundan a>1a > 1 bulunur.
Tam kare özdeşliği ve kareköklü ifadelerin mutlak değer dışına çıkarılması kuralı uygulanmıştır.
3
bb ifadesini sadeleştirip işaretini belirleyin.
İki küp toplamı özdeşliğinden pay sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) olarak yazılır. Paydadaki 1−sin⁡xcos⁡x1 - \sin x \cos x terimi ile sadeleştirme yapıldığında b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. Bu aralıkta ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğu için b<0b < 0 olur.
Çarpanlara ayırma kuralları ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliği kullanılmıştır.
4
cc ifadesini sadeleştirip değerini bulun.
c=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x1cos⁡x⋅1sin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x1sin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x1sin⁡xcos⁡x=1c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = 1 bulunur.
Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının temel tanımları yerine yazılarak rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılmıştır.
5
Elde edilen sonuçları büyüklüklerine göre sıralayın.
b<0b < 0, c=1c = 1 ve a>1a > 1 olduğundan, küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a olur.
Negatif sayılar daima pozitif sayılardan küçüktür ve aa değeri cc sabitinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember yardımıyla değerlerin bölgelere göre sıralanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 278Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x−15)+arctan⁡(x−1)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) + \arctan\left(\sqrt{x-1}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, bileşenlerinin tanım kümelerinin kesişimidir. arcsin teriminden -2 <= x <= 3 ve köklü terimden x >= 1 koşulları elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan [1, 3] aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3 olup, bunların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(2x−15)\arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
−2≤x≤3-2 \le x \le 3
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanım kümesi [−1,1][-1, 1] aralığıdır. Dolayısıyla −1≤2x−15≤1-1 \le \frac{2x-1}{5} \le 1 olmalıdır. Buradan −5≤2x−1≤5⇒−4≤2x≤6⇒−2≤x≤3-5 \le 2x - 1 \le 5 \Rightarrow -4 \le 2x \le 6 \Rightarrow -2 \le x \le 3 elde edilir.
2
arctan⁡(x−1)\arctan\left(\sqrt{x-1}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
x≥1x \ge 1
arctan⁡(u)\arctan(u) fonksiyonu tüm gerçel sayılar için tanımlıdır. Ancak x−1\sqrt{x-1} ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içinin negatif olmaması, yani x−1≥0⇒x≥1x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 olması gerekir.
3
İki ifadenin tanım kümelerinin kesişimini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulma.
1≤x≤31 \le x \le 3
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu yüzden −2≤x≤3-2 \le x \le 3 ve x≥1x \ge 1 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
4
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleme.
1, 2 ve 3
[1,3][1, 3] kapalı aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3'tür.
5
Belirlenen tam sayıların toplamını hesaplama.
6
1, 2 ve 3 sayılarının toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 eder.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arcsin(x) fonksiyonunun tanım kümesinin [-1, 1] aralığı olması ve fonksiyonların en geniş tanım kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.
Soru 279Soru →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları a=5 birima = 5\text{ birim}, b=8 birimb = 8\text{ birim} ve üçgenin alanı 103 birimkare10\sqrt{3}\text{ birimkare} olarak verilmektedir.

m(ACB^)<90∘m(\widehat{ACB}) < 90^\circ ve bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olduğuna göre, R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri 7'dir.
Üçgenin sinüslü alan formülü kullanılarak CC açısının sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} bulunur. Açı dar açı olduğu için 60∘60^\circ olarak belirlenir. Ardından Kosinüs Teoremi ile cc kenarı 7 birim olarak hesaplanır. Son olarak Sinüs Teoremi kullanılarak 2R=csin⁡(C)2R = \frac{c}{\sin(C)} bağıntısından çevrel çemberin yarıçapı R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} elde edilir ve buradan R3=7R\sqrt{3} = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin alan formülünü uygulayarak CC açısının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(ACB^)=32\sin(\widehat{ACB}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
Bir üçgenin alanı, iki kenarı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
2
CC açısının dar açı olma koşuluna göre açının ölçüsünü derece cinsinden bulma.
m(ACB^)=60∘m(\widehat{ACB}) = 60^\circ
0∘<ACB^<90∘0^\circ < \widehat{ACB} < 90^\circ aralığında sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.
3
Kosinüs Teoremini uygulayarak cc kenarının uzunluğunu bulma.
c=7c = 7 birim
c2=a2+b2−2abcos⁡(ACB^)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{ACB}) formülünde bilinenler yerine yazılarak c2=25+64−2(5)(8)cos⁡(60∘)=89−40=49c^2 = 25 + 64 - 2(5)(8)\cos(60^\circ) = 89 - 40 = 49 elde edilir.
4
Sinüs Teoremini uygulayarak çevrel çemberin yarıçapı RR değerini ve R3R\sqrt{3} ifadesini hesaplama.
R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} ve R3=7R\sqrt{3} = 7
Sinüs Teoremine göre csin⁡(ACB^)=2R\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})} = 2R bağıntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi, Kosinüs Teoremi ve Sinüslü Alan Formülünün bir arada kullanılması.
Soru 280Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cot⁡x−tan⁡x=32\cot x - \tan x = \frac{3}{2}
olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.96

Cevap

0,96
Verilen cot⁡x−tan⁡x=32\cot x - \tan x = \frac{3}{2} ifadesi payda eşitleme ve yarım açı dönüşümleriyle 2cot⁡(2x)=322\cot(2x) = \frac{3}{2} biçimine getirilir. Buradan cot⁡(2x)=34\cot(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Tanımlanan bölgeye göre 2x2x açısı birinci bölgededir. Birinci bölgedeki bu açıya ait dik üçgen çizildiğinde sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} bulunur. Son olarak sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) yarım açı formülü uygulandığında sin⁡(4x)=2⋅45⋅35=0,96\sin(4x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0,96 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
cot⁡x−tan⁡x\cot x - \tan x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak payda eşitleyin.
cot⁡x−tan⁡x=2cot⁡(2x)=32\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = \frac{3}{2}
cot⁡x−tan⁡x=cos⁡xsin⁡x−sin⁡xcos⁡x=cos⁡2x−sin⁡2xsin⁡xcos⁡x=cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=2cot⁡(2x)\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\cot(2x) özdeşliği geçerlidir.
2
Eşitlikten cot⁡(2x)\cot(2x) değerini yalnız bırakın.
cot⁡(2x)=34\cot(2x) = \frac{3}{4}
2cot⁡(2x)=322\cot(2x) = \frac{3}{2} eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.
3
2x2x açısının aralığını ve bu bölgedeki trigonometrik fonksiyon değerlerini bulun.
sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olduğundan 2x∈(0,π2)2x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olur. Birinci bölgede tüm trigonometrik oranlar pozitiftir. Kotanjantı 34\frac{3}{4} olan bir dik üçgende karşı kenar 4, komşu kenar 3 ve hipotenüs 5 birimdir.
4
sin⁡(4x)\sin(4x) değerini yarım açı formülüyle hesaplayın.
sin⁡(4x)=0,96\sin(4x) = 0,96
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=2⋅45⋅35=2425=0,96\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} = 0,96 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

sin⁡(4x)\sin(4x) değerini, tan⁡(2x)=43\tan(2x) = \frac{4}{3} değerini bulduktan sonra doğrudan sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} formülünü kullanarak da hesaplayabiliriz. Bu durumda sin⁡(4x)=2tan⁡(2x)1+tan⁡2(2x)=2⋅431+169=83259=2425=0,96\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{25}{9}} = \frac{24}{25} = 0,96 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 14 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 14 | Examkin