Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 241Soru →
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)+2cos⁡(2x)=0\sin(3x) + \cos(3x) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0 denkleminin [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığındaki tüm farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13π2\frac{13\pi}{2}

Cevap

Tüm köklerin toplamı olan 13π2\frac{13\pi}{2} ifadesi
Denklemin çözümü için yapılan dönüşümler sonucunda [0,2π][0, 2\pi] aralığında toplam 6 adet farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 13π2\frac{13\pi}{2} değerine eşit olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı açı formülünü kullanarak sin⁡(3x)+cos⁡(3x)\sin(3x) + \cos(3x) ifadesini tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarız.
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)=2(12sin⁡(3x)+12cos⁡(3x))=2sin⁡(3x+π4)\sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x)\right) = \sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) elde edilir.
Denklemin sol tarafındaki iki terimi tek bir terime indirgeyerek cos⁡(2x)\cos(2x) ile karşılaştırılabilir hale getirmek için.
2
Elde edilen bu ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarız ve sadeleştirme yaparız.
2sin⁡(3x+π4)+2cos⁡(2x)=0  ⟹  sin⁡(3x+π4)=−cos⁡(2x)\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0 \implies \sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos(2x) elde edilir.
Denklemi çözebilmek adına ortak çarpan olan 2\sqrt{2} teriminden kurtulmak ve fonksiyonları yalnız bırakmak için.
3
−cos⁡(2x)-\cos(2x) ifadesini sinüs cinsine dönüştürürüz.
−cos⁡(2x)=sin⁡(2x−π2)-\cos(2x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) özdeşliğini kullanarak denklem sin⁡(3x+π4)=sin⁡(2x−π2)\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) formuna getirilir.
Denklemin her iki yanını da aynı trigonometrik fonksiyon (sinüs) cinsinden ifade edip genel çözüm kurallarını uygulayabilmek için.
4
Sinüs fonksiyonunun genel çözüm kuralını (A=B+2kπA = B + 2k\pi veya A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi) uygularız.
1. Durum: 3x+π4=2x−π2+2kπ  ⟹  x=−3π4+2kπ3x + \frac{\pi}{4} = 2x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi
2. Durum: 3x+π4=π−(2x−π2)+2kπ  ⟹  5x=5π4+2kπ  ⟹  x=π4+2kπ53x + \frac{\pi}{4} = \pi - \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi \implies 5x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{5} (k∈Zk \in \mathbb{Z}) elde edilir.
Trigonometrik denklemin tüm olası kök ailelerini belirlemek için.
5
Her iki çözüm ailesinden [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığına düşen kökleri tek tek belirleriz.
1. Durumdan: k=1k = 1 için x=5π4x = \frac{5\pi}{4} bulunur.
2. Durumdan:
- k=0  ⟹  x=π4k = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}
- k=1  ⟹  x=13π20k = 1 \implies x = \frac{13\pi}{20}
- k=2  ⟹  x=21π20k = 2 \implies x = \frac{21\pi}{20}
- k=3  ⟹  x=29π20k = 3 \implies x = \frac{29\pi}{20}
- k=4  ⟹  x=37π20k = 4 \implies x = \frac{37\pi}{20} bulunur.
Toplamda 6 adet benzersiz kök elde edilir: {π4,13π20,21π20,5π4,29π20,37π20}\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{13\pi}{20}, \frac{21\pi}{20}, \frac{5\pi}{4}, \frac{29\pi}{20}, \frac{37\pi}{20}\right\}.
Belirlenen aralıktaki tüm gerçel kökleri saptamak için.
6
Bulunan tüm köklerin toplamını hesaplarız.
Toplam=5π20+13π20+21π20+25π20+29π20+37π20=130π20=13π2\text{Toplam} = \frac{5\pi}{20} + \frac{13\pi}{20} + \frac{21\pi}{20} + \frac{25\pi}{20} + \frac{29\pi}{20} + \frac{37\pi}{20} = \frac{130\pi}{20} = \frac{13\pi}{2} olarak bulunur.
Soruda istenen nihai toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yardımcı açı dönüşümü ve yarım açı formülleri kullanılarak çözülmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 242Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x+cot⁡x=52\tan x + \cot x = \frac{5}{2}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

İfadenin doğru değeri 3/5'tir.
Doğru yanıt olan 3/5 değeri, verilen tanım aralığında tanjant değerinin 1/2 olduğunu belirledikten sonra yarım açı formülünün doğru şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edelim.
tan⁡x+1tan⁡x=52  ⟹  tan⁡2x+1tan⁡x=52  ⟹  2tan⁡2x−5tan⁡x+2=0\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies \frac{\tan^2 x + 1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Tanjant değerini bulmak için denklemde cot(x) yerine 1/tan(x) yazılarak ikinci dereceden bir denklem elde edilmiştir.
2
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayıralım ve tanım aralığına uygun olan tanjant değerini belirleyelim.
(2tan⁡x−1)(tan⁡x−2)=0  ⟹  tan⁡x=12 veya tan⁡x=2(2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0 \implies \tan x = \frac{1}{2} \text{ veya } \tan x = 2 bulunur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olduğundan, uygun değer tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} olarak seçilir.
Açının bulunduğu bölge, tanjant fonksiyonunun alabileceği değer aralığını belirler.
3
Tanjant değeri yardımıyla kosinüs yarım açı formülünü uygulayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(12)21+(12)2=1−141+14=3454=35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} elde edilir.
Kosinüsün yarım açı değeri, tanjant cinsinden yazılan özdeşlik kullanılarak doğrudan hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Tanjant yardımıyla kosinüs yarım açı değerlerinin hesaplanması
Soru 243Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde AA, BB, CC ve DD noktaları verilmiştir. CC, DD ve BB noktaları doğrusaldır.

∣AC∣=3 birim∣AB∣=7 birim∣BC∣=5 birim\begin{aligned} |AC| &= 3\text{ birim} \\ |AB| &= 7\text{ birim} \\ |BC| &= 5\text{ birim} \end{aligned}

[BC][BC] kenarı üzerinde ∣CD∣=2 birim|CD| = 2\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası belirlenmiştir.

Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19\sqrt{19}

Cevap

Kosinüs Teoremi yardımıyla ∣AD∣=19|AD| = \sqrt{19} birim olarak bulunur.
Büyük üçgende uygulanan Kosinüs Teoremi ile ortak CC açısının kosinüsü cos⁡C=−1/2\cos C = -1/2 olarak bulunur. Bu değer, ADCADC üçgeninde tekrar Kosinüs Teoremi formülünde yerine yazılarak ∣AD∣2=19|AD|^2 = 19 ve dolayısıyla ∣AD∣=19|AD| = \sqrt{19} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin tamamında CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡C|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C formülünden,
72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡C7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos C
49=9+25−30cos⁡C49 = 9 + 25 - 30 \cos C
49=34−30cos⁡C49 = 34 - 30 \cos C
30cos⁡C=−15  ⟹  cos⁡C=−1230 \cos C = -15 \implies \cos C = -\frac{1}{2} elde edilir.
ADCADC üçgeninde aranan kenarı bulabilmek için öncelikle ortak olan CC açısının kosinüs değerinin belirlenmesi gerekir.
2
ADCADC üçgeninde [CD][CD] kenarına komşu olan CC açısı kullanılarak Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣AC∣2+∣CD∣2−2⋅∣AC∣⋅∣CD∣⋅cos⁡C|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |CD| \cdot \cos C formülünden,
∣AD∣2=32+22−2⋅3⋅2⋅(−12)|AD|^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AD∣2=9+4−12⋅(−12)|AD|^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AD∣2=13+6=19  ⟹  ∣AD∣=19|AD|^2 = 13 + 6 = 19 \implies |AD| = \sqrt{19} birim elde edilir.
İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü bilinen ADCADC üçgeninde, bilinmeyen üçüncü kenar uzunluğu bu yolla doğrudan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 244Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)+cos⁡(2x)1+sin⁡(2x)−cos⁡(2x)=−2\frac{1 + \sin(2x) + \cos(2x)}{1 + \sin(2x) - \cos(2x)} = -2
olduğuna göre, cot⁡(x2)\cot\left(\frac{x}{2}\right) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5−2\sqrt{5} - 2

Cevap

5−2\sqrt{5} - 2
Verilen ifade sadeleştirildiğinde cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 elde edilir. İkinci bölgede cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 ve sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 olduğu dikkate alınarak değerler cos⁡(x)=−25\cos(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}} ve sin⁡(x)=15\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} olarak bulunur. Buradan cot⁡(x2)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} yarım açı formülüyle 5−2\sqrt{5} - 2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formüllerini kullanacak şekilde gruplandıralım.
1+cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) ve 1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x) özdeşliklerini ve sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) yarım açı formülünü yerlerine yazalım.
İfadeyi sadeleştirmek ve cot⁡(x)\cot(x) cinsinden yazmak için.
2
Elde edilen ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirelim.
2cos⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)=2cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))2sin⁡(x)(sin⁡(x)+cos⁡(x))=cot⁡(x)\frac{2\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)}{2\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)} = \frac{2\cos(x)(\cos(x) + \sin(x))}{2\sin(x)(\sin(x) + \cos(x))} = \cot(x) elde edilir. Buradan cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 bulunur.
Sadeleşen ortak çarpanı sadeleştirerek bilinmeyenin değerini bulmak için.
3
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığını kullanarak sin⁡(x)\sin(x) ve cos⁡(x)\cos(x) değerlerini belirleyelim.
Bu aralık ikinci bölgede yer aldığından cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 ve sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 olur. cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 olduğundan komşu dik kenar 22, karşı dik kenar 11 ve hipotenüs 5\sqrt{5} birim alınarak cos⁡(x)=−25\cos(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}} ve sin⁡(x)=15\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} bulunur.
Yarım açı formülünde kullanılacak değerlerin işaretlerini ve büyüklüklerini doğru belirlemek için.
4
cot⁡(x2)\cot\left(\frac{x}{2}\right) değerini yarım açı formülüyle hesaplayalım.
cot⁡(x2)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)=1−2515=5−2\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt{5} - 2 olarak bulunur.
Yarım açıdan tam açıya geçiş formülünü uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme ve açı değerlerini yarım açı cinsinden hesaplama.
Soru 245Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xa = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x
b=tan⁡x−cot⁡xsec⁡x−csc⁡xb = \frac{\tan x - \cot x}{\sec x - \csc x}
c=1−sin⁡2xcos⁡x⋅cot⁡xc = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x \cdot \cot x}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Sadeleştirmeler sonucunda a=2sin⁡x−cos⁡xa = 2\sin x - \cos x, b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x ifadelerine ulaşılır. Tanımlanan bölgede cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 olduğundan, iki negatif sayının toplamı olan bb ifadesi en küçük negatif değerdir. aa ise en büyük değere (sıfıra en yakın) sahiptir. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesindeki köklü kısmı tam kare özdeşliği kullanarak mutlak değer dışına çıkarırız.
1−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 olduğundan (sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| olur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 olduğundan sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 olur. Dolayısıyla ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak çıkar. Buradan a=sin⁡x−cos⁡x+sin⁡x=2sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x + \sin x = 2\sin x - \cos x elde edilir.
Köklü ifadeleri sadeleştirmek ve bölge analizine göre mutlak değerden kurtulmak için.
2
bb ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazarak sadeleştiririz.
b=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xsin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x=sin⁡x+cos⁡xb = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x} = \sin x + \cos x bulunur.
Rasyonel trigonometrik ifadeyi en sade biçimine getirmek için.
3
cc ifadesini temel trigonometrik özdeşliklerle sadeleştiririz.
1−sin⁡2x=cos⁡2x1 - \sin^2 x = \cos^2 x ve cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} yazılırsa, c=cos⁡2xcos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=cos⁡2xcos⁡2xsin⁡x=sin⁡xc = \frac{\cos^2 x}{\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin x}} = \sin x elde edilir.
Pay ve paydadaki sadeleşebilir terimleri belirleyerek tek bir fonksiyon elde etmek için.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre elde edilen aa, bb ve cc değerlerini sıralarız.
Bu aralıkta cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ilişkisi vardır. b−c=(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡x=cos⁡x<0  ⟹  b<cb - c = (\sin x + \cos x) - \sin x = \cos x < 0 \implies b < c olur. a−c=(2sin⁡x−cos⁡x)−sin⁡x=sin⁡x−cos⁡x>0  ⟹  c<aa - c = (2\sin x - \cos x) - \sin x = \sin x - \cos x > 0 \implies c < a olur. Buradan b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Sadeleşmiş ifadeleri üçüncü bölgedeki açı değerlerinin büyüklük ilişkilerine göre karşılaştırmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bölgelerdeki açıların trigonometrik değerlerini sıralama.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 246Soru →
sin⁡(70∘)⋅cos⁡(20∘)−cos⁡(70∘)⋅sin⁡(20∘)cos⁡(40∘)\frac{\sin(70^\circ) \cdot \cos(20^\circ) - \cos(70^\circ) \cdot \sin(20^\circ)}{\cos(40^\circ)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.
Pay kısmındaki ifade sinüs fark formülüyle sin⁡(70∘−20∘)=sin⁡(50∘)\sin(70^\circ - 20^\circ) = \sin(50^\circ) olarak yazılır. Tümler açılardan sin⁡(50∘)=cos⁡(40∘)\sin(50^\circ) = \cos(40^\circ) olduğu için, payda ile sadeleştiğinde sonuç 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında yer alan sin⁡(70∘)⋅cos⁡(20∘)−cos⁡(70∘)⋅sin⁡(20∘)\sin(70^\circ) \cdot \cos(20^\circ) - \cos(70^\circ) \cdot \sin(20^\circ) ifadesini sinüs fark formülüne göre düzenlemek.
sin⁡(70∘−20∘)=sin⁡(50∘)\sin(70^\circ - 20^\circ) = \sin(50^\circ)
sin⁡(a−b)=sin⁡a⋅cos⁡b−cos⁡a⋅sin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b toplam-fark formülünü uygulamak.
2
Pay kısmında bulduğumuz sin⁡(50∘)\sin(50^\circ) değerini paydadaki cos⁡(40∘)\cos(40^\circ) değerine bölmek.
sin⁡(50∘)cos⁡(40∘)\frac{\sin(50^\circ)}{\cos(40^\circ)}
Verilen rasyonel ifadedeki pay ve payda terimlerini bir araya getirmek.
3
Tümler açılar arasındaki ilişkiyi kullanarak ifadeyi sadeleştirmek.
11
50∘+40∘=90∘50^\circ + 40^\circ = 90^\circ olduğundan sin⁡(50∘)=cos⁡(40∘)\sin(50^\circ) = \cos(40^\circ) eşitliği geçerlidir, dolayısıyla pay ve payda birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ve tümler açıların trigonometrik oranları arasındaki ilişki.
Soru 247Soru →
x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} olmak üzere,
cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y=32\cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y = \frac{\sqrt{3}}{2}
olduğuna göre, tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin alabileceği pozitif değer aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33\frac{\sqrt{3}}{3}

Cevap

33\frac{\sqrt{3}}{3}
Verilen ifade kosinüsün toplam formülü olan cos⁡(x+y)\cos(x+y) ifadesine eşittir. Buradan cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} bulunur. Kosinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan dar açının ölçüsü 30∘30^\circ olduğundan, bu açının tanjant değeri 33\frac{\sqrt{3}}{3} olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru seçenek 33\frac{\sqrt{3}}{3} değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs toplam formülünü uygulayarak verilen ifadeyi sadeleştirin.
cos⁡(x+y)=cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y formülü gereği, verilen denklem cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} şeklinde yazılır.
Verilen karmaşık ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek için toplam formülü kullanılır.
2
Kosinüs değeri 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan açının tanjant değerini bulun.
cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} ise, x+yx+y açısının dar açı olduğu durumda x+y=30∘x+y = 30^\circ (veya π6\frac{\pi}{6} radyan) olur. Bu açının tanjantı ise tan⁡(30∘)=13=33\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur. Eğer açı 4. bölgede ise tanjant değeri −33-\frac{\sqrt{3}}{3} olur. Soruda pozitif değer istendiği için sonuç 33\frac{\sqrt{3}}{3}'tür.
Kosinüs değeri bilinen bir açının tanjant değerine geçiş yapmak için özel dik üçgen veya trigonometrik kimlikler kullanılır.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam formülü ve bilinen açıların trigonometrik oranları
Soru 248Soru →
sin⁡(2x)−sin⁡(x)=0\sin(2x) - \sin(x) = 0

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Farklı köklerin sayısı 3'tür.
Denklem çarpanlarına ayrıldığında sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} elde edilir. [0,π][0, \pi] aralığında sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 denklemini sağlayan kökler 00 ve π\pi iken, cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan kök π3\frac{\pi}{3}'tür. Bu durumda toplam 3 farklı kök bulunur. Dolayısıyla 3 değerini gösteren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini açın.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) olduğundan denklem 2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sin(x) = 0 şekline gelir.
Denklemi ortak çarpan parantezine alabilmek için aynı açı cinsinden trigonometrik ifadeler elde etmek gerekir.
2
Denklemi sin⁡(x)\sin(x) parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
sin⁡(x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulun.
sin⁡(x)=0  ⟹  x=0\sin(x) = 0 \implies x = 0 veya x=πx = \pi olur. 2cos⁡(x)−1=0  ⟹  cos⁡(x)=12  ⟹  x=π32\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} olur.
Verilen [0,π][0, \pi] kapalı aralığında bu eşitlikleri sağlayan tüm gerçel sayıları belirlemek gerekir.
4
Kökleri birleştirip toplam farklı kök sayısını belirleyin.
Kökler kümesi {0,π3,π}\{0, \frac{\pi}{3}, \pi\} olup 3 farklı kök vardır.
Soruda bizden istenen [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı köklerin sayısıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Soru 249Soru →
arcsin⁡(x)+arccos⁡(2x)=5π6\arcsin(x) + \arccos(2x) = \frac{5\pi}{6}

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayısı −0.5-0.5 olarak bulunur.
Denklemin çözümünde elde edilen 3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} eşitliğinin sol ve sağ taraflarının işaret uyumundan dolayı x≤0x \le 0 olması gerekir. Karesi alındığında x2=1/4x^2 = 1/4 çıkan denklemin tek geçerli kökü x=−0.5x = -0.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları belirlenir.
x∈[−0.5,0.5]x \in [-0.5, 0.5]
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun tanımlı olması için x∈[−1,1]x \in [-1, 1] ve arccos⁡(2x)\arccos(2x) fonksiyonunun tanımlı olması için 2x∈[−1,1]  ⟹  x∈[−0.5,0.5]2x \in [-1, 1] \implies x \in [-0.5, 0.5] olmalıdır.
2
arcsin⁡(x)=α\arcsin(x) = \alpha değişken değiştirmesi yapılır.
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]
Ters trigonometrik fonksiyon tanımından dolayı arcsin⁡(x)=α  ⟺  sin⁡α=x\arcsin(x) = \alpha \iff \sin\alpha = x olur ve α\alpha açısı [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] aralığında yer alır.
3
Eşitlik α\alpha cinsinden düzenlenerek her iki tarafın kosinüsü alınır.
2x=cos⁡(5π/6−α)2x = \cos(5\pi/6 - \alpha)
arccos⁡(2x)=5π/6−α\arccos(2x) = 5\pi/6 - \alpha eşitliğinden ters fonksiyon tanımı kullanılarak kosinüs değeri çekilir.
4
Kosinüs fark formülü açılır ve bilinen trigonometrik değerler yerine yazılır.
2x=−32cos⁡α+12sin⁡α2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha
cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B formülü uygulanır. Burada cos⁡(5π/6)=−32\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(5π/6)=12\sin(5\pi/6) = \frac{1}{2} değerleri kullanılır.
5
sin⁡α\sin\alpha ve cos⁡α\cos\alpha değerleri xx cinsinden yerine yazılıp denklem düzenlenir.
3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} ve x≤0x \le 0
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2] olduğundan cos⁡α=1−x2≥0\cos\alpha = \sqrt{1-x^2} \ge 0 olur. Eşitliğin sağ tarafı negatif veya sıfır olduğundan sol tarafın da negatif veya sıfır olması için x≤0x \le 0 olmalıdır.
6
Her iki tarafın karesi alınarak denklem çözülür.
x=−0.5x = -0.5
9x2=3(1−x2)  ⟹  12x2=3  ⟹  x2=1/4  ⟹  x=±1/29x^2 = 3(1-x^2) \implies 12x^2 = 3 \implies x^2 = 1/4 \implies x = \pm 1/2. Ancak x≤0x \le 0 koşulundan dolayı pozitif kök elenir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda değer aralığı sınırlamaları ve trigonometrik denklemlerin cebirsel çözümü
Soru 250Soru →
2cos⁡2(x)−cos⁡(x)=02\cos^2(x) - \cos(x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π6\frac{5\pi}{6}

Cevap

Köklerin toplamı 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.
Verilen denklem cos⁡(x)\cos(x) ortak parantezine alındığında cos⁡(x)⋅(2cos⁡(x)−1)=0\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0 denklemi elde edilir. Buradan cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} olur. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitlikleri sağlayan kökler sırasıyla π2\frac{\pi}{2} ve π3\frac{\pi}{3} radyandır. Bu köklerin toplamı ise 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi cos⁡(x)\cos(x) ortak parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
cos⁡(x)⋅(2cos⁡(x)−1)=0\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0
Denklemin köklerini kayıpsız bulmak için sadeleştirme yapmak yerine çarpanlara ayırma yöntemi kullanılmalıdır.
2
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek cos⁡(x)\cos(x) değerlerini belirleyin.
cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2}
Bir çarpım işleminin sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Elde edilen denklemlerin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki köklerini bulun.
cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} ve cos⁡(x)=12  ⟹  x=π3\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}
[0,π][0, \pi] aralığında kosinüs değeri sıfır olan tek açı π2\frac{\pi}{2}, kosinüs değeri 12\frac{1}{2} olan tek açı ise π3\frac{\pi}{3} radyandır.
4
Bulunan kökleri toplayarak nihai sonuca ulaşın.
π2+π3=5π6\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}
Soruda [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm farklı gerçel köklerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Çarpanlara Ayırma Yöntemiyle Çözümü
Soru 251Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a \cos(b x) + c
fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3} ve görüntü kümesi [−1,5][-1, 5]'tir.

aa ve bb pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Katsayıların toplamı 11'dir.
Fonksiyonun periyodundan b=6b = 6, görüntü kümesi sınırlarından ise a=3a = 3 ve c=2c = 2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1111 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Esas periyot formülü yardımıyla b katsayısını bulma.
b = 6
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a \cos(bx) + c biçimindeki kosinüs fonksiyonunun esas periyodu T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle bulunur. b>0b > 0 olduğu ve esas periyot π3\frac{\pi}{3} olarak verildiği için, 2πb=π3\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{3} eşitliğinden b=6b = 6 elde edilir.
2
Görüntü kümesi yardımıyla a ve c katsayılarını bulma.
a = 3, c = 2
Her xx gerçel sayısı için −1≤cos⁡(6x)≤1-1 \leq \cos(6x) \leq 1 aralığı geçerlidir. a>0a > 0 olduğu için fonksiyonun alabileceği en küçük değer −a+c-a + c, en büyük değer ise a+ca + c olur. Buradan −a+c=−1-a + c = -1 ve a+c=5a + c = 5 denklem sistemi kurulur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2c=4  ⟹  c=22c = 4 \implies c = 2 bulunur. Bulunan değer yerine yazıldığında a=3a = 3 elde edilir.
3
a, b ve c katsayılarını toplama.
a + b + c = 11
Hesaplanan a=3a = 3, b=6b = 6 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak 3+6+2=113 + 6 + 2 = 11 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda periyot ve katsayıların görüntü kümesine etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 252Soru →
Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde bulunan bir P(a,b)P(a, b) noktası ikinci bölgededir. Bu noktanın koordinatları arasında
4a+3b=04a + 3b = 0
bağıntısı olduğuna göre, b−ab - a farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.4

Cevap

Birim çember denklemi ve bölge işaretleri kullanılarak a=−0,6a = -0,6 ve b=0,8b = 0,8 bulunur. Buradan b−ab - a farkı 1,41,4 olarak elde edilir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 denklemini sağlamak zorundadır. İkinci bölgede a<0a < 0 ve b>0b > 0 olduğundan, 4a+3b=04a + 3b = 0 eşitliği ile birlikte çözüldüğünde tek bir P(−0,6;0,8)P(-0,6; 0,8) noktası elde edilir. Bu noktanın koordinatları farkı b−a=0,8−(−0,6)=1,4b - a = 0,8 - (-0,6) = 1,4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember denklemini yazma
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1
Merkezil birim çember üzerindeki tüm noktaların orijine olan uzaklığının karesi 1'dir.
2
Bölge işaretlerini belirleme
a<0a < 0 ve b>0b > 0
İkinci bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları pozitif işaretlidir.
3
Verilen bağıntıyı kullanarak koordinatları hesaplama
a=−0,6a = -0,6 ve b=0,8b = 0,8
4a+3b=0  ⟹  a=−34b4a + 3b = 0 \implies a = -\frac{3}{4}b ilişkisini a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 denkleminde yerine koyup b>0b > 0 koşulunu uygulamak gerekir.
4
İstenen farkı hesaplama
b−a=1,4b - a = 1,4
0,8−(−0,6)0,8 - (-0,6) işlemini gerçekleştirerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinat ilişkileri ve bölge işaretleri
Soru 253Soru →
cos⁡(arctan⁡(43)+arcsin⁡(35))\cos\left(\arctan\left(\frac{4}{3}\right) + \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 00

Cevap

Sıfır
Verilen ifadede ters trigonometrik terimler sırasıyla xx ve yy açılarına dönüştürüldüğünde, aranılan ifade cos⁡(x+y)\cos(x+y) toplam formülüne dönüşür. Birinci bölgedeki bu açıların dik üçgen yardımıyla hesaplanan sinüs ve kosinüs değerleri cos⁡(x+y)=cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y formülünde yazıldığında sıfır sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik ifadeleri değişkenlere atama
x=arctan⁡(43)x = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) ve y=arcsin⁡(35)y = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) olsun.
İfadeyi cos⁡(x+y)\cos(x+y) biçimine getirerek toplam formülünü uygulayabilmek.
2
Ters fonksiyon tanımlarından yararlanarak trigonometrik oranları belirleme
tan⁡x=43\tan x = \frac{4}{3} ve sin⁡y=35\sin y = \frac{3}{5} olur. Her iki değer de pozitif olduğundan, xx ve yy açıları birinci bölgededir (0<x,y<π20 < x, y < \frac{\pi}{2}).
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım kümelerine göre açıların bölgelerini saptamak.
3
Dik üçgen yardımıyla diğer gerekli trigonometrik oranları hesaplama
sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}, cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5} ve cos⁡y=45\cos y = \frac{4}{5} olarak bulunur.
Toplam formülünde yerine koyulacak değerleri elde etmek.
4
Kosinüs toplam formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
cos⁡(x+y)=cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y=(35)⋅(45)−(45)⋅(35)=1225−1225=0\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y = \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) - \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0
İstenen ifadenin nihai değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlar yardımıyla açının trigonometrik oranlarını belirleme ve kosinüs toplam formülünü uygulama.
Soru 254Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=2xy = 2x ve y=3xy = 3x doğrularının y=mxy = mx doğrusu ile yaptığı dar açılar birbirine eşittir. Buna göre, mm’nin alabileceği farklı gerçek sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

m'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı 2'dir.
Verilen iki doğrunun arasındaki dar açıların eşitliği, doğruların eğimleri farkının çarpımlarına oranının mutlak değerce eşit olmasını gerektirir. Buradan elde edilen mutlak değerli denklem çözüldüğünde m2−2m−1=0m^2 - 2m - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı −ba=2-\frac{b}{a} = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların eğimleri arasındaki ilişkiyi tanjant fark formülü yardımıyla yazalım.
y=mxy=mx doğrusunun y=2xy=2x ve y=3xy=3x doğruları ile yaptığı dar açılar sırasıyla α\alpha ve β\beta olsun. İki doğru arasındaki dar açının tanjantı tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| formülüyle hesaplanır. Buradan tan⁡α=∣m−21+2m∣\tan\alpha = \left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| ve tan⁡β=∣3−m1+3m∣\tan\beta = \left|\frac{3 - m}{1 + 3m}\right| elde edilir.
Dar açılar eşit olduğundan bu iki tanjant değeri birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitliği sağlayan mutlak değerli denklemi kuralım ve birinci durumu çözelim.
∣m−21+2m∣=∣3−m1+3m∣\left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| = \left|\frac{3 - m}{1 + 3m}\right| eşitliğinden iki durum ortaya çıkar. İlk durum: m−21+2m=3−m1+3m\frac{m - 2}{1 + 2m} = \frac{3 - m}{1 + 3m} dir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında: (m−2)(1+3m)=(3−m)(1+2m)⇒3m2−5m−2=−2m2+5m+3⇒5m2−10m−5=0⇒m2−2m−1=0(m - 2)(1 + 3m) = (3 - m)(1 + 2m) \Rightarrow 3m^2 - 5m - 2 = -2m^2 + 5m + 3 \Rightarrow 5m^2 - 10m - 5 = 0 \Rightarrow m^2 - 2m - 1 = 0 elde edilir.
Mutlak değerli ifadelerin doğrudan eşit oldu��u durumu incelemek için.
3
İkinci durumu yazalım ve çözelim.
İkinci durum: m−21+2m=−3−m1+3m=m−31+3m\frac{m - 2}{1 + 2m} = -\frac{3 - m}{1 + 3m} = \frac{m - 3}{1 + 3m} dir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında: (m−2)(1+3m)=(m−3)(1+2m)⇒3m2−5m−2=2m2−5m−3⇒m2=−1(m - 2)(1 + 3m) = (m - 3)(1 + 2m) \Rightarrow 3m^2 - 5m - 2 = 2m^2 - 5m - 3 \Rightarrow m^2 = -1 elde edilir. Bu denklemin gerçek sayılarda kökü yoktur.
Mutlak değerli ifadelerin ters işaretli eşit olduğu durumu incelemek için.
4
Gerçek sayılardaki mm değerlerinin toplamını bulalım.
Elde ettiğimiz tek geçerli denklem m2−2m−1=0m^2 - 2m - 1 = 0 olup, diskriminantı Δ=8>0\Delta = 8 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kökü vardır. Bu köklerin toplamı, ikinci derece denklem katsayıları ilişkisinden (kökler toplamı formülü −ba-\frac{b}{a}) veya kökleri doğrudan bularak (m=1±2m = 1 \pm \sqrt{2}) hesaplandığında (1+2)+(1−2)=2(1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2 olarak bulunur.
mm değerlerinin toplamını bulmak için kökler toplamı özelliğini kullanırız.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantı, toplam-fark formülleri yardımıyla tan⁡(θ1−θ2)=tan⁡θ1−tan⁡θ21+tan⁡θ1tan⁡θ2\tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{\tan\theta_1 - \tan\theta_2}{1 + \tan\theta_1\tan\theta_2} şeklinde ifade edilir ve yön bağımsızlığı için mutlak değer kullanılır.
Soru 255Soru →

Bir limandan aynı anda hareket eden iki gemiden birincisi Kuzey 30∘30^\circ Doğu yönünde saatte 3 mil hızla, ikincisi ise Güney 30∘30^\circ Doğu yönünde saatte 5 mil hızla doğrusal olarak yol almaktadır. Buna göre, hareketlerinden 2 saat sonra bu iki gemi arasındaki en kısa uzaklık kaç mildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Gemiler arasındaki en kısa uzaklık 14 mildir.
Gemilerin aldıkları mesafeler 6 mil ve 10 mil olup aralarındaki açı 120∘120^\circ dir. Kosinüs Teoremi formülü uygulandığında d2=62+102−2⋅6⋅10⋅cos⁡(120∘)d^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) eşitliğinden d2=196d^2 = 196 ve buradan en kısa uzaklık 14 mil olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Gemilerin 2 saatlik süre sonunda ulaştıkları noktaların limana olan uzaklıklarını hesaplamak.
Birinci gemi 6 mil, ikinci gemi 10 mil yol almıştır.
Mesafe formülü (Mesafe = Hız x Zaman) kullanılarak gemilerin limandan olan uzaklıkları belirlenir.
2
İki geminin rotaları arasındaki açıyı belirlemek.
Rotalar arasındaki açı 120∘120^\circ dir.
Kuzey-Güney doğrusal hattından (180∘180^\circ) doğuya doğru yapılan 30∘30^\circ lik sapmalar çıkarılarak aradaki açı bulunur.
3
Kosinüs Teoremi yardımıyla gemiler arasındaki mesafeyi bulmak.
d2=196  ⟹  d=14d^2 = 196 \implies d = 14 mil.
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende bilinmeyen karşı kenar�� hesaplamak için Kosinüs Teoremi uygulanır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 256Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=34\frac{\sin(4x) - \sin(2x)}{\cos(4x) - \cos(2x) + 1} = \frac{3}{4}

olduğuna göre, cot⁡x\cot x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Buradan yarım açı formülü yardımıyla tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} ve dolayısıyla cot⁡x=3\cot x = 3 bulunur.
Verilen ifade trigonometrik yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. tan⁡(2x)\tan(2x) yarım açı formülüyle açılıp çözüldüğünde tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} bulunur. Buradan cot⁡x=3\cot x = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi yarım açı formülü kullanarak ortak paranteze alma.
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)=sin⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\sin(4x) - \sin(2x) = \sin(2x)(2\cos(2x) - 1)
Sadeleştirme yapabilmek için terimleri çarpanlarına ayırmak gerekir.
2
Payda kısmındaki cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini cos⁡(2x)\cos(2x) cinsinden yazarak düzenleme.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=cos⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\cos(4x) - \cos(2x) + 1 = \cos(2x)(2\cos(2x) - 1)
Pay ile benzer terimler oluşturarak sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
3
İfadeyi sadeleştirme ve tan⁡(2x)\tan(2x) değerini belirleme.
tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4}
x∈(0,π/8)x \in (0, \pi/8) aralığında 2cos⁡(2x)−1≠02\cos(2x) - 1 \neq 0 olduğu için sadeleştirme geçerlidir.
4
tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin yarım açı formülünü kullanarak tan⁡x\tan x değerini bulma.
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=34\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{3}{4} denkleminden pozitif kök seçilir.
5
tan⁡x\tan x değerinden yararlanarak cot⁡x\cot x değerini hesaplama.
cot⁡x=3\cot x = 3
cot⁡x=1tan⁡x\cot x = \frac{1}{\tan x} özdeşliği kullanılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 257Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin iç açılarının sinüs değerleri arasında
sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B)
bağıntısı bulunmaktadır.
Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R=6R = 6 birim ve a+c=18a + c = 18 birim olduğuna göre, sin⁡(B)\sin(B) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

0.75
Sinüs Teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdir ve orantı sabiti çevrel çemberin çapı olan 2R2R değerine eşittir. Verilen sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B) eşitliğinde her bir terim yerine sırasıyla a2R\frac{a}{2R}, c2R\frac{c}{2R} ve b2R\frac{b}{2R} yazıldığında paydalar sadeleşir ve a+c=2ba + c = 2b bağıntısı elde edilir. Soruda a+c=18a + c = 18 birim olarak verildiği için 2b=18  ⟹  b=92b = 18 \implies b = 9 birim bulunur. Çevrel çemberin yarıçapı R=6R = 6 birim olduğu için b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünden 9=12sin⁡(B)  ⟹  sin⁡(B)=0.759 = 12\sin(B) \implies \sin(B) = 0.75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların sinüs değerlerini Sinüs Teoremi ile kenar uzunlukları ve çevrel çember yarıçapı cinsinden ifade etmek.
sin⁡(A)=a2R\sin(A) = \frac{a}{2R}, sin⁡(B)=b2R\sin(B) = \frac{b}{2R} ve sin⁡(C)=c2R\sin(C) = \frac{c}{2R}
Sorudaki sinüslü ifadeyi kenar uzunluklarına bağlamak için Sinüs Teoremi bağınt��sı kullanılır.
2
Elde edilen sinüs değerlerini verilen denklemde yerine yazıp sadeleştirerek kenarlar arasındaki bağıntıyı bulmak.
a+c=2ba + c = 2b
a2R+c2R=2⋅b2R\frac{a}{2R} + \frac{c}{2R} = 2 \cdot \frac{b}{2R} denkleminde her iki tarafı da 2R2R ile çarparak sadeleştirme yapılır.
3
Verilen a+c=18a + c = 18 bağıntısını kullanarak bb kenar uzunluğunu hesaplamak.
b=9b = 9 birim
a+c=2ba + c = 2b ve a+c=18a + c = 18 olduğundan, 2b=182b = 18 eşitliği elde edilir.
4
Sinüs Teoremi formülünde bb ve RR değerlerini yazarak sin⁡(B)\sin(B) değerini hesaplamak.
sin⁡(B)=0.75\sin(B) = 0.75
b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünde b=9b = 9 ve R=6R = 6 yazıldığında 9=12sin⁡(B)9 = 12\sin(B) denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi kullanılarak üçgenin kenarları ile açılarının sinüsleri arasında doğru orantı kurulması.
Soru 258Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim} ve ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} dir. [BC][BC] kenarı üzerinde ∣BD∣=3 birim|BD| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası alınıyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 333\sqrt{3}

Cevap

Doğru cevap 333\sqrt{3} birimdir.
Büyük üçgende Kosinüs Teoremi ile elde edilen cos⁡B=−12\cos B = -\frac{1}{2} değeri, ABDABD üçgeninde yerine yazıldığında x2=27x^2 = 27 denklemi elde edilir ve buradan doğru uzunluk 333\sqrt{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük üçgen olan ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak BB açısının kosinüs değerini bulma.
cos⁡B=−12\cos B = -\frac{1}{2}
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡B|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos B formülünden 72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡B  ⟹  49=34−30cos⁡B  ⟹  30cos⁡B=−15  ⟹  cos⁡B=−127^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos B \implies 49 = 34 - 30\cos B \implies 30\cos B = -15 \implies \cos B = -\frac{1}{2} elde edilir.
2
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak ∣AD∣=x|AD| = x uzunluğunu hesaplama.
x=33x = 3\sqrt{3}
∣AD∣2=∣AB∣2+∣BD∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BD∣⋅cos⁡B|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos B formülünden x2=32+32−2⋅3⋅3⋅(−12)  ⟹  x2=18+9=27  ⟹  x=33x^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \implies x^2 = 18 + 9 = 27 \implies x = 3\sqrt{3} birim bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 259Soru →
cos⁡(arcsin⁡(−45)+arctan⁡(512))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5665\frac{56}{65}

Cevap

İfadenin doğru değeri 5665\frac{56}{65}'tir.
Doğru yanıt olan değer, arcsin⁡(−45)\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) açısının 4. bölgede yer alması nedeniyle kosinüsünün pozitif (35\frac{3}{5}) olması ve kosinüs toplam formülünün doğru işaretlerle uygulanması sonucu 3665−(−2065)=5665\frac{36}{65} - \left(-\frac{20}{65}\right) = \frac{56}{65} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(−45)=x\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) = x dönüşümü yapılarak xx açısının trigonometrik değerleri belirlenir.
sin⁡(x)=−45\sin(x) = -\frac{4}{5} ve cos⁡(x)=35\cos(x) = \frac{3}{5} bulunur.
arcsin⁡\arcsin fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığıdır. Girdi negatif olduğundan, xx açısı 4. bölgededir (x∈[−π2,0]x \in [-\frac{\pi}{2}, 0]). Bu bölgede sinüs negatif, kosinüs ise pozitiftir.
2
arctan⁡(512)=y\arctan\left(\frac{5}{12}\right) = y dönüşümü yapılarak yy açısının trigonometrik değerleri belirlenir.
tan⁡(y)=512\tan(y) = \frac{5}{12}, sin⁡(y)=513\sin(y) = \frac{5}{13} ve cos⁡(y)=1213\cos(y) = \frac{12}{13} bulunur.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) aralığıdır. Girdi pozitif olduğundan, yy açısı 1. bölgededir (y∈(0,π2)y \in (0, \frac{\pi}{2})).
3
Kosinüs toplam formülü kullanılarak ifadenin değeri hesaplanır.
cos⁡(x+y)=cos⁡(x)cos⁡(y)−sin⁡(x)sin⁡(y)=(35)(1213)−(−45)(513)=3665+2065=5665\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65} bulunur.
İki açının toplamının kosinüsü cos⁡(x+y)=cos⁡(x)cos⁡(y)−sin⁡(x)sin⁡(y)\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) bağıntısı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıklarının belirlenmesi ve trigonometrik toplam formüllerinin uygulanması.
Soru 260Soru →
Bir kenar uzunluğu 44 birim olan ABCDABCD karesinde, EE noktası [BC][BC] kenarının orta noktasıdır. [CD][CD] kenarı üzerinde alınan bir FF noktası için
∣CF∣=3∣FD∣|CF| = 3|FD|
eşitliği sağlanmaktadır.

[AE][AE] ve [BF][BF] doğru parçaları KK noktasında kesiştiğine göre, tan⁡(BKE^)\tan(\widehat{BKE}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 112\frac{11}{2}

Cevap

11/2
Kesişim noktasındaki BKE^\widehat{BKE} açısının ölçüsü 90∘−(β−α)90^\circ - (\beta - \alpha) olarak elde edilir. Bu açının tanjantı, tümler açı indirgemesiyle cot⁡(β−α)\cot(\beta - \alpha) değerine eşittir. Tanjant fark formülü kullanılarak tan⁡(β−α)=211\tan(\beta - \alpha) = \frac{2}{11} hesaplandığından, bunun çarpmaya göre tersi olan cot⁡(β−α)\cot(\beta - \alpha) değeri 112\frac{11}{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kare üzerindeki kenar uzunluklarını ve dik üçgenlerin kenarlarını belirleyelim.
ABCDABCD karesinin bir kenarı 44 birimdir. EE noktası [BC][BC]'nin orta noktası olduğundan ∣BE∣=∣EC∣=2|BE| = |EC| = 2 birimdir. ∣CF∣=3∣FD∣|CF| = 3|FD| ve ∣CD∣=4|CD| = 4 birim olduğundan ∣CF∣=3|CF| = 3 birim ve ∣FD∣=1|FD| = 1 birim olur.
Trigonometrik oranları yazabilmek için ilgili dik üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmamız gerekir.
2
Yardımcı açıları tanımlayarak tanjant değerlerini hesaplayalım.
BAE^=α\widehat{BAE} = \alpha olsun. ABEABE dik üçgeninde (dik köşe BB) tan⁡α=∣BE∣∣AB∣=24=12\tan \alpha = \frac{|BE|}{|AB|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} olur.
CBF^=β\widehat{CBF} = \beta olsun. BCFBCF dik üçgeninde (dik köşe CC) tan⁡β=∣CF∣∣BC∣=34\tan \beta = \frac{|CF|}{|BC|} = \frac{3}{4} olur.
Kesişim noktasındaki açıyı bu iki açının trigonometrik oranları yardımıyla ifade etmek amacıyla tanjant değerleri bulunur.
3
Kesişim açısı olan BKE^\widehat{BKE} açısını α\alpha ve β\beta açıları cinsinden ifade edelim.
ABCDABCD bir kare olduğundan ABC^=90∘\widehat{ABC} = 90^\circ ve dolayısıyla ABK^=90∘−β\widehat{ABK} = 90^\circ - \beta olur. ABKABK üçgeninin iç açılar toplamından:
AKB^+KAB^+KBA^=180∘  ⟹  AKB^+α+(90∘−β)=180∘\widehat{AKB} + \widehat{KAB} + \widehat{KBA} = 180^\circ \implies \widehat{AKB} + \alpha + (90^\circ - \beta) = 180^\circ
AKB^=90∘+(β−α)\widehat{AKB} = 90^\circ + (\beta - \alpha)
bulunur. A,K,EA, K, E noktaları doğrusal olduğundan, BKE^\widehat{BKE} ve AKB^\widehat{AKB} bütünler a��ılardır:
BKE^=180∘−AKB^=90∘−(β−α)\widehat{BKE} = 180^\circ - \widehat{AKB} = 90^\circ - (\beta - \alpha)
elde edilir.
Aranan açının ölçüs��nü, tanjant farkı bilinen açılarla ilişkilendirmek için üçgenin iç açılar toplamı ve bütünler açı kuralları uygulanır.
4
Tanjant fark formülünü uygulayarak tan⁡(BKE^)\tan(\widehat{BKE}) değerini hesaplayalım.
tan⁡(BKE^)=tan⁡(90∘−(β−α))=cot⁡(β−α)=1tan⁡(β−α)\tan(\widehat{BKE}) = \tan(90^\circ - (\beta - \alpha)) = \cot(\beta - \alpha) = \frac{1}{\tan(\beta - \alpha)} şeklindedir.
Öncelikle tan⁡(β−α)\tan(\beta - \alpha) fark formülünü uygulayalım:
tan⁡(β−α)=tan⁡β−tan⁡α1+tan⁡β⋅tan⁡α=34−121+34⋅12=141+38=14118=211\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \cdot \tan \alpha} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{8}} = \frac{2}{11}
Buradan,
tan⁡(BKE^)=1tan⁡(β−α)=1211=112\tan(\widehat{BKE}) = \frac{1}{\tan(\beta - \alpha)} = \frac{1}{\frac{2}{11}} = \frac{11}{2}
bulunur.
Tümler açıların indirgeme kuralı ve tanjant fark formülü yardımıyla sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki açının farkının tanjant ve kotanjant formülleri ile dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları.
ÖncekiSayfa 13 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 13 | Examkin