Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 281Soru →
cos⁡(arcsin⁡(−12)+arccot(−3))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12-\frac{1}{2}

Cevap

İfadenin doğru değeri −12-\frac{1}{2} olarak bulunur.
Ters trigonometrik fonksiyonların standart değer kümelerine göre, sinüsü −12-\frac{1}{2} olan açı −π6-\frac{\pi}{6} ve kotanjantı −3-\sqrt{3} olan açı 5π6\frac{5\pi}{6} olarak bulunur. Bu iki açının toplamı 2π3\frac{2\pi}{3} olup, bu açının kosinüs değeri −12-\frac{1}{2}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(−12)\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−π6-\frac{\pi}{6}
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığıdır. Bu aralıkta sinüsü −12-\frac{1}{2} olan açı −π6-\frac{\pi}{6} radyandır.
2
arccot(−3)\text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
5π6\frac{5\pi}{6}
arccot(x)\text{arccot}(x) fonksiyonunun değer kümesi (0,π)(0, \pi) aralığıdır. Bu aralıkta kotanjantı −3-\sqrt{3} olan açı 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.
3
Elde edilen açı değerlerini toplamak.
2π3\frac{2\pi}{3}
−π6+5π6=4π6=2π3-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} işlemiyle toplam açı bulunur.
4
Bulunan toplam açının kosinüs değerini hesaplamak.
−12-\frac{1}{2}
cos⁡(2π3)=cos⁡(π−π3)=−cos⁡(π3)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} eşitliği kullanılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Değer Kümeleri ve Özel Açı Değerleri
Soru 282Soru →
x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) olmak üzere,
a=1csc⁡x−cot⁡x−1csc⁡x+cot⁡xa = \frac{1}{\csc x - \cot x} - \frac{1}{\csc x + \cot x}
b=sin⁡x1+cos⁡x+cot⁡xb = \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \cot x
c=cos⁡x1−sin⁡x−tan⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \tan x
olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Verilen aralıkta her bir ifade özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirildiğinde a=2cot⁡xa = 2\cot x, b=csc⁡xb = \csc x ve c=sec⁡xc = \sec x olarak bulunur. x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) aralığında bb pozitif değer alırken, aa ve cc negatif değerler alır. Negatif değerlerden c=sec⁡x≤−2c = \sec x \le -2 aralığında yer alırken, a=2cot⁡xa = 2\cot x değeri −2-2 ile 00 arasında (yaklaşık olarak −1.15-1.15 ile 00 arasında) yer alır. Bu durumda c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin paydalarını eşitleyerek ortak paydada yazınız.
a=2cot⁡xa = 2\cot x
csc⁡2x−cot⁡2x=1\csc^2 x - \cot^2 x = 1 temel özdeşliği kullanılarak ifadenin paydası 11 yapılır ve sadeleşme sağlanır.
2
bb ifadesinde cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} yazarak paydaları eşitleyiniz.
b=csc⁡xb = \csc x
Pay kısmındaki sin⁡2x+cos⁡2x+cos⁡x=1+cos⁡x\sin^2 x + \cos^2 x + \cos x = 1 + \cos x ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir ve tek bir fonksiyon elde edilir.
3
cc ifadesinde tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} yazarak paydaları eşitleyiniz.
c=sec⁡xc = \sec x
Pay kısmındaki cos⁡2x+sin⁡2x−sin⁡x=1−sin⁡x\cos^2 x + \sin^2 x - \sin x = 1 - \sin x ifadesi paydadaki çarpanla sadeleşir.
4
x∈(π2,2π3)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right) aralığı için sadeleştirilen fonksiyonların değer aralıklarını ve işaretlerini belirleyerek karşılaştırınız.
c<a<bc < a < b
İkinci bölgede 2cot⁡x2\cot x negatif ve −1.15-1.15 ile 00 arasında, csc⁡x\csc x pozitif ve 11 ile 1.1551.155 arasında, sec⁡x\sec x ise negatif ve −2-2 veya daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler Yardımıyla Sadeleştirme ve Bölgelere Göre Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 283Soru →
aa ve bb dar açılar olmak üzere, a+b<π2a + b < \frac{\pi}{2} eşitsizliği sağlanmaktadır.
sin⁡a⋅cos⁡b=2cos⁡a⋅sin⁡b\sin a \cdot \cos b = 2 \cos a \cdot \sin b
tan⁡(a−b)=13\tan(a - b) = \frac{1}{3}
olduğuna göre, tan⁡(a+b)\tan(a + b) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Verilen oranlar kullanılarak elde edilen tan⁡a=2tan⁡b\tan a = 2\tan b bağıntısı fark formülünde yerine yazıldığında 2tan⁡2b−3tan⁡b+1=02\tan^2 b - 3\tan b + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin köklerinden tan⁡b=1\tan b = 1 değeri a+b<π/2a+b < \pi/2 sınırını aştığından elenir ve tan⁡b=1/2\tan b = 1/2 ile tan⁡a=1\tan a = 1 değerleri seçilir. Bu değerlerle toplam formülü uygulandığında sonuç 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği tanjant cinsinden yazma
tan⁡a=2tan⁡b\tan a = 2 \tan b
Toplam-fark formüllerinde tanjant değerlerini kullanabilmek için verilen sinüslü ve kosinüslü ifadeyi tanjant oranlarına dönüştürmemiz gerekir.
2
Tanjant fark formülünü uygulama ve yerine yazma
tan⁡b1+2tan⁡2b=13\frac{\tan b}{1 + 2\tan^2 b} = \frac{1}{3}
tan⁡(a−b)\tan(a-b) fark formülünde tan⁡a\tan a yerine 2tan⁡b2\tan b yazarak tek değişkene bağlı bir rasyonel ifade elde ederiz.
3
İkinci dereceden denklemi çözme
tan⁡b=12\tan b = \frac{1}{2} veya tan⁡b=1\tan b = 1
Elde edilen içler dışlar çarpımıyla oluşan 2tan⁡2b−3tan⁡b+1=02\tan^2 b - 3\tan b + 1 = 0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle buluruz.
4
Dar açı ve bölge kontrolü yapma
tan⁡b=12\tan b = \frac{1}{2} ve tan⁡a=1\tan a = 1
a+b<π2a + b < \frac{\pi}{2} koşulunu sağlayan uygun tanjant değerlerini belirlemek için her iki durumu analiz ederiz. tan⁡b=1\tan b = 1 durumu bu koşulu ihlal eder.
5
Tanjant toplam formülü ile sonucu hesaplama
tan⁡(a+b)=3\tan(a+b) = 3
Bulunan tan⁡a\tan a ve tan⁡b\tan b değerlerini tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} formülünde yerine koyarak nihai sonucu elde ederiz.

Anahtar Kavram

İki açının toplam ve farkının tanjant formülleri ile bu formüllerin cebirsel denklemlerde uygulanması.
Soru 284Soru →

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x
b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
c=sec⁡x+csc⁡xc = \sec x + \csc x

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a < b < c
Verilen aralıkta a<2a < 2, b>2b > 2 ve c=a⋅b>bc = a \cdot b > b olduğundan doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların sınırlarını belirlemek.
x∈(π/4,π/2)x \in (\pi/4, \pi/2) aralığı için sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 ve tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir. Ayrıca, 2x∈(π/2,π)2x \in (\pi/2, \pi) olduğundan 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 olur.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını tespit ederek sıralama kriterlerini oluşturmak.
2
aa ve bb değerlerinin sınırlarını analiz etmek.
a=sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π/4)a = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4) yazılır. x+π/4∈(π/2,3π/4)x + \pi/4 \in (\pi/2, 3\pi/4) olduğundan sin⁡(x+π/4)∈(2/2,1)\sin(x+\pi/4) \in (\sqrt{2}/2, 1) ve buradan a∈(1,2]a \in (1, \sqrt{2}] elde edilir. b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=2sin⁡2xb = \tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} olur. sin⁡2x<1\sin 2x < 1 olduğundan b>2b > 2'dir. Buradan a<ba < b sonucu çıkar.
İfadeleri sadeleştirerek net sayısal aralıklara ulaşmak.
3
cc değerini aa ve bb cinsinden yazıp karşılaştırmak.
c=sec⁡x+csc⁡x=1cos⁡x+1sin⁡x=sin⁡x+cos⁡xsin⁡xcos⁡x=a⋅bc = \sec x + \csc x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = a \cdot b olur. a>1a > 1 ve b>2b > 2 olduğundan, c=a⋅b>bc = a \cdot b > b elde edilir.
Çarpımsal ilişkiyi kullanarak en büyük değeri belirlemek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların belirli bölgelerde aldığı değer aralıklarının karşılaştırılması ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi.
Soru 285Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)sin⁡x+cos⁡x=13\frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 89\frac{8}{9}

Cevap

89\frac{8}{9}
Doğru cevap olan sekiz bölü dokuz ifadesi, verilen kesirli ifadede kosinüs yarım açı formülü uygulanıp paydadaki ifadeyle sadeleştirildikten sonra elde edilen fark denkleminin karesi alınarak bulunur. Kare alma işlemi sonucunda temel trigonometrik özdeşlikler ve sinüs yarım açı formülü kullanılarak istenen değer tam olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay k��smında bulunan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesine yarım açı formülü uygulanarak iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) elde edilir.
Paydadaki sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x terimi ile sadeleştirme yapabilmek için bu açılım gereklidir.
2
Elde edilen çarpanlar kesirli ifadede yerine yazılır ve sadeleştirme işlemi gerçekleştirilir.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)sin⁡x+cos⁡x=13  ⟹  cos⁡x−sin⁡x=13\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{3} \implies \cos x - \sin x = \frac{1}{3} elde edilir.
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x + \cos x \neq 0 olduğundan sadeleştirme güvenle yapılabilir.
3
Sadeleşmiş olan cos⁡x−sin⁡x=13\cos x - \sin x = \frac{1}{3} denkleminin her iki tarafının karesi alınır.
(cos⁡x−sin⁡x)2=(13)2  ⟹  cos⁡2x+sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=19(\cos x - \sin x)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \implies \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x\cos x = \frac{1}{9} bulunur.
Yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) ifadesine ulaşmak için kare alma işlemi uygulanır.
4
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 özdeşliği ve yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
1−sin⁡(2x)=19  ⟹  sin⁡(2x)=1−19=891 - \sin(2x) = \frac{1}{9} \implies \sin(2x) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} elde edilir.
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakarak nihai sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülünün çarpanlara ayırma prensipleriyle birleştirilmesi ve sinüs yarım açı formülünün elde edilmesi.

Alternatif Yöntem

Verilen denklemde sadeleştirme yapıldıktan sonra cos⁡x−sin⁡x=13\cos x - \sin x = \frac{1}{3} eşitliği elde edilir. Bu adımdan sonra her iki taraf cos⁡x\cos x ifadesine bölünerek tan⁡x\tan x cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edilip tan⁡x\tan x değeri bulunabilir. Bulunan tan⁡x\tan x değeri yardımıyla dik üçgen çizilerek veya sin⁡(2x)=2tan⁡x1+tan⁡2x\sin(2x) = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x} formülü kullanılarak da sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 286Soru →

Bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olan düzgün ABCDEFABCDEF altıgeninde; KK noktası [AB][AB] kenarı üzerinde ∣AK∣=1 birim|AK| = 1\text{ birim} olacak şekilde, LL noktası ise [CD][CD] kenarı üzerinde ∣CL∣=3 birim|CL| = 3\text{ birim} olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklık (∣KL∣|KL|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Kosinüs Teoremi önce KBCKBC üçgeninde, ardından açılar arasındaki ilişki fark formülüyle düzenlenerek KCLKCL üçgeninde uygulandığında ∣KL∣2=49|KL|^2 = 49 elde edilir. Buradan uzaklık 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
K noktasının B köşesine olan uzaklığını bulma.
∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim}
Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olduğundan, ∣KB∣=∣AB∣−∣AK∣=4−1=3 birim|KB| = |AB| - |AK| = 4 - 1 = 3\text{ birim} elde edilir.
2
KBCKBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayarak ∣KC∣2|KC|^2 değerini hesaplama.
∣KC∣2=37 birim2|KC|^2 = 37\text{ birim}^2
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ, ∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim} ve ∣BC∣=4 birim|BC| = 4\text{ birim} değerleri için Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 yazılır ve ∣KC∣2=37|KC|^2 = 37 bulunur.
3
KBCKBC üçgeninden cos⁡(KCB^)\cos(\widehat{KCB}) ve sin⁡(KCB^)\sin(\widehat{KCB}) değerlerini elde etme.
cos⁡(KCB^)=11237\cos(\widehat{KCB}) = \frac{11}{2\sqrt{37}} ve sin⁡(KCB^)=33237\sin(\widehat{KCB}) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}
KBCKBC üçgeninde [BC][BC] kenarına göre Kosinüs Teoremi kullanılarak açının kosinüsü çekilir, ardından sinüsü bulunur.
4
cos⁡(KCD^)\cos(\widehat{KCD}) değerini toplam-fark formülü kullanarak hesaplama.
cos⁡(KCD^)=−1237\cos(\widehat{KCD}) = -\frac{1}{2\sqrt{37}}
Altıgenin iç açısı 120∘120^\circ olduğundan KCD^=120∘−KCB^\widehat{KCD} = 120^\circ - \widehat{KCB} bağıntısı kullanılır.
5
KCLKCL üçgeninde Kosinüs Teoremi ile ∣KL∣|KL| uzunluğunu hesaplama.
∣KL∣=7 birim|KL| = 7\text{ birim}
∣KL∣2=∣KC∣2+∣CL∣2−2∣KC∣∣CL∣cos⁡(KCD^)|KL|^2 = |KC|^2 + |CL|^2 - 2|KC||CL|\cos(\widehat{KCD}) formülünde değerler yerine yazılıp karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Düzgün altıgenin açı ve kenar özellikleri ile Kosinüs Teoreminin üçgenlerde ardışık uygulanması.
Soru 287Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−cos⁡x1+cos⁡x−1+cos⁡x1−cos⁡xa = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}
b=sin⁡x1−cos⁡x−1−cos⁡xsin⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x}
c=cos⁡x1−sin⁡x−1−sin⁡xcos⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{\cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir.
Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilen ifadelerin işaretleri ve değer aralıkları belirlendiğinde c < b < a sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=−2cot⁡xa = -2\cot x
Kök içindeki ifadeler eşlenikleriyle çarpılarak kareleri elde edilir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak sadeleştirme tamamlanır.
2
b ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
b=2cot⁡xb = 2\cot x
Paydalar eşitlenip ortak çarpan parantezine alındığında pay kısmında 2cos⁡x(1−cos⁡x)2\cos x(1 - \cos x) ve paydada sin⁡x(1−cos⁡x)\sin x(1 - \cos x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2cos⁡xsin⁡x\frac{2\cos x}{\sin x} olur.
3
c ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
c=2tan⁡xc = 2\tan x
Paydalar eşitlenip cos⁡2x−1=−sin⁡2x\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x özdeşliği kullanıldığında pay kısmında 2sin⁡x(1−sin⁡x)2\sin x(1 - \sin x) ve paydada cos⁡x(1−sin⁡x)\cos x(1 - \sin x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin x}{\cos x} olur.
4
Tanımlı xx açısının bulunduğu aralığa göre değerlerin işaret ve büyüklüklerini karşılaştırınız.
c<b<ac < b < a
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 dır. Buna göre c=2tan⁡x<−2c = 2\tan x < -2, b=2cot⁡x∈(−2,0)b = 2\cot x \in (-2, 0) ve a=−2cot⁡x∈(0,2)a = -2\cot x \in (0, 2) elde edilerek sıralama bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 288Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=163\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{16}{3}
olduğuna göre, tan⁡2x−cos⁡(2x)\tan^2 x - \cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

Yedi bölü iki
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenip yarım açı formülleriyle düzenlendiğinde sinüs karesinin değeri elde edilir. Açının sınırları dikkate alınarak kosinüs ve tanjant değerleri doğru işaretlerle bulunur ve ifadede yerine yazılarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki rasyonel ifade payda eşitleme yapılarak sadeleştirilir ve yarım açı formülü uygulanır.
1sin⁡2x+1cos⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2xcos⁡2x=1sin⁡2xcos⁡2x=4sin⁡2(2x)\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{4}{\sin^2(2x)} ifadesi elde edilir.
İfadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ifade verilen değere eşitlenerek sinüs ve kosinüs değerleri belirlenir.
4sin⁡2(2x)=163  ⟹  sin⁡2(2x)=34\frac{4}{\sin^2(2x)} = \frac{16}{3} \implies \sin^2(2x) = \frac{3}{4} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olur (3. bölge). 3. bölgede sinüs ve kosinüs negatif olduğundan sin⁡(2x)=−32\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(2x)=−12\cos(2x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tespit etmek.
3
Tanjant yarım açı formülü kullanılarak tanjant değeri hesaplanır.
tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \sqrt{3} olur. Yarım açı formülünden 2tan⁡x1−tan⁡2x=3\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \sqrt{3} elde edilir. Buradan 3tan⁡2x+2tan⁡x−3=0  ⟹  (3tan⁡x−1)(tan⁡x+3)=0\sqrt{3}\tan^2 x + 2\tan x - \sqrt{3} = 0 \implies (\sqrt{3}\tan x - 1)(\tan x + \sqrt{3}) = 0 denkleminden tan⁡x=−3\tan x = -\sqrt{3} seçilir.
Açının 2. bölgede olması nedeniyle tanjant değerinin negatif olması gerekir.
4
Bulunan değerler soruda istenen ifadede yerine yazılır.
tan⁡2x−cos⁡(2x)=(−3)2−(−12)=3+12=72\tan^2 x - \cos(2x) = (-\sqrt{3})^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} olarak bulunur.
Nihai sonucu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri ve Bölgelere Göre Trigonometrik Değerlerin İşaretleri

Alternatif Yöntem

Tanjant yarım açı formülünü cebirsel olarak çözmek yerine, dik üçgen çizilerek 2x açısı yerleştirilir ve hipotenüs kadar uzatılan kenarla x açısına geometrik geçiş yapılarak tanjant değeri bulunabilir. Bölge işareti en son elle eklenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 289Soru →
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2θ)+1+sin⁡(2θ)=85\sqrt{1 - \sin(2\theta)} + \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{8}{5}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve yarım açı formüllerinin uygulanmasıyla elde edilen sonuç 24'tür.
Verilen denklemde kareköklü ifadeler tam kare açılımları şeklinde düzenlenip mutlak değer dışına çıkarıldığında, sin⁡θ−cos⁡θ−sin⁡θ−cos⁡θ=−2cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta - \sin\theta - \cos\theta = -2\cos\theta elde edilir. Buradan cos⁡θ=−4/5\cos\theta = -4/5 bulunur. Üçüncü bölgede sinüs değeri negatif olacağından sin⁡θ=−3/5\sin\theta = -3/5 olarak belirlenir. Yarım açı formülünden sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=24/25\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 24/25 olur. Bu değer 25 ile çarpıldığında 24 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklerin içerisindeki ifadeleri tam kare formunda yazıp karekökten mutlak değerli olarak çıkarın.
1−sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ−cos⁡θ∣\sqrt{1 - \sin(2\theta)} = |\sin\theta - \cos\theta| ve 1+sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ+cos⁡θ∣\sqrt{1 + \sin(2\theta)} = |\sin\theta + \cos\theta|
1=sin⁡2θ+cos⁡2θ1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta özdeşliği ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta yarım aç�� açılımı kullanıldığında kök içleri sırasıyla (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 ve (sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 olur.
2
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre trigonometrik değerlerin işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini analiz ederek mutlak değerleri sadeleştirin.
∣sin⁡θ−cos⁡θ∣=sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta - \cos\theta| = \sin\theta - \cos\theta ve ∣sin⁡θ+cos⁡θ∣=−sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta + \cos\theta| = -\sin\theta - \cos\theta
Üçüncü bölgede sin⁡θ<0\sin\theta < 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olup, belirtilen alt aralıkta cos⁡θ<sin⁡θ\cos\theta < \sin\theta gerçekleşir. Bu nedenle sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<0\sin\theta + \cos\theta < 0 olur.
3
Mutlak değerden çıkarılan ifadeleri toplayarak denklemi çözün ve cos⁡θ\cos\theta değerini bulun.
(sin⁡θ−cos⁡θ)+(−sin⁡θ−cos⁡θ)=85  ⟹  −2cos⁡θ=85  ⟹  cos⁡θ=−45(\sin\theta - \cos\theta) + (-\sin\theta - \cos\theta) = \frac{8}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{8}{5} \implies \cos\theta = -\frac{4}{5}
Sol taraf toplandığında sinüs terimleri sadeleşir ve sadece kosinüs terimi kalır.
4
cos⁡θ\cos\theta yardımıyla sin⁡θ\sin\theta değerini belirleyin ve yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerini hesaplayın.
sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅(−35)⋅(−45)=2425\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğinden ve açının üçüncü bölgede olmasından dolayı sinüs değeri negatif seçilir. Ardından yarım açı formülü uygulanır.
5
İstenen 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değerini hesaplayın.
25⋅2425=2425 \cdot \frac{24}{25} = 24
Hesaplanan yarım açı değeri 25 katsayısı ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.
Soru 290Soru →
Bir ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir. Bu üçgenin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için
m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ
m(BPC^)=150∘m(\widehat{BPC}) = 150^\circ
olarak veriliyor.

PBCPBC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı rr birim olduğuna göre, Rr\frac{R}{r} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33\frac{\sqrt{3}}{3}

Cevap

R/roranı33olarakbulunur.R/r oranı \frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur.
Sinüs Teoremi gereğince, ortak olan BC kenarının uzunluğu hem 2R⋅sin⁡(120∘)2R \cdot \sin(120^\circ) hem de 2r⋅sin⁡(150∘)2r \cdot \sin(150^\circ) ifadelerine eşittir. Buradan R3=rR\sqrt{3} = r bağıntısı elde edilir ve istenen oran 33\frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgeninde BC kenarı ile çevrel çemberin yarıçapı R arasındaki ilişkiyi Sinüs Teoremi ile yazalım.
∣BC∣=2R⋅sin⁡(120∘)|BC| = 2R \cdot \sin(120^\circ)
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
2
PBC üçgeninde ortak olan BC kenarı ile çevrel çemberin yarıçapı r arasındaki ilişkiyi Sinüs Teoremi ile yazalım.
∣BC∣=2r⋅sin⁡(150∘)|BC| = 2r \cdot \sin(150^\circ)
Aynı teorem ortak BC kenarına sahip olan PBC üçgeni için de geçerlidir.
3
Trigonometrik açı indirgeme formüllerini kullanarak sin⁡(120∘)\sin(120^\circ) ve sin⁡(150∘)\sin(150^\circ) değerlerini hesaplayalım.
sin⁡(120∘)=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡(60∘)=32\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(150∘)=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
İkinci bölgedeki açıların sinüs değerleri pozitif olup, bütünler açılarının sinüslerine eşittir.
4
Bulduğumuz sinüs değerlerini ∣BC∣|BC| eşitliklerinde yerine koyarak R ve r cinsinden ifadeleri eşitleyelim.
2R⋅32=2r⋅12  ⟹  R3=r2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2r \cdot \frac{1}{2} \implies R\sqrt{3} = r
Her iki üçgende de ∣BC∣|BC| uzunluğu ortak olduğundan, elde edilen iki ifade birbirine eşittir.
5
Elde edilen eşitlikten Rr\frac{R}{r} oranını çekelim.
Rr=13=33\frac{R}{r} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Eşitliğin her iki tarafını r ve 3\sqrt{3} ile bölerek istenen oranı buluruz.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi
Soru 291Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,
sin⁡(x−y)sin⁡(y)−cos⁡(x−y)cos⁡(y)cos⁡(x+y)sin⁡(y)−sin⁡(x+y)cos⁡(y)\frac{\sin(x - y)\sin(y) - \cos(x - y)\cos(y)}{\cos(x + y)\sin(y) - \sin(x + y)\cos(y)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cot(x); cotx; cot x; \cot(x); \cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli kotanjant fonksiyonu cinsinden cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Pay kısmındaki ifade eksi parantezine alındığında kosinüs toplam formülüyle −cos⁡(x)-\cos(x) değerine, payda kısmı ise sinüs fark formülüyle sin⁡(y−(x+y))=sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(y - (x+y)) = \sin(-x) = -\sin(x) değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise cot⁡(x)\cot(x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi kosinüs toplam formülüne benzetmek için eksi parantezine almak.
−(cos⁡(x−y)cos⁡(y)−sin⁡(x−y)sin⁡(y))-(\cos(x - y)\cos(y) - \sin(x - y)\sin(y))
Kosinüsün toplam formülü olan cos⁡(A+B)=cos⁡(A)cos⁡(B)−sin⁡(A)sin⁡(B)\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) yapısını elde etmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Pay kısmına kosinüs toplam formülünü uygulamak.
−cos⁡((x−y)+y)=−cos⁡(x)-\cos((x - y) + y) = -\cos(x)
Açıları topladığımızda x−y+y=xx - y + y = x elde edilir, böylece pay kısmı −cos⁡(x)-\cos(x) olur.
3
Payda kısmındaki ifadeyi sinüs fark formülüne göre düzenlemek.
sin⁡(y)cos⁡(x+y)−cos⁡(y)sin⁡(x+y)=sin⁡(y−(x+y))\sin(y)\cos(x + y) - \cos(y)\sin(x + y) = \sin(y - (x + y))
Sinüsün fark formülü sin⁡(A−B)=sin⁡(A)cos⁡(B)−cos⁡(A)sin⁡(B)\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) şeklindedir. Burada A=yA = y ve B=x+yB = x + y olarak seçilirse bu kalıp elde edilir.
4
Payda kısmındaki açıyı sadeleştirmek ve tek fonksiyon cinsinden yazmak.
sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x)
Sinüs tek fonksiyon olduğu için sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x) eşitliği geçerlidir.
5
Pay ve paydanın oranını bularak en sade hali elde etmek.
−cos⁡(x)−sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \cot(x)
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu verir ve eksiler birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve işaret takibi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 292Soru →
cos⁡(2arctan⁡(2)−arcsin⁡(35))\cos\left(2\arctan(2) - \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 00

Cevap

0
Verilen ters trigonometrik ifadeler açılara dönüştürüldüğünde soru cos⁡(2α−β)\cos(2\alpha - \beta) değerini bulmaya indirgenir. Dik üçgenlerden elde edilen oranlar ve yarım açı formülleriyle cos⁡(2α)=−35\cos(2\alpha) = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2α)=45\sin(2\alpha) = \frac{4}{5} bulunur. Bu değerler fark formülünde yerine konulduğunda terimler birbirini yok eder ve sonuç 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
arctan⁡(2)=α\arctan(2) = \alpha ve arcsin⁡(35)=β\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \beta dönüşümleri yapılır.
tan⁡(α)=2\tan(\alpha) = 2 ve sin⁡(β)=35\sin(\beta) = \frac{3}{5} elde edilir. Buradan dik üçgenler yardımıyla diğer oranlar belirlenir: sin⁡(α)=25\sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}}, cos⁡(α)=15\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} ve cos⁡(β)=45\cos(\beta) = \frac{4}{5} olur.
Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmek için açı dönüşümü uygulanır.
2
cos⁡(2α)\cos(2\alpha) ve sin⁡(2α)\sin(2\alpha) değerleri yarım açı formülleriyle hesaplanır.
cos⁡(2α)=2cos⁡2(α)−1=2(15)−1=−35\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 2\left(\frac{1}{5}\right) - 1 = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2α)=2sin⁡(α)cos⁡(α)=2(25)(15)=45\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{4}{5} bulunur.
İstenen cos⁡(2α−β)\cos(2\alpha - \beta) ifadesini açmak için yarım açı değerlerine ihtiyaç vardır.
3
cos⁡(2α−β)=cos⁡(2α)cos⁡(β)+sin⁡(2α)sin⁡(β)\cos(2\alpha - \beta) = \cos(2\alpha)\cos(\beta) + \sin(2\alpha)\sin(\beta) fark formülü uygulanır.
cos⁡(2α−β)=(−35)(45)+(45)(35)=−1225+1225=0\cos(2\alpha - \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0 bulunur.
Fark formülü kullanılarak ifadenin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonları açılara dönüştürme ve yarım açı ile fark formüllerini uygulama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 293Soru →

Bir duvar saatinin akrebinin uzunluğu 4 cm4\text{ cm}, yelkovanının uzunluğu ise 6 cm6\text{ cm} olarak ölçülmüştür.

Buna göre, saat tam 16.00'yı gösterdiğinde akrep ile yelkovanın uç noktaları arasındaki en kısa uzaklık kaç cm\text{cm} olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2192\sqrt{19}

Cevap

2192\sqrt{19}
Saat 16.00'da yelkovan 12'yi, akrep ise 4'ü gösterir. Bu iki gösterge arasındaki açı 4×30∘=120∘4 \times 30^\circ = 120^\circ olur. Kenar uzunlukları 4 cm4\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm} olan ve aralarındaki açı 120∘120^\circ olan üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında uç noktalar arasındaki uzaklık dd olmak üzere, d2=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(120∘)d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) bağıntısı elde edilir. cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değeri yerine yazıldığında d2=16+36+24=76d^2 = 16 + 36 + 24 = 76 bulunur. Buradan d=76=219 cmd = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}\text{ cm} hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Saat kadranı üzerinde akrep ile yelkovan arasındaki açıyı derece cinsinden belirleme.
Açı 120∘120^\circ olarak bulunur.
Saat kadranı 12 eşit parçaya bölünmüştür ve her parça 30∘30^\circ lik yayı temsil eder. Saat 16.00'da yelkovan 12'yi, akrep ise 4'ü gösterdiğinden aralarındaki açı 4×30∘=120∘4 \times 30^\circ = 120^\circ olur.
2
Akrep ve yelkovanın uzunlukları (4 cm4\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm}) ve aralarındaki açıyı (120∘120^\circ) kullanarak Kosinüs Teoremi formülünü kurma.
d2=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(120∘)d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) denklemi elde edilir.
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanır.
3
Açının kosinüs değerini indirgeme kurallarına göre belirleme.
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
120∘120^\circ açısı ikinci bölgededir ve bu bölgede kosinüs fonksiyonu negatiftir. cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} olur.
4
Kosinüs değerini ve kenar uzunluklarının karelerini denklemde yerine yazıp uzaklığı hesaplama.
d2=16+36−48⋅(−12)=52+24=76  ⟹  d=219 cmd^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76 \implies d = 2\sqrt{19}\text{ cm} elde edilir.
Denklemin çözülmesiyle uç noktalar arasındaki en kısa doğrusal uzaklık bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi kullanılarak iki kenarı ve aralarındaki açısı verilen üçgenin üçüncü kenarının hesaplanması.
Soru 294Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x
b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
c=cos⁡x−sin⁡xc = \cos x - \sin x

ifadelerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

c<a<bc < a < b sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta kosinüs ve sinüs negatif olduğundan, çarpımları olan aa pozitif ve a∈(0,0.5)a \in (0, 0.5) aralığındadır. bb ifadesi tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1a\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a} özdeşliğine eşit olduğundan b>2b > 2 olur. Son olarak, bu aralıkta kosinüs değeri sinüs değerinden daha küçük olduğundan c=cos⁡x−sin⁡xc = \cos x - \sin x farkı negatif çıkacaktır. Bu durumda en küçük ifade negatif olan cc, en büyük ifade ise 22'den büyük olan bb olur. Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini ve bölgelerini belirleme
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Üçüncü bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini doğru belirlemek sıralama yapmanın ilk adımıdır.
2
aa ve bb ifadelerinin analizi ve karşılaştırılması
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x çarpımı, iki negatif değerin çarpımı olduğu için pozitiftir (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1ab = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a} olur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) için 2x∈(2π,5π2)2x \in \left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right) olup birinci bölgededir. Burada a=12sin⁡(2x)a = \frac{1}{2}\sin(2x) değeri (0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right) aralığındadır. Dolayısıyla b=1a>2b = \frac{1}{a} > 2 bulunur. Buradan 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>2b > 2 olduğu için a<ba < b elde edilir.
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla aa cinsinden yazarak iki pozitif değeri karşılaştırmak kolaylaşır.
3
cc ifadesinin işaretini belirleme ve son sıralamayı yapma
Üçüncü bölgenin ilk yarısında, yani (π,5π4)\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında, cos⁡x\cos x değeri sin⁡x\sin x değerinden daha küçüktür (örneğin x=210∘x = 210^\circ için cos⁡210∘=−32≈−0.866\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 ve sin⁡210∘=−0.5\sin 210^\circ = -0.5 olup −0.866<−0.5-0.866 < -0.5 tir). Bu nedenle cos⁡x<sin⁡x  ⟹  cos⁡x−sin⁡x<0\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 yani c<0c < 0 bulunur. Sonuç olarak c<0<a<bc < 0 < a < b olduğundan doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Negatif olan cc değerinin pozitif olan aa ve bb değerlerinden küçük olduğunu belirterek sıralama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Üçüncü bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri, tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} özdeşliği ve değer sıralaması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 295Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)sin⁡(2x)=3\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = 3
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Sadeleştirme adımları ve yarım açı formülü uygulandığında doğru cevap -0.8 olarak bulunur.
İfadenin payındaki 1−cos⁡(2x)1 - \cos(2x) terimi 2sin⁡2x2\sin^2 x şeklinde, paydasındaki sin⁡(2x)\sin(2x) terimi ise 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x şeklinde yazıldığında oran tan⁡x=3\tan x = 3 olarak sadeleşir. xx açısının üçüncü bölgede olmasıyla uyumlu olarak tan⁡x\tan x pozitiftir. Bu açı değerine göre cos⁡2x=0.1\cos^2 x = 0.1 ve sin⁡2x=0.9\sin^2 x = 0.9 bulunur. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x ifadesinden aranan değer −0.8-0.8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeyi yarım açı özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.
tan⁡x=3\tan x = 3
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülleri yerine yazıldığında pay 2sin⁡2x2\sin^2 x ve payda 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x olur. Oranlandığında tan⁡x=3\tan x = 3 elde edilir.
2
Dik üçgen bağıntısı ve bölge analizini kullanarak trigonometrik değerlerin karelerini belirleyin.
sin⁡2x=0.9\sin^2 x = 0.9 ve cos⁡2x=0.1\cos^2 x = 0.1
tan⁡x=3\tan x = 3 bağıntısına uygun dik üçgende hipotenüs 12+32=10\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} olur. Buradan sin⁡2x=(310)2=910\sin^2 x = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} ve cos⁡2x=(110)2=110\cos^2 x = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} bulunur.
3
Kosinüs yarım açı formülüyle cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın.
cos⁡(2x)=−0.8\cos(2x) = -0.8
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünden 110−910=−0.8\frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -0.8 elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonları için yarım açı formüllerinin uygulanması ve sadeleştirme.
Soru 296Soru →
x=arctan⁡(2)+arctan⁡(13)x = \arctan(2) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right)
y=arctan⁡(3)−arctan⁡(12)y = \arctan(3) - \arctan\left(\frac{1}{2}\right)

olmak üzere, cos⁡(x+y)\cos(x + y) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −35-\frac{3}{5}

Cevap

cos⁡(x+y)\cos(x + y) ifadesinin değeri −35-\frac{3}{5}'tir.
Verilen xx ve yy ifadelerinden tanjant toplam ve fark formülleri kullanılarak sırasıyla tan⁡x=7\tan x = 7 ve tan⁡y=1\tan y = 1 elde edilir. Bu değerler kullanılarak tan⁡(x+y)=−43\tan(x+y) = -\frac{4}{3} bulunur. Açılar analiz edildiğinde xx açısının birinci bölgede, yy açısının ise tam olarak π4\frac{\pi}{4} olduğu görülür. Buradan x+yx+y açısının ikinci bölgede olduğu belirlenir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, tanjantı −43-\frac{4}{3} olan açının kosinüsü −35-\frac{3}{5} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
xx açısının tanjant değerini toplam formülü yardımıyla hesaplamak.
tan⁡x=7\tan x = 7 olur.
x=arctan⁡(2)+arctan⁡(1/3)x = \arctan(2) + \arctan(1/3) eşitliğinde her iki tarafın tanjantı alınarak tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} formülü uygulanır: tan⁡x=2+1/31−2⋅1/3=7/31/3=7\tan x = \frac{2 + 1/3}{1 - 2 \cdot 1/3} = \frac{7/3}{1/3} = 7 bulunur.
2
yy açısının tanjant değerini fark formülü yardımıyla hesaplamak.
tan⁡y=1\tan y = 1 olur.
y=arctan⁡(3)−arctan⁡(1/2)y = \arctan(3) - \arctan(1/2) eşitliğinde her iki tarafın tanjantı alınarak tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} formülü uygulanır: tan⁡y=3−1/21+3⋅1/2=5/25/2=1\tan y = \frac{3 - 1/2}{1 + 3 \cdot 1/2} = \frac{5/2}{5/2} = 1 bulunur.
3
xx ve yy açılarının bulundukları bölgeleri belirlemek.
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve y=π4y = \frac{\pi}{4} olur.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) aralığıdır. Pozitif değerler için açılar birinci bölgededir. 2>02 > 0 ve 1/3>01/3 > 0 olduğundan arctan⁡(2)\arctan(2) ve arctan⁡(1/3)\arctan(1/3) dar açılardır. Toplamları olan xx açısı da tan⁡x=7>0\tan x = 7 > 0 olduğundan birinci bölgededir. Benzer şekilde, 3>1/2>03 > 1/2 > 0 olduğundan 0<arctan⁡(1/2)<arctan⁡(3)<π20 < \arctan(1/2) < \arctan(3) < \frac{\pi}{2} ve farkları olan yy açısı dar açıdır. tan⁡y=1\tan y = 1 olduğundan y=π4y = \frac{\pi}{4} bulunur.
4
tan⁡(x+y)\tan(x+y) değerini hesaplamak ve x+yx+y açısının bölgesini belirlemek.
tan⁡(x+y)=−43\tan(x+y) = -\frac{4}{3} olur ve x+yx+y a��ısı ikinci bölgededir.
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=7+11−7⋅1=8−6=−43\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{7 + 1}{1 - 7 \cdot 1} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3} bulunur. x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve y=π4y = \frac{\pi}{4} olduğundan, x+y∈(π4,3π4)x+y \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığındadır. Bu aralıkta tanjantı negatif olan açılar ikinci bölgededir (x+y∈(π2,3π4)x+y \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)).
5
İkinci bölgedeki x+yx+y açısının kosinüs değerini dik üçgen yardımıyla bulmak.
cos⁡(x+y)=−35\cos(x+y) = -\frac{3}{5} olur.
Tanjantı 43\frac{4}{3} olan açının dik üçgendeki komşu kenarı 3, karşı kenarı 4 ve hipotenüsü 5 birimdir. Açı ikinci bölgede olduğundan kosinüs değeri negatiftir. Dolayısıyla cos⁡(x+y)=−35\cos(x+y) = -\frac{3}{5} olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlar ile tanjant toplam ve fark formüllerinin birlikte uygulanması ve açıların bölge analizinin yapılması.
Soru 297Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
1sin⁡(2x)−1cos⁡(2x)=22\frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{\cos(2x)} = 2\sqrt{2}
olduğuna göre, cos⁡(8x)\cos(8x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Doğru cevap 0.5 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenerek düzenlendiğinde cos(2x) - sin(2x) = sqrt(2) * sin(4x) eşitliği elde edilir. Bu denklemin her iki tarafının karesi alındığında sin(4x) değişkenine bağlı 2sin^2(4x) + sin(4x) - 1 = 0 ikinci dereceden denklemi kurulur. Verilen x aralığına göre 4x açısı birinci bölgede olduğundan sin(4x) değeri pozitif olmalıdır ve 0.5 olarak bulunur. cos(8x) ifadesi yarım açı formülüyle 1 - 2sin^2(4x) şeklinde açıldığında doğru değer 0.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadede paydaları eşitleyerek denklemi düzenleyelim.
cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=22sin⁡(2x)cos⁡(2x)\cos(2x) - \sin(2x) = 2\sqrt{2}\sin(2x)\cos(2x) ve sağ tarafta yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=2sin⁡(4x)\cos(2x) - \sin(2x) = \sqrt{2}\sin(4x) elde edilir.
İfadeleri tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazabilmek ve yarım açı formüllerinden yararlanmak amacıyla payda eşitlenir.
2
Elde edilen denklemin her iki tarafının karesini alalım.
(cos⁡(2x)−sin⁡(2x))2=(2sin⁡(4x))2  ⟹  1−2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=2sin⁡2(4x)  ⟹  1−sin⁡(4x)=2sin⁡2(4x)(\cos(2x) - \sin(2x))^2 = (\sqrt{2}\sin(4x))^2 \implies 1 - 2\sin(2x)\cos(2x) = 2\sin^2(4x) \implies 1 - \sin(4x) = 2\sin^2(4x)
cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 özdeşliğini ve sinüs yarım açı formülünü kullanarak denklemi ikinci dereceden tek değişkenli bir denkleme dönü��türmek için.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözelim.
2sin⁡2(4x)+sin⁡(4x)−1=0  ⟹  (2sin⁡(4x)−1)(sin⁡(4x)+1)=02\sin^2(4x) + \sin(4x) - 1 = 0 \implies (2\sin(4x) - 1)(\sin(4x) + 1) = 0 buradan sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2} veya sin⁡(4x)=−1\sin(4x) = -1 elde edilir.
Sinüs fonksiyonunun alabileceği olası değerleri belirlemek için.
4
Açının tanım aralığına göre uygun kökü seçip yarım açı formülüyle cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplayalım.
x∈(0,π8)  ⟹  4x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) \implies 4x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan sin⁡(4x)>0\sin(4x) > 0 olmalıdır. Bu yüzden sin⁡(4x)=0.5\sin(4x) = 0.5 alınır. Kosinüs yarım açı formülünden cos⁡(8x)=1−2sin⁡2(4x)=1−2(0.25)=0.5\cos(8x) = 1 - 2\sin^2(4x) = 1 - 2(0.25) = 0.5 bulunur.
Tanım aralığı birinci bölgeye karşılık geldiğinden sinüs değeri pozitif seçilir ve çift kat açı formülüyle cos⁡(8x)\cos(8x) hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 298Soru →

Bir dağcı grubu A noktasındaki kamp alanından doğrusal bir rota boyunca kuzey yönünde 5 km5\text{ km} yürüyerek B noktasına ulaşmıştır. Bu noktada yönünü değiştirerek kuzey doğrultusuyla saat yönünde 120∘120^\circ lik açı yapan yeni bir doğrusal rota üzerinde 8 km8\text{ km} daha yürümüş ve C noktasına varmıştır.

Buna göre, dağcı grubunun ulaştığı C noktası ile başlangıçtaki kamp alanı (A noktası) arasındaki en kısa mesafe kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Dağcı grubunun ulaştığı C noktası ile başlangıçtaki kamp alanı arasındaki en kısa mesafe 7 km7\text{ km}'dir.
Kuzey doğrultusundan saat yönünde 120∘120^\circ sapıldığında hareket doğrultuları arasında oluşan dış açı 120∘120^\circ derecedir. Bu doğrultuların oluşturduğu üçgenin iç açısı ise bütünler açı kuralı gereği 60∘60^\circ olur. Kenar uzunlukları 5 km5\text{ km} ve 8 km8\text{ km}, aralarındaki açı 60∘60^\circ olan üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ∣AC∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(60∘)|AC|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) işleminden en kısa mesafe 7 km7\text{ km} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hareket rotalarını analiz ederek ABC üçgeninin iç açısını belirlemek
Üçgenin B köşesindeki iç açısının 60∘60^\circ olduğunu tespit etmek
Kuzey yönünde ilerleyen dağcının saat yönünde 120∘120^\circ sapması, iki hareket doğrultusu arasındaki dış açının 120∘120^\circ olması anlamına gelir. Bir doğru açı 180∘180^\circ olduğundan iç açı 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ olur.
2
Kosinüs Teoremi formülünü kurmak ve değerleri yerine yazmak
∣AC∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(60∘)|AC|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) denklemini elde etmek
Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, karşılarındaki kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanır.
3
Matematiksel işlemleri tamamlayarak bilinmeyen kenar uzunluğunu hesaplamak
∣AC∣=7 km|AC| = 7\text{ km}
∣AC∣2=25+64−2⋅40⋅0.5=89−40=49|AC|^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 40 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49 olur. 4949 sayısının karekökü alındığında uzunluk 7 km7\text{ km} olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla kenar uzunluğu hesaplama
Soru 299Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x

olarak tanımlanıyor. Buna göre; KK, LL ve MM değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayın��z.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen aralıkta bulunan değerlerin do��ru sıralaması K < L < M şeklindedir.
Verilen açı aralığında sinüs ve kosinüs negatif değerler alırken, tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır. İki negatif değerin toplamı olan ilk ifade negatif, çarpımları olan ikinci ifade pozitif fakat yarım değerden küçük, tanjant ile kotanjantın toplamı olan üçüncü ifade ise 2'den büyüktür. Bu durum en küçük değerin negatif olan ifade, en büyük değerin ise 2'den büyük olan ifade olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
Aç��nın bulunduğu bölgeyi belirleme ve trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz etme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde üçüncü bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bu bölgedeki işaretlerini ve sınır değerlerini belirlememiz gerekir.
2
K ifadesinin değer aralığını bulma
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan K<0K < 0 olur. Hatta bu aralıkta K∈(−2,−1)K \in (-\sqrt{2}, -1) aralığındadır.
Negatif iki sayının toplamının daima negatif olmasından yararlanılır.
3
L ifadesinin değer aralığını bulma
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x ifadesinde negatif iki sayının çarpımı pozitif olacağından L>0L > 0 olur. Yarım açı formülünden L=sin⁡(2x)2L = \frac{\sin(2x)}{2} yazılabilir. 2x∈(5π2,3π)2x \in \left(\frac{5\pi}{2}, 3\pi\right) yani ikinci bölgeye düştüğü için sin⁡(2x)∈(0,1]\sin(2x) \in (0, 1] olur. Buradan L∈(0,05]L \in (0, 0{}5] elde edilir.
Çarpım durumundaki sinüs ve kosinüs değerlerinin sınırlarını yarım açı formülüyle belirlemek kolaylık sağlar.
4
M ifadesinin değer aralığını bulma
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x ifadesinde, üçüncü bölgenin bu kısmında tan⁡x>1\tan x > 1 ve cot⁡x<1\cot x < 1'dir. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AM-GM) veya özdeşlikler kullanıldığında, pozitif bir sayı ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az 2 olur (a+1a≥2a + \frac{1}{a} \ge 2). Dolayısıyla M≥2M \ge 2'dir.
Pozitif reel sayıların kendisi ile tersinin toplamının sınır değer özelliğini kullanarak M değerinin alt sınırını buluruz.
5
Elde edilen aralıkları karşılaştırma
K<0K < 0, 0<L≤050 < L \le 0{}5 ve M≥2M \ge 2 olduğundan K<L<MK < L < M sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınır değerleri birbiriyle çakışmadığı için kesin sıralama yapılabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki bölgelere göre işaret ve değer aralıklarının belirlenmesi.

Alternatif Yöntem

Açıya uygun bir değer seçilerek (örneğin x=240∘x = 240^\circ) yaklaşık değerler hesaplanabilir: sin⁡(240∘)=−32≈−086\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{}86, cos⁡(240∘)=−05\cos(240^\circ) = -0{}5. Buradan K≈−136K \approx -1{}36, L=043L = 0{}43, M=3+13≈23M = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2{}3 bulunur ve K<L<MK < L < M şeklinde sıralanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 300Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)sin⁡2x−cos⁡2x=−32\frac{1 + \sin(2x)}{\sin^2 x - \cos^2 x} = -\frac{3}{2}

olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 512\frac{5}{12}

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve tanjant yarım açı formülünün uygulanmasıyla elde edilen 512\frac{5}{12} değeridir.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} değeri bulunur. Bu değer tanjant yarım açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} denkleminde yerine yazıldığında doğru sonuç olan 512\frac{5}{12} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki 1+sin⁡(2x)1 + \sin(2x) ifadesini yarım açı ve temel özdeşlikler yardımıyla tam kare biçiminde yazalım.
1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = (\sin x + \cos x)^2
1=sin⁡2x+cos⁡2x1 = \sin^2 x + \cos^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğundan, 1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x + \cos x)^2 elde edilir.
2
Payda kısmındaki sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x ifadesini iki kare farkı özdeşliğiyle çarpanlarına ayıralım.
sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) çarpanlara ayırma kuralı uygulanır.
3
İfadeyi sadeleştirip içler dışlar çarpımı yaparak tan⁡x\tan x değerini bulalım.
tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5}
(sin⁡x+cos⁡x)2(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)=−32\frac{(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)} = -\frac{3}{2} ifadesinde sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x + \cos x \neq 0 olduğundan sadeleştirme yap��lırsa sin⁡x+cos⁡xsin⁡x−cos⁡x=−32\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = -\frac{3}{2} elde edilir. Buradan 2sin⁡x+2cos⁡x=−3sin⁡x+3cos⁡x  ⟹  5sin⁡x=cos⁡x  ⟹  tan⁡x=152\sin x + 2\cos x = -3\sin x + 3\cos x \implies 5\sin x = \cos x \implies \tan x = \frac{1}{5} bulunur.
4
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplayalım.
tan⁡(2x)=512\tan(2x) = \frac{5}{12}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} yazıldığında tan⁡(2x)=2⋅151−(15)2=252425=25⋅2524=512\tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12} elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin tam kare yardımıyla sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} değeri bulunduktan sonra bir dik üçgen çizilerek sin⁡x=126\sin x = \frac{1}{\sqrt{26}} ve cos⁡x=526\cos x = \frac{5}{\sqrt{26}} değerleri bulunur. Buradan sinüs ve kosinüsün yarım açı formülleriyle sin⁡(2x)=513\sin(2x) = \frac{5}{13} ve cos⁡(2x)=1213\cos(2x) = \frac{12}{13} elde edilir. tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} tanımı kullanılarak da 512\frac{5}{12} sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 15 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 15 | Examkin