Examkin

Yarım Açı Formülleri

69 soru

Tüm türler69Çoktan seçmeli37Sayısal32
Soru 61Soru →
24sin⁡(π24)cos⁡3(π24)−24sin⁡3(π24)cos⁡(π24)24 \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos^3\left(\frac{\pi}{24}\right) - 24 \sin^3\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right)

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlemin sonucu 3'tür.
Verilen ifade ardışık olarak sinüs ve kosinüs yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde 6sin⁡(π6)6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) haline gelir. Buradan sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değeri kullanılarak doğru sonuç 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alma
24sin⁡(π24)cos⁡(π24)[cos⁡2(π24)−sin⁡2(π24)]24 \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \left[ \cos^2\left(\frac{\pi}{24}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{24}\right) \right]
İfadeyi yarım a��ı formüllerine uygun çarpanlara ayırmak.
2
Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerini uygulama
12sin⁡(π12)cos⁡(π12)12 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)
2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2 \sin x \cos x = \sin(2x) ve cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) formüllerini uygulamak.
3
Elde edilen ifadeye tekrar sinüs yarım açı formülünü uygulama
6sin⁡(π6)6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
12sin⁡(π12)cos⁡(π12)=6⋅[2sin⁡(π12)cos⁡(π12)]=6sin⁡(π6)12 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = 6 \cdot \left[ 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \right] = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) özdeşliğini kullanmak.
4
Bilinen trigonometrik açının değerini yerine yazma
33
sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değerini yerine yazarak işlemi tamamlamak.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri
Soru 62Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)+1+sin⁡(2x)=85\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sqrt{1 + \sin(2x)} = \frac{8}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 725\frac{7}{25}

Cevap

7/25 değeri doğrudur.
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında 2+2∣cos⁡(2x)∣=64/252 + 2|\cos(2x)| = 64/25 elde edilir. Buradan ∣cos⁡(2x)∣=7/25|\cos(2x)| = 7/25 sonucuna ulaşılır. xx açısı (3π/4,π)(3\pi/4, \pi) aralığında olduğundan, 2x2x açısı (3π/2,2π)(3\pi/2, 2\pi) aralığında (4. bölgede) bulunur. 4. bölgede kosinüs fonksiyonu pozitif değerler aldığı için cos⁡(2x)=7/25\cos(2x) = 7/25 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
(1−sin⁡(2x)+1+sin⁡(2x))2=(85)2\left(\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sqrt{1 + \sin(2x)}\right)^2 = \left(\frac{8}{5}\right)^2
Kareköklü terimleri sadeleştirmek ve bilinen yarım açı özdeşliklerini kullanabilmek için.
2
Kare alma işlemini uygulayarak ifadeyi açalım.
(1−sin⁡(2x))+(1+sin⁡(2x))+2(1−sin⁡(2x))(1+sin⁡(2x))=6425(1 - \sin(2x)) + (1 + \sin(2x)) + 2\sqrt{(1 - \sin(2x))(1 + \sin(2x))} = \frac{64}{25}
Tam kare açılımı kuralını ((a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab) uygulamak için.
3
İfadeyi sadeleştirip temel trigonometrik özdeşliği kullanalım.
2+21−sin⁡2(2x)=6425  ⟹  2+2cos⁡2(2x)=64252 + 2\sqrt{1 - \sin^2(2x)} = \frac{64}{25} \implies 2 + 2\sqrt{\cos^2(2x)} = \frac{64}{25}
1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta özdeşliğini yerine koyarak kök içini basitleştirmek için.
4
Kareköklü ifadeyi mutlak değer dışına çıkarıp denklemi çözelim.
2+2∣cos⁡(2x)∣=6425  ⟹  2∣cos⁡(2x)∣=1425  ⟹  ∣cos⁡(2x)∣=7252 + 2|\cos(2x)| = \frac{64}{25} \implies 2|\cos(2x)| = \frac{14}{25} \implies |\cos(2x)| = \frac{7}{25}
Kök dışına çıkan çift dereceli terimlerin mutlak değer alması gerektiği kuralını uygulamak için.
5
2x2x açısının bölgesine göre işareti belirleyelim.
x∈(3π4,π)  ⟹  2x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) \implies 2x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)
Bu aralık koordinat düzleminde 4. bölgedir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan ∣cos⁡(2x)∣=cos⁡(2x)|\cos(2x)| = \cos(2x) olur. Buradan cos⁡(2x)=725\cos(2x) = \frac{7}{25} elde edilir.
Tanım kümesini kullanarak mutlak değerin işaretini belirlemek ve doğru sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri, tam kare açılımı ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi.
Soru 63Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡(3x)cos⁡x+cos⁡(3x)sin⁡x=83\frac{\sin(3x)}{\cos x} + \frac{\cos(3x)}{\sin x} = \frac{8}{3}

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1010-\frac{\sqrt{10}}{10}

Cevap

−1010-\frac{\sqrt{10}}{10}
Doğru olan değer, ifadenin payda eşitleme ve yarım açı formülleriyle sadeleştirilerek 2cot⁡(2x)=832\cot(2x) = \frac{8}{3} eşitliğinin elde edilmesi, ardından 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında cos⁡(2x)=−45\cos(2x) = -\frac{4}{5} değerinin bulunması ve son olarak yarım açı formülü yardımıyla 2. bölgede negatif olan kosinüs değeri olan −1010-\frac{\sqrt{10}}{10} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenerek tek bir kesir haline getirilir.
sin⁡(3x)sin⁡x+cos⁡(3x)cos⁡xsin⁡xcos⁡x=83\frac{\sin(3x)\sin x + \cos(3x)\cos x}{\sin x \cos x} = \frac{8}{3}
Trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek ve bilinen toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için.
2
Pay kısmındaki kosinüs fark formülü (cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b) ve payda kısmındaki sinüs yarım açı formülü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x) uygulanarak ifade sadeleştirilir.
cos⁡(3x−x)12sin⁡(2x)=2cos⁡(2x)sin⁡(2x)=2cot⁡(2x)=83\frac{\cos(3x - x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2\cot(2x) = \frac{8}{3}
İfadeyi tek bir açın��n (2x2x) trigonometrik oranı cinsinden yazmak için.
3
2cot⁡(2x)=832\cot(2x) = \frac{8}{3} eşitliğinden cot⁡(2x)=43\cot(2x) = \frac{4}{3} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı kullanılarak 2x2x açısının bölgesi belirlenir ve buna göre cos⁡(2x)\cos(2x) değeri hesaplanır.
2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan, 2x2x açısı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs ve sinüs değerleri negatiftir. Dolayısıyla, cot⁡(2x)=43\cot(2x) = \frac{4}{3} ise cos⁡(2x)=−45\cos(2x) = -\frac{4}{5} elde edilir.
2x2x açısının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik oranların işaretlerini doğru belirlemek için.
4
Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 kullanılarak cos⁡2x\cos^2 x değeri hesaplanır.
−45=2cos⁡2x−1  ⟹  2cos⁡2x=15  ⟹  cos⁡2x=110-\frac{4}{5} = 2\cos^2 x - 1 \implies 2\cos^2 x = \frac{1}{5} \implies \cos^2 x = \frac{1}{10}
2x2x açısından xx açısının kosinüs değerine geçiş yapmak için.
5
xx açısının bulunduğu aralık (x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right), 2. bölge) dikkate alınarak cos⁡x\cos x değerinin işareti belirlenir ve karekökü alınır.
2. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan cos⁡x=−110=−1010\cos x = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} bulunur.
xx açısının bulunduğu bölgeye göre nihai sonucun işaretini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 64Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2
olduğuna göre, sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

İfadenin değeri 0,8 olarak bulunur.
İstenen sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesi, (sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x şeklinde yazılıp düzenlendiğinde 1−12sin⁡2(2x)1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) ifadesine eşit olur. Diğer taraftan, cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) yarım açı formülünden yararlanarak cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2 değeri yerine yazıldığında sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4 elde edilir. Bu değer ilk eşitlikte yerine yazıldığında sonuç 1−0,2=0,81 - 0,2 = 0,8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesini, bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek amacıyla sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden ifade edin.
sin⁡4x+cos⁡4x=1−12sin⁡2(2x)\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)
sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x özdeşliğinde sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} eşitliklerini yerine yazmak için.
2
Verilen cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2 eşitliğini, cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta yarım açı formülünü kullanarak sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden açın ve çözün.
sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4
0,2=1−2sin⁡2(2x)  ⟹  2sin⁡2(2x)=0,8  ⟹  sin⁡2(2x)=0,40,2 = 1 - 2\sin^2(2x) \implies 2\sin^2(2x) = 0,8 \implies \sin^2(2x) = 0,4 elde edilerek ilk adımda ihtiyaç duyulan terimi bulmak için.
3
Elde edilen sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4 değerini, birinci adımda basitleştirdiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu hesaplayın.
0,80,8
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri ve Trigonometrik Özdeşlikler
Soru 65Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)=512\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{5}{12}

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1213-\frac{12}{13}

Cevap

Negatif on iki bölü on üç
Verilen ifade yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡x=512\tan x = \frac{5}{12} bulunur. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için kosinüsün işareti negatiftir. Karşı dik kenarı 5, komşu dik kenarı 12 olan dik üçgenden komşu/hipotenüs oranı yardımıyla cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kesirli ifadeyi yarım açı formülleri kullanarak sadeleştirin.
2sin⁡xcos⁡x1+(2cos⁡2x−1)=2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=tan⁡x=512\frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \tan x = \frac{5}{12}
Payda kısmındaki 1 sayısını sadeleştirmek için cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülü, pay kısmında ise sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülü kullanılmıştır.
2
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik değerlerin işaretlerini belirleyin.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan açımız ��çüncü bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin doğru tespit edilmesi gerekmektedir.
3
Dik üçgen yardımıyla cos⁡x\cos x değerini hesaplayın.
cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13}
tan⁡x=512\tan x = \frac{5}{12} oranına uygun çizilen dik üçgende karşı kenar 5, komşu kenar 12 ve hipotenüs 13'tür. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan sonuç eksi işaretli olmalıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik yarım açı formüllerinin uygulanması ve bölgelere göre işaret analizi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 66Soru →
θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4
olduğuna göre, cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Soruda istenen cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri 0,50,5 olarak bulunur.
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 eşitliğinden sin⁡(2θ)=1/2\sin(2\theta) = 1/2 elde edilir. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2A)=1−2sin⁡2(A)\cos(2A) = 1 - 2\sin^2(A) bağıntısında A=2θA = 2\theta alınırsa, cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(1/2)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(1/2)^2 = 0,5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 ifadesinde trigonometrik özdeşlikleri yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θ⋅cos⁡θ=4  ⟹  sin⁡θ⋅cos⁡θ=14\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = 4 \implies \sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{4}
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpım durumuna getirmek için.
2
Elde edilen çarpımı 22 ile çarparak sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅14=12\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
Açıyı iki katına çıkarıp yarım açı formülünü elde etmek için.
3
cos⁡(4θ)\cos(4\theta) ifadesini yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) cinsinden açıp değeri yerine koyun.
cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(12)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0,5
İstenen kosinüs değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yarım açı formülleri (sinüs ve kosinüs iki kat açı formülleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 67Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡x+cos⁡x=15\sin x + \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin de��eri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 247\frac{24}{7}

Cevap

yirmi dört bölü yedi
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında 1+sin⁡(2x)=1251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} elde edilir. Buradan sin⁡(2x)=−2425\sin(2x) = -\frac{24}{25} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x2x açısı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25} olur. Buradan tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=247\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{24}{7} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
E��itliğin her iki tarafının karesini alma
1+sin⁡(2x)=125  ⟹  sin⁡(2x)=−24251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}
İki kat açının sinüs değerine ulaşmak için yarım açı formülünü kullanmak amacıyla kare alma işlemi yapılır.
2
İki kat açının aralığını belirleme
2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) (3. bölge)
xx açısının tanım aralığından yararlanılarak 2x2x açısının koordinat düzlemindeki bölgesi saptanır.
3
İki kat açının kosinüs değerini bulma
cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25}
3. bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan, sin⁡2(2x)+cos⁡2(2x)=1\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 özdeşliğinden yararlanılarak negatif değer seçilir.
4
İki kat açının tanjant değerini hesaplama
tan⁡(2x)=247\tan(2x) = \frac{24}{7}
Tanjant fonksiyonunun sinüsün kosinüse oranı olduğu tanımı kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 68Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)+sin⁡x=08\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x = 0{}8
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin ondalık değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.28

Cevap

İfadenin ondalık değeri 0,28'dir.
Karekök içerisindeki tam kare ifade mutlak değer kullanılarak dışarı çıkarılır. Verilen tanım kümesinde kosinüs değeri sinüs değerinden büyük olduğu için ifade aynen çıkar ve sadeleşerek kosinüs değerini verir. Kosinüs yarım açı formülü uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
1−sin⁡(2x)1 - \sin(2x) ifadesini tam kare şeklinde yazalım.
1−sin⁡(2x)=cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)21 - \sin(2x) = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\cos x - \sin x)^2 elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemini yapabilmek için ifadenin tam kare formunu belirlemeliyiz.
2
Karekök içerisindeki ifadeyi dışarı çıkaralım ve verilen eşitliği sadeleştirelim.
x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan, (cos⁡x−sin⁡x)2=∣cos⁡x−sin⁡x∣=cos⁡x−sin⁡x\sqrt{(\cos x - \sin x)^2} = |\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x olur. Buradan, (cos⁡x−sin⁡x)+sin⁡x=cos⁡x=08(\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x = 0{}8 bulunur.
Verilen açı aralığına göre trigonometrik değerlerin büyüklük sıralamasını belirleyerek mutlak değer dışına doğru çıkarmak gerekir.
3
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülünden, cos⁡(2x)=2(08)2−1=2(064)−1=128−1=028\cos(2x) = 2(0{}8)^2 - 1 = 2(0{}64) - 1 = 1{}28 - 1 = 0{}28 bulunur.
Bulunan cos⁡x\cos x değerini yarım açı formülünde yerine yazarak istenen cos⁡(2x)\cos(2x) değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Kosinüs Yarım Açı Formülü ve Mutlak Değerli Trigonometrik İfadeler
Soru 69Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x+cot⁡x=52\tan x + \cot x = \frac{5}{2}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

Üç bölü beş
Doğru cevap olan üç bölü beş değeri, verilen aralıkta tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 değerinin seçilmesi ve bu değerin kosinüs yarım açı formülünde yerine yazılmasıyla elde edilir. 2x2x açısı birinci bölgede yer aldığından değer pozitif çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant toplamından faydalanarak tanjant değerini bulma.
tan⁡x+1tan⁡x=52⇒2tan⁡2x−5tan⁡x+2=0⇒(2tan⁡x−1)(tan⁡x−2)=0\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0 \Rightarrow (2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0 denkleminden tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} veya tan⁡x=2\tan x = 2 bulunur.
Verilen denklemde kotanjant yerine tanjant cinsinden ifadesi yazılarak tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
2
Açının aralığını kullanarak doğru tanjant kökünü seçme.
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında tan⁡x\tan x değeri 00 ile 11 arasında olmalıdır. Bu nedenle tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} seçilir.
Verilen açı aralığı üçüncü bölgenin ilk yarısı olup, bu bölgede tanjant değeri 1'den küçüktür.
3
Kosinüs yarım açı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(12)21+(12)2=1−141+14=3454=35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} bulunur.
Tanjantı bilinen bir açının iki katının kosinüs değerini doğrudan hesaplamak için kosinüs yarım açı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Tanjant değerine bağlı olarak kosinüs yarım açı formülünün uygulanması ve açı aralığına göre işaret analizi.
ÖncekiSayfa 4 / 4
Yarım Açı Formülleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin