Examkin

Yarım Açı Formülleri

69 soru

Tüm türler69Çoktan seçmeli37Sayısal32
Soru 41Soru →

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

1−sin⁡(2x)+cos⁡x=45\sqrt{1 - \sin(2x)} + \cos x = \frac{4}{5}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2425\frac{24}{25}

Cevap

sin⁡(2x)=2425\sin(2x) = \frac{24}{25}
Verilen x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olduğu için 1−sin⁡(2x)\sqrt{1 - \sin(2x)} ifadesi sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olarak dışarı çıkar. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında −cos⁡x-\cos x ile +cos⁡x+\cos x birbirini götürür ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} elde edilir. Birinci bölgede sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} ise cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5} olur. Buradan yarım açı formülüyle sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x=2⋅45⋅35=2425\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içindeki ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla tam kare şeklinde yazma
1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 özdeşliği elde edilir.
Karekök dışına çıkarabilmek için ifadenin tam kare biçimine getirilmesi gerekir.
2
İfadeyi karekök dışına çıkarma ve açı aralığına göre işaret analizi yapma
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olduğundan, (sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak çıkar.
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadeler mutlak değerli yazılmalı ve açının bulunduğu bölgedeki büyüklük ilişkisine göre mutlak değerden çıkarılmalıdır.
3
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak sin⁡x\sin x değerini bulma
(sin⁡x−cos⁡x)+cos⁡x=45  ⟹  sin⁡x=45(\sin x - \cos x) + \cos x = \frac{4}{5} \implies \sin x = \frac{4}{5} bulunur.
Denklemin sadeleşmesi sonucunda doğrudan sinüs fonksiyonunun değeri elde edilir.
4
Kosinüs değerini hesaplama ve sinüs yarım açı formülünü uygulama
Birinci bölgede cos⁡x=1−sin⁡2x=1−1625=35\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5} olur. Buradan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x=2⋅45⋅35=2425\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} elde edilir.
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerine ulaşmak için sinüsün iki kat açı formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin sadeleştirilmesi ve değer hesabı
Soru 42Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x−cot⁡x=−4\tan x - \cot x = -4
olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

0.8
Verilen denklemde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) ve payda kısmında sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} elde edilir. Buradan denklem −2cot⁡(2x)=−4-2\cot(2x) = -4 halini alır ve cot⁡(2x)=2\cot(2x) = 2 bulunur. Çarpmaya göre tersi alınarak tan⁡(2x)=0.5\tan(2x) = 0.5 değerine ulaşılır. Son adımda sin⁡(4x)=2tan⁡(2x)1+tan⁡2(2x)\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} formülü uygulandığında sonuç 0.80.8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlenir.
sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=−4\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = -4
İfadeyi yarım açı formülleriyle sadeleştirebilmek için temel trigonometrik fonksiyonlara dönüşt��rmek gerekir.
2
Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri yerlerine yazılır.
cot⁡(2x)=2\cot(2x) = 2
Elde edilen kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik oran cinsinden yazıp sadeleştirmek hedeflenir.
3
Kotanjant oranından yararlanarak tanjant oranı belirlenir.
tan⁡(2x)=0.5\tan(2x) = 0.5
Sonraki adımda sinüs iki kat açı formülünü tanjant cinsinden daha hızlı uygulayabilmek için bu değer hesaplanır.
4
Tanjant değeri bilinen 2x2x açısının iki katı olan 4x4x açısının sinüs değeri formül yardımıyla bulunur.
sin⁡(4x)=0.8\sin(4x) = 0.8
İstenen sin⁡(4x)\sin(4x) değerine doğrudan ulaşmak için yarım açı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant farkının yarım açı formülleri ile sadeleştirilmesi ve iki kat açının sinüs değerinin bulunması.
Soru 43Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)−sin⁡(x)=35\sqrt{1 - \sin(2x)} - \sin(x) = \frac{3}{5}

olduğuna g��re, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2425-\frac{24}{25}

Cevap

−2425-\frac{24}{25}
İkinci bölgedeki işaret kurallarına uyularak karekök dışına çıkarma işlemi yapıldıktan sonra elde edilen cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} değerleri yarım açı formülünde yerine yazıldığında −2425-\frac{24}{25} değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içindeki ifadenin tam kare açılımı şeklinde yazılması
1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 özdeşliği kullanılarak 1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemini doğru yapabilmek için kök içini tam kareye dönüştürürüz.
2
Açının bulunduğu bölgeye göre mutlak değer işaretinin belirlenmesi
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığı ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x farkı pozitif bir değerdir. Bu nedenle ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak dışarı çıkar.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi açının bulunduğu bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerine bağlıdır.
3
Denklemin çözülerek cos⁡x\cos x değerinin bulunması
Bulunan ifade denklemde yerine yazıldığında, (sin⁡x−cos⁡x)−sin⁡x=35⇒−cos⁡x=35⇒cos⁡x=−35(\sin x - \cos x) - \sin x = \frac{3}{5} \Rightarrow -\cos x = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos x = -\frac{3}{5} elde edilir.
Denklemdeki sinüs terimleri birbirini sadeleştirir ve kosinüsün değerine doğrudan ulaşmamızı sağlar.
4
sin⁡x\sin x değerinin hesaplanması
xx açısı ikinci bölgede olduğundan sin⁡x>0\sin x > 0 olmalıdır. sin⁡x=1−cos⁡2x=1−(−35)2=1625=45\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} bulunur.
Sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamının 11 olması kuralı kullanılarak sinüs değeri elde edilir.
5
sin⁡(2x)\sin(2x) yarım açı formülünün uygulanması
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x formülünde elde edilen değerler yerine konulursa, sin⁡(2x)=2⋅45⋅(−35)=−2425\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} sonucuna ulaşılır.
Yarım açı formülü yardımıyla iki kat açının sinüs değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki bir açının trigonometrik değerlerini kullanarak yarım açı formülleriyle sin(2x) değerinin bulunması

Alternatif Yöntem

cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} değerleri bulunduktan sonra sin⁡x−cos⁡x=75\sin x - \cos x = \frac{7}{5} olduğu görülür. Bu ifadenin her iki tarafının karesi alındığında sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=4925⇒1−sin⁡(2x)=4925\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{49}{25} \Rightarrow 1 - \sin(2x) = \frac{49}{25} olur. Buradan sin⁡(2x)=1−4925=−2425\sin(2x) = 1 - \frac{49}{25} = -\frac{24}{25} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 44Soru →
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
x2−(tan⁡θ−cot⁡θ)x−1=0x^2 - (\tan\theta - \cot\theta)x - 1 = 0

denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir.

x12+x22=6x_1^2 + x_2^2 = 6
olduğuna göre, cos⁡(θ+π8)\cos\left(\theta + \frac{\pi}{8}\right) ifadesinin de��eri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −22-\frac{\sqrt{2}}{2}

Cevap

İstenen ifadenin doğru değeri negatif kök iki bölü iki olup, ikinci bölgedeki kosinüs değerinin negatif olmasından kaynaklanır.
Köklerin kareleri toplamı özdeşliği ve kök-katsayı bağıntıları kullanılarak (tan⁡θ−cot⁡θ)2=4(\tan\theta - \cot\theta)^2 = 4 bulunur. θ\theta açısının verilen aralığında tan⁡θ<cot⁡θ\tan\theta < \cot\theta olduğundan farkları −2-2 olmalıdır. tan⁡θ−cot⁡θ=−2cot⁡(2θ)\tan\theta - \cot\theta = -2\cot(2\theta) yarım açı özdeşliğiyle cot⁡(2θ)=1\cot(2\theta) = 1 elde edilir. 2θ∈(π,3π/2)2\theta \in (\pi, 3\pi/2) olduğundan 2θ=5π/42\theta = 5\pi/4 ve θ=5π/8\theta = 5\pi/8 bulunur. Buradan istenen ifade cos⁡(3π/4)=−2/2\cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kök-katsayı (Vieta) bağıntılarını yazma
x1+x2=tan⁡θ−cot⁡θx_1 + x_2 = \tan\theta - \cot\theta ve x1x2=−1x_1 x_2 = -1
İkinci dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için
2
Köklerin kareleri toplamı bilgisini kullanma
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2  ⟹  6=(tan⁡θ−cot⁡θ)2−2(−1)  ⟹  (tan⁡θ−cot⁡θ)2=4x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \implies 6 = (\tan\theta - \cot\theta)^2 - 2(-1) \implies (\tan\theta - \cot\theta)^2 = 4
Verilen köklerin kareleri toplamı değerini denklem katsayıları cinsinden ifade etmek için
3
Açının bulunduğu bölgeye göre işaret analizi yapma
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında tan⁡θ<−1\tan\theta < -1 ve −1<cot⁡θ<0-1 < \cot\theta < 0 olduğundan, tan⁡θ<cot⁡θ  ⟹  tan⁡θ−cot⁡θ<0\tan\theta < \cot\theta \implies \tan\theta - \cot\theta < 0 olur. Buradan tan⁡θ−cot⁡θ=−2\tan\theta - \cot\theta = -2 elde edilir.
Karesi 4 olan ifadenin pozitif veya negatif değerlerinden hangisine eşit olduğunu belirlemek için
4
Yarım açı özdeşliğini kullanma
tan⁡θ−cot⁡θ=sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θsin⁡θ=sin⁡2θ−cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ=−cos⁡(2θ)12sin⁡(2θ)=−2cot⁡(2θ)\tan\theta - \cot\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{-\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = -2\cot(2\theta)

−2cot⁡(2θ)=−2  ⟹  cot⁡(2θ)=1-2\cot(2\theta) = -2 \implies \cot(2\theta) = 1
İfadeyi yarım açı formülleriyle basitleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için
5
Açının değerini bulma
θ∈(π2,3π4)  ⟹  2θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies 2\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığındadır. Bu bölgede cot⁡(2θ)=1\cot(2\theta) = 1 denklemini sağlayan açı 2θ=5π4  ⟹  θ=5π82\theta = \frac{5\pi}{4} \implies \theta = \frac{5\pi}{8} olur.
Sınırlandırılmış tanım kümesine uygun olan kökü bulmak için
6
İstenen ifadeyi hesaplama
cos⁡(θ+π8)=cos⁡(5π8+π8)=cos⁡(3π4)=−22\cos\left(\theta + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Bulunan θ\theta açısını yerine yazarak hedef trigonometrik değeri bulmak için

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde toplam-fark ve yarım açı (iki kat açı) formüllerinin uygun bölgelerdeki işaret kurallarına dikkat edilerek uygulanması.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki tan⁡θ−cot⁡θ\tan\theta - \cot\theta ifadesini doğrudan sin⁡θ\sin\theta ve cos⁡θ\cos\theta cinsinden yazıp payda eşitleyerek −2cot⁡(2θ)-2\cot(2\theta) değerine ulaşmak, doğrudan yarım açı formüllerini hatırlamakta zorlanan öğrenciler için alternatif bir çözüm yoludur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 45Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)sin⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)=4\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} + \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = 4
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −35-\frac{3}{5}

Cevap

Eksi üç bölü beş
Verilen denklem yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde iki tanjant x eşittir dört, buradan da tanjant x eşittir iki elde edilir. Tanjant değeri iki olan bir açı için kosinüs iki x değeri yarım açı formülüyle hesaplandığında eksi üç bölü beş bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formüllerini kullanarak rasyonel ifadelerin pay ve payda kısımlarını sadeleştirmek
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x, 1+cos⁡(2x)=2cos⁡2x1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yazarak denklem 2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x+2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=4\frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = 4 hâline getirilir.
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon türünden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen rasyonel ifadeleri sadeleştirip tan⁡x\tan x değerini bulmak
sin⁡xcos⁡x+sin⁡xcos⁡x=4⇒2tan⁡x=4⇒tan⁡x=2\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 4 \Rightarrow 2\tan x = 4 \Rightarrow \tan x = 2 olarak bulunur.
Açının trigonometrik oranlarından birini belirleyerek diğer yarım açı değerlerine geçiş yapabilmek.
3
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplamak
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−221+22=−35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = -\frac{3}{5} bulunur.
Tanjant değeri bilinen bir açının iki katının kosinüs değerini doğrudan hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

Tanjant x değeri iki bulunduktan sonra, dik kenarları iki ve bir olan bir dik üçgen çizilerek hipotenüs kök beş bulunur. Açının üçüncü bölgede olduğu göz önüne alınarak sinüs x eşittir eksi iki bölü kök beş, kosinüs x eşittir eksi bir bölü kök beş olarak belirlenir. Kosinüs iki x eşittir iki kosinüs kare x eksi bir formülünden de sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 46Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x+cos⁡x=52\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.875

Cevap

Doğru cevap 0.8750.875 (veya 78\frac{7}{8}) olarak bulunur.
Verilen ifadenin her iki tarafının karesi alındığında 1+sin⁡(2x)=1.251 + \sin(2x) = 1.25 eşitliğinden sin⁡(2x)=0.25\sin(2x) = 0.25 elde edilir. Bu değer, cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç olan 0.8750.875 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alınız.
(sin⁡x+cos⁡x)2=(52)2  ⟹  sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=54(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \implies \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{5}{4}
İfadedeki sinüs ve kosinüs toplamını yarım açı formüllerine dönüştürmek için her iki tarafın karesi alınır.
2
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \sin(2x) yarım açı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyiniz.
1+sin⁡(2x)=54  ⟹  sin⁡(2x)=141 + \sin(2x) = \frac{5}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{4}
Elde edilen ifadedeki temel trigonometrik bileşenler sadeleştirilerek sin⁡(2x)\sin(2x) yalnız bırakılır.
3
cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) cinsinden yazınız ve değeri hesaplayınız.
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)=1−2(14)2=1−216=78=0.875\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = \frac{7}{8} = 0.875
Kosinüsün yarım açı formülü cos⁡(2a)=1−2sin⁡2(a)\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) bağıntısı a=2xa = 2x için uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerinin cebirsel ifadelerin çözümünde kullanılması.

Alternatif Yöntem

sin⁡(2x)=14\sin(2x) = \frac{1}{4} değeri bulunduktan sonra, 2x2x açısına ait dik üçgen çizilerek komşu kenar 15\sqrt{15} birim bulunur. Buradan cos⁡(2x)=154\cos(2x) = \frac{\sqrt{15}}{4} elde edilir. cos⁡(4x)=cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)\cos(4x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x) yarım açı formülü kullanılarak cos⁡(4x)=1516−116=1416=78=0.875\cos(4x) = \frac{15}{16} - \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} = 0.875 olarak hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 47Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x+cot⁡x=52\tan x + \cot x = \frac{5}{2}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

İfadenin doğru değeri 3/5'tir.
Doğru yanıt olan 3/5 değeri, verilen tanım aralığında tanjant değerinin 1/2 olduğunu belirledikten sonra yarım açı formülünün doğru şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edelim.
tan⁡x+1tan⁡x=52  ⟹  tan⁡2x+1tan⁡x=52  ⟹  2tan⁡2x−5tan⁡x+2=0\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies \frac{\tan^2 x + 1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Tanjant değerini bulmak için denklemde cot(x) yerine 1/tan(x) yazılarak ikinci dereceden bir denklem elde edilmiştir.
2
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayıralım ve tanım aralığına uygun olan tanjant değerini belirleyelim.
(2tan⁡x−1)(tan⁡x−2)=0  ⟹  tan⁡x=12 veya tan⁡x=2(2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0 \implies \tan x = \frac{1}{2} \text{ veya } \tan x = 2 bulunur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olduğundan, uygun değer tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} olarak seçilir.
Açının bulunduğu bölge, tanjant fonksiyonunun alabileceği değer aralığını belirler.
3
Tanjant değeri yardımıyla kosinüs yarım açı formülünü uygulayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(12)21+(12)2=1−141+14=3454=35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} elde edilir.
Kosinüsün yarım açı değeri, tanjant cinsinden yazılan özdeşlik kullanılarak doğrudan hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Tanjant yardımıyla kosinüs yarım açı değerlerinin hesaplanması
Soru 48Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)+cos⁡(2x)1+sin⁡(2x)−cos⁡(2x)=−2\frac{1 + \sin(2x) + \cos(2x)}{1 + \sin(2x) - \cos(2x)} = -2
olduğuna göre, cot⁡(x2)\cot\left(\frac{x}{2}\right) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5−2\sqrt{5} - 2

Cevap

5−2\sqrt{5} - 2
Verilen ifade sadeleştirildiğinde cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 elde edilir. İkinci bölgede cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 ve sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 olduğu dikkate alınarak değerler cos⁡(x)=−25\cos(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}} ve sin⁡(x)=15\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} olarak bulunur. Buradan cot⁡(x2)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} yarım açı formülüyle 5−2\sqrt{5} - 2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formüllerini kullanacak şekilde gruplandıralım.
1+cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) ve 1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x) özdeşliklerini ve sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) yarım açı formülünü yerlerine yazalım.
İfadeyi sadeleştirmek ve cot⁡(x)\cot(x) cinsinden yazmak için.
2
Elde edilen ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirelim.
2cos⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)=2cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))2sin⁡(x)(sin⁡(x)+cos⁡(x))=cot⁡(x)\frac{2\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)}{2\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)} = \frac{2\cos(x)(\cos(x) + \sin(x))}{2\sin(x)(\sin(x) + \cos(x))} = \cot(x) elde edilir. Buradan cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 bulunur.
Sadeleşen ortak çarpanı sadeleştirerek bilinmeyenin değerini bulmak için.
3
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığını kullanarak sin⁡(x)\sin(x) ve cos⁡(x)\cos(x) değerlerini belirleyelim.
Bu aralık ikinci bölgede yer aldığından cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 ve sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 olur. cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 olduğundan komşu dik kenar 22, karşı dik kenar 11 ve hipotenüs 5\sqrt{5} birim alınarak cos⁡(x)=−25\cos(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}} ve sin⁡(x)=15\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} bulunur.
Yarım açı formülünde kullanılacak değerlerin işaretlerini ve büyüklüklerini doğru belirlemek için.
4
cot⁡(x2)\cot\left(\frac{x}{2}\right) değerini yarım açı formülüyle hesaplayalım.
cot⁡(x2)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)=1−2515=5−2\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt{5} - 2 olarak bulunur.
Yarım açıdan tam açıya geçiş formülünü uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme ve açı değerlerini yarım açı cinsinden hesaplama.
Soru 49Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=34\frac{\sin(4x) - \sin(2x)}{\cos(4x) - \cos(2x) + 1} = \frac{3}{4}

olduğuna göre, cot⁡x\cot x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Buradan yarım açı formülü yardımıyla tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} ve dolayısıyla cot⁡x=3\cot x = 3 bulunur.
Verilen ifade trigonometrik yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. tan⁡(2x)\tan(2x) yarım açı formülüyle açılıp çözüldüğünde tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} bulunur. Buradan cot⁡x=3\cot x = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi yarım açı formülü kullanarak ortak paranteze alma.
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)=sin⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\sin(4x) - \sin(2x) = \sin(2x)(2\cos(2x) - 1)
Sadeleştirme yapabilmek için terimleri çarpanlarına ayırmak gerekir.
2
Payda kısmındaki cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini cos⁡(2x)\cos(2x) cinsinden yazarak düzenleme.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=cos⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\cos(4x) - \cos(2x) + 1 = \cos(2x)(2\cos(2x) - 1)
Pay ile benzer terimler oluşturarak sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
3
İfadeyi sadeleştirme ve tan⁡(2x)\tan(2x) değerini belirleme.
tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4}
x∈(0,π/8)x \in (0, \pi/8) aralığında 2cos⁡(2x)−1≠02\cos(2x) - 1 \neq 0 olduğu için sadeleştirme geçerlidir.
4
tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin yarım açı formülünü kullanarak tan⁡x\tan x değerini bulma.
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=34\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{3}{4} denkleminden pozitif kök seçilir.
5
tan⁡x\tan x değerinden yararlanarak cot⁡x\cot x değerini hesaplama.
cot⁡x=3\cot x = 3
cot⁡x=1tan⁡x\cot x = \frac{1}{\tan x} özdeşliği kullanılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 50Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡4x−cos⁡4xtan⁡x−cot⁡x=38\frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\tan x - \cot x} = \frac{3}{8}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) olup, verilen eşitlikten sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifadenin pay ve paydası yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) ifadesi elde edilir. Bu ifade 38\frac{3}{8} değerine eşitlendiğinde sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak sadeleştirin.
sin⁡4x−cos⁡4x=−cos⁡(2x)\sin^4 x - \cos^4 x = -\cos(2x)
sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) olup sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazıp paydalarını eşitleyerek yarım açı formülleriyle sadeleştirin.
tan⁡x−cot⁡x=−2cos⁡(2x)sin⁡(2x)\tan x - \cot x = \frac{-2\cos(2x)}{\sin(2x)}
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} olup, pay için yarım açıdan −cos⁡(2x)-\cos(2x), payda için ise 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) yazılmıştır.
3
Pay ve payda ifadelerini oranlayarak denklemi çözün.
sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75
−cos⁡(2x)−cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=12sin⁡(2x)=38  ⟹  sin⁡(2x)=34=0.75\frac{-\cos(2x)}{\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)}} = \frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{3}{8} \implies \sin(2x) = \frac{3}{4} = 0.75 elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometride iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme ve sinüs ile kosinüsün yarım açı formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Payda kısmında tan⁡x−cot⁡x=−2cot⁡(2x)\tan x - \cot x = -2\cot(2x) özdeşliği doğrudan kullanılabilir. Bu özdeşlik cot⁡(2x)=cot⁡2x−12cot⁡x\cot(2x) = \frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} formülünün ters çevrilip eksi ile çarpılmış halidir. Bu sayede payda doğrudan −2cot⁡(2x)-2\cot(2x) olarak yazılıp sadeleştirme daha hızlı yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 51Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
sin⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=24\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

İfade sadeleştirilip yarım açı formülleri uygulandığında aranan değer 1/2 olarak bulunur.
İki kare farkı özdeşliği yardımıyla verilen denklem düzenlendiğinde 22sin⁡(2x)=24\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{4} elde edilir ve buradan sin⁡(2x)=12\sin(2x) = \frac{1}{2} bulunur. Kosinüsün yarım açı formülü olan cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) uygulandığında aranan sonuç 1/2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki ifadeye iki kare farkı özdeşliğini ve sinüs toplam-fark formüllerini uygulayalım.
sin⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=sin⁡(2x)sin⁡(π4)=22sin⁡(2x)\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \sin(2x) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)
İki kare farkı açılımı ile terimlerin toplamı ve farkı çarpılarak ifade sadeleştirilir.
2
Sadeleşen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitleyerek sin⁡(2x)\sin(2x) değerini çekelim.
22sin⁡(2x)=24  ⟹  sin⁡(2x)=12\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}
Kosinüs çift kat açı formülüne geçiş yapabilmek için sinüs değeri bulunur.
3
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini hesaplayalım.
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)=1−2(12)2=12\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}
cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta özdeşliği yardımıyla doğrudan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

Terimlerin kareleri toplam-fark formülleri ile ayrı ayrı açılıp farkları alındıktan sonra da sadeleştirme yapılarak çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 52Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=3210\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{3\sqrt{2}}{10}
olduğuna göre, 25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} ve sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} değerleri kullanılarak, yarım açı formülü yardımıyla 25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) ifadesinin değeri 24 olarak bulunur.
Verilen ifade iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde cos⁡(2x)⋅cos⁡(π/4)=32/10\cos(2x) \cdot \cos(\pi/4) = 3\sqrt{2}/10 denklemi elde edilir. Buradan cos⁡(2x)=3/5\cos(2x) = 3/5 bulunur. Tanımlanan bölgede sin⁡(2x)=4/5\sin(2x) = 4/5 olup, yarım açı formülüyle sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=24/25\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 24/25 bulunur. Sonuç olarak 25⋅sin⁡(4x)=2425 \cdot \sin(4x) = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi iki kare farkı ve toplam-fark özdeşlikleri kullanarak sadeleştirmek
cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
İfadedeki terimlerin açılımını yaparak cos⁡(2x)\cos(2x) değerine ulaşmak
2
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplamak
sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5}
Yarım açı formülünde kullanılacak olan sinüs değerini elde etmek
3
Sinüs yarım açı formülünü uygulayarak sin⁡(4x)\sin(4x) değerini hesaplamak
sin⁡(4x)=2425\sin(4x) = \frac{24}{25}
İstenen ifadenin çarpanı olan sin⁡(4x)\sin(4x) değerini bulmak
4
25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) işlemini gerçekleştirmek
24
Soruda sorulan nihai sayısal değere ulaşmak

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerinin trigonometrik sadeleştirmelerde ve değer hesaplamalarında uygulanması

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak, cos⁡(π8+x)\cos\left(\frac{\pi}{8} + x\right) ve sin⁡(π8−x)\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right) ifadeleri toplam-fark formülleriyle açılarak kareleri alınabilir. Kareler alındığında çapraz çarpım terimleri birbirini götürür ve geriye (cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2π8−sin⁡2π8)=cos⁡(2x)cos⁡π4(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}) = \cos(2x)\cos\frac{\pi}{4} kalır. Buradan da aynı şekilde çözüme ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 53Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1+cos⁡(2x)+cos⁡xsin⁡(2x)+sin⁡x=−43\frac{1 + \cos(2x) + \cos x}{\sin(2x) + \sin x} = -\frac{4}{3}
olduğuna göre,
cos⁡2(x4)−sin⁡2(x4)\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010\frac{\sqrt{10}}{10}

Cevap

1010\frac{\sqrt{10}}{10}
Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde cot⁡x=−43\cot x = -\frac{4}{3} elde edilir. xx açısı ikinci bölgede olduğundan cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur. Sorulan ifade yarım açı formülüyle cos⁡(x/2)\cos(x/2) değerine eşittir. Yarım açı formülüyle cos⁡(x/2)=1+cos⁡x2=1010\cos(x/2) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10} hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapınız.
cos⁡x(2cos⁡x+1)sin⁡x(2cos⁡x+1)=cot⁡x=−43\frac{\cos x(2\cos x + 1)}{\sin x(2\cos x + 1)} = \cot x = -\frac{4}{3}
Payda bulunan cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 2cos⁡2x−12\cos^2 x - 1 ve paydada bulunan sin⁡(2x)\sin(2x) yerine 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x yazılarak ortak paranteze alınır ve sadeleştirilir.
2
xx açısının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak cos⁡x\cos x değerini hesaplayınız.
cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5}
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığı ikinci bölgeye denk gelir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs ise pozitiftir. cot⁡x=−43\cot x = -\frac{4}{3} olduğundan, dik üçgen bağıntıları yardımıyla cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} bulunur.
3
Sorulan ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla sadeleştiriniz.
cos⁡2(x4)−sin⁡2(x4)=cos⁡(x2)\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)
cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta özdeşliğinde θ=x4\theta = \frac{x}{4} yazıldığında sorulan ifadenin cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) değerine eşit olduğu görülür.
4
cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) değerini yarım açı formülüyle hesaplayınız.
cos⁡(x2)=1010\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{10}}{10}
cos⁡2(x2)=1+cos⁡x2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2} formülünde cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} yazılırsa cos⁡2(x2)=110\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{10} elde edilir. x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olduğundan x2∈(π4,π2)\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur (birinci bölge). Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡(x2)=110=1010\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} bulunur.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 54Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cot⁡x−tan⁡x=32\cot x - \tan x = \frac{3}{2}
olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.96

Cevap

0,96
Verilen cot⁡x−tan⁡x=32\cot x - \tan x = \frac{3}{2} ifadesi payda eşitleme ve yarım açı dönüşümleriyle 2cot⁡(2x)=322\cot(2x) = \frac{3}{2} biçimine getirilir. Buradan cot⁡(2x)=34\cot(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Tanımlanan bölgeye göre 2x2x açısı birinci bölgededir. Birinci bölgedeki bu açıya ait dik üçgen çizildiğinde sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} bulunur. Son olarak sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) yarım açı formülü uygulandığında sin⁡(4x)=2⋅45⋅35=0,96\sin(4x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0,96 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
cot⁡x−tan⁡x\cot x - \tan x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak payda eşitleyin.
cot⁡x−tan⁡x=2cot⁡(2x)=32\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = \frac{3}{2}
cot⁡x−tan⁡x=cos⁡xsin⁡x−sin⁡xcos⁡x=cos⁡2x−sin⁡2xsin⁡xcos⁡x=cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=2cot⁡(2x)\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\cot(2x) özdeşliği geçerlidir.
2
Eşitlikten cot⁡(2x)\cot(2x) değerini yalnız bırakın.
cot⁡(2x)=34\cot(2x) = \frac{3}{4}
2cot⁡(2x)=322\cot(2x) = \frac{3}{2} eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.
3
2x2x açısının aralığını ve bu bölgedeki trigonometrik fonksiyon değerlerini bulun.
sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olduğundan 2x∈(0,π2)2x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olur. Birinci bölgede tüm trigonometrik oranlar pozitiftir. Kotanjantı 34\frac{3}{4} olan bir dik üçgende karşı kenar 4, komşu kenar 3 ve hipotenüs 5 birimdir.
4
sin⁡(4x)\sin(4x) değerini yarım açı formülüyle hesaplayın.
sin⁡(4x)=0,96\sin(4x) = 0,96
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=2⋅45⋅35=2425=0,96\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} = 0,96 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

sin⁡(4x)\sin(4x) değerini, tan⁡(2x)=43\tan(2x) = \frac{4}{3} değerini bulduktan sonra doğrudan sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} formülünü kullanarak da hesaplayabiliriz. Bu durumda sin⁡(4x)=2tan⁡(2x)1+tan⁡2(2x)=2⋅431+169=83259=2425=0,96\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{25}{9}} = \frac{24}{25} = 0,96 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 55Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)sin⁡x+cos⁡x=13\frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 89\frac{8}{9}

Cevap

89\frac{8}{9}
Doğru cevap olan sekiz bölü dokuz ifadesi, verilen kesirli ifadede kosinüs yarım açı formülü uygulanıp paydadaki ifadeyle sadeleştirildikten sonra elde edilen fark denkleminin karesi alınarak bulunur. Kare alma işlemi sonucunda temel trigonometrik özdeşlikler ve sinüs yarım açı formülü kullanılarak istenen değer tam olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay k��smında bulunan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesine yarım açı formülü uygulanarak iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) elde edilir.
Paydadaki sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x terimi ile sadeleştirme yapabilmek için bu açılım gereklidir.
2
Elde edilen çarpanlar kesirli ifadede yerine yazılır ve sadeleştirme işlemi gerçekleştirilir.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)sin⁡x+cos⁡x=13  ⟹  cos⁡x−sin⁡x=13\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{3} \implies \cos x - \sin x = \frac{1}{3} elde edilir.
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x + \cos x \neq 0 olduğundan sadeleştirme güvenle yapılabilir.
3
Sadeleşmiş olan cos⁡x−sin⁡x=13\cos x - \sin x = \frac{1}{3} denkleminin her iki tarafının karesi alınır.
(cos⁡x−sin⁡x)2=(13)2  ⟹  cos⁡2x+sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=19(\cos x - \sin x)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \implies \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x\cos x = \frac{1}{9} bulunur.
Yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) ifadesine ulaşmak için kare alma işlemi uygulanır.
4
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 özdeşliği ve yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
1−sin⁡(2x)=19  ⟹  sin⁡(2x)=1−19=891 - \sin(2x) = \frac{1}{9} \implies \sin(2x) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} elde edilir.
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakarak nihai sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülünün çarpanlara ayırma prensipleriyle birleştirilmesi ve sinüs yarım açı formülünün elde edilmesi.

Alternatif Yöntem

Verilen denklemde sadeleştirme yapıldıktan sonra cos⁡x−sin⁡x=13\cos x - \sin x = \frac{1}{3} eşitliği elde edilir. Bu adımdan sonra her iki taraf cos⁡x\cos x ifadesine bölünerek tan⁡x\tan x cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edilip tan⁡x\tan x değeri bulunabilir. Bulunan tan⁡x\tan x değeri yardımıyla dik üçgen çizilerek veya sin⁡(2x)=2tan⁡x1+tan⁡2x\sin(2x) = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x} formülü kullanılarak da sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 56Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=163\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{16}{3}
olduğuna göre, tan⁡2x−cos⁡(2x)\tan^2 x - \cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

Yedi bölü iki
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenip yarım açı formülleriyle düzenlendiğinde sinüs karesinin değeri elde edilir. Açının sınırları dikkate alınarak kosinüs ve tanjant değerleri doğru işaretlerle bulunur ve ifadede yerine yazılarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki rasyonel ifade payda eşitleme yapılarak sadeleştirilir ve yarım açı formülü uygulanır.
1sin⁡2x+1cos⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2xcos⁡2x=1sin⁡2xcos⁡2x=4sin⁡2(2x)\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{4}{\sin^2(2x)} ifadesi elde edilir.
İfadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ifade verilen değere eşitlenerek sinüs ve kosinüs değerleri belirlenir.
4sin⁡2(2x)=163  ⟹  sin⁡2(2x)=34\frac{4}{\sin^2(2x)} = \frac{16}{3} \implies \sin^2(2x) = \frac{3}{4} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olur (3. bölge). 3. bölgede sinüs ve kosinüs negatif olduğundan sin⁡(2x)=−32\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(2x)=−12\cos(2x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tespit etmek.
3
Tanjant yarım açı formülü kullanılarak tanjant değeri hesaplanır.
tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \sqrt{3} olur. Yarım açı formülünden 2tan⁡x1−tan⁡2x=3\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \sqrt{3} elde edilir. Buradan 3tan⁡2x+2tan⁡x−3=0  ⟹  (3tan⁡x−1)(tan⁡x+3)=0\sqrt{3}\tan^2 x + 2\tan x - \sqrt{3} = 0 \implies (\sqrt{3}\tan x - 1)(\tan x + \sqrt{3}) = 0 denkleminden tan⁡x=−3\tan x = -\sqrt{3} seçilir.
Açının 2. bölgede olması nedeniyle tanjant değerinin negatif olması gerekir.
4
Bulunan değerler soruda istenen ifadede yerine yazılır.
tan⁡2x−cos⁡(2x)=(−3)2−(−12)=3+12=72\tan^2 x - \cos(2x) = (-\sqrt{3})^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} olarak bulunur.
Nihai sonucu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri ve Bölgelere Göre Trigonometrik Değerlerin İşaretleri

Alternatif Yöntem

Tanjant yarım açı formülünü cebirsel olarak çözmek yerine, dik üçgen çizilerek 2x açısı yerleştirilir ve hipotenüs kadar uzatılan kenarla x açısına geometrik geçiş yapılarak tanjant değeri bulunabilir. Bölge işareti en son elle eklenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 57Soru →
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2θ)+1+sin⁡(2θ)=85\sqrt{1 - \sin(2\theta)} + \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{8}{5}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve yarım açı formüllerinin uygulanmasıyla elde edilen sonuç 24'tür.
Verilen denklemde kareköklü ifadeler tam kare açılımları şeklinde düzenlenip mutlak değer dışına çıkarıldığında, sin⁡θ−cos⁡θ−sin⁡θ−cos⁡θ=−2cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta - \sin\theta - \cos\theta = -2\cos\theta elde edilir. Buradan cos⁡θ=−4/5\cos\theta = -4/5 bulunur. Üçüncü bölgede sinüs değeri negatif olacağından sin⁡θ=−3/5\sin\theta = -3/5 olarak belirlenir. Yarım açı formülünden sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=24/25\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 24/25 olur. Bu değer 25 ile çarpıldığında 24 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklerin içerisindeki ifadeleri tam kare formunda yazıp karekökten mutlak değerli olarak çıkarın.
1−sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ−cos⁡θ∣\sqrt{1 - \sin(2\theta)} = |\sin\theta - \cos\theta| ve 1+sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ+cos⁡θ∣\sqrt{1 + \sin(2\theta)} = |\sin\theta + \cos\theta|
1=sin⁡2θ+cos⁡2θ1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta özdeşliği ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta yarım aç�� açılımı kullanıldığında kök içleri sırasıyla (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 ve (sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 olur.
2
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre trigonometrik değerlerin işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini analiz ederek mutlak değerleri sadeleştirin.
∣sin⁡θ−cos⁡θ∣=sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta - \cos\theta| = \sin\theta - \cos\theta ve ∣sin⁡θ+cos⁡θ∣=−sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta + \cos\theta| = -\sin\theta - \cos\theta
Üçüncü bölgede sin⁡θ<0\sin\theta < 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olup, belirtilen alt aralıkta cos⁡θ<sin⁡θ\cos\theta < \sin\theta gerçekleşir. Bu nedenle sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<0\sin\theta + \cos\theta < 0 olur.
3
Mutlak değerden çıkarılan ifadeleri toplayarak denklemi çözün ve cos⁡θ\cos\theta değerini bulun.
(sin⁡θ−cos⁡θ)+(−sin⁡θ−cos⁡θ)=85  ⟹  −2cos⁡θ=85  ⟹  cos⁡θ=−45(\sin\theta - \cos\theta) + (-\sin\theta - \cos\theta) = \frac{8}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{8}{5} \implies \cos\theta = -\frac{4}{5}
Sol taraf toplandığında sinüs terimleri sadeleşir ve sadece kosinüs terimi kalır.
4
cos⁡θ\cos\theta yardımıyla sin⁡θ\sin\theta değerini belirleyin ve yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerini hesaplayın.
sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅(−35)⋅(−45)=2425\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğinden ve açının üçüncü bölgede olmasından dolayı sinüs değeri negatif seçilir. Ardından yarım açı formülü uygulanır.
5
İstenen 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değerini hesaplayın.
25⋅2425=2425 \cdot \frac{24}{25} = 24
Hesaplanan yarım açı değeri 25 katsayısı ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.
Soru 58Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)sin⁡(2x)=3\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = 3
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Sadeleştirme adımları ve yarım açı formülü uygulandığında doğru cevap -0.8 olarak bulunur.
İfadenin payındaki 1−cos⁡(2x)1 - \cos(2x) terimi 2sin⁡2x2\sin^2 x şeklinde, paydasındaki sin⁡(2x)\sin(2x) terimi ise 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x şeklinde yazıldığında oran tan⁡x=3\tan x = 3 olarak sadeleşir. xx açısının üçüncü bölgede olmasıyla uyumlu olarak tan⁡x\tan x pozitiftir. Bu açı değerine göre cos⁡2x=0.1\cos^2 x = 0.1 ve sin⁡2x=0.9\sin^2 x = 0.9 bulunur. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x ifadesinden aranan değer −0.8-0.8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeyi yarım açı özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.
tan⁡x=3\tan x = 3
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülleri yerine yazıldığında pay 2sin⁡2x2\sin^2 x ve payda 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x olur. Oranlandığında tan⁡x=3\tan x = 3 elde edilir.
2
Dik üçgen bağıntısı ve bölge analizini kullanarak trigonometrik değerlerin karelerini belirleyin.
sin⁡2x=0.9\sin^2 x = 0.9 ve cos⁡2x=0.1\cos^2 x = 0.1
tan⁡x=3\tan x = 3 bağıntısına uygun dik üçgende hipotenüs 12+32=10\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} olur. Buradan sin⁡2x=(310)2=910\sin^2 x = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} ve cos⁡2x=(110)2=110\cos^2 x = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} bulunur.
3
Kosinüs yarım açı formülüyle cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın.
cos⁡(2x)=−0.8\cos(2x) = -0.8
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünden 110−910=−0.8\frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -0.8 elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonları için yarım açı formüllerinin uygulanması ve sadeleştirme.
Soru 59Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
1sin⁡(2x)−1cos⁡(2x)=22\frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{\cos(2x)} = 2\sqrt{2}
olduğuna göre, cos⁡(8x)\cos(8x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Doğru cevap 0.5 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenerek düzenlendiğinde cos(2x) - sin(2x) = sqrt(2) * sin(4x) eşitliği elde edilir. Bu denklemin her iki tarafının karesi alındığında sin(4x) değişkenine bağlı 2sin^2(4x) + sin(4x) - 1 = 0 ikinci dereceden denklemi kurulur. Verilen x aralığına göre 4x açısı birinci bölgede olduğundan sin(4x) değeri pozitif olmalıdır ve 0.5 olarak bulunur. cos(8x) ifadesi yarım açı formülüyle 1 - 2sin^2(4x) şeklinde açıldığında doğru değer 0.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadede paydaları eşitleyerek denklemi düzenleyelim.
cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=22sin⁡(2x)cos⁡(2x)\cos(2x) - \sin(2x) = 2\sqrt{2}\sin(2x)\cos(2x) ve sağ tarafta yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=2sin⁡(4x)\cos(2x) - \sin(2x) = \sqrt{2}\sin(4x) elde edilir.
İfadeleri tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazabilmek ve yarım açı formüllerinden yararlanmak amacıyla payda eşitlenir.
2
Elde edilen denklemin her iki tarafının karesini alalım.
(cos⁡(2x)−sin⁡(2x))2=(2sin⁡(4x))2  ⟹  1−2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=2sin⁡2(4x)  ⟹  1−sin⁡(4x)=2sin⁡2(4x)(\cos(2x) - \sin(2x))^2 = (\sqrt{2}\sin(4x))^2 \implies 1 - 2\sin(2x)\cos(2x) = 2\sin^2(4x) \implies 1 - \sin(4x) = 2\sin^2(4x)
cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 özdeşliğini ve sinüs yarım açı formülünü kullanarak denklemi ikinci dereceden tek değişkenli bir denkleme dönü��türmek için.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözelim.
2sin⁡2(4x)+sin⁡(4x)−1=0  ⟹  (2sin⁡(4x)−1)(sin⁡(4x)+1)=02\sin^2(4x) + \sin(4x) - 1 = 0 \implies (2\sin(4x) - 1)(\sin(4x) + 1) = 0 buradan sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2} veya sin⁡(4x)=−1\sin(4x) = -1 elde edilir.
Sinüs fonksiyonunun alabileceği olası değerleri belirlemek için.
4
Açının tanım aralığına göre uygun kökü seçip yarım açı formülüyle cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplayalım.
x∈(0,π8)  ⟹  4x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) \implies 4x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan sin⁡(4x)>0\sin(4x) > 0 olmalıdır. Bu yüzden sin⁡(4x)=0.5\sin(4x) = 0.5 alınır. Kosinüs yarım açı formülünden cos⁡(8x)=1−2sin⁡2(4x)=1−2(0.25)=0.5\cos(8x) = 1 - 2\sin^2(4x) = 1 - 2(0.25) = 0.5 bulunur.
Tanım aralığı birinci bölgeye karşılık geldiğinden sinüs değeri pozitif seçilir ve çift kat açı formülüyle cos⁡(8x)\cos(8x) hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 60Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)sin⁡2x−cos⁡2x=−32\frac{1 + \sin(2x)}{\sin^2 x - \cos^2 x} = -\frac{3}{2}

olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 512\frac{5}{12}

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve tanjant yarım açı formülünün uygulanmasıyla elde edilen 512\frac{5}{12} değeridir.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} değeri bulunur. Bu değer tanjant yarım açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} denkleminde yerine yazıldığında doğru sonuç olan 512\frac{5}{12} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki 1+sin⁡(2x)1 + \sin(2x) ifadesini yarım açı ve temel özdeşlikler yardımıyla tam kare biçiminde yazalım.
1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = (\sin x + \cos x)^2
1=sin⁡2x+cos⁡2x1 = \sin^2 x + \cos^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğundan, 1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x + \cos x)^2 elde edilir.
2
Payda kısmındaki sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x ifadesini iki kare farkı özdeşliğiyle çarpanlarına ayıralım.
sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) çarpanlara ayırma kuralı uygulanır.
3
İfadeyi sadeleştirip içler dışlar çarpımı yaparak tan⁡x\tan x değerini bulalım.
tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5}
(sin⁡x+cos⁡x)2(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)=−32\frac{(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)} = -\frac{3}{2} ifadesinde sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x + \cos x \neq 0 olduğundan sadeleştirme yap��lırsa sin⁡x+cos⁡xsin⁡x−cos⁡x=−32\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = -\frac{3}{2} elde edilir. Buradan 2sin⁡x+2cos⁡x=−3sin⁡x+3cos⁡x  ⟹  5sin⁡x=cos⁡x  ⟹  tan⁡x=152\sin x + 2\cos x = -3\sin x + 3\cos x \implies 5\sin x = \cos x \implies \tan x = \frac{1}{5} bulunur.
4
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplayalım.
tan⁡(2x)=512\tan(2x) = \frac{5}{12}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} yazıldığında tan⁡(2x)=2⋅151−(15)2=252425=25⋅2524=512\tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12} elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin tam kare yardımıyla sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} değeri bulunduktan sonra bir dik üçgen çizilerek sin⁡x=126\sin x = \frac{1}{\sqrt{26}} ve cos⁡x=526\cos x = \frac{5}{\sqrt{26}} değerleri bulunur. Buradan sinüs ve kosinüsün yarım açı formülleriyle sin⁡(2x)=513\sin(2x) = \frac{5}{13} ve cos⁡(2x)=1213\cos(2x) = \frac{12}{13} elde edilir. tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} tanımı kullanılarak da 512\frac{5}{12} sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 3 / 4Sonraki
Yarım Açı Formülleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin