Layer 1

Question 21Question →

Bir kamu kurumunun arşivinde bulunan rulo halindeki bir proje kağıdı, dik dairesel silindir şeklindedir. Bu rulo kağıdın taban yarıçapı $4$ cm ve yüksekliği $15$ cm olduğuna göre, bu kağıdın yan yüzey alanı (yanal alan) kaç $\text{cm}^2$ dir? ( $\pi = 3$ alınız.)

120

180

360

456

720

Show answer & explanation

Answer: 360

Answer

Rulo kağıdın yanal alanı

360

\text{cm}^2

dir.

Silindirin yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Verilen

r=4

cm ve

h=15

cm değerleri

2\pi rh

formülünde yerine konulduğunda

2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 15 = 360

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Silindirin yanal alan formülünü belirle.

Yanal \text{ } Alan = 2 \times \pi \times r \times h

Dik dairesel silindirin yan yüzeyinin açınımı bir dikdörtgendir ve bu dikdörtgenin kenarları taban çevresi (

2\pi r

) ile yüksekliğe (

h

) eşittir.

2

Soruda verilen değerleri formülde yerine koy.

r = 4

,

h = 15

,

\pi = 3

değerleri için:

2 \times 3 \times 4 \times 15

Yarıçap, yükseklik ve pi sayısı sabitlerini işleme dahil etmek gerekir.

3

Çarpma işlemini gerçekleştirerek sonucu bul.

6 \times 4 \times 15 = 24 \times 15 = 360

\text{cm}^2

Değerlerin çarpımı sonucunda toplam yan yüzey alanı elde edilir.

Key Concept

Dik Dairesel Silindirin Yanal Alanı

Hints

1

Silindirin yan yüzeyini açtığınızda bir dikdörtgen elde edeceğinizi hatırlayın.

2

Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresidir.

3

Taban çevresi

2\pi r

formülüyle bulunur. Bunu yükseklik (

h

) ile çarparak yanal alanı elde edebilirsiniz.

Practice More

Aynı silindirin hacmini hesaplayarak alan ve hacim formülleri arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Önce taban çevresini hesaplayıp (

2 \cdot 3 \cdot 4 = 24

), ardından bu çevreyi yükseklik olan

15

ile çarparak adım adım ilerleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 22Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AI]$ , $[BI]$ ve $[CI]$ doğru parçaları sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ köşelerindeki iç açıları iki eş parçaya bölmektedir. Bu açıortayların kesişim noktası olan ** $I$ noktası** aşağıdakilerden hangisi olarak adlandırılır?

Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi

Üçgenin ağırlık merkezi

Üçgenin diklik merkezi

Üçgenin çevrel çemberinin merkezi

Üçgenin dış teğet çemberinin merkezi

Show answer & explanation

Answer: Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi

Answer

Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi

Üçgende iç açıortayların (açıyı ikiye bölen doğruların) kesiştiği nokta, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır ve bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olarak tanımlanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen yardımcı elemanları tanımlama

Soruda

[AI]

,

[BI]

ve

[CI]

doğru parçalarının açıları iki eş parçaya böldüğü belirtilmiştir. Bu durum, bu parçaların 'iç açıortay' olduğunu gösterir.

Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır.

2

Kesişim noktasının özelliğini belirleme

Üçgende üç iç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu özel noktaya 'iç teğet çemberin merkezi' denir.

Geometrik tanım gereği iç açıortayların kesim noktası bu şekilde adlandırılır.

Key Concept

İç Açıortay ve İç Teğet Çemberin Merkezi

Hints

1

Şekildeki

[AI]

,

[BI]

ve

[CI]

doğru parçalarının köşelerdeki açıları nasıl böldüğüne dikkat edin.

2

Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına 'açıortay' denir. Soruda üç iç açıortayın kesişimi sorulmaktadır.

3

Üçgende iç açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin kenarlarına teğet olan iç teğet çemberin merkezidir.

Practice More

Kenarortayların kesişim noktası olan ağırlık merkezinin özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 23Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarının uzunluğu 12 cm, $[AC]$ kenarının uzunluğu 18 cm'dir. $A$ açısının ölçüsünün $B$ açısının ölçüsünden daha büyük olduğu bilindiğine göre, $[BC]$ kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaç santimetredir?

36

42

48

54

60

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

En küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı 48 santimetredir.

Üçgen eşitsizliğine göre

[BC]

kenarı 6 ile 30 arasında olmalıdır. Ancak

A

açısının

B

açısından büyük olması,

A

'nın karşısındaki

BC

kenarının,

B

'nin karşısındaki 18 cm'lik kenardan daha uzun olmasını gerektirir (

|BC| > 18

). Bu durumda aralık

18 < |BC| < 30

olur. Alınabilecek en küçük tam sayı 19, en büyük tam sayı 29'dur. Toplamları ise 48'dir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgen eşitsizliğini uygula.

|18 - 12| < |BC| < 18 + 12 \Rightarrow 6 < |BC| < 30

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Açı-kenar bağıntısını kullanarak sınırı daralt.

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) \Rightarrow |BC| > |AC| \Rightarrow |BC| > 18

Bir üçgende büyük açı karşısında daha uzun kenar bulunur.

3

İki koşulu birleştirerek tam sayı değer aralığını belirle.

18 < |BC| < 30

Hem üçgen eşitsizliği hem de açı koşulu aynı anda sağlanmalıdır.

4

En küçük ve en büyük tam sayı değerlerini topla.

En küçük: 19, En büyük: 29

\Rightarrow 19 + 29 = 48

İstenen değerlerin toplamı matematiksel olarak hesaplanır.

Key Concept

Üçgen eşitsizliği ile açı ve kenar uzunlukları arasındaki doğru orantı ilişkisi.

Hints

1

Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.

2

Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralını hatırlayın; hangi kenar 18 cm'den büyük olmalı?

3

|BC|

için bulduğunuz alt sınır 18, üst sınır ise 30'dur. Bu aralıktaki tam sayıları belirleyin.

Practice More

Benzer sorularda 'geniş açı' veya 'dar açı' belirtilip belirtilmediğine dikkat ederek Pisagor bağıntısı ile sınırlandırma yapmayı deneyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 24Question →

Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ olarak verilmiştir.

$|BH| = 9$ cm ve $|AC| = 20$ cm olduğuna göre, $A$ köşesinin hipotenüse olan uzaklığı ( $|AH|$ ) kaç santimetredir?

10

12

15

16

18

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Üçgenin yüksekliği 12 cm olarak bulunur.

Soruda verilen dik üçgende dikten dik inildiği için Öklid bağıntıları geçerlidir. Önce

|AC|

dik kenarını kullanarak

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

bağıntısından

|HC|=16

cm bulunur. Ardından

|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|

yükseklik bağıntısı ile

h^2 = 9 \cdot 16 = 144

elde edilir ve yükseklik 12 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri tanımla ve bilinmeyen parçaya değişken ata.

|BH| = 9

,

|AC| = 20

.

|HC| = x

ve

|AH| = h

diyelim.

Öklid bağıntılarını kullanabilmek için hipotenüs parçalarını belirlemek gerekir.

2

Öklid'in Dik Kenar Bağıntısını kullanarak

x

'i bul.

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC| \implies 20^2 = x \cdot (x + 9)

Bir dik kenarın karesi, kendine yakın hipotenüs parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

3

Oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

400 = x^2 + 9x \implies x^2 + 9x - 400 = 0

. Çarpanlarına ayırırsak

(x+25)(x-16)=0

. Uzunluk negatif olamayacağı için

x=16

cm.

x

değeri

|HC|

uzunluğudur.

4

Öklid'in Yükseklik Bağıntısını kullanarak

h

'yi hesapla.

h^2 = p \cdot k \implies h^2 = 9 \cdot 16 = 144

. Buradan

h = 12

cm bulunur.

Yüksekliğin karesi, hipotenüs parçalarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Öklid Bağıntıları (Dik Kenar ve Yükseklik İlişkileri)

Hints

1

Dik açıdan dik inildiği için 'Muhteşem Üçlü' değil, 'Öklid Bağıntıları'nı kullanmalısın.

2

Verilen

|AC|

kenarı bir dik kenardır. Öklid'in kenar bağıntısını (

b^2 = k \cdot a

) kullanarak önce bilinmeyen hipotenüs parçasını bul.

3

|HC| = x

dersen,

20^2 = x \cdot (x + 9)

denklemini kurup

x

'i çözmelisin. Sonra yüksekliği bulabilirsin.

Practice More

Öklid bağıntılarında alan formülünü (

a \cdot h = b \cdot c

) kullandıran bir soru çöz.

Alternative Method

Pisagor yöntemi:

AH = h

ve

HC = x

olsun. Soldaki üçgende

AB^2 = 9^2 + h^2

. Büyük üçgende

20^2 + AB^2 = (9+x)^2

. Sağdaki üçgende

20^2 = h^2 + x^2

. Bu denklemler ortak çözülerek de

h

bulunabilir ancak Öklid çok daha hızlıdır.

Estimated Time:4m 0s

Question 25Question →

Şekildeki $O$ merkezli dairesel bir duvar saatinin yarıçapı $15$ cm'dir. Bu saatin dış çerçevesini süslemek için bir sıra tel kullanılacaktır. Buna göre, kullanılacak telin uzunluğu en az kaç cm'dir? ( $\pi = 3$ alınız.)

45

90

180

225

675

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

Dairenin çevre uzunluğu 90 cm olarak hesaplanır.

Dairenin çevre uzunluğu,

2 \cdot \pi \cdot r

formülü ile bulunur. Verilen

r = 15

ve

\pi = 3

değerleri formülde yerine yazıldığında

2 \cdot 3 \cdot 15 = 90

cm sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Soruda verilen bilgileri ve istenen formülü belirleyelim.

Yarıçap

r = 15

cm,

\pi = 3

, Çevre formülü:

C = 2\pi r

Dairenin çevresini hesaplamak için yarıçap ve sabit pi sayısının formülde yerine konulması gerekir.

2

Değerleri çevre formülünde yerine yerleştirerek çarpma işlemini yapalım.

C = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 6 \cdot 15 = 90

cm

Çevreyi bulmak için formüldeki tüm çarpanların çarpılması sonucunda toplam uzunluğa ulaşılır.

Key Concept

Dairenin Çevresi

Hints

1

Bir çemberin çevresini bulmak için yarıçap ve pi sayısını içeren

2\pi r

formülünü hatırlayınız.

2

Soruda yarıçap (

r

) 15 cm,

\pi

ise 3 olarak verilmiştir. Bu değerleri

2 \cdot \pi \cdot r

ifadesinde yerine koyun.

3

İşlem şu şekildedir:

2 \times 3 \times 15

. Bu çarpımın sonucu size doğru cevabı verecektir.

Practice More

Yarıçapı verilen bir dairenin alanını

\pi r^2

formülü ile hesaplayarak çevre ve alan arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Dairenin çevresi aynı zamanda 'Çap ×

\pi

' (

d \cdot \pi

) formülü ile de bulunabilir. Burada yarıçap 15 cm ise çap 30 cm'dir.

30 \cdot 3 = 90

cm sonucu bu yolla da elde edilir.

Estimated Time:45s

Question 26Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait dış açıortay, $[BC]$ kenarının uzantısını $D$ noktasında kesmektedir.

$|AB| = 6$ cm, $|AC| = 4$ cm ve $|BC| = 5$ cm olduğuna göre, $|CD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

8

10

12

15

20

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Dış açıortay teoremi uygulandığında

|CD|

uzunluğu

10

cm olarak hesaplanır.

Dış açıortay teoremine göre,

|AC|/|AB| = |CD|/|BD|

bağıntısı geçerlidir. Verilen

|AB|=6

,

|AC|=4

ve

|BC|=5

değerleri yerleştirildiğinde

4/6 = x/(x+5)

denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü

2x=20

üzerinden

x=10

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Dış açıortay teoremi formülünü belirlemek

\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|BD|}

Üçgende dış açıortay teoremi, açıortayın karşı kenar uzantısını kestiği noktanın köşelere olan uzaklıkları oranının, komşu kenarların oranına eşit olduğunu belirtir.

2

Verilen değerleri değişkenler cinsinden yazmak

|CD| = x

olsun. Bu durumda

|BD| = |BC| + |CD| = 5 + x

olur.

D

noktası

[BC]

uzantısı üzerinde olduğu için

B, C, D

noktaları doğrusaldır ve

|BD|

toplam uzunluğu verir.

3

Orantıyı kurup denklemi çözmek

\frac{4}{6} = \frac{x}{5+x} \Rightarrow 4(5+x) = 6x \Rightarrow 20 + 4x = 6x \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10

İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen

x

değeri hesaplanır.

Key Concept

Dış Açıortay Teoremi

Hints

1

Dış açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın kestiği noktanın köşelere olan uzaklıkları oranını kurun.

2

|CD| = x

dersek,

|BD|

uzunluğunun

5 + x

olacağını unutmayın.

3

4/6 = x/(5+x)

orantısını kullanarak içler dışlar çarpımı yapın.

Practice More

İç ve dış açıortayın aynı soruda birleştiği 'iç açıortay ile dış açıortay arasındaki açının 90 derece olması' özelliğini içeren soruları çözebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 27Question →

Bir kamu binasının projesinde, ön cephede yer alan $ABC$ üçgeni şeklindeki dekoratif cam yüzey, tabana ( $BC$ kenarına) paralel çekilen bir çelik kiriş ( $DE$ ) ile iki bölgeye ayrılmıştır. $ADE$ üçgeni biçimindeki üst kısım şeffaf cam, $BCED$ dörtgeni biçimindeki alt kısım ise renkli cam ile kaplanacaktır. Projede, renkli cam ile kaplanacak alanın, şeffaf cam ile kaplanacak alanın 8 katı olması planlanmıştır. $ADE$ üçgeninin yüksekliği 2 metre olduğuna göre, tüm cephenin ( $ABC$ üçgeninin) yüksekliği kaç metredir?

4

6

9

16

18

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Tüm cephenin yüksekliği 6 metredir.

Doğru cevap, benzerlik ve alan ilişkisi kullanılarak bulunur.

DE // BC

olduğu için

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Alanlar oranı

1/9

olarak bulunduğunda, benzerlik oranı bu değerin karekökü olan

1/3

'tür. Küçük üçgenin yüksekliği 2 m ise, büyük üçgenin yüksekliği bunun 3 katı, yani 6 m olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Alanlar arasındaki kat ilişkisini belirle.

Şeffaf Alan (

A(ADE)

) =

S

ise, Renkli Alan (

A(BCED)

) =

8S

olur.

Soruda verilen '8 katı' ilişkisi matematiksel olarak ifade edilir.

2

Toplam alanı ve alanlar oranını hesapla.

Toplam Alan (

A(ABC)

) =

S + 8S = 9S

. Alanlar Oranı:

\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{S}{9S} = \frac{1}{9}

.

Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranı kullanılır.

3

Alan oranından benzerlik oranına geçiş yap.

Benzerlik Oranı (

k

) =

\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2 = \text{Alan Oranı}

).

4

Yükseklikler arasındaki ilişkiyi kur ve sonucu bul.

\frac{h_{küçük}}{h_{büyük}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{h_{büyük}} = \frac{1}{3} \Rightarrow h_{büyük} = 6

metre.

Benzerlik oranı, karşılıklı yüksekliklerin oranına da eşittir.

Key Concept

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

\frac{A_1}{A_2} = k^2

).

Hints

1

Üçgenlerde tabana paralel bir doğru çizildiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir.

2

Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}

).

3

Toplam alan

9S

, küçük alan

S

'dir. Alanlar oranı

1/9

ise benzerlik oranı

1/3

olur.

Practice More

Benzerlik oranının hacim oranına etkisi (küpü) üzerine bir soru çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Yükseklik

h

ile alan orantılıdır (

h^2

).

h_{küçük}^2

orantılıdır

S

,

h_{büyük}^2

orantılıdır

9S

. Buradan

h_{büyük} = 3 \times h_{küçük}

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 28Question →

Yarıçapı 4 cm olan dairesel bir levhadan, merkez açısı $90^\circ$ olan bir dilim kesilerek atılıyor. Geriye kalan büyük parça kıvrılarak, yarıçapları çakışacak şekilde bir dik dairesel koni oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu koninin hacmi kaç $cm^3$ tür?

3\sqrt{7}\pi

9\sqrt{7}\pi

12\pi

15\pi

16\pi

Show answer & explanation

Answer: $3\sqrt{7}\pi$

Answer

Elde edilen koninin hacmi

3\sqrt{7}\pi

cm^3

tür.

Soruda verilen

270^\circ

lik daire dilimi kıvrıldığında, koninin taban yarıçapı

r=3

cm ve ana doğrusu

l=4

cm olur. Pisagor bağıntısı ile yükseklik

h=\sqrt{7}

cm bulunur. Hacim formülü uygulandığında sonuç

3\sqrt{7}\pi

çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Kullanılan daire diliminin merkez açısını ve koninin taban yarıçapını (

r

) belirle.

Atılan parça

90^\circ

olduğundan kalan açı

360^\circ - 90^\circ = 270^\circ

olur. Benzerlik oranı

\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360}

formülünden;

\frac{r}{4} = \frac{270}{360} \Rightarrow \frac{r}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow r = 3

cm bulunur.

Daire dilimi koniye dönüştürüldüğünde, dilimin yay uzunluğu koninin taban çevresine eşittir.

2

Koninin yüksekliğini (

h

) Pisagor bağıntısı ile hesapla.

Konide

h^2 + r^2 = l^2

bağıntısı vardır.

h^2 + 3^2 = 4^2 \Rightarrow h^2 + 9 = 16 \Rightarrow h^2 = 7 \Rightarrow h = \sqrt{7}

cm bulunur.

Koninin ana doğrusu (

l

), taban yarıçapı (

r

) ve yüksekliği (

h

) bir dik üçgen oluşturur.

3

Koninin hacmini hesapla.

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (3^2)(\sqrt{7}) = \frac{1}{3}\pi (9)(\sqrt{7}) = 3\sqrt{7}\pi

cm^3

.

Dik dairesel koninin hacim formülü

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

şeklindedir.

Key Concept

Daire diliminden koni oluşturma ve hacim hesabı

Hints

1

Bir daire dilimi koni yapıldığında, dilimin yarıçapı koninin 'ana doğrusu' (

l

), dilimin yay uzunluğu ise koninin 'taban çevresi' (

2\pi r

) olur.

2

Koninin taban yarıçapını bulmak için

\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360}

orantısını kullanabilirsiniz. Burada

\alpha

, kullanılan parçanın açısıdır (

360 - 90

). sonra Pisagor ile yüksekliği (

h

) bulunuz.

Estimated Time:2m 30s

Question 29Question →

Bir şehir parkında tasarlanan yürüyüş yollarında $[AB] \parallel [DE]$ olduğu bilinmektedir. $A, C, D$ noktaları ile $B, C, E$ noktaları doğrusal olacak şekilde bu yollar $C$ noktasında kesişen iki ara yolla birleşmektedir. $|AB| = 8$ metre, $|DE| = 12$ metre ve $B$ ile $E$ noktaları arasındaki toplam mesafe ( $|BE|$ ) 25 metredir. Buna göre, $C$ ile $E$ noktaları arasındaki mesafe ( $|CE|$ ) kaç metredir?

10

12

15

18

20

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

C ve E noktaları arasındaki mesafe 15 metredir.

Verilen

[AB] \parallel [DE]

paralelliği sayesinde

\triangle ABC

ile

\triangle EDC

üçgenleri arasında kelebek benzerliği oluşur. Bu benzerliğe göre kenarlar arasındaki oran

|AB|/|DE| = 8/12 = 2/3

şeklindedir.

|BC|/|CE|

oranı da buna eşit olmalıdır.

|BE| = 25

birimlik toplam uzunluk

2:3

oranında paylaştırıldığında, büyük olan parça (

|CE|

) 15 metre olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik ilişkisini belirle.

\triangle ABC \sim \triangle EDC

[AB] \parallel [DE]

olduğu için iç ters açılar eşittir (

A

açısı

D

açısına,

B

açısı

E

açısına eşittir). Bu durum A.A. (Açı-Açı) benzerlik kuralını sağlar.

2

Benzerlik oranını kur.

k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine oranlıdır.

3

İlgili kenarlar arasında oran kur.

\frac{|BC|}{|CE|} = \frac{2}{3}

Benzer üçgenlerde aynı açının karşısındaki kenarlar aynı benzerlik oranına sahiptir.

4

Toplam uzunluğu kullanarak bilinmeyeni bul.

|BC| = 2k

ve

|CE| = 3k

ise

2k + 3k = 25 \implies 5k = 25 \implies k = 5

B, C, E

noktaları doğrusal olduğundan

|BC| + |CE| = |BE|

eşitliği geçerlidir.

5

|CE|

uzunluğunu hesapla.

|CE| = 3 \times 5 = 15

metre

Orantı sabitini hedef kenar çarpanı ile çarparak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kelebek (Kum Saati) Benzerliği

Hints

1

Paralel doğrular arasında oluşan 'Z' kuralını hatırlayarak hangi açıların birbirine eşit olduğunu bulun.

2

Üçgenler arasındaki benzerlik oranını

8/12

sadeleştirerek

2/3

olarak belirleyin.

3

|BC| = 2x

ve

|CE| = 3x

diyerek toplamı olan

5x = 25

denklemini çözün.

Practice More

Benzer bir soruda benzerlik oranının karesini alarak üçgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 30Question →

ABC bir üçgen, G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. G noktasından geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan doğru, $[AB]$ kenarını D, $[AC]$ kenarını E noktasında kesmektedir.

Bu kesim sonucunda oluşan DBCE dörtgeninin alanı $40 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, ADE üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

16

24

32

72

80

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

ADE üçgeninin alanı 32 cm² dir.

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler, bu da tepe noktasından tabana olan uzaklıklar oranının (benzerlik oranı) 2/3 olduğunu gösterir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan

(2/3)^2 = 4/9

olur. Yani küçük üçgenin alanı

4S

ise büyük üçgenin alanı

9S

, aradaki dörtgenin alanı ise

9S - 4S = 5S

olur.

5S = 40

verildiğinden

S=8

bulunur. İstenen alan

4S = 32

dir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi özelliğini hatırla

G ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler. Yani

|AG| = 2k

ise

|GM| = k

ve toplam kenarortay

|AM| = 3k

olur.

Üçgenin ağırlık merkezinin temel özelliği, kenarortay üzerinde 2:1 oranını sağlamasıdır.

2

Benzerlik oranını belirle

DE \parallel BC

olduğundan

\triangle ADE \sim \triangle ABC

dir. Benzerlik oranı

k = \frac{|AG|}{|AM|} = \frac{2}{3}

tür.

Temel orantı teoremine göre paralel doğrularla oluşan üçgenler benzerdir.

3

Alanlar oranını hesapla

Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir:

\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir.

4

Alanları değişken cinsinden ifade et ve denklemi çöz

A(ADE) = 4S

dersek,

A(ABC) = 9S

olur. Dörtgenin alanı farka eşittir:

A(DBCE) = 9S - 4S = 5S

. Verilen

5S = 40

ise

S = 8

bulunur.

Büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanı çıkarılarak dörtgenin alanı bulunur.

5

İstenen alanı bul

Bizden

A(ADE)

istenmiştir.

A(ADE) = 4S = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2

.

Bulunan birim alan (S) değeri yerine konularak sonuç elde edilir.

Key Concept

Üçgende benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

dir.

Hints

1

Üçgenin ağırlık merkezi (G), köşeye olan uzaklığı ile kenara olan uzaklığı arasında sabit bir oran (2:1) kurar.

2

Paralellik varsa benzerlik vardır. Benzerlik oranı

|AG| / |AM|

şeklindedir.

3

Benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

dir. Oranınız 2/3 ise, alanlar oranı 4/9 olmalıdır.

Practice More

Ağırlık merkezi yerine kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan alan sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Yükseklikler oranı üzerinden de gidilebilir: Ağırlık merkezinden geçen paralel, yüksekliği de 2:1 oranında böler (

h_1 = 2h, h_2 = h

). Üstteki üçgenin tabanı

2x

, alttaki yamuğun alt tabanı

3x

olur. Alan formülleriyle oran yine bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 31Question →

İç açılarından üçünün ölçüsü $120^{\circ}$ , $130^{\circ}$ ve $140^{\circ}$ olan bir dışbükey çokgenin diğer tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve $150^{\circ}$ 'dir. Buna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

7

9

10

11

12

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Çokgenin kenar sayısı 10'dur.

Çokgenin dış açılar toplamı olan

360^{\circ}

kuralı kullanıldığında; bilinen üç açının dış açıları toplamı

150^{\circ}

eder. Geriye kalan

210^{\circ}

'lik fark, her biri

30^{\circ}

olan dış açılar tarafından oluşturulmalıdır (

210/30 = 7

tane). Toplamda

3 + 7 = 10

kenar elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bilinen iç açıların dış açılarını hesaplayınız.

180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}

,

180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}

ve

180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}

.

Dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı üzerinden işlem yapmak kenar sayısını bulmayı kolaylaştırır.

2

Diğer tüm iç açıların (

150^{\circ}

) dış açı ölçüsünü belirleyiniz.

180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}

.

Eşit olan her bir iç açının dış açısı da birbirine eşit olacaktır.

3

Çokgenin toplam kenar sayısını

n

kabul ederek dış açılar toplamı denklemini kurunuz.

60^{\circ} + 50^{\circ} + 40^{\circ} + (n - 3) \times 30^{\circ} = 360^{\circ}

.

Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı her zaman

360^{\circ}

'dir. İlk üç açı bilindiği için geriye kalan

n-3

açının toplamı hesaba katılır.

4

Kurulan denklemi çözerek

n

değerini bulunuz.

150^{\circ} + (n - 3) \times 30^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow (n - 3) \times 30^{\circ} = 210^{\circ} \Rightarrow n - 3 = 7 \Rightarrow n = 10

.

Cebirsel işlemler sonucunda kenar sayısı 10 olarak bulunur.

Key Concept

Dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı daima

360^{\circ}

'dir.

Hints

1

Çokgen problemlerinde kenar sayısını bulmak için iç açılar yerine dış açılar toplamını (

360^{\circ}

) kullanmayı deneyin.

2

Verilen üç iç açının her birini

180^{\circ}

'den çıkararak dış açılarını bulun ve toplayın.

3

Bulduğunuz bu toplamı

360^{\circ}

'den çıkarın; kalan değer, her biri

30^{\circ}

olan diğer dış açıların toplamıdır.

Practice More

İç açıları toplamı

1800^{\circ}

olan düzgün bir çokgenin bir dış açısı kaç derecedir?

Alternative Method

İç açılar toplamı formülü kullanılabilir:

120 + 130 + 140 + (n-3) \times 150 = (n-2) \times 180

. Bu denklem çözüldüğünde:

390 + 150n - 450 = 180n - 360 \Rightarrow 150n - 60 = 180n - 360 \Rightarrow 30n = 300 \Rightarrow n = 10

.

Estimated Time:1m 30s

Question 32Question →

Bir fizik laboratuvarında gerçekleştirilen 'Karanlık Kutu' (Pinhole Camera) deneyinde, ışık doğrusal yayıldığı için üçgende benzerlik prensibinden faydalanılmaktadır.

Boyu $1,2$ metre olan dikey bir çubuk, iğne deliğinin bulunduğu noktadan $4$ metre uzağa yerleştirildiğinde, kutunun arka yüzeyindeki ekran üzerinde çubuğun ters bir görüntüsü oluşmakta ve görüntü boyu $15$ cm olarak ölçülmektedir.

Buna göre, çubuk iğne deliğine doğru $1$ metre yaklaştırılırsa, ekrandaki görüntünün boyu kaç santimetre artar?

3

4

5

10

20

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Ekrandaki görüntünün boyu 5 cm artar.

Işık doğrusal yayıldığı için cisim ve görüntüsü, iğne deliği noktasında kesişen iki benzer üçgen oluşturur (Kelebek benzerliği). İlk durumda

\frac{120}{15} = \frac{400}{kutu\_derinligi}

orantısından kutu derinliği 50 cm bulunur. İkinci durumda cisim 100 cm yaklaştığı için mesafe 300 cm olur. Yeni orantı

\frac{120}{h_{yeni}} = \frac{300}{50}

şeklinde kurulur ve yeni görüntü 20 cm bulunur. Artış miktarı

20 - 15 = 5

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen birimleri uyumlu hale getir (metreleri santimetreye çevir).

Cisim boyu

h_c = 120

cm, İlk uzaklık

d_1 = 400

cm, İlk görüntü boyu

h_{g1} = 15

cm.

Benzerlik oranlarında birimlerin aynı olması işlem hatasını önler.

2

Karanlık kutunun derinliğini (

x

) bulmak için temel benzerlik oranını kur (Kelebek/Kum saati benzerliği).

\frac{h_c}{h_{g1}} = \frac{d_1}{x} \Rightarrow \frac{120}{15} = \frac{400}{x} \Rightarrow 8 = \frac{400}{x} \Rightarrow x = 50

cm.

Cisim ile görüntü arasındaki benzerlik oranı, cismin deliğe uzaklığı ile görüntünün deliğe uzaklığı (kutu derinliği) oranına eşittir.

3

Cisim 1 metre yaklaştırıldığında yeni uzaklığı hesapla ve yeni benzerlik denklemini kur.

Yeni uzaklık

d_2 = 400 - 100 = 300

cm. Denklem:

\frac{120}{h_{g2}} = \frac{300}{50}

.

Kutu derinliği (

x=50

cm) sabittir, değişen sadece cismin mesafesidir.

4

Yeni görüntü boyunu (

h_{g2}

) hesapla.

\frac{120}{h_{g2}} = 6 \Rightarrow h_{g2} = \frac{120}{6} = 20

cm.

Orantı çözülerek yeni uzunluk bulunur.

5

İlk ve son görüntü boyları arasındaki farkı bul.

Artış =

20 - 15 = 5

cm.

Soru, yeni boyu değil, boydaki artış miktarını sormaktadır.

Key Concept

Temel Benzerlik ve Kelebek (Kum Saati) Teoremi

Hints

1

Sorudaki düzeneği, tepeleri iğne deliğinde birleşen iki üçgen (kelebek benzerliği) olarak çizin. Kutunun derinliği (iğne deliği ile ekran arası mesafe) her iki durumda da sabittir.

2

İlk durumu kullanarak kutunun derinliğini hesaplayın:

\frac{\text{Cisim Boyu}}{\text{Görüntü Boyu}} = \frac{\text{Cisim Uzaklığı}}{\text{Kutu Derinliği}}

.

3

Kutu derinliğini 50 cm bulmalısınız. İkinci durumda cisim uzaklığı 300 cm olduğunda, aynı formülü kullanarak yeni görüntü boyunu bulun ve farkı alın.

Practice More

Benzerlik oranının alan üzerindeki etkisini inceleyen sorular çözülebilir (örn. görüntünün alanı ne kadar artar?).

Alternative Method

Oran-orantı mantığıyla: Uzaklık 400 cm iken oran 120/15 = 8'dir. Yani cisim, görüntünün 8 katıdır. İkinci durumda uzaklık 300 cm ve kutu derinliği değişmediği için (oran derinliğe bağlıdır), yeni oran

300/50 = 6

olacaktır.

120 / h_{yeni} = 6

ise

h_{yeni} = 20

olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 33Question →

Bir düzgün çokgenin üç iç açısının ölçüleri toplamı, iki dış açısının ölçüleri toplamının 6 katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

8

9

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Bu düzgün çokgen 10 kenarlıdır.

Verilen ilişkiden bir iç açının bir dış açının 4 katı olduğu (

i=4d

) bulunur. Bu durumda

5d=180^\circ

eşitliğinden dış açı

36^\circ

çıkar.

360/36

işlemi ile kenar sayısı 10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İç açı (

i

) ve dış açı (

d

) arasındaki ilişkiyi ve verilen denklemi yaz.

i + d = 180^\circ

ve

3i = 6 \cdot (2d)

Bir köşedeki iç ve dış açının toplamı

180^\circ

dir. Soruda verilen ilişki matematiksel dile çevrilir.

2

Verilen denklemi sadeleştirerek iç ve dış açı arasındaki oranı bul.

3i = 12d \Rightarrow i = 4d

Denklem çözümü için değişken sayısını azaltmak gerekir.

3

Bulunan ilişkiyi toplam denkleminde yerine koy ve bir dış açıyı hesapla.

4d + d = 180^\circ \Rightarrow 5d = 180^\circ \Rightarrow d = 36^\circ

Bir dış açının ölçüsü bulunduğunda kenar sayısı hesaplanabilir.

4

Kenar sayısı formülünü kullanarak sonuca ulaş.

n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı

n = \frac{360^\circ}{\text{Dış Açı}}

formülü ile bulunur.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde bir iç açı ile bir dış açının toplamı

180^\circ

dir ve dış açıların toplamı daima

360^\circ

dir.

Hints

1

Bir düzgün çokgenin bir köşesindeki iç açı ile dış açının toplamının kaç derece olduğunu hatırlayınız.

2

İç açıya

i

, dış açıya

d

diyerek soruda verilen '

3i = 6(2d)

' eşitliğini kullanın.

3

i = 4d

bulduktan sonra,

i + d = 180^\circ

denkleminde yerine yazarak dış açıyı bulun.

Practice More

Benzer bir mantıkla, iç açısı dış açısının 5 katı olan düzgün çokgenin köşegen sayısını bulunuz.

Estimated Time:1m 30s

Question 34Question →

Ayrıtları $3, 4$ ve $5$ sayıları ile doğru orantılı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi $480 \text{ cm}^3$ tür. Buna göre, bu dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

188

376

480

94

150

Show answer & explanation

Answer: 376

Answer

Dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı 376

\text{cm}^2

dir.

Prizmanın ayrıtları

3k, 4k, 5k

şeklinde tanımlandığında hacim

60k^3

olur.

60k^3 = 480

eşitliğinden

k = 2

bulunur. Buradan ayrıtlar

6, 8, 10

cm olarak elde edilir. Yüzey alanı ise

2 \cdot (6\cdot 8 + 6\cdot 10 + 8\cdot 10) = 376 \text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Ayrıtları orantı sabiti

k

cinsinden ifade edin.

Ayrıtlar

3k, 4k

ve

5k

olur.

Soruda ayrıtların

3, 4

ve

5

sayılarıyla doğru orantılı olduğu belirtilmiştir.

2

Hacim formülünü kullanarak

k

değerini bulun.

3k \cdot 4k \cdot 5k = 480 \Rightarrow 60k^3 = 480 \Rightarrow k^3 = 8 \Rightarrow k = 2

cm.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi üç farklı ayrıtının çarpımına eşittir.

3

Prizmanın gerçek ayrıt uzunluklarını hesaplayın.

Ayrıtlar:

3 \cdot 2 = 6

cm,

4 \cdot 2 = 8

cm ve

5 \cdot 2 = 10

cm.

Bulunan

k

değeri orantılı sayılarla çarpılarak gerçek uzunluklar elde edilir.

4

Yüzey alanı formülünü uygulayın.

Alan

= 2 \cdot (6 \cdot 8 + 6 \cdot 10 + 8 \cdot 10) = 2 \cdot (48 + 60 + 80) = 2 \cdot 188 = 376 \text{ cm}^2

.

Yüzey alanı, her bir farklı yüzden ikişer tane olduğu için

2 \cdot (ab + ac + bc)

formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasında hacim (

V = a \cdot b \cdot c

) ve yüzey alanı (

S = 2(ab+bc+ac)

) bağıntıları.

Hints

1

Ayrıtları

3k, 4k

ve

5k

olarak isimlendirerek işe başlayın.

2

Hacim denklemini kurarken

k \cdot k \cdot k = k^3

ifadesine dikkat edin.

3

Ayrıtları

6, 8

ve

10

cm bulduktan sonra yüzey alanı formülünü [

2(ab+bc+ac)

] uygulayın.

Practice More

Cisim köşegeni verilen bir prizmada alan ve hacim ilişkilerini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Orantı sabiti

k

bulunduğunda, alanın

k^2

ile orantılı olduğu bilgisi kullanılabilir.

3, 4, 5

birimlik bir prizmanın alanı

2(12+15+20)=94

birimkaredir. Gerçek alan

94 \cdot k^2 = 94 \cdot 4 = 376 \text{ cm}^2

olur.

Estimated Time:1m 40s

Question 35Question →

Aşağıdaki şekilde $ABCDE$ düzgün beşgeni verilmiştir. Buna göre, bu düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü $(\alpha)$ kaç derecedir?

72

90

108

120

144

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü

108^{\circ}

'dir.

Düzgün beşgenin 5 kenarı vardır. İç açılar toplamı

(5-2) \times 180 = 540

derecedir. Düzgün olduğu için tüm iç açılar eşittir ve bir iç açısı

540 / 5 = 108

derecedir.

Step-by-Step Solution

1

Çokgenin iç açılar toplamını hesapla

(5-2) \times 180^{\circ} = 3 \times 180^{\circ} = 540^{\circ}

Bir çokgenin iç açılar toplamı

(n-2) \times 180^{\circ}

formülü ile bulunur.

2

Toplam açıyı kenar sayısına bölerek bir iç açıyı bul

540^{\circ} / 5 = 108^{\circ}

Düzgün çokgenlerde tüm iç açılar birbirine eşittir.

Key Concept

Düzgün çokgenlerin iç açılarının hesaplanması

Hints

1

Beşgenin toplam iç açısını bulmak için kenar sayısını (n=5) formülde yerine koyun.

2

Bir çokgenin iç açılar toplamı

(n-2) \times 180^{\circ}

formülü ile hesaplanır.

3

Bulduğunuz toplam açıyı (

540^{\circ}

) kenar sayısı olan 5'e bölerek

\alpha

değerine ulaşabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir işlemi düzgün bir altıgen için yaparak iç açıları karşılaştırabilirsiniz.

Alternative Method

Önce dış açıyı bulup 180'den çıkarabilirsiniz: Dış açı =

360 / 5 = 72^{\circ}

. İç açı =

180 - 72 = 108^{\circ}

.

Estimated Time:45s

Question 36Question →

Kenar sayısı $n$ olan bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü $\alpha$ , kenar sayısı $2n$ olan bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü ise $(\alpha + 15^\circ)$ olarak verilmiştir.

Buna göre, kenar sayısı $n$ olan düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

35

44

54

65

90

Show answer & explanation

Answer: 54

Answer

Kenar sayısı

n=12

olduğundan toplam köşegen sayısı 54'tür.

Soruda verilen bilgilere göre, kenar sayısı

n

olan düzgün çokgen ile

2n

olan düzgün çokgenin iç açıları farkı

15^\circ

'dir. İç açılar toplamı sabit (

180^\circ

) olduğu için, iç açıdaki

15^\circ

'lik artış, dış açıda

15^\circ

'lik bir azalmaya denk gelir.

n

kenarlı çokgenin dış açısı

\frac{360}{n}

,

2n

kenarlı çokgenin dış açısı

\frac{360}{2n} = \frac{180}{n}

'dir. Bu fark

\frac{360}{n} - \frac{180}{n} = \frac{180}{n} = 15^\circ

denklemini verir. Buradan

n=12

bulunur. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ise

\frac{12(12-3)}{2} = 54

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Düzgün çokgenin bir iç açısı formülünü veya dış açı ilişkisini belirle.

Bir iç açı =

180^\circ - \text{Dış Açı}

ve Dış Açı =

\frac{360^\circ}{n}

.

İç açılar üzerinden denklem kurmak yerine dış açılar farkını kullanmak işlemi basitleştirir.

2

Verilen iki çokgenin dış açılarını ifade et ve fark denklemini kur.

n

kenarlı çokgenin dış açısı

d_1 = \frac{360}{n}

,

2n

kenarlı çokgenin dış açısı

d_2 = \frac{360}{2n} = \frac{180}{n}

. İç açısı

15^\circ

artıyorsa, dış açısı

15^\circ

azalmıştır:

d_1 - d_2 = 15

.

İç açı ile dış açının toplamı

180^\circ

olduğundan, iç açıdaki artış dış açıdaki azalışa eşittir.

3

Denklemi çözerek

n

değerini bul.

\frac{360}{n} - \frac{180}{n} = 15 \Rightarrow \frac{180}{n} = 15 \Rightarrow n = \frac{180}{15} = 12

.

Kenar sayısını bulmak için.

4

Toplam köşegen sayısı formülünü

n=12

için uygula.

Köşegen Sayısı =

\frac{n(n-3)}{2} = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = 54

.

Soruda istenen nihai değeri hesaplamak için.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı arttıkça iç açı artar, dış açı azalır. Dış açı formülü (

360/n

) genellikle iç açı formülünden (

180(n-2)/n

) daha pratik çözümler sağlar.

Hints

1

Düzgün çokgenlerde iç açı formülü biraz karmaşık olabilir (

180(n-2)/n

). Bunun yerine, bir iç açı ile bir dış açının toplamının

180^\circ

olduğu bilgisini kullanarak dış açılar üzerinden gitmeyi dene.

2

Kenar sayısı

n

olan çokgenin dış açısı

360/n

, kenar sayısı

2n

olanınki ise

360/(2n)

'dir. İç açı

15^\circ

arttıysa, dış açı

15^\circ

azalmıştır.

3

\frac{360}{n} - \frac{360}{2n} = 15

denklemini çözerek

n

sayısını bul, sonra

\frac{n(n-3)}{2}

formülünü kullan.

Practice More

İç açısı dış açısının 5 katı olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Alternative Method

Dış açı formülü yerine iç açı formülüyle çözüm:

\frac{(2n-2)180}{2n} - \frac{(n-2)180}{n} = 15

denklemi kurulabilir. Paydalar eşitlenerek çözüm yapıldığında yine

n=12

sonucuna ulaşılır.

Estimated Time:2m 30s

Question 37Question →

Bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. Üçgenin iç bölgesindeki $[AG]$ ve $[BG]$ doğru parçaları birbirine diktir.

$|AG| = 9$ cm ve $|BG| = 12$ cm olduğuna göre, $G$ noktasının $C$ köşesine olan uzaklığı ( $|GC|$ ) kaç santimetredir?

7,5

10

12,5

15

22,5

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15 santimetredir.

Soru, ağırlık merkezi (kenarortayların kesim noktası) ve dik üçgen özelliklerinin birleştirilmesini gerektirir. İlk olarak,

AG

ve

BG

birbirine dik olduğu için

AGB

üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısından

AB

kenarı 15 cm bulunur.

C

köşesinden çizilen ve

G

'den geçen doğru parçası

[AB]

kenarını ortalar (kenarortay). Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü), bu nedenle

G

noktasından

AB

'ye olan mesafe (

GK

) 7,5 cm'dir. Ağırlık merkezi kuralı gereği, köşeye olan uzaklık (

GC

), kenara olan uzaklığın (

GK

) 2 katıdır. Sonuç:

2 \times 7,5 = 15

cm.

Step-by-Step Solution

1

AGB

üçgenini incele.

[AG] \perp [BG]

verildiğinden

AGB

bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısı ile hipotenüs

[AB]

bulunur:

|AB|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow |AB| = 15

cm.

Dik kesişen kenarortay parçaları bir dik üçgen oluşturur.

2

C

köşesinden gelen kenarortayı çiz ve uzantısını isimlendir.

C

köşesinden geçen kenarortay

G

noktasından geçer ve

[AB]

kenarını bir

K

noktasında keser.

CK

,

ABC

üçgeninin kenarortayıdır.

Ağırlık merkezi tüm kenarortayların kesişim noktasıdır.

3

AGB

dik üçgeninde

GK

kenarortay uzunluğunu hesapla.

K

noktası hipotenüsün (

[AB]

) orta noktasıdır. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü kuralı).

|GK| = |AB| / 2 = 15 / 2 = 7,5

cm.

Muhteşem üçlü özelliği: Bir dik üçgende hipotenüse inilen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir.

4

Ağırlık merkezi oranını kullanarak

|GC|

uzunluğunu bul.

Ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (köşeye olan uzaklık, kenara olan uzaklığın 2 katıdır).

|GC| = 2 \cdot |GK| = 2 \cdot 7,5 = 15

cm.

Kenarortay özelliği:

|GC| = 2|GK|

.

Key Concept

Dik kesişen kenarortaylar ve muhteşem üçlü özelliği

Hints

1

AGB

üçgeni bir dik üçgendir. Öncelikle

[AB]

kenarının uzunluğunu Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.

2

C

köşesinden gelip

G

'den geçen doğruyu uzatın. Bu doğru

[AB]

kenarını ortalar (kenarortay). Dik üçgende hipotenüse inen kenarortayın özelliğini hatırlayın.

3

Dik üçgende hipotenüse inen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir (

|GK| = |AB|/2

). Son olarak ağırlık merkezi kuralını (

|GC| = 2|GK|

) kullanın.

Practice More

Benzer bir soruda,

|AB|

ve

|GC|

verilip

|AG|

uzunluğunun sorulduğu tersine işlem problemlerini çözün.

Estimated Time:2m 0s

Question 38Question →

Aşağıdaki ABC üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 5\sqrt{2}$ cm ve $|BC| = 7$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

\sqrt{29}

3\sqrt{11}

12

13

14

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Üçgenin dışında oluşturulan özel dik üçgen yardımıyla

|AC|

uzunluğu 13 cm bulunur.

Verilen

135^\circ

açısı geniş bir açıdır ve bütünleri olan

45^\circ

, özel bir dik üçgen oluşturmak için ipucudur. Şeklin dışına doğru uzatma yapılarak

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeni elde edilir. Bu küçük üçgenin kenarları 5 ve 5 bulunduğunda, büyük dik üçgenin kenarları 5 ve 12 olur. 5-12-13 özel üçgeni kuralıyla hipotenüs 13 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

BC kenarını B köşesinden sol tarafa doğru uzatın ve A köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin. İndirilen dikmenin ayağına H noktası deyin.

AHC dik üçgeni oluşturulur.

135^\circ

gibi geniş açılı üçgen sorularında, açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanmak için genellikle dışarıdan dik üçgen tamamlanır.

2

Oluşan ABH üçgeninin açılarını ve kenarlarını inceleyin.

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

olur. AHB üçgeni

45^\circ-45^\circ-90^\circ

özel üçgenidir.

Bütünler açı kuralı ve dik üçgen inşası.

3

ABH üçgeninde hipotenüs

|AB|=5\sqrt{2}

olduğuna göre dik kenarları hesaplayın.

|AH| = |HB| = 5

cm bulunur.

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeninde hipotenüs, dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır (

a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \Rightarrow a=5

).

4

Büyük AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın.

Dik kenarlar:

|AH|=5

ve

|HC| = |HB| + |BC| = 5 + 7 = 12

cm.

|AC|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

.

Büyük üçgenin tabanı, eklenen parça ile mevcut kenarın toplamıdır.

5

Sonucu bulun.

|AC| = \sqrt{169} = 13

cm.

5-12-13 özel dik üçgeni.

Key Concept

Geniş açılı üçgenlerde dışarıdan dikme indirerek özel açılı (

30^\circ, 45^\circ, 60^\circ

) dik üçgenler oluşturma.

Hints

1

135^\circ

açısı geniş bir açıdır. Bu açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanabilmek için üçgenin kenarını dışarı doğru uzatmayı deneyin.

2

BC kenarını sol tarafa uzatıp A köşesinden bir dikme indirdiğinizde, hipotenüsü

|AB|=5\sqrt{2}

olan ikizkenar bir dik üçgen elde edeceksiniz.

3

Oluşan küçük dik üçgenin dik kenarları 5'er cm olur. Böylece oluşan büyük dik üçgenin kenarları 5 cm ve

(5+7)

cm olur. Pisagor bağıntısını bu büyük üçgen için uygulayın.

Practice More

Benzer mantıkla çözülen,

120^\circ

veya

150^\circ

açılı üçgen sorularını inceleyin. Bu açılar sırasıyla

60^\circ

ve

30^\circ

'lik dış dik üçgenler oluşturur.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(135^\circ)

formülü ile de çözüm yapılabilir.

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

değeri yerine konularak

|AC|^2 = 50 + 49 - 2(5\sqrt{2})(7)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 99 + 70 = 169

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 39Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AN]$ doğru parçası çizilmiştir. $m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN})$ olduğu bilindiğine göre, $[AN]$ doğru parçasına ne ad verilir?

Açıortay

Kenarortay

Yükseklik

Kenar orta dikme

Hipotenüs

Show answer & explanation

Answer: Açıortay

Answer

Verilen

[AN]

doğru parçası, açıyı iki eş parçaya böldüğü için açıortaydır.

Doğru cevap olan seçenek, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasının tanımını temsil eder. Soruda verilen matematiksel eşitlik,

A

açısının tam ortadan ikiye ayrıldığını ifade etmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Soruda verilen matematiksel ifadeyi analiz et.

m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN})

ifadesi,

A

açısının iki eşit parçaya ayrıldığını gösterir.

Geometrik sembollerin anlamını belirlemek çözümün ilk adımıdır.

2

Üçgende yardımcı elemanların tanımlarını hatırla.

Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.

Tanım gereği bu özellik açıortayı tanımlar.

3

Sonucu belirle.

[AN]

doğru parçası

A

açısına ait bir açıortaydır.

Verilen özellikler sadece açıortay tanımına uymaktadır.

Key Concept

Açıortay Tanımı

Hints

1

m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN})

ifadesinin ne anlama geldiğine odaklanın.

2

Bu ifade,

A

köşesindeki açının

[AN]

doğrusu tarafından iki eşit parçaya bölündüğünü anlatır.

3

Üçgende 'açıyı bölen' yardımcı elemanın adı nedir? İpucu isminde gizli: 'açı' ve 'ortalamak'.

Practice More

İç açıortayların kesişim noktasının 'iç teğet çemberin merkezi' olduğunu öğrenerek konuyu derinleştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 40Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretleniyor. $[DE] // [BC]$ olmak üzere, $[BE]$ ve $[CD]$ doğru parçaları $F$ noktasında kesişmektedir. $Alan(FDE) = 4 \text{ cm}^2$ ve $Alan(FBC) = 9 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $Alan(ADE)$ kaç $\text{cm}^2$ dir?

6

13

20

40

50

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

20

Verilen alanlar yardımıyla önce kelebek benzerliğinden temel benzerlik oranı

2/3

olarak bulunur. Ardından yamuk bölgesinin toplam alanı hesaplanır (

25 \text{ cm}^2

). Temel benzerlik teoremi ile alanların oranı

4/9

olarak belirlenir ve kurulan denklem sonucunda üstteki üçgenin alanı 20 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

\triangle FDE \sim \triangle FBC

benzerliğini kurun.

\frac{DE}{BC} = \sqrt{\frac{Alan(FDE)}{Alan(FBC)}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}

Paralellikten dolayı bu iki üçgen benzerdir ve alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

2

DBCE

yamuğunun toplam alanını hesaplayın.

Alan(FDB) = Alan(FEC) = \sqrt{4 \times 9} = 6 \text{ cm}^2

. Toplam

Alan(DBCE) = 4 + 9 + 6 + 6 = 25 \text{ cm}^2

.

Bir yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları birbirine ve tabanlardaki üçgenlerin alanlarının geometrik ortalamasına eşittir.

3

\triangle ADE \sim \triangle ABC

benzerliğini ve alan ilişkisini kurun.

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = (\frac{DE}{BC})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

DE // BC

olduğu için temel benzerlik teoremi uyarınca bu üçgenler benzerdir.

4

Alan(ADE) = S

diyerek denklemi çözün.

\frac{S}{S + 25} = \frac{4}{9} \Rightarrow 9S = 4S + 100 \Rightarrow 5S = 100 \Rightarrow S = 20

Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(DBCE)

olduğu için toplam alan yerine

S+25

yazılır.

Key Concept

Üçgende benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişki (

k^2

) ve yamukta alan özellikleri.

Hints

1

Paralellikten dolayı

\triangle FDE

ile

\triangle FBC

arasındaki kelebek benzerliğine odaklanın.

2

Kelebekteki alanlar oranı

4/9

ise,

DE/BC

benzerlik oranını bulun ve bu oranı büyük üçgendeki temel benzerliğe taşıyın.

3

Yamuk bölgesinin (

DBCE

) toplam alanını bulup,

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ADE)+Alan(DBCE)} = (\frac{DE}{BC})^2

formülünü uygulayın.

Practice More

Alan oranı verildiğinde benzerlik oranına geçiş yapmak için karekök almayı unutmayın.

Estimated Time:2m 30s

Geometri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer