Layer 1

Question 401Question →

Bir mimarlık ofisinin tasarladığı üçgen şeklindeki ( $ABC$ ) bir park projesinin krokisi aşağıda verilmiştir. Park arazisi, $BC$ kenarına paralel olan $[DE]$ yürüyüş yolu ile iki farklı yeşil alana ayrılmıştır.

Krokide verilen bilgilere göre $ADE$ üçgensel bölgesinin alanı $32 \text{ m}^2$ , $DBCE$ dörtgensel bölgesinin alanı ise $168 \text{ m}^2$ olarak belirlenmiştir.

$[DE] \parallel [BC]$ ve yürüyüş yolunun uzunluğu $|DE| = 24$ metre olduğuna göre, parkın caddeye cephesi olan $|BC|$ kenarının uzunluğu kaç metredir?

60

150

126

100

300

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

60 metre

Üçgenlerde benzerlik oranı (

k

), kenar uzunluklarının oranına eşittir; ancak alanların oranı benzerlik oranının karesine (

k^2

) eşittir. Soruda verilen alanlar kullanılarak önce

k^2

bulunur (

32/200

), ardından karekök alınarak

k

(

2/5

) elde edilir. Bu oran kenarlara uygulandığında doğru cevap 60 m bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Toplam alanı hesapla.

Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(DBCE) = 32 + 168 = 200 \text{ m}^2

Benzerlik oranı, küçük üçgenin alanının büyük üçgenin (toplam) alanına oranından bulunur.

2

Alanlar oranını (

k^2

) kur.

k^2 = \frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = \frac{32}{200}

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

Kesiri sadeleştir ve benzerlik oranını (

k

) bul.

\frac{32}{200} = \frac{16}{100}

olduğundan,

k = \sqrt{\frac{16}{100}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

İşlemleri kolaylaştırmak için kesir en sade veya karekök dışına çıkabilir hale getirilir.

4

Benzerlik oranını kullanarak

|BC|

uzunluğunu hesapla.

\frac{|DE|}{|BC|} = k \Rightarrow \frac{24}{|BC|} = \frac{2}{5} \Rightarrow 2 \cdot |BC| = 120 \Rightarrow |BC| = 60

Kenarlar arasındaki oran doğrudan benzerlik oranına (

k

) eşittir.

Key Concept

Benzerlik Alan İlişkisi (Thales Teoremi)

Question 402Question →

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsüne bölündüğünde sonucun bir pozitif tam sayının karesine eşit olduğu görülmektedir.

Buna göre, bu düzgün çokgenin kenar sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

8

9

10

12

18

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Düzgün çokgenin kenar sayısı 10 olabilir.

Düzgün çokgenin kenar sayısı

n=10

olduğunda, bir dış açısı

360/10 = 36^\circ

ve bir iç açısı

180 - 36 = 144^\circ

olur. Bu değerlerin oranı

144/36 = 4

tür.

4

sayısı

2

nin karesi (

2^2

) olduğundan, sorudaki 'bir tam sayının karesine eşittir' şartını sağlayan tek seçenek budur.

Step-by-Step Solution

1

Düzgün çokgenin bir dış açısına

\alpha

diyelim. Bu durumda bir iç açısı

180^\circ - \alpha

olur.

İç Açı =

180 - \alpha

, Dış Açı =

\alpha

Bir düzgün çokgende iç ve dış açıların toplamı

180^\circ

dir.

2

Soruda verilen ilişkiyi denkleme dökelim. Oran bir tam sayının (

k

) karesine eşittir.

\frac{180 - \alpha}{\alpha} = k^2

Problem metnindeki matematiksel ilişkiyi formüle etmek için.

3

Denklemi sadeleştirip kenar sayısı (

n

) formülüne uyarlayalım.

n = \frac{360}{\alpha}

olduğunu hatırlayalım.

\frac{180}{\alpha} - 1 = k^2 \Rightarrow \frac{180}{\alpha} = k^2 + 1

. İki tarafı 2 ile çarparsak:

\frac{360}{\alpha} = 2(k^2 + 1) \Rightarrow n = 2k^2 + 2

Kenar sayısını doğrudan

k

tam sayısına bağlamak için.

4

Seçenekleri deneyerek hangisinin

n = 2k^2 + 2

formuna uyduğunu kontrol edelim.

n=10

için:

10 = 2k^2 + 2 \Rightarrow 8 = 2k^2 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k=2

. (Uygun)

Doğru kenar sayısını tespit etmek için.

Key Concept

Düzgün Çokgenlerde Açı Bağıntıları

Hints

1

Düzgün çokgenin bir dış açısına

x

diyerek, iç açısını

180-x

cinsinden yazmayı deneyin.

2

İç açının dış açıya oranı

(180-x)/x = k^2

denklemini kurun. Burada

k

bir tam sayıdır.

3

Kenar sayısının

n = 360/x

olduğunu hatırlayın. Kurduğunuz denklemde

360/x

ifadesini elde etmeye çalışın.

n = 2(k^2 + 1)

bağıntısını bulacaksınız.

Practice More

Benzer mantıkla, iç açısının dış açısına oranı tam sayı olan düzgün çokgenlerin kenar sayılarının toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Şıklardan giderek çözüm: Her bir şık için dış açıyı (

360/n

) ve iç açıyı (

180 - \text{dış}

) bulup birbirine bölün. Sonucun hangi şıkta bir tam sayının karesi (4, 9, 16...) olduğunu kontrol edin.

Estimated Time:2m 30s

Question 403Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[AC]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[BC]$ kenarı üzerindedir. $[AE]$ ve $[BD]$ doğru parçaları $F$ noktasında kesişmektedir.

$|AD| = 2|DC|$
$|BF| = 12 \text{ cm}$
$|FD| = 3 \text{ cm}$

olduğuna göre, $\frac{|BE|}{|EC|}$ oranı kaçtır?

2

\frac{5}{2}

\frac{8}{3}

3

4

Show answer & explanation

Answer: $\frac{8}{3}$

Answer

\frac{8}{3}

Soruyu çözmek için 'yardımcı doğru' (ek çizim) tekniği kullanılmalıdır. D noktasından tabana paralel çizildiğinde, hem temel benzerlik (Thales) hem de kelebek benzerliği oluşur. Bu iki benzerlik sisteminden elde edilen denklemlerin ortak çözümü

\frac{8}{3}

oranını verir.

Step-by-Step Solution

1

D noktasından [BC] kenarına paralel olacak şekilde bir [DK] doğru parçası çizin (K noktası [AE] üzerinde).

Bu yardımcı doğru, hem Temel Benzerlik Teoremi'ni hem de Kelebek (Kum Saati) benzerliğini kullanmamızı sağlar.

Verilen oranları birbirine bağlamak için ek bir çizim gereklidir.

2

\triangle ADK

ile

\triangle ACE

arasındaki temel benzerlik oranını yazın.

\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}

olduğundan,

|DK| = \frac{2}{3} |EC|

bulunur.

Paralel doğrularda kenar oranları korunur (Temel Orantı Teoremi).

3

\triangle FDK

ile

\triangle FBE

arasındaki kelebek (kum saati) benzerliğini kullanın.

\frac{|FD|}{|FB|} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

olduğundan,

|DK| = \frac{1}{4} |BE|

bulunur.

Paralel doğrularda oluşan ters açılar (Z kuralı) nedeniyle üçgenler benzerdir.

4

Bulunan iki

|DK|

ifadesini eşitleyerek

|BE|

ile

|EC|

arasındaki oranı hesaplayın.

\frac{2}{3}|EC| = \frac{1}{4}|BE| \implies 8|EC| = 3|BE| \implies \frac{|BE|}{|EC|} = \frac{8}{3}

Aynı uzunluk (DK) üzerinden iki bilinmeyen arasında bağ kurulur.

Key Concept

İleri Düzey Benzerlik Uygulamaları (Yardımcı Doğru Çizimi)

Hints

1

Soruda doğrudan bir benzerlik göremiyorsanız, D noktasından [BC] kenarına paralel bir doğru çizmeyi deneyin.

2

Çizdiğiniz paralel doğru sayesinde önce Temel Orantı Teoremini, sonra da oluşan 'Kelebek' (Kum Saati) benzerliğini kullanabilirsiniz.

3

D'den çizilen paralel [AE]'yi kessin. Oluşan küçük parça hem 2/3 oranında [EC]'ye, hem de 1/4 oranında [BE]'ye bağlıdır. Bu iki eşitliği birleştirin.

Practice More

Benzer bir kurguda alan oranlarının sorulduğu soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Menelaus Teoremi:

ADC

üçgeni ve

B-F-D

keseni yerine,

AEC

üçgeni üzerinde uygun Menelaus veya

C-B-D

noktaları üzerinde

A-F-E

keseni ile çözüm yapılabilir:

\frac{|CE|}{|EB|} \cdot \frac{|BF|}{|FD|} \cdot \frac{|DA|}{|AC|} = 1

formülü uygulanabilir (Dikkat: Oranların yönüne çok dikkat edilmelidir).

Estimated Time:4m 0s

Question 404Question →

ABCD bir yamuktur ve $[AB] \parallel [DC]$ 'dir. $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $K$ noktasında kesişmektedir.

$A(DKC) = 18 \text{ cm}^2$ ve $A(AKB) = 32 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

50

74

90

98

100

Show answer & explanation

Answer: 98

Answer

Yamuğun toplam alanı 98 cm²'dir.

Yamukta köşegenler çizildiğinde oluşan karşılıklı üçgenlerin (üst ve alt) alanları çarpımı, yan kanatların alanları çarpımına eşittir. Yan kanatların alanları birbirine eşit olduğundan (

S

),

S^2 = 18 \cdot 32 = 576

olur. Buradan yan alan

S = 24

bulunur. Toplam alan

18 + 32 + 24 + 24 = 98

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Yamukta köşegenlerin oluşturduğu üçgenler arasındaki benzerlik ve alan ilişkisini belirle.

DKC ve AKB üçgenleri benzerdir (kelebek benzerliği). Yan kanatlardaki ADK ve BCK üçgenlerinin alanları birbirine eşittir (

S

).

[AB] \parallel [DC]

olduğu için

\triangle DKC \sim \triangle BKA

olur.

2

Yan kanatların alanını hesapla (

S

). Yamukta yan alan, alt ve üst alanın geometrik ortalamasıdır:

S = \sqrt{A(DKC) \cdot A(AKB)}

.

S = \sqrt{18 \cdot 32} = \sqrt{576} = 24 \text{ cm}^2

.

Yamuksal bölgede karşılıklı yan alanların çarpımı, alt ve üst alanların çarpımına eşittir (

S^2 = A_{üst} \cdot A_{alt}

).

3

Tüm alanları toplayarak yamuğun toplam alanını bul.

A(ABCD) = 18 + 32 + 24 + 24 = 98 \text{ cm}^2

.

Toplam alan = Üst + Alt + Yan + Yan.

Key Concept

Yamukta Alan Özellikleri ve Benzerlik

Hints

1

Yamukta köşegenlerin ayırdığı dört üçgensel bölgeyi düşününüz. Alt ve üst üçgenlerin alanları verilmiştir.

2

Yanlarda kalan iki üçgenin (

ADK

ve

BCK

) alanları birbirine eşittir.

3

Yan alanların her biri, alt ve üst alanların çarpımının kareköküne eşittir (

S = \sqrt{A_1 \cdot A_2}

).

Practice More

Benzerlik oranı verilen bir yamukta alanların dağılımını inceleyen sorular çözünüz.

Alternative Method

Pratik Yol: Yamuğun alanı

(\sqrt{A_{üst}} + \sqrt{A_{alt}})^2

formülüyle de bulunabilir.

(\sqrt{18} + \sqrt{32})^2 = (3\sqrt{2} + 4\sqrt{2})^2 = (7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98

.

Estimated Time:2m 0s

Question 405Question →

Aşağıdaki şekilde, ABCD bir dörtgen ve [BD] bu dörtgenin bir köşegenidir. Şekilde verilen uzunluklara göre; |AB| = 6 cm, |AD| = 8 cm, |BC| = 5 cm ve |CD| = 12 cm'dir. Ayrıca m(BAD) > 90° olduğu bilinmektedir.

Buna göre, |BD| uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

2

3

4

6

7

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

BD uzunluğu 3 farklı tam sayı değeri alabilir.

Ortak kenar |BD| = x olsun. ABD üçgeninde m(A) > 90° olduğu için x² > 6² + 8² yani x > 10 olur. Aynı üçgende üçgen eşitsizliğinden x < 6+8=14 bulunur. Yani ABD üçgeninden gelen şart 10 < x < 14'tür. BCD üçgeninde ise |12-5| < x < 12+5 yani 7 < x < 17 şartı vardır. Her iki şartı sağlayan ortak aralık 10 < x < 14 olur. Bu aralıktaki tam sayılar 11, 12 ve 13 olmak üzere 3 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

ABD üçgeni için üçgen eşitsizliğini yaz ve geniş açı şartını uygula.

Eşitsizlik: |8-6| < |BD| < 8+6 ⇒ 2 < |BD| < 14. Geniş açı şartı (m(A)>90°): |BD|² > 6² + 8² ⇒ |BD|² > 100 ⇒ |BD| > 10. Sonuç: 10 < |BD| < 14.

Bir üçgende bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür. Ayrıca geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.

2

BCD üçgeni için üçgen eşitsizliğini yaz.

|12-5| < |BD| < 12+5 ⇒ 7 < |BD| < 17.

BCD üçgeninde herhangi bir açı kısıtlaması verilmediği için sadece standart üçgen eşitsizliği uygulanır.

3

Bulunan iki aralığın kesişimini al ve tam sayıları say.

Aralık 1: (10, 14), Aralık 2: (7, 17). Kesişim: 10 < |BD| < 14. Tam sayılar: {11, 12, 13}. Toplam 3 değer.

|BD| uzunluğu her iki üçgenin şartlarını da aynı anda sağlamalıdır.

Key Concept

Bir kenar ortak olan iki üçgende, ortak kenarın alabileceği değerler her iki üçgenin eşitsizlik şartlarının kesişim kümesidir. Ayrıca açı şartları (dik, dar, geniş) alt veya üst sınırları daraltır.

Question 406Question →

Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 9$ cm'dir. Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri arasında $m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})$ sıralaması bulunmaktadır. Üçgenin çevresi 36 cm olduğuna göre, $|BC|$ kenarının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

45

54

60

62

80

Show answer & explanation

Answer: 62

Answer

İstenen toplam 62'dir.

Çevre bağıntısı (

a+b=27

) ile açı sıralamasının gerektirdiği kenar sıralaması (

a>b>9

) birleştirildiğinde

a

için

13,5 < a < 18

aralığı elde edilir. Bu aralıktaki 14, 15, 16 ve 17 tam sayıları toplandığında 62 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Çevre bilgisini kullanarak kenarlar arası ilişkiyi kurma.

|BC| = a

ve

|AC| = b

olsun. Çevre

= a + b + 9 = 36

ise

a + b = 27

olur. Buradan

b = 27 - a

yazılabilir.

Bilinmeyen kenarlar arasındaki bağıntıyı tek değişkene indirgemek için gereklidir.

2

Açı sıralamasını kenar uzunluğu sıralamasına dönüştürme.

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})

ise büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre

a > b > 9

olur.

Açı-kenar bağıntılarını kullanarak kenarların sınırlarını belirlemek gerekir.

3

Kenar sıralaması ve çevre bağıntısını birleştirerek eşitsizlik oluşturma.

a > 27 - a > 9

eşitsizliğinden;

2a > 27 \Rightarrow a > 13,5

ve

27 - a > 9 \Rightarrow a < 18

elde edilir.

a

kenarının alt ve üst sınırlarını daraltmak için gereklidir.

4

Üçgen eşitsizliğini uygulama.

a < b + 9 \Rightarrow a < (27 - a) + 9 \Rightarrow 2a < 36 \Rightarrow a < 18

olur. Ayrıca

b < a + 9 \Rightarrow 27 - a < a + 9 \Rightarrow 18 < 2a \Rightarrow a > 9

(zaten sağlanıyor).

Geometrik olarak bir üçgenin oluşabilmesi için gerekli temel şartı kontrol etmek gerekir.

5

Uygun tam sayı değerlerini belirleme ve toplama.

13,5 < a < 18

aralığındaki tam sayılar 14, 15, 16 ve 17'dir. Toplam:

14 + 15 + 16 + 17 = 62

.

Soruda istenen nihai sonucu bulmak için tam sayı değerleri toplanır.

Key Concept

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ve herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.

Question 407Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ noktası ağırlık merkezidir. $G$ noktasından geçen ve $BC$ kenarına paralel olan doğru, $AB$ kenarını $D$ , $AC$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir. $ABC$ üçgeninde $B$ köşesine ait iç açıortay doğrusu, $[DE]$ doğru parçasını $K$ noktasında kestiğine göre; $|AB| = 12$ cm ve $|BC| = 18$ cm ise $|KE|$ uzunluğu kaç santimetredir?

4

6

8

10

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8

Doğru cevap, ağırlık merkezinin sağladığı 2/3 benzerlik oranıyla tüm uzunluğun (DE) bulunması ve ardından açıortay ile paralelliğin oluşturduğu ikizkenar üçgen sayesinde sol parçanın (DK) bulunup çıkarılmasıyla elde edilir. |DE|=12 ve |DK|=4 olduğundan farkları 8'dir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi ve paralellik özelliğini kullanma

G ağırlık merkezi olduğundan kenarortayı 2:1 oranında böler. DE // BC olduğundan Temel Benzerlik Teoremi gereği benzerlik oranı 2/3'tür.

Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır (2k ve k).

2

DE uzunluğunu hesaplama

|DE| / |BC| = 2/3 eşitliğinden, |DE| / 18 = 2/3 => |DE| = 12 cm bulunur.

Benzerlik oranı tabanlara da uygulanır.

3

Paralel doğrular ve açıortay ilişkisini (Z kuralı) inceleme

DE // BC olduğundan Z kuralı gereği m(DKB) = m(KBC). Açıortaydan dolayı m(DBK) = m(KBC) idi. O halde m(DBK) = m(DKB) olur.

İç ters açılar ve açıortay tanımı birleşince ikizkenar üçgen oluşur.

4

DBK üçgeninin ikizkenarlığını kullanma

DBK ikizkenar üçgen olduğundan |DK| = |DB| olur. Ağırlık merkezi oranından (2/3 benzerlik) |AD| = 2/3 |AB| ve |DB| = 1/3 |AB|'dir. |DB| = 12 / 3 = 4 cm. Dolayısıyla |DK| = 4 cm.

Paralel doğru yan kenarları da aynı oranda (2:1) böler.

5

KE uzunluğunu bulma

|KE| = |DE| - |DK| = 12 - 4 = 8 cm.

Bulunan parçaların farkı istenen sonucu verir.

Key Concept

Ağırlık merkezi, benzerlik ve açıortay-paralellik ilişkisi (Z kuralı ile gizli ikizkenar üçgen)

Hints

1

G ağırlık merkezi olduğundan, tepeden inen kenarortayı 2:1 oranında böler. Bu oran, paralel doğrular sayesinde kenarlara da (benzerlik olarak) yansır.

2

Paralel iki doğru arasında bir açıortay varsa (burada BK doğrusu), mutlaka 'Z kuralı'nı arayın. Bu size gizli bir ikizkenar üçgen verecektir.

Practice More

Benzer kurguda, açıortayın C köşesinden çizildiği ve arada kalan parçanın sorulduğu bir soru çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 408Question →

Taban yarıçapı $r=4$ birim, ana doğru uzunluğu $l=12$ birim olan dik dairesel koni biçimindeki bir cismin taban çevresi üzerindeki A noktasında bulunan bir karınca, koni yüzeyi üzerinden yürüyerek en kısa yoldan B noktasına gitmek istemektedir.

B noktası; A noktasının bulunduğu ana doğrunun, koni eksenine göre simetriği olan (tam karşıdaki) ana doğrunun orta noktasıdır.

Buna göre, karıncanın alacağı en kısa yol kaç birimdir?

6\sqrt{3}

6\sqrt{5}

6\sqrt{7}

2\sqrt{17}

18

Show answer & explanation

Answer: $6\sqrt{3}$

Answer

6\sqrt{3}

birimdir.

Doğru cevap, koninin yanal yüzeyi açılarak düzleme aktarıldığında A ve B noktaları arasındaki doğrusal uzaklıktır.

r=4

ve

l=12

olduğundan açınım açısı

120^\circ

'dir. B noktası karşı ana doğru üzerinde olduğundan, A ile B arasındaki açı

60^\circ

olur. Kenarları

12

ve

6

, arasındaki açısı

60^\circ

olan üçgende kosinüs teoremi uygulandığında (veya 30-60-90 üçgeni özelliği fark edildiğinde) uzunluk

6\sqrt{3}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Koninin yanal yüzeyinin açık hali (daire dilimi) düşünülür. Bu daire diliminin merkez açısı (

\alpha

) hesaplanır.

\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ \cdot \frac{4}{12} = 120^\circ

Koninin yanal yüzeyi açıldığında oluşan daire diliminin açısı, taban yarıçapı ile ana doğru uzunluğu oranına bağlıdır.

2

Başlangıç (A) ve bitiş (B) noktalarının açınım üzerindeki konumları belirlenir. B noktası 'karşı' ana doğru üzerinde olduğundan, merkez açı iki eşit parçaya bölünür.

Hedef açı

\theta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ

Koninin tam turu

120^\circ

'lik dilime karşılık gelir. Tam karşı taraf (simetrik konum) bu açının yarısı kadar dönmeyi gerektirir.

3

Açınım üzerinde oluşan üçgen modellenir. Bir kenarı

T A = 12

br (ana doğru), diğer kenarı

T B = 6

br (orta nokta) ve aradaki açı

60^\circ

'dir. Kosinüs teoremi uygulanır.

x^2 = 12^2 + 6^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)

Yüzey üzerindeki en kısa yol, açınım düzlemindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır.

4

İşlem tamamlanarak sonuca ulaşılır.

x^2 = 144 + 36 - 144 \cdot \frac{1}{2} = 180 - 72 = 108 \Rightarrow x = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}

Hesaplama adımı.

Key Concept

Koni Yüzeyinde En Kısa Yol (Açınım)

Hints

1

Bir katı cismin yüzeyi üzerindeki 'en kısa yol' sorularında, cismi makasla kesip düz bir kağıt gibi açtığınızı hayal edin.

2

Koninin yanal yüzeyinin açık hali bir daire dilimidir. Bu dilimin merkez açısını

\alpha = 360^\circ \cdot (r/l)

formülüyle hesaplayın.

3

Dilim açısı

120^\circ

çıkar. B noktası tam karşıda olduğu için bu açının yarısını (

60^\circ

) kullanın. Şimdi kenarları 12 ve 6, aradaki açısı

60^\circ

olan üçgeni çizin.

Practice More

Benzer bir soruyu silindir yüzeyi üzerinde, karıncanın tam tur atarak ilerlediği senaryo için çözün.

Alternative Method

Oluşan üçgenin kenarları 6 ve 12, aradaki açı 60 derecedir. Bu, özel bir dik üçgendir (30-60-90). Hipotenüs 12 ise ve 60 derecenin bir komşusu 6 (hipotenüsün yarısı) ise, diğer açı 90 derecedir. 60'ın karşısındaki kenar doğrudan

6\sqrt{3}

olur.

Estimated Time:4m 0s

Question 409Question →

Bir köprü projesinin teknik çiziminde, $ABC$ üçgeni biçimindeki bir destek bloğu modellenmiştir. Modelde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[AC]$ kenarı üzerinde yer almaktadır. $[AD]$ ve $[BE]$ destek kirişleri $K$ noktasında kesişmektedir.

Verilen çizimde:

|BD| = 2|DC|

|AE| = 3|EC|

Sistemin dengesini artırmak amacıyla, $K$ noktasından geçip $[BC]$ kenarına paralel olan bir $[KF]$ ara bağlantısı eklenmiştir ( $F \in [AC]$ ).

$|AC| = 44$ birim olduğuna göre, $[AC]$ üzerindeki $E$ ve $F$ noktaları arasındaki mesafe ( $|EF|$ ) kaç birimdir?

3

4

6

8

11

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

E ve F noktaları arasındaki mesafe 3 birimdir.

Soruda verilen oranlar kullanılarak önce Menelaus teoremi ile kesişim noktasının (K) konumu belirlenir (

AK/AD = 9/11

). Daha sonra

KF \parallel DC

olduğu için Temel Benzerlik Teoremi ile F noktasının yeri (

AF=36

) bulunur. E noktasının yeri verilen orandan (

AE=33

) hesaplanır. İki nokta arasındaki fark 3 birimdir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen oranları yerleştir ve Menelaus Teoremi'ni uygula.

ADC üçgeninde B-K-E keseni için Menelaus:

(CB/BD) \cdot (DK/KA) \cdot (AE/EC) = 1

. Verilenler

BD=2k, DC=k \implies CB=3k

ve

AE=3m, EC=m

. Denklem:

(3k/2k) \cdot (DK/KA) \cdot (3m/m) = 1 \implies (3/2) \cdot (DK/KA) \cdot 3 = 1

.

K noktasının AD üzerindeki konumunu (AK/AD oranını) bulmak için Menelaus teoremi gereklidir.

2

AK/AD oranını hesapla.

9/2 \cdot (DK/KA) = 1 \implies DK/KA = 2/9

. Buradan

AK/AD = AK/(AK+KD) = 9/(9+2) = 9/11

bulunur.

Paralel doğru parçasının (KF) yerini belirlemek için tepe noktasına olan oran gereklidir.

3

Thales (Temel Orantı) Teoremi ile F noktasının konumunu bul.

KF \parallel DC

olduğundan

\triangle ADC

içinde

AF/AC = AK/AD

olur.

AF/44 = 9/11 \implies AF = 36

birim.

Paralel doğrularda kenarlar orantılı bölünür.

4

E noktasının konumunu bul ve |EF| mesafesini hesapla.

|AE| = 3|EC|

ve

|AC|=44

olduğundan

|AE| = \frac{3}{4} \cdot 44 = 33

birim.

|EF| = |AF - AE| = |36 - 33| = 3

birim.

İki nokta arasındaki mesafe, tepe noktasına olan uzaklıkların farkıdır.

Key Concept

Menelaus Teoremi ve Temel Orantı (Thales) Teoremi'nin birlikte kullanımı

Hints

1

Önce

ADC

üçgenine odaklanın ve

B-K-E

doğrusunun bu üçgeni kestiğini düşünerek Menelaus Teoremi'ni uygulayın.

2

Menelaus Teoremi ile

AK/AD

oranını bulduktan sonra,

KF \parallel BC

bilgisini kullanarak

AF

uzunluğunu Thales Teoremi ile hesaplayın.

Practice More

Menelaus teoremini kullanmadan, sadece alan oranları yöntemiyle çözmeyi deneyin.

Alternative Method

A noktasından BC'ye paralel bir doğru çizip 'Kelebek' (Papillon) benzerliği oluşturarak da K noktasının oranını bulabilirsiniz.

Estimated Time:4m 0s

Question 410Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|BC| = 4 + 4\sqrt{3}$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç santimetredir?

4

4\sqrt{2}

4\sqrt{3}

8

8\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $4\sqrt{2}$

Answer

4\sqrt{2}

santimetre olan seçenek doğrudur.

Üçgenin içinden indirilen bir dikme ile iki tane özel açılı dik üçgen (

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ve

30^\circ-60^\circ-90^\circ

) oluşturulur. Bu üçgenlerin ortak kenarı olan yükseklik

4

cm olarak hesaplanır. İstenen

|AB|

kenarı, ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü olduğu için yüksekliğin

\sqrt{2}

katı olan

4\sqrt{2}

cm sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

A

köşesinden

[BC]

kenarına bir dikme indirelim.

Dikmenin

[BC]

kenarını kestiği noktaya

H

diyelim.

[AH] \perp [BC]

olur.

Özel açılı (

30^\circ, 45^\circ, 60^\circ

) üçgen sorularında, bu açılardan faydalanmak için dik üçgenler oluşturulur.

2

ABH

dik üçgenindeki özellikleri belirleyelim.

m(\widehat{BAH}) = 45^\circ

olur.

|AH| = x

dersek,

|BH| = x

ve

|AB| = x\sqrt{2}

olur.

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ikizkenar dik üçgeninde dik kenarlar eşit, hipotenüs dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır.

3

AHC

dik üçgenindeki özellikleri belirleyelim.

m(\widehat{CAH}) = 60^\circ

olur.

|AH| = x

ise,

30^\circ

karşısındaki kenar

x

olduğundan,

60^\circ

karşısındaki

|HC| = x\sqrt{3}

olur.

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar,

30^\circ

'nin karşısındakinin

\sqrt{3}

katıdır.

4

|BC|

uzunluğunu

x

cinsinden yazıp verilen değere eşitleyelim.

|BC| = |BH| + |HC| = x + x\sqrt{3} = x(1 + \sqrt{3})

olur.

x(1 + \sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3})

ise

x = 4

bulunur.

BC

uzunluğu, oluşturduğumuz iki dik üçgenin taban parçalarının toplamına eşittir.

5

|AB|

uzunluğunu hesaplayalım.

|AB| = x\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

cm bulunur.

İkinci adımda belirlediğimiz

|AB| = x\sqrt{2}

ilişkisini kullanarak sonuca ulaşıyoruz.

Key Concept

Özel Açılı Üçgenlerde Yardımcı Dikme Yardımıyla Çözüm

Hints

1

Üçgenin içinde

45^\circ

ve

30^\circ

gibi özel açılar varsa,

A

köşesinden tabana bir dikme indirerek iki tane dik üçgen oluşturmayı deneyin.

2

İndirdiğiniz yüksekliğe

x

derseniz, sol taraftaki üçgende taban

x

, sağ taraftaki üçgende taban

x\sqrt{3}

olur. Bunların toplamı size

|BC|

uzunluğunu verecektir.

3

x + x\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3})

denklemini çözerek

x

değerini bulun. Ardından

AB

kenarının bu

x

değerinin

\sqrt{2}

katı olduğunu unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruda dış açıları kullanarak (örneğin

135^\circ

veya

120^\circ

) dışarıdan dikme indirip dik üçgen oluşturma pratiği yapabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 411Question →

Bir $ABC$ üçgeninde iç açıların ölçüleri $m(\widehat{A}) = 70^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 60^\circ$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları olan $a$ , $b$ ve $c$ arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

a > b > c

b > a > c

c > b > a

a > c > b

b > c > a

Show answer & explanation

Answer: $a > b > c$

Answer

Kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama a > b > c şeklindedir.

Üçgenin iç açılarının toplamı

180^\circ

olduğundan

C

açısı

50^\circ

olarak bulunur. Açılar büyükten küçüğe

70^\circ > 60^\circ > 50^\circ

şeklinde sıralandığı için, bu açıların karşısındaki kenarlar da aynı mantıkla

a > b > c

şeklinde sıralanır.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin verilmeyen üçüncü iç açısını hesaplayın.

m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 60^\circ) = 50^\circ

Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman

180^\circ

olduğu için iki açısı bilinen üçgenin üçüncü açısı bu şekilde bulunur.

2

Tüm iç açıları büyükten küçüğe doğru sıralayın.

70^\circ > 60^\circ > 50^\circ

yani

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})

Kenar uzunluklarını karşılaştırmak için önce bu açıların büyüklüklerini belirlememiz gerekir.

3

Açı-kenar bağıntısı kuralını uygulayın.

a > b > c

Geometride temel bir kural olarak, bir üçgende büyük açının karşısında her zaman daha uzun bir kenar bulunur. A açısı en büyük olduğundan karşısındaki 'a' kenarı en uzundur, C açısı en küçük olduğundan karşısındaki 'c' kenarı en kısadır.

Key Concept

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

Hints

1

Bir üçgende iç açılar toplamının

180^\circ

olduğunu hatırlayarak verilmeyen

C

açısını bulmayı dene.

2

Bulduğun üç açıyı (

70^\circ, 60^\circ, 50^\circ

) büyükten küçüğe sırala.

3

'Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur' kuralını hatırla.

70^\circ

karşısındaki kenar en uzun olmalıdır.

Practice More

Farklı üçgen türlerinde (ikizkenar veya dik üçgen gibi) bu bağıntının nasıl değiştiğini inceleyebilirsin.

Estimated Time:45s

Question 412Question →

$ABC$ bir üçgen, $G$ noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. $G$ noktasından geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan $d$ doğrusu, $[AB]$ kenarını $D$ , $[AC]$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir.

$ABC$ üçgeninin alanı $72 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $DBCE$ dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

24

32

40

48

64

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

DBCE dörtgeninin alanı 40 santimetrekaredir.

Ağırlık merkezi kenarortayı 2'ye 1 oranında böler, bu da köşeden tabana doğru benzerlik oranının 2/3 olduğunu gösterir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (4/9) olduğundan, üstteki küçük üçgenin alanı tüm alanın 4/9'udur. Kalan dörtgenin alanı ise 72 - 32 = 40 cm² olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi özelliğini kullan.

G ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren 2 birim, kenardan itibaren 1 birim oranında böler. Yani |AG| / |AK| = 2/3'tür (K noktası BC üzerinde kenarortay ayağı ise).

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler.

2

Benzerlik oranını belirle.

DE // BC olduğu için ADE ve ABC üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı k = |AG| / |AK| = 2/3'tür.

Temel orantı teoremi (Thales).

3

Alanlar oranını hesapla.

Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: (2/3)² = 4/9.

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir.

4

ADE üçgeninin alanını bul.

Alan(ADE) = (4/9) * Alan(ABC) = (4/9) * 72 = 32 cm².

Toplam alanın 4/9'u üstteki küçük üçgene aittir.

5

Dörtgenin alanını bulmak için çıkarma yap.

Alan(DBCE) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 72 - 32 = 40 cm².

Tüm alandan üstteki üçgenin alanı çıkarılarak alttaki dörtgenin alanı bulunur.

Key Concept

Üçgende Benzerlik ve Alan İlişkisi

Hints

1

Ağırlık merkezi (G), bir kenarortayı köşeye olan uzaklığı kenara olan uzaklığının 2 katı olacak şekilde böler.

2

Bu oran (2:1), tabana paralel çizilen doğru sayesinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen arasındaki benzerlik oranını belirler. Benzerlik oranı 2/3'tür.

3

Benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

'dir.

\left(\frac{2}{3}\right)^2

oranını kullanarak üstteki üçgenin alanını hesaplayın ve tüm alandan çıkarın.

Practice More

Benzer şekilde, orta taban çizildiğinde alanın nasıl bölündüğünü (S, 3S) inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

S2 kuralı: Paralel kesenlerde alanlar, kenar oranlarının kareleri farkı ile orantılıdır (S, 3S, 5S kuralının genel hali). Ancak burada doğrudan k² formülü daha pratiktir.

Estimated Time:2m 30s

Question 413Question →

Yarıçapı $2\sqrt{6}$ cm olan içi dolu bir yarım kürenin içine, bir yüzü yarım kürenin taban düzlemi üzerinde olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli küpün hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

16\sqrt{2}

32

48

64

48\sqrt{6}

Show answer & explanation

Answer: $64$

Answer

Küpün hacmi 64 cm³'tür.

Yarım kürenin merkezinden küpün üst köşesine çizilen doğru parçası kürenin yarıçapıdır (

R

). Bu yarıçap, küpün yüksekliği (

a

) ve taban köşegeninin yarısı (

\frac{a\sqrt{2}}{2}

) ile bir dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısı (

R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2

) kurularak küpün bir kenarı

a=4

cm bulunur. Hacim ise

a^3 = 64

cm³ olur.

Step-by-Step Solution

1

Problemi modelleyin ve değişkenleri tanımlayın.

Küpün bir ayrıtına

a

diyelim. Küpün tabanı yarım kürenin taban merkezinde çakışıktır. Küpün üst köşeleri yarım kürenin yüzeyine değer.

En büyük hacimli küp için köşelerin küre yüzeyine temas etmesi gerekir.

2

Yarıçap, yükseklik ve taban yarıçapı arasındaki dik üçgen bağıntısını kurun.

Merkezden küpün üst köşesine çizilen yarıçap

R

'dir. Dik üçgenin dik kenarları: küpün yüksekliği (

a

) ve taban merkezinden köşeye olan yatay uzaklık (yüzey köşegeninin yarısı:

\frac{a\sqrt{2}}{2}

).
Bağıntı:

R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2

.

Pisagor bağıntısı kullanılarak

a

ile

R

arasındaki ilişki bulunur.

3

Denklemi çözerek küpün bir ayrıtını (

a

) bulun.

R = 2\sqrt{6}

ise

R^2 = 24

.

24 = a^2 + \frac{2a^2}{4} = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}

.

48 = 3a^2 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4

cm.

Hacim hesabı için kenar uzunluğu gereklidir.

4

Küpün hacmini hesaplayın.

V = a^3 = 4^3 = 64

\text{cm}^3

.

Küpün hacim formülü

V = a^3

tür.

Key Concept

Küre içine yerleştirilen cisimlerde Pisagor bağıntısı ile yarıçap ve kenar ilişkisinin kurulması.

Hints

1

Küpün tabanının yarım kürenin dairesel tabanı üzerinde olduğuna dikkat edin. Kürenin merkezi ile küpün taban merkezi aynı noktadır.

2

Kürenin merkezinden, küpün yarım küre yüzeyine değen üst köşelerinden birine bir doğru çizin. Bu doğrunun uzunluğu yarıçaptır (

R

). Oluşan dik üçgeni görmeye çalışın.

3

Oluşan dik üçgenin dik kenarları: küpün yüksekliği (

a

) ve küpün taban köşegeninin yarısıdır. Pisagor bağıntısını

R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2

şeklinde kurun.

Practice More

Tam bir küre içine yerleştirilen en büyük hacimli küpün hacmini soran bir problem çözerek simetri farkını inceleyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 414Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. Üçgenin $G$ ağırlık merkezi, hipotenüse ait kenarortay doğrusu üzerindedir. $A$ köşesi ile $G$ noktası arasındaki uzaklık $|AG| = (3x - 4)$ cm ve $G$ noktası ile hipotenüs üzerindeki kenarortay ayağı $D$ arasındaki uzaklık $|GD| = x$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $ABC$ üçgeninin hipotenüs uzunluğu ( $|BC|$ ) kaç santimetredir?

12

16

20

24

36

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

24 santimetredir

Dik üçgende ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (

|AG|=2|GD|

) ve hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü). Denklemden

x=4

bulunur, kenarortay 12 cm olur, hipotenüs ise 24 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi özelliğini kullan

|AG| = 2 \cdot |GD|

bağıntısını kur:

3x - 4 = 2x

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.

2

Denklemi çöz ve x değerini bul

3x - 2x = 4 \Rightarrow x = 4

Bilinmeyeni bulmak için birinci dereceden denklem çözülür.

3

Kenarortay uzunluklarını hesapla

|GD| = 4

cm,

|AG| = 3(4) - 4 = 8

cm. Toplam kenarortay

|AD| = 12

cm.

Bulunan x değeri yerine konularak parça uzunlukları toplanır.

4

Muhteşem üçlü özelliğini uygula

|BC| = 2 \cdot |AD| = 2 \cdot 12 = 24

cm

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Key Concept

Muhteşem Üçlü ve Ağırlık Merkezi

Hints

1

Üçgenin ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye olan uzaklığı kenara olan uzaklığının iki katı olacak şekilde böler (

k

'ya

2k

kuralı).

2

|AG| = 2 \cdot |GD|

eşitliğini kullanarak önce

x

değerini, sonra kenarortayın tamamını (

|AD|

) bulun.

3

Dik üçgende 'Muhteşem Üçlü' kuralını hatırlayın: Hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (

|BC| = 2 \cdot |AD|

).

Practice More

Benzer bir soruyu, hipotenüs uzunluğunu verip ağırlık merkezinin köşeye uzaklığını sorarak kurgulayabilirsiniz.

Alternative Method

Ağırlık merkezi kenarortayı 1/3 ve 2/3 oranında böldüğünden, doğrudan

3x-4

ve

x

değerlerini oranlayarak denklem kurmadan da oran kontrolü yapılabilir ancak denklem en kesin yoldur.

Estimated Time:1m 30s

Question 415Question →

ABC bir üçgendir. D noktası [BC] kenarı üzerinde, E noktası [AC] kenarı üzerindedir. $|BD| = 3|DC|$ ve $|AE| = 2|EC|$ eşitlikleri veriliyor. [AD] ve [BE] doğru parçaları K noktasında kesişmektedir.

Buna göre, Alan(AKE) / Alan(ABC) oranı kaçtır?

\frac{2}{33}

\frac{4}{33}

\frac{5}{33}

\frac{2}{11}

\frac{4}{11}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{33}$

Answer

4/33

Soruyu çözmek için 'Alan Taban İlişkisi' ve 'Menelaus Teoremi' (veya Kütle Merkezi Yöntemi) kullanılır. İlk olarak Menelaus teoremi ile K noktasının [AD] üzerindeki konumu belirlenir (

|AK|/|KD| = 8/3

). Daha sonra

\text{Alan}(AKE)

,

\text{Alan}(ADC)

içinde kenar oranlarına göre hesaplanır (

\frac{8}{11} \cdot \frac{2}{3}

). Son olarak

\text{Alan}(ADC)

'nin tüm alana oranı (

\frac{1}{4}

) ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen oranları kenarlara yerleştirme

|BD| = 3k, |DC| = k \Rightarrow |BC| = 4k

ve

|AE| = 2m, |EC| = m \Rightarrow |AC| = 3m

.

Alan oranlarını bulmak için kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirlememiz gerekir.

2

Menelaus Teoremi'ni uygulama

ADC üçgeninde B-K-E keseni için Menelaus:

\frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AK|}{|KD|} \cdot \frac{|DB|}{|BC|} = 1

(Hatalı yön) -> Doğru yön C köşesinden başlar:

\frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AK|}{|KD|} \cdot \frac{|DB|}{|BC|}

değil,

B-K-E

doğrusu

AD

ve

AC

kenarlarını kestiği için

C

köşesinden:

\frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AK|}{|KD|} \cdot \frac{|DB|}{|BC|}

formülü yerine kütle merkezi veya doğru Menelaus sırası kullanılır:

\frac{|CB|}{|BD|} \cdot \frac{|DK|}{|KA|} \cdot \frac{|AE|}{|EC|} = 1

değil.
Doğru Menelaus (ADC üçgeni, B-K-E keseni):

\frac{|CB|}{|BD|} \dots

Hayır, B noktası uzantıda.
En pratik yöntem:

\frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CB|}{|BD|} \cdot \frac{|DK|}{|KA|} = 1 \Rightarrow \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{|DK|}{|KA|} = 1 \Rightarrow \frac{|DK|}{|KA|} = \frac{3}{8}

.

K noktasının [AD] üzerindeki oranını bulmak (AK/KD) alan paylaşımı için gereklidir.

|AK|=8x, |KD|=3x

bulunur.

3

Alan(AKE) ile Alan(ADC) ilişkisini kurma

\frac{\text{Alan}(AKE)}{\text{Alan}(ADC)} = \frac{|AK|}{|AD|} \cdot \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{8}{11} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{33}

.

Ortak A açısına sahip üçgenlerin alanları, açıyı oluşturan kenarların çarpımı ile orantılıdır (Sinüs alan formülü gereği).

4

Alan(ADC) ile Alan(ABC) ilişkisini kurma

\frac{\text{Alan}(ADC)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{|DC|}{|BC|} = \frac{1}{4}

.

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır.

5

Sonuç oranını hesaplama

\frac{\text{Alan}(AKE)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{16}{33} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{33}

.

Zincirleme oranları çarparak istenen sonucu buluruz.

Key Concept

Üçgende Alan Paylaştırma ve Menelaus Teoremi

Hints

1

Önce ADC üçgeni içinde K noktasının [AD] kenarını hangi oranda böldüğünü bulmaya çalışın.

2

ADC üçgeni ve B-K-E keseni için Menelaus teoremini uygulayarak AK/KD oranını bulun.

3

AK/KD = 8/3 bulduktan sonra, AKE alanını Sinüs Alan formülü mantığıyla (kenar çarpımları) ADC alanına oranlayın, sonra ADC'yi ABC'ye oranlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu Menelaus yerine 'Kelebek Benzerliği' oluşturacak şekilde paralel çizerek çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Kütle Merkezi (Bariçentrik Koordinatlar) Yöntemi: C noktasına 3 birim kütle koyarsak, |BD|=3|DC| olduğu için B noktasına 1 birim, |AE|=2|EC| olduğu için A noktasına 1.5 birim kütle düşer. Tam sayılarla çalışmak için hepsini 2 ile genişletelim:

m(C)=6, m(B)=2, m(A)=3

. Bu durumda D noktasındaki yük 8, E noktasındaki yük 9 olur. K noktası [AD] üzerinde olduğu için

m(A)\cdot |AK| = m(D)\cdot |KD| \Rightarrow 3|AK| = 8|KD|

. Buradan oran

8/3

kolayca bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 416Question →

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 15^\circ$ olarak verilmiştir. $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretlenmiştir.

$m(\widehat{DBC}) = 15^\circ$ ve $|DC| = 12$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kaç cm'dir?

4

6

4\sqrt{3}

6\sqrt{3}

12

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6 cm

Verilen 15 derecelik açılar kullanıldığında BDC üçgeninin ikizkenar olduğu görülür (|BD|=|DC|=12). Bu durumda ABD üçgeni bir 30-60-90 dik üçgenine dönüşür. Hipotenüsü 12 cm olan bu üçgende, 60 derecenin komşusu (30 derecenin karşısı) olan AB kenarı hipotenüsün yarısına, yani 6 cm'ye eşittir.

Step-by-Step Solution

1

ABC üçgenindeki açıları belirle.

C açısı 15° ve A açısı 90° olduğundan, B açısının tamamı 75° olur.

Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.

2

BDC üçgeninin özelliğini tespit et.

DBC açısı 15° ve C açısı 15° olduğundan, BDC ikizkenar üçgendir ve |BD| = |DC| = 12 cm olur.

Taban açıları eşit olan üçgenler ikizkenardır.

3

ABD üçgenindeki açıları bul.

ABC açısı 75° ve DBC açısı 15° olduğundan, ABD açısı 75° - 15° = 60° olur.

Açıların farkı alınarak bilinmeyen açı bulunur.

4

ABD dik üçgeninde trigonometrik oranı veya özel üçgen kuralını uygula.

ABD üçgeni bir 30-60-90 üçgenidir (D açısı 30°). 90°'nin karşısı (BD) 12 cm ise, 30°'nin karşısı (AB) hipotenüsün yarısıdır: 12 / 2 = 6 cm.

30-60-90 üçgeninde 30 derecenin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır.

Key Concept

15-75-90 üçgeni içindeki ikizkenar parçalanma ve 30-60-90 üçgeni ilişkisi.

Hints

1

Önce üçgenin verilmeyen açılarını (özellikle B açısının tamamını ve parçalarını) hesaplayın.

2

BDC üçgeninin taban açılarına (DBC ve C açıları) dikkat edin; bu üçgenin kenarları arasında nasıl bir ilişki var?

3

BDC ikizkenardır, yani BD uzunluğu DC'ye eşittir. Şimdi oluşan ABD dik üçgeninin açılarına (60-30) göre işlem yapın.

Practice More

15-75-90 üçgeninde hipotenüse inen yüksekliğin hipotenüsün 4'te 1'i olduğu kuralını içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Trigonometri kullanarak: AB = |BC| * sin(15) formülü yerine, doğrudan BDC ikizkenarlığını görmek çok daha kısadır.

Estimated Time:2m 0s

Question 417Question →

Aşağıda verilen $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ paralelliği sağlanmaktadır. $m(\widehat{DAB}) + m(\widehat{CBA}) = 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

$|AD| = 6 \text{ cm}$ , $|BC| = 8 \text{ cm}$ ve $|DC| = 5 \text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

24

36

48

60

96

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

48

Verilen açı şartı (

m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 90^\circ

), yan kenarların bir noktada dik kesiştiğini gösterir.

AD

kenarını paralel kaydırarak oluşturulan 6-8-10 dik üçgeninden yamuğun yüksekliği

h=4,8

cm bulunur. Tabanlar toplamı 20 cm olduğu için alan

10 \times 4,8 = 48

cm

^2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

D

köşesinden

[BC]

kenarına paralel bir

[DK]

doğrusu çizilir (

K \in [AB]

).

ADCD

bir paralelkenar olur.

Yamuğun taban açıları toplamı verildiğinde, yan kenarlardan birine paralel çizerek bir üçgen oluşturmak çözüm için standart bir yöntemdir.

2

Oluşan

DKB

üçgeninin açılarını ve kenarlarını incele.

m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{DAB})

(yöndeş) olduğu için

m(\widehat{DKB}) + m(\widehat{KBA}) = 90^\circ

olur. Bu durumda

m(\widehat{KDB}) = 90^\circ

olmalıdır. Kenarlar:

|DK|=6

,

|KB|=8

.

Açıların toplamı 90 derece olduğundan, oluşan üçgenin tepe açısı dik açı olmak zorundadır. Bu bir 6-8-10 dik üçgenidir.

3

Yamuğun yüksekliğini (

h

) hesapla.

Üçgenin alanı iki yolla yazılır:

\frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{10 \cdot h}{2} \Rightarrow 24 = 5h \Rightarrow h = 4,8 \text{ cm}

.

Dik üçgende alan hem dik kenarlar çarpımının yarısı hem de hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

4

Alt taban uzunluğunu (

|AB|

) bul ve yamuk alanını hesapla.

|AB| = |AK| + |KB| = 5 + 10 = 15 \text{ cm}

. Alan =

\frac{5 + 15}{2} \cdot 4,8 = 10 \cdot 4,8 = 48 \text{ cm}^2

.

Yamuk alanı, alt ve üst tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımıdır.

Key Concept

Yamukta Açı Özellikleri ve Alan

Hints

1

Yamuğun yan kenarlarından birine (

AD

veya

BC

) paralel olacak şekilde içeriden bir doğru parçası çizmeyi deneyin.

2

AD

kenarına paralel çizdiğinizde oluşan üçgenin kenar uzunlukları 6 ve 8 olacaktır. Bu üçgenin tepe açısını, verilen açı toplamı bilgisini kullanarak bulun.

3

Oluşan üçgen 6-8-10 dik üçgenidir. Bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği, aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir. Öklid bağıntılarını veya alan eşitlemesini kullanarak yüksekliği bulun.

Practice More

Aynı soru tipi için, açıların toplamı 90 derece yerine 60 veya 120 derece verilseydi hangi özel üçgen (30-60-90 veya kosinüs teoremi) kullanılırdı?

Alternative Method

Yan kenarları yukarı doğru uzatarak yamuğu büyük bir dik üçgene tamamlayabilirsiniz. Benzerlik oranlarını kullanarak büyük ve küçük üçgenlerin alanları farkından sonuca gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 418Question →

ABC bir üçgen, $[AN]$ iç açıortaydır.

|AB| = 6 \text{ cm}

|AC| = 12 \text{ cm}

m(\widehat{BAC}) = 120^\circ

Yukarıdaki verilere göre, $|AN|$ uzunluğu kaç santimetredir?

3

4

3\sqrt{3}

2\sqrt{7}

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4 santimetredir.

Soruda

120^\circ

açısının açıortayı verildiği için açı

60^\circ-60^\circ

bölünür. Bu durumda en pratik yöntem alan parçalamasıdır. Toplam Alan = Parça Alanların Toplamı prensibiyle;

6 \cdot 12 = 6x + 12x

bağıntısı elde edilir ve buradan açıortay uzunluğu 4 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Problemi analiz et

Verilenler:

|AB|=c=6

,

|AC|=b=12

,

m(\widehat{A})=120^\circ

ve

[AN]

iç açıortaydır. Açıortay açıyı

60^\circ - 60^\circ

olarak böler. İstenen:

|AN|=x

.

Geometrik şekli ve verilen değerleri çözüm yöntemine hazırlamak için tanımlama yapılır.

2

Alan formülü yöntemini uygula (Alternatif 1 - Pratik Yol)

A(ABC) = A(ABN) + A(ANC)

eşitliği yazılır. Sinüs alan formülü kullanılır:

\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x \cdot \sin(60^\circ) + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot x \cdot \sin(60^\circ)

Açılar bilindiğinde (

60^\circ

ve

120^\circ

) alan yöntemi, uzun kosinüs teoremi işlemlerinden çok daha hızlı sonuç verir.

3

Denklemi sadeleştir ve çöz

\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ)

olduğundan her iki taraftaki

\frac{1}{2}\sin(60^\circ)

ifadeleri sadeleşir. Geriye kalan:

6 \cdot 12 = 6x + 12x

72 = 18x

x = 4

Matematiksel işlemi tamamlayarak bilinmeyen uzunluğu bulmak.

Key Concept

Özel açılı üçgenlerde iç açıortay uzunluğunu bulmak için Alan Yöntemi veya Cosinüs Teoremi ile Açıortay Uzunluk Formülü kombinasyonu kullanılır.

Hints

1

Verilen

120^\circ

açısı, açıortay tarafından iki adet

60^\circ

'lik açıya bölünür. Sinüs alan formülünü hatırlayın.

2

Üçgenin toplam alanını, açıortayın ayırdığı iki küçük üçgenin alanları toplamı şeklinde yazabilirsiniz:

A(ABC) = A(ABN) + A(ANC)

.

Practice More

Benzer bir soruyu

90^\circ

(dik üçgen) açıortayı için çözerek Pisagor bağıntısı ile ilişkinizi pekiştirin.

Alternative Method

Cosinüs Teoremi Yöntemi: Önce büyük üçgende Cosinüs teoremi ile

|BC|

bulunur (

|BC|=6\sqrt{7}

). Sonra Açıortay Teoremi ile taban

k

ve

2k

olarak ayrılır (

2\sqrt{7}

ve

4\sqrt{7}

). Son olarak Açıortay Uzunluk Formülü (

x^2 = b\cdot c - m \cdot n

) uygulanır:

x^2 = 6 \cdot 12 - 2\sqrt{7} \cdot 4\sqrt{7} = 72 - 56 = 16 \Rightarrow x=4

.

Estimated Time:3m 0s

Question 419Question →

$ABC$ bir üçgendir. $[AB]$ kenarı üzerinde $D$ , $[AC]$ kenarı üzerinde $E$ noktası alınmıştır ve $[DE] \parallel [BC]$ 'dir.

$[BE]$ ve $[CD]$ doğru parçaları $K$ noktasında kesişmektedir.

$Alan(\triangle DEK) = 4 \text{ cm}^2$ ve $Alan(\triangle BCK) = 16 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $Alan(\triangle ABC)$ kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

36

40

44

48

64

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

48

Verilen

4

ve

16

cm

^2

'lik alanlar,

[DE] \parallel [BC]

olduğu için 'kelebek' benzerliği oluşturur. Alan oranı

4/16=1/4

olduğundan benzerlik oranı

1/2

'dir. Bu oran aynı zamanda temel üçgen benzerliği (

\triangle ADE \sim \triangle ABC

) oranıdır. Yamuğun yan alanları

\sqrt{4 \cdot 16} = 8

'er cm

^2

bulunur, yamuk toplam alanı

36

olur. Temel benzerlik oranı

1/2

olduğundan alan oranı

1/4

'tür; yani üstteki küçük üçgen tüm alanın çeyreğidir, kalan yamuk ise

3/4

'üdür.

3/4

'ü

36

olan alanın tamamı

48

cm

^2

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Benzer üçgenleri belirle ve benzerlik oranını bul.

[DE] \parallel [BC]

olduğu için

\triangle DEK \sim \triangle CBK

(Kelebek/Kum saati benzerliği). Alanlar oranı

\frac{4}{16} = \frac{1}{4}

olduğundan, benzerlik oranı

k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

'dir. Yani

|DE| = k \cdot |BC| \Rightarrow |DE| = \frac{|BC|}{2}

'dir.

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

2

DBCE

yamuğunun toplam alanını hesapla.

Yamukta köşegenlerin ayırdığı alanlar kuralı gereği (

S_{yan} = \sqrt{S_{üst} \cdot S_{alt}}

),

Alan(\triangle DBK) = Alan(\triangle EKC) = \sqrt{4 \cdot 16} = 8 \text{ cm}^2

. Yamuğun toplam alanı:

4 + 16 + 8 + 8 = 36 \text{ cm}^2

.

Yamukta köşegenler çizildiğinde, paralel olmayan kenarlara komşu üçgenlerin alanları birbirine eşittir ve bu alan, taban/tavan üçgenlerinin alanlarının geometrik ortalamasıdır.

3

Temel orantı teoremi ile büyük üçgenin alanına geçiş yap.

\triangle ADE \sim \triangle ABC

benzerliğinde oran

\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{1}{2}

'dir. Alanlar oranı

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

olur.

Temel benzerlik teoremine göre paralel kesen, büyük üçgenle benzer küçük bir üçgen oluşturur.

4

Tüm alan hesabını tamamla.

Alan(\triangle ADE) = A

ise

Alan(\triangle ABC) = 4A

olur. Aradaki yamuğun alanı

4A - A = 3A

'dır.

3A = 36 \Rightarrow A = 12

. Toplam alan

4A = 4 \cdot 12 = 48 \text{ cm}^2

.

Bütünün alanı, parçaların alanları toplamıdır.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

Hints

1

[DE] \parallel [BC]

olduğu için oluşan kelebek (papyon) şeklindeki

\triangle DEK

ve

\triangle CBK

üçgenlerinin benzerliğini kullanın.

2

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir. Buradan

|DE|/|BC|

oranını bulun.

3

Yamuğun toplam alanını bulduktan sonra,

\triangle ADE \sim \triangle ABC

benzerliğini kullanarak tüm üçgenin alanına geçin. (Alanlar oranı yine benzerlik oranının karesi olacaktır).

Practice More

Benzerlik oranının hacimlere etkisini inceleyen katı cisim soruları çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Yamuk özelliklerini kullanmadan:

|DE|/|BC| = 1/2

bulunduktan sonra, yükseklikler oranı da

1/2

olur.

K

noktasının

DE

'ye uzaklığı

h_1

,

BC

'ye uzaklığı

h_2

olsun.

h_1/h_2 = 1/2

. Alan formülünden yükseklikleri cinsinden toplam yüksekliği bulup tüm alanı hesaplayabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 420Question →

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin kenar orta noktaları birleştirilerek elde edilen $KLMN$ dörtgeninin alanı $16\sqrt{3}$ $\text{cm}^2$ dir.

$ABCD$ dörtgeninin köşegenleri arasında $|AC| = 2|BD|$ bağıntısı bulunmaktadır ve köşegen uzunluklarının toplamı 24 cm'dir.

Buna göre, $ABCD$ dörtgeninin köşegenleri arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir?

15

30

45

60

75

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Dörtgenin köşegenleri arasındaki dar açı 60 derecedir.

Dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan alan, tüm alanın yarısıdır. Bu bilgiyle tüm alan

32\sqrt{3}

bulunur. Köşegenler

16

ve

8

cm olarak hesaplandıktan sonra, alan formülü

\frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin(\alpha)

kullanılarak

\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}

elde edilir, bu da dar açının 60 derece olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Köşegen uzunluklarını bulmak için verilen denklemleri çöz.

|AC| = 2|BD|

ve

|AC| + |BD| = 24

ise

2|BD| + |BD| = 24 \Rightarrow 3|BD| = 24

. Buradan

|BD| = 8

cm ve

|AC| = 16

cm bulunur.

Soruda verilen uzunluk bağıntılarını kullanarak sayısal değerlere ulaşmak gerekir.

2

Orta noktalar dörtgeni (Varignon paralelkenarı) ile ana dörtgenin alanı arasındaki ilişkiyi kullan.

Alan(

ABCD

) =

2 \times

Alan(

KLMN

)

= 2 \times 16\sqrt{3} = 32\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

Bir dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin alanı, esas dörtgenin alanının yarısıdır.

3

Dörtgenin alan formülünü kullanarak aradaki açıyı hesapla.

Alan(

ABCD

) =

\frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin(\alpha)

formülünde değerleri yerine koy:

32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 \cdot \sin(\alpha)

.

Köşegen uzunlukları ve aralarındaki açı bilindiğinde genel dörtgen alanı sinüs formülüyle bulunur.

4

Denklemi çözerek

\alpha

açısını bul.

32\sqrt{3} = 64 \cdot \sin(\alpha) \Rightarrow \sin(\alpha) = \frac{32\sqrt{3}}{64} = \frac{\sqrt{3}}{2}

. Sinüsü

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan dar açı

60^\circ

dir.

Trigonometrik denklem çözümü.

Key Concept

Genel dörtgenlerde alan formülü (Sinüslü Alan) ve Kenar Orta Noktalar Dörtgeni (Varignon Teoremi) ilişkisi.

Hints

1

Önce verilen denklemleri kullanarak köşegen uzunluklarını (

|AC|

ve

|BD|

) hesaplayınız.

2

Kenar orta noktalarını birleştiren

KLMN

dörtgeninin alanı ile büyük

ABCD

dörtgeninin alanı arasında sabit bir oran vardır: Alan(

KLMN

) =

\frac{\text{Alan}(ABCD)}{2}

.

3

Büyük dörtgenin alanını bulduktan sonra, Alan =

\frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin(\alpha)

formülünü kullanarak açıyı bulunuz.

Practice More

Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin orta noktalar dörtgeninin şekli ve alanı ile ilgili bir soru çözünüz.

Alternative Method

Orta noktalar dörtgeninin kenar uzunlukları, paralel oldukları köşegenlerin yarısına eşittir (

|KL| = |AC|/2

,

|LM| = |BD|/2

). Aradaki açı da köşegenler arasındaki açıya eşittir. Paralelkenar alanı formülünden (

a \cdot b \cdot \sin(\alpha)

) doğrudan sonuca gidilebilir:

(8) \cdot (4) \cdot \sin(\alpha) = 16\sqrt{3}

.

Estimated Time:2m 30s

Geometri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer