Examkin

Binom Açılımı

36 questions

Question 21Question →
(2x3−1x2)n \left( 2x^3 - \frac{1}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında ortanca terimin derecesi 33 olduğuna göre, bu açılımın sondan üçüncü teriminin katsayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Doğru cevap 60'tır.
Ortanca terim derecesi kullanılarak kuvvetin n=6n=6 olduğu bulunur. Bu açılımda sondan üçüncü terim, baştan beşinci terime (r=4r=4) karşılık gelir. Formülde yerine konulduğunda katsayı 60 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz ve ortanca terim şartını belirle.
Genel terim: C(n,r)(2x3)n−r(−x−2)rC(n,r) (2x^3)^{n-r} (-x^{-2})^r. Ortanca terim olması için nn çift sayı olmalı ve r=n/2r = n/2 alınmalıdır.
Binom açılımında ortanca terim, kuvvetin yarısı kadar adım gidildiğinde bulunur.
2
Verilen derece bilgisini kullanarak nn değerini bul.
xx'in kuvveti: 3(n−r)−2r=3n−5r3(n-r) - 2r = 3n - 5r. r=n/2r=n/2 için: 3n−5(n/2)=3⇒0,5n=3⇒n=63n - 5(n/2) = 3 \Rightarrow 0,5n = 3 \Rightarrow n=6.
Soruda ortanca terimin derecesinin (üs değerinin) 3 olduğu verilmiştir.
3
Sondan üçüncü terimin hangi rr değerine karşılık geldiğini bul.
Açılımda toplam n+1=7n+1 = 7 terim vardır. Sondan 1. (r=6r=6), sondan 2. (r=5r=5), sondan 3. terim için r=4r=4 olur.
Terimler r=0r=0'dan başlar. Sondan k. terim için r=n−(k−1)r = n - (k-1) formülü veya sayma yöntemi kullanılır.
4
Bulunan değerleri yerine koyarak katsayıyı hesapla.
Katsayı: C(6,4)⋅(2)6−4⋅(−1)4=15⋅22⋅1=15⋅4=60C(6,4) \cdot (2)^{6-4} \cdot (-1)^4 = 15 \cdot 2^2 \cdot 1 = 15 \cdot 4 = 60.
C(6,4)=15C(6,4) = 15 ve (−1)(-1)'in çift kuvveti pozitiftir.

Key Concept

Binom açılımında genel terim C(n,r)xn−ryrC(n,r) x^{n-r} y^r formülüyle bulunur. Sondan k. terim istendiğinde rr değeri baştan saymaya göre ayarlanmalıdır.

Hints

1
Önce nn değerini bulmak için genel terim formülünü (C(n,r)an−rbrC(n,r) a^{n-r} b^r) yazın ve ortanca terim için r=n/2r=n/2 olduğunu hatırlayın.
2
Ortanca terimin derecesi 3 olduğuna göre, xx'in kuvvetlerini eşitleyerek n=6n=6 olduğunu bulabilirsiniz.
3
n=6n=6 ise toplam 7 terim vardır. Sondan üçüncü terim, r=4r=4 alınarak hesaplanır.

Practice More

Aynı ifade için sabit terimi (x'ten bağımsız terim) bulunuz.

Alternative Method

Sondan k. terim formülü: (x+y)n(x+y)^n açılımında sondan k. terim, (y+x)n(y+x)^n açılımında baştan k. terime eşittir. İfadeyi (−1x2+2x3)6(-\frac{1}{x^2} + 2x^3)^6 olarak yazıp baştan 3. terimi (r=2r=2) hesaplayabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Question 22Question →
(x2−2x)6\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6
ifadesinin açılımındaki sabit terim (x'ten bağımsız terim) aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 240

Answer

İfadenin sabit terimi 240'tır.
Verilen ifadenin genel terimi
(6r)(x2)6−r(−2x−1)r\binom{6}{r}(x^2)^{6-r}(-2x^{-1})^r
şeklinde yazılır. x'in kuvvetleri düzenlendiğinde
x12−3rx^{12-3r}
elde edilir. Sabit terim olması için kuvvetin 0 olması gerekir (
12−3r=012-3r=0
), buradan
r=4r=4
bulunur. Katsayı hesabı yapıldığında
(64)(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4}(-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240
sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz.
(6r)(x2)6−r⋅(−2x−1)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \cdot (-2x^{-1})^r
Binom açılımının genel terimi
(nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r
formülü ile bulunur.
2
x'in kuvvetlerini düzenle.
(6r)⋅(−2)r⋅x2(6−r)⋅x−r=(6r)(−2)rx12−2r−r=(6r)(−2)rx12−3r\binom{6}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{2(6-r)} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-2r-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-3r}
Katsayıyı ve değişkenin üslerini ayrıştırarak x'in toplam kuvvetini bulmak gerekir.
3
Sabit terim için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve r değerini bul.
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (yani x'in kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.
4
Bulunan r değerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.
(64)⋅(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240
(64)=6⋅52⋅1=15\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
ve
(−2)4=16(-2)^4 = 16
olduğu için çarpım 240'tır.

Key Concept

Binom açılımında sabit terimi bulmak için genel terim formülünde değişkenin üssü 0'a eşitlenir.
Question 23Question →
(3x−y)n(3x - y)^n
ifadesinin binom açılımında 44 farklı terim bulunmaktadır.

Buna göre, bu açılımın katsayılar toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Binom açılımının katsayılar toplamı 8 olarak bulunur.
Verilen ifadede 4 terim olduğu belirtildiğinden n+1=4n+1=4 denkleminden n=3n=3 bulunur. Katsayılar toplamı için xx ve yy yerine 1 yazıldığında (3−1)3=23=8(3-1)^3 = 2^3 = 8 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Terim sayısından faydalanarak ifadenin kuvvetini (n) belirleyin.
n+1=4⇒n=3n + 1 = 4 \Rightarrow n = 3
Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına (n+1n+1) eşittir.
2
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazın.
x=1x = 1 ve y=1y = 1 için (3(1)−1)n(3(1) - 1)^n
Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmanın en kısa yolu, tüm değişkenlerin yerine 1 yazmaktır.
3
Bulunan kuvvet değerini yerine koyarak işlemi tamamlayın.
(3−1)3=23=8(3 - 1)^3 = 2^3 = 8
Tabandaki çıkarma işlemi yapıldıktan sonra elde edilen sayının belirlenen kuvveti alınır.

Key Concept

Binom açılımında terim sayısı n+1n+1 kuralına bağlıdır; katsayılar toplamı ise değişkenlere 1 verilerek bulunur.

Hints

1
Binom açılımındaki terim sayısı ile parantez dışındaki kuvvet arasındaki ilişkiyi hatırlayın (n+1n+1).
2
Katsayılar toplamını bulmak için xx ve yy yerine hangi sayıyı yazmanız gerektiğini düşünün.
3
Önce nn değerini bulun, ardından değişkenlere 1 vererek üslü ifadenin sonucunu hesaplayın.

Practice More

İçinde negatif terim bulunan bir binom açılımında katsayılar toplamının 0 çıktığı durumları inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 24Question →

(x2−2x2)n\left(x^2 - \frac{2}{x^2}\right)^n ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında, baştan 4. terim A⋅x4A \cdot x^4 biçimindedir.

Buna göre, AA sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: -448

Answer

İstenen katsayı -448 değeridir.
Verilen binom açılımında baştan 4. terim istendiği için r=3r=3 alınır. Genel terim formülü (nr)(x2)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r}(x^2)^{n-r}(-2x^{-2})^r şeklinde yazıldığında, x'in kuvveti 2(n−3)−2(3)=2n−122(n-3)-2(3) = 2n-12 olur. Soruda bu kuvvetin 4 olduğu belirtilmiştir (x4x^4). Buradan 2n−12=4⇒n=82n-12=4 \Rightarrow n=8 bulunur. Son olarak katsayı A=(83)(−2)3=56⋅(−8)=−448A = \binom{8}{3}(-2)^3 = 56 \cdot (-8) = -448 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz ve baştan 4. terim için r değerini belirle.
Binom açılımı genel terimi (nr)(a)n−r(b)r\binom{n}{r} (a)^{n-r} (b)^r şeklindedir. Baştan 4. terim için r=4−1=3r = 4-1 = 3 alınır.
n elemanlı bir kümenin r'li kombinasyonları açılımındaki terim sırası r=0r=0 ile başlar.
2
Verilen ifadeleri genel terimde yerine koyarak x'in kuvvetini n cinsinden ifade et.
(n3)(x2)n−3(−2x−2)3=(n3)x2n−6(−2)3x−6=(n3)(−8)x2n−12\binom{n}{3} (x^2)^{n-3} (-2x^{-2})^3 = \binom{n}{3} x^{2n-6} (-2)^3 x^{-6} = \binom{n}{3} (-8) x^{2n-12}
Üslü sayıların özellikleri kullanılarak x'in üsleri birleştirilir: (xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b} ve xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}.
3
Elde edilen x kuvvetini soruda verilen x4x^4 ile eşitleyerek n değerini bul.
2n−12=4  ⟹  2n=16  ⟹  n=82n - 12 = 4 \implies 2n = 16 \implies n = 8
Terimlerin özdeş olması için x'in kuvvetleri eşit olmalıdır.
4
Bulunan n=8 değerini yerine koyarak A katsayısını hesapla.
A=(83)⋅(−2)3=8⋅7⋅63⋅2⋅1⋅(−8)=56⋅(−8)=−448A = \binom{8}{3} \cdot (-2)^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-8) = 56 \cdot (-8) = -448
A katsayısı, kombinasyon değeri ile sabit sayıların kuvvetlerinin çarpımıdır.

Key Concept

Binom açılımında genel terim Tr+1=(nr)an−rbrT_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülüyle bulunur.

Hints

1
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir. Burada rr değerini doğru belirlemelisiniz.
2
Baştan 4. terim için r=3r=3 alınmalıdır. xx'in kuvvetlerini bir araya getirerek nn değerini bulmak için bir denklem kurunuz.
3
Kuvvet denkleminden n=8n=8 bulunur. Şimdi A=(83)⋅(−2)3A = \binom{8}{3} \cdot (-2)^3 işlemini işaretlere dikkat ederek hesaplayınız.

Practice More

Benzer yapıda ancak sabit terimi (x^0) soran sorular çözülerek n bulma pratiği yapılabilir.

Alternative Method

Alternatif olarak, terimleri tek tek yazmak yerine Pascal üçgeni mantığı düşünülebilir, ancak n bilinmediği için genel terim formülü en güvenilir yoldur.
Estimated Time:2m 30s
Question 25Question →
(2x+1)n(2x + 1)^n
ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı 8181 olduğuna göre, bu açılımdaki x2x^2 li terimin katsayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Binom açılımındaki x2x^2 li terimin katsayısı 2424 olmalıdır.
Katsayılar toplamı kuralına göre x=1x=1 yazıldığında 3n=813^n=81 eşitliğinden n=4n=4 bulunur.
(2x+1)4(2x+1)^4
açılımında x2x^2 li terim için genel terim formülünde r=2r=2 seçilmelidir. Bu durumda
(42)⋅(2x)2⋅12=6⋅4=24\binom{4}{2} \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 = 6 \cdot 4 = 24
katsayısına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Katsayılar toplamını bulmak için değişkene 1 değeri verilir.
x=1x = 1 için (2⋅1+1)n=3n=81(2 \cdot 1 + 1)^n = 3^n = 81
Bir polinom veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanır.
2
3n=813^n = 81 denklemi çözülerek nn değeri bulunur.
3n=34⇒n=43^n = 3^4 \Rightarrow n = 4
8181 sayısı 33'ün 44. kuvvetidir.
3
Binom genel terim formülü uygulanarak x2x^2 li terim belirlenir.
(4r)⋅(2x)4−r⋅(1)r\binom{4}{r} \cdot (2x)^{4-r} \cdot (1)^r
ifadesinde 4−r=2⇒r=24-r = 2 \Rightarrow r = 2 bulunur.
x2x^2 li terimi elde etmek için xx değişkeninin kuvvetinin 22 olması gerekir.
4
r=2r = 2 değeri için terimin katsayısı hesaplanır.
(42)⋅(2x)2⋅12=6⋅4x2⋅1=24x2\binom{4}{2} \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 1 = 24x^2
Kombinasyon değeri ile terimdeki katsayıların kuvvetleri çarpılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Binom Açılımında Katsayılar Toplamı ve Genel Terim

Hints

1
Katsayılar toplamını bulmak için xx yerine 11 yazarak nn sayısını belirleyin.
2
3n=813^n = 81 ise n=4n = 4 olduğunu göreceksiniz. Şimdi
(2x+1)4(2x+1)^4
açılımını düşünün.
3
Genel terim formülü olan
(nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r
ifadesinde xx'in kuvvetinin 22 olması için rr kaç olmalıdır?

Practice More

Binom açılımında sabit terimi bulmak için değişken yerine 0 yazılması gerektiğini hatırlayarak benzer bir soruyu çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 26Question →
(x−2x2)n \left( x - \frac{2}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terim olduğuna göre, bu açılımda x3x^3'lü terimin katsayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 144

Answer

İstenen katsayı 144'tür.
Soruda verilen ifadenin genel terimi (nr)(x)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r} (x)^{n-r} (-2x^{-2})^r şeklindedir.

Adım 1: n değerini bulma
Baştan 4. terim için r=3r=3 alınır. Sabit terim olması için xx'in kuvveti 00 olmalıdır.
x1(n−3)⋅x−2(3)=xn−3−6=xn−9x^{1(n-3)} \cdot x^{-2(3)} = x^{n-3-6} = x^{n-9}
n−9=0⇒n=9n-9=0 \Rightarrow n=9 bulunur.

Adım 2: İstenen terimi bulma
Bizden x3x^3'lü terimin katsayısı istenmektedir. Kuvveti 33 yapmak için:
n−3r=3⇒9−3r=3⇒3r=6⇒r=2n-3r = 3 \Rightarrow 9-3r = 3 \Rightarrow 3r = 6 \Rightarrow r=2 olmalıdır.

Adım 3: Katsayıyı hesaplama
r=2r=2 ve n=9n=9 değerlerini genel terimde yerine yazalım:
(92)(x)9−2(−2x−2)2\binom{9}{2} (x)^{9-2} (-2x^{-2})^2
=9⋅82⋅x7⋅4x−4= \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot x^7 \cdot 4x^{-4}
=36⋅x7⋅4⋅x−4= 36 \cdot x^7 \cdot 4 \cdot x^{-4}
=(36⋅4)⋅x7−4= (36 \cdot 4) \cdot x^{7-4}
=144x3= 144x^3

Katsayı 144144'tür.

Step-by-Step Solution

1
Baştan 4. terim bilgisini kullanarak n değerini bul.
r=3 için üs sıfır olmalı: 1(n-3) - 2(3) = 0 ise n = 9.
Baştan (r+1). terim formülünde r=3 alınır. Sabit terimde x'in kuvveti 0 olmalıdır.
2
Bulunan n=9 değeri için x³'lü terimi verecek r değerini hesapla.
1(9-r) - 2r = 3 ise 9 - 3r = 3 buradan r = 2 bulunur.
Genel terim formülünde x'in kuvvetini 3'e eşitleyerek ilgili r değeri bulunur.
3
Katsayıyı hesapla.
C(9,2) . (1)^7 . (-2)^2 = 36 . 1 . 4 = 144.
Kombinasyon değeri ile terimlerin katsayılarının kuvvetleri çarpılır.

Key Concept

Binom açılımında genel terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülüyle bulunur.

Hints

1
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r. Baştan 4. terim için r değerini 3 almalısın.
2
Önce sabit terim bilgisini kullanarak n sayısını bulmalısın. Sabit terimde x'in kuvveti 0 olur.
3
n=9 bulduktan sonra, x'in kuvvetinin 3 olmasını sağlayan r değerini bul ve katsayıyı hesapla. (−2)(-2)'nin kuvvetini almayı unutma.
Estimated Time:2m 30s
Question 27Question →
Bir matematik öğretmeni binom açılımı konusuna giriş yaparken Pascal Üçgeni'ni kullanmaktadır. Öğretmen, tahtaya bu üçgenin bir satırında yer alan sayıları
146411 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1
olarak yazmıştır. Bu sayılar
(a+b)n(a + b)^n
ifadesinin açılımındaki katsayılardır.
**Buna göre,
(3x−4y)n(3x - 4y)^n
ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?**
Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

İfadenin katsayılar toplamı 1'dir.
Verilen Pascal satırında 5 sayı olması, ifadenin kuvvetinin 4 olduğunu gösterir. (3x−4y)4(3x - 4y)^4 ifadesinde xx ve yy yerine 1 yazıldığında (3−4)4=(−1)4(3-4)^4 = (-1)^4 elde edilir ve sonuç 1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pascal Üçgeni satırındaki sayılardan ifadenin kuvvetini (nn) belirlemek.
n=4n = 4
Pascal Üçgeni'nin bir satırında n+1n+1 adet sayı bulunur. Verilen satırda 5 sayı olduğu için n+1=5n+1 = 5 ise n=4n = 4 olur.
2
Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki değişkenlerin yerine 1 yazmak.
(3⋅1−4⋅1)4=(3−4)4(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)^4 = (3 - 4)^4
Bir binom açılımında katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 1 değeri verilerek hesaplanır.
3
Elde edilen üslü ifadeyi hesaplamak.
(−1)4=1(-1)^4 = 1
Negatif bir tabanın çift kuvveti pozitif bir sonuç verir.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar toplamı değişkenlere 1 verilerek, terim sayısı ise kuvvetin 1 fazlası (n+1n+1) alınarak bulunur.

Hints

1
Pascal Üçgeni'ndeki bir satırda bulunan sayıların adeti, binom açılımındaki terim sayısına eşittir.
2
Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki xx ve yy harflerinin yerine 1 yazarak işlemi tamamlayın.
3
Satırda 5 sayı olduğu için n=4n=4 olur. Şimdi (3⋅1−4⋅1)4(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)^4 işlemini yapın.

Practice More

Katsayılar toplamı 0 olan bir binom açılımı örneği düşünün (örneğin x−yx-y gibi).
Estimated Time:45s
Question 28Question →
(ax−2x2)5\left(ax - \frac{2}{x^2}\right)^5
ifadesinin açılımında x−4x^{-4}'lü terimin katsayısı −320-320 olduğuna göre, aa pozitif gerçel sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen şartı sağlayan aa değeri 2'dir.
Genel terim formülü kullanılarak x−4x^{-4}'lü terime karşılık gelen rr değeri 3 olarak bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine konulduğunda −80a2=−320-80a^2 = -320 denklemi elde edilir ve buradan a=2a=2 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadenin binom açılımındaki genel terim formülünü yaz.
Genel Terim: (5r)(ax)5−r⋅(−2x2)r\binom{5}{r} (ax)^{5-r} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right)^r
(x+y)n=∑r=0n(nr)xn−ryr(x+y)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülü kullanılır.
2
Değişkenlerin kuvvetlerini düzenleyerek xx'in üssünü tek bir ifade haline getir.
(5r)⋅a5−r⋅x5−r⋅(−2)r⋅x−2r=(5r)⋅a5−r⋅(−2)r⋅x5−3r\binom{5}{r} \cdot a^{5-r} \cdot x^{5-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{-2r} = \binom{5}{r} \cdot a^{5-r} \cdot (-2)^r \cdot x^{5-3r}
Katsayıları ve değişkenleri ayrıştırarak xx'in hangi kuvvetinin oluşacağını belirlemek için gereklidir.
3
x−4x^{-4}'lü terimi elde etmek için rr değerini bul.
5−3r=−4⇒3r=9⇒r=35 - 3r = -4 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
Soruda istenen terimin kuvveti −4-4 olduğu için genel terimdeki xx'in üssü buna eşitlenir.
4
Bulunan r=3r=3 değerini katsayı kısmında yerine yaz ve verilen −320-320 değerine eşitle.
Katsayı: (53)⋅a5−3⋅(−2)3=10⋅a2⋅(−8)=−80a2\binom{5}{3} \cdot a^{5-3} \cdot (-2)^3 = 10 \cdot a^2 \cdot (-8) = -80a^2
Bilinmeyen aa sayısını bulmak için katsayı hesaplanır.
5
Oluşan denklemi çözerek aa değerini bul.
−80a2=−320⇒a2=4⇒a=2-80a^2 = -320 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 (pozitif istendiği için)
a2=4a^2=4 denkleminin kökleri ±2\pm 2 dir, ancak soru pozitif gerçel sayı istediği için 2 alınır.

Key Concept

Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinin genel terimi (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle bulunur.

Hints

1
Binom açılımı genel terim formülü olan (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r ifadesini kullanın.
2
Genel terimi yazdıktan sonra xx'in kuvvetlerini birleştirin ve x5−3rx^{5-3r} ifadesini x−4x^{-4}'e eşitleyerek rr değerini bulun.

Practice More

Benzer bir katsayı bulma sorusunu, terim içinde köklü ifadeler (x)(\sqrt{x}) varken çözmeyi deneyin.
Estimated Time:2m 30s
Question 29Question →

Binom açılımında, bir ifadenin kuvveti ile açılım sonucunda oluşan terim sayısı arasında belirli bir ilişki vardır. Aşağıdaki tabloda bazı örnekler verilmiştir:

İfadeKuvvet (nn)Terim Sayısı (n+1n+1)
(a+b)1(a+b)^112
(a+b)2(a+b)^223
(a+b)3(a+b)^334

Buna göre, (x+2y)6(x + 2y)^6 ifadesinin binom açılımında toplam kaç terim bulunur?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Verilen ifadenin açılımında toplam 7 terim bulunur.
Binom açılımı kuralına göre, (a+b)n(a+b)^n ifadesi açıldığında terimlerin kuvvetleri toplamı nn olacak şekilde sıralanır ve bu sıralama sonucunda toplam n+1n+1 tane terim oluşur. Soruda verilen (x+2y)6(x+2y)^6 ifadesinde kuvvet n=6n=6 olduğu için, terim sayısı 6+1=76+1=7 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin kuvvetini belirleyin.
n=6n = 6
(x+2y)6(x + 2y)^6 ifadesinde parantez dışındaki üst (kuvvet) 6'dır.
2
Binom açılımı terim sayısı formülünü uygulayın.
6+1=76 + 1 = 7
(ax+by)n(ax + by)^n şeklindeki bir ifadenin açılımındaki terim sayısı her zaman kuvvetin bir fazlasına (n+1n+1) eşittir.

Key Concept

Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinin terim sayısı n+1n+1'dir.

Hints

1
Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesindeki kuvvet ile terim sayısı arasındaki ilişkiyi hatırlayın.
2
Terim sayısı, ifadenin en dışındaki kuvvetin her zaman 1 fazlasıdır.
3
(x+2y)6(x+2y)^6 ifadesinde kuvvet 6 olduğuna göre, bu sayıya 1 ekleyerek sonucu bulabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla (3x−y)4(3x - y)^4 ifadesinin kaç terimi olduğunu hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.
Estimated Time:30s
Question 30Question →
(x3−2x2)n \left( x^3 - \frac{2}{x^2} \right)^n
ifadesinin açılımında sabit terim, x10x^{10} lu terimin katsayısının 44 katına eşittir.

Buna göre, nn doğal sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Verilen şartı sağlayan nn değeri 10'dur.
Genel terim formülü kullanılarak sabit terim ve x10x^{10} lu terim için kuvvet analizleri yapıldığında, rr değerleri arasında 2 fark olduğu görülür. Katsayılar oranlandığında (−2)r(-2)^r çarpanlarından gelen 4 kat farkı, kombinasyonların eşit olmasını gerektirir. (nr+2)=(nr)\binom{n}{r+2} = \binom{n}{r} eşitliği ancak alt indislerin toplamı nn olduğunda sağlanır. Bu ilişki ve kuvvet denklemleri çözüldüğünde doğru değer 10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz
(nr)(x3)n−r(−2x2)r=(nr)(−2)rx3n−3r−2r=(nr)(−2)rx3n−5r \binom{n}{r} (x^3)^{n-r} \left(-\frac{2}{x^2}\right)^r = \binom{n}{r} (-2)^r x^{3n-3r-2r} = \binom{n}{r} (-2)^r x^{3n-5r}
Herhangi bir terimin katsayısını ve derecesini belirlemek için genel formül gereklidir.
2
Sabit terim ve x10x^{10} lu terim için rr değerleri arasındaki ilişkiyi bul
Sabit terim için 3n−5r1=03n-5r_1=0, x10x^{10} için 3n−5r2=103n-5r_2=10. Taraf tarafa çıkarma yapılırsa 5(r1−r2)=10  ⟹  r1=r2+25(r_1-r_2)=10 \implies r_1 = r_2 + 2.
İki terimin kuvvetleri arasındaki farktan yola çıkarak rr değerleri arasındaki fark bulunur.
3
Verilen katsayı ilişkisini denkleme dök
(nr2+2)(−2)r2+2=4⋅(nr2)(−2)r2 \binom{n}{r_2+2}(-2)^{r_2+2} = 4 \cdot \binom{n}{r_2}(-2)^{r_2}
Soruda verilen '4 katıdır' bilgisini matematiksel eşitliğe dönüştürmek gerekir.
4
Denklemi sadeleştir ve nn değerini bul
(−2)r2+2=4⋅(−2)r2 (-2)^{r_2+2} = 4 \cdot (-2)^{r_2}
olduğundan katsayılar sadeleşir ve
(nr2+2)=(nr2) \binom{n}{r_2+2} = \binom{n}{r_2}
kalır. Buradan
r2+2+r2=n  ⟹  n=2r2+2 r_2 + 2 + r_2 = n \implies n = 2r_2 + 2
bulunur.
3n−5r2=10 3n - 5r_2 = 10
denkleminde yerine yazılırsa n=10n=10 bulunur.
Simetrik kombinasyon özelliği ((na)=(nb)  ⟹  a+b=n \binom{n}{a} = \binom{n}{b} \implies a+b=n ) kullanılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar arasındaki ilişki ve simetri özelliği ((nr)=(nn−r) \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} ).

Hints

1
Binom açılımının genel terimi (nr)(x3)n−r(−2x2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-\frac{2}{x^2})^r şeklindedir.
2
Sabit terim için xx'in kuvveti 0, diğer terim için ise 10 olmalıdır. Bu iki durumdaki rr değerleri arasındaki farkı bulun.
3
rr değerleri arasındaki fark 2'dir. (nr+2)=(nr)\binom{n}{r+2} = \binom{n}{r} eşitliğini kullanarak nn ile rr arasındaki ilişkiyi kurun.

Practice More

Katsayılar toplamı ve sabit terim ilişkisini içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Şıklardan giderek nn değerlerini yerine koyup, sabit terim ve x10x^{10} lu terimin katsayılarını hesaplayarak oranlarını kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 31Question →
(x+y)n(x + y)^n
ifadesinin binom açılımında baştan dördüncü terim ile baştan onuncu terimin katsayıları birbirine eşittir.

Buna göre, bu açılımda toplam kaç terim vardır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Binom açılımında katsayıların simetri özelliği ve terim sayısı kuralına göre açılımda 13 terim bulunmaktadır.
Binom açılımında baştan dördüncü terimin katsayısı (n3)\binom{n}{3}, baştan onuncu terimin katsayısı ise (n9)\binom{n}{9}'dur. Bu katsayılar birbirine eşitse kombinasyonun simetri özelliği gereği n=3+9=12n = 3 + 9 = 12 olmalıdır. Açılımdaki terim sayısı n+1n+1 formülüyle hesaplandığı için 12+1=1312 + 1 = 13 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Terimlerin kombinasyonel karşılıklarını belirleme
Baştan 4. terim için r=3r = 3, baştan 10. terim için r=9r = 9 olur.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim (nr)\binom{n}{r} katsayısı ile hesaplanır.
2
Katsayıların eşitliğini denklem olarak yazma
(n3)=(n9)\binom{n}{3} = \binom{n}{9}
Soruda dördüncü ve onuncu terimlerin katsayılarının eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Kombinasyon özelliğini kullanarak nn değerini bulma
n=3+9=12n = 3 + 9 = 12
(na)=(nb)\binom{n}{a} = \binom{n}{b} eşitliğinde a≠ba \neq b ise n=a+bn = a + b kuralı geçerlidir.
4
Açılımdaki terim sayısını hesaplama
12+1=1312 + 1 = 13
(x+y)n(x+y)^n
açılımında toplam n+1n+1 tane terim bulunur.

Key Concept

Binom Katsayılarının Simetrisi ve Terim Sayısı

Hints

1
Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinde baştan kk. terimin katsayısının (nk−1)\binom{n}{k-1} olduğunu hatırlayın.
2
(n3)=(n9)\binom{n}{3} = \binom{n}{9} eşitliği size nn değerini bulduracaktır.
3
Bulduğunuz nn değerine 1 ekleyerek açılımdaki toplam terim sayısına ulaşabilirsiniz.

Practice More

Binom açılımında ortanca terimin katsayısını bulma sorularını inceleyerek simetri konusunu pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 0s
Question 32Question →
(2x−5y)3(2x - 5y)^3
ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: −27-27

Answer

Verilen ifadenin katsayılar toplamı −27-27 olarak bulunur.
Katsayılar toplamını bulmak için kural gereği xx ve yy yerine 11 yazılır. Bu durumda (2−5)3(2-5)^3 ifadesinden (−3)3(-3)^3 elde edilir. Negatif bir sayının tek kuvveti negatif olduğundan sonuç −27-27 olur.

Step-by-Step Solution

1
Katsayılar toplamını bulmak için ifadede bulunan değişkenlerin yerine 11 yazılır.
x=1x = 1 ve y=1y = 1 için (2⋅1−5⋅1)3(2 \cdot 1 - 5 \cdot 1)^3
Bir binom açılımında katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 11 değeri verilerek elde edilir.
2
Parantez içindeki çarpma ve çıkarma işlemleri işlem önceliğine göre yapılır.
(2−5)3=(−3)3(2 - 5)^3 = (-3)^3
Üs alma işleminden önce parantez içindeki ifadenin değeri belirlenmelidir.
3
Elde edilen tabanın belirtilen kuvveti hesaplanır.
(−3)⋅(−3)⋅(−3)=−27(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27
Negatif bir sayının tek kuvveti yine negatiftir.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar toplamı, ifadedeki tüm değişkenlerin yerine 11 yazılarak hesaplanır.

Hints

1
Bir açılımda tüm katsayıların toplamını bulmak için değişkenlerin yerine etkisiz eleman olan bir sayı yazmalısınız.
2
xx ve yy gördüğün her yere 11 yazarak parantez içindeki işlemi yapmayı dene.
3
İşlem (2−5)3(2-5)^3 haline gelir. Buradan (−3)3(-3)^3 değerini hesaplamalısın.

Practice More

Benzer şekilde sabit terimi bulmak için değişkenlerin yerine 00 yazıldığını unutmayın.
Estimated Time:45s
Question 33Question →
(x3−ax2)n \left( x^3 - \frac{a}{x^2} \right)^n
ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terimdir. Bu açılımın katsayılar toplamı 243243 olduğuna göre, x10x^{10}'lu terimin katsayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İfadenin açılımında x10x^{10}'lu terimin katsayısı 10 olarak bulunur.
Verilen bilgiler ışığında önce sabit terim şartından açılımın kuvveti (n=5n=5), ardından katsayılar toplamından bilinmeyen sabit (a=−2a=-2) bulunur. İfade (x3+2x−2)5(x^3 + 2x^{-2})^5 olarak netleştikten sonra x10x^{10}'lu terimin katsayısı binom katsayısı ve terim katsayılarının çarpımıyla 10 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
nn değerini bulmak için baştan dördüncü terimin sabit terim olma özelliğini kullanın.
n=5n = 5
Baştan (r+1).(r+1). terim formülünde r=3r=3 alınır. Sabit terimde xx'in kuvveti sıfır olmalıdır: 3(n−3)−2(3)=0⇒3n−15=0⇒n=53(n-3) - 2(3) = 0 \Rightarrow 3n - 15 = 0 \Rightarrow n=5 bulunur.
2
Katsayılar toplamı bilgisini kullanarak aa değerini hesaplayın.
a=−2a = -2
x=1x=1 için katsayılar toplamı (13−a/12)5=243(1^3 - a/1^2)^5 = 243 olur. (1−a)5=35⇒1−a=3⇒a=−2(1-a)^5 = 3^5 \Rightarrow 1-a = 3 \Rightarrow a = -2 elde edilir.
3
İfadeyi düzenleyip x10x^{10}'lu terimi veren rr değerini belirleyin.
r=1r = 1
İfade (x3+2/x2)5(x^3 + 2/x^2)^5 halini alır. Genel terim: (5r)(x3)5−r(2x−2)r\binom{5}{r} (x^3)^{5-r} (2x^{-2})^r. Kuvvetler: 15−5r=10⇒r=115 - 5r = 10 \Rightarrow r = 1 olmalıdır.
4
x10x^{10}'lu terimin katsayısını hesaplayın.
10
Katsayı: (51)⋅(1)4⋅(2)1=5⋅2=10\binom{5}{1} \cdot (1)^4 \cdot (2)^1 = 5 \cdot 2 = 10 olur.

Key Concept

Binom açılımında terim bulma ve katsayılar toplamı özellikleri

Practice More

Binom açılımında baştan ve sondan terimlerin simetrisini kullanarak katsayı karşılaştırmaları yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 34Question →
(4x−7y)5(4x - 7y)^5
ifadesinin xx ve yy değişkenlerine göre binom açılımı yapıldığında elde edilen terim sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İfadenin kuvveti 5 olduğu için terim sayısı 5+1=65 + 1 = 6 olur.
Binom açılımı kuralına göre, (ax+by)n(ax + by)^n ifadesinin açılımında n+1n+1 tane terim bulunur. Sorudaki ifadede kuvvet n=5n = 5 olarak verildiği için terim sayısı 5+1=65 + 1 = 6 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin dış kuvvetini (n) belirleyin.
n=5n = 5
Binom açılımında terim sayısını belirleyen temel unsur ifadenin toplam kuvvetidir.
2
Terim sayısı formülünü uygulayın.
Terim sayısı =n+1= n + 1
Bir binom açılımında (ax+by)n(ax + by)^n yapısı gereği, ana^n ile başlayan ve bnb^n ile biten toplam n+1n+1 adet terim oluşur.
3
Verilen kuvveti formülde yerine koyun.
5+1=65 + 1 = 6
Kuvvet 5 olduğu için açılımda 6 terim bulunur.

Key Concept

Binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına eşittir.

Hints

1
Binom açılımında terim sayısı her zaman ifadenin kuvveti ile ilişkilidir.
2
(x+y)n(x+y)^n açılımında terim sayısı n+1n+1 formülüyle hesaplanır.
3
İfadenin parantez dışındaki kuvveti 5'tir. Bu sayıya 1 ekleyerek sonucu bulabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla (2x+y)3(2x+y)^3 ifadesini açarak terim sayısının neden 4 olduğunu gözlemleyebilirsiniz.
Estimated Time:30s
Question 35Question →
(2x2−1x)n \left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^n
ifadesinin açılımında, baştan 3. terimin katsayısı ile baştan 4. terimin katsayısının toplamı sıfırdır. Buna göre, bu açılımda x4x^4 lü terimin katsayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 1120

Answer

1120
Verilen katsayı ilişkisinden n=8n=8 olarak bulunur. Ardından x4x^4 terimini sağlayan r=4r=4 değeri tespit edilir. Genel terim formülünde yerine konulduğunda katsayı 1120 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz ve verilen terimlerin katsayılarını ifade et.
(nr)(2x2)n−r(−x−1)r \binom{n}{r} (2x^2)^{n-r} (-x^{-1})^r
formülünden, 3. terim (r=2r=2) için katsayı
(n2)2n−2 \binom{n}{2} 2^{n-2}
, 4. terim (r=3r=3) için katsayı
−(n3)2n−3 -\binom{n}{3} 2^{n-3}
bulunur.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü kullanılır.
2
Katsayılar toplamının sıfır olduğu bilgisini kullanarak eşitliği kur ve nn değerini bul.
(n2)2n−2−(n3)2n−3=0⇒(n2)2n−2=(n3)2n−3 \binom{n}{2} 2^{n-2} - \binom{n}{3} 2^{n-3} = 0 \Rightarrow \binom{n}{2} 2^{n-2} = \binom{n}{3} 2^{n-3}
. Sadeleştirme sonucu n=8n=8 bulunur.
Verilen koşuldan nn kuvvetini belirlemek gereklidir.
3
x4x^4 lü terimi elde etmek için gereken rr değerini hesapla.
(x2)8−r(x−1)r=x16−2r−r=x16−3r (x^2)^{8-r} (x^{-1})^r = x^{16-2r-r} = x^{16-3r}
.
16−3r=4⇒3r=12⇒r=4 16-3r=4 \Rightarrow 3r=12 \Rightarrow r=4
olarak bulunur.
İstenen terimin kuvvetine ulaşmak için rr değeri belirlenmelidir.
4
Bulunan nn ve rr değerlerini yerine koyarak katsayıyı hesapla.
(84)(2)8−4(−1)4=70⋅16⋅1=1120 \binom{8}{4} (2)^{8-4} (-1)^4 = 70 \cdot 16 \cdot 1 = 1120
Sonuç katsayısını bulmak için tüm çarpanlar birleştirilir.

Key Concept

Binom açılımında katsayılar arasındaki ilişki kullanılarak bilinmeyen kuvvetin (nn) bulunması ve genel terim formülü ile istenen terimin katsayısının hesaplanması.

Hints

1
Önce genel terim formülünü yazarak baştan 3. (r=2r=2) ve 4. (r=3r=3) terimlerin katsayılarını nn cinsinden ifade edin.
2
Katsayılar toplamı sıfır olduğuna göre, bu iki katsayı mutlak değerce eşit ve zıt işaretlidir. Bu eşitliği kullanarak nn değerini bulun.

Practice More

Benzer bir soruda, katsayılar toplamı yerine belirli bir terimin katsayısının verildiği durumu inceleyin.

Alternative Method

Pascal üçgeni özelliklerini kullanarak, ardışık terim katsayıları arasındaki orandan nn değerini daha hızlı tahmin edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 36Question →

(x2−ax)6\left(x^2 - \frac{a}{x}\right)^6 ifadesinin açılımında x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 tır.

Buna göre, bu ifadenin açılımındaki sabit terim kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 240

Answer

İfadenin sabit terimi 240'tır.
Soruda verilen x3x^3 lü terim bilgisi kullanılarak önce bilinmeyen aa değeri bulunur (a=2a=2). Daha sonra sabit terim (yani x0x^0) için gereken rr değeri (r=4r=4) bulunarak hesaplama yapılır. (64)(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yaz: (nr)(1.terim)n−r(2.terim)r\binom{n}{r} (1.terim)^{n-r} (2.terim)^r
(6r)(x2)6−r(−ax−1)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} (-ax^{-1})^r
Binom açılımındaki herhangi bir terimi bulmak için genel formül kullanılır.
2
x3x^3 lü terimi bulmak için x'in kuvvetini 3'e eşitle ve r değerini bul.
2(6−r)−r=3⇒12−3r=3⇒3r=9⇒r=32(6-r) - r = 3 \Rightarrow 12 - 3r = 3 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
İstenen terimin hangi sırada olduğunu (r değerini) belirlemek gerekir.
3
Bulunan r=3 değerini ve verilen katsayıyı (-160) kullanarak a değerini hesapla.
(63)(−a)3=−160⇒20⋅(−a3)=−160⇒a3=8⇒a=2\binom{6}{3} (-a)^3 = -160 \Rightarrow 20 \cdot (-a^3) = -160 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2
Bilinmeyen parametreyi (a) bulmak için verilen katsayı bilgisi kullanılır.
4
Sabit terimi bulmak için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve yeni r değerini bul.
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.
5
Yeni r=4 ve a=2 değerlerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.
(64)(x2)2(−2x−1)4=15⋅x4⋅16x−4=15⋅16=240\binom{6}{4} (x^2)^2 (-2x^{-1})^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16x^{-4} = 15 \cdot 16 = 240
Son işlemle istenen sabit terim değeri bulunur.

Key Concept

Binom açılımında genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle bulunur. Sabit terim için değişkenin kuvveti 0 olmalıdır.

Hints

1
Önce (nr)(1.terim)n−r(2.terim)r\binom{n}{r} (1.terim)^{n-r} (2.terim)^r genel terim formülünü yazarak x'in kuvvetlerini düzenleyiniz.
2
x3x^3 elde etmek için rr yerine kaç gelmesi gerektiğini bulunuz. Bu sayede aa değerini hesaplayabilirsiniz.
3
a=2a=2 bulduktan sonra, sabit terim için x'in kuvvetini sıfırlayan yeni r değerini (r=4) kullanarak hesap yapınız.

Alternative Method

Sabit terim dışındaki sorularda a değeri bulunamazsa, bazen değişken yerine değer verme (x=1 gibi) yöntemi kullanılabilir, ancak bu soruda x paydada olduğu için genel terim yöntemi zorunludur.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 2 / 2
Binom Açılımı — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2 | Examkin