İki Bağımsız Örneklem Testleri Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir kamu kurumunda iki farklı hizmet içi eğitim programının ( $A$ ve $B$ ) verimliliğini karşılaştırmak amacıyla eğitime katılan personelden rastgele seçilenlerin sınav puanları aşağıda verilmiştir:

Program A ( $n_1=5$ )	Program B ( $n_2=4$ )
12	10
15	14
18	15
20	19
22

Buna göre, programlar arasındaki puan farkının anlamlılığını test etmek için yapılacak Mann-Whitney U testinde kullanılacak olan $U$ istatistiği değeri kaçtır?

5,5

14,5

20,0

6,0

10,0

Show answer & explanation

Answer: 5,5

Answer

Mann-Whitney U testi istatistiği, hesaplanan

U_1

ve

U_2

değerlerinden küçük olanıdır ve bu veri seti için 5,5 olarak bulunur.

Veriler birleştirilip sıralandığında Program A'nın sıra toplamı

29,5

ve Program B'nin sıra toplamı

15,5

olur. Formüller uygulandığında elde edilen

5,5

ve

14,5

değerlerinden küçük olan

5,5

doğru test istatistiğidir.

Step-by-Step Solution

1

Verileri birleştirerek küçükten büyüğe sıralayın ve sıra numaralarını atayın.

10(B): 1, 12(A): 2, 14(B): 3, 15(A): 4,5, 15(B): 4,5, 18(A): 6, 19(B): 7, 20(A): 8, 22(A): 9

Mann-Whitney U testi verilerin ortak bir sıralama düzenine konulmasını gerektirir.

2

Bağlı gözlemler (aynı değere sahip olanlar) için sıra numaralarının ortalamasını alın.

15 değerleri 4. ve 5. sıradadır.

(4+5)/2 = 4,5

Aynı değere sahip gözlemlere tarafsızlık ilkesi gereği sıra ortalaması verilir.

3

Her bir grup için sıra toplamlarını (

R_1

ve

R_2

) hesaplayın.

R_1 (A) = 2 + 4,5 + 6 + 8 + 9 = 29,5

;

R_2 (B) = 1 + 3 + 4,5 + 7 = 15,5

Sıra toplamları U istatistiğinin hesaplanmasında temel bileşendir.

4

U_1

ve

U_2

değerlerini formül yardımıyla hesaplayın.

U_1 = (5 \times 4) + \frac{5(6)}{2} - 29,5 = 5,5

;

U_2 = (5 \times 4) + \frac{4(5)}{2} - 15,5 = 14,5

Grupların birbirine göre konumunu belirleyen istatistikler hesaplanır.

5

Test istatistiği olarak küçük olan değeri seçin.

U = \min(5,5, 14,5) = 5,5

Mann-Whitney U testi tanımı gereği küçük örneklemlerde minimum değer test istatistiğidir.

Key Concept

Mann-Whitney U testi, iki bağımsız örneklemin aynı dağılımdan gelip gelmediğini test eden parametrik olmayan bir testtir ve küçük örneklemlerde

U = \min(U_1, U_2)

formülüyle hesaplanır.

Practice More

Bağlı gözlemlerin U istatistiği üzerindeki etkisini ve büyük örneklemlerde normal yaklaşıma nasıl geçildiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 2Question →

Bir araştırmacı, iki farklı kamu kurumunda çalışan personelin iş tatmin düzeylerini karşılaştırmak istemektedir. Yapılan ön incelemede puanların normal dağılım göstermediği ve örneklem büyüklüklerinin küçük olduğu saptanmıştır. Bu durumda araştırmacı, grupları karşılaştırmak için parametrik olmayan Mann-Whitney U testini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, Mann-Whitney U testinin varsayımları ve hipotez yapısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Temel hipotez (

H_0

), karşılaştırılan iki bağımsız grubun puan dağılımlarının (veya medyanlarının) özdeş olduğunu ifade eder.

Analizin geçerli olabilmesi için her iki gruptaki verilerin normal dağılım göstermesi ve varyansların homojen olması zorunludur.

Testin uygulanabilmesi için bağımlı değişkenin en az oran (ratio) ölçeğinde olması gerekir; sıralama ölçeğindeki verilerle bu test yapılamaz.

Mann-Whitney U testi, aynı denek grubundan elde edilen tekrarlı ölçümler (ön test - son test gibi) arasındaki farkı incelemek için kurulur.

Temel hipotez (

H_0

), grupların aritmetik ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olmadığını savunur.

Show answer & explanation

Answer: Temel hipotez ( $H_0$ ), karşılaştırılan iki bağımsız grubun puan dağılımlarının (veya medyanlarının) özdeş olduğunu ifade eder.

Answer

Temel hipotez (

H_0

), karşılaştırılan iki bağımsız grubun puan dağılımlarının (veya medyanlarının) özdeş olduğunu ifade eder.

Doğru olan seçenek, Mann-Whitney U testinin temel amacını ve hipotez yapısını yansıtmaktadır. Bu test, iki bağımsız örneklemin aynı dağılımdan gelip gelmediğini (veya medyanlarının eşitliğini) test eder. Parametrik bir test olan t-testi ortalamalara odaklanırken, Mann-Whitney U testi verileri sıraya dizerek (ranking) analiz yapar.

Step-by-Step Solution

1

Veri yapısının incelenmesi

İki bağımsız grup ve normal dağılmayan sürekli/sıralı veri.

Mann-Whitney U testi, bağımsız örneklem t-testinin parametrik olmayan karşılığıdır.

2

Varsayımların kontrolü

Bağımsızlık, rastgele örnekleme ve en az sıralama ölçeği.

Testin geçerliliği için deneklerin birbirinden bağımsız olması ve verilerin sıralanabilir olması gerekir.

3

Hipotez kurulumu

H_0

: Grupların dağılımları eşittir.

Parametrik olmayan testlerde odak noktası ortalama değil, konum parametresi olan medyan veya genel dağılım şeklidir.

Key Concept

Mann-Whitney U Testi Varsayımları ve Hipotez Yapısı

Practice More

Mann-Whitney U testinde küçük örneklemlerde U istatistiğinin hesaplanması ve kritik değerlerle karşılaştırılması konusuna çalışabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir araştırmacı, iki farklı kamu kurumunda görev yapan personelin kurumsal bağlılık düzeylerini karşılaştırmak amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Yapılan ön incelemelerde, bağlılık puanlarının normal dağılım göstermediği ve veri setinde aşırı uç değerlerin bulunduğu saptanmıştır. Bu doğrultuda, araştırmacı iki bağımsız grubun puanlarını karşılaştırmak için parametrik olmayan Mann-Whitney U testini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, söz konusu araştırmada Mann-Whitney U testinin varsayımları ve hipotez yapısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeği düzeyinde olması ve gözlemlerin birbirinden bağımsız olması temel varsayımdır.

Analizin geçerli olabilmesi için her iki gruptaki puanların normal dağılım sergilemesi ve varyansların homojen olması zorunludur.

Temel hipotez (

H_0

), karşılaştırılan iki grubun aritmetik ortalamalarının istatistiksel olarak birbirine eşit olduğunu savunur.

Bu test, aynı denek grubundan elde edilen 'önce-sonra' gibi bağımlı (eşleştirilmiş) ölçümlerin karşılaştırılmasında kullanılır.

Testin uygulanabilmesi için her iki gruptaki örneklem büyüklüklerinin (

n_1

ve

n_2

) mutlaka birbirine eşit olması gerekir.

Show answer & explanation

Answer: Verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeği düzeyinde olması ve gözlemlerin birbirinden bağımsız olması temel varsayımdır.

Answer

Verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeği düzeyinde olması ve gözlemlerin birbirinden bağımsız olması gerektiği ifadesi doğrudur.

Mann-Whitney U testi, bağımsız örneklemler t-testinin parametrik olmayan karşılığıdır. En temel varsayımları; verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olması (sıralamaya uygun olması), karşılaştırılan grupların birbirinden bağımsız olması ve her bir gözlemin diğerinden etkilenmemesidir. Bu şartlar altında test, iki grubun dağılımlarının aynı olup olmadığını sınar.

Step-by-Step Solution

1

Veri yapısını ve ölçüm düzeyini kontrol et.

Bağımsız grupların olması ve verilerin normal dağılmaması saptandı.

Mann-Whitney U testi, parametrik test varsayımları (normallik vb.) sağlanmadığında kullanılan bir alternatiftir.

2

Testin varsayımlarını değerlendir.

Gözlemlerin bağımsızlığı ve en az sıralama ölçeği gerekliliği belirlendi.

Bu test, değerlerin kendileri yerine sıra numaraları üzerinden işlem yaptığı için sıralama ölçeği yeterlidir.

3

Hipotez kurulumunu gözden geçir.

H0: İki popülasyonun dağılımları özdeştir.

Mann-Whitney U, grupların dağılım konumlarını (sıra ortalamalarını) karşılaştırır.

Key Concept

Mann-Whitney U Testi Varsayımları

Alternative Method

Eğer veriler normal dağılım sergileseydi ve varyanslar homojen olsaydı, araştırmacı 'Bağımsız Örneklemler t-Testi' (Independent Samples t-test) uygulamalıydı.

Estimated Time:1m 15s

Question 4Question →

Bir kamu kurumunda istatistik uzmanı olarak görev yapan bir araştırmacı, iki farklı hizmet içi eğitim programına (Grup A ve Grup B) katılan personelin sınav sonuçlarını karşılaştırmak amacıyla Mann-Whitney U testini uygulamaktadır. Araştırmada elde edilen puanlar şu şekildedir:

Grup A	12	18	18	24	30
Grup B	10	18	24	36	42

Veri setinde aynı değere sahip gözlemler (bağlı gözlemler) bulunduğu tespit edildiğine göre, Mann-Whitney U testi için hesaplanması gereken düzeltilmiş varyans ( $\sigma_U^2$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

22,22

22,92

23,45

21,50

24,15

Show answer & explanation

Answer: 22,22

Answer

Düzeltilmiş varyans değeri 22,22 olarak hesaplanır.

Düzeltilmiş varyans hesaplanırken

t_1=3

ve

t_2=2

değerleri kullanılarak düzeltme terimi 2,5 olarak bulunur. Toplam varyans formülünde bu değer yerine konulduğunda sonuç 22,22 çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Veri setindeki bağlı gözlemleri ve tekrar sayılarını belirle.

18 puanı 3 kez (

t_1=3

), 24 puanı 2 kez (

t_2=2

) tekrar etmektedir.

Düzeltme faktörünü hesaplamak için her bir bağlı değer kümesindeki gözlem sayısına ihtiyaç vardır.

2

Bağlı gözlem düzeltme terimini hesapla:

\sum \frac{t_i^3 - t_i}{12}

\frac{3^3-3}{12} + \frac{2^3-2}{12} = \frac{24}{12} + \frac{6}{12} = 2 + 0,5 = 2,5

.

Bu terim, verilerdeki 'eşitlik' nedeniyle azalan varyansı dengelemek için kullanılır.

3

Düzeltilmiş varyans formülünü uygula:

\sigma_{corr}^2 = \frac{n_1 n_2}{N(N-1)} \left[ \frac{N^3-N}{12} - \sum \frac{t_i^3-t_i}{12} \right]

n_1=5, n_2=5, N=10

değerleri için:

\frac{25}{90} [\frac{990}{12} - 2,5] = \frac{25}{90} [82,5 - 2,5] = \frac{25}{90} \times 80 = 22,22

.

Mann-Whitney U testinde bağlı gözlemler olduğunda test istatistiğinin standart hatasını doğru hesaplamak için bu formül gereklidir.

Key Concept

Mann-Whitney U testinde bağlı gözlemler (ties), testin varyansını küçültür. Bu durumu telafi etmek için varyans formülüne bir düzeltme terimi eklenir.

Practice More

Bağlı gözlemlerin Z değeri üzerindeki etkisini görmek için düzeltilmemiş ve düzeltilmiş varyanslarla iki farklı Z skoru hesaplayarak karşılaştırma yapınız.

Estimated Time:2m 0s

Question 5Question →

Bir araştırmacı, iki farklı eğitim yönteminin (Yöntem 1 ve Yöntem 2) başarı puanları arasındaki farkın anlamlılığını Mann-Whitney $U$ testi ile incelemektedir. Yöntem 1 için örneklem büyüklüğü $n_1 = 15$ , Yöntem 2 için $n_2 = 20$ olarak belirlenmiştir. Yapılan analiz sonucunda Yöntem 1'e ait Mann-Whitney $U$ istatistiği $105$ olarak hesaplanmıştır. Büyük örneklem yaklaşımı (normal dağılım yaklaşımı) kullanıldığında, bu test için hesaplanan $Z$ test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-1,50

1,50

-1,25

-1,75

-2,10

Show answer & explanation

Answer: -1,50

Answer

Büyük örneklem yaklaşımı ile hesaplanan Z test istatistiği değeri -1,50'dir.

Verilen örneklem büyüklükleri (

n_1=15, n_2=20

) kullanılarak önce beklenen değer

150

, ardından standart hata

30

olarak hesaplanmıştır. Verilen

U=105

değeri formülde yerine yazıldığında

Z = -1,50

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Mann-Whitney U testinde beklenen değerin (

E[U]

) hesaplanması

E[U] = \frac{n_1 \times n_2}{2} = \frac{15 \times 20}{2} = 150

Normal yaklaşım için U istatistiğinin ortalaması (beklenen değeri) gereklidir.

2

Standart hatanın (

SE[U]

) hesaplanması

SE[U] = \sqrt{\frac{n_1 \times n_2 \times (n_1 + n_2 + 1)}{12}} = \sqrt{\frac{15 \times 20 \times (15 + 20 + 1)}{12}} = \sqrt{\frac{300 \times 36}{12}} = \sqrt{25 \times 36} = 30

Z değerini bulmak için dağılımın standart sapması hesaplanmalıdır.

3

Z test istatistiğinin hesaplanması

Z = \frac{U - E[U]}{SE[U]} = \frac{105 - 150}{30} = \frac{-45}{30} = -1,50

Gözlenen U değeri ile beklenen değer arasındaki farkın standart hataya oranlanmasıyla standartlaştırılmış test değeri bulunur.

Key Concept

Mann-Whitney U testi büyük örneklem (normal) yaklaşımı

Question 6Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin iş tatmin düzeylerini karşılaştırmak amacıyla yapılan bir araştırmada, A biriminden $n_1 = 15$ ve B biriminden $n_2 = 20$ kişi rastgele seçilmiştir. Puanların dağılımı normal olmadığı için Mann-Whitney $U$ testi uygulanmasına karar verilmiştir. Yapılan hesaplamalar sonucunda test istatistiği $U = 90$ olarak bulunmuştur. Büyük örneklem yaklaşımı (normal dağılım yaklaşımı) kullanıldığında, bu test için hesaplanan standartlaştırılmış $Z$ test istatistiğinin mutlak değeri aşağıdakilerden hangisidir? (Veri setinde bağlı gözlemlerin bulunmadığı varsayılacaktır.)

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

Show answer & explanation

Answer: 2,00

Answer

Hesaplanan

Z

test istatistiğinin mutlak değeri

2,00

olur.

Verilen

n_1 = 15

ve

n_2 = 20

değerleri için beklenen değer

150

, varyans ise

900

olarak hesaplanır. Standart hata

\sqrt{900} = 30

olduğundan,

Z = (90 - 150) / 30 = -2

bulunur. Bu değerin mutlak değeri

2,00

olduğu için doğru seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

U

istatistiğinin beklenen değerini (

E[U]

) hesaplayınız.

E[U] = \frac{n_1 \times n_2}{2} = \frac{15 \times 20}{2} = 150

Normal yaklaşım için test istatistiğinin merkezini belirlemek gerekir.

2

U

istatistiğinin varyansını (

Var(U)

) hesaplayınız.

Var(U) = \frac{n_1 \times n_2 \times (n_1 + n_2 + 1)}{12} = \frac{15 \times 20 \times (35 + 1)}{12} = \frac{300 \times 36}{12} = 900

Standart hatayı bulmak için varyansın hesaplanması şarttır.

3

Standart hatayı (

SE(U)

) bulunuz.

SE(U) = \sqrt{900} = 30

Z-puanı hesaplanırken standart sapma (standart hata) kullanılır.

4

Z

istatistiğini hesaplayınız.

Z = \frac{U - E[U]}{SE(U)} = \frac{90 - 150}{30} = -2,00

Gözlenen değer ile beklenen değer arasındaki farkın standart hata cinsinden ifadesidir.

5

Z

değerinin mutlak değerini alınız.

|Z| = |-2,00| = 2,00

Soru kökünde mutlak değer istendiği için sonuç pozitife çevrilir.

Key Concept

Mann-Whitney U Testinde Büyük Örneklem Yaklaşımı

Hints

1

Mann-Whitney

U

testi için büyük örneklem yaklaşımında

Z

istatistiği,

(U - E[U]) / SE(U)

formülüyle hesaplanır.

2

E[U]

değerini

15 \times 20 / 2

işlemiyle,

Var(U)

değerini ise

15 \times 20 \times (15+20+1) / 12

işlemiyle bulabilirsiniz.

Practice More

Bağlı gözlemler (ties) olması durumunda varyans formülünde yapılacak düzeltme işlemini inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Bir kamu kurumunda görev yapan A ve B birimi personelinin iş tatmin düzeylerini karşılaştırmak amacıyla rastgele seçilen örneklemlerden elde edilen puanlar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Birim	Personel Puanları
A Birimi	$14, 18, 22, 25, 30$
B Birimi	$12, 18, 20, 24$

Bu verilere göre, iki grubun dağılımları arasında fark olup olmadığını belirlemek için uygulanacak Mann-Whitney U testinde hesaplanacak olan test istatistiği ( $U$ ) değeri kaçtır?

6,5

7,0

13,5

16,5

28,5

Show answer & explanation

Answer: $6,5$

Answer

Hesaplanan Mann-Whitney U test istatistiği

6,5

değerine eşittir.

Veriler birleştirilip sıralandığında

18

puanı

3

. ve

4

. sıraları paylaşmaktadır. Bu nedenle her iki

18

değerine de

(3+4)/2 = 3,5

sıra puanı verilir.

n_1=5

ve

n_2=4

olduğu durumda hesaplanan

U_1 = 6,5

ve

U_2 = 13,5

değerlerinden küçük olanı (

6,5

) doğru test istatistiğidir.

Step-by-Step Solution

1

Verileri birleştirerek küçükten büyüğe sıralayın ve sıra puanlarını atayın.

Sıralama:

12 (B), 14 (A), 18 (A), 18 (B), 20 (B), 22 (A), 24 (B), 25 (A), 30 (A)

. Sıra puanları:

1, 2, 3,5, 3,5, 5, 6, 7, 8, 9

.

Mann-Whitney U testi, verilerin büyüklük sıralamasına dayalı bir parametrik olmayan testtir.

2

Grupların sıra toplamlarını (

R_1

ve

R_2

) hesaplayın.

R_A = 2 + 3,5 + 6 + 8 + 9 = 28,5

;

R_B = 1 + 3,5 + 5 + 7 = 16,5

.

U

istatistiğini hesaplamak için her bir grubun toplam sıra değerine ihtiyaç duyulur.

3

U_1

ve

U_2

değerlerini formül kullanarak hesaplayın.

U_1 = (5 \times 4) + \frac{5 \times 6}{2} - 28,5 = 6,5

;

U_2 = (5 \times 4) + \frac{4 \times 5}{2} - 16,5 = 13,5

.

Her iki örneklem hacmi için de

U

değerleri ayrı ayrı belirlenmelidir.

4

Test istatistiği olarak küçük olan

U

değerini seçin.

U = \min(6,5; 13,5) = 6,5

.

Küçük örneklemlerde Mann-Whitney U test istatistiği, hesaplanan

U

değerlerinin minimumu olarak tanımlanır.

Key Concept

Mann-Whitney U İstatistiği ve Bağlı Gözlemler (Ties)

Hints

1

Mann-Whitney U testi için önce her iki gruptaki verileri tek bir liste gibi sıralamanız gerektiğini hatırlayın.

2

Veri setindeki

18

değeri her iki grupta da bulunmaktadır. Bu durumda bu değerlere ait sıraların aritmetik ortalamasını kullanmalısınız.

3

U_1 + U_2 = n_1 \times n_2

eşitliğini kullanarak hesaplamalarınızın doğruluğunu kontrol edebilirsiniz. Test istatistiği bu iki değerden küçük olanıdır.

Practice More

U istatistiğini bulduktan sonra, örneklem hacmi büyüdüğünde (

n > 20

) neden normal dağılım yaklaşımının (Z puanı) tercih edildiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 8Question →

Bir belediye yönetimi, şehirdeki iki farklı itfaiye istasyonunun acil çağrılara yanıt sürelerini karşılaştırmak istemektedir. Yapılan ön incelemede, toplanan yanıt sürelerinin normal dağılım göstermediği ve uç değerler içerdiği saptanmıştır. Bu iki bağımsız grubun dağılımları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek amacıyla Mann-Whitney U testinin kullanılmasına karar verilmiştir.

Buna göre, bu testin uygulanabilmesi için verilerin sahip olması gereken en temel özellik ve kurulacak olan temel hipotez ( $H_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

Verilerin en az sıralama ölçeğinde olması ve

H_0

: İki popülasyon dağılımının özdeş olması.

Verilerin normal dağılım göstermesi ve

H_0

: İki grubun aritmetik ortalamalarının birbirine eşit olması.

Verilerin bağımlı örneklemlerden gelmesi ve

H_0

: Ölçümler arasındaki farkların medyanının sıfır olması.

Verilerin sınıflama ölçeğinde olması ve

H_0

: İki grubun varyanslarının birbirine eşit olması.

Verilerin ortak bir medyan değerine göre ikiye ayrılması ve

H_0

: Grupların ortak medyan etrafındaki dağılımlarının benzer olması.

Show answer & explanation

Answer: Verilerin en az sıralama ölçeğinde olması ve $H_0$ : İki popülasyon dağılımının özdeş olması.

Answer

Verilerin en az sıralama ölçeğinde olması ve temel hipotezin (

H_0

) iki popülasyon dağılımının özdeş (aynı) olduğunu belirtmesi.

Mann-Whitney U testi, iki bağımsız grubun dağılımlarını karşılaştırmak için kullanılan parametrik olmayan bir testtir. Bu testin uygulanabilmesi için verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olması (yani değerlerin birbirine göre büyük-küçük şeklinde dizilebilmesi) gerekir. Temel hipotez (

H_0

), karşılaştırılan iki grubun geldiği popülasyonların dağılımlarının özdeş olduğunu, yani aralarında anlamlı bir konum farkı bulunmadığını ifade eder.

Step-by-Step Solution

1

Veri yapısını ve test seçimini değerlendiriniz.

İki bağımsız grup (istasyonlar) var ve normal dağılım varsayımı ihlal edilmiş. Bu durumda parametrik olmayan Mann-Whitney U testi uygundur.

Normal dağılmayan verilerde ortalamalar yerine sıralamalar üzerinden işlem yapan non-parametrik testler tercih edilir.

2

Ölçüm düzeyini belirleyiniz.

Mann-Whitney U testi için verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olması gerekir.

Test, gözlemlerin büyüklük küçüklük ilişkisine (sıralamasına) dayandığı için en azından bu düzeyde bir ölçüm şarttır.

3

Hipotez kurulumunu gerçekleştiriniz.

H_0

: İki grubun geldiği popülasyon dağılımları aynıdır.

H_1

: Popülasyon dağılımları birbirinden farklıdır.

Mann-Whitney U testi, iki grubun sıralama ortalamalarını karşılaştırarak aslında dağılımların konumlarının farklı olup olmadığını test eder.

Key Concept

Mann-Whitney U Testi Varsayımları ve Hipotez Yapısı

Question 9Question →

İki farklı kamu kurumundaki personelin işlem hızlarını karşılaştırmak amacıyla yapılan bir araştırmada, aşağıdaki örneklem büyüklükleri ve hesaplanan $U$ değeri elde edilmiştir:

Parametre	Değer
Birinci Grup Örneklem Büyüklüğü ( $n_1$ )	24
İkinci Grup Örneklem Büyüklüğü ( $n_2$ )	25
Hesaplanan Mann-Whitney $U$ İstatistiği	210

Veri setinde bağlı gözlemlerin (aynı değerlerin) bulunmadığı varsayıldığında, büyük örneklem için normal dağılım yaklaşımı kullanılarak hesaplanan $Z$ test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-1,80

1,80

-2,55

-1,50

-0,90

Show answer & explanation

Answer: -1,80

Answer

Hesaplanan Z test istatistiği değeri -1,80'dir.

Verilen

n_1=24

ve

n_2=25

değerleri için beklenen değer

E[U]=300

ve varyans

Var(U)=2500

olarak hesaplanır. Standart hata 50 olduğundan,

U=210

değeri için

Z = (210 - 300) / 50 = -1,80

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

U

istatistiğinin beklenen değerini (

E[U]

) hesaplayınız.

E[U] = \frac{n_1 \times n_2}{2} = \frac{24 \times 25}{2} = 300

Z puanı formülündeki merkezsel eğilim değerini bulmak için.

2

U

istatistiğinin varyansını (

Var(U)

) ve standart hatasını (

SE[U]

) hesaplayınız.

Var(U) = \frac{n_1 \times n_2 \times (n_1 + n_2 + 1)}{12} = \frac{24 \times 25 \times 50}{12} = 2500

ve

SE[U] = \sqrt{2500} = 50

Test istatistiğinin standartlaşması için gereken yayılım ölçüsünü bulmak için.

3

Z

test istatistiği formülünü uygulayınız.

Z = \frac{U - E[U]}{SE[U]} = \frac{210 - 300}{50} = \frac{-90}{50} = -1,80

Hesaplanan U değerinin standart normal dağılımdaki karşılığını belirlemek için.

Key Concept

Mann-Whitney U testi için büyük örneklem yaklaşımında (genellikle

n_1, n_2 > 20

),

U

istatistiği yaklaşık olarak normal dağılım gösterir ve

Z

dönüşümü ile test edilir.

Alternative Method

Z değeri hesaplanırken

U_1

yerine

U_2 = n_1 n_2 - U_1

kullanılıp çıkan sonucun ters işaretlisi alınarak da doğru sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir kamu kurumunda çalışan iki farklı bölge müdürlüğündeki personelin verimlilik puanları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek amacıyla Mann-Whitney $U$ testi uygulanmıştır. Araştırmada örneklem büyüklükleri $n_1 = 15$ ve $n_2 = 20$ olarak belirlenmiş, hesaplamalar sonucunda gruplardan birine ait $U$ istatistiği $90$ olarak bulunmuştur.

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde çift yönlü test için kritik değer $Z = \pm 1,96$ olduğuna göre; hesaplanan $Z$ değeri ve test sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Z = -2,00

;

H_0

reddedilir.

Z = -2,00

;

H_0

reddedilemez.

Z = -2,03

;

H_0

reddedilir.

Z = -0,07

;

H_0

reddedilemez.

Z = -6,00

;

H_0

reddedilir.

Show answer & explanation

Answer: $Z = -2,00$ ; $H_0$ reddedilir.

Answer

Z = -2,00

ve

H_0

reddedilir.

Verilen

n_1 = 15, n_2 = 20

değerleri ile beklenen değer

150

, standart hata

30

olarak bulunur. Gözlenen

U=90

değeri formülde yerine konulduğunda

Z = -2,00

sonucuna ulaşılır. Mutlak değerce

2,00 > 1,96

olduğu için sıfır hipotezi reddedilir.

Step-by-Step Solution

1

Mann-Whitney

U

istatistiğinin beklenen değerini (

E[U]

) hesaplayınız.

E[U] = \frac{n_1 \times n_2}{2} = \frac{15 \times 20}{2} = 150

Z-skoru formülündeki ortalama değerin belirlenmesi gerekir.

2

Mann-Whitney

U

istatistiğinin varyansını (

Var[U]

) hesaplayınız.

Var[U] = \frac{n_1 \times n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12} = \frac{15 \times 20 \times 36}{12} = 15 \times 20 \times 3 = 900

Büyük örneklem yaklaşımında yayılım ölçüsünün belirlenmesi gerekir.

3

Standart hatayı (

SE[U]

) bulunuz.

SE[U] = \sqrt{900} = 30

Varyansın karekökü standart hatayı verir.

4

Z

test istatistiğini hesaplayınız.

Z = \frac{U - E[U]}{SE[U]} = \frac{90 - 150}{30} = \frac{-60}{30} = -2,00

Gözlenen değerin beklenen değerden standart hata cinsinden uzaklığı bulunur.

5

Karar kuralını uygulayınız.

|Z| = 2,00 > 1,96

olduğu için

H_0

reddedilir.

Hesaplanan mutlak

Z

değeri, kritik

Z

değerinden büyük olduğu için gruplar arasındaki fark anlamlıdır.

Key Concept

Mann-Whitney U testi için büyük örneklem durumunda (

n_1, n_2 > 10

) normal yaklaşım kullanılarak

Z

istatistiği hesaplanır ve standart normal dağılım tablosuna göre karar verilir.

Hints

1

Normal yaklaşım formülünde

U

değerinden beklenen değeri çıkarıp standart hataya bölmeniz gerektiğini hatırlayın.

2

Varyans hesaplarken paydadaki değerin her zaman 12 olduğunu ve örneklem hacimlerinin çarpımını kullandığınızı unutmayın.

Practice More

Bağlı gözlemler (aynı değerler) olması durumunda varyans formülünde yapılacak düzeltmeyi inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 11Question →

Bir araştırmacı, iki farklı vergi dairesinde görev yapan memurların günlük dosya inceleme sayıları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını Mann-Whitney $U$ testi ile incelemektedir. A vergi dairesinden $n_1 = 15$ ve B vergi dairesinden $n_2 = 20$ memur tesadüfi olarak seçilmiştir. Verilerin ortak sıralaması yapıldıktan sonra, A vergi dairesindeki memurların sıra numaraları toplamı $R_1 = 330$ olarak hesaplanmıştır.

Büyük örneklem yaklaşımı (normal yaklaşım) kullanıldığında, bu test için hesaplanan $Z$ test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-2,00

2,00

-1,50

-0,60

-3,00

Show answer & explanation

Answer: -2,00

Answer

Hesaplanan

Z

test istatistiği değeri

-2,00

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan

-2,00

değeri,

U = 90

test istatistiğinin beklenen değer olan

150

'den çıkarılıp, standart hata olan

30

'a bölünmesiyle elde edilen matematiksel olarak kesin sonuçtur.

Step-by-Step Solution

1

U_1

ve

U_2

değerlerini hesaplayınız.

U_1 = 330 - \frac{15(16)}{2} = 330 - 120 = 210

;

U_2 = (15 \times 20) - 210 = 90

.

Mann-Whitney

U

istatistiğini bulmak için grupların sıra toplamlarından yararlanılır.

2

Test istatistiği olan

U

değerini seçiniz.

U = \min(U_1, U_2) = 90

.

Genellikle

Z

dönüşümünde küçük olan

U

değeri baz alınır.

3

U

dağılımının beklenen değerini (

E[U]

) ve varyansını (

Var[U]

) hesaplayınız.

E[U] = \frac{15 \times 20}{2} = 150

;

Var[U] = \frac{15 \times 20 \times (15 + 20 + 1)}{12} = \frac{300 \times 36}{12} = 900

.

Normal yaklaşıma geçiş için örneklem ortalaması ve standart hatası gereklidir.

4

Z

test istatistiğini hesaplayınız.

Z = \frac{90 - 150}{\sqrt{900}} = \frac{-60}{30} = -2,00

.

Gözlenen değerden beklenen değer çıkarılıp standart hataya bölünerek standart normal değer elde edilir.

Key Concept

Mann-Whitney U testinde büyük örneklemler (

n_1, n_2 > 10

) için

U

istatistiği, ortalaması

\frac{n_1 n_2}{2}

ve varyansı

\frac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}

olan bir normal dağılıma yaklaşır.

Question 12Question →

Bir kamu kurumunda yapılan memnuniyet araştırmasında, iki farklı birimdeki personelin motivasyon puanları karşılaştırılmaktadır. Mann-Whitney $U$ testi sonucunda elde edilen veriler şöyledir:

- Birinci birim örneklem büyüklüğü ( $n_1$ ): $24$
- İkinci birim örneklem büyüklüğü ( $n_2$ ): $25$
- Hesaplanan Mann-Whitney $U$ değeri: $200$

Buna göre, normal yaklaşım yöntemi kullanılarak hesaplanan test istatistiği ( $z$ ) ve $\%5$ anlamlılık düzeyindeki ( $\alpha=0,05$ ; $z_{tablo}=1,96$ ) karar aşağıdakilerden hangisidir?

z = -2,00

;

H_0

reddedilir.

z = -2,00

;

H_0

reddedilemez.

z = -1,00

;

H_0

reddedilemez.

z = -2,50

;

H_0

reddedilir.

z = -1,50

;

H_0

reddedilemez.

Show answer & explanation

Answer: $z = -2,00$ ; $H_0$ reddedilir.

Answer

Hesaplanan test istatistiği

z = -2,00

olup, bu değer kritik değerden büyük olduğu için sıfır hipotezi (

H_0

) reddedilir.

Mann-Whitney

U

testinde büyük örneklemler için beklenen değer

E[U] = 300

ve standart sapma

\sigma_U = 50

olarak bulunur. Bu değerler kullanılarak hesaplanan

z

istatistiği

-2,00

çıkar. Bu değerin mutlak değeri,

\%5

anlamlılık düzeyindeki kritik değer olan

1,96

'dan büyük olduğu için sıfır hipotezi reddedilir.

Step-by-Step Solution

1

Mann-Whitney

U

istatistiğinin beklenen değerini (

E[U]

) hesaplayın.

E[U] = \frac{n_1 \times n_2}{2} = \frac{24 \times 25}{2} = 300

Z puanı formülündeki ortalama değerini bulmak için gereklidir.

2

Mann-Whitney

U

istatistiğinin standart sapmasını (

\sigma_U

) hesaplayın.

\sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 \times n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}} = \sqrt{\frac{24 \times 25 \times (24 + 25 + 1)}{12}} = \sqrt{\frac{600 \times 50}{12}} = \sqrt{2500} = 50

Z puanı formülündeki standart hata değerini bulmak için gereklidir.

3

Test istatistiğini (

z

) hesaplayın.

z = \frac{U - E[U]}{\sigma_U} = \frac{200 - 300}{50} = -2,00

Verinin standart normal dağılıma göre konumunu belirlemek için hesaplanır.

4

Karar kuralını uygulayın.

|-2,00| > 1,96

olduğu için

H_0

reddedilir.

Hesaplanan z değerinin mutlak değeri kritik tablo değerini aştığında anlamlı bir fark olduğu sonucuna varılır.

Key Concept

Büyük örneklemlerde (

n_1, n_2 > 20

) Mann-Whitney U testi, normal dağılım yaklaşımı kullanılarak Z puanı üzerinden değerlendirilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 13Question →

Karayolları Genel Müdürlüğü tarafından iki farklı asfalt kaplama yönteminin (Yöntem 1 ve Yöntem 2) aşınma dirençlerini karşılaştırmak amacıyla bir çalışma yürütülmektedir. Aşınma direnci, uzmanlar tarafından yapılan inceleme sonucunda 'çok düşük'ten 'çok yüksek'e kadar 5'li bir likert ölçeği kullanılarak puanlanmıştır. Verilerin normal dağılım göstermediği ve varyansların homojen olmadığı belirlenmiştir. Bu durumda iki yöntem arasındaki farkı test etmek için Mann-Whitney U testinin kullanılmasına karar verilmiştir.

Buna göre, söz konusu analizin geçerli olabilmesi için gerekli olan temel varsayım ve kurulması gereken temel hipotez ( $H_0$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

Veriler en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olmalıdır;

H_0

: İki grubun dağılımları özdeştir.

Veriler normal dağılım gösteren oran ölçeğinde olmalıdır;

H_0

: İki grubun aritmetik ortalamaları eşittir.

Örneklemler birbiriyle eşleştirilmiş (bağımlı) olmalıdır;

H_0

: Farkların medyanı sıfırdır.

Veriler sınıflama (nominal) ölçeğinde olmalıdır;

H_0

: Grupların ortak medyanı evren medyanına eşittir.

Veriler arasında doğrusal bir ilişki bulunmalıdır;

H_0

: İki değişken arasında anlamlı bir korelasyon yoktur.

Show answer & explanation

Answer: Veriler en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olmalıdır; $H_0$ : İki grubun dağılımları özdeştir.

Answer

Veriler en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olmalıdır;

H_0

: İki grubun dağılımları özdeştir.

Doğru cevap, verilerin en az sıralama düzeyinde olmasını ve temel hipotezin dağılımların özdeşliği üzerine kurulmasını içermektedir. Mann-Whitney U testi, gözlemleri sayısal değerlerinden ziyade sıra numaraları üzerinden analiz ettiği için sıralama ölçeği yeterlidir ve temel hipotezi gruplar arası sistematik bir fark olmadığını savunur.

Step-by-Step Solution

1

Veri yapısını ve ölçme düzeyini belirleme

Bağımlı değişken (aşınma direnci) 5'li ölçekle puanlandığı için veriler en az sıralama (ordinal) düzeyindedir.

Mann-Whitney U testi, verilerin büyüklük-küçüklük ilişkisine göre sıralanmasını temel aldığı için en az sıralama ölçeği gereklidir.

2

Test varsayımlarını kontrol etme

Örneklemlerin bağımsız olması ve verilerin normal dağılmaması durumunda parametrik olmayan Mann-Whitney U testi uygun seçimdir.

Normal dağılım varsayımı ihlal edildiğinde bağımsız iki grup karşılaştırması için bu test kullanılır.

3

Hipotez kurulumu

H_0

: İki grubun dağılımları (veya medyanları) arasında fark yoktur (özdeştir).

Mann-Whitney U testinde temel hipotez, her iki grubun da aynı dağılıma sahip evrenlerden çekildiğini varsayar.

Key Concept

Mann-Whitney U Testi Varsayımları ve Hipotez Yapısı

Practice More

Mann-Whitney U testinin hesaplama aşamasında bağlı gözlemlerin (aynı puanların) sıra numaraları üzerindeki etkisini inceleyen bir soru çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 14Question →

Bir bakanlık, iki farklı bölge müdürlüğünde görev yapan personelin "hizmet içi eğitim memnuniyet düzeylerini" (1: Hiç memnun değil, 5: Çok memnun) karşılaştırmak amacıyla bir araştırma yürütmektedir. Örneklem büyüklüklerinin sınırlı olması ve puanların normal dağılım sergilememesi nedeniyle bu karşılaştırma için Mann-Whitney U testinin kullanılmasına karar verilmiştir. Bu araştırma tasarımı ve seçilen analiz yöntemi göz önüne alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Testin uygulanabilmesi için bağımlı değişkenin en az sıralama ölçeğinde ölçülmüş olması ve grupların birbirinden bağımsız olması gerekir.

Mann-Whitney U testinin geçerli sonuç verebilmesi için her iki grubun da normal dağılım gösteren bir ana kütleden gelmesi zorunludur.

Aynı personel grubuna eğitimin başında ve sonunda iki farklı ölçüm yapılsaydı, Mann-Whitney U testi yine en uygun analiz yöntemi olurdu.

Testin temel hipotezi (

H_0

), iki grubun aritmetik ortalamalarının birbirine eşit olduğu ve varyansların homojen olduğu şeklinde kurulur.

Bu test sadece bağımlı değişkenin sınıflama (nominal) ölçeğinde ölçüldüğü ve örneklem hacimlerinin birbirine tam eşit olduğu durumlarda sonuç verir.

Show answer & explanation

Answer: Testin uygulanabilmesi için bağımlı değişkenin en az sıralama ölçeğinde ölçülmüş olması ve grupların birbirinden bağımsız olması gerekir.

Answer

Testin uygulanabilmesi için bağımlı değişkenin en az sıralama ölçeğinde ölçülmüş olması ve grupların birbirinden bağımsız olması gerekir.

Mann-Whitney U testi, parametrik testlerin (t-testi) normallik ve varyans homojenliği gibi katı varsayımları karşılanamadığında kullanılan güçlü bir alternatiftir. Bu testin geçerli olabilmesi için verilerin en azından sıralanabilir (ordinal) olması ve örneklemlerin birbirinden bağımsız birimlerden seçilmiş olması yeterli ve gerekli temel koşuldur.

Step-by-Step Solution

1

Veri yapısını ve ölçüm düzeyini belirleyin.

Bağımlı değişken (memnuniyet düzeyi) 1-5 arası puanlarla sıralama (ordinal) düzeyindedir.

Mann-Whitney U testi, sıralanabilir veriler üzerinde çalışan parametrik olmayan bir yöntemdir.

2

Örneklem yapısını kontrol edin.

İki farklı bölge müdürlüğü personeli birbirinden bağımsız gruplardır.

Testin temel varsayımı, karşılaştırılan iki grubun birbirinden bağımsız olmasıdır.

3

Hipotez kurulumunu değerlendirin.

H_0

: İki grubun dağılımları özdeştir (medyanlar eşittir).

Mann-Whitney U testi, aritmetik ortalamalar yerine sıra numaraları üzerinden dağılım farklarını test eder.

Key Concept

Mann-Whitney U Testi Varsayımları

Practice More

Mann-Whitney U testinde örneklem hacmi büyüdüğünde (n > 20) normal dağılım yaklaşımı (Z istatistiği) nasıl kullanılır?

Estimated Time:1m 15s

Question 15Question →

Bir kamu kurumunda uygulanan iki farklı hizmet içi eğitim yönteminin ( $Y_1$ ve $Y_2$ ) verimliliğini karşılaştırmak amacıyla eğitim sonunda personelin aldığı başarı puanları aşağıda tablo halinde verilmiştir:

Yöntem	Puanlar
$Y_1$	12, 15, 18, 20, 22
$Y_2$	10, 15, 17, 19

Buna göre, yöntemler arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek amacıyla başvurulan Mann-Whitney U testinde, hesaplanacak olan $U$ test istatistiği değeri kaçtır?

6,5

13,5

20,0

6,0

7,0

Show answer & explanation

Answer: 6,5

Answer

Hesaplanan

U

test istatistiği değeri 6,5'tir.

Doğru yanıt olan 6,5 değeri,

n_1=5

ve

n_2=4

olan iki grup için ortak sıralama yapılıp, bağlı gözlemlere (15 puanları) 3,5 sıra numarası atandıktan sonra elde edilen sıra toplamları (

R_1=28,5

,

R_2=16,5

) üzerinden hesaplanan

U_1

ve

U_2

değerlerinin minimumudur.

Step-by-Step Solution

1

Verileri birleştirerek küçükten büyüğe sıralayın ve sıra numaralarını atayın.

Sıralama: 10(

Y_2

), 12(

Y_1

), 15(

Y_1

), 15(

Y_2

), 17(

Y_2

), 18(

Y_1

), 19(

Y_2

), 20(

Y_1

), 22(

Y_1

)

Mann-Whitney U testi, verilerin ortak bir sıralama üzerinden değerlendirilmesine dayanır.

2

Bağlı gözlemler (aynı değere sahip olanlar) için sıra ortalamasını hesaplayın.

15 değerleri 3. ve 4. sıralardadır. Ortalama sıra:

(3+4)/2 = 3,5

.

Aynı değere sahip gözlemlere haksızlık olmaması için sıra numaralarının aritmetik ortalaması atanır.

3

Grupların sıra toplamlarını (

R_1

ve

R_2

) hesaplayın.

R_1 (Y_1) = 2 + 3,5 + 6 + 8 + 9 = 28,5

;

R_2 (Y_2) = 1 + 3,5 + 5 + 7 = 16,5

.

U istatistiği formülünde kullanılmak üzere grup bazlı toplamlar gereklidir.

4

U_1

ve

U_2

değerlerini hesaplayın.

U_1 = (5 \times 4) + \frac{5 \times 6}{2} - 28,5 = 20 + 15 - 28,5 = 6,5

.

U_2 = (5 \times 4) + \frac{4 \times 5}{2} - 16,5 = 20 + 10 - 16,5 = 13,5

.

Her grup için verilerin diğer grup üzerindeki baskınlığını ölçen U değerleri bulunur.

5

Test istatistiği olarak küçük olan U değerini seçin.

U = \min(6,5; 13,5) = 6,5

.

Mann-Whitney U testinde küçük örneklemler için kural gereği minimum değer test istatistiği kabul edilir.

Key Concept

Mann-Whitney U testinde iki bağımsız örneklem verisi birleştirilerek sıralanır, bağlı gözlemlere sıra ortalaması verilir ve hesaplanan iki U değerinden küçük olan test istatistiği olarak kullanılır.

Estimated Time:2m 0s

Question 16Question →

Bir kamu kurumunda iki farklı şubede (A ve B) görev yapan personelin performans puanları karşılaştırılmak istenmektedir. Rastgele seçilen personelin puanları aşağıda verilmiştir:

* **A Şubesi ( $n_1=4$ ):** 7, 10, 10, 14
* **B Şubesi ( $n_2=5$ ):** 8, 9, 11, 13, 15

Bu verilere göre, iki grubun medyanları arasında fark olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken Mann-Whitney $U$ test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

8

12

18

27

20

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Hesaplanan U1 ve U2 değerlerinden küçük olan test istatistiğidir ve değeri 8'dir.

Veriler birleştirilip sıralandığında A grubunun sıra toplamı 18, B grubunun ise 27 çıkmaktadır. Formül uygulandığında elde edilen 8 ve 12 değerlerinden küçük olan 8, aranan test istatistiğidir.

Step-by-Step Solution

1

Verileri küçükten büyüğe birleştirerek sıralayınız ve bağlı gözlemlere (aynı değerler) sıra numarası veriniz.

7 (1-A), 8 (2-B), 9 (3-B), 10 (4.5-A), 10 (4.5-A), 11 (6-B), 13 (7-B), 14 (8-A), 15 (9-B)

Mann-Whitney U testi, verilerin ortak bir sıralama düzenine konulmasını gerektirir.

2

Her bir grup için sıra numaralarının toplamını (

R_1

ve

R_2

) hesaplayınız.

R_A = 1 + 4.5 + 4.5 + 8 = 18

;

R_B = 2 + 3 + 6 + 7 + 9 = 27

Sıra toplamları U istatistiği formülünün temel bileşenleridir.

3

U_1

ve

U_2

değerlerini ilgili formüllerle hesaplayınız.

U_A = (4 \times 5) + \frac{4(4+1)}{2} - 18 = 12

;

U_B = (4 \times 5) + \frac{5(5+1)}{2} - 27 = 8

Her iki grup için potansiyel test istatistikleri belirlenmelidir.

4

Hesaplanan değerler arasından küçük olanı test istatistiği olarak seçiniz.

U = \min(12, 8) = 8

Mann-Whitney U testi tanımı gereği küçük olan U değeri test istatistiği olarak kabul edilir.

Key Concept

Mann-Whitney U Testi İstatistik Hesabı

Question 17Question →

Bir araştırmacı, iki farklı üretim hattından (Hat A ve Hat B) çıkan ürünlerin dayanıklılık sürelerinin ortancaları arasında fark olup olmadığını incelemek amacıyla Ortanca (Medyan) Testi uygulamıştır. Her iki hattan da $12$ ürün seçilerek yapılan analizde, tüm veriler birleştirilerek ortak medyan değeri hesaplanmıştır. Ortak medyan değeri üzerinden oluşturulan çapraz tabloda Hat A'dan $9$ ürünün, Hat B'den ise $3$ ürünün ortak medyan değerinin üzerinde olduğu saptanmıştır.

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde $\chi^2$ kritik değeri $3,84$ olduğuna göre; hesaplanan $\chi^2$ test istatistiği değeri ve araştırmacının varması gereken karar aşağıdakilerden hangisidir?

\chi^2 = 6,00

;

H_0

reddedilir, üretim hatlarının dayanıklılık ortancaları arasında anlamlı bir fark vardır.

\chi^2 = 6,00

;

H_0

reddedilemez, üretim hatlarının dayanıklılık ortancaları arasında anlamlı bir fark yoktur.

\chi^2 = 4,50

;

H_0

reddedilir, üretim hatlarının dayanıklılık ortancaları arasında anlamlı bir fark vardır.

\chi^2 = 3,00

;

H_0

reddedilemez, üretim hatlarının dayanıklılık ortancaları arasında anlamlı bir fark yoktur.

\chi^2 = 1,50

;

H_0

reddedilemez, üretim hatlarının dayanıklılık ortancaları arasında anlamlı bir fark yoktur.

Show answer & explanation

Answer: $\chi^2 = 6,00$ ; $H_0$ reddedilir, üretim hatlarının dayanıklılık ortancaları arasında anlamlı bir fark vardır.

Answer

Hesaplanan

\chi^2

değeri

6,00

olup kritik değer olan

3,84

'ten büyük olduğu için

H_0

reddedilir ve farkın anlamlı olduğu sonucuna varılır.

Kontenjans tablosu kurulduğunda frekanslar

a=9, b=3, c=3, d=9

ve satır/sütun toplamları

12

olarak bulunur. Toplam gözlem sayısı

N=24

olduğunda formülden

\chi^2 = 6,00

elde edilir. Bu değer

3,84

kritik değerinden büyük olduğu için anlamlı bir fark vardır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgiler doğrultusunda

2 \times 2

kontenjans (çapraz) tablosunu oluşturun.

Hat A: Medyan Üstü =

9

, Medyan Altı/Eşit =

12-9=3

. Hat B: Medyan Üstü =

3

, Medyan Altı/Eşit =

12-3=9

. Toplam

N=24

.

Ortanca testinde gözlemlerin ortak medyanın altında veya üstünde olma durumuna göre frekans tablosu oluşturulur.

2

\chi^2

test istatistiğini hesaplayın.

\chi^2 = \frac{24(9 \times 9 - 3 \times 3)^2}{12 \times 12 \times 12 \times 12} = \frac{24(81-9)^2}{12^4} = \frac{24 \times 5184}{20736} = 6,00

2 \times 2

tablolar için kestirme

\chi^2

formülü kullanılarak istatistiksel değer bulunur.

3

Hesaplanan değeri kritik tablo değeri ile karşılaştırarak karar verin.

6,00 > 3,84

olduğu için

H_0

reddedilir.

Hesaplanan değer kritik değerden büyük olduğunda gözlenen farkın şans eseri oluşma olasılığı düşüktür ve hipotez reddedilir.

Key Concept

İki bağımsız örneklem için Ortanca Testi, verilerin ortak medyan etrafındaki dağılımını kullanarak gruplar arasında fark olup olmadığını

\chi^2

dağılımı üzerinden test eder.

Practice More

Bağlı gözlemlerin (medyana eşit değerler) olması durumunda bu gözlemlerin analize dahil edilip edilmeyeceği konusunu tekrar ediniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 18Question →

Bir araştırmacı, iki farklı öğretim yönteminin öğrenci başarı puanları üzerindeki etkisini karşılaştırmak amacıyla Mann-Whitney U testi uygulamaya karar vermiştir. Araştırmada elde edilen örneklem verileri aşağıda sunulmuştur:

Yöntem A ( $n_1=4$ )	Yöntem B ( $n_2=4$ )
$14$	$16$
$16$	$18$
$16$	$20$
$20$	$20$

Bu veriler dikkate alındığında, Mann-Whitney U testinin varyans hesaplamasında kullanılacak olan bağlı gözlemler (ties) düzeltme terimi ( $\sum \frac{t_i^3 - t_i}{12}$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1

2

4

12

48

Show answer & explanation

Answer: $4$

Answer

Düzeltme terimi değeri 4'tür.

Veri setinde iki farklı bağlı gözlem kümesi bulunmaktadır: 16 değeri 3 kez ve 20 değeri 3 kez tekrar etmektedir. Her bir küme için uygulanan

(3^3-3)/12 = 2

işlemi sonucunda toplam düzeltme terimi

2 + 2 = 4

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Veri setindeki tüm gözlemleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralayın.

14, 16, 16, 16, 18, 20, 20, 20

Bağlı gözlemlerin (aynı değere sahip olanların) tespit edilmesi için sıralama yapılması gerekir.

2

Aynı değere sahip gözlem gruplarını ve her gruptaki gözlem sayısını (

t_i

) belirleyin.

16

değeri

3

kez (

t_1 = 3

),

20

değeri

3

kez (

t_2 = 3

) tekrarlanmaktadır.

Düzeltme faktörü her bir bağlı gözlem grubu için ayrı ayrı hesaplanır.

3

Her bir grup için

\frac{t_i^3 - t_i}{12}

formülünü uygulayın.

16

grubu için:

(3^3 - 3) / 12 = 24 / 12 = 2

.

20

grubu için:

(3^3 - 3) / 12 = 24 / 12 = 2

.

Bu formül, bağlı gözlemlerin sıralama üzerindeki etkisini dengelemek için kullanılan standart matematiksel düzeltmedir.

4

Hesaplanan değerleri toplayarak toplam düzeltme terimini bulun.

2 + 2 = 4

.

Mann-Whitney U varyans formülünde kullanılan toplam düzeltme miktarı budur.

Key Concept

Mann-Whitney U testinde bağlı gözlemler, test istatistiğinin varyansını olduğundan büyük tahmin etmeye neden olur. Bu durumu düzeltmek için her bir bağlı gözlem kümesi için

(t^3-t)/12

terimi hesaplanarak toplam varyanstan düşülür.

Practice More

Bağlı gözlemlerin Mann-Whitney U testinde Z-istatistiği üzerindeki etkisini incelemek için hesapladığınız bu düzeltme terimini standart hata formülüne yerleştirerek Z değerini tekrar hesaplamayı deneyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 19Question →

Bir yerel yönetim biriminde, iki farklı departmanda görev yapan personelin hizmet içi eğitim performans skorları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek amacıyla Mann-Whitney $U$ testi uygulanmıştır. A departmanından $n_1 = 12$ ve B departmanından $n_2 = 36$ personelin katıldığı araştırmada, hesaplanan $U$ istatistiği $132$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde test istatistiğine ilişkin $Z$ değeri ve araştırmacının kararı aşağıdakilerden hangisidir?
( $Z_{0,05} = 1,645$ ; $Z_{0,025} = 1,96$ )

Z = -2,00

;

H_0

hipotezi reddedilir.

Z = -2,00

;

H_0

hipotezi reddedilemez.

Z = -1,50

;

H_0

hipotezi reddedilemez.

Z = -2,57

;

H_0

hipotezi reddedilir.

Z = -1,00

;

H_0

hipotezi reddedilemez.

Show answer & explanation

Answer: $Z = -2,00$ ; $H_0$ hipotezi reddedilir.

Answer

Z

değeri

-2,00

olarak hesaplanır ve bu değer kritik değer olan

1,96

ile karşılaştırıldığında

|-2,00| > 1,96

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda beklenen değer

216

ve standart hata

42

olarak bulunmuştur. Bu değerler kullanılarak elde edilen

Z = -2,00

değeri, çift kuyruklu testteki

1,96

kritik değerinden (mutlak değerce) büyük olduğu için gruplar arasında anlamlı bir fark olduğu sonucuna varılır ve

H_0

reddedilir.

Step-by-Step Solution

1

U

istatistiğinin beklenen değerini (

E[U]

) hesaplayınız.

E[U] = \frac{n_1 \times n_2}{2} = \frac{12 \times 36}{2} = 216

Mann-Whitney U testinde büyük örneklemler için normal dağılım yaklaşımında ortalama değer bu formülle bulunur.

2

U

istatistiğinin standart hatasını (

\sigma_U

) hesaplayınız.

\sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 \times n_2 \times (n_1 + n_2 + 1)}{12}} = \sqrt{\frac{12 \times 36 \times 49}{12}} = \sqrt{36 \times 49} = 6 \times 7 = 42

Normal yaklaşımdaki standart sapma, grupların hacimlerine bağlı olarak bu formülle belirlenir.

3

Z

test istatistiğini hesaplayınız.

Z = \frac{U - E[U]}{\sigma_U} = \frac{132 - 216}{42} = \frac{-84}{42} = -2,00

Gözlenen U değerinin beklenen değerden sapmasının standart hata cinsinden ifadesidir.

4

Kritik değer ile karşılaştırarak kararı veriniz.

|-2,00| > 1,96

olduğu için

H_0

reddedilir.

\%5

anlamlılık düzeyinde iki yönlü test için kritik Z değeri

1,96

'dır. Hesaplanan değer bu sınırın dışındadır.

Key Concept

Mann-Whitney U Testi Normal Yaklaşımı

Alternative Method

Eğer

U'

değeri (

n_1 n_2 - U

) kullanılsaydı,

U' = 432 - 132 = 300

olurdu. Bu durumda

Z = (300 - 216) / 42 = +2,00

bulunurdu. İki yönlü testte karar değişmezdi.

Estimated Time:1m 40s

Question 20Question →

Bir kamu kurumundaki iki farklı bölge müdürlüğünde görev yapan personelin hizmet içi eğitim sonundaki başarı puanları arasında fark olup olmadığını test etmek amacıyla Ortanca (Medyan) Testi uygulanmıştır. Bölge I'den $15$ ve Bölge II'den $15$ personel olmak üzere toplam $30$ kişilik bir örneklem üzerinde ortak medyan değeri hesaplanmıştır. Bölge I'deki personelin $10$ tanesinin puanı ortak medyan değerinin üzerinde kalırken, Bölge II'deki personelin $8$ tanesinin puanı ortak medyan değerine eşit veya bu değerin altında kalmıştır.

Buna göre, analizde kullanılacak $2 \times 2$ boyutundaki çapraz tabloda 'Bölge II' satırı ile 'Ortanca Üstü' sütununun kesiştiği hücreye yazılması gereken frekans değeri kaçtır?

5

7

8

10

15

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Bölge II grubunda ortanca değerinin üzerinde yer alan personel sayısı 7'dir.

Ortanca Testi'nde her bir grup (satır) için gözlemler 'Ortanca Üstü' ve 'Ortanca Altı veya Eşit' olarak ikiye ayrılır. Bölge II'nin toplam personel sayısı

15

olup, bunlardan

8

tanesinin puanı medyan değerine eşit veya altındadır. Dolayısıyla, medyanın üstünde kalan personel sayısı

15 - 8 = 7

olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Grupların toplam gözlem sayılarını belirleyin.

Bölge I için

n_1 = 15

, Bölge II için

n_2 = 15

. Toplam

N = 30

.

Çapraz tablodaki satır toplamlarını bilmek eksik hücreleri tamamlamak için gereklidir.

2

Bölge II için verilen frekans bilgisini analiz edin.

Bölge II'de 'Ortanca Altı veya Eşit' olan gözlem sayısı

8

olarak verilmiştir.

Soruda istenen 'Ortanca Üstü' değerini bulmak için diğer kategorideki sayıya ihtiyaç vardır.

3

Bölge II satırı için eksik olan 'Ortanca Üstü' frekansını hesaplayın.

15 - 8 = 7

.

Her satırın toplamı o grubun örneklem hacmine eşit olmalıdır (

f_{\text{üst}} + f_{\text{alt/eşit}} = n

).

Key Concept

Ortanca Testi'nde çapraz tablo, her grubun gözlemlerinin ortak medyanın 'üstünde' veya 'altında/eşit' olmasına göre 2x2 tipinde oluşturulur. Temel hipotez (

H_0

), kitle medyanlarının birbirine eşit olduğunu savunur.

Practice More

Bu çapraz tablo tamamlandıktan sonra Ki-Kare test istatistiğinin nasıl hesaplandığını gözden geçirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

İki Bağımsız Örneklem Testleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution